Se sabe que la población de una comunidad crece con una razón proporcional al número de personas presentes en el tiempo t. si la población inicial P 0 se duplicó en 5 años, ¿En cuánto tiempo se triplicará y cuadruplicará? Suponga que se sabe que la población de la comunidad del problema 1 es de 10000 después de tres años. ¿Cuál era la población inicial P 0? ¿Cuál será la población dentro de 10 años? ¿Qué tan rápido está creciendo la población en t =10?
La población de un pueblo crece con una razón proporcional proporcional a la población en el tiempo t. la población inicial de 500 aumenta en 15% en 10 años. ¿Cuál será la población ´pasado los 30 años? ¿Qué tan rápido está creciendo la población en t=30? La población de bacterias de un cultivo crece a una razón proporcional a la cantidad de bacterias presentes en el tiempo t. después de 3 horas se observa que 400 bacterias presentes. Después de 10 horas hay 2000 bacterias presentes. ¿Cuál era la cantidad inicial? El isotopo radioactivo Pb-209 decae con una razón proporcional a la cantidad presente del tiempo t, y tiene una vida media de 3,3 h. si al principio había un gramo de Pb ¿cuánto tiempo debe pasar para que decaiga 90%? Inicialmente había 100 mm de una sustancia radiactiva. Después de seis horas la masa disminuyo 3%. Si la razón de decaimiento en cualquier momento, es proporcional a la cantidad de la sustancia presente a l tiempo t, determine la cantidad que quede después de 24 h. Calcule la vida media de la sustancia s ustancia radioactiva radioactiva del problema 6. A. el problema con valores iniciales dA/dt=kA, A (0)=A oes el modelo de decaimiento de una sustancia radioactiva. Demuestre que en general, la vida media, T de la sustancia es T=-Ln2/k. B. demuestre que la solución del problema con valores iniciales del inciso A se puede escribir como A (t)=Ao2-t/T. C. si una sustancia radioactiva tiene la vida media T dada en el inciso A, ¿Cuánto tiempo le tomara a una cantidad inicial A o de una sustancia de caer a 1/8ªo? cuando pasa un rayo vertical de luz por un medio transparente, la razón con que decrece su intensidad I es proporcional a I(t), donde t representa el espesor, en pies, del medio. En agua limpia de mar, la intensidad a 3 pies de bajo de la superficie es 25% de la intensidad inicial Io del rayo incidente. ¿Cuál es la intensidad del rayo a 15 pies debajo de la superficie? cuando el interés es compuesto continuamente, la cantidad de dinero aumenta con una razón proporcional a la cantidad presente S al tiempo t, es decir, dS/dt=rS, dS/dt=rS, donde r es la razón de interés anual.
a. calcule la cantidad reunida al final de 5 años cuando se depositaron $ 5000 en una cuenta de ahorro que rinde el 5 3/4 de interés anual compuesto continuamente. b. en cuantos años se habrá duplicado el capital inicial c. Utilice una calculadora para comparar la cantidad obtenida en el inciso a, con la cantidad S=5000(1+1/4(0.0575)) 5(4) que se reúne cuando el interés se compone trimestralmente. trimestralmente.
los arqueólogos utilizan piezas de madera quemada o carbón vegetal encontradas en el lugar para datar pinturas prehistóricas de paredes y techos de una caverna el Lascaux, Francia. Si se sabe que la vida media del C-14 es de 5600 años, determinar la edad aproximada de una pieza de madera quemada, si se determinó que el 85.5% de su C-14 encontrado en arboles vivos del mismo tipo se habría desintegrado. El sudario de Turín, muestra el negativo de la imagen del cuerpo de un hombre que parece que fue crucificado, muchas personas creen que es el sudario del entierro de Jesús de Nazaret. El 1998 el vaticano concedió permiso para datar con carbono al Sudario. 3 laboratorio científicos independientes analizaron al paño, y concluyeron que el sudario tenía una antigüedad de 660 años, una antigüedad consistente con su aparición histórica. Usando esta antigüedad determine determine qué % de la cantidad original de C-14 queda en el paño en 1998.
Un termómetro se saca de una habitación donde la temperatura es de 70 0F, y se lleva a un lugar donde la temperatura es de 10 0F. después de medio minuto el termómetro marca 500F. ¿Cuál es la temperatura que marcara en t=1min? ¿Cuánto tiempo le llevara alcanzar los 150F? un termómetro se lleva de una habitación hasta el ambiente exterior, donde la temperatura del aire es 5 o F, después de un minuto, el termómetro indica 55o F, después de 5 minutos indica 30 o F. ¿ cuál era la temperatura inicial de la habitación? una pequeña barra de metal, cuya temperatura inicial era de 20 oC, se deja caer en un gran tanque de agua hirviendo. ¿Cuánto tiempo tarda la barra en alcanzar los 90 o C, si se sabe que la temperatura aumento 2 o en un segundo?, ¿Cuánto tiempo tardara en alcanzar los 98o C? dos grandes tanques A y B del mismo tamaño se llenan con fluidos diferentes. Los fluidos en los tanques A y B se mantienen a 0 o C y 100ºC respectivamente. Una pequeña barra de metal cuya temperatura inicial es de 100 o C se sumerge dentro del tanque A. después de un minuto la temperatura de la barra es de 90 o C. después de dos minutos se saca la barra e inmediatament i nmediatamente e se transfiere al otro tanque. Después de un minuto en el tanque B la temperatura se eleva 10 o C. ¿Cuánto tiempo medido desde todo el proceso, le tomara a la barra alcanzar los 99.9o C? un termómetro indica 70 o F, se coloca en un horno precalentado a un temperatura constante. A través de una ventana de vidrio en la puerta del horno un observador registra que el termómetro termómetro lee 110o F después de medio minuto y 145 o F después de un minuto. ¿Cuál es la temperatura temperatura del horno? .al tiempo de t=0 un tubo de ensayo sellado que contiene una sustancia química que está inmerso en un baño líquido. La temperatura inicial de la sustancia química en el 2
, t≥0, donde t se mide en minutos.
tubo de ensayo es de 80 o F. el baño líquido tiene un temperatura controlada controlada (medida en -0.1t grados F) dad por T m (t)=100-40e a. suponga que k=-0.01 en la ecuación (2). Antes de resolver el PVI, describa con palabras como espera que sea la temperatura T(t) de la sustancia química a corto plazo. Y a largo plazo. b. resuelva el problema con valores iniciales. Use in programa de graficación para trazar la gráfica (t) en diferentes intervalos intervalos de tiempo. ¿Las gráficas concuerdan con sus predicciones del inciso a? un cadáver de encontró dentro de un cuarto cerrado en una casa donde la temperatura era constante a 70 o F. al tiempo de descubrimiento la temperatura al corazón del cadáver se determinó de 85 o F. una hora después de una segunda medición mostro que la temperatura del corazón era de 80 o F. suponga que el tiempo de la muerte corresponde a t=0 y que la temperatura del corazón en ese momento era de 98.6 o F. determine ¿Cuántas horas pasaron antes de que se encontrara el cadáver? la razón con la que un cuerpo se enfría también depende de su área superficial expuesta S. si S es una constante, entonces una modificación modificación de la ecuación 2 es.
= kST T
,
donde k<0 y T m es una constante. Suponga que dos tasas A y B están llenas de café al mismo tiempo. Inicialmente la temperatura del café es de 150 o F. el área superficial del café de la taza B es el doble del área superficial del café de la taza A. después de 30 minutos la temperatura temperatura del café en la taza A es de 100 o F. si Tm=70o F, entonces ¿cuál es la temperatura del café de la taza B después de 30 minutos?
Un tanque contiene 200 litros de un líquido, en el que se ha disuelto 30 g de sal. Salmuera que tiene 1 g de sal por litro entra al tanque con una razón de 4/min; la solución bien mezclada sale del tanque con la misma razón. Encuentre la cantidad A (t) de gramos de sal que hay en el tanque al tiempo t. resuelva el problema 21 suponiendo que al tanque entra agua pura. Un gran tanque de 500 galones está lleno de agua pura. Le entra salmuera que tiene 2Lb de sal por galón a razón de 5 gal/min. La solución bien mezclada sale del tanque con la misma razón. Determine la cantidad A (t) de libras de sal que hay en el tanque al tiempo t. En el problema 23, ¿Cuál es la concentración c (t) de sal en el tanque al tiempo t? ¿y al tiempo t=5 min? ¿Cuál es la concentración en el tanque después de un largo tiempo, es
decir, conforme t→ ∞? ¿Para qué tiempo la concentración de sal en el tanque es igual a
la mitad de ese valor límite? resuelva el problema 23 suponiendo que la solución sale con una razón de 10 gal/min. ¿Cuándo se vacía el tanque? Determine la cantidad de sal en el tanque al tiempo t en el ejemplo 5 si la concentración de sal que entra es variable y está dada por C entra (t) =2 +sen (t/4) Lb/gal. Sin trazar la gráfica, infiera a qué curva solución del PVI se parecería. Después utilice un programa de graficación para trazar la gráfica de la solución en el intervalo [0,300]. Repita para el intervalo [0,600] y compare compare su grafica con la que se muestra en la figura 3.1.4ª.
3
un gran tanque está parcialmente lleno con 100 galones de fluido en los que se disolvieron 10 libras de sal. La salmuera ingresa con una velocidad de 6 galones/min y con 0.5 Lb de sal /galón. La solución bien mezclada se saca a 4 gal/min .encuentre la cantidad de libras presentes en el tanque después de 30 min. En el ejemplo 5 nos da el tamaño de tanque que contiene la mezcla salina. Suponga, como el análisis del ejemplo 5, que la velocidad a la cual se introduce la salmuera al tanque es de 3 galones por minuto, pero la solución perfectamente mezclada se saca a una taza de 2 galones por minuto. Es lógico pensar: como la salmuera se está acumulando en el tanque a velocidad de un galón/ min, cualquier tanque finito debe saturarse eventualmente. Ahora suponga que el tanque tiene tapa abierta y una capacidad de 400 galones. a) ¿en qué tiempo se derramará el líquido? b) ¿Cuántas libras de sal habrá en el tanque al instante de derramarse? c) Suponga que aunque el líquido se está derramando, la solución de sal muera continua entrando a velocidad de 3 galones por minuto y la solución perfectamente mezclada sigue saliendo a una taza de 2 gal/min. Diseñe un método para determinar la cantidad de libras de sal presentes en el tanque en t=150 min. d) Determine cuantas l e) Use una herramienta de graficación graficación para trazar la gráfica en el intervalo intervalo [0,500]
ibras de sal hay en el tanque cuando t→∞
una fuerza electromotriz de 30 volts se aplica a un circuito LR en serie donde la inductancia es de .1 henrys y la resistencia de 50 ohms. Encuentre la corriente i (t) si i(0)=0, determine la corriente cuando t . resuelva la ecuación (7) bajo el supuesto de que E (t)=E o. sen e i(0)=io Una fuerza electromotriz de 200 volts se aplica a un circuito RC en serie donde la resistencia es de 200 ohms y capacitancia de 5x10 -4 farads. Encuentre la carga q (t) sobre el capacitor si q (0)=0. Determine la corriente i (t). Una fuerza electromotriz de 100 volts se aplica a un circuito RC en serie con resistencia de 1000 ohms y capacitancia de 5x10 -6 farads. Encuentre la carga q (t) sobre el capacitor si i (0)=0.4 Determine la carga y la corriente en t=0.005s. Determine la caga conforme t . una fuerza electromotriz electromotriz
→∞→∞
→∞→∞
ϖ
1200, , 0>≤20 ≤ 20 = {120,
Se aplica a un circuito LR en serie que tiene inductancia de 20 henrys y resistencia de 2 ohms. Encuentre la corriente corriente i (t) si i (0)=0. suponga que un circuito RC en serie tiene un resistor variable. Si en el tiempo t la resistencia está dada por R=k 1 + k 2t, donde k 1 y k 2 se conocen como constantes positivas. Entonces (9) se convierte en:
1 = ⁄ =
Si E (t)=E0 y q (0)=q0, donde E0 y q (0) son constantes, de muestre que
4
SEGUNDA PARTE Un muchacho se mueve en línea recta de modo que su velocidad excede en 2 a su distancia respecto a un punto fijo de la recta. Si v = 5 cuando t = 0. Halla la ecuación del movimiento Halla el tiempo necesario para que una cantidad de dinero aumente el doble, al 5% por año, interés compuesto continúo. dx/dt = 0,05x donde x s la suma al cabo de t años. El radio se descompone a una velocidad proporcional proporcional a la cantidad presente. Si la mitad de la cantidad original desaparece en 1600 años, hallar el porcentaje de perdida en 100 años. En un cultivo de levadura la cantidad de fermento activo crece a una velocidad proporcional a la cantidad presente. Si se duplica la cantidad en una hora, ¿Cuántas veces puede esperarse que se tenga la cantidad original al cabo de 2 3/4 horas Si, cuando la temperatura del aire es 20 0C, se enfría una sustancia desde 100 0C hasta 600C en 10 minutos, hallar la temperatura después de 40 minutos Un tanque contiene 100 decalitros de salmuera obtenida disolviendo 60 Kg de sal en agua. Se introduce en el tanque a una velocidad de 2 Dl/min, agua salada que contiene un Kg de sal por Dl, y la mezcla conservada homogénea mediante agitación, sal una velocidad de 3 Dl/min. Hallara la cantidad de sal en el tanque al cabo de una hora. Un hombre y su embarcación pesan 320lb. Si la fuerza ejercida remando en la dirección es de 16 lb, y la resistencia es igual al movimiento es igual al doble de la velocidad (pies/seg2), hallar la velocidad 15 segundos después que la embarcación haya empezado a moverse.
5
SOLUCIONARIO PRIMERA PARTE 1. P
P0
2Po
3p0
4Po
T
0
5
t 3
t 4
Ecuación que rige el problema
= = = = 2 = 5 2 = 5 = 52 = 0.13838 = = = 0.138 3 = 0.138 [3 ] = 0.138 3 = 0.138 0.1383 = = 7.9 ñ Encontramos Encontramos t 3
Para despejar t 4
= = = 0.138 4 = 0.138 [4 ] = 0.138 4 = 0.138 = 10 ñ 12 10 8 O P M6 E I T
4 2 0 0
1
2 3 POBLACION
4
5
2. P P0 10000 P10 t 0 3 10 Se sabe del ejercicio 1, k = 0.138
= = = = 10000 = 3 10000 = 30.138 10000 = .
6
= 11.0000512 = 6613 . .
Para calcular la población a 10
años.
= 10 = 6613 6613 = 1010 6613 = 100,138 6613 = . = 6613 66133.97373 = 26285 .
575500 = 10 575500 = 10 = 1.515 = 0.013976 = = = 0,013976 13976 500 = 0.01397 0139766 3030 [500 ] = 0.41928 = 500 = 760 Luego para X
0.41928
12 10
Existe una tasa de crecimiento de 11 personas por año, ya que en el año anterior hubo 749 personas.
8
o p m 6 e i T
4 2
12
0
10 0
10000
20000
30000 8
Poblacion
o p m 6 e i T
3.
4
P t
500 0
575 10
2
x 30
0 0
2
3
4
Poblacion
Ecuación que rige el problema
= = = =
1
4. P P0 400 t 0 3 Modelo matemático.
2000 10
= =
7
= = 400 = 3 400 = 3 = 400 … . ∗ Luego
= 0 = 2000 = 10 [2000 ] = 10 = 2000 … . ∗∗∗∗
Igualando (*) y (**)
400 = 2000 = 2400000 = 5 5 = 77 = 0.29999 = .400 = 400. = 201 .
Reemplazando en (*)
12 10 8
o p m 6 e i T
4 2 0 0
1
2
3
4
Poblacion
5. S S0 S0/2 0.1S0 t 0 3.3 X Ecuación que rige el problema
= = / = . = . / / = . /2 = 3.3 2 = 3.3 = 3.32 = 0.210 . = . = .. = 0.21010
La muestra está decreciendo es por ello el signo negativo.
Luego para X
8
0.1 = 0.21010 0.1 0.210 10 = 0.210 = 10.96 ℎ . .
100 = 0.005052424 100 0.12 100 = . = 1.100127 = 88.88.73
1.2 1 0.8
o p m0.6 e i t
30
0.4
25
0.2
o 20 p m15 e i t 10
0 0
5
gr de plomo
10
15
5 0
6.
85
90
95
100
105
mg de sustancia
S t
100 0
97 6
= = = = = 100 100 97 = 66 10097 = 6 = 0.00505 = = = 0.005 Luego para despejar X
X 24
7. S t
100 0
97 6
50 Y
= = = = = 100 00 97 = 6 1.0303 = 6 = 0.603 = 0.005 Luego para Y
9
= = = 0.005 100 100 50 50 = 0.0.00505 2 = 0.005 2 = 0.21 = 138,6 ℎ .
b.
120 100 n 80 o i c a 60 l b o p 40
20 0 0
2
4
6
8
tiempo
8. A t
A0 0
A0/2 T
A t
= = ∫⁄ = ∫ ⁄ = ⁄ = ⁄2 = ⁄2 = 2 = a.
= 2 = = = = = 2 = = = 2 = 2−
0.125A0 Y
10
c.
. =
. = ..0. 1=2525 = 8 = 2 3 = 10
1.2 1 a 0.8 v i t c 0.6 a i d a r 0.4 a i c n a t 0.2 s u s 0
0
5
tiempo
10
15
= 6.93 = . = 1022.493 = 0.09785% ⟹ 0.1% 1.2
9.
1
I t
I0 I0/4 X 0 3 15 t = longitud en pies
= = ⁄ = ⁄ = / = /4 = 3 4 = 33 = 34 = 0.46262 = = = = 0.46215
Luego para despejar Y
o y 0.8 a r l e 0.6 d d a 0.4 d i s n 0.2 e t n I
0
0
5
Tiempo
10
15
10. S t
5000 X 0 5 r = 0.0575
10000 Y
= = = = = 0.0575 5000 = 0.05755 5000 = 0.2875 = 5000 5000. = 6665. 6665.45 =
Además nos piden encontrar Y
11
= = 0.0575
. = . = .. = 0. 0.145 145 = 1.237∗37 ∗ 1010− 1.93131 = 1.237∗37 ∗ 10− 1 . 9 3110 = 1.237 = 15610 .
100005000 = 0.0575 2 = 0.0575 = 0.05752 = 12.054 14 12
o p 10 m e 8 i t
1.2
6 4 2 0 0
5000 10000 cantidad de dinero
15000
11.
a i c 1 n a t 0.8 s u s e d 0.6 d a 0.4 d i t n a 0.2 c
0 0
S t
S0 0
S0/2 5600
= = ⁄ = ⁄ = ⁄ = ⁄2 = 5600 2 = 5600 5600 = 1.23710− Encontramos Y
0.145S0 Y
5000
10000
15000
20000
tiempo
12. S T
S0 0
S0/2 5600
= = ⁄ = ⁄ = ⁄ = ⁄2 = 5600 2 = 5600 5600 = 1.23710−
x 660
12
Para x
= = = = 1.1.237 ∗ 10−660 = 0.081642 = . = 1.085 = 92% 92% .
Para hallar x
1.2 a i c 1 n a t s 0.8 u s e d 0.6 d a 0.4 d i t n 0.2 a c
0 0
2000
4000 tiempo
13. T t
70 50 0 0.5 Tm=10°F
X 1
= = . 10 = . 1 10 = 10 = .
15 Y
7010 7010 5010 5010 = 0.5 6040 = 0.5 = 0.810 = 10 1010 = 1 10 = 7010 7010 10 10 = 0.8101 60 10 = 0.81 10 60 . = 10 10 602.247 = 10 = 26.26.7 10 = 36.36.7 1 10 = 1010 = 1 10 = 7010 7010 1510 1510 = 0.810 12 = 0.81 2.0.48841 = = 3.067
6000
Encontramos Y
13
80 70
Igualando 1 y 2
60 a r u t 50 a r e 40 p m30 e t 20 10 0 0
1
2 tiempo
3
14. T t
= 25 5… 5… 2 50 5 = 2525 5 50 = 25 5025 = 2 = = 42 = 0.173 = 50. 5 = 50. 5 = 64.4
T0 0 Tm=5°C
55 1
30 5
= = 5 5 = 5 5 = 5 5 = 5 505 505 = 1 50 5 = = 50 5… 5… 1 5 5 = 5 5 = 5 5 = 5 305 305 = 5 25 5 = 5 Luego.
4
Reemplazando en 1
70 60 a r 50 u t 40 a r e p30 m e t 20
10 0 0
2
tiempo
4
6
15. T t
20 22 0 1 Tm=100
90 Y
98 Z
= = 10 1000 = 10 1000 = 22100 22100 20100 20100 = 1
14
7880 = = 0.025 10 1000 = 10 1000 = 90100 90100 =0.20100 20100 025 1080 = 0.025 2.0.007925 = = 83.16 10 1000 = 10 1000 = 98100 98100 =0.20100 20100 025 80 2 = 0.025 3.0.608825 = = 147.52
T t
Encontramos Z
100 80 60 40 20 0 0
50
100
TIEMPO
16. En el tanque A
150
X 2
Luego para X
120
-50
90 1
= = 0 0 = = = 10090 = 1 10090 = = 0.105 = 0 0 = = 100 = 0.1052 100 = 0.21 = 100. = 8181
Para despejar Y
A R U T A R E P M E T
100 0 Tm=0
200
Como se pasa del tanque A al tanque B la temperatura inicial para este último es la temperatura final de la barra en el tanque A. T T
81 91 0 1 Tm=100°C
99.9 Y
15
= = 10 1000 = 10 1000 = 91100 91100 81100 81100 = 1 19 9 = = 0.747 . 10 1000 = 10 1000. = 99.9100 100=0.81100 81100 747 0.191 = . 747 747 5.0.275747 = = 7.456 Para hallar Y
Pero el tiempo total transcurrido desde que se introdujo la barra metálica es l suma de 2+y Y
= 2 2 = 22 7.456 = 9.456
10 8 o6 p m e i 4 T
2 0 0
50
100
150
Temperatua
17. T t
70 0 Tm=?
110 0.5
145 1
= = . = 110 70 = 0.5 110 70 = 0.0.5 … 11 = . 145 110 = 0.5 145 110 = 0.0.5 … 22 145 110 = 70 110 110 1 4 5 = 70 110 110110 110 = (70145) 110 = 70145 145 Luego se tiene
Igualando 1 y 2
16
= (12100 220=10150 70 145 )
1210010150 = 220 215 215 5 = 1950 = 390 18.
T t
80 X 0 Y Tm=100 - 40e-0.1t k= -0.1
Luego se tiene
a.
= = = −. = 10040 10040−.= 80 80 10040−. −. 10040 40−. 20 = 0.1 −. = . 4010040 −. 20 100 40−. = .40−. 20 100 40−. = 40 200.1 = 14140 40−. 200.1 19.
T t
85 0 Tm=70
=
= = = 8570 8570 8070 8070 = 1 1510 = = 0.405 . = . = 98.670 70 8070 8070 = 28.106 = 0.405 = 2.2.6 2. 6 1 1.6 ℎ.
80 1
Nos piden X-1
20.
Para la tasa A T t
150 0
100 30
Tm=70
= = 17
= = 15070 15070 10070 10070 = 30 = 1 4 = 4 8030 = 30 = 0.032 = = 0.032 = 200 4 = 50 = 4 50 50 = 4 = 70 7 1 = 50 70 = 1 = 50 15070 15070 70 70 = 230 = 4 80 70 = 600.032 70 ∫ = 80 [4 ] 70 70 = . = 70 70 = 6.8082 → 50 = = = 11.733 70 [200 ] = = 81.73 = [200 ] = 200 200 − − 3 0 = 20 2 0 0 = 30 = 200 7 70 = 70 =
Para el caso B
Nos da la ecuación lineal de primer primer orden
T T
150 0
X 30
1
MEZCLAS 21.
..(1)
A T
30 0
Reemplazando los valores iniciales. .
18
= 170
La ecuación para la cantidad de sal presente en el tanque en un tiempo t será.
− = 200200 170
= = 0 4 = 0 = 200 4 = 50 = 0 50 = 50 = 50 = 50 = 501 30 30 = 50 30 = 50 30 = = 30 = 1 0 = 2 5 = 5 = 500 = 100 22.
23.
= 1010 100 100 = 10 = 1001 = 10 = ∫ = [10 ] = 100 → 100 = = [1000 ] = [1000 ] − = 1000 1000 0 = 101000 − 0 = 1001000 = 1000 1000
..(1)
De acuerdo a los valores iniciales. .
24.
La ecuación para la cantidad de sal en un tiempo t será.
= 1000 1000 1000− − = 1000 1000 1000 = 1000 1000 1000− = 1000 1000 1000− Cuando t→∞ = 1000
Además para cuando t=5
19
25.
= 1 0 = 2 5 = 10 = 5005 = 100 = 1010 100 2 100 2 = 10 2 = 100 = 10 = ∫ = 1 00 = = = ∫ ⇒ −∫ ⇒ − −− − ⇒ 100 = − 100− = 100 100− ⇒ = 100 100− = 100 100− [10 10 100 100− ] = 100 100 [10− ] − 10 = 100 100 1 = 100 100 [10 ] − − 100 = − 100… *)
Despejamos utilizando los valores iniciales. C:
= 1000 1000 10 100 100 0 = 1001000 100 0 1000 1000 0 = 100 100 100 1000 = 10000 C = 101 100 1000 = 10 10 Entonces reemplazamos reemplazamos en (*)
El tanque estará vaciado completamente cuando: 500-5t=0 t=100min 26.
= 2 ⁄4 3 = 2 ⁄ 4 = 32 = 300 3 = 100 = 332 2⁄4 100 100 = 32 2⁄4 = 1001 = 32 2⁄4 ∫ = ⇒ = [3 2 2⁄4 ] 20
= [6 3 3 ⁄4 = = = 50 = 50 50 − [350 ] ] − [3 = 50 50 ] = 600 − = 50 50 3 ⁄ ⁄ 150 4 1250 125 0 4 3 323 = 50 50 − − 50 = 50 50 50 = 1[6001 012501 50 50 − 10 = = 50 323 ] = 546 10 = 50 5 0 2500 40 = = 600 2500 1250 100000 = ⁄ ⁄ 150 4 1250 4 546 546 323 50 50 50 − − 50301000005030 = 5030 100000 6400 8015. 6 25 1 6 3 = 2 = 64. 3 75 4 = 50 2 = 1002 = = 3 50 2 6 = 2 3 = 50 2 = 3 2 2 2 = = = 50 3002 3002 i 300 = 3 2 ∫ = 6 = 300 = 50 300 2 = 6 = = 100 ∫ = = ∫ =
Con la condición inicial A=50 en t = 0
27.
28.
a)
21
b).
300 2 = 6 2 = 300 = 6 = ∫ = 30 0 = = ∫ = ∫ = = = = 300 00 = 300 300 − [6300 ] = 300 300 − [6 ] 6 − = 300 300 3 = 300 300 −2300 2300 = 22300 300 300− 50 = 223000 3000 300− 50 = 600600 300 550 = 90000 = 49 500 000 = 22300100 300100 300100 = 800800 49500000 160000 = 800800 309.375 = 490. 490.695
= 2300∞ 300∞ 49500000300∞− = 600 600 2∞ 2∞ 49500000 300∞ = 600 600 ∞ ∞ = 600 29.
E=30
L=0.1
R=50
Del ejercicio 5 se sabe que A(o)=50
c).
= 0.1 5050 = 30 110 5050 = 3030 500 = 300 = 500 = 300 = ∫ = = − [ 300] 300] = 500 500 = = − [300500 ] = − [35 ] = 35 − a).
c=-3/5
22
= 35 35 − = 35 − = 35 0 = 35 = = = = = ∫ ⇒ = 1 = 1 = 1 1 0 1 = 1 = b).
30.
Con la condición inicial se tiene
31.
1 = 200 101− = 100 200 10000 10000 = 100100 5050 = 12 = 50 = 12 = ∫ = = − [ ] = 50 50 = = − [12 50 ] = − [1001 ] = − [1001 ] = 1001 − 0 = 1001 0 = 1001 10− = = 1001 1001 −
Si:
Entonces:
23
b).
200 101− = 100 200 101− 1001 1001 − = 100 200 200 100100 100 100− = 100 200 = 100− 200 = 100− = 12 − 1 = 1000 5101 − = 200 1000 200000 = 200 200 = 15 = 200 = 15 = ∫ = = − [ ] = 200 200 = 1 − = [5 200 ] = − [10001 ] = − [10001 ] 32.
= 10001 − 1 = 1000.4 5101− = 200 400 = 210 = 200 = 10001
Luego cuando i=0.4 en el tiempo 0.
Reemplazamos q, hallamos la constante cuanto t=0.
10001 = 10001 = 5001 = 10001 5001 = 10001
Encontramos q cuando t=0
33.
Para fuerza electromotriz electromotriz E=120
= 20 2 = 120120 101 = 6 = 101 = 6 = ∫ =
24
− = [6 10 10 ] = 10 = = − [60 ] = − 6060 = − [60 ]
Cuando I=0 y t=0
0 = 60 − c=-60
= 20 2 = 0 = 101 = 101 ln = 101 = −
Además para f.e. E =0
Entonces la ecuación para t >20 será, se asume c=0
= − = 0.518 . 1 = 1 = = 1 34.
= = ∫ = + =
= − [ ] = − [ − ] ] = (1 2)− SOLUCIONARIO SEGUNDA PARTE
35. V t
5 0
X+2 t
= = + = 2 5 = 25 2 = = 5 2 Se asume k=1
36.
X X0 T 0 k= 0.05
2X0 Y
= 0.05 25
= 0.05 = 0.05 05 = 0.055 2 = 0.05 2 = 0.05 = 13.86 ñ
Luego para X
16 14 12 a i c 10 n a t 8 s u s 6
4 2 0 0
0.5
1
1.5 tiempo
37.
S t
S0 0
S0/2 1600
X 100
= = = / = / = /2 = 1600 2 = 1600 1600 2 = 1600
2
2.5
= = 2 = 1600 2 100 = 1600 100 = 16 2 = . = 0.0.958 = 95.95.8%
Es decir que solo se ha desintegrado un 4.2% de la cantidad inicial. 1.2 1 d0.8 a d i t0.6 n a C0.4
0.2 0 0
500
1000 Tiempo
1500
2000
38. P t
P0 0
2P0 1
X 2.75
= = = = 26
2 = 2 = = 2 = 0.69393
20 = 2 20 = 2 20 =
10020 10020 6020 6020 = 10 8040 = 10 = 0.069 = 0 0 2 20 = 2 20 = 10020 10020 20 20 = 0.06940 6940 80 20 = 2.76 20 80 20 20 = . = 2525
Luego para X
= . = . = 0.69393. = 0.6932.750 [ ] = 1.906 = . = 6.73 .
Luego para X
3 2.5 2
o p 1.5 m e i T
1
120
0.5
100
0 0
2
4 Poblacion
6
8
80
o p m60 e i t
40
39. T 100 60 t 0 10 Tm =20
= =
20 0
X 40
0
10
20 30 poblacion
40
50
40.
= = 1 2 = 2 27
3 3 = 100 = 100 300 = 2 300 3 100 3 = 2 3 = 100 = 2 = ∫ = 10 0 = = ∫ = −∫ = − = − = − = 100 00 −− = 100 100 [2100 ] = 100100 = = 100 100 [2− ] − 2 = 100 100 2 = 100 100 100 100− = 100 100 100 60 = 1000 1000 100 0 = 4 ∗ 10− = 10060 10060 10060 = 10060 10060 4∗10−10060 = 37.37.4 . .
De la condición inicial se sabe que
Luego para t=60min
41. Según la segunda ley de Newton
=
Del ejercicio se sabe que el hombre y la barca pesan 320 lb, además que se impulsan con una velocidad inicial de 16 lb y existe una fuerza de resistencia del doblen de la velocidad.
16 16 2 = 320 320 = 16 2 = 32320 320 = 162 320 = 162 320 = ln162 162 2 160 = ln162 162 160 = ln162 162 16 2 = − − 16 2 = 16 2 = −. 2 = 15.089 = 7.54 Pero
Reemplazando
28
