Apuntes de Control AutomáTico de Procesos

- .

.

' 

APUNTES DE

CONTROL AUTOMÁTICO DE PROCESOS (SEGUNDA EDICIÓN) SALVADOR SAUCEDO FLORES

JÓSE LUIS RODRÍGUEZ GARCÍA

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL MÉXICO 1985

Derechos reservados conforme a la ley © 1985. Derechos reservados por el autor Segunda Edición. © D.R. 1985 Sobre la presente edición, INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL DIRECCIÓN DE PUBLICACIONES Tresguerras 27, 06040 México, D.F. ISBN 978-968-29-0787-6

INTRODUCCIÓN

El curso de de Control Automático de Procesos tie ne como esencial finalidad intruducir al estudiante en el campo de control de procesos; ésto implica que debe unir los conocimientos conocimientos antecedentes de la teoría de control y de d e tecara nología de componentes, p  hacer de ellos herramientas de trabajo en la comprensión comprensión de los sistemas. El presente presente es un trabajo de síntesis, adaptado a los programas en vigencia y coordinado con las materias antecedentes y paralé^ las, que pretende considerar el control de procesos desde el punto de vista del sistema y enfocarlo del modo más realista factible. En la literatura técnica no es fácil encontrar trabajos como el presente, por lo que sus autores,.M.en C. Salvador Saucedo F. y M.en C. José Luís Rodríguez G., profe sores de la materia, se dieron a la tarea de elaborar el presente trabajo, cuya necesidad para el estudiante de la E.S.I.M.E. deriva de ausencia de literatura técnica adapta da a sus necesidades necesidades y antecedentes. antecedentes. Los trabajos trabajos que que sobre la materia se disponen, además del inconveniente del idioma, están realizados con un enfoque que corresponde a la estructura de los programas de estudio en otros países.

 ARTURO  ARTURO MARTÍN MARTÍNEZ EZ RODRÍGU RODRÍGUEZ EZ

PROLOGO

:

La idea de escribir este libro se originó hace -cuatro años, cuando en varias reuniones de la Academia de Control se discutió acerca del enfoque que debia dárseleal curso de Teoría de Control III [Control Automático deProcesos). Llegamos entonces a la conclusión que la materia debía de tener un contenido eminentemente práctico, compatible con la realidad que el egresado encuentra en el campo industrial de nuestro país. Acordado lo ante ->rior, se hizo patente la necesidad de que el alumnado con tara con dos elementos para el aprendizaje correcto de la materia: un laboratorio equipado, en donde el estudianteefectuara simulaciones de sistemas de control; y un texto concebido especialmente, d,e acuerdo con la preparación eidiosincracia del estudiante medio de esta especialidad. En lo que respecta al material impreso se tuvo zo_ no meta el satisfacer lo siguiente; el estudiante debe al canzar una visión clara del papel del control automáticoen la industria; debe afianzar los conceptos ya aprendidos en cursos antecedentes y ha de ampliar dichos conceptos en aquellos aspectos específicos que se aplican en --el campo del control de procesos industriales. Para fijar el nivel del texto se tomó en cuenta que los alumnos tienen un conocimiento previo de los puntos básicos de la teoría de control, tales como; Transfor_ mada de Laplace; representación de sistemas físicos y desistemas de ecuaciones en diagramas a cuadros; simplifica, ción de diagramas a cuadros; criterios de estabilidad y de velocidad de respuesta de los sistemas; trazo de cur vas de respuesta de los sistemas, en tiempo y en frecuencia ; etc.

Se puso especial énfasis en desarrollar una canti dad suficiente de ejemplos numéricos, con el fin de hacer la lectura lo más pedagógica posible y evitar, en lo posi ble, exposiciones demasiado abstractas, pues la experiencia ha enseñando que el estudiante medio adquiere más con fianza en lo que aprende si puede corroborar inmediatamen te la teoría, ya sea resolviendo un ejemplo en su cuaderno o, en el caso óptimo, desarrollando satisfactoriamente una práctica en el laboratorio. Los problemas al final -de los capítulos tienen el mismo propósito. El libro presenta tres áreas de interés; en la----primera se introduce el concepto de control automático, se repasan las diferentes formas de control, y después de analizar el comportamiento sin control de algunos proce sos sencillos, se estudian las respuestas de los mismos,tanto en el tiempo como en la frecuencia, una vez que for_ man parte de un circuito de control. La segunda parte -está dedicada a los instrumentos más comunes en un buclede control: válvulas y sus características estáticas y -dinámicas; controladores electrónicos y neumáticos; posicionadores, convertidores y transmisores. La tercera par_ te pretende aplicar los conocimientos previos a casos específicos de control de. nivel,' de presión, de concentra ción, de flujo y de temperatura, respectivamente. AGRADECIMIENTOS La edición del presente trabajo fue posible debido a la gentil colaboración de las siguientes personas: ING. ALFONSO MOLINA RAMÍREZ, quien revisó y coordinó el trabajo de mecanografía de algunos capítulos; - PROFR. FAUSTO FAJARDO FAJARDO, revisó el estilo y la claridad lit er ar ia a lo largo del texto; SRITA. CONSUELO - -

GARZA DE LEÓN, quien mecanografió la mayor parte del manuscrito y el SR. RUBÉN MENDOZA SOLIS que realizó el tra

 bajo de dibujo. También prestaron su valiosa ayuda la SRA. JOSE FINA QUIROZ A., y las SRITAS. VERÓNICA VARGAS G. y PATRJ^ CÍA MÁRQUEZ F., Secretarias. Igualmente se agradece laayuda de RAFAEL VERDUZCO M. y MIGUEL ÁNGEL LÓPEZ D., tyi-

 bu jantes.

ÍNDICE CAPITULO 1.- INTRODUCCIÓN 7 1.1 Actividades Económicas 1.2 1.3 1.4

8

Clasificación de los procesos industriales 10 Ejemplos de procesos industriales 13 Relación entre el control v los procesos industriales 20

CAPITULO 2.- CONTROLADORES 24 2.1 Controlador de dos posiciones 26 2.2 Controlador de acción proporcional (P) 31 2.3 Controlador do acción integral (I) 38 2.4 2.5

2.6

Controladores de dos modos 39 Controlador de tres modos (PID) 45 Función de Transferencia de los controladores

45

Problemas 47 Bibliografía 50 CAPITULO 3.3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6

ANÁLISIS Procesos Procesos Procesos Procesos Procesos Procesos

DE PROCESOS SENCILLOS 51 con tiempo muerto 54 solo capacitivos 57 de primer orden 61 neumáticos 70 térmicos 75 con efectos distribuidos

Problemas 90 Bibliografía 96 CAPITULO 4.-

RESPUESTA TRANSITORIA DE PROCESOS REGULADOS POR  CONTROLADORES 97

4.1 Procesos de primer orden 98 4.2 Procesos de segundo orden 105 4.3  Método de la curva de reacción 118 Problemas 121 Bibliografía 125

CAPITULO 5.5.1

RESPUESTA EN FRECUENCIA DE LOS SISTEMAS REGULADOS CON CONTROLADORES 127 Respuesta en frecuencia de los controladores

129

5.2

Diseño de sistemas mediante técnicas de respuesta a la frecuencia 138 5.3 Efecto de las perturbaciones y su importancia ' en el diseño de un sistema de control 5.4 Situaciones especiales 167 Problemas 183 Bibliografía 187

CAPITULO 6.6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 CAPITULO 7.7.1 7.2 7.3 7.4 7.5

INSTRUMENTOS DE CONTROL

189

Controladores neumáticos 191 Ejemplo de un controlador neumático 211 Controladores electrónicos 217 Ejemplo de un controlador electrónico 221 Transmisores y convertidores 230 VÁLVULAS NEUMÁTICAS

239

Partes de una válvula operada con aire 240 Características inherentes de,las válvulas 244 Características efectivas de las válvulas 248 Selección de las válvulas de control 250 Características dinámicas de las válvulas 25S Problemas 261 Bibliografía 263

CAPITULO 8.8.1

8.2 8.3 8.4 8.5

CONTROL DE NIVEL DE LÍQUIDOS 265 Sistema general de control de nivel 267 Control de nivel para acoplar dos procesos entre sí 270 Control de nivel en cascada 282 Control verdadero de nivel 284 Procesos de mezclado 287 Problemas

29 3

Bibliografía

296

CAPITULO 9.-

CONTROL DE FLUJO

297

9.1 9.2

El proceso de flujo 298 Elementos de medición y transmisión de flujo 311

9.3 9.4

Lugar geométrico de las raices 321 Di se ño de un sistema de control de flujo Problemas 341 Bibliografía 343

CAPITULO 10.- CONTROL DE INTERCAHBIADORES DE CALOR

345

10.1 Modelo estático de un intercambiador 10.2 Modelo dinámico de un intercambiador 10.3 Esquemas de control 363

346 358

Problemas 369 Bibliografía TRANSFORMADAS DE LAPLACE.

TABLA

373

329

C A P I T U L O 1 INTRODUCCIÓN 1.1.-

ACTIVIDADES ECONÓMICAS.

1.2.-

CLASIFICACIÓN DE LOS PROCESOS INDUSTRIALES. a) Procesos Físicos Básicos. b) Procesos Químicos Básicos.

1.3.-

EJEMPLOS DE PROCESOS INDUSTRIALES. a) Fabricación del Cemento. b) Refinación del Petróleo. c) Fabricación del Papel.

1.4.- RELACIÓN ENTRE EL CONTROL Y LOS PROCESOS INDUSTRIALES.

8 1 . 1 . - ACTIVIDADES ECONÓMICAS. Las actividades económicas de cualquier país pue den ser agrupadas en cuatro procesos principales, los cuales constituyen un sistema económico. Estos procesos son: I. Industrias primarias II. Industrias de transformación III. Distribución

Y IV.

Servicios Las industrias primarias representan el proceso que suministra las materias primas que se necesitan en una -economía moderna: minerales, combustibles, granos; productos alimenticios tales como vegetales y animales; la lana, el algodón, el lino y otras fibras; la madera, la piedra, la grava y la arcilla; las pieles, los cueros y otros artículos semejantes , etc. El suministro de estas materias primas es la acti_ vidad que corresponde a empresas tales como la agricultura, la minería, la explotación de bosques, la caza y la pesca,  mismas que son llamadas industrias primarias. En segundo lugar se hallan las industrias de transformación, es decir el conjunto de procesos mediante los cuales las materias primas se someten a la fabricación, o sea que se convierten en formas diversas al través de los proce sos de manufactura, los productos que se obtienen de estos  procesos se pueden clasificar en dos grupos generales: Semiacabados, que son artículos fabricados en par_ te y que pasan de un productor a otro para ser sometidos a tratamientos posteriores, y el grupo de los productos acaba-doi , que son vendidos directamente al consumidor final. Los  procesos de fabricación están a cargo de empresas tales como:  Manufactura Elaboración Fabricación Fabricación Fabricación

de de de de de

productos alimenticios: bebidas. textiles. calzado. productos del tabaco.

9 Fabricación de artículos de madera y corcho Fabricación de papel y productos del pape 1 Industrias de cuero y piel Fabricación de productos de hule Industrias químicas Fabricación de productos derivados del petróleo y carbón mine_ ral. Industrias metálicas básicas Fabricación de productos metálicos Construcción de maquinaria Construcción de equipo eléctrico y electrónico Industrias manufactureras diversas El tercer proceso es el de la distribución¡ gracias a ésta las materias primas y los artículos manufactura -dos pasan de productor a productor, de los productores a los vendedores y, finalmente, a los consumidores.

En esta parte se

encuentran las llamadas empresas comerciales, las cuales facilitan el paso de mercancías desde el estado de materias primas brutas, al través de las fases de tratamiento y fabricación, hasta los consumidores finales.

En conjunto las ope-

raciones de distribución consisten en la compra y venta de productos, operaciones en las que los distribuidores actúan, como intermediarios, por tanto, asumen las actividades de almacenamiento, selección, clasificación, empaque y transporte de los artículos a los lugares en que se requieren. Por último, la actividad correspondiente a la prestación de

AZKV  ¿C  ¿O  ¿

es una parte de la economía, parte que

últimamente ha aumentado considerablemente su importancia, a tal grado que actualmente ha alcanzado una posición preponderante, ya que si bien un gran número de personas se encuentra ocupado en la producción y manejo de artículos tangibles, hay otras que realizan una variedad infinita de servicios entodos los niveles de un sistema económico tales como servi -cios domésticos, servicios profesionales y financieros a indi^ viduos y a empresas, servicios mecánicos en

las

fábricas y en

las comunidades, el abastecimiento de calor, de luz y de ene£

10 gía y otros muchos similares que se clasifican generalmentecomo servicios públicos, así también como los servicios de gobierno. Aunque la prestación de servicios no es un proceso proceso en el sentido en que lo son la agricultura y la fabrica ción, es uno de los grandes campos en que se subdivide un sistema económico. El principal campo de aplicación de la Ingenie-ría de Control cabe dentro del primero y el segundo grupos, o sea en las industrias donde se producen y se transforman las materias primas, que es donde se requiere de la realización de varios procesos en los cuales se deben controlar las variables más importantes involucradas en éstos, lo cual garantizará la calidad del producto. 1.2.-

CLASIFICACIÓN DE LOS PROCESOS INDUSTRIALES.

En la fabricación de cualquier producto se re quiere, en general, de la realización de uno o varios proce sos parciales que pueden ser más o menos independientes, ya sea en las fases de preparación y purificación de las mate rias primas, en la transformación de éstas y la elaboración de los productos finales, o en la manufactura total de un ob jeto, a).- Procesos físicos básicos. Sólo raras veces se puede someter a una transfor_ mación una materia prima en la forma en que es obtenida; lo común es que antes de la elaboración haya una fase de preparación y acondicionamiento. Lo mismo sucede al llevar los productos elaborados a formas comerciales. Los procesos básicos necesarios para esto se pueden dividir en almacenaje, transporte; trituración, tamizado, desempolvado, mezclado, disolución, absorción, filtración, decantación, centrifuga ción, calentamiento, refrigeración» concentración, deseca- ción, destilación y sublimación. Estos procesos básicos tienen principalmente naturaleza física, pero no se les puede trazar un límite es- -

11 tricto, dado que pueden estar incluidas al mismo tiempo algu ñas transformaciones químicas (la disolución y la destila- ción son ejemplos claros de esto). b) . - Procesos químicos básicos Aunque los procesos físicos básicos son muy im portantes, no suelen constituir el núcleo del proceso total, si.iO que éste radica más a menudo en la realización de las reacciones químicas a las cuales se les denomina como  pro  procesos esos químicos básicos. Por ejemplo: Los proce Los  procesos sos térmicos térmicos desempeñan -un papel importante, especialmente en química inorgánica y tienen lugar frecuentemente en la compañía de reacciones deóxido-reducción. Así sucede en el tostado, tostado, la calcinación, calcinación, la caustificación, etc. En química orgánica se presenta la fabricación de combustibles gaseosos en coquerías, en procesos de cráquino, etc. La gran cantidad de calor necesaria necesaria para efectuar esta operación se obtiene muchas veces de la reacción misma, pero también es suministrado frecuentemente desde el exterior em pleando combustibles sólidos, líquidos o gaseosos, de energía eléctrica y, en algunos casos, utilizando hornos de arco eléc trico. En química orgánica la introducción, la transformación y el intercambio de substituyentes s ubstituyentes desempeñan un papel de gran importancia; por ejemplo: alquilación, halogenación, sulfuración, sulfonación, reducción, etc. Los métodos de condensación y polimeración consti_ tuyen principalmente los dominios de la industria de resinas y fibras artificiales. Los productos de fermentación, limitados anterior mente a la industria alimenticia, han alcanzado considerableimportancia en los últimos años en la producción de medicamen tos que actúan como antibióticos.

12

13 1.3.-

EJEMPLOS DE PROCESOS INDUSTRIALES.

Con objeto de ilustrar las diferentes etapas que se distinguen en los procesos industriales, se describen someramente tres de ellos, típicos: La fabricación del cemento, la refinación del pe_ tróleo y la fabricación del papel

a).-

fabricación del cemento.

El cemento es una substancia adhesiva, susceptible de que se le adicionen fragmentos o partículas de mate-riales sólidos para formar un material compacto. Las mate rías primas principales que se emplean en su fabricación son caolin, sílice, caliza y, en pequeñas proporciones yeso y cal Cita. Existen dos diferentes tipos de proceso para la fabricación del cemento: el  proceso seco y el  proceso húmedo. Estos procesos son mostrados en la figura 1.1. i).- Proceso se CO ..- Este tipo de proceso es el más utilizado debido a sus mayores ventajas económicas. A continuación haremos una descripción breve de este proceso el cual ilustramos individualmente en la figura 1.2. El primer paso es la obtención de las materias -primas: caliza, caolín y sílice, las cuales se hayan en forma natural,son extraídos mediante taladros neumáticos y palas me canicas y se transportan hacia un sistema de trituración y mp_ lido, que se efectúa en una serie de máquinas adaptadas al ta_ maño decreciente de las partículas en proceso. Una vez tritu rados y antes de entrar a los molinos, los materiales se introducen a los secadores rotatorios por la parte superior, donde por medio de gases calientes (suministrados por la parte inferior) son secados. Una vez triturados y secos la caliza y el barro se incorporan, dosificándolos adecuadamente con básculas automáticas. Esta mezcla pasa a unos molinos tu bulares para ayudar a pulverizar los materiales. Existe un sistema de clasificación en la molienda

14

Tig. 1.2

Proceso seco seco para para la fabricación del cemento.

15  por  por tam ama año de ma mate ter ria ial l qu que e sa sale le de del l mo moli lino no co con n el fin de que uela parte final pueda continuar al siguiente paso y el grueso regrese al molino; esta clasificación se efectúa por por decantación y separación por medio de aire (separadores de aire). Cuando el material sale de los molinos se envía a los silos de homogenización, donde, como el nombre lo indica, se homoge_ iniza y se almacena, de manera que la báscula alimentadora  pue  pueda pr prop opor orci cio ona nar r (p (por or me medi dio o de un una a bo bomb mba a ne neum umát átic ica a) al ho horn rno o una mezcla de características apropiadas. Posteriormente se enfría esta mezcla por medio del contacto con el aire; después pasa a las básculas a limentadoras que proporcionan la mezcla y el yeso requerido por el  mol  m olin ino o de de cem cemen ento to don onde de se ob obti tien ene e la la fin finur ura a nec nece esa sari ria a lo lo - cual depende del tipo de cemento deseado. Este cemento es almacenado y envasado para su distribución. ii).- Vnoctio húmtdo. La diferencia entre éste y el  pro  p roc ces eso o sec seco radi radica ca en en que que la ar arci cill lla a no no es tot tota alm lmen ente te tri tritu tu rada, sino que se descarga una parte en un molino de rastri llos que la desmenuza y mezcla con agua, produciendo una mez cla con la parte de arcilla triturada previamente, para pasar  po  p oster erio ior rmente a los molinos de crudo. Ya que la evaporación del agua de esta mezcl?. represen ta un mayor consumo de combustible, este .método es poco usado. Las principales variables a controlar involucradas en este tipo de proceso son: humedad de las materias primas, ta maño  maño de la las s pa part rtíc ícul ulas as mo moli lida das, s, la pr prop opor orci ción ón ex exac acta ta de ca cada da  mezc  mezcla la, , la te temp mpe era ratu tura ra de los hor orno nos s y el pe pes so de los sa sac cos que contienen el producto final.  b)  b ).- Refinación de petró róle leo o. El petróleo crudo es una combinación de hidrocar buro  buros s co con n pe peso sos s mo mole lecu cula lare res s di dive vers rsos os. . En Entr tre e lo los s co comp mpon onen ente tes s  prin  princi cip pale les s de del l pet etró róle leo o se tie ien nen: ca carb rbon ono o, hi hid dró róge geno no, , ox oxí íge_ no, nitrógeno, azufre y diferentes tipos de sales. El procedimiento del tratamiento del petróleo se-

16

17

ilustra en la Fig. 1.3, en donde se observan las diferentes etapas del proceso. El petróleo se extrae del interior de la tierra  mediante pozos y se envía a la refinería para ser almacenado y transformado. La separación de los hidrocarburos que for- man el petróleo crudo se hace mediante columnas de destila- cifin, aprovechando las diferencias de volatilidad que tienen los diversos componentes. El procedimiento consiste en calen tar el petróleo crudo a una temperatura tal que los componentes ligeros se evaporan y posteriormente se condensan los ni-, drocarburos evaporados. La condensación se efectúa a diferen tes temperaturas ya que los hidrocarburos más volátiles se condensan a menor temperatura que los menos volátiles. De es_ ta manera se obtienen distintas sustancias condensadas cuyas  propiedades corresponden a la del gas licuado, gasolina, kero_ sene o combustible diesel. Para obtener nuevos productos, o bien mayor pureza de los ya obtenidos, se repite el procedimiento empleando otras columnas de destilación o alambiques purificadores. Las principales variables a controlar en este ti  po de procesos son: la presión y flujo en el oleoducto; la temperatura, flujo de entrada y presión en las columnas de -destilación; la temperatura y la concentración de los produc tos obtenidos.

c). -

Fabricación del papel.

El método que a continuación se describe para lafabricación del papel es el usado para el caso de papel higie nico y papel de oficina, o sea donde la materia prima princi  pal es el bagazo de caña proveniente de los ingenios azucare ros . El proceso es descrito con base en cuatro grandes áreas de la fabricación las cuales son: acondicionamiento,  pulpa, blanqueo y máquinas de papel, tal como se muestra en -

18

Fig. l . M . Proceso de la rabricaci6n del papel.

19

la figura 1.4. El área de acondicionamiento, o primer paso, co -rresponde a la fase en que el bagazo es preparado para obtener un desmedulado y poder separar la fibra que es el material que nos interesa. En esta parte las pacas de bagazo provenientes de los ingenios son suministrados al proceso, a lo largo del cual se les extrae toda clase de impurezas, tales como: alam bres, piedras, tierra, etc. Se efectúa también la separación de fibras largas y fibras cortas; estas últimas son las útiles  para la producción. La sección mecánica correspondiente está formada por bandas transportadoras, trampas magnéticas, tolvas, tanques de retención, tanques de mezcla, gusanos separadores de fibra, hidrolimpias, etc. Por tanto es fácil observar que las principales va riables a controlar serán: velocidad, flujo, nivel y consis tencia. Una vez obtenida la fibra útil pasa a la parte de impregnación donde se le añade sosa cáustica y vapor a presión con el objeto de empezar el cocimiento que se efectuará en la iíc.c¿6n pulpa; aquí la fibra es molida y tratada nuevamente -con sosa hasta obtener la llamada  pulpa molino, que después de ser lavada en las ¿avado KCL ¿ di ¿o¿a, será enviada hacia la ¿ec_ c¿6n de blanquzo. En esta sección de pulpa se tienen digestores, pren sas, transportadores y diferentes tanques intermedios entre -cada paso. Las variables más importantes a controlar en esta  parte son: consistencia de la fibra, temperatura en los diges_ tores, cantidad de sosa alimentada y tiempos de reacción y -cocimiento. Una vez que la fibra tiene el cocimiento y tamaño requeridos es depurada y lavada para entrar a la sección de - blanqueo, donde el primer paso es el de regular la consistencia para posteriormente pasar a las reacciones de cloración, extracción cáustica e hipocloración, que tienen como función  blanquear la pulpa y extraer cualquier residuo de sosa e impu-

20 rezas que aún pueda contener. Después de la reacción con elhipoclorito de sodio (aquí es muy importante el control del PH y de la temperatura para no degradar mucho la pulpa) la  pulpa es lavada y enviada a las máquinas de papel. En las máquinas de papel la pulpa es mezclada con colorantes, otro tipo de fibras (fibra larga, pasta mecánica) y compuestos químicos (sulfito, sulfato de aluminio) que darán al papel las características deseadas. De acuerdo con el diagrama de flujo de este proce so tenemos: obtenidos los componentes en el tanque de mezcl», la pasta es mandada al tanque de máquina donde se deberá mante_ ner un nivel constante para que nunca falte pasta a la  máquina De aquí se envía a un silo que es un tanque donde se  baja la -consistencia hasta obtener una pasta casi completa mente líquida. Del silo pasa a un selector donde se eliminan las impurezas y se alimenta con la pasta pura resultante a la caja de entrada, la cual distribuye pasta a una mesa de información en donde, por medio de una tela metálica, se extrae parte del agua y se forma la hoja de papel. Ya formada la hoja de papel se lleva a través de -un paso de filtrado donde se le extrae otra parte de agua y se envía a los rodillos secadores o  yankee donde se seca por  medio de un vapor y aire caliente, para pasar finalmente al en-Las variables más importantes involucradas en este  proceso son: P.H., nivel, velocidad, flujo y presión de va por. 1.4.- RELACIÓN ENTRE EL CONTROL Y LOS PROCESOS INDUSTRIALES. La necesidad de ajustar adecuadamente los procesos industriales, repetirlos en forma continua y reducir sus erro-res, ha obligado a los ingenieros a desarrollar una tecnología especializada en cuanto a instrumentación y control de  procesos Este desarrollo se presentó primeramente en cuanto a mediciones, después a registro y finalmente al control.

21 Las mediciones en la industria juegan un papel bá sico; sin embargo, la experiencia ha demostrado que por sí solas son insuficientes para mejorar el costo del proceso, dar mayor uniformidad a la producción y aumentar la calidad de los productos; Debido a esto fue necesario desarrollar la técnica del control automático, la cual h a producido una gran revolución industrial. Para poder estudiar un proceso industrial en particular, es necesario descomponerlo en una serie de operaciones básicas, por ejemplo calentamiento, trituración, transpoj_ te, etc. Esto es posible hacerlo siempre y cuando el tiempo que se requiere para realizar cada una de estas operaciones sea muy pequeño en comparación con el tiempo del proceso to-tal. Por otra parte, el especialista en instrumentación y control debe estar consciente de que su labor forma parte -de una acción interdisciplinaria, pues en la actualidad es muy difícil que una sola persona domine todos los campos del saber. Sin embargo el Ingeniero en Control debe tener nociones generales de los principios físicos y químicos implícitos en cada una de las etapas del proceso. Tendremos entonces que el control automático será la operación de llevar una o más variables a su punto óptimo de trabajo y mantener toda la operación ajustada a los valores prefijados, cualesquiera que sean los cambios que en ella se produzcan. Para realizar esta operación es necesario cono cer los hechos que ocurren en el proceso y que interesan para poderlo controrlar. Para cuantificarlos se requiere evaluar variables tales como temperatura, presión, conductibilidad, etc. Estas señales deben ser captadas y transformadas en mag nitudes que se pueden medir, transmitir y, si es necesario, amplificar, para su mejor manejo y utilización posterior. La parte del control dedicada a este estudio se denomina Instrumentación Industrial

22 Una vez que se ha determinado la magnitud de la variable que se desea controlar, se debe comparar con el valor deseado y, si existe una discrepancia, se debe ajustar la energía suministrada al proceso, de tal manera que corrija la desviación existente. Esta operación se puede hacer en forma manual, con la presencia de un operario, o en forma automática mediante un dispositivo que se denomina controlado i, Si se tiene un proceso con una variable de entrada y una variable de salida y se desea controlar esta última mediante un controlador, se tendrá un sistema como el mostrado en la figura 1.5.

(Variable manipulada) Fig- 1.5

Sistema de control de nivel.

En este proceso la variable a controlar es el nivel del líquido contenido en el tanque, lo cual se realizará de la siguiente manera: Por medio del transmisor neumático son detectadas y

23

transmitidas al controlador las variaciones de la variable a controlar. Este controlador está compuesto por dos elementos: un comparador, por medio del cual se compara la señal detectada con la señal equivalente al valor deseado de nivel, produ ciendo la señal de error; y un amplificador picado i, el cual amplifica la señal de error para finalmente aplicarla al actuado i. El actuador es una válvula neumática por medio de la cual se corregirá el error en nivel, ya sea aumentando o disminuyendo el flujo de salida según sea necesario para mante_ ner el nivel deseado. Subordinada a la forma en que el amplificador -del controlador corrige las desviaciones, la operación de éste se clasifica en: a). De dos posiciones (SI-NO) 6 (TODO-NADA). b). Proporcional (P) c). Integral (I) d). Combinada (PI, PD, PID). La operación es SI-NO cuando la señal correctora sólo puede tener dos valores iguales y de signo contrario. La acción será proporcional, integral o derivativa cuando la se nal correctora sea un valor proporcional, integral o derivativo de la señal de error e(t). De acuerdo con el medio que se use para operar el controlador, éste se puede clasificar en: a). Mecánico  b ) . N e um á ti c o

c). Eléctrico d) . Electrónico e) . Hidráulico f). Combinado

(electro-neumático, etc.)

24

C A P I T U L O

2 CONTROLADORES

2.1.-

CONTROLADOR DE DOS POSICIONES

2.2.- CONTROLADOR DE ACCIÓN PROPORCIONAL (P) 2.3.-CONTROLADOR DE ACCIÓN INTEGRAL (I) 2.4.-CONTROLADORES DE DOS MODOS.

a).- Acción PI . 2.5.-

b).- Acción PD

CONTROLADOR DE TRES MODOS CPID)

2.6.- FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA DE LOS CONTROLADORES

PROBLEMAS BIBLIOGRAFÍA 

25

En este capítulo se pretende analizar los contro_ ladores de mayor uso en los procesos sin entrar en detalles de construcción de dichos controladores. !-sto último se hará en el capítulo 6. Aquí se considerará al controlador como --una caja negra en la que sólo importan las relaciones entre -las señales de entrada y salida. Los controladores comercia. les más usuales son del tipo neumático o bien de tipo electrico. En los primeros se usa aire a presión como suministro y las señales de entrada y salida son presiones de aire; en los segundos el suministro y las señales de entrada y salida-son de naturaleza eléctrica. Orgánicamente el controlador se subdivide en dos grandes partes: un mecanismo o dispositivo de comparación que resta, de la señal de valor deseado, la señal recibida desde el transmisor, V , la cual es una indicación del valor de la variable de salida del proceso, 6 : la diferencia constituye la señal de error del sistema, la cual es proporcional a la verdadera diferencia.

En general:

El valor deseado de la señal del transmisor, V, (set-point), puede fijarse a voluntad en el controlador por rne dio de una perilla. La igualdad en cuestión es de gran importancia en el análisis del control de procesos. ?

:

26 La segunda parte la constituye la unidad de con trol en sí; la cual recibe la señal de error producida para, finalmente, dar como salida una i&ñal de contiol, la cual es aplicada al elemento de acción final, el actuado i, el que pro ducirá una señal de actuación que a su vez alterará el valor de la vatiablz man¿pu¿ada del proceso. Todos los controladores además de presentar un tipo de acción específico (TODO-NADA, P, I, PD, PI, PID) ,  pre_ sentan al mismo tiempo otro tipo de característica que depende de la relación existente entre la señal de medición y la -señal de control. Esta acción puede ser: diKzcta, cuando un aumento en la señal de medición produce un aumento en la señal de control o invzK&a cuando una disminución en la señal de medición produce un aumento en la señal de control. 2.1.- CONTROLADOR DE 2 POSICIONES. Cuando se emplea control de 2 posiciones en un pro_ ceso, el elemento de acción final adopta una de solamente dos  posiciones posibles. Por ejemplo: una válvula de control esta rá completamente abierta o completamente cerrada; para que tal cosa suceda el actuador de dicha válvula debe recibir sólo dos valores diferentes de presión, lo cual implica que la salida -del controlador sea, o la mínima presión posible, o la máxima. Se dice entonces que el controlador es de dos posiciones o de T0V0-NAVA. El control de dos posiciones es muy usado en siste  mas industriales y domésticos pues es muy sencillo y económico. Si se llama u(t) a la señal de control, y la señal de error es e(t), la característica de operación del controlador se da en la figura 2.1. Como se aprecia en la figura 2.1, la señal de control sólo adopta dos valores constantes: Uj6 U 2 de acuerdo con lo Siguiente:

27

Figura 2.1.-Característica de un controlador de dos posiciones

Lo cual podemos interpretar de la siguiente inaneSi la señal e(t) es mayor o igual que el valor 0, la señal de control asumirá el valor 1), a través de toda la re gión II hasta que e(t) sea igual a e 2, donde tomará el valor -U2, manteniéndose dicho valor en la región II hasta que e(t) -sea igual a e,, a partir de lo cual se iniciará el siguiente cocío.  Ahora bien, si e(t) es menor o igual a e t, superfial de control asumirá el valor U 2 hasta que e(t) sea igual a e., con lo cual tomará el valor Uj, repitiéndose la secuencia descrita en el párrafo anterior. Esta operación cíclica es inherente a todos los controladoros de dos posiciones. La distancia existente entre ex  y e2 se conoce como zona  muerta o claro diferencial, el cual es fijado de acuerdo con las características del proceso y con la frecuencia de Operaciones deseada del equipo a utilizar. Es evidente que si se aumenta el ancho de zona -  muerta, aumentará el período del ciclo de operación, ya que el tiempo necesario para cambiar de posición será mayor.

28 Por medio del ejemplo siguiente daremos una explicacién más objetiva del comportamiento de este tipo de -controlador. Ejemplo 2.1. Por medio del sistema mostrado en la Fig .2 .2 se desea controlar el nivel del tanque a 5 decímetros, permitiendo que suba hasta 5.5 y baje hasta 4.5 decímetros. El transmisor neumático está calibrado para un rango de 0 a 8 decímetros y la relación entre su señal de entrada (nivel) y de salida (presión del transmisor, Pt) es pro porcionada en la TABLA 2.A. La válvula neumática requiere que el controlador le proporcione 1S PSI para abrir totalmente (presentando unaresistencia hidráulica al flujo de 0.1 seg/dm ) y 3 PSI para cerrar completamente. ¿Es aconsejable el uso de un controlador de dosposiciones para cumplir los requisitos del sistema?¿Por qué?

Tabla

2.A

Como se puede observar en la Fig.2.2, cuando elr nivel alcanza el valor N, el controlador on.de.na abrir la -válvula en tal forma que el nivel disminuirá hasta tomar el valor Nj donde el controlador ondínaní cerrar la válvula para que el nivel empiece a subir hasta llegar, nuevamente al ni_ vel N , donde se iniciará un nuevo ciclo.

29

Figura 2. 2.-Control de nivel mediante un-

controlador de dos posiciones

Ya que la válvula cuando abre presenta una rpsii_ tencia hidráulica constante, el flujo de salida dependerá solamente del nivel, teniéndose por tanto que:

31

31

T =4 segundos En la Fig. 2.3 se gráfica la característica (a) señal de con trol contra variable de interés y (b) variable de interés con tra el tiempo.

Figura 2. 3. -Respuesta de nivel para control TODO-NADA Como podemos observar en este caso, el control de dos posiciones no es aconsejable pues el período de operación del equipo sería de sólo 10.12 segundos lo que originaría un deterioro muy rápido de la válvula. Una válvula que -actuara estrangulando el flujo de manera proporcional daría -mejor resultado. El control de dos posiciones es útil cuando la capacidad del sistema es mucho muy grande para el tipo de perturbación que sufre. Imagínese que en el problema anterior el área fuese 10 veces mayor, es decir una capacidad 10 veces mayor; entonces los tiempos de subida y de descenso serían 10 veces mayores y posiblemente el control de 2 posiciones resultara favorable. 2.2.-

CONTROLADOR DE ACCIÓN PROPORCIONAL .(P) Este tipo de controlador proporciona una salidaque cambia proporcionalmente con el error del sistema es de--

32

En la ecuación (2.8),u(t) son las variacionesde la salida del controlador alrededor de una salida llamada nominal que puede ser seleccionada de acuerdo ron las condi ciones del proceso. El término K recibe el nombre de ganan_ cía proporcional o ganancia. Puesto

eme:

si la acción del controlador es directa, un aumento en la nal de medición debe producir un aumento en la señal de con trol y por lo tanto: Ahora bien, si es de acción inversa, una disminución en laseñal de medición debe producir un aumento en la señal de - control por lo cual: Es evidente que al emplear acción directa un aumento en la señal de error produce una disminución en la señal de con -trol, mientras que con acción inversa un aumento de la señal de error produce un aumento en la señal de control. Normalmente los controladores viene- con una es cala de banda proporcional para ajustar la ganancia permitid por el controlador. Si la banda proporcional es alta, el co trolador proporciona muy poca ganancia y viceversa. El vale de banda proporcional se expresa en porciento; este es igual al porciento de variación de la señal de medición que origin que la salida del controlador cambie en todo su rango. Supó gase que el transmisor manda una señal que corresponde a un valor de temperatura entre 200°C. y 400°C. Si un cambio de40°C hace que el controlador cambie su salida de 3 psi a 15 psi, se deduce que el valor de la B.P. es de 20t, pues 40°C es el 20» de (400-200)°C.

33 En la figura 2.4 se ilustran los casos para dife_ rentes valores de B.P.

De la figura 2.4 se deduce que si la BP oí igual a 1001, una variación de 100% de la medición origina una v^ria_ ción de 100% en la salida. Obsérvese que las líneas se cortan siempre en el mismo punto y esto sucede porque la temperatura deseada es de 300°C (la perilla de valor deseado está al 501) y se sabe que si se mandan 9psi a la válvula se mantendrá el valor de tempe-' ratura , por lo cual el controlador es previamente alineado para producir 9psi. Pero puede suceder que la presión de salida nominal sea diferente de 9psi; entonces se alinea el controlador para producir otra presión diferente y las líneas de la -característica se cortarán en otro punto, manteniendo su pendiente. De la misma gráfica se deduce que la ganancia aumenta al disminuir el valor de BP. En el caso límite en el que la -línea es casi tvertical, BP= o) la ganancia es infinita y el con^ trolador se comporta como uno de dos posiciones, sin zona muer_ El control de procesos mediante acción proporcional es

-

1

-

■

,

34

-

-

..

 muy común, aunque siempre presenta un error en estado permanente como se muestra en el ejemplo 2.2. La ganancia Kc puede ser expresada en diferentes un¿ dades,escencialmente existen dos modos distintos para encontrar su valor y sus dimensiones, lo cual depende de la relación exis_ tente entre el transmisor y el controlador; estos modos se des criben a continuación. a).- Cuando la señal del transmisor y la señal de control tienen las mismas dimensiones, el valor de K viene dado por la relación:

debido a que la señal de medición y la señal de control tienen unidades de presión neumática.  b).- Cuando la señal del tranmisor tiene dimensiones diferentes a las de la señal de control,el valor de K estará dado por el cociente de la variación de la señal de control entre la variación de la variable medida. Ejemplo; en un proceso la variable medida varía de 250°a 3S0°C, originando un cambio de 12 PSI en la salida del -controlador; por lo tanto el valor de K será:

Una cantidad equivalente de ganancia es el término sensitividad que viene dado en psi/pulg. Por lo general la sa_ lida de un transmisor también se aplica a un graficador que pue de ser circular, con una carrera de la pluma de 4 pulgadas, o  bien puede ser una tira recta de papel que se mueve verticalmen te mientras la pluma deja un rastro con el valor de la variable  medida; en este caso el ancho de la escala es de 4 pulgadas. Como 12 psi de variación de salida del transmisor origina 4pulg.

de desplazamiento, una variación de una psi originará 1/3 pulg. de donde si la ganancia es, digamos, de 2 la sensitividad será de 2/1/3 = 6 psi/pulg. En algunos casos el controlador son considerados como una sola unidad con el configuración de retroalimentación unitaria. de la ganancia del controlador es:

y el transmisor fin de obtener una Cuando esto suce

Ejemplo 2.2.Se desea controlar el sistema dado anteriormente -sustituyendo el controlador por uno con acción proporcional.  Mientras se buscaba el segundo controlador, se hicieron pruebas  manualmente en el sistema, encontrándose los valores de equilir  brio dados en la siguiente tabla.

a).- Si el flujo nominal es de 25 Its/seg y se desea mantener un nivel nominal de S decímetros se pregunta cuáles deben ser los valores de valor deseado y d e salida nominal del controlador para no tener error cuando él flujo sea-el mencionado. b) . - Si el valor de la banda proporcional es de 2 51 se desea saber cuál será la presión de la válvula y el nivel en -estado permanente si el flujo de entrada aumenta a 29.2 Its/seg. Solución-

a).- En la tabla se observa que la presión de salida del con-trolador debe ser nominalmente igual a 9 psi , lo que implica que el controlador debe ser alineado a 9 psi cuando el valor deseado equivalga al valor nominal de nivel. Puesto que el transmisor tiene un alcance de 8 decímetros cuando envía la señal aue equivale a 5 decímetros enviará 10.S psi, lo que equivale a un 62.51 de su escala. Así es que el valor deseado, set point, debe ser de 62,51 b).- Pudiera pensarse (véase la tabla) que si la presión de la válvula aumentase a 10 psi, se abrirá lo suficiente para dejar salir 29.2 Its/seg, manteniendo el nivel a los 5 de_ címetros deseados. Pero, recuérdese, el controlador proporcional necesita que se produzca una señal de error pej_ manente para aumentar su salida en estado permanente, de donde se deduce que es imposible que aumente su presión a 10 psi si no aumenta la señal del transmisor, es decir, si no existe un error de nivel. Se infiere, por ende, -que es necesario que se produzca un error estático de nivel para que el controlador haga la corrección mediante el aumento de flujo que sale. Es posible calcular el nivel final, al igual que la pre-sión de la válvula después del cambio, mediante los siguientes razonamientos: Pueden superponerse los efectos del aumento del -flujo de entrada y el aumento del flujo de salida fdebido al control) sobre el nivel del tanque.

37

Tomando una aproximación lineal en el punto de operación, se tiene: haciendo uso de la Tabla 2.B podemos calcular la variación de nivel con respecto al flujo de entrada,

y puesto que la relación existente entre la presión del transmisor y el nivel está dada por la Tabla 2.A, la cual es una r£ lación lineal que podemos representar por medio de la siguiente ecuación:

Por lo tanto podemos decir que el aumento de nivel debido al -

Puesto que se tiene un nuevo equilibrio, el flujo de salida ha aumentado 29.1 - 25 - 4.2 lts/seg. Puede obtenerse el aumento de flujo de salida debido al --

del flujo total; el restante 101 es proporcionado por el efecto autoregulador del tanque que hace aumentar el flujo de salida al aumentar el nivel. El problema fue resuelto a base de consideraciones de estado permanente, ignorando su comportamiento dinámico y suponiendo un comportamiento estable. En los siguientes capl^ tulos se dará énfasis al análisis de estas dos últimas cuestio nes. 2.3.- CONTROLADOR DE ACCIÓN INTEGRAL (I) Cuando se desea eliminar el error permanente sue lé usarse acción integral. En este tipo de acción la variación-de la salida del controlador es proporcional a la integral del-

39

error con respecto al tiempo, lo cual podemos representar Fiate-

s

Como es bien sabido, la salida de un integrador puede ser diferente de cero aunque la señal de entrada llegue--a ser cero; esta característica es aprovechada para hacer que . el controlador produzca una señal de corrección en estado perma_ nente siendo el error igual a cero. Como la salida de] controlador queda flotando, este tipo de control se le denomina control flotante y puede usarse en procesos dominados por tiempo muerto (véase el capítulo 5). Normalmente este tipo de control puede originar oscilaciones peligrosas, por lo que generalmente se acompaña de acción proporcional. 2.4.- CONTROLADORES DE 2 MODOS. En este tipo de controlador torna dos tipos de ac . ción: una de ellas es proporcional a la magnitud del error y }q otra es proporcional a la integral del error o a la derivada -con respecto al tiempo del mismo. a).- Controladores de acción P.I . La acción de este controlador consta de dos partes; las cuales son: Acción total = acción proporcional + acción inte-. gral cuya señal de salida viene dada por:

40

e(t) = error del sistema. Si a un controlador fuera de proceso con acción PI, se le aplica una señal constante de error, e, la salida será:

Nótese que la salida asume inmediatamente un valor igual a K e, que corresponde a la acción proporcional; a dicho valor se le empieza a aumentar el término correspondiente a laacción- integral , Cuando ha transcurrido un tiempo igual a T. , el término -de la acción integral es igual al de la acción proporcional. Se dice entonces,que la acción integral ha repetido la acción pro_ porcional. Por esta razón a T. se le llama mintitoi pal Kzpztl-c-ión o ¿e.gundo¿ pon. nzpit¿c¿6n y la escala de T. viene calibra_ da con dicha leyenda. Algunos fabricantes calibran la escala-de acción integral con el valor recíproco de T. , llamándole KÍ - pz.tic.JLon.ii,  pon. minuto. Ejemplo 2.3 A un controlador electrónico con salida entre 4 y 20 mA. se aplica una corriente de entrada de 12 mA, colocándose la perilla de valor deseado a un valor correspondiente a 12 mA, de tal manera que él error sea cero. Se alinea el controlador para que produzca una corriente de salida de 12mA. Mientras se mantengan fijos la entrada de corriente y el valor deseado no variará la salida. ¿Cuál será la salida del controlador si la corriente de entrada aumenta a 14 mA y se mantiene ahí, y si la BP es igual a 1001 y T.= 2 minutos por repetición? Solución:

Suponiendo que la acción es directa, un aumento en la corriente de entrada producirá un aumento en la corriente de salida. Como en este caso la BP es de 100% un aumento.de 2 mA., en la entrada produce un aumento instantáneo de 2 mA en la salida, la cual aumentará paulatinamente repitiéndose cada 2 minutos según muestra la gráfica de la figura 2.S. El controlador se saturará 6  minutos después de aplicada la entrada hasta su valor  máximo de 20 mA.

41

lo cual nos representa una recta de pendiente unitaria, que se inicia con un valor de 2 mA. a partir del valor nominal de co rriente de salida del controlador.

Fig.1.5 Respuesta a un escalón del controla-dor PI

 42 La forma de control proporcional integral c ombina los efectos de las dos acciones para hacer que la respuesta -del sistema a las perturbaciones satisfaga los requerimientos tanto de velocidad como de exactitud. La acción proporcional tiene por objeto dar estabilidad y evitar un gran sohrepaso inicial mientras que la acción integral tiene como fin el im inar el error estático. La necesidad de añadir acción integral depende de la naturaleza del proceso y de la exactitud de control deseada. Los métodos para seleccionar el tipo de controlador a usar serán estudiados en el capítulo 5. Satan,ac¿6n de.1 ContKoladon. VI, Una desventaja del controlador PI es su tendencia a saturarse si se usa en procesos discontinuos (Reset windup), Cuando el proceso es detenido, generalmente cerrando una válvu la manual, la variable medida cambia grandemente de valor haciendo que el controlador detecte un gran error el cual es integrado llevando al controlador a saturación, abriendo completamente la válvula de control en un esfuerzo inútil por corregir el error. Cuando el proceso de arranca de nuevo, existirá un gran sobrepaso pues el controlador seguirá saturado hasta que el valor de la variable alcance el punto de valor deseado, En el Capítulo 6 se discutirá esto con mayor detalle. Acción integral limitada. El comportamiento de un controlador PI no es exac_ tamente como lo describe la ecuación (2.12) sino que presenta el fenómeno de acción integral limitada, como se verá en el ca_  pítulo 6.

b). – Controlador de acción PD. Este controlador combina las acciones proporcio-nal y derivativa, según la siguiente ecuación:

En la figura 2.6 se dan las funciones e(t) y uft). El salto inicial se debe a la acción tomada por la parte derivativa y la pendiente es veces la pendiente de la entrada.

Figura 2.6.-Respuesta del controlador FD (a)Señal de error,(b)señal de control. Obsérvese que la salida se parece a la acción que tomaría un controlador proporcional solo, si un error en ram pa empezará T Q unidades de tiempo antes; por esta razón a la -acción derivativa se le llama ant¿c¿patoK¿a. Como se verá más adelante, el controlador PD tiene menos aplicaciones que el --controlador PI, pues no siempre la adición de acción derivati» va mejora la respuesta del proceso. La acción derivativa produce un gran efecto estabilizador, permitiendo que se use un valor mayor de ganancia, lo que redunda en un valor menor de -. error estático final. Al igual que el controlador PI, el controlador PD no se comporta exactamente como en la ec.C2.18] se ' .

"

*

indica, sino que tiene asociado un retardo de primer orden, conociéndose tal hecho como azci6n dznívatlva ¿¿matada. Con el fin de eliminar el peligro de un cambio brusco en el valor deseado, algunos controladores generan la acción derivativa en la señal de medición, justamente antes del punto de comparación, o bien el transmisor cuenta con aditamentos que producen dicha -acción. E j e m p l o 2 . 4 Un proceso es controlado manualmente de modo que la temperatura controlada aumente uniformemente a razón'de 3 grados centígrados por minuto, segfin muestra la figura 2.7(a). La señal de control producida automáticamente se muestra en la figura 5.7(b) (Nota: La señal de control automática no se - aplica al actuador, pero es utilizada para compararla con la se_ flal de control producida manualmente). Se desea saber cuál es el valor de BP y de T_, si se conoce que el rango del transmi^* sor cubre 20°cent£grados. fig.2.7 Controla ior Proporcional nás Derivativo.

.

. t

~

-

'

"  ■

.

'

"

"

*

Se infiere del tipo de respuesta que el controlador es del tipo PD, con un valor deseado de 1 0 c C y una salida nominal de 9 psi. La pendiente de la señal de control es igual a 0.6 psi/minutos; y puesto que el transmisor tiene una ganancia de 12/20 = 0.6 psi/°C, la pendiente de la señal trans_ currida es (0.6)»(3)= 1.8 psi/min. De acuerdo con la figura 2.6 la razón de las pendientes es el valor de K ;

Cuando un controlador se usa para producir las tres acciones, los parámetros efectivos presentados son diferentes de los indicados por las perillas de selección, pues existe un factor de interacción que depende de los valores de los tiempos seleccionados. En el Capítulo 6 se abunda en este tópico. 2.6.-

FUNCIONES DE TRANSFERENCIA DE LOS CDNTRDLADORES. La función de transferencia de un sistema nos define la relación existente entre la variación de su señal de salida y la variación de su señal de entrada, en función de la fre--

46

cuencia. En un controlador dicha función de transferencia r presenta la relación existente entre las variaciones de la s nal de control y el error del sistema; por lo tanto, transfo mando por Laplace las ecuaciones (2.8),(2.18) y (2.20), teñe mos que: a).- Controlador proporcional:

PROBLEMAS.

b) Cuando el controlador detecta un nivel de 10 metros, de subida, manda abrir la válvula pero ésta tarda 4 segundos en abrir; cuando detecta 9 metros, de bajada, manda cerrar pero también la válvula se retarda 4 segundos. Calcule niveles máximo y mínimo, asi como --los tiempos de subida y bajada. La válvula del siguiente sistema deia pasar 600 litros por minuto cuando abre, de una solución de pasta aue es--

Figura P2.2

El área de li sección transversal del tanque, A, puede conside_ rarse constante e igual a 6 metros cuadrados. a) Si se usa control de 2 posiciones para controlar el nivel y si el ancho de la zona muerta se elige igual a 40 centímetros.

48 ¿Cuánto tiempo tomará un ciclo de control completo, i) si f = 2.5 RPM ii) si f = 4 PP"?

 b)

Si se usa control proporcional para mantener el nivel deseado cuando f = 3 RP M, se necesita mandar 9 psi a la vál_ vula para que abra la mitad y proporcione el flujo nomir-

nal.

Si se tiene un rango del transmisor de 100 centímetros y una banda proporcional de 100% ¿Cuál será el •» error estático de nivel s.i la velocidad del tambor aumenta a 3.5 RPM? Suponga que el sistema es estable. ¿Cuál será la presión producida por el controlador? 3.- a) Resuelva el ejemplo 2.2 si: i) BP = SOI y ii)BP = 100%. Note el efecto de la ganancia proporcional sobre el error final.  b) ¿Qué sucede si en el sistema se efectúa un cambio de valor deseado a 4.5 decímetros, estando el sistema en sus valores normales? 4.- En el sistema del problema 2 discuta la posibilidad de TT usar control flotante Cocción integral solamente) y de-  muestre, por.razonamientos físicos, que dicho control ori^ gina oscilaciones sostenidas. Considere que la respuesta del transmisor y la válvula es instantánea. 5.- Después que se ha saturado el controlador del ejemplo 2.3 se aplica un cambio al valor deseado y éste cambia a 16mA Dibuje la respuesta del controlador. 6.- A un controlador PID que presenta valores efectivos de -BP» 501, T." 1 minuto por repetición y T n » 0.5 minutos se le aplica la siguiente forma de error. e(t),mA

¡

49 Si el rango del transmisor y controlador es de 10 a 50 miliamperes y la salida inicial de éste es de 30 mi 1 i amperes , dibuje la salida del controlador indicando los valores de las variaciones de la salida y valor total de la misma. Suponga que el controlador es de acción inversa. 2.7.- Un controlador se retroalimenta conectando la salida a- la entrada de la corriente de medición. Al hacerlo se obtienen los valores dados en la siguiente figura.

Si el valor deseado, Id, se aumenta repentinamente a 40 mAi

¿Cuál será la función de transferencia del controlado?. 8 lv corriente de salida, Ic, es la dada por la figura a)? ¿Para los otros 3 casos?

50

BIBLIOGRAFÍA.

51

C A P I T U L O

3

ANÁLISIS DE PPnCESOS SENCILLOS Modelo Matemático 3.1.-

PROCESOS CON TIEMPO MUERTO

3.2.-

PROCESOS SOLO CAPACITIVOS

3.3.-.

PROCESOS DE PRIMER ORDEN Balance de masa

3.4.3.I,3.6.-

PROCESOS NEUMÁTICOS PROCESOS TÉRMICOS PROCESOS CON EFECTOS DISTRIBUIDOS. PROBLEMAS I

BIBLIOGRAFÍA

52

MODELO MATEMÁTICO

Parte importante en la formación de un ingeniero en controlautomático es el estudio de la naturaleza de los procesos; pues si bien la teoría de control automático es una sola y sus principios deben aplicarse en todos los casos, existen diferencias muy marcadas en los diferentes tipos de sistemas a controlar: por un lado se tienen aquellos sistemas catal£ gados como servomecanismos (sistemas de rastreo, posicionado_ res mecánicos, control de velocidad y fuerza, etc) , con sus características muy propias y, por el otro lado, toda la gama de procesos químicos conocidos como operaciones unitarias (destilación, reactores catalíticos, mezclado, control de -flujo y nivel, etc.) con características muy cambiantes de uno a otro lado. En los servosistemas el problema principal en la mayoría de los casos, es el de seguir una consigna cam biantella velocidad de respuesta, el sobrepaso y los tiempos de alcance y asentamiento son las especificaciones a satisfa cer mayormente usadas. En los procesos de la industria química el problema principal es el de regulación (la señal de valor deseado -set point- no varía sino raras veces). Por otra parte, las especificaciones usadas en servosistemas no pueden aplicarse tan fácilmente al control de procesos, pues los mismos están casi siempre acoplados entre sí, formando redes muy complejas. Es muy frecuente que en un proceso industrial existan bucles de control para dos o más variables en un mismo punto, lo cual hace muy complejo todo el siste-ma, y sucede que dos o más controles  pe.te.tn entre si, Las características particulares de cada proceso hacen que la estrategia de control usada para controlar cada uno de ellos sea muy especial; por lo tanto se impone el cono>-cer el comportamiento cualitativo y cuantitativo de todo pro ceso a controlar. Se tiene la creencia errónea que el ing£ niero de control debe aceptar el proceso como una cosa dada y de ahí partir para diseñar el bucle de control; si se sigue este procedimiento, el control resultante, aun en el mejor de los casos, puede resultar insatisfactorio. Es más --

53

aconsejable ver qué cambios pueden hacerse al proceso paraaumentar la susceptibilidad de control, sin ello alterar  mucho la función primordial del mismo. El primer paso para encontrar el modelo matemático de un proceso es conocer cuáles leyes fundamentales se encuentran implicadas en el mismo. El segundo paso importante es aplicar el concepto general de circuito entre las diferentes  partes del proceso, para encontrar las ecuaciones que consti^ tuyen el modelo matemático del mismo. Generalmente el ingeniero, al hacer suposiciones, debe proceder de tal manera -que el modelo resultante sea sencillo; por ejemplo, ¿¿mal y conc.in.tn.ado; para tal efecto debe linealizarse y despre- -ciar e.$e.cto¿ d¿6ti¿.ba¿doi, pues si se pretende construir un modelo demasiado exacto, su complejidad lo haría inmanejable y su utilidad sería escasa o nula. Por otro lado, si el pr£ ceso  presenta no linealidades muy fuertes, o bien efectos -distribuidos muy marcados, no se podría hacer una linealización ni representarlo mediante parámetros concentrados para tener un modelo lo suficientemente exacto para ser de utilidad. El ingeniero en control debe, por lo tanto, encontrar una situación que conjugue sencillez y exactitud. Cuando se desea encontrar el modelo matemático de un - proceso aún no construido, de dimensiones muy grandes y ca racterísticas muy complejas, se construye una pequeña  planta  piloto y a partir de ésta se obtiene por experimentación di cho modelo antes de proceder a construir el original. Me-diante la operación de la planta piloto pueden simularse - arranques y paros del proceso con el fin de indicar los cam bios necesarios que deben hacerse al proyecto original. Cuando no puedan aplicarse satisfactoriamente los méto dos analíticos, se aplicarán estímulos al proceso partí obte ner las relaciones entre entrada y salida que constituyen el modelo matemático. Estos estímulos suelen ser señales en escalón o bien ondas senoidales aplicadas permanentemente. (véase el capítulo 5).

54

3.1

PROCESOS CON TIEMPO MUERTO

Uno de los principales parámetros en los procesos es el tCzmpo mazKto, también conocido como tztaKdo puto o como Ae-taKdo cíe. d¿&tanc¿a -vulocidad y se presenta en fenómenos que implican transporte de masa o de energía. Para ilustrar lo anterior obsérvese el proceso siguiente el cual mostramos en la figura 3.1: Una tolva descarga material a razón de W(t) Kg por minuto en el extremo de una banda transportadora que se desliza sobre unos rodillos para proporcionar una distribución uniforme del material, así como para evitar los efectos de fricción y exceso de tensión sobre ésta debidos al pe_ so del material transportado. A una distancia d del punto -de descarga una pesadora mide continuamente el peso del mate_ rial.

5 5

donde y(t) y wCt) son variaciones de peso alrededor del va-lor promedio.

Es claro que los dos valores promedios deben ser ipua-les, es decir: La ecuación (3.3) constituye el modelo estático del sis_ tema. Físicamente indica que si el valor descargado asume un valor promedio diferente del anterior, el valor promedio  medido llegará a ser el mismo que el nuevo valor promedio de descarga. De acuerdo con la figura, los cambios de valor de descarga se dejarán sentir en el punto de medición t unidades de tiempo después. Dicho valor t es el cociente entre la distancia recorrida y la velocidad de la banda:

En virtud de que la función de transferencia se define como la relación de la Transformada de Laplace de la variación de la entrada, la representación en diagrama a cuadrosdel proceso es la dada en la figura 3.1 (b). Ejemplo 3.1

En el punto a del siguiente sistema se añade agua a una solución de agua y pulpa para mantener determinada concentra^ ción. Dicha concentración es medida en el punto b. Se sabe

56

que cuando al flujo total es de 1 OOn LPV, la velocidad resultante es de 2 metros por segundo. Encontrar el modelo matemático para los regímenes:

Fig. 3.2 Proceso de mezcla dominado por tiempo muerto.

Para los tres diferentes regímenes, se tiene:

Si la velocidad es igual a 2 metros por segundo cuandoF = 1000 LPM, cuando el flujo es de 500 LPM la velocidad es de 1 metro por segundo, de donde:

3.2 PROCESOS SOLO CAPACITIVOS Este tipo de proceso no muestra el efecto llamado de -autoregulación, pues si una de las variables que lo afectan cambia de valor, aunque sea ligeramente, el proceso no alean za un nuevo valor de equilibrio y si, en cambio, se comporta rá inestablemente. = En la figura 3.3 se tiene un proceso sólo capacitivo. El flujo de entrada es independiente del"nivel. El flujo de salida también es independiente del nivel del tanque y sólo depende de la velocidad de la bomba de desplazamiento constante, en tal forma que:

Fig. 3.3 Proceso de nivel solo capacitivo La ley fundamental aplicada en este ti p o de procesos et la de la conservación de la masa, también llamada de continuidad, la cual establece que:  Acumulación» flujo de entrada-flujo de salida  matemáticamente:

59

y ya que: la ecuación (3.9) se convierte en:

Transformando la ecuación anterior:

Cuya representación a cuadros se da en la figura 3.4 De acuerdo con este diagrama, es evidente que el mínimo cambio permanente del flujo de entrada o de la velocidad dela bomba hará que el nivel cambie uniformemente hasta que el tanque se vacie o se derrame. '

Fig. 3.4 Diagrama a cuadros del proceso capacitivo de la figura 3.3. i-

 AN AL OG ÍA EL ÉC TR IC A

Si se hace una analogía del proceso, considerando Iosflujos como corrientes y el nivel como un voltaje, la ecuación (3.19) tiene por analogía:

y su circuito equivalente será:

.

Fig. 3.5 Analogía eléctrica del proceso capacitivo da la figura 3.3

Como se aprecia en la figura 3.S, el área de la sec-rr ción transversal del tanque es equivalente a una capacitan* cia. La capacitancia eléctrica se define como:

Para tomar en cuenta las no linealidadcs posibles de un  proceso, es conveniente definir el parámetro capacitancia en función de cambios de las variables con el fin de represen--? tarlo linealmente, de donde: > 

donde:

-

 A ■ Área transversal del tanque, función de n. Si se hubiera obtenido el circuito equivalente antes de obtener el diagrama a cuadros de la figura 3.4 teniendo en cuenta que la admitancia de un capacitor es C, en el dominio de Laplace, se hubiera obtenido fácilmente el diagrama a cua_ dros. El concepto de analogía es muy importante, pues permite encontrar la función de transferencia de todo proceso que se desee representar en forma lineal.

3.3.

PROCESOS DE PRIMER ORDEN

Batance de masa En el proceso de la figura 3.6 la ley fundamental a -aplicarse es la de la conservación de la masa, esto es: acumulación =flujo de entrada - flujo de salida.

Fig. 3.6 Proceso de nivel, con efecto autoregulador.  matemáticamente:

donde: = = = =

nivel flujo de entrada flujo de salida Área transversal del tanque

El flujo de salida es funcie'n del nivel y de la presión en el actuador de la válvula, P , o sea:

expresan las variables como la suma de un valor nominal y -una variación alrededor de dicho valor nominal o de equili brio:

Desarrollando la ecuación (3.14), en seri e de potencias alrededor del punto de operación, tenemos:

Puesto que se desea trabaiar con una relación lineal entre-to orden. Las variaciones de flu.io de salida alrededor del valor nominal están dadas por:

esta diferencia la podemos obtener de la ecuación f3.16), en tal forma que:

De acuerdo con la analogía voltaje-nivel y corriente-flujo, ia resistencia hidráulica se define como:

por lo cual podemos definir la resistencia como: C3.16.b)

de salida debido a un cambio en la presión aplicada al ectuador, por lo cual se denomina comunmente ganancia de, la. v¿¿villa, en tal foTma que:

Substituyendo en la ecuación (3.16.a) la(3.16.b)y (3.16.c), finalmente obtendremos:

KnaloQla. Eléctrica. La analogía eléctrica de este proceso la podemos obtener apartir de la ley fundamental dada por la ecuación (3.13) de la siguiente manera: Substituyendo la ecuación (3.17) y teniendo en cuenta -

que

la ecuación (3.13) toma la forma: reagrupando términos:

haciendo uso de la analogía nivel-voltaje y flujo-corriente, tendremos que:

 por lo tanto, el circuito eléctrico equivalente del proceso es el mostrado en la figura 3.7. Nótese que el circuito cuenta con dos elementos activos independientes, representando precisamente a las dos variables in dependientes del proceso.

64

Fig. 3.7 Analogía eléctrica del proceso de la figura 3.6 función de T/iani&tKificia..

La función de transferencia de este tipo de proceso se puede obtener sumando los efectos individuales del fluio de entrada y de la presión del controlador. de acuerdo con el - principio de superposición, en tal forma oue si se consideran variaciones del flujo de entrada, mientras la presión del con trolador permanece constante, es decir: . ._ .<  substituyendo en la ecuación (3.18) y obteniendo la transfor mada de Laplace, la función de transferencia debida al flujo de entrada será:

Si se considera ahora que la presión del controlador es la - que varía mientras el flujo de entrada permanece constante; y efectuando el desarrollo anterior obtenemos:

aplicando el principio de superposición!  por lo tanto el diagrama a cuadros representativo de este pro

ceso es el mostrado en la figura 3.8

Fig.3.8 Diagrama a cuadros del proceso de nivel Al producto RC se le define como la conitantz de. t¿e.mpo T -del proceso, la cual representa físicamente el tiempo en el cual la respuesta a una entrada en escalón alcanza el 63t de su cambio total, por lo cual establecemos que:

magnitud B mostrada en la figura (3.9.a), la respuesta n(t)para esta señal es la mostrada en la figura (3.9.b).

Fig.3.9 (a) Cambio en el flujo de entrada, y (b) respue¿ de nivel del proceso de primer orden. \i -i

Generalmente para una posición fija de la válvula el flujo de salida es proporcional a la raíz cuadrada del nivel, es de -cir:

66

presión P aplicada, así como del asiento y tapón utilizadopor ésta (véase el capítulo 7).

Substituyendo la ecuación (3.23) en la (3.16.b), el va lor de la resistencia viene dado por:

Por lo cual la constante de tiempo del proceso será:

donde A es área transversal del tanque. Ejemplo:

3.2

Se desea representar el proceso del ejemplo 2.2 en dia-

El diagrama a cuadros representativo de la figura 2.2 es el siguiente:

Fi g. 3. 1O (a) Diagrama a cuadros del sistema de control de nivel de la figura 2.2

67

a) De acuerdo con los valores proporcionados en el proMema2.2 tenemos que: -..

El diagrama a cuadros correspondiente es el siguiente:

Figura 3.10(b) Diagrama a cuadros cuando

68 la constante de tiempo del proceso sera: Por lo que: El diagrama a cuadros para este inciso es el siguiente:

Figura 3.11(a) Diagrama a cuadros Podemos representar estos dos últimos diagramas a cuadros con retroalimentación unitaria, incluyendo el transmisor dentro del controlador de acuerdo con lo descrito en el punto 2.2., de tal manera que el diagrama a cuadros resultante seria:

Figura 3.11(b) donde:

Representación con retroalimentacifin unitaria. H(s)= 1

69

Es lógico suponer que el valor deseado se calibrará en decímetros . Como se hará evidente en capítulos sig ui en te s, la repre_ sentación en un solo cuadro del controlador y transmisor sólo es posible si el retardo del transmisor es despreciable con respecto del retardo del proceso. Ejemplo 3.3 Se colocó el proceso del ejemplo anterior en el control manual, mientras imperaban las condiciones nominales:

cuál será la respuesta del proceso si el flujo de entrada -disminuye repentinamente a 19.2 litros/seg. mientras la válvula permanece con la misma presión de 9 psi. Solución:

y por tanto la función de transferencia del diagrama a cuadros de la figura (3.9.a) es: i.

on e s es a rans orma a e ap ace e del flujo de entrada, por lo cual:

e

as var ac ones

substituyendo este valor en la ecuación (3.26)

obteniendo la transformada inversa de esta última expresión, la respuesta del proceso es:

70

 y el valor final de esta ecuación es:

El nivel resultante, de acuerdo con el modelo lineal será:

y-puesto que de acuerdo con el modelo exacto dado por la ta bla 2.B. entonces: Como podemos observar el modelo linoalizado predice variaciones de nivel un 16 1 mayor que el real. En general, el modelo lineal producirá errores despreciables, si las variaciones de nivel son pequeñas: 3.4.- PROCESOS NEUMÁTICOS. La implementación de controladores neumáticos requieredel uso de elementos concentrados con efectos resistivo y c£  pacitivo, que permitan una síntesis deseada de las caracterís ticas que debe tener cada controlador. UtiiitzncCa. La resistencia neumática se logra mediante una restricción del flujo generalmente variable a voluntad, cuyo esque ma se representa en la figura \Z  .12.

donde:  masa del fluido que pasa por la restricción en la unidad de tiempo, gramos/segundo.

La característica presión-flujo de una restricción es no lineal, según se muestra en la gráfica de la figura 3.13.

Figura 3.13 Característica de una resistencia neumá tica.

Físicamente esta resistencia representa la oposición-que supone la restricción al flujo de masa debido al esta blecimiento de una diferencia de presiones entre sus extre mos, matemáticamente la podemos representar como:

donde: Como puede observarse en la figura 3.13, si se opera en el punto a, es evidente que la resistencia viene dada por el recíproco de la pendiente de la curva en ese punto. Capac-Ctanc-Ca. Uno de los mecanismos más comunmente usados para propor_ cionar el efecto capacitivo en la implementación de controla, dores neumáticos en el &iLille., el cual mostraremos en la fi ' : gura 3.14. .

La capacitancia de un fuelle puede definirse de acuerdo

72 es decir:

(3.29) donde:  m = masa de gas almacenada dentro del fuelle. P = presión absoluta en el elemento.

Figura 3.1t Capacitancia neumática, Fuelle. La masa de gas almacenada dentro del fuelle viene dada por: (3.30) donde: v = volumen del fuelle . v volumen específico del gas diferenciando esta ecuación tenemos: (3.31)  Ahora bien, si A es el área de la sección transversal del -fuelle, la variación de volumen debida a un desplazamiento en x es: (3.32) la fuerza aplicada al área A de acuerdo con el concepto de presión está dada por: si el fuelle presenta una constante de elasticidad K, de --acuerdo con la ley de la elasticidad tendremos que:

(3.32.b) diferenciando esta expresión:

(3.32.C]

73 de donde se deduce que: En general, si el gas en el interior del fuelle sufre -una expansión poti.ti6pic.ci se debe cumplir que-: (3.34) donde: n » coeficiente de expansión politr6pica, diferenciando esta última expresión; donde despejando dv tendremos: (3.35) Substituyendo esta última expresión y la ecuación(3.33) en la ecuación (3.31): (3.36) por tanto el valor de la capacitancia viene dada por:' (3.37) donde el asterisco implica valores de v, P y V en el punto de operación. Para el caso de una expansión ¿¿otitímica, la temperatura se mantiene constante y el coeficiente n toma el valor de 1 y la ecuación (3.37) se convierte a: C3.38) Si el fuelle es usado en un dispositivo de balance de fuerzas, el segundo término de las ecuaciones (3.37) y (3.38) desaparece, pues no hay cambio de volumen y estas ecuaciones se reducen a:

', ,:.

,.,- ■ '

, />.. ■

(3.3?)

7 4

Analogía zléctilca. Supóngase que se tiene un fuelle que es alimentado a través de una restricción tal como se muestra en la figura 3.15(a). Es evidente que estos dos elementos están conectados en un arreglo serie, cuyo circuito eléctrico correspon-diente es ilustrado en la figura 3.15 (b).

Figura 3.15(a) Circuito RC, neumático, y (b) su analo- gía eléctrica. De acuerdo con la red eléctrica el valor de P. viene da D —  do por el divisor de voltajes elemental que forman R y C, - por lo tanto:  _

lo cual nos representa una función de transferencia de primer orden con una constante de tiempo igual al producto P.C y con una ganancia unitaria. Substituyendo la ecuación (3.32.b) en esta última expresión, obtendremos la relación del desplazamiento de la "cara" del fuelle, x, y la presión de entrada Pa, es decir:" despejando P. de la ecuación (3.32.b) y substituyendo en el numerador de la ecuación (3.40) tendremos que:

De acuerdo con esta ecuación podemos decir que el des plazamiento X es una función de la Telación A/K, por lo cual-

75 se debe tener en cuenta esta relación en la selección de un fuelle. 3.5.-

PROCESOS TÉRMICOS.

Como su nombre lo indica este tipo de procesos está basado fundamentalmente en el principio de transferencia de ca_ lor. Existen tres mecanismos básicos de transferencia de ca T lor, los cuales son: 1) .- Conducción.

Cuando el calor se transmite a través de un cuerpo por la transferencia de la cantidad de movimiento de sus moléculas o átomos sin que exista mezcla, se dice que se transmite por conducción.

La ley básica de transmisión de calor por conducción es la siguiente:

donde la fuerza de impulsión es la caída de temperatura a -través del sólido y la velocidad de transmisión es la cantidad de calor que pasa a través del sólido debido a esta calda. De acuerdo a la ley de Fourier de transferencia de calor por conducción, podemos expresar matemáticamente aue: (3.42) Donde: q = cantidad de calor que pasa a través de una capa infinitesimal del sólido. dT = diferencia de temperatura entre las caras de una capa infinitesimal. dx = espesor de la capa infinitesimal A = área efectiva normal al flujo. K = coeficiente de conducción térmica.

76 El signo menos nos indica que la temperatura decrece en la dirección del flujo de calor. .. De acuerdo a la ley básica de transmisión podemos definir la resistencia térmica por conducción como: (3.43) Para una pared plana de área A y espesor L, la expresión que relaciona la cantidad de calor que está fluyendo a través de ésta y la diferencia de temperatura entre sus caras se ob-

Es evidente que la resistencia térmica en este caso viene dada ror:

(3.451 El efecto resistivo térmico lo podemos definir como la relación existente entre la cantidad de calor que fluye a través : del sólido y la diferencia de temperatura que la produjo, por-lo cual podemos establecer ia analogía eléctrica de este efecto como: voltaje^temperatura, y corriente-'flujo de calor, 2)-- Comvección. Este tipo de transferencia ocurre entre un fluido y una j  pared sólida. El fluido cede o recibe calor desde el sólido a través de una película que se forma rodeando al sólido. La cantidad de calor transferida por un fluido a una pared sólida viene dada por: (3.46)

donde: cantidad de calor transferida en la unidad de tiempo.

coeficiente de película. área efectiva de transferencia. temperatura del fluido. temperatura de la superficie sólida. De acuerdo con el principio básico de transferencia de calor, el inverso del término hA representa la resistencia -por convección, por lo cual:

Existen dos formas de transferencia de calor por conv ccitín, las cuales son: i).- Natural.- Tal como ocurre en una habitación. -; ii).- Forzada.- Como sucede, por ejemplo, en los interiores de hornos, tuberías, etc. Es evidente que la analogía eléctrica de este tipo de transferencia de calor es la misma que la utilizada en el in-' ciso anterior. 3).- Radiación.

.

Este tipo de transferencia de energía calorífica se efec_ túa por medio de ondas electromagnéticas. Si la radiación atraviesa un espacio vacío, no se transforma en calor y no es desviada de su trayectoria. Cuando encuentra materia en su-camino esta radiación será transmitida, reflejada o absorbida y únicamente esta última será la que aparezca en forma de ca lor. La transferencia de la radiación absorbida en calor de pende fundamentalmente de las propiedades del material expues_ to a la radiación. Efecto Capacitivo. Existen solamente dos efectos pasivos en la transferencia de calor: resistivo y capacitivo. El primero ha sido --

71 discutido ya, por lo cual ahora definiremos el segundo. La capacitancia térmica se define como la razón de cam  bio de la energía térmica almacenada, con respecto de la tem  peratura que produce dicho cambio; es decir: .. . (3.48) capacitancia energía almacenada temperatura. Recordando que la capacitancia eléctrica se define como la razón de cambio de la carga eléctrica almacenada con res pecto del voltaje que produjo este cambio, es evidente que la analogía de tal tipo de efecto térmico debe ser:

Considerando condiciones de estado permanente, la capaci_ tancia térmica de un sistema generalmente está dada por el - producto de la masa del medio que condínta la energía térmica  por su calor específico, es decir: (3.49)

Ejemplo 3.4.

■

Se tiene el sistema mostrado en la figura 3.16, el cual está formado por un tanque calentado por medio de gas caliente, y un termómetro que mide la temperatura del líquido conte_ nido en dicho tanque.

Se desea obtener: T,(s) a).- La función de transferencia del sistema, ---Tc(s) b).- La analogía eléctrica del sistema.

Figura 3.16 Proceso térmico (Balance de energía) Solución: a).- Es evidente que la cantidad de calor transferida al termómetro es despreciable en comparación con la cantidad de calor total transferida al sistema: por lo cual podemos considerar que los sistemas tanque y termómetro no están interactuando entre si. Si la capacidad térmica del tanque es despreciable y la temperatura alrededor de la superficie de éste es uniforme, manteniéndose la temperatura del fluido constante, la ecuación que describe el comportamiento del t anque es la siguien te:

donde: cantidad de calor proporcionada por el flujo de entrada.

cantidad de calor del flujo de salida. cantidad de calor proporcionada al tanque -por la fuente calorífica.

^

80 cantidad de calor debida a las variaciones -con respecto del tiempo de la energía almace nada por el líquido.

, . ,. .

Puesto que la capacidad del tanque es despreciable, la cantidad de calor proporcionada por la fuente calorífica está dada por:

(3.51) h = coeficiente de película entre el tanque y el líquido. Consideremos que el flujo de salida es igual al flujode entrada; es decir: (3.52) De donde la masa del líquido en el tanque, M., permanece constante.

La masa que entra por unidad de tiempo está dada por: (3.52.a)

(3.53)

la cantidad de calor debida a las variaciones con respecto del tiempo de la energía almacenada por el líquido, será: (3.54)

Substituyendo las ecuaciones (3.51), (3.53)y(3.54) en la (3,50) tendremos que:

81

Agrupando términos, esta ecuación la podemos reprentar como:

Ya que el flujo F es constante, esta ecuación representa una ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes cuya solución en el campo de Laplace es:

Ahora 'sien, si la capacidad calorífica del vidrio del -termómetro es despreciable y el mercurio tiene una temperatura uniforme T-, la ecuación que nos describe el comportamiento térmico del sistema líquido-termómetro es:

donde cantidad de calor debida a las variaciones con respecto del tiempo de la energía alma cenada por el termómetro. cantidad de calor transferida por el líqui^ do al termómetro.

82 donde:  masa de mercurio calor específico del mercurio. La cantidad de calor transferida por el lfauido al termo  metro es:

Substituyendo las ecu¡ ecuación (3.58), se obtien

 por lo cual el diagrama a cuadros representativo del sistema será el mostrado en la figura 3.16.(b).

v

Figura 3.16(b) Representación a cuadros del proceso Térmico.

La función de transferencia del sistema considerando variaciones en la temperatura del gas, T , y si permanece cons-

Í

Si el valor de T permanece constante y las variaciones de T, son debidas a las variaciones de T. , la función de -transferencia se convierte en:

b).--La analogía eléctrica del sistema la podemos obtener a partir de las ecuaciones (3.57) y (3.60), considerando la analogía voltaje-temperatura y corriente-cantidad de calor, de tal manera que:

Cada una de estas ecuaciones representa eléctricamente un simple divisor de voltajes, por lo cual su diagrama eléctrico correspondiente es el mostrado en la figura 3.17. '.';;

Figura 3.17. Representacién eléctrica de las ecuaci ones (3.64) y (3.65)

La analogía eléctrica total del sistema se obtiene acoplando los circuitos de la figura 3.17, en tal forma que la corriente q (s) sea despreciable evitando así "cargar 1' al ci£ cuito formado por R y C . Por lo cual consideraremos como elemento acoplador un amplificador de voltaje ideal el cual presenta impedancia de entrada infinita, lo que, como es bien sabido, evita el efecto de carga del circuito conectado a su entrada.

De acuerdo con lo dicho en el párrafo anterior, la analogía total del sistema será la mostrada en la figura 3.18.

Figura 3.18. Analogía eléctrica del proceso de la figura 3.16. Interacción nula. 3.6

**£ .

PROCESOS CON EFECTOS DISTRIBUIDOS.

En los puntos anteriores se analizaron procesos que pr£ sentan efectos resistivo y capacitivo separados en el espacio; tales procesos como de parámetros concentrados. Cuando un - proceso presenta efectos resistivo, capacitivo e inductivo juntos en el espacio, se dice que dicho proceso tiene efectos distribuidos. La función de transferencia de un proceso distribuido es normalmente demasiado complicada, pues conduce a expresiones  muy complejas tanto en función de tiempo como en función de la frecuencia, por lo que usualmente se procede a representar el proceso distribuido de manera concentrada; es decir, repre_ sentarlo como un proceso de parámetros concentrados.  A fin de conocer el tipo de funciones de transferencia - • que aparecen cuando hay efectos distribuidos, estudiaremos -dos procesos típicos que presentan regulamente tales efectos. PROCESO TÉRMICO. Considérese una placa de material uniforme en la que el calor fluye una sola dirección, en este caso la horitontal, -tal como lo ilustra la figura 3.19.

85

Figura 3.19.

Flujo de calor en una dirección en una  placa. Proceso con efectos distribuidos . ■

■

■

*

.

^

-

'

■

c

Si se efectúa un balance de energía en una placa de es pesor Ax, tendremos: Calor que entra-calor que sale" calor que se acumula.

Podemos expresar los valores de resistencia y capacitancia definidos en las ecuaciones (3.45)y (3.49) por unidad de longitud; esto es:

Con lo que la ecuación (3.67) adopta la forma:

En los textos especializados en el tema, la anterior -ecuación aparece comunmente en la siguiente forma:

difusividad térmica del material de  placa.

86 La ecuación (3.70) puede transformarse, obteniéndose:

donde: Transformada de Laplace de T(x,t) Distribución inicial de temperatura. Si consideramos que la distribución inicial es uniforme y convenimos que las temperaturas que aparecen en la (3.71) son desviaciones medidas a partir de la temperatura inicial,

La anterior ecuación diferencial es lineal, apareciendo como parámetro y tiene la siguiente solución general. • 1;-

en la frontera en este caso las temperaturas en cada uno délos extremos de la placa. Veamos tres casos. a) Placa semi-infinita Considere que la placa de la figura se extiende desde x = 0 hacia la derecha hasta infinito. Una condición de fron

La otra condición es la desviación de temperatura en x = 0, T(0,t), cuya transformada es T (0,s). Con esta condición la ecuación (3.73) queda como:

De donde los cambios de temperatura a una distancia x del extremo izquierdo están relacionados con los cambios de temperatura aplicados en x = 0, por medio de la siguiente función de transferencia.

87

 b)

Placa finita aislada en el extremo derecho  .

Supóngase que se tiene una placa aislada en el extremo derecho, tal como se muestra en la figura 3.20.

Figura

3.20.

Flaca finita aislada.

La condición en x = 0 es la misma del caso anterior. La condición en x - L es que el flujo a través de la cara cero matemáticamente:

transformando:

Si hacemos x igual a L y recordando que cosh(0)=1, obtenemos la función de transferencia para los cambios de temperatura en el extremo derecho:

88 Placa finita con el extremo final mantenido a la temperatura inicial.

Este caso es ilustrado en la figura (3.21),

Las condiciones de frontera en este caso son:

Transformando las ecuaciones dadas por las condiciones y sustituyendo en la ecuación (3.73) se encuentran los valo--

Sustituyendo estos valores en la ecuación (3.74) y sim- plificando se obtienen:

Como puede apreciarse en los tres casos anteriores la -función de transferencia de procesos distribuidos presenta -•

difícil de obtener: Ejemplo 3.5 Se desea obtener la respuesta a un cambio en escalón de  magnitud To en la temperatura del extremo izquierdo de la - placa finita aislada, usando: a) el modelo exacto, b) el mo délo dado por una aproximación de primer orden y c) por un  m o d e l o

de

segundo

orden.

tomando en cuenta que la resistencia y capacitancia total -

Transformando inversamente la ecuación anterior:

Casos b) y c). - La analogía eléctrica se obtiene concentrando la mitad de la resistencia total al inicio y la capacitancia total al final. 0 bien concentrando la mitad de la resisten cia al inicio seguido por la mitad de la capacitancia y otra  porción igual. Véase la figura 3.22.

Figura 3.22(a) Representación de una placa finita aisla da mediante una aproximación de primer orden, y (b) mediante uno de segundo or-

90

Las funciones resultantes son: Para el inciso (b) :

Para el inciso (c):

Cuyas respuestas en el tiempo son:

respectivamente. PROCESOS NEUMÁTICOS. Cuando se envían señales de presión a través de ductos se presentan los efectos de resistencia, capacitancia e inej_ tancia en forma distribuida. Este fenómeno será «studiado en el Capítulo 7. PROBLEMAS. 1 . - La válvula del siguiente sistema cuando abre completa- mente, deja pasar 600 litros por minuto de una solución que es prácticamente agua. La característica de la válvula es lineal. El agua es absor_  bida por un tambor a una rapidez que depende de la velocidad del mismo, de tal manera que el flujo de salida está dado - por: F 100 v litros/min. ; v = vueltas/minuto. Si el área de la sección transversal del tanque es constante e igual a 6 metros cuadrados: a).-¿Qué sucede si la presión P se mantiene constante e - » igual a 9 PSI, cuando:

i) v - 2.5 R.P.M. ii) v - 4 R.P.M.  b).-Obtenga las funciones de transferencia N(s)/P (s),N(s) /V(s) y el diagrama a cuadros del proceso. 2.- Obténgase la función de transferencia y la analogía — eléctrica de los siguientes sistemas, considerando como va-riable de salida:

3.- El proceso mostrado en la figura 2,2 es controlado pro*  porcionalmente con una banda proporcional del 50$, el transí  misor está calibrado de 0 a 8 metros y el flujo de salida e£

 b).- Obtenga el diagrama a cuadros del sistema. 4.- Demuestre que la función de transferencia de los siguien tes sistemas neumáticos es:

 A = área del fuelle; K » constante de rigidez.

93 5.- Un termómetro tiene una constante de tiempo de 0.1 minu. tos y se encuentra a una temperatura constante de 90°C. Pa -ra t = 0 el termómetro es colocado en un baño mantenido a -una temperatura constante de 100°C. a)

Determine el tiempo necesario para el cual el termó metro medirá 98°C.

b)

Determine la función de transferencia del proceso que re_ laciona la temperatura del mercurio con la temperatura del medio donde se encuentra.

6.- Una esquina de una habitación tiene dos paredes expuestas al exterior, tal como se muestra en la figura siguiente:

Las paredes tienen 2.5m. de altura. Las paredes internas están perfectamente aisladas, as£ como el piso y el techo, por lo cual se considera despreciable la transferencia de calor a través de éstas. El sistema calefactor está formado por un serpentín én el cual circulaagua caliente, cuya temperatura normal es de 82°C. El área efectiva de transferencia de calor es de 2.32m y su coeficiente de transferencia del interior de la habita-

Calcule la constante de tiempo del proceso. 7.-

Calcule la Función de Transferencia del proceso de la f¿ gura 3.1S, si se tienen los siguientes datos:

 b) Encuentre las mismas Funciones de Transferencia si el termómetro se instala a 1.5 metros de la salida sobre una tubería aislada de ,333 decímetros cuadrados de c) Determine las mismas funciones si el termómetro está . ."_£ en un segundo tanque, tal como en la figura. ,

8.- Considere la placa finita aislada. Suponga transferencia por convección en el extremo izquierdo. Encuentre lor cedido por el medio a la placa. Use la ecuación (3.77) y las dos siguientes:

B I B L I O G R A F Í A

.-

97 CAPITULO

4

RESPUESTA TRANSITORIA DE PROCESOS REGULADOS POR CONTROLADORES. 4.1.- PROCESOS DE PRIMER ORDEN. 4.2.- PROCESOS DE SEGUNDO ORDEN. 1).- Perturbación antes del primer subproceso. 2).- Perturbación después del primer subproceso.  MÉTODO DE LA CURVA DE REACCIÓN. [Ziegler-Nichols).

98 El análisis de la respuesta transitoria consiste en encon trar la respuesta en el tiempo de un sistema de control para diferentes tipos de controlador y diferentes valores de paráme_ tros del mismo, con el fin de ver si dicha respuesta es satis factoria respecto de las especificaciones dadas. Usualmente el análisis se efectúa tomando en cuenta entradas en escalón, bien sean éstas por cambios del valor deseado o bien cambios en las variables de suministro del proceso. Por lo general todo sistema de control es concebido para responder satisfactoriamente a un solo tipo de entrada. Por ejemplo, un servomecanismo sufrirá frecuentes cambios en su se_ nal de valor deseado, en tanto que sus variables de suministro tendrán pocas variaciones; en este caso el sistema de controlse diseñará para que la variable de salida siga los cambios -del valor deseado, principalmente. La situación contraria se  produce en los procesos químicos, donde los cambios del valordeseado son raros, y en cambio, las variables de suministro -(perturbaciones) sufren alteraciones notables; en este caso el sistema de control es diseñado para que la variable de salidasufra pocos cambios. Aunque la naturaleza de los cambios de las variables de perturbación es difícil de prever, si se logra que la respuesta al escalón sea satisfactoria, también loserá para cambios más suaves que el escalón. Si los cambios de la perturbación son frecuentes, el sistema puede diseñarse mediante técnicas de respuesta a la frecuencia (Capítulo V).E1  presente capítulo está orientado a estudiar el segundo caso -(problema del regulador). 4.1. PROCESOS DE PRIMER ORDEN. La forma canónica de un sistema de primer orden se ilustra en la figura 4.1. Se ha eliminado el valor de ganancia -del transmisor en la línea de retroalimentación con el fin detener retroalimentación unitaria; de tal modo, dicho valor muí tiplica al valor de ganancia del controlador, en la rama hacia adelante.

Fieura 4.1- Forma canónica de un sistema de control de un proceso de primer orden.

En la figura anterior T es la constante de tiempo del pro La constante K, es la ganancia estática de la perturba — ción, en malla abierta. La ganancia estática del proceso K ,relaciona los cambios de la variable de salida con los cambios de la salida del controlador, en forma permanente, cuando la línea de retroalimentación está abierta. La función de transferencia para la perturbación es:

Donde: ganancia del controlador multiplicada por la ganancia del transmisor. Si se usa control proporcional: Y definiendo: La ecuación (4.1) se convierte en:

100

Si L(s) es la transformada de Laplace de una función escalón unitario y T" es la constante de tiempo en bucle cerrado, -

Transformando inversamente esta ecuación; la respuesta enel tiempo, a la perturbación, será:

Si se abre la línea de retroalimentación la función de — transferencia de la perturbación es:

y la respuesta al escalón unitario será:

Comparando las ecuaciones 4.4 y 4.6 se observa que la re-troalimentación produce un error estático final y una constante de tiempo 1 + K veces menor que los que presenta el proceso sin

Ejemplo 4.1 Encontrar la respuesta a un aumento de 3 litros/seg. del flujo de entrada para el sistema mostrado en la figura 3.H.  b y compararla con su respuesta en malla abierta. Solución:

101

Puesto que L(s) 3/s, substituyendo en la ecuación 4.4 olí tendremos la respuesta en malla cerrada, es decir:

de donde

Para malla abierta, substituyendo en la ecuación 4.6 tendre_ 

Figura 4.2.- Variación de nivel debido a un cambio perturbativo del flujo de entrada.

Como el propósito es lograr que la variable de salida (nivel) no se altere con los cambios de la variable de perturba — ción (flujo de entrada), la respuesta con control es mucho mejor en comparación con la producida si éste no existe. Puede concluirse que para controlar un proceso de primer orden bastausar control proporcional según sugiere la figura 4.2. De — acuerdo con la ecuación 4.4 el error estático final depende inversamente del valor de K , lo cual implica que debe usarse el-

102  máximo valor posible de K c para minimizar dicho error. En la  práctica no se puede aumentar el valor de K indefinidamente,  pues otros pequeños retardos empezarían a entrar en juego, convirtiendo al sistema en inestable. En la tabla 4.A se indican las funciones de transferenciay respuesta transitoria de un sistema de primer orden para dif£ rentes tipos de controlador. Nótese que la función de transferencia se convierte en una de segundo orden cuando se usa la --

El denominador de dicha F de T puede ser de tres tipos, s£

 Aplicando el teorema del Valor Final se encuentra el error estático final producido en el sistema para cada uno de los con troladores, debido a un cambio permanente de L.

aplicando el teorema del valor final:

Lo que indica que la adición de acción integral lleva a un error final nulo, siempre que dicha acción no cauce inestabilidad; aunque el valor de la constante de tiempo de acción inte--

104

En ambos casos ¿Cuál será la forma de la respuesta a un cambio de 3 litros/seg. en el flujo de entrada?. Solución: De acuerdo con la tabla 4.1,:

 por tanto la respuesta al escalón unitario será:

Substituyendo estos valores en la ecuación correspondiente se--

4.2

PROCESOS DE SEGUNDO ORDEN.

La forma general de un sistema de control de un proceso de segundo orden se da en la figura 4.4. En este caso la perturba ción puede entrar al circuito de control antes del primer ele mento o entre el primero y el segundo. La tabla 4.2 contiene las funciones de transferencia para los dos tipos de perturbación y los diferentes controladores. Figura i»."».- Forma canónica de un sistema de control de un proceso de segundo orden.

106 Observando la tabla 4.B se aprecia que el control proporcional y el proporcional más derivativo producen una función de transferencia de segundo orden y no aparece s en el numerador. Cuando se añade la acción integral el denominador se con vierte en uno de tercer orden y aparece una s en el numera-dor. En lo que a estabilidad se refiere, los dos primeros ti pos de control son estables para todos los valores positivos de K y de T». Aplicando el método de Routh a los últimos tres casos se obtienen las condiciones de estabilidad; por ejemplo:

Condición ésta necesaria para que el sistema sea estable.

La ecuación (4.7) muestra que el valor límite de T. depende de la relación que guardan entre sí las dos constantes de tiempo y de sus magnitudes. Aplicando el Teorema del Valor Final se obtienen los errores estáticos dados en la tabla 4.B, a una entra_ 

107

1 O 8

.

da en escalón unitario; para los controladores con acción I di^ cho error será cero siempre que se satisfaga la condición de

metros del controlador.

Como se apreciara en los ejemplos, la

grande, lo cual se logra con un valor grande de K(véase la tabla). Por otro lado, el carácter oscilatorio de la respuesta depende de 5; la respuesta, será más oscilatoria para valores pequeños de 5; pero, como ? disminuye para valores grandes de K, se produce una situación de compromiso: Si se usa un valor muy grande de K, el sistema responderá rápidamente, pero produ eirá muchas oscilaciones; en cambio, con un valor pequeño de K, las oscilaciones serán pocas o nulas, pero la respuesta seLas ventajas de la adición de acción derivativa se apre--

el que brinda el control proporcional solo, produciendo, por lo tanto, menor oscilación en la respuesta. Por otro lado, para una c deseada, la adición de acción D permite un valor de K aún mayor, produciendo una mayor velocidad de respuesta y dejando un error final mucho menor. Expresiones en el tiempo.

La respuesta transitoria para controlP y PD puede encontrar^

1).- Perturbación antes del primer subproceso.

De acuerdo con el valor de  pueden ser:

las raíces del denominador

La respuesta al escalón unitario es:

Transformando inversamente:

Diferenciando (4.10) e igualando a cero se obtiene el tiempo en que ocurre el pico máximo:

Bl error final se obtiene de la ecuación (4.10)

Es útil definir el término "razón de decaimiento".

110 sobre paso del primer pico

. El segundo pico positivo ocurre para un tiempo:

Sustituyendo la ecuación (4.13) en la (4.10):

de donde:

Casi todos los métodos de sintonización de controladores-se basan en el hecho de lograr un valor adecuado de R¿, aproxi madamente 0.25, pues asi se logra una buena curva de recupera--

Derivando la ecuación (4.17) se deduce que la respuesta -nunca excederá el valor final de la misma, de donde se infiereque no existe sobre paso. .

donde:

Este caso es menos importante, pues raras veces un siste_  ma de control es sintonizado para responder de tal manera. 2) PERTURBACIÓN DESPUÉS DEL PRIMER SUBSISTEMA. Para un cambio en L.» se tiene para control P y PD.

De acuerdo con el valor de

se tienen los mismos tres-

112 a) Raices complejas,

donde:

Derivando e igualando a cero la ecuación (4.21) se obtiene el tiempo, al que ocurre el pico máximo:

donde los ángulos deben estar expresados en radianes. Sustituyendo la ecuación (4.23) en la (4.21) se obtiene  pico máximo de la respuesta:

La razón de decaimiento,

El tiempo entre picos sucesivos (máximo a mínimo) es:

Para este caso la función de transferencia es:

Derivando e igualando a cero esta ecuación se encuentra el tiempo en que ocurre el pico máximo:

Sustituyendo la ecuación (4.28) en la (4.27) se encuentra el pico máximo y único:

c) Raíces desiguales y reales, En este caso:

Derivando las ecuaciones (4.21),(4.27) y (4.30) y evaluando  para t - 0, se encuentra que la pendiente de la respuesta es diferente de cero; esto es:

Como puede apreciarse, en los primeros instantes la respuesta no depende del sistema de control y si en cambio de los parámetros del proceso 2. lo cual es lógico, pues el controlador "no se ha da

114 te cero en el instante inicial, ya que la perturbación encuentra entre ella y la salida un sistema de segundo orden cuya res_  puesta es aplanada al inicio. Matemáticamente puede comprobarse esto derivando las ecuaciones (4.10), (4.17) y (4.18) y evaluando para t igual a cero. Ejemplo 4.3 Considérese que el proceso del ejemplo 4.1 tiene un retardo, en la válvula, de 12.75 segundos. ¿Cómo será la respuesta a un cambio repentino de 3 litros/seg. en el flujo de entrada?.

El diagrama a cuadros se da en la figura 4.5.

Figura 4.5.- Sistema de control de nivel. La válvula se comporta como un elemento de primer orden.

Solución:

Substituyendo en la ecuación (4.21), la respuesta será:

Por medio de las ecuaciones (4.23) y (4.24) se encuentran el tiempo de pico máximo y su magnitud, en tal forma que:

El valor del tiempo entre pico y valle, así como la razón de decaimiento, los podemos obtener a partir de las ecuaciones C4.25) y (4.25.a):

La magnitud del error final es:

Si se añade acción derivativa, de tal manera que

Substituyendo en la ecuación (4.27) la respuesta será:

Con la ecuación (4.28) se calcula el tiempo de pico y con la (4.29) el pico:

116

En la figura 4.6 se aprecian los dos tipos de respuesta.

Fig.lt.6 Respuesta a la perturbación de un proceso de 2do orden. Nótese que la acción D reduce elsobrepaso pero no reduce el error permanente. La función de transferencia para control I, PI o PID es de tercer orden, lo cual hace más difícil encontrar la solución transitoria, pues es necesario factorizar una ecuación cúbica. En este caso se acostumbra factorizar el denominador de la si guíente manera:

Se sintoniza el controlador de tal modo que se consiga un cuperación bajo amortiguada.

Para

117 la función de transferencia es, para el controlador

PI o PID:

es menor que la unidad, la respuesta al escalón unita-

Cuando el tiempovaMnfinito el miembro de la derecha de laecuación (4.33) tiende a cero, lo que demuestra la exactitud que proporciona la acción integral. A medida que el orden del polinomio del denominador de la función de transferencia se hace más grande, se vuelve más difícil encontrar la solución analíticamente, recurriéndose entonces al uso de simulación analógica o digital del sistema. El no poder resolver sistemas de alto orden es la mayor desventaja del análisis en tiempo en comparación con el análisis en frecuencia.

118 3.-

MÉTODO DE LA CURVA DE REACCIÓN. (Ziegler-Nichols) .

Cuando se desconoce la función de transferencia de un determinado proceso, por medio de este método es posible determinar en forma empírica los parámetros óptimos del controlador a El método se basa escencialmente en el análisis del proce so en lazo abierto, el cual describe las propiedades dinámicas de este proceso a partir de las cuales se puede determinar el valor de los parámetros del controlador. La curva de reacción se obtiene graficando la respuesta del sistema a una función escalón, tal como se muestra en la -

Fig. U.7.- Esquema del sistema listo para efectuar el cambio en escalen - para obtener la curva de reacción. Como se puede observar, esta función escalón puede ser -aplicada externamente desconectando el controlador de la línea o bien por medio de la operación manual del controlador. Nor malmente, en un proceso manipulado por una válvula, el escalón consiste en un incremento en la presión aplicada al actuador Casi todos los procesos presentan una curva de reacción -

119 de característica sobreamortiguada, tal como se ilustra en la fi

Figura 4.8.-Curva de reacción de un proceso. Como podemos observar en esta figura, la curva de reacción resulta de graficar la respuesta fraccional (RF) contra el tiero po, donde la respuesta fraccional se define como la fracción del valor del rango del transmisor que ha alcanzado la variable de medición. Esta curva puede aproximarse a la respuesta al escalón de un proceso que consiste en un retardo de primer orden y, además un tiempo muerto, con el fin de representarla por medio de los parámetros L y S. El parámetro S representa la máxima pendien te de la curva de reacción y se obtiene trazando una recta tan gente al punto de inflexión P. El parámetro L es el tiempo transcurrido desde la aplicación del escalón hasta el punto en el que la tangeiite intersecta al eje del tiempo. Obsérvese que este tiempo muerto es mayor que el tiempo muerto real del proceso, t . Ziegler y Nichols determinaron empíricamente que los valores recomendables de los parámetros del controlador son:

120

a) Para control P:

 b) Para control PI:

c) Para control PID.

Comparando estas tres series de valores recomendados por Ziegler-Nichols, vemos que son consistentes con la idea de que la acción integral tiende a hacer el sistema más inestable, ya 901 del recomendado para la acción P. Por otro lado, si se -añade accién derivativa se comprueba el efecto estabilizador de ésta, ya que permite aumentar el valor de la ganancia proporcio nal en un 33% y disminuir el valor del tiempo integral en un -661, en relación con los valores recomendados para la acción PI Ejemplo 4.4 Un proceso presenta la curva de reacción dada en la figura 4.8, cuando se aplica un incremento de presión de 2 psi en el actuador.

Encontrar los valores recomendados por Ziegle'r-Nichols paa) un controlador PI y b) un PID.

Solución:

121

a) De acuerdo con la gráfica, el valor de L es de un minu to, mientras que S está dada por:

Substituyendo en las ecuaciones (4.35) y (4.36):

y el controlador presentará una banda proporcional de:

 b) Substituyendo el valor de L y S en las ecuaciones (4.37), (4.38) y (4.39), los valores efectivos resultan tes serán los recomendados:

La banda proporcional de este controlador es del 1001. PROBLEMAS: Si el proceso del ejemplo 4.1 se coloca bajo control inte-

¿Cuál es la respuesta a un cambio en escalón, de magnitud 3. en la perturbación? Graficar.

122 2.-

Resolver el ejemplo 4.2 con

3.-

Si el proceso del ejemplo 4.3 se controla proporcionalmen-

a). Calcular el valor necesario de zón de decaimiento de 0.25.

para obtener una ra-

b). Si ahora se añade acción derivativa, calcular el valor

c). Encontrar la respuesta en el tiempo para un cambio en escalón del flujo de entrada de 3 litros/segundo: i) para el caso a) y i i) para el caso b). Grafique los dos tipos de respuesta. 4.- Un proceso de tercer orden, con constantes de tiempo

estabilidad que se satisfagan las siguientes desigualdades: a). Para control P:

donde:

 b). Para control PI: i) Que se cumpla la expresión del inciso (a)

123

con: Demuestre, por medio del criterio de Routh, estas condicio nes: 5.- La función de transferencia para dos elementos de primer orden, en serie, está dada por: " • rí

Y su respuesta a un escalón unitario en X es:

La pendiente máxima está dada por:

donde y ocurre para un tiempo, siguiente ecuación:

dado por la

El valor correspondiente de Y para este tiempo es:

El tiempo de retardo efectivo está dado por la siguiente expresión:

 minutos, determine el valor recomer dado de la ganancia proporcional para este sistema. Suponga que la función de transferencia es:

124

Determine el valor recomendado de la ganancia proporcional. 6.* La función de transferencia de un proceso es la siguie:

a). Grafique la curva de reacción de este proceso*  b). Determine el valor recomendado de ganancia proporcional de acuerdo con el método de Ziegler-Nichols. Para determinar la pendiente máxima, puede considerar se el hecha de que la transformada de Laplace de la - pendiente es simplemente la transformada de la curva de reacción multiplicada por s.

B I B L I O G R A F Í A .

125

1.- HARRIOT P. Pioc&ii ConttLot. Me Graw Hill, 1964; capítulos 3 y 4. 2.- WEBER T.W. An Intioduction To P  &Í Vynamia And Contiol. KOCI  Wiley interscience, 1973; capítulos 5 y 13. 3.- CLARK R.N. IntKodadlon To Automatic Control Syitimi. ley interscience, 1962; capítulo 4.

Wi-

4.- COUGHANOWR § KOPPEL. Pioctii Sy&timi Anatytii And Contuol. Me Graw Hill, 1965; capítulos 9, 10, 12, 13, y 14. 5.- RAVEN H.F. Automatic Contxol EngimzKing. Me Graw Hill, 1968; capítulo 6. 6.- JOHNSON F.E. Automatic Pn.oce.¿¿ ContKot. Me Graw Hill, 1967; capítulos 2 y 3.

127 CAPITULO 5 RESPUESTA EN FRECUENCIA DE LOS SISTEMAS REGULADOS CON CONTROLADORES. 5.1.- RESPUESTA EN FRECUENCIA DE LOS CONTROLADORES. 5.1.1  Acción 5.1.2 Acción 5.1.3 Acción 5.1.4 Acción

Proporcional P. PI. PD. PID.

5.2.- DISE O DE SISTEMAS MEDIANTE T CNICAS DE RESPUESTA A LA FRECUENCIA. 5.2.1  Márgenes de Fase y de Ganancia. 5.2.2 Método Mp de Lazo Cerrado. 5.2.3 Método de Zicgler y Nichols. 5.2.4 índice de Controlabilidad de Harriott. 5.3.- EFECTO DE LAS PERTURBACIONES Y SU IMPORTANCIA EN EL DISEÑO DE UN SISTEMA DE CONTROL. 5.4.- SITUACIONES ESPECIALES. 5.4.1 Procesos con Retardo en la Medición. 5.4.2 Procesos Dominados por Tiempo Muerto. 5.4.3 Procesos Distribuidos. PROBLEMAS. BIBLIOGRAFÍA.

128

 A diferencia del método de la respuesta transitoria, el cual presenta limitaciones en cuanto a estabilidad del sistema se refiere, así como a las dificultades prácticas de aplicación cuando el orden de dicho sistema es mayor que 2, el método de respuesta en frecuencia permite analizar y, como consecuencia, diseñar los sistemas de control más fácilmente a partir de la respuesta en frecuencia de cada uno de los elementos que los -componen (sin importar la cantidad de éstos) ya que ello consti^ tuye una manera más útil de determinar la estabilidad de los -sistemas retroalimentados que incluyen un cierto tipo de contro iador. Como es bien sabido, la respuesta en frecuencia de un sis tema representa la respuesta de éste a una señal de entrada senoidal de la forma:

Por lo cual la técnica de análisis utilizada por este método consiste en aplicar esta señal senoidal, ya sea cambiando el valor de la señal de referencia en forma senoidal alrededor de su valor nominal, o bien "abriendo" el lazo del sistema (generalmente a la entrada del elemento de acción final) e introduciéndola externamente y midiendo la señal de salida cuando la respuesta transitoria ha dejado de ser notada. Si el sistema es lineal, es evidente que la señal de sali^ da será senoidal y de la misma frecuencia que la señal de entra da, teniéndose que si G(s) es la función de transferencia del sistema, la señal de salida en estado permanente será:

donde:

y

129

En la figura 5.1 se muestra la gráfica para con respecto del tiempo y, como podemos observar, estas dos seña_ les difieren solamente en magnitud y fase; éstas como se advierte en las ecuaciones anteriores, son función de la frecuencia de la señal de entrada.

Fig. 5.1 Sistema lineal, a) Diagra»a a cuadros y ~b) res.  puesta en estado permanente a una entrada se—  noidal.  Ahora bien, puesto que siempre es deseable conocer la res puesta del sistema dentro de un amplio rango de frecuencias, se realizan varias "corridas" en las cuales la amplitud de entrada  permanece constante, mientras que en cada una de ellas es usado un nuevo valor de frecuencia. Cada corrida debe terminarse anotando la amplitud y fase de la señal de salida en estado perma-nente. Los resultados de este análisis se representan graficando la ganancia en amplitud, generalmente en decibeles, versus la - frecuencia y la fase versus la frecuencia constituyendo así los ya bien conocidos diagramas de Bode. 5.1. RESPUESTA EN FRECUENCIA DE LOS CONTROLADORES. En el análisis de la respuesta en frecuencia de un sistema, es muy importante tener siempre presente la respuesta caracterís. tica de cada controlador, con el fin de poder determinar el tipo de acción que proporcione las características que cumplan con -los requerimientos de dicho sistema: por lo cual en este punto representaremos la respuesta en frecuencia de cada tipo de con-trolador por medio de sus diagramas de Bode, los cuales pueden ser obtenidos fácilmente a partir de la función de transferencia.

130

5.1.1 CONTROLADOR PROPORCIONAL P. En general, si llamamos G (s) a la función de transferencia de un controlador, la función de transferencia del controlado r P, dada por la ecuación (2.21), se convierte en: (S.1) cuyos diagramas de Bode son los mostrados en la figura 5.2.

Fig. 5.2 Representación en diagramas de Bode de un con trolador P ideal. Se sabe que, la fase de una constante depende del signo de tal manera que cuando es positivo, su fase es de 0 o, mientras -que si es negativo, su fase será de -180°, por lo cual podemos establecer que cuando el controlador P es de acción directa, su señal de salida presenta un atraso de fase de 180° cori respecto de la señal de error; mientras que con acción inversa, la señal de salida esti en fase con la señal de error. En realidad casi todos los controladores de acción P tienen asociado un tiempo de retardo debido a su propio sistema de retroalimentación interno, de tal manera que la respuesta en fr£ cuencia real de este controlador se puede representar por medio de los diagramas de Bode dados en la figura 5.3.

Fig. 5.3 Representación en diagramas de Bode de un trolador P real. , Como se puede observar en la figura S.3 el controlador P real no presenta una ganancia constante para todos los valores de frecuencia, pero generalmente el ancho de banda de su respues_ ta es muchas veces mayor que el del proceso y que el de las entradas normales a dicho controlador. Para la mayoría de los procesos que utilizan controladores electrónicos o neumáticos, el efecto del tiempo de retardo puede despreciarse por la relativa mayor rapidez de respuesta de éstos sobTe el resto del sistema.

5.1.2 Acción PI. De acuerdo con la ecuación (2.23), la función de transferencia de este controlador es: (S.2) cuya respuesta en frecuencia la podemos obtener substituyendo la variable s por el término ju, en tal forma que:

(S.3) por lo cual su ganancia y fase serán:

132

(5.3.a) (S.3.b)

 A partir de estas dos últimas ecuaciones podemos ver que a bajas frecuencias la ganancia se aproxima al valor fase a -90°; mientras que a altas frecuencias la ganancia se - aproxima a K y la fase a 0 a. Los diagramas de Bode para este -controlador son los mostrados en la figura 5.4, en la cual se ha Oe acuerdo con esta representación podemos concluir qut -las característica» principales del controlador PI son tu contri  bución de fase negativa (atraso de fase) y la adición de ganancia que tiende a infinito para valores de frecuencia tendientes a cero. Fig. $.1» Representación en diagramas de Bode de un eo£ trolador PI ideal.

133 Para un tiempo integral dado, la respuesta en frecuencia,  para cualquier valor de la frecuencia, puede ser obtenida muy f£ cilmente a partir de la curva normalizada mostrada en la figura 5.4. Por ejemplo: supóngase que se desean encontrar los valores de tiempo integral y de ganancia para un controlador cuya fase es de -30°, a una frecuencia de 0.5 rad/seg. En la gráfica de fase podemos ver que la fase es de -30°  para un valor de radianes, por lo cual el valor de --

 y puesto

que la ganancia del controlador para es de 6 decibeles, es decir 1.99, substituyendo en la ecuación (5.3a), tendremos que la ganancia del controlador para

En realidad la función de transferencia del controlador PI difiere de la dada por la ecuación (5.2) debido a limitaciones impuestas por el sistema de retroalimentación interno de cada -controlador y está dada por:

(5.4) lo cual representa una red activa de atraso de fase cuya respues_ ta en frecuencia es la mostrada en la figura 5.5. Generalmente el valor típico de A de un controlador de calidad aceptable es mayor de 20, por lo cual la aproximación dada  por la ecuación (5.2) es bastante buena. En el diseño de servomecanismos es práctica común evitar el uso de controladores de acción PI activos y caros, insertando en vez de éstos, redes eléctricas pasivas de atraso de fase.

134

Fie. 5.5 Representación en diagramas de Bode de un controlador PI real.

5.1.3 Acción PD. La función de transferencia de este controlador es la dada  por la ecuación (2.24), por lo cual: (5.S) substituyendo s por

su magnitud y fase serán:

13S Analizando estas dos últimas ecuaciones tenemos que: a bajas frecuencias la ganancia se aproxima a K y la fase 0o, mientras que a altas frecuencias la ganancia tiende a infinito y la fase a 90°. Los diagramas de Bode para este tipo de controlador son los mostrados en la figura S.6.

De acuerdo con el análisis de estas dos últimas ecuaciones y de la representación en la figura 5.6, podemos concluir que -las características más importantes inherentes a este controla-dor son su adelanto de fase y su ganancia tendiente a infinito a altas frecuencias. De la misma manera que para el controlador PI, la respuesta en frecuencia de este controlador, para cualquier valor de -puede ser obtenida fácilmente a partir de la curva normalizada mostrada en la figura 5.6. Por ejemplo:

136 Se desea saber el valor de ganancia y de tiempo derivativo de un controlador PD para el cual la fase es de 30 A , a una fre cuencia de 0.6 rad/seg. Localizando el punto en el cual la fase es de 30°, se ob--

y para este valor de la ganancia es de 1.25 decibeles: es de_  cir 1.154. Por lo tanto el valor de la ganancia del controlador

De igual manera que el controlador PI, la función de trans_  ferencia dada por la ecuación (5.5) difiere de la función de transferencia real, la cual viene dada por la siguiente expre sión:

donde es una constante cuyo valor es diverso para cada controcomprendido entre 5 y 20. lador, siendo típico un valor de Cuando se calculan los parámetros de este tipo de controla dor requeridos en un sistema, el conocimiento del valor de a de be tenerse en consideración. Los diagramas de Bode representativos de este controlador  pueden ser obtenidos a partir de la ecuación (5.8) y ello se deja al lector como ejercicio.

137 substituyendo s por nemos que:

y rearreglando la ecuación resultante te

cuya magnitud y fase son:

analizando estas dos últimas ecuaciones podemos ver que a bajas -90°; a altas frecuencias la ganancia tiende a infinito y la fa cia asume su valor mínimo igual a La forma de la respuesta depende en gran parte de la relacurvas que ejemplifican las relaciones:

Si en la función de transferencia del controlador PID se  ma de Bode de un controlador PI con valor de ganancia igual a trolador PD con ganancia igual a 1, para bajas frecuencias. De acuerdo con las curvas para observar que en estos casos la respuesta en frecuencia no puede ser obtenida a partir de la suma de las respuestas PI y PO indi_ 

Fig. 5.7 Representación en diagramas de Bode de. un controlador PID ideal para: La función de transferencia real de este tipo de controlador difiere de la dada por la ecuación (5.9). En el capítulo 6 se obtendrá con detalle dicha función. 5.2 DISEÑO DE SISTEMAS DE CONTROL POR MEDIO DE MÉTODOS DE PUESTA EN FRECUENCIA. 5.2.1 Márgenes de Ganancia y de Pase. Por medio de este método es posible seleccionar los tipos de acción del controlador, así como los valores de los parame- tros incluidos en éste, de tal manera que el sistema cumpla con las especificaciones del margen de ganancia y del margen de fase,  medidos ambos sobre el diagrama de Bode del sistema en lazo - -abierto.

139 Este método consiste en trazar las curvas de Bode del proceso e ir añadiendo la contribución de las acciones del controla dor, hasta obtener los márgenes de ganancia y de fase deseados. Estos márgenes suelen ser, para servomecanismos de 4 a 6 decibeles y de 45°, mientras que para procesos, son de 2 decibeles y de 30° respectivamente. Para ilustrar el procedimiento a seguir en la aplicación de este método, supóngase que se tiene el sistema mostrado en la figura 5.8 para el cual se desea seleccionar el tipo de acción,así como los parámetros del controlador, que proporcionen un ma£ gen de fase de 30° y un margen de ganancia de 5 decibeles.

Fig. 5.8 Diagrama a cuadros del sistema utilizado para ejemplificar el método de M.G. y K.F.

El diagrama de Bode para este sistema en lazo abierto, sise considera al controlador como proporcional y con un valor de K unitario, es el mostrado en la figura 5.9. Uso de la acción. P. Supongamos que la acción del controlador es de tipo propor cional con ganancia K ; de acuerdo al criterio de estabilidad de Bode, cuando la ganancia del sistema en lazo abierto es de ce ro decibeles para una fase de -180°, se originará una oscilación continua y sostenida en el sistema en lazo cerrado. Por tanto, para que el sistema sea estable en lazo cerrado su ganancia en lazo abierto debe ser menor de 0 decibeles para una fase de -180°. Al valor de frecuencia para el cual la fase es de -180° se le define como la i>izcae.ncla CKltica. del sistema

Fig. 5.9 Diagramas de Bode en lazo abierto del sistema dado en la figura 5.8

valor de la ganancia total del sistema sea unitario, es decir 0 decibeles, se le define como ganancia Límite., y a la banda proporcional correspondiente a este valor, se le denomina banda  pio_  porcional límite. Para este proceso la frecuencia crítica es de 0.449 rad/ seg. y la ganancia, a esta frecuencia, es de -8db, lo cual impl¿ ca que la ganancia límite es 2.51 pues, si se usara dicho valor de K , la curva de ganancia se elevaría y cruzaría el nivel de 0 db a la frecuencia crítica. De acuerdo con la definición de margen de ganancia, para obtener un margen de 5 db, es necesario elevar la curva en:

lo cual se logra con valor de Usando este valor de la curva de ganancia cruza el nivel 0 db a una frecuencia de 0.225 rad/seg, valor de frecuencia  para el cual la fase es de -105°, por lo cual

sería el margen fase. Si se hubiese seleccionado el valor de K para obtener un  margen de fase de 30°, habría sido necesario elevar la curva 6 db dando como resultado un margen de ganancia de sólo 2 db, lo cual no cumple con las especificaciones deseadas. V  De acuerdo con este análisis es evidente que una primera selección sería usar control proporcional con valor de lo cual proporcionaría un margen de ganancia y de fase de 5 db y de 75°, respectivamente. ÍO de. ¿a. Acc¿6n ?V. U 

Otra especificación común en los sistemas de control es la rapidez con la que deben ser corregidos los efectos perturbadores, la cual depende del valor de la frecuencia en la que la car va de ganancia cruce el eje de 0 db, pues, al incrementarse ésta, la constante de tiempo total del sistema decrece, aumentando, cp_ mo consecuencia, la rapidez de respuesta del sistema. El aumento del valor K elevará la curva de ganancia, lo cual produce un aumento en la frecuencia de cruce con el eje de 0 db. Se da por supuesto que, además, se hace necesario aumentar la frecuencia crítica del sistema para poder obtener el margen de ganancia deseado. Para aumentar la frecuencia crítica puede aplicarse acción derivativa y usarse, por ende, un controlador PD, ya que, como es sabido, la acción derivativa tiende a hacer la curva de fase menos empinada, lo cual permite, utilizar mayor valor de ganancia, y obtener así una posterior reducción del - error estático causado por las perturbaciones permanentes.

142 Un procedimiento usual para la aplicación de la acción PD consiste en adicionar la fase del controlador de tal manera que la pendiente de la curva de fase del proceso suba por acción -del adelanto de fase proporcionada por dicho controlador. Un va_ lor aconsejable de tal adelanto de fase es de 50° a 60° en la frecuencia crí ti ca . Supongamos que en este caso adicionamos 60° a la curva de fase del proceso en el punto (0.449 rad/sep, - 180°) consideran do que K tiene un valor unitario. De acuerdo con el punto 5.1.3, el valor de T n necesario para lograr un adelanto de fase de 60° es:

pues, como podemos observar en la figura 5.6, la fase será 60 o-

Graficando la respuesta del controlador con este valor de TD y adicionándola a la respuesta del proceso, se obtiene el -diagrama de Bode de la figura 5.10. Como podemos observar en este diagrama, la frecuencia crí^ tica es de 0.72 rad/seg y, si se ajusta el margen de ganancia a 5 db, se obtiene un valor de K = 1.059, por lo cual se infiere que la mejoría causada por la acción derivativa es nula, pues si bien aumentó el valor de la frecuencia crítica 1.62 veces, el valor de K , valor que proporciona 5 db de margen de ganancia, se redujo de 1.41 a 1.059. Al ensayar con otros valores de T_, los resultados son -prácticamente los mismos, por lo cual existe la necesidad de de_ terminar si la acción derivativa puede ser empleada en el con-trolador de un sistema determinado, o no. Para determinar la necesidad de este tipo de acción se -emplea el factor denominado "razón de frecuencias", este factor es una medida de la respuesta del proceso más allá del punto de fase -180° y se define como la razón del valor de frecuencia pa_ ra el cual la fase es de -270°, y el valor de frecuencia para -el cual es de -180°, es decir: .

143

Fig. 5.10 Diagramas de Bode del proceso contr¿ lado con acción PD.

donde: T.f. - razón de frecuencias frecuencia a la cual la fase es -270° frecuencia crítica. Se ha determinado que si el valor de esta razón es mayor de 2, la acción PD puede ser utilizado para ajustar los valores de M.G. y M.F. satisfactoriamente.

144 Otra manera de enunciar esto es la siguiente: Si la curva de fase del proceso tiene una pendiente relativamente baja, mientras que su curva de ganancia es muy empinada, tal como sucede cuando el proceso presenta solamente elementos de - -primer orden y cero o casi cero de tiempo muerto, el control derivativo puede ser usado. Si, por el otro lado, el proceso presenta un tiempo muerto de magnitud apreciable originando que la curva de fase sea muy empinada, el control derivativo será de --escasa utilidad lo cual empeorará posiblemente la controlabili--dad del sistema; esto viene a destruir la vieja creencia de que el control derivativo es útil en la presencia de tiempos muertos. En este caso la razón de frecuencias es de 1.82 y las con¿ tantes de tiempo son comparables con el valor del tiempo mu»rto del proceso, por lo cual es evidente que este tipo de acción no puede ser empleado. Supongamos ahora que este proceso no presenta tiempo muerto; su función de transferencia sería: (5.12) cuyo diagrama de Bode es el mostrado en la figura 5.11. Ya que la máxima fase de un elemento de primer orden es de -90° para un valor infinito de frecuencia, es evidente que la -fase del proceso es de -270° y ocurre a un valor de frecuencia infinito. De acuerdo con esto el valor de r.f. será infinito y por lo tanto la acción derivativa puede ser utilizada. Adicionando la acción PO a este proceso de tal manera que la curva de fase aumente 50° a la frecuencia crítica del proceso se obtiene un valor de

ya que la fase del controlador PD es de 50° a un valor de: El diagrama de Bode resultante es el mostrado en la figura

S.12.

14S

Fig. 5.11 Diagramas de Bode del proceso representado por la ecuación (5.12).

Como podemos observar la curva de fase tiende a -180° - asintóticamente, por lo cual podemos decir que el margen de ganancia del sistema tiende a infinito.  Ajustando el valor de K para obtener un margen de fase de 30°, la frecuencia de cruce de la curva de ganancia con el nivel 0 db resulta de 3.2 rad/seg, lo cual se obtiene con un va_ lor de K = 28.18. Es evidente que en este caso una buena selección sería -utilizar acción PD con un valor de K c  = 28.18 y T D  = 0.84 seg. pues con estos valores se obtienen un margen de ganancia ten- diente a infinito y un margen de fase de 30°, lo cual cumple -con los valores deseados de M.G. y M.F. del sistema sin tiempo  muerto.

146

Fig. 5.12 Diagramas de Bode resultantes de la adición proceso + acción PD.

Uso de la Acción PI. Cuando se desea que el sistema de control elimine completa  mente el efecto debido a las perturbaciones es imprescindible el uso de la acción integral. Para observar el efecto de la acción I sobre un sistema -con un gran retardo puro se analizará el sistema de la figura -5.8 bajo acción PI. El procedimiento consiste en adicionar la acción integral de tal manera que se disminuya la fase entre 5 o y 10° en el punto -180°, por lo cual se elegirá en este caso una disminución de 10°. El valor de T^ requerido para obtener este atraso de fase extra de 10° se obtiene de acuerdo con lo dicho en el punto - --

147 El diagrama de Bode del sistema en lazo abierto con este controlador PI es el mostrado en la figura S.13

Fig. 5.13 Diagramas de Bode resultantes de la adición proceso + acci6n FI.  A partir de este diagrama de Bode podemos ver que ahora la frecuencia crítica es de 0.42 rad/seg. y la ganancia a esta frecuencia es de -7.5 db, lo cual implica que la ganancia limite -del sistema es 2.37. Puesto que se desea un margen de ganancia de 5 db, será ne_ cesario elevar la curva de 7.5-5 » 2.5 db lo cual se logra con -

es de 0.225 rad/seg, valor para el cual la fase es de -123° y - por tanto el margen de fase será de 57°.

148 Como podemos observar a partir de estos resultados, la acción integral reduce los valores de frecuencia crítica y ganancia límite en comparación con los obtenidos usando acci5ri propor cional solamente, lo cual es indeseable pues hace que la curva de respuesta sea más empinada y por tanto la rapidez de respuesta del sistema será más pequeña. para valores muy grandes de este tiempo el efecto del controla-dor sobre la estabilidad del proceso será despreciable, pero se requerirá un mayor tiempo para eliminar los efectos producidos por las perturbaciones; mientras que para valores muy pequeños de éste el sistema se hará inestable, por lo cual es necesario -

de respuesta del proceso y generalmente viene dado por;

donde

es el período último del proceso y se define como el --

período de las oscilaciones de su señal de salida en estado permanente cuando estas oscilaciones son sostenidas y -leí mismo v a lor, de tal manera que:

Se deja al lector como ejercicio encontrar el valor de K necesa_ rio para lograr 5 db de margen de ganancia aplicando este valor

5.2.2. Método

de Lazo Abierto.

Por medio de este método es posible seleccionar los parame tros óptimos del controlador a partir del valor máximo de gananb i d o que para un valor grande de esta ganancia el sistema presen

149 tara un error mayor para valores de frecuencia de la señal senoidal de entrada cercanos a la frecuencia de resonancia del sistema. De acuerdo con esto podemos decir qué la ventaja mas - -importante proporcionada por este método es asegurar una buena respuesta transitoria del sistema. En el diseño de servomecanismos el valor recomendado de es de 1.4 db, mientras que para procesos es de 2 a 3 db; - aqui se recomienda el uso de valores de ganancia del controla-dor cercano al valor máximo.  A continuación describiremos el procedimiento a seguir en la aplicación de este método por medio de la selección de un -r controlador PI. . Pfioczdi.m4.znto Ginzn.a.1.

1o.- Se traza el diagrama de Bode del proceso. 2o.- Se gráfica la ganancia en db del proceso contra su fase, indicando eJ valor de frecuencia para intervalos cercanos en la curva resultante. Esto constituye la quilico, di W¿-choti del proceso, cuya escala debe ser idéntica a la esca_ la de la carta de Nichols. . Como se recordará, la carta de Nichols es una gráfica serailogarítmica de la ganancia versus la fase del sistema en lazo abierto, con contornos superpuestos de M y a, los cuales representan la ganancia y la fase en lazo cerrado T respectivamente. Esta carta es mostrada en la figura S.14. 3o.- Utilizando una carta de Nichols grafic'ada sobre papel trans  párente, este se coloca sobre la gráfica de Nichols de tal  manera que los ejes correspondientes a -180° queden perfe£ tamente alineados. 4o.- Manteniéndose fija la gráfica de Nichols se desliza la car_ ta hacia arriba o hacia abajo hasta que la curva del proce_ so sea tangente al contorno M deseado. La diferencia en ■i'

P

decibeles entre la línea de O db de la gráfica y la línea de O db de la carta constituyen el valor de cuencia a la cual sucede el contacto entre

150

Fase (grados) Fig. 5.14 Carta de Nichols.

deseado, y la curva de la gráfica de Nichols es la frecuencia de resonancia del sistema, se adiciona el término: 5o.- Con el valor encontrado de al diagrama de Bode de tal manera que la acción I contribuya con 10° de atrazo de fase a la frecuencia de resonancia encontrada en el 3er. paso.. Como se verá posteriormente, un valor de 5 veces el inverso de la frecuencia de resonancia. El valor de la frec.de resonancia del sistema en lazo cerrado generalmente es cercano al valor de frecuencia que produce un atraso de fase de -135° en el Bode de lazo abierto.

151 Ahora bien, aplicando este procedimiento para el proceso cuya función de transferencia es la dada por la ecuación (5.12), se obtiene la gráfica de Nichols de la figura 5.15. es tangente de la curva en el punto (-14 «Jb,- 142.5a). Por extra polaciSn se determina el valor de la frecuencia de resonancia y así se obtiene 0.725 rad/seg.

Este método presenta una mayor facilidad de aplicación, s£ bre todo cuando es sencillo pasar del diagrama de Bode de lazo abierto al de lazo cerrado, o de otra manera, cuando el diagrama de Bode en lazo cerrado puede encontrarse directamente. Para ilustrar esto supóngase que se tiene un proceso cuya función de transferencia está dada por:

152

Si se usa acción proporcional, y considerando retroalintención unitaria, la función de transferencia del sistema en lazo cerrado a resulta es:

•'■ Generalmente para procesos de este tipo el valor de K es  mucho mayor que la unidad, por lo cual K ■ K+1. Elidiendo un vación de transferencia se convierte en:

Substituyendo s por la respuesta en frecuencia del sis_  tema en lazo cerrado es del tipo:

 Analizando los diagramas de Bode de esta función de transferencia para diferentes valores

Cuando se adiciona acción integral, un valor recomendable de T es 4 veces mayor que el recíproco de la frecuencia de reso

153 Podemos concluir que para un proceso que consta de dos retardos, uno mucho mayor que otro, el valor de K óptimo está dado por:

y adicionando acción I el valor de Supóngase ahora que se aplica control integral únicamente; entonces la función de transferencia del sistema en lazo cerrado será:

y aplicando el criterio anterior, la función de transferencia del sistema en lazo cerrado será:

Sustituyendo s por ecuación se convierte en:

suponiendo que

cercano a 2 db. Resumiendo: cuando se usa acción I solamente,el valor de -

154 5.2.3 Mítodo de Ziegler-Nichols. Este método es de gran utilidad ya que por medio de él es posible hacer un cálculo estimativo de los parámetros del con-trolador como una primera instancia, con el fin de lograr el -ajuste de éstos de tal manera que el sistema de control cumpla con los requisitos impuestos de funcionamiento. Esencialmente este método está basado en el conocimiento de la frecuencia crítica y ganancia límite las cuales se pueden obtener fácilmente a partir del diagrama de Bode del sistema en lazo abierto, considerando el controlador como proporcional y -

De acuerdo con el criterio de estabilidad de Bode, es evi^ dente que un valor de ganancia de un controlador proporcional igual a la ganancia límite del sistema, ocasionará que tal sistema esté al borde de la inestabilidad, por lo cual se define el término K como la ganancia. ú.tt¿ma o ¿zn¿¿t¿v¿dad (Lttima, de tal manera que:

Al período de las oscilaciones sostenidas causadas al hay viene dado por la relación:

Después de experimentar con mültiples procesos típicos, Ziegler y Nichols establecieron que los valores recomendados de los parámetros del controlador a usar son los siguientes: a) Para controladores proporcionales.

b) Para controladores PI.

c) Para cqntroladores PII)

Desafortunadamente los valores de los parámetros del controtador PD no pueden ser obtenidos & partir de lores dados para en las ecuaciones S.1S corresponden al caso límite en el cual la acción integral ha sido suprimida en un controlador PID. El procedimiento para seleccionar los valoLa ventaja más importante proporcionada por este método radica en el hecho de que la técnica puede llevarse a cabo sin trazar el diagrama de Bode del sistema en lazo abierto, pues só_ lo es necesario colocar el proceso bajo control proporcional -empezando con un valor de ganancia bajo y realizar varios ensayos a diferentes valores de hasta conseguir una variación en la salida constituida por oscilaciones sostenidas del mismo valor. Con el solo conocimiento de estos dos parámetros y por me_ dio de las ecuaciones (5.13),(5.14) y (5.1S) es posible determi. nar los parámetros óptimos del controlador a usar. Este método también recibe el nombre de  mito do di la *eniitividnd Ultima, o mítodo de. tai o¿c¿tac¿ong.i continúen y  puede ser aplicado para la mayoría de los sistemas industriales, pero es necesario tener siempre un criterio diferente aunque sólo -sea en vías de comparación. Cuando en un proceso las oscilaciones sostenidas no son toleradas, el método anterior no puede ser aplicado. Se sigue entonces un procedimiento similar que consiste en colocar el - proceso en control proporcional solamente, e ir ajustando el --

156 valor de la ganancia hasta conseguir 1/4 de razón de decaimiento en la salida, la cual mostrará un periodo de oscilación P que re. rivativa son ajustados con las siguientes fórmulas:

Una vez establecidos los valores anteriores se reajusta hasta obtener 1/4 de razón de decaimiento en la respuesta transí toria. Comunmente este método es llamado  mitodo de tai o¿c¿laci¿ na amoitiguadai. El empleo de los dos métodos anteriores lltva a una aproximación de la sintonización de los controladores; ovi. dentemente éstos deben ser más finamente ajustados en el campo. Es siempre recomendable no aplicar los tres modos de acción indiscriminadamente en cualquier proceso sino sólo cuando sea n£ cesario. Por lo general acción proporcional e integral o inclusi. ve acción Si o No, pueden bastar. 5.2.4. India de Contuolabilidad de Haixiott. Causa de polémicas ha sido por siempre la controlabilidad de un sistema o, más bien, el grado de dificultad que presenta un sistema o proceso para ser controlado. Muchos criterios se -han aplicado para tratar de responder a tal cuestión. Uno de los  mayormente usados es el propuesto por Harriott que consiste en juzgar la bondad de un proceso mediante el valor del producto - M  ,K c c maxproducido por el Bode de lazo abierto del proceso. Este criterio es generalmente empleado con el fin de comparar dos pro_ cesos entre sí y decidir cuál es susceptible de un mejor control. Se supone que el proceso que presenta un mayor valor de es el mejor desde el punto de vista de su controlabilidad. Para ejemplificar, supóngase que se tienen tres procesos: uno es el  proceso dado por la ecuación (5.12), con constantes de tiempo 4, 2 y 0.4; el segundo tiene constantes de tiempo 4,1 y 0.4, es decir la constante de valor intermedio es ahora la mitad del anterior; y finalmente considérese la relación de la constante mayor

157

 por un factor de 2, así que el tercer proceso es de constantes de tiempo 2,2 y 0.4.

El diagrama de Bode para estos procesos, supuesta retroali  mentación unitaria, es mostrado en la figura 5.16 En la tabla 5.A se ilustran los resultados que, por cierto, acaban con otra vieja creencia sobre controlabilidad que suponía que disminuyendo una cualquiera de las constantes de tiempo del  proceso, la controlabilidad de éste aumentaría. Observando dicha tabla se llega a la conclusión sorprendente de que la reducción de la segunda constante de tiempo, en orden de magnitud, es la que debe ser efectuada. En el ejemplo, la reducción por un factor de 2 de dicha constante aumentó la frecuencia crítica un - 27.5 por ciento. Para el proceso 3, obtenido de la reducción de la constante de mayor orden, el aumento de la frecuencia crítica

158 es del 17.0 por ciento, pero llega a una reducción drástica de la ganancia máxima disponible, del orden de 30 por ciento, con la cual el índice se reduce en un 14.0 por ciento. Lo anterior sugiere que, en ciertos casos, la constante mayor debe ser aumen tada. Para casi todos los procesos la constante de mayor orden no puede ser cambiada (aumentada) fácilmente; en cambio la segunda constante sí puede disminuirse. Otro hecho que se puede comprobar es que el tiempo muerto en un proceso debe ser disminuido -cuanto sea posible con el fin de hacer más controlable dicho pro ceso. Recuérdese que el tiempo muerto no afecta la curva de ganancia pero aumenta el atraso de fase y acorta el valor de frecuencia crítica. Aplicar el criterio de Harriott sin tomar precaución alguna puede ser muy peligroso, sobre todo cuando las perturbaciones so_ bre el proceso ocurren cerca del final del mismo, o la dinámica del elemento de medición (de la retroalimentacidn) no puede ser despreciada. La idea básica aue está detrás del método de Harriott es -lor de ganancia y por tanto será logrado menor valor de error es_ tático en el caso proporcional. También la respuesta transitoria, para los parámetros recomendados por Ziegler Nichols, por ejemplo, presenta una frecuencia de oscilación que es proporcional a la frecuencia crítica y, como dicho transitorio desaparece después de dos o tres oscilaciones, se deduce que, si se desea un pequeño tiempo de transitorio, el valor de frecuencia crítica de_ be ser alto. Harriott demostró que la integral del error absoluto con respecto del tiempo para dos sistemas es, aproximadamente inversamente proporcional a sus valores de w K msxi siempre -que el retardo en la retroalimentación no sea muy alto. Matemáticamente:

159 De tal modo que, si se desea minimizar la integral del error, el índice debe ser lo mayor que sea posible. 5.3. EFECTO DE LAS PERTURBACIONES Y SU IMPORTANCIA EN El, DISEÑO DE SISTEMAS DE CONTROL. Parte importante en el diseño de un sistema Ue control es el considerar el tipo de perturbaciones en el sistema y el lugar en donde éstas actúan pues a partir de tal consideración es pos¿  ble predecir el efecto de los parámetros del controlador sobre la respuesta del sistema a dichas perturbaciones. Como se ha dicho, la respuesta transitoria de un sistema a una perturbación en forma de escalón constituye un método de análisis muy útil y de fácil aplicación cuando el sistema no es  mayor que uno de segundo orden. Como se hará evidente en el desa rrollo de este punto, la respuesta en frecuencia de un sistema en lazo cerrado (Bode de lazo cerrado) es similar a la de un sis_ tema de segundo orden bajo amortiguado en lazo abierto, por lo cual también existe una eran similitud entre sus respectivas res  puestas transitorias.  A partir de esto es lógico pensar que existe la posibilidad de poder correlacionar la respuesta en frecuencia del siste ma en lazo cerrado y lazo abierto con los parámetros más importantes de la respuesta transitoria del sistema a perturbaciones en escalón. Estos parámetros son: sobretío (altura máxima de la desviación) el cual ocurre generalmente durante el primer ciclo, -(frecuencia de resonancia). (frecuencia de las oscilaciones transitorias), razón de decaimiento y error estático final.

El error estático puede ser fácilmente calculado a partir de consideraciones de estado permanente (teorema del valor final) La razón de decaimiento entre picos sucesivos puede ser estimada a partir del margen de fase del sistema pues, como se recordará, el valor de frecuencia a la cual la curva de ganancia del sistema en lazo abierto cruza el nivel de ganancia 0 decibeles es una indicación de la rapidez con la cual el sistema corrige los efec tos producidos por las perturbaciones. La frecuencia de las -

oscilaciones transitorias se ha considerado del 70 al 80$ de la frecuencia crítica para los valores de los parámetros recomendados por Ziegler y Nichols, El punto más importante de esta correlación es predecir el valor pico del srror, lo cual se puede lograr a partir del hecho de que existe una relación exacta entre el valor del sobretiro de la respuesta transitoria y la relación de la ganancia pico -con respecto a la ganancia en la región plana de la respuesta en frecuencia del sistema en lazo cerrado. Ahora bien, puesto que el valor del sobretiro de la respues_ ta transitoria es prácticamente igual para control P que para -control PI, para predecir este valor sólo es necesario trazar -el diagrama de ganancia de Bode para el sistema en lazo cerrado con control P únicamente. Cuando se requiere mayor exactitud en las mediciones, este trazo de Bode debe ser construido incluyendo la acción integral o derivativa, según sea el casp. Con el objeto de ilustrar la aplicación de esta correlación analicemos el sistema mostrado en la figura 5.17.

Fig. 5.17 Diagrama a cuadros del sistema utilizado en el análisis del efecto de las perturbaciones . Aplicando el criterio de Routh se obtiene para este sistema

El diagrama para el sistema en lazo abierto y lazo cerrado para-

161

Fig. 5.18 Diagrama de Bode en lazo abierto y lazo lazo cerrado del sistema de la fig. 5.17

El diagrama de Bode del sistema en lazo cerrado para cada una de las perturbaciones puede obtenerse fácilmente a partir de la función de transferencia correspondiente, de tal manera que: Para la perturbación

donde:

sustituyendo el valor de 5.18.

en función de

162 tendremos finalmente;

Como podemos observar, esta última ecuación revela el hecho importante de que la curva de ganancia del diagrama de Bode en lazo cerrado para la perturbación que entra al principio del proceso es semejante a la del sistema en lazo cerrado, difirien do solamente en el nivel de ganancia cero decibeles, siempre -que el proceso esté bajo control proporcional únicamente, de -tal manera que el sobretiro de la respuesta a un cambio en esca lón de la perturbación será igual en porciento al sobretiro debido a un cambio en escalón del valor deseado, ya que se tie ne el mismo pico relativo en la respuesta. .. '

Para la perturbación

donde:

 por tanto:

Para la perturbación

donde:

163  por tanto;

 A partir de las ecuaciones (5.19), C5.21) y (5.23) se obtiene el diagrama de Bode en lazo cerrado para cada una de las •  perturbaciones,,los cuales son mostrados en la figura 5.19.

Fig. 5.19 Respuesta a las perturbaciones en lazo abierto y Xazo cerrado para el sistema de la fig. 5.17

164 Diversos trabajos han sido desarrolados con el fin de obtener una correlación general entre la respuesta transitoria y la respuesta en frecuencia de los sistemas de control.  A partir del análisis de diferentes sistemas por medio de simulación analógica, se han hecho publicaciones referidas a la correlación general para un sistema de tres constantes de tiempo, la cual es mostrada en la figura 5.20.

Razón de amplitud pico de la respuesta en frecuencia Fig. 5.20 Correlación entre la respuesta transitoria y respuesta en frecuencia. Como podemos observar, esta correlación está basada sobre la relación existente entre la magnitud lineal de la ganancia  pico relativa de la respuesta en frecuencia y la relación del  pico máximo de error con respecto al error estático final de la respuesta transitoria, de tal manera que, a partir del conoci miento de esta ganancia pico relativa, es posible predecir el  por ciento de sobretiro de la respuesta transitoria a las perturbaciones en escalón. La curva superior representa el caso para el cual la razón de decaimiento de la respuesta transitoria es 0.25, valor considerado generalmente como ideal. La curva inferior resulta de que se utilice un valor de

165 Como podemos observar en la figura 5.19, la ganancia a bajas frecuencias para la respuesta a la perturbación L. es de - -20.74 dB, mientras que su ganancia máxima a altas frecuencias es de -9.7 db, por lo cual el valor absoluto del pico resonante será de 11.04 decibeles, es decir 3.564, el cual ocurre a una -frecuencia de 1.05 rad/seg. Ya que el valor de la relación es de 0.5, a partir de esta correlación podemos estimar el valor de la razón de decaimiento como un valor cercano a 0.46 pues, como podemos ver, las constantes de tiempo 10, 5 y 2 son aproximadamente proporcio nales a las constantes de tiempo implicadas en el sistema. Localizando el punto de la curva correspondiente á esta ra zón de decaimiento, para el cual el valor del pico resonante es de 3.564, se obtiene un valor de la relación, que se expresa - así:

por lo cual es evidente que el por ciento de sobretiro de la - respuesta transitoria es del 481. De igual manera se obtienen los parámetros de la respuesta a L7  y L,, los cuales son mostrados en la tabla 5.B, Perturbación.

Magnitud del pico resonante.

Frecuencia de resonancia.

Sobretiro % 

Aplicando el teorema del valor final, el valor del error en estado permanente es de 0.091, por lo cual la magnitud del error pico máximo de la respuesta a

166 A partir de estos resultados podemos concluir que el pico de la desviación es cada vez mayor a medida que la perturbación se presenta más cerca del final del sistema. _ I, Por otra parte, si se tiene que el proceso presenta las constantes de tiempo menores hacia el final del sistema de control, tal como se muestra en la figura 5.21, el control de las perturbaciones empeora radicalmente pues la relación de pico la zo cerrado aumenta considerablemente.

Fig. 5.21 Diagrama a cuadros del sistema de la Fig.5.17 con las constantes de tiempo menores colocadas al final. La tabla 5.B muestra la relación de pico de frecuencia pa_ ra cada una de las perturbaciones, así- como el por ciento de so bretiro. Por ejemplo: el error estático final debido a un cames, bajo acción proporcional por supuesto, bio permanente en y el pico máximo será un 48 por ciento más sobre es decir .134. Debe ponerse especial cuidado en el tipo de perturbación sobre el sistema, pues si es del tipo fluctuante con armónicas cercanas a la frecuencia de resonancia, el sistema de control amplificará dichas perturbaciones y en este caso el sis_ tema en lazo abierto tendrá mejor comportamiento. A bajas frecuencias o frecuencia cero el sistema de control presenta una notable mejoría sobre el sistema en l azo cerrado pues, por ejem pío, el error estático para un escalón en zo abierto y de .091 para lazo cerrado. Si las perturbaciones son de muy alta frecuencia, tanto en lazo abierto como en lazo cerrado, el efecto de las perturb§_ ciones es el mismo (para altas frecuencias el Bode de lazo abierto es igual al Bode de lazo cerrado).

167 Finalmente se puede decir que los procesos de tercer orden sin tiempo muerto presentan una correlación aproximada entre el pico relativo de su respuesta a la frecuencia y el pico máximo de su respuesta al escalón, la cual consiste en lo siguiente: Si se incrementa la ganancia del controlador, los aumentos del pico de la respuesta en frecuencia serán relativamente mayores que los del pico de la respuesta transitoria. 5.4

SITUACIONES ESPECIALES.

5.4.1 Procesos con retardo en la medición. Cuando el proceso presenta un retardo apreciable en la medición, el error medido en el elemento de comparación puede ser muy diferente del error real del sistema. Si el elemento de medición consta de uno o dos retardos de primer orden,presentando por lo tanto características de sobreamortiguamiento, el error medido será menor que el error real y la diferencia entre estos errores dependerá en mucho de las constantes de tiempo del elemento medidor y de las constantes de tiempo del proceso. Para el sistema dado por la figura 5.8 la respuesta en frecuencia en lazo cerrado a las perturbaciones L,, L- y L, (indicados en la figura S.17) así como los resultados obtenidos en el análisis -del sistema son mostrados en la figura 5.22 y en la tabla 5.C

TABLA 5.C Si, por otra parte, el elemento medidor presenta caracte rísticas de sistema bajo amortiguado, el error medido puede -llegar a ser mayor que el error real. En la figura 5.23 es presentado un sistema con retardo en la medición.

Fig- 5.23 Sistema con retardo en la medición.

El proceso consta de dos retardos exponenciales de magn¿  pectivamente. Las ganancias de estado permanente para la carga son, en el caso sin retroalimentación, para

169

 para

Ahora bien, como podemos observar en la figura 5.23, en el caso de retroalimentación, la función de transferencia de la tra_ yectona directa es:

y la función de transferencia de retroalimentación, considerando

de tal manera que la función de transferencia del sistema en la_ zo cerrado debida a variaciones de la señal de valor deseado se

rá: la cual puede ser arreglada de tal modo que se pueda utilizar la carta de Nichols, obteniéndose: '_ . ~ . .

donde:

(5.26)

Como podemos observar, esta ecuación permite interpretar el sistema de la figura 5.23 como un sistema con retroalimentación unitaria en cascada con otro cuya función de transferencia sea 1/H(s), por lo cual es evidente que la gráfica de Ni- t chols para G'(s) permite obtener el diagrama de Bode del sistema en lazo cerrado considerando la variable de medición la variable de salida. Para obtener el diagrama de Bode del sistema en lazo ce -la señal de entrada, sólo es necesario añadir el diagrama co- -

170

donde:

y Las funciones de transferencia en lazo cerrado debidas a las per-' turbaciones son:

(5.28)

y

A partir de estas tres últimas ecuaciones podemos concluir que por medio de la gráfica de Nichols para es posible onte_ ner fácilmente el diagrama de Bode del sistema en lazo cerrado d£ bido a variaciones en la señal de valor deseado y a las perturbacon la simple adición de los términos corresponciones dientes . Con el fin de estudiar el efecto de la constarte dé tiempo T considérese lo siguiente: Se sugiere que el sistema mostrado en la figura (5.24), cuyo retardo en la medición es de 2 segundos, puede mejorarse multi plicando este valor para el factor 2.

Fig. 5.2*1 Proceso con retardo en la medición.

 A partir del diagrama de Bode para el sistema en lazo - -abierto, considerando a 8 como la variable de salida, se obtuvieron los resultados dados por la tabla 5.D. Se deja al lector como ejercicio la obtención de este diagrama. TABLA 5.D

Esta tabla indica que el incremento de la constante de - tiempo de medición empeora el control, pues si bien es cierto -que la integral del error medido absoluto es menor cuando la - constante es mayor, el sobretiro será menor usando la constante de tiempo más pequefta. También en el aspecto de rapidez de co- rrección del efecto perturbativo, la menor constante muestra su perioridad sobre la mayor.

5.4.2. Procesos dominados por tiempo muerto . Este tipo de procesos es el más difícil de controlar debido a su tendencia a ser inestable debido a que, su curva de fase

172 es muy empinada pues a medida que aumenta la frecuencia la fase se hace más negativa. Un ejemplo clásico de un proceso de tal naturaleza es el control de flujo en tuberías en las que el punto de medición de dicho flujo ( o de concentración, quizá ) y el lugar de instalación de la válvula, están separados por cierta distancia. En este caso el tiempo muerto es el tomado por el fluido  para ir de la válvula hasta el punto de medición. En la figura 5.25 se ilustra un proceso dominado por tiempo muerto y la reprj sentación a cuadros de dicho proceso.

Fig. 5.25 Control de flujo a) Sistema, b) Diagrama a cuadros del sistema.

Como podemos observar en esta figura, los cambios de presión, aguas arriba, de la válvula constituyen la perturbación - principal L. Con el fin de analizar la respuesta de este tipo de procesos se llevó a cabo una simulación digital de éste, obteniéndose los siguientes resultados: Seleccionando inicialmente acción proporcional con se determinó que este tipo de acción permite un error de 2/3 de la magnitud de la perturbación, por lo - cual se concluye que el control proporcional no puede ser usado en este tipo de procesos.

173

Posteriormente se aplicó acción PI con este mismo valor y, haciendo varios ensayos para diferentes valores de se computó para cada uno de ellos la integral con respecto del tiempo del error absoluto, encontrándose que un valor de igual a conducía a la integral mínima. Finalmente se hizo uso de acción I únicamente, encontrándose, en la misma forma que para la acción PI, que el valor - En la figura 5.26 se muestra la respuesta a cambios en es_ calón unitario de la perturbación, tanto para control PI como  para I. De acuerdo con la forma de las curvas de respuesta obt£ nidas, es evidente que el tipo de acción recomendado para usarse en procesos con tiempo muerto es la acción I.

Fig. S.26 Respuesta a la perturbación del proceso dado en la figura 5.25.

174 Un controlador no convencional en el que se haga uso de la información de que el proceso presenta determinado valor de tiem po muerto, debe corregir en forma más satisfactoria que el PI o I que sólo usan la señal de error para actuar. Diversos esquemas han sido propuestos siendo los dos principales el control paso a paso y el predictor de Smith. El control paso a paso consiste en controlar el proceso me diante acción convencional (generalmente PI) durante un breve -lapso (en este caso 2 o 3 segundos) manteniendo la salida del -controlador constante durante un tiempo ligeramente mayor que el tiempo muerto. Aunque satisfactorio, este tipo de control sólo muestra ligera mejoría respecto del controlador continuo. El predictor de Smith, el cual es mostrado en la figura -5.27, consiste en añadir, en el controlador, elementos que repr£ duzcan el tiempo muerto del proceso y demás retrasos y ganancias del mismo, con el propósito de hacer que el controlador convencional no sienta el efecto del tiempo muerto. El predictor permi_ te usar valores mayores de ganancia proporcional o menor constan te de tiempo integral en el controlador.

Fig. 5.27 Predictor lineal de Smith.

Suponiendo que ción de predictor es:

se tiene que la fun

175

es la función de transferencia del controlador PI y viene dada por:

La función de transferencia para la perturbación resulta ser:

ha sido removido de la ecuación caracteEl término rística lo cual permite que pueda ser usada mayor ganancia del controlador. Para fines de comparación el mismo proceso de la figura S.25 fue simulado digitalmente controlado por el predictor, obteniéndose las respuestas a la perturbación de la figura 5.28. Si la simulación del tiempo muerto y la ecuación (5.31) sería la función de transferencia para la - perturbación que indica que puede ser usado un valor infinito de ganancia, dando como respuesta a una perturbación en escalón unitario la gráfica de la figura 5.28(a). La integral del error absoluto para este caso es igual a t y es el resultado máximo que solamente un controlador ideal podría alcanzar.

Si

no reproduce exactamente a ya no es perfecta. Se simulo el sistema con un valor de igual a .75, es decir un 251 menor de el valor que debe tener. £1 resultado de la simulación es dado en la figura 5.28 (b). Si es igual a K la función de transferencia para la perturba ción es la siguiente:

176

Fig. 5.28 Respuesta a la perturbación del  predictor de Stnith.

177

Si el tiempo muerto fuera simulado inexactamente la ecuación resultante sería:

Los resultados de la simulación para este caso se muestran en la figura 5.28(c). En cada caso se ajustaron los valores de para encontrar una respuesta satisfactoria. Se infiere que el predictor de Smith proporciona un mejor control siempre que la simulación de 25% del valor real. 5.4.3. PROCESOS DISTRIBUIDOS. Mediante la técnica de respuesta en frecuencia los procesos con efectos distribuidos pueden ser analizados con relativa facilidad. Basta añadir el trazo de Bode del elemento distribuído al del resto del proceso y proseguir el análisis en forma con vencional. LINEA NEUMÁTICA. La función de transferencia de un ducto neumático depende del volumen conectado al extremo final del ducto. Cuando éste -termina en un pequeño fuelle o diafragma, cuyo volumen sea despreciable en comparación al de la línea, la función de transferencia que relaciona las presiones de ambos extremos es: (5.34)

presión de salida presión aplicada

178

resistencia, inertancia y capacitancia unitaria de la línea. L

= longitud de la línea.

La inertencia de la linea puede despreciarse, por lo que la ecuación anterior adopta la misma forma que la de conducción de calor a través de una placa finita aislada, ec(3.78).

Expresando la ecuación anterior en términos de la resisten cía y capacitancia totales, tendremos:

(5.36)

El trazo de Bode de expresiones para la ganancia y la fase en función de la frecuencia. La ganancia puede obtenerse a partir de la identidad.

Sustituyendo (5.36) en (5.37), se obtiene (5.38) El argumento de guíente identidad.

 puede deducirse a partir de la si--

(5.39)

179 Sustituyendo (S.38) en la ecuación anterior, se obtiene -(5.40)

Graficando las ecuaciones (S.38) y (5.40) se obtiene el -trazo de Bode del elemento distribuido. El trazo de Bode se mues_ tra en la figura, S.29.

Fig. S.29 Diagramas de Bode para el proceso con parámetros distribuidos del ejemplo 5.1

Ejemplo S. Un DTOceso de control de flujo presenta los siguientes datos:

180 Controlador: PI L = distancia entre controlador y válvula = 100 metros constante de tiempo de la válvula = 0.S segundos. constante de tiempo del proceso = 0 . 1 La presión de la línea se aplica a un pequeño diafragma en el posicionador de la válvula. ¿Cuáles serán los parámetros del controlador PI, recomenda dos por el método de Ziegler Nichols? Solución: El diagrama a cuadros resultante se da en la figura 5.30.

Fig. 5.30 Diagrama a cuadros de un sistema con efectos distribuidos.

El valor de la frecuencia crítica puede encontrarse eva- luando la fase de lazo abierto y encontrar el cruce de -180° mediante tanteos. Llevando a cabo lo anterior con una calculadora, resulta una tabla como la siguiente. Las columnas corresponden al defasamiento producido tanto en el ducto, como en la válvula y en el proceso, respectivamente.

181 W

DUCTO

VÁLVULA

PROCESO

FASE TOTAL

Interpolando entre los dos últimos valores de la tabla encontramos la frecuencia crítica:

Observando la tabla nos damos cuenta que el ducto y la val. vula contribuyen con la mayor parte de la fase, lo cual es carac terístico de los procesos de control de flujo. El valor de ganancia del Bode de lazo abierto, en la fre cuencia crítica, viene dado por: . :. '-

Si se usa control proporcional, el valor de oscilaciones sostenidas es aquel que multiplicado por la ganancia del proceso en la frecuencia crítica, da la unidad (Criterio de Bode). En este caso:

ganancia última.

El periodo de las oscilaciones es:

Los valores recomendados para el controlador son:

PROBLEMAS.

183

1.- Si la entrada a un sistema lineal estable, distribuido o con estado permanente viene dada por: función de transferencia del sistema. Encuentre la salida - permanente á una entrada senoidal, de amplitud A, para cada uno de los siguientes sistemas: " f¡

Construya el diagrama de Bode para cada uno de los incisos anteriores, tomando son los aproximan-Comente cuál de las dos aproximaciones tes de Pade de es mejor, basándose en el trazo de Bode. 2.- Dado el sistema (I):

Construir los trazos de Bode en lazo abierto para y fijar en cada caso S decibeles de margen de  para ¿Cuánto vale el margen de fase resulganancia, mediante tante en cada caso?

184 3.- Dado el sistema (II).

localice el punto de fase Sobre el trazo de Bode de igual a -180°. Enseguida añada el trazo de Bode del controla de tal modo de añadir el máximo adelanto dor PD, con de la fase proporcionado por el controlador, en el punto de Encuentre la frecuencia crítica -a) ¿Cuánto debe valer antes y después de añadir la acción derivativa.  b) ¿Cuáles deben ser los valores de les de margen de ganancia si:

 para tener 7 decibe--

i) Se usa control proporcional solamente. i i 1 Se usa el controlador PD mencionado arriba? 4.- Si en el problema 2 se sustituye el controlador PD por PI -¿Es el sistema estable?

185 y el valor de la acci6n integral por: aproximadamente.  b) Si se usa control integral (control flotado), con función de transferencia el valor de más adecuado c) Si el proceso es del tipo

El control integral no debe ser usado. d) Para el proceso del inciso c) ¿Cuáles valores de los pará_  metros del controlador PI deben seleccionarse para aseguesté entre 1 y 2 decibeles? rar que

6.- Para un proceso, cuya función de transferencia es:

Se usa un controlador PI. Usando el método de Ziegler Niy cuáles sechols. ¿Cuáles deben ser los valores de rán los márgenes de fase y ganancia una vez afladidas las características del controlador seleccionado? Si el proceso viene dado por:

186

¿Cuáles son los valores, recomendados por Ziegler-Nichols,Y Cuáles serán los márgenes de fase y ganancia una vez añadidas las características del controlador seleccionado? 7.- Un proceso sobreamortiguado, de segundo orden, puede ser aproximado a uno de primer orden más un retardo puro; esto  puede aproximarse a

donde L y T vienen dados por

Para el proceso caracterizado por L y T encuentre el valor y el valor de frecuencia crítica (para cona) Aplicando lo anterior ¿Cuál es el valor de trol proporcional) que debe usarse en un sistema cuyo según  proceso es de segundo orden con el método de Ziegler - Nichols?  b) Si el proceso

¿Cuál será la función

de transferencia aproximada y cuál el valor de  mendado por Ziegler-Nichols? 8.- ¿Cuál es el valor del índice

reco-

 para el proceso cuántas veces aumenta el

valor de dicho índice si el tiempo muerto se reduce a S?

187 BIBLIOGRAFÍA 1.2.3.4.-

HARRIOT P. McHraw Mili Book Co, 1964 Capítulos 7, 8 y 9. BUCKLEY P. John Wiley and Sons; 1964. Capítulos 8, 9 y 12. GOULD L. Addison Wesley, 1969. Capítulo 3. DISTEFANO III, STUBBERUD y WILLIAMS

5.-

ZIEGLER y NICHOLS Trans ASME Vol. 64. Pae. 759.

6.-

SMITH, O.J. A  Journal (febrero, 1959) Pag. 28

ISA,

189

C A P I T U L O

6

INSTRUMENTOS DE CONTROL 6.1.

CONTROLADORES NEUMÁTICOS.

6.2.

EJEMPLO DE UN CONTROLADOR NEUMÁTICO.

6.3.

CONTROLADORES ELECTRÓNICOS.

6.4.

EJEMPLO DE UN CONTROLADOR ELECTRÓNICO.

6.5.

TRANSMISORES Y CONVERTIDORES.

190 Este capitulo intenta dar una breve descripción de los controladores tanto en sus aspectos teóricos como en los prᣠticos. Desde el punto de vista de un sistema completo de con trol, el controlador efectúa dos misiones importantísimas; la  primera consiste en comparar continuamente la señal provenien te del elemento medidor -o transmisor con una señal de valor deseado o referencia. Cuando esta última señal es constante, o es movida de valor en muy raras ocasiones, al controlador se acostumbra llamarle La segunda misión consiste en producir una señal de control a partir de la señal de desviación siguiendo determinada estrategia de control. Dicha señal de control viajará al actuador para, finalmente, corregir el error del sistema. El aspecto clave en la implementación de un controlador es la retroalimentación, pues ésta permite una síntesis casi exacta de la función de transferencia deseada para el controlador. En la figura 6.1 se da el esquema general de la es- tructura de un controlador. Los elementos de la rama hacia adelante tienen dos mi-siones. La primera de ellas es hacer que sean los elementos de la retroalimentación los que fijen totalmente las características de operación del controlador (banda proporcional, tiempos de acción derivativa e integral, claro diferencial pa ra el controlador TODO-NADA, etc.). Un breve análisis pon- dría de manifiesto que la ganancia en la señal de los siste mas de la rama hacia adelante debe ser muy grande con el fin de que el controlador tenga características sólo dependientes de los elementos de la retroalimentación. La otra misión es acoplar la impedancia de salida del elemento medidor con la impedancia de entrada del actuador (generalmente los actuadores requieren grandes cantidades de energía en su operación,  mientras que el elemento medidor sólo puede proporcionar una energía muy baja sin perder sus características de funciona- miento), lo cual significa que los elementos de la rama hacia adelante deben presentar características de gran amplifica- ción de potencia.

191

Figura 6.1

Esquema general de un controlador.

Las características de los elementos de retroalimenta-ción deben ser tales que permitan finas variaciones de los pa_ rámetros del controlador (estos elementos suelen ser circuitos RC variables, eléctricos o neumáticos, con una gran resolución) . El elemento detector de error es siempre un amplificador con entrada diferencial que proporciona las características de ganancia de la señal de medición, mientras que el ele mento de salida presenta las características de amplificación de potencia. Debido a la gran ganancia que presentan tanto el elemen to detector de error como el de salida, estos pueden ser cam biados sin alterar las características de operación por ele mentos similares de la misma marca. 6.1.-

CONTROLADORES NEUMÁTICOS.

Controladores neumáticos de baja presión se han desarrollado profusamente en los sistemas de control industrial. Las  principales razones por las que se ha preferido su uso son sus características antiéxplosivas, su simplicidad y su facilidad  de mantenimiento.

192 El elemento detector de error usado en los controladores neumáticos es el amplificador formado por el conjunto bo_ quilla obturador; un esquema del mismo se encuentra en la fi_  gura 6.2.

Figura 6.2

Elemento neumático detector de error.

Este amplificador convierte los pequeños cambios de po sición del obturador (E) en grandes cambios de la presión en el interior de la boquilla La energía proviene de una línea neumática con presión constante. Como se puede apreciar en la figura 6.2, el aire suministrado al amplifica dor pasa a través de una restricción fija en donde se produce una caída de presión. Esta caída de presión aumenta a me dida que el flujo a través de la restricción es mayor. El flujo a través de la restricción fija depende en mucho de la restricción variable representable por la boquilla y el obtu rador en conjunto. El diámetro del orificio es del orden de 2 décimas de milímetro y el diámetro de la boquilla ordinariamente es de 5 décimas de milímetro. La presión de suministro es casi siempre de 20 PSI (1.33 Kg/cm^). Cuando el -obturador cierra totalmente el paso del aire por la boquilla, no existe flujo de aire a través del orificio y la presión en el interior es igual a la presión de suministro. A medida que el obturador se desplaza alejándose de la boquilla, cauda_ les mayores de aire pasan por el orificio haciendo que la pre_  sión disminuya. Cuando la separación del obturador es del

Figura 6.3

Características de operación. del sistema boquilla obturador.

Debido a la característica no lineal de este amplifica dor se acostumbra operarlo sólo con pequeños desplazamientos de E alrededor de la parte recta de la curva de la figura 6.3. El recorrido usual de las variaciones de E es de unas no se cuantas centésimas de milímetro. Se dice entonces que el con junto opera en su región de sensitividad óptima La elea). se prolonga para acoplarse al elemento final de control, su valor sería demasiado grande, creando una gran capacidad que  puede ser perjudicial pues el sistema respondería muy lenta mente  b). Usado sin retroalimentación, el conjunto es muy sensible y sólo se recomienda para controladores TODO-NADA  sin  poste- Para eliminar estas desventajas se emplean relevadores neumáticos para reducir el tamafio de la cavidad y retroalimen tación negativa para reducir la sensibilidad, como se verá RELEVA 

194  pa de amplificación en los control adores neumáticos, constituyendo el elemento de salida. Los relevadores reciben las variaciones de la presión del interior de la boquilla y las amplifican con una energía suficiente para poder accionar los dispositivos de control neumático, que son generalmente válvulas neumáticas o posi-cionadores de dichas válvulas. El esquema de un relevador se muestra en la figura 6.4.

Figura 6.4

Relevador de acción directa.

hacia el actuador. El tipo de relevador mostrado es de los llamados de acción directa, esto es, si aumenta la presión -de relevadores, inversos, en los cuales los incrementos de la originan decrementos en la presión de salida del  presión relevador.  ACCIÓN PROPORCIONAL. Un sistema de controlador en el cual se ha incluido el relevador y la retroalimentación aparece en la figura 6.S. Para estudiar este sistema expresaremos las variables como la suma de valor nominal más las variaciones alrededor de este, de tal manera que:

195

(6.1)

La relación existente entre variaciones para el conjun to boquilla-obturador es: (6-2) y puesto que el relevador es directo: (6.3) La posición del obturador (x) depende de los desplaza mientos E y Y, es decir: (6.4) desarrollando en series esta expresión, despreciando los té ir  minos de alto orden y considerando la ecuación 6.1 tendremos: (6.S) Donde el subíndice o significa condiciones nominales. De la figura 6.S deducimos las derivadas parciales: (6.6) de la misma manera, considerando nulas las variaciones de E (6.7)  por lo cual, aplicando el principio de superposición, las variaciones de X debidas a E y Y serán: (6.8) El movimiento del fuelle de retroalimentación está relacionado con las variaciones de la presión de salida p por

196  medio de la constante de elasticidad del fuelle por lo cual considerando que este movimiento tiene dirección positiva -hacia la izquierda, la ecuación que relaciona los movimientos de y con la presión (6.9) donde: <   A = área transversal del fuelle  módulo de elasticidad total del fuelle

Combinando las ecuaciones (6.2), (6.3), (6.8) y (6.9) se obtiene el diagrama a cuadros mostrado en la figura 6.6. En las ecuaciones (6.1) a (6.9) las variables indica -das con letras minúsculas son idénticas a las variables de desviación indicadas como función de t en la ecuación (6.1), sólo que se ha eliminado la notación en función del tiempo  para obtener simplicidad. De acuerdo con esto, etc. La ecuación (6.9) predice una respuesta instantánea del fuelle de retroalimentación, aunque prácticamente existe una  pequeña constante de tiempo asociada con el mismo. En la mayoría de los procesos en que se usa el controlador, dicho retardo puede despreciarse. La función de transferencia para este controlador es:

(6.10)

 A partir de esta última ecuación podemos concluir que  por medio de la retroalimentación es posible reducir y contro

197

Figura 6.5

Controlador proporcional. Balance de movimientos.

Figura 6.6 Representación a cuadros del controlador neumático de acción proporcional de la figura 6.5

198 lar la sensitividad del sistema a partir de lo s parámetros los cuales pueden ser ajustados de acuerdo con las especificaciones deseadas de este sistema. Puesto que en este sistema la señal de error, X, es una función de los desplazamientos E (señal de error del sistema a controlar) Y, y es siempre muy pequeña, se dice que el controlador es de balance de movimientos. Sucede a menudo que la señal de error del sistema a controlar (E) es una señal de fuerza, tal como se muestra en la figura 6.7, lo cual implica el uso de un controlador de  balance de fuerzas o de momentos. , Se deja al lector como ejercicio la obtención de la  para este tipo de controlador. F.T. y el valor de

Figura 6.7

Control proporcional. Balance de momentos.

El principio básico para generar la acción del tipo de_ seado es la de insertar la función de transferencia inversa en la trayectoria de retroalimentación. Considérese el sistema de la figura 6.8.

199

Figura 6.8 Forma canónica del controlador.

La función de transferencia del sistema en lazo cerra do es:

Si GH(s)>>1 esta ecuación se convierte a:

Entonces, si se desea obtener la acción proporcional  más la acción derivativa (Controlador PD), basta insertar un elemento cuya función de transferencia sea ; trayectoria de retroalimentación. De acuerdo con lo enunciado en el párrafo anterior, si desea introducir la acción derivativa en el sistema mostradt en la figura 6.5, es necesario introducir en la trayectoria de retroalimentación un elemento de primer orden, tal y co mo se muestra en la figura 6.9. Como se vio en capítulos anteriores la función de - transferencia para los elementos

Figura 6.9 Controlador PD. Balance de movimientos.

Por medio de las ecuaciones (6.13),(6.2).(6.3),(6.8) y la resultante de substituir el valor de ción (6.9) se obtiene el diagrama a cuadros mostrado en la figura 6.10.

Figura 6.10 Diagrama a cuadros del controlador PD. La función de transferencia del sistema es:

201 (6.15)

Como el producto es mucho muy grande se puede despreciar la unidad en el denominador de esta ecuación, por lo que:

donde:

Por lo anterior se concluye que la inclusión de la vál_  vula de resistencia en la trayectoria de retroalimentación, modifica al controlador proporcional y lo transforma en uno de acción proporcional + derivativa. Obsérvese que si la válvula está completamente abierta, la acción del controlador se hace proporcional y si está com  pletamente cerrada es decir, la acción es la de TODO-NADA -sin claro diferencial; la banda proporcional ha sido llevadaEn el caso de que la unidad no se desprecie con respecto de los demás términos en la ecuación (6.15), la función de transferencia resultante es: (6.17)

202

y Para los diversos controladores neumáticos existentesvaría entre 5 y 20. Visto el problema de esta manera, la diferencia de un controlador PD y una red de compensación de adelanto de fase es sólo cuantitativa: el controlador puede  presentar ganancias mayores que la unidad.

Para implementar un control-ador proporcional + integral se introduce un fuelle y una restricción más al sistema de la figura 6.5 de lo cual resulta el esquema mostrado en la figura 6.11. El fuelle de acción integral tiene una sección — transversal igual a la del fuelle de la acción proporcional.

Fieura 6.11 Controlador PI. La función de transferencia de los elementos dada por:

está

203 (6.18) La fuerza que produce el desplazamiento y está dada de tal modo que el desplazamiento de retroalimentación viene dado por: (6.19)

es la constante de elasticidad de los dos fuelles. Combinando el conjunto de ecuaciones formado por la (6.18), (6.19), (6.2), (6.3) y (6.8) se obtiene el diagrama a cuadros mostrado en la figura 6.12.

204 (6.21)

En el caso de no hacer la aproximación anterior la fun ción de transferencia resulta ser:

(6.22)

Los valores típicos de

en controladores neumáticos co_

merciales son superiores a 50 lo cual indica que la ecuación 6.21 puede ser usada para la mayoría de las aplicaciones. El controlador de la ecuación (6.22) se asemeja a una red compen sadora de atraso de fase.

Para obtener la acción combinada proporcional + inte- gral + derivativa, es necesario agregar al sistema anterior una válvula que permita regular la presión en el fuelle proporcional, tal como se muestra en la figura 6.13. La función de transferencia para los fuelles está dada por: (6.23)

205

Figura 6.13 Esquema del controlador PID. Resistencias en paralelo.

 por lo cual el desplazamiento y está dado por: (6.24) De tal manera que el diagrama a cuadros resultante es el mostrado en la figura 6.14.

Figura 6.14

Diagrama a cuadros del controlador PID.

206 . La función de transferencia está dada por:

Como la ganancia del amplificador es muy grande se pue de despreciar la unidad en el denominador de esta ecuación, resultando:

C6.26)

A partir de la figura 6.13 podemos observar que la constante de tiempo integral tiempo derivativa pues si la acción integral se llevara a cabo más rápidamente que la acción derivativa se dejaría sentir más pronto en la ca_ pacitancia integral un aumento en la presión de salida y por lo tanto se incrementaría más esta presión, haciéndola tender la función de transfe_ a la saturación por lo cual, rencia para este controlador se transforma en:

207 (6.28)

donde: factor de interacción

(6.29)

El denominador de la ecuación 6.28 sólo tiene importan- > cía para cambios muy lentos o muy rápidos de E, pues el valor de N es normalmente mayor que 1. A frecuencias intermediasde operación el controlador se comporta como un PID ideal, - por lo cual:

(6.31)

Los parámetros leídos de las perillas del controlador respectivamente (dados por las fórmulas ya vistas); empero, el controlador presenta parámetros de -funcionamiento efectivos dados por la ecuación 6.31. Puesto que el factor de interacción I es mayor que la unidad, el tiem po real de acción derivativa será menor que el indicado mien-tras que el tiempo real de acción integral será mayor que el indicado.

208 El efecto de interaeciñn es incluso mayor sobre la ganancia puesto que la ganancia es incrementada aproximadamente ñor un factor La acción limitadora debido al denominador de la ecua -ción (6.28) causa que el controlador no presente ganancia infinita para entradas permanentes, a diferencia de un PID ideal que presenta ganancia infinita a cero frecuencia. Cuando en un proceso se prevee una gran cantidad de -tiempo derivativo, como sucede en procesos discontinuos, en los que se requiere poco sobrepaso en las arrancadas, puede usarse un controlador como el mostrado en la figura 6.15; es_ to es recomendable pues permite cualquier tiempo de derivada sin causar inestabilidad. -,

Figura 6.15 Controlador PID. Resistencias en ¡serie

209 (6.32)

 por lo cual la función de transferencia de este controlador

es: (6.33)

Un controlador sin factor de interacción sería muy caro y, por lo regular, no vale la pena en el caso de los procesos industriales más comunes. Un controlador electrónico en el que las acciones son generadas separadamente y luego sumadas sería la solución ideal.

Este tipo de acción de control se implementa a partir - ' de un controlador proporcional simplemente convirtiendo la re_ troalimentación de negativa a positiva, bien cambiando el fue lie a la posición operada o bien reemplazando el relevador de acción directa por uno de acción inversa. El controlador resultante se aprecia en la figura 6.16a y 6.16b respectivameii

te.  Analizando estas figuras se infiere que dichos control^ dores actuarán siempre saturados (0 PSI o 20 PSI) presentando

210

Figura 6.16 Controlador Todo-Nada. a)Directo, b) Inverso.

el fenómeno de histérisis, pues una vez que se han saturado * hacia un sentido, el error tiende a cambiar de signo y reco-rrer cierta distancia (ajustable) para que el controlador se sature en el otro sentido. El controlador de la figura 6.16a se satura a 0 PSI para un valor negativo de e y a 20 PSI para un valor positivo de e. El controlador de la figura 6.16b funciona inversamente. Las características de operación del primer controlador se aprecian en la figura 6.17.

Figura 6.17 Característica del controlador Todo-Nada de la figura 6.16(a)

211 6.2.- EJEMPLO DE UN CONTROLADOR NEUMÁTICO (MODELO 40 de FOXBORO) En la figura 6.18 se ti ene un controlador neumático deacción proporcional. El principio de operación es el s i - -guiente: el mecanismo de la izquierda es el elemento compara dor pues proporciona un desplazamiento del eslabón de errorsiempre que exista una desviación en el proceso. Puede supo_ nerse que un aumento en la variable medida o r i g i n e un movimiento hacia la derecha del eslabón del error el cual or i g i nará un acercamiento de la boquilla al obturador creando un aumento en la presión de salida. Dicho aumento, a su vez, será convertido en una fuerza en el fuelle de retroalimentación. El resorte sirve para convertir la fuerza en el fuelle en un movimiento final de retroalimentación. Por ende, el controlador es uno de balance de movimientos.

Figura 6.18 Controlador proporcional.Modelo 40 Foxboro.

El movimiento de la pluma indica las variaciones de la lectura de la variable controlada, y la posición del índice -

212 lee el valor deseado de dicha variable. Así que la señal de desviación del sistema es dada por la diferencial entre las posiciones de la pluma y el índice. La selección de la ganancia del controlador se hace cambiando la relación de efectos que la señal de desviación y la señal de retroalimentación tienen sobre la distancia boauilla -obturador. Esto se lleva a cabo girando la pieza sobre la cual descansa el conjunto boquilla-obturador. En la figura 6.19 pueden observarse diferentes posicio-nes de la boquilla. Cuando la retroalimentación no tiene nin gún efecto sobre la presión de la boquilla se consigue lo que se llama y el controlador funciona prácticamente como un TODO-NADA, figura 6.19 (a). El conjunto de boquilla- obturador, puede girar 180° yendo de una banda proporci£ nal igual a cero hasta una banda infinita en operación directa, mientras que para acción inversa empieza en infinito hastaterminar en cero. La posición de la figura 6.19(b), es para bajas ganan- cias (alto valor de Banda Proporcional); en este caso el mcvj_ miento de retroalimentación cambia notablemente la distanciaboquilla-obturador, mientras que el movimiento del eslabón de error apenas si le afecta. En la figura 6.19

se ilustra el caso contrario de la

figura 6.19(a), el controlador presentará máxima ganancia, pe ro su acció- es invertida (un aumento en la señal de desviación origina un decremento en la señal de salida).

Figura 6.19

Aj us te de ia ganancia proporcional.

213 CONTROLADOR PROPORCIONAL + INTEGRAL. Si en el esaquema de la figura 6.18 se sustituye el resorte por un fuelle alimentado por la salida a través de un circuito RC se tiene la acción proporcional + integral vista anteriormente. La constante de tiempo de acción integral puede ser variada mediante una restricción variable constituí da por un bourdoh cuyo radio de curvatura puede ser variado,

tal como se muestra en la figura 6.20.

Figura 6.20 Controlador PI (Proporcional con reajuste)

CONTROLADOR PI PARA PROCESOS DISCONTINUOS. Un proceso discontinuo es aquel que tiene frecuentes apagados y encendidos. Si se usa un controlador PI convencional como el de la figura 6.20, éste se saturaría durante el apagado debido a la acción integral, de tal manera que al encender de nuevo el proceso se originaría un gran sobrepaso en la variable de salida.

214 Para evitar dicha irregularidad se emplea el conmutador de Batch que opera de la siguiente manera: si el proceso es apegado la presión de salida del controlador empieza a aumentar (existe una gran señal de error) hasta alcanzar 15 -psi; justo en ese momento el conmutador opera y la presión en la capacitancia integral se iguala a la atmosférica Co a una presión preseleccionada entre 3 y 15 psi, precarga). Cuando sobreviene el siguiente encendido se observará una respuesta con un poco o ningún sobrepaso. Véase la figura

Figura 6.21 Controlador PI con interruptor de batch. ESTACIÓN MANUAL.

(MODELO 52 A de FOXBORO).

Muchas veces se desea controlar un proceso en forma manual. Para tal fin los controladores tienen la opción ma— nual en la cual el control automático queda fuera del circui_ to y el proceso queda bajo control del operador. Cuando el conmutador de transferencia está en la posición A (automático), tal como se muestra en la figura 6.22 la presión de la

215 boquilla automática es aplicada al relevador, el cual produce una presión proporcional a dicha presión de boquilla. La presión de salida va al indicador de salida y a los elementos de retroalimentación. Cuando el conmutador está en la posición M la presión de la boquilla será aplicada al relevador determinando el valor de salida. La boquilla manual se mantiene -en su región de sensibilidad óptima mediante retroalimenta ción proporcional. Cuando.se desea transferir de la posición automática a la manual es importante igualar la presión de boquilla a la presión de boquilla automática pues esto asegura una transferencia suave. Para tal fin se cuenta con un indo_ cador de transferencia el cual debe ser llevado a la posi- sición nula cada vez que se requiera hacer una transferencia. El tanque de capacidad mantiene la presión en el diafragma del relevador mientras dura la transferencia. La unidad superior puede constituir un controlador proporcional o propor_ cional + derivativa, etc. Nótese que la unidad da siempre la indicación de la variable controlada, esté el controlador en forma automática o manual.

216

Figura 6.22

Estación selectora.

217 6.3.

CONTROLADORES ELECTRÓNICOS.

Teniendo en cuenta los avances tecnológicos que en los últimos años se han producido, en la actualidad es posible -construir controladores de tipo electrónico, oue tienen un comportamiento análogo a los tipos de neumático vistos en este mismo capítulo. Existe la tendencia de sustituir los controladores neumáticos existentes por sus equivalentes electro nicos aunque dicha tendencia no es tan marcada como mucha gen te supone, debido a las siguientes razones: a) El controlador es tan caro o más que su contraparte neumática, b) Debido a la tradición existe mayor número de personal capacitado en re solver problemas asociados con el equipo neumático de control que con el electrónico y finalmente, c) En zonas peligrosas es casi indispensable el uso de controladores neumáticos. Para producir el tipo de acción deseada, se emplean amplificadores de muy alta ganancia y de entrada en forma diferencial, esto es, el voltaje a la salida es proporcional a la diferencia de los voltajes que existen a la entrada.

Este tipo de amplificadores (detector de error y etapa de salida a la vez) se representa como se indica en la figu ra 6.23. Teóricamente el ancho de banda de dicho amplificador es infinito, de donde si A es la ganancia se tendrá:

donde voltaje de salida (señal de control) voltaje de error voltaje de retroalimentación ganancia.

Para poder producir los tres tipos de acción, es necesario retroalimentar el amplificador, como se indica en la figura 6.24.

218

Figura 6.23

Amplificador diferencial

Figura 6.24

Amplificador diferencial retroallmentado.

:

' - En la figura 6.24H(s) es la función de transferencia de la red de retroalimentación. La Impedancia de entrada del amplificador es infinita, por lo que

j .- Combinando (6.34) con la transformada de la ecuación (6.33), se obtiene la función de transferencia global. (6.3S)  Normalmente el valor de A es mucho mayor que la unidad,  por lo que la ecuación anterior se reduce a .,..-.

Si la red de retroalimentación usada tiene la forma da-' da en la figura 6.25, tendremos un divisor de voltaje cuya re presentación matemática en el dominio de Laplace es (6.37) De donde se deduce que el voltaje retroalimentado está

219

relacionado con el voltaie de salida mediante la sieuiente -

expresión

transferencia del controlador, se tendrá

Como podemos observar la acción del controlador es del tipo PI. Para la red dada la ganancia resulta ser la unidad; dejando que el lector, como ejercicio, encuentre la red que  produce acción PI con ganancia proporcional mayor que

uno.

6.25 6.26

Red derivativa para producir la acción PI. Red integrativa para producir la acción PD.

Para obtener la acción derivativa, se invierten las posiciones de la resistencia y del capacitor tal como se ve en la figura 6.26, de manera que el divisor de voltaje viene dado por

En este caso la retroalimentación viene dada por

220 (6-41) Sustituyendo (6.41) en (6.36): (6.42)

Cuando se desea obtener la acción PID, pueden emplearse varios tipos de redes; en la figura 6.27 se sédala una de ellas.

Figura 6.27

Si se supone que

Red de adelanto-atraso para producir la acción PID. se obtiene

y por inspección directa (6.44) Combinando

y suponiendo un

221 valor muy alto de A, se tendrá

donde:

factor de interacción.  Al igual que con los controladores neumáticos, el controlador PID analizado presenta parámetros efectivos diferen tes a los dados por las escalas de las perillas: la ganan-cia efectiva es I veces la ganancia el tiempo de acción integral se ve asimismo multiplicado por I, mientras que el tiempo derivativo real es I veces menor que el indicado. 6.4

EJEMPLO DE UN CONTROLADOR ELECTRÓNICO. (MODELO 61H DE FOXBORO, ESTILOS A y B)

Como se vio anteriormente los controladores electrónicos efectúan las mismas funciones analógicas que los controladores neumáticos aunque difieren notablemente en sus cara£ terísticas de construcción. Los controladores electrónicos reciben una señal proveniente del transmisor que es proporcio nal al valor de la variable medida. Dicha señal es una co --rriente de directa entre 10 y SO miliamperios(Corriente entre 4 y 20 mA. también son comunmente usadas).

222 La corriente del transmisor pasa por una resistencia de 100

si la corriente varía entre 4 y 20 mA), para-

 producir una señal de voltaje entre 1 y 5 voltios que es -comparada con un voltaje de referencia (valor deseado) que  puede ser fijado local o remotamente, tal como se muestra -en la figura 6.31 La salida del controlador es, igualmente, una corriente entre 10 y 50 mA. Para manejar el elemento -de acción final que generalmente es una válvula, es necesario hacer uso de un convertidor electro-neumático para convertir la señal de corriente a una presión entre 3 y 15 PSI

La energía de suministro del transmisor puede opcio — nalmente, provenir del controlador. SELECTOR DE TRANSFERENCIA. Casi todos los controladores comerciales (electrónicos o neumáticos) proporcionan la opción de ser usados en forma  manual (MAN) o en forma automática (AUTO); cuando son usados en forma manual la salida del controlador es directamente fijada por el operario a través de la perilla correspondiente y así queda la acción automática del controlador nuH ficada.

Cuando el selector de transferencia está sobre AUTO

automático, el controlador corrige automáticamente las desviaciones del proceso.

223

Figura 6.31

Sistema Controlador Electro-Neumático.

En la figura 6.32 se aprecia la vista frontal de un -controlador electrónico.  Además de las posiciones AUTO y MAN descritas arriba se tiene otras dos posiciones de transición. Una de ellas es A-BAL, siendo la otra M-BAL. Véase la figura 6.33. Como es sabido todo proceso industrial no debe ser so metido a grandes cambios repentinos en el valor de su varia ble manipulada o en su valor deseado, de tal modo que al -transferir un controlador de modo automático o manual es necesario balancear la señal de control manual con la señal actual de salida del controlador producida automáticamente  pues hasta que ésto se haya efectuado puede colocarse el in-

224

Figura 6.33

Selector de transferencia.

225 terruptor de transferencia transferencia en la posición manual. Cuando el interruptor esté en las posiciones AUTO, M-BAL y MAN el indi^ cador de desviación muestra la diferencia entre la variable medida y el valor deseado; es decir, da la señal de error del sistema, pero cuando la palanca del interruptor está sobre A-BAL el indicador de desviación muestra la diferencia entre el valor manual y el valor actual de la salida del cori trolador con el fin de lograr una indicación nula antes de transferir a la posición M. Resumiendo: 1. Pasar el interruptor de la posición AUTO AUTO a la posición A-BAL (En esta posición el controlador funciona aun en forma automática). 2. Leer el indicador de desviación, desviación, parte parte frontal supe- -rior, y girar la perilla de control manual hasta que la desviación leída sea cero. 3. Pasar el interruptor a la posición MAN. Otros modelos previenen los males causados por un cam bio repentino de automático a manual con un módulo que impide dicho cambio, si no existe primero un balance entre las dos salidas o bien algunos otros tienen una igualación automática en todo momento de la salida automática y la manual, ya que cuando el controlador está en AUTO la salida manual es igual a la salida actual y la perilla manual no tiene ningún efec to sino hasta después de hacer la transferencia hacia MAN -(Las posiciones M-BAL y MAN son la misma). El indicador de salida muestra el valor de la señal pro_ ducida por el controlador en una escala de 0 al 100% del, reco_ rrido normal de la salida (Cuando la salida es de 10 mA señalará 01 y cuando la la salida sea 50 mA indicará indicará 100%). A diferencia de otros modelos éste no cuenta con límites alto y bajo para su salida. Por ejemplo, no se puede asegurar que la salida del controlador sea siempre entre 15 y 40 mA. A los extremos de la escala de salida se encuentran etiquetas de plástico que indican al operador el estado de la válvula neu-

226  mític  mít ica, a, ab abie iert rta a o cer cerra rad da, cua cuand ndo o el el pu punte tero ro in ind dic ica ado dor r es está sobre uno de dichos extremos. Finalmente, en la parte inf£ rior y a petición del usuario una placa semitransparente identifica la parte del proceso en la que el controlador lie va a cabo el efecto regulativo.  AJ  A JUSTE DE PARÁMETROS. En la figura 6.34 puede apreciarse el costado del controlador con las diferentes perillas para ajuste de banda - prop  propor orci cion onal al y ti tiem empo po de ac acci ción ón int nteg egra ral. l. La ba ban nda pr prop opor orcional puede ser ajustada entre 100 y 3001, mientras que  pued  puede e te tene ner r va valo lore res s de desd sde e un se segu gund ndo o ha hast sta a 30 se segu gund ndos os po por r repetición. El bajo valor de ganancia proporcional y la -fuerte acción integral hacen de este controlador un dispositivo aceptable para regular proceso rápidos con tiempo muerto tal como control de flujo. No cuenta con acción acción derivati_ 

va. Interruptor Local-Remoto (L-R) Cuando el interruptor L-R esté sobre la posición LOCAL la señal de medición es comparada con una señal de referencia  pro  p rodu duci cida da lo loca calm lmen ente te y fij ijad ada a con la per eril illa la de va valo lor r d£ seado (en el frente del controlador). Esta diferencia es -leída  por  p or el ind indic icad ado or de des esvi via ació ión n A-B -BA AL. Cuan Cuando do el inte inter rrup upt tor está en la posición REMOTO la señal de medición es comparada con una señal de valor deseado producida lejos del controlador. La señal remota es una corriente directa entre 10 y 50  mA.  m A. que pr prod oduc uce e una caí aída da de vo vol ltaj aje e en un una a res esi ist ste en Esta caída de voltaje es finalmente comparada con una caída de voltaje debido a la corriente de medición. Evidentemente, es muy peligroso operar este iterruptor sin las precauciones debidas. Transferencia de Local a Remota. Secuencia: 1.- Pasar el interrupt 1.interruptor or de transferencia a la posición posición A-BAL 2.- Mover la perilla de control manual hasta leer cero desvia_ ción en el indicador de desviación.

227

Figura 6.3U Ajuste del control. Vista lateral del controlador.

3.- Pasar el controlador el modo manual. 4.- Pasar el interruptor (L-R) a la posición REMOTO. '" 5.- Ajustar el valor de la consigna remota hasta que el indicador de desviación de una lectura de cero error. 6.- Mover el interruptor de transferencia a la posición AUTO. Se deja al lector, como ejercicio, encontrar la secuencia inversa. Interruptor Incremento-decremcnto (INC-DF.C). Cuando este interruptor está en la posición INC, un incremento en la señal del transmisor originará un aumento en la señal de salida del controlador, siempre que tal controlador esté en automático. Inversamente si está sobre DEC, un aumento en la medición causa una disminución del valor de salida. Es obvio que el interuptor debe estar en la posición que origi_ ne una retroalimentación negativa en el lazo del sistema.

228 ALINEACIÓN. Cuando la señal de error del sistema es cero la salida del controlador debe ser tal que mantenga dicho error igual a cero (señal de control nominal); así que es necesario alinear todo controlador para que produzca una corriente nominal dada cuando el error es cero. En el presente modelo esto se logra colocando el interruptor (L-R) en REMOTO y se abren las líneas que vienen del transmisor y del comando remoto, cortocircuitándose las resistencias de entrada de Acto seguido se altera el valor de la salida hasta conseguir el valor requerido, mediante el simple hecho de mover un potenciómetro. En la figura 6.35 se muestran los circuitos electrónicos equivalentes para este controlador 61H de FOXBORO.

229

Figura 6.35 Controlador FOXBORO MODELO 61 TH. (circuitos equivalentes).

230 6.5.

TRANSMISORAS NEUMÁTICOS Y CONVERTIDORES ELECTRO-NEUMATI COS.

Parte importante en la selección de un sistema de control es la elección del tipo de transmisor a utilizar, por lo cual en este punto describiremos el funcionamiento básicode un transmisor de flujo neumático Broivn producido por Minea_ polis Honeywell Co., cuyo sistema es el mostrado en la figura

6.36.

Figura 6.36

Sistema de transmisión de flujo neumático Brown.

El funcionamiento básico de este sistema consiste esencialmente en hacer variar la presión en el sistema cerrado S, en respuesta a la presión diferencial medida por el cap_ tor conectado al receptor. Los elementos captores mayormente usados en la medición de flujo son lo siguientes: flotador. Campana de Pitot-Venturi. tubo Dalí. tobera de flujo. El movimiento resultante en el captor, por acción de la presión diferencial medida, acciona el obturador aproximan

231 dolo o alejándolo de la tobera. Si el obturador tapa completamente la tobera la presión en S será igual a la del aire de suministro, mientras que si están completamente separadas la presión en S será mínima y dependerá únicamente de la caída de presión en la restricción y en la tobera. * Cuando el sistema está en equilibrio la presión S actúa sobre el fuelle A y equilibra el empuje del fuelle B, r manteniendo la tapa de la válvula T cerrada y por tanto obstru yendo el suministro de aire a la cámara y obturando la boqui lia del canal de escape. Si el obturador se mueve de la posición X a la Y, la presión en S disminuirá, expandiéndose el fuelle A, por lo cual la presión dentro del fuelle B será superior y el tubo de escape se levantará permitiendo que la tapa de la válvula T cierre la entrada de suministro a la cámara, produciéndose así una disminución en la presión de aire transmitido. Esta disminución de presión expanderá el fuelle de retroalimenta r-ción, el cual por medio de un juego de palancas separará aún más el obturador de la tobera hasta lograr una nueva posición de equilibrio. Por otra parte, si el obturador se mueve de la posición Y a la X, la presión en S aumentará y los fuelles A y B se contraerán separando, como consecuencia, la tapa de la válvula por por acción del movimiento movimiento del tubo de escape. Esto proproducirá un aumento de la presión en la cámara y por tanto de la presión presión transmitida. Este aumento hará que el fuelle de retroalimentación se contraiga, acercando el obturador a la tobera hasta lograr una nueva posición de equilibrio. Al aumentar la presión transmitida aumentará también la presión interna del fuelle A, el cual se expanderá oponiéndose a la presión interna del fuelle B, levantando el tubo de escape y cerrando la válvula. La posición de las uniones del eje del receptor y el fuelle de retroalimentación determina la posición final del -

232

obturador y por tanto de la tapa de la válvula. Un esquema representativo del mecanismo físico de este transmisor es mostrado en la figura 6.37, en el cual seha colocado un flotador como elemento captor. Supóngase que debido a un aumento de la variable amedir el flotador desciende. Esto provocará que el eje gireen sentido contrario al de las manecillas del reloj y la pala ca calibradora girará en este sentido moviendo la barra de co nexión, la cual pivota sobre su extremo haciendo girar el obturador y acercándolo a la tobera. La presión transmitida -aumentará y contraerá el fuelle de retroalimentación en oposi ción a la tensión del resorte, levantando la barra del fuelle Esto hará girar la biela de la campana sobre>su pivote, arras trando con ella la palanca elevadora del obturador.

Figura 6.37 Transmisor de flujo neumático Brown.

233 El movimiento continúa hasta que el obturador queda en posición de mantener la presión transmitida al valor que representa la nueva posición del flotador. La unidad receptora cuenta con una pluma por medio de la cual es graficada la presión transmitida en unidades de velocidad de flujo. CONVERTIDORES. En el campo de instrumentación para control existen instrumentos cuya función consiste en convertir una forma de energía en otra. Por ejemplo: neumática a eléctrica, eléctri ca a neumática, hidráulica a eléctrica. O bien convertir una señal de un cierto tipo en otra. Por ejemplo: voltaje a corriente, corriente a voltaje, voltaje a frecuencia, frecuencia a voltaje, etc. En este punto describiremos el funcionamiento, así como los ajustes que implica, de un convertidor electro-neumji tico. CONVERTIDOR ELECTRO-NEUMÁTICO. Cuando en un sistema de control es es empleada instru ment  mentac ació ión n el elec ectr trón ónic ica, a, en mu much chos os ca caso sos s el el ele eme ment nto o de ac acci ción ón final es una válvula neumática, la cual es operada mediente un actuador de diafragma. En la figura 6.38 se muestra un diagrama simplificado de un convertidor electro-neumático. (Esta figura es sólo  par  p ara a pr prop opós ósi ito tos s de de desc scri ripc pció ión; n; el arr rreg egl lo re real al den ent tro del con vertidor difiere ligeramente de ésta). Los rangos de operación de la presión de salida mayormente utilizados son 3 a 15 y 6 a 30 PSI. Como podemos apreciar en esta figura, este disposi-

tivo tiene una varilla de balance apoyado en su centro sobreunos pivotes en forma de cruz. En un extremo se encuentra su jeta a una bobina suspendida dentro del campo magnético de un imán permanente. La corriente de entrada al convertidor (corriente de salida del controlador) circula a través de la bobina, produciendo una fuerza hacia arriba la cual tiende a g¿ rar la varilla en el sentido de las manecillas del reloj. En oposición a esta fuerza, la fuerza originada r or Ia  presión de salida del convertidor a través de los fuelles de retroal¿ mentación tiende a girar la varilla en sentido contrario al de las manecillas del reloj proporcionando a»í estabilidad d¿ námica. El ajuste de "cero" es logrado mediante un resorte ajustable el cual ejerce una fuerza pequeña, en sentido con-trario o en el mismo sentido al de las manecillas del reloj .

Figura 6.38 Convertidor Electroneumático. Cuando las tres fuerzas descritas anteriormente se encuentrar en equilibrio, existe una condición de balance y la varilla no tiende a girar en ninguna dirección. Como se -describirá posteriormente, el convertidor siempre opera para mantener automáticamente esta condición de balance. En consecuencia, la presión de salida del convertidor y la corriente -

235 de entrada son mantenidas en una relación fija. La manera mediante la cual es detectado y corregido -cualquier desbalance es la siguiente: un regulador de pre -sión alimenta aire el convertidor, a una presión de 1.4 Kg/ (20 psig) a través de una restricción; el aire ventea a través de la tobera cuya abertura es considerablemente mayor que el orificio de la restricción. El extremo de la varilla actúa como una palometa que controla el flujo de aire de la tobera. Así pues si la palometa se mueve hacia la tobera, el flujo de aire disminuye y la presión en la tobera aumenta. Si la palometa se aleja de la tobera, 1.a presión disminuye. Para visualizar la forma en la cual opera el convertidor, supongamos que la presión en los fuelles de retroalimen tación (i.e., la presión de salida) es demasiado baja. Entonces la varilla de balance gira en el sentido de las manecillas del reloj, aumentando de ese modo la presión en la to bera. Como puede apreciarse en la figura 3.3.1 la presión en la tobera se ejercita sobre los dos diafragmas acoplados mecánicamente. Así pues, un aumento en la presión da lugar a que los diafragmas se flexionen hacia abajo y abran la vál^ vula de la bola inferior. El flujo de aire proveniente de C20 psig) da lugar un regulador a una presión de 1.4 a un aumento en la presión sobre el diafragma inferior, y -por consiguiente en la presión de salida y en la de retroalimentación, hasta que es alcanzado el equilibrio, i.e., la carilla de fuerza es balanceada, ambos diafragmas se encuentran planos, y ambas válvulas de bola se encuentran cerradas. El área del diafragma superior es el doble del inferior tal que, en la condición de equilibrio, la presión de salida es el doble que la de la tobera. Por lo tanto el ensamble -del diafragma y de la válvula de bola funcionan como un ampli_ ficador de presión. La gran capacidad de las válvulas de bola permite que los cambio:, en la presión de salida sean rápi-

236 con la corriente de entrada, la operación ahora se lleva a c£ bo a la inversa de como se describió arriba. Esto es, la varilla gira alejándose de la tobera, disminuyendo la presión en ésta y ocasionando que los diafragmas se flexionen hacia arriba. Esto ocasiona que se abra la válvula de bola, venteando el aire a la atmósfera y disminuyendo la presión de saH da hasta que es alcanzado el equilibrio. Los convertidores de acción inversa, i.e., al aumen tar la corriente, disminuyen la presión de salida. Operan en una forma similar a los de acción directa, excepto que la varilla de balance es ajustada inicialmente mediante el rosorte de cero para obtener una máxima presión de salida con una mínima corriente de entrada. Se invierte la dirección de la C£ rriente eléctrica de entrada a la bobina ocasionando una fuer_ za hacia abajo cuando exista un aumento en ella. Así pues -cuando la corriente eléctrica sea mínima, el resorte de cerocontribuye con la fuerza más importante en la dirección de las manecillas del reloj para aumentar la presión en la tobera, y por consiguiente en los fuelles de retroalimentación resultan do en una máxima presión de salida. Cuando la corriente elé£ trica de entrada sea máxima, la bobina ejerce una fuerza en el sentido contrario al de las manecillas del reloj disminuyendo la presión en la tobera y produciendo una presión bajaen los fuelles de retroalimentación (y en la salida) necesaria para balancear la varilla. AJUSTES. Ajuste de cero.- El ajuste de cero del convertidor es realizado mediante un tornillo el cual se encuentra unido a un resorte; el resorte, a su vez, suma una fierzag.iratoria a las otras fuerzas que actúan sobre la varilla de balance. La ten sión del resorte se ajusta de forma tal que la presión'de salida del convertidor sea la correcta para el valor mínimo dela corriente de entrada. Ajuste de rango.- El ajuste de rango del convertidor es efe£

237 tuado mediante un potenciómetro, el cual se encuentra en paralelo con la bobina como se nuestra en el diagrama esquemáti^ co de la figura 6.39. El ajuste de rango es hecho girando el  potenciómetro en el sentido de las manecillas del reloj (se aumenta la resistencia conectada en paralelo con la bobina)  para aumentar la corriente en la bobina y la presión de s alida (acción directa), o en el sentido opuesto al de la manecillas de un reloj (se disminuye la resistencia conectada en pa_ ralelo con la bobina) para diminuir la corriente en la bobina y  presión de salida (acción directa). El ajuste se hace -con un valor de la corriente de entrada adecuado para obtener  máxima presión de salida. Límites del ajuste.- Los ajustes de rango y de cero tienen la suficiente carrera para proporcionar los siguientes rangos de operación.

239

CAPITULO 7  VÁLVULAS NEUMÁTICAS 7.1.- PARTES DE UNA VÁLVULA OPERADA CON AIRE. 7.2.- CARACTERÍSTICAS INHERENTES DE LAS VÁLVULAS. 7.3.- CARACTERÍSTICAS EFECTIVAS DE LAS VÁLVULAS. 7.4.- SELECCIÓN DE LAS VÁLVULAS DE CONTROL. 7.S.- CARACTERÍSTICAS DINÁMICAS DE LA VÁLVULA.

■

.

»

,

■

•

240

Uno de los elementos de acción Final de mayor uso en el control de procesos industriales es la válvula operada con aire. La función realizada por este dispositivo consiste esencialmente en modificar el valor de la variable manipulada del  proceso. En este capítulo se hará una breve introducción a la ternd nología utilizada en el campo, así como las características dinámicas y de estado permanente de las válvulas neumáticas. Al final de este capítulo se da una extensa bibliografía para que el lector abunde en los detalles de este aspecto. 7.1.- PARTES DE UNA VÁLVULA OPERADA CON AIRE. Las partes que constituyen principalmente una válvula de este tipo son: El cuerpo de la válvula es la cavidad   por la cual pasa el fluido del proceso cuyo flujo se desea mod^ ficar. En general el cuerpo de la válvula se diseña de tal modo que posea la capacidad adecuada a la cantidad máxima de flujo que se desea manejar, y puede ser de dos asientos, como en la  mayoría de los casos, o de un asiento. La figura 7.1 muestra -una válvula con un cuerpo de dos asientos. El actuador es la parte que opera la válvula, es decir, -controla el flujo a través del cuerpo variando el área de paso que encuentra el fluido. Los actuadores generalmente son de dia grama, como se muestra en la figura 7.1. Parte esencial del - actuador es el resorte cuya función es proporcionar las caract£ rísticas del movimiento del vastago de acuerdo con la presión aplicada al actuador. Esta presión es suministrada por el con-trolador, ya sea directamente o con la ayuda de un posicionador. De acuerdo con el tipo de acción del conjunto diafragma-r£ sorte, las válvulas se subdividen en:

241

Fig. 7*1 Válvula de dos asientos. En la figura 7.2 se ilustran estos dos casos. El criterio de selección para el tipo de acción deriva de la observación de cuál daña menos al proceso en caso de falla de aire. Si es conveniente que la válvula se quede abierta en caso de falla de aire, se selecciona un actuador con aire para cerrar.

•ffg. 7.2 Tipos de acciSn? a) aire para cerrar

242 Como se puede apreciar en la figura 7.1, el vastago es una  barra que une al actuador con el tapón; este último es la parte que fija las características del flujo de la válvula, ya que al ser movido por el vastago altera el área de paso del fluido. La  manera de cómo varía el área de paso con el movimiento del vastago (d ist a nci a entre el tapón y el asiento) depende de la forma del tapón, de tal modo que es éste el que fija las características de una válvula y por tanto los diferentes nombres de las válvulas corresponden a sendas formas de tapón. La figura 7.3 contiene los diversos tipos de tapones mayormente usados.

a).- Lineal b).Igual porcentaje c).Igual porcentaje d).Raíz cuadrada e).Rápida abertura.

Fig. 7.3 Diversos tipoe de tapones.

La operación de un actuador raramente es lineal en virtud de las siguientes razones: Las características no lineales del resorte; la variación del área efectiva de trabajo del diafragma debida a la deflec-ción de éste,a la zona muerta causada por la fricción del vastago, y sobre todo, la fuerza de empuje que ejerce el fluido sobre el vastago.

243 Este último efecto es muy marcado en las válvulas de un -asiento. La mejor manera de vencer las dificultades citadas es el uso de un posicionador. La figura 7.4 muestra un posiciona-dor de émbolo.

Fig. T.k Posicionador de émbolo. Operación del émbolo y posicionador. El émbolo está unido al vastago y tiene, bajo él, aire a presión constante proporcionado por un regulador el cual se -muestra fuera de la válvula. Si el émbolo sube, el regulador proporciona más aire, manteniendo la presión. Si el émbolo baja, el aire es venteado a la atmósfera manteniendo igualmente la presión. El mantener dicha cámara de presión bajo el émbolo tiene como fin hacer más suave la operación de la válvula, - pues ello sirve como colchón de aire. La señal de presión proveniente del controlador actúa sobre un diafragma el cual, mediante una varilla, actúa sobre el diafragma de una válvula pi^ loto cuyo suministro es generalmente aire a alta presión.

244

Cuando la señal del controlador aumenta, se incrementa la salida de la válvula piloto que opera sobre la parte superior del émbolo, bajando, a su vez, el vastago. El resorte tiene como fin retroalimentar la posición del vastago de tal modo que -se oponga al movimiento originado por el aire de control. La -oposición se logra convirtiendo el movimiento del vastago en -una fuerza que actúa entre los dos diafragmas, balanceando la salida del piloto y manteniendo constante la posición del vásta_

go. 7.2.- CARACTERÍSTICAS INHERENTES DE LAS VÁLVULAS. La característica inherente de una válvula es la relación que existe entre el flujo que pasa por la válvula y la eleva- ción del tapón, cuando la caída de presión es constante a tra-vés de la válvula. Se distinguen varios tipos de características inherentes:

disco biselado que hace variar grandemente el área de paso del fluido con sólo un ligero movimiento del vastago. V ~ lEsta válvula varía linealmente el área de paso del fluido con variaciones del movimiento del tapón. A diferencia de la válvula de rápida abertura, cuya función es ejer_ cer una acción del tipo todo o nada, la válvula lineal trabaja estrangulando el flujo y, por lo general, no proporciona un - cierre hermético. Matemáticamente:

dónde: A = área de paso en la válvula K = constante de la válvula X = elevación, distancia entre el tapón y el asiento. Como se trata de características inherentes, el flujo sólo depende del área de paso, por lo cual:

245

(7.2)

flujo a través de la válvula flujo máximo correspondiente a la elevación máxima y a la caída de presión dada. carrera, elevación máxima.

Este tipo de válvula es el más usado con fines de control en los procesos industriales. Al igual que la válvula lineal, trabaja estrangulando el flujo y no presenta un cierre hermético cuando el tapón está completamente pegado al asiento (X=0). El tapón puede ser del tipo sólido o bien un cilindro hueco con ranuras en forma de V de manera que el área de paso varia geométricamente con el movimiento del vastago, de tal modo, aunque en forma ideal, la ecuación que proporciona las características de esta válvula es: (7.3) La ecuación (7.3) indica que la ganancia de la válvula es mayor a medida que el flujo es mayor. Si se resuelve la ecua- ción 7.3 considerando que la válvula se desvía de sus características ideales de igual porcentaje cuando la elevación es muy  pequeña, se tienen como condiciones:

Si

246

Si

La figura 7.5 da gráficamente las características de las válvulas mencionadas. Es costumbre presentar dichas características en papel semilogarítmico, tal como se muestra en la figura 7.6.

Según puede observarse al examinar las características ideales e inherentes de la figura 7.6, la válvula de igual por centaje puede controlar flujos desde el 21 del flujo máximo ha ta el 1001 de dicho flujo.' Se dice entonces que la de dicha válvula es de 100/2 = 50. En la práctica las válvulas raramente presentan rangeabilidad mayores que 20. Definiendo la razón:

las ecuaciones (7.4) y 7.4.a) se convierten en: (7.5)

247

Fig. 7-5 Características Inherentes

Fig. 7.6 Características Inherentes

248 Un parámetro que se menciona frecuentemente respecto de una válvula es la que es la relación del porcien to de variación del flujo actual al movimiento del vastago - expresado en porciento. Para una válvula de igual porcentaje la sensitividad es constante y viene dada por: (7.6)

Cuando existen grandes variaciones en el flujo es preferide la válvula, la cual es la rela_   ble usar la ción del cambio en litros por minuto y la variación de la posición del vastago. 7.3 CARACTERÍSTICAS EFECTIVAS DE LAS VÁLVULAS. Cuando una válvula opera dentro de un proceso, y la caída de presión a través de ella no es constante, se dice que dicha válvula presenta características efectivas, también llamadas -instaladas o de operación. Para entender mejor lo que eso significa, analicemos la -ecuación para el flujo a través de una válvula para fluidos - incompresibles: (7.9) donde

De acuerdo con la ecuación anterior, son dos factores que afectan el valor de flujo: el área de paso A y la caída de presión Como se dijo, si la caída de presión es constante los cambios de flujo se deben exclusivamente de los cambios en el área de paso A, la cual depende del movimiento del vastago, teniéndose en este caso las características inherentes. En la mayoría de los casos, la válvula se encuentra instalada en una lí nea en la que además de la caída en la válvula, existen otras -

249 caídas de presión. Dichas caídas de presión se deben normalmente a restricciones fijas, y sus magnitudes dependen del cuadrado del flujo. Las características inherentes no rigen más la válvula por que a medida que el área de paso de la válvula cambia de valor, cambia el flujo, pero este cambio de flujo altera el valor de la caída de presión en el resto de la línea y puesto que la pr£ sión total del sistema es constante (caso más sencillo), sucede que la caída de presión en la válvula también cambia, redundando todo esto en nuevas características de comportamiento de la válvula. Para obtener las características de operación de una válvu la instalada es útil definir el concepto de relación de caídas de presión.

donde

Se pueden encontrar las características efectivas para caSuda tipo de válvula estudiado para diferentes valores de  póngase que la caída de presión fuera de la válvula es proporcional al cuadrado del flujo. En la figura 7.7. se ilustran las características efectivas de una válvula lineal que proporciona 316 galones de agua por minuto cuando existe a través de ella una caída de 10 PSI. Se puede concebir un experimento con la -válvula montada en una línea a través de la cual exista una caí_ da total de 10 PSI, con la válvula completamente abierta pueden

250 entonces se varia la posición del vastago de tal manera de - obtener una de las curvas de la figura 7.7, y así sucesivamente. En la figura 7.8 se ilustran las características para una válvula de igual porcentaje. . Puede cambiarse la caída de presión total en la línea en el experimento anterior, de tal manera de obtener el mismo originándose por e¿ flujo máximo para todos los valores de to las figuras 7.9 y 7.10. Como puede verse las características de una válvula li. neal, cuando trabaja en forma efectiva, tienden a aproximarse a las de una válvula de rápida abertura, mientras que las características de una de igual porcentaje se aproximan a las de una válvula lineal. Es recomendable que el 751 o más de la caída de presión total ocurra a través de la válvula cuando ésta está completa mente abierta, pues de otra manera la válvula no controlaría satisfactoriamente el flujo, además de que la rangeabilidad se vería grandemente disminuida. 7.4 SELECCIÓN DE LAS VÁLVULAS DE CONTROL. Entre los factores más importantes para seleccionar una válvula, se encuentran los siguientes: a). Material del cuerpo de la válvula. Se debe seleccionar un cuerpo tal que resista fluidos abrasivos, corrosivos etc.  b). Tamaño de la válvula.- Por lo general las válvulas son seleccionadas de un tamaño tal que puedan proporcionar de un 20 a un 301 más del flujo máximo previsible que se va a con trolar. Los fabricantes principales de válvulas proporcionan reglas de cálculo especiales para determinar el tamaño requerí do de una válvula. c). Características efectivas de la válvula.- Si un proceso presenta no linealidades pudiera suceder que se comportara en forma estable para ciertos niveles de flujo e inestable  para otros. Por ejemplo, estable y lento para flujos grandes e

251

Fig. 7.7 Válvula Lineal

Fig. 7.8 Válvula de igual

PÍ8- 7,? Válvula Lineal

Fig. 7.1CT VSlvula igual

PorcentftJ e

Porcentaje

252

inestable y rápido para flujos bajos, de tal manera que el uso de una válvula lineal obligaría a hacer continuos ajustes en -el controlador. En cambio, una válvula de igual porcentaje compensa más o menos bien los cambios de ganancia del proceso. La selección correcta de la válvula requiere de mucha experiencia en el campo. El factor costo tiene gran importancia y por lo tanto debe tomarse también en cuenta.

Los fabricantes de válvulas expresan en forma estandariza da la capacidad de toda válvula mediante el factor definido éste como la cantidad de agua (en galones por minuto) que deja pasar dicha válvula cuando a través de ésta existe una caída de presión de una PSI, estando la válvula completamente abierta. De tal modo que para otros líquidos y presiones, el flujo proporcionado por la válvula será:

donde:

A partir de la ecuación 7.11 puede despejarse

Ej emplo: Se desea controlar un flujo de agua igual a 200 GPM (máximo). La caída disponible es de 25 PSI. requerido puede inferirse directamente de El valor de la ecuación 7.12, o mediante el uso de la regla de cálculo de FOXBORO, obteniéndose un valor de 40. El flujo para gases cuando la temperatura es superior a 120°F viene dado por:

253

(7.13) donde:

Cuando la temperatura está entre 0° y 120°F puede usarse la siguiente fórmula: (7.14) Ejemplo:

254 La ecuación para vapor es: donde:  w " densidad especifica del vapor a la presión

caída de presión en la válvula (PSI)

Cuando una válvula maneja gases o vapores, el gasto máxi mo que permite pasar ocurre cuando la presión en la salida, medida en forma absoluta, es aproximadamente igual a la mitad de la presión de entrada. Si la presión de salida es aún menor, el flujo ya no aumenta sino que permanece constante, e igual al - máximo. En este último caso se dice que se tiene flujo critico. La ecuación (7.13) se convierte en:

 mientras que la ecuación 7.14 da origen a la siguiente ecua- (7.17) siempre que Para el gasto de vapor la ecuación es: (7.18) donde w es ahora la densidad específica del vapor a la presión

255 Ejemplo: Calcular el requerido para una válvula que va a manejar vapor, con los siguientes datos:

El vapor esta sobrecalentado a180°F

sustituyendo en la ecuación anterior: calculando mediante la regla resulta: Cuando la válvula va a operar con líquidos muy viscosos se usa otro método de selección no dado aquí, pero que la mayo ría de los fabricantes proporcionan. 7.5. CARACTERÍSTICAS DINÁMICAS DE LA VÁLVULA. Para estudiar el comportamiento dinámico de las válvulas es necesario analizar el comportamiento de los ductos neu_ máticos que van del controlador a la válvula. En este aspecto la literatura existente muestra muchas diferencias de un - autor a otro, de tal modo que las ecuaciones dadas en este -punto deberán ser tomadas sólo como aproximadas y para ser -usadas como una manera de estimar en forma rápida el comporta miento dinámico del circuito neumático y prever su influencia en el lazo completo de control. Si es requerida una mejor - -

256

evaluación ésta deberá hacerse en el campo mediante pruebas so_ bre elementos existentes. Análogamente a las líneas eléctricas de transmisión, las líneas neumáticas muestran los fenómenos de resistencia, capa citancia e inductancia en forma distribuida. RESISTENCIA. La resistencia es detinida como la caída de presión, para una longitud dada, dividida por el flujo, y puede estar referido a condiciones normales ó estándar. Para la unidad de longi-tud, se tiene: (7.19) donde:

INDUCTANCIA. Al igual que su análogo mecánico, la inductancia de una línea neumática está relacionada con la inercia del fluido. Aplicando la segunda ley de Newton a la masa comprendida en la unidad de longitud: Fuerza = masa x aceleración o sea:

257

de donde; (7.21)

Si en la ecuación anterior se refiere el flujo a condicio nes estándar.

y la ecuación (7.21) se convierte a

conparando la ecuación (7.21) con la ecuación (segunda Ley de Newton) y recordando que m es el -análogo de la inductancia eléctrica, se obtiene: (7.23) donde: gitud cuyas dimensiones son:

 Notación:

CAPACITANCIA  La capacitancia se define mediante la ecuación:

258 Para un ducto, la capacitancia por unidad de longitud

es: donde:

que: (7.27) donde n es el coeficiente de expansión politrópica. Para el caso adiabático Sí

para una línea de longitud 1, la capacitancia total es: (7.29) En general, la capacitancia para un volumen V fijo es:

Si la ecuación (7.24) se refiere a condiciones estándar (7.31)

y si el volumen no es constante:

Casi siempre el valor de L puede despreciarse pues las frecuencias implicadas son, por lo general, muy bajas. De tal manera que en la expresión el término uL resulta a R. Para demostrar lo anterior se calcularon los valores de

259

Cdiametro interno de 3/16"), -considerando flujo isotérmico y llevando aire en su interior. La presión fue de 9 PSIG - 23.7 PSIA. Evaluando la ecuación 7.19:

 A partir de la ecuación 7.23 se calcula

Puesto que la frecuencia rara vez excede 1 cps el término  puede despreciarse frente a R. Para condiciones isotérmicas, n - 1. Así que Usando la

 para aire), la capaciSi el flujo fuese adiabático tancia se calcula de la ecuación (7.28), obteniéndose:

La ecuación 7.32 permite evaluar la capacitancia de ele mentos cuyo volumen no es constante, tales como fuelles y actua_ dores. Por ejemplo, el actuador número 6 de FOXBORO varía su vo lumen de 25 a 55 pulgadas cúbicas cuando la presión cambia de 3 a 15 PSI. Cuando la presión es de 9 PSI el volumen es de 40  pulgadas cúbicas. Para expansión isotérmica se obtiene:

Las líneas neumáticas que presentan en su final poca ca pacitancia, tal como sucede cuando están conectadas a un pequ£ fio diagrama de válvula piloto, pueden caracterizarse por un --

260 elemento de primer orden con constante de tiempo RC/2, más un tiempo muerto de un segundo por cada 300 metros de longitud. Si la línea presenta valores resistivo y capacitivo de R y C res- pectivamente, pero al final está conectado un actuador de válvu la, la constante de tiempo es de aproximadamente es la capacitancia del actuador.

PROBLEMAS:

261

1.- Deduzca las ecuaciones 7.4, 7.4a y 7.6 2.- ¿Cuánto vale el valor de C para la válvula de la figura 7.7? ¿Y para la de la 7.8? ¿Cuánto vale la rangeabilidad inhereri te de la válvula de la figura 7.8? 3.- Dibuje las características inherentes de la válvula de la figura 7.8 4.- Una válvula de igual porcentaje tiene una carrera total en presentando en forma inherente una rangeabili dad R ¿Cuál es la nueva rangeabilidad cuando trabaja con una reía 5.- Una válvula de uso especial viene dada por la siguiente ecuación:

donde R es la rangeabilidad. Grafíque las características a partir de la ecuación P7.5, para R = 10. 6.- Una instalación que consiste de una bomba centrífuga, una válvula y línea con instrumentos de medición, codos, etc. tal como muestra en la siguiente figura.

Las características de operación de la bomba y la caída de pr£ sión en la línea, instrumentos y codos son dadas en la siguien te figura.

Se desea controlar el flujo de 300 a 1000 GPM. Seleccione el tamaño y las características de la válvula de tal manera -que el flujo varíe en forma aproximadamente lineal con respecto a las variaciones de presión en el actuador. Suponga que el  movimiento del vastago es lineal con respecto a la presión. 7.- Convierta las ecuaciones de la sección 7.5 al sistema MKS.

263

BIBLIOGRAFÍA: BUCKLEY, P.S. HARRIOT, P. HOLZBOCH, W.G. CONSIDINE

 MILHAM-CATHETON  ANDERSON, N.A. HOLZBOCK HOLZBOCK GRABILL

Capítulos 14

y 15.  Mc.Graw Hill.

Capítulo 16.-Editorial

Editorial Reinhold. P 3 1 7

Ed.

 Mc.Graw Hill. Instruments

Instruments and Control Sys tems Vol. 36, Pág. 138 (Agosto-63)

CAPITULO

8

CONTROL DE NIVEL DE LÍQUIDOS. 8.1.- SISTEMA GENERAL DE CONTROL DE NIVEL, 8.2.- CONTROL DE NIVEL PARA ACOPLAR DOS PROCESOS ENTRE SI, 8.3.- CONTROL DE NIVEL EN CASCADA. 8.4.- CONTROL VERDADERO DE NIVEL. 8.5.- PROCESOS DE MEZCLADO. BIBLIOGRAFÍA. PROBLEMAS.

266

El nivel es una de las variables más importantes a controlar en los procesos industriales, precedida solamente por el control de flujo y por el de temperatura. El control de nivel presenta las mismas caraterísticas que el control de presión, ya que las ecuaciones que describen los dos tipos de sistemas son análogas entre sí; así que lo que se men cione en este capítulo, puede ser aprovechado en todo sistema destinado a controlar presión. Al igual que en control -de presión, cuando se controla el nivel de líquido en un tan que, se acostumbra hacer una gran subdivisión de acuerdo con el objetivo que se persigue: a). Si se desea controlar el nivel para balancear el flujo de salida de un proceso o procesos con el flujo deentrada a otro proceso, hay que proceder de tal manera que se cumplan los siguientes requisitos: Hacer que las variaciones de entrada al segundo proceso sean lentas a pesar de -que las variaciones en el flujo o los flu jos de salida sean grandes y rápidas. Que el nivel en el tanque de amortiguamiei to no sea tan bajo, que se vacíe dicho tanque ni tan alto que se desborde. Se dice, entonces, que se tiene un tanque amorti-guante para acoplar dos procesos (averaging control), y  b). Si lo que se quiere es mantener el nivel lo  más cercano posible a un valor determinado, se dice que el sistema es de verdadero control de nivel. Debe notarse que, para controlar el nivel.(o presión), se manipula el flujo de salida o el de entrada del tanque. Es claro suponer que no pueden existir controles de flujo y de nivel (o presión) independientes; es decir, no puede mantenerse el flujo a un valor deseado al mismo tiempo que se  mantiene el nivel (o presión) también a un valor de--

267 seado. Tratar de conseguir los dos objetivos puede producirgrandes oscilaciones en el flujo y el nivel (o presión). Una de las maneras de efectuar simultáneamente los dos controleses hacer que el bucle de control de nivel sea mucho muy lento respecto del bucle de control de flujo. 8.1.- SISTEMA GENERAL DE CONTROL DE NIVEL. En la figura 8.1 se da el arreglo físico de un sistema para controlar nivel. La bomba centrífuga se emplea para elevar el líquido a un nuevo nivel de descarga y puede su ponerse,sin perder generalidad, que la presión an^es y íes — pues de la bomba es casi la misma:

Figura 8.1 C ntrol de nivel. Caso general.

26 8

Notación:

TN = transmisor de nivel CN = controlador de nivel N =nivel (decímetros) claro del transmisor (decímetros) flujo de entrada (litros/min.) flujo de salida (litros/min.)

269

(8.3) (8.4) La representación del sistema en diagrama a cuadros se da en la siguiente figura obtenida al representar las

-- -

ecuaciones (8.1) a (8.4),

Figura 8.2.

Diagrama a cuadros cjel sistema.

Las funciones de transferencia para la regulación sistema se obtienen mediante álgebra de cuadros. «Definiendo el término:

(8.5)

Finalmente, se obtienen las siguientes ecuaciones: (8.6)

(8.7)

(8.8)

(8.9)

Nótese que las variaciones de puesto que se han despreciado los efectos dinámicos de la 1¿ nea. Las derivadas parciales que aparecen en las ecua-ciones anteriores representan términos constantes, pues di-chas derivadas se evalúan en los valores nominales de las va_ riables. 8.2.-

CONTROL DE NIVEL PARA ACOPLAR DOS PROCESOS ENTRE SI.

Cuando todo el flujo producido por un proceso o pro_ cesos constituye el flujo de alimentación de otro proceso y ocurren grandes variaciones en dicho flujo, variaciones que-

271 no puede tolerar el proceso que lo recibe, se emplea un sistema de control de nivel, llamado promediante que consiste -

en: 1S

Balancear flujos de entrada y salida de los -

dos procesos.

2 8   Proporcionar un flujo que presente cambios su§_ ves y graduales con el fin de que el proceso,corriente abajo, no resienta a grandes perturbaciones, y 3 9   Efectuar un control de inventarios, lo signifi^ ca mantener el nivel del tanque entre dos valo_ res dados (máximo y mínimo) y no en un va lor fijo. De acuerdo con el segundo punto, el sistema respon derá lentamente, lo que implica que una ganancia muy baja -del controlador que deberá ser usada. Por lo tanto la constante de tiempo predominante será la presentada por el tanqut por ser ésta la de mayor orden; así que puede despreciarse los retardos de la válvula y el transmisor:

Es conveniente usar control proporcional, por las siguientes razones: a). Es muy barato y simple de ajustar. El transmisor puede hacer las funciones de controlador, y ahorrarseasí el uso de la unidad de control. b) . Existe una relación uno a uno entre flujo pro_ medio de entrada, nivel, y pos ición de la válvula, lo que «-

272  permite una seguridad nbsolutn contra derrames o vaciado del tanque. c) . Jamás existirá sobretiros en el flujo de sali^ da, después de un cambio en escalón del flujo de entrada al-

tanque. d). El controlador no presenta el fenómeno de saturación durante el periodo de apagado en un proceso discontinuo (batch), que, en cambio, siempre presentará un controlador con acción intefral (reset windup). El controlador -

 proporcional puede permanecer en automático durante el apaga

do. La función de transferencia del controlador propor_ cional es:

(8,10)

(8.11)

(8.12)

(8.13) La respuesta en frecuencia del nivel y del flujo de

273 salida se dan en la figura 8.3, obtenidas de las ecuaciones(8.10) y (8.11).

Figura 8.3

Relación de amplitudes de la respuesta a la frecuencia.

La gráfica de la figura 8.3 señala que el sistemaresponde como filtro pasabajos para el nivel y el flujo de » salida con respecto a variaciones del flujo proveniente del proceso I. Si las armfinicas del flujo del proceso I están »  muy debajo de la banda de peligro del proceso II (véase el * capítulo 5), no se necesita control intermedio entre los dos  procesos. Si sucede que si contiene armónicas cercanas a di, cha banda, se requiere de control promediante, En este caso de las frecuencias de peligro, para que las amplitudes co--rresDondientes sean suficientemente atenuadas. La respuesta a la frecuencia para

está da-

274 da a partir de las ecuaciones (8.12) y (8.13).

Figura 8.4

Respuesta a la frecuencia de

afectarán severamente el control.

Cuando se prevee que — 

existirán variaciones en dichas presiones, se recurre a un es_ quema de control de flujo en cascada. En este caso la salida del controlador de nivel se aplica a un segundo controlador,que lé compara con la señal proveniente de un transmisor de flujo para, finalmente, operar la válvula de control. Véasela figura 8.8. Si se esperan cambios grandes en el flujo de entrada, en forma de escalón, puede encontrarse la variación del flujo de salida, a patir de la ecuación (8.10).

275

La respuesta resultante es la de la figura 8.5

Figura 8.5 Cambio en el flujo de salida para un cambio en escalón del flujo de entrada. La variación máxima del flujo de salida ocurre en

(8.14) La ecuación (8.14) permite calcular

una vez que

se conoce

EJEMPLO 8.1.- El flujo nominal de agua de un tanque es de 1000 litros  por minuto. El flujo máximo esperado es de 1,400 litros por minuto. Puesto que es flujo proveniente devarias unidades, se tendrán cambios súbitos de flujo hasta de

276 200 litros por minuto, producidos al eliminar o añadir uno de los flujos de dichas unidades. Considérese una válvula lineal cuyo cuerpo presente una ganancia promedio de 15 litros por minuto, por 1 por ciento de elevación:

Seleccionado un claro del transmisor de 3 metros:

también: Se requiere que la variación máxima en el flujo desalida sea de 10 litros/min/min. Seleccionar cumplir lo anterior suponiendo que El flujo en la válvula es, tomado el nivel medio,

Obsérvese que el coeficiente de autorregualción es muy pequeño, debido a que P es bastante grande.  A partir de la ecuación (8.14) puede calcularse el valor requerido de

277 De la ecuación (8.11) se deduce que, para lograr -que el tanque no se desborde ni se vacíe:

El valor de ganancia es de .445, lo que significa una banda proporcional de 225. De la definición de

se calcula el área de la --

sección.

CONTROL DE NIVEL MEDIANTE EL CONTROLADOR DE DERIVATIVA INVER-

SA.

Este tipo de control es muy usado cuando: I9 El error estático de nivel dejado por el contro lador proporcional sea muy alto, y 2 No es aconsejable usar control PI, por causar éste inestabilidad u oscilaciones muy fuertes.

El controlador de derivativa inversa, cuya acción es del tipo de una red de atraso (véase capitulo 6), tiene la siguiente función de transferencia.

Un controlador de este tipo es producido por Moorey el valor de a es fijo e igual a 6. ..._.

278 vamente.

Supóngase que el término de autorregulación es cero nueden ser aproximados por respectiResulta.

Si la válvula está operando en forma lineal:

(8.17) Si se sustituye (8.15) en (8.17), tomando en cuenta las aproximaciones hechas, se tiene:

(8.18) donde:

(8.19)

(8.20)

La ecuación (8.6) se convierte en:

(8.21)

279 deben tenerse en cuenta Para seleccionar las siguientes normas: a) . El valor de debe ser suficientemente grande con el fin de eliminar el mayor número de armónicas de  b). La respuesta del flujo de salida a una entrada en escalón debe presentar poca o ninguna oscilación. c). Se debe garantizar que el tanque no sufrra derrames ni se vacíe después de un cambio grande en escalón de-

Para satisfacer b) se elige  para que la res puesta presente características de amortiguamiento crítico. 6, resulta: Despejando T, de (8.20), con

Si se toma en cuenta lo dicho en a), se elige: (8.22)

Las ecuaciones (8.18) y (8.21) se convierten en lasiguiente forma:

(8.23)

(8.24)

(8.25)

280

Derivando (8.25) con respecto de t, e igualando a en el que ocurre el cero, resulta tiempo sobretiro, que resulta ser de 11.31. También de la (8.25) se deduce que en estado permanente Puede verse que, a diferencia del control proporcional sol6, el controlador proporcional + acción integral limitada (derivativa inversa) pr£

duce un pequeño porciento de sobretiro, (figura 8.6).

Figura 8.6 Flujo de salida. Respuesta a un cambio en escalón en el flrjo de entrada, usan do derivativa inversa. Derivando (8.26) e igualando a cero, resulta

Sustituyendo (8.17) en (8.27).

Si se supone que antes del escalón N era igual a ce_

281  puede ser igual a se desea satisfacer c), entonces:

de donde

(peor caso), y si

debe ser igual a:

Los valores típicos de deben ser de 4 a 6. Eliigual a 6, para dejar cierto margen de seguridad de giendo la ecuación (8.17) es ahora: (8.28) Combinando (8.28) y (8.22): (8.29) La ecuación (8.29) permite seleccionar el valor de En la figura 8.7 se gráfica la respuesta de N, como resultado de evaluar la ecuación (8.26).

Figura 8.7. Cambio de nivel después de un cambio en el flujo de entrada, usando derivativa inver-

sa.

282 8.3.-

CONTROL DE NIVEL EN CASCADA. sufren grandes variaciones se emplea

el esquema de control en cascada mostrado en la figura 8.8. Consiste en añadir un bucle de control de flujo, cuyo valor de referencia es fijado por el control de nivel. El propósito de este bucle esclavo es eliminar el efecto sobre al f^ujo de

Figura 8.8

Control de nivel

CN: controlador de nivel, primario CF: controlador de flujo, secundario

El diagrama a cuadros del sistema se da en la figura 8.9.

283 F. de T. del transmisor de fluio fincluído el elemento  primario) F. de T. del transmisor de nivel

Figura 8.9- Diagrama a cuadros del control de

nivel mediante el esquema de control en cascada.

284 8.4

CONTROL VERDADERO DE NIVEL. F.j emplo:

S e desea controlar el nivel en un tanque, existiendo los siguientes datos: Área del tanque: Nivel normal: Densidad del líquido: Presión del tanque: Caudal normal: Transmisor:

200 decímetros cuadrados metros 0.9 Kg/litro cero (abierto a la atmósfera) electrónico, cuya salida varía 10 a 50 miliamperios para un cambio de dos metros en el nivel. Con constante de tiempo igual a 1 segundo. Neumáti ca, sin posicionador, y que presenta una constante de tiempo de 20 segundos.

Se desea que el nivel no presente una desviación mayor de 10 centímetros de su valor normal, después de cambios en el caudal de entrada de 200 litros/min.

El arreglo físico del sistema es mostrado en la figura 8.10. Puede calcularse

mediante el método del capítulo 3

Si se selecciona una válvula que pueda manejar hasta -1200 litros/min, yendo de completamente cerrada a completamen te abierta, cuando la salida del controlador va de 10 mA a 50 mA, es de inferirse que el convertidor, el actuador de dia --fragma y el cuerpo de la válvula presente conjuntamente una

285

Fig. 8.10

Control de nivel

De acuerdo con los datos, el diagrama a cuadros del sistema es el siguiente:

286  Afuera de cada cuadro se indica la dimensión de cada ganancia. Reduciendo la forma canónica anterior, resulta el diagrama a cuadros de la figura 8.12, en el que se ha seleccionado un control proporcional.

Figura 8.12 Diagrama reducido, con controlador  proporcional. Selección de Por tanteos se busca un valor de frecuencia que presen te 30 grados de margen de fase, aproximadamente. T = 12 min

Puede fijarse un margen de fase igual a 34.5°a una fre_ cuencia de 4 rad/min, simplemente haciendo que la ganancia del trazo de Bode sea uno en dicha frecuencia. .t

287 de donde gen de fase aún mayor que 34.Se

Una vez encontrada la banda proporcional que cum  pie las especificaciones de estabilidad requeridas se procede a checar que satisfaga las condiciones estáticas. El valor total de ganancia del bucle es: K - (30) (2) (.06) (20) = 72 •." • El valor de ganancia estática de la perturbación, en laro abierto es: f •&."."." El error estático, originado por la perturbación,

Después que pasa el transitorio el nivel permanece 1.6 centímetros por encima de su nivel normal; por lo tan to no se requiere acción integral en el controlador. 8.5 PROCESOS DE MEZCLADO. En muchas ocasiones se desea producir una mezcla que presente determinado valor de concentración, a partir de diferentes sustancias, que no van a producir ninguna reacción química entre sí. A un proceso de este tipo se le conoce como mezclado. Cuando ocurren reacciones, pero éstas son muy rápi das, por suerte que el producto final depende de las cantida des de reactivos presentes y del mezclado previo de éstos; el fenómeno es prácticamente igual a uno de mezclado. La figura 8,13 muestra un tanque de mezclado, alimentado por n corrien-, tes, cada una con determinada concentración.

288

Figura 8.13 Proceso de mezclado. Mezclado perfecto.

Cada uno de los flujos lleva la sustancia que inter£ sa, presentando cierta concentración. El modelo matemático se obtiene mediante el balance de dicha sustancia. Se tiene: (8.41) donde:

Igualmente para las demás corrientes.

289 ;

Considerando que la agitación es ideal y que,por tanto, el contenido del tanque presenta una concentración uniforme en todo su interior y considerando que la concentración en el flujo de salida es igual a la del tanque:

La variación de la cantidad de substancia en el.interior del tanque es igual a la diferencia entre las cantidades de entrada y salida, es decir:

-

(8.43)  V ■ volumen total del tanque, litros Si se presenta con barras el valor promedio de los -flujos y concentraciones, se tendrá:

(8.45) Sustituyendo las ecuaciones (8.44) y (8.45) en las (8.41) y (8.42) resulta:

Supóngase que el flujo de salida es igual a la suma-

290

de los flujos de entrada, ya sea porque se tenga un control de nivel, o bien porque se cuente con un arreglo de derrame contií nuo; de donde: (8.47)

Sustituyendo las ecuaciones (8.46) y la (8.47) en la ecuación (8.43) se tiene:

-"• El modelo estático del sistema puede obtenerse de la (8.49) simplemente igualando las variaciones a cero.

La ecuación (8.50) y la ecuación (8.48) constituyen el modelo estático del sistema. Transformando la ecuación (8.49), resulta:

Representando a cuadros las ecuaciones C8.47) y (8.51)

resulta el diagrama mostrado en la figura 8.14

291

Figura 8.14 Diagrama a cuadros del tanque de mezclado.

 A partir del diagrama pueden obtenerse las funciones de transferencia.

(8.S3)

392

TANQUES LN SERIE. - S i la mezcla se efectúa en una serie de tanques dispuestos como se muestra en la figura 8.15, se tiene:

Las ecuaciones (8.54) y (8.55) relacionan la concentración de salida del primer tanque con variaciones de concentración y de flujo de los flujos de entrada. Por un procedimiento semejante, para el último tanque se encuentran las siguientes funciones de transferencia.

Las ecuaciones (8.56) y (8.57) indican claramente que el sistema es de orden m (emésimo)

293

Figura S.15 Mezclado.

Tanques en serie.

PROBLEMAS 1.- Cuatro reactores van acoplados mediente un tanque a una -columna de destilación. Cada reactor produce un flujo de 2000 litros/min pudiendo estar hasta dos de ellos fuera de servicio. Diseñe el tanque y el sistema de control, si se esperan entradas y salidas súbitas de un reactor y si el cambio máximo de flujo a la columna no debe ser mayor de ZOO litros por minuto. 2.- Según la figura, se tiene un control de nivel mediante la  manipulación del flujo de entrada. Existe un control inde_  pendiente de flujo en la línea de salida cuya consigna varía de 1200 a 2000 litros/min. La válvula de alimentación recibe el fluido (P= 1 Kg/litro) de un tanque de depósito colocado 20 metros arriba, a) Encuentre el modelo matemático del sistema.

294

Figura

b)

P8.2

Seleccione el equipo adecuado del bucle de control de Fijar los parámetros de tal manera que el nivel del -tanque no se altere en más de 10 centímetros para los diferentes regímenes.

3.- En el sistema anterior ¿Que cambios y modificaciones deben hacerse, para que el tiempo de residencia del fluido en el tanque se mantenga constante? Calcule los parámetros para que el tiempo de residencia sea de 8 minutos. 4.- A un tanque de mezclado llegan L corrientes de salmuera: una de 50 LPM y concentración de 0.3 Kg/litro, la otra de 100 LPM y concentración de 0.2 Kg/litro.

Además, se in--

295

troduce agua, manipulando su flujo de tal manera de mantener la concentración de salida lo más cercana posible a -.14 Kg/litro. El volumen de salmuera en el tanque es de 100 litros y se mantiene constante mediante un sistema de control verdadero de nivel. Asuma un tiempo muerto en el mezclado igual a 3 segundos, mas otros 2 segundos de tiempo muerto por transporte del tanque al punto de medición de concentración. Considérese que los demás retrasos son despreciables. Encuentre: a) Flujo nominal de agua; b)

Si se usa control proporcional, la ganancia óptima del bucle por el método de la curva de reacción.

c] Ahora, cual será el error final para un aumento sostenido de 0.05 Kg/litro en la concentración de la segun-

da corriente.

296

1.- HARRTOT P. 2.- BUCKLEY P.S. 3.- GOULD L.

■   ;

'

:

*

■

C A P I T U L O

9

CONTROL DE FLUJO 9.1

EL PROCESO DE FLUJO

9.2

ELEMENTOS DE MEDICIÓN Y TRANSMISIÓN DE FLUJO

9.3

LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAICES

9.4

DISEÑO DE UN SISTEMA DE CONTROL DE FLUJO PROBLEMAS

9.1

EL PROCESO DE FLUJO.

Ya se dijo en capítulos anteriores que la diferencia fundamental entre los sistemas de control de flujo y los síst£  mas de control de las demás variables radica en que el proceso de flujo presenta una constante de tiempo casi siempre menor que las constantes de tiempo del resto del sistema (válvula de contri, elemento primario y transmisor, líneas neumáticas, con trolador, etc).

que del las que

De acuerdo con el párrafo anterior, es de inferirse la forma de la respuesta, en el tiempo o en la frecuencia, sistema de control estará determinada en mayor grado por constantes de tiempo de la válvula y del transmisor, más por la constante de tiempo del proceso en sí.

En este capítulo, como se ha venido haciendo, cuando aparezca una función en el dominio de Laplace, interpretaremos dicha función como la transformada de Laplace de la variación de la función temporal respectiva. Dicha variación es la desviación de la variable con respecto al valor nominal de la mis_  ma. Matemáticamente.

entonces

 No procede aquí el análisis completo de un proceso

de flujo, tanto por la naturaleza de este trabajo,como por la enorme complejidad de las ecuaciones resultantes. Por tales motivos circunscribiremos nuestro estudio al caso de flujo de líquidos y adoptaremos para ello un modelo concentrado. A diferencia de lo que hicimos en los capítulos ante riores, usaremos en éste el newton/dm como unidad de presión, a fin de que las ecuaciones presenten compatibilidad con las unidades físicas empleadas. ....

Este parámetro se origina en la compresibilidad del fluido estudiado. Puesto que los líquidos son casi incompresibles, puede suponerse que la capacitancia de una línea que conduce un líquido es despreciable.

El parámetro inertancia está relacionado con la inercia del líquido a ser acelerado. La inertancia presentada por un líquido en una tubería viene definida por la siguiente ecua ción.

La inertancia es análoga a la inductancia eléctrica La ecuación (9.1) es similar a la ecuación que relaciona la caída de voltaje en un inductor con la corriente que circula por él.

V = volts;

L = inductancia en Henry; i = corriente

Si se ap lic a la segunda ley de Newton a la masa com prendida en una distancia de L decímetros de tubería, tendré

mos

donde:

P = presión aplicada  para acelerar la masa;

 M = Masa del líquido = A Lp ; kilogramos  A = área de la sección del tubo, (decímetros cuadrados) v = velocidad; (decimetros/seg) El flujo es el producto del área por la velocidad del fluido: F = Av (litros/seg), de donde la ecuación (9.3) toma la siguiente forma.

Sustituyendo la ecuación (9.4) en la (9.1), se obtie ne el valor de la inertancia.

Es útil recordar que el newton es igual a un Kg-me

 Al igual que en redes eléctricas, la resistencia hidráulica está ligada al efecto disipativo de la línea. En vir_ tud de que dicha resistencia está relacionada en forma no lineal con el flujo, es conveniente definir el valor resistivo como la relación entre los incrementos de flujo y los incremen tos de la caída de presión por la fricción con las paredes del tubo, esto es:

Para evaluar la ecuación (9.6) es necesario conocer la caracterítica del flujo. Se presentan dos casos; a) Régimen turbulento Cuando existe flujo turbulento, caso más común, la caída de presión y el flujo están relacionados por la ecuación de Fanning.

Diferenciando la ecuación (9.8) y evaluando para con diciones nominales,

Sustituyendo (9.8) y (9.7) en (9.6)

R - resistencia en

 b) Flujo laminar En este caso la caída de presión y el flujo están relacionados en forma lineal.

Derivando y sustituyendo

En el capítulo 7 vimos que el flujo de líquido a través de una válvula viene dado por

v

. El factor C depende de la densidad del líquido y del área de paso de la válvula, que a su vez depende del movimienPara un líquido se infiere que el flu jo de la válvula depende de su caída de presión y del movimieri to del vastago:

Diferenciando (9.13) obtenemos la ecuación vula

El término tencia de la válvula

representa el recíproco de la resis

Evaluando la derivada parcial con la ecuación 9.12 obtenemos (9.15)

En una restricción fija, la caída de presión depende del cuadrado del flujo que la atraviesa, por lo que

FLUJO ENTRE DOS TANQUES  Analicemos el proceso de flujo entre dos fuentes de  presión cuyo valor es independiente del flujo y obtengamos las funciones de transferencia,así como el diagrama a cuadros correspondiente. El proceso consiste en una línea de longitud L, una válvula y una restricción fija, según nuestra figura --

9.1 De acuerdo con lo anterior

Caída en la válvula Caída en el orificio Caída en la

línea

Figura 9.1

Flujo entre dos tanques

Si se mantiene fija la abertura de la válvula, los cambios de presión en los extremos están relacionados con el flujo mediante la ecuación

(9.17)

La ecuación (9.17) es análoga a la de un circuito RL, consistente en un resistor y un inductor en serie, conectados

en sus dos extremos a dos fuentes de voltaje. De la misma ecuación pueden obtenerse las funciones de transferencia

T = constante de tiempo del proceso

P demos obtener la función de transferencia para cambios ligeros en X, transformando la ecuación (9.14):

El cambio de presión en la válvula se deja sentir en el resto délos elementos de la línea. Puesto que la caída to-

tal de presión es constante.

De donde

Sustituyendo (9.22) en (9.21) se obtiene

De la ecuación 9.23 obtenemos la ganancia estática del flujo con respecto de X:

ganancia estática; li t ro s por seg/l

es la característica instalada de la válvula, mientras que que el término esta relacionado con la característica es mucho mayor que inherente de la válvula. Notamos'que si las demás resistencias (casi toda la caída ocurre en le válvula), la característica instalada es prácticamente igual a la característica inherente. Representando las ecuaciones (9.18), (9.19( y (9.23) obtenemos el diagrama a cuadros de la figura 9.2

FLUJO OBTENIDO POR UNA BOMBA CENTRIFUGA. Una situación muy común en la industria se ilustra en la siguiente figura,

Figura 9.3 Flujo impulsado por una bomba centrifuga La ecuación que rige el funcionamiento de la bomba, cuando opera a velocidad constante, es

 presión de succión; newton/  presión de descarga; elevación de presión cuando el flujo es nulo coeficiente de regulación, positivo Diferenciando la ecuación (9.24)

Evaluando en condiciones nominales y transformando:

Donde se ha definido la resistencia,

como

Figura 9.M Diagrama a cuadros del proceso de la figura 9.3

Podemos considerar a la bomba como un generador ideal de presión que presenta una resistencia interna. Representando la ecuación (9.26) y adicionándola a la figura 9.2 obtenemos -

Figura 9.5

Reducción del diagrama anterior

el diagrama a cuadros de la figura 9.4 Reduciendo el diagrama a cuadros de la figura 9.4 ob tenemos la figura 9.5 En la figura

9.5,

es la resistencia total =

Ejemplo 9.1 Sea un proceso tal como el señalado en la figura 9.6

Fisura 9.6

Se desea encontrar el diagrama a cuadros Solución:  Mediante la ecuación de la bomba, encontramos

nal

nomi-

La caída de la válvula se encuentra haciendo un balan ce de caídas de presión.

Con la ecuación [9.15) encontramos la resistencia en la válvula

Con la ecuación (9.27) calculamos

La inertancia de la línea se calcula con la ecuación C9-5)

la constante de tiempo,

Figura 9.7 Diagrama resultante para el proceso de figura 9.6

9.2 ELEMENTOS DE MEDICIÓN Y TRANSMISIÓN DE LUJO

Los medidores de flujo pueden g ubdividirse en dos j;ran_ des grupos: "a) Aquellos cuya sa l i d a es proporcional al cuadrado del flujo, y b) Aquellos cuya salida ".iría lincalmente con el val'or del flujo. El primer j'.runo ostíí constituído por diferentes tipos de restricción al paso del fluido . Dichas restricciones provocan una caída de presión, la cual es detectada por un segundo elemento.

F.n la Figura 9.8 se

aprecian las restricciones más usadas en esta práctica.

Figura 9.8 a) Placa de orificio, b) Tubo Ventury. c) Tobera, d) Tubo Pitot.

PLACA DE ORIFICIO La restricción de mayor uso es la placa de ori fi ci o;

ello debido a su bajo costo y fa c i l i d a d do instala ción y de mantenimiento.

Hntre sus desventajas destaca la relativa-

mente alta caída de presión irrecuperable que produce.

En

la l-'igura 9.9 se ilu stra una isnt alac ió n típ ica para medir flujo mediante una placa de o r i f i c i o y tomas de vena contracta, las que consisten en efectuar la toma de alta presión en un punto situado a un diámetro de tubería flujo arriba de la placa y la toma de baja presión en el punto de  pre_ 

sión mfnimn.

Figura 9. 9

Medición de flujo con la placa de orificio

La ecuación que relaciona el valor del flujo con la caída de presión es:

donde Coeficiente de descarga, cuyo valor se obtiene experi-

mentalmente y varía con el acabado de la placa. área del orficio de la placa. relación entre el diámetro de la placa y el diámetro de la tubería = d/D densidad del líquido. presión alta (corriente arriba). presión baja (corriente abajo).

Si en la ecuación anterior llamamos

a la diferencia

y la despejamos, se obtiene

La Ecuación (9.29) caracteriza a los medidores de restricción. Para obtener la ganancia del elemento es necesario diferenciar la Ecuación (9.29) y obtener la relación

entre los incrementos.

de donde

eliminando K con ayuda de la (9.29), la Ecuación (9.31) qu£ da como

donde caída de presión para el flujo máximo previsto.

flujo máximo p r e v i s t o flujo real Si analízanos la Ecuación (9.32) concluímos fácilmente que la ganancia de la placa de o r i f i c i o no es constante,  pues aumenta'al aumentar el v a l o r de fl ujo .

En la Figura 9. 10 se tiene el esquema de un transmisor electrónico de presión diferencial, cuyo ohjetivo es conver t i r la diferencia de presión que detecta en una corriente, la que será enviada a un graficador y/o a un controlador. El transmisor mostrado cuenta con ajuste de cero y de ganancia de tal manera que se produzca su s a l i d a máxima de d i s e ñ o cuando el flujo sea el máximo previsto. Ejemplo 9.2.

Al proceso de la Figura 9.6 se añade un

transmisor diferencial de presión, un controlador, un convertidor electroneumático y un actuador, según se aprecia en la Figura 9.1 1.

Se deben determinar la s características de la

válvula de tal manera que se compence la no l i n e a l idad producida por la placa de orificio y por la caída de presionen la salida de la bomba, ésta producida por el aumento de flu

jé* Datos:

new/dm

cuando F = 50 litros/seg. De

donde la constante de la Ecuación (9.29) es

Figura 9.10

Si el ("lujo máximo previsto es de 00 li t ro s por segundo la caída máxima será

La calibración del transformador se hará de acuerdo con la siguiente tabla

Usando la Ecuación 9.32 podemos obtener la ganancia conjunta de la placa y el transmisor.

Para compensar la ganancia variable del conjunto placa de orificio-transmisor se selecciona

a manera de mant

ner la ganancia de la malla lo más constante pos ible : esto

de donde se concluye que

resolviendo la ecuación anterior resulta

lo que indica que la válvula debe tener características in£ taladas del tipo raíz cuadrada. Si evaluamos la constante C

 mediante valores de frontera (F = 60 litros/seg cuando X * 1001) resulta

o sea que las características instaladas de la válvula deben

ser

Podemos ahora co ns t ru ir una t a b l a con las dos anteriores ecuaciones

En la Figura 9.12 se ilustran los dos tipos de característi^ cas de la válvula.

La característica inherente se aproxima

a una válvula l i n e a l .

Si se usa un posicionador para ope-.

rar la válvula, pueden conseguirse las características inhe_ rentes deseadas simplemente alterando el borde de la leva de retroalimentación del posicionador.

 MEDIDOR MAGNETICO DE LUJO El medidor magnético de flujo está constituido por un ducto no magnético a través del cual pasa el fluido cuyo flujo se desea medir.

:

Figura 9.12 a) Característica instalada, b) Característica inherente

Por fuera del ducto se encuentran dos bobinas, opuestas una a la otra, por las cuales circula corriente eléctri ca para crear un campo magnético de características bien de finidas en el interior del ducto. El dispositivo cuenta con dos electrodos insertados en el ducto, diametralmente opuestos, y situados perpendicular^ mente respecto del campo creado por las bobinas.

También

se cuenta con un núcleo de hierro laminado que permite cerrar el circuito magnético por fuera del ducto (véase la Fig.9.13).

320

Hn c] modulor magnético el fluíxlo actúa como conductor,

Figura 9.1? Medidor magnético de flujo

por lo cual se requiere que el fluido medido presente cierto valor de conductividad.

Los electrodos captan la fem

t

inducida, la cual es modificada posteriormente por un ins-' truniento. En la práctica la corriente que circula por las bobinas es alterna, por lo que la fem generada será, asimismo,

La relación matemática que define el fenómeno es:

Voltaje inducido Valor del campo magnético Diámetro interno del ducto Velocidad media del fluido Constante de proporcionalidad, usualmente dada por el fabricante. De acuerdo con la expresión anterior, si el campo magnético es constante la fem generada dependerá de la velocidad del fluido, la que a su vez está relacionada linealmente con el gasto volumétrico.

Es decir la fem inducida varía

linealmente con el flujo.

9.3

LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAICES El método del lugar geométrico de las raíces (LGR) per_

mite encontrar los polos en lazo cerrado de un sistema de control, a partir del conocimiento de los polos y ceros de lazo abierto del mismo; por ello, el LGR representa un pode_ roso método de síntesis pues, como es sabido, la respuesta transitoria depende de la localización de los polos en lazo

cerrado. El LGR proporciona información respecto a:

de las raíces indic a todas las pos ib le s local izaciones de los polos en lazo cerrado; dichos polos deben estar en el scmiplano iz quierdo del plano s, por lo que deben seleccionarse puntos suficientemente retirados del eje

jw.

canos al eje jw y tien en una i nfluen cia muy fuerte en la respuesta del si st em a.

Tal hecho proporciona un crite-

rio para la sínte sis del sistema de control.

sistema será mayor mientras más alejados del origen se encuentren los polos dominantes.

contrados los polos de lazo cerrado es relativamente fácil encontrar la respuesta a una entrada en escalón o bien la respuesta a la frecuencia. En lo sucesivo, para evitar ambigüedades, denominaremos a los polos de lazo cerrado con el termino remos el término

para Jos polos de lazo abierto.

y usa

cerrado; pues si bien dichos ceros no tienen influencia en la estabilidad del sistema, sí la tienen respecto del carác

ter oscilatorio de la respuesta.

 Veamos ahora las reglas para construir el LGR.

te del LGR puede encontrarse sobre el eje real; di^ cha parte se encontrará

Regla 2. Puntos del LGR.

Los puntos que constituyen el LGR

son aquellos del plano complejo s que satisfacen la ecuación:

La ecuación anterior, llamada ecuación característica del sistema, produce dos ecuaciones: una relacionada con la mag nitud de GH(s)

y la otra con el argumento de la misma:

La Ecuación (9.35) origina el trazo del LGR, el que está constituido por una o más ramas, la(s) que contiene(n) el conjunto, infinito, de posibles juegos de raíces.

La Ecua-

ción (9.34) está ligada a la selección de las raíces que tendrá el sistema, a partir de las dadas  por el LGR.

La forma de

es normalmente

donde:

Usando la Ecuación (9.36), la (9.33) adopta la forma:

De la ecuación anterior se concluye

eme

Reala 3. cada una de ellas empieza en uno de los

n

polos y termina en un cero

o en infinito. Regla 4. Asíntotas .- El l.GR tiende a cierta s 1 íneas 1lamadas

asíntotas.

número de asíntotas = n-m

Regla 5. Centro y ángulos de las asíntotas. El centro, de las asíntotas es el centroide de los polos y los ceros de GH(s), si se considera que los polos

 poseen una masa de +1, y los ceros de

- 1 , es de

cir

Los ángulos entre las asíntotas y el eje real vie-

nen dados por:

para j = 0,1,...,n-m-1.

Regla 6. Puntos de quiebre. Un punto de quiebre, aquel donde dos ramas del LGR so apartan del eje

real, o bien en el que dos ramas llegan a dicho eje. La localización de los puntos de quiebre se cncuen

tra resolviendo la siguiente ecuación para

La ecuación (9.41) es de orden

n+m-1

teniendo por

tanto igual número de soluciones aunque no todas ellas representan verdaderos puntos de quiebre.

Para saber cuales

de las soluciones son puntos de quiebre basta aplicar la Re Ría 1.

Ejemplo 9.3.

Encontrar el LCÍR del sistema de la Figu-

ra 9.14

Figura 9.14

Sistema de control

En este caso el sistema es tan sencillo que se puede resolver matemáticamente y encontrar el LCR si n emplear las reglas dadas anteriormente. En efecto, la ecuación caracterís_ tica es

despejando s raíces posibles del sistema. Podemos representar la igualdad anterior en el plano s, obteniendo la Figura 9.1S

Figura 9.15 LGR de K/s+p)

Nótese que el LGR está confinado al eje real, y que a medida que se aumenta el valor de K el polo de lazo cerrado se

 mueve hacia la izquierda.

Ejemplo 9.4.

Encontrar el LGR del sistema de la Figu-

ra 9.16

Figura 9.16 Sistema de control

E s te ca so es ta m bi é n m u y s e n c i l l o y se pu ed e r e so l ve r matemáticamente, sin ninguna di f i c u l t a d .

característica:

raíces:

Si

las raíces son reales;

son complejo conjugadas; por ejemplo si

En la Figura 9.17

Figura 3.17

se ilustra el LGR 

Lup.ir pfométrico

si K = 100:

9.4

DISEÑO DE UN SISTEMA DE CONTROL DE FLUJO Se desea encontrar un control adecuado para el proceso

de la Figura 9.6.

El equipo para l l e v a r a cabo el control

se da en la Figura 9. 1 1 .

Las funciones de transferencia

son: Placa de orificio:

Transmisor:

Convertidor:

 Actuador:

Cuerpo de la válvula:

Proceso:

Controlador:

Representando en un diagrama a cuadros las funciones de transferencia, resulta la Figura 9.18.

Figura 9.18

Sistema de control de flujo

Procedamos a encontrar el LGR del sistema, suponiendo que el controlador es del ti p o proporcional; de acuerdo con esto

La ecuación característica, 1+QI = 0, es

y la función de transferencia para la perturbación

Nótese que la fu nc ió n de tr an sf er en ci a t i e n e un numerador d i n á m i c o de segundo orden, el que o r i g i n a que el sist em a sea

más oscilatorio que uno que tenga el mi s m denominador pero sin términos con

s

en el numerador.

Tal hecho o b l i g a a em-

plear una ganancia más bi e n ba ja en el control ador, si se prevé que sobrevengan cambios bruscos en al p r e s i ó n tal motivo basaremos el diseño fijando los polos dominantes del sistema, de tal manera que este presente un coeficiente de relación de amortiguamiento relativamente al to , digamos

POLOS DOMINANTES CON

0.707

Si el sistema tuviere dos polos dominantes con el término cuadrático de dicho par de polos sería

factorizando la Ecuación (9.45) resulta

De acuerdo con la (9.46) los polos dominantes deben caer en

líneas a 45° del eje real.

Véase la Figura 9.19.

Procedamos atrazar el LfR de la función de la licuación (9.42); en primer lugar observamos que existen tres polos y

no hay ceros, esto es n = 3 y m = 0.  Al aplicar la Regla 1 se concluye que e x i s t i r á lugar, geométrico en el eje real entre los polos en -1 y en -10 , y

también a l;i ir. qu ior da do 1 p o l o en -2(1. Yon se la Figura 9.19.

l;l lugar geométrico consta de tres ramas, cada una de

l a s cu.-il cs empieza en un polo, lo que i n d i c a que entre -1 y - 1 0 del eje real deben s a l i r dos ramas en un punto de quie bre.

La tercera rama nace en -2 0 y se e x t i e n d e horizontal-

 mente h a ci a menos i n f i n i t o .  Me di ante la Regl a 4: número de asíntotas  Mediante la Regla 5: Centro de asíntotas  Ángulos de l a s asíntotas

Con la Ecuación (9.41) encontramos el punto de quiebre

la ecuación anterior se tiene

Puntos del I,CR.- lie acuerdo con la Regla 3, para que un  punto e s t e sobre el lugar geométrico debe satisfacer la ecua c i ó n del argumento. E s t o es, si s, está sobre el LGR debe sat isfacerse

Se puede localizar, con la ayuda de una calculadora de  mano, un punto que satisfaga las Ecuaciones (9.47) y (9.46) simultáneamente.  Al ensayar con Si = -4 +j 4 se obtiene

El resultado indica claramente que el punto (-4,4) no está sobre el LGR.

Observando la Figura 9.20 deducimos que el

 punto buscado debe estar un poco a la izquierda del primero. Intentando con

resulta

Podemos tomar a si como punto del LGR s i n perder mucha exactitud. Igualmente procedemos para encontrar el punto en el que el LGR cruza el eje ju.

Mediante tanteos se encuentra que

dicho punto es (0,15.2); es d e c i r Finalmente con la ecuación de magnitud determinamos el valor de

en algunos de los puntos del LGR; por ejemplo,

en el punto de diseño se tendrá que

roso 1 v iciulo

la

licuación

(9.'18)

para

so oh t i onc

 Me diante el mis mo pr oced imien to encont ramo s el valor de necesario narn míe dos de l a s raíces queden sobre el eje ( l i m i t o de estahi 1 i dadJ . Así resulta

Figura 9.20 Localizaci6n de puntos del LGR mediante tanteos

Con estos datos podemos trazar el LGR definitivo del sistema con control proporcional, Figura 9.21.

Para ello

debe tenerse en cuenta que el trazo es simétrico al eje real. En dicha figura observamos que las raíces definitivas del sis_ tema, si se usa

son

raíces dominantes

Figura 9.?1 LGR del sistema

Como podemos i n t u i r el cero en -20 puede cancelarse aproximadamente con el polo en -22.4 y la función de transferencia sé aproxima a

Comparando la F.cuación (9.50) con la (9.49), se obser-

va que han desaparecido el pol o y el cero.

Además se a l t e -

ró el valor de la constante del numerador de manera que se tenga la misma ganancia es táti ca en los dos casos.' Con la yuda de las Ecuaciones (4.21) y (4.22), podemos encontrar la respuesta en el flujo a un cambio repentino, de magnitud P, en la presión

Con las Ecuaciones (4.23) y (4.24) encontramos el tiem po en que se alcanza el máximo y el máximo

El error final se obtiene haciendo

en la expresión

 para f(t):

Se observa que el alcance máximo es un 216% mayor que el error estático final.

Si comparamos el eror estático fi nal

con control y el error estático final sin control, encontra_ remos que f

sin control; o sea que el error

con control es el 241 del error sin control.

Tal resultado

es poco satisfactorio, si suponemos que los cambios permanentes en

pudieran ser relativamente altos.

CONTROL PI Con el fin de obtener un error estático nulo se añade

la acción integral al controlador, o sea

con lo que el producto de la malla es ahora

Para simplificar el procedimiento, elijamos

1 , de tal

manera que se cancele el término s+1 en la expresión anterior

El LGR para el sistema con control PI se da en la Figura 9.22.

Si se elige un valor de

de 0.707, se encuentran los

siguientes valores:

raíces dominantes

El valor de

para obtener dichas raíces es de 3.05,

el valor máximo de ganancia,

es ahora de 28.16 y la

frecuencia crítica es de 14.2 rad/seg.

(S+3.8-J3.8)(s+3.8+j3.8)(s+22.35)

Figura 9.22 LGR del sistema con

tal como hicimos en el caso proporcional, aqui también se  puede cancelar el cero en -20 con el polo en -22.35 de lo que resulta la siguiente función

la respuesta a un escalón de magnitud P , es

derivando la ecuación anterior c igualando a cero se obtiene el tiempo de alcance máximo

Sustituyendo

en la expresión, encontramos el pico

analizando la expresión (9.51) se puede concluir, que el error final será nulo, matemáticamente:

Comparando las dos respuestas, vemos que ambas, la del controlador P y la del PI, presentan casi el mismo pico, y el mismo tiempo de pico; pero la respuesta del sistema con la acción integral va a cero una vez que pasa el transitorio. Los valores de los parámetros óptimos del contorlador PI, de acuerdo con el método de las oscilaciones de Ziegler y Nichols, serían:

aparentemente los valores de

1 seg. están

muy lejos del óptimo, pero debemos recordar que en este caso la perturbación entra casi al final de la trayectoria hacia adelante y encuentra, entre el punto de entrada y el de salida, una sola constante de tiempo que, además, es de poco valor (1/10 de segundo).

El método de Ziegler y Nichols es

adecuado cunado la perturbación encuentra entre el punto de entrada y el de salida las constantes de tiempo más grandes del sistema.

CONTROL PID El control PID se aplica muy raramente en control de flujo, pues la medición de flujo es muy ruidosa y si se usa la acción derivativa el ruido sería amplificado, produciéndose oscilaciones bruscas en la válvula y, en general, en el

resto del sistema. PROBLEMAS 9.1. ¿Cuáles deben ser las características instaladas y cuáles las inherentes de la válvula, en el proceso del Ejemplo 9.2, si en vez de placa de orificio se em  plea un medidor magnético de flujo? 9.2. Si en el proceso de la Figura 9.7 se hubiera empleado equipo neumático de tal modo que

¿cuáles serían los valores del controlador PI, si se desea cancelar al polo en -.5 y tener ¿Cuánto valdrán 9.3. Si en el proceso del problema anterior se supone que en el controlador existe un retardo de 1 segundo de tal manera que GH quede como

¿Cuál será el valor de

de un controlador propor-

cional, si se desea^que los polos dominates tengan un

valor de

IGUAL A

0.707?

BIBLIOGRAFÍA

CAPITULO 10 CONTROL DE INTERCAMBIADORES DE CALOR  10.1 MODELO ESTÁTICO DE UN INTERCAMBIADOR  10.2 MODELO DINÁMICO DE UN INTERCAMBIADOR  10.3 ESQUEMAS DE CONTROL PROBLEMAS BIBLIOGRAFÍA.

«■

■

10.1

MODELO ESTÁTICO DE UN INTERCAMBIADO?

En este punto obtendremos las relaciones que existen entre los cambios permanentes de temperatura en la salida de un intercaiabiador de calor, y el cambio permanente de temperatura en la entrada del mismo. Igualmen te, obtendremos la ganancia estática entre la temperatura de salida y el cambio permanente del gasto másico del intercambiador. Para tal fin, empecemos considerando el flu.io de calor a través de una pared cilindrica, en la oue el fluí^ do interior está a una temperatura más elevada nue la del fluido exterior. En el presente análisis se considera -que no existe flujo de calor a través de la cubierta v -que la temperatura en el seno de los fluidos es constante en el sentido radial, según se indica en la figura 10.1 En estado permanente existen 3 caídas de temeraen la película interior; tura bien definidas: en la pared y,

en la película exterior.

Figura 10.1 a) Intercambiador de flujos encontrados b) Perfil de temperatura en un plano -perpendicular al dibujo.

En estado permanente el flujo por unidad de longitud viene dado por la siguiente ecuación.

donde coeficiente de la película interior de la exterior de la pared cilindrica, respectivamente.

radios interior y exterior, en metros

flujo de calor por unidad de longitud,

temperaturas promedio, "C, El flujo de calor a través de una tubería de L me_ tros de longitud, en la nue imperen las mismas temperaturas, será

Si definimos

Podemos definir el coeficiente

referido

área exterior.

De acuerdo con la ecuación (10.1) v usando las definiciones (10.3) y (10.4), la ecuación (10.2) se convierte en

En un intercambiador tanto el fluido interior como el exterior están en movimiento. Dr esto se infiere que ambas temperaturas cambian con la distancia longitudinal, de tal modo que la ecuación (10.5) no puede usarse. Se propone entonces la siguiente ecuación

ligeramente los diferentes tipos de intercambiadores. En la figura 10.2.a, se da esquemáticamente un intercambiador de calor conocido como condensador; en él un fluido calien te a temperatura constante cede calor a un fluido frío, elevándole la temperatura. En la figura 10.2.b, se ilustra el i"tercambio típico de una caldera; un fluido frío, a temperatura constante, recibe el calor de un fluido caliente que sufre enframiento. enframiento. En la figura 10.2.c, 10.2.c, se da un intercambiador de flujos paralelos; en él los dos fluídos se mueven en la misma dirección y los dos sufren cam-

cambio de temperatura. Finalmente, en la figura 10.2.d tenemos un intercambiador de calor de flujos encontrados Los dos fluidos llevan dirección opuesta y ambos sufren cambio de temperatura.

temperatura de entrada del fluido frío temp te mper erat atur ura a de de sa l i d a de del l flu fluid ido o frí frío o temper temperatu atura ra de de entra entrada da del fluido fluido c a l i e n t e temperatura de salida del fluido caliente

En los intercambiadores vistos no existe mezcla do de ambos fluidos y se se ha llamado 'caliente' al fluido de mayor temperatura, sin que el llamarlo así signifique necesariamente que presente tal cualidad. Lo mismo mismo se —  aplica al fluido 'frío'.

Existen intercambiadores en los aue los dos flu jos forman ángulo entre sí. En otros los flujos se mez clan, etc.

Posiblem Posiblemente ente, , el t i p o de interca intercambia mbiador dor de más más -amplio uso es aquel en que el fluido exterior va por dentro de una carcaza que encierra varios pasos de tubos; es decir, el fluido por el interior de los tubos cambia 180° de dirección una o más veces en el interior de la carca--

za.

Figura 10.2 Diversos tipos de intercambiadores.

DIFERENCIA MEDIA LOGARÍTMICA DE TEMPERATURA  Encontremos la expresión para la temperatura ned i a de la ecuación ecuación (10.6) (10.6) para un intercam intercambiador biador de de flujos  parale  paralelos los..

Fig.ura 10.3 intercambiador de flujos paralelos

q es también el calor total perdido por el fluido caliente y es, asi mismo, el calor ganado por el fluido frío.

CombiLlamacomo difetempeLa la siguiente logarítmica para un intercambiador de flujos paralelos; donde una fórmula más general, que sirve para intercambiadores tanto de flujos paralelos como de flujos encontrados, es

la mayo mayor r di fe re n ci a entr entro o los los dos dos fluiflu idos que exista en cualquiera de los dos extreLa tro

tores de corrección para intercambi adores de uno o más pasos de carcaza, con varios pares de pasos de tubos, es

decir:

factor de corrección; depende del número de carcazas y del número de pasos, adimensional

Intercambiador de flujos paralelos Para encontrar la ganancia estática del intercambiador de la figura 10.4, cuyo perfil de temperatura fue dado en la figura 10.3, procedamos a diferenciar las ecuaciones (10.10) y

(10.13).

Combinando las expresiones (10.17) y (10.18) con encontramos las las ecuaciones (10 .10) ,(10.11) y(10.19), encontramos razones entre los incrementos, y por ende las ganancias -estáticas

 b)  b ) Intercambiador de flujos encontrados Para este caso, las ecuaciones análogas a las ecuaciones (10.10) y (10.13), son respectiva me  m ente

Siguiendo el mismo procedimiento, encontramos las razones entre incrementos estáticos.

Ejemplo 10.1 Se desea encontrar la ganancia estática de un intercambiador de un naso, de flujos encontrados.

L = 7,5 metros, 22 tubos de bronce

Diámetro exterior de los tubos Diámetro interior de los tubos

Temperaturas:

Figura 10. * Intercambiador de flujos encontrados. Un paso.

Solución El flujo total de calor se encuentra con la fórmu

la (10.23)

Si hacemos el análisis para un diferencial de área de caldeo dy tendremos, en estado permanente: ^alor que pierde el fluido calicnte= calor que gane el fluido frío.

donde:

Si consideramos que U es constante para toda la longitud del intercambiador

Combinando las tres ecuaciones anteriores, encon tra mos la ecuación diferencial del sistema

con las siguientes condiciones de frontera:

Resolviendo la ecuación (10.8) y sustituyendo condiciones de frontera, resulta

La diferencia media es

El producto UA es

de donde

 mediante las ecuaciones (10.24) y (10.25) procedamos a calcular las ganancias estáticas.

GANANCIA PARA CAMBIOS HN EL PLU.JO Para comprender cuino afecta un cambio de flujo a la temperatura de sa l i d a del fluido caliente, se elaboró una tabla de valores de equilibrio, mediante una peó,ue*\a computadora

TABLA 10.A.- Temperatura de salida diversas temperaturas.

para

De acuerdo con la tabla, la ganancia para cambios en el flujo del agua, es ,

10 .2

MODULO DINÁMICO DE UN INTERCAMBIAD OR 

Derivar un modelo d i n á m i c o de un intercairbiador representa una gran d i f i c u l t a d , núes sería necesario tra bajar con un sistema de ecuaciones di f e r e n c i a l e s parciales cuya solución es d i f í c i l de encontrar, amón de que las fun ciones de transferencia resultantes son tan complejas que su manejo es ca s i imposible y por lo mismo de noca utilidad para el ingeniero en control.

remos nuestro estudio a un modelo concentrado; para ello supondremos que la temperatura del líquido en el interior de los tubos es la media aritmética de las temperaturas de entrada y de salida. Igualmente consideraremos nue la temperatura del líquido en el exterior de los tubos es la  media aritmética de las temperaturas de los extremos; es decir

Para visualizar mejor la aproximación adoptada  puede verse la figura 10.5 Para aligerar la notación se ha suprimido en las dos ecuaciones anteriores la notación de Laplace, es decir las temperaturas de dichas ecuaciones son funciones en el do minio de Laplace, convención que se mantendrá en el resto del capítulo. De acuerdo con la figura, las variaciones de flu jo de calor a través de los tubos, será

Figura 10.5 ínter-cambiador de flujos encontrados. Segundo Modelo de Mozley.

El calor que gana el líquido frío es igual al calor que recibe a través de los tubos, menos el calor que gana la corriente de dicho fluido; esto es

masa del fluido frío contenido en el intercambiador,

Kg

Siguiendo el mismo razonamiento, la ecuación equivalente para el líquido caliente es

 masa de liquido caliente contenido en el intercambia dor, Kg. Sustituyendo el valor de q de la ecuación (10.28) en las dos ecuaciones anteriores, nos queda

donde tiempo de permanencia del fluido caliente en el intercambiador. tiempo de permanencia del fluido frío en elintercamhiador. fueron definidos por la ecuación f10.19) Puesto que deseamos encontrar la función de tran£ ferencia para cambios en la temperatura de entrada del -fluido frío, supondremos que la temperatura de entrada del fluido caliente permanece constante, es decir igual a cero en las ecuaciones CIO.26), (10.30) y (10.32). Para encontrar la runción de transferencia entre la tem peratura de salida del líquido c a l i e n t e y la temperatura de entrada del líquido frío, es necesario sustituir las ecuaciones (10.26) y (10.27) en las ecuaciones (10.31), y de tal modo que (10.32), y eliminar posteriormente a nos quede una sola ecuación relacionando  Al llevar a cabo lo descrito lineas arriba resulta.

 MODULO DINÁMICO 1)E THAL- LARSEN Un modelo diferente al anterior fue propuesto poi Thal y Larscn, después de un gran número de experimentoscon diferentes intercambiadores de calor. La función de transferencia propuesta depende, en su p;irtc dinámica, -' exclusivamente de los tiempos de permanencia de l o s l i - -

quidos en el intercambiador. La aproximación propuesta ha demostrado ser út i l en la mayoría de las a p l i c a c i o n e s de control.

La gr.nancia estática, puede encontrarse mediante la ecuación (10.24): las constantes vi enen dadas por

Como vemos, la función de transferencia es de segundo orden más un tiempo muerto igual a la menor de las dos constantes de tiempo. Los mismos investigadores propusieron la función de transferencia paTa cambios en el casto másico.

Ejemplo

10.2

El intercambiador del ejemplo 10.1 presenta los siguientes datos, además de los ya dados:

Se desea encontrar las funciones de transferencia y el diagrama a cuadros del proceso.

Solución Los tiempos de permanencia son: 320/20 = 16

segundos

470/25 = 18.8 segundos De acuerdo con el modelo de Mozley, ecuación (10.33), la función de transferencia resultante es

* De acuerdo con la expresión anterior, el modelo usado produce un valor de ganancia es tá tic a prácticamente igual a la encontrada mediante la ecuación (10.24), mientras que la parte dinámica está constituida por constantes de tiempo de 9.07 y 5.35 segundos. Podemos encontrar la función de transferencia para cambios en el gasto de agua tomando el valor de ganancia estática encontrado en el -ejemplo 10.1 y la parte dinámica encontrada por la ecuación (10.33):

Si se representan gráficamente las dos últimas expresiones, resulta el diagrama a cuadros del intercambiador, figura 10.6

10.3

ESQUEMAS DE CONTROL

Aunque existen varios esquemas para llevar a cabo el control de temperatura de un intercambiador de calor, solamente analizaremos dos de ellos: el primero es el mássencillo y consiste en medir la temperatura de salida y, a  partir del valor obtenido, regular el flujo de una de lasdos corrientes; este esquema es llamado convencional y esmostrado en la figura 10.7. El segundo esquema es el control en cascada, figura 10.9. El control en cascada presenta la gran ventaja, comparado con el convencional, de que rápidamente hace lacorrección requerida para cambios en el valor de la prc- En efecto, cualquier alteración de valor de sión es corregido por el bucle interno de control ya que los -elementos que lo forman son más ránidos que los elementos del bucle externo. La desventaja del control en cascada es su costo, pues reclama la instalación extra de un con • trolador, un transmisor y un elemento primario para medirflujo. Por tal razón debe usarse control en cascada cuando el proceso realmente amerite un control rápido y exacto También es evidente que si el flujo a través del intercambiador sólo depende de la abertura de la válvula, el con trol en cascada sería de muy poca ayuda.

rig.

Fíg. 10.8

Diagrama a cuadros del sistema convencional

Fig. 10.9

Fig. 10.10

Control en cascada

Diagrama a cuadros del sistema con control en cascada

Ejemplo 10.3 Se desea controlar el Ínter-cambiador de la figura 10,4, seleccionando los valores de los parámetros del controlador con el crietrio de fijar dos decibeles de pico - máximo en la respuesta en frecuencia de lazo cerrado, para cambios en la presión Pj; tanto para el sistema convencional, como para el sistema en cascada.

F. de T. del conjunto formado por el elemento primario y el transmisor de

= F. de T. del controlarod, mA/mA

CONTROL CONVENCIONAL, De acuerdo con los datos anteriores y siguiendo los cinco pasos del procedimiento del punto 5.2.2, se en cuentran los valores recomendados para el controlador:

El valor del producto de las ganancias de la ma lia es (12.6) (.275) (3) (.2) (1) = 2.08 y la frecuencia

CONTROL EN CASCADA En este caso tendremos, además, las siguientes

funciones de transferencia

Si se elije

de tal manera que el bucle inter-

no tenga aproximadamente seis decibeles de margen de ganan cia, podemos dar el siguiente valor

Con esto el circuito interno de control puede sustituirse mediante la siguiente función de transferen

cía

I'ara obtener los valores de los nardme'tros del -controlador de temperatura seguimos el mismo nrocedimiento del punto 5.2.2, resultando los siguientes valores

En este caso la ganancia total de la malla es: (22) (.453) (.275) = 2.74 y la frecuencia

Como puede apreciarse, el control en cascada mejo ra el valor de la ganancia de la malla y aumenta el valorde la frecuencia cr i t i c a del sistema; esto último se tradu ce en una velocidad mayor de respuesta. PROBLEMAS 10.1 En la siguiente figura se tiene un esquema de regula ci(5n de temperatura por medio de la derivación de una de las corrientes en una fracción igual al 20% del gas to total (nominalmente. El propósito de esta derivación es regular la temperatura de salida, t, mezclando el flujo derivado con el flujo de sa l i d a del intercam biador en un mezclador de alta velocidad, para corre--

Los datos nominales son

De acuerdo con el modelo de Thal-Larsen las funciones de transferencia son

La constante de tiempo de ambas válvulas es de 1 segundo y existe .1 — segundos de tiempo muerto entre el mezclador y el punto de medición de mmisma temperatura

Seleccione las válvulas de tal manera de satisfacer las condiciones nominales y determine la ganancia del controlador y las válvulas mediante el criterio de Ziegler > Nichols. Use control proporcional.

BIBLIOGRAFÍA  1.- BUCKLEY 2.- HARRIOT P 3.- GOULD E. 4.- JAKOB y HAWKINS S.- MOZLEY J. 6.- COHÉN y JOHNSON

TRANSFORMADA DE LAPLACE