Apostila de Isostática
Viga biapoiada
Viga Gerber
Pórtico biapoiado
Treliça
Modelo espacial de uma estrutura de rampa
Perspectiva
____________________________________________________________________________________ Prof.: Rogério de Carvalho Paes de Andrade e-mail:
[email protected] [email protected]
Curso de análise estrutural Estruturas isostáticas
Revisão 2 (01/2015) Prof.: Rogério de C. P. de Andrade
Sumário Introdução ________________________________ ____________________________________________________________________ ____________________________________ 2 Condições de equilíbrio ________________________________________________________ 3
Graus de liberdade_________________________________________________ liberdade____________________________________________________________ ___________ 3 Apoios _____________________________________________________________________ 4 Estabilidade e estaticidade _____________________________________________________ 4 Lista de exercícios n.º 1 _______________________________________ ________________________________________________________ _________________ 6 Cargas ___________________________________ _______________________________________________________________________ ____________________________________ 8
Cargas concentradas __________________________________ __________________________________________________________ ________________________ 8 Cargas distribuídas ___________________________________________________________ 8 Carga momento ______________________________________ ______________________________________________________________ ________________________ 8 Lista de exercícios n.º 2 _______________________________________ ________________________________________________________ _________________ 9 Esforços internos ________________________________ _____________________________________________________________ _____________________________ 11
Definição __________________________________________________________________ 11 Lista de exercícios n.º 3 _______________________________________ _______________________________________________________ ________________ 17 Pórticos simples_________________________________ ______________________________________________________________ _____________________________ 21
Definição __________________________________________________________________ 21 Lista de exercícios n.º 4 _______________________________________ _______________________________________________________ ________________ 23 Vigas Gerber ____________________________________ _________________________________________________________________ _____________________________ 25
Definição __________________________________________________________________ 25 Lista de exercícios n.º 5 _______________________________________ _______________________________________________________ ________________ 27 Treliças simples _________________________________ ______________________________________________________________ _____________________________ 30
Definição __________________________________________________________________ 30 Lista de exercícios n.º 6 _______________________________________ _______________________________________________________ ________________ 39 Bibliografia __________________________________________________________________ 40
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Sumário Introdução ________________________________ ____________________________________________________________________ ____________________________________ 2 Condições de equilíbrio ________________________________________________________ 3
Graus de liberdade_________________________________________________ liberdade____________________________________________________________ ___________ 3 Apoios _____________________________________________________________________ 4 Estabilidade e estaticidade _____________________________________________________ 4 Lista de exercícios n.º 1 _______________________________________ ________________________________________________________ _________________ 6 Cargas ___________________________________ _______________________________________________________________________ ____________________________________ 8
Cargas concentradas __________________________________ __________________________________________________________ ________________________ 8 Cargas distribuídas ___________________________________________________________ 8 Carga momento ______________________________________ ______________________________________________________________ ________________________ 8 Lista de exercícios n.º 2 _______________________________________ ________________________________________________________ _________________ 9 Esforços internos ________________________________ _____________________________________________________________ _____________________________ 11
Definição __________________________________________________________________ 11 Lista de exercícios n.º 3 _______________________________________ _______________________________________________________ ________________ 17 Pórticos simples_________________________________ ______________________________________________________________ _____________________________ 21
Definição __________________________________________________________________ 21 Lista de exercícios n.º 4 _______________________________________ _______________________________________________________ ________________ 23 Vigas Gerber ____________________________________ _________________________________________________________________ _____________________________ 25
Definição __________________________________________________________________ 25 Lista de exercícios n.º 5 _______________________________________ _______________________________________________________ ________________ 27 Treliças simples _________________________________ ______________________________________________________________ _____________________________ 30
Definição __________________________________________________________________ 30 Lista de exercícios n.º 6 _______________________________________ _______________________________________________________ ________________ 39 Bibliografia __________________________________________________________________ 40
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Introdução
A estrutura é um conjunto formado pelas partes resistentes que garantem a estabilidade de um objeto de projeto, por exemplo, uma edificação. Quando se projeta uma estrutura, a análise do comportamento estrutural exige que sejam feitas algumas simplificações que conduzem a modelos estruturais. Para que se defina o sistema estrutural mais adequado, para uma determinada situação de projeto, devem ser considerados vários fatores. Os principais são: Projeto arquitetônico: -Aspectos funcionais (dimensão do espaço interno, iluminação, limitações do espaço exterior,...) -Aspectos estéticos (sistemas diferentes geram formas diferentes) Carregamento atuante: -Permanente -Acidental Condições de fabricação, transporte e montagem da estrutura (vias de acesso, içamento) Material estrutural a ser utilizado (cada material possui características mecânicas peculiares): o material deve estar adequado ao tipo de esforços solicitantes as estrutura Para identificação do sistema estrutural mais adequado deve-se: 1º.) Identificar as possíveis opções; 2º.) Analisar e comparar as vantagens e inconvenientes de cada um ; Os sistemas estruturais são modelos de comportamento idealizados para representação e análise de uma estrutura tridimensional. Estes modelos obedecem a uma convenção. Esta convenção pode ser feita em função da geometria das peças estruturais que compõem o conjunto denominado sistema estrutural. Quanto à geometria, um corpo pode ser identificado por três dimensões principais que definem seu volume. Conforme as relações entre estas dimensões, surgem quatro tipos de peças estruturais: Barra: duas dimensões da mesma ordem de grandeza e uma terceira maior que as outras duas.
Barra de elementos delgados: as três dimensões principais são de diferentes ordens de
grandeza. É o caso dos perfis metálicos, onde a espessura é muito menor que as dimensões da seção transversal, que é menor que o comprimento da peça. As barras de elementos delgados são tratadas, sob o ponto de vista estrutural, da mesma forma que as barras, exceção feita à solicitação por torção.
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Folhas ou lâminas: duas dimensões de mesma ordem de grandeza, maiores que a terceira
dimensão. Subdividem-se em:
Placas: carregamento perpendicular ao plano médio. Chapas: carregamento contido no plano médio. Cascas: superfície média curva.
Bloco: as três dimensões são da mesma ordem de grandeza.
Condições de equilíbrio
Para um corpo, submetido a um sistema de forças, estar em equilíbrio, é necessário que elas não provoquem nenhuma tendência de translação nem rotação a este corpo. Equações universais da estática: ∑Fx = 0 ∑Mx = 0 ∑Fy = 0 ∑My = 0 ∑Fz = 0 ∑Mz = 0 A condição necessária e suficiente para que um corpo esteja em equilíbrio, submetido a um sistema de forças, é que satisfaça as equações universais da estática. Graus de liberdade
No espaço, uma translação pode ser expressa por suas componentes segundo 3 eixos triortogonais e, uma rotação, como a resultante de 3 rotações, cada uma em torno de um eixos, dizemos que uma estrutura no espaço possui um total de 6 graus de liberdade (3 translações e 3 rotações, segundo 3 eixos triortogonais). É evidente que estes 6 graus de liberdade precisam ser restringidos, de modo a evitar toda tendência de movimento da estrutura, a fim de ser possível seu equilíbrio. Esta restrição é dada por apoios, que devem impedir as diversas tendências possíveis de movimento, através do aparecimento de reações destes apoios sobre a estrutura, nas direções dos movimentos que eles impedem, isto é, dos graus de liberdade que eles restringem.
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Apoios
A função dos apoios é a de restringir os graus de liberdade das estruturas, despertando com isto reações nas direções dos movimentos impedidos. Eles serão classificados em função do número de graus de liberdade impedidos. Para o caso das estruturas planas carregadas no próprio plano, que é o mais frequente da análise estrutural, existem 3 graus de liberdade a combater. a) apoio do 1º gênero ou charriot
b) apoio do 2º gênero, articulação ou rótula
c) apoio do 3º gênero ou engaste
Estabilidade e estaticidade
Os apoios são em número estritamente necessário para impedir todos os movimentos possíveis da estrutura. Neste caso, o número de reações de apoio a determinar é igual ao número de equações de equilíbrio disponíveis, isto é, número de incógnitas igual ao números de equações, chegando-se a um sistema de equações determinado que resolverá o problema. Dizemos, então, que a estrutura é isostática, ocorrendo uma situação de equilíbrio estável. Os apoios são em número inferior ao necessário para impedir todos os movimentos possíveis da estrutura. Neste caso, evidentemente, teremos mais equações que incógnitas, chegando-se a um sistema de equações impossível, nos casos gerais. A estrutura será dita hipostática e será, então instável. As estruturas hipostáticas são, então, inadmissíveis para as construções.
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Os apoios são em número superior ao necessário para impedir todos os movimentos possíveis da estrutura. Neste caso, teremos menor número de equações que de incógnitas, conduzindo a um sistema indeterminado. As equações universais da estática não será, então, suficientes para a determinação das reações de apoio, sendo necessárias equações adicionais de compatibilidade de deformações, conforme será visto na cadeira de Teoria da estruturas. A estrutura será dita hiperestática, continuando o equilíbrio a ser estável, aliás, poderíamos dizer, um pouco impropriamente, que o equilíbrio é mais que estável. RESUMO: •
N.º INCÓGNITAS < N.º EQUAÇÕES = → HIPOSTÁTICA
•
N.º INCÓGNITAS = N.º EQUAÇÕES = → ISOSTÁTICA
•
N.º INCÓGNITAS > N.º EQUAÇÕES = → HIPERESTÁTICA
Ex.: classificar as estruturas abaixo quanto a sua estabilidade e estaticidade. a)
b)
c)
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Lista de exercícios n.º 1 Classifique as estruturas abaixo quanto a sua estabilidade e estaticidade. a)
Resp.: Isostática
b)
Resp.: Isostática
c)
Resp.: Hipostática
d)
Resp.: Hipostática
e)
Resp.: Hiperestática
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f)
Resp.: Hiperestática
g)
Resp.: Isostática
g)
Resp.: Hiperestática
i)
Resp.: Hiperestática
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Cargas
Classificação das cargas em relação à sua lei de distribuição. Não estudaremos, por ora, a classificação das cargas quanto à sua ocorrência em relação ao tempo. Cargas concentradas
As cargas concentradas são uma forma aproximada de tratar cargas distribuídas segundo áreas de contato tão pequenas.
Cargas distribuídas
Os tipos mais usuais de cargas distribuídas que ocorrem na prática são as cargas uniformemente distribuídas (constante) e as cargas triangulares (casos de empuxo de terra e de água) indicadas abaixo.
Carga uniformemente distribuída
Carga linearmente distribuída
A resultante de um carregamento distribuído é igual à área compreendida entre a linha que define este carregamento e o eixo da barra sobre a qual está aplicado, sendo seu ponto de aplicação o centro de gravidade da referida área.
Carga momento
A estrutura também pode, além de estar solicitada por cargas-forca (concentrada e ou distribuídas), estar solicitada por cargas-momento. A carga-momento é caracterizada pelo seu módulo, direção,sentido e ponto de aplicação.
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Lista de exercícios n.º 2 Calcular as reações de apoio das estruturas abaixo: Obs.: considerar todas as cotas em metro.
1–
VA = 3,0 KN ( ↑) / HA = 0 VC = 3,0 KN ( ↑)
2–
VA = 15,0 KN ( ↑) / HA = 0 VB = 15,0 KN ( ↑)
3–
MA = 1,5 kN.m ( ) / VA = 0 / HA = 0 ↶
4–
VA = 41,25 KN ( ↑) / HA = 8,66kN (→) VD = 43,75 KN ( ↑)
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5–
VA = 250 KN ( ↑) / HA = 0 VC = 380 KN ( ↑)
6–
VB = 363,75 KN ( ↑) / HB = 43,3 kN (→) VD = 341,25 KN (↑)
7–
VB = 300 KN ( ↑) / HB = 34,64 kN (←) VD = 340 KN ( ↑)
8–
MA = 652,5 kN.m ( ) / VA = 205 KN (↑) / HA = 43,3 kN (→) ↶
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Esforços internos Definição
Considera-se a barra abaixo com um plano de carga paralelo ao plano xy e passando pelo centro de cisalhamento. Desta forma os esforços solicitantes se resumem a: força normal (N), força cortante (Q) e momento fletor (M).
As equações dos esforços solicitantes são determinadas efetuando-se cortes ao longo do comprimento da barra em equilíbrio, e equilibrando-se a parte à esquerda ou à direita do corte
Deve-se considerar um novo corte toda vez que as equações forem alteradas, ou seja, toda vez que se modificar o carregamento.
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Devido ao carregamento que atua na parte à esquerda ou à direita do corte, surgem esforços resultantes da força Frl na direção x, do eixo longitudinal da barra, de força Frt na direção y, transversal ao eixo da barra, e de momento Mr. Conhecendo-se os esforços ativos e reativos, é possível determinar os esforços resultantes (Frl, Frt e Mr), que são equilibrados pelos respectivos esforços solicitantes (N, Q e M) através das equações de equilíbrio da estática (∑Fx = 0; ∑Fy = 0 e ∑M = 0). Para traçar os diagramas dos esforços solicitantes é necessário determinar, em cada corte, as respectivas equações, considera-se um novo corte toda vez que as equações dos esforços solicitantes forem alterados, ou seja, toda vez que surgir um novo esforço, ativo ou reativo. Além disso, deve-se respeitar as convenções de sinais adotados, a fim de definir os sentidos dos esforços solicitantes em cada seção transversal da barra.
Convenções de sinais
Admitem-se os esforços positivos conforme os sentidos indicados abaixo. Força normal (N) → é positiva se tracionar o trecho considerado.
Força cortante (Q) → é positiva desde que o binário provoque giro no sentido horário.
Momento fletor (M) → é positivo se provoca tração nas fibras inferiores.
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Resumo da convenção de sinais positivos
N
+
N
Através de relações diferenciais (p, Q e M) é possível prever as formas dos diagramas de momento fletor (M) e da força cortante (Q) em função da carga (p). Tipo de carga
Cortante (Q)
Fletor (M)
Constante
Função do 1º
Uniformemente distribuída
Função do 1º
Função do 2º
Linearmente distribuída
Função do 2º
Função do 3º
Concentrada
Exemplos: Ex.: 1 - Viga biapoiada submetida a uma carga concentrada.
1º Passo - Cálculo das reações de apoio ∑Fx=0 (→+)
HA = 0 ∑Fy=0 (↑+) VA +VC - P = 0 VA = P - VC ∑MA=0 (+) P.a - VC.l = 0 - VC.l = - P.a x(-1) VC = P.a / l como b = l - a VA = P.b / l Página 13 de 40
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2º Passo - Cálculo dos esforços internos
Ponto B (esquerda) ∑Fx=0 N=0 ∑Fy=0 Q + P.b / l = 0 Q = - P.b / l ∑MA=0 M - (P.b / l).a = 0 M = (P.b / l).a
3º Passo - Diagrama dos esforços
Obs.: ao se criar uma seção sob uma carga concentrada haverá a necessidade de se analisar a seção sem e com a carga concentrada para os esforços que serão afetados com o surgimento da força.
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Ex.: 2 - Viga biapoiada submetida a um carregamento uniformemente distribuído.
1º Passo - Cálculo das reações de apoio ∑Fx=0 (→+)
HA = 0 ∑Fy=0 (↑+) VA +VB - q.l = 0 VA = q.l - VB ∑MA=0
(+) (q.l).(l/2) - VB.l = 0 - VB.l = - q.l²/2 x(-1) VB = q.l/2 logo: VA = q.l / 2
2º Passo - Cálculo dos esforços internos
Seção S (ao meio do vão) ∑Fx=0 N=0 ∑Fy=0 Q + q.l/2 – q.l/2 = 0 Q=0 ∑M=0 M + (q.l/2).(l/4) – (q.l/2).(l/2) = 0 M + (q.l²/8) - (q.l²/4) = 0 M + (q.l² - 2q.l²)/8 = 0 M = q.l²/8
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3º Passo - Diagrama dos esforços
²
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Lista de exercícios n.º 3 Calcular o que se pede para as estruturas abaixo: Obs.: considerar todas as cotas em metro. a) as reações de apoio; b) os esforços internos; c) o diagrama dos esforços solicitantes.
1–
DEC (kN)
VA = 3,0 kN (↑) / HA = 0 VC = 3,0 kN (↑) DMF (kN.m)
2–
DEC (kN) VA = 15,0 kN (↑) / HA = 0 VB = 15,0 kN (↑) DMF (kN.m)
3–
DMF (kN.m) MA = 1,5 kN.m ( ) / VA = 0 / HA = 0 ↶
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4–
DEN (kN) VA = 41,25 kN (↑) / HA = 8,66 kN (→) VD = 43,75 kN (↑)
DEC (kN)
DMF (kN.m)
5–
DEC (kN) VA = 250 kN (↑) / HA = 0 VC = 380 kN (↑)
DMF (kN.m)
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6–
DEN (kN)
VB = 363,75 kN (↑) / HB = 43,3 kN (→) VD = 341,25 kN (↑) DEC (kN)
DMF (kN.m)
7–
DEN (kN)
VB = 300 kN (↑) / HB = 34,6 kN (←) VD = 340 kN (↑) DEC (kN)
DMF (kN.m)
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8–
DEN (kN) MA = 652,5 kN.m ( ) / VA = 205 kN (↑) HA = 43,3 kN (→) ↶
DEC (kN)
DMF (kN.m)
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Pórticos simples Definição
Os pórticos planos são estruturas formadas por elementos (ou barras) cujos eixos, com orientações arbitrárias, pertencem todos a um único plano (plano da estrutura). O carregamento atuante também pertence ao plano da estrutura. Os nós que interconectam os elementos dos pórticos podem ser rígidos ou articulados. Existem quatro tipos fundamentais de pórticos isostáticos planos, aos quais chamamos pórticos simples, quando ocorrem isoladamente e que, associados entre si, da mesma forma com que associamos vigas simples para constituir as vigas Gerber, formam os assim chamados pórticos compostos. Para se traçar o diagrama dos momentos fletores atuantes num quadro, basta marcar os momentos fletores atuantes em seus nós, ligá-los por uma linha reta tracejada, a partir da qual penduramos os diagramas de viga biapoiada devidos aos carregamentos atuantes sobre cada uma das barras que constituem o quadro. Os diagramas são marcados, como no caso das vigas, perpendicularmente ao eixo de cada barra. Para a obtenção dos diagramas de esforços cortantes e esforços normais é imediata, a partir do conhecimento das reações de apoio, sendo indiferente o lado para o qual marcamos os valores, interessando apenas o sinal (positivo se o esforço é de tração e negativo no caso de compressão). A fim de evitar confusão com as linhas que definem o eixo do quadro e com linhas auxiliares usadas para o traçado dos diagramas, pode-se hachurar, se julgado útil para maior clareza, a área compreendida entre o diagrama final e o eixo do quadro. São os seguintes os tipos estáticos de quadros simples isostáticos.
a) Pórtico biapoiado
b) Pórtico engastado e livre
B
C
A
D
B
C
A
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d) Pórtico biapoiado, com articulação e tirante
c) Pórtico triarticulado
B
(ou escora)
C
A
D
B
C
E
A
D
A barra AC no pórtico da letra (d) estará submetida apenas a um esforço normal (N) constante, no caso de ser de tração, a barra será denominada tirante e, no caso de ser de compressão, será denominada de escora. Obs.: esta barra AC é descarregada e rotulada nas extremidades, possuindo em todas as seções M = Q = 0. Exemplo: 2kN/m
B
C
A
D
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Lista de exercícios n.º 4
Para os pórticos abaixo, calcule: a) as reações de apoio; b) os esforços internos nas seções indicadas com a letra S; c) o diagrama dos esforços solicitantes. 1)
2) 3kN/m
B
C
S2
0 , 2
10kN
5kN 10kN/m 0 , 1
B
S3
D
S1
C
S2
0 , 2
0 , 1
S1
0 , 2
0 , 2
A
A 2,5
2,5
1,5
1,5
5,0 a) Reações de apoio
a) Reações de apoio
VA = 3,55 kN (↑) / HA = 10 kN ( ←) VD = 11,5 kN (↑)
VA = 5 kN ( ↑) / HA = 40 kN ( ←) MA = 95 kN.m ( )
b) Esforços internos S1
b) Esforços internos S1
S2
-5 20 -35
0 5 -7,5
N (kN) Q (kN) M (kN.m)
-3,5 0 / 10 20
S2
S3
0 -4 19,4
-11,5 0 0
c)
↶
N (kN) Q (kN) M (kN.m)
c)
DEN (kN)
DEN (kN)
DEC (kN)
DEC (kN)
DMF (kN.m)
DMF (kN.m)
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3)
4) 3kN/m
B
B
C
S2
C
D
S2
5 , 1
E 0 , 2
S1
5kN
S1
S3
5 , 1 0 , 2
A 3,0
A
3,0 1,0
F 2,5
2,5
1,0
7,0 a) Reações de apoio
a) Reações de apoio
VA = 9 kN (↑) / HA = 0 kN VC = 9 kN ( ↑)
VA = 9 kN (↑) / HA = 5 kN ( ) VF = 5 kN ( ↑)
b) Esforços internos S1 N (kN) Q (kN) M (kN.m)
-9 0 0
→
b) Esforços internos S2
0 0 13,5
c)
N (kN) Q (kN) M (kN.m)
S1
S2
S3
-9 -5 / 0 -10
0 2 0,3
-5 0 0
c)
DEN (kN) DEN (kN)
DEC (kN)
DEC (kN)
DMF (kN.m) DMF (kN.m)
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Vigas Gerber Definição
As vigas Gerber recebem este nome em homenagem ao engenheiro alemão Heinrich Gerber (1832-1912). As vigas Gerber tiveram seu aparecimento ditado por motivos de ordem estrutural e construtiva. Estrutural → permitir deformações, evitando o surgimento de esforços internos devidos a recalques diferenciais nos apoios. Construtivos → permitir o lançamento de vigas pré-moldads em vãos sobre leitos de rio ou de difícil acesso.
Esta solução nos permite a execução em separado dos trechos ABE, EF e FCD, com o que poderíamos escorar inicialmente o trecho ABE e concretá-lo, a seguir, transferiríamos o escoramento para o trecho FCD que seria posteriormente concretado e encerrando a execução da estrutura, poderíamos pré-fabricar a viga EF, lançando-a atravéz de uma grua. As vigas Gerber tem lugar de grande importância na Engenharia estrutural, e a tendência desta importância é aumentar, tendo em vista o desenvolvimento das técnicas de pré-fabricação e montagem de estruturas. Os dentes Gerber nada mais são do que rótulas (M = 0) convenientemente introduzidas na estrutura de forma a, mantendo a sua estabilidade, torná-la isostática. As vigas Gerber podem, portanto, ser consideradas como uma associação de vigas simples (biapoiadas, biapoiadas com balanços ou engastadas e livres), umas com estabilidade própria (CEP) e outras sem estabilidade própria (SEP). Importante ressaltar que as partes identificadas como SEP são também estáveis, entretanto a estabilidade delas depende da estabilidade das vigas sobre as quais se apoiam. As vigas Gerber, por serem associações de vigas isostáticas simples, podem ser calculadas estabelecendo o equilíbrio de cada uma de suas partes, resolvendo inicialmente as vigas simples que não possuem estabilidade próprio (SEP). A determinação das forças reativas das vigas SEP permite pelo princípio da ação e reação a aplicação da ação destas sobre as vigas simples com estabilidade própria (CEP).
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Ex.: Separe as estruturas abaixo em trechos SEP e CEP.
a)
A
B
C
b)
A
B
C
D
E
F
G
H
c)
A
B
C
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Lista de exercícios n.º 5
Para as estruturas abaixo, faça: a) indique os trechos com estabilidade própria (CEP) e os trechos sem estabilidade própria (SEP); b) calcule as reações de apoio; c) o diagrama dos esforços solicitantes. 1)
60kN
20kN/m A
B
3m
C
2m
D
3m
E
2m
F
1m
11m a)
b)
CEP → Trecho CF
VB = 125 kN ( ↑)
SEP → Trecho AC
VD = 60 kN (↑) VF = 35 kN (↑)
c)
DEC (kN)
DMF (kN.m)
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2) 30kN
20kN/m 10kN/m
10kN/m A
B
2m
C
4m
D
2m
E
5m
2m
F
G
2m
H
2m
19m
a)
b)
CEP → Trecho CF SEP → Trechos: AC e FH
VB = 45 kN (↑) VD = 101 kN (↑) VE = 109 kN ( ↑)
c)
DEC (kN)
DMF (kN.m)
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3) 10kN A
B
1m
20kN C
1m
D
1m
5kN.m
E
2,5m
F
2,5m
G
1m
H
2m
I
1m
12m
a)
b)
CEP → Trecho CG SEP → Trechos: AC e GI
VA = 5 kN (↑) VD = 16,3 kN (↑) VF = 7 kN (↑) VI = 1,7 kN (↑)
c)
DEC (kN)
DMF (kN.m)
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Treliças simples Definição
Treliça ideal é um sistema reticulado indeformável cujas barras possuem todas as suas extremidades rotuladas e cujas cargas estão aplicadas nestas rótulas (nós). A denominação treliça plana deve-se ao fato de todos os elementos do conjunto pertencerem a um único plano. A sua utilização na prática pode ser observada em pontes, viadutos, coberturas, guindastes, torres, etc. Exemplo:
Observações: •
Qualquer polígono que constitua um sistema reticulado, quando articulado em seus vértices é deformável (hipostático) com exceção dos casos abaixo:
As treliças surgiram como um sistema mais econômico que as vigas para vencerem vãos maiores ou suportar cargas maiores. •
Embora o caso mais geral seja o de treliças espaciais, o mais frequente é o de treliças planas, que será o estudado em nosso curso. •
Imaginam-se as barras rotuladas em suas extremidades (isto é, sendo livre sua rotação relativa nos nós), conforme figura (a). Não é frequente, no entanto, a união destas barras nesta forma, sendo mais comum ligar as barras nos nós através de chapas auxiliares, nas quais rebitamos, soldamos ou parafusamos as barras concorrentes, conforme figura (b). •
Figura (a)
Figura (b)
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•
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Estas ligações criarão sempre pequenas restrições à livre rotação relativa das barras nos nós, com o aparecimento de pequenos momentos nas barras, sendo desprezado o seu efeito. Estudos realizados demonstram que, desde que todas as barras tenham seus eixos no mesmo plano e que estes eixos se encontrem em um único ponto em cada nó (PT: ponto de trabalho), os resultados reais diferem muito pouco dos resultados obtidos pela teoria que vamos desenvolver, sendo ela válida do ponto de vista prático.
Solicitações internas
Podemos facilmente demonstrar que as barras de uma treliça por terem suas extremidades rotuladas, não absorvem momento, desenvolvem apenas esforços normais constantes ao longo da barra.Isto pode ser visualizado isolando-se uma barra de uma treliça. Sabe-se que uma rótula não transmite momento, apenas esforços na direção do eixo e perpendiculares a ele. Por outro lado, as cargas externas só estão aplicadas nos nós. A análise do equilíbrio mostra que nas extremidades das barras de uma treliça só existem esforços na direção do eixo longitudinal da mesma e que são de mesmo módulo, porém sentidos contrários. A existência de esforços perpendiculares ao eixo da barra (esforço cortante) é descartada pois as barras não são carregadas ao longo de seu eixo, e tem nas suas extremidades momentos nulos.
Conclusão: A única solicitação interna desenvolvida é o Esforço Normal constante ao longo da
barra. Como o esforço normal é constante ao longo da barra, podemos calcular o seu valor em uma seção qualquer da barra.
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Classificação da estaticidade de uma treliça
Sejam: b – número de barras; r – número de reações externas; n – número de nós ou rótulas. As incógnitas do problema serão em número de b + r, ou seja, o número de reações e o número de barras. O número de equações será de 2n, pois em cada nó se aplicam as equações de equilíbrio de um ponto material. (∑Fx=0 ∑Fy=0). Então, se r + b < 2n – Treliça hipostática; r + b = 2n – a princípio tratar-se de uma treliça isostática, porém não pode ser confirmado
sem antes analisarmos os apoio externos (condições de equilíbrio estático); r + b > 2n – Treliça hiperestática, sendo válidas as observações anteriores para a treliça
isostática.
Exemplo:
A
B
b=5 r=3 n=4 b+r → 5+3 → 8 2n → 2x4 → 8 Como b + r = 2 n, a treliça é externamente biapoiada e internamente possui a lei de formação de uma treliça simples (r + b = 2n), é então classificada como isostática.
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Métodos de análise das treliças
Método dos Nós
É o método natural de resolução que consiste em se estudar o equilíbrio de cada nó isolado. Deve-se INICIAR E PROSSEGUIR pelos nós que possuam apenas duas incógnitas à determinar (esforço normal de 2 barras). Aplicam-se as equações de equilíbrio estático em cada nó: (∑Fx=0 ∑Fy=0). Note-se que se o nó tiver mais de 2 barras à serem determinadas, as 2 equações não são suficientes para a solução do sistema. ROTEIRO:
1º Passo → cálculo das reações externas (se necessário); 2º Passo → escolha do 1º nó à ser examinado; 3º Passo → aplicação das equações de equilíbrio no nó escolhido; 4º Passo → resolvido o primeiro nó, passamos ao segundo sempre com o cuidado de verificar se ele acresce apenas duas incógnitas (2 barras à serem determinadas). Obs.: este método apresenta o problema de acumular os erros de cálculo que por acaso sejam cometidos. Método de Ritter ou Método das Seções
O método de Ritter permite que se calculem os esforços normais apenas em algumas barras que possam nos interessar. ROTEIRO:
1º Passo → cálculo das reações externas (se necessário); 2º Passo → cortar a treliça por seções de Ritter que devem: a) atravessar toda a treliça dividindo-a em 2 partes b) interceptar no máximo 3 barras que não sejam ao mesmo tempo paralelas ou concorrentes. c) cortada a treliça em 2 partes, substitui-se a parte retirada pelos esforços normais desenvolvidos pelas barras cortadas, que devem ser calculados, de maneira que as partes ficam em equilíbrio; d) os esforços normais serão encontrados pelo equilíbrio das partes, podendo-se dispor além das equações fundamentais de equilíbrio estático, da condição de nó onde a soma dos momentos em qualquer nó da treliça deva ser zero, pois as rótulas não absorvem momento. Obs.: este método acrescenta mais condições as já conhecidas e são usadas as condições que nos parecerem mais convenientes, podendo-se facilmente mesclar os 2 métodos sem problema algum.
Método de Cremona
É um método gráfico que preconiza a justaposição dos polígonos de forças que traduzem o equilíbrio de cada nó. Está em desuso em função da mecanização dos cálculos.
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Exemplo de aplicação para o método dos nós
Determinar as reações de apoio e os esforços internos das barras da treliça dada.
1 º Passo - Reações de apoio ΣFx = 0 (→ +)
-HA + 6 = 0 -HA = - 6 x(-1) HA = 6 kN ΣFy = 0 (↑ +)
VA + VB - 20 = 0 VA + VB = 20 ΣMA = 0 ( +)
20 x 2 + 6 x 1,5 – VB x 4 = 0 40 + 9 - 4VB = 0 VB = 12,25 kN
Logo VA = 20 – VB VA = 20 – 12,25 VA = 7,75 kN
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2 º Passo – Esforços internos
Tg = 1,5 / 2 = 0,75 → 37º (Sen 37º = 0,60 e Cos 37º = 0,80) Nó A ΣFy = 0 (↑ +)
7,75 + NAC x Sen 37º = 0 7,75 + NAC x 0,60 = 0 NAC = -12,92 kN (compressão) ΣFx = 0 (→ +)
- 6,0 + NAD + NAC x Cos 37º = 0 - 6,0 + NAD + (- 12,92) x 0,80 = 0 - 6,0 + NAD – 10,34 = 0 NAD = 16,33 kN (tração) Nó D ΣFy = 0 (↑ +)
NDC – 20 = 0 NDC = 20,0 kN (tração) ΣFx = 0 (→ +)
- NDA + NDB = 0 NDB = NDA NDB = 16,33 kN (tração)
Nó B ΣFy = 0 (↑ +)
12,25 + NBC x Sen 37º = 0 12,25 + NBC x 0,60 = 0 NBC = - 20,42 kN (compressão)
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Exemplo de aplicação para o método de Ritter ou método das seções
Determinar as reações de apoio e os esforços internos das barras da treliça dada.
1 º Passo - Reações de apoio ΣFx = 0 (→ +)
HA = 0
ΣFy = 0 (↑ +)
VA + VB – 18 – 36 = 0 VA + VB = 54 ΣMA = 0 ( +)
18 x 2 + 36 x 4 – VB x 6 = 0 180 – 6VB = 0 VB = 30,0 kN
Logo VA = 54 – VB VA = 54 – 30,0 VA = 24,0 kN
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2 º Passo – Esforços internos
Tg = 2 / 2 = 1,0 → 45º (Sen 45º = Cos 45º = 0,71) Seção 1-1 (a esquerda) ΣFy = 0 (↑ +)
24 – 18 + NED x Cos 45 = 0 6 + NED x 0,71 = 0 NED = - 8,45 kN (compressão) ΣME = 0 ( +)
24 x 2 + NCD x 2 = 0 NCD = - 24,0 kN (compressão) ΣFx = 0 (→ +)
NEF + NED x Cos 45º + NCD = 0 NEF + (- 8,45) x 0,71 + (- 24) = 0 NEF – 6 – 24 = 0 NEF = 30,0 kN (tração) Nó A ΣFy = 0 (↑ +)
24 + NAC x Sen 45º = 0 24 + NAC x 0,71 = 0 NAC = - 33,8 kN (compressão) ΣFx = 0 (→ +)
NAE + NAC x Cos 45º = 0 NAE + (- 33,8) x 0,71 = 0 NAE = 24,0 kN (tração) Nó E ΣFy = 0 (↑ +)
- 18 + NEC + NED x Sen 45º = 0 - 18 + NEC + (- 8,45) x 0,71 = 0 - 18 + NEC - 6 = 0 NEC = 24,0 kN (tração)
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Nó B ΣFy = 0 (↑ +)
30 + NBD x Cos 45º = 0 30 + NBD x 0,71 = 0 NBD = - 42,25 kN (compressão) ΣFx = 0 (→ +)
– NBF – NBD x Cos 45º = 0 – NBF – (– 42,25) x 0,71 = 0 – NBF + 30 = 0 NBF = 30,0 kN (tração)
Nó F ΣFy = 0 (↑ +)
NFD - 36 = 0 NFD = 36 kN (tração)
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Lista de exercícios n.º 6
Determinar os esforços normais atuantes nas treliças abaixo. a)
20kN Respostas
Esforços externos: VA = 40 kN (↓) VB = 60 kN (↑) Esforços internos: NAB = 0 NAC = + 200 kN (!) NA" = + 2#$ kN (!) NB" = % 600 kN (C) NC" = % 200 kN (C) NCE = 0 NC& = + 2#$ kN (!) NE& = % 200 kN (C) N"& = % 400 kN (C)
20kN
HA = 20 kN (←)
b) 20 kN
Respostas
20 kN
20 kN
10 kN
10 kN
Esforços externos: VA = 40 kN (↑) HA = 0 VB = 40 kN (↑) Esforços internos: NAC = NC" = % '$64 kN (C) NA& = + '$2$ kN (!) N& = + #0 kN (!) NC& = % 200 kN (C) N&" = + 4*6 kN (!) N" = 0
c) Respostas
20 kN 10 kN
20 kN 10 kN
20 kN 10 kN
Esforços externos: HA = '00 kN () VE = 60 kN (↑) HE = *0 kN (←) Esforços internos: NAB = % *,0 kN (C) NBC = NC" = % ,00 kN (C) NE& = + *#2 kN (!) N& = + 6'4 kN (!) N" = + 444 kN (!) NAE = + 2,0 kN (!) NA& = % $,2 kN (C) NB = % 2#2 kN (C) NB& = + '26 kN (!) NC = 0
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