ANILLO DE THOMPSON Universidad Politécnica Salesiana Henry Arias, Christian Pulla, José Sánchez, Williams Saraguro Cuenca, Azuay, Enero 2014 Email:
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JUSTIFICACION Y ANTECEDENTES
Un medio para demostrar los fenómenos de la naturaleza es la experimentación, esto lleva a la comprobación de cálculos mediante la aplicación de los mismos en modelos reales, de esta manera surge la idea del anillo de Thompson al tratar de dar a conocer visualmente como como actúa la ley de Lorentz Lorentz y como como la corriente que circula alrededor de un conductor puede producir un campo campo magnético, lo cual lo deja expuesto a una fuerza externa que permite su levitación; lógicamente la altura de levitación dependerá del material del anillo experimental. II.
OBJETIVOS:
GENERAL:
Entender los fenómenos producidos por la ley de Lorentz, mediante la experimentación con el prototipo armado para la tabulación de datos y el planteamiento del modelo matemático.
ESPECIFICO:
Analizar el comportamiento de cada material frente a la corriente inducida por la bobina. Desarrollar la ley de Lorentz para proporcionar conclusiones obtenidas mediante cálculos y mediante experimentación. Obtener y tabular los datos obtenidos por la experimentación para posteriormente desarrollar un modelo matemático que obedezca el comportamiento de cada material expuesto a la corriente inducida. Emitir conclusiones respecto al comportamiento del anillo frente a los materiales que intervienen en el experimento, como es el material de la maqueta.
III.
INTRODUCCION:
Este experimento fue realizado por primera vez por Lihu Thompson en el American Institute of Electrical Enginners de Nueva York en mayo de 1887 y detallado detenidamente por Fleming en 1891. Consta de una bobina enrollada en torno a un núcleo de hierro, en la parte superior se ubican anillos o aros de distintos materiales y pesos, si se alimenta con una fuente de tensión alterna se observa un salto o levitación del anillo al cerrar el circuito regulando la amplitud de onda de corriente mediante un autotransformador. autotransformador. El experimento consiste en medir la fuerza que actúa en un anillo de aluminio en presencia de un campo magnético externo, generado por un un solenoide solenoide con núcleo de hierro, y comprobar los orígenes de la misma. Se comprobó que la ley de Faraday es condición necesaria pero no suficiente para explicar la levitación del anillo. La fuerza que actúa en el mismo se debe a una diferencia de fase entre los campos longitudinal y transversal. Se observa que el anillo “flota” en el aire a una cierta altura de equilibrio en la que se anulan la fuerza peso y la fuerza media que ejerce el campo magnético externo sobre la corriente inducida en el anillo. Se analiza que el efecto depende de las propiedades eléctricas y magnéticas del material elegido. [1] IV.
MARCO TEORICO:
El dispositivo a implementar consiste en un solenoide con un núcleo de hierro sobre el que se dispone un Anillo. El solenoide se alimenta de la red eléctrica, con una frecuencia de 60Hz, el eje de solenoide se coloca paralelo al campo gravitatorio, de esta manera la fuerza de Lorentz que actúa sobre el Anillo, se orienta en sentido opuesto al campo gravitatorio, logrando de esta manera la levitación magnética del Anillo. Cabe resaltar que dicha fuerza proviene de la interacción de campo
magnético que genera el solenoide con la corriente inducida por éste en el Anillo.
Y el flujo está dado por:
En dónde M es el coeficiente de inducción mutua formado por el anillo y el solenoide e es la corriente en el solenoide y es:
Dónde es la amplitud de la corriente y es igual a 2πf, donde f es 60Hz.
Fig. 1 Principio de funcionamiento del anillo de Thompson
Si se tiene la masa del Anillo se conocerá entonces su peso, y se sabrá de esta manera cual debe ser el valor mínimo de la fuerza que debe ejercer el campo magnético creado por el solenoide sobre el Anillo para mantenerlo levitando. Como se inscribió anteriormente “la fuerza se origina de la interacción del campo magnético que genera el solenoide con la corriente que se genera en el Anillo”, no obstante el campo magnético tiene dos componentes, BZ y BR, a lo largo del eje Z y del radio R del solenoide, y se demostrará que si la componente longitudinal del campo BZ y su componente transversal BR se encuentran en fase, entonces la fuerza media de Lorentz sobre el Anillo es cero, para un periodo. Es claro que si se conecta el solenoide cuyo núcleo se elaborado de hierro, a una fuente de corriente alterna AC, con una frecuencia de 60Hz , el anillo de radio “a”
El coeficiente depende de la geometría de los circuitos y de su posición relativa. Mediante la ley de Faraday se tiene que la fem inducida sobre el anillo como resultado del flujo cambiante que lo atraviesa y mediante la aplicación de la ley de Lenz será:
La corriente inducida sobre el anillo cuya resistencia es R será: Para determinar la fuerza que recae sobre el anillo es preciso observar con anticipación la forma del campo magnético generado por el solenoide.
presentará una levitación magnética con una altura “z”,
para tal altura el peso del Anillo en uso, se equilibrará en función a la fuerza media que ejerza el campo magnético del solenoide con relación a la fuerza propiciada por la corriente que circula a través del Anillo como producto de la ley de inducción de Lenz y Faraday. Si bien es cierto que el funcionamiento podrá ser explicado en general siguiendo un hilo conductor similar al utilizado, en este momento es vital comprender los principios físicos de fondo que se inmiscuyen durante el planeamiento y la posterior realización del Anillo de Thompson así:
Ley de Faraday La corriente eléctrica que fluye por el solenoide se encarga de producir un campo magnético variable en el tiempo, ya que la corriente también lo es, el flujo perteneciente a la corriente corresponde a:
Fig.2 Campo magnético generado por el solenoide
La anterior forma propiciada por el campo magnético generado por un solenoide alude a que el campo magnético ha sido inducido de forma paralela al eje en el interior del solenoide, pero, por fuera de éste las líneas de campo se muestran con un comportamiento divergente. En adición el campo magnético del solenoide tiene simetría cilíndrica, y en la posición “z” que ocupa el anillo de radio “a” el campo posee dos
componentes como fue previsto en párrafos anteriores. La fuerza magnética sobre el anillo viene dada por:
∫
Fig.4 Circuito equivalente del anillo de Thompson
La diferencia de potencial en los extremos de la inductancia L de la figura anterior, se encuentra adelantada respecto a la corriente en ella, mientras que en la resistencia R se encuentran en fase.
Fig. 3 Diagrama de la fuerza interactuando con el campo magnético
Es congruente decir que las componentes radiales del campo se anulan, mientras que aquellas componentes longitudinales se refuerzan entre sí, por tal fenómeno la fuerza estará dirigida sobre el eje Z y su valor real será dado por:
Apropiándonos del concepto de que es proporcional a la corriente en el solenoide, es posible afirmar que la misma es proporcional a como expresa la tercera ecuación y que es proporcional a , entonces la fuerza en el anillo es proporcional a , entonces la componente Z de la fuerza atenderá a la sucesiva:
Sea k el valor de una constante de proporcionalidad. Por tanto, el valor medio de esta fuerza será:
∫ Nótese que el resultado es cero, es decir, que durante medio periodo la fuerza es de atracción y durante el intervalo restante es de repulsión, considerando esto, el anillo no sería capaz de levitar, al menos no, aplicando la teoría adquirida en el presente informe. Ahora si el anillo es modelado como un circuito RL logramos lo siguiente:
De la anterior figura también se observa que la se encuentra adelantada con respecto a en un ángulo igual a la detallada ecuación:
Tras observar los valores en el tiempo logramos:
| | | | Por otro lado nótese que:
√ Finalmente la fuerza atiende al producto contiguo: ∫ ∫
La resistencia del anillo se calculará a través de la seguida relación:
La autoinducción se puede calcular como:
La ecuación anterior posibilita el cálculo de la inductancia como en principio fue dicho, pero, de un anillo toroidal con un diámetro medio “D” y una sección circular con diámetro cor respondiente a “d”. [2]
V.
VII.
PRESUPUESTO Tabla I: Presupuesto invertido en el desarrollo del prototipo
MATERIAL
COSTO
Alambre AWG 28de cobre 110m Alambre AWG 22de cobre 10.8m Núcleo de Hierro
20.00
30.00
Carrete de plástico
3.00
Dimmer
5.00
Anillos de diferentes diametros Breaker
10.00 3.00
Canaletas
2.00
Pintura
1.50
Total
79.50
VI.
5.00
MATERIALES:
Carrete de plástico: para separar el alambre de cobre del núcleo. Núcleo del solenoide: Se utilizó este material por su alta permeabilidad. Permite que un mayor número de líneas de campo atraviesen el anillo y aumente su magnitud. Alambre de cobre: utilizamos un cable de sección relativamente grande para evitar el sobrecalentamiento del mismo. La resistencia del cable es casi despreciable, lo que a su vez nos permitió un mayor paso de corriente. Diámetro (d) = 1mm. Sección (s) = 0.8 mm . Anillos experimentales: Se usaron con el propósito de visualizar el comportamiento del campo magnético que atraviesa un material conductor el cual pueda conducir corriente sin ningún inconveniente. Breaker: Con el propósito de protección del circuito colocamos un breaker para evitar contravenciones al desarrollo de ensamblado del prototipo. Canaletas: Con el motivo de mejorar la presentación, se usaron canaletas para mejorar la estética del modelo, al igual que la pintura.
DESARROLLO
El sistema consta de un bobinado primario (el de la bobina), un núcleo de hierro y un anillo de aluminio. La composición del bobinado es un arrollamiento de cobre de 675 vueltas de alambre de 7.5cm de diámetro. En su interior se coloca un núcleo hierro de diámetro 19mm y altura 298mm. El anillo se enhebra en esta núcleo de forma que pueda deslizar libremente a lo largo de su longitud, y posee un diámetro interior de 19,5mm, exterior 25mm y altura 5mm. Para la medición de la f.e.m. inducida se utilizó un pequeño bobinado de 6 vueltas de un alambre de cobre más fino que el anterior, ajustado sobre una cinta plástica que desliza en el núcleo de hierro. Además se utilizó un multímetro digital para la obtención de la corriente y el voltaje que circulaba por el primario. Se procedió a experimentar con una cantidad considerable de materiales con el propósito de observar su comportamiento frente al campo electromagnético producido por la corriente inducida. Se colocó el breaker con el propósito de protección al circuito, para evitar incidentes y de manera experimental, proceder de manera segura. El dimmer funcionando como reóstato permite que se varíe el flujo de corriente a través del conductor, lo que nos permite manipular sencillamente la altura de levitación del circuito. CALCULOS:
√ ()
( )
ANALISIS DE LA FUERZA DEL ANILLO: -Anillo de Cobre:
8 -Anillo de Aluminio cuadrado:
Como ecuacion de la fuerza se tiene:
Aplicando la ley de Faraday, se obtiene la fem inducida Va en el anillo como resultado del cambio del flujo que lo atraviesa con el tiempo. Aplicando la ley de Lenz, se determina el sentido de la corriente inducida.
⋅
Va=−dΦ/ dt =− M I 0 sω cos(ω t )
La corriente inducida Ia en el anillo de resistencia R es Ia=Va /R=− MRI 0 sω cos(ω t )
Al medir el valor de la corriente en los anillos y multiplicando por su resistencia hemos encontrado el valor del voltaje Va en los anillos Con base a la estructura del modelo podemos graficar tan solo con los datos obtenidos por medio de la experimentación con los diferentes materiales, puesto que la corriente seria la que al variar, cambiaria a la intensidad de la fuerza.
Para z=12 cm, V02=72.59·10-6 V
Los pares de datos: Altura z Coeficiente de inducción mutua M Tabla II: Tabla de valores obtenidos del peso contra la fuerza para obtener la altura
Material Aluminio grande Aluminio pequeño Anillo de cobre Anillo cortado
0 cm 5 cm 10 cm 15 cm
masa 0.04g 0.003g 0.06g 0.05g
peso 0.392 N 0.02943 N 0.5886 N 0.4905 N
Altura 9 cm 8 cm 5.5 cm 0 cm
Tabla II: Tabla de valores de voltaje según cantidad de bobinado realizado Bobina de Bobina de Bobina de 50 espiras 150 espiras 250 espiras 5.1 v 16.4 v 30 v 3v 10.3 v 20 v 1.5 v 5.9 v 11.4 v 0.5 v 2.4 v 4v Tabla III: Tabla de valores de intensidad de corriente que produce la bobina a diferentes alturas Altura de núcleo Amperios 0 cm 109 A 5 cm 44 A 10 cm 36 A 15 cm 29 A
Por medio del dimmer podemos variar la corriente a inducir, por ende esto hace que el campo magnético sea manipulable, esto nos permite visualizar un escenario en el cual la fuerza en función de la corriente presenta una forma cuadrática, que se podría expresar de la siguiente manera:
Donde c es la constate que varía, para poder graficar las siguientes graficas que permitan apreciar el contraste de una con otra y su respectivo desfase. Como comprobación del modelo, se procede a simular la gráfica con los datos obtenidos por medio de la experimentación, para demostrar cual es el comportamiento de la fuerza frente a la corriente inducida. MODELADO EN MATLAB
Una vez obtenido los valores reales por medio de las mediciones con los aparatos de medición eléctrico como el multímetro, procedemos a calcularlos mediantes ecuaciones y simularlos con software como multisim y matlab. XMM1
XSC1 + A _
+ B _
g i r T t x _ + E
SIMULACION GRAFICA Y MODELADO MATEMATICO:
El modelo que nos permite analizar la gráfica de manera adecuada después de obtener los datos, está dado por la ecuación:
Fig.-6 simulación del circuito en multisim
Fig.-7 grafica de la corriente de entrada del circuito Fig.-9 graficas de la solución del voltaje en software matemático
Fig.-8 graficas de ondas del voltaje de entrada y el de la bobina Ahora procederemos a realizar las ecuaciones para calcular el voltaje inducido y procederemos a graficarlos en matlab las ondas que produce el anillo a diferentes corrientes.
Fig.-10 grafica del modelado de la bobina de 50 espira dando un voltaje de 0v
Fig.-11 grafica del modelado de la bobina de 50 espira dando un voltaje de 1.3v
Se pudo observar que tanto cálculos matemáticos, como los datos reales teóricamente y sus respectivas simulaciones suponen un acercamiento al comportamiento esperado del dispositivo final del proyecto, pero además existe un porcentaje de error del 10% entre estas formas de verificar ya que se debe a que en la realidad existen muchos parámetros que pueden afectar, por lo general negativamente el desempeño del aparato, por ejemplo defectos en la construcción, condiciones ambientales, interferencia electromagnética, entre otros.
VIII.
Fig.-12 grafica del modelado de la bobina de 50 espira dando un voltaje de 3v
Fig.-13 grafica del modelado de la bobina de 50 espira dando un voltaje de 5v
Fig.-14 líneas de código del programa en matlab para la simulación del proyecto
ANALISIS DE RESULTADOS :
La levitación del anillo depende estrictamente de la corriente inducida en el mismo y del material del cual está compuesto. Si el circuito por el cual circula la corriente inducida está abierto, no existirá levitación alguna. La masa del elemento a levitar es inversamente proporcional a la altura de levitación del mismo. La magnitud de la corriente inducida y del campo electromagnético depende muy estrictamente del número de vueltas que posea el bobinado. Al ser la corriente inducida directamente proporcional al campo magnético, por medio del dimmer podemos manipular de manera manual al comportamiento del anillo al momento de su levitación. El núcleo ferromagnético ayuda de manera significativa al efecto de la fuerza que actúa sobre el anillo, haciendo que el fenómeno sea apreciado de mejor manera.
Tabla IV: Tabla de porcentajes de composición química de cada Radio r 2=4 cm elemento. Posición z del Coef. inducción anillo (cm) mutua M ·106 H 1.0 (cobre) 1.177 4.0 (cobre) 0.345 5.0 (cobre)
0.227
6.0(cobre) 9.0(Aluminio) 10.0(Aluminio)
0.155 0.059 0.045
IX.
CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES:
En el desarrollo del presente documento, se presentó el análisis teórico necesario que precedió a la implementación de un Anillo de Thompson, con el propósito de ilustrar principalmente el concepto de levitación magnética. Asimismo, se indicó el proceso de diseño, construcción y puesta en funcionamiento del mismo, señalando las dificultades encontradas, las lecciones aprendidas, así como el brillante futuro que tienen los principios de funcionamiento del dispositivo, representado en múltiples aplicaciones actuales y que se proyectan a futuro cercano.
Anexo 3: Medición del voltaje inducido a una bobina separada 5cm del bobinado.
Fue posible visualizar, que el anillo de Thomson es una herramienta extremadamente útil para demostrar principios fundamentales de la teoría electromagnética, como las leyes de Faraday y Lenz, que no sólo sustentan el principio de levitación magnética, sino que son el principal fundamento de otras aplicaciones en desarrollo como lo es la transmisión de energía eléctrica sin necesidad de una conexión física. X.
ANEXOS
Anexo 1: Medición del voltaje inducido a un ventilador de 12 V a 15 cm de altura del bobinado
Anexo 2: Medición del voltaje inducido a una bobina no separada del bobinado.
Anexo 4: Medición del voltaje inducido a una bobina separada 10cm del bobinado
Anexo 5: Medición del voltaje inducido a una bobina separada 15cm del bobinado.
Anexo 6: Medición del voltaje que es suministrado a un circuito de un foco de 12v.
Anexo 7: Medición del voltaje que es suministrado a un circuito de un foco de 12v separado 5cm. Anexo 11: Medición del voltaje que es suministrado a un ventilador de 12v separado 5cm.
Anexo 8: Medición del voltaje que es suministrado a un circuito de un foco de 12v separado 10cm. Anexo 12: Medición del voltaje que es suministrado a un ventilador de 12v separado 10cm.
Anexo 9: Medición del voltaje que es suministrado a un circuito de un foco de 12v separado 15cm. Anexo 13: Medición del voltaje que es suministrado a un ventilador de 12v separado 15cm.
Anexo 10: Medición del voltaje que es suministrado a un ventilador de 12v separado 0cm.
Anexo 15: Proceso de armado y ensamblado del modelo experimental.
XI.
Referencias
[1] S. Frias, «www.herrera.unt.edu.ar,» 2010. [En línea]. Available: http://www.herrera.unt.edu.ar/fisicaexperimentalii/ proyectos/FriasValle2010a.pdf. [Último acceso: 18 Enero 2014]. [2] W. Ramirez, «es.scribd.com,» scribd, [En línea]. Available: http://es.scribd.com/doc/110561888/InformeFinal-proyecto-de-conversion. [Último acceso: 19 Enero 2014]. [3] S. F. J. Arnoldo, «www.herrera.unt.edu.ar,» 2010. [En línea]. Available: http://www.herrera.unt.edu.ar/fisicaexperimentali i/proyectos/FriasValle2010a.pdf. [Último acceso: 18 Enero 2014].
