1. Una peque pequeña ña isla isla está está a 2 millas millas del del punto punto más cerca cercano, no, P, de una playa rectilínea de un gran lago. Si una mujer en la isla puede remar en una lancha a 3 millas por hora y caminar millas por hora. !"n !"n d#nd d#nde e de$e de$e dese desem$ m$ar arca carr el $ote $ote pa para ra lleg llegar ar en el menor tiempo, a un pue$lo que se encuentra a 1% millas del punto P medidas so$re la playa&
2 millas
(di)
P
X
10 millas-X
Se identifca la unción que se dese optimizar; optimizar; en este caso es el tiempo, movimiento rectilne rectilneo o cuando cuando el cuerpo cuerpo descri!e descri!e una como se trata de un movimiento tra"ectoria recta nuestra unción de tiempo quedara determinada por# tiempo =
distancia 2 por por loqueT loqueT total =t 1 + t 2 velocidad
$or lo que al al sustituir los valores que que nos proporciona proporciona nuestro pro!lema# pro!lema# %elocidad remando&
%elocidad caminando&
3
m h 4
m h
'& distancia desconocida
distancia 1 distancia 2 x x + 4 10− x Sustituyendo : T total= + = √ + velocidad velocidad remando velocidadcaminando m m 3 4 h h 2
entonces la función de tiempo a minimizar queda como : t ( x )=
Se calculala primeraderivada →t ´ = x
'
Se simplicicala función t = 3
√ x + 4 2
−
1 3
1
( x +4 ) + 1 (10 − x ) 2
2
4
−1
1
( x + 4 ) (2 x )+ 1 (−1 ) 2
6
2
4
1 4
Se igualaa cero y se resuelvela ecuación paracalcular los valores críticos sean x 1, x 2 …,etc
x 3
x
1
√ x + 4 2
− =0 → 4
3
√ x + 4 2
=
1 4
√ x + 4 → se elevaal cuadr ado paraeliminar laraíz x = 9 ( x + 4 ) x = 2
2
3
2
4
2
x =
9 x
2
16
+ 36
16
16 x
2
=9 x + 36
16 x
2
−9 x =36
7 x
2
2
2
2
=36
x =
36 7
→ x =!
√
36 7
"stos son los valores para los cualesla función puede tener un m#ximo o mínimo relativo :
Puntos
x 1=2.26 x 2=−2.26
*ora veamos si para el valor de
x 1 2.26 =
*a" un m+'imo o mnimo#
$ara un valor menor que 2
t ´ ( 2 )= 3
√ 2 + 4 2
3 3
√ 3 +4 2
; el 2, por eemplo, tenemos#
1
− =−0.01429 $a función es %"&"&(")T" 4
$ara un valor ma"or que t ´ ( 3 )=
x 1=2.26
x 1=2.26
; el , por eemplo, tenemos#
1
− =+ 0.02735 $a f unción es&"&(")T" 4
.omo la derivada pasa x 1=2.26 existeun *()(*+
de
ne/ativa
a
positiva,
si/namos valores a ' para compro!ar los resultados
' % 1 1.2( 1.( 1.)( 2.2* 3 3.( .( (
t 1 23344 433 23 403 2345 23656 465 23603 002 234154 06 2350 32 23301 135 016 06404 636
para
el
valor
+unci#n t - 2 14 1 iempo t
04 234 23 0
1
2
6
4
/0stancia -
raca 1
Suponga que, cuando llegue a la playa la mujer será recogida por un autom#4il que promedia (% millas por hora. "ntonces, !"n d#nde de$e desem$arcar& $or lo que al sustituir el nuevo valor a nuestro pro!lema# m 3 %elocidad remando& h %elocidad en automovil&
50
m h
distancia 1 distancia 2 x + 4 10 − x Sustituyendo : T total = + = √ + velocidad remando velocidad en automovil m m 3 50 h h 2
x =
1 3
1
( x + 4 ) + 2
2
1 50
( 10 − x )
entonces la función de tiempo a minimizar queda como : t ¿
Se calcula la primera derivada →t ´ =
x
'
Se simplicicala función t = 3
√ x + 4 2
−
1 6
−1
( x +4 ) (2 x )+ 2
2
1 50
(−1 )
1 50
Se igualaa cero y se resuelvela ecuación paracalcular los valores críticos sean x 1, x 2 …,etc
x 3
√ x + 4 2
−
1 50
x
=0 → 3
√ x + 4 2
=
1 50
√ x + 4 → se elevaal cuadrado paraeliminar lar aíz x = 9 ( x + 4 ) x = 2
2
3
2
50
2
x =
9 x
2
2
=9 x + 36
2
−9 x =36
2500 x
2491 x 2
+ 36
2500
2500 x
x =
2500
2
2
2
=36
36 2491
→ x =!
√
36 2491
"stos son los valores para los cualesla función puede tener un m#ximo o mínimo relativo :
*ora veamos si para el valor de $ara un valor menor que
x 1=0.12
x 1=0.12
*a" un m+'imo o mnimo#
, el 010, por eemplo, tenemos#
t ´ ( 2 )=
0.10 3 √ 0.10
+4
−
1 50
=−0.00353784 $a funciónes %"&"&(")T"
$ara un valor ma"or que .15
t ´ ( 3 )= 3
√ .15 + 4 2
−
1 50
x 1=0.12
el 14 por eemplo tenemos#
=+ 0.00492998 $a funciónes &"&(")T"
.omo la derivada pasa x 1=0.12 existeun *()(*+
de
ne/ativa
a
positiva,
si/namos valores a '7 para compro!ar los resultados
%.%1 %.%3 %.%( %.%) %.%5 %.12 %.1( %.16 %.21
t 0564 05161 05456 3 0546 55 054461 05464 43 05443 06 0541 22 0511 43
para
el
valor
+unci#n t - 05 05 05 05 05 iempo t
05 05 05 05 05 0
004
01
014
02
/istancia -
raca 2
•
Suponga que la mujer utili7a una lancha de motor, que 4iaja a 2% millas por hora. "ntonces !en d#nde de$e desem$arcar&
$or lo que al sustituir el nuevo valor nuestro pro!lema# m 20 %elocidad motor& h %elocidad en automovil&
50
m h
2 4 10 distancia 1 Sustituyendo : T total= + distancia = √ x + + − x velocidad motor velocidad automovil m m 20 50 h h 2
x =
1 20
1
( x + 4 ) + 2
2
1 50
( 10 − x )
entonces la función de tiempo a minimizar queda como : t ¿
Se calculala primeraderivada →t ´ =
1 40
−1
( x + 4 ) ( 2 x )+ 2
2
1 50
( −1 )
x
'
Se simplicicala función t = 20
√ x + 4 2
−
1 50
Se igualaa cero y se resuelvela ecuación paracalcular los valores críticos sean x 1, x 2 …,etc
x 20
−
√ x + 4
x =
2
20
20
√ x + 4
=
1 50
2
2
50
2500
400 x
+ 1600
2500
2
=400 x + 1600
2
−400 x =1600
2
=1600
2500 x
2100 x 2
50
2
2
2500 x
x =
x
=0 →
√ x + 4 seeleva al cuadrado paraeliminar la raíz x = 400 ( x + 4 ) 2
2
x =
1
2
2
1600 2100
→ x =!
√
1600 2100
"stos son los valores para los cualesla función puede tener un m#ximo o mínimo relativo :
*ora veamos si para el valor de $ara un valor menor que t ( 2 )=
0.7 20 √ 0.7
+4
−
1 50
x 1=0.87
x 1=0.87
*a" un m+'imo o mnimo#
; el 0, por eemplo, tenemos#
=−3.85 ¿ 10− $a función es %"&"&(")T"
$ara un valor ma"or que
3
x 1=0.87
; el 1, por eemplo, tenemos#
1
t ( 3 ) = 20
√ 1 + 4 2
−
1 50
=+ 2.36 ¿ 10− $a función es&"&(")T" 3
.omo la derivada pasa x 1=0.87 existeun *()(*+
de
ne/ativa
a
positiva,
para
si/namos valores a '7 para compro!ar los resultados
83 82 81 %.6) 2 3
t 16154 06 115250 306 0344 433 03031 02 110250 306 16154 06 1101 135
+unci#n t- 15 1 16 iempo t
12 1 05 -1
0
1
2
/istancia -
raca 3
6
el
valor
.on esta !+sica en la iterativa pro!lemas
/istancia 9emando8 22 millas :aminando. 9emando8 ;utom#4il. 012 millas
iempo 236 *oras 05 *oras 030 *oras
t8cnica utilizada solución de de
9s evidente que resulta m+s óptimo el traslado en un !ote remando " que al lle/ar a tierra *a/a uso de un automóvil, pues la distancia es menor, aunque lo importante es el tiempo mnimo a comparación de los dem+s opciones 9ste m8todo nos orece la orma m+s simple " directa de resolver estos pro!lemas, en t8rminos pr+cticos ($rimera :erivada) a optimización de una unción es la metodolo/a que permite determinar dónde una unción alcanza sus valores m+'imos o mn imos 9n la vida pr+ctica, se requieren optimizar diversas unciones, por eemplo# ma'imizar in/resos, utilidades, o satisacción, minimizar costos, tiempo, o desperdicios, etc