Aplicaciones a los gráficos por computadora
Justificación Se ha realizado esta investigación para observar la importancia del algebra lineal en la práctica profesional, escogimos el tema de las aplicaciones gráficas por computadora con motivo de dar a conocer al algebra lineal como herramienta aplicable a dicho proceso. Su importancia se ve reflejada por el resultado que nos da su uso, como podemos ver en lo que se refiere a la industria del entretenimiento, y se puede tomar como ejemplo, en nuestras casas al ver películas, series, comerciales, al jugar videojuegos, ya sean a través de la televisión, de la computadora o de algún otro objeto electrónico que nos permita ver imágenes que han sido trabajadas anteriormente por computadora. También se recalca su uso para el diseño de construcciones, que se realizan a través de un diseño asistido por computadora como el CAD, que aplica el uso de transformaciones lineales, sean para gráficas en 2D o 3D. Cuyo fin, es muy utilizado por ingenieros, arquitectos y diseñadores. En otros campos también se utiliza el álgebra lineal, como lo es en la medicina, simuladores para pilotos de avión, generación de laboratorios virtuales, operadores de equipo, etc.
Introducción En esta investigación veremos una de las aplicaciones del algebra lineal más utilizadas y seguramente una que todos hemos visto, la cual es la aplicación a los gráficos por computadora, que utilizan las computadoras para generar imágenes animadas o también para integrar o cambiar la información visual tomada del mundo real. Nos enfocaremos solamente en donde se utilice el algebra lineal, en el cual lo que más se utilizará son las transformaciones o aplicaciones lineales, un tema que trata de las transformaciones de las matrices de un espacio a otro e inclusive al mismo espacio vectorial, cuyo caso aquí se aprovecha, con los ejemplos más comunes de transformación lineal tenemos los que son para desplazamiento, rotación y cambio de escala, entre otros. Nos referiremos a gráficos en 2D, pero igualmente será parecido el proceso utilizando transformaciones lineales para los gráficos en 3D.
Marco Teórico Aplicaciones a los gráficos por computadora La graficación por computadora es la construcción, modificación, despliegue y manipulación de modelos geométricos e imágenes de objetos mediante el uso de la computadora. Los gráficos son imágenes desplegadas o animadas en una pantalla de computadora. Las aplicaciones de los gráficos por computadora están ampliamente difundidas y aumentan con rapidez. Por ejemplo, con el diseño asistido por computadora, también llamado como CAD (computer-aided design), es una parte integral de muchos procesos de la ingeniería, que se lo utiliza en el proceso de diseño de construcciones, aviones, automóviles, embarcaciones, naves espaciales, computadoras, telas, entre otros. Una muy conocida es su uso en la industria del entretenimiento, la cual ha realizado el uso más espectacular de los gráficos por computadora, como los efectos especiales en películas, en videos musicales, programas de televisión e incluso en las consolas como la Xbox. También tenemos, que la mayor parte de los programas computacionales interactivos utiliza gráficos por computadora en los despliegues de pantalla y en otras funciones como el despliegue gráfico de datos, la autoedición, y la producción de diapositivas para presentaciones comerciales y educativas. Por lo que para manipular y desplegar imágenes gráficas, se debe conocer algo de las matemáticas básicas que se usarán para este proceso, tales como el modelo de alambre de un avión. Una imagen (o dibujo) de ese tipo consta de varios puntos, líneas rectas o curvas conectadas, e información sobre cómo llenar regiones cerradas delimitadas por esas líneas. A menudo, las líneas curvas se aproximan empleando segmentos de línea recta cortos, y una figura se define matemáticamente por medio de una lista de puntos. Ejemplo 1: La letra N mayúscula de la figura 1 está determinada por ocho puntos o vértices. Las coordenadas de los puntos pueden almacenarse en una matriz de datos D.
La principal razón para describir los objetos gráficos por medio de segmentos de líneas rectas es que las transformaciones estándar en los gráficos de computadora mapean segmentos de línea sobre otros segmentos de línea. Una vez
transformados los vértices que describen un objeto, se pueden conectar sus imágenes con las líneas rectas apropiadas para producir la imagen completa del objeto original. Ejemplo 2: Dada
[
trasquilado x
] , describa el efecto de la transformación de Ax sobre la letra N del ejemplo 1.
Solución Por la definición de multiplicación de matrices, las columnas del producto AD contienen las imágenes de los vértices de la letra N.
Los vértices transformados se grafican en la figura 2, junto con los segmentos de línea conectores que corresponden a los de la fi gura original.
Coordenadas homogéneas Cada punto (x, y) en R2 puede identificarse con el punto (x, y, 1) sobre el plano en R3 que se posiciona una unidad por encima del plano xy. Se dice que (x, y) tiene coordenadas homogéneas (x, y, 1). Por ejemplo, el punto (0, 0) tiene coordenadas homogéneas (0, 0, 1). Las coordenadas homogéneas de puntos no se suman ni multiplican por escalares, pero se pueden transformar mediante multiplicación por matrices de 3 × 3. Una traslación de la forma (x, y) (x + h, y + k) se escribe en coordenadas homogéneas como (x, y, 1) (x + h, y + k, 1). Esta transformación puede calcularse mediante multiplicación de matrices:
Cualquier transformación lineal sobre R2 se representa con respecto a coordenadas homogéneas por medio de una matriz partida de la forma [ de 2 × 2. Son ejemplos típicos:
] , donde A es una matriz
Transformaciones compuestas El movimiento de una figura en la pantalla de una computadora con frecuencia requiere utilizar dos o más transformaciones básicas. Cuando se usan coordenadas homogéneas, la composición de tales transformaciones corresponde a la multiplicación de matrices. Ejemplo: Encuentre la matriz de 3 × 3 que corresponde a la transformación compuesta de aplicar un escalamiento por 0.3, una rotación de 90° y, por último, una traslación que suma (−0.5, 2) a cada punto de una figura.
La matriz para la transformación compuesta es:
Gráficas tridimensionales por computadora Se trata de trabajos de arte gráfico creados con ayuda de computadoras y programas especiales o puede referirse al campo de estudio de técnicas y tecnología relacionadas con los gráficos tridimensionales.
Algunos de los más recientes y estimulantes trabajos en gráficos por computadora se relacionan con el modelado molecular, entre otros.
Coordenadas tridimensionales homogéneas En general, por analogía con el caso bidimensional, se dice que (X, Y, Z, H) son las coordenadas homogéneas para el punto (x, y, z) en R3si H 0 y
Mientras que cada múltiplo escalar sea diferente de cero de (x, y, z, 1) proporcionará un conjunto de coordenadas homogéneas para (x, y, z). Por ejemplo, (10, −6, 14, 2) y (−15, 9, −21, −3) son ambas coordenadas homogéneas para (5, −3, 7).
Proyecciones en perspectiva Un objeto tridimensional se representa en la pantalla de dos dimensiones de una computadora proyectándolo sobre un plano visual. (Se omiten otros pasos importantes, como la selección de la porción del plano visual que se desplegará en la pantalla). En aras de la simplicidad, considere que el plano xy representa la pantalla de la computadora, e imagine que el ojo de un observador está sobre el eje positivo z, en un punto (0, 0, d). Una proyección en perspectiva mapea cada punto (x, y, z) sobre un punto de imagen (x*,y*,0) de manera que los dos puntos y la posición del ojo, llamada centro de proyección, estén sobre una línea.
El triángulo en el plano xz de la figura. (a) se vuelve a trazar en la parte. (b) mostrando.
La longitud de los segmentos de línea. Con triángulos similares se muestra que:
De manera similar,
Si se usan coordenadas homogéneas, es posible representar la proyección en perspectiva mediante una matriz
¿Qué parte del Algebra Lineal vista en clases se utiliza en los gráficos por computadora?
Utilizamos las transformaciones lineales, que se nos enseñó en clase, las cuales pueden asumirse como mapeos de particular importancia en el estudio del álgebra lineal y sus aplicaciones. Estas transformaciones lineales se dan entre espacios vectoriales, pero que en lo que observamos se dan entre el mismo espacio vectorial (T: R2 R2 para los gráficos en 2D), que conservan las dos operaciones fundamentales (la suma y la multiplicación vectorial por un escalar), las cuales son usadas para que tengan una representación matricial Av, donde v una matriz, que representa las coordenadas de los vértices de una figura, la podamos expresar como una multiplicación de matrices con una matriz A, la que representará las expansiones, compresiones reflexiones o cortes. Siendo su resultado que la figura o gráfica se traslade, rote o se cambie su escala a la que se desee. Algo nuevo sería sobre las coordenadas homogéneas, que se ha dejado explicado en el marco teórico, al cual es el aumento de la tercera dimensión, pero que va a ser constante con 1, es decir, va a ser el mismo gráfico solo que ahora se va a encontrar a 1 unidad del plano xy en el que trabajamos.
Bibliografía http://graf8-9.blogspot.com/2013/09/11-aplicaciones-graficas-por-computadora.html http://es.scribd.com/doc/143150991/Aplicaciones-Graficas-Por-Computadora http://www.slideshare.net/AlonsoAlvarez/graficos-por-computadora-1
