Apol Matematicas Libro Rojo.

PERMUTACIONES Y COMBINACIONE§

LEYES DE LOS EXPONENTE§

ü1

=1

(o*)" = ?*n

n!

- n(n -

(ab)n

P(n,r)' = , (n - r):

e,mon

-

-

a,m+n

=

L

1)..... (3X2)(t) nl

anbn

em

= ü*-n'a * dr, tT,¡fl

Ll

fr

c(m,

r) = (:) =

nl

(n

- r)lrI

an

(.;J = w'b+o PROPIEDADES DE LOS LOGARITMO§

PROPIEDADES DE LA§ DE§IGUALDADE§

Sia

(

b,entoncesa

* c 1 b * c.

5ia 0,entonces ac 1 Si

lognMN

=logoM* logo§

los*(f) =

bc.

logo M

-

log,oNl

- rlagoM losM lnM logoM ou =Éloga = ln a -

logoMr

a bc.

T§OREMA DEL BINOMIO

(a + bln

:

añ

- ü)bsn-1 . ü)

62nn-?

I

. {l) bn*l*+ }n

§UC§§IONE§ ARITMÍNC*S

+{a+b} + (a + ad) + ...*

[a

+ (n * 1]dl

: ,,* * l0tl6

SUCESIONE§ GEOMTYRICA§ 1-rTl

-1, aa+ar*arZ+...+ arn-L: 1*r

SERIES GEOMÉTRICAS oc

Si

4. 1,a+

cr + ei.rz +

:Y /-t

k=1

ark-1

:

l--r

r

Grar,ínyAlR,úÁ,

A

Yníryal,wYnnOY

frtulo OrQinol de la Obro: "Mstemáticos Brísicos poro Economío e fngeni ería Comerc iol,, Autor: fng. rtAoisés Villena Muñoz Derechos del Autor No 019791-IEPI rsBN -9978 - s10 - 03 -7 Titulor de los Derechos de Autor y Editor: fn9. Rubén Villocís Infontá Todos los Derechos Reservodos Dirección: Cdla. Albotros, Pelicono O*te 105 y Av. Plaza Doñín. fmpreso por: fmprenta fNGRAF Dir.: Rumichaco 2810 y GómezRendón. Guoyoquil - Ecuador Ninguno porte de este libro puede

ser reproducido o tronsmitido

en

cuolguier formo o en cuolguier medio electrónico o mecríníco, incluyendo fotocopiodo, grabación o por' cuolguier sistemo de olmacenomiento o copocitoción sin permiso escrito por el titulor de los derechos de ouior.

E5TRUCTURA DEL TEXTO Este texto ho sido eloborodo con el propósito de que se convierta en un instrumento de '.abojo poro un curso donde se desee fundomentor nociones de MATE nÁttCeS gÁsfces.

.r

5e presenton teorío, ejemplos, ejercicios modelos y ejercicios propuestos, gue permitírón los estudiontes ovoncen poulotinomente en su oprendizaje y se orienten de uno mejor

Erero poro los evoluociones. Los Copítulos se estructuron de lo siguiente monero:

.

Og¡Etlvos del copítulo. Estos son declorodos ol comenzar el copítulo poro gue el estudionte conozco lo gue se pretende de é1. Si los objetivos son muy extensos se los decloro por temos.

. . .

CoNrENrDo. Esto estructurodo por temos. Los temos responden pedagógicos, psicológicos e higiénícos

ospectos

LUsrRATrvos poro consolidor lo teorío. Troslodon los conceptos o prácticos. mom¿ntos Es decir, von enlozondo lo teoría con lo próctica. E¡E,t¿tpLos

E¡Encrcos REsuElros. Poro orientor ql estudionte en los estrotegios que puede seguir en lo consecución de lo resolución de los ejercicios y problemos. Problemos gue personificon lo evoluoción porcial y finol. El formoto de los ejercicios son de opción

.

o

múltiple.

i

E¡Epcrfios PnopuEsros. Porte de estos ejercicios (depende de lo ptonificoción del instructor) deben ser resueltos en close, por el ¿studionte con oyudo del profesor. Con el objeto de que el estudionte reolice lo ejercitoción preliminor gue le vo o permitir consolidor estrotegios generales en lo resolución de ejercicios y problemos. Aquí debe existír uno outoevoluoción del estudionte, uno reflexiónque le permito carocterizar el problemo; los posos quese siguieron; los otros posibles víos de solución; el onólisis e tnterpretación de lo respuesto. El resto de E¡encrcros PnopuEsros deben ser resueltos por el estudionte, fuero de lo close. Pueden se considerados como lo todeo poro el trobojo independiente.

.

MtscElÁueos DEL CAPÍTUuo. Poro uno outoevoluoción globol sobre todos los temos trotodos en lo Unidad. Pueden ser enviodos como toreo fuero de close, todos o olgunos, depende de lo plonificoción del instructor.

Pag

4.

UETEMATICA » CONJUNTOS LOGICA Y TEORÍA DE CONJUNTOS - . 49 RELACIONESYFUNCIONES ... Ü

§.

LOS

1.

2. 3.

LOGICÁ

1

rÚn¡pnos

....

..

9L

6.

8.

INECUACIONES, NUMEROS NATURATES

9.

FUNCIONES DE UNA VARIABLE

7.

155

. REAL

10. FUNCIÓU PXPONENCIAT Y FUNCTÓU LOGARÍTMICA

175

2AI

....

. 277

11. FUNCIONES POLINOMIALES

309

13. MATRICES Y DETERMINANTES

349

14. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

.

PIENA 16. GEOMETRÍE UPI ESPACIO

15. GEOMETRÍE

18. GEOMETRÍA erelÍrtce 19. NÚMEROS COMPLEIOS

. 371 399

.. 437

I

48s 529

Moisés Villena Muñoz

Cep. 7 Log.t cw Matemáfir,w

1.1 Pnoposlcloxps 1.2 OppneooREs Lócrcos 1.3 PnoposlclouEs Mor,pcuLAREs L.4 Fonn¡es PRoPosrcroNArEs 1.5 Rezo¡reurENTos

Cotidionomente trotomos de pensor y octuor inteligentemente. Nuestros acciones estón dirígidos q gue seon o porezcm coherentes,. Pe?o, ptro situociones formoles un tonto complicados,.nuestros orgumeñtos elementales no nos oyUdon a resolverlos.,Es oguí'donde entro la necesidod de consideror meconismos"obstroctos poro el onrílisis formol. Lo Lógico Motemrítico nos permite hocer estos onálisis, hociendo gue todoi los verddd'es de la rozón s¿an reducidos o una especie de . cólculo. , ' 4

Con lo Lógica lrtotemético podemos pregi«ir lo eguivolencia entre expresíones obstroctqs, podemos onolizor lo vqlidez de orgumentos o rozonqmientos, podemos reolizor dernostrociones formoles,...

"

C@p.


7 L6gírÁ, l4aft/ruÁf,¡Á/

1.1 PROPOSICIONES

En nuestro cotidiano vivir usamos frases sencillas que nos permiten comunicarnos. Existen interrogantes, exclamaciones, deseos, mandatos, oraciones, con las cuales informamos o nos informan. La Lógica Matemática, hace uso exclusivo de expresiones que manifiestan o una verdad o una falsedad. A estas expresiones se las llaman PROPOSrcIONES; y la cualidad de estas, de manifestar una verdad o una falsedad, la llamaremos VALOR DE VDRDAD. Entonces:

EíelnAlD" 1.

'Hoy es lunes'

2.

"Estoy en la clase de Matemáticas'lsuponga

lsuponga que efectivamente estamos en el día lunes de la semana, entonces esta expresión será una afirmación vERDADERA).

que la persona que emite esta afirmación, efectivamente está

presenciando la clase de Matemáticas; en este caso, esta expresión será una afirmación también vrRonorm).

'Estoy en España" (suponga ahora que la persona que emite esta frase se encuentra en Ecuador y no en España, entonces esta afirmación será una proposición m-se),

Otras expre,siones, como las exclamaciones, las preguntas, deseos o mandatos; no son consideradas como proposiciones y por tanto no Son objetos de estudio para la Lógica Matemática.

tíen4DW 1.

2. 3.

¡Ojalá Llueva! ¿Hiciste el deber de Matemáticas? Siéntate y quédate quieto.

C@p.


1 Lol7írÁ/ l4atemáñrn,

1.1.1 NOTACIÓN Los sÍunolos que se adoptan para las proposiciones suelen ser las en minúscula.

pRIMERAS LETRAS DEL ABECEDARIo

De aquí en adelante adoptaremos los siguientes símbolos para los Velonss DE VERDAo de una proposición: VERDADERO

I

F ALSO

0

Ei,ü@?ropy@7,1 lndique ¿cuáles de los siguientes enunciados son proposiciones y cuáles no?:

a) b) c) d) e) f)

S)

h) i) i)

Esta fruta está verde.

¿Estás contenta? Atiende la clase 3

+7=

10

El gato subió a la mesa.

¡Mañana se acabará el mundo! Luís debe pagar su deuda a menos que quiera ser demandado. ¿Es feo Juan? La edad del universo es de unos 15 mil millones de años. rMárchatel

Ahora bien en nuestro lenguaje común usamos frecuentemente proposiciones más extensas como:

. . . .

No

hice el deber de Matemáticas.

Estoy en Ecuador y estoy feliz. Estudio ó juego fútbol. Si estudio, entonces sacaré buena calificación en elexamen.

Surge entonces la necesidad de definir a los nexos de estas proposiciones, los llamados Conectores u Operadores lógicos.

Ctup.7 L@tn*laatumátuw


!.2

OPERADORES (CONECTORESI LÓGICOS r r

&fq¡EB.€S¡T'DI^NÍE:

o

Conozc¡ h mioción poro los operodorer légicos. bc¡hzea, con eJanplos, h essncio de los operodoies lógicos y lo iablo ds verdod poro los opcluioms lóEcos. corüiciones necesorios en um Amlice a interprctc hs condiciones suficia¡tcs y

r o

co¡dicioml. CorFrcrdo c irterprete lo reclpnoco. h inverso y lo contrcrecíproco de T¡duico del le¡unnje común ol lcrgrnje formol'

lc

T.2.L NEGACION

uo

condicioml'

.No

La negación se presenta con los términos:

a

a

No es verddd gue No es cierto gue

El sÍMsolo que se emplea paratraducirla es: Aunque también se suele emplear el simbolo:

-

Eíen4Dl,ot supoNGA euE ESTAMoS EN EL DíA LUNES DE LA SEMANA, entonces al decir:

1.

--a'."Hoy no es lunes "

a'."Hoy es lunes" {Será una orooosición

2.

lEn cambio esta oroposición será FALSA).

vERDADERA)

supoNGA euE No EsTÉ LLovlENDo, entonces al decir:

--:a i"No está lloviendo"

a:"Está lloviendo"

len cambio esta orooosición será vERDADEM)

(será una prooosición FALSA)

Si ubicamos estas observaciones en una tabla que nos indique todas estas posibilidades formamos 1o que llamaremos TABLA DE VERDAI) para el operador lógico. Que para la negación seria: a 1

=A 0

o

1

Observe que:

El operodor NEOAaóN VERDAD

de uno p

rcton.

cAMBTA EL vALoR

DE

Cep. 7 L6giq/ Ma.tuná,f,.,a,


!.2.2 CONJUNCIóN Este operador 1o tenemos cuando err.lazamos proposiciones con el término ffi. En lenguaje- formal se

1o

traduce con el sÍMBoLo:

Ejen4pl,ü Co¡lstorRruos LAS stcuIENTES pRopostctoNEs: a "Tengo un bolígrafo negro"

b LA

"

Tengo un bolígrafo,rojo" us Dos pRopostctoms seRh:

CONJUNCION oe

a n b :"Tengo un bolígrafo

negro y uno roio"

Entonces al suponer que:

1.

Si se tienen los dos bolígrafos

2.

Si setieneel bolfgrafonegroynoel

(a

=l;b

=I

rojo(a

) entonces decir'Tengo un

=l;b=

0

bolignfo negroy uno rojo', será una

vERDAo.

), la proposición "Tengounbolígrafonegroyunorolo",

será

FALSA.

Si no se tiene el bolígrafo negro y si el rojo

(a =0;b = I

), la proposición 'Tengo un bolígrafo negro y uno rojo",

será también FALSA.

4.

Si no se tienen los dos bolígrafos ( a

= 0 ;b = 0 ), la proposición

"Tengo un boligrafo negro y. uno rojo'i también seÉ

FALSA.

I

Por lo tanto, LA TABLA DE VERDAD para la conjunción seria:

Observe que:

I

I

l:

1

0

0

0 0

1

0

0 0

C@p.|LogúwltffiD


L.2.9 DISYUNCIóN INCLUSIVA La disyunción inclusiva aparece cuand o enlazanrrros proposicftmes con el término

f

\,-

Se la traduce formalmente con el sÍ¡usoLo'

m

Ejevn+lo Considerando las mismas proposiciones anteriores:

a;"

Tengo un bolígrafo negro"

b :" Tenoo un bolíorafo roio" LA DISYUNCION oe

us

Dos pRoposrqoues srRfR:

a v b :" Tengo un bolígrafo negro o uno roio " Entonces al suponer que:

1. Si se tienen los dos bolígrafos (a=l;b

=l)entonces

decir "Iengo un bolignfo

nqoo t o

rif,

será una

VERDAD.

2.

Si setieneel bolígrafonegroynoel

rqo(a:l;b:0),

laproposición'Tengounbdigúnqnournir',será

tamb¡én una VERDAD.

3.

Si no se tiene el bolígrafo negro y si el rojo

(a

=0;b= I ), la proposición'Tengomürfglra.rqootroft$',

será también una vERDAD.

4.

Si no se tienen los dos bolígrafos

(c = 0 ;á

-

0 ), la proposición "Tengo un

Mígnb nqrc

o

uo nit',

será una

FALSEDAD.

Por lo tanto, LA TABLA DE VERDAD para sería:

Note que:

I I

I

1

0

1

0 0

0

1

...1.

0i

la disyunción

inclusiva


Cep. 7 LqáírÁ,

l4atunáñrat

1.2.4 DISYUNCIÓN EXCLUSIVA Seguramente usted ha expresado disyuntivas en donde se admite, lo uno ó 1o otro, pero no ambas cosas. qíet

tplü

_

1. "Daniel está en España o ltalia" 2. 'Vessica tiene una altura de 1.70m. o 1.65m.,, 3. "El motivo del crimen fue o bien el robo o bien ta

Estos ejemplos se los interpreta de la siguiente manera:

' ' .

"Daniel está en España o está en ltalia, pero no puede estar en arnbos fugares a la vez,' "Jessica tiene una altura de 1.70m. o una altura de t.65 m., pero no puede tener ambas éstaturas a la vez" "El motivo del crimen fue sólo el robo o sólo la venganza,,

En el último ejemplo, con el término "sólo", desecharnos la idea de que el motivo del crimen sea el robo y la vengaflza alavez. Entonces el término para la disyunción excrusiva en . Así como también el término ..'.,.;,

EL sÍtugoLo que se emplea para

traducirla formalmente es: riV .

Sin embtr8o, la disyunción exclusiva se Ia trad.uce en término de la disyunción inclusiva de la forma:

ffi

LA TABLA DE VERDAD para la disyunción exclusiva sería:

Por

1o

{

a

b

i1

1

1

0

1

.+

0 0

1

1

II

o

tanto, se podría decir que:

.......a.ub........

o:

Ol

|l :l

.. l

I l,-¡

7 Cep. 7 Lol7ir,&


l.loú.;-,

L.2.5 ENUNCIACIÓN HIPOTÉTICA Es el conector lógico más importante. Llamado también conCc--:-=- : implicación. Se presenta cuando enlazarnos dos proposiciones s -.- Ó :e la forma: "Si A entonces b". Simbólicamente se traduce :':-:':

o

->b En este caso a la proposición

"¿

" se la llama:

Yala proposiciórr " b" se la llama: Otros LBNcue.lBS

RELACISNADo5

F

Antecedente

Consecuenfe

con la enunciación hipotetica sor:

ttá si ¿" que

a il

porQue

a

Uea Eiovtnplb'

I

Supóngase que un padre le dice a su h¡o: "Si apruebas el preuniversitario, entonces te daré un premio". Bien, ahora suponga que:

1.

Efectivamente el hijo aprueba el preuniversitario, y que el padre le da el premio. Entonces el padre ha dicho una vERDAD,

2.

Si el hijo aprueba el preuniversitario y el padre no le da el premio. Entonces el padre ha dicho una uemnn (rnlsrono).

3.

Si el hijo no aprueba el preuniversitario y sin embargo el padre le da el premio, aunque no está obligado a hacerlo. Entonces el padre ruo ha dicho una MENTIM.

4,

Si el hijo no aprueba el preuniversitario y el padre no le da el premio. El padre tampoco ha dicho una IVlENTIRA-

I I

I


Cep. 7 Logioa, Mq,te%r,t na/

Entonces, LA TABLA DE VERDAD para la enunciación hipotética sería: &

:- -

:1

1 -

0 o

b

a,4

1

I

0

0i

1

1

0

1

b

Por 1o tanto, se podría decir que:

Lo ENtll{Cracró¡t sólo cuondo el onteced ente

CA es 'FALSA verdad?-ro

y el

consecuente fotso.

I

I

I

I I

I I

Vale la pena recalcar que, no es necesario que exista relación entre las proposiciones. El valor de verdad de la proposición resultante depende de los valores de verdad de cada una de 1as proposiciones que la

"orifor*"rr.

1.2.5.1 Condiciones necesarias y suficientes

En ocasiones, en Llna enunciación hipotética verdadera donde existe relación causal entre e1 antecedente a y el consecue nte b se interpreta , 1o siguiente: "d es condición suficiente para b,, "á es condición necesaria para a,, Lo cual nos indica otras dos formas de lenguaje relacionado para la

.

enunciación hipotética.

"Si un número es divisible para 4 , enfonces es divisible para

2

Este enunciado puede ser interpretado, parafraseándolo de Ia siguiente manera: "Es suFtctENTE que un número sea divisible para 4 para que sea divisible para 2

>

,.

,,

O también:

>

"Es NECESARP que un número sea divisible para 2 , para que sea divisible para 4 " (también: ,,si un número es divisible Dara 4 . neceseriámcnte sprá divicihla ñrrá ?'\

i

I

Es importante mencionar que si se intercambia el antecedente con el consecuente la enunciqción hipotética cqmbia.

I considerando el ejempto anterior, ar enunciar Ia proposicionGGifiuieniñña:

"Si un número es divisible para 2 , enfonces es divisibte para 4 Es FALSA;

I

porque es indudable que existen números

divisibles para

2

,,

queno son divisibles para

t-

Ctup. 7 Loláina,


l4atuntifr¡at

Además, el enunciado anterior también puede ser parafraseado de las siguientes formas: . " La divisibilidad para 4 implica la divisibilidad para 2 . " Un ñúmero es divisible para 4 sólo si es divisible 2 " o "Basta que un número sea divisible para 4 para que sea divisible para 2' . " Un número es divisible para 2 siempre que sea divisible para 4 " ¡ " Un número es divisible para 2 si es divisible para 4 " . " Un número es divisible para 2 puesto que es divisible paru 4 " . " Un número es divisible para 2 ya que es divisible para 4 " o " Un número es divisible para 2 cada vez que sea divisible para 4' . " Un número es divisible para 2 cuando es divisible paru 4 " . " Un número es divisible para 2 debido a que es divisible para 4 ' . ' Un número es divisible pa¡a 2 porque es divisible paru 4 " n

T.2.5.2 VARIACIONES DE LA CONDICIONAL

qíWb

"

Sea ta proposición: "lré a trabaiar, si me pagan"

para expresar su recíproca, su inversa y su contranecíproca es mejor tener la enunciación hipotética de la forma:

Si

4-entonces-¿

-.

Observe que la proposición dada, está de la forma " Entonces el antecedente es d : Me pagan Y el consecuente

es.á

b

si a

: iré a trabajar

Luego tenemos:

"Si me pagan, entonces iré a trabaja/' De aquí:

RECíPROCA:"Sivoy a trabajar, entonces me pagan" INVERSA: 'Si no me pagan, entonces no iré a trabajai' CONTMRRECíPNOCR:,.Si

NOIOY3

entonces no me

cuando se ,observa qne la implicación no es sólo en un sentido, sino qLle se da en ambos slntidos, hay la necesidad de expresarse de otra forma y surge la definición de un nuevo operador lógico, la doble implicatión, llamado también BICONDICIONAL'

10


Cep. 7 LogírÁ, l,latunur,fimt

L.2.6 BICONDICIONAL El símbolo empleado es: is

s:§b'. Que signinca {.§',

eue enlazando dos proposiciones y se tee .,a sí sólo sí b,,.

ffi.

U

Su tabla de verdad sería:

Se observa que:

Si se tienen las proposiciones:

A : "La matriz tiene inversa,,

b : "Eldeterminante

de

la matriz es diferente de

cero,,

Si se quiere decir que una makiz tenga inversa implica que su determinante es diferente de cero; y

recíprocamente, si el determinante de una matriz es diferente de cero entonces tiene inversa; se lo expresará de la forma:

a <+ b :

"llna matriz tiene inversa, sí y sóto si su determinante es diferente de cero,,

a

: Te gustan las Matemáticas

á : Te gusta este deber TRADUZCA las siguientes proposiciones al lenguaje común:

a)

2.

a-+b

b)

-av

b

cl

-b -) -a

o)

(av -a)-+b

En_las siguientes proposiciones, identifique el ANTECEDENTE y el coNSEcuENTE.

a)Sl no se ama a primera vista, no se ama como es debido. b) Para ser secretaria se necesita enseñar la rodilla.

c) El que roba un dólar, roba un millón. d) Pienso, luego existo. e) Quien siembre vientos, cosecha tempestades. f). Para que un polígono sea rectángulo, es suficiente que sea cuadrado. g) No somos débiles si hacemos uso apropiado de los

medios que el Dios de la Naturaleza ha puesto bajo nuestro dominio. h)Tendrás éxito solamente si aprecias la opinión de los demás. i) Hay que alimentarse adecuadamente porque es una manera de eviár enfermedades. j) Estudio siempre que tenga motivación.

t

ll

CeP. 7 LaglcwMaemátlnw


c¡peta' y el trabaio espontáneo y creativo puede el ser humano k) únicamente mediante el error auténtico angustia y soledad. Considerando las ProPosiciones: ¿ :Yo terminé mi deber antes de comer'

á : Yo iuego tennis Por la tarde'

c

: Hoy hace sol.

d

: Hoy haY Poca humedad.

cl

stugÓLlco:

Escribir en LENGUA¿E 1..-^r^¡ para , ^^É $le § antes de comer y que haya poca humedad Es necesario que termine de hacer mi deber la tarde' hace sol yo iuegue tennis por'n,Vt por b toiy haya poca humedad para que no salga a iugar taris Para mí es sulcient qr. no

a)

b)

tarde. Dada la Proposición:

:üliaiiiílii*tángulo

si está circunsctito en un sqniclrcuto"

Escriba lirecíproca, la irwersa y la contranecíproca'

5.

sienpry:1i'-":,,::!!!,::":,.::i:f.*'"d'"' St'eonendo o :i" Ail'5ilff;ifiü;"ffi: ;';;;;iti^ ffi :*.tX ::: :l :1111i:: : üH :l,l#ffi"'ffi:ffi i:' ffi ;ilii'ili;',',"-':':'* :: 1Y:^ :1 :11',,:':l : Hn hrde es que er conductor se haya desviado

autobús ttesa tarde, ro proposición: Sea ra oed v¡vPwsrvrv" "Et - ------il6nces que la proposición es

;i :i ;i

üffi ::lili:üil éi

verdadera.

es: una proposición eQulvlLENTEa la?nterior' he, ^,.^ ^r ^^^á,i¿rn¡

ffi# ;ü;!; ir;ü¡-ú,,l,.óue

[f

ffi ffi

ha dewiad-o proporciÓn anterior corresponde'

á auto¡tis llega tarde, el coMuctor.se esta opciÓn s¡n

1.3 PROPOSICIONES MOLECULARES

serian a ' b y c ' Las proposiciones atómicas para este ejemplo depende del valor de El valor de verdad de una proposición molecular que la componen' verdad de las proposiciones atómicas

t2

Cq.


7 Logira, faa.tuntiñra,

Ejen4plo Paralaproposiciónmolecularanteriorsuponga de verdad

es

quei

a=l; b=0

vERDADERo, porque:

yc

=1

,entoncessuvalor

r) l(*"f)"-í l-[E"r) =í-

[--r- T )

Bajo la suposición de que los valo¡es de verdad de las proposiciones atómicas respectivamente

0,0,1,1,0,1; determinar el vALoR

DE VERDAD

arbrcrdre y /

son

de cada una de las proposiciones moleculares

siguientes:

r.

("

z.

fu

-->

r)n(n.-» o)l-+

-(a" -o)]"("

"

-+ d) n(evla

g. [" ¡ (-¿ a)]¡ (, n -a»n "

{-e ¡

- flj -+ (a -+ b) (a

-+ (, " -y')]

-->

¡)}

L.4 FORMAS PROPOSICIONALES

l

I

((p" q)"-.r)+ (p

i i

Donde p, q y r son

"q)

VARIABLES PROPOSIGONALES,

que pued.en

representar proposiciones atómicas o proposiciones moleculares.

si

reemplazamos d p, q y r por proposiciones Ios resultados son proposiciones moleculares, por tanto, su valor de verdad está supeditado al valor de verdad de las proposiciones atómicas que intervengan. l3

a

cq.7t*


Si nos

propusiér¿rrnos elaborar

proposicional, ésta tend.rí" propoSicionales.

n

la tabla de verdad de una fuma

filas, donde

n

es el número de variables

Para el ejemplo anterior, como la forma variables proposicionales, entonces su tabla d.e verdad filas, tal como se muestra a continuación:

0

I

1

1

0

o

1

o

o

o o

I o 0

o o

Observe que con tres variables, para no repetir casos, las

variables q

yr

dc

tiüimas

mantienen las cuatro combinaciones básicas (ambas verdad.eras, r¡na de ellas verdadera mientrad h otra falsa y ambap q¡sas) y la primera variable p es verdadera. Lúego, 1o mismo para lai dos últimas variables, pero con la primera falsa.

Si hubiesen 4

variables proposicionales, se hacen lan ocho combinaciones anteriores con las últimas tres variables y la pimera variable verdadera; luego, 1o mismo que 1o anterior pero con lia pimera falsa, es decir:

o

1

o

1

1

o

1

o o

o

1

0

o o o 0

0

o o

1

1

1

o 0

Para más variables repetir el proceso de forma anáüoga.

l4


C@p.

7 LógirÁ, Mafu,ruLfirnt

Existen formas proposicionales muy singulares que van

mucho interés para nuestras necesidades.

a ser de

Si las formas proposicionales no son Tautología o Contradicción se las llama CONTINGENCIA.

Ejen4pl.c Al observar la tabla de verdad de la forma próposicional:

(p

- q)+ (---,p " q) 1

I

0

1

I

1

1

o

o

0

o

1

o o

1

-1

1

1

1

I

I

o

1

1

Notamos que el valor de verdad de las proposiciones que se generan es siempre verdadero, sin importar el valor de verdad de las variables proposicionales intervinientes. Por tanto es una TAUTOLOGIA.

L.4.1 IMPLICACIONES I,ÓC¡CES

En este caso se escrib.

I

l5

Cep. 7 Ltgltca,


laatuntfrt*

Algunas implicaciones lógicas tipicas son:

'p+lpv

s

Adición

p

Simplificacion

p

^ql= q))> q p ^lp'+ q)"

Modus Ponens

-

-q)+ -p pv q)n-pf= q p >lq -+ (p q)l " p)r p -+ q)^(q -, p -+ sl> (p v r)-+ (q ,)l " -+ sl+ (p n r)-+ (q 4J ? .p " + s)=lQ -, _> (p -,

Modus Tollens

q)"(, -+,) (p q)" (, -+

Dilemas desüudivc

Lb

Silogismo Disyuntivo

Silogismo Hipotelico

(p-q)"(r+s)l (pu, -»(qvs (p - q\ "(, -+ ,)] + (p n, +(qn s

lb

s)

-

1.

2.

DEMUESTRE

Dilemas consúudivc

-q v -s)-) (-p v -r)l -q n:s)-+ (-p n -r)]

las lmplicaciones Lógicas anteriores.

Escriba la rnsLA oE vERDAD de las siguientes formas proposicionales:

a) p -+ (-p -+ p) b) (pnq)x(p-+-q) c) ((p -+ q) n(-p -+ q))-+ d) (pvq)->(pv(-p¡s))

s

¿Cuál de las siguientes formas proposicionales t'to ES TAUToLócoA?

a) (p ¡S)+ p b) (p"(p-+d)>p c) (p ¡q)= (pv q)

d) (-p¡(p-+d)=-n e) -\pv q)=(-p n-q\ Una de las siguientes formas proposicionales No ES TAUToLóGrcn, identifíquela.

a)

b) c) d)

lp

- -q)l+ -q --p "(q " -p)l> n(p -+

"(p

l--p

[-z l(q

-+,)

-q)]> -q -+ q)l+(¡, ^{,!

-+

r)

e) (1p"q)"-q].+-? Sean

p,q,r

variables proposicionales, entonces la forma proposicional que NO ES fAUToLóclcA es:

a) -Qru q)+(q - -p) b) lQ, -+ q)"-q7= -p

c¡ (pnq)-+ r]* (p -+ ')"(q -+ r)] d) (p -+ q)"(-q -+ r)]+ Q, -+ -r) e) (p -+ r)".(q +')]=+ l(p" q) -+ rl La expresión r'ro

8

{{-lp " (-e " q)]- -q\; c)s d)p el-p

para que laforma proposicionat:

sE¡ TAuToróctcn es:

a) -G"q)

-pvq Hunn el operador 'V ' para que la forma proposicional b)

lb - il"b t6

-+

sea tautológica:

r)]= (-q v r)+ (-q'-r)]

q\

=

a

T


Cep. 1 Logirn, l4aterurff.rÁ/

L.4.2 EQUMLENCIAS tÓcICAS

Seon Ay B dosformosproposicionoles. Decímos que A es tóerceUgrurg EQUfiVALENTE o B si y sólo sí A <+ B es uno tqutolooí En este caso se escribe A e B.Como también A= B

Analicemos la tabla proposicionales: p -+ q y p

q

de verdad de -Pv

..4-

lp I

1

1

0

0

0

1

o

0

i

i

0 0

i

1

siguientes dos formas

Q

-p

1

las

__q_

AR

^__4_ - q)*(-pv ql (*" ql*G - ql --¡-

i

1

0

1

1

1

1

1

1

1

1

i

En ambos sentidos la implicación con estas dos proposicionales es tautológica, lo cual quiere decir que son Lógicamente Equivalentes. Es decir, p -+ q =-pv

formas formas

Q

Como conclusión se puede decir que:

Dos formos proposicionoles son LóQICAI*ENTE EQUÁVALENTE§ tienen el MIS,ttO VALOR DE VERDAD bojo iguoles condiciones de volores de verdad de los voriobles intervinientes.

si

Aquí se puede observar la importancia de 1a lógica de símbolos. Es muy dificil precisar con nuestros sentidos que la éxpresión "Sl estudio entonces aprenderé" es Lógicamente Equivalente a " No estudío o

aprendo".

Ahora analicemos estas otras dos formas proposicionales ---Q

1=p

Por lo tanto, p -)

--Q)=p.

q

p-»q

v

es Lógicamente Equivalente a su contrarrecíproca

t7

Cep. 7 Logi,cÁ,

uo¡í¿s Villena Muñoz

l4atefilifir,o'

lnvestioue si las siquientes EQUIVALENCIAS SON CORRECTAS O NO:

.i(,

(q

u)

(q

qi" ,l=l¡, '+ (p -+ q)"rl=lp -+

"

,)l

"r)]

,)) (p q)" ,f=lp "(q" ^ -+,)) o) (p q)- ,)=f, "(q " c)

e)

(p" q)nr)=lp"(q

0

b

"

q) -+

,l=lp

"

"r)) '+

,)l

(q

T.4.2.1 ALGEBRA DE PROPOSICIONES clasificando algunas Equivalencias Lógicas, resulta: DISYUNCIóN

(p

"q)=(q

(p"

¡p

(p,

6;il¡r=pn(qnr)

q

=(q" p\

q

(p, p)= p

(pnp)=p

(pv0)=

P

(pv1)=l

(pn0)=0

NEGACIÓN

q)"(p",) p¡(qvr)=(pnq)"(p"r)

-.0=1

l;G;i=(p,

-.(p n q)=--p., --q

-(p

I v q)=--p n-QJ

---,1

=0

:p doblenegación -(-p) I*ges de De Morgan

(pv'-p)=l

I*g deltercer excluldo I*g de la contradicción (p n -p)= 0 (p q)=('-q -+ --p) cont o¿potitiüd o cont"r'"cíprocc'

-

lp

-

q)=(-pv

q

pv q)=("-p -+ q 6" il=--,(p -+'-q)

7p-

,)

"(q

G;d^b

-+ r)]= (p

-,)]:-Lp

'

q)

--»

r

-(g.:

-, d=lb n--q) -+ 0l R.d"".itu ú ú*'tu p)] Equiaatencia G, e q)=lb - q) "(q --> (p*q)=(q+>p)

(p

¡No olvide demostrarlas!

l8

T l

Cep. 7 Logina, l4aterurñ*,al


I

I

I.4.2.2 APLICACION DEL ALGEBRA DE PROPOSICIONES

Una utilidad de las Equivalencias Lógicas la observamos

a

continuación.

Ejovtlplo

7

rmouccrón al lenguaje formal de la siguiente proposición: "Si fú eres inteligente y no actúas con prudencia, eres un ignorante en la materia" Siendo: rn :tú eres inteligente La

n: tú actúas con prudencia p :tú eres un ignorante en la materia Es: Sor-ucró¡r:

La traducción sería:

a) -+(n" p) ^ b) p -+(* "-n)

C)

d) e)

^r(nu (m n-pi)

^

-+

-n

-(nu

pi)

,.,

-n)-+

p.

Pero tiene apariencia diferente

entonces empleando

el álgebra de

proposicionestenemos: -(^ n-n\u p -tllY t7v p -*, (n, p) * ->(nu p)

p) -->

(m

a las opciones de respuestas,

RESPUESTA: Opción "a".

qíW,,\ü2 Dada la proposición molecular:

"Hoy es jueves

y

tengo que dar

un

examen, pero

si

hay huelga,

enfonces no voy a la Universidad' y las proposiciones atómicas: a : Hoy es jueves.

á : Tengo que dar un examen.

c : Hay huelga.

d : Me voy a la Universidad. Entonces la rnnouccróru al lenguaje formal de la proposición molecular es:

a)(anbnc)-+d d) {a nb)n(-c -+ d)

b)(a-+-c)n(anb)

c)

(aná)+(cv-d)

e)(c -+ a)n(a ,',b) Traduciendo tenemos

(a,^,b)n(¿..;;¿"lj , por ta

(a nb) n(-(-a)-+

-")

(a n b)

n(a -+

-c)

contrarrecíproca

entonces

que es to mismo

que

(a

-> -c) n(a n o)

RESPUESTA: Opción "b".

Analicemos este otro tipo de ejercicio.

Si la proposición: VERDAD

que:

pvQ=0 d)q=I a)

[-.(p

- --q)) (, n *)]" b)

qns=1

e)

pxr-l

l¡,

n(--rn r)]

.s

vERDADERA,

entonces es

c)(rvs)n4=0

t9

Moisés Villena

Muñoz

Cep. 7 Logi,cÁ,1'lafunuifi'q'

debemos ir analizando desde la proposición molecular hasta llegar a las propos'ac.es

SOLUCÉN: atómicas.

f,-P

-) --q *) l^-J]"tlA'-rrns] -l

I

0lr0l¡-/

0 ,|

!-nJ \----YJ

I '-:

0l

\__vJ

0

1

1

0

#

I

\-------v.J

1

trI Del análisis se concluye

Or.

l. = ;

til

I

Ahora que hemos encontrado los valores de verdad de cada una de las proPosiciones podemos analizar una a una las opciones proporcionadas:

a) (p"q)=(t"O)=1 masno 0 comoseindica b) (q " r)= (O n t)= 0 mas no I como se indica c) (r r r)". q]= (O v l)n 0]= [ n O]= 0 tal como se indica y por tanto esta sería

EíuürÁo*?tfutmfuY7.6 1. Seleccione la rmoucclÓru conecta

de la siguienteafirmación: "Si retiro el dinero del banco, compro un cano o una casa" p : Retiro el dinero del banco Considerando las proposiciones atómicas :

q : Compro un carro

r : Compro una c¿lsa

a\ (p -+ q)v

p --»(q

2.

r

o\ (p -+ q)-+

r

c)

-.pv(qnr) g(pva)+r

e)

"r)

La TRADUCCIóN al lenguaje formal de la proposición

"Si me voy a

casa, me voy

:

de compras y si no me voy a casa, enfonces voy al cine"

siendo las proposiciones atómicas:

a:

á

Me voy a casa

: Me voy de compras

c

:

I

Voy al cine

es:

c)(-aná)v(aac) d) (-á -+ -a) ¡ (-c

al(avb)x(avc) b)

3.

(-a v á) z' (-a v c)

{ -+ a)

a\ (b

La rn¡oucctóru al lenguaje formal de la proposición: "Si se es esfudioso

--»

a)

¡(c

-+

<)

o dedicado, entonces se aprueba

el Preuniversitario", Siendo las proposiciones atómicas:

o

: Se es estudioso.

á : Se es dedicado.

c

: Se aPrueba el Preuniversiiario.

b) (a-+")"(a-+c) es: -a) (-á^.-r) e¡ av(á-+c) o) a-+(ávc) (a+c)n-l

a)

4.

Dada la proposición: .,Si háy huetgas y paro de transportisfas, entonces las pérdidas serán cuanfiosas" Entonces es EQUIVALENTE a la siguiente proposición: si no hay pérdidas cuantiosas entonces no hay huelgas o no hay paro de transportistas. Si no hay pérdidas cuantiosas enlonces no hay huelgas y si hay paro de transportistas. Si no nay perOiOas cuantiosas entonces hay huelgas y no hay paro de transportistas. Si no hay huelgas ni paro de transportistas entoncesno hay pérdidas cuantiosas. si no hay huelgas entonces no hay paro de transportisias ni pérdidas cuantiosas.

a)

bi cj di el

5.

La

proposición: (a v b)

al(avb)-+-c -a^(-ávc)

c)

20

-r

(c n

-c)

es

EQUIvALENTE a

a+(á,r-c) d) (avá)+c

b)

e) ((a ¡.

b)v c) -+

-a


Cep. 7 L%ina, l4atenurñrÁ/

6.

La rorma proposicionat:

a) q)

p)^K-p -+ q)" -q]n ( p -+ q)¡(q -+ b) -P c)q

lb" il"

p

p)

e.

EeurvALENrE a:

d) Elija esta opción si la forma proposicional es siempre falsa. e) Elija esta opción si la forma proposicional es siempre verdadera.

7.

la proposición:

La co¡lrRqRREcipRocAde

"si Et lv,ño es un fenómeno o un desastre natural, entonces no es una simple lluvia o un mal pasajero" es: Si Et NllVo es una simple lluvia y no un mal pasajero, no es un fenómeno ni un desastre natural. EL NÑ0 no es un fenómeno ni un desastre natural, porque es un mal pasajero y no una simple lluvia.

a) b) c) d) e)

8.

Er- Nrño es un fenómeno, desastre natural, simple lluvia y un mal pasajero.

Et N/ñ0 no es un fenómeno ni desastre nalural, si es una simple lluvia y un mal pasajero.

El Nlño no es una simple lluvia o un mal pasajero solo

si no es un fenómeno.

Si se da la proposición:

"Si he estudiado mucho o me he preparado lo suficiente, entonces no daré un mal examen o mis padres estarán contentos"

Entonces su proposición coNTRARREcípRocA es: Si no doy un mal examen y mis padres no están contentos, no he estudiado ni me he preparado lo suficiente.

a) b)

c) d) e)

He estudiado mucho, me he preparado lo suficiente, no daré un mal examen y mis padres estarán contentos. Ni he estudiado mucho ni me he preparado lo suficiente, porque mis padres no estarán contentos y daré un mal examen. Ni he estudiado mucho ni me he preparado lo suficiente, si doy un mal examen y mis padres están contentos. No daré un mal examen o mis padres estarán conlentos sólo si he estudiado mucho.

Dadas las proposiciones atómicas:

bañando.

p

: Me estoy

r

:Quiero dormir

q : Me voy a una fiesta. s : Estoy cansado.

Entonces, Ia coNTRARREcípnoct de la proposición (p

si

" -")

_+ (4

"

_")

es:

me estoy bañando y no quiero dormir, entonces, me voy a una fiesta y no estoy cansado. b) No es verdad que me voy a una fiesta y estoy cansado y no me estoy bañando o (uiero dormir. a)

si no me voy a una fiesta y estoy cansado, entonces no me estoy bañando o quiero dormir. d) Si no me estoy bañando o quiero dormir, entonces me voy a una fiesta o estoy cansado. e) si me voy a una fiesta o no estoy cansado, entonces me estoy bañando y no quiero dormir. c)

10.

Si laproposición:

(an-a) + dlv-(ave)

es rersr,entoncesesvERDADque:

a)(áva)=0 b)

(-e v -d)=

0

c¡(dvo)=0

11.

d) (a

-+ á)= 0

e) (e

-» a)= 0

si la proposición l(p FALSA, identifíquela:

"-q)-+(r.,

q)]

es

FALSA, entonces

una de las siguientes proposiciones

(p + a)n (r -q)]= o " r)v (-1p a)]= o " c) (-r -+ p)a (-r -+ -q)]= t d) (p v r)v (a -+ -r)]= t a)

b) (q n

e)

12.

(r+q)n(r+p)]=o

Si la proposición

lb - il "r] - h -+ 4] es FALSA, entonces es VERDAD de p es verdadero.

que:

a) El valor de verdad b) El valor de verdad

de q

c) El valor de verdad

de

de El valor de verdad de

d) El valor de verdad e)

p

r

p

es verdadero. es falso. es falso.

no puede ser definido.

2t

Ctup. 7 Logir,a,


l,late.náfi,cw

I

1.5. RAZONAMIENTOS 5E

. . ' . .

PRETENDE QUE EL E5TUDIANTE:

Defino rozonomiánto. Defino rozonomiento vólido.

Determine lovalidez d¿ un rozonomiento suponiendo gue éste es folso.

Infiriero

uno conclusión vólido poro un rozonomiento, dodos los hipótesis

Justifigue lo volidez de un ro¡onomiento. un rozonomiento combiondo lo conclusión

gue seo válido en el coso de gue no io sec

Bien ya podemos dedicarnos a una estructura lógica muy importante. que es el objetivo que nos habíamos propuesto. El tipo de razonamiento que vamos a considerar estará constituÍdo por una enunciación hipotética que tiene como antecedente una con-juncion de hipótesis o premisas. Es decir, su estructura 1ógica será de la forma: PREMISAS

O

HIPOTESIS

?-

[H, ^Hr.^Hr^...Hn]

\-----rJ

=

OPERADOR PRINCIPAL

Estamos interesados en saber si un razonarniento es váiido o no, es decir si la conclusión es lógicamente inferida de las hipótesis.

1.5.1. VALIDEZDE UN RAZONAMIENTO

Un rozonomíento es WíL¡OO cuondo lo formo propos¡cional que se obtiene de lo proposición moleculor gue lo define, es TAUToLóaTIA. Es decir uno Implicoción Lógico.

la estructura lógica de los razorlamientos presenta la forma H + C , entonces podemos dedicarnos a determinar si se produce el siguiente caso H =t y C = 0 que es el único caso cuando la Enunciación Hipotética sería falsa, entonces no sería una tautología y por tanto el Como

razorLarniento no es válido.

í,íe,vr4pl,al Determine si el siguiente razonamiento es válido o no:

..

'Si aumenta la producción, aumentan los ingresos; si aumentan los íngresos, se recupera la inversión. Por lo tanto, si aumenta la producción, se recupera la inversión"

SOLUCÉN: Considerando las proposiciones alómicas: a :Aumenta la producción

á : Aumentan los ingresos. c : Se recupera la inversión. El razonamiento se haduce al lenguaie formal por la proposición molecular:

(a -+ b)n (r -+

.) = (o -+ "). lb n q) "(q

- ,)

-+ ,)] ==, (p para que Podemos hacer toda la tabla de verdad, pero para evitar sea válido. el razonamiento ser tautológica debería Que lal trabajo nos dedicaremos a investigar si existe por lo menos un caso de falsedad. Entonces la forma proposicional correspondiente

22

sería

t

Cq.


r \r

--

\ I

7 L%4na, l4atuná.fi,ow

)

[i-1.J"[1'il=[i-;,J L---v...J

\_vJ

100

-v__-i

Para que la enunciación h¡potética sea falsa, se requiere que el antecedente sea verdadero mienhas que el consecuente es

falso,paralocual

(p.+.) =0

p=l y

entonces

r=0.Ahoraexaminandoel antecedente,observamosquepara

que la primera hipótesis sea verdadera se requiera que

q: l,

pero la segunda hipótesis se hace falsa. Esto nos hace pensar que no va a existir por lo menos una proposición falsa, por lo tanto el razonamiento es VALIDO.

IrryeY, Determine si el siguiente razonamiento es válido o no:

^

_

"si soy estudioso, aprobaré el curso; si soy fiestero, no aprobaré el curso. por _lq!*to, no puedo ser estudioso y fiestero al mismo tiempo,,

SOLUCIÓN: 6on-IileñIl6l as

proposicio nes atóm ica

s:

a : Soy estudioso á : Aprobaré el curso. c : Soy fiestero. El razonamiento se traduce al lenguaje formal por la proposición molecular:

[("

+ á)" (c -+ -á)]= -(a n c) Kp - q) "(, -+ -q\)+ -(¡t n r)

Entonces la forma proposicional correspondiente seria

Que debería ser tautológica para que el razonamiento sea válido. Podemos hacer toda la tabla de verdad, pero para evitar tal trabajo nos dedicaremos a investigar si existe por lo menos un caso de falsedad.

Para que la enunciación hipotética sea falsa,

,rr.oqrirra que el antecedente sea verdadero mientras que el consecuente es

p:1y r:l

.Ahoraexaminandoel

antecedente, observamos que para que la primera hipótesis sea verdadera se requiera que

q: l, pero la segunda

falso,paralocual

-(pnr):O

hipótesis se hace falsa porQue

-{

entonces

(pnr)=l;estosignificaque

= 0 . Esto nos hace pensar que no va a existir por lo menos una proposición falsa, por

lo tanto el razonamiento es VALIDO.

Dadas las siguientes hipótesis:

H ,: La Lógica es difícil o no les gusta a muchos estudiantes. 11, : Si la Matemática es fácil, entonces la Lógica no es difícil. Entonces una CONCLUSIÓtrl VÁttOR es: a) La Lógica es difícil. b) La Matemática es fácil. c) si la Matemática no es fácil, a muchos estud¡antes no les gusta la Lógica. d) Si a muchos estudiantes les gusta la Lógica, la Matemática no es fácil. e) La Matemática no es fácil o la Lógica es difícil.

SOLUCIÓN: Definamos las proposiciones:

a

: La Lógica es difícil.

á : La Lógica le gusta a muchos estudiantes. c : La Matemática es fácil. Entonces la traducción de las hipótesis dadas

sería:

H1 ; a v

-b

H2:c)-a Cada opción dada sería una posible conclusión, analicemos con cada una;

23

cep.TUgírela@


a)

+---pll= p

Í(Pv -4 )A(f \r./lLrJ\, 00160 \r\/ l1 -.J-YJ

(\r DY U!IV

T

No válido

tl --or l.r') r lral

--1D a

óO

l0

lr/

i

) ry

No válido

\

O

\-/J

g-------Y---.J -/J

I

c) f(pv--q\^(f -+ --pll=

YÍóT-.9T 00r(.) -

!i/

g--YJ

a-----

+'-r{

t---f -l-

I

Noválido

l-

a

I

!--vJ

F

t

d)

f(

(f + "-p ll)lQ ) --r I

v )^ P |*Jr/:VYI-Q

vALlDo

I

(Respuesta)

a

tlrll.-j

g-vJ

e)

a

00 --o

a

100

-1J

f(Pv -Q)^(f -+ g/+J:vrY

0J'+T0

\---rJ

1l lt0

,

--/

a

-tpll)l+v

L=_J

1. Con las proposiciones:

Pl

No válido

\-YJ

rr

: Yo gano las elecciones.

n:

p

Guayaquil tiene autobuses art¡culados

: Ustedes tienen transporte.

Se construye los siguientes razonamientos. Determine cual de ellos N0 es válido.

a) l(*-+ n)"("+ pI-+ @- p) b) l(* --> -")"(" -+ p)]-+ (p" -")

c) l(--+n)n-*l--n

d) l* n(-n - *))-+ n e) l(* -+ ")"(" -+ p)n-pf-+ -^

2. Dadas las siguientes premisas: .ó[1 : Si veo mucha TV, entonc,es

H 2:Yeo considerando

las proposiciones: p

no tengo tiempo para estudiar.

mucha TV.

: Veo mucha

TV y

q

i Tengo tiempo para estudiar.

Entonces una conclusión para un RAZoNAMIENTo vALlDo es:

a) -P b) q. c) -p AQ

d) -PvQ e) pv-Q

g.D

3. Dadas las siguientes premisas: .tI1 : SilestuQio mucha Lógica,

H, 24

rt

t

'€I,d'o

)

r

fton':3ry,'Üy93 ""?

rr:|1!pQl )

C\

Y¡.-» -¿b

C@p.


7 L6gi,cÁ,, f4afu,rurfimt

Entonces, una CONCLUSION pan un RAZoNAMtENTovALtDo, es: I a) No estudio mucha Lógica{3 er. b) Reprobaré el curso. I c) Estudio mucha Lógica ó no reprobaré el curso. (o. d) No estudio mucha Lógica y estudio mucha Lfui e) No estudio mucha Lógica ó reprobaré el curso.

(b

v rDl b)

ib.¡GAÁ 'trx v b

1.

-+ q)n r] -+ 0

propgsicional . Si la forma

a) p es verdadera. b) p es falsa y r es verdadera. c) r es falsa. d)

Elvalordeverdadde

e) 2.

q

p

-

q)

es rru-sr, entonces es.vERDAD que:

nopuedeserdefinido.

es verdadera.

Una de las siguientes proposiciones es vERDADERA, identifiquela.

a)(p-+q)rr= p-+(qur) b) (p -+ q)n, : p -+(q nr) rl (p"s)- r: pn(q-+r) d) (-pv-q)=p-+q e).

I

I

(-qv p)

=-

p-+q

Sean las proposiciones: p : Todos los alumnos cumplen con sus obligaciones.

I

q

:

a

r

: El profesor recompensa a los alumnos con una semana de vacaciones.

I I

Entonces la lnmucclóN al lenguaje simbólico de la proposición:

"§i todos los alumnos cumplen con sus obligaciones y logran aprobar el examen, el profesor los recompensará con una semana de vacaciones; puo, si algún alumno resultara reprobado, el

t

I

I I a

¡

I

Todos los alumnos aprueban el examen.

profesor no adophrá esa medida"; ES:

a) [q r]-+ , nlq u -r) b) f(q""-p)-+ r)"lq" r] c) [qr.-r]+>lpnq"rJ d) V-ql"Íb"q)-+,1 e) lb"d-r)nl-r-+-sl

I La NEGACIÓN de la proposición:

¡ a

rl l

b) c) d) e)

p

) -Q

es'.

l)-p P^q

-!v -8

-p A-Q

La TRADUCCIÓN al lenguaje formal de la proposición: padres me felicitarán." Siendo las proposiciones:

'§

resuelvo bien el examen y no está difrcil, mis

a: Yo resuelvo bien el examen.

b: El examen está difícil. c; Mis-padres me felicitarán. Es:

a) o -+(ou b) (a n -c) ") c¡ av(avc) d) a -+ -(tu ") e) o -+ (o n-")

j

25

Ctup.7


6.

Lol7ína"l4affietu

La proposición:

"Junior es débil, siempre que no coma pescado" es EQUIVALENTE a: Junior es fuerte o come pescado. Junior es débil y mme pescado. Junior es débil cuando come pescado. Junior es fuerte o n0 come pescado. Junior es débil o come pescado.

a) b) c) d) e)

La CONTRARRECÍPRoCA de la proposición: 'Si estudio y apruebo el Preuniversitario, eqtonces estaré alegre'. es. Si estoy alegre, entonces estudié y aprobé el Preuniversitario. Estudio y estoy alegre, entonces aprobaré el Preuniversitario. Si no estoy alegre, entonces no estudié o no aprobé el Preuniversitario. Apruebo el Preuniversitario y estoy alegre, porque estudié.

7.

a) b)

c)

d) e)

Si no he estudiado, entonces no aprobaré el Preuniversitario.

Considerando

8.

la

forma proposicional . -(p

proposiciones es FALSA, identifíquela.

(, t) " C)-+ "

Entonces una

a) La recíproca .r (r r, r) -+ Fp " -q) b) La contranecíproca es (-r ,. -r) -+ (p " q) c) La inversa es (p,, q) + (-r " -s). d) La inversa es equivalente (p" q)" (, " t) " e) La forma proposicional dada es equivalente a (p " a),, (" " s)

e

as sg.siles

.

.

.

.

Una de las siguientes proposiciones NO ES TAUTOLÓGlCA, identifíquela.

a) (p-c)"(q-+")]-+(p-r) b) (p - q)-[(p"")-+ k",)]

.l (qe,),.b-c)]-(,-p) d) p -+lq -, (c " p)] e) (pnqnr)-+-(r"q)

'10.

Considerandolassiguientesproposiciones:

p : Daniel es feliz. q : Daniel estudia todos los días. r : Daniel aprueba el preuniversitario. Entonces la TMDUCCTóN al lenguaje formal de: "Daniel es feliz sélo

si esfudia fodos los días y ryuúa el

preuniversitario" Es:

a) , -+(p "q) b) (q nr)-> p c) (c n r), -p d) -(q n'r)u p e) --p -+ -(q " r) 1

1.

La siguiente proposición: "La empresa no hace publicidad y no cambia su producción siempre que la demanda aumenfe" es EQUTVALENTE I Si la empresa no hace publicidad y no cambia su producción, entonces la demanda Si la empresa hace publicidad o cambia su producción, entonces la demanda no aumenta. Si la demanda no aumenta, entonces la empresa hace publicidad y cambia su producción. La empresa hace publicidad y cambia su producción, o la demanda aumenta. La empresa hace publicidad o, si cambia su producción entonces la demanda no aumenta.

a:

a) b)

aumenta. )

c) d) e)

premisas:

12. Dadas las siguientes P¡ Si paga el reFcate,entonce_s.,81§.*.ot

:

?e

gnsgn/ §

Pz : S¡ü_pg!,cE-lntÚge. entonces -ráL

n

Y

petrob?os aparecerán

viv91¡,y_y:ylry:ly

los técnicos petroleros no retornarán a sus paises de

-

P, , S. p.g3rlr.t!_U

origen. -

Entonces una coNcLUSlóN vÁlton para un razonamiento es: Los técnicos pekoleros no agarecen vivos. -'t n No se paga el rescate. S¡ lor iécñicos petroleros no retornan a sus países de origen, entonces la policía interviene. La policía interviene. ' Los técnicos petroleros no retoman a sus países de origen.

a) b) .Í d) e)

J

_ (

26

'¡

f

f t; ry\

?t'

Yt'.

/h

,,.,

.Lll

Á -» Y N

I|

'(

(]

.

-L,y.q>

t


C

1

3.

Dadas las proposiciones

atómicas:

p : Yoy a rendir el examen.

4: La TMDUCCTóN at tensuaje rormat de presenfo al examen entonces reprobaré"

ep. 7 Logir,a, L4qtenuifi,c,a/

Me presenio al examen.

l;Xill?l3f

"r" y a rendir etexamen

potque si no me

ES:

a) b) c¡ d) e)

(q" r)-+ p (q" r)" p p -+(qv r)

,-+(-pnq) ,-+-(pnq)

l+"^la.proposición: pgan¡¡ísfe a

c/ases

f r*r**siempre y ccuan$no"rrrn, o*,

Entonces, su proposición CONTMRECÍPROCA es: Si Juan asiste a clases, entonces no tiene otras ocupaciones. Si Juan tiene otras ocupaciones, entonces asiste a clases. QJg¡L !S sCiste a clasés, entonces tiene otras ocupaciones. Si .luan tiene Si Juan no asiste a clases, entónces no tiene otras ocupaciones.

a) b)

-O-91 5.

'^' T--v P

.)*-y

i

e) '1

P-+:l '1*

- , ,i -¿ -r 2

Si la forma proposicional

(-p v q) -+ l(-, n p) ) (, l)] .r "

-

tÍ

1.

I

FALSA. Entonces una de las siguientes

próposiciones es VERDADERA, identifíquela.

a) (p-+l)=0 b) (-s ,r t)= t c) (-r n p)= O d) (p n -r),, s]= t e) (svr)= t

16. Considere las proposiciones: a: La dolarización es un proceso adecuado para el país. b: El país debe salir de la crisis económica. La TRADUCCToN ar rensuaje

país

r#,i:: H;',ffi,[il'l:t'lJffi['#flf111'j'X]3;...

adecuado para

er

si las personas mantienen una mentalidad positiva, pero si las personas no mantienen una

mentalidad positiva, el país no sale de la crisis económica. Es:

a) (c + -a)r' (- a -+ -b) b) (, -+ o)n(-o -+ -") c) a n (-c --> -b) d) (-c v a)". (c v -a) e) o -s (-b -+ -")

()-

/ 1lr/ Considere la proposición molecular: TEs suficiente qu , con Juan entonces a ella no]e Slsla¡jos-hgl0Ee§

-

Enton ce

P

tt."-tó vY')

).r

* &-o:, '[.

?/- -\'.'-*'tl' -.; ., !4,iYo ,

)i

,

'r-1p{

¿tl?t

7, (', A?

q_ +

Ñ

na

p-oposi ció n

-+( {t|.r';

a)Es necesario que Lulú termine' b),Lulú quiere a Andréspero no ¡ c)

-,r, p)

R-úfiaiéñielue

Lutú terminti

d)Es suficiente que a Lulú le gusten los hombres feos para que termine con Juan y quiera a Andrés. ei esnecesarioqueLulúterm'ineconJuanparaqueaLulútegustenloshombresieosyquieraaAndrés.

18. Si se tiene un razonamiento con

las siguienles premisas: Hr:La dolarización es difícil o no les gusta a muchas personas. Hz:Si las medidas económicas son viables, entonces la dolarización no es difícil. Una CONCLUSION que lo hace válido, es: La dolarización es difícil. Las medidas económicas son viables. Si las medidas económicas no son viables, a muchas personas no les gusta la dolarización. Si a muchas personas les güsta la dolarización, las medidas económicas no son viables. Las medidas económicas no son viables o la dolarización es dificil.

a) bi c) d) e) 19.

Si se da la proposición: "Si he estudiado mucho o me he preparado lo suficiente, entonces no daré un mal examen o mis padres estarán contentos', Entonces su proposición CONTMRECIPROCA es:

a) Si no doy

un mal examen y mis padres no están contentos, no he estudiado ni me he preparado lo

suficiente.

b) He estudiado mucho, me he preparado lo suficiente, no daré un mal examen y mis

padres estarán

contentos.

27

Cq-


l l,QielWminrnt

\ c) Ni he estudiado mucho ni me he preparado lo suficiente, porque mb un mal examen.

Ni he estudiado mucho ni me he preparado lo suficiente, s¡ doy

e)

contentos. No daré un mal examen o mis padres estarán contentos sólo si he

Dado el razonamiento P1

n P2 rr P3 n P4 P1

:

=

C

úfrentos

r'El r¡rlltr ! rrs 'ñ eshlóa n.c=

d)

20.

pdcs,t esi

y daré

padres están

; donde:

Si estudio, aprenderé.

P2 : Si aprendo, aprobaré el curso.

P3 P4 Entonces una conclusión

a) Estudio

b) No

C

: O practico tenis o no pracüco

:

que hace el RAzoNAMIENTo vALlDo es:

estudio

tenns

No apruebo el curso.

c) Apruebo el

curso

d)

Aprendo e \A

21.

Analice la vnltoez de los siguientes razonamientos: a) Si tú mueshas la verdad, revelarás lo ridículo de las pretensiones del hombre. Si ei hdrüe es prepotente, es porque no se ha revelado lo ridículo de sus pretensiones, El hombre es prepolente Pr consrguiente, tú no muestras la verdad. b) Si Genaro tomó el iren especial, entonces estuvo en el accidente, y si estuvo en el acodente. entonces no asistió a la reunión. Genaro tomó el tren especial o no asistió a la reunión. Luego. Genaro estuvo en el accidente.

c) O Calderón tiene enemigos en la administración o, si excede su cuota, reobiÉ un ¿lscenso Calderón no recibirá un ascenso. Luego, Calderón tiene enemigos en la administración o no excedera s! orota. d) Si pago al sastre no me quedará dinero. Solamente puedo llevara mi novia al ba¡le $ terqo dinero. Si no la llevo al baile, se sentirá desdichada. Pero si le pago al sastre, no me entregará el ra1€, y sin el traje no puedo llevar a mi novia al baile. O le pago al sastre o no le pago. Luego, mi novra tendrá que sentirse desdichada. Si se tiene un razonamiento con lasosiguientes

H t:

r,

Si.el :

si

premisas:*

frendfagggcamino estáhela4o..entonceq el

V coc\ypgat!

g§lre r!9lLs_o,g!ry$Sürrq:.Eerqr

trI3 : Pero.el coche no se revisó.

I

Una conclusión que lo hace VÁLIDO es: a) El coche no parará. b) El freno falla y el camino no está helado. e cj Si no falla el freno.y el camino no está helado, el coche

1Y

Fl.r

zt

?v

q,,¡1f

HLt ', -ü -1 f

- n4 -^

parará.

l

g

,/-'4 ) i.- - / ) -» es válida. \ ?. I

-1

di El cochenoparaáoel caminonoestáhehdfr¡ e) Ninguna de las conclusiones

23.

5

lf

Considere las siguientes hipótesis:

H

1 t El Banco del

Pueblo cerñ sus puertas y sus clientes recuperarán su dinero.

,EI2 : Si los clientes del Banco del Pueblo recuperarán su dinero entonces no existe intranquilidad.

H.3 : El Banco del Pueblo no ceró sus puertas o no existe inhanquilidad. Entonces una CONCLUSIÓN VÁLIDA para un razonamiento, es: Si no existe intranquilidad entonces los clientes del Banco del Pueblo no recuperarán su dinero. El Banco del Pueblo no cenó sus puertas. No existe intranquilidad y los clientes del Banco del Pueblo recuperarán su dinero. Ni el Banco del Pueblo cer¡ó sus puertas, ni sus clientes recuperarán su dinero. Ninguna de las conclusiones anteriores es válida.

a) b) c) d) e)

Q!

p

hipótesis: H,,Err!91j99!tó49!&Tadedolarizaciósy,Pretendemejoraisueconomí4

Considere las siguientes

+

H2 : Si€llaclg1p¡etelds mljorar rr..onorilgitonÑ*rn.u¿ ¿.t*ntento

fl3:@glgtrbftryntentqsocjiL

es:

_ /r. /', n\ v- \t t/ 1 r) tÜ.¡.t.'l '4'+ -, [

Entonces, una CONCLUSION VALIDA para un razonamiento No habrá descontenlo social y Ecuadoi pretende mejorar su Economía.(¡ h A ) Ni Ecuador adoptó el sistema de dolarizáción, ni prelende mejorar su fóhbmia.' .-, Ecuador no adoptó el sistema de dolarización. 1 Si no hay deseontento social entonces Ecuador no pretende mejorar su Economía'

a) b) c) d) e)

\'

Ninguna de las conclusiones anteriores es válida

4

PV

rk)

Í n1I

)f

-D ? ?


Cep. 2 Coníunto

i

'2.L' Dprr¡n*órv ?.2 "llrtbreirórv

2.3

n

:

Cenorue¿rDru)

2.4 REPRE§ENTAcIÓr 2.5 " IGu"ALDAD

4,6

i:

{'

GnÁIrce

,,

§ugbg*¡ryrt¡s

; 1'

.

2.8'

tl

á¡,csgñh DE"cosütruTo§ &.9 €o¡süruTo" 2¿to^

*1

-

.t -.

pertenecemos,

".a|.Y...'....s,'§

t'lo

*c¡edsd donde vivir¡oÉ, á io univers¡¿áa estomos ilrscritos, . o Iñ correrolue vomos o "!r3ár, ...

-

r' f ;'

f

ef

29

a

Cottjttttto"

Ir¡loisés Villena Muñoz

-

2.I

DEFINICIÓN

2.2

NOTACTÓN

para denotar a un conjunto usualmente se emplean las primeras letrqs del abecedario, en magúsctila. Podemos 'referirnos elementos.

a un

conjunto indicando cada uno de sus

Ejr+"tplc vocal, es St queremos referimos al conjunto de las vocales, se lo puede hacer nombrando a cada decir:

-

1= {a,e,i,o,u\

Esta manera de referirnos a los conjuntos se denomina por extensión o tabulación.

También podemos referirnos a un

conjunto indicando

las

características de sus elementos.

Podemos referimos al conjunto de las vocales de esta otra forma:

1=

Esta otra forma

de

{x I x es una

referirnos

a un

vocal\

conjunto se denomina por

comprensión.

Esto último se hace necesario cuando un conjunto tiene muchos elementos.

30

Cap. 2


Eíernplp

Cortíunfu

t'

Si queremos referimos al conjunto de los números reales, es mejor hacerlo por comprensión, es

decir:

p = {xr x es un número rear\

Para decir que un elemento pertenece a símbolo

f.

Para decir que la vocal

I

4

un conjunto

empleamos el

tr,, pertenece al conjunto -¿4 , lo haremos así:

aeA t

I

2.3

CARDINALIDAI'

I I

I

i_ I i

Para denotar al número de elementos de un coqiunto simbologí" I

A,

se emplea la

Eíon4pl,c Para los dos ejepplos anteriores, tenemos:

N(A) = 5 N(.B) = oo i

donde el símbolo oo signiñca lnfinito.

I

De aquí surgen las siguientes definiciones: i

3l

r--

C-qítttrtut


2.4 RtPRtsENTA'cró¡u cn¡Ú'rca Otra manera de -rePresentar a los conjuntos es haciendo uso de círculos, rectángulos, etc. Esta es una forma gráfica muy útil llamada DIAGRAMA DE VENN.

Generalmente son círculos, aunque también cualquier otra figura geométrica.

2.6 IGUALDN)

Gráficamente, tenemos

2.5.I CONJUI§TOS

:

DISYUNTOS

Gráficamente tenemos:

L.

A=B

A

se Puede emPlear

Moisés Vlllena Muñoz

2.6

Cap. 2 Coafitntb?

SUBCONJUNTOS


hrede ocurrir lo contrario.


si

se cumple q.-," PROPIO de B. Y se escribe

m,

se dice que

A es suBCoNJuNTo

f.

Además se cumple que, para cualquier conju nto A:

MI Bien, ahora en el siguiente ejemplo se ilustra la técnica de búsqueda un conjunto dado. t33

de todos los subconjuntos de

Cort!íutttw

F*isésVittenaMuñoz

'

tíe*Lplü

A={1,*,V},entonces

Sea el conjunto elementos de

A,

serían:

s,=t) So =

{r,*}

s7 = {t,*,v}= Y

todos los conjuntos que se pueden formar con los

I

obviamente

s,

s, = {.} s, = {r, v}

con cada elemento

= {v}

S6 = {*,

v}

con dos elementos con tres elementos (ya es el conlunto ,4 )

Sa = O

Note que: N(A) = 3 , y que el núrnero total de subconjuntos es 8 = 23'. Entonces la regla Para el número total de subconjuntos de un conjunto A, seria:

2.6.L

CONJUNTO POTENCIA

Para el caso anterior tenemos que:

P(A) =ftt), {*},{v},{1,x}, {1,V},{*,V},

l,(D}

leA Observe que es correcto decir

que:

{t} c- e

[]e r(,1) El Nútupno

DE ELEMENTos DEL coNJUNTo PoTENCIA de

un conjunto I está

dado por:

Eeulpb2 Sea

elconjunto B

SOLUCÉN:

-s, 34

Hallar P(B)

Los subconiuntos del conjunto

= Portanto

=[, {e,o}}'

{,}

P(B)={{r} {{e,o}}, r, o}

-B

.

serían:

s, = {{e'o}}

S: =.B

S¿

=o


Cqp. 2 Co{íunÉo

1.

§= entonces el CONJUNTO p(s) = (¡I {r}, {O},s, {r,+}, {:,+},Jr,r},4} c) P(s) 7 (l),s,{r,+}{rp,4},0} e) P(^S) = (s}{l,+}} Seaelconjunto

a)

Sea el conjunto

B = {o,{á}},

a)acB

POTENCIA

de

§

, es:

b) P(.s) = d)

({:},s,(r,+}4}

P(s) = {{l}s,{r,+}{6}}

entonces es VERDAD que:

{a}cr c¡{a}ea ol¡r(r(¡))=z Dadostosconjuntos ,l={a,{tl,cl y B=Í,Z|. b)

"¡2x(r(a))=4

Determine ¿cuál de las siguientes proposiciones es FALSA?

2.7

¡r(r(r(a))=ro

a) r(r(,r))r(r(r))=o

b)

d)

e) ¡r(r(,a))

{{a}}=r(,e)

cl

(,))cp(,r)

¡r(r(a)) = :2

OPERACIONES

Los conjuntos pueden ser operados, dando a lugar nuevos conjuntos.

2.7.I INTERSECCIÓN


Para tres conjuntos sería:

35

Coatjtttttw


Para otros casós tenemos:

@

@ AaB -

Ar-tB

B

AaB-Q

-A

2.7.2 UNIÓN

renjuntos.

con

B

La uNróNde A

, d,enotodo Por Av B , 2s el coniunto

constituido por elementos gue ?¿?tenecen ol conjunto A ool coniunto B ooambos.Es d¿cir:

AvB={xlxeAvxeB\ Gráficamente tenemos:

La unión de tres conjuntos sería:

Aw BvC ={x I x e Av x e Bvx e C}

Observe que: N(Av 81 = ¡¡1,4¡+iv(8) - N(l Y que

Cq. 2 Cof,jtmfot


Para otros casos tenemos:

AwB-A

AwB-B

2.7.3 DIFERENCIA

y B dos conjuntos. La DIF€PENCIA con B , denotodo por A- B , es el

Seon A

de A

conjunto constítuído

por

pe?tenecen ol .conjunto conjunto B. Es decir:

A y no ?e?lenecen ol

elementos

gue

A-B-{, lxeAnxÉB\ Conjunto formado por los elementos

sólo del conjunto

La DIF€PENCIA de

- A,

es el

L

B con A, denotodo por

conjunto constituido por elementos gue pertenecen ol conjunto B y no pertenecen ol conjunto ¿ . Es decir: B

B-A-{, lxeB¡xÉA}

Conjunto formado por los elementos sólo del conjunto B.

.tt

Coat!ítl,nfrot


2.7.4 DIFERENCIA SIMÉTRICA

É,íe*Lpla Sean los conjuntos

A=

{,*', 8,V,C)} y B = {a,?,@,Y},

entonces

[, *, 8,V,O, o, ?] 7¡6 = {e,v} Aw B =

- B = {t, *, O} el conjunto I menos los elementos del conjunto I B - A = {a,?\ elconiunto B menos los elementos del coniunto ,4 ' AM ={1,*,O,a,?} A

2.8 ALGEBRA

'

DE CONJUNTOS

Las operaciones entre conjuntos cumplen las siguientes propiedades:

AwB=BvA

ldentidad

AaB = B r¡A .na(nnC)= (ton)ac AnA= A

Absorción

Aa@ =@

Conmutatividad

,ew(nuc)= (twn)wc AwA=A AwQ=A

Asociatividad

Zu@ác)=(.quB)n (ewc) ,e n(au C) = (,t a a)v (d a c)

A-(B^c)= (,a-n)v(d-c) A-(B u c): (e- n)a(,q- c) tw(a - A)= Av B A-(A^ B)= A- B

38


Cep. 2 Coat!íLuto"

[email protected] Demuestre formalmente las propiedades anteriores.

Suqerencia:

Por ejemplo para demostrar la propiedad distributiva

lu @ n C) = (tv a)a(,tw c)

Debemos probar que:

* .flv (a r.c)]

=

,.

(,e u

a)n (ev c)l

Para lo cual, aplicando las definicione_s dadas para las operaciones de conjuntos, tenemos:

*

.l,t

w(a n C)]= (x e ,t)v x e (a n c)

=(xeA)v(xeBnreC) Ahora, aplicando las leyes distributivas del álgebra de proposiciones, tenemos:

(x e

A)v(r

e

Bnr e C):

(x e

Avx

e

B)n (x e Av x e C)

Finalmente; por las definiciones resulta:

(x e Av

r e B)n (x e Avx

e C)

=(x e (eua))n (* =(,ewc)) =

2.9

*.1(¿uB)n (tvc)]

CONJUNTO REFERENCIAL

En muchas ocasiones un conjunto A estará referido a otro conjunto

que 10 contiene, llamado CONJUNTO REFERENCIAL.

Ahora surge la siguiente definición:

2.9.I

CONJUNTO COMPLEMENTO

Seo A un

conjunto.

COIPLE*&&NTO de define como: Ac --Re-,á

Es decir, conjunto

I

AC

A,

El

conjunto derwtqdo cssw,Ac ,

está constituido por los elementos que le faltan al

para llegar a ser el referencial.

Además se cumple que:

39

Coil,ju,vtto,


Y se pueden verificar las LEYES DE DEMORGAN:

evBf (ennf

=Ac

t\

-- Ac

v Bc

No olvide demostrarlas formalmente.

eí@b1 Determine los conjuntos A,B ,Y C , conociendo que el conjunto referencia! es pe = [,2,3,4,5,6,7,8,9,10] y

Ar¡B

={t,z,l,+\ 1-g ={t,z,t)

(ew a w c)c = SOLUCÉN:

ls,a\ u(t)=r(r)=

(n-c)-,a

= {s,s}

6

Represenlando la infonnación en un diagrama de Venn generalizado, resultai

e = \t,z,t,a,t,tol

Entonces: a -- {t,z,t,t,z,o\ c = {:,+,ro}

La región sombreada de la figura mostrada corresponde a:

a) b) c) d) e)

(,eon)- n (a

- ,q)'

(,ec

(,ec

ucc)n@ae) ..cc)na

(.s-c)'n(n-c)c

SOLUGIÓN: Un método podría ser asignarle un número a cada región del gráfico dado, lo cual nos quedaría: (NOTA:

no

importa el orden de asignación)

Re

l4

lrr\ l

,

I

.4 ,0

{/,\

C

&,1)

Entonces, los conjuntos se definirían de la siguiente manera:

p. = {t,2,:,+,s,6,7,8,9,1

t

r

= \t,z,z,+,s,e,t,t\ = l+,s,e,o,rol'

c

= \2,s,i,11,12,13\

\-8-¿

Realizando la operación de conjunto para cada opción dada, enconhamos a

(ra

r.l

aa )^ 1, n

,l)

o,t 1,t2,13,14\

se outiene

{4,6}

la

"C

" como respuesta, es decir al hacer

que corresponde a los números dados a las regiones sombreadas.


Ca.p. 2

b,c,d,e,f ,g| y ¿={a,b,c,d}, B =1",f ,g,b}, Enionces et conjunto

a)

Re

sea Re

b)

O

ko

- ,)' .,

c)

\s,f

a)A

,"\

un conjunto referencial,

f(en(aw e))lnlc, b)

B

(,n

Coniümbt

¿:Gj,e-it

t , r" , ..' )f O

AyB

{r}

el la,b,g}

subconjuntos de Re ;entonces elconjunto:

es isuata:

c)Ac

d)

Re

Sea Re = $,2,3,4,5,6) y bs conjuntos

t-a=lz'l\

e)

AyB

AwBc

O

no vacíos, tales que:

={z,,t,s\;

¿c

_14,s1,a}

Entonces es VERDAD que:

a) tt(no¡ 4.

t)=z

b) ,au(znr)=5 c) e) ,rr(a)= r

N(r(e))=z

x(auec)=n

considere el conjunto Re = ú,2,3,4,5,6,7,g,9,10,11,12]i vacíos, tates qr.,

(,lt nsc)*c

=

C

I

,

a¡ $,2,3,4,s| e¡ {4,5,8,9,7}

ByC

c¡ {t,z,to,t t}

subconjuntos no vacíos de un conjunto referencial Re , tales que:

pg = {1,2,3,4,s,6,7,g,9,10,11,12]¡ A= {25,4,5,6,10,11,12]1 B

c

no

es:

a¡ {t,6,7,t o,l t} d¡ {4,5,6,7,8,9\ Sean

A,By C

Qv n)-c ={25,4,5,8,91 (r u c)- z = {z,t,e,to,r r}

ltz]-

(,lwc)- a = [,2,3,r0,1l] Entonces el conjunto

ylosconjuntos

B-(luc)

-(,qua)=4

Entonces el conjunto A

*

(,1

n

a¡ {t,z,s,e} d) [,5,6,7,g,9]

o)

nC

= {3,7,g,9}

= {l}

es:

u¡ {t,s,o}

c¡ {1,3,5,6,7,8,9}

.t {r}

Dados los conjuntos: '

Re=$,2,3,4,s,6,7,9,9,10]t

(ewawc)c

={ro}

l-.B =í,6\, A-c =AJ,6|, (g-c)- 1=\+,s1, c -(.tw n)=0,a,gl


a)c-A={z,s,s}

B=$,4,5,6,9} dl C-B={t,z,s} e¡ (ruc)c ={2,:} b)

eAnB..,c={1,9} :

una expresión que representa.a la región sombreada del diagrama de Venn adjunto es:

a) l(taa)9 r:(twalu[c-(,lna)] f b) (,tw owc)*[(eaa)w(c-(,eur[

c) d) e)

[Qne)' n(.tw owc¡]-[c.,(,<.rr) lQ, n)' n(au gf n(tw nwc) l(,e

- r)w (a - e)lwfc - (t r: a))

4l

Cotriuxttor,


Si

A ,, B y

C

son conjuntos no vacios representados

entonies la reqión sombreada conesponde a:

a) [.n'' .,(á,,clj'[r' -1r.,c$ b) (n n.a' ).,(c.,2'' ).r[,r -(r.,c)] c) (an,l)u,(cn 4-Ú.'(a.'rc)cl d) l(¿.,c)., ^l¿'lula-(a.rc)l e) (a' ^.<).,{.,r,,.(r.,cc)]-(.',.r' } vacios A , B

Dados los conjuntos no

Y

C

, entonces la región sombreada del gráfico adiunto

corresponde a:

a) (e- n)n(c ao) b) (,noa.,C)' c) (c-,a)nr]w(,n-t) d) (c' n t)- n e) kr-.)t n(r-c!.r(a,".c) 10

Dadoslosconjuntos

A, B Y C , NO VACíOS, ENTONCES IA EXPRESIÓN

CORRESPONDIENTE

A

la parte sombreada es:

a) k, * r)' -.cl- a b) bt .,(, u r)lu (,1 n r) c) (z-c¡r(rc -c) d) ea(t-cf e) {tw rwc\-c 11. Dados los conjuntos no vacíos A , B

yC,

entonces la regiÓn sombreada del gráfico adjunto

corresponde a:

a) (,i- a).r(r-,a)lwl(e- a)u(r- 4-c) b) (,4 nr)-c]vft,a -r)u(r-,a)]nc] c) [,] ., a)., cc ]' [, . a)c ,. cl d) [(rt..rat).c1.,[,rur)nc( e) [[(z -¡).,(a- ¡)]:cl'[c-(,n n a)] J

12.

Sean los conjuntos

A,B y C

no vacios, como se muestra en la figura; entonces la región

sombreada está rePresentada Por:

a) (ewnwc)n(t-.n)c b) (r-.r)nclt.,(r-c)

c) (rnc)-;lu U'.rY d) (ac an.,c)'r(,l.,rc) e) (r-c)u,l]-(rt.,rt) '13. Dados los conjuntos

A , B y C , no

vacios, entonces la regiÓn sombre4da del gráfico adjunto

corresoonde a:

a) (z ^ r)-c]u[c-(ru.l)] b) [,l.rrf,.cJu(,lnr) c) lln n unc)c nclu l@ r. e)- cl d) [,],'',rf .'c].r(,4 nr)-c] e) (rnc)v(,1 nc)u(,anr)f 42

t

Cep. 2 Cafli.,tr1toy


2.TO PROBLEMAS DE CARDINALIDAD Hay situaciones problémicas que para su solución se requiere plantear conjuntos. Analicemos los siguientes ejemplos:

fíenlplpl De

los 180 profesores de una universidad, 135 tienen título de Doctor, 145 tienen título

de lnvestigador; de los doctores I

l4

' a) 3l profesoresnosondoctores. b)

son investigadores. Entonces es VERDAD que:

167 son investigadores o doctores.

c) 22 doctores no son investigadores. d) 14 profesores no son investigadores ni doctores, e) 2l profesores no son investigadores.

I

SOLUCIÓN: Primero se hace la interpretación de la información en un diagrama de Venn: El referencial estaría compuesto por un total de 180 profesores de la universidad. Como se dice que hay I I 4 que son lnvestigadores y Doctores, y que en total son I 35 Doctores; entonces haciendo una diferencia

(135

-1 14)

se obtiene que hay

2l

profesores que son sólo Doctores (Doctores pero no lnvestigadores).

lgualmente, Como se dice que hay en 3I

total 145 lnvestigadores, entonces (145-114)

hay

que son sólo lnvestigadores (lnvestigadores pero no doctores). Se observa que en total

quiere decir que

(l 80

hay (21 + I 14 +

3l)

166 que son doctores o invesligadores.

Lo cual

- 66) I 4 no son ni doctores ni investigadores. 1

Pruñs¡rcs íc la U¡dvrrridai: 180

Analizando

cada

proposición dada nos damos cuenta que la única verdadera es la

"d

Eierntpl,c2 En un curso preuniversitario, ocurrió que, de I600 estudiantes:

o o o o o o o

801 aprobaron Matemát¡ca

900 aprobaron Economía

752 aprobaron Contabil¡dad 435 aprobaron Matemática y Economía 398 aprobaron Matemática y Contabilidad 412 aprobaron Economía y Contabilidad; y, 310 aprobaron Matemática , Economía y Contabilidad Determinar cuántos de esios 1600 estudiantes aprobaron:

a) b) c)

d)Al menos una materia

Sólo una materia

2

Exactamente

materias

e) Cuando mucho

2

materias.

Ninguna materia

SOLUCIÓN: Como se dice que hay Contabilidad, entonces

310 estudiantes que aprobaron las tres materias y que 4l 2 aprobaron Economía y (412 -310) I 02 aprobaron s&o Economía y Contabilidad; También se dice 398

aprobaron Matemática

y

Contabilidad entonces (398

Contabilidad. Y, también se dice

435

- 3 10) 88

aprobaron Matemática

aprobaron sóto Matemática y

y Economía entonces

(435-310)

125

aprobaron sólo Matemática y Economía. Como se dice que

752

agrobaron Contabilidad entonces

(752-88-310-102) 252

aprobaron sólo

Contabilidad.

43

Co{iutrto


Como se dice que 900 aprobaron Economia entonces

(900-125-310-102) 363

aprobaron sÓlo

Economía.

Como se dice

que 801 aprobaron Matemáticas entonces

(801-88-310-125) 278 aprobaron

sólo

Matemáticas. El diagrama de Venn correspondiente, sería:

la

Entonces,

respuesta

seria:

a) 893, b) 315, c) d)

eie*tpto

1sl8

82

d) 1208

E

Úna fábrica produce 100 artículos por hora de los cuales pasan el control de calidad 60 . El

resto de artículos tuvieron fallas del tipo

I

,

tipo B y tipo C, y

Se repartieron del modo

siguiente: 8 artículos con fallas del t¡po A y lipo B l2 artículos con sólo falla de tipo 3 artículos con fallas de los 3 tipos 5 artfculos con fallas de tiPo A Y C

o o o o r ¡

I

2 artlculos con sólo falla

de

tipo C y tipo B

El número de artículos que tuvieron una sola falla de tipo

C

o de tipo

B

fue el

mismo. Determine:

a) b)

¿Cuántos artículos tuvieron fallas de tipo B, ? ¿Cuántos artículos tuvieron sólo una falla?

SOLUCIÓN: El diagrama de Venn conespondiente sería fiustifíquelo):

Vemos que

-r+x+12+5+3 +2+2=40

r

resolviendo se obtiene QUe = 8 lo que nos permite responder a lo solicitado:

a)18y

b)28


Se realiza una encuesta a 660 estudiantes del Preuniversitario y se obtiene que 350 estudian tr,tatám¿rlcac

450 estudian Química,350 estudian Física, 150 estudian las 3 materias,200 estudian Matemáticas y Química, 250 estudian Fisica y Química, 210 estudian Física o Matemálicas pero no euímica.

Determinar:

a) b) c) d) e)

¿Cuántos estudian SóLo MATEMÁT|CAS? ¿Cuántos estudian POR L0 MENOS una materia? ¿Cuántos estudian CUANDO lr4AS dos materias? ¿Cuántos estudian SOLO una materia? ¿Cuántos estudian SOLO dos materias?

Un curso de 40 alumnos que fenen que aprobar Ed. Física, y para ello todos deben escoger entre tres deportes: fúhol, básquet y volley, 6 alumnos prefieren sólo volley, 4 alumnos eligen volley y básquet. Et número.de alumnos que eligen sólo básquet es la mitad de lo que eligen ñrtbol y es el AbUie de los que :lqq{ytll y folley. No hay ningún alumno que elija fútbol y básquet. Entonces el número de alumnos que ELIGEN.voLLEY, el número de alumnos que ELIGEN FúTBOL y el número de alumnos que ELGÉN SÓLO BASQUET ES, respeclivamente:

a)15,20y10 b)10,20y1s

c)'10,

i0y10

d)15,

15y15

e)20, 10y15

En una entrevista a 40 estudiantes del Preuniversitario acerca de ¿qué deporte les gusta practicar?, se obtiene_que: 12 gustan iugar básquet, 14 volley y 16 fritbol. No hay estudiantes que piactiquen básquet y

1..|l:y.,_1.qtrylq básquel y tutbol, 20 practican volley o fritbol pero no básquet. entonces ei núfUenb ESTUDIANTES QUE N0 PMCTICAN DEPORTE ALGUNO es:

a) 4.

I

c)1

b)0

d)

3

OÉ

e)s

En una encuesta a 500 esludiantes se tiene que: 220 estudian Algebra, 180 estudian Lógica, 300 esludian Cálculo, 150 estudian Lógica y Cálculo, 120 estudian Algebra y Cábub,50 estudian lasires mateias, 120 estudian Algebra o Lógica pero no cálculo. Entonces Los b) c)

a)24

100

60

euE EsruDlAN soLo LóGEA soN: d)

30

e) 150

En una encuesta realizada a 100 damnificados por los efectos del fenómeno de "El Niño", se encuenlra que

30 de ellos han perdido sus üviendas y sus rebaños, 35 sus viviendas y sus cultivos, mientras que 25 perdieron sus cultivos.pero no sus rebaños, 40 perdieron sus cultivos y iebaños y 'f5 sólo sus cultivos. ENTONCES EL NUMERO DE DAMNIFICADOS QUE PERDIERON O SÓLO SUS VIVíENDAS O SÓLO SUS REBAÑOS ES IGUAL A: b)

a)

60

15 c)25

d)

30

e) 10

Una agencia de Autos vendió durante un añ0 1 80 unidades con las siguientes características: - 57 tenían transmisión automática - 77 lenian aire acondicionado - 45 tenían transmisión automálica y aire acondicionado - 10 tenían transmisión automática pero no tenían ni aire acondicionado ni radio estéreo

- 28 tenian transmisión automática y aire acondicionado, pero no tenian radio estéreo - 90 tenían ninguna de las tres caracteristicas mencionadas - l9 tenían aire acondicionado y radio estéreo ' ENTONCES EL NÚMERO OÉ UUIOROES QUE TENIAN MDIO ESTÉREO ES: b) c) d) e\21

al22

7.

1

91

30

Un campamento de 100 estudiantes tiene 3 tipos de actividades, pescar, nadar y escalar. estudiantes prefieren pescar, veinticinco (25) prefieren pescar y nadar, dieciocho

Setenta

(70)

(18) prefieren nadar ó escalar pero no pescar y diez (10) se dedican a las kes actividades durante su estancia en el campamento. De todos ellos doce {12) se enfermaron al llegar al campamento y no pueden hactr ninguna actividad, enlonces, EL NÚMERO DE ESTUDIANTES QUE SE DEDIoÁN A PESCÁR Y NADAR, PERONOAESCALARSON: a)15 b) 10 c) 20 c) 30 d) 25 En una encueslta a 100 aficionados del fútbol, sobre qué equipo juega mejor en la Copa Libertadores de América, se obfuvieron los siguientes resullados; - 50 opinan que es el Nacional - 50 opinan que es el Emelec - 40 opinan que es el Palmeiras - 20 opinan que es Nacional y Emelec - 10 opinan que es Emelec y Palmeiras - 30 opinan que es Nacional y Palmeiras - '10 opinan que ninguno juega bien ¿CUANTOS A FAVOR SOLAMENTE DE EMELEC? b) 30 c)

l0

a) 0

d)

20

e) 25

En una encuesta a 100 inversionistas se observa lo siguiente: - 5 sólo poseen acciones - 15 poseen solamente valores - 70 son propietario de bonos - '13 poseen acciones y valores - 23 tienen valores y bonos

- 1 0 son propietarios de acciones y bonos

45

Cúitmtoy

Ithisés Villena Muñoz

.' - Cada uno de los 100 invierte por lo menos en algo. ENIONCES, EL NÚMERO DE INVERSIONISTAS QUE SÓLO TIENEN BONOS ES IGUAL

40

a)

10.

:

d) 30

c) 67

b) 45

el

27

Entre un grupo de personas conversan sobre tres peliculas (A, B y Q y determinan que 4 personas no han visto alguna de las tres peliculas, la mitad del número de personas que han visto solo la pelicula Bes igual al número de personas que han visto la película C el número de personas que han visto las películas Ay Bes igual a la tercera parte del número de personas que han visto sólo la pelicula @ 7 personas han visto la película A y 5 perconas han visto sólo la película ,4. Las personas que ven la película Cno han visto las otras peliculas. Determine: El número de personas El número de personas El número de personas El número de personas

a) b) c) d)

que que que que

han visto las películas.4 y 8. han visto Ia pelicula ,4 o la película ven sÓlo una pelicula.

B

no ven la película B.

11. Pararealizar una encuesta se reparte el mismo número de productos A, By Centre 1270 consumidores; los resultados de dicha encuesta revelan lo siguiente: 200 personas consumen (Ay 0 o (Ay Q o (By Q,370 persona$ consumen sólo C el número de persionas que @nsumen sólo A es igual al de personas que consumen solo & 30 personas consumen los tres productos. Entonces el número de personas que consumen sólo el producto c) b) 370

a)

700

530

l,

es:

d) 180

e) 350

12. Se hace una encuesta a un grupo de personas sobre los lugares de compra de iuguetes para Navidad,

personas anojando los siguientes resu[ádos: 14 personas compraron en Mi JugueterÍa y en Juguetón; 1'l personas en los tres compraron 5 en Juguetelandia, personas sólo compraron 9 Juguetón, *rprrrn sób én de lugaies; el número dá personas que compraron solo en Juguetelandia y JuguetÓn es igual al número personas que compraron solo en Mi Juguetería y Juguetelandia. Se supo además que en Juguetón

'3 personas más de las que compraron en Juguetelandia y 3 personas más de las que compraron bornpraron Jugu.teria. Entonces et NÚMERO DEPERSONASQUE COMPRARoN EN CUALQUIERA DE ESToS en TRES LUGARE§, ES: e) 15 d) c) b) 58 a)

,i

28

13

93

PACTFICTEL a un grupo de 26 abonados que han realizado al menos una llamada, sea ésta, local, nacional o intemacional, se gbtuvo la siguiente información: 23 abonados han realizado llamadas nacionales o intemacionales' 5 abonados han hecho llamadas locales y nacionales. 12 abonados han hecho llamadas intemacionales pero no locales.

13. En una encuesta realizadañr

r . o ¡

ENTONCES

El número de personas que han hecho sólo llamadas nacionales es igual al doble de personas que han hecho llamadas intemacionales y locales pero no nacionales.

EL NÚMERO DE ABONADOS QUE HAN HECHO LLAMADAS LOCALES ES: e) 14 dt2 c)o

a)10 b)4 ,14.

Los estudiantes que están en el Preuniversitario de Auditoría se encuentran registrados en los paralelos hay4lestudiantesyenel paralelo hay35estudiante§,enel paralelo y C.Enel paralelo

B I A,B paralelos, 13 estudiantes asisten a los C hay 49 estudiantes. De estos estudiantes, 5 asisten a los tres paralelos A y C,y11 estudiantesasistena los paralelos B y C. Entonces, el NÚMERo DE ESTUDTANTES que asisten sÓt-oal paralelo C es:

a)B

b)36

d) 38

c)30

e) 49

'1200 estudiantes de la Universidad se determinó que hay 400 estudiantes que hablan inglés,600quehablanfrancés,500quehablanalemán. Deellosl20hablaninglésyfrancés, 130hablan fránces y alemán, 50 hablan inglés, francés y alemán, 180 sólo hablan inglés y 750 hablan inglés o alemán,

15. De un coniunto de

poTtantó EL NÚMERO DE ESTÚDHNTES QÚE HABLAN INGLES Y ALEMAN PERO NO FRANCÉS ES: e)270 d) b)

álloo

Dados los conjuntos no vacíos conesponde a:

a) (ean)n(cv ») b) (,ew s\w(c w »)c

c) (Avc)c n(our) d) (,awc)w(nw »)c e) (ew r)c w(cw »)c

46

180

c)'l5o

so

A,B,C

Y

entonces

la

REGÉN SoMBREADA

del gráfico adlunto

Cep. 2 Coytíunto,


2,

Considereel conjunto

te

= {t,2,:,...,15} ybscon,juntos

{n-r'}={:,2,r (a

- ,s)=

{enr)-c cox¡uNto

r}

{o,s}

=

es:

b) {1,2,3,4,s}

a¡ {s,o,z,s,s}

3.

B

novacios,talesque:

{s,o,s,s}

lc n(n-z)l= A¡BaC = Entonces el

A,B y C

c¡

d)

{t,s,l,t:,ts}

{6,8}

e¡ {s,o,a,e,t t}

En una encuesta realizada a 2580 personas en el Malecon 2000, se obtuvo lo siguiente: A 250 personas les gusta pasear y comer o pasear y conversar o comer y conversar.

.

o A 480 personas les gusta solo conversar. o El número de personas que les gusta sólo pasear

es igual al número de personas que les gusta sólo comer. A 30 personas les gusta hacer las tres actividades. Todas las personas entrevistadas tienen por lo menos uno de los gustos mencionados. Entonces, el NúMERo DE pERSoMs que les gusta sólo pasear es:

. .

a) 4.

910

b) 530

Sea elconjunto

a) d)

c) 700

e = A,{2,¡}, {:}}

{2.,s} e .n

180

e1925

Entonces es FALSo que:

u¡ {2,

{{2,{:}}} É Pe@))

d)

{:}}e r1,e¡ P@) "t A,{z,t}}e

c¡ {{2.,2\l

e

,<

Se realiza una encuesta a 300 estudiantes del Preuniversitario y se obtiene la siguiente información: 110 estudian fr/latemáticas.

o o ¡ o o o .

110 estudian Contabilidad. 115 estudian Economia. 40 estudian Maternáticas y Economia. 25 estudian las tres materias. 60 estudian Contabilidad y Economia.

90 estudian Matemáticas o Contabilldad, pero no Economia. Entonces, el número de esludiantes que estudian SÓLO tuIATEMATICAS, es: 20 b)40 c)15 d) 25

a)

Sean a) b)

c)

I B y C conjuntos no vacíos, entonces es VERDAD que: A=B>Ac.cBc (.t- r c)* {c s.s) ^B s

(ec uncf =AwB n S= @)* A ¡ B no son conjuntos disyuntos

d)

(,<

e)

.t-(rwc)=(e- n)o(a-c)

Se hlzo una entrevista

a 885

estudiantes del Preuniversitario

información respecto a las materias que más les A 600 les gusta Matemáticas. A 400 les gusta Física. A 620 les gusta Química. A 195 les gusta Matemáticas y Flsica. A 190 les gusta Fisica y Química. A 400 les gusta Matemáticas y Química.

gustan.

.

de lngenieria y se obtuvo la

> > > > > > i A todos los enkevistados les gustaba al menos una de las materias mencionadas. Entonces el número de estudiantes que les gustan LAS TRES lr4ATERlAS, es: a)5 b) 25 c) 35 d) 50 e) 0 Sea el conjunto

S = {t,2, {:}}

a) b)

ru(r1s¡)=s

d) e)

f )e r1s)

c)

{:}e

rlst

{{¡}}.s {t,2,{:}}e P(s)

. Una de las siguientes proposiciones es FALSA, identifiqueta.

siguiente

!

@iuntut

llhisés Vilbna Muñoz

sean

1,8 y C

conluntos

no vacíos, efltonce§ tma de

b JsirÉ§ proposiiones

es

FALSA,

identiflquela.

a) z{n$ = 6 b) VunY =Ac ¡Bc c) .t-(rw c\=(e - n)a(e- c) d) (n"Y -"=W-A'Y

e) lh'Y.rr'l' aA*g ,L\' )

la En una feria de autos, hubo 't02 pepnas interesadas en comprar aÍo§, adenrás en dir:ha feria se obtuvo siguiente información: 30 personas compraron aubs Volsungen y Chevrolet. 40 personas comPraron autos Volswagen y Hyundai. personas que no El número de peisonas que comprE¡ron los 3 canos es igual a la mitad del númem de

. . . . , . .

compraron ningún automÓü|. petsonas B nümero de personas que compraron sólo Hyundai y Chevrolet es la mitad del númerc de las que compraron solo Chevrolet' 50 personas @mpraron autos Hyundai. 48 personas compftlron Chevrolet o Volswagen pem no Hyundai' 5 personas @mpraron Hyundai y Chevrolet.

Enbnós ei

a) 27

HútuERoDE PERSoMS QUE coMPRARoN sÓt-o uH¡ ct

c)e8

b) 28

¡se

6:

(AnBnc¡

-

¡uro fue: e)58

dX4

1,1. Dados los conjuntos no vacíos A, B , C y el ooniunto referencial

(Aw B)-

oe

¡¡s = [,2,3,4,5,6] tabs

que:

{:,+,5}

= {z}

ft;-r¡u(r-l)]nc Entonceselconjunto

C

= {t,o}

es:

a) g=$,4,5,6,\

b)

4 g={r,o} 0c=0

c=Re

e¡c = {t,z,O}

ol Entonces es vrnDAD que: c) iv(P(,s»=9 a) aeP(§) o) óeP(S)v{r}e§

12. Sea el conjunto

§ = {á, {o\,

o¡ {{a}c}e P(§)

e) {{c}}e

s

t3 La expresión que representa la regiÓn sombreada es:

a) (c - n)w(.t-c)u(r-,1) b) (nac\w(n-e)

c) W-4'nclu(,r-r) d) (r-z)nc]u(.t-¡) e) l(c ne)-rlc wt

14.

Sea Re

un conjunto referencial, tal que ps=t,2,3,4,5,6,7,8,9J0) ysean

coniuntos no vacíos, tales que:

- A_B = {t,+,to} - ¡ng ={+,s\ - cc nr = {r,2)


a) b)

g =Q;,5,6\

c)

g =$,2,4,5,10\

n={4,5,6,7,9\

d) {e- n)v(n -c)= {t,+,to,z,:} e) ac = $,6,1,9\

48

A,B y

(ear)-c =p\ Bc ¡Cc (z n

= {t,a,to}

r)u(r

n c)u (c n

;)=

P.,+,s,e\

c

tres


Ca,p. 3 Logí/ca,

y Cfitwtfut,

,§,,

w"

s:r 8.2,,r'§o¡f¿fumo DE tIBRDiri

,'3.3 meprgn*bcomprrEsros 8.4 CuexrmlcArronps 3.5 Nreacróu 9.6 orne§ coustbÉnecrolps §: z" IrrpnpngTÁÉorEs x rnnniffirorrrps

3.8

,t

PirultrcADos DE Dos.vARrABLEs

,

.*,

,'á ..:.§ -

.'b'

* L)'

¡

#t-

. l r' ,,

'"&^c ,&,::::t

lA.

Ve

'§,,

49

Ctup. 3 Logi"cÁ, Y Coniuwrtot


='ffiiÉiwos: 5E

. . . . o . . .

3.1

PRETENDE QUE ELESTUD¡ANTE:

Defino predicodos de uno y mós voriobles poro el coniunto de verdad' Conozco lo notoción poru predicodo de unoy más variobles y lo notoción Obtengp conjuntos de verdod de predicodos comPuestos' conozca lo notoción de los cuontificodores universsl y existencio!. Aplique leyes kígiccs Poro negor predicodos' Comprendaeínterpretetroducciones de proposiciones con predicodos cuontificodos. empleando Infiero directamente una conclusión vói¡¿o poro un rozonomiento, dodcs las hipótesis, diogromos de.Venn o círculos de Euler' v¿nn. ,Iustifigue lo volid¿z de un rszonomiento empleondo diogramas de

PREDICADOS Seo Ré un coniunto refenenc¡al y sea p('r) uno ién que cont¡en¿ " ,l'. Entonces p(x) es un P§€DÍCADO si al reemplazor o'¡rf por un elemento cuolguiero de Re, se convi¿rtz en ición.

qiwlot p(x) : ".r es mayor a tres" osimplemente"x > 3" (unainecuaciÓn) Supongaque Re

3',

= [,2,3.4,5,6.7,8,9,10],

Pero, para el caso de que

'r =

ps = ¡.2,:,+.s,6,7,8,9,10), entonces

para

que es una PROPOS|CIÓN

pnoposlctót

entoncespara el caso deque

fRlSR..

5

= 2 tenemos p(2):" 2 es maYor a tenemos p(5) : " 5 es mayor a 3', una

r

t vERDADERA.

Y asi, podemos formar otras proposiciones.

"2x-l = 3" q(x): "2x-|= Suponga

que

(unaecuación)

- |= 3' que es una PROPoSICIÓN q(5),' 2(5) - 1 = 3 ", una PRoPoSlcloN FALSA.

q(2) : " 2(2)

el

caso de que x =

VERDADERA. Pero, para el caso de que

2

x=5

tenemos tenemos

trabajo interesante sería determinar sólo los elementos referencial que hacen de1 predicado una proposición verdadera.

Un

3.2

CONJUNTO DE VERDAD

reterenciol predicodo p(x) ' El CONI(INTO DE VERDAD denotodo

Ap(x)

constítuido Por los ¿lementos de 50

L

de1

Ctup. 3 LofrirÁ,


y Coniwntct,

sotísfocen o p(x). Es decir, por tos elerrlentos PPOPOSTCTON VEPDA D§§A

.

Ee/nnpln" Para los dos ejemplos anteriores, sus conjuntos de verdad serían:

1.

Ap(xl = {+,S,O,Z,t,l,tO}

(bs etementos det referencial que son mayores

a3

)

2. Aq($ = {21 (los elenentos del referencial que al multiplicarlos por 2 y Iuego restarles I da como resultado 3 )

3.3

PREDICADOS COMPUES?OS

Si conectamos predicados haciendo uso de operadores

obtenemos predicados más extensos.

lógicos

Ewto_ Suponga Qu€ Re = {t,z,l,t,:,e,1,s,o,ro} y que se tienen los predicados

p(x): " -r

es divisible para

do§' y

q(¡) : ".r es mayor a tre§'

Por consiguiente sus conjuntos de verdad son:

o} y

Ap(x) -- {2,+,o,s,t

Aq(.v) = {+,s,o,r,s,l,r o}

Ahora formemos los siguientes predicados:

1. -p(x) : ' x no es divisibte paia do§, entonces A-p{x) = {t,:,S,:,S} Note

que

A-p(x) = Ac p(x)

2. p(¡) ng(x):'x Noteque

3.

.

esdivisibteparadosymayoratre!,entonces

A:(pQ)"q(r))= Ap(x)o Aq(x)

A(¡\x)",1(r))=

{+,O,S,f O}

.

p(-r)v q(x): "x esdivisibteparadosomayoratres" a Ap(x)w Aq(x\.

entonces

A(pQ)vS(x)) = {2.,4,5,6,7,8,9,10}

que es igual

4.

p(x)-+q(x): "Si x es

divisible para dos, entonces

es

mayor

A(p(*) -+ q(x)) = A(-p(,x)v q(x)) = Ac p(x)w Aq(x) = [,:.+,s,6,Z,a,e,tO]

a

tre§,

entonces

.

líercrír,b reru.dtc Sea elconjunto referencial Re

p(x) :" x

q(xl

"

r

= !0,15,20,25,30,35,40,45,50)

es múltiplo de

y los predicados:

10'

es divisible para 3"

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es VERDADERA?

a) A{p(x) nqlx¡¡ = {+s} b) t¡(px) v q(-r)) = {r o,zo,:0,+s,so}

c) A[p(x) v -q(x)) =

{r O,r

s,Zo.zs,3oJs}

d) A(p(x) -+ qQe)) = {ts,zs,ro,:s,+s} 51

C@P.


e)

3 Logi,oa/ Y Coniumtot

Etiju ustu opción si todas las.proposiciones anteriores son falsas'

SOLUCIÓN: Los conjuntos de verdad de los predicados dados son:

,4p(x) = {r O.ZO.:0,+O,SO}

Y

Aql.x) =

{f

S,IO'+S} entonces

analizando cada oPción: a) FALSA, porque

l(p(.r) ¡ qtrll

b) FALSA, porque

l((p,

= {30}

v a1r¡ = {tO.t s,20,30,40,4s,s01

c) FALSA, porque .4[p(.r)

v -q(-t)) = Ap(x)v Ac q(x¡ = {to'ztt,zs,:o'35.40'50}

d) VERDADERA (RESPUESTA), Porque

A(p(x\-+q(¡)) = l(-p(-r)vr7(r))

3.4

*-

'tc plt)v

Aq{x)= {¡s,z:'io,rs'+s}

CUANTIFICADORES

Tenemos dos tipos de cuantificadores: el universal y

e1

existencial

3.4.1 CUANTITICADOR UNIVERSAL Este cuantificador se presenta cuando utilizamos el término ?ODOS, queriendo dar a entend er parq. todos U cada u'ito' El sÍMsoLo empleado para este cuantificador

estffi

3.4.2 CUANTTFICN)OR EXISTENCIAL

En cambio, este cuantificador se presenta cuando utilizamos el término ALGÚN, queriendo dar a entender que existe por lo menos uno. E1 sÍMsoLo

empleado para este cuantificador

..t ff

se observa que al cuantificar a un predicado, éste se convielte en proposlclon.

qíoqlü C.*'d."nd-R.

=11,2,3,4,5,6,7,8,9,10) yelpredicado

p(x)I "x esdivisiblepara2"podemos

decir:

Vxp(x): " TodOs

IOS

númerOs SOn divisibles para do§' , que

3xp(x): " Existe un número üvisible para doc"

52

e§ una proposición FALSA.

que es una proposición VERDADEM.

Cep. 3 Lrytr,a, y


Cqiu,*rtot

OBSERVACIONES: 1. Si se cumple que V.rp(x) = I significa que Ap(x) = Re 2. En cambio, si sólo se cumple que 1xp(x)=l significa que Ap(x)

*@

Ejerc,ír,í,cre*u,e,ltt Sea el conjunto Re


= {1,2,3,4,5\.

a) 3x(x+3=l) d) 3r(r+3<5)

b) Vx("r+3<5)

c)

vr(r

>

l)

vr(x:-+r+3=0)

e;

SOLUCIÓN: Analizando cada opción lenemos: a) Falsa d) Verdadera (RESPUESTA)

b) Falsa e) Falsa

c) Falsa

LíW*?rsvü&*tu3.1 1,

Sea el conjunto

p.

= {t.2,:,+,S} .

¿Cuál de las siguientes proposiciones

es VERDADEM?

a)

(!.re Re)(r+3=10)

c)

b)

(vxe*.)(r'-ar+3=o)

d) (Vx e Re)(x+3 < 7)

(vxeRe)(x+3<10)

e) Elija esta opción si ninguna proposición es verdadera.

2.

sea Re

:

{1,2,3,4,

,..} ,,o, predicados: p{x): x es un número impar q(x) : x es un número par

Entonces una de las siguientes proposiciones es FALSA, identifiquela:

4 A(p$) -+ q!))c Aq(x) b) Re = Ap(x)w

Aq(x)

cl Ap(x) =

Ac

q{x)

d) Aq(x) * Ap(.r) = $

el A(pg) -+ q(-r)).= A(. p(*)

3.

Dadoelconjuntoreferencial

pg = {2,:,S,Z,S;9,10} ylospredicados

p(x) : r q(x) : .r Entonces el conjunto

a¡

l[q(r)

-+

{2;,s,2,8,0}

d) {2,3,5,7,9}

4.

-¡r(x)] ul

es múltiplo de 2 y mayora 3 es múltiplo de 5 es:

O

c¡ {S,a,tO}

e¡ {z,s.to}

Dado el conjunto relerencial

ne =

f:,-2,- 1,1,fi\

y los predicados

p(x):¡(x+2)=0

q(x):x2 >0

Entonces, es VERDAD que:

-re A[p@)nqg)] ol ;hq(¡)l= {-:,-2,-r} a)

5.

Sea Re =

f ,2,3,4,...)

y los

b)

,<[p1x¡ v q1x¡]= g

e)

A[q@) -->q(.r)]=

4(-v) x

/,ftg)-+ q(x¡]= ss

O

predicados p(:r) : x es un número :

c1

impar

es un número par

Entonces una de las siguientes proposiciones es FALSA, identifiquela.

a),l(p(r)+ q{x));,tq(x) b) Aq(x)- Ap(x) = $ c¡ A{p(x)-+ q{x))= Ac p1x1

dl

Ap(x) = Ac q(x) = Ap(x)w Aq(x)

e) Re

53

Cep. 3 LogirÁ/ y Conjumtot

Itloisés Villena Muñoz

6.

Dado el conjunto referencial

p(x):

('r

ps = {2,3,17,1 l,l3,l7}

)" ='

y los predicados

4(x) : -r

es un número primo

Ap(x)

e) Re-

v

Alp{x) vq(x)] es: c) Re- lp(x) b)2

Entonces el conjunto

a)

3.5

Re

d)

lq(x)

NEGACIÓN De acuerdo a De Morgan:

1. No es verdad que todos los elementos del referencial satisfagan un predicado, es equivalente a que, existe por 1o menos un elemento del referencial que no satisface el predicado, lo cual simbólicamente sería:

2, No es verdad. que exista un elemento del referencial que satisfaga el predlcado, significa QUe, todos los elementos del referencial no satisfacen el predicado, es decir:

No olvide justificarla formalmente.

qiWto

,

La NEGACÓN de la proposiciÓn " Para todo número

a) Para algunos n, n+2 <8 b) Existe un rz tal que n + 2 < 8 c) Existe un r talqúe r +2>8

natural n, n+2 >

n cumPle con n+2 > I un n tal que r+2 > 8

e) Existe

sol,uclón:

:zl(r+

3.6

2>

8)] =

:,nln+2

es: -(Vr(z + Z >

S))

y aplicando lo anterior tenemos:

(RESPUESTAIa"b')

OTRAS CONSIDERACIONES

Ahora puntualicemos

suponga que

f

1o

siguiente:

entonces la expresión

del relerencial satisfacen un predicado dado, entonces necesariamente " d

'

saüsface el predicado)

También es vERDADERA la exPresión

(Si touos los elementos

eS VERDADERA'

p(a) -+ lxp(x)

que satisface el predicado) entonces se podrá decir que necesariamente existirá un elemento del referencial

54

:

d) Ningún

La traducción formal de la negación de la proposición

<8]

8 " , es

(Si

"a"

satisface el predicado,


C@p.

En cambio la expresión (RESPUESTA; S¡ "

4

3 Lógíra, y Cotrjtwúot

p(a) -+ Vxp(x) es FALSA ¿po{ qué?

" sat¡sface el predicado dado, esto no quiere decir que todos los elementos del referencial van a satisfacer el

predicado)

el valor de verdad para

Veamos

diferentes referenciales 1.

y lxp(x)

yxp(x)

considerando

:

Si ffiffi entonces Yxp(x) =l (oeuioo a que Ap(x)= 1p = Re) y lxp(x) : 0, por 1o tanto es VERDADERO. (¿ron AUÉ?). En cambio el recíproco yxp(x) -+Jxp(x) es FALSO. (¿eon auÉ?)

2. Si

;m

(rormauo por un sóto etemenro)

y además

p(a) =l , entonces aquí 1xp(x) -+ Vrp(r) es verdadera

I y axp@) = l, por lo tanto como también Yxp(x) +axp@) es verdadera. Entonces se Yxp(x) =

puede concluir que 3. Si I (formado por más de un elemento, que sería lo quá se presenta generarmente), aquí sólo tenemos como verdadera a ra expresión (¿ron QUE?)

Para predicados compuestos cuantificados puntualiz€¡.mos lo que a continuación se presenta.

-.

Observe que: Y también que:

Además las implicaciones siguientes son VERDADERAS:

En cambio sus recíprocos serían FALSOS. ¿por qué? Lo anterior lo aclararemos ahora.

Considere Re = ú,2,3,4,5,...) y bs predicados

p(x):' x es paf Y q@): " r

85

impaf

2.

I4p(x) = I 3r4(x) = I

V-rry(r) = 0 Entonces:

1.

Vxq(x) = 0 vx[p1x¡ v q(x)]=

I

fv[p(x) nq(x)]=

0

Por lo tanto:

55

Cep. 3 Lóg47a/ y Co*it*vttot


-+ Vx[p(r) Vxp(x)v Vxq(x) \-/J -vJ t)0 Y también

t q(r)] es VERDADERA,

_r1

l"tl7r(.r) n q(.r)l-+ !.rp(-r) n !.rq(x) L-v-

es VERDADERA'

!-vJ

+.-

ll

0

(¿Qué ocurre con sus recíProcos?)

9.7

INTERPRETACIONES Y TRADUCCIONES Ya se habrá notado que para que p(x) sea un predicado existen

muchas interpretaciones de referenciales; además el valor de verdad del predicado cuántificadô, depende del referencial. Un asunto interesante seria tener traducciones formales de ciertas proposiciones'

Sean p@) Y q{x) predicodos con ref erencid Entonces:

Re.

p es q se troduce como vx[P(x)+ q(x)] 2." Alguflos p son q" ,"troduce c.omo :r[p(,) ^ q(x)] 3."Ningún p es q" ,.troduce como vx[p(x)= -"'q(x)] 4."AlEtnos p no son q" ,.traduce como *[ptb *.,4')]

1. "Todo

¡r(.r) : rcomerábanos y q(t) : r esvegetariano,dondeel proposiciones: ¡1e = {Los scres h,nla¡os] . Traduzca al lengua.ie comÚn las siguientes c) 3'r"-[r¡( r) -'> 1(-r)] b) :-t[p('r),n sf .r)] a) V.r[p("r) -+'q(.r)]

1. seanlospredicados

d)

2.

Vu[p(x)v-q(.t)]

Dado el coniunto referencial

e)

Vxlq(x)v-p1t)]

p" = {t,2,;.+,5}

p(.r):r+1=2.r v

y

ros predicados:

q(x):.r+l=r+l

Una de las siguientes proposiciones es FALSA. identifíquela:

a) 3r7;(.t) -+ V,tr¡(,r) b) [ Vxp(x¡ v V.tr¡("t) ]-+ V.x[¡r(r) " {(r)] c¡ [ V.tp(.t) v V.tr¡(.t) ]-+ V.t[p(.r') v q(x)]

Determine¿cuáldelassiguientesproposicionesesVERDADERA

a) b) c¡ d) e)

56

lvx p1.r t = t]= -[,ap{*l = Rel vx [p(x) v q(x)]+ [vx p1x)]v [v, q(x)] 3:r[p(.x),..q(,t)]+ p-rp(r)]n[:rq(,1] 3x[¡;(.x) + q(.r)]-] [V.r-p(r)]v [v'.q(,)] 3x

-p(x)

= -[3,r 7r(-x)]

u lq("r) = Rs

d) '1-7;(-r)

e) 't¡r('r-)

c

Aqlx)

Cap. 3 Légír,a, y


4.

sea

Re

un conjunto referencial

y

p(x)

Cotitwtbt

un predicado, determine la proposicién 0ORRECTA:

{a} y p@)=l ; 3x p(x)= I n Vxp(x) = 0 u) sr Re = {0} y p(0) = 1 ; 3x p(x)= -[Vx p(x)] c) Si Re = g -[V, p(x)]= 1x -p(x) d) Si Re = $ 3xp(x) = 1' a)

Si

Re =

e) Elija esta opción si ninguna de las anteriores es conecta. Escriba formalmente la NEGACÓN de cada una de las siguientes proposiciones: Todos los malemáticos son vegetarianos Todas las mu.pres son inteligentes Ningún enteno par es divisible para 5 Algunos rectángulos son cuadrados Algunas personas no comen came

a) b)

c) d)

3.8

PREDICADOS DE DOS VARIABLES

líenpl,cl suponga que se tienen dos conjuntos referenciales dos variables puede ser la expresión p(x,y): " está relacionado con

x

En este caso " x" y

"

/ " "..constituyen

Re, y Re,. un predicado

de

y"

en variables libres

Siguiendo colL el ejemplo anterior, podemos afectar las variables empleando cuantificadores, en este caso tendremos variables llgadas que forman proposiciones como las siguientes:

1.

YxVylp@,»): "Todos los x están relacionados con todos los y Note que es equivalente a VyVx [p@,»7

"

2. lñyfp@,fi):

"Algún .r esta relacionado con algún y " Esta proposición también es equivalente a 3ylxlp@,»l

3.

VxJy[,_pQ,»7: "Todo (cada)

r está relacionado con atgún y,, 57

CdP. 3 Lógí.cÁ/ y


4. lyVxl-p@,»7, O también

"Algún

y

está relacionado con todos los

"Todos los

3v

Note que 19§ Debido o que (iPor quá?)

x

r

"

están relacionados con sÓlo un Y "

4 no son equivalentes.

es FAt.sA (iPor qué?)

"Algún x está relacionado con todos los y "Todos los se relacionan con sólo un f "

5. lxYylp@,»7: también Vylxlp@,»|:

o

6.

/

"Cada

/

se relaciona con algÚn

x"

Si ligamos una sola variable tenemos: 7.

Yxl¡t@,x)l: "Todos los x

8.

lxlp@,x)l:

"Existe

un

están relacionados con si mismo"

r relacionado con si mismo"

Eje*Alü2 sea el Referencial et conjunto de todas las personas y sea el predicado:

p(x, y): 4 x

es

padre de

!"

Veamos ahora:

I. YxYylp@,»7: Es una proposición

" Todas las personas son padres detodas las personas"

Fn-sl.

z. Irx:Jyl¡ti.;,y)]:

"nguienespadredealguna persona"

Es una proposición Veno¡oenn.

Y xly l,p@,

»1

" Todas las personas son padres de

alguien"

o también

" Toda persona es padre" Es una proposición FALSA

lyíxl,p@,»7

"Alguien tiene como padre a todos"

Es una proposición FALSA

s. lxyylp@,»|

" Existe una persona que es padre de todos" "fodas las personas tienen un mismo padre"


6. Yy3xl-p@,y\l: "Todas las personasüeneun

padre"

Es una proposición Veno¡oem

1. Yxlp@,x)l:

"Tooa Persona es padre de si mismo"


58

o también

Co*iunto*

Cq.


3 Lóg4É,a, y Conjuwtbt

8. lxfp(x,x) I : "Rlguien es padre de sr mismo" Es una proposición FALSA

Analicemos ahora el siguiente ejercicio resuelto

Ejeroír,tbreu,w,lta Sea p(x, y) |

x

"

es una letra ubicada en el abecedario antes que

Re, = {a,u,",rl y Re, lxYyp(x,y) =O YxYyp(x,y) =l

Considere

y

"

= {b,i,p,t,r\.EntoncesesVERDAD,que:

d) lxly[-p( r,y\f:l e) -(1x1yp(r,y)): I

a) b) c) Yylxp(x,y):0

SOLUCI0N: Primero hagamos un grafico en donde se observe el enlace de los elementos de

Re,

Re,

con los elementos de

que hacen del predicados proposiciones verdaderas.

a

v e

z Ahora, analicemos cada una de las proposiciones dadas:

a)

SxYyp(x,y)=l

FALSA,porque

b)

debidoaque"a"esunaletraqueestáubicadaenel abecedarioantesque

de Re, = lt ,i, p,t,rl (la " a 'se enlaza con todas)

todas las letras

YxYyp(x,y)=0

FALSA,porque

debidoaquenotodaslasletrasde Rer={a,v,e,z} seencuentranubicadas

en el abecedario antes todas las letras

c) d) e)

Yylxp(x,y)=l

FALSA,porque

VERDADERA debido a

PRIGUNTA:

de Rer, = \0, i, p, t, r\

debidoaqueparatodaslasletrasde

que 1x1yl.p@, y)]

\1x1yp(x, y)) = 0

FALSA, porque

¿CoTT,To

es eguivatente

debitlo qu e

Xer={b,i,p,t,z}

existela

"a'

a -(VrVyp(x, y;)= -(O)= f I y -(l)= 0

lxayp(x, y) =

SE DEFINIRÍAN PREDIcADoS DE TRES VARIABLES, DE CUATRos

VARIABLES,...?

1.

Dado el predicado de dos variables

Re, = Re, = $,2,3,...|,

a) b) 2.

Dado

i"

x

)

p{x,y) bl lxYy p(x,y) al Vy3x

x

es divisible para

y"

,

y

'

con los siguientes referenciales

TMOUZCA al lenguaje común las siguientes proposiciones:

c) Yxly

p(x,y)

p(x, y)

"

p(x,y) d) YxYy p(x,y)

3xYy p(x,y) 1x1y

p(x, y) :

Re, = {0,t,2} c) YyYx p(x,y)

donde

d)

3yYx

e) V;rp(x,x)

f) 3xp(r,x) y et

Re, = {-1,-3,1,0} . Entonces es FALSO que: e) Yx3y p(x,y)

p(x,y) 59

Cep. 3 L6g4ra, y Cottjt


3.

Sean los conjuntos

que lndlca

RgJ = \o,b,c,d\ y los predicados " x es el nítmero que ocu¡n ): en el abecedarlo" ' Entonces es VERDAD

Re, = {t,2,3}

el lugar

wfrw

,

que:

v*vylp1*,yl] { Vylr[p(x,y)] i¡

4.

:xvy[ptt,y)]

e)

3yvr[p(x,y)]

La NEGACIÓN bgica del siguiente

a)

}xly-lpg)

4 VyVx[-q(y)

3.9

ol

-+

-q0)] p(r)]

-+

c¡

Vxl¡[p(-t,y)]

ly:x[p(x) -+ -q@)] es: c) Vyvx-[p(x)"q0)] b) Vyvx [p(x) s[v)] " e) VyVx[-q(y).rp(r)]

enunciado:

RAZONAMIENTOS

Las proposiciones formadas por predicados cuantificados, suponiendo que seán verdaderas, pueden ser representadas gráficamente empleando diagramas de Venn. Por ejemPlo:

"Todo

p es q,,indica que Ap(*);Aq(x), Pof tanto algunas de sus

repre§entaciones Podrían ser:

áp(x) = á4(x)

p

son q" indica que Ap(x)aAq(x)+(D, por tanto algunas de sus representaciones podrían ser:

"Algunos

Ap(ú = Aq(x\

p es q" indica q.uLe Ap{x) n Aq(x) = (D o también Ap(x) g A' q(x) o 1o que es 1o mismo Aq(x)nAcp(x), pof tanto algunas de sus " Ifingún

representaciones podrian ser:

4p(x)

60

,{q(*}


"Algunos

Cep. 3 L6gírÁ, y

p no son q " indica que

Ap(x) a Aq, (x) algunas de sus representaciones podrían ser:

*

,

Cor{unbt

por tanto

Lo anterior nos facilita analízas razonaÍnientos. Recordemos que para que un ra?oÍ'Lamiento sea valido 1a conclusión debe ser lógilamlnte inferida de las premisas, es decir si tuviéramos premisas verdaderas la conclusión debe también ser verdadera para toda interpretación

.

Determine la validez del siguiente razonamiento:

P, : Todos los hombres son mortales.

P, : Danieles hombre. Por lo

tanto

C

:

Daniel es mortal.

SOLUCIÓN: Primero hagamos el diagrama de Venn conespondiente, asumiendo premisas verdaderas

Re

Observe que la conclusión de que Daniel

sea mortal se cumple por tanto el razonamiento es VÁLIDO

Considere las siguientes premisas de un razonamiento:

P, : Todos los números racionales son reales.

P, : Ningún número imaginario es real. P, : Algunos números complejos son reales. Entonces una conclusión para que el razonamiento sea válido es:

a) Ningún número racional es complejo b) Ningún número complejo es real c) Existen números complejos que son imaginarios d) Ningún número imaginario es racional e) Marque esta casilla si ninguna conclusión es lógicamente inferida de las premisas. SOLUCIóN: El diagrama de Venn para este caso sería:

6t

Cep. 3 Lóg:trÁ/ y Coruiuwtw

lvloisés Villena Muñoz

RÉ

Observe que puede haber más de una interpretación para los complejos.

In4inrrios ii

Analizando cada conclusión dada, deducimos que la 'd' es la única que valida al razonamiento, por que seria

i

verdadera siempre, cumpliendo para todas las consideraciones.

1. Seael

razonamiento

(u,

n n r)=+ c,donde

H¡

: lodoslosnúmerosenterossonracionales.

H 2 : Algunos números reales son enteros' C : Algunos números reales son racionales. Determine si es:

2.

a)vÁLlDo

b) N0 vALrDo

Considerando el siguiente razonam¡ento:

" lodos tos que ástudian Lógica estudian filatenáticas. estudian Lógica. Gitda estudia lngenieria Comercial" Entonces es VERDAD que: a) Gilda no estudia Matemáticas. b) Gilda estudia Matemáticas pero no Lógica. c) Gilda no estudia Lógica. Dadas las siguientes

premisas: P1 : P2 :

fodos

los que estudian

lngmiwfa Comercial

d) Gilda estudia lvlatemáticas. e) Gilda o estudia Matemáticas o estudia Lógica.

Todos los contribuyentes son honestos. Todos los honestos son especiales.

Entonces una CONCLUSIÓN LÓGOAMENTE INFERIDA de las premisas es: c) Todos los contribuyentes son especiales Algunos contribuyentes no son Todas las persónas especiales son conhibuyentes. d) NingÚn contribuyente e§ especial e) Efijá esta opción si ninguna de las conclusiones anteriores se infreren de las premisas dadas.

especiales.

a)

bi'

Uno de los siguientes razonamientos NO ES VALIDO. ldentifiquelo. Ningún abogado es rico. Tú eres rico. Por lo tanto tú no eres abogado Todos los hómbres inteligentes son kabaiadores. Todos los trabajadores son responsables. Por lo tanto, los hombres inteligentes son responsables.

a)

bi c)

d) e)

Ningún profesor es ignorante. Todas las personas ignorantes son inútiles. Por consiguiente n¡ngún profesor es inútil. §¡ deseas la paz, prepárate para la guena. Tú no te preparas para la guena. Por lo tanto, no deseas la paz. Eliia esta opción si todos los razonamientos son válidos.

Dadas las siguientes

hipotesis: 11¡ :

fI,

:

Todo profesional tiene título. Ningún irresponsable üene titulo.

H3 : Algunos

profesores tienen título.

Entonces una CONCLUSIÓN que se puede inferir de las premisas anteriores es: c) Existen profesores.que son inesponsables Ningún profesional es d) Ningún irresponsable es profe§ional. Nin!ún profesor üene e) Elija esta opción Todas conclusiones anteriores no se infieren de las premisas.

a)

bi

62

-

profesor. iitulo.

Cep. 3 Lóg4rÁ,, y Cofi,¡unfro,


6.


premísa: P, : P2 :

Todos los economistas son racionales.

.

Algunos ingenieros no son economistas.

Entonces una conclusión que hace vAt¡oo el razonamiento es: Algunos ingenieros son racionales. c) No todos los ingenieros son economistas Todos los economistas no son ingenieros. d) No todos los ingenieros son racionales e) Algunos ingenieros no son racionales.

a) b) t.

Si se tiene

las

hipótesis: I11 : Todas 1/2 :

las funciones son relaciones.

No toda relación es función.

É13 : Algunas funciones son inyectivas. Entonces una conclusión que se puede inferir logicamente a partir de ellas es: Algunas relaciones no son c) Algunas funciones no son inyectivas Ninguna función es d) Algunas relaciones son inyectivas

inyectivas. relación.

a) b)

e)

Elija esta opción si ninguna conclusión es lógicamente inferida de las premisas.

Considerando las siguientes

premisas

H

I

Todo niño es travieso.

H2

Ningún travieso es ordenado.

H3

Algunos adultos son traviesos.

Una CONCLUSIÓN VAUDA eS:

a) Algunos niños no son traviesos. b) Todo haviesoes adulto. c) Todo travieso es ordenado.

d) Algunos adultos no son traviesos e) Algunos adultos no son ordenados

En el planeta Kriptón se cumple que:

H1

Todo Krip es Kron.

H2

Algunos Krip son Krap.

H3

Todo Krap es Kron.

H,

Ningún Kron es Krun.

H5

Femanda es Krip.

Entonces una conclusión t'¡o vAuon es: a) Ningún Krap es krun b) Fernanda es Kron c) Ningún Krip es Krun

'1.

Sean las

premisas: P¡ : P3

:

d) Femanda no es Krap e) Femanda no es Krun

Todos los artistas son bohemios.

P2 : Algunos ingen¡eros son artistas.

Ningún científico es bohemio.

Entonces una coNcLUStóN para un RAzoNAMtElrovALtDo, es: Ningún ingeniero es bohemio. d) Todos los ingenieros son bohemios Algunos científims son ingenieros e) Ningún científico es ingeniero Ningún artista es científico

a) b) c)

2.

Sea Re

*$

y los predicados p(x)

y q(x) . ldentifique, ¿cuál de las siguientes proposiciones es

FALSA?

a) -:r[¡x¡ = q(x)]= vx[p1r¡ n -q(x)] b) -Yx p(x): 3x-p(x)

c)

vx[p@)v q(x¡]= (vx p(x))v (vx q(r))

d) lxl¡t@¡v q(xtl= (:x¡x¡)"(rrq(r)) e) vxfpg) nq(x;l= (vx p1x¡)n (vr q(x)) Sean los conjuntos

7={-t,O,t} y

f

={O,f}

Una de las siguientes proposiciones es

vERDAoERA,

idenüflquela:

a) YxeA,lyef[r+y=3] b) VxeA,lyeB[x+ye1/] c) 3xeA,YyeBfx+y=y]

nly =Zxl e) Vx e A,ly e A[* = yl d) 3x e A,1y e

63

Cep.3 Lqtnw yCo4iunfu

ltloisés Villena Muñoz

Sean las premisas para un razonamiento:

P¡:

Todoslosestudiantessonjóvenes P2: Ningúniovenespesimista P3: Manuelesestudiante

Entonces una CONCLUSÓN que lo hace válido, es: Manuel es pesimista, A§unos estudiantes son pesimistas Todos los estudiantes son optimistas.

a) b) c)

d) Todos los estudiantes no son |ivenes

e)

[4anuel noesjoven.

Si ¡r/(Re) = 0 , entonces es VERDAD que: Vx[p(r) n q(r)] = (Vrp(x))r (vrctrl)

a) b) -lxp(x):

-Vxp(x)

c) jrxfutg)v q(x¡l= (rxp1r¡)n(¡rs(rl) d) trsp(*) = Re)para cualquier predicado p(x) e)

Re;¿ O

Sea el conjunto Re

p(x) : x

= [,2,3,4,5 ,6,7,8,9)al

y bs predicados

impar y

es un número

q!e) i x es múltiplo de 2

.

Entonces una de las siguientes proposiciones es VERDADEM, identifíquela'

a) b)

c)

7.

A(p@)¡q(x))= {:,s}

d) Ac

A(p@) n-q(x))= {+,0,t,9,t0} A(pG) -+ qQ))= {1,2,4,6,8,9,10}

e)

p(x)* Aq(x)=§

lcq(x)

= fts

Una de las siguientes proposiciones es FALSA, idenüfiquela.

a)

Si Re = r[ , entonces

e)

Yxp(x)= (,lp1x¡ = ns)

Frp(r) --> Vxp(x)]= I b) -[vr(p(x) v q(x))]= lx(p(x) " q(x)) c) Si Re = lo\ v p@)= I , entonces Frp(r) = Vxp(r)] d) )x-(p@) xq(x))= lx(p(r) + -q(x)) '

Dadas las hipotesis:

l1¡ : Todos 112

:

los bancos nacionalesestán en quiebra.

Ningún banco intemacional está en quiebra.

//3 : Algunos

negocios tienen su dinero depositado en bancos intemacionales.

Entonces una CONCLUSÓN que se puede inferir para un razonamiento válido es: \ Ningún banco nacional está en Ningún negocio está en quiebra. Todos los negocios están en quiebra.

quiebra. a) b) c) d) Algunos negocios tienen su dinero depositado en bancos nacionales' e) Algunos negocios no tienen su dinero depositado en bancos nacionales. Sean las

hipótesis: 111 : É13

:

Ningún futbolista juega

bien Í/2

A§unos que.iuegan bien

:

Algunos profesionales son futbolistas

son profesionales.

ff4 : Robert es profesional.

Enton@s una conclusión que hace vfu-tDo un razonamiento es: b) Todos los profesionales que juegan bien no son futbolistas Robert juega

bien.

a)

c) Algunosquejueganbiensonfutbolistas. e)

10.

d) Robertnoestutbolista.

Todos los que no son futbolistas ni juegan bien ni son profesionales.

La NEGAcTóN de la proposición:

Vx e N,3y e 1/ (si "

x+y

" es parentonces "

x "es parorr.v

" es impar)

es:

a) YxeN,3¡eN (si '.x+y"noesparentonces"r'noes par o " y 'esimpar) b) Vxe /y', lyeN (si 'x+y'noesparentonces'.tr'noespar y -y"esimpar) c) 3xe N,VyeN ("x+-y'noespar o "x'noesparo"y'esimpar) d) fx e .N, Vy e /[ (si 'r' no es par y ')r ' no es impar entonces'.r + J" no es par) e) fxely', VyeN ('x+y'espar y ",r"noespar y "7 "noesimpar)

64


C@p.

Sean el conjunto

[:.+.S.u.S.o.rO.l

t]

3 Logi/@,, y Con!ít p(r),

y los predicados:

*

ato,

es un número primo.

q("r), "t es un número impar. Entonces, es FALSO que:

a)

A-plx) =

b) l[p(r)^ {(r)]= {s,z,r r} c) ,tlp(x)--> q(r) = {+.s,2,8,9,10,1 12.

t}

Una de las siguientes proposiciones es FALSA, identifiquela:

a)

b) c¡ d) e) 13.

a) a{p(x)v q(x)]= {z,s,r,r,r r} e) /[q(x)-' p(')] = lz,+,s,t,a]

{+,a,o,t o}

lx Vl p(r, )') es V.r Jl, -p(r, y) Vxp(.r):lp("r) cuando Re =lo]¡"p(o)=t. -[3x I,r' V: p(.r. ),,:)]= V-r V-y 1z -p(x, v, z) -§, :, (p(.r) n a(.r,))]= vt, v¡ (-p(x)n -q(1,)) -[r, ]¡ (lt.*,r'¡ -+ q(x,l))]= v-t v.u (p$,t)n -4(-r.¡))

La negación

de

.

.


premisas:

P1

:

Todos los analistas son economistas.

P2 : Todos los economistas son profesionales. Entonces, una CONCLUSIÓN lógicamenle inferida de las premisas es: Algunos analistas no son profesionales. c) Todos los analistas son profesionales fodos los profesionales son d) Ningún analisla es profesíonal e) Elija esta opción si ninguna de las conclusiones anteriores se infiere de las premisas dadas

a) b)

analistas.

14. Considere las hipótesis:

ff1 :

Todos los que estudian Lógica, estudian Matemáticas.

H2 :

Nadie que estudie Matemáticas es irracional.

ff3 : Juan es matemático. Entonces una CONCLUSIÓN VÁLIDA es: Juan es Todo el que estudia Lbgica es

a) b) c)

15. Sea

irracional

iracional

d) Juan no es inacional. e) Todo matemático es irracional.

Algunos logicos son inacionales.

¡s=

{1,2,3,4,...}

.S., "p(.r) :xesunnúmeroimpar'

y

"q{x):xesunnúmeropar,,

entonces una de las siguientes proposiciones es FALSA, identifíquela.

a) b) c)

,e{p(x)-+ q(x))q .
d) Re = Ap(x)w Aq(x)

Ap(x)= Ac q(*)

e)

Aq(x)

- Ap{x)

,t(p(x)-+ q(*))=

A<:

p(,)

=.q

16. Una de las siguientes proposiciones es incorrecta, .identifiquela.

a) b) c) d) e)

Re;(r+3 = l0) es ar e Re;(x+3 * l0) lxeRe;(x+3<10) es VxeRe;(x+3>10)

LaNegaciónde Vx e LaNegaciónde

10) es 3xe Re;(x+3>10) La Negaciónde V¡eRe;(x+3 <10) es 3x e Re;("r + 3 > 10) La Negación de V"rp(.t)nllq6) es 3rp(r)v Vy-q(.¡,) LaNegaciónde

Vx e Re;(x+3 <

65

Cap. +


.*.

R

olaaíortt* y f uar,íon ey

*..*

:*.''

.

.*r'

t¿r. '

tl

t§

,.

¡ +q RBPng§rnreclÓr 4.$;fuureloNEs r' 4.§ 1f,\¡gs¡o§&

9..

-,1 ''t

§,r

?,

§, "r'¿á,

Uno de-los'conceplo.d mrís importontes de E§.úotemtíticos es bl de

'

Cep. + Re.lâ¡ri,ow*y fttrwÍ,one*


Oergrnss: SE PRETENDE QUE EL E5TUDIANTE:

. . . . .

. . . a a a a

Defina conjuntos ordenodos de dos, tres, cuotro y més componentes (n componentes). Obtengo producto cortesiono entre dos conjuntos, tres conjuntos, etc. Represente en diogromos de flechos el producto cartesiono entre dos conjuntos, tres conjuntos, etc. Def ino relociones, funciones, dominio e imogen. Aplique el procedimiento de diogramos de flechos poro distinguir ios funciones de los relociones y poro obtener dominios e imágenes. Encuentre relociones entre elementos de dos conjuntos y determine lo reglo de correspondencio de ser posible.

Defino funciones inyectivos, sobreyectivos y biyectivos.

Apligue

el

procedimienfo

de

diogromos

de f lechos poro closif icor los funciones

inyectivos,

sobreyecf ivos y biyectivos. Construyo con conjuntos finitos funciones inyectivos, sobreyectivos y biyectivos. Apligue el diogromo de flechos poro construir , de ser posible, lo funcíón inverso de uno función dodo. fnfiero condiciones poro lo existencio de lo función inverso. Aplique el diogromo de fl¿chos poro construir, de ser posible, lo función compuestq de uno, dos, tres,

etc. funciones. Inf iero cond¡cíones poro lo existencio de lo función compuesto.

4.1 PARES ORDENADOS Un PAP ORDENADO es un conjunto de dos elementos, llomodos coIvtPoNENTEs, en donde importo e, orden de dichos componentes. Es decir (*,y) donde o "r" se lo llomo primero componente y a"

y " se lo llomo

segundo componente.

También existen: Conjuntos ordenados de 4 componentes: (.r,.r,..r;.r+). En general, conjuntos ordenados de "n" componentes: (-t, , rr,

4.2

.Í.¡,..., -f, ).

PRODUCTO CARTESIANO Seon Ay B dosconjuntosno vocíos, entonces el producto cartesiono A con B , denotado por Ax B , se define como:

AxB-(r,y)l xe A¡y.B)

Es decir, es el conjunto de parejas ordenadas, tales que su prlmera componente la tomamos del conjunto A ylasegunda componente la tomamos del conjunto B.


C@p.

4

Rolarlotory funsbte*

qfwb

.

Sean los conjuntos

Note que

{,*,?l v g= {o,8},

I

=

Ax

B = (t,

"Xl,e),

(-.,

")

(*.,e)

entonces

(r,") (r,e))

N(Ax B) = N(A)¡r(r)

El producto cartesiano de

B

con A sería:

qrryb Paralosconjuntosanteriores BxA

Pngcunte:

A- {,*,?l v A = {o,@}tenemos:

= (a,r ) (a,*)

¿Couo y cúel,Bs sERfAN

(a,

r) (e,r)

ffi

(q-)

(e. r))

vWl

La definición para el producto cartesiano de tres conjuntos es:

Sfe@b Sean tos conjuntos

¿ = {1,*,?} y B = {r,@}, y C ={V,¡}enonces:

Note que:

Tambiénsepuedenobtener:x,r,...¿ENcuENtRpt,osa!

4.3

REPRESENTACIÓN A los pares ordenados se los suele representar gráficamente en un sistema bidimensional. Esto lo trataremos con mayor profundidad más

adelante.

69

C@p. + R elar,íonP*


t

f t t"rtc,í,ortt*

Eísroíní,,oy ? roP ue*tov 4 . 1 1. Una de las siguientes afirmaciones es VERDADERA. ldentifíquela. ol (:,;)}c {t.:}' l:,:l .¡ {r}. {r.:,:} u¡ rc [r] c¡ {r}c {:,:} e)

2.

(r.4). [:.:],. {t.:.+;

Dadosiosconjuntos

a) b) c) d) e)

I

j.r,-r'..}, C =

= i1,2f, 6 =

EI producto cartesiano

..1 x B x

El producto cartesiano .l'<

Bx(

El producto cartesiano .4x B

El producto cartesiano

(l

xC

7

tiene

contiene

l7

' B\C

entoncesesVERDADque

elementos.

contiene una terna (1,1.3)

.-t, BxC posee 12

El producto cartesiano .1

{:'+l,

elementos.

elementos

es imposible realizarlo.

4.4

RELACIONES Cuando definimos al producto cartesiano, se han relacionado a todos los elementos de un conjunto con todos los elementos de otro conjunto, Nace el concepto de relación o asociación.

Éod.r.,o" también relacionar sólo ciertos elementos de Lln conjunto con algunos elementos d.e otro conjunto. Es decir vamos a considerar los subconjuntos de Ax B . Bntonces formalmente podríamos definir a una relación de la siguiente manera:

Seon A

yB

dos conjuntos. Una RELACIT r de A en B, denotodo Por r: Aá B , es oción de elementos (no neceso?iomente todos) de un conjunto A con elementos de un B. Es decir, tenemos que r c- Ax B .

* A, es decir que podrán existir: A lr:Ar-» I ) donde r c. Ax .4. A (r:Br-+ I ) donde rcBxA. B (r:Bv+ B ) donde rcBxB.

Note que no necesariamente B

r

Relaciones de B en en

Veamos los siguientes ejemPlos: Srp.rg,

q*

con los conjuntos ¡

,i ={(r.").(.,r).(.,o)},la manera:

=

[1,-.:]

y I = {r,S}

formamos

la

relaciÓn

cual la podemos representaren un diagrama de flechas de la siguiente

oA

00

OBSERVE QUE:

l. 1'.:1t) B 2. 1;..1 > B

Cq. + Rolar,íon*y


rrwb,

Suponga, ahora que con los mismos conjuntos anteriores formamos oka relación

que, ,., =

(1,")(t,oX*,n\(t,")\,

Fu*qoíotto*

r, : .t

¡-¡

g

lál

Que representada en un diagrama de flechas, tendríamos:

En fin, pueden existir muchos otros ejemplos de relaciones.

una regla para el número máximo de relaciones d.e pueden construir, es: CAITTIDAD MAXIMA DE RTLACIONES DE Ar+ B

A en B, que se

_ 1N(AxB) _ )N(A\N(B)

Es decir, todos los subconjuntos de Ax B, serían una relación.

Para el caso anterior tendríamos olvide de considerar la relación vacía

64 relaciones en total. No (D y la relación r = Ax B =

23'2 = 26 =

r

4.4.L DOMII§IO DE UNA RELACIÓN

Entonces Dom r c. A.

En un diagrama de flechas sería cuestión de determinar a cuales

elementos les salen las flechas.

Para los dos ejemplos anteriores, tenemos:

. 2. 1

Dont

r1

= {t,*}

Dom 12 =

c

,a

Ú,-.tl=

¡

Ca,p. +


4.4.2

Relar,bne*Y

funt'bre*

RANGO DE UNA RELACION

Seo r : Aé B uno reloción. El RAN6O de

r'

denotado Por rg r , es el coniunto constituido por los elementos del conjunto B gue estón relocionodos con los elementos de su dominio. Es decir: rg r -{Y e B I x r Y,ParaVx e Dom r) Entonces

rgrQB.

sería Es llamado también conoMINIo' En un diagrama de flechas

flechas. cuestión de d"eterminar los elementos a los cuales les llegan Para los casos anteriores, tenemos:

ry1={.r,o}=r rs

t"2 =

{.,,e}=

r

qí@bz Srp*g,,h*.

que tenernos tá relación r'. B

r; I

,,

,

" -- ,

talque, r'= ('r'l)'('r*)l'

Realizando su diagrama de flechas tenemos:

r

flechas nos permite establecer diagrama rápidamente por inspecciÓn su dominio y su rango'

de

El

1. 2.

1

I)om r =\at,c B rg r

- {t,*}c

Note además que'.

*

.l

r c.

B

xA

?

T.S.*l.t*.j*a. l={2,:,+,s,0} y n=\o.z^1,+,:} ysea Á unarelaciónde I en B definida por R= t(r,t)tt=u-l rturrto oell. Entoncesel númerodeparesordenadosquepertenecenala relación

a)4

"72

R

es:

b)

3

c) o

d)

5

e\2

Cq. 4 Relar,bneyy Ftunr,bne*


4.5

FUNCIONES

El concepto que pretendemos dejar definido aquí, será utilizado frecuentemente más adelante y además es una de las definiciones más importantes de las Matemáticas. 4.5.1 DEFINICIÓN

Aé

Uno reloción r: B, es uno FUNCRóN sí y sólo sí, cumple los dos condiciones síguientes:

l. Domr=A

2. Existe coRREspoNDENcrn úrurc¡r. Es decir, o

un elemento del conjunto

A no le

corresponde dos o rn& elementos del conjunto B , sólo uno le comesponde. Simból icomente tenemos: Vxe Al(x r y, A x r

y,)*

y, = y,}

.5.2 NOTACIÓN Lo más usual para denotar a una función es la letra también se emplean las letras " g", " h ", y otras.

";f". Aunque

qiwbl Sean los conjuntos ,t={t,a,z} f = Kt,r), (o,o r, (2. t))|

y

B={a,*,0,!}

y sea f:Ar+B

tal

que,

Realizando el diagrama de flechas, observamos que:

De acuerdo a la definición,

;f

es una función.

Ejenpl,a2 Podemos formar otro ejemplo de función con los mismos conjuntos dados, como Que g = (r,")(e,")(r,r)), cuyo diagrama de flechas sería:

g: A -+ B tal

Observamos que:

1. Domg=A;y, 2. Existe correspondencia

única. De todos y cada uno

de los elementos del conjunto

I

le sale sólo una

flecha. Por

tanto

g

también es función.

NOTA: No importa que a algún elemento más de una flecha.

de

B

le llegue

73

Cap. + R.elaotuqu Y


7

uncíotv*

Re¿udtc de las siguientes Dadrs t"s c"njuntos ,a {t,,3,s,7,s,¡t,t:}. ldentifique ¿cuál en B relaciones de ,a en B es una funciÓn de

F,ñ}E-=

;j;;f

I

(;,;t .e*rry,*\

b)Rr=(r,y).

AxBlv=zx't\

" n,=(,,r)'

axBtx=2\. d)Ro=(',v)' AxBlv=J\

c)

una función' e) Elija esta opción si ninguna de las relaciones anteriores es SOLUCIóN:

de flechas. tnterpretemos cada opción con su respectivo diagrama

. Rz = {(x,y)e A" Bt 1'= zx-r} Dr = (2,¡X+,zXe.l r))

.

AxBlx
R,

R,

A

^-

ál=}

2) 46-, \ 8/

1'

/

J 5

7 9

ll 13

2)

5

*j-f

4)

9

fiiT

6)

No ee función

No es función

Rr= {x,y)e,t"alx-2\ c) - (z,rXz,:Xz,s) (z,fiQ,e\(2..n ) (z't r)

na =(r,y)e AxBl

&

R3

m) --

--

Sl es función RESPUESTA

No es func¡ón

t.

St.n

Y=t\

= (2,:) (+,:) (0,¡) E,¡))

los mniuntos

I

=

{2,

yB=

$,5,7 ,9,1 l,l3)

.

Una de las siguientes relaciones determina

una función. ldentifiquela:

a) b) c) d) e)

2.

n=\1t,a¡eBxAlb=2\ ,r=\1t,a)eBxAla>b\

a=2b-l\ ro=l1a,b¡eAxBla=6\

t

=l1t,a¡e BxAl

rr=\1b,r)e BxAla--8\

sean losconluntos

-' "'

¡=$,7,3,4,5,6,1\ v B={L,,rL,*,q,?} ' si r¡,r2

en B,talesque:

-

12 es una función.

b) r¡ ur2

esunafunción.

c\ 11w12 = 11 d\

12-ry=7,

e¡ (ry

74

13 son relacionesde

;:ii;,4)(o,n)(2,-)!,, = {Í,@),Q,-}(:,n}(a,a}, ", = (+'a}(:'n)}

Entonces es VERDAD que: a) 11

t

v

r2)- ry

es una tunción.

I

Cqp. 4 Rdaoíotto*y Tunoúottoy


Sean los conjuntos

A

en

B,

A= 14,-2,-1,0,1,231 y tr= {O,t,Z¡,+}

. Si

\1r2 ! \

son relaciones de

tales que:

4=l@,y)/y=¡+l)

r2={$,y)/x+y=Ol

6 = (o,o¡,1-t,g)


a) r¡ ur2 esunafuncbn b) 4 r12 esunafuncbn c¡ (r1vr)-r3 estunción d) 11t)\ = e) rz-4=12 11

Si se tiene los sigubnte datos:

Alumnos

Edad en años

Karla

12

Washington

11

Consuelo

't6

Edison

14

Femando

11

fiáargarita

17

y se defnen los conjunbs:

y

= {x/

y=

{y I

x

es unaalumnayestáen latabla

y

es un alumno y está en la tabla

anterbr }

anbrior }

Determine ¿cuál de las siguientes relaciones es una función?:

a) n = {Q,filx esdemayoredadque y} b) 12 = lg,y)/ x es igualen edad que y) c) 13={@,y¡lx esdemenoroiguat edadque y}

dl

14

e)

Elija esta opción si niqguna de las relaciones anteriores representa una función.

= l@,y) I x esde

mayoro igualedd que

y)

4.5.3 TIPIO§ DE FUI{CIONES 4.5.3.1 FUNCIÓN IIIY'ECTTVA

Es decir son firnciones con correspondencia de UNo A uNo.

líemPlo Sean los conjuntos

¡=lt,n,'tl y B={o,*,8,!} y sea /:At-+B

7 = ft,a)(n,eXr,-)).Entonces

una función tal que:

su d¡agrama de flechas sería:

Como a los elementos del rango

una

y

de

/

les llega

sólo una flecha, entonces existe mne§pondencia uno a uno. Por lo tanto esta función es luyEcrv¡.. NOTE QUE: para construir funciones inyeclivas se tiene que cumptir:

w(,1\ <

w(f). ¿nn oua

75

Cep. + Re,lar,íanp*y func'í,one*


4.5.9.2

FUNCIÓN SOBREYECTIVA

Seo

f : A* B uno función. Entonces f

SO9RüE€TZVA si gue rgf-8.

Sean los conjuntos

.,1

=

[r,

y

sólo §i se cumPle

rl.:] V r = \a..\ y sea f : ,4r-+ B

/ = {(r,ri(n.ri('1,.)} . Entonces

es

una funciÓn tal

que:

su diagrama de flechas es:

Esta función

es

SOBREYECTIVA porque

rg.Í=8. N0TE QUE; para conskuir funciones sobreyectivas se tiene que cumpiir: ,r (.¿ ) > N (B) ¿con oun

4.5.3.3 FUNCIÓN BIYECTIVA Uno función

f

es ElyE€TZyA, si es inyectiva

sobreyectivo a la vez.

y

B = {a,n,a} y sea .f : At-+ Sean los conjuntos ,a = fi,n,t) ¡ = {(r, r} (n,-) (t,o)} . Entonces su diagrama de flechas es:

B

una funciÓn tal

que:

Observe que: Existe conespondencia uno a uno"

a

1. 2. rgf-S

Por tanto esta función es BIYECTIVA. {<

NOTE QUE: para construir funciones biyectivas

a

se tiene que cumplir: ¡f(,e)= 0un

N(S)

¿coa

Finalmente, podríamos representar esta clasiñcación en un diagrama de Venn de la siguiente manera:

76

Cqp. + Rolar,Íotwt,y funoínnp-y


Re: relaciones

lny6ct¡Yas

4.5.4

Teorema

fíennpln Para la función biyectiva del ejemplo anterior tenemos:

frAéB f

f-' ={{r, t¡;1*, n);(8,?)} Note que:

Al hallar la inversa de una función es como tomar el camino regreso.

de

Cap. 4 Rel,acbttoyy ftwr,í.orrt*

i¡bisés Villena Muñoz

4.S.S ruNCIós coMpUEsTA (CoMPosIcIórs op rUNcIoNEsl construir funciones a partir de otras funciones.

Se pueden

líottlDlal Sean las funciones

f

Ar-s B y g: B*

:

C

¡-+

cuyos diagramas de flechas son:

fs

Suponga que quisiéramos relacionar los elementos del conlunto

conespondenciasdelasfunciones

f

V

,4

con los elementos del conjunto

C,

empleando las

.Entoncesobtendríamos:

S

la función La operación que hemos realizado se llama CoMposrcróN DE FuNcloNES y se obtuvo una nueva función, compuesta

g

o

;f

, debido a que:

A

f

r) I

i-- i

óo

a=f(r)

0

@

. l/

=,f(0)

"

-

*.\ = s(a) =

c(,f(l))

c(8)

s("r(0)) g(,/(?»

=

*=f(?)

G

C

=

= g(*) =

f)(,) = s(f (.))

NOTE QUE:

r.

2

3. 4,

(g"

(s.

f):AeC

f\*)

= s(f o)) Domg,f=Domf rg f c. Dom g , en este eiemplo

tenemos

{r,*,8}

.

\a,*,8,f1,b}

. ¿QuÉ IASARIA

st

Ésro No ocuRRtERA?

EN OCASIONES también es posible construir la función compuesta

f.g L_)

g

f

(f"s)(,)=/(g(,)) 78

Cq. 4 Rel,ar,bn**y


f¡,tnr¡roney

Aquí en cambio se cumple que: 1. ("r. eXr) = fG@))

2.

3.

Dom(f o g)= Dom g rg g g Dom f . ¿euÉ

eesanfe

s

Esro

uo ocunnrene?

Ejoynpl,c2 §uponga que

,F y

g

son funciones, tales que:

o 5

f

r$ Z 6o\ ?5

@---

Obteniendolafuncióncompuesta t

f"g

z,-\

f

"

g

\11

--.-6

\'/

,tenemos:

+

a

NOTE QUE:

*-

L. fog:B*¡-»B 2. q= fG@)= "f(g(.)) 3. s = f(s@)\= f(stffir)= fG$\)

a m

b

Veamos ahora, qué sucede cuando COMPONEMOS A UNA FUNCIóN BIYECTIVA CON SU INVERSA.

EiemploS Suponga que

,f y /-r

son funciones, tales que:

f-l ("\ *Entonces

§/

t,\ *0 \'/

¡"¡-tes:

o

r.\ *f " f-t

\*7

= \9o,4),(*,*),(B,B¡), ésta ei1á-puNcró*

á"\ --> *

\*/

,oiñrooo

EN B

:

n 79

Cep. 4 Rda,obtwYY futnr,íone*


Ahora hallemos

f-t ".f

, para el mismo ejemplo anterior:

f

Entonces:

o

:,Xi)

ésta en cambio es la FuuctÓru lor¡¡lono rn

f-t " J' = (r,l),to,o),t:.1¡),

¡'. f'r of =l¿

pB También hay momentos en que se puedé rcahizar la COMPOSICIÓN MAS DE DOS FUNCIONES. h " (g

o

f)

,la

cual esquemáticamente sería:

f

__h(z)

w=

r(s(r)) = r(s(l (,)))

=

Entonces: (1, " (S

.,,flXr) = \GUO»)

Los ejercicios resueltos que a continuación se presentan globallzarr todo lo antes mencionado.

Re,wdtaf fos conjuntos,t={a,t,n,q1} g : A -+B,talesque: / = {(t,l),(,u)(-,o)}

OaOos

a={r,t,*} y

y

s

t(o,ri(a,r}(n'-X@rr}

Determinar cuál de las siguientes proposiciones es FALSA a) so es inyectiva. b) g es sobreyectiva n es sobreyectiva.

f

c)

go

O¡

f

/

essobreyectiva.

es inyectiva

Î

e) f og noesinyectiva.

80

no es biYectiva.

las funciones

f :B -+ A

Cep. + Relarrúoneryy fu,nr,nfuv*


SOLUCIÓN: Realizando primero los diagramas de flechas respectivos, de acuerdo a la información dada, tenemos:

?

?

.A It

n

* a)Encontremos

t

*

@

g"rl ?

? \

? a

Observe ?

t

b) (RESPUESIA) Esta opción es FALSA porque

I

Sl es sobreyectiva sobreyectiva

se observa en sus diagramas de flechas respectivos. c) Esta opción es VERDADEM, porque

g

o

que

g"/

es inyectiva, por

tanto esta opción es VERDADERA.

*

{<

f'

^f

NO es sobreyectiva de acuerdo a lo que

Sl es sobreyectiva.

d) Esta opción también es VERDADEM, porque

e) Encontremos

ta

/

Sl es inyectiva

n g N0 es biyectiva (g no es inyectiva)

;f " g

Observe inyectiva.

que f"g no es Por tanto esta opción

también es VERDADERA.

Ejoroír,,rbRe,*ue,ltc2 Sean losconjuntos t=p,1,+\ y

B=lt,z,z,+,a,al ysean f :A-+B ! g:B-+A y g=(r,z}(z,z}p,:}(+,:}(0,+}(s,+)}

funcionestalesque: .f ={{a,t)etxBtb=za\ Entonces es FALSO que:

a)

g

es

sobreyectiva.

b)

/

es inyectiva.

SOLUCIóN: Realizando primero los diagramas de flechas respectivos, tenemos:

f

--p

Da

2 J

4 6 8

8l

Crup. + RdaaíoneYY ft^,nr,ío$P*


a) b)

Observamos que

g

Sl es sobreyectiva. Por tanto esta opción es VERDADEM'

/ Sl es inyectiva. Por tanto e§ta opción es VERDADEM' c) Para hallar (S . /X:) , hagamos lo siguiente: Observamos que

=ir[Atil=1, resultado le hallamos con 3 . Hallamos su correspondiente en / vemos que es 6 . Luego a este también es VERDADEM. conespondiente en g , vemos que es el 4 . Por tanto esta opción Empezamos

d)

Hallemos

(f . gX:)

su

igualque en la opción anterior'

3-\f, I ,l,[Tl ''l o l-'l'

:-6-.

I

observe que se obtiene como resultado final

6,

más no 3 , corno indica la opciÓn' Por tanto esta es la FALSA

(RESPUESTA)

e)

Esta oPciÓn es VERDAOERA, Porque:

ÂAE.LE:.,

u"s"J'){2)=6

re*ou)ta 3 OáOor los conjuntos V

¡

= {¡a, m),(e, n),(i,

siendo .f :v

-+C

* \a,e,i,o,u\

a) (f"g)(t)=n c) ./ es inversa de g rg

(f

"

C=

fu,n,l,r,s,t\y

las funciones:

l),(ot,r),(u,s)\ Y s = \(m, a),(n, a),(l,e),(r,i),(s, o)' (l'')} y g: c -+v, una de lps siguientes proposiciones es

identiflquela.:

e)

Y

b)

No es posible construir la funciÓn g "

d) /

y

s

VERDADERA,

7

sonbiYectivas

g) = \n,n,l.,t,s\

SOLUCIÓN: Primero, los diagramas de flechas respectivos serian:

v-r o e i,

o u

f m -n

'l

m n

I

zf

r

t,S

s

t

t

Analizando cada oPciÓn, tenemosl. a) Hallemos

(f .

dQ),

para lo cual el siguiente diagrama ayuda La conespondencia final

"s' y no'r'

Para'/

'

como indica la opción. Por tanto esta oPción es

es

FALSA.

82

C@p. +


b) Hallemos

g.

Rdaaím,e*l ftw¡aíonu

/

Observe que, sl es posible construir

g"f

.

Por Tanto esta

opción

también es FALSA.

c) Observe que

/

no es biyectiva (¿con ouÉ?j, por tanto no tiene inversa y no podrá ser inversa de ninguna función.

Entonces esta opción también es FALSA. d)

Ni

/

ni

e) Hallemos

g

son biyectivas (¿PoR oun)Portantoestaopción también

es FALSA.

;f . g

m

n

m n

I

r

I -r

s

',s

t'

t

Observe qüe

rg

f

o

g=

lm,n,l,r,s\

Por tanto

esta opción es la VERDADEM.

Ejoroír,rbr%udtc4 Sean los conjuntos,l = l*,y,r\, ¡ = {s,r,r}, c = h:Ct-s D y s:D¡-+ A funcionestalesque:

\t,z,l\

y

D=

{a,t,c\.

Y f

:

Ar-+ B

g = {(a., y),(b,x),(c,z)l Entonces .f

a) d)

"goh correspondea: b) (t,x¡,12,y),(3,r)) c) (s,t;,1r,2¡,1r,:¡)

(t,r¡,12,r¡,1:,r;)

(t,

r¡,qz, r¡,12, "v¡\

e) {@,y),(b,z),(",.)}

SOLUCIÓN:

¡=l1t,b), (2,a), (3,"))

f "g"fi vaaserel dominiode l¡,entoncespartiendode estos elementos {t,2,:} t. determinamos la respecüva conespondencia primero en g y luego sus resultados le determinanpssurespectivaconespondenciaen /.Obteniendo f "gofu=(l,s¡,12,1¡,(3,1)).Rortantolaopción Noteque

Hdominiode

"a'es la VERDADEM.

83

CoP. +


Dados dos coniuntos

I

y .B

Rdu,bnoYY fttnr,Í'or,e*

no vacíos, entonces es VERDAD que:

A en B queseainyectiva' ?) S¡ N(l) N(B), noexistefuncionessobreyectivas de A en B ' c) Si f : A -+ .B es una función inyectiva, entonces N(A) > N(B). d) Si N(l) y N(B) son finitos y N(A) = N(B), existen más funciones inyectivas que funciones noexistetunciónalgunade

sobreyectivas.

e)

si

N(l)=l y 1v(B)=2,existenmástuncionesde Be¡A

g={t,2,3,+,s\ y

l={o,4n,O} , ¡={t,*,+},

Dadoslosconiuntos:

2.

quetuncionesde

Aen B.

lasrelaciones

r1,r2,\,r4

definidas entre ellos, ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es VERDADERA ?

y rs

a) ,, =(o,r),(¡,2),(n,+),(o,s)) i Rgr1=(. b) = ft,*) (:,+) (¿, t)) ', Dom r, = Q ", c) ., = (o, r) (4,*), (u,*), (o,+)) es una función bivectiva. d) § 14 = {@,r),(a,z},(n,l}(o,s)} v r, = {f,r),(2,*),(:,*}(+,*}(s,+)} entonces 15 o q es una función inyectiva. e) si 16 =(r,o)(z,a)(:,n),(+,o[s,n)] v r, =(o,r](4,-](n,-),(o,+)] .

entonces t7 o 16 es una función sobreyectiva'

={trr,o,r,t\ y B = \m,n,o,p} y hsfuncionesdel en 8' = {@,*),(q,'p),(r,m),(s,n)\ y c = {Q,»,@,*),(r,n),(s,o)}

Dadolosconiuntos'. A

f

entonces es CIERTO que:

a) b) c) d) e) 4,

ug

/

es una tunción inYectiva.

g

es sobreyectiva pero no inyectiva.

.f

es inyecüva pero no sobreyectiva.

g

es unafunción biYectiva.

/

es unafunciÓn biYectiva.

Sea el conjunto

I

siguientedefiniciÓn:

={Elena, Hessel, Elsi, Angel, Juan}

y

/(Elena) =Hessel, /(Hessel) =Elsi,,f

f

una función tal

(Elsi)

que

/: A-+ Aconla

=¡¡n'¡, /(Angel) =Elena, /(Juan)

= Elena entonces, será verdad que:

a) b) c) d) e)

5.

/"/

esinyecüva

(f " Í) (Juan) = ¡6et"¡ ./ es sobreYectiva

dlráf=domf"f

Elija esta opciÓn si todas las proposiciones anteriores son falsas.

Considerelosconiuntos funciones tales que:

1=lB,O,*,t\

y

B=\a,a,*,t) .

;f = (B,o;,1á,cr;,1*,4),(?,*))

,,

Sea

f :A-+B Y gtB -+l

= (cr,P),(4,?),(*,p),(!,?))

'

VERDAD que:

a) fog=(B,l),(¡,P),(*,?),(?,P)) b) f o g =(o,a),(a,'*),(r',4),(!,*)) c) fog=(B,r¡,1á,a;,1*,a),(?,p))

d)

.f,g=fio,p¡,1r,?¡,1*,P),(!,?))

e) f " g--(cr,a),(a,?),(*,a),(!,?)) 6.

Seal/={a,e,i,o,u}

ysedefineunatunción

.f(i)=ai f@)=o Y f@)=i fof es: ) {a,e,i,o,u\ bl \a,i,o,u} e\ {a,e,i,u\ d) {a,r,o}

f :V-+V

'

Elrangode

84

c1

{a,o,u\

por:

f(a)=u-', f(e)=i;

dos

Entonces es

Cep. 4 Rdar,íone*Y ftt'tt¡rÚme*


7.

Las gráficas:

3 2

I C

Representan las funciones

f

:

A -+

B y S:C

-+ D

donde C

={a,b,c\

» = lt,z,t\.

y

Determine ¿cuál de las siguientes funciones NO EXISTE?

8.

c)f*t"f

blS"f

f "g

a)

d)

g"g

I

el

f-1 , g-l

Dadas las funciones:

$t

ffi

6

E q

q


a) / y g sonsobrelectivas b) Jt o g es inyectiva c) I o;[ no es biyectiva d) El rango de / " g es igual a B e) El rango de g o / es igual al rango de / .

9.

.

/ es una función de A en B y g es una función de B en c, entonces es VERDAD que: a) Domg"f=Domg b) Si / es inyectiva, entonces g ";f también lo es. c) Si .f y g son sobreyectivas, entonces g ' / también lo es. Si

d)

Si

e)

ftg (g.

goTr

loes.

es§obreyectivaentoncesftambién

fl=

as

U)

10. SeanlosconjuntosT={t,$,t,*} y B=$,2,3,*} funciones tates que: i ;r = (?,1¡,1§,*¡,11,*),(*,1))

,ys", f :A-+B y g:B-+ldos y

,

= ftI,?¡,12,$)'(*,1),(3,*)).

i

Determine ¿cuál

de las siguientes proposiciones es FALSA?

a) g es unafunción inyectiva pero / b) c)

El dominio de g "

d)

" g) El rango de g o

e)

f

Elrangode,/.g (1,1)

e

es f,§,1,*¡ es {t,*}.

no lo es. .

(/

/

es igual al rango de ¿¡

.

11. seanlasfunciones g={1t,2¡,12,2),(3,4),(4,5)} y n={¡2,11,13,4),(4,5),(5,6),(6,7)} Entonces el valor

a) I

de (fi .

b)2

g)(l) c)

3

es:

d) 4

e) 5

85

fvhisés Villena

Muñoz

CqP' +R'daoÚortc*y ftt'ttoínnc*

l=

12. Dadoel conjunto

yhsfunciones"

lTamia,Hilda,Marío,María,Julio)

f : A-' A y

g:A-+l,definidasPor: .f(Tanio)=

vor¡o, ¡{u;tao)= un; f(María)= ¡46¡¡o; f(Mo'io)=7o'¡ot

¡(tuta)=

n;taa.

g(Julio\=

Y"¡o

S(f"nio) = Mario; g(Hilda) = Tan¡a; g(U*io) = Tania; g(Mario) = ¡¡¡¿"'

Entonces una de las siguientes proposiciones es FALSA, identifiquela:

a¡

(f " g\(uario)=

c)

/

es inyectiva

b)

1r¡¡o

/ estuncón.

v

g

v

es inyectiva

/

es sobreyectiva

ol{s"A(nid4=Marío

e)(g" f)(Tantu)=Tania

f :A-+A y g:A-+A,talesque: .r(r)= ¡; f{z)=s; ¡8)=t; ¡(t)=t; f(s)=2 g(r) = +; g(z) = r; g(:) = r; e(a) * z; c(5) = 3

Dadoel conjunto

1=$,2,3,4,5j

ylastunciones

¿Cuál de las s§uientes proposiciones es FALSA?

; U.sXi)=¡

c) / (g./Xs)= t o (,f .sxl)=3 ó (/"8)(3)=3 (/"gXt)=z (g""rXt)=t e¡ (g.7X+)=s ul

v

14. Dadoelconjunto

l=

esinyecüvaó

g

esinYectiva

"

{a,b,c,d\

ylasluncionesbiyectivas

ftA-+ Ay

g:A-+A'donde

¡ - {1a,á¡,g,r¡,q),b¡,1d,o¡} v go f =\(",a\(o,c\(c,b\(d,a)\ entonces la FUNCIÓN g es: a¡ g = {(a,d\(b,c\.{c,a\(a, o)\ a¡ g = (a,a)(á,t\(c,r\(a,a)\ .i r =i(,,ó,(u,"\,b,á\@,,)\ o¡ g = (a,c)(á,a\(c,a\(a,r)\ ey

g = {(o, a\

15. Sean

I yI

g : B -+

I

(b,

a\(c, c\(a, u)\

conjuntosnovacíos,talque:

z4={*,F,y}y B={E,C),Y\v

f tA-+B

,f = (",o),(p,vXy,¡))

dos tunciones, tales que:

g(u)=F, g-'(y)=o, (g""rXg)="

entonces, es FALSO que:

a¡ g =

(:,p)(o,y)(Y,")

c) La tunción

;f o g

Seael coniunto

¡\ d)

si existe.

tr={,2,3,4,5\

f

V

S

sontuncionesbiYecüvas.

e¡g-r(tr)= o

(g./Xcr)=T

ylasfunciones

f

v S de

7 = (r,s) (z,s) (l,s), (+,s) (s,s)) v s = (r,r)

A

en

(z,z),

I

talesque:

(:,:)

(+,+) (s,s)

Entonces es FALso que:

a) (f"s)=s b) ,g(f " g)= ls\

c) (f"s\=f d) (.r"s)=k"f) e)

"g(g

".f)=

Setieneelconiun¡s

{s}

l=la,e,i,o,z)

¡ entonces e$ FALSo que:

a) U"f)"fesinyectiva. b) (¡ " ¡) es h tunción identidad.

cl (f.Í\"f *f d) / e) /

86

es inyectiva. essobreYectiva.

yhfunción

= {(a, e\(e, a}

(;,

o}

(o,

/

definidade

;}(u, r)}

A

en A,talgue:

.

y

Cdp. 4

tvhises Villena Muñoz

3.

Seanlosconjuntos A

Y

sea

a) b) c) d) e)

4.

= $,2,3,4,5,6,7,8\, B = {,23,+l A en B ; entonce§ es FAL§o gue:

de

nopuedesersobrcyectiva. no puede ser biyecüva. no puede ser inyectiva. no tiene tunción inversa.

Eliia esh opción si todas las proposiciones anterbres son verdaderas.

Sean/ yBdosconjuntostalesque,{

a) b) c) d) e) 5.

/

/ / / /

una función

Relariorwty F.tuwí¡¡wy

={a,b,c,d\y B={e,f\,entoncesesVERDADque:

(b,d)e ,ex n (a,a)e Bx A (c,c)e AxB (a,e)e Ax B (a,e)e Bx I

Seanlosconjuntos

¿=fi,23,41 y B={a,b,c\

ylasrelaciones R1

:A.t+B y Rz:l¡+.B

tales

que:

n, = (l,a)(3, es VERDAD que:

"\(z,c\(t,c\(a,t)\

y

Rz =

{$,c\(2,,c\(¡"}(s,")}.

Enronces

a) \ Y R2 son tunciones. b) .irr(n, nnr)=:

c)

(n, - a, )

d)

Si

es una tunción

Re=,4x8

entonces

(q^^,")=^,

e) &uRz=AxB 6.

Seanlosconjuntos tales que

l={A,C¿,II,@,]y

S={|,0,*¡

yhstunciones

f :Bt+Ay g:At+B

:

(»,oXqn)(*,4)) y s =(a,»)(n,-)(o,o),(o,-) EntonceslaFuNCIÓN g" f es: a) so f =(0,»)(.,0)(»,-)) b) s o f =(a,o),(n,a)(o,n),(o,l)) c) so f =(»,0)(0,*)(.,¡)) d) s o f =(o,l)(a,n),(n,o)(a,o)) ,r =

e)

7.

No es posible conshuir la

Seanlosconjuntos

funcón g

"

/

tr=$,231 y B={a,b,c,d} yhstuncbnes

f

:Ar-»B'y

que:

f(r') = a, f (2) = b, f (3) = c c(a) = 2,s(b) = 2, SG) = 2 y g(d)

-3

Entonces es FALSO que:

a) ;f esinyectivao g essobreyectiva. b).

rgfcB

c)

Si

g

.

essobreyec'tivaentonces

/esinyectiva.

d) rg gsA e) ;fog mbiyectiva 8. *an A,B y C coniuntosrrcvacÍos,entoncesesVERDADque: a) si ar(e)=3 , il(B)= 2 y tt(C)=3,entonces N(A,xaxC)=zt8 b) Si lf(;)=3 y lr(r)=2,entonces tt(4e"n¡\=32 c) si N(l)=3,enbnes N(4,t¡)=+ d) si x(l)=2,entones lr(r1,1)=3 e) s¡ ¡r(l)= 3, lr(r)=3 y,lrr(C)=2 enronces N(r(txa"C))= zr8

g:Bs+l

tales

i¡loiss'Milena

Muñsz

Cap. 4 Relre,ínre*y

9.

Seanlosonjuntos

1=lt,b,i,o,u\

V

B='{*,t,t,r\

ylastunciones

f :A-+B

fttn¡innp* y g'-B-+A

tales que:

f

m)}

= l{a, m\{e, n\(i, t),(o, r\(u,

v

g = {n,


a)

§i es posible consfuir la lunción

b) U"s\^)=*

c)

(f , s"

d) / e) /

yg

sX")=

;f o g

"\

(r,

"\Q,

e\ (r, i)}

.

*

no tienen tunción inversa.

no es una función inyectiva.

10. Sean los conjuntos

A -+ B

1-

fi,2,3\ y n = p.,+,6\.

ldentifique ¿cuálde lm siguientes relaciones de

es una FUNCÓN?

a) \={{x,y)eAxB/y=x\ b) r, = {@,y) e Ax B l2x- y =01 c) rt={(x,y)eAxBly>x\ d) "o = t(r,y) e AxB/ y2=-r' *11 e) = (r,y) e AxBl y=]x\ "s

'

11.

Dados los mnluntos

A

en

B

tr = Pi,6,9,12\ y B = fi,23,4,5,6).

esunaruNclÓt¡de

{

A

tnolque ¿cuál de las s§uientes ¡elaciones de

en B?

") a) "r = (¡,y) e AxBIY = x'l b) ,z--l@,y)eAxBty>x\

c) ,, =(x,l)

eAxBtx=9\

d) ro={6,y¡.,1^nt y=2}) 3) e)

t",-

6 =«r,y) eAxB/y=31

12. seanlosconjuntos

g:B

-->

tr=$,2,3,4\ , fi=la,b,c,d) y c= F,z,l\,y

f :A-+B y

C,talesque:

.r = (r,¿)

Q,"\Q,a\G,¿) v

Entonces, es FALso que:

13. Dadoslosconjuntos,4={r,

r,

0), (r,

cr),

/=

(r,


g=

o}y B=fo.,9,6,f

(o,y))

a) gno w sobreyectiva b) fes una función biYectiva c) ges una tunción t*yectiva d) fes inyectiva y g es sobreyectiva. e) /rn es sobreyectiva y ges inyectiva

(a,l) (t,z\{c,z\(a,t)\

\

a) V.f'\o)=o b) f o s = {(a,t\(O,c\(","\(a,o)l c) La tunci5n (f " d*' no existe. d) »o"(s".Í)= {t,zJ,+} e) U"s.s\o)=l

88

lastunciones

y

ylastuncionesfdeÁen By gde BenA,talesque:

g= (o, r), (p,e), (6,o),(1,r))

Cap. 4 Rdar,úonc,ry fumctbne*


Sean losconjuntos

Ysean

f/ )

B,

¡= {a,b,c\, 3 = {t,Z}l, C =lr,s,tl y D -lx,y,z\. C y h: C) g, funcionestalesque: t

g:B)

¡ = {(",2\(bj}(c,r)}

'"-".4 i


a) (f"s"n\t)=y b)

Noesposibleconstruir lafunción

c)

goh * {"c:t,»,{2,*),(3,r)\

d)

Lafunción inversade,f

ol¡

;fog

existe

e) {s. fX")=, 15. Si se dan los conjuntos

a) b) c) d) e)

1 = $,Zl,A = \1,+lC = {5,6,1\, enton@s

El productocartesiano

AxBxC

El producto cartesiano

AxC

El productocartesiano.BxC

contienealatema

contiene a la tema contiene a

AxBxC El producto cartesiano A x B x C El productocartesiano

es VERDAD que:

(t,:,+).

(t,:,0)

.

latema (S,+).

contienealatema

Q,+,2).

conü.ene a la tem a

(Z.,l,l).

y 8={1,2,3,4,6,8}ysean /: A-+ B y g:B-) f={(a,b)eAxB/ b=2al

16. §ean losconjuntos l=12,3,4\

g = l(r,z\ (2,,2) (l,l

),

(+p

),

/tuncionestalesque:

(0,+), (r,+ ))

entonces es FALSO que:

a) gessobreyectiva b) /es inyectiva

c)

(s " X¡)= ¿ "f

d) ("r.gX¡)=¡ e) (f"s"f\2)=o 17. Sean

/

¿= $,2,3,4\ y B = la,b,cl

y Econjuntos tales que:

tales que:

r = {(r,a\(2.,c}(:,c}(r,"),(4r)}

y

§=

y sean las relaciones T y S :

Ats

B

(+,c}(z,c}(l,rx3,r)}

Enionces es VERDAD que: fy Sson tunciones.

a) b) 7u§ = AxB. c) I-5es una funcbn. d) fes unafunción y Sno b es. e) Ses tunción y fno b es. 18. Seanlosconjuntos

A={a,e,i,o,u} y

tales que:

f

=

{(a,n\(e,r}

(i,

r} (o,s}

Entonces es venDAD que:

¡={*,n,r,tl

(r,s} y

ylasfunciones

s = {(n,

"\(",

f :A-+B y g:B-+A

e\{r, r} (",r}

a) /y g sonsobreyectivas.

b) (/. sx')= ,

c) (s. ¡yp)= a d)

Lafunción

e)

Dom(g

(f " S) es inyectiva, 3 " f)=

89


C@p.

5 LotNúwne,ro*

5.1 ' Cr,esmlcAcróN

6.2

Núnrpnos REALEs

. .

PRopluDADEs

o

ExpRpsIoNEs ALGEBRAIcAS

oppn¿clolttEs

Nuestro primero incursión con ,los Motemóticos es quizlis cuondb -¡nteruccionomos con los nrÍ¡neros. si gueremos contq¡, mencionor nuestro

edod, nuestro peso,

lo

contidod

de dináro gue poseemos,...,

necesqriomente debgtitgs.recurrir o los númeres.'fro poro,estudios mós.

,,,

formoles,debemosdBfinirlos,closíficorlo''.oüiá".o.:;';;;P¡.d.;;:.'

9l

Cap.5 LwNúme¡w

Moisés Villena Muñoz I

5.1 CLASTFICACIÓN La clasificación de los números la observalnos en

el

siguiente cuadro:

Se podría decir que el conjunto universo de los números, es el de los números complejos C. Todo número complejo tiene la forma:

a+bi Es decir, se comPone de dos Partes:

; iil:m;íLaub, Si a = 0 tenemos a los números imaginarios; Si á = 0 tenemos a los números reales.

5.2 ITUMERO§ RTALE§:

R'

Los números reales está'n clasificados en áos grandes grupos:

1. Los números Racionales: Q.

?. Los números Irracionales: 92

1


Cqp.5 toyNú*nen*

5.2.1 ¡rÚUpnos RACIOIIALES. Q Los números racionales son todos aquellos que pueden ser expresados como una frac ci6n P , donde p eZ n.q * 0 .

^q

q

Por tanto a este conjunto pertenecen:

)

Los ENTEROS (Z). Estos números no tienen parte decimal diferente de cero, por ejemplo:

z=!-19= 6 -... 2s3

)

Los números que tienen una cantidad finita de decimales, por

ejemplo:

3.1=

I

l0

5.23=u 100

F Los números que tienen una cantidad infinita de decimales periódicos, por ejemplo:

a =3.131313... b = 2.42535353...

Para estos últimos números surge una pregunta ¿cuAt,

BS

LA

FRACCIóN

CORRESrcNDIENTE?

Para lo cual, tenemos la siguiente regla:

93

Cap. 5 LotNúme,rot

[/[oisés Villena Muñoz

t

I I

PASO 1: Simbolicemos el número con una letra: a = 3. 131313...

I PASO 2: ldentifiquemos el primer periodo o =

t

3.i3t313...

PASO 3: En base del número dado, definamos un número cuyo punto decimal esté después del primer período, es

decir

l00a = 313.131313...; y otro número cuyo punto decimal esté

antes

delprimerperíodo,enestecasonossirveelmismonÚmero,esdecir a=3.131313...

-ct=

I

es: , = 1'rO 99

Eíe/fftbl,ü2 como una fracción.

PASO 1 : Simbolicemos el número. con una letra: b = 2.42535353

...

PASO 2: ldentifiquemos el primer periodo b = 2.42535353...

PASO 3: En base del número dado, el número cuyo punto decimal esta después del primer período

sería:

10000á = 24253.535353... ; y el otro número cuyo punto decimal está antes del

primer período, sería: 100ó

=

242.535353. 10000á = 24253.535353...

números: * 100á =

PASO 4: Restemos estos

242.535353...

gg}ob :24011.00000 PASO 5: Por lo tanto, el número expresado en fracción

PASO 1: Simbolicemos el número con una letra: c

-

es: U =':::: 9900

3.0512512512 ...

PASO 2: ldentifiquemos el primer período c =3.0512512512...

PASO 3: En base del número dado, el número cuyo punto decimal esta después del primer período

sería:

primer período,

10000c =30512.512512...; y elotro número cuyo punto decimal esta antes del

sería:

l0c

=

30.512512... 10000c = 30512.512512...

PASO 4: Restemos estos

números: - lOc *

30512512

:

9990c = 30482.000000... 94

f

Iü

994 = 310.000000

Representar el número

I t

3.131313...

PASO 5: Por lo tanto, el número expresado en fracciÓn

;

I

1004 = 313.131313...

PASO4:Restemosestosnúmeros:

I

I

Cq.


5 LotNúumuot

I f

PASo 5: Por lo tanto, el número expresado en fracción es: c

I

¿st euror

-

30482 9990

sweuFtcAR ES\A FRACCTóú? ¿CóMO QUEDAR,A?

Si díuidimos el numerador para. el denominador de la fracción se obtiene el número en forma decimal.

1. Obtenga la fracción equivalente, de ser posible, para los siguientes números:

g

2.42

b) 0.01010t0t01......

c) 3.14161616...... d) 5.0203333.... 2. Calcule el valor numérico de:

5.2.2

1.3333.... + 0.1

')

o.03orrrn....

NÚMEROS IRRACIONALES

0.0666666... b) ' 2(0.3333...)- 0.ó

'

Son aquellos números que no pueden ser convertidos en fracción. Tienen una cantidad infinita de decimales no periódicos. I

Efemb

;

Algunos números irracionales usados frecuentemente, son:

t

e = 2.718281...

r =3.1415926... 2 =1.41421356... PRsculrlrR: Los números

5.2.3

I

,j

etc.

, u, ¿soa nnctounLEs o IRRACIINALE§? ¿poR auÉ?

REPRESENTACIÓN

Los números reales se pueden representar sobre la RECTA NUMÉRICA. REAL.

_J_¿_tAtZ

t4...

Se hace referencia a los enteros, pero esto no quiere decir eue, a los otros números reales no se los pueda representar sobre la recta numérica, es cuestión de obseruarlas camo decimales.

95

[email protected]

fvloisés Villena Muñoz

V

LwNúmuw

I

I t Ubique en la recta numérica los siguientes números:

'l

a) 3.14

bt

ri

,l

7iá

I l

d) -2.1 e)

I

*)A

I

,-%

I I

5.2.4 RTLACIóN DE ORDEN En la recta numérica, al ubicar un número cualquiera; los números que quedan a la izquierda serán menores que este número y los que quedan a la derecha serán mayores que e§te numero' Esquemáticamente sería:

Se puede decir

que m> n ó 1o que es lo mismo que n
Además, todos 1os números que están alaizquierda de m son menores que éste, y los que están a la derecha son rnayores'

1. Una de las siguientes proposiclones es FALSA, identifiquela. c) Qn/=O b) (QuZ)u/=R a) Rn/=/ e) (1nZ)uQ=Q

2.

e)

4.

l.,Q)cR.

b)

1nQ=1fr

cl

zeQ

d)

NsZ

NIc(Qu1)

ldentifique ¿cuál de las proposiciones es FALSA?:

a)

Qn1=
e)

Q-N=Q

b)

QuN=Q

c)

(Nn/)c =¡¿

d)

lR-Q=lnlR

Una de las siguientes proposiciones es FALSA, identifíquela.

a)

NclR

e)

§{cZcIc.R

b)

Qn1

=

c)

(NIu1)cR

Una de las siguientes proposiciones es FALSA, identiflquela:

a) i q = ¿ siempre que -2n es un número racional. b) , t.f '-q) = 3 ó (-15f2 esunnúmeronesativo. \5,, 96

d\w*I-z

Una de las siguientes proposiciones es INCORRECTA, identifíquela.

a) (§f

3.

I

d)

R-(Qu/)

-Y I


Cap. 5 Lo*N¡Ln¿e,rw

I

c)

H

(2e\ numero

es ractonal_

e

I esirracional, entonces -3 = I *4

d)

Si

e)

Una de las proposiciones anleriores es falsa.

.

5.2.5 OPERACIONE§ Los números reales pueden ser operados, dando a lugar a otros números reales. Existen las operaciones convencionales com; la Aorclów y la MulupLrcACróN (Rosre y Dryrsróu) entre números reales.

5.2.5.1 Aolcrór Sean

a y b números reales,

números se la denota como PROPIEDADES:

l.

o+b=b+

a,

la adición o suma de estos a + b y cumple con 1as siguientes

entonces

Lasuma es

CoNtraurATIVA

2. a+(b+c)={a*b)+c. La suma es Asocr¿rlvA 3. a+0= o, Donde 0 es llamado "roÉNTrcoADrrrvo" 4. a+(-a)=0. Donde -a esllamado,,rNVERSoADrrrvo

d.e

a"

La operación RESTA o - b se la considera como una sum a d,e a con el inverso aditivo de b, es decir: a+{-U).

5.2.5.2 Mu¡,trp¿rcAcróN

a y b números reales, entonces la multiplicación de estos números se la denota corrÍo a.b y cumple con las siguientes Sean

PROPIEDADES:

1. a. b = b. a . Lamuttipticaciónes COTVIUTATIVA 2. a . (b . c) = (a . b) . ,. La muttiplcac¡¿n es ASOCIATIVA 3. a.l= a . Donde I esllamado"lDÉNTtcoMuLlpucATtvo, I 4. a.( ') = 1 . Donde I esflamado.l¡¡vcRsoMurlpLtcATtvoDE a,la Oa

*01

La operación DIVISIÓN a + á se la considera como una multiplicación de a con el inverso multiplicativo de b , es decir:

" (;)'

donde

b*0.

¿PoneuE?

97

Cep. 5 LotNútme,rot


5.2.5.3 OponecroNps

BINARTAS

Además de ias operaciones mencionadas hasta aquí, se pueden definir otras, ya no convencionales y sobre cualquier conjunto'

Seo S un conjunto cuolguíero Y seo aesnáe§. Supongo gue se define lo opercción "*". Esto operocíón será BfiNAHúA si y sólo si ol por (o,b) le osignomos un único elemento de ,S , es decir el resultodo de {a * b) debe ser un elemento de ^§. Simbólicamente:

t'*'!i§Í§,H

§:.

"(¿;alp

¿na

qíwbL Sea

elconjunto s = tn y "*

Esdecirquesi

,,

" una operación deflnida de la siguiente manera:

a=2 y b=3,entonces 2*3=2+z(:)=8

enotrocaso'si

_ a*b = a+2i'

a=-3 y

.

b=4'entonces

(,:)-+=-3+Z(+)=5.Enfln,sepodriaestablecerlaconespondenciaparacualesquieradoselementosdeS,no necesariamente diferentes. Se puede observar que el resultado será siempre un número real, por

En cambio , si tomamos al conjunto s =

üxb = u-2b

[i.' y

"

tlito

és19j9 t{giPgración binar¡a

* " la operaciÓn definida de la siguiente manera:

,

NOESB|NARIA,porquesi a

=2

yó=

4

entonces

2x 4 =2

-2(4)= -6 É R'

Aunque no 1o hemos mencionado, porqLle no era necesario, pero en el conjunto de las proposiciones, las operaciones lógicas de disyunción y conjunción son ejemplos de operaciones binarias. También 1o serían las operaciones de Unión e Intersección sobre el Conjunto de todos los conjuntos.

Uno operocíón Binorio podrío cumplir con los síguientes propiedodes:

CONMUTATIV A Si, va e s"vá e s [a * b = fi * qf 2. ASOCIATfVA Si, Va e ^§,vá e S'Vc e,§ fotulu*¿')=(a*á)*c] 3. PROPIEDAD DEL NEUTRO Si ,ln e "s, va = s h * tt = a] , n es llomodo el elemento neutro,idéntico o nulo. 4. PROPIEDAD DELINVERSOsi v"e s.l1 e s[,r*r=nf , t es llomodo el inverso de u . 1.

98

I


C@p.

5 LotNtiumerw

Eíe,vnblo 3 La operación binaria

1. NOESCONMUTATIVA, 2.

s=n.

definidasobre porque

¿l*b=a +2á eSdiferente de b*a=b+2¡t

TAMPOCO ES ASOCIATIVA, porque

¡7*(t* c)= o*(t +zc)

a*b)xc ={a+Zb)*c

=a+2b+2c

es diferente a

=a+z(tt+2c) =a+2b+4c

EL NEUTRO seria: ??????? 4.

El INVERSO serí a: ???????

Ahora analicemos Ios siguientes ejercicios resueltos.

Si " x " es una operación binaria definida sobte '1, de la manera

w,

identifique ¿cuál de las siguientes proposiciones es VERDADERA?: a) (Z*5)*3=6 b) La operación " x " es asociativa

c) 0x1=0 e) 2*5>2x6

d)

La operación "

*

"

es conmutativa

SOLUCIÓN:

(z*s)*3 =\22 +52 -z(z)(s)).:

a)

=

Cabulemos

(s)-: más no 6 , por tanto esta opción es FALSA.

=e2 +32 -z(sX¡)

=3ó b)

operación

la * b)*

¡ =lt2

+ h2

-

2ab)*

a$oc¡ativa

debe cumplir

{a*tt)*s=6*(t*c) ,

entonces hallemos

1,

=(o' * t' -2rbY * r' - z(u' + b2 -2ab

Y

|

=o'*b,t

*rt

-»r)=

-zr(t'*r'-z¡41

los dos resultados anteriores son obviamente diferentes, por tanto esta opción también es FALSA.

C) 0*l=02 +f2 -Z(O[f)=l masno 0 comoseindica,portantoestaopciónfambiénFALSA d) fara que la operación sea conmulativa debe cumpllr que * g = g 6, entonces como a*á = a2 +b? *zab y como á *a = b2 + 12 -2ba laoperación si es conmutativa, ¿¡

esta es la opción VERDADERA

e)

esrl-sR

portanto

,

¿ronouÉ?

R.gt¿,p,lta2

Eít

Sea

'x

S=

[,O,n]

un conjunto sobre

define una operación binaria

el que

representada en e¡ s¡guiente cuadro: :*

A

o n

A

o

o n

n

^

A

o

il ^ o n


a)

n'*1O*^)=(lI*O)*A

b) El neutro de la operación es

n

c) II*(O*O)=A d) n*1O*A)=O e) La operación es conmutativa

99

Cqp.5 LwNúmuot


SOLUCIÓN:

a)

Analicemos cada opción:

De acuerdo al cuadm

¡*(O*A)=n*(n)=II

y

como

(n*o)*¡=(o)'i1=fI,

por lo tanto esta

opción es IERDADERA.

b)

De acuerdo al cuadro observamos que operando cada elemento del conjunto

§

con

II

se obüene los mismos

elernentos, por tanto este es el neutro, el idéntico o el nulo de la operación. Esta opción también es VERDADEM.

c)

n *(O*O)= n *(A)= A

d) ¡,t (O * A)= fI * (II)= II e)

Esta opción también es VERDADEM.

que es diferente

de O , por lanto esta es

la opción FALSA.

ESVERDADEM¿ponoul

1.

Sea la siguiente operación:

* :ZxV, -» Z

,

talque x*y=*2+y

Entonces es VERDAD que: a)

*

b)

no es una operación binaria.

e)

2.

3.

(2'tl)*$=g

Sea 5 = {a,b,c\;sobre

este conjunto se define la operación binaria "

c

A a

a b

q

a

a)

b

b

c

b

b)

c

a

b

c

Seael conjunto

b

ldentificar ct¡ál de

c) - *O't ÔO (oer)er=o d) e) (-el)eo=*(E(aeo) 5 = {t,2,3}

. y sea

Laoperación

'@ ' una operación

e noesbinaria.

La operación es conmutativa.

0 tiene el elemento neutro. (rez)erl=z e) La operación

'A

'es conmutativa

tal que

es'?'

c) (zel)etles. d)

s§uientes pmposiciones es VERDADEM:

. La operación binaria


a) b)

" por medio de la tabla:

c) (aLa)=ft44"¡4"] d) (bM) = ftAar¡a"] e) 11"*¡t1ot"¡l* @Lb)

Entonces es Fetso, que: La operación es conmutat¡va. El elemento neutro de la operación

Sea el conjunto

la

A

(aLa)=s

5={4,O,*,?} .Yhoperaciónbinaria"@'en

a) b)

100

(1*0)*l=1*(0*2)

d) La operación es asociativa.

c) La operación es conmutativa.

en

§

definida por la siguiente tabla:


Cep.5 LwNúmetot 5.

Sealaoperación

. a) b)

*iV,* xZ- -+Z*,tal

que:

x* y = x2 + y2,entoncesesVERDADque:

no es una operación binaria.

(3*2)*(4)=

16e

c) La operación no es Conmutativa.

(t*z)*¡=25 e) (1*l)=2 d)

6.

*

Si se define la operación binaria a b = a2 + ab + b2 en elconjunto de los números naturales, entonces una de las siguientes proposiciones es FALSA, identifíquela.

al

a*b=$*s

b) 4* 6 =76

l+(t*t)=+ d) a*0*a c¡

e) La operación binaria

*

es asociativa.

5.2.6 EXPRTSIONES ALGEBRAICAS Los números reales pueden operarse para dar lugar a otros números. Combinando las operaciones para diversos númeroJpuede ser necesario expresarlas para luego obtener su resultado. (2. s)-(o * :)+

(r o

* z)

Sin embargo en ocasiones pueden aparecer también letras además de

numero§.

(2. x)-(x

+ s)+

(+)l* (x + 2)

Estamos ante la presencia de una ExiREsróN A¡,cpnne¡ce. Entonces una expresión algebraica es la representación simbólica de operaciones, donde los símbolos son combinación de números y letras.

una Expresión Algebraica simple es llamada Término y

está compuesta por una parte numérica, llamada coeficiente; y por una parte literal: CoeficienteParte Literal

J'»

2, 3 ODC

Término

Sin embargo el término puede estar formado sólo por Lrn número, en tal caso se 1o denomina Constante.

A las letras de las expresiones algebraicas se le denomina variables, debido a que podrían ser reemplazaáas por números y se obtendría un valor numérico de la expresión l0l

CaP. 5

tr¡loisés Villena Mu ñoz

LoylturoY

Las expresiones algebraicas compuestas por:

F

Só1o

un término,

se llaman MONOMIOS.

n 2t 3 5A DC

Dos términos, se llaman BINOMIOS.

Eíonnbl§ 3a2bc3 +2ab2c

F Tres términos,

se llaman TRINOMIOS.

3o)bc3 +2ab2c-abc

P Más de un término, se llaman POLINOMIOS. Entonces todas las expresiones anteriores serían polinomios'

Luego var.i a presentarse con frecuencia los polinomios en x.

3xa + 2x3

PnpCUxta: ¿CuÁNrOS

-x2 +x+5

TÉRMINOS TIENE EL EJEMPLO ANTERIOR?

5.2.6.1 Fnaccrol{Es ya hemos definido a los números fraccionarios, ahora puntualicemos definiciones sobre las fracciones algebraicas.

una fracción está estructurada de la siguiente manera:

Donde

a " A" se le llama NTTMERADoR y a" B" 5.2.6.1.1

se le llama DENoMINADoR.

OPeraciones

Con las fracciones se pueden realizar las siguientes operaciones: 1.

*C = aD+cB ; B+0nD*0 suMA, ABD BD

/¡\lc\ n' 2. MULTIPLICACIÓN: t il p]t- BD',, u*o¡D*a I s,l[ r02

Cap. 5 LoyNtfute,roy


A

(.s\( o\ n''. B =[rJ(..J= ,+onc+o c BC'

3. DIVISIÓN:

D

No olvide que la división entre cero no está deñnida.

Con estas operaciones, en ocasiones es posible reducir una expresión algebraica a la mínima expresión.

fje/ynplp Si r e R n-(x = 0) n-(x = 1), la expresión algebraica:

se REDUCE a:

a)

x,(x-l)

b)(x-1)/x

c)

x

SOLUCIÓN: el ob,ietivo es reducir la expresión dada operaciones desde la más intema hasta la extema:

l-

-1-

',

'-,-,1

a,,i

a la más simple posible, para lo cual deberá ir realiándose las

',

-r

-l*-

':r"':*-

='-,-", ,,i:l'-,=',: i;-::"¡ t'.

r--.1

t

:i i i't",

I

I

l+

t

I+

l+

.8 ' 13

2.

AI RESoLVER

I 2

)

.13

b)'t3

a)

'.

se obtiene:

I

l+

u.l-u=¡i,-'-'

:-.1 "'

Por tanto la RESPUESTA es la opción "d'.

AI RESotVER

t,

,.rlrl .''';]i '" I-l :

i. f.,

'l'r-l-li

e)l + (,'x)

dlll x

c)

2

ll

5

d)^" ,5

e)'13

o)l

e)

se obtiene:

rl r-l l-l

a)4

ulo J

4 .J

,)o

.l -

J

r03

Cqp.5 LwNtune*ot

fvloisés Vilbna Muñoz

?

I

I I

3

SIMPLIFICAR

Al

I

se obtiene:

+_I I l+x 3x+3 b) Zx+l 'l

a) '

4.

'3x+3

2x+l

Al SIMPLIFICAR

-

1

- -- -':'-

-r*ll-

-

I

c)

x+l 2x+l

II

1t d' 2x+l

'3x+3

e)

se obtiene;

'

a)

5.

2x+l

Si se slMPLrFlcA

x

x-l 2x-l b)'3x+3 c)-Zx+l I-

:'

1x

de) '2x+l

Zx+l

1

,seobtiener

.l

'- J--n i;:l

2a+l

a)

a+7

b)--2a -3

' 6a+3

d)

ba+ I

2g-!3

2a+3 c)_ '7

el2a

fla+ I

5.2.6.2 E¡rponPnms Existen expresiones algebraicas que poseen potencias de la fotma an . Una potencia es una manera abreviada de presentar un producto de un mismo factor, es decir:

IineNr,a*o Donde "

a"

se llama BA§E

y n se llama ExFoNEI§TE.

Para simplific.ar expresiones algebraicas que contienen potencias habrá que hacer uso de las leges de los e;rponentesi,

t04

II

I

1

l-x

I

Cap. 5 LoyNúmo¡ot


5.2.6.2.1 R¿dicales (&rponentes Fraceionariosf Los e*psrregles fraccionarios, son no otra cosa que los radicales. Es

d.ecir:

I

donde

a>

n

es D¿rr.

'cuando

Entonces, ,1, =rl); =&;Y Veamos la utilidad de esto último.

Ejempld Queremos calcular

;1 =l¡s'i , entonces es mejor observarlo

como

(l,gl

= 2s =32

.

Ahora, analicemos los siguientes ejercicios resueltos.

aelRn*,(a=0) es equivalente a:

al 4 b\

2.o

c)

t,/

d)

,/A

4a

e) 2a

SOLUCIÓN: Aplicando leyes de los exponentes, tenemos:

.a o-r/,*\;-r,i;);-1í=l o,.i fr"% t; lzr^",o, lo%o-,,*;%,i,

o'¡

"'ot,/1

f tt la '6 -lrl - | s,/ ' Lo',u f -ez =lo /6+a

L_l

= lo-,

2/ a'6 l2a/3 i, I r 3 o 6)o 3./ -ez1 /612a/3

lot',

* o-tbo r

=h,-,h, =4 Por tanto la RESPUESTA es la opción

'a',

105

Cdp.5 LotNtfuitotot


I I

ü ¿

I

;

al2^32^ 53^ SOLUCIÓN:

b\

2*

c)

1

d)3'

el5^

Descomponiendo las bases en sus factores primos y aplicando las leyes de los exponentes, tenemos:

4* 27'3 125 * 6?o, _ ,z*33*.4 53^ (2 * 3f ,, g'', 9t',,rr, 2t^t3u^,(s*zf* 2'*3^53*2!'32' =

t

I

2n 33n 53n 23m

=

,,

24n 33n 53n

2r^

¡

;

I :

33n 53n

=l Por tanto la RESPUESTA es la opción "C.

a

.i a

: ;

! Sereducea: al- l4 ') -, ,'(r ',l. rc.ti

b)r 'l' )

+

15

,ll -

8 ,t-\,s o),t; .,ia

t

t

etÉ,4

i:

;(z.i-: a,i')3 .'órl- jj,¡ ='f rc.1Á*z ) +

-.13

.,3

SOLUCIÓN:

, -l + 2ll -,(, -t,I 16r16.2

+

.o

)

.'( e-.'z' - e 'i )'I =)l 642

[

z

+

11

I

- 'r§ . 1

t tI

,i3

-

3.r3

)

5..3

t

";3

'i \3

a

-),1 -2.u3 =)il ---:- I +-':---it

J[«./z )

, .-'3

=[ri ! ] (!rz7

I II

-,

=ll)'-, \2)

I t

=l8 -z l5 8 Por lo tanto la respue$a es la opción "b'.

1. Al SIMPLIFICAR

la siguiente expresión a§ebraica:

| ,,,.û,

li,,r;",, seobtiene:

, (;)'

b)

3ab

c\ b3

d\

o3b2

e)

ó-l

106

t


Cilp. 5 LotNúmp¡ot

La siguiente expre sion:

o¡wl{otf::r

m-l

* oU

es EeutvALENTE a:

»ai}i) c¡^-t(abf ,r,,á)

.?r11

n- .'m'n. n' 'm 1.¡*2, ,, n3

=',m

Al slMpLtFtcAR la siguiente expre s¡6n.

.

a)

q*l;(;l)

2/

m/3

b)*

_1.. 5. 4n 6

se obtiene:

_1. 3 c)m 4n 4

d)l ' I

n-6 3.. _5/6 e)n.'4¡

r

t At srMpLrFrcAR ta expresión atgebraica

.2

a)"a

5',

m/4n/'6

) n

b

zt

l-r u

'

.t'-3 ',^t rrcoz I l3'

,t;';

I

se obtiene:

I

.3;

.,4

,1u;

");,;

AlResolenlasiguienteexpresiónalgebraica:

"ti

b

: r U -: r'i:¡'

se obtiene:

a)

*rra, b) * é.r, c) lXt_t,

d) i,u,¡;¡;

e¡

!,t,ti¡,

At stMpLtFtcAR ta sisuiente expresión atsebraica:

.[;_i:; i] [;_l :;_i] '

I

*(r*

*r-'¡

se obtiene:

.t

et

b)

'(x+y)

7.

I -.(-r +

c)

sisesrMplrFrcAraexpresiónargebraica:['

\ a) 0

b)

8. si se sMpLrFrcA 5

ab + 2 a

-

a)l ,

,/a

9'

Laexpresión,

al

?át

-l

la expresión:

(4 ab

+ 2a)

(x+;,1-r+l

d)l

e)

-v)

a +b h a+ á c)4

'-'r]*l-t

;i('t''

]'

./( o-b )

d)l

y el

resultado

-l

seobüene:

e)-4

se lo multiplica con la

expresión

, entonces el resultado final es:

b)ab

c) I

d)

a+b

e) 2ab

( t. -, r" l-' ) ,|o p,,.! ru¡ ot

1s

seREDU.Ea:

")-?zt

d)

-ró

d)

)s

Si la operación de suma entre fracciones cuyos denominadores son números primos (¿Qué es un número primof) o no tienen factores comunes, el asunto es muy sencillo, tal como se describió anteriormente.

107

Cq.


5 LotNúnw,rot

l,íe,mDlo 22 15 y el El denominador de la fracción resultante es la multiplicación de los denominadores de las fracciones que se operan, numerador de la fracción resultante es la suma algebraica de los productos de los numeradores con los denominadores de la(s) oka(s) fracciones

Para el caso de fracciones algebraicas, el tratamiento es analogo.

tiWto lz . x+4 (x-2\x+5)+(x+a[x-3) .\ x-3 'x+5-

(x-3)(x+5)

Suponga "n más práctico trabajar con el Mínimo común corrtunes. Resulta Denominador, es decir, con e1 menor número que contiene a todos los denominadores.

Ej?lttpl§

_4 _ 3 * 4 _ (i_p)+_(+)(z) ro rs-(z)(s) (¡Xs) (z[r[s) 3

La fracción resultante tendrá como denominador al número compuesto por los distintos factores primos que tienen los denominadores de las fracciones de la operación. El numerador de la fracción resultante será la suma algebraica del producto de los numeradores de las fracciones que se operan con los factores primos gue no correspondan

a

su

denominador.

Veamos con fracciones algebraicas

Eiotnplel

x+4 = G-:Xr-3)+(x +a\x-2) (x-2\x+s)+ (r-:[,+5) x-3

G-zXi-3)(x+s)

que La kacción resultante tendrá como denominador una expresión algebraica compuesta por los distintos factores primos

tienen los denominadores de las iracciones de la operación. El numerador de la fracción resultanle será la

suma algebraica del producto de los numeradores de las fracciones que se operan con los factores primos que no conespondan a su denominador.

+ ¡ a

EíennDlD2

x+4 - (x-3{x-3)+(r+ a\x-2)2 (*-z)'(x+s)- (r-:[x+s) x-3

G-z)'(.r-3[x+s)

I

¡

Los denominadores deben estar expresados en factores primos.

El denominador de la fracción resultante estará compuesto por los diferentes factores primos que tienen

los una sola lo considera se fracciones en distintas repetido factor está Si un la operación. de las facciones de denominadores mayor vez, pero si está repetido en la misma fracción,'se lo deberá considerar tantas veces como esté repetido en su número de veces.

que se El numerador de la fracción resultante será la suma algebraica del producto de los numeradores de las fracciones denominador. que a su primos correspondan no operan con los factores

108

I ¡

)

,


Cap. 5 Lo*Núme¡ot

)

I

)

)

I I

»

I t

¡

Para las expresiones algebraicas es necesario emplear el producto notable y la factorización.

5.2.6.3 PRouucro NoTABLE Al reaiizar la multiplicación de ciertas expresiones típicas y observar

sus resultados singulares nos lleva a proponer lo siguien[e: 1.

(x + a\x + b) = x2 + bx + ax + ab

=*'+(a+b)x+ab

I

Si E

I

=a

tenemos (* + r\* + a) = (* + o)' = *2 + 2ax + ctT

Observe también que (r - o)' = 12 -2ax + a2 )

I

Si

I

[r-

tenemos

I

I ¡

I

2.

(*+"\*- a)=*2 -r'

Otros productos notables a consid.erar son:

(*- o)' = *t -3x2a+3xa2 - a3

I

I ) )

(x + o)3 = 13 + 3x2 a +3xa2 + a3

I ) I

I I

¡ I ¡

)

¡

5.2.6,4 FactoRrzecróx En el proceso de simplifi.car una expresión algebraica, reducirla a la

mínima expresión, es necesario expresarra en factores.

T

)

¡

La factorízacíón es el proceso contrario del producto notable.

5.2.6.4.1 I'actor Común

) l

Cuando existe un factor común en todos los términos de la expresión.

:

6ab2c3 +6a2b2c2 :

+t8a3bc:

=Z)i¡r? *airin? *Á¡zfirri? =(eoo"'\t, + ot +u2)

:

5.2.6.4.2 Diferencia

de Cuadrados

Del producto notable, tenemos

r09

Cq.


5 LotNttwneroy

ííetqlel (x'1 -9) = (r + 3)(r - 3)

Eftn4plo2 5x4 -80y4

=5(x4 -l6yo) =5(x2 ++y21qx2 -4y2) = 5(x2 + 4 y2

+ 2y)(x

¡7x

- 2y)

líemDl,a 3 (x2 *8) =

(¡+ 8Xx- 8)

5.2.6.4.3 Diferencia y Suma de Cubos DIT,.PRBNCIR

Suue

Demuestre que es verdad

t 3

-6t

l= @ -b)laz + rb

+á3 )=

1o

+ b2

g+b\lu2 -ab+b2

anterior.

5.2.6.4.4 Trinomios De acuerdo al producto notable

(x+a) (x+ó) = *2 *(a+b)x+ab \'---v¿

pq

= *2 + px+q

Observamos que todo trinomio de la forma *2 + px+q puede ser expresado como el producto (x +a\x+á)donde: a+b= p y a.b=Q

Será cuestión de encontrar dos números que sumados algebraicamente den Estos números son

lr0

(-3) y -2 . Entonces:

-5

y multiplicados, 6.


Cep. 5 LotNúmorot

*2 -S*+6=(r_:[x_Z) NOTA: at primer factor se le asigna el mismo signo del término lineal, y al segundo factor el resultado de aplicar la ley de los signos, al signo del léqnino lineal con el signo del término independiente.

5.2.6.4.4.1 Trinomio General

un trinomio de forma general mx' + px + q puede ser expresado

factores siguiendo el siguiente proceso:

1.

en

Multiplicamos y dividimos para" m"

mm =(mx)'

+ p(mx)+ mq m

2. Factorizamos el numerador para " mx" de la misma forma que el caso anterior. .2

J-X

+I

1¡+ 6 =

=

(3x)2, +-l l(3r) + t 8 3

(lx

+9)(,3x + 2)

I

= (x + 3)(3r + 2)

íoRe,wdful Al SIMPLIFICAR la expresión: se obtiene:

. ¡-3

'x+l

d)'x-3 '+3

,@*.,

. x2 +3x -9 ct-_' x-3

.¡(t*tX'*:)

soLUClóN: Primero expresemos como factores los términos susceptibles de factorizar

(2x-6)(2x+t) r, 'l(to.r)1)

=(x+3)(x-3) -2 l-

[

1'*¡¡'-¡l

tt+2..1.,¡ (x+3)(x+l)_]

_(x-3t(2x+t)[(x+3¡(x+3¡ 1x+f)l _ (x+3)(x+l) (x+3)(x_3) | {r+Zr¡ (r_3)j - 1r_j¡ De acuerdo a este úllimo resultado la respuesta es la opción "e,

lil

C@p.

tvloisés Villena Muñoz

5 LatNúmp,rw

Al SIMPLIFICAR Ia expresión

,) 'I x

b)

I x

c)

x

e)r-l

d)-f'x-l

SOLUGIÓN: Primero se expresa como factores los términos factorizables.

[¡l-'

=lI

.t 2x-t I '-,r.r, I =Lr,

r!r+5x-3

|

-x-e

-+ri¡l

I

rr' | ,(,*z)-: *2

)

,(,+z) I [G-¡X,-r) =lI (zx+olzx-t) I

lt l_zl (x-r[x+z) [

I

Q,-t) l

-]

_

l¡z+2x-3

-_l '

l

=l . ,(rlr) .l .(,-3I,-r) -l(¡+3X2x:t)l: (zx-t)

[ (,-rX,*z).]

(x-3[x+2)l-'. (,-:[, -l) [G*l[x-r).-(x+l[zx-t)J --L x(x+2) Qr- r) --[[G-rX,-¡)-l-' .

(,-rX,-r) (2,-t)

'(2,-r) ](r-¡X'-l) ,(z*-!) _ . - (x-rlx-3)(zr-t) =X

De acuerdo a este último resultado la respuesta es la opción "c'

1. stMPLlFtcANDo a¡ xz +

2.

yz

Ar srMPLtFlcAR ta

a'¡

3.

laexpresión algebraica

Al

b\ y2

-*?

expresión:

(a+ttf

SIMPLIFICAR la

c)

,

o'

'-t * '-t * '-l -* '-l *-t ','-' ] ¡ '-r -,-r

(rz - *z)f

2xy

:::b.i!:{

e¡z|.z

d\*2 - v2

ó

a¡ (a-

expresión:

[L' .JT 27-a3 I It- s-o' ll("*¡f-¡,1-

se obtiene:

ct)

oi-_nu,

+

tf

.l k-¿)

b;;;;Y

, \l;:i)

b¡

a3-3a2 ,

hl:/

y2)

se obtiene:

v'-*f'|*'-Élo+t) a

b)

se outiene:

e)

Cq.

ft{oisés Villena Muñoz

2x2 Al SIMPLIFICAR

a)

la expresión: *(t.*

q

¡

I

c)

;= o-r*-*' *

3

x

5

LotNfu*p*ot

-x-6

-l==-t :2-

a¡-

Se obüene:

,-;l

cuando

.x=2 0 -

e) 2

cuando

x=l

1

;+l¡tt :ut-Lto:utl Arsimfliricar: l'-' o' a'-x' J

seouriene;

lL - a+x ll or

-1

a)

a+x

b)

a+x-t

("-r)

r)

dl x-a

e)(a-xf'

2

¡ : I - J--f*:¿ se obtiene: 5*5 ¡-l x-3 . ¡+l c) o¡ to(x+t) '10 --

Al SIMPLIFICAR la s[uiente exprcsión atgebraica

a)2

b) 10

7. Al SIMPLIFICAR la expresión algebraica: *4-"3**2-, -- l-r4a)x b) r+l c) ^L I+l 8.

Al SIMPLIFICAR la

epresión:

a 4 -zozbz *4b4

-

e)(x+r)

se obtiene:

- "-L r+l

d)

e) ' ¡-l

se obüene:

a6 +8b6

"¡ 12

-zoz)

a¡n.2

-----. a-x !a+x

b)

")v;i-ua d)

");rlrl

+za2)

it"a(o+r)

+

c)

b'c

e¡(o+

'@:4 '@h

V"+,

))á

10. ArstMpLrFrcARraexpresióndsebraica:

f'*wseobtiene:

(oz

_r\, (Js \, .l.;i]

["';;J a)a

c\ab 'b

b) á

d)g

.b e)a

6x2y+7ry-3y 11. Al SIMPLIFICAR laexpresión

xv-x+5v-5 --* xty+4x¿y

I I

i

seobtEne:

i;4y_4 . x3 +5*2 a)6x"^+7x-3

u¡

(ztllir---0 o, ' xzy(*+s)

,,Éi.:oü-

(zr+r[:r-r)

(zx+r[rx-t)

v^, -

*1.*+s)

6x" +7x-3

I I

I I

ü.

113

Cep.5 LwNúmerct


12. At srMPLtFtcARlaexpresión,

["] t'lr3)o@y*), , -- + 2axf n' + 2anx 4a' x'

a)

13.

m+2ax

bla

srMPLrFrcANDo

a) I

c) 8a3

d)

-2x

12

tt

o3

+2o2b-ab2 -zb3

iol * U* * O,U, -. a+2b a-2b . '-dl,2 cl,2 -

btb--o

yf ='2(* +3y)+ yz (y +tx)

=(r-y)(r+y) .) (,- á)= (,r; - "i:iw ; . -i b) bl*2 -y2

{(x+y)a =Q'*zr*r'f e)(r-y)2 =12 -y(z**y) 16.

¿Cuál de las siguientes proposiciones es FALSA?

a)

a(x-y)+a *G- il2 =(2.* *- t)2

b) 6x2 -x-2=Px- z\2x+t) c) 2o- x- x2 = (s +xl+-x) rl(l'2 d) *'*li=[,.;,,)

e)

h'-r' +x-y)=$-rlr'+*y*y2

17. Una de

+r)

las siguientes proposiciones es VERDADERA, identifiquela.

a)[r-r*r-r)2 = *-2 + y-2; ¡*o b)-.I;l* -r/r-l

**3-

=-"l¡+l;

i¡-t

cl ?.=2*2, x+y )c y il' 1,t4

r;i'

e)

18.

x

x>0¡x*1

x*0ny*0

5 G

ltx=l;

x+o

Una de las siguientes proposiciones es VERDADEM, identiliquela.

b) c)

,)é*ar-r-5ro=4,si x=4 zo

-z-2-'

3

d)

211fr ( ,r*t \"' 5 q -z =

e)

Marque esta casilla

e) ' x-y

x+y

15. ¿Cuál de las sigubntes igualdades NO es identidad? a) (x +

e)(. +zmft

q-zY

cl'x+2y -----'

Al SIMPLIFICAR la siguiente expresión algebraica

?*? "l'22

seobtiene:

I

seobtiene:

€f##

Y: b)-x+¿y

x+y

-

l-

lm

[;¿;'r-') ¡"

si todas las proposbiones anteriores son falsas'

se obtiene:

.

a-b

e)-

i

I

Cap. 5 LotNú,morot


19. AtsrMplrFrcAntaexpresión

a)

20.

*2

y2

b)

+h{

zx2+xy-y2'

I

c)

En laexpresiónalgebraica

-;v: -l.t¿!!-

S

seobtiene:

2x3y2-x2y3

x+y

d)

I e)

xy

r/

-"r- ' *I . s¡ ,.reemprazaa"Í"porun númeroenteromayorque r x¿ -l

entonces se obtiene como resultado: Un número entero positivo.

a) a) Un número fraccionario menor que L b) Un número fraccionario menor que -l c) Un número entero negativo. d) El número cero.

Por otro lado, tenemos:

a' -b' )-(a - b\a" + o"'b + a'-'b' + a"-'b' +...+ b"'

Sin embtrgo, factorizar un binomio de una forma ejercicio que se esté resolviendo.

u otra depende del

liif##Pbl if'

puede ser factorizado como diferencia de cuadrados o como diferencia de cubos o

usando la regla general.

Esdecir: 1. *u -

yu=(r')i-(r'l =(r'-y'lr' *y')

=(r'l -b'l =(*'-y'l*'*, 'y' * yo) 3.ru -yu =(r-rfr' +xay+*3y2 +x2y3 **yo + yt) z.*u *yu

En cambio,

puede ser factorizado sólo de dos formas, como diferencias de cubos o

usando la regla general. Es decir:

1.

*' - y'

2.*n

=

ft'l -b'l

= (r,

-y' =(r-y{rt**'

-r,116 +,,y3 +yu)

y+x6yz +xsy3 +x4ya +x3ys +*'yu

+ry'+yr)

I 15

Cdp. 5


Lo*Númuot

Rerudtc A¡ SIMPLIFICAR la expresión:

alx3

-

y3

x2 +

b)

y2

dl"'*yz

c)x3 + y3

e)

x-y

SOLUCIÓN: Primero expresemos como factores los términos factibles de factorizar.

r

.i

!;

o (.' -,u)=

i;l?illf'

(FI - (,,'t)

.(l-r'll*r')

+iy3 +y6 (l-,r'l,u*lf *yu) *6

= x3 +y3 De acuerdo a este último resultado la respuesta es la opción

.c'

Finalmente, para RACIONALIZAR una fracción, expresar la fracción sin radi'cales en el denominador, puede hacerse 1o siguiente:

Eje/nnplol

fiacción simple, como

Si tenemos una

z

es decir

5 31 ,.. .1:= ')

3

;

,

r. puede multiplicar numerador y denominador por

J

2

Ejernplt2 Si la fracción presenta en el denominador suma o diferencia de rafces cuadradas, multiplique tanto al numerador como al denominador por su conjugado (h suma o diferencia de los radicales presenles con signo contrario)

con el objeto de formar diferencias de cuadrados.

I

3+

a===

,5

3+-,5

,'5 3+ ,5

3+

3- s J* 5 l¡)2 -l s)2 e-s

4

conjugudo -\r\/

C,jernpl,c 3 Si la fracción presenta en el denominador suma o diferencia de ralces cúbicas, multiplique tanto al numerador como al denominador por su factor conespondiente para obtener diferencias o sumas de cubos.

I

tz+t4

.

((, (F

,f -li) 1'+.f.'af )

if -1¡z

,.¿ *

,F j (f _

(l'o)')

(. 1.+

*ir¡

23

4.(,

rl.f

oI

+3.,rc

2+4

r16

=3i

*I) 4

-z+ z) z 6


Cdp. 5

j-

SlMPLlFlcAR,

Al

...;5

a)5

2.

,J

i3

+

b)

*

LoyNfuttt¡ty

.5* 3 Se obüene: -

i5

ri3

cl4

8

dl2

e) I

lndicar ¿cual de las siguientes igualdades es FALSA?

. I

3+.5

al'3-.5 ár,3 +

4

t, =

(,. :[', -r. )) ¡,i -,a'+b

. I c);

l.a -b

a-bz

dl -1 *.2...=.2+.,3 2-l ..'3+l * qY

")b

3.

+ 3(p +

q)-

a = (p + q

+

a'(,J, +

-Z a,S ' Í + ,S r\ o! lo )*ti+s .11 +21 .1 ,7 1.4

*--...lL a) ,7 .'7!

.. o),7

.i dl,7 '

e)'

-.'tl-

2427

expresión:

)tc)'7-

I

+2 !1- l.!

d) 3+8'6 ;-

e) 3+22

.

'9+1,t2-)z

b)

a)

7

dl

1.

?;g

+23

i

n

Si

1 = IR entonces

NlcZ

se obtiene:

12

c¡:3-

,

'2

.r,

-*,2

g!, c) -0\í 7r,

72

b) QsZ oN{sR. c) Nq1 y ZcQ d)

.

. 9', +12', e) r-

I

Si Q

r¿

.9


a)

ii

7

-1:ñ

t4

-'*8

3+ 2 ,'2-'3

i5 i

+

,,!.t0

a) ++) e

para

seobtiene:

I

ril2

una expnEsróru EeurvArENTE

-t)

,+,t

Al sMpLtFtcAR la expresión:

Al RE0UCIR la

q

entonces

mlsa, identifíquela:

Jl eZ

QGIR,

e) [(q.rr=m),^,(N wz=z)f 1

I tt7 ri

t

Cap. 5 LotN¡imerot

ttlohés Villena Muñoz

x+- Xt 1

2.

-_r

Si se simplifica la expresión

__

I

se obtiene:

x' a)l

r

b)

")

ti

.2-.x

dltr.

e) .r

./ X'

u----'u I

3.

l+:

Al simplificar la expresión algebraica:

'

,'..

w

I,

se obtiene:

!+t

4.

-u

b)'u

alY'tl

c)

vL

,

x'+2 x-¿ x - -'---' x+l --'----

-

se obtiene:

5.

e)1

¡-l

AISIMPLIFICAR:

a)

0J-t+

v

8r+5

c)

b) 4x

5x-l

d) 3x+2

e)

x-l

AISIMPLIFICAR la exPresión:

se obtiene:

(tó) a) '(ab+l\

6.

b)

cl a-b

¿

d)

1

e)l

l1r_ _ J _'r 1+r,seobtiene: AISIMPLIFICAR laexpresión algebraica:

1:r

a)

I

b)

1;; - i:; c) l-x

I+r

AlstMpLlFtcARtaexpresón:

t,-;i,t ):( ;L-fl;

b\--4--,-

,.,(*-2X**r) s' -'(x-2[x+l) 2x

a¡U:2Yl:') Al srMpLrFrcAR

)

seobüene:

"¡Et?X*:1) 2x

e) x*2

,-- _it-i V.x-l + v;r+l

.l

+

x

;se obtiene:

a) u'ri*t

b)",['?-l

d)

e\'ix}-r].

*2

e\2

d)-2

-^li

c¡xz+',x

-v.r

x2 -5x+6

9,

AI SIMPLIFICAR

x-2 x2 -4x+3

*ls 8-¡t .?:' i 9-x2 3-x an

q-# '[-iH;;] ':* 2n+2

10. El

Rssun¡oo de simptificar

a) 512 118

I

se obt¡ene:

e)

*2n+4 *2n+6

,;:r-; i;-.4 ;;;:¿ c)260 b)256

,esl d)181

e)502

caP.

Irrloisés Villena Muñoz

r 1

1.

a)x

12.

b)

l es:

--, -1x-2¡

ll[.r l. L'J]

Al STMRITFIcAR la expresión

5.lnNúww*oy

c)¡r-l

¡-t

'l

d)r'

")

r'*l

Una de las siguientes propooiciones es VERDADEM, identifiquela:

a) 2eN A JieZ b) c)

Si

d)

0.2323...eQ

Obien0eZ

¡ e.l,

obien 0e

entonces

e) 0.5eQ ,^.

|e

v (Jl*Jl).2

i*,

13. Al SIMPLIF|CAR laexpresió,

..x al'.t+l

14.

15.

o)-*l

Ar srMpLrFrcAR ra expresión:

a)

ab+bz

d)

0

Ar

lR.

Q

( -,*ro f' +2, L -:*Él *")

seobriene:

Lt#j

c)x-r ot*

lx .. 2ab+

+11#.$l b2

q* * oti*", c)l

',G-¡ +b

el2a2

SrMPllFlcARlaexpres&in

. Ê -T .W n \ o2 "tinz b)

ol1*l).,6 \4 n)

")^fñ-i

'' .--1 l+ I -l+ -" I t+lxx t-

AtstMPLtFtcAR

b)

2

17. Sea la expresión 7x2

c)

-7y2

.(

m-n

a)l

a)x

se obtiene:

c)l

t

r't

--- n)14 \rn

(o+")

seobtbne:

x-2

d)

-r

+Il¡y-56rñ.

Si

x= + , ,=J=, z-"lt z+it'

"l?x enbnes la

expresión lbne un VALOR numen:co igud a:

a)

ll

b) l0

AlslMPLlFlcARlaexpresión,

a)

ax3(x

d)

x+y

- y)

c)

dl t2

9

6' ;'h^-'), o:'r' -. *7:7v3 " ;: n p;,,*,,F,' =

a'¡

4xt x-y

e)

13

se o,iene:

c) l

e) 4r3(r+3)

l19

Cq?.5 LoyNúmuoy

illoisés Villena Muñoz

Una de las siguientes proposiciones es VERDADERA, idenüfiquela.

a) (NnZ)cR d) lnQ=P

]"-:

mn^jn2

.,'

..1

m

;; ,i;;

expresión

Al SIMPLIFICAR la

c)QwZsI

b)R-Q=N e)Zs(QnN) se obtiene:

Eiil

a) t',

b)Ev;.,,",

lg d) ' 8i

ef,'m

^r

^¡n

'!m-1

-1Y.r'-2x-3)-¿ seobtiene:

21. Al SIMPLIFICAR la expresión

t)

-íIr-r)q2xbz*r*t)

*Ifl'--')

e¡zx(x+z\x2 + r+ r)

a) zr(* -t\*2 *, d)

22

"("

Ar srMpLrFrcAR ra

expresón

a)r 23

+

['-

bl

24. Al SIMPLIFICAR

la

*-*2 ' -----x+l

d)'

,)*, a '- ', ---' ¡-_l 4 ¡

Zx+l -b) -llza 2x+2 3

- oo-t l--L-* .l'l+xP-Q =-l oo'-o

l+xq-P

l)' l,* -''j'1,y/l y)

..f d)'

'(

r)'f lY ['*;J ['-;J

"¡

120

xm+n

v^*n

,i(9'oo+)l(o 3i-6) = 4x ro-s

I

U20000)

00,,.,.,

f

e)-x-l

x+l

-,)l

c)

l

se obtiene:

üT*3 6x+7

se obtiene:

e)r-l

-t

'- xit

i-aI =g-r\Y; .l ..lx4i

*

$x2

Una de las siguientes proposiciones es FALSA, identifiquela:

6¡

;]-'

lí:_- .,::, _ r. i :#;:rl[,,t,

2

expresión

_,,_ ][

c)

Í

4

a)

i_ ;;'

u¡- I-11

Ar srMpLrFrcAR ra expresión

a)

-'

-

c¡zx\x-z)

e)

2¡-l

CqP.5 Lo*Númetoy


26.

Al srrrrplnc¡R

a) y 27.

Laexpresión ,x

+i-

Lt

b)

"l'ir-'.y trr d) lr+y'r

esequivatentea:

^l;) ,x+

y

c¡ xl' -

r'li

e) x+y'n

Una de las siguientes proposiciones es vERDADERA. ldentifíquela:

4fi;l=ti*",j),

x>o,y>o x>0

,,'F.o'16 ' 15 8l o¡

,J )

2=-2-'Í55- i

-,--

-.1

el l2x2 y2 + my

-

20a2 = (3ry

29.ArsmpLrFrcAnraexpresión

a) 2 30. Al sruplmc¡R

.7x2+lx+11( 4 ) -2x+z* 7x3+? l[r, -, j

lrt

b)Zx x-2

b)l

seobüene:

.*2-l

el,2'--'

o¡12-t

c)3

la expresión:

a) x

4a)(4ry + 5a)

t j'-t

t

31.

-

-z(xy)-t ¡ r-z

se obtiene:

';)-'*.{"1-2.,'

o;;f,lrÁ o-*¡ri;;l

"t(v-*Y

Una de las siguientes pmposiciones es mlsa, idenüfiquela:

a) re.I v

b)lR-Q=¡e6

Oe§l

d) (zr\'eQ &an c,á y

e)Si

le/

entonces

.)2.Q e

-3=l*4

c nrimeros. reales para los cuales se define la expresión "

, = tY,

entonces es FALso,

que.

a)

o="2*2

d)

,=k*-üí

'

-b

b)b=c2x2 e¡xz

-a

c)bz =c4xa -oc2r2 +a2

=9!!

,---' -,-L:---=--=: Ar srMpLrFrcAR ra expresión ijo'Ot -,jo2O3 EFOt lo.t 5.a 9.; 3. s,' to,' a) q :'9 6t3 bla.'10 6,)'5 c¡ o,'2 6-70

se obriene:

qo!í

)á

",¡,k

6/á

t2t

lblsés

C@p.

Villena Muñoz

34. Sise

t9

2

50

2

2

SIMPLIFICA

I

2

i --,.-,,3 +

se obtendrá:

i2

t2

b).

a)

5 LotN&mp,rot

I

d) : J

'2

c)

e)

2

v 35. Al SIMPLIFICAR la expresión

+3ry "2-' "'-r'y +5xy-3y2 2*2

xz

-3xy+ y2

2x2 a) y2

v

oo *

[z - p *

o"

?p' )*( z* P ) \P-x-ax

I bl p-2

c)

1 .v'. x'

2

e)

x

x

36. Ar srMpLrFrcAR ra e*p,..ion

a) I

qv

c)'

b)¡

l

,.

ootirn.,

)

p+2

o\' p

¿¡

x(r -z¡ a

b'\,:l{,,,'r") 37.

Al

SIMPLIFICAR

la

pelR

expresión

y

MULTIPLICARLA por

['' x,,rJu,', I5

+

14

p

- 8 p2

4p+3

. se obtiene como resultado:

a) 5*2p

bl4p+3

c¡(t + p)2

d)(l

-p)2

Una de las siguientes proposiciones es FALSA, idenfflquela:

a) b)

*8 -6*4y4 +y8 =(x4 6x2

+l9x -20 -

-y4 -2x2y2)(*o -yo +2x2y2)

(.r + 4) (6x

-

5)

c) ' *'-2r*'=(*-t)f-"-')

3 e \ 3/\

3)

d) t8a2 -t3a-5=(t-a)(tta+s)

e)

4a4

+8a2b2 +9ba -*Qaz

+zab+3u')br'-2ab$b2)

39. Una de las siguientes proposiciones es FALSA, identifíquela:

at x2 b)

-1,*L=(,- l)ft- l) x* +[or, - s) _4-232+34

6x + 19vx

-

zo -- (:

I ¡\ "'2*12-

ro

.. i+4 2-5*,8

d) -- ------ -

'22

-

e) 3 , ='5-2 .5+ 2

t22

6-12

e)p


C@p.

(-q 40.

Al smpunc¡R laexpresión

a)

-4

*

_r- _, [x - -.Y' I

.:-',

-'r)[' ,-

{' *.)y2 +12y2

b) 4y2

2b2

e)-)1

)It

rl,

v-lI , -r')

se obtiene:

* ,2 +r2r2 . c) -r2 ' ;- -tx-

v-

b)

5 LoyN¡fune¡oy

. 12*y2**1r2

41. Al SIMPLIFICAR

la expresión

x-

I r.) . -_) 'l' ' )=[[u'ro.tí1' rná

se obtiene:

u-tt¡ )

t,'

a) ma2

c)

b)m

o'lz

üa

*-'2*Y2 42. Al SIMPLIFICAR lq expresión rurr .i-i !. *-r-';; * 11* f

+m

et*olá

seobtiene:

xy

c)x-

43.

Al sHPLtFlcAn la expresión:

y

d)

( zx+l 3x-l) 6x2 -6y2 t-t--.-. \3x-3y x+ ! )7ax-llay-6a

*-y

*2*y2

e)

-x

se obtiene:

*2 -2ry+ y2

^\

2(x+ y)

qt ----o,

b)-

d

o*r)

('-r)

?(r:r)

.,'2a

a

e)2x-2y

'2a

i:I\ir4

r,

,r.3

x-1 44. Al neouctn la expresión: t i r-l t.' t,' a) x'a b)x

se obtiene:

2

x +2y_ 45.

J--

Al srMpLrncAR la expresión algebraica:

4xv - v2 b) '*r'

a) I 46. Al smpuFtcAn

,)-'*'

x

la expresión

o),

_l

¡-8

c)

y

d)

L' e)r t

JC

clx+y

c)l

o

_x_ll_

v 2x-v x*y 4x-y

algebraica

x

'l -' - (, * l)

x- -1

d)- x. x+l

se obtiene:

d)x-y

,¡r-(11'--D

x-

se obtiene:

e)-l

t23

[,loiqes.\filbna

caP.5 Lc"NúütProt

Múoz

[,.fr

47.

Al sffiettFlcAR la exprcsión

I

z**

y

x+4y

lxz -lxy+zyz

12 -4*y+3y2

-

x-7v

r-1 I

,2 -s*y+ey2 )

se obtiene:

x-v ' x-3y x-v d)

o'(,-rl;-¡r)

a)

e)

¡-3v v

v 48. AISIMPLIFICAR

la exPresión:

. . -,] _# :ii{,}I h:

d)l

clxY

b)x+y

a)o 49.

.¡G-rX'-:r) v

se.b,bne:

e)x+Y-l

Una de las siguientes proposiciones es FALSA, identiffquela:

a\9=c 'b d siad=bc:b,deF.' b) Si

a=á y celR

entonccs

ac=bc ; a,áelR

, (,í)-' =('r)' ; a'á e IR"ne N a ad+bc - -c ---'_-'b + d = bd ;á,deR-

d) e)

Si

a> b y

..

50. Alsnrpu¡rcm

celR,entonces

(*2-*y | :'1+

ac>bc;a,áelR*

*'-y' -;---.'-,

).r'-2rr*.v2 l+ x'Y+rya.'.t ;

) Ixy+Y' *2('+Y) a)r2(r-y) "", x'+Zry+Y'

G_rf

Al sri,rplrFrcARlaexpresión

a)

a

.l-, (;*r)'. *2(*_y)

t\

olrft-yf s1.

^^^'.,^^^. seob[ene:

x-y "¡I'G* g'-*-*-! : 4-' -'ál r"o¡t¡rn"'

bla+b

(a+bl

(l|Ít-nl)-'( ":'' l\'se ta expresión L"'v 'vv^rrvvrv" si*.,rr.',.0 [{z,Yr- ) ln*'r-')

,[*)' ,'# ':: zt

obtiene:

r:)

;;!;1r' ;rlii,lr r, r?i a)y(,-y) b)2 ,-.?-i

Ar srMpL,F,cAR raexpresión:

124

e\a-b

dro-b 'o+b

c)á

=

""'J

seobüene:

q

¡,¡Í-¡

Cep. 6 Eouw,c,bne*

Moisés Viliena Muñoz

6.1 lxrpRver,os 6.2 Ve¡,on Aasoruto 6.3 EcuecIoNES EN UNA rucocNrrA

. . .

.

.

EcueclorEs Lruper,ps EcuecroNEs Cuepru(rrcAs EcuecrolvEs cor RADICALEs ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO

PnosLpMAs.

Lo solución de ciertos situociones problámicos ronducen o plonteor ecuaciones poro resolverlos. Por tonto, es importonle que oprendomos o encontrdr los conjuntos solución dd div¿rsos tipos de ecuaciohei.

En los problemas de cordinolidod de conjuntos yo se

empleobon

ecuaciones.

I]5

CqP. 6 Eouaaío*p*


6.1

INTERVALOS [,os intervalos son subconjuntos de números reales. Tenemos los siguientes tipos de interualos:

INrEnveLo

INrEnveLo ABIERTO

CERRADo

a,b ¡ =la,bl= {x I a < x
INTERVALO5

donde

SE,IAXA

xe

IR}

I =(a,b)

= {x I a

donde

xelR}

BIERTO5

@ ¡ =la,b)={xl a< x
¡ =(a,bf= lx I a < x á

dondereR]

Cq.


6 Eoou,c,bne*

Es decir, si a es un NUMERO POSITIVO o cERo su valoq absoluto es el mismo número. Sia ES NEGATIVO Slf valor absoluto es el número

cambiado de signo

(1o

hacemos positivo).

) -',

5.

5

6.2.1 Pnop¡poaoss

Con la definición de valor absoluto podemos referirnos a otros tipos de intervalos.

6.2.2 lrrpRver,os SrMÉTRrcos

I =l-a,a7={x l-a t x3 a dondexelR} = {x/lxl
¿A guÉ twranuAlo sE REFIERE at

con¿u¡,¡ro? t

= lx

llxl> a

donde x e

IR.)

127

CaP. 6 Ec,uario¡nP*

Itloisés Villena lvlufu z

6.3

ECUACIOIVES EN I'NA INCóGNITA

Las ecuaciones que trataremos a continuación son las que tienen una incógnita " x", y usualmente están estructuradas de la siguiente manera:

6.3.1 Lpws

6.g.2. EcuecrorEs

DE

kn¡on Gneoo (EcuacroilEs

LrI{EALE§¡}

Una ecuación lineal o de primer grado es un predicado, cuya expresión algebraica una vez simplificada presenta la forma: a+0 Detenninemossu coniunto solución

Ap(x) =!

I

f *=+ Despqiando"r"tenemosrl i ==l [

lr,=-;:

l

)

I

I

i t

t I

I

i

Prueba: si reemplazamos el valor de "

I.

i'

r

" en la ecuaciÓn dada, entonces:

I

I I 1:

r(-f,).u=o

l:

I t ! I

0=0

L ll

l

F u

*

I

l

I t I

L

r28

,rtonres Ap(x)--i-:]


Cap. 6 Eoua,oíone*

Generalmente el conjunto solución está compues¡e. por un sólo elemento, es decir, existe un sólo valor para x que satisface la ecuación. Pero en ciertos casos especiales puede ocurrir otra cosa. líerc,íc,b rewd&r

es: a)

*zs

-4

b)

c)

dl

4

26

el tz

SOLUCION: P¡rng¡S-§g§lmplifQA

5x*22 -ttr+9

la expresión alqebraica de la ecuación

I

5

Y--{Y

.X

I

dadaoaraesí rtesnei:r hrcnn

5x-22

I

I

5

(x-3Xx-3) x(x-3) -, = u _ 5x2 -22x -l l(x-3)-5(¡-3)l x(¡-3Xx-3) =

5x2

-

22x

-l

lx + 33 -

"

5x2 +

=o

30x- 45 = 0

= -3.¡r-12 = 0

Por lo tanto la REspuEsrA es la

1.

2.

Si Re = IR , encuentre"el conjunto solución de las siguientes ecuaciones:

a)

)b. v;a.-'l=:.-1

b)

(l+x)3

Un valor de "

x

-(l-x)3

=2¡¡3

" que satisface a la igualdad:

x+17 x-2 x-4 *¡"_¿;,*;r.; _;= ; _;' es:

a) 0

3. Sea

el

b)

predicado

Ap(x)

dg)

I

p(x'l: *^ = '-1* x-¿ r+)

c)

Re =

-l

. !0

r-+3¡-10

rR

dl2 ; Re=lR.

e)

-2

Entonces su coNJUNTo soLUcróN

es

,){r}

d

{,}

o)k)

',{3]

129

Eoua.aíonp*

C@p. 6


6.3.3 Ecuec¡olvEs

DE

Spcuxpo Gnn»o lEcuecrours CUADnÁucas)

Una ecuación cuadrática o de segundo grado es un predicado de la forma:

,

donde

a,b,c

€.lR n a

*

0

Los elementos de su conjunto soluclónr llamados también raíces, se los pueden determinar por los siguientes métodos:

trinomio. Entonces tendríamos:

1. FecromzAr{Do el

Por lo tanto, como ab =0 si y sólo

si

a

=0v

b

=4,

entonces:

x-x1=$ Y x-x2=$

¡t Raices §oluciones

Prueba:

1.

6

x=l

6(l)2+t-r=o

FAcroRtzA[Do tenemos:

(6x+7X6x-6)

Con

2.

=U

(x-l)(6x+7)=$ x-l=0 v 6x+7=0 6x=-7 .r=l .v

Con

x

=-'

1

6

, - r2

rf-'i ó/ I r,J*f\ -'l.

t=o

{or).(_r)_r=o \361 \ 6l

*=-7

6

Tiene

2

soluciones reales

12

_7 _7 =o

66

Se puede erróneamente despejar de la siguiente manera: FAcroRlzA¡¡Do tenemos:

x(.x-1) = [

¡=0 v r-l=0 x=l x=0 v

) x-=x

*') =* NX x=l olvidando la solución

Tiene

130

2

soluciones reales

de x = 0


Cap. 6 Eouac,íoy¡e*

NOTA: Se puede despejar de la siguiente

FAcToRtzAf{Do tenemos:

(x-2lx+2¡=O

manefE¡:

x-2=0 v x+2=0 x=2 v x=-2 Tiene

2

.-r2

- t i'i

x=+2 soluciones reales

la Fórmula

2. Empleando

x2 =4

completar cuadrados,

cualquier caso se podría allí encontrar x, entonces

Genpner,. En

obtendríarnos:

¿Dedúzca1a?

ei*wVAplicando jgf{pgla-sg!"gmj, encontremos las ralces de la ecuación cuadrát¡ca det ejemplo anterior:

a=6

Tenemos que:

x¡rrr

= -rt =

Por lo tanto:

X1;Í2 =

b=7

(if -¿(oX-z) z(o)

-1+ l+168 t2

-l+13 t2

¡t

elrtonces

-l+13

't2 -

-

I

*t-t3 -14 -12t26

7

^1 -

6.3.3.1 Discriminante

A la expresión dentro del radical de la fórmula general se la llama

DISCRIMINANTEy se la denota con la letra D, entonces:

> CASO

I: Si D > 0, entonces

diferentes. Es decir:

ii -i';" rl= -b+')o Observe

e1

Y

las raíces §erán reale§ y x2= -b-.,'b2 -4ac 2e

ejemplo anterior. l3l

C*p. 6 EouacÍonp*


>CASO II: Si D=0, entonces las raices serán reales iguales. Es decir:

x1

-r1

--2a

e

b

"-

.

Eíoil,Ale Encontrar las rafces, aplicando la fórmulqggneral, de la ecuación cuadrát¡ca:

Solución: Para esta ecuación, tenemos que:

b=4

a=4

c =1

xpx2=

-¿* Jlo- ro =s

por lo tanto:

r,,r,

-4r 0 =-l-

(-q+o4t I Y =-=l-r I 8 entonccsl 4-o 4

?

[t= r =a=-;

)

I

CASO III: Si D <0, entonces las raíces son complejas conjugadas. Como nuestro campo será sólo los números reales, en este caso se dirá que el conjunto solución de la ecuación cuadrática es e1 conjunto vacío. Es decir no existen valores reales para x que satisfagan la ecuaciÓn.

Tenemosque:

c=13

a=I

xtrx2 =

-6+

6):

-4(lxl3)

2(r)

-e¡Jza-Y 2 por lo tanto:

-. - _ -otGro \,x2=--Zllamando

_

tñ=-;l

x.-x^= -6r.4i =-3+

-6*.[,6X_D * -ot JreJ-r

Z

z

tenemos: ¿l

2

Bien, ahora revisemos el siguiente ejercicio resuelto:

t32


Cep. 6 Ec,ua,oíortp*

EICONJUNTO SOLUCIóN de ta

ecuación:

i Re=llR , eS: a)

b) (-4,-2)

14,-21

c) {4.2i

d)

fq,z)

e) {-t)

SOLUCIÓN: Hay que empezar simplificando, todo lo que sea posible, las expresiones algebra¡cas presenles en la ecuación dada.

??

Y_

x-+3x+2

.r+l

32 = ("r+2)(x+l) -3*'t-3=o x+l

1

:

32-3(r+ 2)(-r+ l)-(.r-3)(r+2)

_

(x+2)(-v+l)

= 32

-

=.32

-3¡2 -9x * 6 -

3x2

(x2 + 2x

-9x - 6 -

x2

-

-2¡+

3x

-

O

6) = 0

3,r + 6

=0

=-4.r2-8.r+32=0 =4(xl+2-r-8)=g =(x+4)(.t-2)=Q rr =-4 v \=? Por lo tanto la RESPUESTA es Ia opción "d,,

La ecuacron

a)5

:

xl +2.r-8

x-2

16)

+

-r-4

=.r-:AX

c)-4

b)-l

?-r

I

3.r-l

3x+4

9.r-8

€

d)l

. donde

x e,R

ii

se satisface con

e)

x igual a:

-5

.

Es CIERTO que: a) No tiene solución

b) Tiene una solución c) Tiene dos d) Tiene más de dos soluciones e) Elija esta opción si todas las proposiciones anteriores son falsas.

soluciones

3.

Sean las ecuaciones 10.12 El valor que debe tomar

t

- I l¡

y

+3=0

6x2

-Tx+k =0

para que la raiz de menor valor de la primera ecuación sea también ¡aiz de la

segunda ecuación es:

a)3

b)-3

c)l

dt2

e)-2

6.3.3.2 Propiedades de las raíces de la ecuación cuadrática

Ya sabemos que la ecuación cuadrática axz +bx+c=0 tiene por raices ._=-b+ h2t4ac - b2-4oc '-" , veamos ahora ?r x¡ A x2 =-b¿qué sucede si las 2a ;, sumamos? y ¿qué sucede si las multiplicamos?

133

nises

Cep. 6 Ec,ua¡iorto*

Villena Muñoz

6.9.3.2.1 Suma de las raíces -b+

X1+X1=

b2

b2 -4ac

-4ac -bf-__=-

2a

2a

+;:n2 --!q':,":!: xl1.x2= _t

b'-4ac -2b 2a

2a

Entonces,ffi 6.9.3.2.2 Producto de las raíces -t * tt -qor\( -b- b2 -+o" ) =[ 2a ]t 2a ) ",',, (

($'-(':n? -+o')' X1'x2 =

xt'xz

4a2

u= ' .- co"\ = -(u'

4a'

xl'x2 -

4ac

-; 4a'

Entonces'ffi que fue resuelta anteriormente, se obtuvo como soluciÓn a

La ecuación cuadrática

-rl

=l y *r=-7u. que es el mismo valor que se obtiene

Si las sumamos directamente se obtiene: f¡|f,=,.[_:)=_:

aplicando

la propiedad x1

* x.t = -!, - -!¿

Por otro lado, si las multiplicamos directamente se obüene

que se obtiene aplicando la propiedad

xl ' ÍZ =

x,.x2

=[{_ :)

=_

I , ou.

.,

el mismo valor

c-7 = , 6

Ahora analicemos lo siguiente

Re,*udttl En la ecuación:

,

elvalor de " /r " para el cual la suma de las soluciones

es igual a dos veces su producto, esl.

á)

-l

b)

-z c) *:

d)

-q

SOLUCIÓlrl: Para la ecuación 3x2

\ 134

* x2 =2x1'x2

e) *s

+ll¡=3x-ft,

queremoe

que sus raices

x1 y f2

cumplan

con:


Cqp. 6 Eau,c.,fune* 3x2

+llx-3¡+*

3x2

+8¡+t=0

Agrupando términos tenemos:

=0

Para esta última

simplificada tenemos

ecuación

a=3 á=8 c=k

Y empleando la condición dada, obtenemos lo pedido:

Por lo tanto la

es la opción "d'

RESPUESTA

R,OX,W,ItA2

El-Júl

positivo

de

k

et cual, la suma de tas ratces de

para

es ¡gual

a) [6,10]

b)

sOLUC!óN: xl +.r2 = I

[15,20]

queremos que

ras

ecuac¡ón:

ta

a I ; se encuentra en el intervalo: o] [s,ro] e) [-z,o)

[o,o]

c)

(o'-r!,

raíces de ra ecuación

+2k(k-2x)-2=0

sumen 1, es &cir

Entonces, destruyendo paréntesis y agrupando términos para darle la forma cuadrática, nos queda:

J--1

L

.--f-

(o'-tI" -Ti**Q*'-z)=o .r¡+x2=l _4k

r¡ *x2 =-(0,

_, =_ pra!¡=r

Aplicando la condición tenemos:

=4k=k2 -5

.

=t2 *qt-s=0 =(k-s){k+l)=0

=tl=5 v Tomando solo el valor posiüvo fr 'c" es la RESPUESTA corecta.

1.

= 5 , observamos

u)-27,

.15: c)

15

El

valorde

ft

para que ra

ecuación:

[0,6]

, po,

t

nto la opción

(1)f .5x-e = o son respectivamente:

27

22 o) -15, -" 22

22

-l

que este valor se encuentra en el intervab

Lasuma yel productode las raícesde la ecuación:

. 15 25 a)' 2'-: -- 2

kz =

.1018 ' - 3',: -

e)

*2 -B]' -g = 0

3

tenga raíces cuya suma sea igud

a

!

es:

3

a) 3

b)

En la ecuación: 8x2

-l J

.l J

-1m*1)x+(m-7)=0,

suma de las soluciones de

d)

c)

encuentre el valor que debe tomar

la ecuación dada sea ioual a

-4

-l

e) 0

zz

para que la

3 .

135

ibisés Villena

Cap. 6 Ectar¡bne*

lvluñoz

al7

b)

I

-7

7

La ecuación cuadrática cuya suma de raices sea

a) x2 -7x+10=0 c) *2-7*-lo=o e) x2 +7x-10=0 Encuentre el valor

5x2 + 6x +

a)-3 6.

2

7

y cuyo producto

I

l0

sea

e)

2 7

,

es:

+l0r-7=0

b)

x2

d)

x2 -l0x+7 =0

la suma de las soluciones de la ecuaciÓn

sea dos veces su producto.

e)0

+2=-x-l,LosVALORESde m y n paraquelasumadesus

-***2

y su multiplicaciÓn sea

-6

, son:

a) m=0 n--l

b) ,2n=l

d) -=-',

e\ m=

n=o

d\-7

cl7

b)3

Consirlerelaecu«;yón'. mx2 soluciones sea

7.

de É para el cual

t =0

d)'7

c)

q. -- -l;

,=o

,, 2

n

=t

n=-l

Encuentre la ecuación de segundo grado que tenga como coeficiente una de las raíces y por término independiente la raiz restante'

de

x2

launidad, como coeficiente de

r

a) x2

b\ x2

+x+2

c) x2

-x-2

d)

x?

-x+2 +x-2

e) x2

+x+l

6.3.4 Ecuecro¡rp§ coil RArrrcALE§ Otros' tipos de ecuaciones son' aquellas clue en sus expreslones

i

algebraicas iniciales presentan radicales, entonces el objetivo inicial debe ser deshacerse de los radicales. 7

)

Gonsidere el predicado

Re=R

Despejando un radbal y ebvando al cuadrado para destruirlo:

j;;ll- íi-i=z = $;i;f

=Q.+,.ii:*f )i +l -, =x+13=4+4-,ii

=)a¡l=!,^!jl

=2(x+\=a-,fl-l =x+t-2.íf--i =(x+rf =Q^íf

:;f

=x2 +2x+1=4(7

-x)

* x2 +2x+l=28*4x =x? +6x-27 =0

i

=Fffil =(¡+9Xx-3)=0

i

ri

En las ea¡aciones con radicdes apaecen las llamadas SoLUooNES

x

I I

iI

soluciones de la ecuación, Entonces para la ecuacién anierior:

I

I

I I li

I

lr

¡

t I x

t

i

L

Exrnmls'

x

obtenidos para ver si en verdad pára preásar las soluciones r"'nrc" imprdscindible reemplazar los valores de predbado en la brma inicial dada, serán que el satisfagan sathfacen o no el predicdo original. sÓb bs valores de

t.

136

Cqp. 6 Euar,ianp*

It¡bisés Villena Muñoz

a3 -,tv -1*9¡ =2 Jq -JG =z .t-9

1.

x=

Con

-9

tenemos:

a

A

-1

1*2

NO

-fi

.ft*s 2.

Con

r=3

tamo Ap(g =

-3'=2

Jrc-Jc =z 4-2=2

tenemos:

2=2 Por lo

satisface

SI

satisface

p|

y

Re = R. . Entonces el conjunto solución está conten¡do en

elintervalo:

a)

[o,s]c

u)

[2,¡] c)hd o)[0,¡]

e)[z,s]c

SOLUCIÓN: Procedemos de forma semejante atejemplo anterior.

["";;;f "G

=(;z:;:+y +Z=2x-4

^[i =2x-4-2

(.',)'=

Qx-a)2 x=4x2 -24x+36 4x2 -25x+36=O

lA)

lrx-ro l(+x-r) \

/

_0

4

(x-+N+x-r)=o .tr =4

9 Xa =4

r ,l.lc+z=J2(4\-4

Jf+2=Jf

4

J4 =J4

2=2 Sl

con -r

=

9 4

srtisf¡ce

,ffi;=f(;)r teremos:

E;=g; i.r[ n"

s¡risf¡ce

. Por tanto la RESPUESTA es la opción

'c"

137

Cep. 6 Eouwc¡btv*


Sea Re = R. , encuentre el conjunto solución de la siguiente ecuación:

x+14. x-7= 2.

La SUIVIA 0E LAS SOLUCIONES reales de la ecuación

a)

3.

b)-fr

J1

'i *'r+

Dada ecuación: e§:

4.

6

x*7

cl

I

,.

Si

cl {0,

Re

= [0,*) ;

-t}

a¡

{0, t}

El

valordelaSUtvlADELASSOLUC|ONESdelaecuación:

4i

\

bt2

c)0

2-x2

=-r

d) -2J1

2Jt

=,1.xit;

b) {' , *t}

22,,,. + x+ .,2-x2 x-

9s:

e)0

entonceselCONJUNTOSOLUC|ÓN

o

{o}

-){-r}

:5-2x -'i,''r*6 =-!'r+3,e§:

d_lJ

el

-2

Existen ciertos tipos de ecuaciones muy singulares.

Al despeiar

[]

se obtiene:

x*2=x*2 x-x=2-2

0=0

Yerdadero

entonces llpG) = R" = lRl

x+2= x+1 Al despejar

[]

.ntonces

l,lpG)=ol

se obtiene:

x-x=1+l Falso 0 = -l

6.3.5 Ecuecro¡crs cor V¡¡,on Assoluto La definición de valor absoluto para un número real, ya fue proporcionada. Las ecuaciones con valor absoluto son aquellas que tienen expresiones algebraicas afectadas por valor absoluto.

En casi todas las situaciones en este texto la expresión de la forma

- ai es la que aparecerá en este tipo de ecuaciones. En otras situaciones será de la forma mx- 0 . ,x

138


Cep. 6

tcta¡,bney

Dediquémonos en primera instancia a la primera forma.

El objetivo estará en tener la expresión sin el valor absoluto. Se lo podrá hacer de la siguiente manera: La expresión

lx -,1={

[_"1

':l::" -;:::,

Lo cual es equivalente a: lr

- ol={'-

o

la-x

cuando x) a cuando x < a

Recuerde que en la recta numérica, los x > a son los que están a derecha de a y los x < o son los que están a1,a izquierda d,é o .

1a

Entonces, se determina primero dónde se hace cero r a , esto será en x = a; dl cual llamaremos punto crítico. A partir de allí, cuando se reemplaza a la x por un número que esté a la derecha d.e a, el valor numérico de la expresión x-a será positivo y al reemplazar a la x por un núryero a la izquierda de a ahora el valor numérico de la erp.."ió.t x-a será negativo. Esquemáticamente, tendríamos:

xa x-a<0+-! -+ x-a>0 (-) i t*l i

:

a

Para el caso de 'mx-a

,lo anterior

se cumple para

x-

o m

Veamos situaciones específicas:

-(r- z)*

x-2

Por lo tanto,

;xz2 ;x <2

139

C@p.


6 Eowar,íonoy

EíentbLa2 sin valor absoluto, entonces:

Si quisiéramos expresar

-(r*

2)+-

-+

x+2

Por lo tanto,

*2

;x> -2

kI *zrI ={r l.-..-2

;x<-2

-(,-l)*

x-1,

++

l 2

Por lo tanto,

l-" ' l2x

-ll

lzx =

4

-l

;.r

)*

lt_Zx ;*.tr

En todos los ejercicios consideraremos

Re = R

, salvo que se diga 1o

contrario.

SOLUCION:

Por simple inspección determinamos que los valores Entonces Ap(x) = {2,-z\

g

de

que satisfacen la ecuaciÓn son

2 y

-2

3

-l

.

R.e**dtu2 Determine su conjunto soluciÓn.

Sea

Por simple inspección determinamos que los valores Entonces

.r

de

x

que satisfacen la ecuación son

y

Apll=$,-l\.

R.ewdtc Sea

3

Determine su conjunto solución,

SOLUCIÓN: hacer empleando el Ahora en cambio, si necesitamos expresar la ecuación sin el valor absoluto (¿PoR oUE?) y lo vamos a método anterior. Para lo cual en una recta numérica, tenemos:

r40

Cep.


*+ x -l

* (, - l)= 2*+ 3<-l

6louacíone*

= 2x +3

-213

i--'----'-----"-

iBuscamosx>lque i satisfagan esta i ecuacron

satisfagan esta ecuación

-x+1 =2x+3

! "r-2x=3+l i x=-4

,) Observe

que x =

-4

no es mayor que

I

, por tanto no es solución, en cambio

sí es menor que

Y=-

l,

por

J

tanto síes solución. Entonces

Aplx¡ ={-

I :r]}

RerudtcA Determine su conjunto so¡uc¡ón.

Expresamos la ecuación sin el valor absoluto de la misma forma anterior

- *{*- 1)= 2<-i -+

x(x

3

NO hav solución "t real

Entonces

-

l)-

I I I

,lptx) = lZ)

Rowdfo Sea p1r¡:

Determine su conjunto solución.

SOLUCIÓN: Es obvio que su conjunto solución

Ap(x) =

O

¿PoR oue?

141

Cqp.6 Eetrciorc*

[bises Villena Muñoz

Sea Re

elconjunto soluciÓn de las siguientss ecuaciones:

= ]R , encr¡entre

1. 3-lx =2 2. ,x,-3=2x 3.

-3lx =x ;r+ li = 3¡ 2x2

I

4. 5. ,x_2: =2x+l 6. ,2x+ll -3x-2 7. 'x+li -3i =0 8. ':4-,x-11 =0 ¡: S. 1lx" +5x-6, =0 i

6.3.6 Ecuac¡oxEs cou Ver,on Assoluto. SDGrrt{DA PARTE En situaciones con más de un valor absoluto, se debe artalizar simultá,neamente los valores absolutos.

Debemos analizar ambos valores absolutos simultáneamente. Observe reemplazanoo

x>

|

{aUaerechade

}

r<-I

-(2x-1)=-(4x+3)

{,f,izquierdade

,< } x>

{ahizguieroade "} )'

-]

{, t.

derecha de

- I ). Gomlinandotodoesto,tenemos: 2x-l>O

2¡-1<0 i

,

i------:

4¡+3>0

4x+3<0

ancilará valores positivos cuando

anojará valores positivos cuando reemplazamos

-])V.rrj.oualoresnegativoscuandoreemplazamos

.

2x-l

)yanojarávaloresnegaüvoscuandoreemplazamos

4x+ 3

De manera análoga, observamos que

que

-) -(Zx-l) = 4x+3

.z-t

---s

---->

(2x-l)=4x+3

a

i"-----'-----"-'-'--"--------i

i

-er-t)= -(+x+3)

i -2x+4x=3*l 2x=4 i. "" :":"": ::

i

!

iti i

¡

i3i

"i

Entonces 7p1¡¡ =

142

i -Qx-t)=4x+3 i i --2x-4x=3-t i -6x=2 i

i

{- ''-

l}

i

x=-i

$

:

i-;,-l=;;; i

2x-4x=3+t

i :::i I:"

i i

;

Cq.


6 Ecu"a.c¡:oney

R,er*t*elta2 Sea

¿r;


r

soLUcrÓN: Note que es Por la propiedad

oO

b',

-(3 x - l) = -{2x+ 3)<-!-+ *(3x-l)=2x+3

+(3x-1)

ib,

=

2x+3

i iJ a ia

: -(lr-t¡=-(2x+3) ! -3x+l=-2x-3 i -3x+2x=-3-l

i

:-1

):

4

:

i------..'---*""""'"--'-----"i

i-*-'-------'-'-"-----

i

: 3¡-l =2x+3 ¡ ,r- 2x=3+l x=4 SI i

*3.r+l =2x+3

i

-3¡*2x=3-l

i

x=-2 5

i

.,.....,.......-.¡

!

i ; ¡

st

t,.,n..,..

Entonces Ap$\

={4,_%\

Re¿up,ltc 3 Sea


SoLUcrór{: Análogamente:

x2

*e: )-x({x-1))<-.,-+ j i-----"'--**"""""""""-----' :1 i (-.t) x' (x x[- l)l i ¡¡! - =

ilar: *'+r=r(-r+l)

i

i

.t-+x=x-x'

i

i !:

2x'=0

:

ii i¡:

i

'=o

i

.........,.,............-.-.--.-i

x2

*x-¡({x*l))

i***-----^-""""""'--"---i1

i x'-x=x[-(x-l)l

j' i

i

iiei *'**=*-r2

i ii

2x"

-2x=0

2x(x-1)=0 ii x-0 v ¡=l

-r=r(r-l)

:: i))i i:: x--x=x--x 0=0 Verdadero i ;ii i Todox>lsatisface

I

tí

x'-x=x(-x+l)

+.+xz

i

i i

:

^------: "*---*''

¡

i

i..,,,.,...,.......,....,.,...,..,,...........,..........-i

Enronces

Ap(x) = {O}u[t,*)

143

Cap. 6 tct*anÚonaY

trloisés Villena Muñoz

Sea

Re = ]R

ecuaciones: , enq¡entre elconjunto soluciÓn de las siguientes

1. x-l: =3:xi

2. 3.

x-l;=3+?)x+2: :¡ 'x-2:'+l¡-1, =x-3

4.

Zx+t+lri=,r-31

5. 6. 7. 8. 9.

3x-l - x+l = r 6--t -',x =x:x-l l-Zx-x=32x+5

10.

3-r + 2x = 2x+l

11.

,x-5+,x +2'=-3

'3x+ll,-'2-

x;

=lx'

r - l-2x =3- 3-x

12. t¡-t,¡-s21 -4x2 +4a¡-a2 =-a :il

6.S.6PRoBLEMASDEPLAI{TEoDEBcUAcIoNES En el proceso de resolución de un problema, ell el cual se requiere los plantear eclraciones para llegar a stt solución, usted puede seguir siguientes Pasos:

l4

Cilp. 6 Eoow¡,íottc*


? rol¡I,emw

R

e,*tte,lta 7 to

Un hombre tiene siete años más que su esposa. Hace

años tenía el doble de la edad de

ella. ¿cuántos años tiene ahora el hombre? ¿cuántos años tiene ahora la esposa?

SOLUCIÓN:

Siguiendo los pasos recomendados tenemos:

INCÓGNITA:

-tr

DATOS:

=

EdadAclUArdelhombre

-

7

La edad AcTUAT de la esposa

es -T

fx- 10 HACE 10Años

= E{ad hombre

l

l.i:?-ro

= Edadesposa

EDAD DEL HoMBRE HACE 10 AÑoS = 2 (EDAD DE LA MUJER HAoE 10 AÑoS)

CONDICIÓN

r-

DESARROLLO:

I0 = 2lx -\_-17)

.r-10=2x-34 x-2x=*34+10 -x=*24 x =24

RESPUESTA:

Ei hombre tiene 24 años. Entonces la esposa ttene:

?rol¡lo*t* Rew,eltaz En ciertos dlas de fa semana, una familia compuesta de padre, madre y niños menores de edad, viajando en tren, pueden acogerse al beneficio de la familia numeiosa. Este beneficio

consiste en que el padre pague el pasaje entero, y la mujer y los niños, medio pasaje cada uno. Por otra parte, la familia puede viajar en colect¡vo, en cuyo caso, cada miómbio de la familia paga Pasaje entero,-pero, a su vez, cada pasaje cuestá hs dos terceras partes del pasaje del tren. Entonces, el número de niños para que el total que se paga en el tren sea iguat a lo que se paga en colectivo es:

a)

bl2

I

c)3

d)4

e)5 DESARROLLO: TREN

SOLUCIÓN: INCOGNITA:

COLECTI\'O

x (x\I=-x+-x+nl 2 2 12 \ x+-+nl - 3 3 2 \2)

DATOS:

-tr

2 3

=

Pasaieentren

J = pasa.le en colectivo

-x ./ (3

I

dividiendo para r, tenemos:

ln 222 -l+-+-=-+-+-r? a^ Z¿JJJ

2+l+n *2+2+2n ¿J

3+n ¿) ^.

coNDtctóN:

PAGo

FAMTLTAR EN TREN

"

PAGo FAM|L|AR EN

colEcftvo

4+2n

3(3+n) =2(4+2n) 9 +3n =8+ 4n

3n*4n

=8-9 r=lniño RESPUESTA:

Debe haber un n¡ño para cumpl¡r con la condición. por io tanto la opción ,,a,,es conecta.

145

C@p. 6 Eot¡a,c,í.onp,y


?rol¡l,snna, Rswelfu 3 de t ao personas está dispuesto en filas. El número de personas de cada fila es que más el número de filas. ¿Cuántas filas hay y cuántos personas en cada fila? Un grupo

s


X=

canlidad de filas

Total de penonas = 180

DATOS:

coNDtclÓN:

J[

Cantidad de personas por fila =

* 8

(CANT. FILAS).(CANT. DE PERSONAS POR FILA) = TOTAL DE PERSONAS

r(.r+8)=180 x2+8x=180

DESARROLLO:

x2+8.r-180=0 (x+18)(x-10)=0

.r=-18NO x=l0Sl Portantohaylofilasy 't+8 = l0+8 = I 8 Personas en cada fila

RESPUESTA:

?ro\>l,e,rnp Re,rudfua La Sra. Me¡fa va invert¡r S70000 . Ella quiere recibir una utilidad de S5000. Puede invefiir sus fondos en bonos del gobierno a un 6uÁ, o con un riesgo mayor, al S.:y" de los bonos hipotecarios. ¿Cómo deberá invertir su dinero de tal manera que minimice los riesgos y

obtenga los 55000? SOLUCIÓN:

DATOS: El

INCOGNITA:

resto 70000

Rentabilidad Total

-r'= cantidad invertida al 60á

*

.x

es invertido

= 55000

CONDICION: RENT, OE LA CANT.

¡t

69A *

RENT. DE LA CANT.

DESARROLLO: ñ¡t. rent- ¡l ó91

AL 8.5% =

RENT. TOTAL

al ll.ion

rcnl. Tot l

a, ffi t00 *§1t7oooo-.r)= t00' 6x + 8.5(70000

- x) = 500000

6¡+595000 - 8.5¡ = 500000 6x - 8.5¡ = 500000

- 595000

-2.5x = -95000

r = 538000 al 6% RESPUESTA: La señora Mejía debe invertir

t46

S38000 al 60lo

y el resto

S32000 al 8-5Yo

al 8.57o

Cqp. 6 Eowa,cionpy


?rot>lemp Re,wdtaí Un comerciante de autos usados compra un auto Toyota y otro Skoda en S29000 en total. Vende el Toyota y obt¡ene una ganancia del l0% y en el otro pierde el 5%; y aÚn asl, obtuvo una ganancia de $1850, por la transacción completa. Entonces elcosto inicialdel Toyota y del Skoda es: c) $t8ooo y $l looo b) s22ooo y a) $2oopo y $eooo e) $22soo y $6500 d) sztsoo y sTsoo

s?ooo

SOLUCIÓN: DATOS: INCOGNITA:

.tr

=

Precio do compra del Sro¿a =

Precio de compra del Toyota

29000

-

¡

GananciatoH= $1850

CONDICIÓN: GANANCIA EN EL TOYOTA

-

PÉRDIDA EN EL SKODA = GANANCIA TOfAL

DESARROLLO: G¡n.

,*4

Tw.

Pé¡d.

§Lod¡

*, 100-*t2eooo-x)= 100'

c¡n,Tot¡l

íffi

l0x-145000+5x = 185000 l0¡+ 5¡ = 185000+ 145000 15¡ = 330000

x = $22000 el Toyota RESPUESTA: El preciodecornpradelToyotafuede

$22000

yel'del Skoda $T000.Portantolaopción'b"esconecb

Para otros tipos de problemas se emplean las siguientes definiciones:

?rol¡lenna,

Readfud

José vende pilas de teléfonos celulares a $s cada una. Si los COSTOS FIJOS de producir las baterlas es de $300 y los COST0S VARIABLES es de $l por unidad, entonces'la cantidad de pilas .x que deberla de producir y vender para obtener una UTILIDAD igual a $500 es:

a)

soo

b)

4oo

c)

ooo

d)

3oo

e) zoo

SOLUCIÓN:

147

C@p.


6 touaclbvwy

INCOGNITA -Y

=

cantidad de pilas

DESARROLLO:

u -- 1-c u = px*fCr *cv) soo=5x-[3oo+l(r)]

DATOS:

P = 55

Prec¡oventa

CF = S300 CV = $l/ unidao

500 = 5"r - 300

-.r

800 = 4x

¡

= 200 pilas

CONDICIÓN: oBTENER UNA

uTtllom oe $500

RESPUESTA: José debe vender

200

pilas para obtener las utilidades deseadas. Por tanto la opc¡ón "e" es clrrecta.

?rol¡l,owt* Re¿udfcf Esteban es prop¡etar¡o de un edificio de apartamentos que tiene 60 habitaciones. El puede alquilar todas las habitaciones si fija un atquiler ife S ttlo al mes, al subir el alquiler algunas de las habitaciones quedarán vacías; en promedio, por cada incremento de $5, una habitación quedará vacia, sin posibilidad alguna de alquilarse. Encuentre el alquiler que debería cobrar Esteban, con el fin de obtener un ingreso total de Sl 1475

.

SOLUCIÓN: DESARROLLO:

INCOGNITA:

X =

Númerosdeincrcmentosde

$5

c¿nl háb

Pmio

enelpreciodealq. 1

.'- -.-:

=(rgo+s.r)(óo-(t)x) I

§ATOS: Total de habitaciones

= 60

Precio para alquílar todas las habitac¡ones

1

1475 = (180+ S.r)(00

|

147 5

-

I

0800

-

- x)

I 80x + 300x

-

5.t:

11475=10800+120x-5¡'?

= $ I 80

5x2

-120x+l 1475-10800

=0

5x2-120x+675=0

¡2-24¡r135=0 (-r-15)(,t-o)=o x=l-5 v ¡=9

c0NDrcrÓN: oBTENER INGRESOS DE

SI I475

Oon¿e

RESPUESTA: Esteban debe hacer

$1

1475 de

15 ó 9

ingreso.

$5 Es decir que el incrementos

de

en

d

- {'lP=180+5(15)=5255 n = 180+ 5"r r'-=

lP=180+5(9)=5225

r48

precio de alquiler de las habitaciones pam asi obtener los

pREoo DE

ALQUILER

de cada habitación

podrá

§er:

Cq. 6 Eouac,Ío*e*


?rol>l,erma,

R

I

e,x,oe,ltc

Una empresa propietaria de un complejo de oficinas cuenta con 50 suites. Se puede rentar

cada una de ellas en s400 mensuales. sin embargo se conoce que por cada $20 de aumento por mes, dos suites quedarán desocupadas sin posibilidad de rentarlas. Entonces el precio por cada suite, obteniendo los mismos ingresos pero quedando algunas suites sin alquilar, es:

a)

$+oo

c)

b) s+so

ss:o

d)

$460

e) $5oo

DATOS: Total de

oficinas' 60

Precio para alquilar todas las oficinas

= S400

DESARROLLO:

CONDICIÓN:

1 = (prec.)(Canr.)

Que los ingresos se mantengan aunque se incremente el precio de

20000 = (400 + 20_r)(50 * 2.r)

Ingresos = i50 of.) ($400 c/u) = S20000

20000 = 20000

-

800x + I 000-v

- 40¡:

4012-200x=0

a.r("r-s)=0

.r=0 v ¡=5 RESPUESTA: La empresa debe hacer

5

de S20

incrementos

en el precio de la renta, es decir aumentar

nuevo precio, para cumplir con ta condición debe ser:

en

SI

Pfecio = 400 + 20(5) = $500

00

, lo que significa que el

.

Por tanto la opcrón 'e" es correcta.

?rol>lprna, Readfrcg El costo de producir cada ejemplar de una revista semanal es de zt centavos. El ingreso respecta a la publicidad es del 20% de los ingresos que sobrepasan las :ooo copias. ¿Cuántas cop¡as deben publicarse y venderse cada semana a fin de recoger utilidades semanales por $ I 000 ?

del distribuidor es de z¿ centavos por copia y por lo que


X=

DESARROLLO:

Cantidad de ejemplares producidos y vendidos

Utilidad = Ingresos - Costos

lr)l ffl L ( --)) }!p.z+, -

DATOS: Cosro U¡lr. oe los EJEMpLARES PREcro VENTA

r000 = | 0.2ax +

= $0.28

oecro¡e¡eupun= §0.24

INGRESOS

= INGRESOS VENTAS + INGRESOS PUBIICIOAD

lNG. PuBL.

= lQls

(lngresos sobre Ia venta de

3000

r )

I

ooo = 0.24.r +

oBTENER UTITIDADES DE SIOOO

,

1

=

720) 0.28x

'

000 = 0.24x + 0.048¡

I 144

CONDICIÓN:

100

3000) | l- o.zr,

0.2a(.r

-

144

-

0.28.t

= 0.008¡ 144

r,r,Og

= 143000 ejemplares

RESPUESTA: El d¡stribuidor debe vender I

43000

ejemptares.

t49

C@p.


6 Eowoc,íoneY

?rol>lprmp Re¿tdfaLO Un comerc¡ante vende un par de zapatos en $75 . Si su utilidad porcentual fue igual al precio de costo en dólares, entonces el PRECIO DE COSTO del par de zapatos es:

a)

b)

s75

c)

s6o

d)

$s5

e)

s5o

§65

SOLUCIÓN: INCOGNITA; -X

=

Precio de costo de lo§ zapatos

DESARROLLO:

DATOS: Precio venta

you = precio costo

= $75

yoy

'"

utilid"d

= prec. cost. 1oo

Utilidad Porcentual:

7500-100x=¡2

?( _ v

YorJ=''

^loo=x

x

^100

x: +100x-7500 = 0

f

(x+150)(x-50)= s x=-150 v x=50 CONDICTÓN: UTILIDAD PORCENTUAL = PRECIO DE COSTO

RESPUESTA: EL precio de costo de los zapatos es

l.

Si hace

de $50

essólodosveces más

18 años pedroeraexactamentetresvecesmásviejoquesuhiioyhoydia,él

es: y viejo que su hijo. Entonces la suma de los años que ahora t¡enen Pedro su h'tjo iuntos

a)mayorque 120

2.

años

años

b)iguala 108

c)iguala102

años

e)iguala

l14

anterior,

a)

$100

c)

b) $200

§300

e) $500

d) S400

campanada. Por ejemplo: El reloj del Congreso da las horas exactas con campanadas y cada media hora da una la noche terminÓ una de las de nueve a las Si campanada. una y da las 8 a a las 8 da 8 campanadas;

:30

segiones del congreso, y en el tiempo que duró la sesión el reloi dió empezó a las

a) 9

:

a.m.

b)

6

P.m.

c) 3

p.m.

d) 5

P.m.

e) 3

48

campanadas, entonce§ la sesión

:30

P.m.

4.

partes iguales. Si hubiera habido l0 Los miembros de un club van a pagar una cuenta de 300 dólares en Determine el número de miembros' menos. dólar sido miembros más, el costo por cada miembro hubiera

5.

ganadores De acuerdo a la cooperación en la Tres ( 3 ) hermanos participaron en un sorteo, en el cual resultaron mayor recibio- S45000 ; el menor las tres El manera. siguiente de la compra del boleto, el premio se repartió premio. Entonces el premio consistió en: parte del cuarta y una recibe premio el otro partes del séptimas e) $160'000 d) $ I c) $l b) $ I I a)

I

$1

6.

40000

0000

00000

50000

y cinco (5)

(10) centavos.(y) susana tiene tres (3) monedas más de cinco centavos (x) que de diez (z). En total tiene $2'10' más de diez (10) centavos que monedas de veinticinco (25) centavos monedas de cada una tiene?

a)x=2;

z'10 d)x=5; Y=lQ' 2=12

Y=§'¿=6 c)x=4; P9;

b)x=11; y=§

150

años

Si el segundo dia ganó la En cierta ocasión, Eduardo consiguiÓ un trabaio por 3 dias, ganando en total $700 entonces el que ganó el dia mitad de lo que ganó el primer d'u, y el tercer día ganó la mitad de lo primer dia ganó:

3.

años

d) menorque 100

¿=3

e)

x=6;

y=6

2=8

monedas ¿Cuantas

Cq.


6 Ec"uaoíoney

Un pa!r9 le presta a su hijo $350. Al cabo de una semana el padre le pregunlaa su hijo: ¿cuánto gastaste?, a lo que el hijo le conlesta: "las % partes de lo que no gasté". Entonces el hilo GASTó: a) b) c) d) e)$1S0

$250

$350

$262.5

$300

Un colegio dispone de $60.000, y los invertirá a fin de obtener ingresos anuales de $5,000 para becas. parte de estos $60.000 se invertirán en fondos del gobiemo a un 8% y el resto a depósilos a largo plazo a un 10,5%. ¿Cuánto deberá invertir en cada opción con objeto de obtener el ingreso requerido,l

Si los miembros de una fundación desean invertir g 18,000 en dos tipos de seguros A y B que pagan dividendos anuales del gik y 60/o respectivamente, entonces para que el ingreso sea equivalente d [ue produciría la inversión total al 8%, la inversión en A y en B es respectivamente. a)$12.000; $6.000 b) $ 10

6.000;

c)

$8.000;

d)$10.000;

$12.000

$10.000

$8.000

e)$11.000; $7.000

I

La cuarta parle de una cierta cantidad de dinero es invertida en el Banco y la restante en el Banco B. Si el Banco ,4 paga una tasa de interés anual equivalente a un tercio de la que pága anualmente el Banco B Si el rédito total, de las dos inversiones es equivalente a la que generaría el deposiiaila cantidad completa de dinero a una tasa del 20% anual, entonces la TASA DE INTERÉS ANUAL eUE PAGA EL BANCO y ia que pAGA EL BANC0 B son, respectivamente: a) 3o/o y b) 12% y 36k c) 9ok y d) 7o/o y e) 60/o y 1Bo/o

/

8o/o

24ok

2lo/o

11. Un fabricante puede vender todas las_unidades que produce al precio de $30 cada una. Tiene costos fijos de $12,000 al mes; y además, le cuesta $22 producir cada articulo. ¿Cuántas unidades debe producir y vender al mes la compañía para mantener el equilibrio? 12

La compañÍa Sandalias Cómoda-s fabrica sandalias, para las cuales el costo del material es de $0.80 por par y el

costo de mano de obra es de $0-90 por par. Hay costos adicionales por par de $0 30. Los costos fijos son'de $70000. Si cada par se vende a $2.50, entonces el NúMERo DE PARES eUE DEBE VENDERSE para que ta compañia llegue al EQUILIBRI0 es: a) 140000

l?

b)

35000

c) 70000

d)

90000

e) 80000

El administrador de cierta empresa liene como politica, no invefir dinero en fabricar un nuevo producto a menos que esté seguro en recibir un 15% de ganancia calculada sobre los costos fijos. La Empresa puede vender todo lo que.produce a un precio de $10 por unidad. El costo de fabricación de cada unidad es de $6 y los costos fijos son de $40000. Entonces el número de unidades que deberá producir y vender de modo que ábtenga la gánancia requerida, es: a)

6000

b)

7500

c)8S00

d)1

1500

e)12500

14. Un granjero compra 1 0 vacas pagando en total $ 1 50.000 y vende las primeras 4 teniendo ganancia del 20% de lo que le costÓ cada una. Si la utilidad por el lote completo que desea ganar el granjero es Oé zs.OOO, entonces el $ PREC|O, en dólares, al que debe vender cada una de las 6 vacas restantes es: 3 000 b) c) 25.500 d) e) 72.000

a)

15

18.000

63.000

g

/

Una compañia fabrica los productos Ay B. El costo de producir cada unidad de es $2 más que el de Los costos de producción de,4 y Eson $1500 y $1000, respectivamenle, y se hacen 25 unidades más de ,4 que de g Entonces el número de unidades del producto Á que se pueden fabricar , es:

a)75

V 100

b)100

V 125

c)125

V 150

d)1s0

V

e)175

175

v

200

16' Unacantidaddedineroinvertidaall5%produce$14,4másqueinvertidaall2%.EntoncesdichaCANT|DADes

a) $ 480

b) $

500

c) $

20

d)$

zs

e)$ 100

17. Una iábrica produce ropa para damas y está planeando vender su nueva linea de conjuntos deportivos con un costo para el distribuidor de $ 80 por conjunto. Por conveniencia del distribuidor la fábrica colocará la etiqueta ion

e! nleclo a cada conjunto. ¿QUÉ CANÍIDAD DEBE SER MARCADA EN LAS ETIQUETAS de mod'o que et distibuidor pueda reducir este precio en un 20% durante una liquidación y aún así obtener una ganancia dei i5% sobre el precio de

18.

costo?

a) $ I

15

b)$

tOO

c) $

105

d) $

1

10

ei$

eS

Una compañía paga a sus agentes de ventas con base en un porcentaje de los primeros $100.000 en ventas, más

otro porcentaie sobre cualquier cantidad que rebase esos $100.000. Si un agente recibió $8,500 por ventas de $175.000 y otro recibió $14.800 por ventas de $280.000, entonces los dos poróntajes son:

a) 6% en los primeros $100.000, 4% en el resto. b) 8% en los primeros $100.000, 6% en el resto. c) 4% en los primeros $100.000, 670 en el resto. d) 4% en los primeros $100.000, 8% en el resto. e) 8% en los primeros $100.000,4% en el resto.

l5t

Cep. 6 Ec¿uaotbttoY


1.

kxz

Unvalorde"& "paraquela§uMADELASRAicESdelaecuacion a)

bl2

1

d\4

c)3

-2lac+4=¡2

e) 5

2. La suMA de tres números consecutivos enteros y positivos, cuyo producto es igual

es igual a:

d)12

a)e b)10 c)ll

3. La

suu¡oeussoLucloNEs de

la

5. Un VALOR

de.//

c¡

veces el segundo número,

-lJ

=

7

, es:

e)4

r +. x+2 =3 q ti8l

{+e,:o}

d)l '3

,es:

d ti¿l

para que la suma de las raices de la ecuación

b)7 -'7 -'5 .)5

.)8 -/3

12

**

ecuación

4. El CONJUNTO SOLUCIÓN de la ecuación '',

ul{:o}

a I5

e)13

a)7 b)25 c)16 d)g 4 {4e}

sea 4,es:

t«2 +

Akx

+3 = x2

sea 10, es:

e)3 '8

y 240 patas entonces 6. Suponga que en una granja se tienen vacas y gatlinas solamente. Si en total hay 80 cabezas granla es: que la hay en la cantidad de VACAS

a)40 b)60 c)70 d)80

7. Considerando

B. Un valor de

b)(5,8) c)(t,s) o(8,"o)

",( para que

a)0

b)-

g. Un kabajador

despuás de

p(x): e¡(-o,a]

Re = .rt , entonces el coniunto solución del predicado

(-s,o)

a1

e)90

la

ecuacón

lg-,?

d)1

c)-l

l

t

+x+

=0

.tenga soLUctóN

x

-

x

-3

REAL REPET¡DA,

está en el intervalo:

es:

e\-2

tiene una tarifa por cada hora regular de trabajo y tarifa y media por cada hora extra que trabaja las 40 horas. Si tuvo un salario total semanal de $442 por 48 horas de Íabajo. Entonces el *LlRlo

REGULAR POR HORA E§:

a)$8.50 b)$8.00 c)$5.00 d)$4.50 10. Para que la

a) 1 1

,

de laecuación.

SUMADELASSoLUcIoNES

't'es:

c)3

1 bl2

e)$2.50

d)4

3k

_2x

xk

sea igual a -1, entonces el vALoR de

e)5

Un trabajador recibió M35 como pago por el trabajo de una semana, laborando en total 52 horas, de las cuales

40 horas fueron noimales y el resto horas extras. El valor de cada hora extra normal. Entonces el vALoR

a)$2

b)$7.50

DE LA HoRA NoRMAL,

c)$¿ d)$t

es

I

es:

e)$6

12. Enlaecuacién 2]fJ-2 -Q2k+1)x+12-0,paraquelasuuldesusraícesseaT,el a)

2 b)z

cl

Yc

d\

veces el valor de la hora

h,z

e)

valorde

k

es:

!;

universitario cuenta con cierta cantidad de dinero. Si se comprara 10 lápies le quedaÉ $10, si se comprara 4 cuademos le quedará $20; y, si comprara 4 lápices y 3 cuademos le quedará $10. Entonces, la

13. Un loven

oANT|DAD DE DINERo con que cuenta es:

a)

$20

14. Sea

b)S40 c)S60 d)$80

Re=IR y p(x)t'l+ :Z+'jx

at {zs}

=2,entoncessuconjuntosolución

ul{s} q F6} d){64}

15. Sea Re = lR ylospredicados solucróN del predicado

a

e)S100

{-r}

b)

{-

p(x):3-

Ap(x) n q(x)

r,o}

.)

Ap(x)

es

e¡{+r} ,x

-2=0

y q(x)'.2x2 -3,x -x=0.Enloncesel

coNJUNro

, es:

{2,0} o {2,-l}

.) {z}

'16. Se han comprado dos tipos de autos: un KIA y un TOYOTA. El KIA cuesta $20000 menos que el doble de l0 -que y cuesta el TdyOTA. y ei fOyOfR b costó $1000 más de lo que cuesta el KlA. Entonces el VALoR del auto KIA

. t52

el valor del TOYOTA, son respectivamente:


Cep. 6 Eouaoí.oney a)$17000 etauto KtA y $'18000 etToyoTA. b)$19000 el auto KIA y $18000 el TOYOTA.

d) $18000 elauto KIA y $'19000 et TOYOTA e) $16000 el auto KIA y $17000 el TOYOTA

c) $19000 el auto KIA y 920000 el TOYOTA.

17. Dos NÚMEROS PoSlTlVoS suman 30 y además su diferencia de cuadrados es igual a 120, entonces estos números son:

all7 y 13

18.

b)15 y

15

c)14 y

El

cou¡uNrosoLUctóNdelaecuación 4x4

,r

{i,s}

q

{-

l}

e)i9 y 11

i,1}

e {1,¡}

es:

or{r,-:,-

mayorsedisminuyeenglarelaciónes

c)9y18 dFy2a

e)8y4

Un reloj da un número de campanadas igual a las horas que marca. Entonces en 24 horas habrá dado un ToTAI de:

a) b) c) 21.

150 campanadas 78 campanadas 156 campanadas

Sea la ecuación

a 22'

+9=0

l}

12

d)1ly

el menorseaumentaen2yel

de 4 a 3. Entonces los NúMERos son: a)3 y4 b)24 y 18

20'

*37x2

.r{,,-

19. Dosnúmerosestánenrelaciónde3a4.Si

16

{o}

d) 24 campanadas e) 48 campanadas

) - x- * x

b)o

c)

= 0,

entonces su coNJuNTosoluctóru es:

{o,t} o¡{0,-r, r}

e¡{0,-r}

Hace 1 I años Roberto era exactamente tres veces más viejo que su hijo. Si en la actualidad Roberto es dos veces más viejo que su hijo, entonces Roberto y su hijo tienen: Hijo 30 años, Roberto 60 años. d) Hijo 36 años, Roberto 72 años Hijo 20 años, Roberlo 40 años. e) Hiio 18 años, Roberto 36 años Hijo 15 años, Roberto 30 años.

a) b)

c) 23.

))

El número de soluciones reales de la ecuación:

x+ 2-x2 a)1

b)2

c)J

d)4

24. Sea Re = R y el predicado

Ap(x)

es: a)

o

b)

*

x- .2*x2

="t,es:

e)5

p(x): 2x+6-

{-r} {!r} .)

2.t+3 =1. o)F,

Entonces su CONJUNTO SOLUCIóN

qP?t,\}

r}

25. Los miembros de un club van a pagar una cuenta de $600 en partes iguales. Si hubiera habido 20 miembros más el coslo para cada miembro hubiera sido $1 menos. Entonces el NÚMERO DE MIEMBROS del club, es: a) 100

b)20 c)30 d)40

26.

e)S0

A un profesor de la Universidad se le preguntó sobre la edad que tiene, y éste respondió diciendo: 'Consideren tres veces los años gue tendré dentro de 3 anos, réstenle tres veces los años gue ten¡a hace S años y resultará los años gue tengo ahord. Entonces la EDAD ACTUAL del profesor es:

a)

años

años

años

17 b)19 c)18 e) Elija esta opción si no se puede determinar la edad del profesor.

x+2^)

'2-¡

b)3

,2

c,l 3

d)2

2l

x-

años

x-l

x+3 - rl-g =1- 3-.r

27. La su¡¡ndelosvaloresde",/quesatisfacenlaecuación: a)

d)

e§:

e)-6

28. lgnaciocompóunjuguete.Luegolovendióen$'l26.Obteniendounagananciaigualall4%delpreciodecompra más el 5% del precio de venta. Entonces el pRrcro oe cournl del iuguete fue de:a)$105 b)$126 c)$135 d)$14s e)$108 29. unvalorde'r"quesatisfacelaecuación: x2

es:

30.

alz

b)5 c)25

+2x+

d)0

4¡2 + l5x+ll+,r2 + I lx =

r+2

e)1 5

Un vendedor de naranjas en una primera instancia vende la mitad del total de naranlas que tiene más la mitad de una naranja. Luego vende la mitad de las naranjas que le quedan más media naranla. Finalmente vende la mitad de las naranias que le quedan.más media naranla y se da cuenta.que ya no le queáa ninguna naranja. Entonces el número de naranjas que Tetil lutcnLuErutr es:

a)7 bt21 c)31

d)41

e)1 00

t53


Cap. 7 Irtwu,ar,Í,ore*

7.L LBvBs 7.2 IrPcueCIoNES LINEALES 7.3 ITvpcuecIoNES CUADRIí.TICAS 7.4 IlpcuacroNps FlecroNALES 7.5 lupcuecloNps coN vALoR ABSoLUTo 7,6

PROSI,EMAS DE PLANTEO DE INECUACIONES

Los tárminos"a lo muchd'y "Por lo menol'yo no§ dobon uno ideo inecuocíones,la relación de orden de los números, también.

de

los

155

Ca+. 7 l


gAFtt0¡" ':-],f -¡..,. .¡'.u""

n e',c,t¡ac¡:,on

e*

Moir

.

5E PRETEND€ QUE EL ESTUDIANTE:

. .

Resu¿lvo fn¿cuocíones lineoles, cuodrdiicos, con frocciones, con volor obsoluto. Use ¿sguemos críticos paro rcsolver problemos que reguieren plontear Inecuaciones.

Las Inecuaciones también corno las ecuaciones constan de

dos miembros, pero, d.ichos miembros están separados por los símbolos de MAYOR QUE, MENOR QUÉ, MAYOR O IGUAL QUE, MENOR O IGUAL QUE.

,"

Esquemáticamenteseríat ==

=: =:

==========

i
==

==

===========

SE

.":

=: = ii

EXPRE,SION li > rrlSir^r^rñnar^^ll ,, ALGEBRAICA ii . ri-,, ,u : : 3 : :!

:j,,

de

i>j

r=

=:

il i:

==

=: = =: =: =:

========

EXPRESION ALGEBRAICA

i: : = = = = : = = = : : = = = = = = = =::

i, ii II

ii =

A los términos de MAyoR euc y MENoR QUÉ, se los puede mencionar en sentidb relativo, es decir se puede decir que cinco es MAYOR QUE dos (s , z ) o dos MENoR QUE cinco (z < s )

de Pe

7.

7.L LEYES

t. 5i se sumo (resto) uno mismo contidod o

ombos miembros de una desiguoldod, ésto no se alterc. Es decir:

5i a>b entonces a+c>b+c

5-3>2-3

5+3>2+3

si 5>2

PorO vceR

2. 5i se multiplico (divide) uno m¡smo contidod posítivo o ombos miembros de uno desiguoldod, ésto no se oltero. Es decir: 5i a>b entonCes a'c>b'c pafo vce lR* 5>2

s(3) > 2(3)

3. En combio, si se multiPlico (divide) o ombos miembros uno mismo contidod negot¡vo, lo desiguoldod se invierte (combio de sentído). Es decir:

5i I -5(r

a>

b entonces

Q'L' <

b'c Pa?o vc'e ':

-:1, r

Cap. T lrvan,oínnpy


efwb Si

5 > 2,

.

entonces

5(-3) <2(-3) = -15 < -6

Por lo tanto, cttando se cqmbia. de signo a. ambos miembros d.e una desigualdad se debe cambiar el sentido de ta d.esiguatda.d. porque lo que se ha hec?rc es multíplicar por - I a. ambos miembros.

qrwb

s¡ 5

> 2,

entonces

.

k-l)5 < (-l)2] = [-S . -ZJ

Bien, ahora analicemos el desarrollo de la solución de diferentes tipos

de Inecr¡aciones.

El conjunto solución de una Inecuación casi siempre es Lrn intervalo.

Pero pueden ocurrir otros casos.

7.2 INECUACIONES LINEALES Urr.a vez simplificadas las expresiones algebraicas que definen inecuación, ésta presenta una las siguientes fórmas:

a la

Y luego será cuestión de despejar "§".

Dada

ta

tnecuación:

SOLUCIÓN es:

a)

[-r,of'

SOtUCIÓtt:

b)

donde x e lR entonces

}.{*-r¡*;:f:1

(-*,-r)

1-t,o¡

c))

d)

1-r,+"o¡

el

INTERVALO

e) rn-1+¡

Un método sería, primero multiplicar cada término de ambos miembros pot su m.c.nt.6 para eliminar

todos los denominadores y luego despejamos "

x

".

t1= yz, l)-6x ul'b*-r)-,.*' 6 3l lr'

=6-r-3 -6x
=-3+2 <.r =x>-l Lo cual quiere decir que los números mayores que -1 satisfacen la lnecuación dada. eNrouces la opción ,d" es la conecta

157

Ca+. 7 Lrwxt+ar,íaneY


EíqrÁcÁtprcpuprfu7.7 Si x e

lR

,

Encuentre el coniunto solución para:

.I_S

2.r-l

]r+l

4.r+3

I

3423

2 rL '[,*'(r'-,il='.r-' 4' ',.j 3 : 3.

(r*.,f

-(t-"f

7.3 INECUACIONES CUADRATICAS Las Inecuaciones cuadráticas, una vez simplificadas, tienen una expresión de la forma:

n*2 +bx+e

Lo cual nos hace pensar eue, de ser posible, una vez expresado el trinomio en sus factores, tendríamos: i>i (.r

.:
-.t

X.t

-, ):'i>i !

0

Suponga que -rr y n. son diferentes. Con la ley de los signos, concluiríamos en la solución. Sería cuestión de seleccionar el intervalo donde el producto sea mayor que cero (positivo), menor que cero (negativo), mayor o igual que cero, menor o igual que cero. Observe que: (x

.r,

[.r --.- ) = o

Un producto de dos términos es positivo, cuando los factores tienen el mismo signo.

Un producto de dos términos es negativo cuando los factores lienen signos diferentes.

En la recta nLtmérica podernos representar e1 signo resLrltante del producto. Primero ubicamos los valores críticos de x, valores para los cuales cada factor se hace cero. Estos puntos sirven de referencia para definir los intervalos a considerar. Es decir: -T¡

(*-*rYv-*r) +++++ 158

(,-r,X,-r,)

(,*r,X,-r,) +++++++

rft


Cap. 7Inea,wr,íone*

Para Vx[-r > ,2 ]1. ru derecha Para Vr[.r¡ < r <-y2 ](entre Para

de ,r1

V.rfr < ."1 ]1, ru izquierda

de

,r2 )tenemos que (x-x, )r 0^ (*-rr)t O; portanto (x-r¡ lx--r2)> 0 yr, )tenemos que (-r-r, )> on (r-rz)"0;portanto (.r-r,[*-.r, ) o

Para la lnecuación

[.r -

)

p(x) : x2 -¡-6 > 0

Factorizando tenemos:

(.r

- 3[.r

+ 2) >

0

.

Queremos saber ¿para qué valores de " x " el producto (x

-

3)(x + 2) es positivo?

PASOS:

1.

Ubique los puntos críticos

*2 y 3 en

la recta numérica. Los cuales definen los intervalos generados.

2.

E"-rl

(x-3)(x+2) (x-3)(x+2) ++++++++

Analice el signo del valor numérico del resultado producto los

del

EE

l-z*.3.l

(x-3X-r+2) ++++++++

en

respectivos intervalos. (Reemplace a " x " en la expreSión (_r*3xr+2) por un número cualquiera mayor

a 3 , por un

númerocualquiera entre -2 y 3;ypor un número cualquiera menor -2 , para determinar el signo resultante en todos los intervalos).

Por tanto:

Ap(x) = (-cc.-2)

v

(3,

co

¡

: l- Z)F

a

3.

Escoja

los

intervalos donde

el

producto es positivo.

Situviésemos !a lnecuación en forma estr¡cta, es dec¡r: p{x) : (.n + 2) >O

- 3[r

Lo mismo que lo anterior, pero en el conjunto solución habrá que incluir que la expresión sea cero; entonces:

Ap(x) = (--.oc,-21

ur [3. cc)

a _2 y a

3 porque se quiere tambíén

: (- Z,I)C

En cambio, situviésemos !a lnecuación en sentido negativo

p(x) : {x - 3X¡+ ,Z < O

Ahora escogemos el intervalo donde el producto

(r

_ 3)(x + 2.¡ es negativo.

Entonces su conjunto solución sería:

A¡t(x):(a))

r59

Ca+.


T

Inenoqr,tbne*

7

Ejsvryb4 vea*os aü"ra, qré p,?ff*qil$!ér:.¿y§la lnecuación

en esta forma:

xs

n]

métodos: Para encontrar el conjunto soluciÓn disponemos de los siguientes dos

Pmupn MÉtooo

tenemos que el signo del producto (3-.rlr+2) Directa*ente, dárdole ralores a " tr ", números en los respectivos intervalos, ES:

(3

-.rxr

++ +

Escogemos el intervalo donde el producto (3-r)(r+2) sea positivo. Entonces el

(3-¡X¡+2)

(3-rXr+2)

+ 2)

+

conjunto solución seria:

Ap(x): (-2'3)

.23 Spcuxpo MÉroPo Cambiando de signo a la lnecuaciÓn este producto sea negativo donde intervalo

-$-x)(x+2)
<0

Buscamos, ahora el

Entonces su conjunto solución seria:

A¡t(xl: (*2))

2x2 -16x+32 > 0 Dividiendo para

2

Yfactorizando

,2 -8r+

16 > o

1,r-4)2 > 0

(.r-4Xx-4)

>0 Por tanto su conjunto solución es:

Observe que:

Ap(x) =1Á

Si Re =

-

{4}

:

(---"o,a)'; (+,

"o)

lR. . Encuentre el conjunto soluciÓn de las siguientes lnecuaciones:

1. x2+5-¡-6<0 2. .r2 +6<5-¡ 3. -x2 +9>O 4. *(x+t)2 >o 5. x2 +x<2

PRscurte:

se obtendrían los conjuntos soluciÓn de las lnecuaciones: (x+2{x-3)'(r-s)>oz ¿Qué analogia haY (x + z\x- 3X, - s)'o

¿Cómo

Y

con lo explicado anteriormente?

160

vÍ

et


CqP.

7.4 INECUACIONES

T

Irwtq,c,btt¡*

RACIONALES

Cuando tenemos fnecuaciones con fracciones, procedemos de igual marera qLre para el producto, ya que la ley de 1os signos también es válida para la división. Sólo debemos tener en cuenta que la división entre cero no se deñne.

Queremos saber para que valores de representamos los puntos criticos

mayoresa

3,

númerosentre

-2

-2

"

x

", el cociente

y 3 , y luego

y 3 ; yfinalmente,

de

r* x+2I

es positivo o cero. Entonces sobre una recta numérica

determinamos el signo del cociente dándole valores a números menoresa

,,x ,,

números

-2. Por tanto:

Ap(x) = (--o,*2)-[3,-) Ap(x) =l-z,t)c NOTE QUE

no

escogemos

a -2

porque se produciría división entre cero para este valor de x .

PReOuurn: ¿Cómo proceder con

la

lnecuación

x-3 xa2>lt

Finalmente consideremos la lnecuación Factorizando numerador y denominador tenemos

(x*2)(x+1)

(x*3)(x-1)

>0

Necesitamos determinar el intervalo en el cual tomar )r , de tal forma que nos garantice gue la expresión sea positiva o cero. Para lo cual, en la recta numérica ubicamos los valores clticos. En los intervalos que se generan, evaluamos'x' : para un número cualquiera, y determinamos el signo resultante de la

expresión:

Por lo tanto:

Ap(x)

:

(--"o,-1]

u

(t,Z] r-, (:,

Se ha observado

r61

-)

Cd+. 7 Lvlean¡,í,owey


7.4

Cr

1.

El mnjunto solución de la inecuación

41 > 0, Re = IR . Es etintervato: x'+3x

inec enc(

a)(-*,-¡)u(o,sl

abs<

(- ¡,o) r-, [s. .") c)(-¡.o1,- [s.-) u)

abst

o)[- ¡,o)r-, [s."")

Er

e)[-:,o]r:(s,*)

z. Dada ta inecuación L,:'.j: x-2

ro,

donde

-,(r=2) y xelR.,

enbnces

el

coNJUNTo

E:

SOUUCIÓru es el intervalo:

a)(-*.olu[+.*) b)(*-,olr-,[a,-) c) [o.z),"-,[¿,"")

ol [o,z)u(2,+]

"l(--,0]u¡(o,z)

3.

El CONJUNTO SOLUCION de [a inecuación

*3 - 4*? - 5* < 0

x-2

es el interyalo:

a) [-t,o].r(z,sl b) (- lo).r(z.s) c)[t,o]u(-2,-sl

o) (-

*,-tlu

[o,z)u

[s,

-)

e)(-*,tlu[:,-) 4.

, -É3-Sl a¡ (--*,r]u,[:, o) Sea la inecuació

0,

Re:

considerando

lR

, entonces el conjunto solución es:

¡l(*,1]

"l[¡,-) (L d)

"oI

"¡[t,r)t

,(:,*)

El conjunto solución de

a) (-8, -2)

u

b) {x/(2
la

inecuación:

¿+*-

>

5,

Re: iR Es:

(1, +co)

v

(x >1))

-8) t-,,(*2, 1) d) {x(x < -1) v (2
6.

(-oo,

El INTERVAIO a) (0,4) b) (4,4) c) [0, a]

d) [4,41c e) f0.4lc

I

l ¡

t:

t

!

w [] F

í t ür

& k

¡: tl

r t

162

con§ abs<

SoLUcÓN de la inecuación

, '-2 x-4

x

+2 ,si Re = IR. , x

e§:

Cap.7


Lr¡stwpbre*

7.4 INECUACIONES CO§ \IALOR ABSOLUTO Como lo que diferencia, en su estructura, a una ecuación con una inecuación es el símbolo que separa a sus miembros, entonces para encontrar el conjunto solución de una inecuación que contenga valor absoluto procedemos de igual forma que para las ecuaciones con valor absoluto. Es decir, podemos expresar las inecuaciones sin los valores absolutos considerando que en los valores críticos de las expresiones con valor abs<¡luto, a 1a izquierda es negativo y a 1a derecha es positivo. En orden progresivo, veamos los siguientes ejemplos:

l,ü1 Para la

inecuación lxt < 2

es lo mismo J.r

.

lr,

por la definición de valor absoluto tenemos:

2: .r>0 -z t x<0 a

OBSERVACIÓN: En este caso, de manera rápida se puede decir que:

Fz

ii
E"íunpl,a2 Si tuviésemos a la inecuación en este otro sentido ix: > 2 Aquí en cambio se cumple que

| -r>2: x>0

l- *,2;

x<0

o lo que es lo mismo

[*' ', x>0 [x<-2; x<0

*2 OBSERVACIÓN: En este caso, de manera rápida se puede decir que:

Ej?rtlplt

3

Para esta inecuación l3x

* ll < 5

de manera rápida tenemos:

-5< 3.r-l <5 -5+l<3x-l+l<5+l *4<3-t<6

,l 3"t 6 *_<_<_ JJ.) -t

-

3

< \.<',

x>2 v x<-2

o lo que

C6+. 7 Iv1sr,truíottp?


Itrasr

t

Pr¡( exp Considere ahora la inecuación

-1

3

Existen inecuaciones triviales corno las siguientes:

Para

Ap(x) =O

Es obvio que su conjunto solución es

Su conjunto solución es

E,

Ap(x):

¿Ponou¿?

{l} ¿PonouÉ?

7

Si la lnecuación es Entonces su conjunto solución

es

Ap(x): Il{ ¿Pon ouÉ?

Pneeunra: ¿Cúal es el conjunto solución para la lnecuación l3x

La inecuación

-

ll > 0 t

fue resuelta de una manera directa, pero podemos tratar el valor absoluto

igual como lo hacíamos para las ecuaciones

-(3x-1)<5

EI <5 3x

-l

1 -

:

:,;;;: ;- i

: -+s-¡r il: ! tt-,

i...............-....".......:

164

i

i

Í-"'-"-""'-'-"'-:

¡ lr-tss ! 3r<6 i "<2

i i

i 1..........-....,.-..,....¿

lloisés Víllena Muñoz

Cq+. 7 f,ne*uw,oíorv*

En cambio existen inecuaciones con valor absoluto que ya no se pueden resolverlas de manera directa, pero podemos emplear lo

explicado anteriormente.

Determine su conjunto solución. : Ahora tratamos el valor absoluto empleando el método

x-2x<3+l

-x+l<2x+3

x>4

x>* 2

Buscarnos x > I Por tanto, en este intervalo todos

3

Buscarnos tanto:

-o

Entonces:

anterbr.

x
saüsfacen: Wttffir$M$tlttttltu#t#flt-+

-4

1@

1

Ar@=l-?,*)

1.

:

S¡

Re

a)

l3x+11>3

d) ¡lx +

bl12x-t

3!- 2rl<

d)

3.

:

a) (-co, -21

d) (-oo,

4.

+o)

IR y la

u

-a) u

inecuación

3x

-

[4, +oo¡ (2, +"o¡

Si el conjunto solución de la inecuación:

a)3

3¡

i).

13

11*

4xl> -3x

- 2xt,<7, Re = lR .

b) (-5,5) e)[-5, 2l

[-2,5]

Sea Re

- xi< -l f) 4x-ix+6: <8 c)

e)

El conjunto solución de la siguiente inecuación: ,3

Es el intervalo: a) (-co, -21 u [5,

<4

jx-ll+2r<0 h) 2-r<14-x;

o

x>13-5xj

s)

2.

lR . Encuentre el conjunto solución de las siguientes inecuaciones:

c)(-oo, -2)

u

(5,

+o)

> 9 , entonces su conjunto solución es: b) ( -2, 4) e) [-2, a]"

lzx-b:
c) (4, +oo)

es el intervalo (-1,4) entonces el valor de

"b. es:

e)5

I6s

Cap. T Lnenur,íorve*


7.4.L I§ECUACIONES

CON VALOR ABSOLUTO. SPCUNDA PARTE

Para otros tipos d.e inecuaciones, proceda de rnanera análoga que en las ecuaciones lrabaje en intervalos sin 1os valores absoh.rtos y resuelva cada situación.

r-31

Si Re: R, entonces el conjunto solución de

da

d)(-*, -1)u SOf,UC¡ó¡f

I

b)(-*, -1)n

x-l

>2 es: c) [3, +co¡'

(1,3)

e) (1, 5/31

(1,3)

que se forma en los Tratamos el valor absoluio sobre una recta numérica y resolvemos cada inecuación

respectivos intervalos que se generan:

-(x-3) x-l -!I;rl .r-l

'-r-f x-l

>z

>2

22

-(.r-3)-2(.r-l) >0 t-l -r'+-3-2x+l >U .r-l -' '¿0 -l'+§ ¡*l 1Y -

¡-l 1¡ -

,r-l

-§ >0

- s0 5

NO son tnayores a

SI son rnenores a 3 Entonces su coniunto solución sería

Ap(x):

(r,

:

l.

3

Por tanto la opción "e" es la correcta

r"aldfu2 t*9 .. I l2x -3'

El

intervalosoluciónOe l

a)

(*.c.+r)w(e,-)

b) (---,-r)v(0,"c)

Re:.R,e§:

c)(--. -r).r(lr,-,) d)(*'.-t)'r(-e'..) e)(- *.;,1),-,1't.-\

SOLUGIóN: por la propiedad de valor absoluto, la

,t+6

l-t-3

in

dada es equivalente a:

r+(; < 2-v-i

¿Por qué?

:.r*

3

)

Entonces, procediendo de la manera ya explicada' tenemos:

166


Cap. l-----:_1

l-ó.r.; |

-(-r+6)<

-(2-x

+ 6) < -(2"t

* 3)

-

-l

l" r

I

x+ 6 < *(2x -3)

3)

7 Í. n eoua.cr:oarp,"

l

x+ 6 <2x -3 3.,

-(,

r+6<-(2x-3) x+6<*2¡+3 x+2x<3*6

i i -_rr-6<*2x+3 i -r*2x<3+6 x<9

3x

<.

9 t2 i'-"---""""""." """"""""'-': i ;

i

-3

Entonces el conjunto solución es:

A

p(x) = (--co,-l)

i i. i !

v

x+6<2,r'-3 x-2x<-3-6 -x<-9 x>9

(9,oo)

i ; :

;

'b'

reald.tü3

Eít

El conjunto soluc¡ón

a)a

b)R.

Ae 1l-3. xa -l c)

*9

R-

, Re

d) (*1,

:

JR

1)

e) R - {1}

SOLUCIÓN: Tratamos el valor absoluto sobre una recta numérica:

-(,u +

z)

(x+l)(r-l)

(x

x+2

<0

(x+lXx-l) <0

+2\

(.r+llx-l). >o La expresión nunca es

positiva para

este intervalo.

Ap(.r): (-1,1)

Entonces el conjunto solución es:

El CONJUNTO §OLUC!óN

a)

(-

t.r)

b) (-

de

x -^2

+l

¡'+l

"c,+"o)

c)

Por tanto la opción "d'es la correcta.

> o es el intervalo:

[2,+"o)

d)(0,+*)

e)(- r,zl

SOLUCIÓN: Tratamos el valor absoluto sobre una recta numérica:

161

Cap.

t\,loisés Mllena Muñoz

-(x - 2) +l --;a*r

7

lttst¡,u,tbrv*

7,

x _.2¡-1 =, x'+l

de

J'------"---""""-----"""-""i

i

,-:-r*,1,

x-+

i/

i

-11' x' +l

=

o

Ap(x):

Entonces su conJunto solución e6:

i2**=ti, rx-J

El CONJUNTO SOLUCIÓN

'[--'-;]

{ (-.o,-2]

Por lo tanto Ia opción

Dadatainecuación

-

5l

'b'es

la correcta.

1, donde

x

b)

t-z-rl

")

[-3,3]'

cl(

3\'

* l' x

a2

",

,

e) C1/3, 1)

xelR. y +

: 0),

(0,@)

entoncesel CONJUNTO SOLUCIÓN

q(-*,])-to,-l

"'[--'])'''
[--.;]

"l

z

I

es el intervalo:

d" ''

x<0}

ix+¡l ¡

[;.-)

inecr¡ación

l*ll. lr+l

l.-*'rJ

c) {xJx>l v d) (-"o, 0) u (1,2)

es el intervalo:

intervalo:

cl'

[_],,

lR. , entonces el conjunto solución

-1121 (1t2,2)

168

= (--co,oo)

e) [5, "o)

a) {x/x>'t v x< b) (-oo, 0) w

Dada la

lR.

0e lZ + xl> lx

,

5.

i

i!-l---11., "r'lx+21

r

i

*

i

lx +1 >0 b) ' '--x+2

r'*l=o

a)

i

. Encuentre el conjuntro solución de las siguientes inecuaciones:

")'ir-tl

4.

i

i

o

es para s2

si Re =

i

i esta expresión i es siempre i i positiva o cero ! para toda xZ2 i

Esta expresión siempre negativa toda x

2.

i

i

x' +l =

¿l

¡

i"r^.'=o i x'+1

I:-L

Si Re = lR

n

l: lx+3i

.2

, donde

x e IR. y -,(x:

olÚ,i1f'

-3),

entonces el conjunto soluciÓn es el

c){-*li)

dtl-t''s,áf

Cap. 7 Í n e-c,t q,c,b"yv*


7.6

PnogLEMAs DE pLANTsos DE rNEcuAcroNEs Para interpretar problemas que involucran plantear inecgaciones,

debemos tener en cuenta las siguientes equivalencias:

¡

A [o menos Por lo menos Com<¡

Mayor o igp4!

minimo

A lo nrucho Cuando mucho A lo ¡náximo

Menor o igt¡al

Y el resto del planteamiento igual como er de las ecuaciones

Re.visalo).

? rol>l,ema.,

r%ue,ltü

(¿cuar es?

l

Una persona quiere invertir g60.000. El puede escoger los bonos emit¡Oos por el gobierno que ofrecen un interés del 8% o con un mayor r¡esgo, Ios bonos hipotecarios'.on ,ñ l0% de interés. ¿Qué cantidad mínima deberá invertir en bonos hipotecários de modo que reciba una GANANCIA anualde al menos $S.S00? SOLUCIÓN: INCOGNITA: x = Cantidad de dinero invertida en Bonos Hipotecarios

DESARROLLO:

DATOS: 60000-x =Cant.

Ile nÍ . ¿tl de dinero invertida en Bonos del gobierno.

60000

l0<'/o

t0

lijre

nt. ul

BoA

I

.'l^ . " (60ooo -.r)> r00.r + 100'

l0 .r + 100

480000 100

* ál r

ssoo

> 5500

l0x+480000-8.r >5500

100

2x+480000>550000 2.r > 70000 coNDtctÓN:

!

x > $ 35000

GANANCIA > 55OO RESPUESTA:

se debe invertir al menos $35000 en Bonos Hipotecarios para recibir la ganancia deseada.

t69

Cap. 7 tYtwtw*,íovtP*


? rol¡|,e,m,a,

re.u*olfrt 2

lr

p + = 100 que tienen (250 + 10x) dólares producir las x unidades. Las unidades -r que deben producirse y venderse a fin de obtener una utilidad de al menos $350 es:

Si x unidades pueden venderse al precio de $p cada una en donde

un costo de a)10<

x <20 b)x>20 c)5
SOLUCIÓN:

Ingresos-Costos >350

INCOGNITA. :r Cant. unidades producidas y rendidas

:

DATOS: p precio unitario de venta

: p+3x:

Costo:

100 entonces p

: 100*3r

(precio x Cant.)

Costos

-

)

350

(too - 3x)(r) - (250 + lox) > 350 l 00x - 3x' - 250 - l ox > 350

9o-r-3x2 -250-350>o -3¡r +90x-600 >0 (-t)

3¡:-90x+600<0

C:250+10x

+3

xt-30x+200<0 (.r*20)(¡-10)<0

GONDE|ÓN: UTILIDAD > 350

RESPUESTA: Deben producirse y venderse entre

10 y 20 unidades, es

decir

l0 < x < 20.

Po tanto la ooción "a" es correcta.

? rol¡l,ema,

reu,e.lta

3

gn peluquéro atiende en promedio 120 clientes a la semana, cobrándoles $4 por corte. Por cada incremento de 50 centavos en el precio, el peluquero pierde 8 clientes. ¿Qué precio máximo deberá fijar para obtener ingresos semanales de al menos $520? SOLUC6N: DESARROLLO: INCOGNITA: x Núm. de incrementos de 50 centavos

:

I

ngresos = ( Preciode corte)x

/

=

(;t +

0.50f)(ll0

(4 + 0.50r)( 120

{#c

lientes)

-ttr)

- 8,r) > 520

480--12.r+ (il.r - 4.r2 > 520

480-.'il,r+ 60¡ -0,r1 - 5rg > 0 DATOS: Núm. Total clientes = 120 Precio. de corte para el Tot. de client. =$ 4

4.rlr28¡-.10>o (-l)

fl [+.r:

-:tr r +o s o] :l -7,rrl0
:J

<0

CONDICIÓN:

INGRESOS .1 > $520

I

RESPUESTA:Comosehadeterminadoquehayquerealizarentre2y5incrementosde$0,5(2<'r<5)

x = 5 , el máximo incremento = 4+0.5-r= 4+0.5(5): $6J

en el precio de corte. Escogemos

pnecroMÁxruo

I

170

para obtener el preóio máximo Por lo tanto:

Ei

Iloisés Villena Muñoz

Cap. T Ln,eanaíonoy

?ro|>lem* reui.e,lta+ La producción y venta de cada ejemplar oe un per¡oo¡coGI un costo de 2ig. El editor recibe 20$ por ejemplar por concepto de ventas y, si además, recibe ingresos poipr¡l¡.¡a.¿ equivalentes a! 30% de los ingresos sobre ventas más allá de las 20.ó00 .ojirr.'¿Cuántos ejemplares deberá vender el editor si al menos no desea tener pérdidas? a) Al menos b) Ar menos c)er menos d) Ar menos

100.000

i20.000

300.000 e) Almenos 60.000 SOLUCIÓN:

is0.000

DESARROLLO:

l-c>0 I>C

-

ventas_Irubl¡cllod.costos

DATOS:

g[o.zo1x - 20000)] > 0.25.r (r00) 20x+6(x*20000)>25x 20x + 6x - I 20000 - rr:: : lroroo

0.20x +

Cosr. oec/r¡eMplAR = 25 6 = g 9.25 PRec. Ve¡l¡. oe c/e¡EupLRR = 20É= $ 0.20

CONDTCÉN:

UTILIDAD:

U>O

Por lo tanto el editor debe vender al menos 120000 ejemplares. por tanto, la opción "b, es correcta.

? rol¡Le¡na,

re,wel.ta

S

ElVicerrectordeasuntosestudianti¡eso"@táplaneandoqueungrupo musical realice un concierto en el Campus Universitario. f¡ pago del costo del concierto lo puede realizar con un pago único de $2,140.0 r¡n pago $tOOó mas el 40o/o de to que se obtenga por la venta de tas entradas. Et calcula que-asistirán aoO estuoiantes- ¿Cuánto podría cobrar por boleto de modo que la segunda torma oe pago no sea más elevadá que el pago único? b) A !o más $3.5 c) A Io más d)A ro más $4.5 e)A ro más $5 1^l9,L1r

-

$3

$4

DESARROLLO:

looo+,40 fisoo¡¡r]<

DATOS: Pnoo úr'ilco

!

[tooooo* 32ooop <:++ooo] +looo 100+32p<214

=$244O

secu¡ron FoRMA pAGo

z++o

= 1000

+'f-ktoolol

32p<241-tOO 32¡t < 144

¿ < $4.50

CONDICóN: SEGUNDAFORMA PAGO

< PAGOÚNICO

RESPUESTA: La entrada debe valer a lo mucho 94.50

17l

Cap. T Lne*uaaíone*


r 1.

arti*lo pueOe u"nOer todo lo que produce al precio de $60 cada artículo. Gasta $40 en prima y de obia al producir cada artículo y t¡ene costos adicionales (frjos) de $3 000 a la mano materia producir y vender para sernrna Ln la operación de la planta. Encuentre el número de unidades x que debería obtener una uiilidad de al menos $1 .000 a la semana. El fabricante de cierto

mater¡ales y Un fabricante puede vender todo lo que produce al precio de $15 por unidad. Los costos de semana' fijos de costos $400-0^por y, existen ¿Cuántas además, por son de $b unídad mano de obra unidades x deberá producir si desea obtener utilidades semanales de al menos S3.000?

2.

de

(260 y tienen un costo Si x unidades pueden venderse al precio de $p cada una, donde P=60-x, + 12x) dólares producir las x unidades. Las unidades xque deben producirse y venderse diariamente para obtener una utilidad de al menos $300 es:

a)20

b)23
c)25
,'300-¡." dólares, donde ".t" es el número de articulos producidos y vendidos en un Un artículo se vende a y otros servicios se deben pagar mes. Si su costo variable es $100 por unidad; y mensualmente por alquiler para generar una utilidad de y venderse producirse deben "r;'que ÁnfíbUlOS §S-OO, entonce* el número ¿e por lo menos $7000, es:

a):rs50 b) so

",

<

t:o

c)x>150 d) .r < 150 e) -r>50

por botella' El volumen de p un distribuidor de licores coinpra whisky a $2 la botella y lo vende a dólares ventas

a) [i

6.

precio es ¡r. (en cientos de miles de botellas a las semanas) está dado por x= 24 - 2p cuando el por semana? millones de total ingreso $7 p un arrcila ¿Qüé vator de jeué valores d'e p dan ,n, uiifid.d al distribuidor de licores de al menos $4.8 millones por semana?

¡

el alquiler es de El propietario de un edificio de apartamentos puede. alquilar todas las 50 trabitaciones si del alquiler, un apartamento mensualidad la en de incremento $5 por Poicada habitación. mes üO áf Ef para obtener un óürrá ,á.rnt" sin posibilidad alguna de alquilarse. ¿Qué alquiler máximo deberá fiiarse ingreso mensual de al menos $8.000 ?

7.

Se sabe por Bienes Raices Reales construyó una nueva unidad habitacional con 50 departamentos. pero por experiencia que si frja un alquiier mensual de $120 por apartamento todos.ellosserán ocupados que fijar por deberá máximo valor El quedará vacante. un apartamento caáa $5 de incrernento en el áQuiler es: apartamento con el objeto de que se obtengan ingresos mensuales por lo meno§ de $6'000, a) $ 260 b) $ 265

8.

c) $ 180 d) $ 200

e) $ 250

20 La producción y venta de cada ejemplar de un periódico tiene un costo de 25 centavos. El editor recibe por ejemplar por concepto de ventas y, si adernás, recibe ingresos por publicidad equivalentes al vender el 30% de los ingresos sobre ventás más allá de las 20.000 copias. ¿Cuántos eiemplares deberá editor si desea por lo menos una ganancia de $1 .000 por edición del periÓdico?

."nturo,

por e}emplar por La producción de cada ejemplar de un periódico tiene un cosio de 181. El editor recibe 15{ ventas concepto de ventas y, si'además, ingresos por publicidad equivalente al 25ok de los ingresos sobre editor si al que vender el (.t) deberá EJEMPLARES DE el NÚMERO Entoncés copias. las 1.00Ó más a1É de menos no desea tener Pérdidas es:

a)

r

> 5.OOO

b) :c = 5OO.OOO

c) x >

5O.OOO

x > 375.O0O e) ¡.. > 75.OOO d)

10

propietario y de rentar Una administradora de negocios desea determinar la diferencia entre los costos de-ser por milla reconida-de un automóvil. puede rentar un auto por $1620 anuales. Siendo el costo de combustibles que $0,10 sería el costo por milla mientras .000 de sería gásto fr¡o anual $1 el el auto, se comprara Si lO,Os. para iustificar el rentar en recorrida. por lo ianto el número-de miilás que tendrá que recorrer el auto al año lugar de comprar será; a) inferior a 17.300 b) superior a 17.300 c) superior a 12.400 d) inferior a 12.400 será mejor

lloisés Villena Muñoz

Cap.7 Íneanr,tbnp*

1.

El coNJUNTo soLUctóN

!-|-"?- > 1 es el intervalo:

3x-l

(-*,1)t ,[;,"")

a)

b)

2.

de

[],-)

c)

(- *,

d)

(1, ji]

")

[i,i]

|)

Una empresa automotriz desea saber si le conviene fabricar sus propias bandas para el ventilador, que ha estado adquiriendo de proveedores extemos a $2.50 cada unidad. La fabricación de las bandas por la empre§a incremenlará su§ costos fijos en $1500 al mes, pero, sólo le costará $1.70 fabricar cada banda. ¿CuANras BANDAS debe utilizar Ia empresa cada mes para justificar la fabricación de sus propias bandas?

a) b) c) d) e)

Másde Másde Másde Más de Másde

Sea

Re: R

1875. 23 15. 1530. 123 l. 1923. ytospredicados

Entonces el coNJUNTo

DE vERDAD

a) Ad.n) b) Aq(n) c) lr,-z)w(2,+¡ d) (q,-4) e) (*,-z) Considerando a1

lp(x):

Re

:

IR,

p(n):ln+2t<6 y q(n)r{"" -olr-+¡.0 del predicado p(n) ¡ q(n) es

entonces elconjunto sotución det predicado

p@, *:+< 0 es:

{0}

AÁx\= (-*,0] e) Ap(x): $ b)

d)

lp(x):

IR

e)

Ap(x):

[q-) 'f'

El ingreso mensual obtenido por la venta de relojes de pulsera sera x(+O- 0.2x) ddares. El costo al mayoreo de cada reloj es de $28. Entonces el número ,,.t' de relojes que deben venderse cada mes para obtener una ganancia de al menos $100, es.

a)

I0
x<50 c) x> 10 d)x>50 e)10>x>50 b)

Sea el predicado: soLUCróN

Ap(x)

P{x):

x2+x-l 3 2 x2 _3r+2 x-2 x_l

Re:

lR

.

Entonces su coNJUNTo

es el intervalo:

a¡ [-z,o]t", (r.z) b) [- z,o]c c)

[o,r)r-.,(2,-)

d)(<,-2) e) (- *,-z] u

[o"r),.-., (2,

"o)

173

Cq+. 7 fvtwtm¡,bne*


7.

Sea el predicado:

-t-ll i
p(x): '

i

x

Re

:

llR

.

En¡onces

su

coNJUNTo soLUcróN

lp(x)

es el

intervalo:

4 h,ir o)[0, l]

(-

c)

8.

d)

"l

[].-) (o,l)

0] "o,

Cecilia es propietaria de una tienda de alquiler de video. Ella puede alquilar 100 cassettes de video a la semana cobrando $5 por cada video. Por cada incremento de $'l en el precio del alquiler, dela de alquilar 10 videos. Cecilia desea que sus ingresos semanales no sean menores de los ingresos que obt¡ene con la tarifa de $5, entonces

EL PRECIO MAXIMO DE ALAUILER QUE DEBERÁ FUAR, ES:

d) $10 e) $20

a) $5 b) $7.50

c) $15

1-2 ,3

EICONJUNTO SOLUCIÓN dE

2x+l

es el intervalo:

a)l-rrl ' \ t'-J

c [-L- l)

(-*,-1).[2,*) c) (-*,-tlu(l,.o)

.r

b)

10. Sean

Re:IR.

Entonces a¡

xq(x))

q(x\: x2 + 4x < 0

p(x)::x-3:<4

ylospredicados:

\p(x)

(l,rl

es et intervalo:

l-et)

(-*,-¿)r-,[2.-)

d)

e) (-r,o)

b) [-r.z] c) [-r,o]

11. Para produc¡r una unidad de un producto nuevo, una compañia determina que el costo del material

e§ de $2.50 y el de mano de obra $4. Los costos fijos son de $4500. Si el precio de venta del artículo será de $7.40, ENTONCES EI NÚMERO MINIMO DE UNIDADES QUE DEBEN SER VENDIDAS PARA QUE LA COMPAÑíA NO TENGA PERDIDAS ES: d) 4500 a) 5000 e)9000 b) 900 c) 500

12. Sea Re

:

lR

DE VERDAD

y los predicados

A(p¡)nq(x)¡

3r,

.

y

0

q(x): ;r -

(-"o,0]u,[:,"o)

d)

u)

(r,:]

e) (1,"o)

El coNJUNTo so¡-ucróru de

3j

<

2x

entonces el CONJUNTO

es el intervalo:

a¡

.) [rJ) 13.

p(x) 12 '

[J]

')^

x- -¿x -- -'-

x*l

>

0

es el intervalo:

ol (o,l)t,(2,*) e¡ (*"o,0]ur[t,"o)

[o,l]u,[2,-) ¡l (- z,o) u, (t, *)

")

c) (0,.c) 14. EI CoNJUNTo SoLUCIÓN de

(*,, ?)'

4-x

.

o

es el intervalo:

a)(-"o,4)

q (- 4,.o)

o¡{z}r-'(-"", +) c)(*-,2]u.,(+,-)

e){z}u,(¿,*)

15, Una Empresa produce discos. Si la ecuación de sus costos en una semana es C:300+1.5x y su ecuación de rendimiento o ingresos es R = 2-r, donde ¡ es el número de discos vendidos en una semana. Entonces el Nürr¡eRo a) Al menos 100 discos. b)Al menos 150 discos. c) Al menos 300 discos.

174

or Dtscos que debe vender dicha empresa para

oBTENER GANANCIAS, es:

d) Al menos 400 discos e) Al menos 600 discos

I


Ca,p. 8

N

úmp*ot

N

afuroúp,y

.'4

8.1 A:r¡o*rAs."bb punxo ":. p.2 lfrpr¡ccróu n¡erprfiárrca " [i.g FecroruAL 8.4 TpoRpMA DEL BINo}IIo 8.5 §ucpsrorps Anm¡uÉTIeAs y '

GDOMETRICSS

4

?

Seguromente, lástrúmeros noturores fuerón los primerb s en &finirse, debidq d gue desde un princíiio glhombr non ¡wu*l"r¡a" r" necesidod de contor. t

.

ron"il" ;"'

t75

Cep. 8


N

ú,me.roy

N

afurdet,

8.1 AXIOMAS DE PEANO 5E Pe§tA,¡§€ Au€ EL §sn DIÁNTE;

.

Conoá propie&des

d¿ los Nú¡renos tüturules.

Los números naturales se construyen a partir de los Axloues DE PEANO, estos son:

1. leAl

?,Yn

e §[n3rn e suc€soR de ,,

§[ tal que no = n*li

dotldle no

*

llomodo

3.V¿eN -,(n'=l) 4.Vne§[n VmeN[r' =m" *n-m7

Un buen ejercicio consistiría en interpretar estos axtomas. A continuación presentaremos ciertas propiedades para los números naturales, que podrían ser útiles. p(n) : I + 2 +3 + 4 + ... * n =

p(n):lz +z?+3,

+ 42

Ik!

Lo sumo de los n

núne.os noruroles

2

+...+n' *n(n+l){zn+l)

r¡sums detosnz

6

nríme¡.os nottnales

r' Lo sumo de los nrjmeros impares p(n) : 2 + 4 + 6 + 8+ ... + 2n = n(n + l) Lo suma de los nrimeros por¿s p(n) :l + 3 + 5 + 7 + ...+ (Zn- l) =

>

p(n):t3 +23+33 + 43 +...+ O

=lryl'*

rr""

de ros

a3

nrimeros

Para demostrar que estas propiedades se cumplen para todo /1, se puede emplear el método de demostración llamado INDUCCIÓN MATEMÁTICA.

176


Cep. 8

N

tl,ml,rw N afilrala*

8.2 INDUCCION MATEMÁrTCE

'iffi

SE PREÍENDE QUE EL E5TUDI^NTE:

.

Apligue el principio de índucción moternítíco poro demostrociorcs.

La Inducción Matemática consiste de dos pasos:

t.

Veríficar gue se cumple poro el primer o tos prirneros números , es decir comprobor gue P(l) = verdadero.

2. Asumir que, si se cump,e poro todo n¡jmero n, entonces se deberó cumplír tombián poro su SUCeSor

n

+l;

eS

deCir,

Vnf¡tqn)

*

p(n+ t)].

Demostrar, empleando el método de inducción matematica, quE

p(n\:l+2+3+4+...+

n

-

n(nnl) ?

PASO 1. Verifiquemos p(1), aunque más inleresante seria obtener p(2), p(3)

¡t(t): , = PASO 2.

t('l

1)

,..u*pr.

Asumir que si la propiedad es válida paÍa

p(ro ), l + z + 3 +4

n ,entonces

deberá ser válida para sus sucesores; es decir

+...+,o * "o['o * t) 2

Para lo cual, a la igualdad sumamos a ambos miembros

I+2+3

+4 +... + n + (n + t) =

r+I

"(n;l) * (r*

y hacemos los aneglos necesarios.

r)

a

_,,(,t+l)+2(r*l) 2

* (r+l[n+2) 2

Nole que la expresión algebraica puede ser expresada en términos de es válida para todos los naturales.

s, sucesor

r

0

= n * l,

portanto la propiedad

171

Cep. 8


N

ti,ttw,rw

N

ahsdoY

8.3 FACTORIAL

Entonces: 0!= I 1!=

lkl - t)!l= l(o!)

2y= Zlq2- t)!] =

=

1

2(l!) = 2xl = 2

¡t= 3k3 - t)!l= 3(2!) = 3x2xL = 6 4l= 4l$- t)!]= 4(3!) = 4x3x2xL =24 i

u.i

rrrr.ir.rrnt

.

8.4 TEOREMA DEL BINOMIO

para obtener el desarrollo del binomio (a +bf tenemos dos opciones: EI teorema de P¿sc¿r, y el teorema NewroN.

8.4.1

TponPn¡a oB Pesce¡,

Los coeficientes del desarrollo del binomio (a+bY, están de acuerdo al siguiente esquema: I I 2

1

a

J

1

I

t5 178

4

6

l0

1

@

t 31f

E V=\

4 I lostE

l7=ol


Cap. 8

N

úmp,rw Naklralpy

Lo anterior se vuelve inaplicable cuando n es un númerg grande.

8.4.2 Tponpue

DE

I{EwroN

Lo cual resulta una manera mr-ry práctica y sencilla de obtener los términos del desarrollo del binomio, aunque n fuese un número grande.

Este teorema puede ser demostrad.o por el método de Inducción

Matemática.

Note que: 1. Cualquier término del desarrollo, tiene la forma: r-ÉRa¡¡roGpusRAL

f Donde: /7

= :

4 á=

i

:

exponente del binomio primer término del binomio

segundo término delbinomio (# término del desanollo del binomio) -1

2. A los coeficientes del desarrollo se les ha dado forma

(:)

La cual se la calgqla mediante la siguiente definición: donde

EfWb Si

n) m

¿.Pongu

_

r:5 | m=3 tenemos lr)= ,, _ 5x4x 3xlxt _* (.3/ :t(s-:) (l,z*r[z"r)-'"

Además, si rz = 0 entonces

l") = [oj

nl 0!(n

-

nt

0|

nl

-I

t'79

Cep. 8


N

úme"rw N afu,rale*

3. La cantidad total de términos del desarrollo del binomio es n +l . ¿Pon ouÉ? Bien, ahora analicemos diversos ejercicios resueltos.

r%,tdfu7 Hallar elTERMINo CUARTo en eldesarrollo del binomio de SOLUCIÓN:

(t-z*)1

= (t + 1-zr¡)7 Enton..s

rz

i=3 a*1

=7

7l,z-r,-r*rr 3)

b=*2x

=3!4!\ '' f- t."' )t _7 x6xt"a'(_S_rr)

3x24t \

/

= -280x1

r%Lw)fu2 EI COEF¡CIENTE deltérmino que contiene

al 492

x'en eldesanollo

de

d}192

c) 692

b) 592

e) 892

SOLUCIÓN: Aquí en cambio, no conocemos el número del término, pero -sabemos que el término referido en el desarrollo del binomio

( , 1\12 I x' + |

tiene como parte literal a

Ix/

Ademásconocemosgue n

o = x2 ,

=12,

Reemplazando y simptificando en

(o.) (.

r,

x , -l , D=x

o'-i Oi , tenemos:

l=:

(':) (.' )' '( l)'

=

[',')"'-"'-' ll2) rr-., =[, J'

Como el exponente de la

"/

debe ser 3, entonces:

POR TANTO ES Et OCTAVO TERMINO.

Ahora calculamos el coeficiente del octavo término:

l2t rr2)_ lt-

\7)

7!5!

l2xllxl0x9x8x7! 7l 5x4x3x2xl - 10') RESPUESTA: la opción "d'

re*uP,lfu 3 "

fr "que hace posible ")r-'

a)

-l

SOLUCIÓN:

180

ÉL

b)s

que el sexto término deldesarrollo del binomio

, gs:

c)0

d)l

e)lis


Cap. 8

N tit

msot Nqhffal",,

Término=sexto-+l=5 n=10 Ll

Dnros:

x

= --")

Reemplazando en

v-

h=

(:)'"-'

o'tenemos:

2vk

l,o)l , \'(rro

x'

IsJ[r,J

Empleando la condición:

)s

[,,

J

,s _¡ro) -1.r./r,,0

2t

,to

,15

=[?).--, s ysk-l

RESPUESTA:Opción "e'

fel¿,W,,lte4 Encontrar " o" y

"á

" del binomio

de talforma que el séptimo término sea

Séptimotermino-+ i = 6

iguala l3440xay6 soruclón: para er binomio

Q:a

-

n=10 a.

2¡,10

a=x'6

t"nemos que:

b=

(T)(.-11,,'I =[?) (-z)6 *':á ,oo

Reemplanzando, tenemos;

Como la condición es que el término

1

.

2.

Encuentre el

-2yb

sea 13440x-ayó

SÉpluo rERl¡tNO

Encuentre el rÉRr¡t¡,¡O

crNrML

fiJ ;*:A k_l'l;:;'I

entonces:

det desarroil o

au

{1.i,

en et desanollo ¿e

_

z,l0

! " 1,. )12 [, t*r.t) t

3.

El COEFICIENTE det término que contiene

a) -20

4.

y-l

en et

de sanollo del binomio

(

^

lr b)-15

-,

L

r-4

en er desar¡oilo

'1u...,

'zs')

d) r0

c)-1 0

Encontrar el coEFlcrENTE der término que contiene

x

e)20

d.

[, : )t

I81

Cep. 8


5.

6.

El COEFICIENTE del término que contiene

,(:') ',[il)

- x)I

[t'

')-l.u 8

. ct

l:o\

b)1 701 0

,-

(f

.rt )o

')[,

l0!3n

.l'

d'4t

416t.

, Encuentre el TÉRMlNo QUE No CoNTIENE

7.

El COEFICIENTE del término que no contiene

4':1 9.

b)

b) l

-

y

a x2

en

eldesanollo oe [

\

El término que es INDEPENDIENTE DE

a) 12

cuarto

¿Cuál es

el

. /.r\

binomiol:'+ a)

'tt

58

\-.)

b)

quinto

COEFICIENTE

del

xen el desanollo c)

décimo

t

r.

e\ 120a7

duodécimo

e) décimo quinto

que no conliene la variable e en el desarrollo

término

'. I

del

?

c)1680

b)210

b)-35

d)630

,\7

* ', \ ,-/ I

es:

-.rrJ .r' e)840

, Ort, que el cuarto término de su desarrollo

c)'14

bl12

e)1 00

, ¡fr

El VALOR que debe tener " I? " en el binomio I ,,

10

(2-r2

d)-280

c)120 t

a)

es el:

,t0

35

sea: 120.r,

e)0

\16

* I '^' . ,}'.' I [.," ,t= ) d)

'?l

'x/ll0 us'

,3 *

La suma de tos coeficientes de los términos centrales en el desarrollo del Uinomio a)

15.

e)-

* I ', - .'2 lt *' [r' ) d) -14

cl -7

b)14

]".,' [:,'r't - ^l l,J I

d) I 50a7

c) 140a7

loaT

-te

,'r,,)

3

-i

t 11

Iut

d)-84

8'1

lo! 6!.1!

,10

-

" en el desanollo del binomio

10. El COEFICIENTE del término que contiene xe en el desanollo a)7

o.

en el desanoln

c)

ii

El COEFICIENTE del término que contiene

a) too07

x

,l

.r,

r0l

'

ahlralz,Y

lzo\

ot_[roJ

.J

en

N

,es:

lzo\

El COEFICIENTE del término que contiene ,4-r,l a)1 701

r )20

x'o .n

úm"erot

N

e)1 8

d)16

¿eué varor debe tener' I? " para que el cuarto término del desarrollo del binomio

{r' - -Y

contenga a

l0^ tl to

Sieltercertérminoeneldesarrollodelbinomio:

'/f

Encuentre

'l c)l

7

b)

el valor de "k" para que el

*r ,* lll l+lsea I x kr) a) 1 I

centrales (en orden)

{ a) 2.r

d) -,

7

.)4 -,7

2

coeficiente del octavo término

en el desanollo del

binomio

3lo zrr

b)2 es .f

b)f

2, 1

e)5

d)4

c)3

Si el quinto término del desanollo del binomio (., +

182

es7x2,entoncesunvalorde

es:

qii 17

(t + t, )* ,¿. IR

l)5

es igual

a l60.tl2

,y el cociente dásus términos

entonces "b" es igual a:

c)x -

d) 2.r

2

e)

,2


Cep. 8 /

19. Dado el siguiente Binomio: 1.".,'t \

r \lo

*'t, I .t''

ros varores de

'f

y

]

N

úmerot N afuralp,y

para'que las potencias de x y

potencia de y, del tercer lérmino sean iguales, respectivamente, a las potencias de x y las potencia de octavo término, son: a) k=2 Y j:-3 b)k:2 y j=t

8.5

la

./

ydel

SucpsroNps

Si en una función se emplea como dominio a los números naturales, entonces tenemos una función de variable natural, es decir /:§l r+ R . Esta función se la llama SUCES/ó¡I

Observe que los términos de la sucesión sugieren una generalidad

i

rem

tém .'

{ro

v

f(n)=Qu*en=

I j"

1 tómr

1

234

11 1

3'r rém

=J@=:, a.=fQ)=!, entonces: LA REGLA DE cORRESPoNDENcIA

el cual liamaremos rÉR¡¡lNo " n

- ésimo', TÉRMtNo GENEML o sIMpLEMENTE

DE LA SUcESIÓN.

Existen muchos ejemplos de sucesiones, sin embargo, ahora sólo estudiaremos dos tipos. Aquellas cuyos términos presentan una secrrencia muy singular, las Aitméticas y las Geométricas. Estas sucesiones son también llamadas progresiones.

183

Cep. 8


N útttt

erw N ahlrde*

8.5. 1. SucpsIóN (PnocnrslÓN) Antr*rÉTIcA

ffi§ffi,*x"

5E META{DE Qt',E EL ESTU§T^NÍE:

. . . . ,

lo fórnuto del térrnitrc generol en um sucesión oritmética. Apligr.c lo fórmulo del término gen*a| en ejercicios de sucesiones aritméticos. Infierr lo fón¡ula d¿ la sumo delos n térmims e¡ uno sucesión ariimético. Aplique lo fórmula de lo sumo n-ésino en ejercicios de sucesiones oritm¿ticos. Apliqr¡e los formulociones de los progresíones oritmétícos paro resolver problemos de oplicoción.

fnfi¿rc

Observe la secuencia de números {:.s.t'r l.l4.l7." }.

Note que el primer término es 2 y de allí en adelante el resto de términos Consecutivos se forman sumándole 3 a cada término. Si quisiéramos determinar el séptimo término (el número posterior a i 7) bástaría con sumarle 3 a 1 7 y yu; pero si se trata de determinar el término cien, este procedimiento no es práctico y surge la necesidad de formular.

para lo cual, io anterior 1o podemos tratar de genetalizat de la siguiente manera: Ernpezartdo con " a" como primer términO, luego le sumamos a este término una constante " o" para formar el segundo término, luego a éste Segundo término le sumamos la misma constante " Q" para formar e1 tercer término, y asi sucesivamente. Es decir: ¡ t¿, t^l

f

I tér

'i

ttr

-l

ttr

I

a,a + d,a +2d,a+3¿d,"""! Il'u"e'JL¡'l

LJ

Entonces el tÉn¡vrrro n-ésimo o TÉRMINo

GENERAL es: e

Donde

=

l"' término

d = diferencia

Note que lo singular es que existe una misma diferencia entre dos térmíno s consecutiu o s cuale s quiera,

s decir

e

d = Térm. Posterior

Sfsvrybr ,W

sea Ia suces¡on

:

- Térm. Anterior

,

,t,ii*;lii'r"').

HaIIar eItérmino'l00'

SOLUCIÓN:

ComotenemosQUel

4= 2 , d =3 y n=

100,a| reemplazaren utt =

(/t00 =

2+(100-l)3

aloo = 2+(99)3 r/100 = tt1¡¡¡¡

184

2+297

= 299

d*(n-l)c/

tenemos:

fi¡loisés Villena Muñoz

Cap. 8

N

úmetw N afuralp,y

Notequeeltérminogeneraldeestaparticularprogresiónaritmética.,[email protected] permitiría no sólo calcular el término 100, sino cualquier otro término de la

qwb,

r, li.l

Para la sucesión anterior

suñiñ.

. Hallar eltérmino 500.

SOLUCIÓN: Como tenemos ahora que ¡e

asoo =

= 500

, al reemplazar

en

a, =2+(n

-lb

2+(500-l)3

asoo = 2+(499)3 a5oo = 2+1497

a5¡g =1499

I I Para la sucesión

Hallar el término general.

SOLUCION:

a=5 d =3*5 =*3_(_l) > d =1

Aquí tenemos que:

=5+(n-lX-2) =

5-2(n-l\

8.5.1.1 Suue DE Los i6n , pRrMERos

rÉRMINos

Seria importante disponer de una fórmula que nos permita hallar la suma de los n primeros términos de una progresión aiitmética. para 1o

cual:

S,

= a + (a +

d)+

(a

+ zd)+ (a + 3d)+ ...

nh-rV =na+ \ / 2

Por 1o tanto

Cuando la progresión aritmética es finita, se emplea anterior de esta otra forma: trhi0o Tómino t 5l

nl

- -l¿al

I

a +

la

fórmula

+a+(n-t)d

PriD.

Lrém,

r85

Cap. 8


N

úm,e¡ot

N

qfilrde,v

Hallar la suma de los primeros 100 términos.

Para la sucesión SOLUCIÓN:

§roo

'L[r,r,*(roo-r»ll

= 'fo

(sg):]

§roo = so[+ + §roo

Aplicando la fórmula

=50V+2s7)

§roo = 50(301) §roo = 1 5050

Ahora analicemos los siguientes ejercicios resueltos:

ratüe)fu7 Si el cuarto térm¡no de una sucesiÓn aritmética es 5 y el noveno término es 20, obtener el sexto término

al

b)

12

-11

d)11

cl -12

e)o

SOLUCIÓN: a9 =20 DAT0S: a4 =5 Empleamos an =e+(n-lp parahallar

a=? y d=?

a4=§=a+{4-l)d 5=a+3d 5-3d = a

lgualando, tenemos;

,

a6 Por lo tanto el sexto término

as=20=a+(9-1\d 20=a+8d 20-8d = a

entonces

=-4+ (6-l)3

oe = -4+15 a6 =11

reáudfu2 es necesario considerar de modo que su

¿Cuantos términos de la sucesión suma sea 306? b) a)

10

11

cl12

SOLUCIÓN:

DATOS:

Progresiónaritmética«rn

CoNDlClÓN:

13 e) 14

a=9 y d=3

(¿porqué?)

.S, = 306

DESARROLLO: Empleamos

186

d)

sr= :1".('-'Hl I

-t

para hallar

n=?


Cap. 8

N

ú,msot

N

afi^rdp,y

tr

'llr,,rr*r,-r)3

-L

306 =

306 =

ilrt t+(n-r)31

306 =

')oa*3n -3)

306 =

' 2'

u5

|

l

*3nl

612 = l5n +3n2

+l5n-612=0

3n2 Ahora, resolviendo la ecuación cuadrática tenemos: n2

+3

+5n- 204=A

(n+17)(n-12)=g

n=-17 n = 12

n=12

(¿por qué

rea,Q,ltü 3 En una progresiÓn aritmética finita, el primer término es 'tgual a kZ, el último término es igual a 6-3kylasumadetodoslostérminosesigual atd-sr. Entonceset número nde términos de la progresión es iguala:

a)4

b)5

c)6

d)7

e)B

SOLUCIÓN:

DATOS: tt1 = l¡

Progresión aritmética con

a, =6-3k

-2

DESARROLL0: Empteamos

§,

=

lo*5k

último

.s =1[Primer * " 2l término término,]I

para hallar

Ir

l0-5É =

il,o-zr+ro-¡r) -t

L-J

10-5k =

I I

i(t-z*e-*)

n 10-5k= (+-zkl 2

5(2- k) =

ilze-n)

n=5

rcarPlltü+ una empresa instala una máquina con un costo

de

deprecia anualmente en $150 y su valor se desecho es vida útilla máquina?

$1700. El valor de la máqrrina se de $200. ¿Cuántos años tiene de

SOLUCIÓN:

DATOS:

La máquina tiene: Cosro lrurcw- =_$1700 y luego cada año tendrá un valor de menos g1S0 que el = $200 Formemos una sucesión de números para el valor de la máquina a partir del año de funcionamiento

año anterior, hasta llegar a un Cosro FrNnl

I rno r r+

rt

áñ0:

I

Jrs50. t400.... . t00 | r

187

Cilp. 8 N¡imerotNafurúe*


Resulta una progresión aritmética con

DESARROILO: Empleamot

a = 1550 y d = -150

F, =7*G:Fl

parahallar

r=?

a, =1550+(r-1X-150) a,, =1550-150(n-l)

200=1550-150n+150

l50n=1550+150-200 l50r=1500 n =10

RESPUESTA: lla vida útil de

la

máquin?_es de 10 años.l

S el U..lrno i¿rmino de una progresión aritmética es 42 y el ténnino vigésimo primero es 75, entonces el término trigésimo primero es: e) 100 d) 103 c) 104 b) 108 a) 105

2,

La suma de los primeros 20 múltiplos de 7 es: c) '1473 b) 1460 a)

3.

entonces La suma de los 10 primeros ténninos de una progresión aritmética es 440 y el primer término es 35, eI DÉCIMO TERMINO es: e)100 c)10 b) a)2

1470

d)

1465

e\

147

d)53

125

La suma del quinto y décimo termino de la siguiente sucesión aritmética: x-8, x-3, x+2, x+7,.... es: e) 2x+49 d) b)

2x-81

a)2x-49

2x+82

c)2x'82

el Si se suman el cuarto y el sexto término de una progresión aritméüca se obtiene 20, pero si se multiplican de la suma 20. Entonces también obtiene se progresión aritmética misma quinto de la ténnino tercer con el los cinco primeros términos de esta progresiÓn es: e) 40 d) 24 c) 20 b)10 a)

0

Si el producto de tres números en progresión aritmética es igual suma de los otros dos números es: b) 58 a)

c)S5

60

a 16640, siendo el menor 20, entonces la e) -68

d) 80

si el producto de tres números positivos en progresión aritmética es iguat a entonces la SUMA DE LOS OTROS 2 NUMEROS es: c) b) a)

60

70

78

d)

45360, siendo

66

el mayor 42,

e) 84

Una pila de troncos, tiene 24 troncos en la primera capa, 23 en la segunda, _22 en la tercera y sucesivamente hasta que la última capa contiene 10 troncos. Encuenlre ¿CUANTOS TRONC0S HAY TOTAL? a)

200

b) 255

c) 230

d) 400

a)5yO

b)16y5

c)20y10

d)10y20

EN

e) 300

200 troncos están apilados de la siguiente manera: 20 en la primera fila, 19 en la segunda sucesivamente; el número de filas que hay y el número de troncos en la última fila es:

ast

y

asi

e) 16y6

10. Un comerciante no pudiendo pagar de una vez una deuda de $12,950, propone al banco acreedor pagarle la $600 al final del primer mes, y cada mes $50 más que el mes anterior. El comerciante cancelará toda

deuda en:

a)

1

año

b) 14 meses

c) '10 meses

d) 16

meses

e)18 meses

11. Unamáquinatieneunvalorinicial de $2000ysedespreciaanuatmenteen $160.Si el valordedesechode la máquina es de $400, entonces su tiempo de vida útil es igual a: e)'13 años d) 10 c)'11 b) 12 a) 8 12

años

años

años

años

Laoficinadelngreso compróuntelevisornuevoal preciode $1000. Si se§uponeunadepreciaciónlineal del 20% del coito originai, y si el valor de desecho es $100, entonces el tiempo esperado de vida del televisor, en años, es:

a)5

b)3.5

c)4

d)4.5

e) 5.5

progresión 13. Los pagos mensuales de Consuelo al banco ocasionados. por un préstamo forman una a¡tm¿tija.Si el octavoydécimoquintopagossonde $153y $'lSl,respectivamente,entoncesel vigésimo pag0 es: a) $202

188

b)

$220

c) $201

d) $210

e) $200

Cap.8 NúntuwNaturde,a

Ivloisés Villena Muñoz

14. En un programa concurso de la televisión, un participante obtiene 5 premios de dinero en efecüvo. La suma total de los premios es de $5000. Si hubo una disminución de $100 enfe prcmios sucesivos, enbnces el PRIMER PREI¡Io fue de:

a)

$12

b) $120

c) $1200

d) $2800

e)$1 2000

15. Un individuo está de acuerdo en pagar una deuda libre de interés

de $5800 en cierb número de p4os, cada uno de ellos (empezando por el segundo) debiendo exceder al anterior por $20. Si el primer pago es de $ 1 00, calcule cuantos pagos deberá efec;tuar con objeto de flniquitar la deuda.

se compra una casa a 25 años plazo; el primer año se paga $s000, el segundo se paga $5300 y cada año

pagan $300 más, enlonces la deuda total es: a) $215000 b) $220000 c) se

$225000

d) $230000

e) $235000

17. Un individuo está de acuerdo en saldar una deuda de $1800 en cierto número de pagos, cada uno de elbs (empezando con el segundo) menor que el previo en''$10. Si su quinto pago es de $200, ¿cuántos pagos serán necesarios de modo que salde la deuda? 18.

El salario.de un empleado se incrementó anualmente siguiendo una progresión aritmética. Si el quinto año ganó M40 mensuales, y el vigésimo tercer año gano $1i60 mensuales, ántonces su salario mensual inicial fue:

a)$120

b) $l¿o

c) $280

d)

19. Una mujer desea pagar. un préslamo libre de interés

20.

aum_entandosu pago

en

a)

b)

$1so

de

$360

e) $110

$1300 cancelando g10 el priner mes y

$15 cada mes, La canüdad del último pago es de:

$t6o

c)

$170

d)

$reo

e) $1s

Una compañía manufacturera instala una máquina en un costo de $1500. Al cabo de 9 años, la máCu[na tiene un valor de $420. Suponiendo que la depreciación anual es constante, calcule la deprecjación anuá.

supongamos ahora que tenemos una sucesión de términos, cuyo primer término sea « d ; el segundo término sea el primero multiplicaáo por una constante uf , el tercer término sea el segundo multiplicad.o por la misma constante r; y así sucesivamente. Es decir:

l,.l

II au,Lr/. ar -ar' -ar" -..,t [r tcr

rér 3 rér 4 tér

I

) Este tipo de sucesión es llamada Progresión Geométrica. Observe que el rÉru¡r¡rocn-Éstuot o eENERAL es de la forma: z

..

Donde: r

*

a = ln" término

ruzón

_ Tér.Posterior Tér.Anterior

c¡ncuenta.

_l

Observe que el primer término

l-=--s4 decirlr= |

es a =

2

y luego cada término se forma mulliplicando

pr

3 a cada término anterior, es

2 = 18=31

|

189

Cap. 8

iihisés Villena Muñoz

Núm*wNqhlraleY

aplicar la formula Los primeros términos son fáciles de deducir, pero para determinar términos altos, es necesario

aso

=2(3)so-r

aso

=2(3)ae

-: 3 '' 2 . an,on.., su

término seneratsería

|'If fl l" (2/ I'

que te permite

calcular cualquier término de la progresión'

8.5.2.

I

Suue «n-És¡wtA"

La suma de los n primeros términos de una progresión geométrica sería: Sn

=a+ar+ar2 +or3

+"""

sn='l+'2*" *"""] ó también

Entonces

íembltl Hallar Ia suma de los cincuenta primeros

Para la progresión geométrica términos SOLUCIÓN: Reemplazando en

L'-t1 Sr=al' .

L'-'

I

J

Para la progresión geométrica primeros términos SOLUCION:

190

tenemos ,ro = ,[']o

: ''l = (rto

L'-r l

Hallar la suma de los cincuenta

Cq.


8.5.2.2

8

N

wneroy N ahlral,e*

Inr¡urre

Sun¡e

Algo interesante ocurre cuando d.eterminamos la suma de una

cantidad muy grande de términos de una progresión geométrica corr r I

Sea una progresión geométrica infinita

?

coñ o =? y r=

SoLUCION:

22

Reemptazandornls* =

¡

,_rl ;ltenemos

'*

=, '_, = t_^

I

i

, hallar el yator aproximado de s_

=t

4

t9l

.

Cep. 8


Nt

ume,roY

N

ahrrd,e,Y

l

Eíerciri,cR e,x*dtc J

una progresión geométrica el cuarto y el séptimo término son respectivamente 4 y 12' Entonces elvalor deldécimo término es:

g¡ a)

36

SOLUCIÓN:

DATOS:

b)

40

c)

o4=4

INCOGNITA: arc

38 Y

e) 34

d) 42

at

=12

=?

DESARROLLO: para hallar primero aY

Empleemos

r

w;;,1

z.lrz = ar6

l'=

¡

|

|

por lo tanto

lgualando, tenemos

Ahora, hallemos el oÉc¡tr¡o rÉnuno:

qlo =

1f.'¡lo-'

alo =

if,I

alo =

J

o

(¡)'

J

alo = 36 RESPUESTA:Opción "a"

sea ta sucesión { 96, 48,24,12,.....1. Entonces el lugar que ocupa eltérmino

a)

e) décimo lugar

soLuctÓN:

DATOS:

Progresión geométrica

can a

=96

y

48 '962

a

ar= J '16

DESARROLLO: Empleemos

r92

c) sexto lugar

b)quinto lugar

cuarto lugar d) octavo lugar

V;

rlnpara

hallar

n=?

I

es: ¡3u


Cep. 8 ( l r'-l -1 =961' 16 \2) 3 -tttt(r)rr r)*l l6xe6 [2,/ [zj

r

I

Reemplazando

,

16x32 RESPUESTA:

,3U

o.up

úm,e,rw

N

afi,vd,oy

_rr)"

24,25r2-[z,/ r / I \r? =l

I

zto Iz ] rr)lo tr\/'

=(, ]",r, \2/

16x32

r

N

IrJ

_r r.)'

=[,J

n =14

"z-lz)

el décimo lugar en la progresión dada. Opción .e,

EnunaprogresiÓngeométricafinita,siSeconocequeelp@ razÓn igual

iguala:

a)s

a

la suma de

)V

sus

b)o c)7

térm¡nos es 2110, entonces el número

d)B

de términos es

e)5

SOLUCIÓN: 1

DATOS:

ut,., =160.

INCOGNITA: n

r=',

S,, =2110

2| r-l,-,n ' = )l

lr/

l

=?

,l.,n

DESARROLLO;

. lil

1J

Reemplazando

¡ rl?

en

-rl

32

32+2ll

'>) tenemos:

" -)l

r/?

-l

,l .

r/?

1J

t . ÍJl 'l'l

RESPUESTA:

r =5.

lr)

Opción"e"

-)i

213 32 J"5

§

ar -§

tJt lrl

Eí

Re,ule,lfuA UnaprogresiÓngeométricafinitatieneentotaldiezte'minoi@ quinto a)

,l , entonces la suma de los cinco últimos térm¡nos de la progresión es iguala:

33/512

b) 3zls"tz

c) 31/512

d) 30/512

e) 551512

SOLUCIÓN: I

DATQS:

¿=t ,d5=.', ri=10 lo

INCÓGNITA: § = surná de tos S úttimos DESARROTLO: Encontremos primero la razón:

193

C@p.


8

N

úmerct N afurqlz,Y

PRIMERMÉTODO:

[,],+,¡,-*,rl ,-h,¡lr,*;¡,s\rl

Deanolando ros términos de la progresión cinco últmos términos

"il. lo* ils * i-la .

Sl,

=

l0

+-tf1l1' =

v lueso sumando los

lr',

SEGUNDO METODO:

Obteniendo

üo y &

y luego restarlos. Entonces:

I

[rrllo I

l-2ro

,,,=,luf--1,ll=+:= |

I

-

) '

l'

" '['?-''] ttt ] S,o-§r=

_l )5 _l 2o - 2t

+ = \;Ay?=ri;, 2

'':"'

-l -25lzs -l

?10

-l

z5

;:4

2to

a9

-l-2to +25 2e

-l 2n

25

reRcrR uÉrooo: Considere una sucesión con

Luegoobtenga s5 aplicando

a=

$

v,

=f

, es

decir

L!,á'rln'

,L,r'

,lrl

r,={"1,]

Entoncesreemptazando tenemos:

,,

=

r{',!?t],

1

L'i ]=

[lr ''"'l_ rr

,slrs )-

,e

N.OTA:

)

'El primer método no seria práctico situviésemos una muy grande cantidad de términos'

R,e,,wdtc5 a)

1

SOLUCIÓN:

b)3

c)9

e)

31/3

3l 512

3l 512


Cep. l.t. 1.. I t; 9'3 '9'9 '9 2"7 "" = o3*g-17"' '

I N úmso* N att*raln*

I

Por la ley de los exponentes

. El exponente, no es más que una I -t

I

progresión geométrica infinita con

i , r=9 = J'

¿¡

= 1 , oo,,o tanto: 9 J

I

r-i3 _9

I

=92 =3

3

La conversión de un número decimal periódico en su

fracción correspondiénte, puede también ser realizada considerando el criterio de la progresión geométrica infinita.

Eíercrír,bReu,celfa 6 El número 2,52525252..... se puede escribir como una fracción; entonces cuando se reduce a su expresiÓn mínima (sin factores comunes ) la suma del numerador y del denominador es iguala: b) c) d) e) 204

7

29

141

s49

SOLUCIÓN:

2.52525252...

=

2+

0.525252... = 2+ 0.52+ 0.0052 + 0.000052 +...

^ -^tr + =:+)zl LI

r

52 + 52 n 52 +... =2*52 * 100 l00r l00i 1004

I

+

I

+

I

+......1

oo loo2 oo3 lool

l

I

La expresión que aparece dentro del corchete es una progresión geométrica infinita con

'f=

a=

,jn

y

I

t(x)

'

Por tanto al aproximar su suma, tenemos:

198+52 _25A

99

RESPUESTA: Como

la fracción

99

t. t# ; entonces al sumar numerador con denominador,

tenemos

250 +L)9 =349 .Opción "d".

Eíe,rcrír¡bRe¿t*e,l,ta7 Suponga que el gobierno invierte $1000 millones extras en la economía. Suponga que cada negocio y cada individuo ahorra el25o/o de lo que recibe y gasta el resto, de modó que de los $1000 millones iniciales el 75o/o es vuelto a gastar poi individuos y negocios. De esa cantidad, el75% es gastado y así sucesivamente. lncluyendo los $1000 millónes originales, el aumento total en los gastos debido a la acción del gobierno, es: a)$1000 millones b)$2000 millones c)$3000 miilones d)$4000 millones e) $5000 millones SOLUCIÓN: Planteemos la situación para los gastos

tooo+ 1000+

r

000

" 100

(,ooo,*

" ["r00,,ooo,l*...

100 L

.l

' -- '1

/ r< tl ''00rroool*l\100i " (l 000) +.'. " l,rooor+f[100, 3 r3\l*[oJ /¡\3- I I

+*[+J

I 195

Cep. 8


Note que lo que esta en paréntesis es una Progresión Geométrica infinita con a =

I

N

úmorot

yr=3 O

N

ahffqlpr'

"

-

'*=ie-;[=]=[il Entonces looo[4] = 4ooo RESPUESTA: Opción'd"

1.

Det

n

¡*

silas siguientes reglas de conespndencias definen una progresión aritmétlca o una progresión

geométrica o ninguna.

a) f(n'¡=2-n

b) r(n)=

d)

e\ !{n)=

l'(,')=

c) t
tii'¡

3" (n + 2)l

':3n

",'rlr'riuelementodeunaprogresióngeométricaes16yel 2, El décimotercer(130) OulNro rÉRuttlo es igual

nl(nz.+3n+2¡

undécinp(11o) esS,entoncesel

a: 9

b)L

a),1r.

3.

c)

e) 22

d)4

1

respectivamente En una progresión geométrica se conoce que el primer término y el tercer término son

2'l'i

1..

y 2/6

J

a)

4.

, entonces el quinto término es:

2?r

r¡

2/2

c¡

5,:

-z-lo

d) 2 .,6

64

Si el noveno término de una progresión geométrica es

v la razon es

2t87

e\2

; entonces el primer término

ES:

e) 213

d) 8/e

c) 4/3

b) e/8

a) 314

5.

esta Al sumar un valor constante a los números 20, 50 y 100 resulta una progresión geométrica. La razón en progresión así formada es: e) 1/3 d)r cl3l2 b) 4/3 a) 5/3

6.

Si en una progresión geométrica el primer término es 9 y el quinto es 81, entonces la suma de los cinco primeros términos es:

a) 120+

7.

b)

3

240

d) l17+36

c) 100

Si la razón de una progresión geoméirica finita de 10 elementos

es t

3

e)220

de la suma de los términos segundo y

tercero; y el primer término es 16, entonces LA SUMA DE LOS DOS ÚLTIMOS términos es:

a)

b)3

I

c)r

d)

3

e)

3

32

16

32

En una progresión geométrica de 5 términos positivos, la razón de la misma es igual a la cuarta parte del prirner término. Si

lisuma de los dos primeros términos es 24. Encuenke los términos de la progresión,

En una progresión geométrica cuyos términos son positivos, cualquier término es igual a la suma de los dos términos siguientes. Entonces la razón es:

a)1 10,

La suma de la

al

3r

'8

1

1.

serie:

_t

2

2+l

+

|

*...*zlr) 1 l)l \-) -

..63 Dl

c)

'16

d

s

c)

,t

El valor de la suma infinita

a) 5 r96

U

d)

r- s ;5

5 ES:

63

d)

63

8

ez

b)o

*

?-

9^

*

+ !7^ 2832

2

* ....

c)7

.t

'l6

e)

"r, d)8

e)9


Cep. 8 12 Ervarordera,,,a al ,l3.

14.

2

[r. b)

El valorde:

41

a)

b)

-r

j).(]. i).[;.;,).(;

9/4 1-l

.

1000

,'

c)St2

4*lr

9

.

4l

]* . . .,,

100 +

e)2

:

c) 2 infinita:

3

d)

i 27 . / 4-l 8t.........ss

2.'i

La suma de la progresión geométrica

a)

*

úme¡ot N ahlralary

N

d)22 j0

+ 1 + 0.1 +

b]l1111.11 c)111.11

e)

es igual a:

...

d)111

15. seai,aeR,0
^+

e)120

o+r(t+;ft+r(r +i)-'*.....

esi

a) 16. Si

a(t

'

il

b)'t¡

c)

ai

o)

"[,*{,*,¡,1

e) "1r+;)

o aieR,0
entonces la suma de todos sus términos es:

a) 2u

b)

17. Laexpresión,

a)1 18.

1(r*¡i

/,rt)

ll-'* l' x

', .j

cl

-

'. ,l

b)x

Dada la crisis actual,

dl

¡

+... 1 ,

ai

x>l;

e)

*

esequivalentea:

)

c)x+l

o)*1,

.)*i,

el Sr,

Generositis, un acaudalado millonario, ha decidido repartir dinero a los ecuatorianos más afectados. Entonce-s ala primera persona le da 91000, al segundo g500 al tercero g250, al ' cuarlo $125 y así sucesivamente. El sr. Generosilis repartirá, en total, aproximádamente:

a)$1500 b)$2000

1S.

o

c)$2500

d)$3000

e)$35@

Tres personas Maricela, Gonzalo y Mauro dividen una manzana de la siguiente manera. primero Ia dividen en

cuartos y cada uno toma un cuarto. Después dividen la parte sobrantá de nuevo en cuartos y cada qubn toma su parte, siguiendo de esla manera con las partes sobrantes. Entonces, en total, cada uno obüene:

manzana

a) Un cuarto de la manzana

b) La mitad de la

d) Dos tercios de la manzana

e) Un octavo de la manzana.

c) Un tercio de la manzana

zu. En un arranque de generosidad un millonario decidió ayudar a todos los mendigos del mundo. para ello, y

con ef fin de hacerlo ordenadamenle, pidió que se aliñearan (los mendigos) u-no tras otros para darle al primero 1 dólar; al segundo la mitad de un dólar, al tercero la cuarta parte-de'un dólar y asi sucesivamente. ¿cuánlos dólares necesita el millonario como mínimo para ayudar a roi mendigos?

a)$1000

b)$2000

e) No existe dinero en el mundo para pagar lo prometido.

c)$z

d)s¿

21. El disco de un péndulo se balancea un arco de 24 cm. de largo en su primera oscilación. Si cada balanceo sucesivo es de aproximadamenle cinco sexto de la longitud anterior enlonces la distancia total aproximada que recone antes de detenerse, es: 120 a) cm b) 116cm c)140 cm d) 144 cm. e) 160 cm.

22'

Una pelota de goma cae desde una altura de 60 m y rebota en forma repetida hasta alcanza¡ el reposo. En cada rebote la pelota sube 2/3 de la allura a la que estaba previamente. Entonces, la distancia recbrrida por la pelota, expresada en metros, es igual a: a) 180

b) 260

c) 300

d) 420

e) 500

23. (CALCÛIADOM) Una máquina se deprecia anualmente a una tasa de l0% de su valo¡. El costo original fue de $10000ye| valordedesechode $5314,41. Calculelavidaefectivadelamáquina,.estoes,el número de años hasta que el valor depreciado sea menor que el valor de desecho

L+.

(0ALCULADO,RA) Una máquina se deprecia anualmente a una tasa del 2a% de su valor. El costo or[inal de $1 0000 y el valor de desecho es de $3000. Encuentre la vida efectiva de la ;áq;ina -

fue

197

Cqp. 8

Ivbisés Villena Muñoz

1.

El vALoR de

'

t ' para que el término central del binomio I o', *

,.'r')8

a)

2.

5

b\-2

Para que el término cenkal del binomio debe ser

alz

3.

El

d)- I

c)

b)l

(ú *;)'o **, [. cY2

N

atural.or,

tenga como coeficiente

;)

(

úmerot

N

a 70

es;

e)0

un meficiente igual a 252, el VALoR de

dF1

e)3

d)73

el74

"f,

VALORde'.f 'tal que 23+25+27+29+.'."tr=1248,es:

cl72

b)71

a)70

ladrillos y Se va a construir una escalera de 30 escalones con ladrillos. El escalón inlerior requiere de 100 que se cada escalón sucesivo necesita dos menos que el inmediato anterior. LA CANTIDAD DE LADRILLOS (último) y la CANTIDAD TOTAL de ladrillos que se necesitan para

necesitan para el escalón superior

construir la escalera completa, son respecüvamente:

árivneo ¡\izvitto

570

c)38v

d)2

v800

Si el primer térming de una progresiÓn geométrica es 3 y el sexto término es

b)-3

,l¡

-729, entonces su MZÓN es:

dFs

c)5

La SUtvlA APROXII\¡IADA de los elementos de la progresión:

,,

t

e)10 v 700

e)g

, , ' ', , ,' , i

es:

b) ,2 -, 1*.

a\2+ 2 -t-

. 7.

El término que es independiente

de ?'en el desanollo del binomio

c)10

b)30

a)80 El valor de a)49

ell'

d) 2-l

2 "\2*^2

.q

I12

\

.2

t'' - x/ '. I

d)40

'

e)84

la sut',lA 5+9+13+...+49 , esl

El pago por un fabajo de $1000 primera recibe $20 menos que la á)s zao, ssoo, $320, d)$ 260, $240, $220,

$340 $200

e)1 260

d)324

c)243

b)76

se distribuye entre cuatro personas de modo que cada una después de la precedente, entonce§ cada persona recibe c)$ 220, $200' $180, $160 b)$ 280, $260, $240,

$220

e)$ 240, $220, $200, $180

primer En una progresión geométrica de términos positivos, la razón de la misma es igual a la mitad del es: rÉRMlNo el cuARTo entonces primeros es 12 términos término. Si la suma de los 2

11. El

b)2

,

ElcoEFlctENTEdeltérminoquecontienea

a)-13,440 13.

Sea

b)

x4

13440

la sucesión 13,5,7,9,

11, 13,...)

eneldesanorrooe

c)3360 .

Entonces una

ldentifíquela. La sucesión es una Progresión Aritmética' La diferencia de los términos de la sucesiÓn

a) b) c) d)

e)

El término n

ésimo

e{.

dn

e)603

, x , x+2 seanlostérminosdeunasucesióngeométrica,es: e)5 d)4 c)3

VALoRde',/demodoquer-l

aX

d)162

cl12

b)512

a)32

2

,10

[,- ,,1] es: [ d)-1800

e)-3360

de las siguientes afirmaciones es

FALSA.

es d = 2 .

=2n*l

El décimo término es: alo = 20

La

Suma n ésima

esl

Sn = nZ

aumenta sus 14. patricia tiene que saldar una deuda de $5000. El primer pago será de $275 y luego cada año pagos en $50 más. Entonces El NÚlrERo DE AÑos que demora en pagar la deuda es: e)16 años d)'t5 c)12 b) 20 L¡ iO

rno.

15.

198

años

Si el tercer término de una progresión geométrica

años

es

-2

y el sexto término

años

es 54 , entonce§ su

nnzÓH es:


Cep. 8 a)2

16.

El vtr-oR npRoxtMADo de la suma

a)-l 17.

a)

infinita

S=

b)-l

El TERMINoquecontiene

18.

c)3

b)-2

lorT b3

2

- I + aI -

j...

-4

N

f

qf1^ralp,y

e)- tI

es iguala:

d)_1

¿¡7 enel desarrollodel binomio

e)

-s

,t0

" +sh)

t,

c) .+0a7ál

b)9a7 b3

ú,mp¡ot

d)-3

-4 +

c)

N

es:

d) 4a7 b3

el9oa7 b

Un apostador cada día pierde el 50% de lo que pierde el día anterior. Si el primer día pierde g100, entonces después de haber apostado una infinita cantidad de veces pierde aproximadamente:

a)$50

b)$tsO

c)$200

d)$2so

e)$300

19. En el desanollo del binomio (.1....-l)6, la suun de los coeficientes correspondientes a los dos

últimos

términos es:

a)25 20.

lbl24

dl21

c)-23

Si la razón de una progresión geométrica finita de 10 y terceroi y el primer término es 16, entonces LA

,I

.. '

al

'31

elementos.,

c)

'16

6-l

d. la suma de los términos segundo

suMA DE ToDos los térmlnos es: .. I023

. t02l

l02s

^1. 24

e)-26

.1023

'32

d)

e)

'16

21. U¡ insecto se come una planta; una trucha al insecto; un salmón a la trucha; un venado al salmón y un hombre al venado. Si sOtg

la energía se transforma de un estado al siguiente, entonces la -eJ ip71 {e pón pururR para que la came dál"venado proporcione CANTIDAD DE CALORÍAS suMlNlsTRADA 2.000 calorías al hombre, es: a) 500.000 b)750.000 c)1'250.000 dx'000.000

u

e)'l'500.000

22. Unjornaleroganaactualmente$5pordía.Cadadíaquepasarecibeunaumentode$0.10.¿CuÁruroneuro tendrá que transcurrir hasta que su sueldo sea de $10? a)49 b)50 c)51

días

23. sea

Re=N

días

y el predicado

dias

d)2

meses

p(n¡:(r+3+5+7+...+ (z.n-l))
e)4 semanas

Entonces su GONJUNTO DE

VERDAD es:

lp(r) = §

a)

Nir<8} cl Ap(n\ = {n e I,i/r el Aptn)={reNir>l}

bl Ap(n)={ne

d) ,4p(n) = {z e N/r < 4}

{' .'.' .' ...1 .r, It6-s'1':'J --

24. Lasurrlndelos6primerostérminosdelaprogresión

a)3 ,6 25.

l0

6l

't6

c)

de

b)e

lt

++ ,2 22

2+

-¡

* :)

EI coEFrcrENrEdel

a)

1

260

28. En una progresiÓn

6¡6s

2+34:

.53 2+21 l ,S

29

e)

a

2

1) ?"" ) 1+

1

.3 2+2

el

d) .,

c)840

desanollodel binomio d)630

3

'27

, ')'o^ês: * f,,., ll' : I \l'l e)210

geométrica de B términos positivos, la razón de la misma es igual a la mitad del primer

término. Si la suma de los dos primeros términos a) 8 l¡r

'16

d)2

térm¡noquenocontienearavariable',/enel

b)13440

e)

es:

1

^\)

.63

d)r0

La SUMA DE LOS SEIS primeros términos de la sucesión

,lle(

27.

6l

El valor aproximado de la suma

a)

26.

b)

> a}

u)

3:

c)

es

1,5

e:

Si una pelota cae de una altura de 4B m. y rebota

entonces e¡ cuARTo rÉRMtNo de la progresión es:

d)27

2.,

f

,

e)3

de Ia distancia desde la cual cae, Si continúa cayendo

y rebotando de esta forma, entonces la DISTANCIA TOTAL que reconerá antes de quedar en reposo es: al 180 b) 320 c) 360 d) 220 e) 240 m

n.

n

m

m.

199

cep.s NúmaprctNaturulu

i¡lt¡lsés Villena illuñoz

30.

Si el primer término de una progresión arihnética

es 5

y el décimo término

es 50 , entonces tA DIFERENoIA

común es:

a)5

31.

b)6

e)e

d)8

c\7

38 ysi sesumanel cuarto Si sesumanel terceryel quintotérminodeunaprogresiÓnaritméticaseobtiene de la pmgresión es: TERMNo EL QUINTo y el sexto término de la misma progresión se obliene 44 , entoflces

álzz

bl32

32, La sum aproximda de los elementos de la progres¡on

a)r,3

dl12

cl24

ó,L -,*, 3'3 !

^1,^, j3

3"

"' t''

*t o :i3

a¡1:|:{1 ,+t

e\25

e)I+-r3

t:7 33. El QUINTOTERMNOen el desanollo del binomio

4ll"vo b)if"'o üT*or' ")T,'Yo 34.

,) 15-.*a

'16

a)793

13

b)832

c)

182

l-l ,-1,-t,z,s' "'\ d)975

e)973

priner término es ar y §u di,erencia e§ El término central de una progresión arit¡ética de'r' términos cuyo sielrdo'r' impar y Sn la suma de los'n'táminos, es:

'o-*v

200

es:

La SUyA de los 26 primeros términos de la progresión aritnética: ES:

35.

|,,.i,)

'r|-

,dh

ot§;

,t

{

4

' 1¡ ses Villena f/i,ñoz

Cq. 9 Tu,tw¡.ottet,

dp uunarVari,al¡l,etReal

9.1 DprrrrcróN 9.2 Dourxro 9.3 FurcrorEs coN REcLA DE CORRESPONDENCIA DEFINIDA E¡[ INTERVALOS

9.4 OppnacIoNES 9.5 Gp{rrcA DE uNA ruxcróN

DE VARIABLE

REAL

9.6 CIasps

DE FUNcIoNEs

Los funcrones de vorioble reol son de troscendentol importoncio poro

los cursos de motemóticos y por tonto merece un copítulo oporte. El concepto de función yo fue defínído onteriorment¿, ohoro lo horemos sobre subconjuntos de números reoles.

l{t

I

Cep.


9 f nr,bn e* t¿t

d,et u"narV a¿ía)>l,et

ReaL

(¡áE 5E

. .

PRETENDE QUE EL ESTUDIANTE:

Def ino función de um vorioble reol.

Apligue lo definición de furción. poro gue dodos reglos de correspondencio, determinen si son funcíon¿s o no.

a

t a a

a

¡ t a

I a

t a

^,

l a a a a

Plontee restricciones de los operociones con números reoles, poro obtener dominio de funcion¿s de um vorioble reol dodo su reglo de correspondencio. Sume, reste, multíplique y divido funciones de uno vorioble reol. Obtengo rongro de funciones de uno vorioble real. Defino grófico de funciones de uno vorioble reol.

Defino función de uno vorioble reol creciente, decreciente, Por, impor,

irryectivo,

sobreyectiva. biyectirra. Y det¿rminor corocterísticos de funciones amlizondo sus grdficos. Defino y coracterice lo función lin¿al.

6rof ique f unciones lineales. Determinc e interprrete pandiente de uno recto. Obtengo lo ecuoción de reclEs, lo pendiente y puntos de la recto' D¿fina y coracterice o lo función cuadrótico. 6raf iqw f uncionee crmdrdticas. Defina y determine lo§ ceros de um función. Obteryo la Ecmción de um Ponibolo. Defino y grofigue funcíén volor obsoluto. funcirín potenciol' Defíno ftmcién inverso y obtenga funciones invErsos' Justifigue lo existerria d¿ lo función inv¿rso. Constrtryo f unc iones i mersibles. Defino función compu¿sto y obtengo funciones compuestos.

9.1 DEFINICION Cuondo

en uno función

dominio

o

emPleomos como

números ?eoles, hociándoles

corresponder un único número ?eal, tenemos uno función de vorioble reol. Es decir:

f

:X clR r+ I'slR

tíe,vnbl.a 7 Sea

/

una función, tal que:

R

¡ = (o,o),(r,r)(2,+),(¡,qI(-r,r)(-z,alC¡,q)

Observando la segunda componente de los pares ordenados, nos hace pensar que es el cuadrado de la primera componente.

202

l


Cep.

9

Fu,nr,íonay

u,narVaríal>1pfued/

d*¿

Con conjuntos infinitos, es mejor referirse a las funciones por

comprensión. Para el ejemplo anterior, sería: .f = {(*, Y)I l' = x' A.r e R}

o más simplemente, denotar su regla de correspondencia de la siguiente forma: f (x) = x' Las reglq.s de

correspondencia, usualmente son expresiones algebraicas en " x", L.r,=,/(.r)] . Donde:,,r,, es llamada vARTaBLE ,, INDEPENDIENTE o VARTABLE LIBRE, y y,, eS llamada vAR.IABLE DEpENDTENTE.

se dice, entonces que el valor de"y" depende del valor d.e,,x,, (o,,J,,,es función de ".r ") E

2

Sea 7', una función de variable realcon regla de correspondencia

¿1i¡xrj;J

Algunos valores de esta función serían:

.f (01

f(0)= 2(0)-1 = -l

f(2 t

.f(2)=2(2)-1=3

9.1 1.

¿Quál de las siguientes relaciones de yariable real NO representa una función?

,={(.r,"r')/.u=l-x: ." .reR.} b) r={(.t,t,)lt''*l=.r n xeR} c) r=[.r..u)r,u= .r-l ,n x>t] O¡ r=(-r,.r) .r-t="i, n -r>O) e¡ r={(.r,.r')/2x -1 =t n .re i} a)

En fin, tendríamos una cantidad infinita de ejemplos de funciones.

Pero, dada la regla de correspondencia de una funcióñ, sería importante determinar para qué valores de "r", se define o tiene sentido esta regla de correspondencia, es decir determinar lo que llamaremos dominio de la función.

203

Cap.


9.2

9 Fu,na¡nne*

d'et

u,n*Varid§PrRefrL

DOMINIO

También llamado conjunto de partida.

Seo

f

uno función

entonces su

tol gue ./:xERr»rcR,

DOilfNIO

es el conjunto x . es

decir: Domf =X Dada 1a regla de correspondencia, un trabajo interesante es determinar su DoMINIo NATURAL. Como las reglas de correspondencia de las funciones son expresiones algebraicas, normalmente en la variable ,r'; entonces, para obtener un valor de la variable dependiente ".r'" basta con reemplazar el valor de 1a rrariable independiente ".r ", luego se tendría que calcular (ron exona) una operhción aritmética de suma, resta, multiplicación o division, para 1o cual se deberá tener en cuenta 1o siguiente:

ResrRrc¿:oNEs: 1. Drvrsróru eNrnE cERo. No estó def inido. 2. R¿Íces pAREs DE NÚMERos NEGATrvos. No se números reales. defíne EÍen4pl,ü 7 Hallar

el dominio natural para f (x) = x2

SoLUCIÓN: Analizando la regla de correspondencia obseruamos que no existen restricciones. por lo tanto

Dom./

: ¡

Este dominio natural nos permite definir un dominio de la función. pero dentro de este intervalo, por ejemplo para el caso anterior l(.r)=.i'l ; -r>0 Eíelr,Wl,a2 Hallar el dominio natural para

/(.r)

= 2x

-l

soLuclólr¡: Analizando la regla de conespondencia observamos que no existen restricciones, por lo

Hallar el dominio natural para

-.'

/(.r) = ''t .Y_I

SOLUCIÓN: Analizando la regla de correspondencia observamos que existe una restr'ccron.

cero,porlotantoDom,

201

tanto Dom.f

= - -{li -( r.t)u(1.,

)

Si

r . i se produciría una división entre


Cep.


9 futwíottp*

d.et

u,n*Varíd¡lpReaL

r

'-1 <

0

/{xl = .!§"J4

Analizando la regla de correspondencia observamos que existe una restricción, si

cuadrada. entonces

r'-{ :0= I >-l,porlotanto

Hallar el dominio natural

para /(.r)

3¡

-

[)gnr.¡

-

_[4.r¡=;r,.

\.

no se puede calcular la raiz

-il

2

x+l

SOLUCIÓN: Para que tenga sentido la regla de correspondencia se debe cumplir que una desigualdad cuyo conjunto solución es: PoR

l.r-2 >0. Entonces r+l

tenemos

r¡nro

. -.zl Doml=(-r.-l)u,l ")3)

',..:,:a:.


.f,::t:. " -

t*-:4

/(ré

+

SOLUCIÓN: Ahora debemos resolver simultáneamente: ,r

-.1 > 0

3.r-2 .r'+

>0

I

lo tn¡¡ro Dom I =[¿.,) Pon


/(.r)

l-x"

¡ :* "2t *3+x

SOLUCIÓN: De manera semejante al ejemplo anterior, al cons¡derar simultáneamente que

l-..-l

>0

A

:

.r*l -3*0

Tenemos:

¡*.r2 >o - - ,')= -o .rl - I . o (r+lN.r-t)<0 (,

PoR

.r-2 -3*0 v-l *3

x-2*3 ,r * -i

n -(.t*2)*3 ¡ .r'* -l

lo r¡Nro

105

Ca,p.

l¡toisés Villena Muñoz

9 ft*nr,íore* dp u,narVaríal>lpRQd/


Sot-uctó1,¡: Debemos considetar simultáneamenle que:

¡r

l+x>0 x>-1

¡

,x-2>0 x22

l+x -2+0

( r**f *(z)2 l+x+4=.x*3

-2> x>2 Entonces intercepiando, tenemos:

Por lo

tanto Dom

f

=

[2,:)u (:, *)

,;3;a'ii:;iatl¿i¡.:rili!:,c

1.

Sea.l a)0r)

2.

El dominio natural de la función

71r)=

,ffi

"c,-+]

d) (4,"o)

Sea

./

.rfi:ffi

*,r)v

el dominionatural de

or[r¡]c

[:,"o)

c)n *

, entonces el dominio natural

=

d)

[¡,"")v(-*,-¡] (-

Sea

*.¡l

/

206

2 :li_3)=5

es el intervalo:

e)F.3)u(-3.1)u(1.21

de .¡r

en el cual se defina la función

¡+3

6-2x

+ 9-x

(- .o, .o ) e)(-o.-3) b)

./

, entonces el dominio natural

c)[-3J]

una función de variable real lal que ./ (x) = ax2 + bx + c

Si /tO)=

'r

3-.t+l

)'

.l h,-)

e) No existe ningún valor

/(,r)

es el intervalo:

de ./' es el intervalo:

b)(-¡,-¿)u (+.-)

una función devariable tal que

/

e) (r ,3

d)(-4.2)

{-r}

el intervalo:

a)

=

./' , con regla de conespondencia ¡(-t)

u)[-+,2]

Dada la función

a)(-

c)(-

b) [1,3]

a¡[0".o)

3.

tal que: ¡1..1

unafuncióndevariablereal

i,:t!::a:$1'lri,r:.r,:!

;/(l)=-l,entonceselVALORde./(-2)

es:

.

de

./

es

Cq. 9 f t*lt¡,íoytp.y


9.3

dp u,narVa,ríal¡l,etfueal/

tr.UNCIONES CON REGLA DE CORRESPONDENCIA DEFINIDA EN

INTERVALOS

Ya hemos mencionado que las reglas de correspondencia de las funciones pueden ser definidas para sólo ciertos intervalos, subconjuntos de su dominio natural; entonces podemos definir funciones con regla de correspondencia en intervalos. 1

E,

Podemos considerar

Y

.f.*¡=l*2 ;

mffii

x<

o

para definir la función

x>o x<0 [2x-l : En la recta numérica al representar

f

a

/

,

tenemos:

=p--

calcular 7(z) como 2 > 0 usamos f'(x) ="2 enton..sl[¡ Encambio,paracalcular./'(-l)como -t<0usamos .f(x)=2r_l entonces f(_l)=2(_l)_l=_3 Pmouruu: .l'(0) = 0 ¿Si ó no? ¿Por qué? Es decir, para

?-r,flr, /

Sea

una función de variable realcon regla de correspondencia

Representando a/sobre la recta numérica, tenemos:

f

3x+2 )t l-,1

)f-

x Nole que

Don

-l

2

f =P

Entonces:

./(o)=l-02=l ,r(-l) = r -1-t¡2 f (2) = .',

f(4)=

=6

4 =2

.f(-2)=3(-2)+2=-4

207

Cep.


9

T t wrt

c,t',o¡,ery d*¿

ut

narValídie/ R.ed/

Sea una función de variable real con regla de correspondencia

I -r2l = 'r>lv'r<-[

l$)=lr'

: .r
[t-l.t

Representando

9.4

a

= -l<-r'
/ sobre la recta numérica, tenemos.

OPERACIONES

Como las reglas de correspondencia de las funciones son expresiones algebraicas entonces para suMAR, RESTAR, MULTIPLICAR Y DlvlDtR funciones se realizarán las operaciones algebraicas de slls deñr-riciones en los re spectivos intervalos.

Sean

y g funcionesdevariablereal,talesque /(x) = xz *l;'ve

I

g(x) = 2x2 -3x +2; x e SOLUCIÓN: Como tanto

Iyg

Hallar (

=

y

I -,tX.\¡).

tienen regla de correspondencia para

todo

''

para obtener

1

7

bastaría con sumar sus reglas de correspondencia: es decir,

(rt - t)* (2..: *lr +2 I *g)(t)=3.rr 'l.r+l

/(.r) -

g(.1') =

Note que para obtener /(2)+s(2) se 10 puede hacer empleando la regla de correspondencia de (¡ *gX.r) es decir (l *.'rX:)=i(2)r -3(2)+l=7. O también calculando /tzl Y ,e(l) y luego sumarlos; es decir l 2)+.s(2)=(l)+('l)=7. En cambio, para obtener l\2)+gt-31 habrá que necesariamente calcular /(l) y ,¿(-i), y luego sumarlos; es decir, f \))+.'{(-3)=i+ 29 = 32 Para el caso d.e funciones con reglas de correspondencia por intervalos, se puede proceder de acuerdo a 1o mostrado en los siguientes ejemplos.

Sean

I

y

,q funciones de variable real, tales que

.l'(.r)-.r?-l SOLUCIóN:

; r,.,{t Y s(¡)=2.r2*3'r+2 i r
Representemos tanto

aI

como

a .g

sobre i-rna recta numéilca, lo cual nos permitirá definir

los respectivos intervalos para operar las reglas de correspondencias.

208


Cap.

9 funrlonu Note

f

g

/

d,e¿

una¿Varíalrlp/Real/

No esr&oeÉlrupa

uo esrÁ ornuron para

pAM .r <

x>I

0

y que

.

Erulo¡'¡crs:

(f +s\@)=(r'-,)* Q*2 -tr*z)

o

6

=3x2 PReouNm:

Sean

¡

U + S)Q)

y g funciones

Hallar

= no exisfe ¿Sío

no?

y

-3x+l to<;:ii

¿ponouÉ?

de variable real, tales que:

Wi.r)o

y

(/.gxr).

soLUClóN: semejante arejempro anrerior. procedemos de iguarforma.

Por lo tanto

0i4rl =l*' -rh*' -3x+z)=zxl -3x3 +3x-2 i

Sean

/

Hallar

(f +sxx).

yg

SoLUCIÓN:

,

0< x
funciones de variable realtales que

WY

Representemos tanto a

/

como

a

g

sobre una recta numérica, lo cual nos permiürá definir lo§

respectivos intervalos para operar.

f

,2

-l

o

Por lo lanto

f+s

k, -,).(2r+:)

l¡

L/*gXr)-] "2x-+3 lx" +2x+2

: ;

209

Cep.


9 f tuv,íon e* d.e¿ u,narYarídrlp/Red¿

EÍernnpl,c 5 Sean

/ y g, funciones de variable realtales que

Hallar

(/+

mv

g)(x)

SOLUCION:

f

(,, -r)*

l2r2 -*+3 [f *gXr)=] 3x2 -3x+t

l*2 EíemDla6 Sean / y g, funciones

Hallar

+"+z

Q*2

; ; ;

*2,*z)

.r<0

02

I,r

de variable real tales que

(/.gxr)

SOLUCIÓN:

óo

Por lo tanto

f's

(r'*r|r*r)

(x+l[x-l)

r], (,"*' -

l[',*

U' sX,)=

] |

+

r)

(,-,')'J

: ;

;

¡<-l -1 0

['*r)*1,*:¡


Cep.

9

nr,íoney dp ot narVaríal¡Ls ReqL

lut

En conclusión:

Si

l:x¡*>y

y g: X r+ I/ CñtonCeS:

I. (¡ *s), x +> Y dOnde (/ *glrl=/(.r)+g(-r) 2.(¡ -g), x ¡+ Y donde Lr'- g)frl = /(;r) - g{x) 3. (f.g) : x ¡+ y dOnde fu'.sl.'l = .f(x).g(x) 4.( f\: x.

¡» y donde

\ s,l

Es decir

g

(r*),,

=

{8 ,

g(;) * o.

x* =x-{.r/g(.t)=g}

dos funciones de una variable real, cuyas reglas de correspondencia son:

Entonces la regla de correspondencia

g(^-)--),21 r0<,r<6 x-2 ;¡>6 ( de h( x 1 = ./' + g 1 ( x ) es:

a)

,'.t<-l ;-l<.r<0

b)

r.1

.ll < .\- < 5 .5 < r < l¡

+-r-l ..x<-l c) h(x)=]2.r=+3-, ;-t <.r<5

fr-u

x>6

;.t<0 ;0
I

lx2+x-2 e) Elija esta opción

Sean

/

y

g

...v>5

;-r> 6

si á(.r) no existe

funciones de variable real , tales que:

ll-l.r: , \ Jj ; /(')=]"*z' I..lrz s(')=¡'-t Entonces

(7

"-" -.r+3 .

l "r>2 (l -*lrt=lr'-**: '' 'r: <2 -l l-4x+2 : x<-2 {4x-z ; .r>2 ..t o)

Sean .l' y g

rii

lri

17._g¡.r.¡=].r:

¡¡i

:-2
l-+,+z

.r<1

, funciones de una variable real, tales que

b)

_r* 3

r>2

et DoMtNto NATURAL de ta función

a)

t""-r*-r

b)

(l -g[.r)=J.,.r -r+.3 ;)
.r<2

f-

.r.> 2

..-2
f-lx-:-, e)(/-sl.'.l=.1 3.

;

-,*t [-ar+2 ,. ¡<-2 l.-lr-z ; x>2

{t -g1..)=.]r:

.t

ct

-g[..) ..'

f-:'-z .

t)

[i';

x>2

(l . ){r)

./(.r) = I +

I

.I

Y

g(x)=,-l

entonces

.r,

c) /R ; l;

d)

l,t

lo.l]

e) ar

-

{o}

211

Crup.


9 fu,nr,íotto*

d,et

u'narVa,ríd)lpfued/

9.5 GRÁFICA DE UNA T'UNCIÓN DE VARIABLE REAL Los pares ordenados pueden ser representados como puntos en el PLANO CARTESIANO.

tíe,finDla

la regla de correspondencia de una función de variable ,r'=./'(r), o más formalmente dada .f : A' <: R » )'c R tal Dada

./ = {(r,

7,)t 1,

=./(x)n

xe

real qqe

Xl; podemos obtener una TABLA DE VALORES:

-r

lr

.y1

r3

J' .Yr

=ru[

= .f (.\.1 ) .r'1 = ./ (.r3 )

_1.,"

También, ala variable independiente "r" se la llama ABCISA y a la variable dependiente "]," se ia llama ORDENADA. Así que, (t..r') serán las COORDENADAS de un punto

A e/íFrCOde

uno función es el conjunto de punto6, ?e1resentodos en el plano cortesiono, cc,rr¿spondiente o los pares ordenodos de lo

función.

i

_***_.-**----+i

I

l

212

E"

_*.-

--

+

Cq. 9 F t nr,,íare* dp u.,narVaríal¡1,etfued,


t

9.5.1 Ur¡upAD

DEL

cn¡(rrco

Con el gráfico, podemos:

1.

DptpR¡c¡r{AR EL RANGo DE uNA nr¿acróu. El rango será el

intervaio que sea proyección de la gráfica de la relación sobre el eje "1, ".

2.

DprpnurNAR sr uN LUGAR cEoMÉTRrco Es ruNcróN o No. Considere lo siguiente:

P¡nn roDA FuNcróN

, "a)eLqur€p p1crA

VEPLTCAL DEq€Pí CORTAP EN

,óLO

A SU aNárrCE

L/N PUNqO,,.

3. DBTBR¡vuNAR sr uNA FUNcrór ps rNypcrrvA o No Recuerde que: Y.Il. f . ,, l)t¡t¡t

Oio ql'rc es lo misino: ,

L->

r\\

1..( ;

I\ \

.

f

)t,t¡t

t

l|l

Cap.

Irrloisés Villena lvluñoz

9 fwv,bttp*

Gráficamente, tendríamos

d,s

wwrVaríablz/Real/

que para L¡.na función

inyectiva:

Una función no inyectiva sería:

4. DErERm{AR sr rrlta rur{c¡óil Recuerde que una función

Ds §oBREYEcrwA o Iro

,f ES SOBREYECTTv6 si y sólo sí

f"ng"/=ylpara f i

xslR-+rsR

Entonces al hallar el rango de la función, inmediatamente se podrá establecer si es sobreyectiva o no. sr LA r'trlfcrÓrf t§ BrrpcrrvA. Al determinar si es inyecüva o no y si es sobreyectiva o no, entonces se podrá establecer si 1a función es biyectiva o

5. Dptrpnmxln no.

214


Cep.

9 f vtnr,í,one¿y

d*¿

Considere una función de variable real, talque

utnarVaríd>l,etReaL

T¡azar su gráfica.

soLUctóN Hallemos primero

la r¡eLA 0E VALoRES

correspondencia dada:

.r

la regla

de

Representamos los pares ordenados como puntos en el plano cartesiano. Y Luego trazamos la gráfica, siguiendo estos puntos

v

*3

calculando algunos pares ordenados empleando

-7 -5

-2

-l

_J

0

-t

I

I

2

3

.,

5

1234 OBSERVACIONES: 1. La gráfica es una recta.

2.rg 3.

/

/=¡i

es inyectiva.

4.Si ./': R --+ R y como rg ./ =

/ Por tanto ./ Entonces

5.

es sobreyectiva. sí es biyectiva.

Considere una func¡ón de variable real, tal que Tna¡-e

or v¡¡-oRes

x

v

_J

9

_L a

-I

4 I

0

0

I

I

2

4

3

9

OBSERVACIONES: La gráfica es una parábola.

1. 2. rg/=[0,.o) 3. f no es inyectiva. 4. Si / : R -+ IR entonces / 5. Por tanto ./ no es biyectiva.

PREGUNTA: ¿En que cambian las conclusiones si se define a la función :

no es sobreyectiva.

1. f:IRr+R' 2, .f :lR' ¡; 3. f :R. r+R'? IR

215

Cep.


9.6

g f unr,btv* dp unarVaríabl,o&ed/

CLASES DE FUNCIONES 9.6.1 FUNCTÓI¡ CRECIENTE

Esta función

es eslrictamente creciente en todo su dominio

Esta otra función, en cambio no es creciente en todo su dominio, pero podríamos decir que es creciente en el intervab

[0, m)

Cuando una función crece en ciertos intervalos y la FUNCIoN constante en otros intervalos se dirá Entonces se cumplirá que:

216

SC

mantiene

ES CRECIENTE.


Cep.

9

futy¡,t:úoney dp u,¡.wrVaríd¡l,qR"eÁL

9.6.2 I.UNCIÓN DECRECIENTE seo

f

uno función de voriobre rear definido en

un intervolo I.

Entonces

f

ES E§THiCTA&ilENTE D€CQ€CIENT€ en t si y , Sólo si vx, ,x, e I Se cumple que [*, , r, + f(xr). /(r, )J

Defina

FUNCToN DECRECTENTE.

9.6.3 FUNCIÓN MONÓrO¡IE sea f uno función de vorioble real definido en un intervslo 1. Entonces "f €s en I, si y sólo si es estrictomente creciente o estrictomente decreciente en I .

üwroNA

Determinar la monotonía de una función, significará intervalos de crecimiento y los intervalos de decrecimiento. determinar los

217

Cq. 9 Tt*nr,fo¡u dp u,narVa,rídrluReÁ1/


9.6.4

FUNCION PAR

Para una función PAR su gráfica será simétrica al eje

y:

7 es par, como lo podemos observar en su

La función con regla de correspondencia gráfica que ya fue presentada, además

,f(- r)= (-

t)'

= vz

e f(*)= f(- *)

función con regla de correspondencia

Entonces

f (- *)=

(*x)a+t

-

x4+l + ./(r)= "f ?

(-;)'-,F h;-,¡,

,)

por tanto también es par.

9.6.5 I.UNCIÓN IMPAR

Para una

218

función

IMPAR

su grá,fica será simétrica al origen.


Cap.

9 ftt¡tpúaney dp unarVaríal¡lpRe,ai,

E, Sea

la función con regla de correspondencia

Realicemos su gráfica punto a punto. para lo cual:

x

Además

.f(:-

v

-2

8

-l

I

0

0

I

I

2

8

r)=(-r)' = -r3 = --f(x),

portantoes impar.

reltüw)fu7 Determine si la función con regla de correspondencia Hallamos

/(-.r) = (-

x)+ t]2 = (- r + t)2

* f (x),

es par o impar.

por tanto no es par, ni impar.

rottw)to2 Determine si la función con regla de correspondencia Hallamos

, es par o ampar.

g(-x)=(-x)a -3(-,r)+ 2=x4 +3x+Z * g(x),

r%lP,ltc

portantonoespar,n¡¡mpar,

3

Determine si la función con regla de correspondencia Hallamos

es par o tmpar.

ñ(-x) = (--r)a +3(-r)2 +4 = x4 +3x2 +4 = h(x);portantoes

Determine ¿cuálde tas reglas de conespondencia oennr tuncioñei

I r(")=x-l 2 f(*)=l +2 ;

par.

p¡Re§Ifriliñliiiunat,

;xeJR

q'fO)=x2+2x+1

xeR

s.

t f(*)=x3+l ;

relR

o

.f(*)=2x-l ; .Y

;

xe

re[R IR

3

"f(x)=-x'-l ;

xetR.

219

Cep.


9 f unoíonp* dp Lw,a,,VqrídiPlfued/

9.6.6 TECNICAS DE GRAFICACION 9.6.6.1 DESPLAZAMIENTOS HORIZONTALES Suponga que

,f es una función

de variable real, cuyo gráfico es

Entonces al desplazarla horizontalmente, tenemos: lzer.ltERDA J\x

VERTICALES Hacia ARRIBA

220

+aS


Cep.

Hacia ABAJO

Entonces ta gráfica oe

ffi&§

Lagráficao.ffi.r,

es:

9 Ít t npíortp* d,e unarVaríal¡l,sRed,

lvhisés Villena Muñoz

C@p.

9 f tqr,úo*ey

LaGrar:cao=E"=

Lagrá,ficao.If.r,

Finalmente, combinando los tipos de desplazamiento,

la

gráfica de

d,e

u,npVaríd>lpfued/

Cq. 9 Futnr,úone* d,eu arVañablp/Real/


9.6.6.2

Rpr¿pxronps 9.6.6.2.1 cox REpEcro AL &rE * x

rurcrónf

Si una función

/

*

(ceuaro Dt src¡fo DE

L/r

tiene por grá-fica

La gráfica de

-/'es: ,r(-')

La parte positiva de la gráfica

está aniba del eje x

) se la

de

./

( la que

hace negaüva

dibujándola simétricamente abajo del (Giro de 1800 con respecto al eje x

ep

_r.

)

Y la parte negativa, la que está baio el eje

.r, se la

hace posÍtiva

dibujándola

simétricamente encima del eie x.

223

9 fttvwíone*

Cep.

lr4oisés Villena Muñoz

9.6.6.2.2 cox RtPEcro AL FÎE " y

d.et

u,narVaríd¡l,qRed/

" {Ceunro DE sIGNo

AL

ARGUMENTOI

Con respecto a la gráfica de

f

anterior, la gráfica de ./(-x)es: .¡

{-.'.)

I

',1

La parte de la derecha de la gráfica

de

dibuja simétricamente a la izquierda del (Giro de '1800 con respecto al eje -r'

./

eje r'

.

)

Y la parte de la izquierda, se la simétricamente a la derecha del

se la

eje .r'

dibuja

.

/ \./\--

La gráfica

de

_--r'

lft) = -(x*3)'

+

4

es: :+

/i\.

I lr\

".t

I

I

¡

I

'.1

--l

i\

I

I

I

:\

\

I

,l

l I i

l

Entonces la gráfica respecto al

de .r' = .l

(*.r)

la obtenemos rápidamente dando un giro

de

180 a la gráfica de./

eje r, :

I

Esto lo podemos observar cambiando

,r

por

/(-rl=-(-.r-3) ,l r,= (.t-3)r-r-1 11i :_a

-.r

en la regla de correspondencia

de /

con

Moisés Víllena Muñoz

9.6.6.3 CoupnprslolvEs

Cq. g foonr,bne,y Y

d.s

ot

ytarVaríahlzR eatl

ALARGAMIEITos

si multipricamos a Ia regra de correspondencia una función por una de ót'o se producen rosdearargamientos ::ffiffi:,rÍ:T."""

o

La paráboh alargada

/=rr

t

lr )¡/ La paÉbola comprímiJa

las

Cep.


9 f umoíottt* dp u,narV arídrlPrfued/

re*uelÍc7 Sea

/

una función de variable realtal que su gráfica es:

Graricarffi Debemos llagar hasta el gráfico solicitado a partir del gráfico de

./ ;f

desplazada una

unidad a la izquierda

La anterior comprimida a la m¡tad

La anterior reflejada con respecto al eje x

La anterior desplazada 2 unidades hacia aniba

Cep.


Ejuc,ír,tb

g f unr,bne* dp u,naNaríd¡l,qVea)/

rewdtc2

Sea g una función de variable real tal que su gráfica es:

Graficar La gráfica solicitada se la obtiene a partir de la gráfica

de

g gdesplazada una unidad a la derecha

La anterior alargada

al doble

La anterior reflejada

con respecto al eje x

La anterior desplazada 2 unidades hacia arriba

227

Ctup.


9 f tmc,íone* dp u,vtarVaría1>lpRed/

€Wrisi,§?yt?¿,E&g;5 1. Con respecto al gráfico de la

función

I

i I

Una de las siguientes reglas de conespondencia tiene GRÁFICO asociado CORRECTO, ldentifiquelo:

a) s(.t)

b) g(.r)= /("t+l)

= -.f(.r)

c) g(.t) = l'(.r) +

d) .s(x) = .l'(x) - I

I

1

2. Sea

el

I

una función de variable real cuya gráfica es: ..,t I.i

Graficar:

228

a) /(.')

b) / (-.r)

d)

ll(\)

e) -- / {f

g)

1l( ,r.2)

h) ,1 llt-,-:l

l

)

c) I (-i-:) 0

-ll

(-r)

Cq. 9 ft t ywíottB* d*¿ unarVaríaf¡l,etfueÁL,


9.6.7 tr.UNCION LINEAL una función lineal tiene ras siguientes características:

1.

La regla de correspondencia en su

expresión

simplificada, es uaa ecuación linear, de ra forma]

2.- A " m " se

!=mx+b

la denomina

{medida de

'ENDTENTE inclinación) de la recta. "b" es el intercepto de la recta con el eje u yrr.

3. Et gráfico es una recta. recta es creciente.

4. si

",r¡

" es negativo

{m<0

ra

si " m, es positivo (,r > 0 ) ra

} ra recta es decreciente.

229

Cep.9 fumoione*


d,e u,n a, V aríd>l,e ReÁL,

5. Si m=ot la ecuación de la recta queda de la forma !=b' Su gráfica son REcrAs Honlzo¡¡r¡Lss. Se la llama Ft¡XCrÓU CONSTAI{TE.

Entonces la ecuaciÓn del eje

"x

"

sería

"l = 0 '

Otros tipos de rectas importantes a ser mencionadas, alrnque no son funciones (¿ron ouÉ?), son las R.pcres VERTIcALES

230

Cq. 9 Ft t¡pc¡toytoy d,e un*Varíabl,etfueal/


Estas rectas tienen pendiente infinita. ¿pon quo? La ecuación del eje " y" sería x=0.

6. si

b=0

, tenemos a las rectas que contieaen al origen

Si r¡ = I y b =0, tenemos a la rumclóN IooNTIDAD.

231

9 f t'wtpíone*

Cap.

lvloisés Mllena Muñoz

d.e

u,na.,Varíd¡l,q&edl

7. Dos puntos definen una recta.

Pr(xr, !z) Elevación

lz-lt

'/' Recolrido

x2-xl

conociendo dos puntos de la recta, se podrá encontrar su ecuación empleando la fórmula: osoúzcArA

lz-lt - x2-xl

Donde la pendiente es:

m=

m=

lt-!z irl -

);2

elevación

recorrido

Encuentre la ecuación de la recta definida por los puntos p,

(O,f

Solución: Debemos emplear

y-yt=lz--vt(r--",) -r2

para lo cual

x, = 0,

- xl

lt =l , x2 = -2, Yz =7

Reemplazando, tenemos:

"1,-l =

1_l

(,r-0)

-2-0' _)

t'-l = '-2

6 .Y

I

y-l=-3x !=-3x+l

Note que el orden en que se tomen los puntos

232

Pt Y Pz

no importa.

)y

er(-Z,l)

Cap.


9 funr,bne* dp u*rarVa.ríalrlp/ReÁL

Encuentre la ecuación de la recta definida por los puntos

p,(2,t) y fr(_Z,t)

Solución: Debemos emplear para Io cual

l't-Vt, "(,t-.rr t-)'t='- x2-xl

x, =2 , lt = I , 12 = -2, y: =l


l'-l= I-l y-l=0

-aa\

(.r-2)

),. -r I

Encuentre la ecuación de la recta definida por los puntos

p,(1,2)

y fr{t,_z)

Solución: Debemos emplear

*lt-tt(_r_r,) x2-xt


_1

t'-2=-)i_,-(,-t .

_4. t'-2= '(x-l) "0 0

o.{r-z)71r-l -4

x=1

/

233

CdQ.


9 f u,nr,ío¡,e,y dp u,na,,Va,rídúpfueÁl/

9.6.8 FUNCIÓN CUADn¿(trCe Las características de una función cuadrática son:

1. La REGLA DE coRRESPoNDEI[cIAr of, su expresión simplificada, es una ecuación cuadrática de la forma: , donde a,b,ce*¡o+o Eít

./(x) = ,2 es una función

cuadrática. Su gráfica ya fue realizada y habíamos determinado

que es la siguiente:

2, La cn¿(nce es una parábola.

3. Si a > 0 (positiva), la parábola

es cóncava hacia arriba.

4. Si a < 0 (negatlvaf , la parábola

es cóncava hacia abajo.

5. Et vÉntrcp de la parábola tiene coordenadas V(xo,yr,)

dondei;=*l 6.

,

,,,=rl_*)

Laparábola es simétrica a la

(¿oouuÉstnolo?f

recta

., =

-|.2a

7. Los interceptos de la parábola con el eje " -r " {si fuese el caso), llamados también CBRos DE LA ruNcrÓN, se los encuentra resolviendo la ecuación ax= + bx + c = 0 (¿pgn qt¡É?)

Entonces,paraestafunciÓn u

=2, á=-1, ¿'=1.

pRRÁeoLA coNcAVA De acuerdo a lo mencionado anteriormente, la gráfica es una son: coordenadas partir cuyas vERTlcE, de su ARRTBA porque o > 0 y lo será a

234

HACIA


Cep. b

.tl't - -

"2a

j\:g

_

_

9 f unr,ío¡,e* d¿¿ u,nauVaríalrlp/R ea.t/

-1 2(2)

,, =r(:)' -1+l 4

,, = ,(,'u)

I

4

+l

7

-ro=g

Esta función no tiene ceros.

8.

otra manera de tratar a la función cuadrática es llevarla a la forma f{bb*; xi\u + yo {FORIIA CANÓNICA). En este caso las coordenadas del vértice

serían

V(xo,

yo) .

Para !G"\.:?*

-:{f1

,

podemos completarle cuadrados hasta llevarta

a ta

forma

canónica.

-.r * I = :f,r' *1.*l)*, +\2ttt)

/(.t)

= 2.r:

-]I

rt.rt=z(.r*1.]'*f

4)

\

De aquí sería La gráfica

de .r'= 2-rr , desplazada

Sea

8

más fácil visualizar su gráfica.

1

y Z ----arr¡ba 1 de unidades hacia la derecha '¡i hacia

'n':$i*§iá.

Llevándola a la forma canónica

./

1x): . 3.rr.+

1 1\t+ ^t+- 4 "(..r --.t+ql

4.r + 2 = --11

./ tr.l =

t

1

i

,\'

-3lr-:l \ 3)

1

IO J

SEGUNDO FORMA:

por lo tanto

235

Cep.


9 Funoío*ey dp u,na,Varíal¡lpfueÁl/

,,=-{i)'..(i).,

r) ,o=-,1

Í 1.1.,

!:-3x'

[¡] 48 )'0=-r+r+z n,

*,

=\

)0=

+4+2

l0 3

Los interceptos con el

-3x2

+ 4x

-4x-2--o

3x2

-bt

-Trl=

2+

'10

::) Jrl = I.7

J

-4o, .tr, =

r6-4(3X-2)

2-.r0 =+

J

¡r

= -0,3

t)

Graficar:

a) b) c) 2.

b2

Xr=

2rt

4r xt.z =

1.

+2=0

-4'

.f(x)=-xz+4x+2

d) /(¡) =2'2

J'(x)=x2+2x+l

e) ¡1.r¡=-3¡2 a¡r'"

1'(x

I=

"1

-'

La regla de conéspondencia

f't

de

la

función:

/:

li(

I'Q)=-z'2 -1x+2

*r R

cuyo gráfico se muestra, tiene la forma:

.f6)= *2 +h**"

Entonces el valor

a)4

236

de ó

es:

b)1

c\2

d)4

e\-112


C@p,

9 f tt rrr,¿ton e* d,et onarVaÍablpReÁL,

9.6.9 cnÁrlcos DE FUNCIONES CON REGLA DE CORRESPONDENCIA POR INTERVALOS Para obtener la gráfica de una función de variable real que esté definida con regla de correspondencia por intervalos, se deberá graficar en los respectivos intervalos las curvas correspondientes.

Sea

.¡,

una función de variable real, con regla de correspondencia

Entonces su gráfica es:

Note que:

f(0)-0 .f(1)=1 fQ)=a

1.

Sea

/

unafuncióndevariablerealcuyaregladeconespondenciaes:

[r'+2.r-3 ./(.r)=jr-3 [{..'-:)'

.r<-l -l<.r
>3

entonces su gráfica es

Cqp,

frfoisés Villena Muñoz

9 lt tnr,íone* dp u,n arVarí,al>lpReaJ/

e)

/

Si

esunafuncióndevariablereal,tal

que:

11.-zY

,ftr)=] 3

-r

l-:*-z Entonces el MNGO de

a¡

(-r,.o)

b)

;É

c)

Sea /unafuncióndevariablereal

a) (to,*)

(-.c,r5]

a)

que l'k)> 4,

x>6

d)

(-8,15]

e¡ [ts,+"o)

b)[-7,0o)

c)(2,"") {x-2

.f(x)={_(r*

U)2

:.r>0

*+

;xS0

se requiere que:

b)

.r<6 c)x>0 ./,

d)-26

con regla deconespondencia:

c)

/escrecienteenel intervalo

e)

/

(+r).

e)

"r>-2

-r<-4 lx+6 : /(x)= ] to-r', - 4 < x < 4 -r>4 [6-.* :

/

./

d) El dominiode

/

(-o,+).

es el intervalo(0,+z)

es una función par.

Dada la función:

a);f

/

es creciente en el intervalo es una función par.

c)/

noesfunción.

Sea

;f

f5-x : .r<-5 entonces es VERDAD que: I. +5: -55 (- *,0] d) ./ es decreciente en el intervalo [0. r ). e) / es una función imPar.

una función de variable real, cuya gráfica es:

, Entonces su regla de conespondencia es:

238

e)(-7.-)

o¡(to';)

Una de las siguientes afirmaciones es VERDADEM. ldentifiquela. es el intervalo b) El rango de es una función impar. a)

7.

- 3 _< -r < 3 x>3

./ , es el intervalo:

Considerando lafunción

b)

.r < -3

[to conregladeconespondencia: l(x)= ]: - x2 [zr-+

Sea ./:R-+ti{,unatuncióntalque: Para

:x<-2

es:

(--,rs)

Entonces, el MNGO de

;'22

CqP.9 f¡,tnr.úone* dpuna,,Varíabl,e¿Real/


12 l-x+2 (* .t l-*-2 [.r--4x l: c) l.rl ¡(, ,'-l*x*2 [rt-.t.. lzr "' f(r ={-r+? I

I

l:'[x--4r'

8.

Sea

: -r<-2 :-2<¡<0 ; o2 : .r<-2 : : 2
{-1;, [r'

+ a.t

x<-2 ; ; -22 :

x<-2 : : -22 [,, _ +, ; l2

x>2

l l t'o 1..¡=,{o 1.¡ = g . Entonces el gráfico de [-' :r
,

./

a)

(x)= [2 - g(x)]+ x:,.t e R , es: b)

¿i4!

e)

9.6.10 I.UNCIÓN VALOR ABSOLUTO La regla de correspondencia es:

=

* ;x> t-.r ; f<0

f(x)=., ={

Su Gráfico, sería:

Las definiciones anteriores también serían aplicables a esta función. 239

C*p. 9 funoíone* d,e u,narVaríabl,e¿Red/

trloisés Villena Muñoz

l,íenubl§7 Para obtener la gráfica de

se podria pensar en la gráfica O.

ffi

desplazada una unidad a la derecha y una unidad hacia arriba

para obtener la ecuación de cada recta, debemos pensar en destruir el valor absoluto

FlrL¡

en

para lo cual: .v =

-(.t - l)+

Y=*s+2

I

./(.r) =

l.t {

^

[-.r+z

;

.r>1

:

-r
También se podrían presentar casos en que las funciones estén afectadas por valor absoluto. Suponga, eue la gráfica de una función de variable real es la siguiente:

240

cap. 9


La gráfica

rY

dp or.na,Varíd>l.e¿Reql/

deffisería: lrr»l

Por 1o tanto, la gráfica ¿e

La gráfic" a.

f

l/l

es la grálica

d.,f hecha positiva,

es decir:

sería:

Nos quedamos con la parte derecha de y la reflejamos con respecto al ele 1,

/

La gráfic" o"

I

sería:

g=/t-r) Nos quedamos con la parte izquierda de y la reflejamos con respecto al eje y

/

.

.

Cep.

lr¡loisés Villena Muñoz

g futtoúottc* dp u,nuVa,ríable/Real/

2 podemos pensr en la gráfica de y = ¡x; desplazada

Para obtener la gráfica de una unidad a la izquierda

V Oos uniOaOes

hacia abajo y de allí hacerla positiva, obteniendo su valor

absoluto.

Los interceptos con

eleie

x

o=iir+tl-2i :

lr+tl-z=o

x*1=2 x

x

El sráfico

de

-(x+1)

=2-l

-x-l=2

--l

x=-3

l,f (x)lseria:

--i*i"i-'i'"i"'l-' i' i -'l-' i' -i"' I

t-'.-.r.''-t-...-t.-.-|''.+...

'.-t'...r-.'i.-*""i""{""i-'i""i""*""i""i

1....+.... &... +.... n. ' '¿...{.... ¿

..-1...-i....i....i....i'...+-..n.'.+.'.'i""+""i""+

:....i....!"...i....:....i....,:."..: ¡:¡:i:::

""!""1""t"'1"-'i ""?""1""Y''"1""9"-1""i ....¡.....i.'..i....¡.-...i.-..;....i....+...'i....+'.. i""¡ ii:::¡;::i:l

r""'i-"1 "'*""1"

" f.' "1"" y

-'-i'.;'-'i'-'i--i""i--i-'t\"'i-4"'i"'Á

i-..i-..i.-'¿.-.¡.-.i'-.'i....

i-i-i 'i i"'i--i"i i- i i-i iii!!:ii:::i

'i"'iffit"'r""-"-""''

:;i;:;:iV:V:

:ii,.ótt:!:f;: -. .-.i.-...r'...r. ...t...-t..,

:iiii::i

!..'.1 -

1''_ + ...

"!-"1'-":"" ?"'1".' t

i..".;-...i.....i'."'i....+'...i....;

t:::.:::

.\i

:1.:

i,

"n

¡-...L---a.....r....r....+....1

::\i;l:

__l

_"+

1",'+"

'l_ '' ¡

'i -i- i'i -i'i-"i- i -i--i -i-1

i....¿....i.¡.i

ii .

...

r/i

¡....i..J.-..i....

.i

r../,.

r"li

r-.-

I

Ii'j

i,I t'.

i'-"i""'i"-n"":.'"n"":""'i

:l;E:):;.:

r.

at::¡i:li:i: -"'1""1""i""t"-i""i""i""i""1""i""1""1

242

=2

i

i

. i - ti '!"'1" ""!'t'!"

'

l':','+ /'..".I : ', i ; ):!;'

.i.-...i.-"..i.-.,"t-..-i....i-- -¡..- ; ....i.....i....i..."i..... " "',. "', 4 '...,..r."'1""':"'1""1 :l:t:::r ...9'...1....i "¡-...a....1,-;....f ^

iiti

ii'l'i..

'-'1""i""i""i""

Cep,


El sráfico

de ,f (lxl)seria:

El gráfico

de

"f

9 fu*r,úore* dp u,natVaríd¡l,etfued/

(-l.rl)seria:

/(-l,l)

{. 't.

.t.

Analicemos los siguientes ejercicios:

Sea

7

/: IR -+ IR una función tal que:

es el intervalo:

a)[-+,*)

b)[-¿,-z)u[0,*) c)[-2,+)u(¿,.") d)(-¿,2].r[0,*) e)(-+,-z]u[0,*)

Solución: Debemos graficar cada regla deflnición en sus respectivos intervalos, es deci¡:

1.y= ,2 -4x+2: pora x>2 2' y=**4 para0
3.Y=-cparax30

243

Cap,


1. Para m, &effi&B*EE&&

9

F t t rttq:one*

dp u,¡la,,Varíd¡lpfueaL

tenemos una oarábola, que en su forma canónica seria y de aqui obtenemos su valor absoluto.

Crnos: .f=-

x2 -4x+2=0

b

2a '{r.2

-

! = 4-8+2 ,|

2

2

2

xt

=2+ 2 =

^2 --1_

= x-4 para 0 < x <2

|

t6-4(2)

4t2"

!--L

2. Para

4x

) :+

r=lr'-+*+Zl paraxet*

'rl = 3.41

x, = 0.59

tenemos una recta (grafiquela evaluando su ecuación en sus extremos,

esdeciren r=0 yen x=2) 3. Para = -4 para r < 0 tenemos una recta horizontal

!

Entonces la gráfica sería:

Observando el gráfico, tenemo s que

lie,roírrb

re,il,t

rg

f

=l_'+,_Z)w

[0,

*)

. Ror lo tanto la opción

'd'

es correcta

e.lfu 2

Graficar Primero obtengamos su regla de correspondencia en forma explícita, para lo cual destruimos los valores absolutos, es decir:

v=-(x-l)-(-x),i

r

!*-x

+1+ x

Entonces, su gráfica es:

o'=L+' Y=-2x+l

244

; ; ;

.r>i 0
Cep.

tt/oisés Villena Muñoz

t.

9f

tt

nr,,¡bnoy

d,et

unarVaríabLet Real/

71x¡=llx+rl-zl

z. ¡(x)=llx*rl-zl ¡ .r(*)=llz,-rl-rl 4. 71r¡=lxl-lr+tl

s. l'(,)

= px

-

rl+ lz

-

xl

9.6. 1O.1 OTRAS FUNCIONES ELEMENTALES

Función cúbica l=xj

;xeR.

Fuación raíz cuadrada

!=:x;x)0

Entonces:

24s

C@p.

Moises Villena Muñoz

Y=

-'ix

9

|t't ¡ooíonw dp u,narVa,rídrle/Real/

Cqp.


9 f unr,bnc*

d,et

unarVaríablp/Rerú/

HIPÉRBOLA EQUILÁTERA 1

v- x

Entonces: I

- x+l

Función f G) =

Frrncióa

,f(x) = t-r

247

Cap.

tt¡loisés Villena Muñoz

Sea

7 : R -+ R

9 funr,bw* dp u arVaríahl,sfued/

una función con regla de correspondencia:

entonces una deias siguientes afirmaciones es CORRECTA, identiffquela: b) La función es sobreyect¡va. a) La función es biyectiva. d) La función es impar. c) La función es inyectiva. e) La función es par. SOIUCIó1,¡: Debemos graficar Note

que y

= '-) - i

f

pur"así determinar sus características.

debe ser considerado de la siguiente forma

l=,.-G;,

y = -(x +2) '; Y= x-¿

h,,,

Entonces, de acuerdo al gráfico,

,f

es una funciÓn par. Por lo tanto la opción "e'es conecta

i

I

1,

Sea

¡:

R -+


IR.

a)¡espar b)/(50)=9 /\ /(-8)=65 /\ f(6)=-3 e) / es impar c) / noessobreyectiva d) / esinyecüva 2. ¿Cuál de las siguientes alirmaciones es FALSA con respecto a la función

/

de variable real?

l-(x+z)'z ; x<-l f(x)=]F,l ; x>r ; -l
FALSO, que:

a) b)

248

rg ;f

¡ =fl,a) no es una función Par

d) / e) ;[

es creciente en el intervab no es una función imPar.

[2,0o).

es


Cq;p.

c)

I

f¡,ttvrúo¡n* dp u*w,,Varírúlp/Red/

/esdecrecienteenelintervalo [0,1].

4. Considere el gráfico de una función de variable real:

-t

x

Entonces

su REGLA 0E CORRESpONDENCTA

f-,

a).r(,)=j{,-')r*r,

es:

x
x<0

02

x>2

[.r+3

' x
['-' [ '

e)

. .

/G)=lz(r-'f [*-,

-z

¡<0 02

x>2 x
o<¡<2

. x>2

5. Realizar las gráficas de las funciones con reglas de conespondencias:

{»+s ; a\l u)tv;=]l+l ;0
[l

6.

Si

;"2

;xerR b)/(r)=zl¡-ll+lzx-tl ; xeR

c)

¡1,¡=11,-z;'-{

/

es una tunción de variabte reat tat Que: ,f

d) /(x)

=llzx-al-\

tl

' (r) ={'llrt-2x+l

lr

- zl

>

r

,l
entonces el GF{AF|CO de fes:

e) Elija esta opción si ninguno es el gÉfico.

249

Cep.


7.

tl sean J\' r x\ ={l'-

g furtobn¡* dp uruarVqríoúrlufueal'

; lx-zl > t

(

v

lxz-3x+2;l
GMFICAR:

f (x)

a) 8.

u)

Si se define la tunción

f

g(r)

g(¡)=§ ,r.n

-f (*\

c)

f

@n regla de conespondencia

(x) = x'l*l

siguientes afrmaiones es FALSA, identifiquela.

a) b) c) d) e)

,¡f es unatunciÓn PAR Para ¡=-2, el valor de la funciÓn es

I

71x¡=]r3i En el intervalo (0,+co), .,¡l es estdctamente crec'ente

Elrango de

/

es (0,+o¡

9.Lagráfrcadelatunción

/(.r) =lt-xl(r-t)

;r.

IR

es :

d)

e) Seleccione esta bpción si ninguna de las anteriores es el gráfim'

10.

ConsidereelsiguientegráficoparaunafunciÓn

Entoncesel

cRAFlco de

/,

a) 3

z 1

250

que ¡(x\=

¡*Zg(x-t) b)

4

-3 -2

tal

gdevariatlereal:

-1

,2345

d\;lR.

g(x-z)

entonces, una de las

Cq. 9 f unr¡bnp*

l¡bisés Villena Muñoz

1a

I t.

/

Sea

d*¿

u.roaNaríablpfueal/

una función de una variable real, con regla de conespondencia;

x<-2

l(x+2)'+2 /G)=

G*z)' [ ,-2

1- f

*z

-2< x<2

x>2

Entonces el MNGO de la función es el intervalo:

a)(-

12. Sea

a) b)

c)

d) e)

-,-21

b)

[0,*

.lf- z,* )

)

xER y x<4; .f(x)= 4-x +2,

ol(- CI,* )

e)[2,.o)

enloncesesFALSOque:

Si la función es impar, entonces la función no es par

El vértice de la parábola está en (4,2) La función es decreciente La función es par El Rango de la función es

13. La GRAFrcA de la función

[2,+*)

/,

| ,.-,

con regla de conespondencia

.f$)=l+Jz-.+z:

l-!*'-z*-z l2 es:

a)

b)

;

x>2

l,l. z ; x3-2

Cep.


g f ¡*tr¡fune* t

9.6.1|0..2 FUNCIONES ESPECIALES

g.6.!O.2.L

tr.UNCIÓN ESCALÓN

La regla de corresPondencia es: Su Gráflco, sería:

rii i:

-,-,.

--],--.-

- -+- ---

9.6.10,.2.2 ruNcrÓN

SIGNO

La regla de corresPondencia es Su Gráfico, sería:

252

d,et

u,rwYuíabl,etRed/

Cqp.

[¡loisés Villena Muñoz

9

ft mobwoy

d*¿

u.narVaríal¡lpeeal/

9.6.10.2.3 tr.UNCIóN ENTERO MAYOR La regla de correspondencia es:

Se podrí4 decir que el entero mayor de un número real mayor de los enteros que es menor o igual a x.

I

3
0

0
-1

-l
-2

-2< x <3

2

Es decir /(x)=[x]=

¡

es igual al

Su Gráfico, sería:

:l rll

:, flr)=[,I]

desplazada 2 unidades a.la

it

¡(x)¡w(x¡z) .-.,--....'+-.-l

253

Cap.


g

ftttuc,úo¡e.y dp unarVaríablpfueol/

sería la gráfica de

; x>2 l3 ; x>z 3(o) i x=2=] o ; x=2 3( l) ; x<2 l-3 ; )c<2 3(1)

3sgn(x-2)=

sería la gráfica de

refle.iada (girada 1800 )

con respecto al

Nota: En este caso es igual que qué?.

254

( reflejada con respecta al eje x) ¿Por

Cap.

lvhisés Villena Muñoz

9 f t t ¡ttbnp*

d,e u,¡t wVaríablpfueal/

1. Calcular:

,

"t

[-in.,'*[i) t

* p(3)

I-il.rt,l-'*t-"1 [-e\+

p(-r)

2. Graficar:

a) b)

1g) = p(x +t)

/(x)=3p(x+l) 25s

CaP.


c)

9

Ft

uw,úon

e* d,et u,narVaríd>l,sfueÁ1,

l(x)=¡r(x'-t)

¡1,¡=sg,(('-r)'-+) e) f(x)= p(x)+ p(x-2)

d)

fl g)

71x¡ = lsgn(x)l

- ss,,(x)

f(x)=2p(x+t)-ssng(x*2)

h) /(x) = [x + 1]

i) 71x¡ =[zx] j) .r(.r) = [-2,r] k) /(e=[;l

l) m) n) o) P)

/(r) =.r-[]n

/(r)=r+[.t] /(x)=p(lxl-srg(.t)) ./(x)=,.'+3-srg(x)

"/(*)='+s'g('-l)

3. Considerando Re =

R

, hallar el conjunto solución para:

a. b.

P(x +2)=t

.. d.

.en((r-z)'-o)='

e.

sgn(x' - 4) = -l

p(lxl-^v,g(.'))=o

[,']

=

t

9.6.11 FUNCIÓN INVERSA Ya hemos mencionado que para que la función inversa necesario y suficiente que la función / sea biyectiva.

/-r

exista es

Con conjuntos finitos, determinar inversas es muy sencillo. Para hallar

la función inversa -f-t de una función biyectiva, bastaba con tomar el regreso; entonces, obteníamos el rango de f como dominio /-l y a1 dominio f como rango de f-'. En los pares ordenados, la primera componente pasa a ser la segunda componente y la segunda componente pasa a ser la primera componente.

camino

d.e

Para lograr esto, con una función de variable real

f con regla de

conrespondencia dada, deberíamos realizar 1o siguiente:

1. Si tenemos -y = f (x) deberíamos hacer x= f(y).

[cambiar'x"por

,),;,y"y" por"x,l

2.

DesPejar "y ".

Entonces la regla de correspondencia de la inversa y= ecuación obtenida. 256

f-'(*),

sería la

Cap.


9 Fu,n¡¡btto* dp una,Varíablpfued/

si#?l s.u

"

lf,hauar f-l

Sorucrór:

En

y = 2x +l,cambiando'x"

por

"y' y "y' por.x',tenemos x = Zy

+l

.f-,(*)=;--:

Ocurre algo interesante cuando trazamos tanto la gráfica de de su inversa .f -t ,n un mismo plano cartesiano.

f

como

3 Z

?=lQ)=2x+

1

*4 -3 -?,

-1

.¡"X*t ¿..t

r?34 1 !"rrl = l,22

No otvide

q.r"

(/-'f' = / r ) 0 hallar f -r

Sea

Souclott: Por lo tanto

Como tenemos

f-l

=

.,

*

!

y graficarlas en un mismo plano.

= x2 , entonces

* = y2.

Donde

y>0

'f(r)

257

)

C@p.


t,

g funcíotv'v

d,o

u"npVañablpfuQnl/

3

i

Sea

x<0

Sot-uclót¡: Comotenemos Por lo tanto

f

't

=

, hallar

J

-'

y graficarlas en un mismo plano'

! = x2,entonces' = y'

donde

y < 0'

-', *

y

graficarlas en un mismo Plano.

3

7

* =f,,r' -2; y
1

y'-4

Jr' =+Jlx+t

0

-'t -6 -5 -4

L23

-3

v=-",11;+4

_f

f'(x)=-Jlx+¿; x>-1

-l(r)

=

-\¡5;7;

Éí Sea

. Hallar f-t

ygraficarla

@aracadaintervalode¡'observeque,lagráfcade/es:

258

x a -¿


9 Tttnoím,e*

Cep.

Primero:

de¿

Ma,,Varíabl,qfued/

Segundo: Para

y=*2-4; x<-2

y=-(2x+4); x>-2 ¡=_(2y+4); y>_2 x=-2y-4; y>*2 2y=-x-4; y>-2

Para

tenemos:

*=y'-4; y<1 x+4= yzi y <-2 "ji*4=.:y'; y<-2 y =t.;xi4; y <-2 x>o f-r =- jrii;

tenemos:

y='l *-2i y>-2 f-t

Notequey<-2cuandor>0

=*lr-z;

Noteoue

¡<*>=-\,-z

y>-2

¡
¡<0

rso

{56"?

¡:-"#T{;

x>0

Por lanto:

l- x+q

.f-'=]

l-

si

/

:

r

z*-'

;

es una función cuyo dominio es el intervalo

f (x) = j x - S - 5 . Entonces, a)

2.

x>0 x<0

el dominio de

[5,ro),

7-l1r¡,

[s,+"") ¡)[-s,oJ c)[-s,o]

La función inversa de la función de variable

real J

g)

es:

ol =

y su regla de conespondencia es

.,

[-s,+*) *

-i -Z

siendo x > 2, es:

a)f'11x)=(x-2)2 +2 ; x>-2 b¡¡,1x7=1x-Z)1-2 ;.r>-l d)f't(x¡=v2 -4 e)f-t(x)=¡2 +2x+4; x>l ; x>2 Sea 7

-l 1x¡

e)[-s,s)u(¿+.)

c)f-t(x)=(x+2)2 +2 ; x>-Z

la regla de corespondencia de una función que es inversa de olra funcón de variable

real f y

li, \r así: ft(*»=1 2 )^'L l-bc i | <2 .,v,

queestádefinida

Entonces el valor

a)1 Si

./

de

la suma

b) -1

f (-2) - f (4)

c)3

esigual:

d)-3

el2

es una función invertible, tal quei

(¡ ¡x¡-]x'-&+ts ; x24 l2(x-6) ; x<4 Entonces el dominio de f-| ¡ x¡ e, a)R u¡ f +,-rf c) [-+,-r]c d) (-2,+o)

e)(-,-r) 259

Cep.


Sea

/

g f t*toíonu dp wnatVsrídrlz/Red/ t

es: una función de una variable real, que tiene una función inversa cuya regla de conespondencia

/-l(r)=2,'l+3x

-l ;r>-l

, entonceslaregladeconespondenciade

f , es:

b)/(,)=('*rF-f , ,--,

o/(,)=Frr'P.l ,

ot

,r-l

; ¡>l ¡i,¡={{''-')' ; ¡
()

d)/(,)=t'r;

; x>2

.

"<)

9.6.12 COMPOSICIÓU pp FUNCIONES el El concepto de componer funciones ya 1o hemos mencionado encon

capitulo 4, sin embargo recuerde que para obtener g " f , empezafido of " como dominio de f obtenemos su ran89 y=f(x), yluego este rango 1o hacemos dominio de g para obtener y = SU$». Lo cual esquemáticamente, sería:

' r

Y=sLft*1\ (s. /X.r)

=

gll(r)]

Algo similar se haría para el caso de obtenet

,

f

"g

y=flge)7

, (/. gXr) = ,r[c(r,

Si ,f y g son funciones de variable real,

se trabajaría con las reglas de

correspondencia.

Hafiar

(/. gXx)

Soluctótt: Por definición (,f . s)xr) =

/[gtr)] (/

evaluada en

g

)

=

(,r. gXr)

260

=

/[str)]

-+!

/[gtrl]


9 fu,ttoúonp* dp unarVaríal>lptReÁL,

Cep.

("r

"

sXr) = z[g(r)]* t

(f " s\i =2(3x2 -x+2)-1 (f " s\i:6x2 *2x+3

Ftrye,t*z Para el ejemplo anterior obtener g SolucÚl: Por definición

"

/

(s.,fxr) = g[,f(r)] (g

evaluada en

f, entonces;

f\*)

=tl.f G)7' - f (x)+2 G " .f\*) - t(z* -t)2 - (zx -r)+ z {s "

k../Xr)

= 3(4x2

(s.

=72x2 -l2x +3 -2x +3

"flr)

-

4x +1)

-2x +l

+2

(s',fXr) =12x2 -l4x+6

Analicemos ahora los siguientes ejercicios resueltos:

í,crerudful Entonces es VERDAD que: a) Elrango de

o

g

es elintervalo

/ "8..fXl)=0

b) El rango de

cl (f

f g

o

es el ¡ntervalo

[0,*) (- *,1]

d)(s",f "s)(t)=Z

e)

(s . g-'

)r t¡ =g

SolucÚru: Analizando una a una las opciones: a) Obtengamos primero

("f .

gXr) = ,f[str)]

y=(z-r)2+t _. . Entonces ,, =

(r-

2)2

+t

b) Obtengamos ahora

rg(f' " g) = [,

*)

(¿pon ouÉ?), por tanto esta opción es fatsa.

(g.,flr) = Sl¡t¡)

/ =2-(r' *,) -l' .Entonces rg(g 'v=2-x2 " -fl = (-"o,t] 1¿eon ouÉ?), por tanto esta opción es correcta. ; u=--t'+l c) caculemos (f

"

d) calculemos {g

f

e) At catcutar

'

s",rlr)= ¡[sVOl= fGQ))= f(0)=r. "

cxl)

(, . , -' II ) = I

=

gff[sfrl]]= g(.f(r)) = g(2)

por'

qr.

(*'"-' I,)= , 6-' ""1,)='

.

porrantoesraopciónesratsa

= 0 . por tanro esta opción es fatsa.

Por tanto esta opción es falsa.

26t

Cep.

ftibisés Villena Muñoz

g Tunrione* ds unaNaríablpfueall

g-' [r)= g[g-t (r) 's-r Ir)= 2-(2-x) " g-l [x)=,

.

y también

-r g[x)= 2-(2-x) " -t . g[x)= x

Ert"*.,

L composición (g.

a)

{2-x : x
b)

k"/x,)={;11-') e)

/xr)

,','j'

está dada por la regla de correspondencia:

.

l2-x : x
@or)(xt={1;l

;,rl

;;:;

Sot-ucúr,¡:

ññnoo',

o.onición

Con la gráfica

t.

de

S¡

/

/

(g.

f\") =glft*ll tenemos (g

o

,fX')

= i"f(x)i

nm podemos ayudar.

y gsondosfuncionesde tReot?talesque:

f(x)=x+t y

1_

g(x)=¡''Entonces,unade

las siguientes proposiciones es FALSA, identifíquela:

a)(g".r.eX,)=(J.r)3 u¡(y'g"¡{o)=z 0(/"s"/Xr)=¡3+1 e)(/"/"/[r)=x+: 2.

sean/ y g

dosfuncionesdevariablerealtalque:

c)

ff-l=f

-t

(g"

/"

glo)= t

t,'r'r1

'ix+i;x<-2

"trl=lr'

f,-,


262

i-2
Cep.


a)(f

+

'

¡)f¡g}rl=r

s\-z)=t

o, /(-2)+g(-2) _

s(q

9 f¡nr,úortt* dp unaNaríal¡l,e¿ReaL

3

c¡(¡.g|-z¡

=

r

el(s"1'\zl=q

16

9.6.L2.L COMPOSICIÓN DE TUNCIOIIES {PARTE II} Para funciones cuyas reglas de correspondencias están deñnidas por intervalos hay qu.e ser muy cuidadoso.

Ejan4plü7 Sean

/

yg

Hallar:a)("f

,I

funciones de variable realtales que:

"gXr) y b) (g"/Xr)

SOLUCIÓN: a) Aplicando la definición:

(/ " sx,) = r(g(,))

'f'!.1]l' ; s(') ¡ ls(,)l' ; s(,).

>

=f

Ahora debemos averiguar en que intervalo

función

g

es menor

Seobservaque

aI

g>l

de x , la función

. Para lo cual recurrimos al gráfico

cuando

r>0 ;yque g
A la definición de g que esté por aniba o en que esté por debajo de

y=I

y

-

I

g

de g

cuando

t t

es mayor o igual a

I

y en que intervalo, la

:

x<0.

, la multiplicamos por 2 y le sumamos

1

, mientras que lo

la elevamos al cuadrado (NOTA: ubique sus respectivos dominios una vez que

le aplique la definición).

263

g f utw,íone* dp unruVañ,abl,etReat/

CdP.

Moises Villena Muñoz

b) Ahora hallemos (g "

/Xr)

aplicando la definición:

(g./x,)= g(r(,)) t.

=

{tt:11,i'

Debemosaveriguarenqueintervalode x,lafunción t

/

fi

es menor

a 0 . Para lo cual recurrimm

al gráfico

/

de

; íB:;

esmayoroiguala

/

0

yenqueintervalo,lafunción

:

ü,

il

Se observa que

/;

/

siempre es mayor o igual cero, entonceó le aplicamos la primera definición de

es decir, a ambas definiciones

de

/

g

a toda

las elevamos al cuadrado y le sumamos uno {NOTA: ubique sus

respectivos dominios una vez que le aplique la definición).

(g./X,)=s(f(,))= {[f{,)1'

*,'

f(,)>o

fíeilDl,ü2 Sean / y g funciones de variable reattales que: Hallar: a)("f

.gXr) y b) (s./Xr)

,I

SOLUCIÓN: a) Aplicando la definición:

(f " s)(*)= ¡(s(,))= { rr*t]']-,.' *t L-[g(,)]'

Ahora debemos averiguar en que intervalo

función

2&

g

es menor

; s(') > 0 ; s(,).0

de .r, la función g' es mayor o igual a

a 0 . Para lo cual recunimos algráfim de g

:

0

y eÁ que intervalo, la

lÁoisés Villena Muñoz

C@p.

Seobservaque

g>0

cuando

r>l;yque g<0

A la definición de g que esté por aniba o €h que esté por debajo de

y=

0

9 f tltc,úonp* d,et unarYaríd¡lpfueal/ t

cuando

x<1.

y = 0 , la elevamos

al cubo y le sumamos 1, mienkas que a la

Ia elevamos al cuadrado, la multiplicamos por -1 y le sumamos 1 (NOTA:

ubique sus respectivos dominios una vez que le aplique la definición).

b) Ahora hallemos

(s

"

f)(*)

aplicando ta definición:

(s"/)(,¡= s(/(,))

={UA)l' ;

U(,)-r:

/ / es menor a I . Para lo cual recurrimos al gráfico de /

Debemosaveriguarenqueintervalode x,lafunción

/(x)

>

r

f(*)
esmayoroigual a

I

yenqueintervalo, lafunción

:

f (x)>t

f {x) <1

Seobservaque cuando

x

/

esmayoroigualunocuando

x

esmayoroigualaceroyque /esmenorqueuno

es menorquecero.

Aladefiniciónde /queestéporanibade !=l,laelevamosalcuadrado;yaladefiniciónde por debajo

de y =

I

/

queesté

le restamos I (NOTA: ubique sus respectivos dominios una vez que le aplique

la

definición).

26s

CeP.9 f u¡t


Sean

/

Ío*e*

dpt u'na,V arí,alrle/

Red/

,i,T y g funciones

Hallar : a)

de variable realtales que:

(/. gXr) Y u) (g ' "f X')

SOLUC!ÓN: a) Aplicando ta definiciÓn:

(/"gx,)=/(s(,))={r#¿¡1, Ahora debemos averiguar en que intervalo

g

es menor 0 iguala

de

¡

; ;[;]:: g

, la función

es mayor

0 ' Para lo cual recurrimos algráfico de g

a

0

y en que intervalo, la funciÓn

:

!=2

g(¡)

>o

23 s(¡)

se observa que siempre

g > 0 , Por tanto,

a toda g habrá que restarle uno (NOTA: ubique sus respectivos

dominios una vez que le aplique la definición)'

(/,gXr)={g(r)-l; s(')'o

fz-t

(/"sX,)=11,_,¡_,

b) Ahora hallemos (g "

/Xr)

:

x>o

; r
aplicando la definición:

(s"/X,)=g(/(,))={,1rt,1, Debemosaveriguarenqueintervalode ¡,lafunción

/

266

es menor

a 0 . Para lo cual recurrimos

al gráfico

/

de

it}::

esmayoroiguala

/

:

0 yenqueintervalo,lafunciÓn

Cap.


9 funoúoney dou arVqríalrb/R?Á1/

!=x-l 1

r,,"

'l', ! =2x+l

se observa que

/>0

cuando

x>l

así como también cuando

0 < x < 1, asícomotambién cuando x < A la definición de esté por debajo

/

que esté por aniba del

f (x)
-|<¡<0

y

que

f <0 cuando

-j eje x , le hacemos conesponder

deleje x la multiplicamos por

-l

y le sumamqs

I

2;y

aladefinición de

/

que

.

267

F

Cq. g fww?mw dpunatVaríablp4eÁL/

trbleés Villena Muñoz

1.

/

Sea

unafunción de variable real, lal que

/(x)

^/¡+ l¡ - 2 r---L-----r xt -2x

=

, entonces el iIAyoR DoMrNro de la función

es: a)

2.

IR

b)(-"o,0)v(z,o)

cl (o,z)c

e)n-

d)(0,@)

{o,z}

Determine ¿cuál de las s§uientes proposiciones es mtsn? Una tunción es par, si y sólo si vx[¡1r) =

a) b) c) d) e)

Una

tuncón

/ /

es impar, siy sólo

Sienpresecumpteque

vx[ir

si

¡1-r¡] . Vrht-r) = -,f(r)].

Una función es estrictamente creciente, si y sólo

Dadas lasfunciones devariable real

,(-rl=
;

[2r-8 ;

Entonces (g +

¡Xr)

,rG.rX,)=i,

f

V

x<4 x>4

s

.

ysdosi Yx1¡21x1

Unafunciónesestriclamentedecreciente,si

>x2*f@)
si Vx1,x2 [x¡ > x2

,) f (xi < f e)1.

cuyas reglasdeconespondencia son

!

g(x)

=,r

es:

,'_r:

::i

¡rG.rx.)={

[3x-8: x>4

,!;,-i!o

{ 3x : x>4 ¿)k*,r)(,)=l o osx<4

c)(g*,rI,)=l o , os¡<4 [+-z'; ,.0

[ -z';' "o

f3¡-8; x
eG./X,)=j 4;

o4

4.

Sean

/

y

g

funciones de variable real, tales que

rG,={3;:,; a)4

5.

6.

b)l

unatunción,talque

a)

La función no es par.

b)

La funcir5n no es impar. La función es decreciente en el intervalo (_ oo,O].

La funcir5n es sobreyectiva. La función no üene inwrsa.

Sea

/:

12-

={ ^'!?t- ;

[-,x-2 ;

x32

r'

c¡ ¡-t q*¡ ={*2 -

(¡"gttr)es:

x < 2,

x>2

x24,entoncesesFALsoque:

x <4

entonces la

neon

DE coRRESpoNDENctA DE

¡>0 ¡<0

z

/

Entonces

12-,'

y

g

lx'+2

funciones de vadable real, tales que:

(9./)(x)

¡>0 ¡<0 x>0 x<0

¡20 ¡<0

=["' -?

e).r-r(,)

={':" lr'-2 d)-r-r(,) =d':-' b).1-r(r)

x>].

12- *'

Sean

**

E§:

a).f-t(*)={" -?

268

/(x)={:' ^¿ ; [8-2x ;

d) e)

R -+ R , tal que /(x)

,",t

e)-1

c)

IT.TVERSA

7.

dl2

c)3

/:R»lR

Se¿

;:l ,,(,)={r5 ; llf

f(x)=3x3

+2* y cQ)=2x-2

es:

a)

(g",fX¡) =6x3 +2x2 -2

c)

(g " /)(r) = 3(2x -3)3 + 2Q.x -

b) (g

zf

. .fXx) = 6x3 + 4x2 - 2

ó)3xz +2xz

+2x-2

su


Cep.

9 F¡utoíonw dp u,nâ/Vañabl,eReÁl/

er(golx_r)=3r3.--+2r2 1 L^-Z

l'

Sean

Entonces

g

y el

funcionesdevariablereal talesque:

DOMINIO NATUML de la función

y

f(x)= l2x- x-2,

,/

sG) -- *2

-s

es el intervalo:

ó

aP,,rl ul[],2]u[:,*) .r pr,z)w(2.,*) o)[3,*) Sea ./ una función identifíquela:

e)[3

J)u(3,"o)

de variable real, entonces una de las siguientes proposiciones es VERDADEM,

a) Si/es sobreyectiva entonces fes impar. b) Si/es biyectiva entonces /es decreciente. c) Si/es parentonces /no es inyectiva. d) Si/es impar entonces /es creciente. e) Si/es estrictamente creciente entonces fes sobrcyectlva Sean

/

y

g

funcionesdevariablerealtalesque:

[k+l ;¡t

|.5 :x<2 g1x¡={x+: ;2
y

J@=1 2

[x-

lr_,

Entonces LA REGLA DE CORRESPONDENCTA de ta función

;x >

l)

-

ul(/+elxl=]'"*t ;t 5 [rr, [3x+6 :x
,i::::

5

lr.,'

;x 5 lr*o 11. Sea / unatuncióndevariablereal tal que: f(r)=-*, debe pertenecer al intervalo:

a¡(-z,o)

es:

px+6 :x
:¡ 5 [r,, [3x+6 :x
[r,'

;x>5 (¡ + glx¡

;x >

5

+4x-3.paraque J.@)>0 entonces.x"

b)(-"o,-r)v(0,o) O (r,:)

o¡(_*,r)u(:,o)

e¡(_+.:)

;x <-2 ft 12. Sea / unafuncióndeva¡iablereal tal que ,,-r=)**,' ;-2<'r<0 l- i'*t ;0
a)[-4J]

13. Sea

u)[-4,-)

/:Rr+R

tal que

c)(-+*)

l- *-t /r,l=]-r2+l [-'+

r

o)(- ¿,:)

e)[0,

*)

;¡21 ;0
l

ft

¡)

-/-l(r) = ]'' -'

;"r < o

l2x+l ;r>0

269

C@p.

fr¡bisés Villena Muñoz

g Ít qr"fuqp*

u,n*Varíahl,efueal/

d*¿

(¡ lx'+

[

I

d)7-r1xt=l r-x

['-'

Sean

/

yg

funcionesdevariablereal talesque:

"/(¡)=3x2+l Y g(x)=2xl-.r

Entonces una de las siguientes proposiciones es VERDADERA, idenüfiquela:

a) / es imPar Pero g es Par b) (/"glz)=-t c) (g " /) no ex¡ste d) / es inyectiva o g es imPar e) Si /' es parentonces I no es impar

15. El DOMINIO

NATURAL de una función f , con regla de conespndencia

es el intervalo:

.)

16. Considere una función de variable real, tal que:

,=

-)*r-3

'

Una de las siguientes afirmaciones es

idenüfíquela:

a) El dominio de la función es el intervalo (- o,-:)u b) La funciÓn es inyectiva en'su dominio natural c) La funcbn intercepta al eie "x" en d) La función es decreciente en su dominio natural e) La tunción intercepta al ele "y".n T

(- :,o)

¡a

17.

Sean

/

y

g

funciones de variable real tal que

/(x) Entonces la

lz f+zgl*)={ '

(x-2 : x2l [3t ; ¡
={

REGLA DE

[-x

; ¡>0 ; x<0

coRRESPoNDENCn de la función g es:

f*2-x+2: *>l a)g1r¡=l12-3x : 0
l-0, t c)

"1r¡

x
[-*'-, lz2 +l

x>l

r,

0<.r
= 1,2

-

l-*'

d\

g(x)= x2 ¡ ¡

x<0

t

[" l'r -¡) +l l'. e) g1r¡ = i'; -,- ;-

x>i ; o
|

tt

'18.

Considere lastunciones

/ygtrles que /(x)

MNGo de la función J' +

a)[-¡,"")

1

9.

g

u)[3'*)

'

a) Lafuncióny=, '

270

I

(.

=!¡-$ ;xeR y c)(- ,o,-3]

-¡l'

Felsl, identifiquela:

esinyect¡va

-3 .t P.t Lafunc'ón y = -',' x -3 es decrecienle

Lafunción

,

s(x) = -3"'

es el intervalo:


b) c)

)

-r-

¡)[,2) c)(--,-r] d)[:,-) e)(-*,-1]v[2,*)

[r,z)c

rllsl,

+'

J'$)=

= 12

en su dominio natural

o)[- ¡,¡]


Cq. 9 Ft't rv,tbt e* dp unatVaríalrlp/Real, d)

La función

.r = -r3 es creciente para todos los reales

e)

La función

! = -4x es impar

20. Sea

/

una función de variable real tal que

"f(x)= x+2

e§:

a).f-tl*)=(r+t)2

-z ; ¡>l c').f-t(*)=k-l), -2 ;,r>-t

21.

e)l

no tiene inversa

Sea

I'


/(x)=

3x-l 4x

+2

entonceslaruncó¡¡lrw¡nsr

entonc€s es

F*so

que:

b)/ no es par

está definida para

x=-

j

cfno esimpa

'trQ)=o

22. Sea / una función de variable real tal que /'(r) = proposiciones es corecta, identifíquela: La gráfica de./se dibuja en el primer

c)

-2,

+2 : x2-2 d)./-r(')=(x+rf -2 ; x>-l

\x+2/

a) b)

x>

U)./-r(r)=("+t)2

*-t)_:.r_5 atr( '" 6x d)/

-l :

- - x+ll-3i . Entonces una de las

srgrirÉs

cuadrante y segundo cuadrante.

del es el intervalo (_o.3) Et rango deles el intervato (_
d) /es una función impar e) /es una función par 23' sealarectaconecuación 3x-5y=2.unaderassiguientesproposicionesesv.RDADERA,

a) La pendiente de la recta es _ | b) La recta intercept a al eje y en 2 c) La recta es paralela a la recta _r = x + ! d) n punro (0, !) nut n.r. a ta recta. e) La recta es decreciente. 24' sea

f-l(t)=*2-2';

a)f(x)=..x+l+l;r>-l c) /(¡)=.x+l-l; r>-r e) /(x)=- x+l+-l; .r>-t / y g

26. Sea

o¡

(-l,l)

/:R-+R

./

es:

(f

/

/(¡)=-.'.r-l+l;¡>t d) f(x)=..¡-l -l; ¡>l b)

funciones de variable real tal que:

DOM|N|O NATUML de

a)0

)1 5

-r<1 ,laregladecorespondenciadelafuncíóninversadeunafurrciio

Entonces la REGLADEcoRRESpoNDENctAde

25. Sean

ilertiñCEk

+ dG) c¡

flx'l= l* * y g¡r¡= I 12

es

el

intervato:

[*:,:]

unafuncióntal que

-9

/(.r)= x2 -x_12:

o¡(-:,:)c

e¡lr;lc

. Entonces su cRAFtcA es:

a)

-9 -S -? -6 -5-{ -3

Entonces el

IÉbEnlfubz /

9 f t t tt¡,bn e*'dp unarYarbúl,efueÁl/

CdP.

e)

27. Sea

g:lR+lR

unafuncióntal que g(x)=lx4l-4.Entoncesunadelassiguientesafirmacioneses

rru-sn, identiflquela.

a) b)

c)

c0)=-4 El rango

g g

g

de

es el intervalo

f+,+4

(-*,-:l

es decreciente en el intervalo

d) e3 creciente en el inte¡valo (0,*- ) e) c(0)=-l y s{»=a Sean

/:

lR

Entonces la

-+

a)

(/.gxr)=f

c)

(.f " gX¡) = 4x

e)(.f . gX¡) Sea la

y

IR

g

: IR

,3 -2*2

-3

b)

.É=,

¡)[-r,s]c

inyectiva. d) g tiene inversa.

ol

lfttl

,eat ,1r,

e)

- stz)]= (s ",/Xr)

g

b)g e)

.

lt

f(xt) =.lx+l

(f

u

g

; x<-5 ; -5sxs5

[{x

;

g{x)

es:

esrAlsoque:

c)

g

; ¡<-5 ; -55 Iu't

y

sr¡r={ '^ , [x-2;

I

t+ x;

olu-rx,l=.1

I

t'; [,

t;

5

¡<-5 -5<¡<0

t

0l¡15 "r5..

;

es creciente para

'=l,entoncesesvERoADque:

x
lieneinversa.

c)(,/"S)0)-3.

es decreciente en el intervalo

(-,0)

Y

2 ; ¡>o s@)=

x>2

l2x +l : 03x<2 [,,; -x : ¡<0

.

entonces

u

REG|-A DE

x>)

[ 3+,

3--x

[

e)(1,5]c

no es impar.

; ,.0

lf

c) et - g)lx) =

- P '>2, [ ,-2 x<2

= {G

,r-r=lil,Ii; ,:::r,

32. §ean las funciones

o)(1,+.)

b¡

[-r' s es (-*,-Z).

(

.gX¡) =3*3 -x2 -3

entonces su DOMINIO NATUML es elintervalo:

=, ' S(|):-AQ) g(o)

es

a)Elrangode

(,f

c)(-o,5)

Considerando la función de variable

31. seanrastunciones

Y

'

¡e¡=?!;i]

a)(-r,s)c

a)g

-t

f(*\ =3ix

o¡1¡"gyr¡={3;-l-3

-l

=lifi:i +t

tunción

-+ IR , funcione tales que: de (f . d@)

coRREspoNDENch

REGLA DE

d)

Lr - sX,) =

), I ¡-l [",; -, j

tt,r-sxr)

';.

=

l;-1,

¡<-5 -55¡<0 0
¡>5

:<-5 -55

lbisés Villena Muñoz

Cep.

33. Sean

/

y g funcionesdevariablereal,talesque

la regla de conespondencia a)

9 F¡tttoíon** dlt

(/" gxr)

para

f(x)=

c)(f"il$)=2-x2+ x+t 34. Sea

g

+Zx-l

rwrVaríal¡L,qfueÁl/

y. g(*) =2-x2 , entonces

o

= 12- x2 +2x-1

e)U.g¡x¡= .2-x2 -2x2

,x

/ g es:

¡,t

,ji

b)

(,/ . gX") =

dl

U " sl!) = z -(i

+t - ,2

. * z* -rf

+3

una función de variable real, tal que:

3 z

I

-1 -6 -5 -4 -3 -2

Entonces el GRAFtco de

.f(x) = -Z

+

SO-2)

0

-1

es:

a)

-? -6 -5 -4

-3

273

35.

i

g funr,úotv-v ds unpVaríahlpfueal/

Cdp.

lrlbisés Villena Muñoz

[,'-r'

Con respecto a la funciÓn de variable real

,f(r) = l

,-,

lr.

[

¡23

;

, una de las siguientes proposiciones

x<3

i

es \ERDADEM, identifiquela:

[-.li*¡ ; a)

¡-rtrl

; ¡)o

['ii * ¡

x>o ol

=.{

I x+3 ; x
¡-tt,l=l

I ¡<0

l.r+3

u)¡,r¡=.1

e)

/

notieneinversa.

[-x+3;:>o

[-"5+¡ ; c)

r

36.

I x+r i

Con respecto a la gráfi ca

I fr

x>o

/-rt'l=.1

x
y = -4 a2, una de las siguientes proposiciones

a)

La tunción tiene asintota rro¡.oJtal

b) '

La función tiene asintota vertical

en v = 6

en x = -4

es VERDADERA' identiflquela;

.

.

c) La función es crcciente Para r > 0 d) La función corta al eje y en 4' e) La función es decreciente para x e (-oo'0) ' .

Ili I

t.,

F tr

[. ü

37' Sea /

ü

unafuncióndevariablereal

manera que Rg

I ti

t

/

u)[s,*-)

a)o

Sea

/

dt*tr

d*

una función de variable real, tal que

e§:

I

/(¡) =m2 -2x+4'El v*onquedebetener'a'detal

b)- *

a)T 38. Sea

tal que

\

f =li,a)'es:

.10

i

t,

/(x) = 1i- x -

I . Entonces su MAYoR DoMlNlo PoslBLE

\*;

que

e)(-s,ol

o)(-*,0)

O {o}

una lunción de variabb real, tal

e)4

f(r)=F*+l-2.

Entonces una de las siguientes

proposiciones es rn-sa, identifíquela:

a) El par ordendo (+,-z) pertenece a ¡ b) El mayordominioposiblede / esel intervalo F-,-+]. c) El rango de ¡ es el intervab [-¿"o). d) El mayor dominio posible de / es el intervalo (-.,a]. .

I i l

e) /

:

es decrecbnle en su dominio'

:x22

[: 40. §ea / unafuncióndevariablereal,tal que f(i=1*2 +l ;1
I

[-ir+3;x<-2

]

Entonces es VERDAD que: es par a)

/ d) /

41.

I

t t

es inyecüva

Sean

/,g

bl

f(0) + f{2)

e)

/

=

c)rgl=P

f(-2)

es biyectiva.

y lr funcionesdevariablereal,talesque:

,

f(*)=*3

Entoncts es FALSO que:

/ es una tuncbn impar' d) f + S no es par ni impar' e) l, o I es par. (r - z)t + Sea / una función de variable real tal que /(r) = ,lr

l¡;

a)

I

(/g)

es una función

impar.

b) á

:

I

.

t

c)

"

t:

a)

t u ü

274

(o,z

I

¡)[-r,o)i-,[2,-)

/

,2 -2

,

h(*)

=lr'

escreciente en todo R.

.

, entonces su DOMlNl0 NATUML es el

intervalo:

r

e@) =

c)(-*,0)u[2,*)

o¡(-oo,0)

e)[2,.o)


Cap. /' y g

4J. Sean

9 fu,nr,úoroy que

funciones de variable real tales

d*¿

unarVaríd¡lefue,od/

.r:l

,, !

r
./(.y) =

[*2: ,>o

s(r)=J l_¡"1 r.0

Entonces es vERDAD que:

4(f -

cx2)=3

d)(/sX')=

b)Dom

e)(2.,s)e

I

44. seatafuncióndevaríabter.rt

a)[o.s]

/(x)=

u)f

r,

[í),r=

f

li,)=j:: , l. 5 ;

sl

,

R.

c)[0,*)

noestá derinida

,:;:r,entoncessuMNGoesetintervato: 'r22

ol[r,

s]

e)(_

45. Sea./unafuncióndevariablereal conregladecorrespondencia

*,.")

/(x)=-

x_2+3.EntoncesesFALSo

que;

a)

EI punto (2,3) pertenece

c)

La gráfica de

alagrálwade f. /corta al eje xen x=1 1.

b) La función./es decreciente d) La grálica de./no corta al eje ¡r

e) f es creciente.

46'

Dadas las siguientes funciones de variable real, determine ¿cuál de ellas corresponde a una ru¡tclóN pnR? a) Á(x) = (x + l)2 d)

b)

h(x) = x4 +3x2 + I

47' El

e) .f

DOMINIO NATURAL posible )Y-

= -'^ r+l '" a)(-*,-llvl;,+] ftxl

g(-r)= x1 -3x+2

-1-_',)^

(*) = x3 +2x

de la función

c)

.i(x)= x2 -x+6

-2

/

de variable real, con regla de

conespondencia

, es el intervalo:

b)(-*,:)v(:,*)

ol(-*,-:)u[- i,+]

c)(-".,-:)uf l,+)

el(--,-:)v(- ;,¿)

Irxl=la+lr ' 'Lro:'2*o2*o-s)l.

/ una función de variable real tal gue: (,\ l[ a" +r.J

48. Sea

si a e

R

entonces el VALOR de

es:

o)2-r

a)2 +t

49. Sean

50.

.t1

yg

/

1*l +l

g.;l

a¡fz,*)

[2, *)

u)

e) '

d)a-r

a

u¿

funciones de variable real tales que:

DOMINIO de la función

Sea./

.)

/(x) =;x+2

- 2"y

g(x) = 1-

-r

2

-l

. Entonces

el

es el intervalo:

unafuncióndevariablereal,tal

.) [-

d)

]..")

que./1x¡=

b,*l

o

(_

+,,)

(4-xXx+3),.ntonrrrel DOMINIONATURAi

a que tiene la función, es;

4(-:,+) 51. Sea

./

b¡(o,4)

c)(-¡,0)v(0,¿l

una función de variable real con regla de conespondencia

¿)[-ro)v(q¿j f@

=*

..1;-i,

e)(-:,+]"

entonces una de las

s¡gu¡entes proposiciones es VERDADEM, identifíquela.

a)

Domf =

{rtr.Zl

d)J'no es inyectiva en su dominio

52.

Sea

/

o)rsr = [0,+*) e)/es par

una función de variable real con regla de conespondencia

RANGO de

/'es

u)[o,r]

c)

a¡

+4x-3

d)[0,*)

(1,.o)

53. El DOM|N|O NATUML posible de una función de /

J'G)=-xz

.

Entonces el

el inlervalo:

a)(**,1] -(x)

c).l es decreciente en su dominio

variable

real con regla de

e)(-*,0] conespondencia

2

=

(- ¡r)

J -f+,

I 2-x -

es el intervalo:

u)(-*,-l]u[t,z)

c)(-*,-t]u[t,z]

¡)(2,"o)

e)[1,2)

275

i

Mo¡sés Villena Muñoz

Cap. 70 Tuuyt*,íówTrponenr,id.tI

Tt

tnr¡bw Log,arifwín*

l

10.1 Fuuclór ExpoNENcrAL LO.2 FurcróN LocARfTMrcA 10.3 PRoprpDADEs DE Los LocanÍruros 10.4 EcueclolyEs ExporENcrALEs 10.5 -EcuecrorEs LocenÍrnr¡ces "10.6 Iupcuecror{Es ExpolvENcrALEs y ;

LA.7 PRos¿EMAs DE ApLtcecró¡s

i

I

otros funciones de vorioble reol importontes'Que merecen un capítulo

oportg son los Exponencioles y ,los Logorítmicos. Así comp tombián los propiedades de los logorltmos permitirón resolver''otros sítuaciones, no sólo oquí sino tombién en otros cursos.

I

I t I

"l t-

Cap. 1O f unr,ú6w ExPone,nníal, y f


t

t

n

oíów Lag,añfun ínw

10. 1 FUNCIÓN EXPONENCIAL

Tracemos su gráfica, con la ayuda de una tabla de valores TABLA DEVALoRES

_ll -3

v

1

,,

-'¡ I

-1

I

I

4

,,

0

1

1

2

2

4

3

8

-4

Asltrtota

Conclusiones: En la función exponencial

278

!

=

a* donde E > 11, se cumple que:

Cap. fO f unoiáw Eypo*enr,Oal y f uin&lów Loga,rífu,úca,


Estas conclusiones pueden variar si la función exponencial ya no

es de la forma básica.

observe

que:

2*

=

o

donde

o

= cantidad muy grande; y por ro tanto

2-.*= I o0 2*

Tracemos ahora !a gráfica de

TeeLe

DE vALoREs

x

v

r' :8 3

_J

(v,2/

*2

tál 2 -4 r-1 (tit/ /2.r -)

-l

1i (v: /2 4)o

I

0;i,;)'

J

, =(:).

a, )-:

0

2

Con la ayuda de una tabla de valores

=

-l = 0.5

(t;t/ ,2 á)' =0.25 (t;l,/,2,;)' =4.125

En Ia función exponenciat

! = a* oonce [0?7Zil, se cumpte que:

Es una función DEcREctENTE Su gráfica tiene como asíntota al eje "

Dom(f)=P nSU) = (0,*)

x'

Existe una base utilizada frecuentemente, esta es la base a = e. Algunas gráficas, empleando esta base son:

279

lvloises Villena Muñoz

Considerando tenemos:

280

C

ap. 70

F wtc,oów E rPo'np,nooab

definiciones anteriores

y 7 unr,úów LaguíJbttica/

grárficas,

l¡kisés Villena Muñoz

C

ap. 7 0 f u,wíów É xpo*e,nr,úú y

T ut

n¡¿bw Loga,r íttlt Í.ca/

Trasládela una unidad a la izquierda, luego tres unidades hacia abajo y de allí obtenga su valor absoluto. Es decir:

d',=[iI'

28t

C

1' Y

q+. I O f r,tn r,Oów E rpwnr,OaL y f u,naASw togañtn ítut

=2-'-l

, , = 0I'-' 3' Y

=21-*

4' Y

=2- ^ ' .

5.

r-1.

y = 2:l'xi

a_ ^ o'Y=¿

7. Y

=t3

l-¡

-2"-x+tl

Con respecto a su gráfica tenemos: Y=at;a>1

/

I

I

/./

1., 1

/

¡shmore

log,(l)

=

¡

VERTICAL

Conclusiones: La tunción logaritmica

)

f (x) =logo x donde ITlTl

Es una función cREcTENTE

define)

Cap. 70


', r

ry(log,r)=

for,rwúówYxp

Fotnr,íéwLogaÁfm,í,c*

R

Su gráfica tiene como asíntota al eje ,,_v

',

Por otro lado,

Esta es una función DECRECIENTE.

71

-t'=log,,i o
tenemos 1a función LoGARITMO NATURAL

si F =Tol, tenemos

Pero la grá,fica para o -

.,1,u

sería:

283


C

aP. 7 O f oort¡,ú6w E xpo*onni,ooU y f unr,Oów Logarínn irat

h Aplicando criterios anteriores, por ejemplo desplazamiento horizontal, tenemos:

y=ln(x+1)

Observemos una gráfica interesante:

/

= ln(-x)

Ent
Graficar:

284

1. y=2-ln(x+l)

6.

2.

y=tog(2-x)

7.Y=logy;x-2 .

3.

y = locL.'(2-r)

8.

.,2

l=,lnl¡-2

^

.,2

),=log.,(lr+Zl-t)


C

4

ap.

7

O F wyr¡,íów

Z xp

menr,CaL y f unr,íów Lagar ítm,írn,

(,. ,)- ,l

-,,=

e

lrus,

v

=

log

,

(z

¡, = toglt

-

lxll

-,t)

Analicemos ahora el siguiente ejercicio:

Reyrc,lfc .. .',: ll .r,

" x'1":' sea/{*),= . ,' .-- . log(3 - x)

. Hallar su máx¡mo dominio pos¡ble.

SOLUCIÓN: presenta las restricciones: .log(3 -.r') .r>0 n log(3-x)+0 n (3_x)>0

La regla de correspondencia.¡ 1x¡

=

Entonces:

0123 Por lo tanto el máximo dominio posibte es el intervalo

a) ./(-r) = log: (x -2) +t;

[O,Z)u (U,:)

x>2

b)

./(¡)=2- rogz(.r+l); xr-1 c) JGt=-ln(:-x)+t

f'(r) = 4 - 2-'; x rtJ llQ. es el intervalo: b) (1,+,) c) (0.+. ) d) (-.¡.4) e1 (-r. a)

El rango de la función:

a¡ (-.,:,

.f(*l=2-**l -J ,con -re R,entoncesel rangode ./'es: b) R. c) (-:,+-) d) (-"o.-:) e¡ (-:,0)

esunafuncióntal que

Si f

a¡

o)

(-:,-:]

Dadalafuncióndevariablereal

a) (r0,.)

5.

b)

(-r,10)

/ft)=log. l0-r,entoncesel ¡,,nxrn¡ono¡,lwlopOSIBLEdelafunciónes: c)(-to.'¡ o¡[ro.-) e¡(-*,ro]

tog(-x) ( 7(r)=] .r'-, -l <.t<0 I

Sea la función

/ :R-+3

conregladeconespondencia:

[-(r*r)

.r-

|

.r>o

entonces una de las siguientes proposiciones es FALSA, identifíquela: a) .¡ es sobreyectiva. b) 7' es biyectiva.

c).r

es una función decreciente.

d).¡(:)= *.t e)

/

.

es una función impar.

fr

6. Sea r(.)=J'--r: .r)l lt .r : .r.l a)

g1¡(r ))=

b) I (g(r

y g(..)= 1..

,.reR,entoncesesFALSOque:

r

))- t

c)g(¡("(r)))- I 285


C

d)

q+.

/(s(/(1)))--

7

O f unoíów

I tt"p o*e,nr,íalt y f t tnr,úów LogañLtn írn,

o

e¡ ¡(g(o))= o

1O.3 PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS Existen expresiones algebraicas qLle contienen logaritmos. Para simplificarlas debemos considerar sus propiedades.

,. Wdonde ¡>o fíonnpl,a 2ugr(xr+:t''*t)=x2 +3x+

,ln(2:+r)

I p&fá

12

+3x+l

>0

=2x+l para 2x+l>o

.mm o.m 5.

Eíenlpl§ Para calcular

log, 8; a 8

propiedades, Es decir:

log,

8=

lo expresamos en término de

2,

para poder aplicar las

log: 23 = 3logr 2 = 3

fjermpLc log,10 = log,(2

x 5) = logo

2+log"5

8. Cambio de base

r%R)tü7 Calcular:

Solución: tenemos:

286

Descomponiendo

los números

pnmos

aplicando propiedades


C

',"*[ ::

qP. 1 O F oonr,íów E rp onc,rcíal y I unc,úów LogaríhmÍc*

r,,r(,!1 = 3(ro936 rogzs)+ : rog[ 2 - :(rogra'- rogr zs) ).,*( ; ) ) ) logs: )+ 3(tog 2 - toge)- z(ugza - rogsr ) = 3(2 loe6 - z tog s)+ :(tog : - tog3r )- 2(4 tos2 - 3 logs = 6log6 - 6log5 + 3log2 - 6log3 - 8log2 + 6log5 = r(rugo2

-

= 6(lo9(l x 3)) - 6lo9 =

6 log

I

+ 6 log3

-

5+ 3

tog2

-

6 log 5 + 3 log 2

6 tog3

-

-

8 log 2 + 6

- bg2

6 log 3

)

tog5

+ 6 log5

8

= log2

tiercrír,b re¿y*dto 2 S¡

logo "t = 2

,

entonces a¡ SIMPLIFICAR la expresión:

se obtiene:

bl-2

a) -1

e) -5

Solución: Aplicando propiedades, tenemos: ,o*.,1

rog,, (**¡'o )*

,,"r,[

, .,'l-r'"*''[ )) -' =,.,*,h.,;o)*z[rng, = tog,u, ,.r( tu*),,.. ),J

'l

\.r'i

r

log., l0 logn g

- rug,',,](,)]_

log, l0

_ =

log,, .r4

llogu u

4logn x 619p,,1 1

= 2lo1o

"r + 3

= -2logu =

* lug, l,('

_

-

2[ln, ¡ -u !' 6 loga

.

l-

log, ), - 6logur'

-

.

r

-']

+ log, ('t)': J rog,, x

logu

-

r-

-

3[log,, 'r

3 rogo x+ 3 logo

3

-2(2)

tqlto la opción "d" es correcta.

ro$Ádta 3 Despejar ".tr " si Sotuctór,¡:

en base 3

Aplicando

! =3'

a

ambos miembros

/

logr.¡':

log3(3'

EntoncesF=

y

luego aplicando

log,, r']

rogo ¡,

r + 3 log., .v

x

=-4 Por lo

-

propiedades,

l"e]}l

log3 ¡., = x logl 3

rcaldtt+ Despejar"x"si Solución: Poniendo cada miembro como exponente de la base I y aplicando propiedades, 2

287


C

ap. 7 0 f u,tot ú6w f xp onP,¡1oíd¿ y T t¡*t c,íów Logar íftn úow

-l'- log, (-.r) /tt=ttI )r ,,1lt'srt-xr

/ I \r I I

=--1'

#) i' ,=flr-,"

Despejar "¡" gnlaecuación SOLUCIóN:

j[ '''

I

] , parude ahi aplicar logaritmo

Una opción sería despejar la exponencial e

r.tl lf

'' -l l-" t' rl

I

I

II

t,

:

:t'

, zl-

.l:

r-

.,rr

= [tn(,

11,

.f

1

:l) jl' ,, ,, - ,-

[tn(.t

ln.' rr

= ln

't,)

r''

,2

=

=

'l'

_t'

I .\.

|

:tI .r -:! llt e, = lnl rr'\xJ

-

tn.,-]

tn

.]

ll.

entonces:

.t

:l'

*

-.¡,)-

l

'l

[rr(.' - -1')- tn ']

[tr(. - ',r')*

tn

,]

I

li*ürrb??ro?w*futlO.4 1

,

algebraica:

Al simplificar la expresión

i{o'

l-r-

=|

i

u+0

se obtiene la ecuación de una recta de la cual podemos afirmar que: d) el punto (2,1) pertenece a la recta a) su pendiente es e) su pendiente es -4l9 b) su pendiente es

4 4/9

c) la intersección con el eje de las "

2.

I

" es

I

l(' r.,uf ]+ -s Io"f ''"Él rs.l'

b) log5

a) 1og3

3. Si logrx=4

c)

log".r'=

r

3+

b) 2log,,

a) 6+21og.,48

4. Si lo962=ul4:

log,, -lli

48

=3a/2. el valorde lnnol:x¡,1-1"'.]..r' a\ d ---__.,,\ ktg67

Si ln2=0.693 a)

6.

ln(1,5)

ln3=1,099

b)

ln(a8)

,

entonces el valor

siendo

-

log,,

r5e§

b\2u

48

c)

J )

b)

d)

,,,r.,[,' ],-tl '"It:,tl:,

4,i

,

I

.r'

F]

o

e)

6

entonces

d)1

e) 1*2 u

calcule: c) I log,24

expresión: log"t' - 2tog(xu)* log.¡,2 + l. con r..r'€ a) log(.tr r' '

de:

-{l} ' .re-:

')

Para la

es: 288

y

e) 0

d) log 2

I

c) 6

)

5.

*l

25

tnrl ) "1".,]*;-"''[tol

7

El resultado de la operación:

l-logr{

c¡

10

d)

j - i0l una expresión equivalente

l,,g/lorl

et r,,s(

'{)-r

[email protected] Ttttttíówíxpou.noíÁ,1/yFttnr,íówLogerítmic,a/


7.

Hallar

el

log5

6

a

loglg¡2= B

si

log199 3 =

'

É " en la expresión:

f

Al despejar el valor de

l0=ko.'

seobtiene:

L''

a¡

*=(ro.'),,,

c)

k -toga: - logá * logcs

d)

k =21oga+2kryb-3k¡gc

\u'h)

b) &=2loga+togb-3logc e) &=toga-tlogb+3logc

9.

Aldespejar'¡r"enlaecuación:

M

=

* l* c(tn lo0 k \

_,

logM - IocC' kltos(t00/t + R)- logf I logM - logC b) ¡¡ = Áltos (t00,t)+ tog,( - togt

'

dl n=

'

logM-log(' c)' ,= *[og(l oof + R ]- togk 10. Sea .t.yeiR.Al despejar a)

)'=¡+l

b)

¡

se obt¡ene

/

d)

n=

e)

n=

si

iR.

> 0, it > 0,C > 0, L4 > 0

lotM -l(wc ,{fiogk+logRl losM - louC R)- togi

kl log(t 00* +

I

+2|

2l

r-) ev -(2x+l)

enlasiguienteecuación:

y=(x+2):

e) Elija esta opción si ninguna conesponde

c).¡,=(x+l)':

a

d)

¡

=

s"

se obtiene:

Y=x' +3¡+2

Ahora analicemos lo siguiente:

ítRalldfu Hallar la regla de correspondenc¡a de su

inversa y graf¡car. Solucró¡l:

A cada gxpresión establec¡endo

s'

clr

dgla de corresponden cia

1: Para y = log I

(-.r);

2

.v

<

f

,

b

encontramos su inversa,

-l

2:ParaJ'=.r+l; -l<.r<0

3: Para

de

,.¡ectivos intervalos de existencia:

t = 3'rl

.r.>

0

TenemOS:

¡=¡+l; -l<],<0 _l

./'=.t-l;

Tenemos

¡=3-r' ,,>6 .f-l =log3x;

[,r,)' llrl Por lo tanto:

;:í

/-l(,)=] |

-..

'o*,

0
*>1

;

J<0

; 0 I

I

289

Moisés Villena

Muñoz

Cq+. 10 func,úówfQorre*wiúy funtíówLagorítmíaw

./

a

Graficando en un mismo plano tanto

como a su inversa

/-l

log, (-x)

.y =

2

't.

Sea la función de variable real

./

definida por la regla de conespondencia:

;x>0 [x+l ix<0

rt.,l={3'

./

Entonce§, la función inversa

de

a)rt(x)={-",1;

'.a:o

.

b)/-,(,)={::; c)

x

f-rr*) = ftot, [-x+1

Sea

/

tiene como regla de conespondencia a:

',::oo :

d)

/-r(r)

e)

/-r(x)

=

{'ot' I.f-1

=

:x> I ;x

l

: :x3l L-x-1

{'ot,

x> I

:x
una función de variable real, con regla de correspondencia:

/G)=

3 log

2 x) 2 .r - ,h(log

entonces la regla de conespondencia de su FUNCIóN

INVERSA es: _l

3.

-'(r)

al .¡-t¡x¡=2z

b) -f

d) .¡-'1r¡ = ,'i

e) La funcón

= logn x2

/

no tiene inversa

Sea /:R.-->R. unafunciónexpnencial y /-l(g)=¡'entonceslaregladeconespondencia

de

I'

ES:

a)

4.

f(x)=$x

0ada la tunción

b)

/(x)=3Í

f(Ó=f-*

c)

/(-r)=5r

donde

xelR.

dl

í@)=2x

e\.f1x¡-sx

Entonces la regla de correspondencia

de .¡'-l1r¡

e§;

(3-x) d),r-l(rl=log2(x)+3

a) ./-l(r)

=2 ln

Dada la función

b) ,r-l(r) = log2 (x) e)

es

290

.l

-l(*) =- log2 (x) + 3

/("r):(0,+'o)+(0,+oo) tal que ./(r)=loe(*+2)-logr' de

7-'1x¡=z(ro'-r)

b)

Ol

,t-'(*)= rl;

e) .f

tr-r=ff=i!-'

./

=

tro

-'(*)=

tY

entonces la regla de

es:

/-'(,)

a)

si se define

c)

3

"F-l(r)=3logz(x)

conespondencia de la función inversa

6,

-

6o

u.o

J

-

r;

c)

./-'(x¡=

3_,1

; entonces, ta regta de conespondencia

de .f

-t ("\

tÉés

Villena Muñoz

C

ap.

1

O f unr"tów

l) x 2 x<2 12- -'-, l,rg¡(r'l) :t -' b) , ,(,) l2' ,.r(-' 12 -'-x

7.

a)

¡

rr.r)_ [:-log¡(x-

'

/

(-r)=

{

[-' .r-2

E rq

on"e,nobJt

I

T u,ytc,íów

Logar íttn ínw

.) /-,r*t_ Jz+log2(x-t) ,x -' :x=2 []- -,-r z-tog'(..*l) :.t>2 d) l..r(-r)= f lZ- 2-.t .rl2

.rs2

seafunafuncióndevariable,talQue:

r',r.,=f'":. /)_l [_,4*

-/ r..r_l

.Deserposible,enconkarlareglade

conespondencia de su función inversa

./

Sea


/(.r)

=)-r'-,

;xeR,

entonces

la regla

de

correspondencia de su función inversa es:

a)/-rt'r=rros2(x-l]-,

," I

b)l-ltr.i=z-zt>c2(**l) ,"-, j

c)/-rr,)=:-zrog2(l-,j

,.,.]

o)./*rr,)=l-,*r(l-,'l ;.,.j

-i

e)

/

-l

¡\

)) ,,.)

r-r(.,)=2-2rog2fx-

Sea

./

una función de variable real, tal

de su inversa

que

7

(r) = -

o¡7-l1r¡=l*ñl

l+ñ'r

e)7-l(x)=-';l'

I

i-'(,')=

l;l

una función de variable real, cuya función inversa liene regla de correspondencia

/ entonces la

t.

'{r)=

REGLA DE coRRESpoNDENCtA

r' c)¡(,)=ll.,J

-r

.r.>2

¡(2 [|.'' -r: ./

es:

í. . ,. ilII

t

ir ,

de

llog¡('-l| i l ir I l.-2

: r0 I

:Y+l : r'o - \ ' + lou ¡ (.r + ) .r : o rl

á),i-.1 / \¡ '¡

r)

hx+¿

b-x sea

(t + _r) , entonces la regla de mnespondencia

/ -l (r) .t

a)./-l(.")= '0.1,

d)l-l(.)-

t<,g,,

t:

I x
l:-rogr(r-rt t. : r
r..

ul,' ¡(x)= 12' |

l:*r,,g¡

l:

: x<0

(.*r|

x>o

.,

I'i*rug,1.*ri

l:

x2o

291


C

ap.

7

O

f ut ttoú6w *porue,noiú y F otnr,Úów Lqa,rí;tt ufra/

1O.4 ECUACIONES EXPONENCIALES Las ecuaciones que trataremos a continuación, presentan en sus expresiones funciones exponenciales. Encontrar el conjunto solución, quizás signifique la determinación de los ceros de una función.

re/ru,eltü1 se intercepta con el eje

Los valores para los cuales: son:

al2y

-Z

e)4y-4

d)1y-1

b) 3 y -3

SOLUCION:

lgualando a gero, tenemos:

Por tanto la opción "d" es correcta.

Otras situaciones, serían:

iorotudfu2 Si xeR, entonces el conjunto solución de la ecuación e) (-3,1} d) c) b) a)

{1/2} {0}

(-1}

(1}

Solución: Poniendo 4 en término de 2, tenemos:

Por tanto la opción'e" es correcta.

re,*.udÍa 3 es:

Sea xeR. Elconjunto solución de:

a)

{0,

1}

b) {¡o$

(1/2}}

c) {logs 3}

d) {logr 5}

e) {logs 2}

Solución: Primero pongamos a 25 en términos de 5:

,1.2 )* _r_t+t _3=0 -\/

,

a2

,[r'j Luego hagamos el siguiente cambio de

292

-5'5-3=o

rariabl.,Fllly

resolvemos

pára'a':

x

l,tisés Villena Muñoz

C

ap.

7

O

f ot naíów 2u2

E xp

o*e*wtal y f utnr,íów Logañfuúe*

-5u-3=0

(:,f-s(zu)-o=o (

t

-¡\

lzu-ol(:u+tl

I

I

=o

2 1

(¿-312¿¿+l)=O Entonces:

ll=-¡"I v u=-

l

Ahora regresamos a " .¡ ", para lo cual

Aplicando logaritmo tenemos; I log5

¡

=

-5

= Iog¡

3 l,

t' =,o*.[*

en cambio ,o*.

log_s 3

'

]

NO es POSIBLE

Por tanto la opción "c" es correcta.

Encuentre la solución de las

e) 0

a)

ld-q+;r =-g (.)'-' =(,uI-'

b) c)

d

d)

a)

3.

5.

ecuación:

4(\

c)0

de .r e JR , que satisfacen

b)1

lnl

b)

c)

Lasu¡¡edelassolucionesde laecuación .,+'*t ,

b)

0

I

e

I

dl -1t2 la ecuación:

Z. -(U tr')+20 =O

c) -2

lnJ)

4=750

-rr

d)

+6=0

sea Rc=lli,entonceslasumadelassolucionesdelaecuación:

a)

7.

-1

h) "2x *o-x -

Lasumadelassolucionesdelaecuación: ,2t *5r* a) ln6 b) ln 20 c) ln 16

a)

6.

b)1

La SUMA de los valores a)

4.

112

- -5-r+2 r'''' jr-2-3r-3+31

s) (z')'=a'-"'

-k'=2

La suma de las soluciones de la

.¡1-r+3

I

0

e) 1/9 ES:

el2

,siendo-re.t,esigual a: d) ln l4 e) ln t{

e*

-2e-t -l =0 esigual a: ln2 e) ln2-tn.ñ

d)

_lrd.,t'J*3=0,

c)r

esl

d)f

LaSUMAdelassolucionesdelasiguienteecuación'x+5 o

,,rr+l"'

=o

e\

2

.r,

d)-1

293


C

aP. f O f u'nr,íáw E Wonenoal y f vt n¡,Úów Logar ífin ír*

1O.5 ECUACIONES LOGARÍ?UTTCES Analicemos 1os siguientes ejercicios.

se obtiene:

Al resolver la ecuación:

a)l

b) 2999/995 c) SOLUCIÓN:

299/95

d)

2/95

e) 95/299

Como todos los logaritmos están en base '10, aplicandq propiedades tenemos:

loo5'-l - x-3

=3

5.r-l

loc lQ -r-3 =19:

5r-l

- l

"r-3

= lU-

5¡-l=1000-t995x = 2999 ,aoq

^

995

Opción "b'.

ro$p)tü2 Elconjunto soluc¡ón de la ecuaciÓn: al (2,

-21 b) {2}

dl

c) {112,'1121

SOLUC¡ON:

(-2,Vzl

e) (1/2)

/r\

lor¡rx* losr8 = lofirl'

\.r/

I

¡ t\

log.(8.r)= los:,1

-

\"/

I

/¡t

l,rr.l "''rr,l ZIog2{8r)=2

Aplicando propiedades,

I

/:\ t*=[.J NO satisface la ecuación

original

La opción correcta es la "e

Las ecuaciones con logaritmos, al igual que las ecuaciones con radicales, introduien soluciones extrañas. Por tanto asegúrese que los valores de ".x" satisfagan el predicado dado.

rea,p,ltt

3 el valor de '*

Dada la ecuación:

3

b) log a) log SOLUCIÓN:

(2/3) clz

d)

3

294

" es:

e) No hay valor posible de x

Poniendo cada miembro como exponente de la base " Opción "d".

x

r

", tenemos:

t¡ses

Cap. 70

Villena Muñoz

funr,úówfte

Fu,ytcúówLogaríjtwíca/

r%1)P)tü+ La solución de la ecuación: encuentra entre:

a)ly4 b)5y7

d)12yla

c)8y11

e)15ylB

SOLUCIÓN:

log(lologrx)=.r

-e

logl0=x-9

Aplicando propiedades tenemos:

l=x-9 ¡

= l0

"c'es correcta.

ít

ro*tw,lta 5

La solución de la ecuación:

ex¡ste

a)

,x no SOLUCIÓN:

b) x='10

c)

x=1125

u2 Haciendo cambio de variable

¡r

= togs .t , tenemos:

d) x=25

-4u+4=0

Itr-252 =g

u=2 Pero, como ¡r =

logj

-r = 2

Por tanto la opción'd" es correcta.

r%p)tü6 Sea n" = R , la suma de las soluciones de la ecuación: igual a: b) c) d) e)

alz

1

100

101

-I

SOLUCIÓN: Apticando propiedades,

I'=G¡ Tenemos:

t

n**oglzlü..:GgrFl

Fryo

entoncesll6rosx

lr=l

-

Haciendo cambio de

variabre:

I

to0

Fc'=z-l ror I l¡=t00 | v lrol"s'=

I |

Los 2 valores son soluciones por tanto su suma es 101. Opción

,,d,,

r%,wrlfu7 La suma de los valores de "x" , tal que: es:

al -2

b)3 c)-4

d)5

e) -6

295

ftiloisés Villena Muñoz

C

ap.

7

O F ut ¡v,O6w C ttPo*,evwAalt

y

F t t ttoíów

Logar ítvtt í.w,

Expresando 25 y 2en términos de las bases de los

(.u lloes-¡+l 1."

/

_

olog,r9n1=o

,loe5.x+l2 _1+¡lloe+9 +r =o l,/

,r+12 _4log*9"2 +1=0

(,'+tf-l+t=o x2 +2x +1

+2x-l=0 -2!.4-(4\(-t) xt,z

x2

--

Las soluciones de la última ecuaciÓn son xl,z

--

i"

'2+

que al sumarlas se

)

-lx

xl,z =

2',,2

'z

q=-l+.2 'r2 =-l- '2 4 x2=

obtiene: x1

-l +

2

-l-

o)

a) ,4p(x)= o

d)

2 = -2 . PortantolaopciÓn"d'escorrecta'

¡p (r)

=

(o,ro)c,ep(x) e)4(r)s

c);Áx)c(lq.o)

[o,to ] [o,ro]¿

SOLUCIÓN: Expresando todos ros

tn"',**l:*.:j.?t::: (loe,

zl

'o*.

l"'.

'

(tog..

l'l

z)2 *

lo*,

2

2 log* x- log". 2a (logrz)2* logr2 =o 1- log, 2 1-4log,2 log, x- log,

Si v=logr2

entonces:

,2v+ 1-v l-4v ={} v2(l-4v)+u(l-u) --=u (l - v)(l -av) 12 *4v3

+v-f2

=o

v-4v3 =0

v(l+2u)(l-2v)=g

296

tenemosr

[''r' ,l

,J

G..Jd,l =o

lr,"*., - ,n lz*t* Nol I

m-il

lr=.1

lx=4

2

|

E;-lt |

v(1- 4v2)=a

v=0 v v=-l

r",

l*l 'ot' 1 l= o

I ,l

Resolviendo, tenemos:

.

,''*'' = ,- I

l,=: l--rl l"-o

I

I

I

l*isés Villena Muñoz

Cap. 70 f unr.í,ów Ey+o*enoúaLt Las soluciones

son

4 y .l;

, por

I f u,r,uc,íów Log,aríhn ícw

tanto la opción ,,b, es correcta.

re¿u.dtt9 Dado e! predicado

!

que: a)Ap(x)= g

b) Ap(x)

d)vxp(x)

e)Ap(x)s

g

[1,

'10]

Re=R, entonces es verdad

c)Ap(x)E

[-10,10-11

[10-1,10]

SOLUCIÓN:

Expresando en una misma base,

cambio de variable:

=

r3)lus*

'' [o.j

13 t¡

1

"s-'

[+,] Entonces:

4 3

-[¿./ [¿,1 -l¡)-' X=

ai

y reemplazando nos queda:

r3.)'o**

l gloex _

En la

luego hacemos

1g-l

I

l0

;r+ log. 2 ecuación: olog.

64

b) log

(2t3) c) Z

-, 3tZ

d)

, de x " que la satisface es: e) No hay valor posible de x

el valor

El número de elementos del conjunto solución de la ecuación:

-\) *:r-o]a)0 b)1 c)2 tog[*2

rog(llr)= tog(2x+ó)+togx

d)3

es:

e)4

297


C

Sea Re =

li(

a+.

7

O

f ot vtoíow E r4 onenoiú y f ut nr,Íów Logañhn ínw

predicado p(.r) : log(2.t

y sea el

- )t

tog(x

-

z)

-

tog(r + z)=

rt

Entonces el conjunlo solución de p(x) es:

a)t-1,

3i

b)

t+',log ,[(r*,I-t]togt=o solución de la ecuación e

El conjunto

a)

R*

b)

R-

{0i

El conlunto solución

a)

R

b)

R-

c)

(-cc,ol

de: c) {

log (2x-1)

*11e8}

i

e) 0

log (x) =

2; xe

d) { 0

d)

0

R

a)1 b)2 c)3 d)4

La SUlvlA de las soluciones de la

b)1

a)0

9.

25log5

d)O

c)5

a)10

b)1

1

la

es:

3

es:

x

-3log3

e)10

5x

* 'olog6

ecuación: log(t - 2)+ log(x + 2)= t¡q(39''¡- t tt d)3 c\2

Hallar el conlunto solución de la siguiente ecuación:

10. La suMAde las soluciones de

es:

e)5

Lasumadelassolucionesdelaecuación:

a)2 b)33

{-3}

e) i1/e8}

La solución de la ecuación: log3(-t + 2) + log3(2x + 7) =

8.

e)

d) {1}

c) {3}

{-1}

roe2(,2 * z) = rou r, (.,2

-z)*

z

ecuación:,¡,.2logx = -t3 .r,

0

c)

I

o,

too

11. Hallar el coniunto solución de las siguientes inecuaciones:

/5\r"*" +l/2)''*''

l- | '\2)

a)

29

\s/ I

l0

b)log,r_loe..r=2 ' log, 2

10.6 INECUACIONES EXPONENCIALES Y TOGARÍTMICAS para el caso de inecuaciones con exponentes o logaritmos

la propiedad de las funciones estrictamente crecientes [r,.r, *f(.r,)./(r,)] y la propiedad de las funciones estrictamente decrecientes [x, < \ * f'(*,), /'(r. )] .

considere

re,x*e.ltt

1

Encuentre el conjunto soluc¡ón de SOLUCIÓN: Aplicando propiedades:

,_ 4&i) < 4 2* 2:(* i) . 2: Zx+x-t

22x'r

<22

a2z

Aplicando la propiedad de las funciones estrictamente crecientes (se preserva el sentido de la desigualdad con respecto a sus argumentos):

298

llcisés Villena Muñoz

C

qp.

7

O F otnr,Íów E xpovtz,noídt

y

l

t

tttoúó* Loga,r ítyn íca,

2x-l<2 2x <3

r%,Lelta2 Encuentre el conjunto solución de SOLUCIÓN: Aplicando propiedades:

2.,.,*t(2,)-+
-7)'-4'o l:-q)(zy+l)<0 2)'t

It,,r/ / / / / / / / / / /l A

_t

l-f

Entonces:

-!
-+<2'<4 Esto lo podemos averiguar haciendo uso de su gráfico

i' uj I

'll

T---*-

I'

i I

:l I

-t-..--:-.I Por tanto

lít

l.r <

I

I

l.cl

Encuentre elconjunto solución

de lry1,*

<{

.

SOLUCIÓN: Considerando que log, I = 0 y aplicando la propiedad de las funciones estrictamente crecientes (se preserva el sentido de la desigualdad con respecto a sus argumentos):

299


C

ap. 7 A f ot ttc,úów E tq ofip.noírd/ y 7 t t nr,úów Loga,rífwú6, log,

-r < 0

logrx
Encuentre el conjunto soluc¡ón de SOLUCIÓN: Considerando que logr t = 0 y aplicando la propiedad de las funciones estrictamente decrecientes (se cambió el sentido de la desigualdad con respecto a sus argumentos):

r<0

log,

log, x<1og,1

NOTA: Recuerde su gráfica

roruP)tü1

Eít

Encuentre el conjunto solución de SOLUCIÓN: Aplicando propiedades:

log:r¡:r + logr, (x + t) log:Ji [x(x + l)] log:.,r

. 2logro 2Jl

[x(, + 1)] < log,s QJ\'

Como la base es mayor a uno, por tanto estamos ante una función creciente, la desigualdad será en el mismo sentido para sus argumentos

x(x x2

+

r¡<

(zG)'

+x<20

x'+x-20<0 (x + s)(x - 4)

-.0 I

i ----T------I

Portanto

t¡
NOTA: Recuerde que no se define logaritmos de números negativos

reA,uP)tC2 Encuentre el dominio natural para SOLUCIÓN: En este caso tenemos:

300

Iisés

Villena Muñoz

ap,

C

1

O I oulc,íów

E r4

oron c,íatt y

F t t nr,úów

Loga,ñhüira/

log, (,r' - r)= o 1

log, (r'-t)> Iog, I 21 Y como es decreciente

o. (r' - r)= r Es decir

0
A ¡, -l
Resolviendo por separado Entonces

00 t ¡ I

...,.++++

x<-l v ¡>1 Por otro lado

¡'-l
o

¡

I

-i---J, < *. Jl Haciendo intersección

Hallar el conjunto solución de:

1.

g(,t*ut-.'r) >3

2.

32'*1

3

log" (lx

4.

0<

log,

(3.x +

3)<

5.

log, (2r

- t)-

log, ("t + 2) > 0

-26(2'

-:l*

)-n.o

t)>

z I

301


C

ap.

7

O f u,nr,íów

f

encial y f umc,6w Log'ar ífun í,cw

tcpon

6. ¡z(log(-r-l)-2)=0

r\

7 sngllog,(r+l) ll=l \,)

LA.Z PROBLEMAS DE APLICACIÓN Analicemos los siguientes problemas. ?

rol>l*rma, re¿4'Lelta

7

Una compañía está ampliando SuS ¡nstalaciones, y tiene opciÓn Para escoger entre dos modelos, cuyas funciones de costo son, respectivamente:

C1i.r¡=3+log(2,r+40,5)

Y

C:(r-) = 2+ lo9(60'r+5)

donde x es la tasa de producción. Entonces, la tasa x para la cual los dos modelos tienen el mismo costo es:

15

10 c) 20

b) a) SOLUCIÓN:

d)

-15

e) -20

lgualando costos, determinamos el valor de ".r " buscado: C'1

3

(r) = C: (r)

+ log(2r + 40.5)= 2 + lo9(60r + 5)

lo9(60,r+ 5) * log(2.t + 40.5¡ =

lon '

6o''*5 2"r + 40.5

6o.r+5 2x + 40.5

3

-

2

=l =lo

60.t+5 = 10(2-r+40.5)

60x-20"r=405*5 40-r = ,100

x=10 Opción "b"

Los siguientes problemas se refieren a modelos de crecimiento y de decrecimiento exponencial. rol¡l,e,ma, rc/ttÁP,ltü 2

?

(ca I c u

I

a

do ra)

La población del planeta en 1976 era de 4 mil millones y estaba creciendo a un 2o/o anual. Si esta tasa de crecimiento sigue vigente, ¿cuándo alcanzará la poblaciÓn los'10 mil millones. SOLUC!ÓN: En la sigurente tabla anotemos la población que tendrá el planeta, año a añ0, a partir de 1976. POBLACIÓN (

Año 1

976

0

Po

1977

I

Pu * 0.02 Po =

978

2

979

J

P¡ (r + o.o2)3

t

PQ)

1

1

302

P1¡

=

P

)

'1 mil millones Po

(l + 0.01)

(l + 0.02) + 0.02[10 (l + 0.02)]=

= Po0+ 0.02)'

P0 (1

+ 0.02X1 + 0'0?) =

1'o

(1+ 0.02)2

hsés

Villena Muñoz

C

ap.

Entonces la función

1

O f uww,íów

E r,p

Fl)= 4rñrlnos

orue,rcb* y f ut nr,íów Loga,r ífw,úca,

permüe catcurar la pobtación det ptaneta, en mites de

millones de habitantes, en cualquier año a partir de 1g76

Para hallar

"I"

sea de 10 mil millones de habitantes, hacemos

cuando la

lo

l0 = 4(1.02)¡ 2.5 = (1.02),

log(2.5) = log(1.02)r log(2.5) = rlog(1.02) los{ 2.5

t-

I

log(1.02)

t=

46.3 años

Un modelo de c RECIMIENTO EXPONENCTAL está dado por la siguiente función: Y(t) = 11¡ (l + r)/ dOnde IJ¡ = valor iniciai y / = tasa de crecimiento.

r.'6(l+r)'

Si tuviésemos

un modelo

ccuación serÍa )'(/) = )'s (l - r)/ ? rol>lpmâ,,

de DpcRpctnlIENTo ExpouBNCIAL, s1¡

(¿Pon auE?) (¿CuÁr, sERÍA su cRÁFrcA?)

re.wdlfu 3 I calculadora

Dos periódicos que compiten tienen circulaciones de 1 mi!!ón y 2 millones, respectivamente. Si el primero aumenta su circutación en un 2% al mes, mientras que la circulación del segundo decrece en un I% al mes, calcule cuánto deberá tra,nscurir antes de que las circulaciones sean iguales. SOLUCIÓN:

rlr*r".

;.f¡)

a la circulación mensual, en millones de ejemplares, de los periódicos.

La información del primer periódico

es: 16 =

I

y su tasa de crecimiento

es r. = 0.02 . Entonces

= l(l + 0.02)¡ = l(1.02)¡ La información del segundo periódico es: ).6 - 2 y su tasa de decrecimienio es

su función circulación, es: J,(/)

Entonces su función circulación, es: .r,(/) = lgualando las circulaciones, tenemos:

2(l

- 0.01), = 2(0.99)¡

r = 0.01.

.

303

tlcxses Villena Muñoz

C

ap.

7

O f uww,íáw

E xp

wue,rw,ídt

y T u,nr,íow Logar íhn ía*

(r.oz) = zlo.se'f

Ir.ozl * (o.ssI

f r.o:

f

( o.oo

7

, j,=(r+0.02|

l'ol

'f o.qe )l' = looz

loof

log3

't=

t.,"(

"(

=?1

t'oz

?

1,=

z(t*o.ot|

-+

1

o.ee

i

RESPUESTA Al cabo de 23,2 meses

*bt 7 A I

? rol¡lprwy ? ro? un

1.

.

(Calculadora) El volumen de ventas de una marca de detergente disminuye después de una campaña publicitaria de acuerdo a la fórmula

r(r)= zso(r'if I

, donde

t

es el tiempo en me§es.

campaña está planeada para cuando el volumen de ventas haya caído a dos tercios ¿Cuánto tiempo debe pasar entre dos campañas sucesivas?

2,

de

La

siguienle

su valor inicial.

Un científico ha determinado que el crecimiento de cierta bacteria está dado por la

.f.l.r)= ,t.rt-3,

donde

,4 es el número inicial de bacterias

funciÓn

que hay al tiempo , = 3. Entonces esta

cantidad inicial de bacterias se dupiicará para:

b),=

a) t =6 e)

':'

c)

i = ln2-l

d)

r=2

r=lnl+3

laarc*]fuqwy '1.

Er

coNJUNrosoLUooNderaecuación

log(3'r'-l)+ .rj -2-,

a)

2.

{ot b) lrl .)' {l} t2) Sea

./

]:i 'L.rl

d)


e)

3't*1

-l

=-r

o

./(.t) = 2-

' - I , entonces es VERDAD que:

b)rg .7'= (l.a) e) rs .¡ = (-t,o)

.t.=(-n"-\ d) rg r - (o,r)

a) rg

,es:

c) rs

{

2r-2

/

=

;

I

Sea

./


tr.r=l

regla de conespondencia

304

de -r =

l'(x) es:

r,ol

x>¿l

-4<-r<4,

-t!

t- -1-x -4

(-

;

.v<*4

entonces la


C

ap.

7

O F u*'¡t Oów E xpot tpno¡nlt

f u.tv,íów L ogar ífur,Íra,

r'.1

t- t [:t:,

o>x:{ a.¡ tl.r =] ' . , {rr<0 I .vs-.1 l-a-.t+{: I ., : r>.1 | :'c) lr.rr=j .\' : -.l<.rs.l -a-x a: xl,.l [, f |

I

.- ¡ -lt-t:

b) lt..r

=

{

d) rtxr =

I |

i

i

.r>J

or't 'l e) ./i.rr=] -t' ,J
I

4.

La regla de conespondencia de la función ¡'

es:

a)

./(.r) = logl

.r

b)

./1r¡ = 1eg, '

c)

/(x)= -log ¡ .r 2

d) ./1.t¡

= ¡69,

.¡

e)

/(.r) = loga .\"

1

5.

Sea a)

d)

6.

.l'

una función de variable real tal

rs ¡ =[t,,,J) ¡-'h)=o* rrol

La regla de

que I (x) = 2r-3

b\ Dom

-1

,

entoncesesVERDAD que:

c)¡'-r(¡)=

.l'= (- l,.o)

e) ¡-¡13¡=s

conesponc

de la función

/t:l

/'

l 2

1

0

es:

a).71r¡

= log 1 (x -

3)

2

d)

t(rl

= log ¡ (.r-+3)

:

b)

/(r)=

logl (r+3)

c)

fl¡l=

log2(,r + 3)

2

e) 71,r¡ = Iog

¡ .r + 3 2

305


a+.

C

7.

1

O f unc,úów

f Q onn rcídt y f

t

t

nr,Ú6w Log'añfun

írnt

Una de las siguientes reglas de correspondencia conesponde al gráfico adjunto, identifiquela:

a)

.fk)=

log2

b) .ll.r) =

r

+

I

+

I

:'-l

c) .¡1rt= krgl(r-l)

d) ¡1.r¡ =

:-r - t

e) ¡(x)= 2-r 11

n(il |

sea el predicado

2x+l

16-1,

l*+i=

entonces su coNJUNTosoLUclóN

a)[] ul {-r} c){-5} o tz} 9, Si log,rZ=tr

e){2}

10. LaSUMAdelassolucionesdelaecuación:

a)4 b)6 Ol

")I 2tog'(z)=, ;r>l,es:

Ai

e)3

La suMA de las soluciones de la ecuación (tog3

d)5

a\2 b)10 c)8

DE

/

yg

d|22

cl2'

alz b)e

funcionesdevariablereal

CoRRESPoNDEN0A

de

(/

*)2 = log3 -r2 , es:

e)g

12. ElVALORde"r'quesatisfacelaecuación:

13. Sean

108).s,

V logu3=l¡;or0¡a*l.Entoncesel vltonde

a); b)6 c)3 d)i

11.

lp(r)es:

ln(og,

Z)=-l,e§:

e)2" tal

que,

/G\="2' +3 y g(x)=ln3;r.EntonceslaREGLA

g) es: "

b)(/.g)(.t)=¡al d) (/ " sxx) = 8r

(./.gXx)=¡2+3 ;.r>0 c)(/"sX¡)=9x2+3 ;¡>0 a)

e)(./'SX.r) = In3¡+3 ; ¡ > 0 14. Sí loga

3=

m

Y

a) 2m{n+ l\

logl7 = /, ;entonces log221 b) 2mn +

I

c)2n

15. Sea las funciones de variable real conespondencia

a¡(¡. g|.tl

=

de (./.

gX")

es igual a;

(n + l)

f(x)=zx

d\2m + n

y

g(r)=tog2'.x2

c)(/" g)f¡l = .. r) +2

¡)U "sX*l =tosz

22i

d)(l'eI'')=losu

x2

l'(x)=

rot':z*-d .

x+2

a)[¡,*) b)(-2,-r).,(:,*) c)(-.o.2)u[,¡] d)[-r,*) Seael predicado

,)

18,

[]

log{3x)2r

t

+l -l

esel intervalo:

e)(-2,-t)u(o:)

Entoncessuconiunto solución,4p(x)es:

cl{r.-z}

{:.-z}

Una expresión equivalente

,,' log r+l 306

p(x):9x -3r -6=0. u¡

*2

(f " gl-rl

16. El DoMtNroNATUMLdelafuncióndevariablereal

17.

y, entonces la regla

es:

2 x' +2

e) No es posible encontrar

+2

para

2

log.x + x log3

. loc3'.tl Iog .t+l

. b)

e¡

- | log(-r + 1) es: c)

log

»-1

{-t,t}

de


ap. 70 I u,rwíów E xpanenr,íal y F uutaíow LogaritmÍca,

C

d)

l¡,

(3't¡2t .r+

19.

.

lol.l-i

Sea /una función de variable real. con regla de conespondencia

l-l(.r)= log:(r-l)-l b) I -l(.) = log:(r+ I)-l a)

20. Sean /y gfunciones

a)

, -t

/(.r)

=

.r

r-l * r

; entonces la regla de

ss

lr'>

r

d)

/ -l(.r) = logrl-r*2¡+l ;-r > 2

;.r.>

-l

e)

I -l(.r)= log, (.r *:)-

I

:-r > 2

l-l(.t)= log:(t-l)l :.r>l

c)

tales que

¡L\

/(r)-l'iit/ -:

:

,l

lll)+91-l¡

o)[,

fa(.r)

= ¡+2 , entonces es FALSO que: c)(l gX-l)=()

e)(s /X0)= l

,]'-''="

Dada la función de variable

a)(ro.,) o)[ro.-) Sea lafunción

Y

b)(/ .cX*l)-;

4

real .11¡) = log I 0- x

ES:

22.

lo:.r.r]

krg "v+l

I

conespondencia de la función inversa

21

t

, entonces el MAXTMo DoMtN¡o postBLE de la función

n)(*.".tg)

c)(_ 10.-)

e)(-,:,rg]

.f : i.-> R

r<-l

Ilrg(-')

con regladecorrespondencia:

l(*)= J ,, _,

_ I <.r <

[-(r+l]

{)

.Y>(]

entonces una de las siguientes proposiciones es FALsA, identifiquela: a) 7 (.r) es b) es biyectiva.

sobreyectiva.

c) /("*) es una función decreciente e)

; (x) es una lunción

23. Sea

I

/(x)

o)

r(:)= -¿

impar.

una función de variable real con regla de corespondencia

./'(r)= loe1

2*r,

entonces su

GRÁFICO CS:

if,,

307


C

24. Sea

/

6Q. 7 O f u,nr,úéw t WotrP.nofdr y

entonces Ia REGLADECORRESPONDENCAdE

(.,

r<0 Í2'+t ; J(r)=ir*,ou, (r* r) ¡>0

/(,)=

[:

rl''I +l

[r

c)

Il l'(.., = l\

2

.r

b\12

a)-12

26.

:

x<0

(r+lI

x>o

2logx --log

La SUMA DE LAS SOLUCIONES de la ecuación

si

rogu m

=.r y

. Entonces la

27. Sea

f

a) Dom

/

d)

b)

.. I

c)

expresión:

0

r>0

esl

togrrrl*n3)

es EoutvALENTE a:

'¡

.2-t-3t'

.t- -J'-

e)

.)'

una función de variable real, tal

J'= (-1,*)

que /(.r) = 2'-i

-

l

, entonces es VERDAD que:

c)l no es inyectiva.

b)/ es decreciente.

el

es par.

,s.f =(-t,*)

po Una población de bacterias crece según la fórmula P = 13¡

r

r'< {.'.

d)24

t

a1

a).r-l' -'3r-'3:

3

192 + lug

c)0

log, z = l,

''. ":'

[

e)/1,)=][l,J lz+tog

-t<0

Ir'-'

x>-(l

ES:

.r>0

¡(.')= 1l*lu*,

d)

t, . ..

/

conespondencia

.'

ll,ll. ['tÉ,

I ¡
/

tI l:-log,('* [:

25.

Loga,rífin ioa,

una función de variable real, cuya función inversa t¡ene regla de

x>2 flou,(..-lI ll l-l(r)={r 'Ir*-l ll ' -lr x<2 [(zl a)

F t t rwíów

'1'l

s

, donde Ps

es la población inicial y

el tiempo en días. Entonces esvERDAD que, la población se duplicó al:

c) Segundo dia

b) Tercer dia. e) Sexto dia.

a) Cuarto día. c) Quinto dia

El volumen de ventas de cierto producto está creciendo exponencialmente a una tasa del 12

o/o

anual' Si

el actual volumen es de 500 unidades diarias, entonces el tiempo que se demora en alcanzar 1000 unidades es:

30.

a)

t= 25.ln5I anos

b)

d)

/=1In2

e)' r =

años

La SUMA de las soluciones de la a)

308

'i5¡=

3

-5

b)

-3

I

I

In

años

ln2 ln1.l2

anos

ecuación log(x + 3)+ log"t = I

c)

c¡r=?ln2anos

0

es:

d)

2

e)

3

t,loisés Villena Muñoz

1 1.

Ca+. 7 7 f t t yt¡,íatwy Pd¡,nam:talp*

1

Dprrrlcrór

lL.z,Don¡ruro 11.3 Re¡yoo LL.4 Cpnós DE LA runcróN 11.5 DrvrsróN DE por,ruouros

t 1;6 TponpMA DEL Rpsu¡úo LL.! TponpMA DEL Fecron

11.8 TponpMA FUNDAuENTAL DEL ALGiEBRA

*L.9' Mur,rrpLIcrDAD

'

i

Los polinomios prresenton propiedades irr@rtonteg'y.pueden sei eipregf&ireí olgebioicos 9r" ,|ogf,,,l'l,an regÍ.o a" ,oíriqfusacia dé funciones de vorioble reÁ'., por lo tonto le.dediconr& estc cA!ítulo goro su estudio. Auqqug no lo vomos o t¿rminor-carrpletormrite.p"rosr_{rps o dor nociond¡ bdsigos gue con oyudo aál cab$o Diferencíqt s,e 16r.,,.qun onólisis

completo.

n

"*

109


C

ftmmfi.--

ep. 1 1 f t't nabr¡ey

? ol,í,rwYn

ídt*

-.,

5E PRET€NDE QUE EL E5TUDIANTEI

. . . .

Defim y corocterice a lo función polinomicl. Apligue el tearet¡wdel residuo, el teoremo de fqctor y el teoremo fundomentol del Algebro. Obterqo los c¿ros de um función polinomiol. Apligue el procedimienfo de división sint¿tico poro obtener de ser posible los raíces de un polinomio.

11.1 DEFINICIÓN iea

f

uno función de vorioble reol. Entonces

/'

es uno FUNCZóN POLJNOILIAL, si y sólo si tiene como regla de correspondencio un polinomio de grodo " n", es decir:

f (x)= a,,x' + Q,,-,x"' + a,,-'x"' + "'+ a,x + a,, donde

a*,(\Ft,q¿;' \,rq eRna,, *0arreNurl0l

En este grupo estarían las funciones lineales (y = tnx +ó ), ias funciones cuadráticas (-t' = ax' + bx + c) y la función cúbica (y = xt), que ya estudiamos anteriormente.

f(x)=-r+l

/(.r)

3r0

=

r

fihisés Villena Muñoz

Cap. 7 7

F t t*¡r,íoytoy

?d,úytoyttb)oy

Por ahora, sólo podríamos justificar la grá{ica de una función polinómica de hasta grado 2 {, <2). Para funcioñes polinómicas de grado mayor a2 (,n'3]', se requieren otros criterios; los cua-les se los tratarán

en cursos posteriores.

Sin embtr8o, podemos desde ya

para funciones polinomiales.

tL.2

ir

estableciendo preliminares útiles

DO1IIINIO

El dominio natural para una función polinomial los números reales, es decir:

f

, es el conjunto

de

11.3 RANGO función polinomial son tod.os los números reales, es decir:

f

,

I el rango de una función

es nn intervalo de la forma

ry,

I

IT.4

CEROS DE LA FUNCIÓN Los interceptos de la gráfica de una función polinomial ".r', son las raíces reales de la ecuación ,f(¡) = 0.

f

co¡-

el

eje

Ahora veamo§ ciertas nociones que nos permitirán fundamentar temas en torno a 1o anterior.

Recuerde que se pueden sumar, restar, multiplicar y dividir polinomios. Pero, en especial la división de polinomios nos ofrece

resultados interesantes.

11.5 DIVISIÓN DE POLINOMIOS Suponga que dividimos el polinomio polinomio

ffi,

entre

el

entonces tenemos: Diuidendo:

f (x)

x' -3x'* x*

Divisor: g(x)

-x3 +Zxz

ll

x-2

5

xz

*x2 +x+5

- x-l

Cociente:C(x)

x'-2x ll -x +5 x-2 ll*ofiuo,, 3l

I

C


ap. 1 1 F t ww¡bne*

? ol'í,vtoYn

íd**

Es decir:

xl-3xl+.r+5 :\x--'r'-'' i, ,)* 3 -*-, x-2 En general, se podría Precisar que: O

1o

que es 10 mismo:

f

(x) = c(x)g(x)

f (x\ =c(x) + r g(x) g( x )

+r

Que para el ejemPlo sería:

xr-3x2+J+5=(x2 -x-lXx*2)+3

"5i el residuo es iguol s cero, se dice entonces ue f(x) es divisible poro s(x)" g(x) puede ser cualquier polinomio de grado menor o igual al de ./'(x) para poder expresar la división como de la forma anterior.

Cuando

S$) es un polinomio lineal de la

surgen

forma

algunas particularidades muy singulares'

El residuo se 1o puede calcular rápidamente empleando

e1 siguiente

teorema.

11.6 TEOREMA DEL RESIDUO S¡ un polinomio f(x't 3e divide entre " *-n", entonces el residuo es f (a) .Es decír r = f (a). DEMOSTRACIÓN: La división de un polinomio

/(x)I entre otro polinomio g(x)

se la puede expresar de la forma:

g(x)= x*a, f {x) = c(x)g(x) + r / Supongamos que f (x) = c(x)lx - a)+ r Calculemos ahora f (a). Entonces f(a) = c(o)lu - ú)+ r = o + r = r portotanto

r = .f (a)

L.q.qd.

Para el ejercicio anterior:

r= p(2)=(2)t -3Q)'+2+5 =8*12+2+5

-3 312

entonces


Cap. 7 7 f u,nr¡bne* Pd,Crton ¿dpy

Por otro lado, si quisiéramos saber a qué es igual el residuo al dividirlo ahora para -r + I , bastaría con calcular f (-l). Es decir, r = f(-l)= (-t)' -3(-l)' +(-t)*5 = -t *3-l +5 = 0. Lo cual se puede comprobar realizando la división:

-t'*x' ll -4x) +x+5 4x1

ll

+4x 5x+5

-5x-5

ll il Por el resuitado anterior, decimos que

para " x +1".

,,

xi -3xr + x + 5,, es divisible

Esto último nos sugiere presentar ahora el siguiente teorema:

LT.7 TEOREMA DEL FACTOR Un polinomio

f(x¡

tiene un factor 'x-a,, sí y sélo sí,

f(o)=0. dr:§;r:§ff,*i+S entre j decimos que .r + 1 es un factor del polimonio *3 -3*, + x + 5 como et residuo de ta división

es igual a cero, entonces .

Además, esto quiere decir que ,3 -3x2 +x+5 puede ser expresado de la forma factorada siguiente: x3 -3x2 +x+5 =(x+l)(x2-4x+5). Revise el método de división sintética para tactorizar un polinomio de grado mayor o igual a 3 y asegúrese de que los resultadós anteriores coincidan.

irl

C


ap. t 1 T ut'vwíonp* ? ol,í,nnvn íal,e*

11.8 TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ALGEBRA Todo ¿cuoc¡ón polinomiol /(x) = 0 de grodo 't nu tiene exoctom ente " n" ?oíces ?eales o comPlejos. O sea:

f(x)

= a,,x" + or-,x"'

* n, .x"-)

+

"'*otx+¿0

=0

- r, )...(x-.x,, ) = 0 Entonces J¡ , x",...,f,, son las raíces de la ecuación polinómica ./'(x) = 0 , no necesariamente diferentes; es decir, que pueden ser diferentes o = (x

-

x, Xx

iguales. 1

1.9. MULTIPLICIDAD

5i un foctor " * - (r" está Present e " k" veces en lo formo foctorodo de un Pol¡nom¡o, se dice que " o" es uno roíz de multiplicidod " r ". Las raíces reales indican los ceros de 1a funciÓn.

ilea

t. 2.

f

(x)un

polinomio. En lo operoción

El residuo

r=f(o)

f $)

x-a

5i r = 0 entonces decimos que: 'r f(x)esdívisible poro " x - s". i "x -g" es un foctor de f (x). Y " a " es uno raíz de -f(x) = 0, P El polinomio se onulo cuando .Y = a , es decir f (a) = 0

El valor de " /, ", tal que al dividir el polinomio P(x) = Zxi obtenga como residuo -1, es:

alz

b)

1

c)-1

d)0

*

l¡xz

e)'5

SOLUClON:

residgo = p(1)=

2(l)r +k(l)r Aplicando el teorema del residuo, tenemos:

-l

-(l)*3=*1

2+k-l*3=*l -2+ k: -1 Á=l

Rrspuestn; 0pción "b"

314


Cap. 1 7

F t t y,w,t:o¡,ey

Pdi,nom,ltal.ey

Rorudrc2 Para que el polinomio:

divisible para

a)z

ffi

entonces "

b) -2

rr " debe ser iguál a:

d).10

c) 10

e)0

Solución: Divisibilidad significa que el residuo

r=0

esdecir

p(2)=r=0.

Entoncesi

p(2) = 2(2)4 -(3,n -2X2)3 +5rr(2)2 -(lrr -1)2+ m :0 2(2)4

-(3m -2)e)3 + 5m(2)2 -(m -1)2* 32 - (3m - 2)8 + 20m - 2m - 2 + m = 0 32-24m+16+20m -2m +2* nt =0 -5m+ 50 = 0 *5m - -50

na

=0

m =14 Respuesrn: 0pción "c"

Roudtc3

Eít

El polinomio de grado 5, que tiene como raíces a 1 con multiplicidad z; a g con multiplacidad

2; Y, a o,es:

8) -"t -8-r3 + 22x: *24x c) ('- s)2 (x - 2)2 x

+9

b) x5 d)

(, -

-gx* +22x3 -24x2 +9x r)r

(, -

¡)',

e)(x-lXx-3)¡

SOLUCIÓN:

Recuerde

squeestápresente unaraíz,entonces:

/(x) - (, - l)2 (x - 3)2 (x -0) =¡x2 -2x+l)(x2 -6x+9)x -6x3 +gx2 _ 2x3 +12x2 -1gx+ x2 -6x+9)x - 1x4 -8x3 +22x2 -24x+9)x = 1x4

=.,5 -8-r4 +22x3 -24x2 +9x Rrspursr¡: 0pción'b"

, Aquí podemos mencionar una aplicación. Piense que obtener los ceros de la función polinomial f(x)=

15

-lxa

si quisiéramos

+22x3 -24x2 +gx

Habría que plantearse la situación: f@)=0, raíces reales de la ecuación polinómica

y de allí, encontrar las

,5 -8xa +22x3 -24x2 +9x=o

Una opción sería que por inspección primero determinemos de ser posible, un valor de " x" para el cual se anule el polinomio, para establecer un factor " x - s " del polinomio. Luego realizatnos la división para este factor.

315

Cap. 7 7


Ftt

rtt íone*

?ol,ínomídu

Ahora trabajamos con el cociente. Inspeccionamos para determinar el valor para el cual se anule y luego realizatnos la división respectiva.

Y así

sucesivamente, hasta lograr establecer todos factores

de1

polinomio.

¡'-8x'

Las operaciones anteriores para el polinomio serían:

+22x3

+9x

-8r3 +22x2 -24x+9) .t-l .ra -8x3 +22x2 -24x+9

ri"x4

ll

-7 1

x3 +22x2 13

ll

r-3

,3 *J12 +l5x-9

-r4 + ,-' *24x+9

* lx1 l5x2

- l5rl

-

24x

+9

ll

3,r-9 *3x+9

9x+9 9x

,2 -4-"+3=(x-3Xx-1)

4x2 -12x

.

+ l5.r

ll *

": -.rI + J.r ll -4x2 +15.r-9

il

-9

Otra opción sería la siguiente. Primero sacamos factor común: +22x3 -24x2 +9x=-t1x4 -8x3 +22x2 *24x+9) "5 -8r4

Para

e1

segundo factor, por división sintética, tenemos:

22-24 t-715-9 t-7 15 -9 l-8

3-12

9

0

9

U i I -4 x1x-l)1x3 -7x2 + 15x-9)

= x(x

-lX-r -3Xx2 -4x

+ 3)

El último factor es un trinomio que ya puede ser factorizado por el

método convencional y por tanto, nos queda: f

{x)=x(x-lX¡-3X¡-3Xx-l)

=

-r(-r-lIr1x-3¡r

=g

Entonces las raíces serán x, :0 con multiplicidad 1, -r: = 1 con multiplicidad 2 ;y, x; = 3 con multiplicidad 2'

316

r.brsés Villena Muñoz

Cap. 7 1 I u,ytt í,one* ? d,ínawttde*

Re,*t¡,elfc+

Eít

Para que el polinomio q(x): :r: + 3¡ - 6 sea un factor del p(x\:(m-t)xa *Znx3 +(m-n)x2 +(2a+tlr, tos vatores de m y r? son:

-'")', -l

a)

I d) ,.)

.)

v1

,)

-z y -l

b)

polinomío

)v -t

lvr

,orra,or' 4(x) :3xl

+3¡*ó

+x*2) = 3(x+2)(x*l) Entonces, decir que el polinomio p(-r) es divisible para q(x):3¡2 +3x-6 divisible tanto para x + 2 como para x -I Observeque:

Lo anterior, quiere decir

p(-2\

= (m

que

= 3(-r2

es lo mismo decir que es

p(-2) = 0 n p(l) = 0

- n)(-U2 +(2n +1X-2) = 0 l6m *16 + 16n + 4m * 4n - 4n - 2 = 0 20m+8n-18=0

-l)(-2)a -2n(_2)3

+ (m

ljm+4n-9=0 (m-1)(l)r -2n(l)r

p(1) =

+ (m

-r)(1): +(2r+ t)(l) = Q

m*l*2n+m*n+2n+l =0 2m-n=0 l10m +4n =9 deben ser consideradas

Las dos condiciones

\2m-n=o En la segunda ecuación se obtiene

Portanto

n

:2m;

simultáneamente

reemplazándola en la primera, tenemos:

n=1.

RrspurslR: Opción "e"

íerc,ír,tbReryrwT S¡ \,h;t"i

son

5

rai -. de x3 *.a¡x2 *a,x-¿3 =g (a3 ,.0). Entonces r¡ + /.r * r.; €s

iguala:

a)

b) rrl + e1 + q_7

0

c)

3

rt1

ut

et1

d)

al

e) -a1 + ua

-

Lt3

SOLUCION: El polinomio dado puede ser expresado en términos de sus raíces, de la siguiente forma:

x-i?* o1x' * o1x - a1 = (x-{ X¡_r: X¡*r-¡

Desarrollando el miembro de la

,3 * r¡.r2

*

a¡r

-a3 = (.r - t X.r.)

= (.r=

,l -rr¡rl Empleando

12

X.r

- ri )

- rljr - rt.r + rir., )(.r.-

iaa)

.\' - /i.y- -

+¿Irr*¿r.l = 13

el criterio

)

tenemos:

*(,:

r;

)

r1-r- .l /"rr-1.\-- /l"r- + /lrt-l" + tlhx

+ r., +ri¡-r2

+lhr3 + titi+

* r\rtri

tir)x-tit.tri

de

iguales, entonces; Respuesrl: Opción "d"

317

Moisés Villena

Muñoz

Cap. 77

üwpf*fot ? *§P ur¿t@. f 1 1.Dadoel

polinomio:

* k2x2

-(*+:)x3

tcr4

que el polinomio sea divisible para (x

a\1713 b) 34/3

-

2

.

)

fttntíoreyPoli,vam,íd**

1 +6tir+(r+tl*-I);*elt. e)

d) 68/3

*€:lt paraqueel polinomio p(-.),-ra +3x3 +2-r2 el binomio x*2,es: d) -10 c)0 b)-5 a) 10 El valor de

A

p(-r),et1

para que el polinomio

x+1,siendo kelR,es: a)

-3

c) -4

b)-2

4. Dada la función potinómica:

7r(....):st +

p(¡)=

sea una raiz de la ecuación a)

3

5. Dado

P(¡)=o

1/3

l0

sea divisible para

e) 5

sea divisible para el binomio

e)3 d)-1 x2 - 5at¡ + a'. .r e Fi , el valor de ln para que el valor de a e)4

d)0

:r5 - x4 + 3x - k . El valor de I

para que una de las raices de la ecuación

esunfactordel polinomio

a)2

b)

-3 k*1

T.Paraqueel polinomio hay dos valores para "

t

2(x)'2..3

c)

+2kx+k+3,entoncesel valorde

d)4

I

es:

e) -6

-(k+Z)xi- k2*2 *6/tx+(Á*r[**l)

seadivisiblepara -r

-

2

'. La SUfi4A de estos valores es:

c)

J

8. Sea el polinomio

-llx2

6

.20 b)

a)1

e) 54

d) 53

c) 48

b) 39

(x-3)

li -r -

1

seaigual a2es:

a) 55

6.Si

ttt¿t:

+

-:x-l+(t-t).r:-:-t

c)1 :

para

0 , es:

b\2 el polinomio: p(-r)

"i",

es:

c) 5113

2.El valorde

3.

Un valor de

p(x) : ox4 - 7¡2

a)

Si x>l,entonces

b)

p(2)=-2e

+ 3.r

- 5,

17

,]

-l

d)

entonces es verdad que:

p(..)r0

c) p(t)+ p(z)ro d) p(u)-p[)=:z e)

p(t)p(z),

9. Losvalores

de

o

py q que hacen al polinomio: t1 * ptz *q

divisible para el polinomio

¡2 -

6.r + 5 ; son

respectlvamente: a\26y -25

b)10y15 c) -26 y 25

d)20y10 e) -10 y -15

10. Lasuma k1

+k2

,r(r)'..1 - 5¡+ 6, a) -2

b)

paraqueel polinomio

p(r),ra-5¡3+2-rl +k1x+k'»

es igual a:

-1

1'1. Sea la función polinomial

c) -5

f(x¡=t4*r-r3-t2+:¡,

FALSA, identifíquela:

a) I (x) es divisible para el polinomio .r"l -.r b) Una de las raices de la ecuación /(¡) = 0 es 0. c) ./ tiene una raíz de multiplicidad 2. d) / tiene 4 raíces reales, e) Una de las raíces de la ecuaciÓn /(.() = 0 es 2.

3r8

seadivisibleparael trinomio

d)-3

e)-4

entonces una de las siguientes proposiciones es

ttisés

Villena Muñoz

C

12.

ap. 1 7 F u,nr,íone* ?d¡nam,t¡d,e*

Una de las siguientes ecuaciones polinomiales tiene raiz 2 de multiplicidad 3 identifíquela:

a) p(¡):+¡3*l¡2+5¡-i =o b) ¡r(.r): s-t5 +6¡4 *lx3 +3¡*l = o c) p(r):2.ri +2x2 -5¡-6=o d) p(-r):+x6 -5,r4 +3,r1 -2 = r) e) p(.t):..4 -5-ri +6.12 +4¡-8=o

El

vnloRde

n

paraq)e" d " sea una raíz del polinomio ¡r(-t) = .¡a u nr,2 *2

es:

a)1

c)3

b)2

Los interceptos de la función

d)4

-

5r,3

x+

t

1

e)5

I (.r) = .t(.r + 2)2 (.r.+ S)+,r(.r + 2f con

eje .r

, son:

'3' como raíz con multiplicidad

dos.

et

a)-2 y -5

b)2y c\0,

5

v'1

-2

T

d)0,2y5

*7

e)0,-2y

1

lDENTrFrouE la ecuación polinómica que contiene a

a¡ -r3

*s"l +2.r-l=o

b; .ri

*5-rl +3r+9=o

c¡ ..1 *s-tl-.r*9=0

+.r+l =0 e) .rl+..1 +3r+3=0 d) x3 +-s.r2

Seael polinomio

p(.t)=¡4-o.ri+Jó.Determinelosvaloresde,a,'y,,ó,,tal que

del polinomioyal dividirel polinomiopara

(jr-l)

r=-l

sea una raiz

el residuoseaigual a1.

l¡ V.t="t) b) á=-l n r=-' a)

Ó=-

t+

c)

h=lII

d),I ,r=

Y u=2

| v r=-l

a;

e)No ex¡sten valores para

ayb

Dado el polinomio ¡,,(,r) : x4

-

9-r2 + .l.t +

a) El polinomio es divisible para

b)El polinomio tiene una raiz

que cumplan tales condiciones

l2

¡2 + 4x * 3

, es verdad que:

.

2

de multiplicidad 2 c) El polinomío no tiene raíces reales. d)Una de las raices del polinomio es 3 . e) El polinomio es divisible para (.r

*

l.)

.

.

Una de las siguientes proposiciones es FALSA, identifíquela:

a)Si se divide el polinomio p(..*) : ,rl t

b) La ecuación

*

7_r

+

6 para .r.*.1

; el residuo es _6.

\t

[.t - ,f

=

c) Si sedivideel polinomio

0

tiene como ralz

aI

con multiplicidad 4.

¡t1a¡:c1 -t)u2 -3u+2 entre u+2;elresiduoes *2

319

Cq+. 1 1


d) Si se divide el polinomio e) Unfactordel polinomio

p(x) : ,t3 - 2x2 + t para "r

p(.r):-r3 *2x2 + x es

f t t nr¡bn

e*

el residuo es 0.

x-1.

Una de las siguientes afirmaciones es FALSA, identlfíquela:

6 pata x - 4 se obtiene como residuo -6 r)2 (, + r)2 = 0 tiene raiz a " l' de multiplicidad 4, c) Si sedivide ,1 -gu2 -3¿t+2 para a-2 seobtienecomoresiduo-24. d)El polinomio p1.r) = (r - 0)3x es de grado 4. e) El polinomio p(.r) = -rl * 2¡l + -r = 0 tiene a "0" como una¡aiz.

a) Si se divide

b) El polinomlo

8.

-

7.r +

b) ^r

3(r

d)2e)

l-

.

p(r) = (,r *

Envalorde m,paraquelaecuación 7^ a!,3

320

.t2

(2-

P oL,írvtorvt

í,alu

It¡sés Villena Muñoz

Cae.

f2 TríqononeÍría,

t2.L Arcur.o t2.2 , F't¡ucrorEs Tn¡eoHoMÉTRIcAs,e

''12".3

Rp¿ecrorrEs TnrcoroMÉ?RrcAs

IuwnsAs 12.4 Ver,onps DE Furcrorps TruproromÉTRrcAs nARA Áucuios

coflocIDos

12.5, L2rG

L2.7

'

; .t

oprgtIDAD ES TRIGo N oT[ÉTRIcAs ECUACTqI{E§ Tfr,rcONoMqTRIcAs TNECUACTONE§ TRreortoncÉrn¡ias I

'.,

.,, .,

á

.fxisten expiesfuies dgebro¡cos gürt iont¡e¡rLru funcione! i trigoryIhétrico¡, 9ue poro simpJifJ«ilos hoi,qry .' conáce¡a.tÉor suj ' o-: 'propiedod'es, ¡aentiaoiefy volores ionocidos. *:.' .t.

q1"

._,

?

, 8-

:á.¡

32t

C


0-g¡erues: 5E

. . .

. .

ap. 7 2

T r í4ot

one-trí.a,

,

PRETENDE QUE EL ESTUDIANTE|

Defino óngulo. engeneral' Defino función ocotado, función periódico, funciones trigonométricos poro óngulos

expresiones Apliqu¿ los identidodes trignométricos bósicos Poro determinor si ciertos o no. identidodes frigonomátricos dodos son básicaS' Reiresente en el plono coriesiono el grófico de los funciones trigonomátricos Rasuelvo ecuociones ¿ inecuociones trigonomátricos'

L2.L. ÁNGULO.

iNeuo es lo oberturo gue existe entre ?

semirectos gue tienen un Punto común de intersección. Esquemáticamente tenemo s :

Se lo puede denotar de la siguiente manera

.[x También se suele emPlear letras del alfabeto griego

I' .r -r

VÉÉica

l¡do

lnicial

4,§ I',.r T'

L2.L.1. PATRON DE MEDIDA

La i4€DfDA DE UN ÁXeUtO es lo contidod

de rotoción qu¿ tiene que reolizar el

lodo

iníciol Doro coincidir con el lodo terrninol. Si consideramos la rotación en sentido contrario al de las manecillas en del reloj diremos que el ángulo es POSITIVo; en cambio, si 1o med'imos sentido horario diremos que el ángUlo es NEGATwo. La medida de

un áLngulo

)r

se 1a expresa en:

Gneoos (patrón referencial\;

Y

lo

Para realizar conversiones consideremos la equiualencia basica:

tll


Ca,p. 12

Trí4onomeÍrín

Si se desea convertir de grados a radianes, mu.ltiplique por lr divida para tgtl . Si se desea convertir de radianes a grados, multiplique por lrig -r'divida perrá tr. A manera de ejemplos, tenemos: GRADOS

RADIANES

30

lt

45

,f

6

1

60 3

90

1t

t50

5tt

2

6

I80

1t

2r0

7x

)70

3t¡

300

5tt

6

2

3

llr

330',

6

3«)

Ztr

t35 r20

Cr*el.t.,

225

',t:)

{

Convierta de grados a radianes:

75' b) 15 c) 40' a)

2.

d) 12' e)

-330

f)l

Convierta de radianes a grados

11r

1T

at'12 h\_

n 15

5z

c)_ ,8

6 1T

_ e)'180 f) I

J¿J

Cap. 7 2 T rig,orametYía,


L2.2 F'UNCIONES TRIGONOMETRICAS.

L2.2.L

tr.UNCIÓN SENO Y FUNCIÓU COSENO La regla de correspondencia para la función seno es Ítx'tp M'x , Y para la función coseno ft¡)= &'¿, donde x denota un ángulo. Para tabular valores de estas funciones, y realizar las gráficas respectivas, recurri.mos a un círculo unitario, centrado en ei origen. Note que aquí la variable independiente '.r " representa a un ángulo

En cada posición de giro del radio vector (ángulo '-r "), la mctsl del vértice indica el valor del cosENo y la oRoeNnon indica el valor del seruo. ¿Pon ouÉ?

Para 1as coordenadas del vértice del radio vector en ángulos (posición) estratégicos tenemos:

0=sen0

0

(r\

lt

I=senl

\2i

2

I

0=sena

lf

( lz\ -l=senl tal

3r

I

2 2te

\L

A

0

,,

/

=sen2tr

I

=cos0

(r\

O=cosl lal \¿,/ -l=cosz

I

2

,, 3t¡ 2

2x

324

(v\

U=co§ \2/ 1

=

cos2r

I


C

ap. 1 2 T ríg,ononefrí,a,

CONCLUSIONES:

El seno es una función impar. Por tanto

sen(-x) = -sen.tr

El coseno es una función par. por tanto

cos(-x) = cos x

con perío do Una rurucló¡¡ Es pERtóDtcA si y sólo si Por tanto

sen(x+I)=sen(¡)

VZTII

f(x:tT)= f(x)

cos(x+I)=cos(x)

Son FumcroNES Acore»ns. Una ruruclólu

ES

AcorADA si y sólo

si Vx[z <

f

(x\ < n]

rg = (senx) = rgcos.r = l- I.l

Note que

es decir:

-l
Estas conclusiones son válidas para las funciones en su forma

elemental, pero piense cuales serían las características

'/

.l:

=

2 Sen

J, = Sen(x

'r /

las gráficas de:

X. Generalice

,

d.e

! = Asen¡

donde

A = amplilud

- i). Generaticepara!- Sen(,f

*O)

OonOe

@=desfase

= sen(2x). Generalice Qarc

)) = Sen ú, .X donde a

:

frecuenci a angular

Finalmente, las reglas de correspondencia de la función seno y de función coseno pueden ser generalizadas de la siguiente forma:

1a

!=Asen(a¡(xt@)) oonoe|,llentoncesVJ4

!=Acos(a(xtO))

I

rl

I

rol

Ejetoíaiw ? rop utc,*b,y I Z 2 .

GRAFIQUE: 1

.l'

= -.rsr(r')

= * cos(.r.)

2

r:

= sen(--i-)

= cos(* \')

3

,

= jscar.r.)l

= lcos(r)l

,325

ca?. 12 Trígalomodvía,


4. r'= sen r 5. .r' = 2:cn(x - {1+l 6. _r'=2sar(2.r-{)+l 7. y=2.rer(].r-*)+l 8. .,, = -3lscra 1r - a)l + I

r

,

L2.2.2

= .,r* l.rl

r'=2cos(r-4)+l

i

;

_t'=

;

.u

2cos(2r-i)+

= 2cos(3-r

-i)

I

+

I

r'=-jlcos(2-r-z)l+l

;

FUNCIÓN TANGENTE

La función tangente se define como

asíntotas verticales cuando

Por tanto su

cos -r =

decir en

CONCLUSIONES: {

DonlLgx)= R.- j x\2n.

t2)

D+ ;n=0,1,2" )

'/ rg(tgx) = ,R . Por tanto, no es una funciÓn Es una función periódica, con período Es una función impar. Por tanto

T = lt.

tg(-x) = -

En general, la regla de correspondencia sería

EíqrÁeÁt?roDttefu72.3 GRAFICAR: 1.

l'= -/g(x)

2.

.r = l.q(-..-)

3.

_l'= tg.Y.

4.

"v

= lrs(r)l

.)' = tg,,r

326

6.

y=rg(x-!)

7.

.r,=28(2-t+i)

acotada.

1t Entonces

tg x

T

.

!=Atg(o(xto))

0.

Es


Cap. 72

Tn4onone*í*

12.2.3. F.UNCIÓN COSECANTE La función cosecante se define como

Su

tendrá asintotas verticales cuando

senx

* 0 Es decir en .

\l \, I

+

:!'

-t Jt

I

a\

t\ ti 12.2.4. }.UNCIÓN SECANTE La función secante se define como

asíntotas verticales cuando cosx = 0. Es decir en

_*.l_*_*_. 't" '"

I ¡f"

: l¡ '

327

Cqp. 12


Trí4o*omofrín

12.2.ó. FUNCIÓN COTANGENTE La función cotangente se define como

I tg x

-

cosx senx

Es decir en

verticales cuando

I

I

t'

1

I

\

\i

\

\

I

\

\

1

\

\ \,

\

\ \

I

\

\

1

Eíe¡rÁc,rb?rvbuefu 72.+ 1.

.r,= -cot(-Y)

2'

]'= eot(-x)

3. 4. s 6. 7. B.

.r'= cotltl .u

= lcot(.r)l

r'= cotl:rl )' = co1(x -

i)

.,-=2cot(2.t+{)

¡'= 2csc(x-i)

\ 1

\

\

i28

iI

\

\ \

GRAFICAR:

1

\

I

\

I

Itisés

Villena Muñoz

Ca+. 72

Trígonomeirí*

T2.3 RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS IN\TERSAS Definamos las relaciones trigonométricas inversas y dejaremos para el lector que se encargue de definir a las funciones trigonométricas biyectivas para obtener las correspondientes inversas. L2.3.1 RILACIÓN ARCO SENO La relación arco seno se define como Su gráfica sería: y = arcsen x

SerÍa como dibujar a la función seno pero ahora con respecto al eje

y.

!2.3.2 Rttl\cIÓN ARCO COSENO La relación arco coseno se define como Su gráfica sería: /

= arCCOsf

329

Cap. 72 Trígonometrín


12.3.3 RETACIÓN ARCO TAI{GENT§ La relación arco tangente se define como Su gráfica sería: y = afctg x

L2.9.4 RTLACIóN ARCO COTANGENTE La relación arco cotangente se deñne como Su gráfica sería: ./ = arccot.f

330

Villena Muñoz

Cap. 72 Trígonomefríat

12.3.5 RELACIÓN ARCO SECANTE La relación arco secante se define como Su gráfica serÍa:

12.3.6 RTLACIÓN ARCO COSECA}ITE La relación arco cosecante se define como Su gráfica sería:

331

C


a,p. 7 2 T rí4,orwmefrí*

L2.4. VALORES DE tr.UNCIONES

TRrcoNoMÉTRIcAS PARA ÁNcul,os

coNocIDos Con ciertos ángulos

e1

estudiante puede concebir estrategias básicas

para solucionar situaciones prácticas. Para otros ángulos no nos preocuparemos mayormente, porque bastará sÓlo con emplear una calculadora. Ubiquemos en una tabla los valores del seno, coseno y tangente para 1os ángulos que ya definimos anteriormente y además también para los ángulos de 30', 45' y 60", que justificaremos luego. tgx cos.r x sen,r n

=30

6 TE

=45

4

I

3

2

-..

=6U

-)

Í

2

-)

J

2

2

2

T

0

0

0

2 I

-1

l

2

1

0

,

0

-l

0

*l

0

Cc

=90

2.

r:180 3n 2

= 2io

2n -* 360'

0

0

La trigonometria está íntimamente ligada a ia geometría. Para obtener los valores de ias funci.ones trigonométricas para 30", 45'y 6O' podemos emplear un triángulo rectángulo. El teorema de Pitágoras es de mucha a1'uda.

L2.4.L Teorema de Pitágoras

En todo trióngulo rectóngulo (trióngulo gue tiene un ángulo recto (90")), el cuodrodo de lo longitud de su hípotenuso es igual o lo sumo del cuadrodo de los lonqitudes sus cotetos.

l*do

Opu

Esdecir: c =u *lt

Lado Adyacente


Trtqotornnfrín

Cap. 72

12-4.2 Funciones trigonométricas para un triángulo rectánguIo

Para el triángulo rec

lo anterior tenemos:

Seil x _Lodoopuesto =

tgx Y para

=

»

Hipotenusa Lado adyocgntg

sen.r =

Hipotenuso Lado o{aest!

o

Lodo adyacenfe

b

a

c b c

las Cofunciones tenemos: CO§ECANTE

:

CSC,[

=

lc

senx= o

I =' cos¡ b

SECANTE,

§€C.r=

COTANCENTE:

cotx =

| tgx=bo

12.4.3 Funciones trigonométricas para 45 , 30 y60. Para 45 empleamos un triángulo rectángulo catetos iguales. Digamos a=b=1, entonces apiicando el Teorema de pitágoras de tenemos que c= lr+l: = 2 sen+)

=

l1 O

sen45"=.-

îJ cos{)'= | " O cog45'=:-_ -i2 2

ts45''*!.1§ = I &§4§4.

Para 30'

y 60. empleamos un triángulo

¡edida y por ende, ángutos de iguat medida (60.)).

equilátero

Diga*oi / = 2 ' sen

30'

(triángulo de lados de igual

L

,"n60'=

2 cos -10

ic

i0

cos60"=1 .:z .,-

tsóo:5ff ,,-

,.1

,,J

d

Cap. 12 TrOgonowwAvía,

fuloisés Villena Muñoz

r%rc,lfu La

operación

resultado:

^t

?;

bt -eÁ

d)0

c)1

Sor-ucró¡r: Reemplazando los valores de funciones trigonométricas para los ángulos, tenemos:

I

i)'.,[

-t ;.( ;)[ i) i.,[ ,' ;)

i]

l\

.[

t tl

z* *l= 'tl

--s -3-3-,2 4 4 '[l.?r

=,.Llftll

-=

3

4

BE§PU§IA:Opción "b"

Para A¡rcur,os MAyoREs A 9Oo y MElIoRts A 360", podemos considerar lo siguiente:

1. Regla del cuadrantc: Cuadrante

x

I II

o<*
Iil

n
TV

3i
T<

x.n

f(x)= f(x)

Donde

l'

f(x)=r.f@-x) f (x)=rÍ@-x) .f (x) = ltQtt - x)

= sen, cos, tg

= csc,sec, cot

El signo se 1o escoge de acuerdo a la siguiente regla:

2. Regla de los signos x , csc.r

Cuadrante

x

I II ilI ry

0<*.i

+

T.x
+

sen

cosx , secx

tgx, ctgx

+

+

r
+ +

Entonces las funciones trigonométricas Po§ITrvAs en los respectivos cuadrantes son:

334

Cqp. I 2 f rOgotlolnpfuía,,

Itioisés Villena Muñoz

Eí, Para calcular

debemos considerar que:

l. En ángulo es del segundo cuadrante, portanto su seno es positivo. 2, sen I 35' = sen(l 80o - 35') = sen 45 = ; 1

t, Para calcular


1.

Es un ángulo del tercer cuadrante, por tanto su coseno es negativo.

2.

cos2l0" =-cos(210o-180')=-cos(30')=- r'

Para calcular


1.

Es un ángulo del cuarto cuadrante, por tanto su tangente es negativa.

2.

tg300" =-tg(360'-300o)=-tg(60')=-.J

33s

Cq+. 72 Trí4onomefrín

fr¡toisés Villena Muñoz

Í, íe*rÁoíov ?

rvu t tp*tw

72

.

+

Calcular:

1. cosl20" 2. tgl50' 3. sen225o 4. tg240" 5. cos315o

para A¡ccuLos supERroRES A 360' , considere el criterio de la función periódica, es decir: f(x)-f(x-n2n). Donde "r?" eS un número natural, 1o suficiente para llevar a " r " a un ángulo entre O" y 360", y luego aplicar 1as reglas anteriores.

Ewbl i§Wilb3?,

Para calcular


sen405 =sen(405 -360 ):sen45 sen

405

-sen405

=sen45

2

=

2

Eí@b2 tg1l25' =tg(l125"-3(360")) =rg45'

P ara calcular

1. 2.

ffiffi',

3

tgl 125 = I


cos(480o-360) = cosl20o. cosl20" = -cos(l80"-120") = -cos60o =

-

1

§MIe.5 Calcular:

1.

2.

cos1080o

tg495'

g. sen 1050o 4. cosl 125o 5. tg405"

Si el ¿(xcwo

ES NEGATwO

se puede emplear uno de los . siguientes

métodos: 1.

2. 336

El criterio de simetría, es decir sen(-x) = -sen(x), cos(-x) = cosx y tg(-x) = -tgx. Y el resto de manera semejante a 10 que ya se ha explicado. Llevarlo aun ángulo entre 0" y 360", f(-x)=

f(-x+n2t)

}hisés Villena Muñoz

Cap. 12 Trí4onomefrín

Para calcular

podemos considerar que:

Calcular:

r.

cos(-570")

2. tg(-sss.) 3. sen(-tosO") a. cos(-toso") s. rg(-480")

T2.5. IDENTIDADE§ TRIGONOMÉTNICNS Existen expresiones trigonométricas que son vrálidas para cualquier valor de ¡. Del círculo unitario que nos

definir a la función seno y a la

función coseno, tenemos que: De

(JusrrrÍguerc)

aquí, al despejar tenemos que:

sen2

x = 1- cos2 x

cos2x=1-sen2x Dividiendo la primera anterior para cos'x resulta Dividiendo la siguiente para sen'xresulta Además se puede demostrar que:

De aquí se deriva que: tg(x+.y) =

/) = tgx + tg Y cos(x+y) l-tgxtgy

L_/ t$(x - y) =

x*tgy I + rgxtgy

sen(x*

tg

337

Cap. 1 2 T rOgonovnPfría,


hacemos ! = x en las identidades para la suma de seno y coseno, resulta:

Si

Si hacemos

*=!

2

en cos2x =2cos2

x-l

en cos2x=l-2sen2x

y

luego

despejamos, resulta que:

Otras identidades son:

Sumando las identidades para la suma y diferencia de los senos, se logra justificar la primera identidad.

No deje de

sen(x + Y) = senx cos Y +

cas xsenY

+ sen(x- y) = senxcas y sen(x+ y) + sen(x - y) -- 2senx cos Y

cos xseny

justificar las otras dos identidades

Ahora haciendo

338

W = mi'|x1Y

V;qtenemos:

Iisés

Villena Muñoz

Cap. 12 frego$otnptuía,

Calcular Una opción sería emplear la identidad sen(x

+./)

= sen ¡cosJ, + cos¡senJi,

sen(75') = sen(45' + 30') = sen45" cos3gl + cos45" sen30'

_.2 - .3 .2 t

z z- zl

",2(,¡*l) 4

Calcular

Empleando la identidad sen

7z

rcosl, =

|[r., (, * r) + sen (r - ¡)] (lo

,T I[

=1[r""1,!r) 2L

(lr

a)

z\l

*,",r!"']l

\24)

\24)l

Reemprazando: = 1[r"nl4)* r""lz']l zL (:,1 --"(+/l :-l

I

[.6 Jtl

zl2' -!_

2

I

|

[email protected])

,tf a)

,r

UT

-"e, ..d;l d@--

Empleando la identidad trigonométrica l;er 2, Se observa que debemos encontrar eTvalor

Considerando que senx=

I , sabemos que en un triángulo rectángulo

opuesto medlría 3 y su hipotenusa

S:

con un ángulo x , su cateto

Ca+. 72

fi¡loisés Villena Muñoz

Trígorancfrí*

por tanto empleando el Teorema de Piiágoras, podemos calcular la medida del otro cateto y ya se podría obtener el valor del coseno de ángulo

4

o=l*

=J2s4=Jto=q

Entonces

cosx=

-9=-! 55

(No olvide quer es un ángulo del tercer cuadrante por tanto su coseno

también es negaüvo) Reemplazando:

sen 2x =

b)

2senxcosx =

( z\( 4) 24 r[_¡][_; )= u

Empleando la identidad trigonométrica Reemplazando simPlemente

cos2x=1-2sen?r

25

c)

Empleando la identidad

Observe que

-12 EI"A(el 2 4l'

(tercer cuadrante) por tanto

ángulo - medio pertenece al

segundo cuadrante)¡ elegimos el signo positivo para el radical, por tanto:

Iielr ^.-r-, 'en-=*{-=\

a) senx

.M=Ê -,ü,0-"[o2 -l 2 =E=L='J* ro

b) cosx

SOLUCION: Reemplazando la identidad 1 = sen2

,+cos' ,

1+senx-coa'*

cos x(l + sen x) = =

en la expresión dada, tenemos:

sen2

sen

x(serrx

x(l+ sen x

cos

cos.r

=fgx

340

x+cos2 ¡+*en*-aos2 cos x(l + sen x) + 1)

sen

x)

r

Itisés

Villena Muñoz

Cap. 72 Tr0goawnpfría/

5

Eít

¿Qué expresión se debe colocar en lugar de "

convierta en una identidad?

a)

cscA

c)

b) senl cosl

senl

x

", para que:

e) cos,4

d) tsA

SOLUCIÓN: Dgspejando "

.r " en la igualdad dada, tenemos:

cosA cosl

2

I+senl*l-sen A= x

cos

l(l - sen l) l cos l(l

+ sen

A) _

l) cos I -cos A sen A+ cos I + sen I (l + sen ,{)(l - sen l) (l + sen

l)(1*

sen

Zcos (1

+ sen

l)(l

X=

2

x cos

A * sen l)

I T 2

x

l-sen2 A cos,,{

X=

cos2 A COS,4

X=COSI

1.

Calcular: a)

cos 15"

b) senl05' c) cos75'

dl

tgl5'

e¡ sen(zz.s")

2.

¡sx=f " , O=x<Í

calcular cosx 4' 2 3. Si cotx =-! v tL<*<2r calcula¡ senx 3' 2

Si

4. Si tt.*.L,y tan(x)=f ,rntono.encuentreetvatorde sen(;) , *t(;) 5.

Si l,=arccos(3x), 0< u<

6.

Si ser(x)<0 y

7.

La

expresión

!,

tanlx¡=.rf,

tg x + c

tg'x

clgx - lgx

cot(y)--?, sen(y)=?. arcsez(cos(r))=?

, es idéntica a:

a) csc2r b) sec2x c) sen2r d) cos2r e) tg2x

341

caP. 72 Trúgorwmefríru


Una expresión idéntica a

sen2¡sen¡+cos2¡-l I -aoa2

t

a) sen.r + cosx

b) 2senx

r

c) 1-cos2

d) 2cos.r-l e) sen2x-cosx SEN

La exDresr0n

'

al.l,

T

I + cos-r

+I + cosx sen

x

es equlvalenle a:

secf

..)

b) :ltg." c) 2cscr d) cosx

e)

I

0.

4

ctgx

equivalente ¿Cuál de las slguientes expresiones es

a)

2(cos.*

.

','S

z (' * |4')

.o,[

- senr)

b) 2(senx-cosx) c) z(t +sen x) d) 2(senr+cosx) e) 2(t - cos x)

11.

La

expresión:

2cosar.n, * [ t

a) 2tgo

l-ctr¡¿\2

"rrá

es idéntica a:

)

b) -1

c)

2

ctga

d)1

e) tga sen 12. Una expresión idéntica a

2xcosx+sen2 x-7

i-r"n'

a)senx+cosx

"

b) l-sen2 -t c) 2senr d) sen 2"r

* cos-t

e) 2sen¡-1 1

3.

¿Cuál de las siguientes igualdades e§ una identidad?

)

,

a) cos-.r-sen- *

l*)

=.or[

b) €2x=1*sec2.t

,lt\

c) l+cosx=zcos'[Z) d) 2sen2x = senxcos.Y

e)

/ ¡\

senx=co\x+

J

342

r,,J

IiÉs

Cap. 7 2 T rígotwnefrí,at

Villena Muñoz

,;2.6

ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS

Con todo lo anterjor podemos resolver ecuaciones que contengan

funciones trigonométricas.

Haciendo uso de identidades trigonométricas:

2(searcosx) =

'

rf-ll \ 2)

-l zx = 31+ nQn) 2 senZx =

Entonces

m,

entonces

,

S¡m,

entonces

*=

Si

=

rl

0 b que es to mismo

y necesitamos también

31+,

44

=

4

7

El conjunto solución de acuerdo al referencial

r.r,r,

oB§ERVAcloN: si el referencial fuese el intervab

:=,;fff i;;;;;;i . - . :-

K

tenemos

* =lL+ n(r)

=

ffi [*2a,0]

, tas

soluciones serian:

- -1

* -31-2,

=

-si

El conjunto solución de la ecuación

SOLUCIÓN: Tratemos de expresarla siempre en términos de sólo senos o sólo cosenos, en este caso será mejor sólo en. términos de senos:

3senx+2Eg{-ü =

O

3senx+2(t-sen'x)=O 3senx+2-2sen2x =A 2sen2 x

-3senx

*2

(senx -z)(2senx

senx-2:0 v senx=2

=0

+l)

=0

2senx+l= 0

v senx=-! 2

El primer planteamiento no tiene

343

cap.


TrígMrí*

Elconjunto solución de la ecuaciÓn SOLUCIÓN: En este caso lo expresamos en términos del coseno:

l0cosa

x+§e(2x.-3=A

l0cosa

x+1-cos'x-3

=0

x-2=0 (5co.'x+ z)(zcos' x-t) lOcosa

x-cos'

v

5cos2x+2=0

aor'r=-? v

=o

2cos2x-1=0

2cos2x=l

5

J' T, v cosx=tlr=*6 Itr =+.or,={-: -2 El primer planteamiento no tiene

indicado: Encu.rtre -l .orlr,.to solüción de las siguientes ecuaciones trigonométricas en el referencial

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

B.

sera2(x)-.ren(x)-2=a, xelO,Znl

=0 ,

2sen2(x)-cos¡-1

xel0,2Í)

cos2¡-4cosx+3.=0, xelO,Zrl cos(2x)=cs52(x)

,

ser(x)+cos(x)=1

xelO,Zrf

,

tan(2x)*2cos(r)=0

/\

sen(xlsenl

xel0,Zx)

,

xelO,Ztl

" l=t-cos(x)

sen(2x)=2sen(x)

, -.1-+.:1 L

9.

sen'(2x¡=1

,

,11. *t(r'-+)=-A \. 6)

/

-\l=-J3 6/

12. cotl2r-+

\

'

L)

xe[O,z']

10. z.o.[],-])=o \ )t

344

xe[O.Za]

\t)

x€[0.22]

*e[o.zz] xe[-22,0]

Ca+. 7 2 T rQgo¡lottipfTía/

I2,7 INECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS

Despejando tenemos

r"* a!

2 una buena opción es observar el grafico de la función seno en el referencial especificado

Entonces el conjunto solución es el intervalo

2 Elconjunto solución de Utilizando la definición de la función escalón, para que sea igual a cero, su argumento debe ser menor o igual a cero, es decir:

2cos¡+ aoar a

Jl

-f 2

Observando el grafico de la función coseno en el referencial especificado

Entonces el conjunto solución es el intervalo

veP. LA I rt$QYwrw,eÚf


,a/v

§ &núw?lp§[email protected] Encuentre el conjunto solución de:

i. 2seu(r-o)>t : xelo,zrf 2. flcosx]=O ; xe[o,z.,r]

,. fl.*.-]ll=,, : il

re[rr.:71

-ü

I : +. 'nt:{'.rrr*fl= 'i )l

re[tt.3,r]

larad

y

Una de las siguientes afirmaciones es rnlsa, identifiquela:

a)

cos'l' =

i

b) tu /¡ =

--' -j

c) cos0 = cos8¡ d) ,;Ósenl=cosT

e) 2.

v.r[cos x(rg .r + cor g .r') = cos x]

Laexoresión

'

+scnlr +coslr l+sen2x-cosl.r

I

es IDENTICAa:

x x

a) sen b) cos

c) sec .t

x

d) cot e)

tgr ',T " y

Sean

"

y " números

reales. Entonces una de las siguientes proposiciones es

identifiquela:

a)

Ser(.r +.r )= SenxCos-v

b) ,\r't?it=

- (b.rr'§crir

.Sc'r.r(,¡si 1

L

c)

Crrs2x

=l+Sen2x

t

,lt+cos

d) '1-rS¿r e)

Cos2t =

El valor

de

A

ir

C,¡rl, - Ser,l., A+ts-r para que la expresión

"

a) cos,r b) sec -t c) sen x d) cos2 ;r e)1

La expresrÓn a) sen.rb) cos,r

c) tg

-r

d) cot g-r e) sec -r

346

lc,r\ur r ru

+ sen 2.r + cos 2.r+ sen 2-t

-

cos 2-r

es idéntica a:

= cosr(

sea una lDENfloAD es:

VERDADERA,

*isés

Villena Muñoz

Cap. 72 Trígonomearí* (n I scn cos ll scnÍ + cos ¡\ l¡' 4A 6 \ o - ")l 4) | .ul-l

I

Elvalordelaexpresión:

es:

It*f.nt"l Lr t) )

I

I

-

4

b)-r2

slMpLlFlcANDo

c)

-3

3 d)'t2

.)

e)

'12

3cosx-4cos3x,seobtiene: sen z.r

- cos -r

a)senx+cosr

'

b)

l-2cosx

c)

2senx+l

d)2-senx e) cos -t

La

-

sen

r

( expresiónw.x+l \

sen .r + cos.r

'l

lcos

/

.r

es idéntica a:

a) tgx b) tgx+1 c) ctgx

d)ctgx -

't

e)1

/ La expresión

'

a) cot2

I

sec x + csc 'Y

l. l+tgr

,-1

]

es IDENTICA a:

)

x

b) sec2 ;r c) csc2

,r-

d) sen2

x

e) cos

2

-r

10. La expresión (t a)

-cotr[.r.,

+

cotr)

es rDÉNTtcA a

-sen-t'

b) csc.r c)

-csc-t

d) sen -r e)

11.

-cosx

El vALoR de

sen45'.tg60'.s..30',

..,

tg45''.cot60.

a)

6

)1

b)-

"

J

,7

cl

3

d)2

3

.l

e)

)

347

,,ena Muñoz

Cap. 13 l4atrírpy y Defum,ína,nfu*

13.1 Dprrrrcióu L3.2.D¡*reNsróN

13.3 Cr,esps DE MATRIcES" 13.4 louar,oar¡ DE MATRTcE§

13.5 ,OpERAcIoNEs

13.6

t3.7

DptpnnrrNANTE Matnrz rrIvERsA

:

t' ,§

Loi orregtos mátricioles permiten estruitüror muchos contenídoi moter¡dticos. De ollí su importongio de estudío en este copífuto.

349

Cap. 13 L4afrír** y DekrmÍ'na,nft*


:;Wil

§á;;#ákli;l;

5E PRETENDE QUE EL E5TUDIÁNTE:

. .

. . . .

Defino orreglo mairicial'

y

opligue lcs definiciones poro identificor motrices cuodrodos. motriz identidod, motrices triongrulares superior a inferior, motrices diogonolas, motrices simétricos. Apligue operatoria elementol con matríces: sumo, resto, multiplicoción por escolores, multiplicoción ¿ntre motrices.

Defina

Holle deterrninant¿s de motric¿s. Apligue los propiedades de los daterminontes Poro ejercicios conceptuoles. Justifigue lo existencio de lo inversq de uno motriz Determine, de existir, lo inverso de uno motriz.

13.1 DEF'INICIÓN Una motriz es un orreglo ?ectangulor de números.

Se acostumbra denotar a una tr'attiz con letras de1 abecedario, en ma¡,'urscula. Clolumna

cj

c2

0tt

Qtt

azt

d:z

R2

d¡t

alt.

R3

ca

cn

.,

A:

+ R,

Renglón

:

q,,,,

t)

*.

A los arreglos horizontales se los denominan renglones o Jilas.

A los arreglos verticales se los denominarl colutt

hi

t?;(¡.s.

::-

Al núrnero a,¡ se 10 denomina elentento de la rnatriz, donde "," primer número del subíndice) indica la fila en donde se encuentra y (el segund.o número del subindice) la columna, es decir: FILA

fi

t

i ¡ -----coLUñlNA

L3.2 ORDEN O DIMENSIÓN El orden o la d.imensión de una rnatriz está dada por la cantidad

fi1as y la cantidad de columnas que posea. A1 es una rnatriz que tiene rz fila"s y n columnas'

3s0

decir A,,,,,,, se indica qr-re

de ''1

Cap. 73 t4oúTíro* y Defurm,ín*nfr*

qtwta A:l lz LI

[-r

B=l

o

I

Lr

-l ^"

:'l -,

|

-->,4 esdeorden 2x3porquetiene quetiene2filasy3columnas.

'J2,3

--1 ^ ¿ -Jl

1 -21 I

, al r

->

B

esdeorden

3x3

porquequetiene3filasy3columnas

_) <-,

E íwoítoío

? rypue,rtu I

3

.

I

' 'ilJ':: '":::'",,,^:;,:!:) ,'T:'i;:#,; ':,:::.llT:[^ 2. Determine la matriz A¡,t =

(o,,)

Orr"L,

.raf a,, =

por ejempo con

j {f ,' I ',

CLASES DE MATRICES 13.3.1 MATRIZ CUADRADA Uno

motriz A*,u es cuodrado si y sólo sí m:n.

Es decir una matriz anadrada tiene igual canüdad. d-e fitas que de mnas y se la denota como An,,. Caso contrario se la considera r-¡.na tnatriz reetangulqr. Cuando una rnatriz es cuadrada surge la definición de Diagona.l I para los elementos a,j donde i: j . y Diagonal secundq.ria los elementos de la. otra diagonal.

Diagonal Secundaria

Diagonal

Principal

r

^ surna de los elementos de la Diagonal Principal es llama da Trq.za

la matriz y se la denota corno rr(z), es decir:

fr(A) : a, * ar, * orr+ ... *

e,,,

Dentro de las matrices cuadradas también aparecen sde matrices:

las siguientes

351

Ury. IÓ yl@{,n ;ey y VeLPf rÍ|l'wvrw¡'


13.3. 1. 1 Metn¡z

TRTANGULAR suPERroR

Una rnatriz cuadrada es triangular superior cuando los elementos que están bajo la diagonal principal son todos ceros. at3

13.3.

1.2 Metnrz Tnra¡YcuLAR

TNr.ERToR

Una rnatríz cuad.rada es triangular inferior cuando los elementos qu.e

están sobre la diagonal principal son todos ceros' 0

a2l

0

Ao*, = oit

0

oi,^

13.3.

1.3 Mernrz DTAcoNAL

Una r¡1atriz cgad.rada es diagonal cuando los elementos qne

están

sobre y bqio la diagonal principal son todos iguales a cero.

1.4 Metnrz lPrnrr»er¡ Es trna rnatriz diagonal que tiene al número 1 en toda la diagonal 13.3.

principal.

0

Arrr:

0

0

f n*o = 0

0

;

13.3.1.5 Es

lVIarR¡z CPno

la rnatriz que tiene todos sus elementos cero. Puede ser cuadrada

como puede ser rectangular. 352

Ireés

Villena Muñoz

Cap.

{o i)

o

ü lr ,{=0=

lue

o

li

? l.* o

?

tr I,

I3.4

73l4ofríay y De,rm,ína,nfu?

l]

o

IGUALDAD DE MATRICES Dos

matrices

A**n

Y B**n a¡¡ =

SOn

iguales sí y sólo si:

b¡¡

Es decir, sus elementos respectivos son iguales.

13,2 1. Determine los valores

d" h. u.ri.b

.[* z1t:t-[l -lrl a)t

[: u] [:

o'

+]

[x+l 3+r : I lz ..],'j=L; ,1. 1,j,, O'

2. Dadas tas matrices:

kr+k2+lt1

a)-i

5)

o

=l'O'

,l

5

-,-J

J-

2k3 + 4k ,) 0

I

[:

,tal que

4

k3

+2

A:B,es:

b)-;

at

;

v+ll

7

ty-2

c)j

d)

l)

l'

[rrr-- -, lB:12 I 0l

entonces el vaior

Ce

[: 4 ol

e)'')--

13.5 OPERACIONES 13.5.1 SUMA

Seon

A

nB dos motrices de mxn, entonces: lrr: B*,, : C**r, donde c¡¡ =a¡¡ +b¡¡

Los elementos de la rnatriz resultante C

a.igebraicamente los elementos elementos de 1a matriz B .

(z

A --l

(r

Hallar C =

Ar B.

i

los obtiene sumando de la rnatriz A con los respectivos

),.. v

B-

[-,

o

se

_'r),,

SoructóN:

-irl

Cap. 73l"lotríce* Y De,rm,ína,nft*


C=A+B:l

r\ trtt ( t 0

t)¡ I-

l\

i/.,:1 [-2 t -3J,., (z + t-tt l+l \l-l ll l+0 C:I(l+(*2) I + I : * t-:l.,J- [-

[r

2

I

13.5.1.1

')\ -l 01.. I

r :\

j

PnoprBr¡ADES

Seon

A*,n

,

B*,n y

C,,,

,

motrices.

Entonces:

t. A*B:B+A Z.(¿+B)+C:e+(a+C) 3. A+ 0: A , donde 6,,*,:fiñ(Itriz Cero 4. A+(- A):O

13.5.2 MULTIPLICACIÓN POR ESCALARES Sea a e lR" y lo motriz A,,,n,entonces: ú^,, : C**,,, donde c¡¡:rxa¡¡ Los elementos de la rnatriz C se los obtiene multipiicando por la constante c[ a los elementos de la matriz A . l) a:l - -l2 Ir

-r

o\

l.entonces:

3)

o)_f 2(2) -t(» o(2))_f4 -2,,1

2 3)-[rrz¡ 2t2t xzt) [z 4

13.5.2.1

6)

PRopTPPADES

n y B*,n motr¡ces; entonces: t. a(a + B) * o,.A + o"B

Seon

?.

354

A,n

(up)e:

ct(F,c) = P(c,.1)

Y a,Pelx^,

t/orsés Villena Muñoz

Cq+. 73 l4afTí,@,y y

Dermfuwntu*

13.5.3 MULTIPLICACIÓN ENTRE MATRICES Sea

A

uno

motriz mxn y sea B uno motriz nxq

(lo contidod de columnas de lo motriz

A

igual o lo contidod de fílos de lo

entonces:

A B nlxr,

'

donde c,,

,txq

motriz tr )

_Cntxg -

: e,rbrj * o¡:b:¡ * 4¡¡btj+...+

e¡oboj

Es decir, el elemento c,, se 1o obtiene sumando aigebraicarnente los -suitados de la rnultiplicación de los elementos de la fila i de la rnatriz --l con los respectivos elementos de la columna .i d,e B .

Para las matrices

A=l

(z -r r\ lt

(-t

2 ))...

I'r

Obtengamos la matriz C = AB

Primero observe que, sí es posible obtener la matriz

malriz

s

r)

r

rj:t 0 *2 -: I Jr^-

I

c

l

, porque

la matriz ¿ tiene3columnasyla

tiene3filas.

Entonces:

.l¡ .rB;.¡ c:.:

:

{ t.,

=

,

(12

\.':

c¡i

('-r

r

(2)(- l)+ t-lX0) +(lXl) : *l r',. = (2)(l) r (-l)(-2) r (l)(t r : 5 ('rr :(2)(l) t ( -l)(-.1) *(l)(i) : 6 (':r : (l)(*i) - (2X0) i (3)(l),, 2 cr, - (l)(l) +(2X-2) I (3Xl) : 0 ('r,

(':; = (lXl)+(2X-3)'

(3Xl)

Por lo tanto:

I

: -r

('- .:1t- r 1l \ /

13.5.3.1

l

/- . -:-)

I

-s o)

.,

:,J

PRoprppADES A,

B.C

motrices.

Entonces: 1. ¿(s+C):AB+AC

2.AI:A 3. aAB

-(o¿)s *

4.(ABY

: a(sc)

.a(c."r)

155

CqQ, 73


Motrír** y Denninnnk*

Las dimensiones de 1as matrices A.,B,C deben ser tales que se puedan realizar las operaciones indicadas.

Note qwe AB no siempre es igual a BA

¿Pon QuB?

TI

o -zl [-' k^ -k : lvr=l-k A:ll-r

§ean las matrices

la matriz

a) *1

l-r: t2

-3 -,1

r'l

k3 J

entonces el valor de " /t " Para que

3l

*2k

[-r

-l

r.l

-10

AB

seauna MATRIZTRIANGULAR SUPERIOReS d) -2 c) 3 b) 0

e)l

Soluctóru:

Al multiplicar la matriz

/3*3

corl la matriz

.Br*i

czt:OAcir: (''tt ct2 t''l 1¡"¡Bl,l=C¡,:=l 0 c22 c:-¡l

: $)(-2)

+

(-ftX*r)

+

(3X-l)

o¡ +

Es decir:

: k2 * 2k *3 : A

(-3)(-k)+(-2X-l) "r, = (- *)r_rr+

.r, : (- 5 ),-,

. El asunto es que C1x1

o o "¡¡J¡,¡

I c.> 1

nc12:0.

O

triangularsuperior, entonces

resulta una matriz C3,3

1

-:¡i-

rj- + )

= k2 +3k +2

{*2)(-2k)

:

:0

5k2 + k3 + 4k

:0

Las 3 ecuaciones proporcionan diferentes soluciones

k2-zk-3:o (r

-:[t

k:3v

+ r)= o

k=

k2

k(k2 +5tr + 4) = 0

& "zYrr + 1)= s

k:-2wt

-l

k3+5k2*4k=a

+3k+2:O =

{r++\t+l)=s k=0vk=*4vt=-l

-l

: *1 satisface las tres condiciones,

Observe que sólo k REsPUESTA: Ooción "a"

1.

Efectuar las operaciones:

.lz r :ll+l [o -l zl a)'[-r I + t) lt 2 [t 2 3l [o -r z1 ) ¡)ulz ttt -r ol+¡l: -'l -41 3l 0 L4 s 6l L-r 8_l

I

z 3

r-l[r-l

l4 s

óll3,l

I .l

d)

l-r tllt , -rllrl

ol-

-[-r lr oll' 'll , 3]' 14 's 6ll ll-2 0 '[ '

2

3s6

Calcule A2

+2A-31

oaru

'

-rl

rl

lr

A=ll,

21 2l

I

por tanto

sea

Ges

Villena Muñoz

Cqp. 13 t-latríaey y Deh.rm,ínanfu* At

murripricar

ra matrrz o

:l' 0,1 por ra makiz u [' -: I [c dj l+ o]

[-r rl C=l ^ '_l,entonceslaSUMA L-2 -61 a)

b)

t)

6

de

q+b+c+tl

se obtiene ra

mak¡z

es:

^\a

d) 4

e)

j

Considerando las siguientes malrices:

. (t -t tt l: B:l (4 A=l ''-[o ] 4)"":[-r

l)I r- (2\ i,J'(- l-,1, D:(q 03)

o

-]

l¡l

¿cuál de las siguienles proposiciones es FALSA?

s -l (-t t

a)A+B=( c)

A+C

.. o)

rl 7)

(

s

u ol

c-o --l - + () --3 ( rz o e)

I

noestádefinida

d)

AD :(') \ (e,

e) Elija esta opción si todas las anteriores proposiciones son verdaderas.

Dadasrasmatrices:

"=[] l,,

a¡(traf 6.

Sean las matrices:

(a+

of

b\

=Ll, :;]

A) +1AB

+ 82

,=lo t,l ,. ,=l1 _rlll l,t -1_l i:

= a2 +

encuentre:

encuentre

,,p" y,,tr'para

que

f2.

13.5.4 MATRIZ TRANSPUESTA

Seo A = (or) uno rnotriz de mx n. Entonces su motriz tronspuesto, denotodo como A, : (" ,,) , es

de nxm y se obtiene tomondo los filos de lo motriz A como columnos poro lo motriz A, y por ende los columnos de lo rnotriz A serón los f ilos de lo matriz A' .

La matriz transpuesta para ta matriz

, =,\: -rt

-l

),^-'

.,

A,

I.3.5.4.1 PROPIEDADES Seon A,,,u y 8,,,.,, motrices, entonces:

1. (A')' - ¿ 2. (¿*B)': A'+B' 3. l¿a)' : B' A' 3-57

Cap. 73 t-lotrí.e* y Dúz,nnínanfu*


13.5.5 MATRIZ SIMÉTRICA Uno

motriz

A,,,,,

es simétrico si y sólo

Para que una rnatriz sea simétrica se debe cumplir

si A' :

qle

A

ail

Eí"ttlthl,c

-:) { t , -,) porque ¿':l 2 o I l:¿ t I es simétrica [-, t -2) -z)

2

La matriz

^=li,

0 I

1246-] l.SeatanatizA:lg 3 5l [o t

obr a)

36

- a')

la SUMA de los ELEMENTOS de la diagonal principal de Ia ma-

4)

",,

b) 12

13.6 DETERMINANTE Seo A uno motriz de nxn. El DETÉP/WúNANTE de A, denotodo por iAi o tombián det A , s€ define de la síguiente monero:

1. S, Aú1=[o,,] --+iAl=a,, ot'l -- A = o,tozz ?. si A,*. =1"'t azz Lqzt

3. 5i

-)

qt:

' ''''l ,t-,-, =1o", a:2 ,,, [''

t-l o\2 L'r'

otzozt

l-

.4 = at,Att *o,rAt'*a11At1

"rr_l

Donde Aii se lloma cofoctor y se def ine como:

358

G€s

,,rtena Muñoz

Cap. 13\4afuíey y

llenorquesef*rm¿al anularlafila

i

y E rolumrra

Derw,i,rta.n** j

(_-Í-----".-¡

-,ii-(-1),*rl -\ L!

+

Ii

l,

l'

J

Entonces QZ: ., - Cttt ^

Cl¡1 -'

--e,,Qtz

ett -'

Cl¡t ir

NorA: se puede emplear cuolguier filo o columno. écómo sería el determinonte?

a

r-

¿

a::

¿ :orma mencionada para hallar el determinante se llama MÉToDo DE .re,R.ES. Si embarf{o existen otros métodos que podrían ur:¡do es general, sirve para matrices de mayor orden. emplearse. Es:e

Hallar el determinante de la matriz

2 I 4)

z

=

soLUctóN:

i s -rl I o o)

Note que es mejor emplear la última fila porque tiene algunos ceros, entonces

,-'l ) -l'..nt 4 nol i -l -l

A=3,

I 0 0 A

t4 =1. ;J

I

5

, +0+0

-¡

x1 = rfur.¡1-r;

* 1+'¡1s;]= *2 ¡

13.6.1. pnoprEDADEs

Seon A,,,

t. ',A8, -

yB

mqtrices, entonces:

,!,,,,8,

2. A' ,:',A I

A + Bt

=

A, + rBl ¿Si o no? Justifique su respuesta.

:§¡

Caq. 13l4afTí,o?Y Y De-rmÍnank*


L3.6.2 OTRAS PROPIEDADES

motriz es triongulor superior, triongular inferior o diagonol, entonces su determinqnte ¿s ¡guol a lo multiplicoc¡ón de los elementos de lprincipol. lo di

1. Si una

para ta matriz triangular superior

^

:l; li 7l [o o ],

.rr.r,rndo su determinante

menores, empleando la primera columna, tenemos: *l 4

A

=2'03 I -o*o=zk-lx:l*t+xol]=(2X-l)(3)

por el método de

=-6

¡Generalicelol

2 f ilos o columnos iguoles o entonces su determinonte es igual o

2.5i uno motriz tiene múltiplos ,,o,t.

Eíen4blcl l\ ',,

/ I' \ ,

Al hallar el determinante de la matriz o =1, encontramos que:

j

.uyu segunda fila

es

-l

veces la primer=

r : (lx-6)-(3x-2) A:0

EíelvDl§2 (-t

l,

Lo mismo ocurre con esta matriz

I

i

6

o -l o ,l

o) 2 t 2 3

l'

-,l,not"quelacuartacolumnaes+

I r-b,)l

[-r .] u e triplo de la segunda, por lo tanto

5)

l,J

A=0

iGeneralicelol

3.5i

se intercombion 2 motriz entonces su signo.

360

filos o

columnos en

determinonte cambio

u

t-s¿s

Cap. 73 L4atrír** y D*-rm,ína,nfu*

Villena Muñoz

i,.a -§_rt.=(-t I entonces l' 4 -s) o -5 I lintercambiamos las filas de la matriz A si formamos la matriz u :((.-r ) 3) \ la matriz s

Suponga que se tiene

B'=12-5 =7

1

entonces

.

iGeneralicelo!

4.5¡ o todos tos elementos de uno f ila o columno de uno motriz ¿ los multiplicamos por uno constonte k * a, entonces el determinante de lo nuevo motriz es k veces el determinonte de lo motriz A.

Suponga que se tiene

la

matriz

o,a) entonces A,: ürtazz - etze:z ora)

A:(:', ,

,

si formamos la matriz o =(0",

¡

't"¡")

[ ,,. ,

matriz

A

)

r cambio el

(multiplicamos por

/i a todos los elementos de la primera

fila de

la

entonces

,B : kq (bt * keltcg

=

¿t:: )

kA,

:

kn

y

-* k(t4

(t2t -

ct12a1 1\

: k'A

A ¿Pon gua?

5.5¡ a todos los elementos de uno fílo o columno de uno motriz A les sumomos respectívomente k veces otro f ilo o columno , entonces el determínonte no vorío.

('., si formamos la malriz respectivamente

t

veces

la

,

=[.,.

primera

a..

,)

,"1'r,,,, n.."]tou,.)

(a ros eiementos de ra segunda rira re adicionamos

tita), entonces

3ól

Cap. 1 3 l-iatríneY Y De.r'm,í,na,nfur


lBl

:

",

t(azz +

bt) - a12(a21 + tut )

= atta22+ ka1p12-at2a2t-ka12a1 = dt (t22- apa2r =

'1.

Dadas las matrices: ,4 o

1

lAl,

' -'-l , r = [ ' 2 ol et vator de: =1" 2 L-r I rl "nton..s 102 3) Lo

=|

"

a"d;r') 15

",'

a)

2.

c)

b) 3s

Calcule los siguientes determinantes:

.)

l1

:2 1 cl

¡l

s . tl i, o ol

Sean las

I

lr

matrices: [

3

a'l

.c'

dett(r.B)'

44

a)

c)

de r e lR

de

x

1z I

3l

tl 2 o -ll

[r

ol

lrrll c=Lr ,l' 'l' L0

u=ln

I

e) 44

d) 39 i3

.r

lO

x

lO

0

2*l ,l

99 =60

lr

0

e)

0

y1

oi

]x2 x - 2 3l=3'

l*

son:

,-li

d)-5 y -4

c)-5Y4

que satisfacen la ecuación:

x-2

¡ - Zl, entonces el valor 22 3) .,

'

1_l

que satisfacen la ecuación:

b)6y0

a)3y6

ol

-38

b)5Y4

5y4

Los valores

; i]'

o -r r 0 -2'

* o)"r,

b) 38

Los valores

-'l

'

'=L-0, der

12

l0

ir 3.

I

e\ 25

d) 45

5

i

son:

¡+1 ,i

c)-1y0

d) 6

y'1

e) 3y0

I

lt o 2>o,seobtiene: Jqx3 c)x> 0 b)x>5 a) x:0

Al calcular

il

7.

El valor del determinante

a)0

b)2

d)irlr3

[,o*r8 ernr-l log3 de la matriz A : | *' -z*

It I x-2

c)-6

e)x<2 tog,orl

r

d)O

2 | "s:

oll

-

e)4

T3.7 MATRIZ INVERSA

En este caso 362

la matri, A,,n-t se la llama la matriz invers a de A .

Villena Muñoz

Cqp. 7 3 l4afTícey y DerünúM,^tuy

si A-t existe, se dice que A es una ntarriz tto singular. caso ntrario; es decir, eue A-t no exista, se dice que A es lrna matriz lar.

Existen varias maneras de calcular matrices inversas, pero aquí solo lo mos a hacer empleando la siguiente fórmula: donde

Á

Esto da lugar el siguiente teorema úiz

inversa).

=Matrizde Cofactores.

(una condición necesaria y suficíente para

ta existencia de

Teorema.

rar4/e)fu7 De existir, hailar la inversa de la matriz

n

soLUCróN: Primero empecemos hallando:

lAi=-1.

=(-, (+

3 'l

-s)

Este resultado nos indica que si va a exisür la matiz

inversa, A continuación hallamos la matriz de cofactores

n=(1:" Entonces:

A-t

_

A-t

_

- r+) ) _(- s l*,-r, A" J t. -r:r +r-r)J - [-r

_i)

| (-s -4)'I t(-s -7[-3 -t) -_ z[-+

_?)

A12

=)-tAy=

iAl'

/:)

l7 l1 \7

)=

_t

I

¿) 7t rl 7)

Comprobando

¿,q'' :(-l

[+

-')tlo

rl t(t t) -l7(0

o)= (t

matriz

=f; 3

?l

3 ) r ls

,.,l

[o

o\

')

rewdfrt2 De existir, hanar ta inversa de ta

^

[2 -r

o)

El determinante de la matriz es: _ l,el = l(l) 0 + 2(_ó) = _l I

(t 2 -6) :ir', ] ; l-i] l-Íll= l-z -4 r I [*t-ol -(t) +@ ) [-u -r ') Entonces su matriz inversa

y su matriz de coractores: ,i

:

I

es:

363

Cq+. 73140úY1*,w y Defu,rmi'na,nft*


(t A-1

=-l' rll-,

z

-4

(-6 -l

-o)'

'l:

t

)

-2 -0)

-4 -r l: t 3)

Comprobando

(t

oo'=lo

o 3

l'r -r

(tt o o) (r o o) z) (-t z o) ,lo rl-'i-, o 'l= r rl u ol:lo ,ol o.J"[6 -r -r) (0 o rr,l [o o l.J

13.7.1. Propiedaqe§

ferll,W.lfu 3

:^:lr ,[l'4; I o [; ]-l [? -'o:]

d[: L d)

0l

uf cl[2 ', -31 '[-t *4

[u - r-l

SOLUC6N: Una manera es despeiar la matriz

X

, multiplicando por la inversa a ambos miembros

--4.--

.'11 l],=,

'[l :^;]

u=A,(t ' ') [o -4 o) (t z ¡\ x=l-,[o _4 o) Hallemos la inversa

Ae ¿=12

1A,=t6-t2:4 Por lo tanto

364

'l , L4 8l

prru lo cual

-al entoncerr-'= 1[t, , ,:[-tL-3 *2) 4L-3

;lt z 4

o\ -r)

,

u)

4 1l

-r -t)

Cqp. 13 Mafrír** y De,rm,í,nâ,nft*

Villena Muñoz

r%t@)tc4

rl o

_'l o=l , k trl tosvatoresde"k"quehacenquelamatriz I L-t *3k kl tnversa, son: a)2y6 bl-2V6 c)+2y+() d)2y.6 e)-2y-G Dadalamatriz

notenga

Solución: Para-que una matriz no tenga inversa se requiere que su determinante sea iqual a cero

r

0 -l

3 k i=o

-l -3k k I(li + t z)-o-1-eA k'+12+9k*k:A

+Á )-= o

k2+8k+12=0

(l+o[*+z)=e k=*6 v k=-2 RESPUESTA:Opción "e"

73.6

lz *l :l

1

I tll

. Dada la mairiz A= I

)

r

9 i , la matriz inversa de A es igual a:

rl l

r

[-r -r ;4lI

.l ,l all '10 ', lrr-rl I ? ,

0

o)

|

ai

-

-l

Ir 2 -]l lo 2,,] tl l-1

r '1

-1'

,itlz ",1

a) A

A=

:-6

+

oi

-1 +l

I

L-4

Ir 3l I r -¡'l A=l (¿BY' : Y a -l -'lverifiqueque .l 4) rl

L-3

12

3. Dada la malriz

l-u o

-rl u _4 (,

I

2. Dadas las matrices:

lz r¡ -+-l c)i¿ -4 ol

f-t , o r^l b)i-r" r ,'I I r 2 2l L,* n -,r]

lz

3

41

lr

2

0

I

14s

f : r d)¡r:l

|

,

,n" de las siguientes

B-t

A-l

afirmaciones es FALSA, identifíquela:

6)

o,

r.

o.o-l)

: :l

lsror2l

.r, ,=[ ,'

-,:,

i

I

L,r_i3,;l

l

" -l I-l zJ - íle\A+A:48 ¡l 14 L 3 _2j rl6l

4.

Encuentre la inversa de cada matriz, si existe:

,r[

3

L-r

[-

rl

'?1

bl

r :

-.¡l

,l -r lz t 2) Li

[r o ol ''lo , ,l 12roJ

36s

Cap. 1 3 l-latrín* y Defu.rutÍ,rrottft*


lr z

oll+

-l tr) -3 0 3l ILI 0 -1 ,) Ii

Ir "l l2 lr

t1

, ul

lt8el 5. Dada la

matriz [ ,.*r, x-l loc,t

a+ -ll-,1 = -ol

lon

Entonces su MATRIZ INVERSA es:

I

L''-'[l ) lto -l -¡l -\ oJ r¡ t n-'=-'l-o 3ll-, ,', -ol L_') d) ,[to -o -tl 't-t='l-t

ll

''L-, 8

6. sea ra matrtz

o

8

e) A no tiene inversa

-31 - nl

entonces su MATRTZ TNVERSA, es:

[l i

:],

:l

I ¿ -o tf , ol ¿t=-Ll-z r{l '-L 3 3

3l

-ul

I

-61

tl d) ,Io -6 ',q-t='l-z ¡ ¿l "L

,

3

Determine la matriz

8.

Sea

I

que haceverdaderalaecuación

r"u,.,r,,

^ +l =lt L4 el

b)

[?

-t,-l,

rl 2l rl

rzl A, +2A_3r __ll2 ,u]

á.l. "nton.",

el

vatorde

i]

('- ") , lo-¿) "r'

d)-3

c)1

entonces

el

valor

de B e IR

para que la

d)2

s:l

12.

It----ts 2

rl L-2

Seallamatriz: a)

366

rl -

[' :1,

-r-l

3

L ol "nton.".

-, I rl - rl

entonces es verdad que:

1

c)det

es cierto que:

. AB=ll-¿ I-r0

c)

3.1

b) det(Az)=

malriz NO TENGA

e)-2

I v C= L-2 -4)' .. [-: -ol b) cB=l ^ .l L J OI

3-l

[-t -2 o-l rl la 6 o

det(A)=12

e) det(Arfi-t)=1

f- r

)t

L-s

VERDADEM, identifiquela:

3l

d)

d)z-r:l

:,-l

[o r] [o r]

.,, =[],

¿,_t

=l:

proposiciones es

=l: :). Una de tas siguientes

una matriz tal que

a) A2

d)

e) A no tiene inversa

-6.1

7.

I

-:'l al -ol

b),-'=-'ili ;j ''L-,

I

(Ar¡=1¡16

d)det (A-t)="l/1g

rol I

201

Cap. 731-loúríne* y Defurm,ínare*

Villena Muñoz

1.

5

b)4

La makiz

X

a)

2.

-4 ll I = [4 -'] , , = [ _2 LI -5J' L *l

sean tas matrices

'12 ",1)4

c)3

d)2

El

vatoroe" k"paraque

e)1

o

'lr=l' L0 2l Lro3l'1 lr o ol r,Irr,

que satisface la ecuación

u iál 4 )1)

o[; iN

[l

")lL,¿3

lt o oI L-3 o

detl=detB

Itl, a lr1 '11; , i:)

', '] 4 -vl o 'o'l

-2f

Sealamatriz/=l

ol r,l

Entonces su MATRIZ INVERSA es:

[r 021 I ol o [: 7)

ll,l o rl I

-21

o -r ol L-3 0 -71

ul,<-r=l

lt o oI -2.lol [-: o

.)r-'=lt )1 oI L% o 'rl) e) La matriz

o

[-r

a\¿-r=lo

d)A=l

r_]

no tiene inversa.

seanrasmatrices

n=l-' _lo'l.ll' r=[-' to''l_2) L3 Lr

y

[r

c=lo [s

z] ql o]

det[((l - za)c)'] "r, c)-100 dXO e)100

Entonces etVALoR det

a)74 b) 200

Ir que,

Sean A, B y C matrices tates

,e

=|O

2 s1 [s o o-l [o 2 r -rl , r=lo z ol v c=lo o

l¡ 2 tJ

[s 4 t)

[r

4

il '***' "'

VERDAD que:

a) ' (0":a\'-derc=-6 (detBl b)

c)

detAr =detC aet{.tr)= s

d) detB:detCr

e)

A no tiene inversa o

sea ta matriz

z

=

I

si tiene inversa.

[] ]l . ,n,on... L3 3-I

los vALoRES de

,,

, ]" tat

que det(,a

- Lr):O , son:

a)1yO b)-l y -6 c)1

y-6

dF6y1

e)7y6

7.

(z -l o)

Dada la matriz

u=l

,

l-o

r

2

o

-5)^t

pRoDucro | , el

DE Los ELEMENTos DE LA DIAcoNAL pRrNcrpAL de

A-l

CS:

367

Cq+. 13 t4afríosv y


4*e%+t

b)

al-t8%qt

a\

-e

")eaÁEt

,91

90

. 44t

f¡ t' ) lr l

8.

1.1

-2 b)0

9.

c)-1

I

Sea la matriz

lz l-l Lr 0l '"nton..,

=

I

[stl

a\A'=l ' " 12

10.

La matriz

X

r_l

I

lr -sl ' x=l12 -41

11. Dadas las matrices:

rl

12

0l

,l =l -

lz s rl =lo -3 -,1 [z 2 o) It, 5t | 4 8

L\o tí C

I

La MATRIZ INVERSA

orl

lz b)c-r

I

)

-1-

= ls

-l

-r

lr

I

o]

o l4'' _3 r d) c*r : ls, t .'8 .8 4l

lt1 8l

f

r+-l I

I r.'

"l

-'*

L8

t'.]

no tiene inversa.

Si el determinante de una malriz A es 16. Entonces es FALSO que:

a) b) c) d) e)

La Matriz A tiene inversa. La matriz A es una matriz cuadrada. La matriz A tiene 2 filas iguales. Si B es una matriz que tiene determinante igual a 2, entonces del det(AB)=ll. El determinante de la matriz

inversa

[r -r rl o , -' L2 3 ol [r o 2l a),1-r=l*r , ,l Lr -l

Sea ta matriz ,r

:

I

l-l

entonces

es igual

su

Ir -] -+l : -2 -s

c¡z-r =l

[-t

a

,iu

.

MATRIZ TNVERSA

l-l

es:

I

[¡

ulx-'=l-z

I

[r o

o¡z-r

I

2.]

e) Elija esta opción si la mairiz

I

3 -ll

-2 rl

L-4 -s

0.1

368

lz rl c¡x =l r ol

I Il 3.il 0lv B=lt4 I 0l'lv C: AB . Entonces t' J L )I -)

t

c-r:l o -', -'rl

e) La matriz

I

."1 1l

In

13.

lr

,)

Ls

Ir -ll "¡x=[o r]

I

Ir

12

Lr

[rz sl

qA3

I

0l

[r I rllx=l lz -tlI es: L3 4) L3 rl b)x:lIs^ -51 .l L_J + )

, tal quel

d)

c)

, [:ol

' A.l:l

I

a¡c-r

es vERDAD que:

e\

lz -sl a)X=l ' L-3 4)

e§:

r -r O

b)l-'=l '

I

,)[r-'f =[;

r -r -l sl o r 6l

3 ,l -2 1 2l [o t 2 u r.] d)1 e)5

,=1,

El oElrR¡¡¡N¡HtE de la matriz

a)

Demi,rantu*

no tiene inversa.

ti-]

=lt, r ol lo o I.l

21

C-l

698

90(o §-(p ¿_(c

,,l[:

(r,,-l 0 I (t ¿ t)-l=a

epJolB^¡esecuo¡ue'l¿-

(z r z-l , O l=7:enbsa¡e¡sacu¡eu l, r- t)

Á lr-

&qttú1,ryw.rqaA K .twl.¡+pm

€Í .dtC

:se(ovl''o

gr{y

ueas

zounr! Pualll^

s?§{

,''llena Muñoz

L4.L

Ca+. 74 Sí¿e-m,aa d*¿Euâ,a:oney Lineal¿_y

Dprrurcióu

':

'

!4.2 CóN;uNTo soLucrór

14.3 MÉro»o DE Geuss 14.+ RppnpsENTAcIÓN MIIRTcIAL 14.5 Pnon¿EIT{AS DE APLIcAcIÓN

Yo hemos tenido lo oportunidod de resolver iistemos de Lqrociones coñ dos o Jres íncógnítos. El objetívg irhoro es ser mós genera)t¿*,y

definír métodos poro hollor coñjunto sorución, incluso &Isistem* .on ,ná ecuociones gue.incógnitos. y odemós hocei gnálisís de los soluciones.

371

Cq.


:;:,'

¡ r'l...,,'1",11

!. :i:

*",|?W;l;

74 Sí.*e,ma*

dpágmobnev Lined,sv

l';,' r',r,,,,,,,

SE PRETENDE QUE EL ESTU§IANTE:

. .

.

DEfino sistemos de eanciones lineales homogéneos y no homogéneos. Def¡no Conjunto Solución de sistemqs de ecuacionEs lineoles, sistemos consistentes con solución únicq, sistemos consistentes con infinitos soluciones, s¡stemos inconsistentes. Aptigua el método de eliminación de 6ouss poro determinor conjunto solución de sistemos de

a

ecuociones lineoles. Justifigue lo consistencio o ínconsistencio de un sistemo de ecuocion¿s lineoles.

Diseñe sistemos de ecuociones gue tengon solución único, infinitos soluciones

o gue seon

inconsistentes. Resuelvo problemos de oplicoción.

UNO

ECUAAóN

TJNEAL

en los

incógnitos

x1tx2tx3'...'xn es de la formo: atxt+ozxz+a3x3 +...+ Ürx, =b,

dondg

a¡,o2,ct3,,...,ctn,4 E R

ya ha surgido la oportunidad de tratar sistemas lineales de dos o tres incógnitas. Un sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas: Un sistema

*y J 2x

=t i3x+4.y=2

[ .**/+::0 de 3 ecuaciones con 3 incógnitas: i -.*?y+3::l t[-x+rJr-Jí:-j

Definiremos ahora sistemas con mas ecua.ciones y con más incógnitas. Y no necesariamente la misma cantidad de ecuaciones que incógnitas.

L4.L DEFINICIÓN

Un §ISTEÜ&A IJNEAL de tt m't ecuacíones con " n" incóqn¡tos es un predicodo de lo formo: p(xp

x..,,

x.¡,. . ., J,, ) l

ctttxt+Qtzxz+clt|x3 +...+Qt,X,, *bl altxt + Qztxz + a. tx1 + ,.. + a2,,xu -b, u\txt+ 4¡:.t: +¿I1r-rr +... + Q3u-t,, -b,

o,lx,t *

tl

,nrx, + antjx3

Si b, : hr" - b: : "': bu, - 0 (todos iguales r.",o) se ilama "Sistema hotnogéneo" Caso contrario se llama "Sisüem a. n o hotnogétaeo" 11)

'

Villena Muñoz

C

ap.

7

4

S

í.t@tyt

o*

de E q,m,oíone* Líned,e*

L4.2 CONJUNTO

SOLUCTó¡U El conjunto solución Ap(*,,x2,x3,...r,,) de Lrrl sistema constituido por vectores de R" .

lineal

está

Para todo sistema lineal sLr conjunto solución tendrá una de las rftuientes tres características: cAso r. Estar constituido por únicos valores kt,k2,kr,...,k, para las respectivas incógnitas x1tx.,x3,...,xnr eue satisfacen simultáneamente a 1as ecuaciones. En tal caso se d.irá que el sistema tiene solución única. Es decir: Ap(r'

x 2, x

1,...x,)

:

{@r, k 2, k3,...,

k,)\

CASO U. Estar constituido por infinitos

valores para

x1,xt,x3,...,xn. En tal caso se dirá que el sistema tiene infinitas soluciones. Es decir: Ap(*,,x21x3,...rc,,

CASO lil.

):

(oi ,k:,k:,...,k:,\(o? ,k: ,k: ,...,k:\...\

No tener elementos. No existen valores para xt,x2,x3,...,xn que satisfagan a las ecuaciones al mismo tiempo. En tal caso se dirá que e1 sistema no tiene solución. Es decir:

¿p(*1txt tx3,...x, ): 0.

Cuando el sistema tiene solución, s€ dice que es un SISTEMA GONSISTENTE. Caso contrario, es decir, cuando no tiene solución, se dice que es un SISTEMA INCONSISTTNTE.

En conctusión los sistemas lineqles

SrsremA coNsrsrENTE r Can Solución único, o . Confnfinitas soluciones SrsremA INcoNsIsTENTE o No tíenen solución. Existen varios métodos para hallar el conjunto solución de sistemas tineales, pero el que vamos a estudiar aquí, resulta ser el método general 373

CaP. 14 Sí¿funqa,Y d,efi ouacríoyle*Lúncd,e*


qr-re le perrnitirá no sólo hallar el conjunto solución, artalizar c<¡nsistencia e inconsistencia de sistemas.

14.3. MÉTODO DE GAUSS La esencia del método consiste

sino también

ir estableciendo

en

sistemas

equivalentes qrre tendrán el misrno conjunto solución, hasta llegar a tln sistema simple que nos permita deducir rápidamente stl conjunto solución. PASO 1. Plantear la rnatriz aumentada del sistema. Esta .., t" rnatriz d"e coeficientes de las incÓgnitas atlrnentando 1os términos independientes. Es decir: att

otz

at:

bl

Otu

b.

b. :

ll ,r,,

b,u

-l

Peso 2. Reducir por fenglones a la tnattiz aumentada hasta obtener Llna rnatriz escalonada (tratar de formar un sistema triangular superior)

ct, d (l:,, d

ctt

cr

0

C::

0

0

Crr

:

:

0

0

0

r

L':t, d

('r,,

:l

,l

d ,,,

.

Utilizando a necesidad una de ias siguientes operaclones (operaciones que forman sistemas equivalentes que poseen el mismo con1untc solución):

* Intercombíor f ilos. * Multiplicar uno filo Por uno constonte rrOtr.

*

314

dif erente de cera Adicionor o uno f ilo

"

k"

veces otro f ilo.

/rllena Muñoz

Cqp. 7 a S í¿ema* dpúqmr,bae*

Lí,n

ealu

| 4x+¡'-z=4 Sea elsistema

p(x, y, r¡ : ),, - 2y + 3z = I I

lr*-r+32=to s

(q r -r l, -2 [, -r ]

PASO l: Su matriz aumentada esl

L¡.

f,

il

3

PASo ll: El objetivo ahora será reducirla hasta una matriz escalonada empleando las operaciones permiüdas. Note que se puede intercambiar la primera con la segunda fila para tener " t', en el primer elemento oe ta primera fila.

¡:d¡>l(r4 -2 r I

(2

3

-l

;l

-l

3 Luego de esto, será posíble obtenei una matriz equivalente con "0'como primer elemento en los dos úlümc renglones, bastaría con adicionar a la-segunda fiía respectivamente 4 véces ta primera fila (o lo q.e es lo mismo, multiplicar por 4 a la.primera fila y se la suma algebraicamente a ú segunoa). En el mismo preo se puede adicionar a la tercera fila -2 veces d primera fila

(-'zx-4)[

)i,:l¡]*[ ;

z-T

por .! a h tercera fila

Podemos ahora multiplicar

(; ', lil Io r -r l*)

ll 9 -t3 --40 3-3 -t2

-¿J

,-,[ :

_,i

Luego intercambiamos la segunda con la tercera fila

r-23

0l-1

0

', -',

i:l

9

-r3

;l

Al adicionarle a la tercera fila -9 veces la segunda fila, conseguimos el sistema triangular superior:

,-,,1

e

Io

Podemos multiplicar por

-I

ilil:-[ ; i il]l luo) [.; ;*l;)

-r3

a la tercera fila

(t

-z

t1 0l 00

3

lo r -l (-+)[. o o 4

J

-l I

El sistema equivalente, finalmente sería

x)'z (t -2

lo I

\0

r

0

La última ecuación nos dice que

1l

,'') l*-rr+32= ll -r -4 l+ j .¡'- z=-4 3

I

z=1.

r) [

,=

r

Reempl azando este valor

en ra segunda ecuación tenemos: !-z-4:l-a=lvlS.Yfinalmente,reemplazandoestosdosvaloresenlaprimeraecuación, lenemos: x=11+2y-32

¡:ll+2(-j)_3(t) F=Z Por lo tanto el conjunto solución sería

Ap(x,1,,2)=

{[i],,

:2:! =-r,,:,] 375

Cqp. ltt S í,fu*t


o simpremente

Ap(x,!,2)={f [t.

a* d,efi uar,íoae* Linealey

ij}

'JJ Lo cual nos permite pensar que estamos en el CASO l, es decir es un SISTEMA CONS¡§TENTE CON soLUctÓN ÚMcr.

El procedimiento anterior no es rígido, es decir se podrian hacer otros pasos diferentes si fuese necesario, pero el objetivo debe ser el mismo, llegar a Lrn sistema triangular superior. Y por ende se debe llegar al mismo conjunto solución.

Eíernplo2 y+z= 7 Sea el sistema p(x,y,z):l 3x- 2y - z = 4 Í2x+

[5x+3y+ 2z=l'l

(z r PASO l: Su matriz aumentada esl

l,(s

r

-2 -, 3

2

:l

PASO ll: Ahora hacemos reducción de filas hasta llevarla a una matriz escalonada.

) I I

,;.rn;

(z »l 0 [.o

) l I

-7

I

-1

-5

jl--"*[ I

l2x+v*z= 'y

El sistema eouivalente es:

.l I

La última ecuación nos dice que

-

z

1

I

*l

0

-12

Dl3

0l-l

;:J-t"-[ 001

7

: -l .

! - z-l

¡ en la primera ecuación: *=T

Por tanto, el conjunto solución seria.

Ap(x,y,z)

y reemplazamos z

:V:11

y reemplazamos

={[j]}

Este es un SISTEMA CONSISTENTE CON SOLUCóN ÚNICA

Ahora veamos sistemas con infinitas soluciones

376

2tr

z=3

Despejamos yen lasegunda ecuación: Despejamos

I

"y y

z

:il=ll

Cap. 74 S í¿e-wuo,y d,s Ec,uar,úoaey

Villena Muñoz

Línulp*

x* y*22= 2 Sea p(r,y,z)

3x+2y+32= I 2x+ y+ z=-l

'os

lo, al

',ASO Il: Realizando

l2 23 II

'[.;f 1

PASO l: La matriz aumentada para este sistema

",

il

reducción de filas, tenemos:

ti i :l rJ*[ : __,.-,1

; _io olll;l__*-[; o)

[o

I

-r

[o

+)'+22 =

:;]

I 3

0

Siguiendo la técnica anterior, el sistema equivalente sería:

l* t'

-J _J

il

2

lt+32=5 Io'=o La última ecuación se satisface para cualquier valor de ', z ", es decir e R . Por e esto, " z

de variable libre o independiente o arbitraria. Despejando

" y " en la segunda

"

recibe el nonüre

resulta

"¡" tenemos..x=2-y-22. I;;:3"l

Ahora, en la primera ecuación al despejar expresión respectiva y simplificando resulta:

Reemplazando

-r. por

sr¡

Por tanto, el conjunto solución sería:

noo,r' n

-W)''

=z

-

3'rx v

=,

-r, ^,. o|

O también

Ap(x.y.:)

[f,.) =

=,_ 3.r v = 5 -3r ,\= =,

,. .)=

1[iJ,,

.

=

{[r;1J,, 4

Esto nos permite pensar que estamos en el cASo ll, es decir un slsTEMA coNslsTENTE cotrt tNF¡NfTAs SOLUCIONES. Existen infinitos valores para las incógnitas que satisfacen a las ecuaciones. Para obtener alguncs de estc

-y:(l)-3=-2

y:s-3(r)=z

Se puede comprobar que ésta es una solución del sistema para lo cual sólo habrá que reemplazar en el (z)+z(t)= z

(-z)*

sistema original:

s(-z)+z(z)+ 3(r)

=

I

z(-z)+ (z)+ (l)=*r Si se desea otra solución, le damos otro valor

E

a,'2,".

ser l;10.l. Entonces, (-:)* (s)+z(o)= 2 .{ :(-:)+ z(s)+:(o) = I

Ahora puede

Note que también estos valores satisfacen alsistema:

[

F=

y

[z(-:)+ (s)+ (o)= -l

377

Cap. 14


Sí¿ena* d*rfctar,ío*e* Lí,nql,e*

EíernDl,a+ { x+v-z=4 Sea p(x,.u,zl l¡, - 2¡,+ +z = e ' [et--, +5z =3o

PASO l: La matriz aumentada para este sistema

".,

fI [,

,iJ

PASO ll: Realizando reducción de filas, tenemos:

t: ill,íJ*[ : ;i-lil--'-*[: *il;]

Ix Elsistema equivalente seria: ]

+J'

-z

-

+

-3 0

Az

t

La última ecuación nos dice Que z e iR Despeiando

5y

4

12.

.

j;;rl ' J' en la segunda ecuación resulta f__= -, ly

Ahora, en la primera ecuaciÓn al despejar

"r""--'--

expresión respectiva y simplificando resulta:

I

o-r" tenemos:

V 5

;:" I

x=4-y+z'

Reemplazando

y

por

su

I

Por tanto, el conjunto solución sería:

,,,,,,,=[

g^,. *] =-^, i),. =

O también

Ap(x,y,z)

={[r],'==

nv

:7!72

n,=,^,.u]

-{¡T]"'.

Esto nos permite pensar que este es otro S¡STEMA CONSISTENTE CON INFINITAS SOLUCIONES' Entonces, o "f ", porejemplo: si Obtengamos algunos de estos valores, se leda valores

a"Z"

I':

t7

-2(t) 55

l5

:J

v: 7(l)+3 l0 =¿ -55

3+2-l: Comprobando

4

3(3)-2(2)+4(l)=9. 9(3)- (2) + 5(l) = 3s

Si

25 t7 .. :5 z: -4. Entonces, ¡-= -2(4t 55

Estos valores también satisfacen al sistema:

7(4) +3 -25 - =*5

9(5)-(-s)+5(-4) El coniunto solución (por

e¡!g!§lg! APG

i78

))

(5)+(-5)-(-4)=4 3(5)-2(-5)+4(-a)=e

,'":{[i]

[-i] ]

= 3o

¿:1.

Cop. 7A

Villena Muñoz

Sí,*e*u* dpfc¿*oc¡:o¡,qy Lúnealc*

Un sistema con otro tipo de infinitas soluciones, es el siguiente:

Ejeinplp 5 Sea p(x,y,z):

| **r-z=4

I 2x+ 2y -22 =8 [3x+3y -32 =12

PASO l: La matriz aumentada delsistema

".'

(t L

l

-l

2

I

\J

3

t-

r

4)

-3 ,rr)

PASO ll: Reduciendo renglones, resulta:

(t r -r l, ) -) tt3 3 -3 ,i]

ll 00 00

-l 0 o

Lo cual da lugar al siguiente sistema:

[, I L

+)' -z = 4 O, +0¿ - 0 0, = g

il

-->x:4-Y+z -ueR zeIR

Aquí " x " y " y " son las Variabtes libres o lndependientes o arbitrarias. Este es otro SISTEMA CONSTSTENTE CON |NF|N¡TAS SOLUCTONES. Por tanto, el conjunto solución sería:

,r.r,,={[ i),.= o- r*zayeRaz e"]={[i] se le da valores arbikarios tanto

a'z

'como a"

y"

[j]

]

paraobtener valores

para'x '.

El conjunto solución también puede ser expresado de la siguiente manera:

[,..J [rr) ,lrr:o- r*r

Ap(x,y,z)=,ll

) Í(+-,+t

,.y=y¡y2

'^""*]:t[-;.'],'''-.]

Ahora analicemos sistemas inconsistentes-

I x+y-22

Sea p(r,y, r¡

=4 :l;; +y -Zz = o l3x+4y-42 =2

PASO l: La matriz aumentada

"rrf [:

:

I

1

J

-2 -4

4

+)

ol z)

PASO ll: Reduciendo renglones, resulta

(t

l, [,

I -2t 4\

( r

| , i (o t

3 -21 ,l-t+-,|

o ulr)

Lo cuat da lugar al siguiente sistema:

-2

, 2

+)

(t

-rc)

Lo o

t

-sla-"rl o t

-z 2 o

jl

{-.:.;1:='-, 0z=-2 [

La Última ecuaciÓn es una proposición falsa, esto indica una INCONS¡STENCIA. por tanto, éste es un

SISTEMA QUE NO TIENE SOLUCIÓN. Su conjunto solución es: lp(¿J¿,2) =
x,yy:

que satisfaga al sistema).

379

Cap. 74 Sí,ft,ma* dpÚc,ua.oúone* LÚwqfpy


| *+Y-22=4 Sea p(x,y,2,,{

Zr*

-

4z

=0 [3x+31'-62=12 2y

t -2 (t 2 -4 PASO l: La matriz aumentada es: | 2 3 -6 [: PASO ll: Reduciendo renglones, resulta:

(t

t

l,

2 3

[,

-2 -4 -6

+'1

il

(

r

o l-;;;f-+l t2) [o o

1-2 00 00

jl

lx+ ¡'-22=4

Lo cual da lugar al siguiente sistema:

'{

I

o, = -r

o¿=o

que es un SISTEMA INCONSISTENTE' La penúltima ecuaciÓn es una proposiciÓn falsa, esto indica Su coniunto solución es"

Ap(x, y, z) = 4

Analicemos atrora sistemas rectangulares'

sea

2x- y =3 I z'-Y=3

fix, y) t I rt * 2y = -l ' Hallar su conjunto lix+4Y = -2

solución'

SOLUCÉN:

Plartea.do la matriz aumentada y haciendo las reducciones de filas convenientes:

t1

?

u,,,

: ll*[i 'l-*,,' ',

,f

to

-rt

e,

j l:]*[ r

-1 I

i,l '

')

it

l-,rr) : ;l;i'j

I -1,

'[.

El último renglón nos da una INCONSISTENCIA' Por tanlo

Ap(x, y) = $

I ,+ lt z=3 lz**3y-z=4 . Hallar su conjunto solución' Sea p(x,y,z): 1 *+zy-22 =l

Irr++y -J

11

r-3

00 00 380

i

IÉes

Cap. 74 Sí¿ema* dpúoua,c¡:one* Línêal,e*

Villena Muñoz

El sistema equivalente sería:

{*+t+r: 3 L .r-32=-2 Note que la filas de ceros en este caso es como que se anulan dos ecuaciones:

Despejamos

y

Despejamos

x

:V:Tr -4

en la primera ecuación y reemplazamos

x =3_

),* z:3_(32 _2)_

Entonces su conjunto sotución es:

Ap(x,y,r, =

z

y

:

*G:f:A

[[s -

11"

+r)

;, ),,

I

."1

Este es un SISTEMA CONSTSTENTE CON tNFINITAS SOLUCTONES.

lzx+3y-z=4

sea p(x, y, n

,]rii ril l,==t, Isr-

y+

3z

. Hallar su conjunto solución.

='l

SOLUC6N: Planteando la matriz aumentada y haciendo reducciones de filas:

(z 3 -l 4\

l'r,

13 2

Lr-r

2 3

(t I 3l 3 ,l-lF¿t l,,22-r t) [s -r 3 (t ll ¡\ l-3 -rl L+t. lo -l -1 -zl--z=rt-¡ o -3 -1 -+) [o :) (r r

1l*[i r

Ii

r o o

r

,l*l

1

-3

-2 -4

-4

1

-3

-1 -l -6 -2

-:l

l-

Iilll

-ro -10 I

oor

r)

I

3

I

I -3 _;l

-21 t:.-t:. l0

-J

l

I

[o o

o

;l

EI sisiema equivalente sería:

l*+y+r= 3 'l ,- 3z=-2

t

z=

I

Note que en este caso la fila de cero es como que se anula una ecuación: La última ecuación nos dice qu" .

Ell

Despejamos

y

Despejamos

x

y reemplazamosz

:

y=

3z

-Z

=

:(t)- Z+V y

en la primera ecuación y reemplazamos

Entoncessu conjunto solución es:

y

z:x

=Tl

=3- y - z= 3-

r

r+

Ap(x,y,r, =

{[j]]

Este es un STSTEMA CONSTSTENTE CON SOI-UClóu

úNrct.

38r

Cap. 74 S í,fum*y d,"/ Eou,a,oí,ünP* Lí,nea)e*


sea p(x,y,

( r+2y+32+4w=3 ,,*):lz'r+3y_32+2w=, . Hararsu

conjunto sorución.

SOLUCIÓN: Planteando la matriz aumentada, y haciendo reducciones de filas:

(t 2 3 [r3-32

i)*[l :

4

34 -9 -6 _:)

El sistema equivalente resultante es:

x

I

+2y +32 + 4v'=

\ Despejamos

y

x

- 3-

2

y

*

z y w , decimos

qre

en la primera ecuaciÓn, y reemplazamos

x

3

v+0,+6ru=5

!=5-92-

:

Cómo no tenemos información de Despe.lamos

z

3

- 4tu =

3

-

Z(5

-

S

z' 6w)-

3

z

É?ltl }, [7E xl

/

* 4w= 3 -

:

1

0

+ 1 8z + l2w

-

3

z

-

4r, =+

EITSz+ A'o'7

El coniunto solución sería:

Ap(x,

y,

z,'

r: r)

=

z,w

r::r,),,.

é{ =

.

{[t

l[t-

Este es un SISTEMA CONSISTENTE CON INFINITAS SOLUCIONES'

Hallar el conjunto solución pal.a

{

*t-x2+x3-xt:5 Xl - X2* 13 - Xt:5

|

p(xr, x2ex3,xo) : j 2x1 -Zx2+ 4 +3xo =

2

L-¡ * xr+Zxrl-xo:!'

Sot-uctót¡: Planteando la matriz aumentada y reduciendo por renglones:

(t

-r

lr-2 [-,

t2

l -I

-1

3

0

r

;]*[:

r

-l I -l 0 _l 5 [0 0 I 0

(t rr'\0, r:..r' >l 0 I

(t -r l ---+l 0 0 -l [o o o flln

(t

s\

:J*[ :

0

1 -1 -1 5 30 -1

I

0

*l

0

0

5

-8 9

l

-t sl 5 5

::l

-r

I

s I

3

El sistema equivalente resultante es:

f *, I

I Iro

-x2 +xi

-..,

--r4 - 5x1

5

-8 -1

De la úl¡ma ecuación tenemos que:

-x,, +

[l =l

, reemplazándolo en la segunda tenemos:

5(*1): -$

r:=8-S+lx,=ll 382

IÉés

Villena Muñoz

Cqp. 14 Sí¿fuina* dpflooor.bne* Lí,y¡ealp,y

F:r

=ll encontradosl-------= ¡, entonces llxr:n'+ll -:podemos decrr_ff^B_I11u: to mismo podríamos oecir oeff v Gnerffi. Estamos En la primera ecuación reemplazamos los valores

+3+,

I

ante un SISTEMA CONSISTENTE CON INFINITAS SOLUCIONES, cuyo conjunto sóiilción puede ser expresado de Ia siguiente forma:

Ap(x,.

x,,

x,,

xn,

=

{[; l, , tt;J

=

x: + r

¡ x,eRnx,=',^*=1=fi]ti]

l

Ahora veamos sistemas homogéneos.

Hallar el conjunto solución para et sistema homogéneo i p(x,y,z),

soLUcróN:

fZx-ly+42:o

* 2,y + 5z : o [ox+:Y +72 =o

l:,

Planteando la matriz aumentada y reduciendo renglones:

t:

:;l;l--'*[ i (z

_+_+_l 0 [0 n,-,rrr

(z

rl

0

Io

o\

t0

ol

7

o)

4

2

4

l3 t2

-3

-2 -5

0

13

-2

0

156

-65

IJ--,-[

-34 t3 -2 041 -3y l3y

¡0 =0 =0

+42

-22

=¡l

De la última ecuación concluimos que E Reemplazando z en la segunda ecuación, oblenemos:

.y y z en la primera

ecuación,

tl

;l

-4lz

t

Reemplazamos

4

-3


{'.

':

E:

0l

obtenemoiffi

Este tipo de solución es llamada SOLUCTóN TR|VLAL.

Ap(x,

Este es un SISTEMA CON§ISTENTE

y,z)=

t[:]]

coN soLucIÓN ÚruIcn.

['os sistemas homogéneos tienen una característica especial, son itemas consistentes, por simple inspección se pued. .orrp.obar que lo menos 1a solución trivial los satisface, aunque además de la ción trivial puede haber más soLuciones.

383

Cap. 14 S í,*@ma.y dnfic¡,q.obne* Lírned,sy


qfWtot+

,,

Hallar el coniunto solución para el sistema homogéneo:

,,,,

, y*" z=o

fzx+

p(x,y,z\:]3x+21+62 = O [5.r+3y+72=O

SOLUCIÓN: Planteando la matriz aumentada y reduciendo renglones:

ti

11 o) (z I I 26 ol--tpl o 4 D 37 o) Uo 6t4

tl

ti

(z I 11 0\ t9 ol '.-', rl o I 19 o) [oo

1

0

9

0

0

o


lzx+v+ z=o

I

Y+92=O De la última ecuación concluimos que Reemplazamos ydespejamos

x

fl,llqz

en la primera ecuación:

)G=IA

*=2i=f*

El conjunto solución es:

Ap(x,y,z)={[

1J,'.4

Este es un SISTEMA CONSISTENTE CON INFINITAS SOLUCIONES'

&*.1 1.

Encuentre el con.iunto solución de los siguientes sistemas lineales: a) .,12x

+:y

n¡

+ sa = +

]lr-zy

+72=20

c)

l2x +1 y +32 = 27

f-x+2y+32:-9

[;x+r-y+-1¿=f,

lr,-rr+72:20 l2"t-31'+52=ll

lx+y-t:4 . l¡r-.y+2i=-l -' I 2** 3y+ 1, =7

[r+y+z=: d) l-r-y+z=-l

9)

lx+t,+22=9

l-r+y+22=9

Ix+3y+llz=-5

[x+r'-;:a ll.t-2r+z=e

lox-y+5¿:30

l.r+2y+32:2 [2x+31'+z=0

[2x+3.r,+z:0

n¡

{x+J+¿=o

[-x+3y-z:o

]r*.r'+:=o [.;r+2¡':i)

Ia

IJ

Ix yz, lz 3l I l.r yz lr tl' +l:4 Ix yz I

2.

Sea el sistema de ecuaciones

entonces el valor de " ;i

I

ES:

a)1

384

b)

-1

c)%

d) -1t2

e) 1/3

"

que lo saiisface

Cq+. 14 Sí¿e,ww,* d*¿Eoua,c¿bneyLínpd,e*

Vitlena Muñoz

3.

f2x--ty+42=0 \3x+2y+52=0 Iox+:y +72=A

Con respecto al sistema

, una de las siguientes afirmaciones es VERDADERA,

identifiquela:

a) b) c) d) e) 4.

El sistema tiene como solución

y: -1. z = 0 : x 0, .y : 0.

x :2.

El sistema sólo tiene solución trivial:

.

z=O

.

El sistema es inconsistente.

Además de la solución trivial, el sistema tiene como solución Todas las proposiciones anteriores son falsas.

x = 2,t

:

_l.z

-

4

.

Dado el sistema de ecuaciones lineales:

f -r¡ +2x, -3.r3:¡¡ i - lrl - -(, - -r3 = 0 entonces -r2 + xrig | I

es VERDAD que:

I

a) Una de las soluciones del sistema es: xj=-3; x2:l; ¡3=-J b) El sistema no tiene solución y es inconsistente, aunque homogéneo.

c) El sistema lan sólo tiene una única solución, que es ia trivial. d) El sistema, además de la solución kivial, tiene infinitas soluciones. e) Todas las proposiciones anteriores son falsas.

Existen otros tipos de problemas en donde no se trata de hallar el Ljunto solución sino de diseñar el sistema

Con respecto al s¡gu¡ente s¡stema de ecuaciones:

|. *, +,y2

1

,, +2.r2

|. ,, *.r., * 1c.: -

-2 +x3 -6

-

-r3

5¡x3

=c

El valor de "c" para que sea INCONSISTENTE, es: a) -2 b)2 c)0 d)1

e)4

So¡-ucrór*: Planteamos la matriz aumentada del sistema y reducimos renglones de la misma forma que en los ejercicios anterioresl

Ii

I

-l

2

I

I

-t

2

I

6

0

I

2

I

("' -

0

("' -

(

t,"n-,,"",,, t- I ________.__rl

(

tl 01 00

s)

c

0

2

4 .,

a)

1

*l 2

"1,

(c-z)(tc+z)

Analizando el último renglón

c:2= (o o o o) INFINITAS SOLUCIONES. Si c=-2.+ (0 0 0 l-4) tNcoNStsTENTE. Sic*2nc'+-2.==> ( 0 o k1 * o k2 + o\ soLUctóN

l

Si

únlca

385

CdQ. 74 Sí¿fznta* d,e¿Eouac,íone*

Moisás Villena Muñoz

Litlu),e*

Eíennpl,a2 az

2¡'

[-r*

=-l

l, ,+(o-z)y+ 3z

Sea el siguiente sistema

[-r'

*

1o

-

2a\t, + (a'

=-a+¡, donde a e R , indique ¿cuá!

- ñ) z = 3a

de las afirmaciones siguientes es VERDADERA? el sistema tiene infinitas soluc¡ones o a = -2 el sistema tiene solución única a = 2 el s¡stema tiene solución única

a) :2 b) c) d) s=2 v a=-2 elsistematienesoluciónúnica e) a - 2 el sistema es inconsistente

SOLUC¡ÓN: Planteamos la matriz aumentada del sistema y reducimos renglones:

(-t

l,l_,

-a

(a-2)

J

_I

-a+1

g*2a) (, '-ro)

-l

2

0

a

0

-2ct

10)

-a 3a+2

-1

a

3'a

-a

0

o

(a'*t)

a12

-l

2

0

a

0

0

t

-I

3-a (a'+z-

0

,f

3a

-d

2-a

-1

Oro*r**^ O.

2

l 3-a (a+z\(a-z)


. r o

a:Z> (O 0 o 4) rNcoNsrsrENTE. Si o=-2= (0 0 o , o) rNHNIns soLUctoNES. SOLUCIÓN ÚNICA. Si a*2¡a*-2*

Si

RESPUESTA: Opción "e".

Eíenlblb3 sea et sistema de ecuacion*

I-

;-:7

-tr--r'lir=10-u

Et

valorde

L , * 3y+(k'-k-3V=3k+2

que el sistema tenga INFINITAS SOLUCIONES es:

ar%

b)

-1

c)0

d)r

elz

SOLUCÉN:

Planteamos la matriz aumentada del sistema y reducimos renglones:

l2-2 -2 13

386

-3

{4- k)

(t' - r -z)

3l 2k-6

I

3k+2 )

"r" para

Cqp.

Villena Muñoz

(t

+o[.

# Sí,fuma* d,eEc,uâr¿funey Línql**

2

-2

I

-k

I

(o' -k-')

: 1

2

-2

0

I

-k

0

0

lr

(u'

l'

l'a,ktrt:¿tn.)\ l-. t ..-.--j-jjj.j:.::::g>t

0

(0 I

2k

:'l

I

3¿-r

2kl

-,)

k

-t )

2

-2

J

I

-k (r -t)(r +r)

k-l

0

2k


. . o

¿=l= (0 0 o o) rNrrNtrAS soLuctoNEs. Si k--t(o o o *z) rHcoNstsrENTE. Si k+lnk+-l::> solucÉH úNlcl. Si

RESPUESTA: Opción "d".

llx+y-z=a

lz**,

Analizar el sistema

-b ,*, +z=L' [

soructóN: Planteamos la mafriz aumentada del sistema y reducimos renglones:

f) ,i

;

['

i

II

l__,.,-l:

i

il_*=* 'l-t,''

[; ' -,i,)

'i,)

:-::)

:i ol,. I -: o oi"t-2b+c) [o

---=.*[;

El último renglón nos indica que si elegimos

a-2b+c-0

elsistema tendrá INFINITAS SOLUCIONES,

caso contrario; es decir si elegimos a 2b + c * 0 , el sistema será lNCoNStsrENTE. AdEMáS, EL SISTEMA NUNCA TENDRÁ SOIUCIÓ¡¡ ÚUICN.

qrrybs

,

{3x + y

Analizar el sistema

sotuclót¡:

-22

=a

),2**y -b +z=c [**,

Planteamos la matriz aumentada del sistema y reducimos renglones:

',)"-*'lii :i:J*[: ¿'\

b-2c'

¿'\

I

-2

-': -5

:-:,1

I

u-Ztr+r) El último renglÓn nos indica que EL slsrEMA

a, by c.

sÓl-o rrNonÁ sot-uclóN ú¡¡lcl,

para cuatquier vator de

387

Cap. 74 Sí,*@ma* d*¿Eouat¡tovwv Líineal,e*


Determinecondiciones pa¡a

x+ y-a 2x- .y=$

a, b,cY d talqueelsistema 3x+4y=c

sea consistente.

x+2Y=d sotuclÓt¡: Planteamos la matriz aumentada del sistema y reducimos renglones:

(t

r

L-r Lr

1

;l*[i

:

(t

t0

!.t_t.: )l "l*'l' l0

[oo

;A

l I

") c-3.

r

I

0

-J

I

á+lr'- I l,¡ ,t - r'+ 2r, )

I

Aquí debemos considerar los dos últimos renglones Debemos elegir

á+3c-lla=O y d*c+2a=O

que el sistema sea consistente

2x¡ * x2 +3x3 = u 3r¡ + x2 * 5x3 = á entonces - 5r1 - 5-rr + 2l-r3 : a

1. Considere el sistema de ecuaciones lineales:

a) b)

!r es CIERTO que

La matriz de coeficientes del sistema es invertible. Para cualquier valor de a , h y , el sistema es consistente.

"

c)

Si c = ó = c :0 el sistema tiene solución única

d)

El sistema es inconsistente sólo

e)

Todas las proposiciones anteriores son falsas.

si ¿'-

Dado el sistema de ecuaciones lineales:

2r¿

*

3b

=3 [ '' --*' + LY3 = 7 , entonces j 3-r¡ - 1.r2 [ -.*' *].¡. +1-ia -l),r3 =o

proposiciones es FALSA, identifíquela: Si « = 1 a=1, el sistema tiene infinitas soluciones.

a) b) c) d) e)

Si Si

¿¡

+ I , el sistema tiene solución única.

= I , el sistema no tiene solución única. No existe un número real u * 1 tal que el sistema sea inconsistente Una de las proposiciones anteriores es falsa. ¿¡

3. El sistema de ecuaciones lineales

* fr* t.-

32 -- q

lx+y-¿=b

,

es CONSISTENTE si

f --t+:¡'+22=c

a) b) c) d) e)

b-a+c b*a+c u*b+c c+a+b a:b+c

4. Los valores de la constante "

a"

para los cuales el sistema

tiene un número infinito de soluciones, es:

a) 4y b) 4y -1 c) 4y d) 4y -1 e)4 1

1

388

x=-22-3)' ar-+.t=42 2y+az=0

una de las siguientes

Pr.

sil

Ca+. 14 S í¿fen

Villena Muñoz

o*

de Eoua,c,b*py Líneal,e*

[3x+¡'+¿=2 5 considere el sistema

)l * *22 = = l2r+2.¡'+;=l

de ecuaciones:

entonces es VERDAD que:

I

a) b)

El sistema tiene infinitas soluciones

*=

si

El sistema es consistente

si

/<

e

llt

.

I

2

c) Si*=2entonces;=5

2

I

d) Si É = - - el sistema es inconsistente. e) Todas lasiroposiciones anteriores son falsas. 6. Los vALoRES de

a)

-1

k

paraque el siguiente sistema tineat

Il. - il I i;=', ir

y-5

+ 1.¡,

-:¿

tenga

rNFrNrrAS soLUooNES, son:

=o

b) 1y-5 c) 1y5 d) 2y-5

.4 REPRESENTACIÓN MATRICIAL El sistema lineal de ecuaciones: at txt + at)x2 + ot7x1 +... + d.rox,, : b, oztxt * azzxz * oztx: +... + arrnx, : b. ottxt + &32x1 + arx3 +...+ 0.nx, : b,

a^txt * 0^tx.

+ gm3x3

+... + o,,,nx, : b^

le ser representado mediante una murtiplicación de matrices de la ente forma ott otz ot¡ or,1f *, bt

ozt o:z

o::

"r,

ll*= 4.,, ll x,

o:t olz 4:-,

::::ll,

o',nt

b"

b.

-)

i

0'*: o ^3

n r'r,rr1l*,,

bu,

Lo que esquemáticamente sería:

ffiñ*.-+

Ai*

B

-+flffi;:Íil::.-

v I

fllaldz da incógnitas

Para elsistema

Ir*-r+í=-l *-rr.+32=2

1

Ix 2¡'- 3; : -3 +

la representación matricial

(z _I a sería: I r

tt \ I

2

| )lx) /-l\

:lirl

:[

:] 389

Cap. 1 4 S í,*e,ma* dp Ect aoí,one*


2-r'y La representación matricial del sistema

1.

Con respecto al siguiente sistema

infi

1

x+3y:-1 2x-2y=]

Io

lr

*,I

-:l

_1

3

-1

[-r a) Tiene

=

*l\

I r\

1lt;)

[,J

Lined¡*

[*,.l ['ls I

I l rz l:l

I,esverdadque:

-zl L',1 Lr,_l

1

d) No tiene solución e) Tiene una variable libre

nitas soluciones

b) Tiene solución única

c) Tiene dos variables libres

-

14.5 PROBLEMAS DE APLICACTÓX problemas con rnás de una incógnita arnerita plantear más de una ecuación, eue deben ser consideradas sirnultáneamente. Los arreglos matriciales van a ser d.e mucha utilidad para hacer un planteamiento rápido de los problemas de aplicación.

Eíeroíní.crea,@)ful La producción de dos tipos de artículos, A y ,B , requiere del uso de dos máquinas l, ll. para los artículos del tipo I se requiere utilizar tres horas de la máquina I y cuatro horas de la máquina Il. Para los artículos deltipo B se requiere utilizar una hora de la máquina ly dos horas de la máquina ll. Si el tiempo total disponible de la máquina I es de cinco horas al día y de la máquina lles de ocho horas diarias, eltota! de artículos A y B que se pueden fabricar en un día respectivamente son:

al1y2 $2ya

c)3Y6

e)3y2

üavz

SoluctóH:

Es muy conveniente interpretar la información ubicándolo en una tabla, de la siguiente manera:

Sean: ,r = Cant. de art. A _r, = Cant. de ar1. B Entonces:

Tiempo total

Los renglones permiten proponer la ecuación respectiva. Para el primer renglón: 3 horas cle Macll

I unidad tle

("r"

A'

Esto quiere decir que: 3x + Para el segundo renglón:

390

' T+*Y*t".r I unidad dc B

unidadcs de ,{) +

y

:5

" unidutlgs tlc

/l)-

5 horas Mirt¡l

h€s

Villena Muñoz

Cap. 74 Sí¿fu,yyw,* d*¿Zoowr¡bne* Lí,yted,e*

-

il:l:j;

X.iP

(' ..'uni
Esto quiere decir que: 4-u +

2y

/)+

,i!ffiffT:*

(,/,uni
r)=

8 horas Mrr

:g

Note que se forma un sistema lineal de 2 ecuaciones con dos incógnitas:

J:''+.¡=5 [4x+2.¡'=3 Sus soluciones pueden ser encontradas por el método que usted escoja, sin embargo podemos hacer lo

siguiente

en ambas ecuaciones y luego igualar

8-2y 5-,, 43 = 3(8-2y)=4(5-J) 24- 6¡t - 20- 4y 2y=24-20 y=) .t = I unidad de

I

"l'= 2 unidades de

I

re-r*w-Itt 2 A, B vc. r-á utirioao por caoa un¡oa¿ veno¡oa oe A, B y I"^j*,r,:Tl:grr_1T: tres artícuro:Los ^rvt cólos fijos son o'e $tiooo por año y ros cáitos oe !_::.1,93 I !1, 1"¡o..tivamente. producción por cada unidad son de g4, gS y

$i, respectivamente. El año liguiente serán producidas y vendidas un total de 11000 unidades entre los tres productos s" obtendrá

una utilidad total de $25000. Si el costo total será de $g0000, entonces iál número de

unidades del producto B es:

a)

1000

b)

2000

c)

3000

d) 4000

e) 5000

Sor_ucróN: Tabulando la información:

Entonces el sistema para este problema.r. Que al resolverlo, tenemos:

[ j+-.

[

_r

*

2¡,

¡

+ 5y + 7z

3z = 25.000

+ 17,000:¡i0,000

.r]J'+:=11.000

391

Cap. 14 S í¿e,m*y d,e Eowa¡,íon e* Lí'r'walpy


(t2

lo

[r ,-tt( I ,-oll | [o

J

zs,ooo)

s

1

r

1

63.000 | = r r.oooJ

r r.ooo)

I

2

J

2s,000 = I

s

7

63,000,J

(tl

r r,ooo)

lo

,-',[ o

r

14.000 = I

I

19.000,

(tl

r

l

r t,ooo) ,o.ooo

o

I

s.000l

I

lo

I

[o

Por lo tanto:

z = 5,000 unid. C )¡

¡

*

+ 2z:14,000 J' - 4'000 unid' ,8 + 4.000+ 5,000 = I 1,000 :> x - 2,000 unid

REspursrn: OPción "d" SrcuNoo MÉrooo:

Aplicando la regla de Cramer: Y =

l I 4

1

r,000

I

25,000

3l

63,000

'7

ir r -r

'

l

= 4000

l

]' '

i4s1

reltu.eltü

3

totalfuede$1624yelingresodetainversióndel10%fuedosveceselingresodela '0000en3irwersionesal6%,8%y10o/o.Elingresoanua! inversión al 6%. ¿De cuánto fue cada inversión? Solución: Planteando el sistema en forma directa tenemos:

Sean: ,t = dólares invelidos al -r,

6%o

= dólares invertidos al 87o dólares invertidos al lOoA

z:

Entonces:

r+Y+z:20,000

6 ' I'+ l0 z=1624 " -r+ 8 100 100100 t0 := 2l( 6 -r) 100 \r00 )

entonces

I

Reemplazando "

: " en la segunda

ecuaciÓn:

6x+ur*tdl2tl: ' \10 )

--l'Y--I 62400Reemplazando"?"Y" -/

392

I 8.r

-

t6240

-r+Y+z=2O000 6x+8y+l0z = 1624A0

126 '= ló'= 5*

Cq+. 14 Sí,t{unâ¿ d.qÉc,otacíone* Lí*val,e*

Villena Muñoz

1624OA-l8x 6 -r+-+-n=20000 85 40r + 8l 2000

-

90x + 48.r

:

800000

2x:12000

x:

$6000 al 6%

162400-t8(6000)

,:9eooo 5 z : $7200 al lOoA

"8 l': §6800 al 8%

Entonces

reru,e,ltc 4 Una compañía paga a trabajadores cal¡ficados gl5 por hora en su departanrento de

ensamb¡ado. Trabajadores sem¡calif¡cados en ese mismo departamento ganán $g por hora. A los empleados de envíos se les paga 910 por hora. A cáusa de un incremenio en los pedidos, la compañía neces¡ta contratar un total de 70 trabajadores en los departamentos de ensamblado y envíos. Pagará un total de $760 por hora a éstos empleados. A causa de un contrato con el sindicato, debe emplearse. el doble de trabajadores semicalificados que de trabajadores calificados. Entonces EL Nú[iERo DE TRABÁJADoRES cALtFtcADob que contratará la compañía es: a)10 b)20 c)30 d)40 e)50

SolucróN: Tabulando la información:

Y considerando la condición:

2x=.v

JJ

Califica

Semicalifica

Resulta el sistema:

ItSx+9y+tOz=760 i -r+Y+z=70 I

I I

Y:z*

Reemplazando ".y " en la segunda ecuación:

x+2x+z:7A 3x+x=79

z=74-3x " z "en la primeraecuación: 5x + 9(2r) + I 0(70 -3x) = 769

Reemplazando ".), " y I

l5.r+l8x+700-30x:760 3x =760 -70O .x = 20 trab. calf.

393

Cap. 74 Sí,[email protected]* d,eEcttat,íont*


Línm)**

empresa utiliza 3 tipos de materias primas Mr, Mz, M: en la elaboraclón de 2 productos Pr y Pz. El númec de unidades de Mr, Mz y M¡ usados por cada unidad de Pr son 3 2 y 4 respectivamente, y por cada unidad P: son 4, 1 y 3 respectivamente. Si la empresa produce 20 unidades de Pr y 30 unidades de Pr a la semana r" los costos por unidad de Mr ,Mz y M3 son 51 , $3 y $2 respectivamente, entonces la cantidad gastada en mateca prima a la semana en la producción de Pr y Pz, es:

1. Una

*

a) $730 b) $420 c) $550 d) $880 e) 990 2. Una industria fabrica 3 clases de arlículos: x1, xz, x3, en sus 3 fábricas A, B y C. Cada fábrica debe prodw igual cantidad de cada artículo diariamente. Los costos de producción por unidad (en dólares) vienen dados pcr la matriz:

.xl

-t7

-('1

0

0,20-l Ftibrica Al0.5o o.l Fábricu Bl o-4o o.2o o.1o

tt

I

Fúbricuc10.60

0.i0

0.10_l

I

Si los costos de producción total diar¡a son $75 para la fábrica A, $90 para la fábrica y $120 para la fábrica C entonces el número de unidades del articulo x2 que se producen en cada fábrica es igual a: a\ 25 b) 50

c) 100 d) 125 e) 150 3. Una empresa produce 3 productos A, B y C,los que procesa en 3 máquinas, El tiempo en horas requertdas para procesar una unidad de cada producto por las 3 maguinarias está dado por:

MAOrl3 ll

1

tvtAQtt'lt . frIAQIni2 I

ll

*i lj

Se dispone de la maquinaria I por 850 horas, de la máquina ll por 1200 horas y la máquina lll por 550 horas ¿Cuántas unidades de cada producto deberían producirse con objeto de emplear todo el tiempo disponible de las máquinas?

4. Una compañia produce tres tipos de muebles: sillas, mecedo¡as y sillones reclinables. Cada uno requiere de madera, plástico y aluminio, como se indica en la siguiente tabla:

Sillu

fulc<'e¡loru Sillones

lunidadesl Maderailunidotl lunitlatl lunidal 2unidude:t', Ptústitt¡i lunidod Aluninioll2unielad funidutlcs 5unidudesl La compañia tiene en existencia 400 unidades de madera,600 unidades de plástico y 1500 unidades de aluminio. Entonces el NuueRo DE MECEDoRAS que debe fabricar la compañía con objeio de emplear todo ei material existente, es:

a) 100 b) 120

c) 150 d) 200 e) 250 5. Un contratista dispone de 5000 horas-hombre de mano de obra para 3 proyectos,

A, B y C

. Los costos por

hora-hombre para cada proyecto son de $8, $10 y $12 respectivamente y el costo total es de $53.000. Si el es igual a la suma de las horas-hombre requeridas por los número de horas-hombre para el proyecto

C

proyectos

A y B . Entonces

a) El proyecto

C

es FALSO afirmar que el número de horas-hombre requeridas para:

es 2500

A y B es 2500 c) Los proyectos B y C es 4500 d) El proyecto B es'1500 e) Los proyectos A y C es 3500 b) Los proyectos

394

E----'.

Villena Muñoz

l-lúeodán@ [.r+-r'=3

'1.

.]:,.-,:¿

Con respecto al sistema

I

a) b) c) d) e)

Si ¿r : Si r¡ e Si ¡¡

[.[ +

i

2 entonces

Una de las siguientes proposiciones es vERDADERA, identifíquela

¿11'= 5

el sislema tiene solución única.

, el sistema tiene infinitas soluciones.

e :. , el sisiema es inconsistente.

Si ct * Si ¿r =

4 esinconsistente. 5 entonces el sistema

tiene solución única.

una institución de pesca del estado proporciona tres tipos de comida a un lago que alberga tres especies de peces cada pez de la especie 1 consume cada semána un promedio de 'l i¡nidad del alimento A. 1 unidad del alimento I y 2 unidadesdgt 3§etto c. cada p.i o" l, especie z .onrur" ."ol semana promedio

2.

un de 3 unidades del alimento e' c. parJ un pez de la especie 3, el promedio semanal ! ft B yl 5.del de consumo esde2unidadesdei arimenroA der By5 der c.ba¿asemana;riJ"-;il;go25000unidadesder alimento A' 20000 del alimento I y 55000 del c. §uponga que los peces se comen

todo el alimento. si

hubiesen 6000 peces de la especie 3 entonces habrían.' 10000 peces de ta especiel y 1000 de r. i. ]UUU peces de la especiel y 10000 de la "rJá.i" esoecie 2. !!00 Oeces de ta especiel y 5000 de la esplcie 2. 6UU0 peces de la especiel y 6000 de la especie 2. 6000 peces de la especiel y g000 de la especie -.

3) D) :l0) e)

[2.r+3;'=-1 2.. * ,. = 5

I

Con respecto al sistema J I

l't +,¡' = ¡ Es VERDAD que:

a) El sistema tiene infinitas soluciones. b) El sistema es inconsistente. c) El sistematienecomoúnicasolución a x:_3 y l:4. d) El sistematienecomoúnicasolución a x:4 y I =_3. e) Ef sistema tiene como única solución a x = 4 V ! :3

.

4.

Ef valor de "

k

" paraque el sistema

{2* - ,, 1 -.r+ )'

-52 :O + z : -8 f-,.*.v+lk -2)z:25-k I

I

a)3 b)0

sea |NCONS|STENÍE. es:

c)4 d)

-3

e)

-1

El gerente de un restaurante desea alquilar 200 juegos de platos. una cierta clase de platos cuesta $25 el juego y otra ctase cuesta et gerdte;óto uesea gastar $7400, ENTONCES ."s:.!¡ EL NúMERO DE JUEGoS DE CADA CLASE DE Éuios ouÉ oeaE

glgtiy

3l b] :l d) e)

ÁLOUILAR es:

Olatos de $25 etjuego y 80 ptatos de $45 etjuego. 100 ptatos de $25 et juego y 60 ptatos de $45 et iueio. 60 ptatos de 925 etjuego y 100 ptatos de $4S etjue[o. !0 platos de $25 el juego y 1 20 ptatos de $45 et iueüo. 80 platos de g2S et juego y 120 platos de $aS et ju{o. ]^20

l*-y+22=5 I

6

sea el sistema

f2x

+3v - z :4

. Entonces el vALoR

de'a"

para que el sistema sea coNsrsrENlE

[3x+2-v+z=a

ES:

a)1

b)7 c)9 d)4 e)0

395

Cap. 7 4 S í,fum*y


d*¿

Éc,t*opbne* Línenl¡*

f**y*z*u:lo lr*-r+32_ 4tt=9 l3x+2Y-z-5u=3 l"-3Y+22-4tt=-3 I

a) El sistema es inconsistente. b) El sistema tiene infinitas soluciones. c) El sistema tiene soluciÓn trivial. d) El sistema tiene solución única. Marque esta casilla si todas las proposiciones "i

anteriores son falsas'

un turista que viale al Mundial de Fútbol de Japón y corea gastará

$30 al dia por hospedaje en la ciudad.

de

turista ior,iá,gio'.r diaenlaciu¿Jáe §"i,t y$zo'.1 díaenlac-iudaddeKobe.Encuantoaalimentos,el d

diarios en Kobe' Además por conceptos varios puede ga§tar un total de $340 Pq nr oias que el turista podá t'tÚurno el Entonces gastos varios. por irorp"Oá¡", $320 por af¡mentosl Sl¿O

y

éárt"li SZO diarios en fof
a) 6,4y4dias b) 3,2y2días c) I dias en las tres ciudades d) 8,4 y4 dias e) 10,4 Y4 dias

Con respecto al sistema de ecuaciones

It^ z*-Y+z=l

- 2z : -3 l. --** v-52=6

j - :-r + y

Es vrRoeo que:

a)

x+Y:-5

b) El sistema es inconsistente ci El determinante de la matriz de coeficiente es 1' d) El sistema tiene solución única e) El sistema tiene infinitas soluciones

10.

Con respecto al sistema lineal:

-zy -22 + w'=o | ,+ y+ z'2w=O Jlx

Es VERDAD que: Tiene única soluciÓn'

a) b) c) d) e)

Unadesussolucioneses .Y=

O,

y=O, w:1, z:1

Su conjunto solución tiene 1 variable libre. Su conjunto solución tiene 2 variables libres. El sistema es inconsistente.

l2x

11.

El valor

de

a

Para que el sistema

+3¡'* z =2

i:r*1o-l)y+ 6z:9 tenga infinitas soluciones es: f.,

-., +22:3

a)3

bj2

c)l

d)0 el

-2

12. Con respecto al

fx+v=3 sistema

fr*-r:o

una

de las

[x+kv=5

identifiquela:

a) Si ft = 2 entonces el sistema tiene Única solución' b) Si ft e R el sistema üene infinitas soluciones' c) Si ft e IR el sistema es inconsistente' d) Si fr : 4 entonces el sistema tiene única solución' e) Si á : 5 entonces el sistema es consistente'

396

siguientes

proposiciones

es

VERDADERA

Mllena Muñoz

13,

Una fábrica de automóviles produce dos modelos A y B. El modelo A requiere pintarse

V

-]

hora de mano de obra en pulido; el modelo B requiere de

t

'1

hora de mano de obra para

hora de mano de obra para cada

uno de los procesos. Durante cada hora que la linea de ensamblado está funcionando, existen 100 horas de mano de oúra disponibles para pintura y'80 horas de mano de obra para pulido. Entonces el NÚMERO DE AUTOMÓVILES de cada modelo que pueden ser producidos cada hora si se utilizan todas las horas de mano de obra, es: 60 automóviles 40 automóviles 45 automóviles 20 automóviles 80 automóviles

a) b) c) d) e) 14.

del del del del del

modelo modelo modelo modelo modelo

A y 40 del modelo B. A y 60 del modelo B. A y 50 del modelo B. A y 80 del modelo 8. A y 20 del modelo 8.

Un microempresario desea repartir los $8600 de ganancia con sus otros dos socios considerando que su parte sea igual a

sea igual a

los

las

i

Oe ta parte que le corresponde a su primer socio y que

{

la

parte de su primer socio

de la parte que le corresponde a su segundo socio. Entonces al microempresario, a su

primer socio y a su segundo socio, le corresponden respectivamente:

a) $1500, $3500, $3600 b) $2000, $4000, $2600 c) $2000, $3000, $3600 d) $3000, $3000, $2600 e) $1000, $4000, $3600

6x-19

a-

15. Sea el sistema:

x-)O

=2y


a) El sistema es homogéneo y tiene solución trivial. b) El sistema es inconsistente. c) La única solución del sistema es r - 4; y : 5; z : -2 d) No es un sistema lineal. e) El sistema tiene infinitas soluciones.

.

397

?,'a i,1uñoz

Cap. 7 5 Genm,efuí* "tÁ*1ñ,,

15.

1

ANGULOS OPUESTOS POR EL

vÉnrrcE

L5.2 ANGTILOS ALTERNOS INTERNOS, ALTERNOS EXTERNOS,

CORRESPONDTENTES 15.3 FIGURA PLANA 15.4 TRIÁNGULOS

15.5 CUADRILATEROS 15.6 TIGURAS,CIRCULARES

Poro resolver sítuociones prócticos, de nuestro cotídiáno vivir, hocer uso de conceptos y procedimíentos geométrico, ,.-ho." ¡ecesorio, de ollí la importoncio de esté estudio.

399

CaQ.

r,!oisés Villena Muñoz

7

5 G entm,efría, ?lñúvst

W

5E PRETENDE QUE EL E5TUDIANTE:

. Definq ríngulos. . Idgftifh;,,lngfdos

, . . .

o0!¡frtos porr ál véfiica, exter¡ws, 'intErnos; olt¿rnos ext¿rnos, dt¿rnos

nt airrcl; r$rrerPe nd g{!* l&tftlfiqilpiáqdas,cotEru€nte§. Identifigue tridrguloo corEñ¡entes y semejontes. i

i

;

Resuelvotriríngulos. Calcqle areasy p€rlmetros de polígonos y figuras circulares.

Definiciones y criterios de Trigonometria van a ser útiles en este capítulo, pOf tanto habrá situaciones que deberán recordarse para ser usadas.

La teorÍa de la Geometría Plana eS muy extensa, sin embargo aquí nos limitaremos a hacer una breve exposición de los conceptos y teoremas más útiles o más bien de los que necesitaremos en los cu"rsos de Cálculo.

15.1. ANGULOS OPUESTOS POR EL VÉRTICE Suponga que dos rectas se intersecan en un punto'

Al punto de intersección se 10 d.enomina aértice. Los pares de ángulos " x","'Q" y ".y "," § " se los den<¡mina"ártgttlos opuestos por elaéftice"' Observe que los ángulos opuestos por el vértice son de igual medida.

]-5.2 ANGULOS ALTERNOS TNTERNOS' ALTERNOS E:KTERNOS, CORRESPONDIENTES Suponga que se tienen tres rectas /r , lz y /, ubicadas en e1 plano de la manera indicada en el gráfico:

Los ángulos 400

A,B,GY

t¡

§e denominan Externos.

in

Villena Muñoz

Cq+. 7 5 Geom,e;*í* pla,na,,

Losángulos C,

D, E y F sedenominanlnternos.

Los pares de ángulos:

o C y F, D y Ese d.enominan Alternos Internos. . A y H, B y G denominan Alternos Externos. . A y E, B y ".F, C y Correspondientes.

G, D y H

se denominan

si lr, l,

éon paralelas ú//lr¡ entonces ros pares de ánguros arternos ternos, arternos externos y colrespondientes son de iguar medida.

1'

si El{ ll DA; LK y <.CFG

2,

Enlafigura

ll

Mr y
9',encuentre ras medidas de ros ánguros <.FGB

PNllrts ; MNllRe,
rr¡¡r
40t

Co+. 7 5 GenmPfrí"o,' ?lanÁ,


3.

Si las rectas AB y CD son paralelas en el gráfico adjunto, determine la medida en radianes ángulo'x'y la medida del ángulo'y'.

del

XBGF:180-y IAGF =90+¡ .{"CHE

4.

En ra figura se conoce que:

radianes;

oP

et

ángulo

Aoc

mioe

=2x

--'- ' el ángulo {l8 radianes; " BoD

o¡r¡¿. en dos ángulos de igual medida al ángulo

ángulos de igual medida al ángulo

DOC

AOB y

. Determinar la medida del ángulo

O9 QOP

nide

Oiuiae

{2

en dos

.

15.3. F'IGURA PLANA

por tanto, desde un punto sería Llna figura plana. Estarnos interesados en las figuras Planas cerradas

15.3.1 Figura plana convexa

402

Villena Muñoz

Cqp. 15

qecrfi,*ía,"la a,

Una figura convexa sería:

-P,

\r

\

-P,

Una figura no convexa podría ser

De aquí en adelante trataremos sólo con figr.ras convexas.

15.3.2 Puntos Colineales

En otros términos, se dice que los puntos son colineales si pertenecen

a una misma recta.

Si tenemos puntos no colineales, podemos formar L¡.na figura plana cerrada trazando segmentos de rectas uniendo todos los pqntos. Esta figura, formada asÍ, se convertirá en un importante objeto de estudio.

403

Cap. 7 5 I urnefrí.w


"lÁn,a,

15.3.3 Poligonal

Seon P, , P, ,..., P,, , n puntos no colineoles. Se deno míno POLTOONAL ol conjunto de puntos gue pertenecen o lo unión de los segment os de rectos , Prn ,"', P,P, Es decir: u PrP. Poligo .

t.

¡

{rrr.

Exterior

La poligonal divide a1 plano en dos regiones: ¿i

la exterior

la interior a la polígonal

q. lo. paligonql.

15.3.4 Polígono.

5e denomino POLTGONO al coniunto de puntos que Pertenecen tanto a lo poligonal ión interior de la poligonal. como o lo A icrs puntos P,, P.,..., P, se los denomina vértices del polígono. 1os segmentos P,P, P..n,...,P,P, se los denomina lados del polígono. A

ios segmer-:.tos d,e rectas formad"os entre vértices no corrsecutivos, P'1 ' P.P, ...., P,, ,4 se ies denomina diagonales. A los ángulos en cada vértice,
Si los lados del polígono son de igual medida, se dice que es L1n

polígono regular; caso contrario se dice que es un polígono irregular'

_¡r)4

Villena Muñoz

Cqp. 7 5 Squ,efríw

"l,ana,

3.4.1 Congruencia y semejarorza de polígonos

Los polígonos, de acuerdo al número de rados que tengan reciben nbres en especial.

15.4. TRIÁNGULO El triángulo es un polígono de tres lados.

15.4.1

CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS DT ACUERDO A SUS LADOS

1§.4.1.1 Equilátero Todos srts lados y ángulos tienen igual medida.

Por tanto s.-rs ángulos interiores miden 6o'. ¿eongue?

405

Cqp. 7 5 Qe¡wwÍrí*"\Á,na/


15..4.1.2 Isósceles Tienen sólo dos lados igual medida

sus respectivos ángulos adyacentes de

15.4.1.3 Escaleno Tienen sus lados y ángulos de diferentes med'idas.

P

bas

El siguiente teorema es de gran utilidad.

!s.4.2 TEOREMA

¡DouuesrRElo! 1.

I al punto D , como se muesEa en la figura. Se conoce que <.EAB:2%,
<.CBD:4CDB.

406

Calcular la medida del ángulo

ABC

.

Yi[ena Muñoz

Cq+. L5 2.

Enlafigura adjunta, el ángulo pRQ es isuat

a

/r,

QeMyí,w?l§*\Át

er = ev, ps = pV. Determine

la medida

del ángulo SW.

15.4.3 TTOREMA

¡DeuuÉsrRElo! 1

5. 4. 4.

CONGRUE§CIA Y SEIIIE.'AN ZA DE TRIÁilGULO S

Fara determinar si dos triángulos son congruentes o semejantes,

cRrTtRro 1: comprobar que tienen dos ángulos de iguat medida (semejantes) y

un lado de igual

(congruentes).

medida

cRrTtRto 2: comprobar que tienen un ángulo de iguat medida y dos lados de medidas proporcionales (semejantes) o dos lados de igual medida (congruentes).

cRrTERro 3: comprobar que tienen tres lados de medidas proporcionales (semejantes) o tres lados de medidás iguales (congruentes)

Referente al gráfico:

.

GDC:

ZCDE ,

ñ

=16,

CE

=8

Hallar Og

407

I

I

)

Cap. 7 5 SenupfYíw


"lilr,q,

SOLUGÚN: Primero ubicamos los datos en el gráfico. Se observa que: El triángulo ABC es isósceles, por tanto los ángulos adyacentes son de igual medida (una raya). El ángulo BCA es de igual medida que el ángulo CDE por ser opuestos por el vértice'

. . .

El triángulo ABD es semejante al triángulo CDE debido a que tienen sus ángulos interiores de igtC medida.

PoR

rnl¡ro,

HACIENDo SEMEJANZA:

x832 t6123 -=-)¡--

qfqwb, Referente algráfico:

Halhr

,

7D :2 , Ñ :%,

EF = ft, /BDF

F

:

IBEA:9ao

B

§OLUCÚN: Primero ubicamos los datos en elgráfico. es de igual medida que el 4-CFE Se observa que Entonces el iriángulo ADF es semejante altriángulo CEF debido a que tienen sus ángulos interiores de igud

lAFD

medida,

PoR

408

rRnro,

HACIENDo SEMEJANzA:

D

x%2

2%

-=!3)

)(:3

Cap. 7 5 Qe*wwfríat

!6lena Muñoz

"laaa,

Eje*npLü 3 En el triángulo de !a figura:

AC:15, BC:L5 ,

MN //

BC, MN -4.

Hallar

NC,

Ubicando los datos en la figura, se observa que el triángulo ABC es semejante al triángulo AMN.

'15 1

I )

Y

4

: y 4 (Aunque ya se podría predecir este valor. ¿Por qué? t5 15 -+ Ahora: x:¡C:15-y=15 -4:17 Aplicandosemeianza:

fjorc,nr,Aw I 5. 3 1. En la figura"ropuofu* adjunta, RS es la altura correspondiente

al lado PQ, PT es la

correspondiente al lado RQ, PQ = 8, RS = 9 y PT = 6. Determine la longitud de eR.

altura

cq7. 7 5 I wwwfrí,a., ?lÁ,$,a/


2.

Si se tiene el triángulo ABC y el segmento MN es paralelo al segmento AB, entonces

la

distancia'x' es igual a:

Referente algráfico adjunto, se tienen los siguientes datos: AB =AD +,I0, EC = 12, AC= 20, EF =FC, ZBAC = ZEAD. Determine la longitud del lado AD.

15.4.5 RT§OLUCIÓN DE TRIÁNGULOS La reso¡.rción de urr triángulor consiste en establecer las medidas de todos sgs lad.os y ámgulos. Para 1o cual existen procedimientos diferentes dependiendo si et triángulo es rectángulo o si es un triángulo cualquiera. 15.4.5. 1 Triángrrlo rectángulo Si tenemos 1ln triángulo rectángulo:

A

para determinar la medida de uno de sus lados conociendo Ias medidas de los otros dos lados podemos hacer llso de1 Teorema de Pitágoras, es de donde: decir que 4lo

Cap.75

Villena Muñoz

QMríp"lana/

Si conocemos a1 menos la medida de dos de sus lados podemos hacer uso de las funciones trigonométricas para los ángulos agudos I y B-.

h.¡ede ocurrir también que si conocemos las medidas de los ángulos y medida de un lado entonces, podemos emplear las ñ.rnciones étricas anteriores para determinar 1as medidas de los otros

Hos.

Fara problemas de aplicaciones, las siguientes definiciones resultan Suponga que desde el suelo observamos hacia la cúspide de una torre

Al ángulo " x " se 10 llama "Attgulo de elettació¡t,,

Si cambiamos la óptica, suponga ahora que hacernos la observación la cúspide de 1a torre hacia un objetivo en el suelo.

Entonces

a1

ángulo

"y

" se lo llama " Atr,gulo de depresüórr"

4tt

Cqp. 7 5 SeotnPh'í,* ?1,a.$6,


Eíe,reÁri,crerx,Q)tcl un punto O, el ángulo de elevación a la cúspide de una torres es de 45". Alejándose l00m el ángulo de elevación es de 30". Determinar la altura de la torre. SOLUCÉN:

biiOe

Un esquema del planteamiento del problema sería:

T x

o F- 1oo o --*,' t-1OOo* La altura

n

I

o

J ---l ------J

I

de la tone se la determina empleando funciones trigonométricas para los ángulos

de los triángulos que se forman:

T .t

lloooirl

f)

1000.+ J ---*-.{

Para eltriángulo:

Por otro lado: ..13

3

:

x

_-

100+x

",¡j0oo +

x):3,

too\lr+ 1§x:3x Por lo tanto:

3x- 'llx=l00vt 100.-5 ai¡ a -

\r 1

reru,e;Lfu2 gna chimenea tiene 30m. de attura más que otra. Un observador que está a 100m. De distancia de la más baja observa que sus cúspides están en una recta inclinada respecto al horizonte un ángulo de 30"; hállese las alturas de tas chimeneas. SOLUCÉN: Un esquema del planteamiento del problema es:

4r2

F-

1oo

m -------t

Villena Muñoz

Cqp. 1 5 Seon efri,ot

"la,nÁ, Aplicando funciones trigonométricas a los ángulos del triángulo rectángulo que se forma, tenemos

* ts30'= -

I{ * x+3O

x: l00tg30' 100,ii . h:X=

¡1 =

100

a 1

¡¡

loql5 3

*30

=to9,l-1!e-!lo3

*

15.4.5.2 Triángulo en general Si tenemos Lrn triángulo cualquiera B

b

Dependiendo de la información que dispongamos pod.emos hacer us<¡ de las siguientes leyes:

Ley del Seno

¡DEMUÉSTRELA!

Ley del Coseno

¡DEMUÉSTRELA!

írlbrerudtüI ABC lal que l"A=tOS' , 4C :60' , c y s yladelángulo B

§ea un triángulo

loslados Solucró¡:

b:

4.

Encuentre las medidas de

Esquematizando la información, tenemos:

4t3

Cqp. 75


La medida del ángulo

I

sería:

lB

:18O" - /"C - 4.4

X"B

=180o-60"-105"

Ie¡meÍrí.*?lÁ a,

48 --15" Obtengamos sen sen 15"

15" y san 105": sen 1 05"

: sen(45' - 30') : sen 45' cos 30" - cos 45' sen 30'

= sen 60" cos 45" + cos 60' sen

( ¡)l.z) /r)l z) ;lt. ; ).1;)l; )

45'

=t

tfltfl ['r-J(l) sen 15'

+45')

=sen(60"

=1.1,s-l

I :,'' )( ,: *,)

=

[4J'

',

Aplicando la ley de los senos determinamos las medidas de los lados "c" y "a":

"-_=_b, C ser¡ I

sen

sen

sen -

60"

a--

4sen 105'

é"" r5-

sen 15"

il

of \2 c = --_

2 (.,¡

4'

'z)(,t *r)

o(

)

A

r*,8

sen15"

---_

senB

bsert

a-

60' 4 sen

L

A

a=

-r)

[4r'

[*)r.,

5

-,)

4(,13 + l,

T;r_T piense cuál sería el procedimiento para resolver el problema, aplicando la ley de los cosenos.

Eíerc,iri.c rcálP)tü 2 Sea un triángulo

ABC

ial que ¿

:5,b:5",iI,c:5.

Encontrar las med¡das de los ángulos

internos.

Soucrótt: Esquemáticamente tenemos:

Aplicando la ley del coseno:

cosl cosA

=

cz+b2-s2 2bc

=1af

cosl=

* (s ,:| ,, 1rf 2(sxs 3,

(s.r)i t /'.

\

2(s)(s 3 j

cosA::11 2

= A:30"

La medida de uno de los otros dos ángulos, se la puede determinar aplicando también la ley del coseno o aplicando la ley de los senos.

414

Iisés

Cap. 7 5 Ge¡yn efrí^w plana,

Villena Muñoz

Aplicando la ley de los senos:

senC senl ca =

A ^c

sen

sgnL:

a sen

=-l

30"

_

5

Este último resultado también lo podemos obtener oirectarnente. ouserve que el triángulo es isósceles, por tanto sus ángulos adyacentes son iguales. La medida del tercer ángulo se lo obtiene por diferencia, es decir:

48:180" -30"*30" 4B:12O"

Los ángulos internos de un triángulo o: ,í) m; b:2m; c: (..rj -l)rz ; son: a) A-45";B-75";C:6O" bl ¿:6a";B:4s"; C:75" c) A:15";B=60";C:105" d) A:30";B=135";C=15" e) A=15O";B=45";C=30"

cuyos

lados

miden:

Soluclóu: Semejante al problema anterior, conocemos las medidas de todos los lados del triángulo.

cos

a:o'*!'_ll 2ac

cos B

cos

--(

2)', * (:,,

- t)'. - o z\":ilr t -

I

B=2+i-1r:"1t=a z[zl.,i-1J

'= ,(;!:;lll=>

c.s B

=:

B:t35" Aplicamos ahora

la ley del seno para enconlrar

podemos encontrar con la ley del coseno

sen4l: ry13 ab scnl: asen B

medida del ángulo A, aunque también la

La medida delángulo C la encontramos por diferencia de ángulos:

4C :180"*135"-30" :15"

b

.

,'2 sen 135"

sená =

Finalmente, nos queda:

2

tí¡

senl =

22

4

I

scnz{= =A--3O" 2

4t5

Cap. 7 5 Sentn efrío


"lÁ,$,q,,

1.

En el triángulo de la figura, el valor de la medida del ángulo

a) b) c)

d) e)

$

es:

30" 7s" 45"

eo" 60"

.,5+l "a 2

2.

Los lados de un triángulo miden respectivamente:

¿:.§+l

b-2; e: ri6. Entonces los ángub

interiores del triángulo son: 30o,50o, 100o 15o,45o, 120o 150,75o,900 45o,60o,75o 45o,30o, 1050

3.

a) b) c) d) e)

rn Én un triángulo ABC los ángulos A y B miden 30" y 135" respectivamente, y el lado AB es de 100 prolongado. AB al lado C Determine la longitud de la perpendicular trazada desde el vértice

15.4.6 PTRÍMTTRO Y ARTA DT UN TRIANGULO Sea un triángulo ABC. Cualquiera de los tres lados se definen como bases del triá,pgulo. Como alfuffa (h) del triángulo se define a la longitud

de la perpendicular trazad.a desde Lln, vértice hacia una de sus bases o a la prolongación de estas bases:

Por

1o

ta.nto:

: a+b+c h, o'-!; Area, : !y*-: rlty:g :9:-*L :9-* :

2222

Para triángulos pa.rticulares, tenemos: B

Area =

b

4t6

Base

bxh --.2

Iisés

Villena Muñoz

Cap.75

GMíat"lnna,

observe que en los triágglc§_eglgrlgres se cumple que: '¡".,

n: l = ,: "rrrÁ

Por tanto:

A:'bxh )) -bcsenA

conociendo la medida d.e uno de sus ángulos interiores y las medidas de los lados que constituyen a este ángulo, el área sería:

[.os triángulos son polígonos básicos, porque los demás poligonos en ser diüdidos en triángulos, lo cual permite resolver ot .= ones.

En la figura adjunta R-.s correspondiente allado

a)

es

RB,

si

t6

la attura correspondiente at lrd, ¡0, r, es la alüra Q=8,rR§:9 y pF:6, entonces la longitud e?=s:

J

b)3 c)

t6 t2

d)!

4

e) f27

Soluclót: Ubicando la información en el diagrama dado, tenemos:

I ________{

r.-Er área der

triánguro

pQR

1.

Tomando coma base

a pQ

se ra puede determinar, en este caso, de dos maneras: entonces su artura sería , por tanto er área es:

2'

Tomando coma base

a RQ

entonces

R"

., u*rr. seria Fr

, por tanto er área es

417

Cq+. 1 5 Seompfríat ?lana/


Finalmente igualando las

. (8Xe) x(6)

A =

Respuesrl: Opción "c.

22

-,----

entonces:

-.--:

El triángulo ABC es equilátero de lado / =

5. Si

11

t

G;:7r1 I lx: 12

I

|

/2 soñ rectas paralelas. Hallar el valor

del área del triángulo ABD.

SOLUCÉN:

y Ubicando los datos en el gráfico, se observa que los triángulos ABC y ABD tienes la misma base la misma altura, por tanto tendrán la misma área, entonces: t,

Aru MBD: Arq

LABC

:){SN»I*AO" _25Ji 4

BD

418

uz

=8 v CD:z

**sés

Villena Muñoz

Cq+.75

QMrúw"l,q.rw

SOLUGIÓN: Ubicando los datos en el gráfico.

,4

=fi

Tomamos como base EC . Determinamos h. considerando que el triángulo ABD es semejante altriángulo ADC:

h2. ::-:-4fu" -16+h:4 Eh

Finarmente: Area

a,ABC:

(toX¿) 2

:2auz

+ En la figura adjunta,

q es un triángulo

¡

¡sósceles de ráE igual a 6; es un triángulo equilátero de lado de medida igual a 2. Entonces la medida de la hipotenusa del triángulo

p

es iguala:

a)

6

b)

i\iJ

c)

:(e-r)

d)

3

e)

6^5

SoluclóN: lnterpretando la información proporcionada, tenemos:

x2 El área del triángulo'q" es:

Ao:VX*) =u

2 -:6

x2 =12 ^.,,*' : .rfl2 j^

x:2,5 "EI' ..

la altura del kiángulo equilátero',1,,,

419

Cap.75


SeMríat"la

Á,,

:x+Y -2"5+.'ií ll 3\'6 sen 60" I

se¡n60"

np" tenemos: Y para el úiángulo

_ 3jt

sen 60"

¡

=!f

+ t=6

1l3

2 RespuEsrn: Opción'a'

2.

En eltriángulo, MN ll BC, AB = 6, BC = 15, MN = 9' Determine

'?':yU') per(LAMN)

Sobre el lado AB del cuadrado ABCD se construye un triángulo equilátero AEB y se unen los puntos E y D. Si AD = 1, calcular el área del triángulo DAE y la longitud AG.

4.

Dado el triángulo

LABC, y los puntos medios D , E , ATeaLDEF

lados deltriángulo. Determine la relación:

5.

420

F

son los puntos medios de los

Ar"rMBC

La esquina inferior derecha de una página se dobla hasta alanzar el-lado mayor izquierdo' determine la 66mo se muestra en la figura. Sielancho de la página es 6 cm. y longitud'L'

A:30o,

I¡isés

Villena Muñoz

Cap. 7 5 Swwwfyíw Plaila,

6.

Calcular el área de la región sombreada, si el cuadrado ABCD tiene lados de longitud ,'a" y los puntos P y Q son puntos medios de los lados del cuadrado.

A

7.

Si P es un triángulo con vértices

Q,, Q, y Q, talqr" '

.5

p\

p,

l:? : l": Q,Q, Q;0.

v P., y O un triángulo semejante a

=

P:E

:_r

Q,Q,

=k

. demuestre

que Ap

p con vértices

:

k2

Ar.

CUADRILATEROS

[.os cuadriláteros son polígonos de cLr.atro lad.os. Entre 1os más idos, tenemos:

Rectángulo k b Base

Cuadrado

,W

Paralelogramo

421

Cap.75


6Mrí^w?l,anq,

Trapecio

t_

.B

____------_---__+

Éfupúeíay?¡oOuefutls.6 1.

;

Si un triángulo equilátero tiene igual perÍmetro que un cuadrado, entonces es verdad que: El área del triángulo es igual que el área del cuadrado. El lado del cuadrado es más grande que el lado deltriángulo' El área del cuadrado es mayor que el área del triángulo' La diagonal del cuadrado tiene igual longitud que la altura del triángulo. El lado del cuadrado es mayor que la altura del triángulo.

a) b)

c)

d) e)

2.

Encuentre el perímetro y la diagonal de un cuadrado cuya área es la tercera parte del área de un cuadrado de lado igual a 9 cm.

3.

Si se aumenta 2 m. al lado de un cuadrado, su área aumenta en 36 cuadrado inicial es:

a)4m.

bl6

m.

c)8

m.

d)16

m.

*2 - El lado del e\32 m.

15.6. r.IGURAS CIRCULARES 15.6.1 CIRCUNFERTNCIA

La circunferencia ya fue definida como lugar geométrico en

capítulo de cónicas, se trata. ahora de definirla como Ltna figura plana.

422

el

Villena Muñoz

CdP. 7 5

SeMría,,_"l,qna/

La longitud de la circunferencia está dada por: ¡JusnrfguELAl

15.6.2 CÍnCUr,o

El área

d.e,

círculo está dada

por:

m

¡Jus*rguele!

15.6.2.1 Posiciones relativas entre una recta t y una, circunferencia C l. I y C no se intersecan. En tal caso, n<¡ tienen punto en común ya

2. I

I

se la denomina

recta externa.

y C se intersecan eD, un punto. En tal

d.enomina recta Tangente.

caso a / se Ia

423

Cap. 7 5 Sumeh "uat ?l,ur,a,


3.

I y C se intersecan en dos prrntos. En

d"enomina recta secarrte.

tal caso, a / sela

.t

segmento de recta desde el punto A aJ punto B , AB, se le denomina CUERDA. A1 segmento de circunferencia- del punto A alpunto B,AB,se le denomina ARCO. A1

Si la recta secante pasa por el centro, a la crrerda se le denomina

diámetro.

L5..6.2.2 Angulo central y Angulo inscrito Bn la figura, al ángulo AP.C se le denomina ángulo centrat. Al árngulo ABC se le denomina ángulo lnscrito

Teorema

1.

424

En la figura adjunta, la cuerda AB es igual al radio del círculo, y la cuerda BC es igual Determine la medida del ángulo D.

, ,Ji

.

t¡,.es

Cap. 1 5 Gennefuíp

Vrllena Muñoz

"1,a.$6/

2.

La longitud de la circunferencia centrada

en Pn

es:

a) 8¡r b) 9tr c) l0¡r d) 18tr e) 11r

En el gráfico adjunto, los arcos MN, NP, y PQ tienen la misma longitud y circunferencia. Determine la medida del ángulo pRe.

o es el centro de la

I {

H J.P

En Ia figura adjunta, se muestran dos triángulos inscritos en una circunferencia. con ia nled,da de sus respectivos lados, si PQ es el diámetro. determine

'j '--\¿--: I

a)

+ b2

.

,!

sl \.-

i,, ----_l:l¡,__-/-a

Poligonos regulares

15.6.2.3.

circunfererrcias

inscritos

y

circunscritos

a

-{ inscribir polígonos regLrlares en circunfererrcias se obtienen

Esl-iados interesantes en relación del lado del poiígono con el radio de

h -:cunferencia.

qrwbl Obtener la relación entre el lado

r

/ de un triángulo equilátero inscrito en un círculo de radio

SOLUCIÓN:

N t\

42s

Cq+. 7 5

Mcisés Villena Muñoz

SeMría,., ?la^,a/

Deltriángulo rectángulo OAB, observe la figura, tenemos:

Cos30"

: b = I :2rCos30" * I - rJl r

Zíerrlpl,a2 Obtener la relación entre el lado

/ de un cuadrado inscrito en un círculo de radio r

SOLUCóN:

(

x

I

\ A

\

4Ki 'i

\U r /

/

Deltriángulo rectángulo OAB, observe la figura, tenemos:

Cos45"

:

t/ /2

r

+ I :2rCos45" +

t=

rJ2

Eí?mDlD3 Obtener la relación entre el lado

/ de un hexágono

inscrito en un círculo de radio

SOLUCÉN:

tllr "\t,/

t

Del triángulo rectángulo OAB, observe la figura, tenemos: Cos6O'

426

:%

=l:2rcos6O" =l:r

r

Iisés

Cap. 15

Villena Muñoz

QMríp"l,q¿w,

15.6.3 SECTOR CIRCULAR

Ai

Un sector circular es una porción de un círculo.

,/s

1I

r-t

La medida del arco "S' está dada por:

El área del sector circular está dada por:

15.6. 4 CORONA CIRCULAR

íc,ibrerwdtcl Hallar el área de la región sombreada de la figura:

Área sombread

a:

A,'2=Lor2 oo : )r2

Asector circular

- A

tnángun

A: Ar. - A, s..,*t

o

¿:

] r'(o -sen e 2\

La región anterior se la denomina segmento circular.

427

Cqp. 7 5 Seomefrí,a,,?1,q,â/


Eiercríc,brcárc)tü2 Eltriángulo ABC esequilátero,

al bl

OA:t2

cm. Determine el área de la parte sombreada.

B

245.32 cmz 265.32 cm2

cl 345.32 cm2 dl el

365.32 cm2 325-32 cvn2

Sl.ucór: Ubicando la información en la figura dada:

A: Aaoru -

El área de la región sombreada es:

A"t Para hallar elárea del

: t(12)2

"oro:l44t¡

cos3o"

necesitamos hallar la longitud de su lado

=% t2

l2cos30"

:I

2

l:24cos30"

,:24r€) \2

)

l:12",13 /

\t

(t z.,ilf sen 60" , nriángalo-

;--

Entonces:

a

^triángulo--t44u,* 2 A tiángulo:108

Por lo tanto:

428

r¡5

A:l4tt-10S.r, A:265.32 qn2

RespuesrR: opción

"b'

uns

lTz

A"¡r"o¡o = Elárea del círculo esl A.fr"uto

At

y,llena Muñoz

Cap. 7 5 GeorneÍyía, plana,,

SEGUNDO MÉTODO Podemos plantear er probrema rápidamente por segmento circurar:

El área total sería tres veces el área del segmento circular mostrado, es decir:

4. :3A^*r,,,.. ::[1(tz)'(?-runt2o )]= (z),

Por lo tanto:

r- i@)'(*)

A:144n-108..r3 A:265.32 cm2

rer*t*e-l.b 3 Si O y O' son Ios centros de las c¡rcr¡nferenc¡ai de radio igual a 1. Hafiar el área de la región sombreada.

SOLUCIÓN: Marcando los radios en la región sombreada:

Se observa que el área de la regiÓn buscada es el doble del área del segmento circular de radio y ángulo de 120'. Es decir:

!::g

r2lo - senoS)=r'1,

!

- sen2+):

1

r: ** 429

Cap. 7 5 6oomeÍYíw ?la,$6,


re,*'ue)Íc 3 S O, O' y O" son los centros de las circunferencias

de radio igual a 1. Hallar el área de la

región sombreada.

SOLUCIÓN: Marcando los radios en la regiÓn sombreada

Se observa que el área de la región sombreada buscada, es igual al área del triángulo equilátero OO'O" más tres veces el área del segmento circular de radio 1 y ángulo 60" . Es decir:

z

: | 1t¡{t)s m6o" +:[ trl' (! - sen ?]:

;-+

rewe,l.fu4 Si O el centros de las circunferencia de radio igual sombreada.

SOLUClÓN El área buscada sería el área del hexágono menos el área del sector circular de radio 1 y ángulo

de 120"

430

Villena Muñoz

Cap. 75

GMyíat?lÁ,na,

El área del hexágono sería;

An

-ñ 3.6 x' =irto=*(6XRXR sen6o"):3R, i=-, -,

El área del sector circular sería:

Ac

=**'(?z):aR, " 3 \3,/

Elárea buscada serÍa: A = An

fít

- Ac :{

*, *! a, :(*

-:)"

reu,rc,lfu 5

Si eltriángulo A,BCes equitátero

d" ¡rdo ¡ =

2,hallar.m C

SOLUCIÓN:

La región sombreada es una corona circurar, por tanto habrá que determinar ros radios de circunferencias.

ras

C

Recuerde que

l: J3p

entonces

.R

=

:I VJ

Ahora bien, en eltriángulo rectángulo OAD: rg30" Por lo tanto:

,4:o(R, \

rl2r =-=; _::_=r=

lzJ:t

.-I 2J3

-,,)="f / -(:L--L):Lt, -L2, _, t2)-4'-2.

.r3r

Cap. 1 5 GunPfrí,a¿ ?lÁn a/


E 'e,rei,oínt

15.8

ei;i

bdo del hexágono regular y BC es el lado del triángulo equilátero inscrito en el cÍrculo centrado en O, entonces el valor del ángulo B es: Sr AA

\\ )

es igual al En un círculo de radio'r'se tiene inscrito un reciángulo de tal manera que la base del rectángulo rectángulo' del la altura de la medida Determine círculo. del radio

El área del triángulo equilátero circunscrito a la circunferencia es

4Jl

. Calcular el área del triángulo

OAB.

Si el triangulo equilátero de la figura adjunta tiene un área total cuyo valor es

Jlo'

,calcule el área de

la

región sombreada.

Si se conoce que la longitud del lado de un cuadrado inscrito en una circunferencia es de

lJi

m-

determine el área del cuadrado circunscrito a la circunferencia' Si el perímeko del triángulo equitátero inscrito en una circunferencia es de 9 cm., determine la longitud del lado del triángulo equilátero circunscrito a la misma circunferencia. a

En la gráfica se observan dos circunferencias conéntricas de radio interior 'r' y radio exterior 'R'' Si el 'a' unidades, deiermine el segme-nto AB, que es tangente a la circunferencia intema, tiene una longitud de área de la corona circular.

432

bs¿s

.' rena Muñoz

Cap.

t5 Gennearía,"l,a.na,

El valor dei área de la región sombreada de la figura adjunta es:

a) (15;¡ 11'l ,nt) b) (25,r-- 12),.trt] ci ( I 1.5;r 21) cnt' d) (.25¡r - 2l\ tnt': e) (2.5.t )1) , t,t:

El porcentaje de facción

le

está grálicamente representado por cualqurera Ce as

j

j;

€-iÉS --:_.2:

sombreadas. ldentifíquela

b)

¿t)

rl

c)

)

5i el á..-,: del

r:Liadradc

tB('l)

es l6¿r '

,- se dr;ide

en

l(i

cuaCraij-.. ¡

ra',aCa es

d

i.:

l:)

i rrl

c,, (1--

+l¡t

,-¿

t't

) tt:

d) (-i.'r, 4)¿¡

e) lr-4)u: C

11.

Encuentre el área de la región sombreada de la figura en términos del radio

l'

l 12 Si los lados del cuadrado ,lBCD a) 16 <:nt2 b) 8r c,m2 c) 16zr ctn2 d) 2n cnt2 e) 4tr ttnl

miden 4 ¿ri¡. Entonces el área de la parte sombreada de la figura es

+JJ

Cqp.75

tloases Villena Muñoz

13.

SeMrí*?la

^q/

En el triángulo equilátero de la figura ad.iunta se construyen seis arcos de circunferencia ubicando srs centros en los vértices A, B,C o en los puntos medios de los lados D, E, F . Entonces el área de b región sombreada es:

a)

-zJi\ b) ,'(r-ú) "'Q."

2)

I

c) "'$o *ill\ d) ,r(,-'é) I 2) e) ,( ¡) ' o-lr--l \ 2)

14.

Si el diámetro de ta circunferencia de la figura adjunta es lO

5Jl

cm. y la longitud de la cuerda ,eA

o

, entonces el área de la región sombreada es:

,t(t-!\2) \3

,t(z-§\ (3 4

b)

)

25r 3

d)

(3 4 ) 'oJ¿-€l ,olr - l) 2)

e)

\3

En la figura adjunta

ABC

es un triángulo equilátero y su lado mide lO

puntos medios de cada lado;

MN, PN y

PM

crn.;

P,

M y ly'

son los

son arcos de circunferencia cuyos centros son los

vértices del triángulo. Entonces el área de la región sombreada es en centímetros cuadrados igual a:

a) tooJi -zstt b) (i)6'.4-r'") /_\ z(soJ: -2str)

c)

[i)ú*.r -,") e) (i)6'Jl -,-) d)

El perímetro de la región sombreada es:

a) (r +z) b) (r +2) c) G'*r) d) n(tr +2) e) 2(tr +2) 17.

En la siguiente fgura:

AB:BC:CD:AD r :4crn

Entonces el área de la región sombreada es:

a) b) c) d) e)

434

32crn2 8 cm2

5 cm2 6 cm2 16 cm2

DEÉS

Cap. 7 5 Ge,ome-fyí,* ?l.a^§,

ENA MUñOZ

18.

,C

El perímetro ce la regicn sombreaCa es

a) 3,,r cm b) (3,r+l)cm c) 3cm d) (:,r + 2) ., e) 4cm

19

?C

o

2an

I

Calcuiar el área cje la región sombreada. sr ei racjio de ia clrcurrfererrcla externa es 2a

Deternrine

er área de la

perpendiculara las rectas

regrc'_:

l.'¡ l,

sornbreaü¿

del gráfi/tc aclirnii). conoclenla -jrje

, sobre elias se graflca una circunferencta de

ra:,:

:.

una segunda circunferencia de tal forma que es tangente a la primera crc¡i-.ferencta rectas y /,

/,

21

22.

i:

_eq: sú :.¿.t"

! i¿:ce:,i.:

¿:

La figura muestra un hexágono regular cuyo lado mide 5 cm. Si cada vértice se toma como centro para construir arcos de circunferencia desde los puntos medios de cada lado: M, N, o, p, e y R, ¿cuál ás el área de la superficie sombreada?

Si se tiene un polígono regular de n lados, donde la longitud de uno de sus lados es 2. Demuestre que la medida de ra

aa

a:ecia ,

'l\2, 1 =)"1

aporema.,,*[l

i

Demuestre que el radio de la circunferencia que puede circunscribirse en un polígono regular de ,,n,, Iados, donde la longitud de uno de sus lados es 2, está dado por

,.rl ( '-'

\

11

L\2n)l

Si P es un poligono regular de n lados inscrito en una circunferencia de radio r, demuestre que el área de p

eS

_I til._. sL,nlt2z'\ _ I [ri

l

/

4-l5

Cap. 7 5 q @aYLOA4,A/


25.

Sea

l, B, C untriángulocualquierainscritoenunacircunferenciaderadio

deltriánguloes

A=#

Y

tÁ,nca/

r.Demuestrequeel área

t,s¿s

Villena Muñoz

C

ap. 7 6 G eomeáría, d**f tpar,i,c

16. 1. SuppRF.IcIE Pnrs*rÁrrce Y PRIsMA 16.2. SuppnF.IcIE PrneuuDAL y PIn¡í,MIDE 16.3. CupRpos REDoNDos 16.4. SÓr,rpos DE REVoLUcIÓN

rguol que lo geometría plono, ¿xisten superficies y sólidos del espocio que se presenton en problemos reales, de ohí su importoncía poro nuestro estudio.

43-

C


oQ. 7 6 G eomúYí,a., d** E *Par,t

a

Wwr, SE PRETENDE QUE EL ESTUDIANTE:

. . .

Defino superf icíes y sólídos. Determinar éreos de superficies. Determinsr volúmen"s de sólidos.

16.1 SUPERFICIE PRISMÁTTCE Y PRISMA 16.1. 1 DETTNICIÓN

Supongo gue se tiene uno poligonal d Y que se tro zan rectos Porolelos o uno recto dodo siguíendo la poligonol; ol coniunto de puntos que Pertenecen o estos r¿ctas se

g

denomino

SupepFtae

PprsnÁrzce

I¡togrrNtoe.

d

A la recta

g

se la

llarna generatriz y a la poligonal d direetriz.

Observe qLte la superficie prismática sería la frontera.

En cambio PRISMA sería Ya no considerar a la poligonal solamente sino a su región interior también, es decir al polígono. Por tanto nos

estaríarnos refiriendo al sólido-

Si consid.eramos la región limitada entre dos planos paralelos tenemos

un pRISMA DEFINIDO. Aqui surgen las siguientes definiciones. A los polígonos de los planos se los denomina BASE. Si g es una recta 438

lÉrés

Villena Muñoz

Cap. 1 6 8 wnn eÍyí,w ddl/ E Wq&b

¡rrpendicrrlar a los planos que contienen a 1as base, tenemos un pris¡nq. lEfto definid.o. Caso contrario se 1o llama Prismq. Oblicuo. Nos fuicaremos al estudio sólo de los prismas rectos.

Cara Lateral

Lâs

übujo fuota

deñniciones que surgen para este cuerpo están ilustradas en el anterior. La distancia entre 1as bases se d.enomina altura y se la con la letra h.

,.6.I.2 ÁNPE DE LA SUPERF'ICIE DT UN PRI§MA El área de la base, es eI área de una figura plana, por 1o general un ügono, por tanto su cálculo se lo reaLiza igual que en geometría plana. El área de la superficie lateral, se la determina hallando el área de una de las caras laterales y luego habrá que sumarlas. Si la base es poligono, entonces las caras laterales son rectángulos y si el polígono regular, bastará con hallar al área de una cara y multlpficarla pár el

:.¡3ero de lados.

El área total será igual a la suma del área lateral con el doble del área una de las bases. Es decir:

ütot : I

Laterat+2ABoru

16.1.3 VOLUMEN DE UN PRISMA El voiurnen de todo prisma está dado por el producto del área de una por la altura. Es decir:

Y * Arornh

439

Cq+. 7 6 I ennefría¿ dol, f ryat


ia

16.7. t.

S" necesita construir una piscina como se indica en la gráfica. Si el metro cÚbico de agua tiene un costo 1 dólar. ¿Cuánto gastaría en llenar la piscina?

d:

arctan

l0

L6.2. SUPERT'ICIE PIRAMIDAL Y PIRÁMIDE

Seo un polígono convexo. Seo v un Punto tal que no Pe?tenece al plano que contaene CIl potígono. 5e denomina SUPERFfiCfiE PÜRAilTDAL O ÁNAUIO pOmÉOnrco al

conjunto

de puntos Pertenecientes o

semirectos que tienen como ortgen o v ue intersecan a lo poligonal del polígono

444

Y

de

Cap.76

Villena Muñoz

QMíwdáEtpaab

Si las semirectas intersec€¡.n a todo el polígono, tenemos una región ida que se denomina Pirámide Indefinida. Si considerarnos la región ior de la superficie piramidal limitada inferiormente por un plano la corta tenemos una Pirámide Definida o simplemente una imide de altura h, y si el pie de la altura de la pirámide equidista d.e vértices de la base tenemos Llna pirámide recta. Las defiricion." s. en la figura.

Th

I

Y

16.2.T ÁNPE DI LA SUPTRT'ICIE PIRATUIIDAL [.a base es un polígono, igual que en los prismas, por tanto el área de superficie se la determina de la misma forma como ya se ha ionado. EI área de la superficie lateral, se la determinada hallando el área de una de las caras laterales y luego sr¡mar1as. si la base es tln no, entonces las caras laterales son triángulos y si el polígono CS

rr, bastará con hallar al área de una cara y multiplicarla; por de lados.

EI área

e1

total será igual a la srlma del área lateral con el área d.e la

Es decir:

16.2.2 VOLUMEN DE UNA PIRIí,MIDE El volumen de toda pirámide está dado por:

441

Cap. 7 6


8

wtnpfrío dd/E tPa&b

1.

Hallar el volumen de una pirámide triangular en la que todos sus lados y aristas tienen la misma longitud

2.

Determine el volumen del sólido que se muestra en la figura:

/

cuya Encuentre el área de la superficie lateral de un tetraedro, cuyas caras laterales son congruentes, cm. mide 24n la a base circunscrita y la circunferencia base de la apotema mide el triple de la arista

mide 3 pies y su Un recipiente sin tapa üene la forma de una pirámide regular invertida, donde su. altura pintar 100 de estos un hexágon'o inscrito de una circunferencia de diámetro igual a 2 pies. Se desea O"r" ". por dántro y por fuera, para lo cual se utilizará pintura donde con un galón se puede pintar 470 recipientes '100 p¡áJ"rrOráor. Determine la cantidad de galones de esa pintura que se neces¡tarán para pintar los

16.3. CUERPOS REDOITÍDOSI 16.3.1 CILINDRO

El cilindro es un prisma circular, e's decir stls bases son círcrrlos. Las dirnensiones que 10 dtfinen es la medida del radio de srr base y su altura.

-La superficie lateral es

->-

lln rectánguIo, observe la figura:

I I

Entonces, el área de la superficie lateral sería:

442

cap. 7 6 SeMyía¿ dúErpaab

Villena Muñoz

Y su área

total

sería:

su volumen sería

t6.3.2

W

CONO

El cono es una pirárnide circular, es decir srJ base es lrn círculo.

Las dimensiones que la definen es el radio de su base y su altura. La superficie lateral es Lln sector circular

2m

Llamando g a la cENERA?nÍz del colLo, observe la figura anterior, el de la superficie lateral sería:

Pero

lentonces

443

Hoisés Villena

Cap. 7 6

tuñoz

SeMría¿ dúEPario

Su volumen sería:

16.3.3 SrrPtRE'rcrt Esr'ÉRrcA

16.3.3.1 tSFtRA

La Esfera entonces es la región interior con sll frontera.

I

El área de la supcrficie esÉrica es: I

444

Villena Muñoz

Ca+. 1 6 8 eompfría,, ddt t *par,ia

un cono recto está inscrito en una esfera de radio R-/..rt.7. s¡ el voImen y radio del cono es l2n cm3 y 3 cm respectivamente. Halle el área de Ia esfera.

SOLUCÉN: como elárea de la esfera es función delradio, entonces debemos encontrarlo. Llamemos ala altura del cono y alradiode la base del cono. El radio es dato del problema y la altura puede ser calculada debido a que nos proporcionan el valor del volumen delcono.

h

r

V,3=!*'h

72,-=!r1)rh+h:4 3" Ahora observe la figura:

Aplicando Elteorema de Pitágoras altriángulo

h-R Tenemos R2 = 12 R2

R-

+(n* n)'

:12 +h2 -2hR+R2 12 +h2

2h

,\o --=32

+42

25

214)

8

Finalmente

n,

=

o,(+)

=

625rg¡77'a 16

-

44s

Cap. 7 6 8 eMrío d**Z *PaaOa


16.3.4 CONO TRUNCADO Analicemos un tronco de eono.

h':H -li

I

Note qLre: Srr

, _h _g RHG

volumen

es:

¡Demuéstrelo!

El área de su superficie lateral ¡Demuéstrela!

l.

Una esfera está inscrita en un cono y la longitud del diámetro de la base del cono es ¡gual a la longitud de la generatriz del mismo, los cuales miden 10 cm. Detennine el volumen de la esfera'

2. Una esfera está situada dentro de un cilindro de manera que la altura y el diámetro del cilindro tienen la misma dimensión que el diámetro de la esfera. Determine la relación entre el área de la superficie esférica y el área de la superficie lateral del cilindro.

3.

r

se tiene inscrito un cilindro de tal manera que el diámetro del cilindro es congruente En una esfera de radio con el radio de la esfera. Calcule la relación entre el volumen del cilindro y el volumen de la esfera.

4. Sean dos esferas concéntricas, con la caracteristica de que la esfera externa se encuentra circunscrita a un cono cuya generatriz mide 3 cm., y es igual en longitud al diámetro de su base; la esfera interna está inscrita en el mismo cono. Determine el volumen del espacio entre las dos esferas.

-3

S. Un globo esférico contiene originalmente

'1' "rt

de aire. Luego de inflarlo más, se halla que su diámetro ha

crecido 2 cm. Determine el volumen de aire que se incrementó.

!

6. Un recipiente en forma de cono recto de 15 cm. de altura y radio 'r' üene sus 27 oartes llenas de helado. determine la altura'a'del helado.

446

Yillena Muñoz

C

ap. 7 6 Q eMrí,a¿ ddt t *par,tt

I I

l5

cm

7' En un cono circular recto donde el diámetro de la base y su altura miden 3m., se inscribe otro cono cuya altura mide 2m' de manera que él vértice del cono inscrito coincide con el centro de la base del cono circunscrito. Determine el volumen del cono inscrito.

8' Dos esferas tangente§ externamente tienen radios de longitud iguala 8 cm. y 12 cm. respectivamente. Las esferas están situadas sobre la superficie lisa de una meJa. Delermine la distancia entre los dos puntos de tangencia de las esferas con la mesa.

9' si

la longítud del radio de un cono recto aumenta en un 25oA y la longitud de su generatriz disminuye en un 607o , determine en qué porcentaje disminuye el área de la superficie lateral del cono.

10'

una caja cuya superficie conesponde a la de un paralelepípedo recto rectangular caben exactamente .En seis latas cilíndricas de radio r . ¿Cuál es la razón entre el volumen de las seis latas juntas y el volumen de la caja?

11'

Una empresa necesita enlatar productos para exportación. Los requerimientos son los siguientes: el envase debe ser cilíndrico con una capacidad de 400 cm3 y un diámetro de longitud igual a 15 cm . Sise desea colocar una et¡queta adhp,siva que recubra la superficie lateral externa, ¿cuánto material deberá utilizar en la elaboración de 1000 latas?

12.

Se tiene una orden de trabajo de 1000 cojinetes de bronce, los mismos que tienen la siguienle forma:

I

t_ l5 cm

¡a

,J_ lo +

"*

Sabiendo que en el proceso de fundición del bronce se tiene una pérdida del l}yo del material fundente, ¿qué cantidad de bronce ¡ cm3 ) hay que considerar en la fundición para obtener el número de cojinetes

que se desean?

13'

r

Una esfera de radio está inscrita en un prisma recto de base hexagonal, tal que la esfera es tangencial a cada una de las caras laterales y a las bases. Determine la razón entr;l v;lu;dn de la esfera .l ,"i,rr*.

del prisma

v

447

Io¡sesVillena

Muñoz 14.

Cap. 76 Swmefrí*d*,1,'lryar,b Determine el volumen de la pieza de acero que se muestra en la figura:

8cm

r t) \,¡ t\---./ tl ll tl l¡ tl

|

Lt 16.3 SÓr,rpos DE REVOLUCTÓN Las figuras planas conocidas, como los triángulos, rectángulos y circunferencias, pueden ser giradas con respecto a un eje y se generan los sólidos de revolución. Estos sólidos serán cuerpos redondos. Consid.eraremos sóIo ejes verticales u horizontales.

448

Villena Muñoz

Cap. 7 6

QMrí*

doltf tpaoio

Ejennpl,a 7 Hallar el volumen del sólido que se genera al girar la región sombreada alrededor del eje y.

SOLUCIÓN: Observe que al hacer girar

360'

la región sombreada alrededor del eje

y

, se forma un sólido compueslo

de un cono con un cilindro y en su interior hay un vacío de una esfera.

Portanto:

V=V +V.. ütiilrdtu -V¡\t.nr

Entonces

v

: ! *'r, + n(zu)z(zu)-!*' :l *'3 3 3

+gtu3

*r, :7mt3 -!3'-

qrwb, Hallar el volumen del sólido que se genera al girar la región sombreada alrededor del eje indicado.

2a

449

Cap. 7 6


8

wmúrío

SOLUC6N: El sólido generado está compuesto por un cilindro y un tronco de cono.

ú

Por tanto:

fr:

Sea

R

7 z l0 r-'o*!b' +2aa+(2.a)'b: *' +-rra':-JT(I' 33

una región de R2 definida por

Hallar elvolumen del sólido que se genera al girar

alv b),

SOLUClÓN:

a)

alrededor del eje

y

R

alrededor del eje:

tenemos:

=4 2

El sólido generado esta compuesto por un cono y un cilindro, entonces

v

450

1

: v"no,, *V"tun¿n :lrto)'

4 + n(4)'?

,

=Y "

dolt E *par,Oa

]¡isés Villena Muñoz

b)

C

Alrededor del eje

x

ap. 7 6 G wmeÍría,, dol,,t ryaalc

tenemos:

El sólido generado es un tronco de cono, entonces:

v

: a(e), *(z{o)+

(o).Xo):

ry "

Determine el volumen del sólido que se genera al girar la región sombreaAa álre¿eoor oet e1e inOicaao

En el trapecio de la figura, las longitudes de los segmentds AC y CE son respectivamente 2 m. y 1 m., la medida del ángulo CAB

",

L 4

. L"figura es rotada

360o

alrededor del eje

pe. Calcular el volumen, y el

área lateral del sólido de revolución generado.

451

Cap. 1 6 I emqtfría¿ dd/E tpa&b


Al rotar una vuelta completa, la parte sombreada del gráfico adjunto alrededor del eje PQ, encuentre

el

volumen del sólido generado.

a

P

Al rotar una vuelta completa, la parte sombreada del gráfico adjunto alrededor del eje PQ, encuentre su volumen y su área lateral del sólido generado.

5.

Determine el volumen del sólido generado al rotar la región limitada por la semicircunferencia definida por la

y' *

4x

ta región timitada

por

ecuación

6. Sea

R

r=

+

- 6y +12 :0,

alrededorde la recta

y = J.

[-v>l*x lrr(?-r 1

;.;

l-,=o Determine el votumen del sólido de revolución que se genera al rotar

7. Sea

R

la región definida por

del sólido que se genera al rotar a)

eje

x

,

b) la recta

8. Sea la región R

x

:4

alrededor del

ft:{(t-r)eR2 /0
eje :r

:

2

Determine el volumen

.R alrededor de:

={{*,y)elR2 /0 a,x-2y+4>0,x+ 2y-12<0} . Determine et

volumen del sólido que se genera al rotar

4s2

R

R alrededor de la recta x

:

6

.

r',,1

i : i'¡

Lap. 77 Vert<>re¿ e,*

tr .

17.L 17.2 L7.3 L7.4

DEF.INICION ENF'OQUE GEOMÉrnrco IGUALDAD OPERACIONES

.

.

'4.

"¡ ,

Los pores ordenodos, gue yá se han trotddo; son los Que llomoremoi! vectores de ?.t . Pero el inlerés ohoro es ser"mós generol.s."t I

.,

..,

,¡

i

tdr

+*

j-i

.]

CaQ. 17 VexÍore* e,w F.'. ri''.' "'R"

l\4oisés Villena Muñoz

W

5E PRETENDE QUE EL E5TUDTANTE:

.

Defino vgctores

' . . . . . . . . . . . . . .

Opere (s¡m¿, reste, multipligue por escolores) Vectores Def itm y calcule normo de un vector,

en

]R2,Rr,...,]R''

en lit',.IR3,"',R"

Defino vectores unitorios.

Obtengo un vecfor uniiorio o portir de un vector dodo' Exprese un yector en combínoción lineal d¿ otros vectores dodos. DeterminE si dos vectores son porolelos. Colcule producto punto. D¿termirc m¿dido de ringulos entre vectores' Defino vector¿s ortogonoles. Datermin¿ si dos vsctores son ortogotmles o no'

Determine si un conjunto de vectores es ortonoríiol o no' Colcule proyeccién escolary vectoriol' Encu¿ntre las componeñies ortogoñolqs de un vector' Encuentre el producto cruz enfre dos veclores' Hotl¿ el árudel porolelogromo §ust¿ntodos por dos vectores' vectores' Encuentre el volumen del porolelepípedo sustentodo por tres

17.L DET'INICION

Un vector de IR." es un

coniunto

ordenodo de n números reales, los cuoles §on llomados comPonentes. Lo denotoremos de lo siguiente monera" v - (q ,x2,'",x,) Si el vector tiene dos componentes, Lln par ord'enado ('' y) , será un vector de R.2 . Si e1 vector tiene tres componentes, 1r'n terna ordenada (.r'..1',2), será un vector de R-t

.

Considerar alos vectores de R2 corno pares ordenados o a los vectores propiedades de R-tcomo ternas ordenadas, nos permite obtener sus se define ltna algebraicas, pero existen otras que resr¡ltan cuando representación del vector en el plano cartesiano para vectores de XR'o en el sistema tridimensional para vectores de R'3 '

L7.2 ENFOQUE GEOMÉlnrco Un vector de R.2 Se 1o representa en el Plano Cartesrano como un segmento de recta dirigido. Suponga que se tienen los pu'ntos 4(','-y, ) )' pr.(rr,yr). Si trazamos un segmento de recta dirigido desde I hacia P. tenemos una representación -15,1

de1

vector'

Ca+. 7 7 Vúore* ow

ena Muñoz

R' .r.t'....,

R.

v:PlPz:{*z-x1 ,yz-!t)

gt*,.

17.l

+--

-tener I

I

:::: "-ector pr-rede muchas otras representaciones ré' :- p-ano cartesiano. Una representación equivalente útilequivalentes es aquella @'É s: :eal'iza ubicando al vector con el origen como punto de pártida F -.< )r - - -, .:-I .§

>--::gen características importantes cuando obtenemos una E:-:s::-itación geométrica de un vector. Caracteristicas como la longitud @3- S:-<:xento de recta y la medida del ángulo de inclinación de este ---::-:O.

L.2

L7.2.1 MAGNITUD O NORMA

Seo , - (r,y) un vector de lR2. La mdgnifud o norma de v denotado como ll"ll , se def íne como:

+,i

_.

Ca+. 77


Vefurwelv

R',R',...,R"

EíemDlDl Sea v

: (t,t)

, un yector

de

IR2 ,

haltar llvll.

Soruo&r: Por definición:

llvfi:ff:€ EíenDlD2 Se v : (-.6,-r)

, un yector

de

R.2 ,

hallar llvll.

Sou¡qór.: Por definición:

Note,qrre la norma sería la longitud del segmento de recta que define el vector. Es decir, sería la distancia entre los prrntos que 1o definen. sería

Para

L7.2.2 DrnpccróN

Si el ángulo 0 es medido en sentido antihorario se 1o dirá positivo, caso contrario se 1o considera negativo-

Hallar la dirección

6"

,: (t,t).

Sotucl&t: Por definición:

O:a¡cta¡l =fr t4 O

4s6

También: 0

:

-7 L 4

Vrllena Muñoz

Hallar la dirección de v

: (-s,-')

Sor-uc¡óN:

Por definición: l-

0-¿rctan*=r* O

También: 0 = *5

L 6

t:(rz -x1 ,!2-fi)

serÍa

0

/t - arct36tl': xz-xt

Cap. 77


VúreYelv

IR2,1R3,...,R"

tenemos:

\(,,,v,)

n 4(n,v,)

La representación Geométrica para gn vector de lR3 sería aná,loga a IR2. Suponga que se tienen los pr'rntos Pr(*r,!r,zr) Y Pr(*r,/r,zr) . Si trazarnos un segmento de recta dirigido desde { hacia P, tenemos Lrna representación del vector

P,

-(x,Yr,zr)

m x

Su representación con punto de partida el origen sería:

m

458

tlena Muñoz

Lo magnitud define como:

- 11

c1

o norma de t: (', Y,z) se

n:(*z - xl , lz - h,z2 - 1)

sería:

'---l

La dbección de o:(r, y,z) está defínida por lo medida de los ángulo que forrno lo línea de occión del segmento de recta con las direcciones positivos de los ejes x, ),, Z

I

Fig. 17.6

= árngulos a lser-ve qLle:

, /) y ,/ son iiamados Ángulos Directores.

^x Losa: llnll

CosP:

+y?+12 v

l't ) ffi {x"+y'+z'

1

1<


Para más dimensiones no disponemos de interpretación geométrica. Pero podemos hacer generalízaciones.

I7.3

IGUALDAD

I7.4

OPERACIONES

17.4.1 SUMA Y RESTA

60

L'.ap. 77 Vectore*&t4t

-i-

I

1'. =-, i,,

?. Le: resta f'

t,

i

__ V_,

1',

Eí Sean

con

de \',

*. l''j 1'

.,,"

'

',

X,,+ J',, )

, denotado como

, Se de f ine como:

-* \ra -- (,, -*

i ':.-l.ily

,.

iqt'1 2

\

r

1¡1:r-o¡1¡g

.-\.,,i

1-\.-t

\::

"tr--:

1:

r,Jr'--

,l'-r

r"'r-t-r,

-.1'r,

)

l,o'

§-o_!!!:t!¿\ :. , ; .l.l

L7

.1" ,

:

j-

13¡,

,

rics vectorús (ie

.hallar\ ¡r

y1,-\

-.';:r:: ...,l 'i,OI.iet-ieS .tlttit :taS :'. i _ l. t! -l r:

ti i-(-',1--,.{

\. 1-_l}

.4.1.1 ENF.OQUE GEOMÉTRICO

¿r li.'i,)resctrtación.

t- - I i - . . r -,

Fig. 17.7, par¿t los vectores vl

:(rr,yr)

y

\ I

17.7

-

una representación equivalente -.'¡ri r¡r-io a colttir.luacion de vl , Fig. lT.B. :-rsiclerando

de Y-¡ de ta1 forma que

.ló

i


Definiendo el vector V3 :

(*r,yl), observe la figura anterior: Ahora tenemos Que v2 : (r¡ - x1, !3 - yL) :(rr, h) - (*t, yr) Por tanto

Y2:

V3

-

V1 ; es

decir:

El vector de !a diagonal mayor del paralelogramo que sr¡stentan lo vectores Yl y Yz es el vector suma d'e v1 con Y2' Por otro lado, definamos e1 vector v4, fig. t7 .9.

YffiW (rr,/r)

El vector de la diagonal menor del paralelogfamo que sustentan lo vectores vl Y Yz es el vector diferencia.

kpcu*e: 462

¿Cómo se representaría

I'

Villena Muñoz

Para

1R3,

CaP. 77

Vefu¡e*e/v

IR2,]R3,--.,R"

el asunto es aná,logo, fig. L7.tO. z

v1:(x1,!1,21

-

L7.4.2 MULTIPLICACTóU POR TSCAI,AR

463

CoP. 77


Sea v =

(-s,2,t)

Verc*€,.4/

un vector de R.3 , haltar 3v

souuc¡ó¡:

3v

:3(-5,2,t) : (-tS,6,3)

y v1 dos vectores de R3 tales que: Yt:(3,o,1) y ', : v:2vt-3vz

Sean v1

vector Soluc6r:

R2,1R3,...,R"

(-5,2,1) . Hallar el

v:2vt-3vz y: (6,0,-4)-(-ts,o,r)

v:(21,4,_7)

]7.4.2.1

.

TNtr1OQUE

GtouÉTRTCO

Si aelR y v€]R'2 o Y€]R'3,entonces: 1. Si W;1, el vector dv reptesenta un vector de mayor magnitud qrre v. 2. Si lo
,.7.4.2.2 PROPIEDADTS

Las demostraciones de las propiedades 1, 2 y 3 son fáciles de realizar (no olvide hacerlas); veamos la demostración de la propiedad 4. 464

Villena Muñoz

Sea a e $R y seav =(xt,xz,xt,...,xo), entonces:

llooll: =

,lo'(r,' * xr.' + *r' * ...* *,')

:J7

-ll,"ll=l,lll"ll Veamos un ejemplo donde se emplea esta propiedad.

Sea

v=(-50,20,10)

hattar llvll.

sor-uclÓr: §e observa que v

=to(-5,2,1),

entonces

:

T7.4.2.3 VECTORES UNITARIOS

il'il=Gref :,6i:,[?=, trn vector

v

puede ser expresado de la forma

Hallar un vector unitario

u

para el vector v

:

v - llrllrr

por tanto

(1,2,3)

Soluclóx: Aplicando

465

Cap. 77 Vefurw€,¿tl


M:#

, = *(1,2,3) ./l 4

( t -

(

.4.2.4

ll"ll:

I

I

Jt¿ '.ll¿ ^lt+ 1

-

17

z 3)

I

!¡

R.2,IR3,.'',Rn

-

-

VtcToRts

PARALTLOS

Observe lq siguiente.

y Yz:(yr,!2,"',y,); y si son para"lelos

si vr:(x,xr,"',xn) entonces

Yr: fuz (x,x, . . ., xn) : l, (yr, !2,. . ., y,)

(x*x, ''', xn) - Uv,Wr,'''

tlrY")

Por igualdad de vectores

xt:

fut A x2:

b, A"' x,: .

lV,

O también:

*, :k -*r:...:*n ln lt lz Se concluye QU€, cuando los vectores

son

paralelos,

existe

proporcionalidad entre sus componentes' Eie/n4plü Elvector v,

6

=-!=2 3*2

466

=(3,-2)

es paralelo al vector

v, =(6,4)

porque v2

=2v1

o también porque

Itrs¿s Villena Muñoz

Cap. L7 Veúoreye¿ll R'. R.',. . .. tR"

Por otro lado. Note que cualquier vector de R, , t: (r,y) es:resado en términos de los vectores i:(1,0) V j : (0,1)

'

, puede ser

: (','lll':,:). /(o'r) ,n+yJ

ls decir, tenemos otra representación algebraica fít

lD

El vector

: " (2,-3)

Ruede ser expresado de la forma v

-

dei vector.

2i

- 3j

de R"t, ,*(r, ),,2'), puede ser expresado en término de los (t,o,o) ,j:(o,t.o) v ¡:(0"0,1)

,:

(r, ),, z)- -r(1,0,0) + y(a,1, 0) + z(0,0, v :.ri + y,j+ zk

I)

Eít

:ios

El vector u

Con

1o

17

:

(2,*S, -l) también se lo puede denotar de la forma v

:

2i_

_5j

+ 3k

anterior sllrge la siguiente definición

.4.2.5 COMBINACIÓN LINEAL

Seon v, v2, v3, - . ', vn vectores de R " . Una combinación Lineal de estos vectores es uno expresién de lo formo: QtYt+A2Y2+a3Y3 ]STC

donde

o1>ct2,e3r...ren e

.+ anvn

R

Jcserve que el resultado de la combinación lineal es otro vector de

J6-


t¡e*qt-a Con los vectores

,, : (t3i y v" : (S,Z)

al formar la siguiente combinaciÓn tineat

f

tenemos:

3v,

-2v,

= 3(1,3)- Z(S,Z)

:(3,e)-(to.+)

: v

El resultado el vector

(_7,5)

: (-7,5)

También puede ser posible expresar un vector en combinación lineal de otros vectores.

qíe+nplc Exprese y encuentre la combinación linealdelvector

y

n:(l,S)

en términos

de v,

:

(2,3)

v2 =(1'1)

SOLUCóN: La combinación lineal

v: (7,9) en términos de v, : (Z,Z) y v, : (l,l)

sería:

v :dat +qvt (t 's¡ = a(z't)+ P(t'r\ Ahora, el objetivo sería determinar el valor de

ct y B .

F:t l3a + B:9

[2a

+

Resolviendo el sistema, obtenemos:

Portanto:

a =2 y 0

:3

v -.,Yt +Fv, (t 'e¡ = 2(2'3)

sean v, =

+ 3(l'

l)

(1,-2,3), vr:(-3,2,5), v, : (2,-<,t)

.

calcular:

c) v,-vz-v, a) vr*vz d) 2v, -4vr+7v, b) 3vr+5v. Dados los vectores v,:(*3,4,-2) vr:(3,4,-6) tr:(+,-t,S).

Halle un vector

v4

tal que

Yr+v2+v3+v4:(-1'4'5) a)

(-s,-:,-a)

b)

(-s,3,-8)

d)

(s,-3,-8)

e)

(-5,-3,-6)

Sean los vectores Enionces un vector

(-5,-3,8)

de lR3, vr = (2,-l,a) , v, :(2,3,-l), vr:(4,8,2), v tal que v, -2v, - vl + v = v4 , es:

a¡v:(1,t7,4) a¡ v : (-7 ,t7 ,4) 468

c)

b)

v

:

(6,8,e)

e¡v=(7,-17,-4)

c¡

v

:

Y¿

=(1,0,0)'

(6,8,9)

'.-;¿tr'.

-

'?' "

r

\

'\

/,r

i i \;ertote*'

e4,

!e( ^ ..4 :'(.

=;ir.,

:l . ,

es,ir .,rl

-.())-\ r

i-

r') -.\lSIe

ti).

t-

-

3i '¡3ior tte

S:'

--- -{

I

L7.4.3 PI1ODUC§ü PUNT'Ü {PIaODUCTO ESCALÁET}

v, :(.t, ,.f,"1 , "'r*,,) y v2 : (yrr!,2r...,- 1'r, ) vectüres de R ". Ei producto punto de \,1 Y tr'-, ,
vr r v: :.{r]rl * -lr.}i: + -Y¡-},: +... * xr!,, t. a.

$]iúnce§ ! o\

,. i

tili;

=.-l-J.-i

{íe,rnpl* 2 i1*liar r ó1. para i §oiuc¡ór.

\ .\ \ .\\'3\!. c \

+í-

Cap. 77 Vefute*e,nz lR',lR',.'.,R'


v, y v, dosvectoresde IR" talesque: vr'Yz

Sean

soLuc6N:

. vz : (-2X3) Vl'Vz:-11

vr

I7.4.3.I

Además,

' Por

1o

vt:(1,1,3'-l)

+ (1X0) + (3X-1)

Y v:

=(3,o,-t,2) .

Hallar

+(-l)(2)

PROPIEDADIS

si v : (r, xz,'"rx,)

entonces

vo v :(x.r,xrt...,xn)o(x,x2,"',x,)

:

xtz

* xr' * "'* x,'

o también

tanto

3.4.3.2 rNroQuE GEOMÉTRTCO Suponga que

á

es el ángulo que forman entre si los vectores vr

Consideremos

470

e1

tnánguto:

-

y vz.

Villena Muñoz

Ca+. 77 VefureyqvW2

Aplicando la ley del coseno, tenemos:

: ll",ll' * llr,ll' - zll",llllv,llcosa

ll", -',ll'

Aplicando propiedades y simpliñcando: (r, -r,).(n, -v,): vr .vr +v2.vz Zllv,llllvrllcosá Yz.Yz

-vz.vr -vr.vz *vr.vr:yr

ovr +v2

.yz

2llv,llllvrllcosd

- 2n,. v, = -2ll",llllv,llcos á Finalmente, resulta que:

De aquí podemos calcular er ángulo entre dos vectores.

Hallare!ángulo g que forman los vectores

",

= (1,\.6)

y yz _(_\6,_r)

§OLUCIÓN: Aplicando la propiedad tenemos:

cosá=,.n,,i', : (''€)'(-6'-') ll,, lllln,ll ll(r,.6)llll(-..r,,)ü

e:

Por tanto:

13

b)

-39 IR3, v,

42

6

:(t,2,-t) y vr:(Z,l,O) (3v, *2vr).(v, -2v,)

Sean tosvectoresde

*zJ\_ -.6

r

v,

Dadoslosvectores:

a)

*)=, (2 ) (

arccos

- -.6-.6 (2)(2)

el resuttadodela operación:

c) -68 :(-t,Z,t), v: : (-t,-a,\

d)

39

e) -18

y vr:(0,_1,0).

Entoncesel vatorde

2(v, o v,)llv,ll' - z[(", + v,)- v,] a¡

(o,*ze,o) . b)-24

sean v,

, v2

vectores

c¡

de IR2,

(2.+,0,o)

tares

que: v,

dl12

e)24

:(s,z) y vr:(2,-2)

. Entonces un vector

vr.V¡=38 y y¡.Vz=34eS: a¡ v, = (4,6) u¡ v, : (O,e) c¡ v. : (6,4) d) v. =(6,0) e¡ v, =(4,9) Sean v, , yz y yt vectoresde R3 talesque: vr =(:,_Z,t), vr:(_s,t,o)

v3

tar

que:

Entonces al efectuar la operación

:llo,ll' se obtiene como resultado: a) b) c)

54

110

84

-4(", . r, ) -6(r, . vr)d)

184

v

,r:(0,+,0).

zllrrll,

e) 52

471

Cqp. 17


17

Vere*e/u

lR',nt',...,R'

.4.3.3 VTCTORDS ORTOGOITfALES

Eiempl,ü Los vectorcs

El hecho

de

medida de 90",

y,

: (1,2,-l) y v, :(-3,2,1) son ortogonales, porque vr . yz : (lX-3)+(2)(2)+(-l[1) : 0

que Yr ' Yz : 0 significa qrre el ángulo entre ellos tiene es decir g : 1. ¿porqué? 2

En este caso se dice qlre

vl y yz son vectores perpendiculares.

Y¡

Este concepto puede se uülizado en problemas de diseño, como el siguiente:

Eiempla Dados los vectores v,

:(a'

-1,2,3\ y yz :(-,-",/rO), encontrar tos valorcs de " a'

para que sean ortogonales.

Soruc6n: Para que v, Yr o

y yz

. v2 :0 + 2-2o + l

v2 sean ortqonales se debe cumplir que vr

: (a' -1,2,3)o (1,-a,$) : 1a'

Por lo tanto

-2a+{:o 1tu2 +\tu-21:O -2a2

o:-473v ":

472

+

, entonces:

ena MUñoZ

:ap. 77 Vertorey

e,w

,¿.. "

tRr.. ..",1

1-l.4.3.+ VEC?OIIE§ OR.TONOIIMALES

Los vectores v, vz, v-, ,. . ., v

R." son

de

OPTONORI4ALES si y sólo si: cuando

[n''vr:l

lt, 'v; : o

cuando

s decir, Lrn conjunto de vectores es ortonormal si y sólo si :'-::stituido por vectores que =

son unitarios y ortogonales ala vez.

está

lien4pl§ l i

Losvectores

: (1,0) v i : (0,1) son ortonormates porque

: 1t,0,0), j: (0.1.0), ioj : i.k : jok : (r y además llill :lljll :llnll :

Los vectores

¡

¡¡i¡¡

=

i,

¡¡jl = i

ffi

o

k = (0,0.1) son ortonormales, porque I

77.3 1.

Sean

vr y v:

vectoresen lRr,talesque

v =(2.f,f) y v. : (t,t,l)

proposiciones es vERDADERA identifíquela:

a) Yi y v, b) Yr y y,

Una de las sigurenres

son ortogonales. son paralelos.

c) llzn. *:v,ll : :@ d) 2n, * 3v, : (t,0,*t) e) llz". -:v,ll : .-6 2. 3

Sea los vectores de:

v,

:

V.

SEAN ORTOGONALES.

a)3

y1

La

b)3

y-1

c)-3

y-1

(3, _ l,

-3

-1

Sean tos veciores

c)-2

d)

0

t)

d)-3y1

suMA DE Los ,AL.RES de ",r " que hacen que

SEAN ORTOGONALES, es: a) b)

\

t *l) V ,, :

(Á.. 3,

ros

. Determine los vatores

t

tales

que r,,

v, = (l-a,3rr,r) y v. = (a,*r.:)

e) 3

enconrrar et vator

de

L

lat que

.

,, :(--1,2.O) y v:: (b*l,zct,*3) ,si v,y v, sonortogonatesr vr = V: ,(r-,r-r- j), entoncesrosvarores de (t y á.respectivamenteson:

Si

setienenlosvectores

e\ ? u ' a

.lr 5) v-2 l'''¡

y

e)0y_3

vectores

a =(t,_2.:). B: (1,*1.2) y C:(2,0,_3)

+ ¿B sea ortogonai a C

de

c) -'1

v'

¡I :1

CaP. 77 Vefuie*emz IR"lRt""'R'


6.

Sean

v,,Y, Y v,

Entonces el vALoR

de'á

de

" Para

IR'3

que Y3

v, =(3,1,2) sea ortogonal a v2 es:

tafes que:

b)-%

at-%

1

veciores

"\r%

, vr:(2,1,-1) v vr -bvt+Zvz'

d\-%z

"'t-r%

?.4.3. 5 PROY-ECCToNES

17.4.3.5.

1 PROYtccrÓN

ESCAT"AR

como I' La proyección escalar de v, sobre vt ' denotada Vr. Observe la figura magnitud de la sombra que hace Y z sobre

$oi

es la 17

'14'

,J'-

Del trián$tlo tenemos : cost -

ProY"'vz

ll",ll

Despejando, resulta:

Multiplicando y dividiendo por ll"tll resulta:

L7.4.g.5.2 PROYTCCIÓN VECTORIAL El vector proyección de

474

v,

sobre vr ' denotada como J'

""'

Villena Muñoz

W

Sean v,

: (t,2,3) y v: :

(t, t, t). Hattar ta proyección vectorial de

,, sobrel

SOLUCIÓN:

PfoY",r,:[fff)ffi= (^fiT2'-7)' _ a(t,z,l) t4

lealice el trabajo análogo para obtener la proyección escalar y la 1'ección vectorial de v, sobre vr.

.


L7

.4.9.6 DESCOIUPOSICIóN ORTOGONAL

Suponga que se tiene dos vectores ortogonales como se muestra en 1a figura 17.17.

v, y

Y

z y otro vector v

,

WMWW,

Supónga que se desea descomponer (expresar) v en términos de v1 y vr. En la expresión v: C,v, +Crv, realizantdo el producto punto con vr y despejando, tenemos: Yovr : C,v, ovl + CrW 0

vovr:qll",ll' v'vt

'

11 ------(-, -

Análogamente, encontr¿unos:

llr,ll'

realizando el producto punto ahora con

voYz:C,:{12+Crvrov.0

Yovz -czll"rll'

'

t1

-

V'Yz

llr,ll'

Es decir:

Y:Crvt+C2Y2

lr.t, ) lt.o" ) :IlloT')"'*[ll*ÉJ"' v Observe que: 476

- (v.u,)u, +(v.ur)u,

Y

2,

i-.¡z+:.

1 -: pf0y,,,y + pr0yli

i

7 Veqtcn eA e,r",,

V

Titw.qrL*" sear: r, '=(.3. l) 3 \'.:(1.-)) ,.,gq¡6¡ss¡,, , ,.raliar.dosvectoi"esononormaies ü. . -iai que ur sea paraleio a !r y v. sea ortogonai a vr .

¿a_t!-üto§ -C :"üe .luei'eirr-js haCer. eS enaont;.a;-dos vecta)res

Ll

, y U. tareS que.

Fie. 17.18

- prov,, v2

proy, Primero. hallamos un vector unitario en la misma dirección (paralelo) de Entonces

v,

,, =.Gl) -( t -L') -lñ:tt]ñ'ñ)

SEGUNDO, hallamos un vector Observe que

v"'

gue sea ortogonal

v"'= v? _ proy", v2

V: = Vz - pfoyvr

a v,

entonces: V2

:[l)1('ñ).(l)]ff) (/*\

_=1,) (s/ *\ya)

) ('%"\ -fl - (r.J-\x, )

vr= (-%\ lr'N

r-.ueüo tl

(- I,3)

v-

.:u-a;: llv,

)

(*t,3) (

i __-___*__:_=l__ ll

ir

Jto

"rlt

o (

t '

_-

3

I

rm ./iñ' )

.

u

Cqp. 77


VfuYelv

en término de los vectores

Exprese y determine la combinación linealdel vector

ortqonates

R',lR',...,R"

I,

SOLTCIÓN:

Cotno

*n vectores ortonormales, v:PfOYyrY+Pfoyyrv

J fI

empleamos la formula

v:(v.u,)u, +(v.ur)u, [l)

:

[l)=

[0

-

[

fJ)ff*

[[l)

-(#))(

#)

^W).o(#)

Uülizando esta propiedad no es necesario resolver sistema

1. Sean v,:(13) y yz:(t,t).Oescomponer v, endosvectores,unvector X v2 y un vector Y ortogonal a v,

paraleloa

.

2.

Sean los vectores

vr

:

3i

-2i+ 4k y v z -- 3i + 3j - 2k

v, sobre el vector v, ' de v, perpendicular a v,

a) Determinar la proyeccion vedodal b) Calorlar la componente

.

de

.

17.4.4. PRODUCTO \rECTORIAL. PRODUCTO C:RUZ

una ma¡era prácüca para obtener el resultado de la

operación determinante, Producto Cntz entre dos vectores es resolver el siguiente para la prirnera fila: 478

Cap. 77

rJ VIXVz

4lt x2

Vúoreyew ; . i

...

kl ,,1 )'z

,..1

LEíe S",

r . = (2. -l^0) entonces

ji .i tl

k,

j, . ll. ¡ rj l: -r 0i

ik

L7.4.4.1 PROPIEDADES.

Seon vr, vz y

vectores de R, y üt,a, € IR 1. El vector (v, x v, ) es tonto perpendiculor vr como o vz v3

o

Z.et sentido del vector (v, x vr) se lo puede obtener empleando la mono derecha. Mientros los dedos se dirigen desde vr hocis v2, el pulgar indico la dirección de (

'.,

* v, ) . Fig. 17 .19.

tz

Fig. 17.19

3

§. x \'1

:::--

--(v. x v, )

I

1,..:ü* '

t

.j:' ' "-:fll';i r.r, \\..

. .,'. l.

i

-,,,

,,

,J

r

1...

!.){\'.

.=0

:ta

.l

\

.


De la últirna expresión, empleando la propiedad de1 prodr¡cto escalar, se obtiene un resultado muy importante:

llo,

(r, . o,)' ll",ll' ll",ll' " ",ll'

llr, "

: llo, ll' ll", ll' - (11", llll",llcos á)' : llr,ll' ll",ll' - ll",ll' ll",ll' cos' 0 : ll',ll' ll",ll' [1 - cos' á] ,,ll' : llo,ll' ll",ll' sen'o

Finalmente:

7.7

.4.4.2 APr,,ICACTONES !2.4.4.2.1 CALCULO DtL Ánpa DtL

Sean Vr y

PARALELOGRAMO

SUSITTIY?ADO POR DOS VECTORETS. Vrdos vectores, no paralelos. Observe la figUra 3.2O.

--7/ ./

ll",ll Tomando como base

a Y z, tenemos: Area=base.altura

: ll",ll ¿ 480

Y2

-

Villena Muñoz

Obsenre que

Sená:ffi

entonces Area

: llr,ll ll", ll sená

Y por la propiedad del producto ct1)z:

Hallar el área del triángulo sustentado por tos vectores SOLUCIÓN: El área del kiángulo sustentado por dos vectores sustentado por los vectores, es decir:

Area Triánguro

li Como v, xv, =ll

vz es la mitad del área del paralelogramo

* ll"' :"'ll

j kl 2 -ll= -i-2j-sk

I

12

vr y

-1

ol

entonces

*(-2)'

.60

Hallar el área del triángtilo que tiene por vértices los puntos SOLUCIÓN: Primero se forman dos vectores entre los puntos dados, tomando arbitrariamente elorden de estos puntos; luego se procede de manera análoga a lo mencionado anteriormente debido a que el área del triángulo es la mitad del área del paralelogramo.

n e,(t,*z,o)

+

En este caso,

v, = 4P, = (l

v, = PrP,

=

Y2

'rr(- z,o,t)

- l, t- (1),1 -o) = (0,:,r)

(-2 -

\ a - e2),1 - o) : (-t,z,t)

Entonces,

481

Cap. 17 Vúore*ezlz R',R',...,R.'


li j kl n,rrr:lo 3 tl:i-3j+9k

l-: 2 tl

.

*(e)'

llo, ""=ll ttZ: -

Area Triángulo:

L7.4.4.2.2 c,ALclüLO DtL VOLUIIfiEN DtL PARALELTPÍPpDO SUSTENTADO POR. TRES VECTORT§

Sean Yl , figura 17 .22.

Y

ZY V3 tres vectores de R'

, no coplanares. -.-

.

.

. -

-

-''

Observe la

'_::-i

",.

W Los tres vectores sustentan un paralelepípedo. Tomando colIlo base el paralelogramo sustentado Por Vl y Y 2, la altura h de1 paralelepípedo será la proyección escalar de V' sobre vl x v2, entonces: Volumen Paralelepípedo:Area base x altura Donde Area base - llv, x v, lt altura

: h:l*.or",*,,rrl : (r, "rr).o, llv,

Por tanto: I

Volumen-lll","rrll

v,ll

(v, ,. v, ). v, llv,

I

"

"

vrll

Finalmente, simplificando resulta:

Esta última expreslon es d.enominada, EL TRIPLE PRODUCTO ESCALAR de 482

1os

vectores Vl

,

Y

2Y V:, Y su interpretación es el volumen

Ylflena Muñoz

Cq+. 77 Vúray@at, Rr,nRr,...,R"

paralelepípedo sustentado por los vectores Y1 , Yzy Y3. Obsen¡e que no importa el orden de operación de los vectores, qué?. ¿por

Hallar

el

W,

volumen del paralelepípedo

sustentado

por los

vectores

SOLUCóN. Por lo definido anteriormente, _L"|

xvr)."r,:lj

volumen =l(v,

'l -ll:2+14+4:20u3

0

:l

2

sean los vectores

B,

,e el redo

A

para los cuales

:,4,i-5i +2k

AxB

es paralelo

yB

a:

:

-3i

a) al eje

*z¡-r.r.

X

.E"ro;los

b) af eje

vatores

y

de

2.

calcular el área der triánguro que tiene sus vértices en ros puntos (-3,2,§; (2,1,7) ; (4,2,61

3.

Dados tres vectores

v,

: (s,2,6) , v, :

(_1,g,3)

,

". vértice en el origen. Determinar su altura desde el origen.

4.

:

qZ,_1,+)

Un tetraedro.tiene poriase eltriángulo de vértices (3._6,_f) g,4,_2) ,

opuesto es el punto (9,10,6) , determine su altura.

5.

Sean

u y v

w. :á(u + v).

no nulos, w, .(w, xwr)

vectores

Hallar

diferentes tales

que:

l.

forman un tetraedro con

y

(_3,_1,2);Sietvérrice

wr=u+v, wz:ü_1,,

a. lo, .',1
2'

Determine si ras proposiciones son verdaderas o farsas. Justifique formarmente.

a.

Si

V, y V2

son vectores unitarios entonces

b.

Si

v, y v,

son vectores ortogonales entonces

c.Si

Si

f. si Yr g.

sonvectoresortogonatesentonces

v, y v2 sonvectoresortogonatesentonces t Yz = vr o v,

Si los vectores

entonces

:

Z

llv, + v.ll

v, y y2 son vectores ortogonales entonces llr, _

d. Si v, y v2 e.

llv, + v,ll

"r ll,

:

2

: llv, + v,ll,

llv,

+vrll, =llr,ll, *llrrll,

llr,

_r.ll, :llr,ll, *llrrll.

Y: = v¡

vr y v" son paratetos entonces l(r, . ,, )l :

ll",llll"r

ll

483

CaP. 77 Vefurw€llL' R2,Rr,"',R"


vr

h. Si

y v2

son vectores de 1R2, donde

lln,ll:llvrll

entonces vr

+v2

Y v1 -v2

son ortogonales.

ll",ll:.F , ll"rll =&, vr :2ur-5u, Y Yz=-u,+3ur. Si ül'uz:4 entonces vrY Y2 son ür, uz, Yr y v2 vectores

i.sean

en el plano tales que

ortogonales.

j.s¡ vr y v2 son vectores de R2 y rz<_lR. si llv,+vrll:llv,ll+llvrll, vl :

d'v2

k,Si vr y v2 t.

son vectores de iR2 entonces

llv, + vrll+llv,

-vrll

= 2ll"'ll'

Si vl y yz son vectores de IR2 entonces los vectoresll".ll", +llv,llv, ll".ll", - ll",ll",

Sean

v,

y v2

vectores unitarios. Si los vectores

ortogonales. Hallar la medida del ángulo

sean

vl y yz

0

Sean vl :-4i+3j , v, qUe V3 = l§¡r+mYz '

,, : lY1Jr, 7.

paralelepípedo

Y v¿ = 5v,

Vl

-4v,

y V2

son

.

=(2,3) Y v::(-t,o). Determine los (vr+Lvr)y (", -2vr)seanortogonales.

de R2, tales que v,

vectores

(o
v: : vr+2v,

que forman entre sí los vectores

valores de A,detalformaquelosvectores

Sea d

y

son ortosonales'

m. Si los vectores v, =(0,0,a), v2 =(:,+,0)Y v: =(0,+,0) forman un cuyo volumen es 120 z¿r , entonces a:1O .

4.

entonces

:zi-i

Y

V¡:6i*7i;

determinarescalares

el ángulo que forman los vectores v, Y

flr,ll = llorll = I y v,

I

Yz, Si

k y m tales

v,:vr-Zv,

vo, determineel valor dela tartz.

Determineunvector X,perpendicularal vector

v=4i-5j

quetengaunalongituddel0

unidades. 8.

vr:3i -2! , vr:-3i+4j qUe v3 : kvt + rfiV, . Sean

Los vectores

oe 10.

llvrll

Sea

V

vector 11.

vr y v2 forman

de tal manera que

vr

Y v¡

=7i-8j;

determinarescalares

entre sí un ángulo que mide aS"

-v2

sea perpendicular

a Y,

Demuestrequesi

esortogonala

. Determine el valor

.

un vector diferente de cero, entonces, demostrar que

W-U-Y+V

y llvr ll = 3

k y m lales

si

U

es un vector cualquiera,

d

V.

I

llvll' U esortogonala V ya W,entonces U

I esortogonala

cV+ñr{

escalarescualquiera c y d 12. Demostrar que el área del triángulo, cuyos vértices son los extremos de los vectores

A,

para

B

't

c,". '2ttl\ llln-A)*(c-A)l 13.

I

Demostrarqueelvolumendeltetraedrodearistas yCvolumendeltetraedrodearistas

A, B

A+8, B+C y C+A y eseldobledd

de un rombo (paralelogramo con lados

484

¡

i

¡

.--eaP. 1 8 Ge*"y,a,*áiría,

An eüfi,(Á¿

:

. i'

si. jl:-

l.

7

¿

18.1 REgfAS EN R'

.*,.

-

I8.2 CIRCUNT'ERENCIñ :

18.3. PARÁBOLA 18.4 19.5

ir .{ *r" !,:

I

v

:

:

\

Exísten otros 'lu§ores geométricos de' inteiás que rnerecen

se,r

¿studigdos.

r ir

4.5

Cq+.78


18.1. RECTAS EN

$MíatAno,liñ,w

R.2

Trátaremos ahora de definir ecuaciones de la recta, partiendo de tl.n análisis vectorial.

18.1.1 ECUACIONES 18.1.1.1 Ecuación de una recta definida por dos puntos Es obvio que dos puntos deñnen una recta, observe 1a ñgura:

Llamernos a

3:frr:(*r-

sea el vector ; :* Pr(*r,

xr,

lr- !r)

vector directriz de 1a recta /.

- (, - x1, ! - !,), definido entre el

!r) y un punto P(*,y) cualquiera

de la recta. Observe que 'S

y_k,S para k elR . Por consiguiente: (, -r,, ! - Y,): k(*, - x,, !, - !,) (* - *,, ! - y,): (lr(*,- r, ) k(y,- -y, ))

son paralelos, entonces

Por igualdad de vectores:

- k(x, *', ) lv-v , : k(!, -Y,)

*, [, -

486

punto

y

v

Vdlena Muñoz

CaP.78

SeMyí*Andiñ,qt

mente:

Ecuación de una recta definida por dos puntos 4Gr,

y) y

pz(rz,yz)

1.L.2. Ecuación de una recta definida por r¡n punto y su pendiente ando la ecuación anterior en laforma

la

!*lt:=(,-r,) xz-xt

medida de la inclinación de la recta se la llama "pendiente", se la como m y se la define como m

* : /z lt

xz-xt

.

Entonces, tenemos:

Ecuación de una recta definida por un punto Pr(*r,yt) y su pendiente m

18.1.1.3. Ecuación de una recta definida por un prrnto y un vector paralelo Considerando el vector directriz 3-(,, paralelo a 1a recta, tenemos:

- xr, !, - y,)- ("',", )

como un

4 (r, , y) y un vector paratelo 3 = (r,, ",

)

.

§cuaciones Paramétricas de una recta nsiderando x ,s ,r

x'

:' y-v,-' : f .§

tenemos

I v

tanto otra forma de la ecuación de una recta, serla:

w

Ecuaciones Paramétricas

487

C


q+. 1 8 8 eMrí*

18.1.1.5. Ecuación Vectorial de una recta De 1o anterior tenemos I :(x,y):(*r,yr)* (", ,t rl i _(*,y) el vector posición de ,n punto de la recta, vector posición de un punto de la recta a la recta; tenemos:

y3:

(s,

,

", )

"

Analiñra'

considerando

i, :

(*,,

Y,)

el

vector paralelo

Ecuación Vectorial de una recta

1g.1.1.6. Ecuación de la recta definida por rrn Prrnto y un vector normal ala Atrora suponga qlre se tiene un vector ), -@,0) perpendicular recta

El vector ) -@,b) y el vector V :lF, - (x - x¡,! - yr) ortogonales, por tanto ;ti - 0

son

.

Reemplazando tenernos

(",b)t (, * xs,!- /o):

0

Y resolviendo resulta: Ecuación de la recta definida Por un punto Po(ro,yo) Y un normar

488

i

=(o,t)

Vlena Muñoz

Cap. 7 8 Q*wwfría¿

Analiffrat

L.1.7. Ecuación general de una recta la última ecuación resolviendo, resulta:

ctx-ctxo+by*byo -0 ctx + by + (* *n - byo):

O

do c * -ctxa - byo resulta:

Ecuación general de una recta

Hallar la ecuación general de Ia recta que contiene a tos puntos

Utilizando

J--rt : + xz*xt lz*lt

Reemptazandotenemos:

y tos puntos dados p,

*-\'2)

(-z,z)

y pr!,a)

(No importa elorden)

Y-? 1-(-z) -=

:r*t

Resolviendo y despejando tenemos:

x:2_: r -3 3 -5 *5.r-10:3y-9 5x+3y +1:0

al pffi IEtlet la ecuación general y ecuaciones paramétricas de ta recta que "ont¡e* lE v es oarale¡a a la recia or¡a t¡ane nar a¡rraeiÁ^ SOLUCÉN: La recta dada tiene vector normal

7

:

1:,r). Como la recta buscada es paralela a esta recta

-

entonces un vector normal sería el mismo.

EmpleamoslaformadelaecuaciÓndelarectadefinidaporUnpuntoyunvectornormal

a(x-xs)+b(y-yo):o reemplazando tenemos:

3(x-7)+l(y-:)= 3x*21 +y-3 = 0 3x+ y En la última ecuación, despejando

(-_.

o

-24:A

y tenemos !

:

-3x + 24 . Una parametrización sería

l^

I -l:24-3t lY I

.reLR '

489

hisés

Villena Muñoz

C

ap. 7 8 8 eomefríat

A

nôliña*

Eíe,ú4p1,ü 3 Hallar fa ecuación general de la recta que contiene al punto la recta que tiene por

ecuació"W

tZ,-t)

y es perpendicular a

SOLUCÉN: La recta dada tiene vector normal

7

:

1s,:). Como la recta buscada es perpendicular a esb

recta entonces un vector directriz sería el mismo. Es decir

j

= 1s,:)

Empleamos la forma de la ecuación de la recta deflnida por un punto y un vector paralelo

::l].:1:_1:'sr

's),

Reemplazando y resolviendo, tenemos:

,-(-z)_ y-(-t) 53 x+2 _ y+l

53

3x+6=5/+5 3x-5y

+l:0

m

Demuestre que la ecuación de la recta que contiene

a los puntos (¿,o)

y

(0,

r)

er

SOLUCÚN:

Empleando la forma de la ecuación de la recta definida por dos puntos:

L*!*t _: /*YJ_ x2*xt lz*lt Reemptazando

4 (n,a)

y Pr(O,B), tenemos:

!_- l:1___"9

a*A

B*O

x-A _y

_A B * L+t: !* AB *-.*lr:l AB

490

l.q.q.d.

E

Mlbna Muñoz

C

ap. 7 8 8 M;yía,

A

n*lifrm,

.I.2. POSICIONES

RELATIVAS 18.1 .2.1 Entre un punto y una recta 18.1.2.L 1 lfn punto .P0 petrenece a la recta

Un

I

punto P, de coordenadas (xo,/o) pertenece a la recta /

ión

ex + by + c

: 0 si y

n -la ecuación de

con

só1o si las coordenadas del punto la recta, es decir

18'1'2-t -2 Dl punto

{

no pertenece a ra recta /

un punto Pt de coordenadas (xo,yo) oo pertenece a la recta / con ión ox + by + c = 0 si y sólo si las coordenadas del punto no

la ecuación de la recta, es decir En este caso podemos determinar la formula de la distancia entre el mto y la recta. Observe 1a figura:

i:ar+by+c:O B(ro,Yo )

xry)

n: (o ,uL

491

Cap.78 QeomPAví,a,'A


La distancia del punto Po ala recta será la proyección escalar está definido entre los puntos

sobre

i. Wtre"to, i

donde

y:*-:;g(despejando

'Q

(*o,!o) V P(*,y

de la ecuración de la recta). Es decir,

*, - x, !^- - " - "'). i :FF, -(\ob) Ahora,

l*^-ax+byo+c+axl '-l

I

J"2

+b2

Por tanto:

H.llar la distancia entái¡

puntof y h recta que tiene por ecuación

sotucÉt*: Empreando ra formula

, ,

..r d(Po,t):f*-ilfiilS j tenemos:

d (po,

rtr#,Hi

t)= i

492

L

at i

.

=

r,h=

I

Villena Muñoz

Cap. 7 8

QMí,a,.,

Art olíff,q,

18.1 .2.2 POSICTÓU RELATIVA ENTRE DOS RECTAS 18. 1 .2.2.1 Rectas coincidentes Sea l, una recta con ecuación aé + b,! + c, :0 y sea /, :na recta ecuación e2x + br! + c2:0. Entonces l, y l, son coincidentes si y si:

Las rectas con ecuaciones

63-e: QUe ,:,

z

I

-J

son cotlctDrrres debido

a

-:¡.

18.1 .2.2.2 Rectas paralelas

)s rectas lrYl, +br!*cr-Q son paralelas

con

ecuaciones si y sólo si:

arx*br!+c,:0

18.1 -2-2-3 Rectas intersecantes en un punto )s rectas l, y l, corr ecuaciones crfi + bry + c, + br! * cr:0 se intersecan en r-rn punto si y sólo si:

-0

y

y

SE INTERSECAN EN UN PUNTO

debidorqr"

i*i. 493

MoisésVillena

Muñoz

Cap. 18 GeowueÍríâtAnal,íffmt

En este caso, es posible hallar el punto entre ellas.

d.e

intersección y los ángulos

lr:arx+áry+cr=O

lr:arx+bry+cr=o

Pafa encontrar el punto bastará con resolver el sistema simultáneo:

Los ángulos de intersección entre las rectas serán los mismos que los de los vectores normales o de los vectores di.rectrices. Es decir:

Hallar

el

reru,e-lÍa éryUlo de intersección entre las

En este caso tos vectores directrices

ron ^{ = (r, .it) y

rectas

sl :

cuyas ecuaciones

(_ .',g

- r), por tanto

( ,¡z) . ,, o: ar*, "-,.;Ii, = qr cos(,, ,r). (- ',¡,-l) ¿=of*'[-, ):t u §,, i!.¡¡=arc<)s' irir)l

Hemos obtenido el ángulo mayor. El ángulo menor sería

494

1

¿Por qué?

son

Mllena Muñoz

Cap. 7 8 Qe¿,¡,¡,¡s¡y¡* An^difim,

Determine la ecuación general de la recta que contiene at punto e1O2¡ y

--,

v

q*

"r

:3i - j

a at veitoi

paralela

2.

Determine la ecuación de la recta que contiene al punto (-2,1) y es paralela al vector

3.

Determine la ecuación de la recta que contiene al punto P(2,1) y que es paralela a la recta dada por:

4.

Determine la ecuación general de la recta que contiene al punto P(2,1) y que es paralela a la recta cuyas ecuaciones paramétrlcas son x = 3 + I n y =

lt,-3).

x:3+t^!:-2t

-/¡, ¡. p

5.

Determine la ecuación general de la recta que es paralela al vector

7: €,-")

que está dado por la intersección de las rectas que tienen por ecuación x+

6' 7.

sean las rectas /,

P(-1,3),

:ax+Zy

!

-

9.

Determine la distancia entre las rectas

po(2,3)ala

{

:

recta de ecuación 2¡, +

2x + 3 v * 4

:

O

y

12 : 6x

x_ 4= +

9_y

'10. Determine la menor distancia entre ras rectas que tienen por ecuación 2x

11. Determineel valorde"k"paraqueladistanciadelarectaconecuación

O

_3: 0

= t + :r {-r - 3y + 4 : o y'lY=z*z'

kx+3y+5-0

al punto(-2,2)

sea igual a

l.

Determine

la medida del ángulo agudo formado por las rectas cuyas ecuaciones paramétricas

x:1ny:10*¡ y x:l_2t ny:4*2t.

13. Determine la ecuación de la recta de ,4 pendiente cuadrante, un triángulo cuya área t¡ene un valor

L

de 24u2

.

ecuaciones

x+2y-2=O.

Encontrar el valor de "k" para que las rectas que tienen por ecuaciones

son:

3kx+9y

r + 2y + l0

:s y

6x

sean perpendiculares.

Encontrar el valor de "K' para que la recta que tiene por ecuación 3x

45"

con la recta de ecuación 2x + 5.v _17 = O

Determine todos los posibles valores

de'k'para

Determine la ecuación de la recta

,,

/

o

- 4y = o

y

,

forme un ángulo de

(3,4).

que la recta con ecuación

los ejes coordenados un triángulo cuya área tiene un valo¡

19.

- ky - g:

:0

.

17. Determine la ecuación de la recta cuyo punto más cercano al origen es 18,

son:

Or" forma con los ejes coordenados, en el prímer

14. Determine la ecua-ción de la recta que equidista de las rectas cuyas

medida

0,y

2x-5y+3=o¡xx_3),_7:o.

de a y b -

Determine la distancia de punto

16

-l :

-3=0 y lr:5x+by-7 =o. si su punto de intersección es

determine los valores

B.

15.

y que mntiene al punto 2x 4y:1

Determine la ecuación general de la recta que es perpendicular a ,a recta con ecuación 4-x + ¡,

quecontieneal puntodeinterseccióndelasrectasconecuaciones

l2

y -_2

de l6u2

x+2y+k=0

! forme con

.

',

.EAF = 4Oo ZDBC = l{ño

495

Moisés Villena

Muñoz

Cap. 7S

18.1.3 DISTANCIA ENTRE DOS

QMría¿Andifi,ut

PUNTOS

Si los pLrntos está'n alineados verticafunente, es decir:

La distan"i^

.*la dada por: d:.!z-ll

Si los prrntos están alineados horizontalmente, es decir:

La distancia está dada Por:

496

{,-

:::

gna Muñoz

Cap. 1 8 Ge,om.eÍríâ, A nalífim,

I8.2. CIRCUNFERENCIA Oa¡envos: S: pnE¡E¡;oE oilE EL ESTUDIANTE:

. ' . .

DefinoCircunferencia. Encuentre ecuociones canónicos

Grafiquecircunferencios.

y

generales de circunferencios.

Resuelvo problemos relocionodos con circunferencios.

La.2.1. Definición

y seo ,,,-,, un número real positivo. Se def íne to Seo O un punto del ptono

i

circunf erencio com o el conjunto de puntos P(x, y) tol que lo dístonciq de p o O es iguol o " r"". Es decír: Circunferencia: {p(r, y) / d(p,O) _ ,l

-\1 punto " o ') se le denomina centro de ra circunferencia y ,, ., a t. Cenomina radio de la circunferencia. 1

L8-2.2. Ecuación canónica de la circunferencia Supongamos que O tiene coordenad.as (h,k)

La distancia

circunferencia y el C(h,k), la cual denotamos como r,) , está dada por ' - ., ( ., - h)t + (y - É)t , entonces, tenemos: .(

(*- h)' +(y-k), = r,

Ecuación canónica de una circunferencia. para ,.2 , o .

,it9?

Cap. 1 8 G eotn e.tví,ot Analiñ,q,


Un tipo especial de circunferencia es aquella que tiene por ecuación: Es decir, una circr¡nferencia con centro O(0,0), el origen:

d

a

G 12 Y--'\tr -x

2

Semicircunferencia lnferior

las

"!",

obtenemos semicircunferencias superior e inferior. Despejando

ecu.aciones

de

las

E,

Hallar la ecuación canónica de la circunferencia que tiene centro el y radio

ff

SolucÉN: Reemplazando en

r' tenemos: (*-4)' +(y*2)':3'

(x-á)' +(y -k)'

=

(r-4)'+(y-2)2:9 La ecuación canónica pedida.

Ahora, en la ecuación canónica del ejemplo anterior (* - 4)' + (y -2)' :3', al elevar al cuadrado y reducir términos

semejantes se obtiene:

498

x2

-4x+16+ y'-4y+4:9

x2

+y'-4x-4y+11:0

Villena Muñoz

Ca+. 18

Se puede decir, entonces que la forma:

QMríatAndiñn*

la ecuación de urra circunferencia

O también:

Esta última ecuación es rlamada ECUACION GENERAL DE uNA

UNFERENCIA.

Por tanto si nuestra intención fuese dibujar la circunferencia o brirle elementos (centro y radio) a partir de la ecuación ^:y.:ral, deberíamos llevar la ecuación a su forma canónica pletando trinomios cuad.rados perfectos.

Eít Trazar la gráfica

de

2x2

+2y2

SOLUClÓN:

Plrngrolra!§fo,nnamos la ecuacjón

l(z*'-s,

)*Q, '*4y

-5x+4y_l:0 dada en su eanación canóníca.

,= I

l'(-'-'r- ).'(, '*2y ): I ,(*, -ir-.li)-, (t'+2y+t )= /

-r2

,[,-;J

agrupamos

++

I

"2

Factor

25

-:-+2 8

para'rf y para,f

Ej tercer término que hace fulta para cornflef d t¡inomio cuadrado perfedo se ¡oobt¡ene dfu¡ para2a <-los coeficientes de los términos Lea¡es y se los eleva al cuadrado_

+2(y+t)2 _49 8

(,-a-)'+(y+r)2

=

49

t6

Por tanto es una circunferencia con cenrro

"[;,_,)

y

radio

r

:7

I

--t[;'-+

499

Cqp. 7 8


Q*múríat Andfif,ow

Graficar la circunferencia que tiene por ecuación Solución

La ecuación general dada, la transformamos a la ecuación canónica completando cuadrados

(*' - +r + +)*b' + 6y +e)= t2 + 4 +e (*-2\2 +(Y+3)2 :25 Tenemos una circunferencia de radio

r:5

y centro

C(2,-3)

5 4

5-4-

I

3 2

'f'- _) -3 -4

\-: \,

\

^

7É9

/

No toda ecrración de la forma Ax2 + Ay' + Cx + I»* /7 : 0 represen tará nna circr-rnferencia.

Si en el proceso de llevarla a la forma canónica se obtiene I, el lugar geométrico es el punto es decir resr¡lta (x-h)'+(y*k)':0,

O(h,k). ¿Por qué? la ecuación no representa lugar geométrico. Suponga Si I, 49 * (y * I)' que se hubiese obtenido la ecuación canónic \.* -1.l' 16 4/ ^(

-+q no representa lugar nto esta ecuación ecu Entonces ,: .{ á , Por tanto ígeométrico alguno.

500

Villena l,luñoz

Otros tipos de problemas serÍan:

mffi

Hallar la ecuación canónica de la circunferencia que contiene a los puntos

Solución: Si los puntos pertenecen

a la circunferencia

empleamos la ecuación general

*' + y'

deben satisfacer su ecuación. En este caso

+ C'x + D' y+.F": 0.

Reemplazando las coordenadas de los puntos dados:

(

c'(l) + D(z) + F': 0 j :' + o' + c'(:) + o'(o) + F': 0 Ir'

l(,

+ 2'? +

. o)'

+ 32 +

c(r + .6)+ a1:¡ +

F'= o

Resolviendo simultáneamente el sistema:

(

lc'*z»+ I

1r.'

F'=

+ F'=

-5 -e

l(: .6)c'+3D'+F':*(, * .6)'

En la segunda ecuación se obtiene Reemplazando en la primera:

-,

W 4 4C1

C'+ZD'+F': *5 C'+2D'-9

-3C': -5 -2C'+2D':4

f

D' y F" en la tercera ecuación: (, * €).'* 3D'+F':*(, * €)'

Reemplazanda

-,

rto

.6).'*z(z+ c')+(-s -3c'): -(a * .6)' -q 3C' +.|-lC' +6 + 3C' -9 * 3C' :*9 - 6..6 - ¡ * g

L9

^l-zc'+zc': -18 - 6.,6

(, *

(.6* ,)r':-e (: *".6) Ie.=:a

t9 l6 Entonces:

F'= -9-3C' lD;T+c1 IF'-:e-3c

l:r-ulrl 16=A I

I

:-r-3(-6)l -_o - 3 (-6) lp=et lF.el

I

Por tanto, Ia ecuación general de la circunferencia sería:

Agrupando y completando cuadrados, se obtiene la ecuación canónica;

x2

+y'-6x-4y+9:0

{x' - e* +e) + (f -

4y + 4) = *e +g + +

501

Ca?. 7 S 8 eome.lvía¿ Awalíf7,w


1. Encuentre la ecuación general

a)Centro (-2,5) y radio 2. lnvestigue

si la gráfica

de las circunferencias, con:

2

4

b)Centro (-3,0) y radio

de

-5x+4y*l=0

2x2 +21,2

c) Centro (0,'2) y radio 3

es una circunferencia. Si es así, encuentre su

centro y su radio. 3, Encuenke la ecuación general de la circunferencia que tiene como centro ('1,-3) y pasa por el punto (2,-1). 4. El centro

"O' y radio

'/

de la circunferencia que tiene por ecuación 3x2

*3y2

+ 2-r

* 4y

-1:

o , soo

respect¡vamente:

al o(

L.-2\n,:&

1,3' 3)

, "(l ,?)" ": {u- , {},- ?)". : ;

3

etá-r.?')^,:9' 3 3) e

d\á-1.-2-)^,:§ ' \ 3 3) 3 5.

a. b. 6.

b.Zxz +2yz

*y2 -2x*4y+l:o *2 *y2 -4x+6y+13:O

-2x-2y+9:O *2 *y2 -4x*6y+17:o ".

*2

La ecuación 4x2 +

a) b) c) d) 7.

\

Grafique el lugar geométrico definido por cada una de las siguientes ecuaciones:

4y2 -12x +8y -23 =A,

representa:

Una circunferencia de radio 6. Una circunferencia de longitud

l8r.

9¡

Una circunferencia que encierra una región de área Una circunferencia de centro

Sea la ecuación 3x2

+

3112

(-

:zñRl

/

(SUGERENCIA:

.

(SUGERENCIA:

A

:

nRz \

rcl¡

+,r)

-2x - 4y -5= 0 . Entonces

Gas

es VERDAD que:

Representa una circunferencia de centro

f: ,- i I y raoio 'p 3 [ 3'3)'

h)


(r,z)

c)


d)

Representa una circunferencia

e)

La ecuación no representa lugar geométrico alguno.

y radio

rpo

crü

.

.

l:, 3l'y radio izo [3 1l de centro ll, I y radio @t3 3/'

.

.

3

Sealacircunferenciacuyaecuaciónes l6x2 +16y2*48x+32¡t-92=0.EntoncesesVERDADque:

a) b) c) d) e)

9.

El radio de la circunferencia es 6. El área del círculo limitado por la circunferencia La longitud de la circunferencia

Elcentro de la circunferen.i,

es 6n

"r |

es

6¡

.

.

1,r)

Marque bsta casilla si todas las proposiciones anteriores son falsas.

El VALOR de 'D '

para que

el

radio

de la

circunferencia

que üene por

ecuacib

x' + y' +3x -2y + D = O sea igual a 2 es: 4 a)'3

't0.

A

d)-

c)4

,

Con respecto a la ecuación

a) b) c) d) e) 11.

b)-

*2 * y2

+ 4x + 6y

-23:

Representa una circunferencia con centro

(23)

Representa una circunferencia con centro

{-2,*l)

e)0

;

o , es vERoAo que:

Representa una circunferencia de radio 36 Representa una circunferencia de longitud 72n La ecuación dada no representa lugar geométrico.

La ECUACIÓN GENERAL de la circunferencia que tiene como centro al punto

(4,3) y que mntiene

punto (6,1) , es:

a) 2x2 +2y2 -8x-6y+17:o b) ,2 * y2 -8x+6y+12:o 502

d)

xz

+

y2 -Bx-6y+17

'_

o

e) *2 +y2 +8x+6y+17:O

Villena Muñoz

C

12'

a+. I g g e¡mefyíw

A

ndifist

*' y'

* + 8-r + 6-v - 17 = 0 La ecuación dada no representa una circunferencia. Determine la ecuación de la circunferencia que contiene a los puntos A(0,6), B(1,5) y cuyo centro se encuentra sobre la recla definida por la ecuación x + . -y

: -l

b3

13'

xrentre

-

14. La

) (2,-1).

la ecuación general de una circunferencia tangente a la recta definida por la : 0, y está centrada en el punto (_t,_Z)

Determine

2x

3.y + 5

intersección

de las reclas

ecuacion

Ia:2x-y+3:ov h..4x+y*2:0 es el centro de una ta: x - y+l:0. Determine la ecuación de la circunferencia.

circunferencia que estangentea la recta

:o,

la longitud de la cuerda de la circunferencia que üene como eqracbn ,2 + y2 -6x-l4y *l I l: o conociendo que el punto medio de dicha cuerda tiene coordenadas

15. Determine

(+,r,) 16'

Halrar ra ecuación canónica de ra circunferencia que cont¡ene ros puntos

17'

Determine la ecuación de la circunferencia que es tangente

x* y = I y que contiene al punto (2,2)

(0,0) , (r,_r) v (9,_l)

a las rectas de ecuaciones

y=x

y

.

18.2.3 PROBLEMAS DE APLICACTóU En algunos problemas de aplicación las variables

ionadas con ecuaciones de circuriferencias. La diferencia esestá¡r que siempre los lugares geométricos son consid.erados sólo en el prirner te.

La industria de patines fux v ANKA, fabrica oos moGlos: el veioz moldo Lux6ür,es con ruedas en línea (x) y er ctásico modero ANKA de patines con ruedas .n p.r* l-r{ donde las letras x,y rep¡esentan las cantidades en decenas de miles de patines del respectivo modelo que se producen por año, y que están relacionadas entre sí por la ecuación de la circunferéncia: x2 + y2 +l2x + lOy : 39. Entonces et máximo número de patines del modelo clásico ANKA, denotado por,. y,' (en decenas de miles), que se pueden producir anualmente es igual a: a)5b)4 c)10 d)3 e)6 SOLUC6N:

La ecuación que representa la relación entre las dos clases de patines, es la de una circunferencia, que en su forma canónica sería:

x2 +y2

+l2x+10/:39

(*'*rz* )*(y'*roy

)=r,

l*' *tz* *:o)+ (y' + toy + zs): »

+ z6 + 25

(x+a)2 +(y+s)2 =too

Note que como es un problema de

x>0 y>o^ . Entonces en el

aplicación

primer cuadrante se cumple gue

X-o, ) ! :

O

!-o* ) x:0 503

Cqp. 1 S I


Mrí,a¿

AwalíltLcat

! *ax hacemos x=o en(x+o)2 +(y+s)2 :100. (o+o)2 +(yô*+5)2 :1gg (y-o*+5)2 : loo-36

Por tanto, como queremos

.,i(yô*+5)' = ''64

Es decir:

Y*or*5*8 !-o":3 Patines ANKA RESPUESTA:

Un fabriCante de ZapatOS puede vender "x" unidades de Su producto a "p" dólares pOf unidad. Con "rC' y "p" relacionados entre sí por la ecuación:

x2

1-

* 35OO:

.p2 t-2Op

O

Entonces el PRECIO MAS ALTO por encima del cual no hay posibilidad de venta es: e) $so d) c) $so b) $zo

$¿o

a)$t0

SOLUCóN: Oe rnanera semejante al problema anterior, primero transformamos la ecuación a su forma canónica 0 para de allí determinar su p,nqx, que sería cuando x

:

*'+p' +20p-3500:0

*' *(r'

+2op+loo): 35oo+ loo x2 +(p+10)2 :3600

Circunferencia de centro

rádio

Entonces:

O' *(p *o*+ 10)2

,G-,-*loY

:

O(0,-10)

y

r:60

3600

=.13ooo

p-o"* 10:60 Pô* = 60-10 P-o, =$50 Segundo método: Directamente, en la ecuación general dada se puede reemplazar obtener

al

F

ô*,

x

:

0 pa¡

es decir:

p*o*Z +2opôr-3500 = 0

(p+7o\p-50)= P-o.

6

= S50

RESPUESTA: Opción "e".

Una empresa que fabrica zapatos puede producir zapatos para caballero o para dama modificando y (en cientos de pares) están relacionadas por proceso de producción. Las cantidades posibles

x y

t2 * y2 +4Ox+3Oy =975.

Dibuje la curva de transformación de productos de empresa. ¿Cuáles son los números máximos de zapatos de cada tipo que pueden producirse?

ecuación:

2.

El

propietario de un huerto puede producir manzanas para mesa o manzanas desünadas a de sidra de manzanas para mesa (en kilogramos) y

fermentación. Las cantidades posibles

y

x

litros) están relacionadas por la ecuación'.

*2

+

yz +8x+25Oy:6859.

Dibuje la gráfica de

relación y determine las cantidades máximas de manzanas o sidra que pueden producirse'

Una empresa produce 2 artículos miles,

504

son m

yn

A y B.Las

A y B' *2 *r2 +4m+6n:

cantidades de producciÓn de los artículos

respectivamente; y están relacionadas por la ecuación'.

Mllena Muñoz

Cqp. 7 8 8 e¡ttueÍríat Entonces la cantidad de producciÓn máxima miles , b)

es: a)5

4'

6

de

I

Analiff,qt

sobre el cual no se registra proclucción

cl?

-d)4

de

q2

B

, en

(CALCULADoM) Las industrias de bicicletas Coronado fabrican dos üpos de bicicletas denominadas y Estrella del Esfe. Las cantidades posibles y y (en miles) que puede producir al año esán

x

Coronado

:

*2

por + y2 +6x + l0y 47. Bosqueje la curva de esta empresa. ¿Cuáles son los números máx¡mos de bicicletas de cada tipo que pueden producirse? relacionadas

3. PARÁBOLA

18.3.1. Definición

lo) v

Al punto

F

se le denomina foco de nomina directriz de la parábola.

la parábola y a la recta / sele

18.3.2 Ecuación canónica supongam«rs que F tiene coord"enadas ón y -

*p

(a,

cor: p > 0. Observe la gráfica:

p) y ra recta /

tiene

foco

ll L

50s

tk*sás Villena Muñoz

observe que

C

d(P,F): W

ap. 7 8 8 oomefríat

y que d(P,t)

A

nal,íñrp

-ly + pl.

Igualando distancias y resolviendo:

punto V se le denomina vértice de Ia parábola, en este caso tiene coordenadas (O,O). A la recta perpendicular a la dire ctriz, qne contiene al vértice y al foco, se le denomina tje Focal. Observe qLte para parábcrla anterior el eje focal es el eje y . A1

Observe además que la parábola es cóncava hacia arriba. Al segmento de recta perpendicular al eje focal que pasa por el foco que tiene como extremos los dos pr:ntos de la parábola, se denomi lado recto y tiene una medida de 4p. ¡Demuéstrelo!

Suponga ahora que el vértice no es el origen, eu€ tenemos entonces sL¡. ecuación sería: Y su gráfico sería:

v(h,k)i

Para otros casos, tenernos: s06

il

Villena Muñoz

Una parábola con eje focal vertical, pero cóncava hacia abqio.

Si la parábola tiene ecuación , Su eje focal será tal y además será cóncava hacia la derecha:

Eje focal

Si la parábola tiene ecuación . Su eje focal pero ahora será cóncava hacia la izquierda: 507

Cap. 7 8


8

Mríw

Analiff¡¡t

directriz

I

F(h- p,k)

La ecuación general de esta conlca sera de la forma Ax2+By'+Cx+Dy+.F':0 con A:O o B:O pero no ambos. Es decir o de la forma tendremos ecuaciones de la forma , según sea la dirección del eje focal. O más simplemente

7

E,

Graficar

la

parábola que tiene

por

ecuación delfoco, ecuación de la recta directriz. coordenadas del vértice, coordenadas SOLUCIÓN: Despejando la variable cuadÉtica para completarle cuadrados y agrupando, tenemos:

4xz

-20x = -24y -97

4(,

-

25) 24 97

-lx'-5x+-l:-v--+4) 44[ (

-r2

lr-ll2) \ ,

-12

=6v-18

{*-2'l -\/ t z) :6(v-3) Se deduce entonces que:

508

4

25

4


Cq+. 7 8

1. 2. 3.

La parábola tiene vértice

6uu.efrí* A na,l,ífir,*

¡rli.¡l (3 )

El eje focal es paralelo al eje y La parábola es cóncava hacia ariba 1

4. p::debidoaque6:4p. ¿

Realizando su gráfica tenemos:

Eje focal

,G.1) 3

P=a

{ directriz 3

, -3 -2 -L

"i

3

Hallar la ecuación general de la parábola que tiene foco el punto de coordenadas y directriz la recta con ecuaciórffi. SOLUClÓN En primer lugar representamos el foco y la directriz en el plano cartesiano.

irectriz

Concluimos que:

1. El vértice debe tener coordenadas (-1,-2) 2. El eje focat es paratelo al eje x 3. La parábola es cóncava hacia la izquierda.

4.

p = 2 , distancia

5.

Laecuacióndetrabajoes

del vértice al foco o distancia del vértice a la directriz.

(y-É)2

:4p(x_

h)

Bien, reemplazando los valores en la ecuación de trabajo, tenemos:

509

lkisés Villena Muñoz

C

(Y

ap. 7 8 G wmefrí,at

A

ndiffnw

+2)' : -4(2Xx+ I)

y'+4y+4:*8x*8

W

Eíenple3 Un puente colgante de tZum de longitud tiene trayectoria parabólica sostenida por torres de igual altura si la directriz se encuentra en la superficie terrestre y el punto más bajo de cada cable está a 15m de altura de dicha superficie, hallar la altura de las torres. SOLUOÓN: Primero hacemos una representación gráfica de la información proporcionada, kabajando en el plano cartesiano, es mejor poner el vértice en el origen:

6o,y)

!-6Ax

ltlirl,, /, //.i'/r/:

',.':i:1,,9i W,§W:..,Z I z,+(l'Z/il La ecuación de la trayectoria sería:

?ii1//ilii/i/i/i//,

';il/tiit

2

x = 60y

Utilizando la ecuación de la trayectoria determinamos "y":

Por lo tanto la altura de las tones sería:

Eístt4pl,a4 Haltar la ecuación de la parábola que tiene eje focalverticaly contiene los puntos

Ya que tiene eje focal vertical empleamos la ecuaciÓn x? +

C'x + D' y + F': 0

(¿Por qué?)

Como los puntos pertenecen a la parábola, las coordenadas deben satisfacer su ecuación. Reemplazando y simplifi cando:

510

W,

Villena Muñoz

Ca+.78

QeMía,Ana.lífrru

l(- ,l '+c'(-t)+ o'(s)+ F':o l-c'+so'+F': -t l(r)' +c'(3)+o(t)+F'= 0 = |3C'+D'+F': -9 l7C'+5D'+F'= 49 [{, )' +c'(t)+o'(s)+ F'=o I

Resolviendo el sistema simultáneo se obtiene:

V

Tes

rde

,W:4ylr=r3l

Por tanto la ecuación buscada serfa:

l.

Grafque el lugar geornéúico definido po, elementos).

oO"

,rna

0"ffi

(húqE

6

a. *2 -2*-4y+l = 0 b. zy2 -2x-Z.y+9:0 c. y2 -4x+6y+13:0 d. -*2 -4x-6y+17= 0 2.

3'

Determine la ecuación de la parábola cuya directriz es la recta definida por y la menor distanc¡a entre la parabola y la directriz es igual a2.

Determine la ecuación canónica de

h

parábola donde

extremos del lado recto son los puntos ,a(O,Z)

4'

Encuentre

la

ecuación canónica

,, ? puntos: (0,0), (1,-l\,(;,- I. ;)

la recta direñiz y S{*,2).

-

y =l , co,t¡rp¿gf (q¡)

üene la

eqracih y + 2

de la parábola que üene eje focal vert*c y

-O y b

orh

5.

Resuelva el problema anterior suponiendo ahora que el eje focar es hoizontal.

6'

Encuentre la ecuación canónica de la parábola que üene eje focal horizontal cofitiene (-1,-l), (0,1), (1,0)

7.

Resuefua el

bs

b

F¡E

anterior supn¡endo ahora que el eie focal es vertical.

18.4.1 Definición !I

T

511

Cap. 7 8 8 umefrí.a, Anailñ,cw


A 4 y F,

se les denominan foCoS de medida del semieje mayor de la elipse.

la elipse y " a" representa la

L8.4.2. Ecuación Canónica Sean 4(-c,0) v 4(t,0), observe el gráfico:

x,Y)

vr(a,o)

$a

je focal

De la definición tenemos:

a(P,tr,)* d(P,F,):2a

@*@_2a Despejando un radical, elevando términos semejantes: (* -

")'

+y':4a2 -

x' -2xc + c' + !'

:

+a"l@ + 4a2

af cuadrado y

c)'

+ y2 + (x

-

reduciendo

c)2 +y2

-+a"l@ + c)' + y' + x' -zxc + c' + y'

+a1lQ+cl +y' :4a2 +4ac

Dividiendo para

4,

elevando

al

cr¡adrado

términos semejantes:

bJG;s;rY :b, +uy

o'l{*+c)z + Y'7=ao +2azc+c'x' o'b' + 2cx + c' + y'7: aa + 2a2 q + c' x'

y

reduciendo

Cq+. 7 8 I Mrí*

Mllena Muñoz

A

naliffra.,

x' + 2a2cx + azc2 + a' y' : ao +2a2 cx + c' x' a' x' - c'x' + a' y' : ao - a'c' ("' -"'b' +a'y' :o'(o'-r') Dividiendo para az(\a.z-c z$ a'

o'y' a'(a'-c') a'1a'-c ') x' ¿,' ......._r x'(a= -c') , t ) a a-

----:_---:-----T_ -

a-

Finamente, llama na,

I

-

a'(a'-c') a'(a'-c')

-1

o'-c'

Yffiffiffitenemos

:

Ecuación

canónica

de

¡a

elipse con centro {o,o) v eje focal horizontal u

b" reptesenta la longitud del semieJe menor, Observe la gráñca

r.

Aquí el lado recto tiene dimensi

u"H¡Demuéstrero!

Para los casos generales tenemos:

Suponga que el vértice es el punto V(h,k) , y que eI eje focal sea entonces slr ecuación sería:

Y su gráfica sería:

'2$ + c,k)

513

Cq+. 1 S SenwwÍríat AnaiifT.c,'w


Obsen¡ación: La dirección del eje focal está indicada por eI término que tiene el mayor dênominador, es este caso ese sería el valor d.e " a2 ". Observe también que a> b. Por 1o tanto, si el eje focal fuese vertical, slt ecltación sería:

Y su gráftca. sería:

I I I I

I

Eje focal

I I

t,

l"\h'k -

a)

Lal lndiqrc

Graficar la Elipse que tiene por ecuación todos sus elementos. Solución La ecuación general dada, la transformamos a la ecuación canónica completando cuadrados

+\+rc(y' - 6y+9)= 156* 25(x * 2)2 +t6(y -3)2 : 4oo zs(x2 + +x +

Ahora dividimos para 400

+z)' , t6(y -t)' 400 -- 400 G*z\' * (v-:)' -, 25(x

t6

4oo 400

25

La última ecuación nos indica que la elipse tiene:

1. 514

centro 0(*2,3)

taa +144

Uoisés Villena Muñoz

11nO

a2 ".

2'

Cap, 7 8 8 eomefríô,, A yt atiñn* Eje focal vertical, debido a que el mayor denominador está sobre el termino que con¡ene a " u

a2:25+a-5 3. b2 :16> b:4 4. Lo anterior nos permite calcular el valor de c Entonces

.

Por lo tanto la gráfica sería: v

r,G2

6

l4 or -:.-r)

I

i l2 lr r,t-z.o/

3

I

Vl',': n

t,/

2

:3 4

s

ta{-2,2

Hallar la ecuación general de la

mayor mide 20 unidades y los focos son

Primero representamos en el plano cartesiano los puntos dados. Eie Focál

11

10

,y ',

(0,t 0)

9

7 6

4

3

1

Í

-11

x

oto-()\

-4 -3 -2 -*1 lB

1

?

"

d

.(l)."Itlr

-§I5


C

ap. 1 S 8 e,Mr{at

Anal,íÍfr*

Observamos que la elipse tiene como eje focal, el eje y, que c

= 5rE . entonces a = lO

Como nos dicen que el eje mayor mide 20 unidades, Esto, nos permite calcular á :

b'

= a2 -c2

¿'?

=

(lo)'

-., -(sú)

á'?=100-?5

b2:25=á-5 Finalmente la ecuación de la elipse

sería:

! 2 +* =l 100 25 2

4x2 +

Y' -¡g¡

Eíentpl,ü 3 Una pista de carros tiene forma de elipse, el eje mayor mide 10 km. Y el eje menor 6 km.

Deteimine la distancia a que se encuentra un calro del centro de la pista en el mome¡to en que pasa a la altura de uno de los focos. Solución Representando en el plano cartesiano la información proporcionada, tenemos:

? 1

r,(5,0)

o(0,0)¡

Y

I

-a

r

2

1

7

La ecuación de ta etipse

..,,.,

l$

*

fll

comoESyEentonces c2:e2 -b2:25*9=16 C:4 La dimensión de la altura de uno de los focos a la elipse es la mitad de la dimensión del lado recto

d:rrr.]t,J Empleando el teorema de Pitágoras, resulta:

,

d:-

J4u 5

5r6

Cqe.


E

7

I G qs.efrí,a, And,ítíra,

íercioíat ? roDute/*to? I 8. 5

,1rc"fq* elementos).

a. b.

-.l6,r+l ll-r,-l l:0 9.v2 +.1-r,l +l&r--16¡-l l:0 Si los focos de una elipse son los puntos ¿i : (*4.3), f;2 : (2.3) ,l.r-l +9.i,2

y el perímetro del triángulo cu',cs

vértices son los focos y un punto de la elipse, es igual a 16, determine la ecuación de la elipse. El arco de un puente es semielíptico, con eje mayor horizontal. La base tiene 30 m. y su parte más aita respecto a la tierra es 10 m. Determine la altura del arco a 6 m. del centro de la base. 4

Determine los valores

de

k

paraque la ecuación

x2 +2¡'2 + 2,r+

1)),: k

describa una elipse e1e

,r,ar:'

Si el sol está ubicado en uno de los focos de la elipse, determine la mayolv la

ne.c'

La Tierra gira alrededor del Sol siguiendo una óóita eliptica con excentricidad igual

de 299x l0t'Km.

distancia entre la Tiena y el Sol. (NOTA: excenk¡cidad I

e

: i

a 0.01 7a y

)

km

nto

19.5. HIPÉnSOLA ffiffiffi

8e pREreloe q¡E

. . . .

.l-

EL EsruDrANrE:

Defino Hipérbolo. Encuentre ecuocion¿s canóniccs y generoles de HiFárbola§Grofique Hipérbolos. R¿suelvo problemos relocionodos con Hipérbolos.

18.5.1 Definición

Seon F, y F, dos puntoss del plono y seo a uno constonte positivo.r. Lo Hipérbolo se define como el conjunto lo de puntos p(x, !,) del plono, totes que el va ¿alor absoluto de lo diferencio de su dist«onc¡o o F, con su distoncio o F, es iguol oI za. Es decir: Hipérbolo= {r(r, y)tl,t(t(P, F,) - a(p,F,\ : zo\ A tr y F. se les denominan focos de la hipérbola.

18.5.2 Ecuación Canónica Sean ¡,(-.',0) y F.(c,,O), observe el gráfico:

tldrés\rilena

Cq+. 7 8 Swwwbí.ot Analiñr,w

Muñoz

De la definición tenemos:

la(p,F,)- d(P,F,)l:2o

W-W-za Despejando un radical, elevando al cuadrado semejantes:

y redtrciendo términos

y' +(x-c)' +y' x2 +2xc +c' + !2 : 4a2 + 4a"r!@ - c)' + y' + *' -2xc + c' + y' 4cx-4a2 :q"rl6-")' * y' Dividiendo para 4, elevando al cuadrado y reduciendo términos (x+c)2 +y':4a2 +aarl@-c)'

+

semejantes:

: r'l{* - + y'7 ")' c'x' -2a2ac + a4 : o'b' -2cx + r' + y'f c'

x' -2a2cx

+ aa

x' -2a2cx + a4 : e' x' -2a2 cx + a2 c2 + a' y' c' x' * e'x' - o' y' : a'c' - ao (r' - o'b' - o' y' : ,'G' -

c'

Dividiendo para 518

o'b' - o')

"')

Ioisés Villena Muñoz

Cq+. 7 8

x'(c'-a') a'(c'*a')

QMvíat Ana)ifrmt

o'y' _a'(c'-a')

("'-o,)

x'-

!'

a'

c'-a'

a'(c'-a')

-,

Finamente, llamando

tenemos:

Ecuación canónica de la hipérbola con centro focal horizontal

Aquí « b" representa la longitud

de1

4o,o) y eie

segmento (Observe la gráfica

anterior) llamado semieje conjugado. Para los casos generales tenemos: Suponga que el vértice es el punto Y(h,k), horizontal entonces su ecuación sería:

y que el eje focal sea

Y su gráñca sería: LlflOS

oBstRvAcróN: La dirección del eje focal esta indicada por

término positivo y además sobre este término estará « o2 ». Por lo tanto, si el eje focal fuese vertical, su ecllación serÍa:

el

519

EY3EI¡trñoz

Cap. 1 8 8 e¡Ynefría¿

Andiffcnt

Y su gráfica sería: 1'

íen4blfr7 Graficar la hipérbola

que tiene por ecuación

lndique

coordenadas de los vértices, coordenadas de los focos y ecuaciones de las asíntc[as.

Solucrór: Agrupando y completando cuadrados para darle la forma canónica a la ecuación:

(*' *z*+ t)-3(y'z -2y +l): t * l -¡ (.r +

t)2

-3(y

-t)' : -l

3(y-t)' *(r*l)':l (v -t)' (x+t)2

1

.L 3

Se concluye que:

1.

La hipérbola tiene eje focal vertical, debido a que el termino positivo es el que contiene a "y".

2. o'

:l*r:#

3.

:l> b:l

b2

El valor de c se lo calcula empleando la fórmula c

":.{* ** :,E; : Por lo tanto su gráfica sería:

s20

rf+

=rJ+

=

+b2

, es decir:

Villena Muñoz

Cq+. 7 8 8 eottefríâ, A nalíffm,,

Eje focal

ri =(-t,,i. r.E

aZ

v2

-7

=

eLl;

-6

Las ecuaciones de las asíntotas se determinan igualando a cero la ecuación canónica:

3(y

-r)'-(r*

t)'

=0

3(y -r)'

,-

: (x+ l)'?

1yrf=G;rf

.6.Ff:t(-r+1) r'-1:"

+(x+ l)

.6

Hallar la ecuación general de la cónica que tiene por focos los puntos vértices tos puntos

m X

Soluclóx: Representando los focos y vértices en er plano cartesiano, sacamos las conclusiones necesarias para

plantear la ecuación buscada

52t

C


ap. 7 S 6 en*qefríat AnalíñrP

6 É

4

)«.rl

*3.

2'\

^--lD-

¿

L 0

*4 -3 *2

.'L23456X

r0

B9

t_1

l-2 1-3 14

\ -3 -4 E

-6 Del gráfico se observa que:

1. El eje focal debe ser horizontal.

2. El centro tiene coordenaOas

3. El valor

a:2 de

á

y

0(4,:).

c:3

se calcula empleando la formula á

b:J12

=

-o' :Jg4:Ja

Ahora hallando la ecuación de la hipérbola, tenemos:

(*-a)' _(y-3)' :t s(*' -

a* +

rc)* +(y' * 6y

s)* za

4y2 + 24y -36

5x2

-

5x2

*4y2 -40x+24y+24:0

4Ox

+8A

-

+

-

20

:

O

Determine la ecuación de la hipérbola que tiene como asíntotas las rectas:

4x

+3y:

1 , su eje

principat es paralelo al eje X y contiene el punto

SOLUCÉN: La intersección de las asuntotas será el centro de la hipéÓola

fq*-3y:7 f+r* 3y:L 8x:8 + E dl Por ahora la ecuación sería

(r- 1)' (y* 1)' o' b' ---:l

522

Reemplazando:

i

4x

(¿,-t)

*3y :

J

,

hisés

Villena Muñoz

Cq+. 7 8 Q eMríâ¿ A n oliLfm.,

La relación enhe

deClf

ayb

estádada por la pendiente de la asíntota

b4

4x -3y: 7 , es decir m= 4 . a =.

-:-:+ a3

Las coordenadas del punto deben satisfacer la ecuación de la hipérbola:

g+-(-r+r)'?-t a-

(

3/ [ "!\( ¿.\ + b:31:l=l7ll t1J \- /

4:, a' a' :9

=+

f":3

1. Grafique el lugar geométrico definido por cada una de las siguientes ecuaciones: (lndiqrr todos srs elementos).

a. b. 2.

4x2 9x2

-l6x+lgy-9:0 +lg¡-l6y_9:o -4y2 -9y2

wr 4xz -3y2 +gx + I 6: 0. 3' Determine la ecuación de la recta que contiene al centro de la hipérbola cuya ecuacim es 4*' - y' + 32x - 8y + 49 :0 y es perpendicurar a ra recta definida por ra eoracinn Determine la ecuación de las asíntotas de la hipérbola definida

2x-9y+3=0.

4.

Determine la distancia entre los vértices de la conica con ecuación

-9x2 +lgx

+ 4y2

+

241:

:9

:6

5. Si una hipéóola, una circunferencia de radio 5 y el

rectángulo ABCD de lado AB , están ubicados en el plano cartesiano como §e mue§tra en la figura, determine la distancia entre los vértices de la hipérbola.

Otras regiones del p1ano, importantes s que están definidas por inecuaciones.

a

consid"erar, serían

s23

Cap. 18


2 Grafique la región delPlano

524

geMinPanffiffi

I¡isés

Cq+. 7 8 8 Mtí,ot

Villena Muñoz

Grafique la región delplano

Grafique la región delplano

Analfñ¡at

reYÍena

CaP. 7 8 Qe¡mefría, Ana.liff,c'w

trlt¡ñoz

Grafique la región del plano

34

1.

Si p(-r,y):

*2

2

a2

b'

2.

3x2

+5y2

.g

*2 +y2 r16

22 3. * *l .l 189 22 4. * -l >-l 2s 100

1) {"*r'

[*'*v2

[x+.v]2

'1. Grafique

+

l*2

y2

>r

.+

el lugar geonÉtsico definido por cada una de las siguientes ecuaciones: (indique

véñices, focos, centro6, asíntotas)

a)

y2

+4y-6x+22:o

b) 3x2-51,2+6¡+loy=J) c) *2 +y2 -t2x-12y+36:0 d) x2 +3y2 +6¡+6:0

I | | |

:2x+4 i) ,'-+r-4.Y:O i) x2 -4x+ y2 -16-vi4:o f¡ zsr2 +16y2 +10&-96v*156:0 -,''-4y-8x+28:0 h) (,v- l)2

e) *2*y2+4x-3y+9:0 I ') l3:0 54x+8y+l fl 9r2 -4yz I *l g) 526

4x2

+9y2

-8x:32

4x2

-3y2 +8x+16:0


QMría¿ Analrí.q,,

Cap. 7 8 2.

Califique como Verdadera

o

falsa

cada una de las proposiciones. Justifique

.

representa una circunferencb para todos los números

formalmente su respuesta. a. La ecuación

.rf

+ -y,2 reales diferentes de cero

+ ¿r,{+ br.-a,b,c.

4 -i

b.

La distancia entre tos focos de ta gÉfica

d"

c.

La

: 0

ecuación ,.2 +,r,2

k e (-"o,-2)t-,(2.**) d.

-

2kr + 4

t

=

",

ZG, - t.

una

describe

circunferencia

si y sólo

st

El vértice de una parábola es el foco de la otra parábola y viceversa, si la ecuación de una de ellas es

1,2

-

- 4*+ I :

¡,

2

0,

e. - , t¡ene su foco en (1,0)

entonces la ecuación de la otra paÉbola

e.

La cónica de ecuación .t¡

f.

Sealaparábola P,cuyaecuación es

= x2 + 2x

* 2 1. + 2x -

-y2

4

:

O

I

p:2y)

-3v+5x+2:O,sufocotieneporcoorderpdas

lo7 3\ l,-(I '"[ --

I

40'4 )

g. Sea la ecuación Ax2 hipéóola.

h. Sea

P

con

la cónica descrita por la ecuación x1

I^

y

simetría

-2yt +3x-2y:0

Re:lR ; vA>O,la

+4x-8-)r:0,

su lado recto, entonces el punto de intersección entre

eo¡aci¡n descrüer¡¡a

.E, s¡ e*

Oenotamc

de

E- y L* ¡greooúür6

l_, r)

\ ''z) 3.

5

Determine la ecuación de la circunferencia que üene como centro el vértice de la por ecuación x + 3 y2 0, y conüene al foco de la misma.

-):

4.

Una circunferenc¡a üene por ecuación

t 5.

eR

,

Determine la ecuaciÓn del conjunto de

I . La recta de eqtacbn

(-a,0)

puntos P(-r,y) tales que

de

t

-t.

: I¡

&nde

.

la suma de la distancia

&p

a

V (4,O) es 14.

Determine la ecuación del lugargeométrir:o de los puntos

(1,-3)

7.

-Zf :

es tangente a ra circunferencia. Ha[e todos ros varores posibles

los puntos

6.

*2 +(5,

par&ú q.e te

P(x,y) tales que la distar¡cia ¡_4: 0

es dos veces la distancia a la recla definida por la ecuación

al Brnto

.

Un aviÓn sigue una trayectoria tal que su distancia a una estacón de radar situada en el punto (2,O) es ¡gual a un terc¡o de su distancia a una canetera que sigue el trayecto de la recta deñnida por -2. Determine la ecuación de la trayectoria que sigue el avón.

x:

8. 9. 10.

p(¡,),)

Determine la ecuación del lugar geométrico compuesto de puntos mndición de que su distancia al eje 'y'es el doble que su distancia al punto

¡e

Determine

b

la ecuación general del lugar geométrico definido por el conjunto oe puntos (x,_u)

definida por la ecuación

11'

úr

. Un punto se mueve de tal manera que su distancia al punto (2,-2) es siempre igual a un tercio de s¡¡ distancia al punto (4,1). Determine la ecuación del lugar geométrico,

ubicados en el plano tales que la distancia al punto

5

qu€ qrmplen

(2,-3).

x -3 :

(-l-Z)

es el doble de la distancia a

h

recta

0.

Determine la ecuación del lugar geométrim de un punto que se mueve de tal manera que la distancÉ x+3 es siempre dos unidades mayor que su distancia ar (I,f

a la recta

:0

. l.t2 ++v2-25:o -^ p(¡./):lz ) _:0 l2x' -2y' -5

t¿.

>ea

13.

Hallar los valores de

Nnto

hallar

Ad.x,y) (t)

'b'para los cuales el sistema:

).

.

)*- +y[r'=r+a

A

tiene solución única.

527

Cap.


14.

Sea

el

y2 -8y-o1r+3a¡ +16=0

sistema

yz -gy-o2*-2a2+r6:0

o1,ct2 p?Íaque el sistema 15.

(¡ ll:x ly:2x

tenga soluciÓn

en

+

[*' * !2

y -2x-6y-3:O.

x2 + y2 + 6x

x+4y+31:0

- 8:

0

la

yes

.

de la recta / que contiene al centro de la elipse de 4x2+9y2+8x-36¡+4=Oy contiene al foco de la parábola de

Determine

ecuación

ecuaciÓn

ecuación

-6*-4y+5:0.

Determine la ecuación de la parábola que es cóncava hacia aniba y contiene tres de los vértices de la

es

9¡'

+ 4y2 = 36

.

Determine el valor de la distancia mínima entre la circunferencia son respectivamente

C:x2 + y2

C

y la recta -L , si sus ecuaciones

+2x-4y -4:O y L; x-2y-6:O

.

y una elipse E que son concéntricas de las cuales se conoce la de la elipse E;9x2 +L6y2 +l8x-64y*62=O y que C es tangente al eje,

Dadas una circunferencia ecuación

determine la ecuación

C

de C

.

Demostrar que la ecuación de la recta tangente a la circunferen cia

(xr . yr ) perteneciente a la circunferencia es: x1x +

528

y es tangente al lugar geométrico que tiene

+4y2 +8x+4y-47=O.

elipse cuya ecuación

23.

J

-,

Halfarlaecuacióndelarectaqueesparalelaalarectaquetieneporecuación

*2

22.

y es tangente al lugar geométrico que tiene

(-1

tangente al lugar geométrico que tiene por ecuación

21.

=12

l*'-v':q

Hallar la ecuación de la recta que tiene pendiente

porecuación 4x2

20.

Encuentre los valores de

R'?

ecuación de la recta que contiene al punto

19.

ava2elR*

lr:,-*'

l*' !' :25 L*' - 6y:9

18.

Awaliff,qt

Qe¡mefYí,at

tw2 =zo

+3

*

..22 porecuacron -r

I

solución de los

Encontrar el

1

17.

7

yly : ,2

.

x2 + y2 = ,2 , en el punto

r


Cap. 7 9

N

úmera* Complo¡o*

19.1 DEFINICIÓN L9.2 IGUALDAD 19.3. OPERACIONES

f-9.4 NPFNESTNTACIÓN REETANGULAR 19.5 CONJUGADO 19.6 F'ORMA POLAR L9.7 PorENclactóx !.l-'

19.8 neOrcAcróN

El conjunto universo de los números es los complejos . Aquí podremoq dar solución o problemóticos gug oún estobon sin resolv".. .o*o roíces pores de números negotiüos, logorítmos de númerolnegotívos, ...

<-

I

I Og¡emros:

f

SE PRETENDE QUE EL ESTUDIANTE:

. . r . .

Conceptuolice o los números complejos. Sume, reste, multiplique, divido o números comple¡os' Represente rectongular y polormente o un número complejo' Obtengo potencio de números complejos' Obtengo raíces de números complejos.

* rl

{

19.1. DEFINICIÓN

El conjunto

de

denotodo con lo como:

c

los números comPlejos, letro c, se lo detine

-{, :(',Y)l* €R^/€R)

Es d"ecir, 1o podernos relacionar con el conjunto de los

pares ordenados. De esta tnanera nos permitirá inicialmente comprender sus propiedades. A " x,, se le llama "POrte Reol" y se 10 denota como Re(Z) y a-" y " se le

llama "Pafte Imoginoria" y se 1o d'enota como Im(z)

'

L9.2 IGUALDAD" 5i

zr

7:

o2

: (*r,Yr) entonces si ysólosi ,x,:xz Y lt =/z

:

(r,

,!r) Y

zz

19.3 OPERACIONES

19.3.1 SUMA

,Yr) Y zz : (*r,Yr) zr+ z2 : (r, * xr,lt * yr).

5¡

zl = (r,

entonces

'.r¡rsés Villena Muñoz

Cap. 7 9

N

úumerw Coanplpjo

19.3.1.1 PROPIEDADES

It. 5i

Zt,Z? e

c

entonces ;, *

]. :

Zr. e

c

propiedo d de

2

Yz,,z: eC [r, *

3"

\/'*¡.1..l. . f i(--, * r, )+ Jr : i, * (r, + )] =.

Z-,

+ ¡,

ce*adura

propíedod Conmutotivo

]

Propiedod Asociotivo

4. f (0,0)e

C,V(.'. ,') . C tol que (r,.,,) *(0,0)_ (r.,r.). (u,0) es llomado el Elemento Tdéntico Aditivo

Donde

5.

V(r,¡,) * C,3(x",)r)e C tot que (*,y)*(r.,.1.-) onde

(-r.,J'.)

ES

ie

19.

".

llomodo

(0.C) ).

el ebmento inverso Aditivo

3.2 MULTIPLICACIÓN ENTRE COMPLE*IOS

5i zt :(*,,y,) y ,r: (r, ,yr) entonces: :

ZrZz

(*r*r.

- h/2, xtVz + lrxz)

E Sea

z,

,.

, ,r) =,:[,,.:] ,

\.

entonces ,,

(

i,3,

,\

,1

, )

)-(-3 )(2).(2)(2)-(-3)(

=

[(rx-r

-6).4+3

-1)

)

: (]. -

)_(*z-(

Más adelante podremos realizar 1a multiplicación entre complejos de una manera más sencilla.

L9.3.2.1 PROPIEDADES

1.Si zteC y zreC entonces 2.Yz,zz e Clzrzr: zzzr\

ztzz e

C

PropiedoddeCerrodr.m,

Propiedod Conmutotivo

lkrrr)rr: zr(zrzr)) propiedod Asociotivo 4,2(r,0) e C ,y(*,y)e C tol que (f,O)(x ,y) = (*,y). 3.Yzr1Z2e23 e C

I

5r

I

Donde

(1,0)

es llomodo "fdéntico Multíplicotivo"

5.v(x,y) r C - {(0,0)} , 3{*",r.)= c tol que (*, y) (r., Donde

y.): (1,0).

(*',r'l=[# .-T+F] "t llomodo "rnverso Multiplicotivo

19.3.3 MULTIPLICACION POR UN ESCALAR Si

aelR y z:(*,y)eC entonces: dZ : o(*, y) : (o*,qy).

Eienlplo Sea z =

(2,-3)

entonces

5z:5(2. -3)

= (10,

-

15)

19.3.3.1 PROPIEDADES

1. 5i aelR. Y z eC entonc?S qz eC PropiedoddeCerradu 2. Y a elR; Vz, ,zz e Clo(r, * ,r) : a,z2 + arr) Propiedod Distributivo

3. Ya,p eR;Vz e C l@ * §)z -

az * §r7 Propiedod Distributivo

4.

v a,

p eR;vz e C l@p) z : a (pr) - p (or)f.

Propiedod Asociotivo

5. 3leR;VzeClrz-zf. Donde

I

es llomodo el Elem¿nto Tdéntico

L9.4 REPRESENTACION RECTANGULAR El complejo , : (*,.y) puede ser expresado de 1a forma : y) :r(1,0) * /(0,1) . = (r, observe que (t,O¡ i l')

-

1 y ltamem"" (0,1)

: I, entonces


Cop. 7 9

N

úmeroy Coruplojo*

2.4.x,+_#-i Tenemos tlna nueva representación que de aquí en adelante será rnuy

útil.

Veamos a que es igual i2. i2

: ii - (0,1X0,1) : ((0)(0) -(rxl),

(oxr) -(rxo)) _ (-1,0)

: _r (r,o) I

Entonces i2

: -1.

Con la forma rectangular de

nurmeros complejos podemos

los

multipl icorlos fácilmente.

Sea z, =

(2,-3) y

Zz

: (-t,z)

entonces

Ahora veamos el producto: ztZ2

=(z -

:;)(-t

+ 2t)

:1

+ 4i + 3i

-

6i2

:

Zt

:2-3i y zz : -l+2i .

-Z + 7, -

6(-l) = I

+ 7i + 6

:

4+

7

i:

(d

7)

observe que se obtiene el mismo resultado anterior. También podemos calcular rápidamente potencias de i

¡'=(i,);=-; ¡:

=(i')'r=t

{ :(i, )';: -; ¡,

=(i.)'i:r

.

ro

=(i')' :t

¡u

=(i')'=-t

i' =(i')o :t lo =(i')'

=

-,

T9.5 CONJUGADO

s33

-"----

19.5.1 PROPIEDADES

Vz:(*,ylaülzi- *'*y'} ?. yze.[F) :,7 L

3.

Yz1,zz)eülrr+rr-4*17

4.

Yz1,zz,eOlra:

^

,)

Demostremos la primera propiedad. El resto se la deja como ejercrcro para el lector

Sea'Z-x+Yi , entonces Z - x - y i . Ahora hagamos el producto: ,Z -(r* y i)(x- ),i) / - x-2 -lyt)

.¡2

u2 r'2:2 t --L -y : x2 _ y, (_t)

Este resgltado es interesante. Et producto de un número camplejo con su conjugado es url número rea"l. Esta propiedad es útil para la división entre números complejos.

Sea z,

:16-l li y zr:3+2i

SOLUC6N:

hala¡

z' _ 16-1-li za

3

+2i

L. z1

Multipticamos y dividimos por el conjugado del denominador

-tu)(l-z¡\ _48-32i-33i+22i2 _26-6si 13 (3+zi)(t-zi) (:)'+(z)'

z, _0e

,, z)

534


Sea z,

Cap. 7 9

N

tunezw Cotlpl,ejo"

:4+7i y Zz:-l+2i halhr 1.

SOLUCIÓN:

" = z.

4.* 7l^,

Multiplicamos y dividimos por el conjugado del

-l +2i

denominador

z, _ * (q+t¡)(-t-z¡) z" (1 + 2i)(-t - a)

_-4-Bi-7i_t4i2 :- l0 - 15, 5

-aD?rr-

z.

z"

Sea z,

=-l+l}i

y

zr=l-2i

hallar

1. z2

SOLUCIÓN:

: --]ifZ t-zi

z,

;

Muftiplicamos y dividimos por et conjugado det denominador

z, _ (-t +tz¡)(t+ z¡) _ -r _2i +t2i + 24i2 z? (r-zi)(r +zi\ (r). +(z).

:+

-25

+l0i 5

z. _J_=_5+2i z2

Sea z,

=2+5i

Y

zz

=1-3i

hallar

SOLUCÉN:

: '! ti, -z- )l

'_'

zt

Multiplicamos y dividimos por et conjugado det denominador

,,: (z+si\(-z+zi) z1 (-z-ti)(-2+3i) -19 - 4i : -:------;-----= (-z)'+(t)' _ -25 +lOi 13

z, z2

25 13

10. 13

535

Galculamos las potencias de

,

-,' i-l-,'u -

i

:

(r)'¡-(r)' -i-l = -1+i

-l+i

tultiplicamos y dividimos por el conjugado del denominador y simplificamos: _

"

_(-i-r)(-r-i) -

(-r+,'X-l-,)

t+t- +l+t =-

(-r)'+(r)'

_2i

._:

2

z_a

Determine er varor de

,2.

3.

'

+{

,l'L:?tr'!,, + 3i[l - 3i) . ,-1

simpriftque ra expresión

Cabutar

.

(1

z=i---++ r-, l_

4.

l+i Calcular z = ----L:l- ' l-t t_i i

.

Sea

/(x):xa+qx1+ar*+arx+a4, un polinomio de coeftcientes f(¡):O, determine los valorcs de los coeficientes del polinomio. 6. &mnestreqr.re Yz eC, [z e iR e , =i]

536

reales.

Si

/(l+i):0

y


Cqp. 79

N

úme*oy Cotnpleioy

19.6 F.ORMA POLAR Anteri<¡rmente definimos a u.n número complejo como un p€rr ord.enado de números reales. Si ubicamos este par ordérrádo como u.n punto en el plano, existe otra forma de representar un número complejo. Observe Ia figura.

z

olrl

se le llama "Itróduro de

z',

.=

P(x,y)

también se ro denota como

dado por:

A eo se le llama uArgum.ento de

'7', y está

también se 1o denota oorno

arg(z), y está dado por: ;

x* 0, 0 30o<2tr

-observe qr-re se podría obtener otras representaciones polares para el mismo complejo Z , basta considerar:

0:Oo+k(27r); keZ A 0o le llamaremos "Argumettb@*

z.,'r

I r l,Ijffimj#lili{

:tlr.,

lry

Otras igualdades qrre varr a resultar útiles son las sigr.rientes:

f* -rcosáo

I

Ly

-

tsen4o

Se deducen de acuerdo al grafico anterior.

Con Ia fdentidad de E'uler eio :Cosá+ iSen? (su demostración escapa del alcance de este texto) y con las igualdades qlre hemos obtenido se puede obtener la representación polar de tln número complejo:

: z:

Z

x + yi

:

rcos

0o

* rsenao i

r(cos 0, + senq ,)

y en general quedaría: z :, ai(%+2ktr) ;k eV,

Encuentre la representación polar del compleio z =

l+i.

SOLUG6N: Calculamos el modulo y su argumento:

lrl:r=.[fi:.lf 0,

*t= =.t7

: ar..*rI: aarctan] = x-lqla'l

:

L =E

+ - oQA:k

eZ

I r*roo\

J2 e\4

Portotanto, z:l+i:

Encuentre et módulo

."¡9¡u111

);k ez

de e4" donde zt :2 + i y z' :

1

'

2¡ '

SOLUCÉN: Reemplazando tenemos:

: e,r., : ¿{2+i)(r-2i) "i{z-at*i''''\ Por tanio, su módulo es e' .

538

ei(4-3¡)

-

"4i-3i2

-

e4i+3

:

e,t

et


Cap. 7 9

Si Re: i.l y sea p (r):lz

-ll:2

N

úm.e¡w Cot uplojo*

. HaLar ¿ptr)y describa su tugar geométrico

SOLUC!ÓN: Supongamos QuO z = ,r +,¡,i, entonces:

l:-tl=z = =

l-t+-ui-tl=z l(,._l)+.r.rl=:

= d;¡,.t'=,

= (.r-l)'+y'=4

l

Por lo tanto,

¿p(,):{("t,,r)z(*-l)'+,u'=a}

/-')

S

descr¡oe una circunferencia de centro

c(1.0) y ra.,:

f

S¡ Re: C , catcutar tn (-t)

.

SOLUCIÓN: Primero hallemos la forma polar del complejo:

4:

arctan

z

I :

:

_l + Oi

arctan

.

9 :

arctan( 0)

Como la parte real es negativa y la parte imaginaria es cero, entonces: 0r,

:o gi('*t*') Entonces: -l: :k e Z Ahora: ln(*r): lr(.'('".0",): ilr +2kz)lne : i(n +2kr) ;k ez .

19.6.1 PROPIEDADES Seon zzzltzz € C, entonces: I. -t zl

lf

FT 2. Z. '_ lzzlt' 3. I1,, *: ¿--z1,1 lz,l+lz,l lztt+ l4. t,, ,rl,l=:=lt,, ll,,l lu l'tzz I

I

,

I

5.

,t t, l: b It-t I lll¿zZn,l -l t,t,; z^,l I-2, -1,-)

I

6. cart rgs( F,r),) .ztl

\o

- arg zt * argz2

z1,l,) ): arg z1 atg z2 7. a rgl \( ( z.^2. ,)= oir.ide d emostrarlas! < l(,)

La representación polar de urr número complejo es útil en la

potenciación y en la radicación de los números complejos.

L9.7 POTENCIACION.

catcular

iÍ;ry.

SOLUCÉN: Del ejemplo

anteriortenemosque:

(r+i),0

1

+i

:0

e'2,

entonces:

:2'"'T :[o "';) :(€)'' [,'t)''

Ahora empleamos la identidad de Euler:

(r + i)'o = 2'

n'*

: rrl"""(2;) -,'* (T)]

:'rl*"(;)-,,*[;)] :l2lo+i7 (l+t)" :32¡

solucÉN: Primero hallemos la forma polar del complejo:

z

=l-

i',11

.

lzl:r=,til7=i[[m:2 oo=arctan*=

*"t*t':

Como la parte real es positiva y la parte imaginaria es negativa,

Entonces:

er:t{

Entonces: Entonces:

l-i''E:2"'T (r

-;.6)' :(r"'*)' : r' "'+

Ahora empleamos la identidad de Euler:

540

ur"t

á,

,(-.6)

es un ángulo delcuarto cuadrante.


Cap. 7 9

N

úm,etat Cotnplojw

(,-,#)' = 32.'T : szl*"(ff) .,.r :

(?)]

rr[*,[;).,'.[i)]

f

=.rl l-* 2),l 12 (r-i.6)' = 16+ 16^11 ¡

19.8 RADICACIÓN

Galcular las raíces cuadradas del complejo .:1..

sor-ucró¡¡: Primero hallemos la forma polar del complejo:

z=

-l

+Oi

.

lzl:r=,Fry =¡($1of :r 0o

= a¡s1apZ:

*"r*9

= arctan(0)

Como la parte real es negativa y la parte imaginaria es cero, entonces: Oo =

Entonces:

*1-

Entonces:

n

"i(t+zkr)

: ("'{'*zr4)' :

Las dos raices cuadradas serían:

;k

"'%

.(z+z(o)r)

.Í

: o,l

7T :cos-+isin--:i "'T "'i 22 .(r+z(r)zl 3z _--3n 3r :COS-+isln--_i k :l + 22 : e'---Z- = "'T 22 k

:O= zt:

:

7T

541

fry"qb'z

Calcular las raíces cúbicas del complejo ,B¡.

sotuclÓru: Primero hallemos la forma polar del complejo:

z

:

O

+8i

.

lzl=r=,1ñ=fiffi=s Como la parte real es cero y la parte imaginaria es positiva, entonces:

r-

\

tl

Entonces:

q

8i:¿\2-+/kt

I

J

Las tres raíces cúbicas serían: .z

.(z++(o)z)

É:0+ Zt:2e ft:l=Zz=2e

:2e 6 :zf

6

6 L"ora+i

.@+t(t\z\

6

.5r

- 2e6

.(z++(z)r)

k

=2¿ zt =2e

6

6

l1:rl§*1,]

6l 12 2) =Ji+¡

: 21.."! + i sin +1= r(- + -

.97

=2e

sin

= 2u'T

=

rl.,,T *

,oi"+7=

:,):-.6

2(o * i)

*

¡

: -z¡

Note que las n raíces de un número complejo están igualmente espaciadas 1rn rángulo d,e ?2. n

líe,ntpl,ü 3 Calcular las raíces cuartas del complejo §OLUCIÓN: Primero hallemos la forma polar del complejo:

l,l=,

z

;16í.

:

O

* l6i

.

=.'6T=\&i *(-r6f -

16

Como la parte real es cero y la parte imaginaria es negativa, entonces: q) =

Entonces:

3r 2

¡(! *:t ,tll

-l6i : e' :

(+-..r;) $r*4k¡l ( '(*-'r')\% 't-2 :l :2"'T Entonces: 4l-t0¡ l6e\ '| =2u'T ;k:0,1,2,3 () Las cuatro raíces cuartas están igualmente espacias

.Qr+q(o)z) f o 6 :e 8

f

V

serian,

3zr

3z

=cos-+rsln88 .Fr+a()t) .7r 7n 7n :e : COS-+rSlnk=t> zz=2e 88 tr .(3r+ a(2\z) llzr llr :g I :COS-+rslnk =2> Zt =2e 88 .(3t+4(.3)r\ .15r l5¡r l5r :e I = COS-*¡SIl1 k:3 + Z+:2e 88 k:A*Z.t:2e

8

8

.t

8

8

542


Cqp. 1 9

úme*oy Cornpl4ío"

N

SOLUC6N: Si despejamos

x,

tenemos:

I +l=0 =)

x2

:-l

:+

x=1EJ

Entonces, el problema serla el mismo delejemplo 1. por lo tanto:

l.Encuentre

lzl,

b. c.

z=4i

d. e.

z

- _

I

a:

=l-i

Si z, =

4.

Demuestre que Vz eC,

E

Simplifique la expresión (t

8.

I

z:-51¡

g

z=eoo,

h.

Z _ e2/i-5 -t+l

€ -' )' f t +

¡

)3 [.6* r)\r-i)

zr=d3d, zt=-l-^líi,determine

3.

7.

,

determine ta sotución de la ecuación

L Si Re = C , encuentre a. x2 +9=O

b. c.

l-r,

= -arg(z) - r)o + 1.,6 + i¡, .

x e C , encuentre las soluciones de xa * I :0 Si e e C, encuenlre las soluciones de zs -l =0 zeC

'

arg(-z)

Si

Si

l-t, i\

¡. z:e3

I

Determine et vator de ta exoresió,

6.

t.

|

z:5+5í

l+i,

=

ary(z), ln(z):

z:2

a.

¿p(*)

las soluciones de las si

d. e.

+l:0 xt-3=o ¡3

.

¡fu-, *, = 4_3i

.

ecuaciones:

xa+16=0

x5+1-i=0

10. lndique si el valor de verdad de la proposición es vERDADERO o FALSO. Justifiqr¡e' r rl0 / -

a.

b. c.

Laexpresión

[ ',-J'+l esequ¡vatentea -1*€, 2 z[-t+r/3i./

Si z = -8+8.,f31, entonces una delas raíces cuartas deses Una de las raíces quinta

de

l- i^b

-16-i.

es {¡E(cos(276o)+ isn(276o)).

{f,

l.Sean zt a)

=l+i

8-i

2.Sea Re =

Ap(z)

,

zrr, es: i* , ,, =z-.li¡. Entonces elvalor de 22zr e\ 4-t dl 4+t c) 8+i b) -8*,

22 =

C y sea p(z): za +l6i:0

es:

a) 16;

b)

*16,

, entonce§ el producto de los elementos

3. Si una de las raices cúbicas de un número complejo

mmplejo es:

a)

-.6+;

b)

.6-;

c) 8i

es

-,

-2i

e)

-.6+¡,

entonces el número

d\

c) 2i

de

d)

e)

-8'

.,f3d

izlz'

: l- 3ii Zz : 2 + i,entonceselmÓdulodel número " ""'. t/ e\ u% d) e% c)e" b\ -% at% 5. Sea /(r) = xa + qf + arxz + arx + a4 , un pol¡nomio de coeficientes reales. Si f(r-i¡=g f (2 + i) = 0 , determine los valores de los coeficientes del polinomio.

4.Sa Zr

Y

E

-t

3de

nero ,t@::1i;,;.;:.

E,

7.7

a) si

b)

g)

h)

si

no no

c) ¡)

no si

d) si jj no.

0y

e) si

f) no

7.2 a) Si te gustan las matemáticas enlonces te gusáeGEber. b) No te gustan las matemáticas o te gusta eite deber. c) Si no te gusta este deber entonces no te gustan las matemáticas. d) Si te gustan las matemáticas o no te gustán las matemáticas

entonces te gusta este deber

a) b)

v¡sta

§e rooa un sucre

e)

§tem0ras vtentos Un polígono es un cuadrado

s) h) i)

i) k)

No se ama como es debdo Se enseña la oiema Se roba un millón

üe es secreEna

c) d)

0

**

@!Ua;".r-*-"" No se ama a pnmera

existo

."-

Gsecñirmoestades Es un rectánoulo

d@

Hacemos uso apropiado la Nafuraleza ha puesto bajo nuestro dominio Tienes éxito Evitar enfermedades _Tq¡go motivación El ser humano puede superar su anguatia y soledad

somos débiles aprecias Ia opinión de los demás Alimentarse Estudio

adecuadáméñte--=--

I

rene un error auténtim

espontáneo y creativo.

3. a) (c-rá) ->(a,^,c/\

b)

-

y un trabap

(-{' ,'d)-->-b

si un trianguro es reciánguro entonces IF9jllocfsi un kiángulo

está crrcunscrito en un semicÍrcuro. no está circunscrito en un semicí¡culo entonces no es rectánlulo CONTMRECíPROCA: Si un triángulo no es rectángulo enlones no está circunscrito en un

!\¡^YE¡_s{

semicirculo.

b

{

í

il

1)a

2)d

3)b

f0) d

11) e

12) c

E íeroíníny ? rop

uc,fu*

7.7

laúrcÁfune*t 1)b

2la

3)d

10) c

11) b b

121

c

r)

5)a l4) c

4)c c

13) a

211 c

22ld

c

6)e

7)c

8)d

9)e

15) d

16) c

171 c

18) d

8)b

9)a

24la

b

E íeroír,í.o* ?

rob ul"rttot 2 . +

101 az2

b:660 c:510 d:320 5)d 4)a 3)a b:13 c;14 d;12

11) e

't2lb

1) a:

ll0

2)a

e:190

6)a

7)a

141 c

tlírrcÁtá,n*t 3) e 12

3.1 b

3.2 E íeterí.oíoy ?

roo

uü"lfu

3

.

3

lairÁána,y 1)c

l0)

e

2lc

3)c

4)c

11) e

144

13) c

5)a

6)d d

15) c

4.+ l)e t0)

2)e

ll)c

e

3)d

t2)b

4)b

s)b

l3) c

6)b

14) a

15) e

laf¿cÁtn;nmy 2lc

'fi)

e

3)a

4)d

5) b

't2t e

13) d

14

)b

5.7

I

: I

I

l)a:

$

zla

l\Le

15s51 ^. 7§50 ''

6)c

7)e

8)e

15) e

16) d

171

9)c e

r8) d

Eíetciníoy ? ropu,etby 10) c

2)c 11) c

l9)

2O'l a

l)e e

4)b 13) b

a)b 12) b

E íeroípíot ? rob 2't c 3)a 1)b

5.7

u*,*w

5

5)e

6)c

7)d

15) e

16) d

8)c 17) b

9)e

14) e

9)a

.

r8) b

I

s)d

4)a

l"túrcát neav 2la

3)a

4)e

5)b

6)d

7la

8)b

f0)

b

r1)d

121 d

13) e

14) c

15) d

't7l a

19) 28) 37) 46)

a

z',llb

22la

231 a

24ld

26)

30) d 39) e

33) a

4't) e

42lb

43) b

Mla

d

c

,18) a

31) d 40) e ,19) e

32lc

a

20) d 29) a 38) d

16) b 25) c 34) c

b

5f) e

b

e

6)d

7)d

l)c d

E íetciníny ? ro? l)

a:

b)

l)a

u:

36) e 45) b

3)c

3)d

E íqcir,í,o* ? ro? 2)c

27lc

35) c

6 .7

2\c

{o}

2)c

1)d

u*sfut

18) e

b

upr*w 6 . 3 4)a

3)a

5)a

Ejeroír,íoy ? roP ucetby .6 4 r) [r] z)e ¡)¿ ¿)" .

Eíercir,ío* ? roPuetbt r

¡ {- t,t}

o

{:}

6, 5

z) {- r}

3) l-r,o,zl

,[]

7' l¿,2\

8)

e) {-6,r}

{-:,s}

E íeroí¡,íot ?

roD uw*fuv 6 . 6

,,

D

6)

{{2}

1r)

0

},}}

ffi

l*2\

, {-f-4 12) 0

3)

o

" {-''}}

qlr,+l -

'{}}

"{}}

s¡ {o,z} to¡ {2'+\

Eiqc,í,r,íot?ropup,fuy6.7 2\d 3)c 4)s0 10)c rl) 1500

1)b 9)a t7\ a

5)a

6)b

7)e

8) $s20oo

y

12)

13)

14) c

15)

t6) a

6)a l5) a

7)b

24lb

251 a

8)b 1\a 26)c

I8) c

a

d

c

§8oo0

laíirdtnneay 2)d 11) b 20)c 29)c

rlb 10) b

re) b

28la

1)

(*6,r)

4)e

5)c

12le

13) c

21la

22ld

14) e 23) c

16) d

30)a

Eíeroúoínt ?

t) [-r,*) t ptoínío*

3)b

rop

? rob

.

r¡ (---,ol

up.fu

7

.

2

3)(*3J)

Qi)

2t

18)d ZTla

wetbt T l

(-o,:]

z)

e)a

r¡

(0..c)

q[-¿ll-

Eiq@"[email protected] 7.4 o,l+,*l

c:0 h:

2ld

3)e

b:

i: (--"",-)

4)a

Ejetc,í,c,ti,o* ? ropun

1)a:$ 2lc

(-, *)

o, {¡}

(-2,*)

3)c

"'

fu*

[-

b

§

7.5

l]'

d:

(-"o,-a)t,(ir)-0,-,

rb

7.6 l) r>20O a:$5 v

5)

2) x>IOOO $7

b:

7)e

6) $2oo

3)a

4)b

6
l'lútc**nnqent 4a fi

e:

(---,-t]

t

Eiuoíní**?rquetbt8.2 1l 8/l}uav6

21 924x2y2

7l 41236

8)a

9)e

4) -1013 r0)d

13) d 19) a

14) a

l5)

16) c

3)c

n=8

5)a 11) b 17la

6) b

12lb 18)d

Eje{d+oü"rq@83 rod

E íerc,ír,íoy ? roP up¿fut b: Ninguna l) a: Geométrica 5)a 4) a 3)c 2)c 9)c 18)

b

4)e t2) d lE) c

2)a 3) d 10) b rl) d 17) 9 pagos

1)a

e)b

ro) b 19) c

b c 19) e

5)

6)b

13)

t4) c

7)d

8) b 15) 20 pagos

20) $120

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