0 y (p = Ti si a < 0.
Esta definición se ilustra en la figura 3.11. Observe que
■
(p = 7t/2 ^ u y v son ortogonales.
13. Paralelos
19. v = —u/2 =$■u y v son paralelos.
A
>(3,5) 21. a) d)
b) j
c )j
(—96 + 7 7 5 0 0 ) / 78 = - 0 . 1 2 4
23. a) a = -7, b) a = —, c) N o existe a e 13 con la que se pueda resolver el problema, (-6 ,-1 0 )
í/)
11 ■ v = —36, cos(p = ——¡ = ~ - 0 9231los V 130 vectores no son ni paralelos niortogonales.
15. u
a = — (56 ±53VÍ)
25. D a d o que el componente j de u es positivo y el componente j de v es negativo, es imposible que u y v tengan la misma dirección.
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691
Respuestas a los problemas impares
27. p r o y „ = r 5 (1 + j ) = Z 5 i - | j 2
2
« • i¡Q .3 i +
2
j ; i 3 - 9 i
29 ...
.
87.
29.
10
10
p r o y ^ R S = — (3i + j) = — i H--- j Q
29. 0
10
proy-^PQ = — (9i + 2j) = — i + — j. RS 85 85 85
95. 133. 31. proy u = —— i —--- 1 F v 74 74 10
5
+ 2j;
15
45. Suponga que u y v son ortogonales. En^ u y
33. proyvu = — (2i + 3j) = — i + — j
tonces cp = n/2. Por tanto cos(7i/2) = --lu llv l
35.
[(a + |3)/2]i + [(a + (3)/2]j
= o => u •v = 0. Suponga que u •v = 0. Por tanto, cos(p = 0 = x p = 7t/2=¿uyv son or-
37.
proy u = — i —— i 13 13
togonales.
39. proy u = a ~ ^ (i + j)
47. El vector de dirección de la línea es v = —i
—
41. Para que v y proyv u tengan direcciones
opuestas, se necesita que
a xa 2 + b ¡b 2
c
h
< 0
paralelo a la línea a x +
0.
by + c =
49. Sean
A , B , C las representaciones de los puntos (a,, b x), ( a „ />,) y ( a y b }) respectivamente. También, sean A , B y C las representaciones de los ángulos en los vértices correspondientes.
A B = (íz, —a,)i+(¿>2 (a2
COS /i
b {)
j;
-fl,)(a3 ~
A C = ( a 3-
a x) i + [ b i - b x) j;
a ] ) + ( b 2 - b x) ( b , ~ b x)
i------------------------------------ i-----------------------------------V (fl2
i b2 - \ )2 V (fl3 - a <)2 + ( b3 - ^ )2 ■
D e manera similar, eos B
~ a2)
(«I - « 2 ) ( a 3
,
=
— —
\j ( a i - a2 )2 + ( bi “ a 3 )+
(¿i ~
1
1(«1- fl,)(a2 2 (fl. ■^3 )1 +
51.
iü2
h )
'—
+ {^
-~b2 ) { b3 ~ b2)
K I' ] { a 3 ~ ai f + i b3 - b2 )2
( v - ¿3)!
- « 3)'2 +1ib 2 ~ ~b J
Sean y = m x + c y ( a , b ) una línea no vertical en cualquier punto. Sea (.y, y) cualquier punto en la línea. Para minimizar la distancia entre ( a , b ) y la línea, minimice d = ( x — a ) 2 + Í V - by. d
= ( x — a ) 2 + (mx + c — b ) 1 . am + b m 2 + c
d' =
Entonces y = -------- --- Sea 1 + m"
u
=
a -j- bffi — cifi 2( x — a ) + 2 (mx + c —b ) ( m ) = 0 => x = ------- ---.
1+
(a
—x)\
. +
.
.
a m 2 — bm + cm .
m
b — am — c .
(b - y)j = ----------------------- ---- 1 + ------- ;— j. \ + m~
1+
m
c Sea v = vector de dirección de la línea = — i + c\. Por tanto m
acm — be + c 2 + be — acm — c 1 „ _. ,, . . •v = ---------------- ------------ = 0 . Si tenemos una linea vertical entonces .y = e. A 1 +m2 continuación necesitamos minimizar d' = (c - a ) 2 + ( y — b ) 2 . d ' = 2 ( y — b ) = 0 => v = b =>. La distancia m á s corta entre un punto y una línea se mide a lo largo de la línea y a través del punto y perpendicular a la línea.
u
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692
C a p ít u l o 3
53. L a línea tiene la ecuación y = (-3/2)x; la línea perpendicular que pasa por (3, 7) es = (2/3)X + 5. Estas líneas se intersecan en (—30/13, 45/13). Entonces
y
d = .
f. 3 l
2 3 0 ^ —
+
13 J
(n
7
-
451
_ ^2197
—
13
13 J
l
[0.2723..., 0.09621...].
57. [0.1761..., -0.9844...] 55. Secuencia de instrucciones para producir un vector unitario con la m i s m a dirección que el vector que se encuentra en la pri mera posición de la pila
€: 5: H: 3= 2: 1:
«
‘IT
—
STO U U DOT
G33M1—
59. [-0.3282..., 0.9446...] 61. Secuencia de instrucciones que calculan la proyección de u sobre v donde u se en cuentra en la segunda línea de la pila y u se encuentra en la primera línea de la
f IflM U :
—
?'■
fi: : pila 5 H:
WM
guardamos
3=
2■
G u a r d a m o s el programa con el nom b r e
i:
« -u* STO - U ' STO U V DOT V V DOT / V * » ________________________
el programa con el nombre de P R O Y UNIVEC «
—
’ U 1 STO U U DOT T i n V U x > ■u m v e c *
■ M M —
■
5: H:
, ahora ya se tie
3:
Z-
i: « 'V
U n a vez guardado el programa aparecerá en alguno de los elementos del menú, en este caso en la primera posición
DOT F'FiOY_________
ne el programa guardado con el nombre
de P R O Y 6: 5:
H: 3: 2: i: uaainTitmn—
H: 3: a: V
nasa— naani—
5: H: 2 _____________________ C . BEB— —
g a —
1
Se escribe el vector u
se presiona la 251
,seguido del vec-
■8163
■
primera tecla de la izquierda del primer renglón de la calculadora y se ejecuta el programa con el vector que se encuentra en la primera posición de la pila y se o b
C. 0 1 8 2 9
PBBgüHüB—
03EE63
OM31—
|
tor v
se ejecuta C .0 1 6 2 9 OSEESD C .0 8 1 7 1 .0 0 1 1 9 3
U H Ü I C l im H
tiene el vector
el programa P R O Y al apretar la primera tecla del primer renglón de la calculadora que en este caso es donde se ha guardado el programa, c o m o resultado se tiene
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By manchester91 Respuestas a los problemas Impares
693
MATLAB 3.2
2.25£5ÍS525Í€E-H HEHIE B P C T3 iCB33EigC B ill
[0.0157.0.000229...]
1. 27) proy_vu = [1.5, 1.5] 28) proy_vu = [-2.5, -2.5] 29) proy_vu = [0, -0] 30) proy_vu = [2.5882, 0.64706] 31) proy_vu = [-0.15385, 0.23077] 32) proy_vu = [0.76923, 1.1538]
63. [17318.030...,49128.610...]
P roblemas 3.3, página 2 51 17. |v| = Vi, eos a = -l/VÍ, eos p = l/Vi,
1. V i o
eos y = - l/V i.
3. 3 5. |v| = 3 v/|v| = j eos a = 0, eos P = 1, eos y = 0.
21. V78; 2/V78; 5/ V78; —7/V78
7. 3; - 1 , 0 , 0 I I
/---
9. v =V 2 1 ,
19. Vi; —1/ Vi; —1/ Vi; 1/ Vi
^
cosa =
' 1
2
, eosP = — ?=,
v 21
23. V29; - 2 / V 2 9 ; -3/V29; -4/ V 2 9
V21
25. 4Vii + 4Vij + 4>/Ík
1
eosy = —¡ = 6 a V 21
27. (l/V26)i-(3/V26)j + (4/V26)k 11.
\v\ = y j l 2 + ( - l f + f
= S
29. v/|v| = (l/V 3) i —(l/V 3 )j + (l/V 3 )k eos a = l/V i, eos p = —l/V i ,eos y = l/V i . 31. 13. V3; l/V3; l/V 3 ;-l/V 3
^ = (-3, z ) , y , z arbitrarias; este con junto de puntos constituye un plano pa ralelo al plano y z .
u y
= |cos
15. Ivl = V30, 11
cosa = —J=, V30
eos y =
eos p ——
,
V 30
2 —¡ =
V 30
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= |u|2 + 2u •v + ¡vi" < |u|2 + 2|u||v| + |vj2
= (|u| + |v|)2
694
C a p ít u l o 3
53. Copiamos dos veces el vector (0.2316, 0.4179, -0.5213) ya que lo utilizaremos una vez para encontrar su magnitud y otra utilizando el programa U N I V E C de la sección 3.2 para calcular el vec
33. - 6 j + 9k 35. 3m—2v = lOi —3j +2k 37. —13i + 28j + 12k 39. 16i + 29j + 42k
ftAD XY2 HEX R " ‘ X 1
mnz
41. (3/ —2 u ) ■(5v + 2w) = —345 tor dirección. 43. 35 - (-10) = 45
L . 2 .3 t S . 4 1 7 9 52131 L .2 3 1 E . 4 1 7 3 5 2 1 3 1 1
10 W
1.7560
5V 2 V 5 9
w •t 47. proy(w = — — 1 =
-10
RAD KYZ HEK CHOHE C f t S D m
*S'
?
S
(3i + 4j + k)
y obtenemos la
5 H
32
5V 2
i-
3 . 4 . . = - - 1 — J ~ k. 5 5
c .£316 C .2 3 1 6
.4 1 7 9 -* ■ £ 2 1 3 3 . 417-=» £2133
BEBaaUEHiSBI
49. C o m o los segmentos de recta P S y S R son perpendiculares (en la figura 3.26), el trián gulo P S R es un triángulo rectángulo y
m
m
FiftD ñVZ HEX t\~ ' K ' tHOHE CfISDIft:
magnitud
(0
P R 2 = P S 2 + SR
Pero el triángulo P R Q es también un trián gulo rectángulo de manera que Intercambiamos renglones PQ2 = PR2 + RQ2
Combinando (/) y
(ii)
(ii)
se obtiene
PQ2 = P S2 + SR2
+
C o m o las coordenadas iguales
x
RQ2
y z de
y ejecutamos el
(iii) P
y
P S 2 = ( y 2 ~ y])2
S
son
programa U N I V E C que en esta oca sión ocupa la tercera posición del primer
( iv )
D e manera similar
y
R S 2 = ( x 2 - x l)2
(v)
= (z2 - z. )2
(vi)
RQ2
Entonces, usando llega a PQ2 = (x2
-x,)2 +
(iv ),
(y2
con
renglón (v) y
-
y
( v i)
en
(iii)
.7 0 7 1 2 9 8 7 4 9 1 7 . 3 S 7 5 2 1 16 4 3 7 9 ■5 3 0 9 ^
se
■nsBninnraHwinmiiw—
,)2 + ( z 2 -z,)2 componentes
">■ i)
u •v au Si v = au, entonces cos(p = ----= ---- lullvl lallul = ±1. Si u yv sonparalelos, entonces U
V ,
Ivl
— = ±— de manera quev = ±— u = au |u¡ |v| |u|
_
n
ii) Siu •v = 0, entonces eos (p = 0y(p —±—■ n
Si (p = ±—,entonces u •v = |u||v| eos (p = 0.
o m B m c sa o m im m g i
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695
Respuestas a los problemas impares
57. proyyu = (—18.3996..., —16.8663...,
11.1712...) 59. proyvu = (57.4451..., 271.4959...,
310.5072...) 55. magnitud = 5.227988...,
dirección = (0.202984..., 0.919885..., 0.335570)
Problem as 3.4, pag ina 260 1. -6i - 3j
u X v| = ^81 + 100 + 169 = 5V 14 = Área
3. [-12, -9,0] 35. u = 1 l i —3j —9k; 5. 7i
i
7. 12i + 8j + 21k
uXv=
1
II
a
13. [ - 8 , 0 , 8]
-3
-3
U
i
j
k
0
b
-b
—a
a
0
X V=
+ 17j + 7k
19. —9i + 39j + 61k
= Área
V = —ai + tfj
¿k;
15. Oi + Oj + Ok 8i
k
= —18i —48 j —6k; -9
' |u X v| = ^324 + 2304 + 36 = 6 ^
11. —5i — j + 7k
17.
j
11 -3 9
9. ( b c - a d )j
v = 9i - 3j + 3k
¡u X v| - = y j a V
+
=
abi - abj + abk
a"b + a2b2 = \a b \S
21. [-36, -2, - 8 ] 39. Sean u = ai + b\ + ck, v = d i + ej + f k y 23. —4i + 20j + 4k
w = li + m \ + «k.
25. —2 b c i + 2 a c ]
i
uX0 =
27. ± [ - ( 9 / V Í 8 T ) i - ( 6 / V l 8 T ) j
0
■ (8/Vl81)k] 29.
m,
|
0
0X u =
^y—
j k = 0y
a b e
0
0
i
j
k
0
0
0 = 0,
por la propiedad de la sección 2.2.
a b e
T 2
' j k uXv = a b e
0
31. u • v ——6 —2 —4 = —12;
coscp =
12
d
e
f
VÍ74 sen2 cp + eos2 (p = 5/29 + 144/174 = (30 + 144)/l 74 = 1
V X
i
j
k
u = d
e
f
a b e
33. u = -4i - j - 2k; i
j
u X v — -4
-1
-3
-4
Después, por la pro.piedad 4 de la sección 2.2, u X v = —(v X u).
v = —3i —4j + k k
-2 = —9i + lOj + 13k; 1
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i
j
(au) X v = a a
ab
d
e
¡
j
k
ac = a a
b
C
d
e
f
k
f
696
C a p ít u l o 3
de acuerdo con la propiedad 2 de la sec ción 2.2. = a(u X v) i
u
(v + w) =
X
j b
+ /
e + m
i
j
k
a
b
c
d
e
f
+
e f
i
j
k
a
b
c
l
m
n
+
45.
n
b'
2
«3
h3
C3
C2
b3
C3
2
i—
u •(v X w) =
ü2
C2
«3
C3
j+
47.
3
ü2
¿2
«3
¿3
b.
2
c,2
flL2
C,2
¿3
C3
«3
C3
a]
C -i£ . 2 7 . C -S 4 . - 7 7 .
b2
C2
bi
C3
5
-3
-1
3 = 30 + 3 0 - 2 5 - 30 = 5;
-5
-2
6
a)
Volumen generado por 2 - 1 0 1
U, V, w
-1 b)
0
4
3
2
A u
= i + 9j + 2k: A v
Ay/
=
=
= 18
6i + 24j + 25k;
9i + 3j + 1 lk
volumen generado por
=
1
9
2
6
24
25
9
3
11
2
3
1
c) det A = 4
-1
5
1
0
6
d)
1 224 = -(-68X18)
83 E l -6 2 0 7 .
3 4 2 3 .3
EiaiBM iragE im B M nT O
49.
2: 1:
ü2
k
j
a,2
b2
ci
a}
A u , A v, A w
43. v X w =
cm s s
¿3
bt
0
v■ (u X v) = (v X u) •v = —v •(u X v). Por ende v •(u X v) = 0.
2: Ü
«3
ai
Volumen = 5
41. u •(u X v) = u •( -(v X u)) = -(u X v) •u = —u •(u X v). Por tanto u •(u X v) = 0.
?! <: 5: H' 3:
b2
-5
por la propiedad 3 de la sección 2.2. = (u X v) + (u X w)
•
«2
k
a d
+ c,
CE241. -3 1 9 9 . C1 7 4 2 . S 2 3 3 .
2 3 S 6 .3 9 4 1 6 .3
CtiQSSi
51.
El resultado es
-H5132244.
HS765722.
m m B B M sm m m B ü m m
MATLAB 3.4
B H liB lSK B lB H M iaM IldjIH
3) u X v = [-12, -9, 0] 4) u X v = [1, -1, 1]
1. 2 )
u
X v = [ - 7 , - 1 , 7]
10) u X v = [a * d ,
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b*c, - a * c ]
= 1 224
Respuestas a los problemas impares
697
P r o b l e m a s 3 . 5 , p á g in a 2 7 0
1.v = -i + j - 4k; x = 2 - t, y = 1 + t, 7 = 3 - 4 t ; ( x - 2)/(—1) = y - 1 =
25. a ) (VÍ8ó/3)(f = ¿)
xi + y\ + z k = i + (1 - 2 í) j + k,
b)
7l518/ll = Vl38/ll,(? = fr)
c)
V3 0 / 2 (*=¿)
= 1, z = 1 27. A =
13
5. v = (2 - 2)i + (0 - 3)j + (-4 + 4)k = -3j xi + y j + z k = 2i + 3j —4 k + í(—3j);x = 2, y
= £
6
29. Al igual que en los problemas previos, te-
= 3 ~ 3 t , z = —4; x = 2, z = —4
' —2
3
"2 1
5 0"
6
° \ sí ^0 4 11 oj hacemos que c = 8, entonces b = - 2 2 y a = -13. Por tanto la línea x = - 2 - 13 1, y = 3 - 22 1, z = 4 + 8/ satisface las con diciones. nemos
7. v = ( - 1 - 7 )i + ( - 2 - l ) j + (3 - 3)k = —8i — 3j; xi + y ] + zk = 7i + j + 3k
+
t ( — 8i —3j); x = 7 —8 t , y = 1 —3 t , z = 3; x —7 _ y - l z
-2
= 3
4-2
1
-3
9.
x = 2 + 2í, y (x
-
2)12
=
=
2
— t , z = \ — t;
31. Sea v = ( a , b , c). 1 ' (3, 2, -1) = 0 y
(y — 2)/(-l)
v •(-4, 4, 1) = 0 da
= ( z - l)/(-l) 11.
x = -1, y = - 2 - 3í, z = 5 + 7í; x = 1 y ly + 3z = 1
13.
v = 3j, xi + yj + zk = —2i + (3 + 3?)j + 7k,
1 -6
xi + y j + z k = a \ + x = a, y = b, z = c
17. v = z =
19.
21.
23.
b] +
ck +
t(d k):
El vector v, = a ¡i + ¿,j + c,k es paralelo a L,, mientras que el vector v, = a 2i + + c2k es paralelo a L r Así, L ] _L L 2 si v ^ ^ o v, •v2 = 0. Pero v, •v2 = a xa 2 + b 2 + c, c2. 3i + 6j + 9k = 3(i + 2j + 3k), por lo que los vectores directores de las rectas son paralelos. Observe que no son coinciden tes ya que, por ejemplo, el punto (1, -3, —3) está sobre L t pero no sobre L,. Si tuvieran un punto en c o m ú n se tendría 2 —t = 1 + í 1 + t = —2s —2 1 = 3 + 2s L a solución única de las primeras dos ecuaciones es s = —2, t = 3; pero este par no satisface la tercera ecuación.
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-1
4 amos que
0^
1 OJ c
= 20 en-
tonces b = 1 y a = 6. Por tanto, v = (6, 1, 20) es perpendicular tanto a L ] c o m o a L r El punto P = (2, 5, 1) está sobre L ] y el punto Q = (4, 5, -2) está sobre L r D e manera que la distancia entre L { y L 2 está dada por
+ dt: x = a , y = b
3i + 6j + 2k; x = 4 + 3 t , y = 1 + 6 1, — 6 + 2 1: (x — 4)/3 = ( y — l)/6 = (z + 6)/2
2
0 20 - 1
x = —2, z = 7 15.
0
' 3
proy
PQ\ =
PQ
-v
_ \P A "
48 VÍ57 ’
33. l(x - 0) + 0(y - 0) + 0(z - 0) = 0; x = 0 35. z = 0 37. 1( x - 1) + 00' - 2) + l(z - 3) = 0; 39.
x
+ z —4
y
+ r= 5
41. - 3 x - 4 y + z = 45 43.
—4 y + 6 z = — 8
45. 20x +
\3 y -
47. — 12x - 21 y
3z
+
= 58 22 z = 63
49. 1 lx —17_y + 9z = 9
51. D a d o que las ecuaciones son equivalen tes, ti,y 7t,son coincidentes.
53. Coincidentes. 55. Ninguna de las anteriores.
698
C a p ít u l o 3
57. N o son ortogonales, paralelos ni coinci dentes.
Iaxg + bx0 + cx0
A
y/a2 + b 2 + c 2
3 -11 - i r 59. " 3 - 1 4 3^ ---- > k- 4 - 2 7 8; ^0 -1 0 37 36, Sea z = t entonces la línea de intersección , , , 1 1 18 esta dada por x = - ------1, y = —— + 5 10 ' 5 37 — t, y z = t .
69.
n, =(3, -1, 4) y n 2 = (—4, -2, 7);
(3, -1, 4)-(-4, -2, 7)
(p = eos
|(3, -1, 4)||(—4, -2, 7)| 18
= eos
10 61. ( x , y , z ) = (-11/4, -3/2, 0) + t ( 9 , 16, 2) 63.
13/769
65. — 7= 52 a
375
67. Sea Q = (x 0, _y0, z0 ). Suponga que P = ( x , , y r z t)
está en el plano.
P Q = (X q - x , ,
-j,, z0 - z,). D e acuerdo con el proble m a 62, tenemos
1.1319
726 729 71. Si u y v no son vectores no nulos y copla-
nares, en k , entonces la línea que pasa por w y es paralela a v, se encuentra con la lí nea a través de 0 y de u en un determinado punto a u. D e manera similar, la línea que pasa por w y es paralela a u se encuentra con la línea que pasa a través de 0 y v en un punto (3v. Por tanto, au, Pv son lados de un paralelogramo con diagonal w, esto es, a u + pv = w. 73. Son coplanares en n : x — 2 2 y — 1 7 z = 0
IP Q ■n\ D = '-
75. N o son coplanares. K*o ~
+
~ y <) + C(z« ~ Z1i
77. N o coplanar; u • (v X w) = —9
Ejercicios de repaso del capítulo 3, p á q ina 277 1. |v| = 372, 9 = tt/4 3. |v| = 7l3, 0 = arctan
11. P Q = 7i + 3j
T
4 1 J
3
v2y 2 5. |v| = 7 3 + 1 = 2; tan cp =
=> cp = k / 6
1
1 1 1
1
1
(7,3)
V "
1 1
73
1
7.
y
|v| = 1272, 0 = 5tt/4
(4, 1) / |
i/'
9. 2i + 2j
1 1 1
(-3,-2)
-4
- 2
X
1 L
0
2
4
6
8
13. P Q = 4 i - 4 j 15. a) —3v = 9i + 12j c)
b) u + v = —7i — 3j 3u — 6 v = —12¡ + 3j + 18¡ + 24j = 6 i + 27j
17. |v| = 7 2 ; 11 = J = ( - i + j)
19. ( 2 / 7 2 9 ) i + ( 5 / 7 2 9 ) j
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Respuestas a los problemas Impares
21-
47.
fi + fj
23.
i
V20 '
V20J
25. |v| = Vó5; cos(p = -¿=; V65
a)
u-v = 8 + 3 a = 0 = > a = - 8 / 3
b)
2u = 4i + 6j => a = 6
c)
| u| = V l3 ; )v¡ =
a 2 + 16;
3 a+ 8
1
^1 3 a 2 + 208
V2
coscp
s e n ( p = —J =
V65
699
=> 1 8 a 2 + 9 6 a + 128 = 1 3 a 2 + 2 0 8
27. ¡v| = V 2 ; u, = J=(i + j); u 2 = -J=(-i- j)
=> 5 a 2 + 9 6 a - 8 0 = 0 => ( 5 a - 4 ) ( a + 2 0 ) = 0
29. v = 2 eos —i + 2 sen— i = i + V3j 3 3
= > a = 4 / 5 , - 2 0 a = —4 / 5 = > cp = 7 i/4
3a + 8
31. j 33.
d)
V3i +
7
j
^ 1 3 a 2 + 208
2
=> 3 6 a 2 + 192a + 256 = 39 a 2 + 624 => 3 a 2 - 192a + 368 = 0
35. 0; 0 37. u ■ v = -26,
V3
cos(p = --
96 ±52>/3 => a = -------—
26
2 V Í 7O
39. v = —1/2 u =>u y v son paralelos.
49. proyvu = y ( i - j ) = 7 i - 7 j 51
41. Ninguna
J1 '
13
{ + 10: 13 J
53. - f i - f j > x
55.
2
2
p r o y vu = - i + - j
57. y¡(4 + 5 )2 + ( - 1 - l ) 2 + (7 - 3 )2 = V Í0 1
43. Paralelos 59. 7 ( 2 — 0 ) 2 + ( —7 — 5 ) 2 + (0 + 8 ) 2 = V 212 = 2 7 5 3
11
2
63. |v| = 7, e o s a = - ,
3
e o s (3 = —, e o s y = - -
45. Son ortogonales. 65. P Q = - 7 i + 2 j + 5 k ; \p -7 . u — i— 1 V 78
q
\ = V 78
2 . 5 i— j + 1— k V 78 V 78
67. u — v = 4 i — 4 j — 2 k
-9
69. p r o y yw = — ( —3i + 2 j + 5 k ) 38 27. 9 . 45, = — 1 - — i --------k 38 38 38
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| ON
61. V l 3 0 ; 0 , 3 / V l 3 0 , 1 i/n/TJo
700
C a p ít u l o 3
71 . f i + f j + i f k
89. Necesitaremos 3 - 2 t = - 3 + s = > t =
4+
73. 2 u + 6v + 3
340. 176. 744, proy v = —----- 1 + ------ iH-------- k 19 19 19
t
8
VÑVÜ
V Í32
= 2 - 4^ => í = - 2 - 4s, y
—2 + 7? = 1 + 6 s
= - 2 - 4^ => s
, que es aproximada-
/
por lo tanto no existe punto de intersec ción. 91. v, = 4i + 3j —2k; v 2 = 5i + j + 4k.
= —4i —12 j +
77. u X v = 3 - 1 0
i j
2k
k
v = v, X v 2 = 4 3 - 2
4 j
4 - 1 -71
-2
i
j
La línea es:
7 = -5i - 41 j - 3k
x = - 1 + 14?,
3 = —5i —lOj —k
-3
.
u, =
■1 —
R = ( -
PQ
10
ecuación paramétrica: x y = —1 —I t , z = 4 + 2 t
(x
It, y
+ 4)/7 =
87. v =
(b
=
(7
—c)i +
ck,
^ 46x + 14 y 97.
x = \
-6
-
jt,
y
+
69 z = 33
= \ - U-t, z = t
Sea p = (1 - 3)i + (-2 - 0)j + (3 - 0)k = —2i —2j + 3k, n = 2i —j —k
proy„p = —- ( 2 Í - j - k ) O
—c)i + 6 j
Ec. paramétrica: x = 1 + í(¿> —c), j = 1 +
- 1 01 -+ , — 5 1• +, = --6
,
tb,
6
i
¡
—k 6 Í1505
r f - | p r o y np | - ^ —
V¿>, e e P
Ec. simétrica:
x —1 __y —l _ z —1 b —c
ce P
5
101. (3, 0, 0) es un punto en el plano.
+ ck], V¿, c e 15
z = a + ct,
4
-380¿7
ceC, t[(b
k
—4
z = 7 t;
Ec. vectorial = i + j + k +
j
{0}
6 k;
46(x + 2) + 14(v - 4) + 69(z - 1) = 0
-7
\/b ,
-4i + 5j -
= 46¡ + 14 j + 69k
—l)/(—1) = z/7 b\ +
=
5 -11 -4
3 + 4/,
x + 3 _ y + l_ z
= 1 —t,
í
n = PQXQR=
(—4i + j) + í(7i - j + 7k);
x = —4 +
5i - 1 lj + 4k; QR ^
3>/l4
83. v = 4i —7j + 2k ecuación vectorial: x i + y] + zk = 3i - j + 4 k + 1( 4i - 7j + 2k)
OR =
=
1, -2, -1);
k; u
3VÍ4 ‘ 3 V l 4 J
85.
0
95. P = (—2, 4, l),e = (3, -7, 5),
4
ecu a c ió n simétrica:
6)=
=> 2 v —3z = —26
k
u X v| = V l2 6 = 3 y / l 4 5
y = 2 - 2 6 1, z = 4 - 11/.
93. 0(x - 1) + 2 (y + 4) - 3(z -
1 -1 -2
k
= 14i - 26j - 1 lk
4
,5 1
i
81. u X v =
—10/7, y
3 + 65
i j k
79. u X v =
=
—2 —4s = ----- s = —17/22;
V l3 3 ’
VÍ33 mente 69.7°.
2 0
3 + 6í = ■
A
75. coscp :
cp = árceos
=> t
7 6 —.
S
6 —5
103. eos- 1 1—l/V2071 = eos-11/V207
= 1.501 = 86.01°.
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701
Respuestas a los problemas impares
C a p ít u l o 4 Problem as 4.2, página 286 1. Sí 3. No;
iv)',
tampoco
vi)
se cumple si a < 0
5. Sí 7. No. C o m o se requiere que todos los poli nomios sean de grado 5, cualquier polino mio de grado menor no pertenece al con junto, por lo que no existe neutro aditivo ya que 0 no es un polinomio de grado 5. 9. Sí, 0
'o
a
A
0
0
o N
iii) 0
I
+
f o
J
a'
0
o .
p
0
e r a
27. Sean
y
/ A 0
aa
■ \
ab
y
y2
y " + a ( x ) y [ + b ( x ) y l( x ) = 0
y y " + a ( x ) y ' 2 + b ( x ) y 2( x ) = 0
Entonces
Oy
el resto de los axiomas se derivan del teo rema 1.5.1
(y¡ + y 2 )" + a ( x X y i + y
= |>;"+ a ( , x ) y [
si p ( x ) e V , entonces - p ( x ) € V dado que no tiene un término constante positivo; vi) no se sostiene si a < 0.
17. No; 19. Sí
i), iii), iv), vi)
no se cumplen
21. Sí
23. Suponga que
0 y 0' son identidades aditi vas. Entonces, por definición de identidad aditiva, 0 = 0 + 0' y 0' = 0' + 0 = 0 + 0'. Así, 0 = 0'.
25. Para x, y en V defina z c o m o z = —x + y. z existe ya que toda x tiene un inverso
Problem as 4.3.
+ b(x)yj
+ [ y " + a ( x ) v ' 2 + H x ) y 2]
iii) O g V ; iv)
15. Sí
2)'
+ b ( x ) ( y t + y 2)
11. Sí, es un espacio vectorial trivial.
13. No;
soluciones a la ecuación. E n
tonces
0
eV , b
o ,
a + a
aditivo —x y V es una cerradura bajo la adición. Entonces x + z = x + ( - x + y) = (x - x) + y = 0 + y = y. Suponga que existen z y z' tales que x + z = y y x + z' = y. Entonces z = —x + y = z'. Por lo que z es única.
=0+0=0
de manera que y + y 2 es una solución. Si milarmente, (ocy j ' + a ( x ) ( a y í ) + b ( x ) (av) = ajjj" + a ( x ) y ' + b ( x ) y ^ \ = a ■ 0 = 0, con lo que oc,y¡ también es una solución, y la cerradura se cumple. C o m o -j, = (-l)v también es una solución, se tiene el inver so aditivo. Es sencilla la deducción de los otros axiomas.
MATLAB 4.2 1. Demostración de programa vctrsp.m
p á g i n a 2 9 7 .._ _ ... ............... ..........,......... ... ..... ....... __.... .....
1. No; porque
3.
H
a(x, y) £ H
si a < 0 13. H no es un subespacio.
es un subespacio.
5. H no es un subespacio. (1,0) 2(1,0) = (2,0) * H.
£
H, pero
b
1+
b
a + b
2 + a + b
0
0,
.
0
un subespacio.
17. H es un subespacio.
11. H es un subespacio.
19. H es un subespacio.
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a
0 í H
,0
15. Sí
H es
1+
0
7. Sí 9.
a
702
C
a p ít u l o
4
0 de manera que ax, e espacio.
21. H es un subespacio. 23. //es un subespacio. 25.
H
no es un subespacio.
27.
a)
Si A
r A 2
H
no contiene a 0.
e //,, entonces 04, + ^42)n =
( A i) 11 + K),, = 0 + 0 = 0 y (ol4,)u = a(/f,),, = aO = 0, de manera que //, es un subespacio. Si A r A 2 e //„ enton ces
-6,
fl,
4= v«, / a2
7
-b 2
a2
(fl, +
~(bt + b2 )
v (a,
a
a 2)
(.bx + b 2 ) j
+ a 2)
//,. Además,
g
v “ f aA, =
—a¿>,
aa,
v a a,
í
35. Sean v, =
a
d
cj
//,
g
(
í A e M 2 .2. : A
y v2 =
=
/" '0a
a^ N
ya
0y
k Si A ,A ,
//, entonces
r 0
a
r 0
a2^
va .
«y
\ a2
Oy
A ,=
a
A
/ v a, + f l 2
y
v*
=
ao,
Otó.
0
x
\
/
\ 1
>
r
2 —(
X.
0/
+ b
^2,
■
x
Entonces
\
y a y ,+ b y 2)
r
\ r
e //
a
\ X
y 2 j Kb J
k ,y
0y
es decir, A x 2 = 0 4- 0 = 0, de manera que x
a x .1 + b x A .>
o sea, X2
VC
2
0. Sea v =
\y/
0
•*1
=
cualquier yyj otro vector en R 2. Se quiere encontrar es calares a y b tales que v = av, + ¿v2, o
2 =
'0
. v, no es un
/
4
g H y aA
\
det A = x , y 2 — x 1y v Si det ^ 4 = 0 , en tonces x , y 2 = x 2y v o sea, x , lx 2 = ly2 (si x , = 0 o y 2 = 0, se puede obtener una conclusión similar). Sea c = x , / x 2 = y ly v Entonces x , = c x 2 y y, = cy2, de manera que v, = cv2 lo que contradice lo estableci
para algún
e
colineales. Sea
do. Así, det A
+
2
múltiplo de v, ya que los vectores no son
//=//, n //, =
a
\ xi 1
J i ,
—c
escalar
31. Sean u = (x,, y , , z r vv,) y v = (x 2, y 2, z2, w 2) g H . Entonces u + v = (x , + x 2, j, + y 2, z, + Z2, w, + W2) y a(x, + x 2) + b ( y ¡ + y 2) + c(z, + z2) + d ( w } + w2) = (ax, + b y t + cz, 4- d w t) + (ax, + b y 2 + cz2 + d w 2) = 0 + 0 = 0, de manera que u + v e H . Similar mente, au = (ax,, ay,, ar,, a ir,) y «(a.v,) + b ( a y {) + ¿taz,) + d ( a w {) = a (ax, + b y x + cz, + d w ) = aO = 0, de manera que au e H . Por lo tanto, H es un subespacio.
a¿>, .
y por lo tanto //, también es un subes pacio. tí)
es un sub
H
33. Sean x , y e H . Entonces x = u , + v, y u 2 + v 2, donde u , , u 2 e / / , y v , , v , g H 2. Entonces x 4- y = ( u , 4- v , ) 4- ( u , + v 2) = v2), C o m o //, y //, son (u (v, subespacios, u, 4- u2 g //,, y v, + v2 g //,, de manera que x + y g H . D e igual m a nera, a x = a (u , + v,) = a u , + av ,. Pero a u , g //, y a v, g //,, por lo que a x g H y H es un subespacio.
v «2
—c
y
\
=
^1 + ^2 “
H
1 ~h =
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A
.
f
a
^
Kh )
f
—
\ X
j
703
Respuestas a los problemas impares
C om o det A * 0, este sistema tiene u na solución única
.Entonces v e
= A~
\y)
\hj
//, lo que muestra que R 2 C H . Pero c o m o H C C 2, se tiene que H = E 2
MATLAB 4.3 1. Verifique que S — S' = 0. S u g e r e n c i a : use la definición para demostrar que una matriz W es simétrica; es decir, demuestre que w.. = vv... n y ji
Problem as 4.4 . página 303 3. Si
1. Sí
5.
v
= (acjiv, + (a c,)v 2 + ■ • ■ co n te n id o s en gen {vp v2,
1 -1
5
I *
2
2
2
I 7
3
3
3
I z, 1
0
y 14 + x 12
0
1
y¡ 4 -X /2
0
o
z —( 3 / 2 )
/y
Por lo tanto, sólo p o d e m o s resolver si z - ( 3 / 2 ) y = 0, que es la ecuación del pla no que pasa por el origen. Por tanto los vectores no generan E 3 7. Sí
9. Sí
11. No; por ejemplo
x <£
gen {1 — x , 3 — x 2}
13. Sí 15. N o generan
M 22.
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23. D a d o que vf X v2 es perpendicular a vi, v2, de ahí al plano generado por v,, v2, v, X v, ■x = 0 es la ecuación de un plano, el cual contiene a v + a,v2.Al expandir el producto cruz se muestra que ( y ¡ z 2 ~ y 2) x + (z, x 2 - x, z 2) y + ( x t y 2 - x 2y l) z = 0, es una ecuación de un plano que pasa por el origen, el cual contiene H = gen {Vj, v2}. D a d o que vp v^no son paralelos v, X v,í 0, de m o d o que esta ecuación es la ecuación de un plano (y no sólo 0 = 0). 25. Considere '
0
1A
'1
0^
,0
¡J ’{o
í
1
° ' - 1 ,
í ° t i
'1 o j
Observe que cada matriz es in-
0,
- l
vertible. /
a
yb
b) d
fl
'l
a
"l
0^
~ 2 v0
+
b
0^
fl
0'
-ly
^0
l
0^
T
19. u = c,Vj + c2v , + • + c
ca que a„+lvn+1 e H . Si se aplica de nuevo el teorema 4.3.1, se tiene que v e / / . Por inducción, si {vp v2, . . .vn} S, H , entonces gen{v,,v2,
o
17. Suponga que a tx 2 + b rx + c ] y a 2x 2 + b 2x + c, generan Z5,. Sea v. = (a., b., c.) para i = 1,2. Sea a x 2 + px + y e P 2 un poli nomio diferente de cero tal que (a, P, y) • v = 0. [Observe que podemos encontrar un polinomio diferente de cero con estas características, dado que (a, p. y) • v. = 0 es un sistema homogéneo de 2 ecuaciones y tres incógnitas.] Suponga que a x 2 + Px + y = d x( a ^ x 2 + b x + c,) + d 2( a 2x 2 + b 2x + c 2). Por tanto, (a, p, y) • (a, p, y) = ( a , p, y) ■( d lv ¡ + d 2\ 2) = 0. Pero esto es una contradicción, dado que (a, P, y) ^ 0. Por lo tanto esos dos polinomios no pueden generar l \ .
21. Utilice la inducción sobre n. Suponga que V| £ H . D e acuerdo con el teorema 4.3.1, av, e H para todo escalar a. Por tanto, gen{v,} c H . Suponga que gen{v, v,, . . . ,’ vnJ} c H ’, Jy v»+l J.. € H . Sea v = a.v, 1 1 +. a,v, 2 2 + --- + a nv n+ a ,/7+1v /?+1,. Se asume ” que a.v. 11 . + •■ ■+ a v n€ //, y el teorema 4.3.1 impli
b
(o
2
,1 0,
+-
r
0
0
1
1
-1
-1
0
0J
704
C
a p ít u l o
4
MATLAB 4.4 3. á) i) El sistema de ecuaciones es 1 = lcj — le, — 3c3 - 4 = le, + lc2 + 0c3 L a solución es c, arbitrario y c = —1.5 — 1.5c 3 y c2 = -2.5 + 1.5cr
ii) La solución es c3 arbitraria y c, = - 2 - 3.2857c 3 y c, = 1 + ,8571c3. A) Para /), w = -1.5v, - 2.5v2 5
w = -4v, + - v, y w = -4v, - v,. 1
3
3
2
3
P : V
2" conjunto =
7. a ) L a forma escalonada reducida por
renglones no tiene renglones de ceros (por lo que la solución existe) y hay al menos una columna sin pivote, lo que implica que habrá una variable arbi traria en la solución. b) Para la primera w dada se tiene x 1 = 2 - x 4, x 2 = - 1 + 2 x 4, x 3 = 2 - x 4 y x$ = 1Así, w = 2 V j — v 2 2 v 3 + v5. Para la segunda w dada se tiene x, = - 3 - x ,
x2 =
6 + 2 x 4, x 3 =
1
/QO
5. a ) La razón es que la forma escalonada reducida por renglones de A no tiene renglones de ceros. b) L a forma escalonada reducida por ren glones de A tiene un renglón de ceros, por lo que habrá alguna w para la que el sistema cuya matriz aumentada es [A w] no tenga solución y, por lo tan to, w no será una combinación lineal de las columnas de A . Experimente para encontrar una w de este tipo por prueba y error, eligiendo valores para w y verificando si hay una solución.
c) El cuarto vector no era necesario, lo que corresponde al hecho de que x.4 era la variable arbitraria natural. d) Se tiene que v4 = v, - 2v2 + v3. D e muestre que la forma escalonada redu cida por renglones de la matriz, cuyas columnas son los vectores en el sub conjunto, no tiene renglones de ceros y tiene un pivote en cada columna. e) Los vectores no necesarios son el terce ro y el quinto. El primero w = 2Vj + 4 v 2 - v4 y el segundo w = - l V j + 7 v2 - 2v4; v 3 = - v , + 2v2 y v5 = 2v, + v , - 2 v 4. 9. b ) El término constante de r es 2 X (térmi no constante de p ) - 3 X (término cons tante de q ) y esto se cumple para los co eficientes de los términos en x , x 2 y x 3. £•) Expresados c o m o vectores de 3 X 1 se tiene
0
9
-9
' 9 ,
-7
5,
p es una combinación lineal co n p = p i - p2 + py donde p. se refiere al /-ésimo
d)
e)
x 4 y x s = l.
Entonces, w = —3v, + 6v2 + v3 + v5.
polinomio en el conjunto. El conjunto de polinomios genera a todo P r p = 3 / > , + 2 p2 + p^, el conjunto no pue de ser generador, por el problema 18. Sí, ya que la forma escalonada redu cida por renglones de la matriz, cuyas columnas son los vectores que repre sentan los polinomios dados, no tiene renglones de ceros.
Problem as 4.5, 1. Independiente.
9. Independiente.
3. Dependientes.
11. Independientes.
5.
f - 2 ' , 3,
■ t-a
Í 41
de m o d o que es linealmente
13. Linealmente dependiente. 15. Linealmente dependiente, pues 4 vectores en E 3 son siempre dependientes (teorema
independiente. 7. Dependiente (por el teorema 2).
2 ).
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705
Respuestas a los problemas Impares
17. Independiente. 19. Independiente.
3
21. Independiente.
-1
-22
3
13/5
-2/5
1 -22/5
3/5
0
27. Linealmente independiente.
29.
0
«2,
a 22
a
«3,
«32
Así es que si se resuelve en términos de x p da por resultado
x ,
= 0, vea la solución 1.4.20.
\
í
^— 13/5
a
X2 r
31. Observe que
->
1
7
5
25. Linealmente dependiente.
-1
-8
-1
23. Linealmente dependiente.
au
7
-1
39.
2a
-3
—2
v
1,y
' -4 a
*3
6 . Por tanto
el conjunto de vectores es linealmente de pendiente para todo número real a.
= X,
1
3 ^
yX4 )
-2
22/5
' 2/5' + x.4
-3 /5 0
0;
13
41.
-6 1
33. Si v], . . . , \'n son linealmente dependien tes, entonces existe una solución no trivial c, 1v, ■• + c n vn = 0 . Env( c ,1,’ . . . , c 5) de iv 1 + ■ tonces ( c v , c n, 0) es una solución no trivial de c,1v. + ■■• + c n vn + c n + \ n + \ = 0. 1 Por tanto,’ v F„7. .n7. ,n +v\ , v il son linealmente independientes. 35. Suponga que v, y v2 son linealmente de pendientes. Entonces v2 = av, para algún a í 0. Entonces v, • v2 = a|vj2 i 0 dado que v es un vector diferente de cero. Esto contradice el que Vj y v, sean ortogonales. Por tanto, v, y v, son linealmente indepen dientes. 37. Suponga que v,, v2,. .., v n son linealmen te independientes. Entonces a . v . + a 2\ 2 + ■■■ + a n \ n = 0 sólo tiene la solución trivial. Así es que al resolver no hay varia bles arbitrarias, por lo cual cada columna en la forma escalonada por renglones tie ne un pivote. D a d o que hay n renglones y n columnas, cada renglón tiene un pivote, es decir, no hay reglones que sean cero en la forma escalonada. E n cambio, si la forma escalonada por renglón de A no contiene un renglón de ceros, esto implica que la única solución a A x = 0 es x = 0, dado que n renglones distintos de cero implican n pivotes. Por tanto, v,, v2, . . . , v son linealmente independientes.
V
r - f
'-1 >
1
0
0
43. x = i 0
1
0 , con c v c 2,
+ C2
1 ,0 ,
0 ,
+ C3
0
oj
c3 arbitrarias. 51. Suponga que A r A 2, A y A v A s, A 6 y A 1 están en M i r Considere resolver a ¡A ¡ + a ^2A ^2 + a , A , + a . A . + a . A , + a , A . + a ^3A3 1 4 455 = 0 para ( a v a 2, a y a , a 5, a 6, a 7). Esto genera seis ecuaciones homogéneas con siete incógnitas. Entonces, sin importar las matrices dadas, habrá siempre una solución no trivial. Así que cualquiera de las siete matrices de A/ son linealmente dependientes. 53. Observe que 5, n S 2 es un subconjunto tanto de S, c o m o de S v cada uno de los cuales es un conjunto linealmente inde pendiente. Entonces, en virtud del pro blema 43 5, n S 2 es linealmente indepen diente. (Observe que el conjunto vacío de vectores es linealmente independiente, así que no se requiere que S n S 2 sea un con junto no vacío.) 55. Sea + a 2( \ { + v2) + ••• + a n ( y { + v2 + • • • + vn) = 0. Entonces, tenemos (a, + a 2 + • ■• + a )v. + ( « + • • • + a ) \ + • • • +
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6
706
C
a p ít u l o
4
a ny
n
= 0 . C o m o {v„ v,, . . . , v } es un conK \ 72’ 5 n}
junto linealmente independiente, tenemos a,
+
a.
+ ••• +
a
=0
+
a
—
a
=0
+
izquierda sin pivote en ella, entonces los vectores son dependientes, de lo contrario son independientes.
0
E n virtud de la sustitución regresiva, tene m o s a n = 0,7 a n —1, = 0,7 . . .’,a,2 = 0,5 a 1, = 0. Por tanto, y , v, + v2,. . ., v, + v + • • • + v ;son linealmente independientes. 57. Si todos los vectores son el vector cero,
entonces hemos terminado. Si no, enton ces sin perder la generalidad, asuma que v es un vector diferente de cero. D a d o que {vj,v2} es linealmente dependiente, v2 = a,v para al menos una a y C o m o {v]S v,} es linealmente dependiente, v = a vt para al menos una a 2. Si continuamos con este procedimiento, vemos que cada vec tor es un múltiplo de v,.
59.
/¡OO
f 2( x )
/»(*)
f tU )
//(* )
f:w
/ r \ x )
61. Necesitamos
9 10 11
12
13 14 15 16
Linealmente Linealmente Linealmente Linealmente Linealmente Linealmente Linealmente Linealmente Linealmente Linealmente Linealmente Linealmente Linealmente Linealmente Linealmente Linealmente
3. Las columnas siempre serán dependientes
en una matriz que tiene m á s columnas que renglones. S u g e r e n c i a : ¿qué puede decir sobre la localización de los pivotes en la forma escalonada reducida por ren glones de tal matriz? l es una combinación lineal de las columnas de A . b ) Primero genere un vector aleatorio z del lado derecho y después haga w = A z , donde A es la matriz cuyas co lumnas son los vectores en el conjunto dado. c ) {Vj, . . . , y , w} es linealmente depen diente. 7. a) Las columnas sin pivote en la forma escalonada reducida por renglones corresponden a las columnas que se crearon c o m o combinaciones lineales de otras columnas. c ) Las columnas de A son dependientes. e ) Alguna o algunas columnas de A son combinaciones de columnas anteriores de A . f ) S u g e r e n c i a : para el inciso c) reescriba la combinación lineal con 0 en un lado de la ecuación. Para el inciso e ) supon ga que ttjV + • av, + a v = 0, donde a, z 0. Entonces utilice esto para despejar v
5. a ) A
1 —c
1+
1+ C
1—c
c
= (1 -
cf~
(1 + c)2 = — 4 c ¿ 0. Por lo tanto, los vecto res son linealmente independientes si c ^ 0. 63. Suponga que {v15 v , , . . . , v , v} es un con
junto linealmente dependiente. C o m o {vp v2,..., y j es un conjunto linealmente in dependiente, entonces v = a ]y ] + ■• ■+ a n y n *para al menos una a l7 , , . . . . 7 a n e IR en virtud del problema 56. Entonces v e gen {v , v„ . . . , vn}, que es una contradicción. Por lo tanto ív <. „p v„ i 7 . . . 7, vn7, vi’ es un conjunto linealmente independiente. 65. 1 — x 2, 1 + x 2, x. (Cualquier cuadrática
con un término x diferente de cero fun cionará.)
MATLAB 4.5 1. E n cada caso, se ingresa la matriz a u m e n tada A. Si rref(A) tiene una columna en la
independientes. independientes. dependientes. dependientes. independientes. independientes. dependientes. independientes. independientes. independientes. independientes. independientes. dependientes. independientes. dependientes. dependientes.
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By manchester91 Respuestas a los problemas Impares
707
P r o b l e m a s 17, 19 y 20: el conjunto es in L a forma escalonada reducida por ren dependiente. P r o b l e m a 18: el conjunto es glones, cuyas columnas son los vecto dependiente y 3 x + 5x2 = —13(—x ) + res en el conjunto dado, tiene un pivote 5(x2 — 2 x ) . P r o b l e m a 22: el conjunto es en cada columna pero tiene un renglón dependiente y x3 + 18x — 9 = 8.7273(2x) de ceros. + 3.1818(x3 -3) + .5455(1+ x - 4 x 3) (los b ) La forma escalonada reducida por coeficientes exactos son 96/11, 35/11 y renglones de la matriz, cuyas columnas 6/11). son los vectores en el conjunto dado, no tiene renglones de ceros pero tiene 13. Sea A una matriz aleatoria del tamaño de al men o s una columna sin pivote. seado. Encuentre A(:) y observe que crea c) No. la representación vectorial de A c o m o se describió en M A T L A B 4.4, problema 10. 11. 17) Linealmente independiente. Pruebe la independencia o dependencia 18) Linealmente dependiente. de los vectores. S u g e r e n c i a : las matrices 19) Linealmente independiente. en M mn están representadas 20) Linealmente independiente. 1 ±por vectores con m n componentes. 21) Linealmente independiente.
9.
■ ; 1. No; no genera. 3. Sí.
f
5. Sí.
\
X
—( b y + c z + d w ) 1 a
=
y
y
z
7. No; no genera.
z
9. Sí. r —b /
11. N o todos los vectores son colineales.
y
y
s.
1
1
0
IV '
X
=
y \Z )
3i -2 1
,
,
i , \ í —b / a -c /a
es una base.
r
,
f ,
3^
-2
~ t
■
H
h
es un subespacio de R 4.
D a d o que a b c d * 0, cero. Entonces,
0
0,
b
1
0
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0
0
a
es diferente de
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H
es
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í
—a
\ x,
*2
*2 ,
í/w,) = 0.
Por tanto,
1
-2
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y
3^
19. a) Suponga que (x,,yv z ,, w.) y (.v., y 2, z2, w2) están en H . Entonces, a ( x l + x 2) + b ( y 1 + y2) + C(z, + Z2) + d ( w l + W2) = ax. + byx + c z + d w x + ax. + by\ + c z 2 + d w 2 = 0 y a ( a x i) + b (a y ,) + c ( a z , ) + d ( a w x) = a (ax, + byx + cz, +
b)
í
/ a'
w
Por tanto, una base para
o,
2/3 ' f - l '
0
f
= y
,
v
1
z)
r-2 A
17.
"2/3'
(2 / 3)jv —2jc^ =
d
0
+
21.
—
*3
¿K
15.
0
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0
/ \ X
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—c / a ' 1
a 1
13. No.
*4
J*
Profctema*
á)
v2 *l '
0^ 1
— 3x,¿ + x ó, + 4 x ,4 /
V 0
0
0 = X3 1 = *4 0 1 0 0 v1; Por tanto, los vectores
V4 /
0 = *i 0 0 \~ J
708
C
a p ít u l o
4
37. Si H
(
V
0^
r o '
1
0
0 0
0
9
0
v
2
y
v
- 3
0
1
,
0
0
y
1
0
/
= V, entonces K = {0}. Si H = {0}, entonces K = V . Suponga que H es un subespacio propio. Sea {v,, v2, . . . , v^} una base para H y sea dim V = n . E n virtud del problema 32, existen vectores
forman una base para
23.
"l
-2
,3
1
v,, es una base para V. Sea k = gen {vk +i’ y v , ..., vn. Resulta evidente que H + K = V. Suponga que v e H n K . Entonces,
l 4 ,
A
H.
o'
'l
0
0"
« J
,0
1
oj
La solución es el subespacio trivial.
k
n
v = Va.v. = ^ i=1
k
n
sultado X a ,v , _ X i—]
P,v 1 =
Por tanto,
i=k +1
cada a = 0 y cada (3. = 0, y de aquí se des prende que H n K = {0}. Es falso que K sea
25. V
único, por ejemplo si H :
/
a v0/
27. El espacio solución es el trivial.
29.
p.v., lo cual da c o m o re-
/=*+!
1
0
cO
0
0
0
0
0
0^ '0
0
0 ? 0
1
0
0
0 V
0
0
,
0
0
genera a O s = 3 .
31. Sean A e S nn Jy B e S nn . Entonces, A + B = A ' + B ‘ = ( A + B ) ' . Por lo tanto, A + B e S nn . Además,7 a A = a A ' = (a A Y' . v Así que a A e S m. E n virtud del teorema 4 .3 .1 ,5 S nn es un subespacio de M nn .Para; * < J/,’ sea b V la matriz n X n con b.U = bJi. = 1 y 0 en cualquier lado. Observe que ambas B j son simétricas y linealmente indepen dientes, y cada matriz simétrica se puede escribir c o m o una combinación lineal de B . Por tanto, { B . . : 1 < / < _ / ' < « } es una base para Snn y gen S — n + ( n — 1) + („ _ 2) + . . . + 2 + i = ¿ * , í ! ¡ L ± í ). k=i 2
33. E n virtud del problema 4.5.55, son lineal mente independientes. E n virtud del teo rema 5, constituyen una base para V. 35. Suponga que existe v e AT tal que v g H . Sea {u,, u„ . .., u j una base para H . E n tonces, ¡up u,, . . . , u , v} es un conjunto linealmente independiente contenido en K . Esto implica que dim K > n + 1 > n = dim H . lo cual es una contradicción. Por lo tanto H = K .
en R 2,K puede ser cualquier línea que pase por el 0; con pendiente diferente de cero.
39. Suponga que v,, v, y v3 son coplanares. Si los vectores son paralelos, dim gen {v,, v2, v3} = 1. Si al menos dos de los vectores no son paralelos, entonces, dim gen {v,, v2,v3} = 2. Por tanto, en cualquier caso, dim gen {v ,v2, v,} < 2. Por otra parte, asuma que dim gen {v,, v2,v3} < 2. Si la dimensión es 1, sea {v} una base. Entonces v, = av, v, = (3v y v3 = yv. Si la dimensión es 1, entonces a, (3oy sea cero. Podemos asumir que a £ (3 y 0. Entonces, v = — v, y v = — v., lo cual a a demuestra que los vectores son paralelos. Si la dimensión es 2, sea {u, v} una base. Entonces, v, = a,u + (3,v, v2 = a,u + ¡3nv y v3 = a 3u + P3v. Por tanto, v, • (v, X v3) = v, • [a2oc3(u x u) + p2a 3(v x u) + a 2p3(u x V) + p2p3(v X V)] = a,(a2P3 + p2a 3)[u • (u x v)] + p,(a2p3 - P2a 3)[v • (u X v)] = 0.
41. Si H
= V, entonces //tiene una base. Su ponga que H e s un subespacio propio de V , entonces, c o m o V tiene dimensión fini ta, se desprende que H e s generado por un número finito de vectores. Sea {v,, v,,. . ., vA} un subconjunto deH que genera a H . C o n el método que se usó en elproblema 34, podemos reducir este conjunto genera dor hasta que tengamos un conjunto que genere a H y que sea linealmente indepen diente. Por tanto, H tiene una base.
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Respuestas a los problemas impares
1 1+fl
a
43.
1 0 0
a
1
a
0
a
3. a) El nuevo conjunto no generará a todo E". b ) El nuevo conjunto no será indepen diente. c ) S u g e r e n c i a : piense en las propiedades, de tener o no un renglón de ceros en la forma escalonada reducida por renglo nes y de tener o no un pivote en cada columna.
a
1 = 1 0
1 = —a ( a
- a) =
0.
0
a
709
Los vectores nunca forman una base para K 3, dado que para todos los valores de a , los vectores son dependientes.
MATLAB 4.6
5.
b) A
es invertible si y sólo si las columnas A forman una base. c ) S u g e r e n c i a : A es invertible si y sólo si la forma escalonada reducida por ren glones de A es la identidad. ¿ C ó m o se refleja esto en las propiedades de esta forma para concluir que las columnas de A forman una base para E"? de
1. L a base necesita generar todo K " y ser independiente. ¿Qué propiedades de la forma escalonada reducida por renglones de la matriz, cuyas columnas son los vec tores de la base, reflejan cada una de estas propiedades de la base? P r o b l e m a s 4. 7, página 353 1.
p = 2,
v = 0
3.
p = 2,
v =
1 -1 5.
23. Observe que c2 =
-2 cv
y
c} = — c v
1
ces, la base para el rango
2
v -3
- 1 0
4
7.
p = 2,
v =
1
2
9.
p= 2,
v = 2
v— 3
11.
p = 3,
v =
'-1
2 -2
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1
2
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3
V
1
rl '
>x = 2 x + x a base para N
-1 1
13.
25. Observe que en virtud del problema 15, dim C 4 = 2 , y las primeras dos columnas de A son linealmente independientes. La
0
15.
p = 2,
v = 2
17.
p = 3,
v =
19.
p = 2,
V = 1
1
21. Base para el rango 'l
-1
—>
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0
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1
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2
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base para el rango
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1> r - í -1 0 1 5 -2
A
A = ■
v3y
v3
= v°y v
= - 1 ^ 0 = > p = 4 ;v = 4 - 4 = 0
0 0
2
A —
— 2 2 ^ 0 = > p — 3; v — 3 — 3 — 0
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ción única. 'l
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= 3.
v5
0
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0,
Observe que las primeras tres columnas de A son linealmente independientes. La base
fl
1 ¡
2 -1 4
37.
vOy vly
27. E n virtud del problema 17, dim
para el rango
= ■
A
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P (A ) = 3 * 4
0
ción.
4
oj
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,0
2
-5
I
-1 4
-7
I
-3 1
“ 7
I
-3 4
= p ( A , b) => N o hay solu
lumnas de A ' = dimensión del espacio de los renglones de A = dimensión del espa cio de las columnas de A (por el teorema 4) = p ( A % 43.
i) Sea H = imagen de A y sea {v,,
v,} una base para H . C o m o B es in vertible, N b = { 0 } ,lo que significa que { B \ t, B v , , . . . , B \ k} es un conjunto li nealmente independiente en I?" y, por lo tanto, es una base para la imagen B A . Entonces p ( B A ) ~ k = p ( A ) .
3^
fl
2
3 -6
-2
3^
0
3 2
0
0 8
-»
ii)
,0
0 o,
-2 3
1
1
41. p ( A ' ) = dimensión del espacio de las co
V Base
-1 2
gular superior con ceros en la diagonal, el renglón inferior está compuesto sólo por ceros, así que hay menos de n pivotes en la diagonal en forma escalonada. Por tanto, p ( A ) < n.
-2
5
1
39. D a d o que A es una matriz cuadrada trian
0,
3
-1
0
-3/2
0
3 -3 3 ,2
6
1 N 4 =
1
-2
0
1
-1 base para
!
-1
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-5
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V 3
-1
4
2
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6
0
0
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0
0
0
4
:ión 13
fl
-1
1
-2
-1 '
Continuando con la reducción en la solu/ -1
3
0
- l
29.
0 , 1, - 1,
2
35. p ( A ) = p ( A , r2\
base para
1, O, O, -
33. N o
1
C a p ítu lo
Os
710
i 2 y v 3/
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C o m o C es invertible, imagen C = E". Sea h e H \ entonces existe x e R" tal que A x = h. C o m o imagen C = K", existe y e l ? tal que Cy = x. Entonces A C y = h. Así, H C imagen A C . Si v e imagen A C , existe u en C" tal que A Cu = v. Pero entonces v = A ( C u ) de
By manchester91 Respuestas a los problemas impares
53. Imagen A = gen ■ -35
ii )
.0284^ 55. Imagen
= -
dim 1<
NÁ
^
A
?
-.4270
.0795
.0905
IV -.0110
-.3365
.0904
-.1811
Si p ( A ) < n , entonces v(^) = n — p ( A ) > 0 de manera que existe una x * 0 tal que A x = 0.
p( A )
-.0965
= gen
-.1216
—0.207^ ' .0431
n.
51. Suponga que B , la forma escalonada por renglones de A , tiene k pivotes en sus pri meros k renglones. C o m o no hay otros pivotes, todos los elementos abajo de los primeros k renglones son cero. Sean a¡ , a l m ,..., a knh los pivotes; sean r,, r2,..., r k los primeros k renglones de B y suponga que c,r, + c 2r2 + ••■ + ckx k = 0. Por defi nición de pivote, la componente m l en el vector 0 = c. r , Debido que a t m ± 0, se concluye que c l = 0. La componente m 2 del vector es c {a ] + c 2a 2 m para algún valor p > 1. C o m o c ] = 0 y a , m ¿ 0, se concluye que c2 = 0. Continuando de esta manera, se ve que c = 0 para j = 1, 2, ..., k por lo que los primeros k renglones de B son linealmen te independientes. C o m o todos los demás renglones en la forma escalonada por renglones de A son cero, se concluye que
—.0311
-0.5110
p( A D ) =
Si existe una x * 0 tal que A x = 0, en tonces A ( a x ) = a A x = 0 para todo a 6 12 de manera que v ( A ) 1 y p( A ) = n — v ( A ) < n
-148
2; v ( A ) = 3
-.5847
.3574
5
.1604
;P04) = 4; v ( A ) = 1
-.4730
—.4243 j
.3101
MATLAB 4.7 1.
a) A continuación se dan las bases para los espacios nulos y sus respectivas di mensiones.
Problema
-4
7:
1
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J
-3 0
o, v 1 Dimensión = 2 "-6a -4 P r o b l e m a 8:
1
iv °yj Dimensión = 1
V
= k.
Ahora suponga que p ( A ) = k . Sea B igual a la forma escalonada por renglones de A . Igual que antes, los primeros k renglo nes de B son linealmente independientes y todos los elementos abajo de los primeros k renglones son cero. El primer elemento diferente de cero en cada uno de los prime ros k renglones de B es un pivote, ya que si no se habría hecho cero en la reducción por renglones de A a su forma escalonada por renglones. Así, B tiene k pivotes.
—6
1
i)
=
o\
49.
=
p( A )
51
,
257
45. C o m o p ( A ) = 5, los cinco renglones de A son linealmente independientes. Entonces los cinco renglones de ( A , b) son lineal mente independientes y p ( A , b) = 5. 47. Por el problema 35, p ( A ) p( C ( A D ) ) = p( B ) .
' -46
00
manera que v e imagen A = H . Por lo tanto, imagen A C c H de manera que imagen A C = H y p ( A ) = p ( A C ) .
711
0 P r o b l e m a 10:
0 vOy
Dimensión = 0 r2\
P r o b l e m a 11:
vOy V V J Dimensión = 2
712
C a p ítu lo 4
—2^ P r o b l e m a 12: ,
1
0
0
1
v«y
Oj
Para la segunda matriz en el pro blema 2 de M A T L A B , sea R = rref(A). Entonces B = [[—R(:,4);
—3 0 9
0
1; 0 |[-R (:,5 );0 ;1 ]].
, 1
b) Sea
= rref(A) y B = l| 2 ;l ;0 ;0 ;0 | | - R Debe ob servar que todos los elementos en A*N están m á s cerca de cero, los valores ver daderos.
Dimensión = 3
P r o b l e m a 13:
, -1.5
5.
1 Dimensión = 1 —2^
—!
-3
-1
1 ?
P r o b l e m a vii):
0
0
-1
0/ , 1 Dimensión = 2 c)
Al encontrar los vectores para la base, el proceso involucra escribir la solu ción c o m o una combinación lineal de los vectores, y los coeficientes de la combinación lineal son las variables arbitrarias.
d) La dimensión es igual al número de va
R
(1?5);0; - R (2 ,5 ); - R (3 ,5 );l]|
a) Demuestre que A x = b) Utilice N = null(A).
c) Primero genere un vector aleatorio z de 2 X 1 (ya que la base contendrá dos vectores). Después haga w = Nz y de muestre que A ( x + w) = b. 7. a) Los renglones diferentes de cero de rref(A ') proporcionan una base para el espacio de los renglones de A ' , así, sus transpuestas dan una base para el espacio de las columnas de A . b) L a matriz deseada será la transpuesta de los renglones diferentes de cero de la forma escalonada reducida por renglo nes de A ' . Para verificar las combina ciones lineales, utilice la matriz descri ta c o m o la matriz de coeficientes y use A para los lados derechos. E n seguida se muestran las matrices cuyas colum nas forman una base para imagen A .
riables arbitrarias.
0
3. a) ii) Esta base para el espacio nulo tiene el m i s m o número de vectores que la base encontrada a partir de la forma escalonada reducida por ren glones.
Problema
7:
el o los sistemas cuya matriz de co eficientes es 5, donde las columnas de N son los lados derechos. Para la primera matriz en el problema 2 de M A T L A B , ' —2
-0
-3
-i
1
0
0
-1
, 0
1 1/
P r o b l e m a 11:
iii) Por ejemplo, rrefflB N]) resolverá
B =
b.
1
0
0
1
2
1
vi
“I, 1
-2 P r o b l e m a 12:
2 V -V '1 0
P r o b l e m a 13:
1/
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o'
0
1 0
0
0
1
vi
1
1,
Respuestas a los problemas impares
9.
a)
C o n su lte la sección 4.4.
tí)
Para i), la base consiste en las colum nas 1 y 3 de A . Para ii) la base consiste en todas las columnas de A . Para iii), la base consiste en las columnas 1, 2 y 4 de A . Asegúrese de usar las colum nas de A n o de la forma escalonada reducida por renglones de A . Para el problema 7, una base consiste en las columnas 1 y 2 de A . Para el pro blema 11, una base está formada por las columnas 1 y 2 de A . E n el proble m a 12, una base consiste en la primera columna de A . E n el problema 13, una base está formada por las columnas 1, 2 y 3 de A .
c)
11. Sea O la matriz cuyas columnas forman una base obtenida al usar orth y sea B la matriz cuyas columnas forman una base a partir del problema 7 de M A T L A B . Estas matrices tendrán el m i s m o número de columnas (es decir, cada base contie
713
ne el m i s m o número de vectores). Para verificar las combinaciones lineales, vea rrefflO B]) y rref([B O]). El rango es igual al número de pivotes. f ) A es invertible si y sólo si rango(/l) = n = tamaño de A . g) Para la matriz de 5 X 5, genere una matriz aleatoria de 5 X 5 y verifique que sea invertible. Si lo es, cambie tres columnas para que sean combinacio nes lineales de las otras dos. 15. Para que exista una solución, la matriz aumentada tendrá el m i s m o rango que A . S u g e r e n c i a : piense en la localización de los pivotes en la forma escalonada redu cida por renglones de la matriz aumenta da y en la forma escalonada reducida por renglones de A .
13. e )
17.
a) El rango de A B es igual a k. tí) al d) La conclusión final debe ser que rango ( A B ) < min(rango(A), rango(fi)).
P r o b l e m a s 4 . 8 , p a g in a 3 7 6
j
x + y
rn
í 1' 2
2
3.
2x-3 y ^ 2 a
+
-1A
V -2
2
—2
-1
V- 2
7.
9.
x
—b y
ad
—b e
r
\
/ \ X
í
c
-2
0
1
1 ;C-* =
V-1 / \ X
0
1
í
y — vz y
-1
cP
x + y —z
l 2
^
1
(—2 x — y ) I A
13.
+
ad
6x — 11 v + 10 z
-i
i -i
i i
\
'
2' +
2x + 17_y —7z 31
v 5y 3
\ 3y — 9z
31
-2
V —z
+
15.
a0 + a\x + a7x ~ = (a0 + a t + a 2) 1
V
v°y
J
t \1\
(
x
+ a {(x — 1) + o, (x2 — 1)
17. K +
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~ ai a 2( x +
i
x + y + z)
31
^lx +
J x — be U J [yj
—x + 2 y
2
í i i -r
v3y
—e x + a y
e I
i
—x + y — z
(~2x + y ) / 4
a
X —z
11. C =
-2
; C -1 =-
-
f
-3
—3 x + 2 y
1
dx
\
,-2y
A-1
\ í
X
v “3y
5. C =
(
+ « 2)(!) + («, -3a,)(x + 1) l)(x + 2) = a + a,x + a 2x 2
7 14
C a p ítu lo
4
19. c,
'
1 0
v-1
+ c.
+ c,2
0,
"o
—2
'2
0^
,3
1;
'2
-r
+ c.3
3 1. Sólo se necesitan tres elementos cuales
' o
r
,-1
0,
quiera y se tiene una base. 33. Lincalmente dependiente.
6, ,0 4j ,4 Entonces, c { =-10/7, c2 = 12/7, c3 = 18/7, c4 = 15/14. 1 0
1
0
0 1
1
0
-1
0
0
1
,0
0
0
í C~'
término x j es cero para cada polinomio. Entonces, el renglón / + I de la matriz A será un renglón de ceros. Así que A no es invertible, lo cual implica que los polino mios son linealmente dependientes.
-2
'\ C~' =
=
39. (x', y 1) = (1, 0) corresponde a (x, y ) =
-2
(eos 0, sen 0) (x', y ' ) = (0, 1) corresponde a (x, (-sen 0, eos 0)
-1
-7
4
4
41.
v 0,
43.
Entonces, 4x2 — x + 5 = 8(1) — 7(1 — x) + 4(1 - x)2. / -2a
X 2a
+ dL.
V - 5y '7> ,3; «11
' —2
+ a,. 22
W * =
11 -23 V -8
C =
-2
1
1
y- 2 / y p 3 -
a)
, 0
0
1
'
c_l
-2
=
4
= 13.
a
,
5/2,
3
1°
0
~~ 5
w = 1.5v, + .5v,
3. a ) Para encontrar las coordenadas de un
vector w respecto a la base {v p . . . , v4}, resuelva el sistema de ecuaciones para escribir w c o m o una combinación li neal de los vectores de la base; esto es, resuelva el sistema
r
-1
2
i)
[y. v2 v3 v4 1w].
-3
5,
/5 "
-17/5
-1/2, ,5;
ii) w = ,5v, + 3.5v,
V-45y
_ 1 ;C
- 2 - 3 ^ 3 /2 y
v- V 3 / 2
67
fi
1 0'
3
t
v 3;
' - 2 + 5^3/2"
2 5 . 2( 1 - x) + 3x + 3(x2- x — 1) = 3x2- 2x - 1.
'
’l 3 ! 2 J
4 5 . Esto se deriva del teorema 2.
1.
4a
13 yv-ly
1/2
=
3)/2N
' -1/2 /3/2^
.Entonces,
, 2y S,al7 = -23,
^ ,ú!21 f
'- 3 "
v
\-4 /y[3 +
y)
MATLAB 4.8
V 2y
= £Z12
1/2'
'J l/2
' 8]
v 0;
23.
37. />; u)(0) = 0 implica que el coeficiente del
1
-1 2 1. C =
3 5 . Linealmente independiente.
Entonces,
h)
C
3y
3x2 - 2x - 1 = 4(3 - 2x)/5 - 17(1 + x)l5 + 3(x + x 2)
C)
2 7 . Linealmente independiente. 29. Linealmente dependiente.
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=
-84
45
19
10
21
-11
-4
2
Í) (W)s = (-105
iii)
-5
21
1 -5 1 -5 0
1
22 26 -4)'. (w)B = C w = combi nación lineal de las columnas de C, donde los coeficientes en la combinación lineal son los ele mentos de w. Sugerencia'.
Respuestas a los problemas impares
'-7
-13
19^
-6
-11
18
5. c) D =
1
V d)
2
-165
25
-81
1
40
-4
21
6
37
-6
(-21 f)
D =
a)
1
-6
-1
,
7.
-2 y
9.
a)
-7
- 12
19 \
-6
-11
18
1
V
2
0
-3
-7
0
\ 30
68
—l4 y
c)
Utilice trigonometría básica. i) Tanto B c o m o C tendrán la forma cos(0)
-sen(0)'
^sen(0)
eos (0)y
para alguna 0. Se tiene que
17
.2588
-2
— .9659
Sea B la matriz cuyas columnas son los vectores de la base en el conjunto B y similarmente para C . Por ejemplo, la matriz de transición T de B a C será igual a C ' B (explique esto).
T =
2n
b) K = S T
1V.
W
-2
K =
(x) = solución a [v v, . I X1 (-6 2 -1)'. (x)c = solución a [w, w 2 w 3 1x] = (-3 - 4 0)'.
é) D =
'-1
715
S = ii)
.2588
/ .2588
-.9659
.9659
.2588
Las coorde nadas con orientación 2tt — son (3.0272 .2935)' y las coor denadas estándar son (-1.7678 2.4749)'. Por ejemplo, para encon trar las coordenadas estándar a partir de las coordenadas respecto a B , encuentre B x , donde x contie ne las coordenadas respecto a B.
-2
0 - 1
.9659
Las coordenadas con orientación
ii i )
5= 0
-1
-9
— son (1.8699 1.5695)' y las co
2
6
80
ordenadas estándar son (.2124 2.4321)'.
Problemas 4.9, pág ina 400
1.
'1/V2'
—b e )
-b(ad
- 1 / ^ 9
/ ( a 2 + b 2)
,K'| =
a d — be a 2 + b2
K a ( a d — b e ) 1 ( a 2 + b 2) ^ -b /J a 2 + b2
y«2
b/sj a 2
+
b2
3. /-2^1 vV2y
7. El conjunto de vectores \
(
1II
a
*< <
f
5. Sea v, =
c
\ .Como a d — be*
0,
forma una base para
n.
0
Í2/3^
1
LV V V °/ Por tanto, u,
\ h)
entonces, |v |i 0. Por tanto, a / y ] a 2 + b' b/ y¡ a 2 ac + b d
+
b-
f
v' =
c
'- 2 / ^ 0 ,’v'2 =
\
\l a 2 + b 2 [ b/ J a 2 + b 2
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0/
V
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1 yu2= v4/15J
-4
1
, u^ ¡
yd)
f a/y] a 1 + b 2
r 2/3'
3^5
5 /3 5 '
3^5/7 4y [ ~5 / 3 5 ^
-2/V5' 0
716
C a p ítu lo 4
9. { ( 2 / 7 2 9 ,3 /^ 2 9 ,4 / ^ 2 9 ) }
V
6 / V 70
0
5/ypTÓ 5
3
Vio 0
11.
O , v; =
V35
1
V 1/
6/V70
/-1/7'n
5/JÍO
3/14
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1
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0
3
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V35 V7 Ó
—b / y ¡ a 2 + b a/yj a 2 + b
13. u, =
- 3/ V7 0
- 3 / t/VO
0
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o
2/ V 5
V 1/14/
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- 2 / V 2 TÓ -b/^j a 2 + b be
V
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3/V2K)
a2 + b
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14/ V 21Ó
V
0 IA/ 2TÓ
f - c a 2 1 ( a 2 + b 2)
lamos v4' = v4 - (v4 • u,) u, - (v4 • u2) u2 /., rr\ 1A/5 V o 0 0 (v4 • u,) U3 = 0 0 V5 1 0
—a b e / a 2 + b 2
b~) ( a~
+
b~
- b c / y ¡ ( a 2 + b 2) ( a 2
+
b 2 + c 2)
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( a 2 + b 2 ) / J ( a 2 + b 2 ) ( a 2 + b 2 + c 2)
V
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1
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0 15.
Los vectores 0
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v2 ; r 3; V
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1
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A
Entonces u, =
H.
0 0
,-3>
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1
-4/V465 15/V~465 4/V465y
, 4/15,
17.
14/V21Ó I/V 2 ÍO
-4/15 ,y entonces u4 =
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4/5
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1
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0 una base para
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6/V70 12
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Para encontrar u „ calcu-
{ ( - 7 / V 6 6 ,- l / V 6 6 > 4 / V 6 6 ) }
, - 3/^ ,
i 3
2.
V3
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2 y Q Q = l=Q Q 3 i 37
Respuestas a los problemas impares
21.
=
PQ
(-P0' =
3 / 2 ''I- 1 - / 8
1-/8
18
Q
C o m o 1 = det / = det se tiene det
v 73
I
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3 l
Q'
c) v =
+
3 2
Q )2
= ±1
Q
3, he H
25. Si y. = 0, entonces Ov, + 0v2 + . . . + 0v._, + v. + 0v.+1 + ... + 0vn = 0, lo que impli ca que los vectores v. son linealmente de pendientes. Así, v / 0 para i = 1,2 ro 2 27. «) , 1
0
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í/-J a2 +
r 4/10
0
b~)/-\j
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b)
4/11
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i
0 ’ 0 0
resultado
OJ
b~
—
0
-r
A) Después de resolver el sistema u • x = 0, u2 • x = 0, hallamos que { ( a , b , c ) } es una base para H x y por lo tanto,
de
H.
Así que
,
para una base
1
V-l/72^ '-3/7221 1/72 -3/733 0
0
c 2,
l
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v
es una base ortonormal para
es una base ortonormal.
' 4/1P c) v = 0 + v.
4/11 c)
3 ,12/11
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r
4/11
Al resolver el sistema u •x = 0 da c o m o
(a~ + b~ )(c/~ + ¿r + c2)
es una base ortonormal para //. Así que proy^v = 0 + 0 = 0.
{(a/7 o +
' 4/1
v12/11)
+"¿r + c2)
- b c ¡ 4 ( a 2 + b 2) ( a 2 + b 2 + c 2)
es una base ortonor
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V
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1//I1
mal. D e manera que proy
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1
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i—;---- r\ —b / y j a 2 + b 2
b~) ( a~
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+
(
0
forma una base para Tí, y por ende
29. «) P o demos asumir que a í- 0. C o n base
—a c / *J (a~
v 3y /?e//x
0 V-VJ LVU/
1
en el problema 13,
3 4
33. a) El conjunto de vectores
Í -l 2 2 72 + , c) v = 1 3 1 J; v 2y , 72 y heH peH1
b)
' l" 3 4
^
V
1
(
4~3
l
_lN
Q'Q
73 l
, A)
/
=
18
31. a)
Pero det ( Q ' Q ) = det det Q = (det Q ) 2.
Q'Q.
det
= det
0
0
I = Q ]Q = Q
V 1 —/ 8 1+ / 8
i
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- I - J é
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(P0(P0' = 23.
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717
3 /2 2 "
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3/2 0
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3/22 0 -1/11,
2//2 2 J H.
By manchester91 718
C a p ítu lo 4
'
4/1
4/11
18/11
+
3 J2
MATLAB 4.9
—15/11^
r
!\\)
1. El programa para el inciso b ) es:
0
z l = w l/n o rm (w l), t2 = w2 — (w 2 '* z l)* z l;
-1/11,
,
z2 = t2/norm (2),
35. Use la inducción en n . Si n = 1, entonces |u,|2 = 1. Suponga que |u, + u , + . . . + u ,|2 = n — 1. Entonces |u, + u 2+ . . . + un 1 I2 = (u. v 1 + u 2, + . . . + un') •
(u. + 1u , +2 . . .
+ u n') = u n • v(u,1 + 2u , + . . . . . . + un - .) •(u. + u, + \/ v 1 2
+ n/u ) + v(u1. + . .. + u ny ) =
u 2, +
t3 = w3 - (w 3 '* z l)* z l —
Verifique la ortogonalidad encontrando z, • z2, z, • z3 y z2 • z3. Verifique las c o m binaciones lineales encontrando la forma escalonada reducida por renglones de la matriz f z, w, w, W,
2 u n • (u. v 1 + u 2, + . . . + un—\/.) + u n •un + (u. v 1 + u2 , + . . . + un—V .) ■(u. v 1+ u, 2+ . . . + urt-1.)7
= 0 + 1 + « — \ = n . Por inducción, esto demuestra el resultado.
3.
a)
una proyección sobre un vector baja una perpendicular a la recta determi
IV"/ vu /j
nada por el vector de manera que, en la gráfica de la combinación lineal, el paralelogramo dibujado será un rec tángulo. d) p l = (1.6 3.2)'y p 2 = (2.4 —1.2)'. /) L a proyección sobre v2 es la proyección sobre H \
ortonormal para R 2. Entonces, a 2 + b 2 = c 2 + d 2 = 1 y a c + b d = 0. Podemos asumir que a ^ 0. Así que c = — b d / a . Al sustituir esto en c 2 + d 2 = 1 y resolver para d , se obtiene d = ± a . Por lo tanto, /
c
\
al c ) p, = (1 2)'ypn = (—4 2)'. Recuerde que
es una base
37. Suponga que
'- b '
yd j
yd j
39. |u + v|2 = |u|2 + 2(u • v) + |v|2 < |u|2 + 2|u||v| + |v|2 = (|u| + |v|)2. Al obtener las raíces
(w 3'*z2)*z2;
z3 = t3/norm (t3)
5.
a)
{ z,,z,}
-.2673
.8729
.5345
-.2182
.8018
.4364
cuadradas, se tiene |u + v| < |u| + |v[, b)
41. E n virtud del teorema 4, tenemos
Porque la dimensión de perpendicular a H .
H 1
es 1 y n es
V = (v ■11,111, + (v • U2)U , + . . . + (v • u )u
Por tanto, |v|2 = v ■v = [(v • u ,)u , +
. . .
( v • u )u ] • [(v • u ,)u , + . . . + (v • u )u ]
+
u ,) + (v • u 2) 2( u 2 • u 2) + . . . +
(V • u„)2(u
u „).
ya que
u •u
u
= 0, i * .
Comp a r e p = (z l'* w )* z l + (z2'*w )*z2
=
(V • u,)2(u,
v •u 1 I22 + |v • u_p + . .
c)
con q = w — (n'*w )*n.
j + (v • u ) 2,
ya que d)
u = 1.
43. Sea v e //,. E n virtud del teorema 7, exis
te h e / / , y p e H - tales que v = h + p. C o m o H = H ^ , entonces para toda k e JJ~ tenemos v • k = 0. E n particular, v • p = 0 = h - p + p - p = p - p y por lo tanto p = 0. Así que v e //,, lo cual demuestra que
H ]
=
H r
45. C o m o u l y , entonces u • v = 0. Por lo
tanto, |u + 2(u ■v)
v |2
= (u +
v)
• (u +
v)
= |up +
+ M 2.
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Respuestas a los problemas impares
7.
Primero calcule q = ul'*w*ul + u2'*w*u2 + u3'*w*u3 + u4'*w*u4 y compare con p = B*B'*w. b ) Seleccione x, un vector de 4 X 1. O b servará que |w - p| es m á s pequeño que |w - h| ya que p es el vector en H que está m á s cerca de w.
a)
c) p =
BB
'w =
D D ’yí.
11. S u g e r e n c i a :demuestre
que ( A B ) ’( A B ) = 1 usando las propiedades de A , B y la trans puesta.
13.
a) det ( Q ) = ±1. b ) S u g e r e n c i a : encuentre el determinante de amb o s lados de Q Q = 1. c) |det (0| = 1.
15. b )
La base canónica es ortonormal y la rotación preserva la longitud y los án gulos.
c)
Los productos de matrices ortogonales son ortogonales.
consulte el inciso a) . Pien se que w • u es u' * w y observe que ese renglón i de B ' es u '. Recuerde que una combinación lineal de vectores se puede interpretar c o m o una multipli cación por la matriz cuyas columnas son los vectores.
d) Sugerencia,
9.
<0 [ v! v2
d)
es una matriz ortogonal.
' .9186 -.2500 ,3062 a
interprete v • u. c o m o u' * v y utilice el hecho de que el renglón i de B 1 es u'. b ) Utilice los hechos de que u. y w tienen normas iguales a 1.
=
-.1768
.4330 .8839
V -.3536 -.8660 .3536 / L a matriz B siguiente contiene los nue ve ángulos. L a primera columna de B contiene los ángulos entre el eje * es tándar y los ejes x , y y z del satélite, respectivamente. D e manera similar, la segunda columna contiene los ángulos entre el eje estándar y y las coordena das del satélite, y la tercera columna contiene los ángulos entre el eje están dar z y las coordenadas del satélite:
C a d a ángulo es de 45°. Asegúrese de encontrar w introduciendo el vector dado y después dividiendo por su norma.
ii)
v3 ]no
e) A = Y R P
á) Sugerencia:
c) i)
719
El ángulo con v es de 135° y el án gulo con v2 es de 45°.
/ 23.28° 100.18° 110.70"A
Todos los ángulos son los mismos e iguales a 54.74°.
B
=
104.48° 72.17°
64.34° 150.00° 27.88°
69.30°
Problemas 4.10. p á g i n a 4 1 9 1.
y
408 57 „„„ = --------- * = 3.24 —0.45* 126 126
3. y = — - — * = 1.93-0.12* 84 84 5. y =
13 536
10 800
1 584
5 184 5 184 5 184 = 2.61 +2.08* + 0.31*2 Ésta es la ecuación de la parábola que
pasa por los tres puntos.
« 108.71 + 4.906* - 0.00973*2
11. y 13.
Escogemos la función a realizar FSAD KYZ HEK 'K 1 ÍH0NE CASDIRJ i.S in s t í-u a r .. 2 .F r e q u ír ic i « s .. t kH M M ? * H.SuHH>jry s ta t* .. i1 5 . H y p o th . e .C o n f . i n t « r v 4 U .
a
i ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ H iü iM B jia i
pantalla de interfase con la calculadora __Srir oftTSa EDftT i 1
7.
9.
El argumento aquí es casi paralelo a los ar gumentos dados para las aproximaciones lineales y cuadráticas. Ésta es una generalización del problema 7.
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. U n a vez en la
Y -C o V :2
L in e a r F i t
introducimos
Enter statistical -Jata
los datos a los que se hará el ajuste,
X-CoU
1
Y-CCU2
Hodcu L in e a r F i t
Ya que se tie-
los parámetros
1
Enter 5 t q t i5t¿cqt_dqtq
217.4 2 1 2 7 7 0 7 1 -3 .3 9 1 3 5 8 8 1 7 3 4 1 . 35739160172E -2J
■ 033B3ÍH1MÍM
nen los datos se presiona “O K ”y se o b
-217.42127707 - 3.39135881734* + 0.0135739160172x2
y <
tiene el mejor modelo lineal junto con in formación relevante sobre la calidad del
ajuste 1 1 6 .7 1 7 6 6 1 1 4 1 + -.879> C o rre 1a t i o n : ( - . 8793?> C oi'ar i a n e e =(—1126.4)
19. Construimos la matriz de Vandermonde con los datos de las abscisas RAD XVZ HEX {HOME CHSDIRI
El mejor modelo lineal es el siguiente
l:
u
'X1
1. 5 1 1 . 1. 8 4 6 . 1. 5 9 9 . 1. 8 0 6 . 1. 1 5 0 8 . 1. 2 4 0 9 . a
261121. 715716. 358801. 649636. 2274064. 5803281. J;1.11.WilTillj
escribimos la
matriz de datos de las ordenadas RBD m HEX IH0HE CrtíDIRJ
'X'
l:
*
603. 429. 1722. 2415. 3295. 5002.1
15. Repitiendo el procedimiento del ejercicio 13 con los datos del ejercicio 15 se obtiene
. Encontramos
■ K H S 1323102111C£ R«t> XV! HEK R ~ ‘ X' ÍHOHE CftSDim
€ :
, el mejor modelos parámetros
-1 1 1 .9 3 0 5 7 6 0 7 1 + 2 . 13* C o r r e l a t i o n : .912181* C o u a r ia n c e i 1063909. >
St m 3j
r -5 3 .8 8 5 1 8 0 3 8 6 7 1 2 .0179 8 2 0 2 7 6 2 4 .05643704608E -51 BQHHBHBMIE23301313BS333
i:
< -53.8851803867 + 2.01798202762* + 0.0000405643704608x2
y
MATLAB 4.10 17. Construimos la matriz de Vandermonde
1.
u = (2.9535 —1.1813)'; por lo tanto, la recta es y = 2.9535 - 1.1813x.
b)
con los datos de las abscisas RAD XY2 HEX ‘ K1 ÍH0HE CASDIR3£• i: f l . 57.
c) Utilice el c o m a n d o norm de M A T L A B . |y - A u \ = 4.066 y |y - /lw| = 2.9712. La suma de los cuadrados de las dife rencias en las coordenadas y entre la recta de mínimos cuadrados y los pu n tos es men o r que si se usa cualquier otra recta.
!
3249. 1. 43. 1849. 1. 71. 5041. 1. 83. 6889. 1. 108. 11664. 1. 141. 19881.
Escribimos la
matriz de datos de las ordenadas RUO M Z HEX {HOME CrtSDIRJ
'X'
III----------
84. 91. 36. 24. 15.
8.
l EEHBZiaiBSHEIBlBil
d)
y encontramos
Recuerde que proy/;y -.4722.
BB‘y.
e) y =
3.
« -30.6364, va » 60.9470 y la altura so bre el suelo es ~ 10.8977.
g
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5. a ) El ajuste de recta es y = —.1942 + 1.1921x con la n o r m a del error de
mínimos cuadrados igual a .4419. El ajuste cuadrático es y = —.0423 — ,7078a -5.7751 X2, con la nor m a del error de mínimos cuadrados igual a .1171. El ajuste cuadrático es un poco mejor: la n o r m a es m á s pequeña y los puntos * parecen m á s cercanos al ajus te cuadrático. b) El ajuste de recta es y
=
721
7. El ajuste de recta es y = 40.8537 + ,0066a y el ajuste cuadrático es y = -7 8 + ,32a —.0002a 2. El ajuste cuadrático parece mejor, y con esto se puede concluir que el producto será m á s fuerte si la temperatu ra es de 8000. 9. L a recta de mínimos cuadrados es >> = -0.34184 a + 0.16454 Con
35.9357
a
la fracción molecular de C a y y
el
coeficiente de distribución Fe-Mg.
-83.4269a, con la nor m a del error de
mínimos cuadrados igual a 25.3326. El ajuste cuadrático es y = 41.5798 51.2577a 59.5481a2 con la nor m a del error de mínimos cuadrados igual a 15.2469. E n apariencia el ajuste cuadrá tico es mejor: la norma es más pequeña y los puntos * se ven m u c h o más cerca nos al ajuste. Sin embargo, observe que un punto se puede considerar disperso.
Problemas 4.11. p á g in a 4 3 9 1.
i ) ( A , A ) = a 2u
+
a\2
+ ... +
ctm
> 0.
i i ) ( A ,A )
= 0 implica que áf. = 0 para i = 1,2,..., n de manera que A = 0. Si A = 0, entonces ( A , A ) = 0.
+ C ) = a n ( b u + cu) + . . . + a nnx( b nn + c nn') = a .1.1b1.1. + a .1,1c1. 1. + . . . + a nn b nn + a nn c nn = ( a . . b ,, + ... + a nn b nn7) v 11 11 + ( a u c u + . . . + a mc j = ( A , B ) +
iii) ( A , B
1
5.
7- | 7 2 # W
i (3j‘1 - 1)}
9. Primero observe que si A ( b entonces
,
( ^ nij = á— xU
(A, Q . iv)
1
i
i
V 2 ,/ 2 / l ^ 2 ,V 2
= (a.),
y
B1
=
a ik. a jk.,
k=\
Similarmente
(A
+
B, Q
= (A, Q
+
de manera que
(B, Q .
v)
= (5, A ) = (B , A ) , ya que to dos los elementos son reales y a.b.. =
tr(^') = X Í > A '=i y=i
(A, B )
i)
(A, A )
= tr( A A ' )
b. a...
>o
a nny) b nn vi) (aA, B) = ( a a n ) b u + . . + (a v = a ( A , B). = ala, , b,11. + . . . + a nn b nn L II vi i) ( A ,
a (B,
aB) A) =
=
a
(aB ,
A)
(A, B) =
= (ai?, a ( A, B)
A)
ii)
0 implica que a 2.. = 0 para todo i y j con lo que A = 0. Inversa mente, si A - 0, entonces A 1 = 0 y A A 1 = 0 por lo que t v ( A A ' ) = 0.
iii)
C') = tr[ A ( B + C)<] + tr[ A ( B + C')] = tr( A B ' + A C ) = tr( A B !) + tr( A C 1) = ( A , B ) + ( A , Q .
=
Sea E l la matriz de n X n con un 1 en la posición i, i y 0 en otra parte. Es sencillo ver que { E v E J es una base ortonormal para D n.
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(A, A ) =
(A, B +
722
C a p ítu lo 4
D e manera similar, ( A , O + (B , C).
i v)
v)
= X X
(A, B)
+
(A
B,
O
= tr(ZH') + (B ,¿).
i= l 7=1
ví)
a (A, vii) ( A ,
1"
"0
= a (B, A )
0
13.
y[3\
\\ 17. 0:
a B ) = (
' 1 0^
15.
atr { A B ? ) =
=
B).
0
11.
= tr(aA B ' )
(aA , B)
0 de manera que ( p , p ) = 0 aun cuando p ^ 0. D e hecho, para cualquier polino mio q, se tiene que (p , q ) = 0.
=
9 0; U 0j *
v0
0; 5 ,0
a)
i ) ( p, p ) = p ( a ) 2
+
p(b)2
= a(A,
fo
0^
0 +
B) .
v vi u I
Iv ly
( u ,u )
(u , u )
( v ,u )
lu H v l
lu llv l
\u\
L (v,v)
J p(c)2 >
0.
(u, v) + (u, v)
u
= 0 implica que p ( a ) = p ( b ) = p ( c ) = 0. Pero una cuadrática puede tener a lo m á s dos raíces. Entonces p ( x ) = 0 para toda x . In versamente, si p = 0, entonces p ( a ) = p ( b ) = p ( c ) = 0, de manera que
ii ) ( p , p )
iii)
(p , q
Ahora si 2 = a + bi , entonces z + z = ( a + b i ) + {a - bi ) = 2 a = 2 Re z(y z - z = 2 b i = 2 i l m z ) . Así, (u, v) + (u, v) = 2 Re (u, v), y
o.
(p,p) =
+ r) = p ( a ) ( q ( a )
+ +
+
p(b)(q(b)
2Re(u,v) Re(u,v) se tiene 2 - — - “~ 0 sea, - - r - 1-
r( a) )
+
IUII v I
r( b) )
P ( c ) ( q { c ) + r(c))
p(c)(q(c)\ [p(a)r(á) + p{b)r(b)
+ p(c)r(c)\ = ( p, q ) + ( p , r). i v)
D e manera similar, ( p + (P ,
»’ ) ( p,
+
r)
I U II V I
Sea X un número real. Entonces 0 < ((Xu + (u, v)v), (Xu + (u, v)v)) = X2|u|2 + |(u, v)|2|vp + A,(üTv)(u, v) + X(u, v)(v, u) = (ya que X es real) A.2|u|2 + 2X|(u, v)|2 + |(u, v)|2|vp. La última línea es una ecuación cuadrática en X. Si se tiene a X 2 + b X + c > 0, entonces la ecuación a X 1 + b X + c = 0 puede tener a lo m á s una raíz real y, por lo tanto, b 2 4 a c < 0. Así, 4(|(u, v)|2)2 - 4|u|2|(u, v)p|vp < 0 o |(u, vjp < |up|vp y |(u, v)| < |u| |v|.
= [p ( a ) q ( a ) + p ( b ) q { b )
+ +
V
q , r) =
( q , r).
q) = p(a)q(a ) + p{b)q(b) + p(c)(q(c) = q(a)p(a)
+
q(b)p(b)
19.
+ q(c)p(c)
1 = gen {(-15x2 + 16x - 3), (20x3 - 30x2 + 12x - 1)} H
= iq,p)vi)
(ap ,
q ) = [a.p(a)}q(a)
21. 1 +
+ [ap ( b ) \ q ( b ) + [ap ( c ) \ q ( c ) = a \p(a)q(a)
2x +
3x2 - x 3 =
30x + 5 2 x + 19 20
(—20x3 + 30x2 - 12.v + 1) 20
+ p(b)q(b) + p(c)q(c)] = vii) ( p , a q )
a (p, b)
a ( p, =
23.
q) .
(ap ,
q) =
a (q , p )
=
q)
y[3(2x - 1)
+ ,[3
71
No, ya que ii) se viola. Por ejemplo, sea = 1, b = — 1 y p ( x ) = ( x — l)(x + 1) = x 2 - 1 ^ 0 . Entonces p { a ) = p ( b ) =
a
2 -
+ X
n
n 2j
2
24
96
nn
_2 7T“
_3 K
y[5 y f 5(6x2
—6 x
+
1)
~0.8346x2 —0.209 lx + 1.0194
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(
25.
1
v)
72
A* =
(g,
1_1 1 + 1 2
V
2
Verifique que
2
vi) ( a f , g )
{ f , f ) = Jj al’f f =
\J abf í2 + f 22 ^ o
y f;
,g + h )= \
=
iv)
ífg
J a
= J *a
g f
f g =
a £ fg
Ja
vii) (/, a^) = f' "f ( a g ) = f4f a g Ja
= « J[
f g
Ja
= «(/,g)
29. 7 ñ
1. Consulte el problema 1 de M A T L A B 4.9. Necesitará calcular un t4 y un z4.
f ( g + h)
+ f h = (f,g ) + (f,h )
....
3. El inciso a ) funciona porque (w, u.) es igual a u'*w por definición. Consulte el problema 7 de M A T L A B 4.9.
.
l. Sea L un conjunto linealmente inde pendiente en V. Sea S la colección de
3.
= £
MATLAB 4.11
Similar al inciso iii)
t e m a s 4.12, páqina 4 4 9
g f
> 0
h) Se deduce del inciso i) (f
/) = |
y
g f
A * A = I.
ya q u e / 2 > 0
i ii)
Ja
2y
27. Se verifican las siete condiciones en la pá gina 432. í)
í / g = fJa
(f,g )=
72
723
en una cadena. Los primeros
k
conjun
tos forman una cadena y, por la hipótesis
todos los subconjuntos linealmente inde pendientes de V, parcialmente ordenados por inclusión tales que cada conjunto en S contiene a L . La demostración sale igual que la del teorema 2.
otros
k -
junto
A,
£
E n cualquier caso se encontró un
El resultado es cierto para
conjuntos y el resultado es cierto para
n
= 2. Sup o n
ga que es cierto para n = k. Considere los k + l conjuntos A r A 2, , A k, A k+I
1. Sí; dimensión 2; base {(1, 0, 1), (0, 1, 2)} 3. No, ya que si ( x ,
y , z)
satisface
x + y +
< 0, entonces -(x, y , z ) satisface .t + y + z > 0 y este punto no pertenece a la primera desigualdad. z
5. No, no lo es; (1, -4, 3) satisface la ecua ción, pero (—1,4, —3) no.
de inducción, uno de ellos contiene a los
A .
1 conjuntos. Llame a este con Entonces
A.
£
A k+¡ o
conjunto que contiene a los otros n = k +
sub
1. Esto completa la demostra
'l
0 \0 'o 0
0
"o
0
°1 0 5
1 0/
0x
'O
0a
1 0
0
1
V,0
0
o
o
0
cP
0
0
0
1/
0 >
; dimensión = 5.
13. Sí; dimensional infinito.
9. Sí; la base es {1, x, x 2, x 3, x4, x5}; dimen sión = 6
17. Linealmente dependiente.
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k
A k+¡
ción por inducción.
7. Sí; dimensión [ n ( n + l)]/2; base {(¿s :j > i ) } , donde E.. es la matriz con un 1 en la posición i , j y 0 en otra parte.
11. Sí; la base es:
bien
15. Linealmente dependiente.
19. El conjunto de vectores no es linealmente independiente.
C a p ítu lo
4 21. Linealmente dependiente.
'-r
= gen-
23. Linealmente independiente.
SP(^ ) = 2
v-1/
v3y
1 3 -5 25.
a)
5 = —180 => linealmente in dependiente.
= 5 0 2 4
6
"1
-1 1
0
41.
1
3 -1 b)
-4
-2
=
,2
linealmente de pendiente.
6 -2
3"
2 -1
0
—>
-2
3
-3
5 6,
1 0 0
3
29. Dimensión 3; base {(1, 0, 3, 0), (0, 1, -1,0), (0, 0,1,1)}
v(/l)
31. Dimensión 4; base {D r D v Dy D 4}, d o n de D l es la matriz con un número en la posición i, i y 0 cn otra parte. 33.
'1
0
0a
'0
1 0^
"0
0
,0
0
0)
,0
0
0,
,0
0
0,
"0
0
0'
"0
0
0"
'o 0
0N
9 J 0 0, ,0 1 0, la dimensión es 6. '1
35.
-1
0 4
2 V
0
3'
-2
2
->
/
10
=
-1
3'
0
2
-2
0 -2 V
2
0
->
/
V
1
0 0
,0
1 -1
0,
=gen
2, rango A = gen
43.
- 3'
9
3
-2
2
2
18/5
-1
0
/
"l
45. x =
0
47.
í
1
0'
1 'l
r
2
0,
,0
0'
1 ^0
K
2 ,0
l / f i
37. Imagen /I = C 3, N Á = {0}; p(/() = 3,
49.
y
1
Í " 3ÍI ” >/l3 , 3 , IV » , 2J
= 2.
v ( A ) = 0.
2n
2/5
2
2'
V- 2 P(A)
1 ’- 2
r-17/5"
4 =
1 "0 + 2 J
2
i"'' 1
0
2 1 2 ; C 1= 5 -2 0 3
C =
gen
= 1,rango A = gen
1
^ 3 - 3
1 0^
'- 1 v(A)
Í-3V
iv «y
,0 2, N , =
0
p ( A ) = 2.
K
'l 0
1 -1
1
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'l
0 0
~i\ ;N.
3" 0
13
'l
0
2
1 -1
0 00 0
>; dimensión = 1
base:
y = 2x13
-1
1 - 1 0
0 00 0 27.
rl
Vy[3
1 /-/3
www.FreeLibros.com
3 "1
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Respuestas a los problemas impares
3^5
' 1/^ 1 51. a) 2 _L 2 i
0
0
b)
v
2 1 2 i 2
T
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c)
'
0
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--- 2x + x 3
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2
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1}’
5^7
0
- 1/ V 2 I
,
J l ’ í l (X
725
57.
y = - x
-1
«o
245 3 161 2 29 p(x) = --- x —--- x ----- X 144 72 144
2
.1
2 i
V
27
53 + -----
72
C a p itu lo 5 =...b-t-emas 5. 1, página 464 1. Lineal.
3. Lineal.
7. N o lineal, ya que / / \\ r \ cu X a
= T
y z
// V \ mientras que í
aT
x
=
ay
/ a
y
27. Lineal. a
\
29. N o lineal ya que
X
X
y
y
= a 2T
z
f
( 2 2A
a
—
x
X
\
31. N o lineal a menos que a = 1 ya que r(q/) = cc/(x) + l*a( / ( x ) + l) = ccT(f(x))
T
v
,
av
13. Lineal
z
V
^
25. Lineal.
15. Lineal
33. Lineal. 35. Lineal.
17. N o lineal, ya que f ( \ r \\ a
23. N o lineal a menos que a = 1 ya que T(a D ) = I + aD i- a ( I - D) = aT (D ).
T(ap(x)) = ap(x) + [ap(x)f ¥=aT(p(x))
9. N o lineal ya que / f \ i \ OCX X T a = T V 11. Lineal
f 1 1
21. Lineal.
¿Vj
az / \
\
5. Lineal.
/ a r
X
\
y z
37. Lineal. 39. L a transformación T hace una rotación de vectores en el plano x y de 180°.
y
si a # 1 o 0 41. a) Ae = 19. N o lineal, ya que T(A + B) = (A + B)'(A + B) = (A ‘ + B')(A + B) = A'A + A ‘B + B'A + B'B Pero T(A) + T(B) = A'A + B'B * T(A + B) a men o s que A 'B + B'A = 0.
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'-3' b)
2
f
4+3^3 ^ 2
A0
v 4,
y
V 2
3 + 4^3
V
2
43. L a transformación T rota a los vectores en sentido contrario a las manecillas del reloj un ángulo 0 en torno al eje y en un plano paralelo al plano xz.
726
C a p ítu lo
5
«12
%
45.
T(A) = T
a2i a22 ,a3,
«32
a\\ a,, \“2\
ü 23
fl33,
T + { - T ) = 0. El resto de los axiomas se satisface a partir de las reglas de la suma y la multiplicación por escalar de funcio nes.
\
f
an
an 22 y
4 7 . r(o ) = r ( x - x ) = r ( x ) - r ( x ) = o , si v y
son diferentes los dos ceros pueden ser diferentes. W
49.
T ( a v ) = ( u 0 , av) = a(w0, v ar(v) a men o s que a e L
51. Sea
)y
Tt e L ( V , W
) ^ a ( u 0,
T2 e L ( V , W ) .
v) =
MATLAB 5.1 1. L a figura es un perro sin cola. Los puntos son asteriscos (*) rojos y se tiene —20 ^ x , y < 20. 3.
Como
(7¡ + r2)(x + y) = r,(x + y) + r2(x + y) = r1(x) + j’ 1(y) + r2(x) + r2(y)
a)
Las dos escalas, de x y y del perro es tán duplicadas. Por ejemplo, el ancho de una pata se duplica y la altura se duplica.
= (?; + 7’2Xx)+(7¡ + r 2Xy), y además (7^ + T2 ) ( a x ) = T ^ a x ) + 71,(ax) = a(7^(x) + Tt (y)) = a(7] + T,Xx), se tiene cerradura en la adición. C o m o (ar) (x + y) = a T { x + y) = a ( T x + T y ) = a T x + a T y = (a T ) x + ( a T ) y y ( a T ) ( f i x ) = ap7’ (x) = fkxr(x) = [3(ar)x entonces se tiene ce rradura con el producto escalar. Observe que la transformación neutra es la trans formación cero, y para cada elemento
entonces ( - r ) e L ( K ,
T e L(V, W),
y
W)
b) La primera matriz duplica la escala de x y deja la escala de y igual. Entonces, por ejemplo, el ancho de una pata se duplica pero la altura es la misma. La segunda matriz duplica la escala de y y deja la de x c o m o está. Así, por ejem plo, el ancho de la pata es la misma pero la altura es el doble. c) La matriz multiplica la escala de r y la escala de y por s.
x
por
P r o b le m a s , 5 .2 . página 477
1. Núcleo = {(0, y ) ; y e 12}, es decir, el eje y ; imagen = { ( x , 0): x e C}, es decir, el eje x; p(7) = v ( T ) = 1.
13. Nu(r) = {(0,0)} , v(J) = 0, p(f) = 2. 15. Para todo v e
3. Núcleo = {x| x = 0}, v(T) = 0, (x, y ) e t 2 2\ y = - - x \ ,
\m T =
para algún
p(7T) = l.
7V =
V ,’
v=
( a t , a 2,
T (' a' ,1v1,
I m T =I22.
a 1. \ . 1 + 2a,v,2
+ — I-a n v n
..., a n ). Entonces
+ a,v, + ••• + 2 2
an
vn ' )
= a .1T \ ,1 +2 a . T v 2. + •■• + an T vn
5. Nu(r) = {(x, y , v(T)
yy =
-w )
,
=
a 1y 1.
+ a.v, + ••• + 2 2
an v n
= 2 , I m T = E 2, p(r) = 2. Por lo tanto
7. Nu(T) = {0}, Im T
z , w ) Ix = - z
= {a
+
v(T) =
ax
+
T
es el operador identidad.
0,
a x 2 + a x 3\ a
e 12},
P
17. Nu(7) es un subespacio de I23 que con tiene al origen. Por lo tanto del ejemplo 4.6.9, I m T o es a ) {0}, o b ) una recta que pasa por el origen, o c ) un plano que pasa por el origen, o d ) I23. 1 19. Tx = A x donde A :
11. N u ( r ) = v(T) =
+a,í, a 0 , a, eC}, = {/ €C[0,1]}; p(f) = oo.
{ f( t) \f(t) = a0
2, Im T
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c a
, c, d e!2.
b —d a
)
Respuestas a los problemas impares
1 0 0
1 0
-2
1 0
21. T =
Por lo que
0
U
es un subespacio de L (
=
T
h)
Im T 25.
= {/ e C [0,1]: x f ' ( x )
a)
=
dimU =
-
n(n
base de
0, Vx e [0,1]}
Te
constante e[0,1]
f(x)
= { x f (x): f ( x ) e
k).
{u,, . . . , uA}, a una
H,
{ u ,, . . . , u j , por lo tanto
V,
o
U
D e hecho extendien
T ( a t)
= ■ ■ ■=
particular r(iii+ 1),
C[0,1]}.
1 \ u k)
= 0. E n
, / ( u j son« -
Suponga que Tr T2 e U . Entonces pa ra cada he//, (Tt + r,)h = 7^h + T 2h =
w- vu( = ; - 0 , l ^ i , k < i < n , 1 < y < h, entonces T son una base de U.
P r ó b l e n l a s 5.3. páq ina 495 1 - 1 2
' 1 -2" -1
;N u ( T ) = {0}; imagen
T
= E2
b
9.
0, p(7) = 2
v(T) =
0
1 4
1
0
3 ; imagen
3 6
T
=
6
' n f-ix 3.
v
; Nu(7’ )=
o
) = { x e C | x = 0}, -1 , Nu(7’
At =
V / v °y
b
/ -ó'j r-6^ v(T)
= 0, Im r = gen
-3
-4
gen
,P(T) = 1
1 ’ 0 .V
5.
a
b .
At = \ c
Si
a = b = c = d = 0, T
d J
Nu(F) = gen-
H-
7.
3
fa
b
0
0A
0
0
c
d
AT =
b
0
'
0
a
1
Nu(7) = gen
•>
0
f - b '
Im T = gen ■
o, = 2, Im
v(T)
1 -1
v 1/
p ( T ) = 2 , v ( T ) = 2.
es la
transformación cero de m o d o que N u(r) = E 2, v ( T ) = 2, \ m T = {0}, p ( D = 0. Si a d — c b = 0 y suponga que al menos uno de los coeficientes a, b, c, d es diferente de cero. Sin pérdida de generalidad, sea a * 0. Entonces p(r) = 1, v(7) = 1,
T
d c
{
1
= K 2, p(7) = 2.
/,\
2
1 4 ;imagen
5 - 1 8 V
T
/
= gen
13.
Nu(7) = gen
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21 7
6 7
31 1 J
T =
\ ? ( T ) = 2,
v(n=i
7
V
Nu
v 2/
11
A.
v5y 3a
k
vectores arbitrarios en el espacio V de dimensión n. Por lo que si T (u .) = u .;
0 + 0 = 0, y (a7!)h = a(7!h) = a-0 = 0.
1.
V,
V).
do una base de 23. N u
727
,p(T) = 2,v(7) = 0,
{0}, l m r = E 2.
'l 15. At =
14 5
11 10
1 v5
2 5y
,p ( 7 ) = 2, v (7 ) = 0,
C a p ít u l o 5
N u ( T ) = {0}, I m ( r ) = gen{x, x 2 ,x 3} N u (T ) = {0},(lm T )
J1 10
= gen
2 V 5 /
V
5
1 at
=
10 0
0^
0
0 2 0
0
0
0 0
3
0
0
0 0 0
4;
; imagen D = P ;
27.
V 17.
'O
>P(7) = 1, v(7) = 0,
1
nu£> = C 2; p(£>) = 4,v(£>) = l.
vi/ N u (T ) = {0}, lm 7’ = gen{l + x + x 2 + x 3}. 29. 19. A r
^0
0
-1
0^
0
1
0
0
1
0
0
■
0
0
0
2
0
•••
0
0
0
0
3
•
0
0
0
0
0
•
n
D = Pn_ t; nu D
= E;
p (7 ) = 2 ,v ( 7 ) = 2,
1
imagen
N u ( r ) = gen{l, x 3 - ! } , Im 7’ = / |
p (D ) = « ,v ( D ) = l.
21.
1 - 1 2
3
0
1 4
3 ; im agen
1
0
5
6
2
2^
31. Á T = 0
1
4
V0
0
1
'\
T
gen {1 + x 1 , —1 + x, 3 + 3x + 5x2} : P2
;N u (7 ) =
gen {x2 - 4x
= 1.
P(T’) = 3, v (T )
/0 23.
At =
1 0 0
0
0
0 0 0
0
0
0 0 1 0
N u(T ) = gen
Im (r ) = gen
f- \
At =
0 , 0
3
1 -1 0
K
\m\k = m( m -
1)
<" l+l)x(‘+11,
=I* + ¿ —1]*, 1< / <
0
n - k + 1 , atJ; = 0 en o tro caso.
p(Z)) = n —k
0
+ \,v(Z)) = (» + 1 ) —p(D ) =
, v (7 ) = 3,
0
N u (/)) = gen{l, x, x 2, . . . ,x * '} ,
vi/
,P(T) = 2
Im(Z)) = gen {1, x, x 2, . . . , x " ~ k } = Pn
v(J) = 0, 0
'l 37.
, p ( D = 3, v(T) = 0,
1 I I — ’ 2 ’ 3’ " ' ’ n+
35. A J =
1 - r
1 -2
,v ( 7 ) = 0
A
/
m e 13, se define a
A d = (fljl) e C
'o' 0 1 0 ,0, V 0 0 J,
0 09 0 ,0, 'V i 09 ,0,
0
(m — 2 ) ••• (m —k + 1), 1 ^ k s m.
0 0 0 0^
0
, N u (7’ )=
Im ( 7 ) = E 3, p (7 ) = 3. 33. Sea
r
25.
- 6};
"o"
o'
1 0 ; imagen
0
0
V
,p(J) = h
N u ( J ) = {0 }, I m ( J ) = K .
0
nu
l
T = P2;
1/
= T = {0};P(7’) = 3 , v ( r ) = o.
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k
k
Respuestas a los problemas impares
39. Por ejemplo, en
M u, Ar
=
1 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1 0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1 0
0
0
0
1 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1 0
0
0
0
1 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
E n general, A
=
(a ),
donde
a
0
729
si i = k m + l y j = (/ — 1) n + k + 1 para k = 1, 2,..., n y / = 1, 2,. . ., m
=
de otra manera
0 41.
0
;imagen
o o - i 0
53. Reflexión con respecto a la recta y
0
1
D =
o
gen {sen x , eos x}; nu p(D) = 2, v(Z)) = 1. ]_
43.
2 H
2
—i
55. D
E;
/2 (0 ,4 )
H - 4)
i 2
45. Sean B t y f í , dos bases para V y W , respec tivamente. Se tiene (7v)B = A J( y ) B para todo y e V. Entonces v e Nu( T ) si y sólo si T y = 0 si y sólo si A. /( v ) l¡ = (0)B si y sólo si (v)fl e nu A r Así, el núcleo de 1' = N A^ de manera que v(T) = v ( A r). Si w e ima gen T , entonces T y = w para algún v e F, con lo que /l;(v);íi = ( T v ) B = (w)B . Esto significa que (w)fl e RA . D e este m o d o RA = imagen T de manera que p(7) = p ( A T). C o m o v ( A y) + p ( A r) = n , del teorema 4.7.5, se ve que también v(7) + p(7) = n. 47. Comprensión a lo largo del eje y con c _ i4 49. Corte a lo largo del eje x con
c =
2
51. Corte a lo largo del eje y con
c = \
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H.° ) 0
57.
I1 w “ 1
= x.
730
C a p ítu lo 5
-1 v 0
Cp ' i K v6
o" ' l
o'' r i
té v0
62, ,0
-1 ° 1 oj
MATLAB 5.3 1.
a)
El siguiente es un posible programa: pts = |0
3 3
0;0 0
2 2]
In s = [1
2 3
4;2 3
4 1|
A = [.5
0;0
3|
g rafics(p ts,In s,' b
10)
hold on grafics( A * p ts ,In s ,' g ' o ', 10) hold off b)
Utilice A = [1 2;0 1] para corte en la figura 5.8a) y use A = [1 -2;0 1J para el corte en la figura 5.86). Al llamar a g r a f i c s será suficiente con usar M — l .
c)
Utilice A = [1 0;-2 1]. Será suficiente con usar M = 6.
a)
Al demostrar que T es lineal, use las propiedades del producto punto: (v • ax) = a( v ■x) y v • (x + y) = v • x + v • y, Para encontrar la representación matricial use el hecho de que r(e.) = (v • e.)v = t v .
y i
(-5,3)
(-2,3)
0
3.
1
-5, -2) (-2 ,-2)
= |1 0;0 0|. U n a base para la imagen es v y una base para el núcleo es w = (0 1)', un vector que es perpendicular a v. Para proyectar un vector sobre v, se baja una perpendicular desde el punto terminal del vector a la recta de terminada por v. Así, por ejemplo, si un vector es perpendicular a v, la pro yección es el vector cero. Toda proyec ción sobre v es paralela a v, por lo que es evidente que v es una base para la imagen.
b) P y
/ '3
o"
1
1, V
"3
o"
'i
1
0
í 1
1
o" rl J4 3 / ,0
o' h
2^ K
c)
r í
o
N' l
2'
v0
6 y v0
K
y d ) Similar a b ). U n a base para la imagen será v y una base para el nú cleo será un vector perpendicular a v.
° ] v0
L
'0 vi
oj
f5 V»
,o
-lj
fl
'l °1 -lj v 0
°1 ij v«
fl
01 2J
i's 5
U
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Multiplique las representaciones indi viduales de las matrices en el orden co-
Respuestas a los problemas impares
c)
rrecto: (rotación positiva) (expansión) (rotación negativa). b) A
=
731
T expande por un factor de 2 en la di rección del primer vector de la base en B y expande por un factor de 3 en la dirección del segundo vector de la base en B.
P r o b l e m a s 5.4, página 508 1. C o m o (o. A ) ' = a A ' y ( A + B ) ' = A ' + B ' , T es lineal. A ' = 0 si y sólo si A = 0 de manera que Nu( T ) = {0} y T e s 1-1. Para cualquier matriz A , ( A ' Y = A , por lo que T es sobre. 3.
i) Si T es un isomorfismo, entonces
Tx
19. Para z = a + E 2. Entonces
T z = ( a, b ) e + z2) = T ( ( a t + a2) + i ( b l + b 2)) = ( a t + a2, b x + b 2) = (a,, b t) + ( a 2, b 2) = 7z, 4- T z r Si a e C, entonces T ( a z ) = T ( a ( a + ib)) = T ( a a + i a b ) = ( a a , a b ) = a ( a, b ) = a T z . Por lo tanto, T es lineal. Por último, si T ( z ) = (0, 0), entonces es claro que z = a + i b = 0 + z'O = 0. Por lo tanto T e s 1-1 y c o m o dim C (sobre los reales) = dim E 2 = 2, T es un isomorfismo.
=
= 0 si y sólo si x = 0. Así, por el teorema de resumen, det A r * 0. ii) Si det A t 0, entonces A j X = 0 tie ne una solución trivial. Así T es 1-1, y c o m o V y W son de dimensión infinita, T también es sobre. A jX
+ l)]/2 dim simétrica}.
5. m = [ n( n
{A\ A
es
n X n y
7. Defina T: P ,4 —» W c o m o T p = x fp . T p = 0 implica p ( x ) = 0; es decir, p es el polino mio cero. Así T es 1-1, y c o m o dim W = 5, T es también sobre. 9. m n
=
15.
1.
b)
Explique por qué bre E 4.
T(Al + A2) = (.A , + A,)B = A tB + A,B = TA{ + TAV T(aA) = '(a A)B = a (AB) = a TA. Así T es lineal. Suponga que TA = 0. Entonces AB = 0. C o m o B es invertible, se puede multiplicar por la izquierda por B ] para obtener A = ABB~] = 0B l = 0, o sea, A = 0. Por lo tanto. Tes 1-1 y c o m o dim M nn = n2 < 0 3 , Tes un isomorfismo.
es uno a uno y so
W V~\
0 A =
.5 - 4
1
1 -
1
0
2
0
1
-2
Elija h e H . Después proy/;h = h de m a nera que T es sobre. Si H = V, entonces T también es 1-1.
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T
donde la columna i de W es w. y la columna i de V es v. (para ver por qué, utilice lo siguiente: T(e) = o^w, + . . . + a 4w4, donde las a. son las coordenadas de e respecto a la base en V; c ó m o se encuentran las coordena das, y que una combinación lineal de vectores se puede representar c o m o multiplicación por la matriz cuyas co lumnas son los vectores).
c) A =
pq.
17. C o m o T es un isomorfismo, Nu(7) = nu A = {0} de manera que, por el teorema de resumen, A es invertible. Si x = T ~ ly , entonces T x = A x = y con lo que x = A ~ ]y porque A ~ ' existe. Por lo tanto, T 1y = A ~ ' y para todo y e R".
C defina
T(z¡
MATLAB 5.4
11. La demostración del teorema 6 prueba la afirmación bajo el entendimiento de que los escalares c v c 2, . . . , c n son números complejos. 13.
ib e
-1
2
-1
0
1
38
-18
-2
10
4
-2
0
El núcleo será 0, la imagen será E 4 y A invertible ya que la forma escalona da reducida por renglones de A es la identidad.
es
d)
La matriz para A -'.
S
será
VW
',
que es
732
P r o tj'
C a p ít u l o 5
,s, páoina 516
1.
•T y
Tx
xt
sen 9 +
x2
eos (
y
sen 0 +
y
eos 0 —y sen 0
y,
19. Sea A * = B = ( b if) y sea c. la columna i de A . Entonces A B = 1 = (8 ) donde
eos 0
^3
8 = 7
1, s\ i
= j
0, si i
* j
Pero 8.. =
= x y (sen20 + eos20) + x,y2(sen20 + eos20)
=
t s a,Á j k-1
= k-1
c • c = 8... I
J
‘ J
+ X 3>,3
= V , + X 2-V2 + V 3
21. C o m o la /-ésima componente de
Ax
es
= xy
X / v v se tiene (/íx’y) = /=i
(todos los demás términos en el producto escalar se eliminan). 3. U s a n d o el teorema 1,
n
n
X X a í=i j =i
Tx ■Ty =
x y . . Similarmente,
B = (b Y (x,A *
si A * =
y) =
( A B x ) ■ ( A B y ) = x ■( A B ) ' ( A B y ) = x ■( B ' A ' ) ( A B ) y =
x •( B
‘A ~ ' A B ) y =
x ■y
5. La misma demostración que para el teore j=
m a 2 excepto que se sustituye (x, y) en lu gar de x •y y ( T x , T y ) en lugar de T x ■ T y . 7. T x ■ a x donde a es un escalar y a ^ O o 1. 9. T x ■ T y = x ■ y = A x ■ A y y A ’ = A ~ ] de
manera que A = ( A 1) 1. Entonces x • y = x • (/y) = x • ( A - ' ) ' A - ' y = A ~ ' x ■ A ~ ' y = S x ■ S y de manera que S x = A ~ ' y es una isometría. 11.
T ( ax, U+ a . J x + a .Lx 2
+
1.
«) L a rotación y la reflexión preservan la longitud. c)
a .jx 3 )'=
a
mero se demuestra q ue P
- (/5/2/2)c, d)
d
yf(3ÍT)b — ( 3 y [ l/2 y f2 ) d ,
1 A* =
- i
v
2 2y V"
-4-2/
F = 2 * |v (l)* v
6 + 3/
particular, las componentes diagonales de no se mueven cuando se toma la trans puesta, por lo que a.. = a.., que quiere de cir que a., es real.
Algunos puntos clave en el programa son
sen (th) eos (th)];
3
v (2)*v]-eye(2) X = [1
17. Si A es hermitiana, entonces A * = A . E n A
v vi
th = atan(v(2)/v(l)) R = [cos(th) —sen(th);
( 3 j 5 / 2 j 2 )c, ( 5 y p f ¡ 2 y p 2 )d )
15.
=
Utilice el hecho de que v 2 + v 2 = 1.
b = (a/yj2
c
Escriba una representación general para cada matriz y demuestre que la matriz multiplicada por su transpuesta es igual a la matriz identidad. Para la reflexión use F = 2 P — I, donde pri
- ( 3 y f l / 2 y [ 2 ) a 3,
(3/5/2/2)fl2,(5^7/2/2)a3)
13. T
/=! y'=l
MATLAB 5.5
(o0/ ^ 2 - / 5 / 2 / 2 ) a 2, V(3/2)a,
1 1=1
(^x, y).
e)
0;0
-1 |
Para la reflexión, sea F = 2 P -/, d o n de P es la mis m a que en el inciso c) an terior, con Vj = cos(a) y v, = sen(a) y simplifique.
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Respuestas a los problemas Impares
733
E je r c ic io s d e r e p a s o d e l c a p ít u lo 5, página 521 1. Lineal.
0a
3. N o es lineal ya que T ( a x ( x , y , z)) # a T ( x ,
21.
y, z).
0 a t
7. N o lineal ya que P\
3
1 0 v0
5. Lineal.
1+
=
+
T [ p ¡ + p 2)
Im(r) = gen
TPx + TP 2 = ( ! + P \) + ( 1 + ^ 2) = 2 + p t + p 2.
9. N u ( D =
imagen
T
= R 2;
;imagen
T
23.
V0
, Nu(T) =
V
,v(7) = 0,
vOy
29.
ly
^20
5^
33
5
At — — T 13
Im(r) = gen
'l
0a
v° i, 'O
fox
2
,P ( T )
2.
=
1
A o/ w j 15. Nu(J) = { / g C[0,1]:/(l) = 0}, Im(T) = C, p(7^ = 1, v(T) = 00.
17.
T —
v(T) =
19.
1 0^
r0 A
.0 0 vv
ir
, Nu(!T) = gen v«y
l,Im(T) = C 2, p(7) = 2.
rl 0 -2 0
2 0
, p ( D = 2.
, Nu(T) = {0}, v ( T ) = 0,
27. Corte a lo largo del eje x con factor -5.
0a 1 2
1 ’0
25. Compresión a lo largo del eje y , con fac tor de un tercio.
p(7) = 2,v(7) = 1.
1
f°^ 3
r(20 ^ f 33^ 1 (Im(T)Si = gen j 153 5 153 1,P(7) = 2. V 13y V 13/ J
= R 2;
v 1/
2
0 V^y
p(T) = 2, v ( D = 0.
11. Nu(7) = gen
jv(7) = 0,
ly
=
P ero
Pv
Nu(r) =
3
0A
;imagen
^2^ Nu(7) = gen
0 1 5 kOj
T =
31.
I?;
0 -3 0 , 2
p (A) = v( A) = 2.
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'l
v0
-3a 1,
734
C a p ít u l o 6
5 2
0
33.
V J
35.
lV —3 vi
C
a pít u l o
l
0
0
,1
5y
"O
=
0
'1
0" íi
0 ' 'l
5^
1 , ,0
-9y v0
1,
0, v2
/ \
l o
0
o J v
"2
a
37.
5
bx.
T
\ bJ
6
Problem as 6.1. página 536
1.
-4, 3; E
= gen
4
13. f/
E3=
3.
-2, -2;
; la multiplicidad
gen
=
- x 'i ¿
gen IV
1,1,1; E
-S
geométrica es 1 (multipl. alg., 3)
/J
E_2 =
gen
>, la multiplici-
15.
_ 7> 3 , i; E
= gen
dad geométrica para el valor característico - 2 es 1. 5.
7.
v
V
—3, —3; E , = IR2, la multiplicidad geométrica para el valor característico —3 es 2. 2 + 3i , 2 - 3i;
E 2+3¡
= gen<
E 3=
,
gen
Ex=
“ 5
y
v 1/
17. 1, 1, 2;
E
=
gen
171 f \ - 3zA £ 2+ 3,= 8en< “ 5
v
0,1, 3; £ = gen
1
2
3
0
v«y
v 3y
y
E
9.
gen
v°yj
/1 + 3iA v
°y
=
, la multiplicidad geo m é
gen
1
V2 7J
trica para el valor característico 1 es 2.
v*y r- \ ' Ex=
E3
/ 3a
gen
19. V
J
'
o
= gen
1,2,2; E
=
gen
;E,
=gen
v '3y v - 2y la multiplicidad geométrica de 2 es 1
-2 'O v
!y
21. 1, 0
11 . 1, 1, 10;
E
=gen
0
1
0
.la
vOy vly multiplicidad geométrica para el valor ca racterístico 0 es 1.
= gen v-2y /2 \
E
1
v“ 2 y
1
£ 10 =gen<
23. a, a, a, a;
la multiplicidad geométrica de 1 es 2
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Ea =
gen
0 0 vOy
vv y
v 1/
Respuestas a los problemas impares
la multiplicidad geométrica para el valor característico a es 3.
25.
a, a , a , a;
E
=
gen
, la multiplici
dad geométrica para el valor característi co o es 1. 27. Observe que det ( A ' — X I ) = det ( A — XI)' = det ( A - X I ) . Entonces los polinomios ca racterísticos de A y A ' son iguales, por tanto sus valores característicos son iguales. 29. Observe que A ~ ] existe si y sólo si A x = 0 únicamente cuando x = 0, esto es, si y sólo si 0 n o es un valor característico de A .
esto es v = X'¡. Esto muestra que cada valor característico de A " es la M-ésima potencia de algún valor caracte rístico de A . = X"=v,
35. Se tiene que p ( A ) x . = p ( X ) < k . Entonces p ( X . ) , 1 < i < característicos de p ( A ) .
Y i
39. Observe que
/ n =i
V
A1
,i,
=
V i
característico
1
. D e m o d o que 1 es un
vi/ valor característico de A ya que det ( A = det(^T - /) = 0 a
0
\c
d )
41. Revise que
, \= uJ
RAO KYZ HEK l¡~ 'K'
a m z casen»
43.
102. - 1 1 . 56. 38 . - 4 9 . 75. 83 . 123. - 6 7 .
1
j
y = (A " — v/)x = 0, existe una constante 0 suficientemente pequeño con y* = 0.
k >
2 Kij
D a d o que
k >
0, y .
_ =£ 0
y
[102. - 1 1 . 56 . 38 . - 4 9 . 75 . 1 33 . 1 2 3 . - 6 7 .
A - e ~ X l BAO KV2 HEK
y, =0. Esto dice que e " X es un valor característico de A , de m o d o que
'X ■
=
X t = e " X,
para algún 1. Pero X"
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ya que la suma
,i,
Como
=
k,
para 1 < i son valores
de las columnas de A es 1. Por lo tanto 1 es un valor característico de A ' con vector
2 n ij
■e " XI x ,m
x.
37. Utilizando los resultados de los problemas 22,23,24 y 25, se tiene que X = 2 es un valor característico con multiplicidad algebraica 4. Para A ] la multiplicidad geométrica es 4. Para A 2 la multiplicidad geométrica es 3. Para A } la multiplicidad geométrica es 2. Para A 4 la multiplicidad geométrica es 1.
31. Para cada 1 < i < k , existe un vec tor x. ¥= 0 tal que A x . = X ¡x r Ahora, ( A - a I ) x . = A x . - ax. = ( X. - a ) x . . Por lo tanto X. + a, i < i < k son valores ca racterísticos de ( A - a l ) . E n cambio, si ( A - a l ) x = X x , entonces A x = ( X + a ) x , por lo que X + a = X., esto es, X = X. - a . 33. Sea x.l el vector característico asociado al valor característico L de la matriz A . E n tonces A " ( x . ) = A " ~ l ( A x . ) = A " ~ l ( X . x . ) = X A " Al repetir el argumento anterior n - 1 veces se llega a que A " x . = X".x., por lo tanto cada X"i es un valor característico de A " . E n cambio, suponga que v es un valor característico complejo de A " con vector característico asociado x. Sea X = V v una de las n raíces complejas de v. Entonces / 2 Kij Sea y = x y
735
1. - .2 3 8 7 .491290256477 - .594» .706872714146 136.135879171 -159.►
d
V 1y
— I)
736
C a p ít u l o 6
los valores característicos son
RM> KY2 HEK R ~ ÍHÍHE CflSDIRí 3: 2: [(.355477975436
(.508924413742 (.9 9 9 6 1 4 5 2 0 0 9 , (.904803830267 (1. , 0 .) 1: :(155.921424098
0 .) (. 0.5 C0 .) ► 0 .) (• (0 .) (-►
136.1353791?!
BBiBaüCHMHiaBia I E Ü
los valores característicos son
■153.S22613273
<155.32Í42H053,. 0.')
í-í.i3í523505ii,n.>
EBHlEBg3iEHlBH3»IEBB IE Ü
con vectores característicos t i l . - . 2 3 S ? M S m i 5 5 -,H53123?5ÍS [ .HS12S0256H?? -.59H35073725S . [ .?060?2?iHlH6 i. 1. ]J
<3. g0ÍH3ÍS23*ig, 6. 213533HPH5.. H a É i f c ’J f l C t i i H i l r H ' g TTJca iMniP—
033331
45.
[13. 2 6. 31. 51. 61.
16. 21. 29. 38. 41.
12. 19. 37. 29. 29.
14. 27. 41. 46. 38.
18.1 16. 56. 33. 50.
13. 26. 31. 51. 61.
16. 21 . 29 . 38 . 41 .
12. 19. 37 . 29 . 29 .
14. 27. 41. 46. 38.
18. 16. 56. 33. 50.
Í3.m H 2 Í S 2 5 S S , - S .21S5S3HPH..
EíaiMlJCHl CEESESE IfflTIP
O.S7225€55Í55,fl.)
EggiaaDCHiHI B M ^ P EIl con vectores característicos
' (.355477975436, 0.)
(.656603950803, 0.)
(1.37121250621E-2, -4.58555951253E-2)
(1.37121250621E-2. 4.58555951253E-2)
(.508924413742, 0.)
(-.567724652955, 0.)
(-9.83665213641E-2, -.300432679563)
(-9.83665213641E-2, .300432679563)
S.
(.99961452009, 0.)
(1..0.)
(.904803830267, 0.)
(-.4695934249, 0.)
(-.458255573315, 7 .03515044225E-2)
(1..0.)
(-.458255573315, -7.03515044225E-2)
(l.,0.)
( U .0 .)
(-.497033946918,0.)
(-.213974046817, .240504338382)
(-.213974046817,-.240504338382)
(8.46815933238E-2, 0.) (-.303086039306, 0.)
C..0.) (-.766844189822, 0.) (.183522037169,0.)
49. 2.
47. 5.
MATLAB 6.1 1.
a)
al c ) Por ejemplo, para demostrar que
ay
+
In
es un vector propio con valor propio 3:
y = [3;4;5];
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Respuestas a los problemas impares
5.
z = |4;913); a = 3 * ran d (l);
a)
b = 4 * (2 * ra n d (l) - (1);
Debe considerar det(^' — XI) . ¿De qué manera se relaciona A ' — X I con ( A - X I ) ' l ¿De qué manera se relaciona det(C') con det(C)?
tí) S u g e r e n c i a :
Verifique que ans = 0. Los vectores propios para un valor propio dado forman un subespacio.
3. a ) al c) 1) Polinomio característico = X 2
+ X — 12, los valores propios son X = — 4 con vector propio (1 1)' y X = 3 con vector propio (-.4 1)'. 6) Polinomio característico = X 2 — 4 A + 13, los va lores propios son X = 2 + 3/ con vector propio (—.2 —.6/ 1)' y X = 2 - 3/ con vector propio (—.2 + 6 i 1)'. 8) Polino mio característico = —X + 2 X 2 + X — 2, los valores propios son X = 2 con vector propio (1 3 1)', X = 1 con vec tor propio (3 2 l)'y X = — 1 con vector propio (1 0 1)'. 13) Polinomio caracte rístico = — X i — X2 — X — 1, los valores propios son X = —1 con vector propio (0 - 1 1)', X = /con vector propio (1 + i 1 l) ' y X= — i con vector propio (1 i 1 1)'. Observe que (—1)" se necesita porque poly encuentra det( X I - A ) en lugar de det(^ - X I ) . e)
Los polinomios característicos de A y son los mismos. Por lo tanto, los va lores propios serán los mismos. A'
w = a*y + b*z; ans = (A — 3*eye(3))*w;.
d)
737
D(k,k) es un valor propio para A con vector propio V(:,k). Para normalizar un vector x para que tenga n o r m a 1, encuentre x/norm (x).
7. Conclusión final: si x es un vector propio
de A con valor propio X, entonces x es un vector propio d e A 2 con valor propio X 2. E n el inciso c), compare la forma escalo nada por renglones de A - X I y A 2 - X 2I para ver que los vectores propios serán los mismos. S u g e r e n c i a : Suponga que A x = X x , reescriba y simplifique A 2x = A ( A x ) . 9. Las matrices simétricas tendrán valores
propios reales. Las matrices simétricas de la forma A A ' tendrán valores propios rea les no negativos. 11.
4< 4, por lo que se necesitan cua tro colores. tí) 3.13 < X < 4.44, por lo que se necesi tan cuatro colores. c ) 3.2 < X < 4.6, por lo que se necesitan cuatro colores. d) 2.23 < X < 3, por lo que se necesitan tres colores. e ) 2 . 5 < X < 4, por lo que se necesi tan cuatro colores. Tendrá que expe rimentar para ver si se puede o no ha cer con tres. a)
P r o b le m a s 6 .2 , página 551
n
Tn
Pa.n
P j,
P ' ¡,n/P ' a,n
Tn/ T n -1„
0
0
12
12
0
—
1
36
7
43
5.14
3.58
2
21
19
40
1.11
0.930
5
104
45
149
2.31
— ■
10
600
291
891
2.06
—
19
16 090
7 737
23 827
2.08
—
20
23 170
11 140
34 310
2.08
1.44
Observe que los valores propios son 1.44 y -0.836. Los vectores propios correspondientes son 2.09 ^ V 1
)
y
^—3.57^ V
1
J
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By manchester91 738
C a p ít u l o 6
3.
n
P in
P a n
Tn
P jJ P a .n
Tn/ T n-1,
0
20
20
0
----
16
96
5
4.8 1.39
0 1
80
2
64
69
133
0.928
5
1 092
498
1 590
2.19
—
10
42 412
22 807
65 219
1.86
—
19
3.69 x 107
1.95 X 107
5.64 X 107
1.89
—
20
7.82 X 107
4.14 X 107
11.96 X 107
1.89
Los valores propios son 2.12 y -1.32 con vectores propios correspondientes
pájaros jóvenes a adultos a la larga se puede encontrar mediante la razón de las componentes del vector propio asociado al valor propio má s grande o se puede encontrar dividiendo la tasa de nacimiento entre el valor propio má s grande.
"1.89a -3.03n y ^1 ^ 1 r
)
J
5. D e la ecuación (9), grande. í
Si v, =
X
p n ~ a xX " y .
para
n
\
,entonces
a)
\y j a,X"x
P Pa,
a fty
(
í(\\
X
ky
\
y
pero ’
-X
a
de manera que
k $ ~ X ^
- X x + ky =
0y
)
x _
k
y
X.
--- — .Entonces b) x ~
~
k
para
n
grande.
MATLAB 6.2 1.
á)
Después de dos años (redondeando), hay 21 jóvenes y 18 adultos; después de 5 años, 103 jóvenes y 44 adultos; después de 10 años, 587 jóvenes y 282 adultos, y después de 20 años, 21 965 jóvenes y 10 513 adultos. es 2.0895 o 2.0894 para n = 21 a 25 y T J T n ] es 1.4358 para n = 21 a 25. Estos resultados son los límites correspondientes con que se puede concluir.
Los valores propios son 1.4358 y -.8358. El valor propio m á s grande es igual al límite proyectado de T J T n V L a población crece ya que T n ~ 1.4358r _! y 1.4358 es mayor que 1. Las razones w'/vv,, el límite de *pJ.,n !rp a,n 1 27 y k / X son todas 2.0895. La razón de
5.
El valor propio m á s grande de la m a triz es 1.2718, el otro valor propio es estrictamente menor en magnitud y existe un vector propio para el valor propio m á s grande con todas las c o m ponentes positivas. Bajo estas condi ciones se ha visto que T n I T n - \,se acerca ” al valor propio má s grande. S u g e r e n c i a :la población de adultos en el año siguiente consistirá en los nue vos adultos de la población de jóvenes + los adultos que normalmente so breviven - los adultos muertos por la caza. Los adultos muertos por la caza son h X (población de adultos).
c)
Las componentes de los vectores A " p0 serán cada vez má s pequeñas, decre ciendo hasta cero. El valor propio má s grande es menor que 1.
d)
El valor de h que mantiene la población estable a la larga es h = 4. Para esta /;, el valor propio má s grande es 1.
a)
L a componente i de P “\ representa el número de casas que compran el pro ducto i después de n meses. C u a n d o n crece, P " \ parece acercarse a un vector fijo, (900500 1 600)', lo que implica que el porcentaje de mercado de cada pro ducto se estabiliza a través del tiempo.
b)
El valor propio má s grande es 1 y los otros valores propios son estrictamente
b ) p . J p an
c)
2.12
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Respuestas a los problemas Impares
739
c) El valor propio m á s grande es 1. Se encuentra 1000w/sum(w), donde w es el vector propio asociado con el valor propio 1; esto da un vector en la direc ción del vector propio cuyas c o m p o nentes suman 1000. Esta distribución a la larga tiene aproximadamente 333 automóviles en la oficina 1, 238 en la oficina 2 y 429 en la 3.
menores en magnitud. Cualquier vec tor inicial no será perpendicular al vector propio correspondiente al valor propio de l(debe explicar por qué), de manera que la extensión de la teoría dice que P " x se acercaría a algún m úl tiplo fijo del vector propio. Se ve que el vector límite y es igual a 3 000 X (el vector propio normalizado de manera que las componentes sumen 1).
tiene un valor propio de 1 y por lo tanto también P.
d) P'
Problem as 6.3. página 562
1. Sí; C =
C
AC
(l
2^
J
-5,
/
1
/_
,
C ~ ‘A C
7. Sí; C =
3 0 1
-0.4344 + ¿0.3687
-0.4344 - /0.3687
0.8038 -0.4885/ 0
0
0
-0.6623 + i0.5622
0
0
0
-0.6623 - /0.5622 2
2
2 ,C
,0
0
1y
1
(\
1 0 1
.0 íl
0
3
-2 2
0.8038 + 0.4885/ /
1.3247
-r
0 i ,
=
'AC
2^ 1 ;C ~ 'A C 2J
0
0
0
,0
0 0^
0
2
0
,0
0
2/
0
'2 .A =
0,
0
'l =
0^
'l C ‘A C =
b
0
0
o"
1
0
0
2
0
1 o" 0
0
0
0/
J
-0.8760
-0.8760
-0.8944
-0.0531-/0.1430
-0.0531 + /'0.1430
0
0.1593+ /0.4289
0.1593-/0.4289
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0.4472
f
2
-0.7265
-1
0 '
'\ 0
0
o"
2
0
O O
-U
o
1
-0.5484
11. Sí; C = 0
17. Sí; C =
lo
,
3
0.6558
'l
C =
0
0.6558
C ~ ’A C =
15.
„\
I2
-0.4140
/
13. Sí; C =
=
+ /
ii
\1 4 y
9. Sí; C :
3;
\
'l 'A C =
u
1
■C
2 + /,
Ü
3. Sí; C =
0^
o
<
5 '
2 —i
í —4
=
5
5. Sí; C =
K
- b
740
C a p ít u l o 6
i 5.3852
0
CT'AC--
2 -/5.3852 0
V
19. Sí; C
-2
1
0
0 \
5
1
0
0
1
0
2 + i
\
1
0
5
=
0 ya que Nu(C) = 0. D e m o d o que x e Nu(/4) si y sólo si x e Nu(C4). Por lo tanto v ( C A ) = v ( A ) . Ahora suponga que x g Im(^4). Entonces existe y tal que A y = x . C o m o C es invertible, Im(C) = R". Entonces existe z tal que Cz = y, y A C z = x. Por lo tanto Im(^) c l m ( A C ) . Suponga x £ Im(yíC). Entonces existe z tal que A C z = x. Sea y = Cz, entonces A y = x . Por lo tanto Im(^4C) c Im(^) e Im(^) = Im ( A C ) y por lo tanto p ( A C ) = p ( A ) . Entonces p( A ) + v ( A ) = p( CA ) + v ( C A ) => p( A ) = p( CA) . Por lo que p ( A ) = p ( A C ) = p ( C A ) . C o m o C 1 es invertible, p ( C ' A C ) = p ( ( A C ) C ' ) = p ( A ) . Esto es, p( B ) = p( A ) y por lo tan to v ( A ) = v ( B ) . Ax =
0
0
0
0^
-4
0
0
0
i
0
C ~'A C
25
0■ 21. C o m o A es semejante a B , B = D l A D para alguna matriz D invertible. B es semejante a C, C = E ~ ' B E para alguna matriz E invertible. Entonces C = E ~ ' D ~ ' A D E = ( D E ) ' A ( D E ) . Por lo tanto A es semejante a C. 23. Suponga que C es invertible. Si x e Nu(^) entonces C A x = C O = 0. Por lo tanto x e Nu(C4). Si x g N u ( C 4 ) entonces
1
29.
A '° = ~ -
X 810 —5
—2 X 810 + 2
—2 X 8 + 2 —4 X 810 + 4
-2XÍ
25. C o m o A es semejante a B , B = D ]A D para alguna matriz D invertible. Entonces det B = det A . 27.
A
20 =
áet(D 'A D ) =
det D
/ 1 0a 0
1
- 2 X 8 I0+ 4 X
-8
—2 X 8
-2
—2 X 810 —5
+ 2
31. C o m o A es diagonalizable, A es similar a la matriz diagonal D = diag(X tonces det^ = detZ) = X,1X.2■■■X n .
33. Se introduce la matriz de interés
fi«[i XY2 HEK IHOHE CrtSPIRI-
triz en la variable A
det A det D
X ,..., X
). E n
.A continuación se guarda la m a
'X'
[1 0 2 . - 1 1 . 56. 3 8 . - 4 9 . 75. 1 83. 1 2 3 .-6 7 .
, se encuentra la matriz devectores caracterís
ticos y los valores característicos de la matriz que se encuentra en la primera posición RAD XY2 HEX IHOHE c h s p i b :
de la pila
'X'
í 102 - i i . 56 . i 38 . - 4 9 . 75. l 83 . 123. - 6 7 . J
RflD XY2 HEX R ~ 'X' IHOHE CfiSDIfi:-
----------
Se obtiene c o m o resultado i-
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1. -.2 3 8 7 491290256477 ~.594> ..7 0 6 0 7 2 7 1 4 1 4 6 [136. Í S S S T ^ I - I S ? ^
Respuestas a los problemas Impares
1
-0.238764...
-0.493123...
0.491290... -0.594350...
0.957040...
0.706072... 35.
1
1
Si se repite el procedimiento del problema 33 se obtiene c o m o resultado 0.656... -0.001... - ¿0.004...
0.355...
—0.009... —¿0.300...
0.508... -0.567...
3.
-0.469...
0.458...-/0.007...
0.458...-/0.007...
-0.766...
-0.497...
-0.213... + /0.240...
-0.213... + ¡0.240...
0.183...
1
2 0 0^ '1 0 3 0 ;c= 1 0 0 3, V1 2+ /
C
0 0 0 i
=
0
2
—i
1+
A
3
4^
4
9
tie
0
2 —i
0
0
2 \
0
—i
—i
0
2
i
1—i
i
y
0
1
i
'
5 13,
0 0
0 b) D =
dice que A expande o comprime a x. Si A es diagonalizable, entonces A expande o comprime cada vector propio por un factor dado por el valor propio asociado. c) Expande la dirección dada por (1 - 1)' en un factor de 2 y expande la direc ción dada por (1 1)' en un factor de 3. Para bosquejar la imagen del rectán gulo, tome la diagonal que va de (-1, -1) a (1,1) y expanda por un factor de 3 en cada dirección; tome la otra dia gonal y expanda por un factor de 2 en cada dirección. d ) i ) Ni expande ni comprime en la direc ción de (1 1 1)', expande en un fac tor de 2 en la dirección de (3 4 5)', y comprime en un factor de .5 en la dirección de (4 9 13)'.
5. A x = X x
Este problema ilustra que C A C nen los mismos valores propios.
V
—0.009... + ¡0.300... -0.303... 1
0.904...
a) D =
0.008...
1
1
'—
0.001... + ¡0.004...
1
0.999...
MATLAB 6.3 1.
741
P r o b le m a s 6 . 4 . p á g in a 5 73
1■ Q =
"2/V 5
O=
,
vjs (_
3. Q =
1 Ti
- 2/V 5 , ■J2
,
1
Ti _
Tó
D =
,0
'4
0"
,0
2,
V3
1
Ti
0"
0
0 2 0
7. Q =
1/V2
i2
-L2
-I/V 2
\
\
0
I/V2
0
o
0
I + 2 V2
o
0
0
1 - 2/V2
-3
-5 ,
D
1
'2
II Q
5. Q =
'5
1a / T
o" 0 - K
- I/V2
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9.
Q _
3
2 .^ 3
2 3
I 3
2 3
2 3
'0 ,D
/
=
0
0
O'
3
0
0
6,
11. Sea u un vector propio correspondiente a X con |u| = 1. Entonces Q\x = Au y 1 = |u| = \ Q'Qu\ = | I £ - ‘u| = |A0'u| = |A0u| = (ya que Q es simétrica) |A2u| = X 2 |u| = X 2. Entonces X 2 = 1 y X = ±1.
742
C a p ít u l o 6
det I = det( Q ' Q ) = det( Q ‘Q ) (det0)(det0 = (de t02 - ya que det = det A para cualquier matriz A . Así, / a c det Q = ± 1 y = Q‘ = Vb d /
13. 1 =
=
/
A ‘
\ \
V
det Q
1=
c
a
det Q
det Q
Si det Q = 1, entonces -1, entonces c = b. 15.
ñ'2A u ,
ü^u
0
u > 2
ü n‘ A u
Ahora
det Q
c
=
—b.
Si det
Ti =
/
Au,1 u
= 0 si / ^ 1.
(Q 'A Q )' = Q ' A \ Q y _ = Q'A' Q
=
Q ' A ' Q = Q ' A Q , ya que A ' = A * = A . Entonces, Q ' A Q es hermitiana, que quie re decir que los ceros en el primer renglón de Q ' A Q deben ser los mismos que los ceros en la primera columna. El resto de la demostración sigue c o m o en la prueba del teorema 3, donde Q ' sustituye a Q' .
Q =
Si la matriz A de 2 X 2 tiene vectores pro pios ortogonales, entonces A es ortogo nalmente diagonalizable, lo que significa que, de acuerdo con el teorema 4, A es simétrica.
u'^4u 1
0
ñ\Au = Au[
d Q
...
u [Au 2
—
21.
1+ Z 1
1 1+
i
0 U*AU =
17.
19.
Sea X un valor propio de A con vector propio v y suponga que A * = A . Enton ces X (v, v) = (Xv, v) = ( A y , v ) = (v, ^*v) = (v, A \ ) = ( v, X v ) = X (v, v). C o m o v * 0, esto quiere decir que X = X de manera que X es real.
MATLAB 6.4 1.
Use el problema 14 después de demostrar que a cada valor propio de multiplicidad algebraica k le corresponden k vectores propios ortonormales. Sea Q obtenida exactamente igual que en la demostración del teorema 3. Recuerde que (u, v) = u, • v, -l— + u ; • v b. Q ' = 0 1 y A es similar a Q A Q o Q ' A Q . |Q ' A Q - I \ = \ A - /|;
debido a la elección aleatoria, se esperan valores propios distintos. Cualquier múltiplo de un vector propio es un vector propio. Los vectores propios para valores propios distintos de una matriz simétrica son ortogonales.
a) Ingredientes:
b)
Q ‘A Q = ( Q ‘A ) Q 'ñ [A
N 3.
u'2A
V a'n A y
«) Hechos básicos a usar: si se multiplica una columna o renglón de una matriz por c se multiplica el determinante por c. U n múltiplo de un vector propio es todavía un vector propio para el mis m o valor propio. b)
Hechos básicos a usar: una matriz or togonal tiene columnas ortonormales; un vector perpendicular a ( a ti)' es ya sea ( b — a ) ' o ( — b a ) ' (o un múltiplo de éstos). Use el hecho de que el determi nante es igual a 1.
c)
C o m o Q ' = Q l, primero se hace una rotación negativa de un ángulo, luego
v‘ Ü'n / V
Ahora bien, (uj, ^4*u,) = (u¡, A u {) = (u¡, ?i,u,) = XjCü!, u, ) = I, = (por el pro blema 15) y c o m o (u|, u,) = ü¡ • ü , = 1 = • u,; entonces Q ' A Q =
El c o m a n d o eig produce un conjunto de vectores propios ortonormales. Utilice este conjunto para Q . C o m o Q será entonces ortogonal, Q ‘ será igual a Q \
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Respuestas a los problemas impares
go del eje x y se expande por 4 a lo largo del eje y , después se hace una rotación positiva de 0. Vea las siguientes figuras. Esto tiene el mis m o efecto que expandir por 3 en la dirección (1 —1)' y expandir por 4
se expande o comprime a lo largo de los ejes x y y c o m o lo indica la diago nal de la matriz, y después se rota de regreso, es decir, se hace una rotación positiva del m i s m o ángulo. Se hace una rotación negativa de 0 = -45°, se expande por 3 a lo lar
d ) i)
en la dirección de (1 1)'.
b)
a)
d)
c)
y
Rotación negativa de 0 = 150°, ex pansión por 3 a lo largo del eje x y expansión por 2 a lo largo del eje y , y después rotación positiva de 0. La imagen del círculo unitario se bosqueja en la figura.
ii)
743
P r o b le m a s 6.5. página 583
3
1.
v-1
-1
X
0/v
/
,2
4
a/ 2 6 ^ 6 V i 3
V 26 + 6Vl3
3-VÍ3
3 + Vl3
V26-6VÍ3
V2 6 + 6 V H
-0.2898
,2
V
— - + -— = 1, es una elipse con centro 5 5
= 5;
2
en el origen.
0.9571 f
10 Vf3+3,
\
10
^Vl3 —3
hipérbola;© = 5.989 = 343°
3.
3
1
= 5,
1 3 1
Q=
J2 _L_
T2
X
\
(
___1
~7Í
f
,
(A
0A
v0
2j
D =
0 = —, 4
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D =
0
- iy
X
\
1 1
j j
e = í. 4 2
-1 1y
1 = 1, es 2
744
C a p ít u l o 6
u n a h ip é rb o la co n ce n tro en el origen.
101 :
\
y* 5
10
-
5
5
10
5
10
/Q
i\/
xw
ví
0, y )
7.
\
v
lV2
lV2
lV2
lV2
Q=
- i +f i ■J4 - 2 J 2
. -I VV4-2V2
x'2 y'2 ---- -— ■ = 1; hipérbola; 0 = 7 n/4 = 315° 2a
4J[ y j
2
> 0;
= a
Q=
_ 3 v
D
=
5 + 3^2
1
lV2
- 1V 2
1V 2
1V 2
0, que es la ecuación de una recta que pasa por el origen; 0 = n / 4 = 45°. 1 -1 \ f -1
3
X
\
í
X
\ =
\y
y
j
2 + V2
0
5-
3V 2 y'
o
2
-V
5
(
_L
V
S Ti 1 1 fi -ñ)
,Q =
/ \ 17.
2
X
í6 U
-6 J
_L
T ’
^yj
r
X
= -7;
\yj
- I/V2 6
I/V2 6
5/V26
(14/13)
= 1; hipérbola;
0 = 0.197 = 11.31°
y
----- H-------- - 1, es una elipse con 1 -1
2 + V2
= l,es una
\
5/V26
JV (14/13)
In
D =
x
, 0-5.515 rad, )
2
,2
y'1 =
13.
j4 + 2sÍ2
= 0:
1 -1
Q
\ + 4i
= 1
(—2 a )
-1 11.
= 1,
^4 + 21/2 1
0
9. L o m i s m o que en el problema 5, excepto que ahora se tiene una hipérbola con los papeles de x ’ y y ' cambiados; c o m o a < 0, se tiene y
{y )
f 5 + 3^2 V
2a
(-2a)
/ \ ( \ X X
_3^ 2
1
í 15.
2-V2
centro en el origen.
19.
-1
-1
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1 -1
x
/ \ X
Respuestas a los problemas impares
0 =
1/V 3
1/V2
i/Vó
1/V 3
- 1/V 2
i/Vó
I/V3
0
■x' 2 +
2 / 2
+
-
745
todos los valores característicos de positivos.
2 /Vó
33.
2 z' 2
A =
/3
0^
V0
2y
A
son
; A = 2, 3; la forma cuadrá
tica es positiva definida. 35. Definida negativa.
21.
37. Es indefinida. 39. Es positiva definida.
2^5
ti
_3
0
Q=
1 Ti
VTo
Vio
ijl
2n/s >
~ x ' 2+ / 2+
23.
-1
2
0
=
-1
25.
1
cero. Así, con d = 0, la ecuación (22) se convierte en A,,x'2 + X 2x ' 2 = 0. Si ahora tanto X, c o m o A,, son positivos o negativos, la ecuación se satisface sólo cuando x ' = 0 y y ' = 0, lo que corres ponde al punto (0, 0). Si A,, y A., tienen signos opuestos, entonces las ecuacio-
1 1 o
1 -2
0
45. i ) Si det A # 0, entonces ni A,, ni X 2 son
2 —VlO ,2
1
-1
V
43. Negativa definida.
-1
1 c
41. Es indefinida.
2V5 _1_
1 ,
7
'2 +13oz '2
-X
1
que son las ecuaciones de dos rectas. Si det A = 0, entonces una de las dos, A, o X 2 es cero, y la ecuación se con vierte en x ' = 0 o y ' = 0 , cada una de las cuales es la ecuación de una recta.
i o
0 0 _ i
2 o
■y ■
o 1
27. Observe que det A < 0 ya que por hipóte
sis tenemos una hipérbola. Por lo tanto det A < 0 para cualquier valor de d y la ecuación representa una hipérbola para cualquier valor de d diferente de cero. 29. Si a = c entonces cot20 = 0 => 20 = ±—
2
MATLAB 6.5 2 .5 El án,.5 l guio de rotación es 0 = 202.5 y la ecua ción es 2.207bc’ 2 + , 1 9 2 9 y n = 4 . Se trata de una elipse y det(^4) > 0. Se muestra el bosquejo.
1. Para el problema 12, A
=
=> = 0 = ±—. 31. F ( x ) = A x •x = D x' •x'. D = diagfA,,...^).
Pero si D x ' •x ' > 0, para todo x ' e ■?’ , en tonces X. > 0,1 < i < n .Si D x ' •x' > 0 para todo x'^0, entonces De, -e, = X, > 0, De, : A,z > 0 ,' . . . ,' D e n e n = X n > 0 . Si A,, > 0,1 s i < «, entonces Dx' •x' = A,,(x')2 H----\ - X 2(x'n ) 2 = F ( x ) > 0 , para todo x'e K" y F ( x ) = 0 si y sólo si x = 0. Por lo tanto F ( x ) es positiva definida si y sólo si
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2.2071 .7929
746
C a p ít u l o 6
3. P a ra el p ro b le m a 4,
0 .5
A=
El á n g u
.5 0 lo de rotación es 0 = 3 150 y la ecuación es —, 5 x ' 2 + ,5x'2 = 1. Es una hipérbo la y det(^4) < 0. Se muestra el bosquejo.
Problem as 6.6, página 592 1. No.
3. No.
5. Sí.
7. Sí
9. No.
11. Sí
13. Sí.
15. Sí.
19. C =
21. C =
7
vi
lj
fi
r
k = -l,
(A +
2/)v2 = v, =í> v 2 =
(¿ + 2/)v3 = v 2 = > v 3 =
, J=
(A
0
"3
3j
' 2^
, J = V
-1 \
17. Sí.
'-5
(l
vi 0,
l"
r-5
-2
2^
C = -3
-1
1
vO 3y
v 7
3 - 2
1 . Por V-2 / "-2
1
0
-2
,J =
0
V 0
)
27. Utilizando inducción se mostrara que
+ /)v. = 0 = > v. =
N,
v°y
(A
0( r - l ) X ( r - l )
v 1.
N í + ] = ( by)
= v, = > v =
(A + I)v
+ 1o i > + 1ei <
Por lo tanto
0
C= i
i
i
1 -i
/ ,
)
-1
1
(A +
0
0
-1
1
V 0
0
-1
/ =
/ -2,
k — k —
Si j < /
b . . = ^ n . a sJ.
1, entonces 1,7 entonces
1, si (i,
o
v0
donde
s=1
v
'i
(r-í)X(k-r)
Si r = 1, el resultado es verdadero. Su ponga que el resultado es verdadero para r = I. Sea N k = («..) y N [ = ( a . ) . Entonces
+ /)v, = v. => v =
II
23.
' —2 '
2/)v, = 0
-5^
=
a
= 0. Si j
> I
/,/+1 /+ l,y.
ij
j ) = (a, a
a = 1, 2,..., k
v+u
+
r
—r —
+ 1), 1
0, de otro modo lo que significa que (k-l)X(l)
N kr
-3 v h
b..
=
0,
N„
IX(k-l)
Por tanto N tiene índice de nilpotencia k .
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Respuestas a los problemas impares
/
1
0
0
0
0
-1
0
0
0 - 1 0 0
0
0
2
0
0
V 0
0
0
29.
^3 31.
0
0
0
3 0
-1
1 0
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0 2y v 0 / o' 3 1 0
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3
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0
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1
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3
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0
0
0
-4
1 0
Los bloques de Jordán se pueden permutar en la diagonal.
33.
rA
0
0
0
0^ r 4
1
0
0
o'
a
1
0
0
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0
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■0
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1
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0
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1
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-3
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0
-3,
0
0
0
- 3J .0
0
0
0
-3,
Los bloques de Jordán se pueden permutar en la diagonal.
35.
2
0
0
0
0
0
2
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0
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1
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0
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-2
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o
0
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-2
0
0
0
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-2
o
0
0
0
0
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-2
2
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-2
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0
0
0
0
0
-2
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0
0
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0
0
0
0
0
-2,
37. C o m o C
-2
1
'A C = J ,
entonces detC 'det^4 det C = det^ = det J
www.FreeLibros.com
= X1 X
2 ■■■Xn .
748
C
a p ít u l o
6
multiplicidades algebraica y geométri ca para los valores propios de J.
MATLAB 6.6 1.
Demuestre que 2/)(col 1) = 0, ( A - 2/)(col 2) = 0 y ( A — 3/)(col 3) = 0. Para el inciso i v) utilice las propiedades de semejanza para concluir que A y J tienen los mis m o s valores propios con las correspon dientes multiplicidades algebraica y geométrica. Es sencillo determinar las
a)
c) Para X = 2, la columna 1 es un vec tor propio y la columna 2 es un vec tor propio generalizado; tiene multi plicidad algebraica 2 y multiplicidad geométrica 1. Para X = 3, la columna 3 es un vector propio y la columna 4 un vector propio generalizado; tiene multiplicidad algebraica 2 y multiplici dad geométrica 1.
(A -
Problem as 6.7. p á g in a 60 4
—5e3'
5 e ~ 41
e‘ + 2 e
V
í
11.
l
sen(2í)
e ‘ sen(2í)
e'
cos(2t ) y
P^ tí —
Pc 2 PAC
3
-
V
(
1 3 V V
(S A V
2
y
S i
eos v
JJ
+ V3sen
2
-\fisen
y
V
If
t
2 eos
e‘ + 2 e
£ t 2
T~ W
S t
sen 2
S t
/
1
t
1
e — e 2 eos
t
/
\(t) = e‘
v
1
15. x ( t ) = e 3
3
+- V3sen S V
V
4a
( S A
\
2
a)
\ ’( t ) -
\ ¡3
sen
e' + 2 e 2eos
, ambas poblaciones crecen a una tasa proporcional a
é.
y
x i (0 ) —t (x, (0 ) + x 2(0 )) .
x ,(0 ) — í( x ,( 0 ) + x2(0 )) = 0 = $ t
0
- a x ,( 0 )
0
a x , (0 ) — P
0
p
0 0 *(0, 0
, (0 ) + [ x 2 (0 ) ( - a x , (0 )e (a*',0) - p)' + a x , ( 0 ) ) ] / [ a x , (0) - p ]
x(t) =
-
/
/
* 2(0 ) + í ( * ,( 0 ) + x2(0 ))
17.
2
t
e —e 2 eos
V
13.
_t 1 0 e —e 2 eos l s t ) + %/3sen 2 2 v y V / V -
V
/
2 vUo
\
l + 7íy
lt
/
/
-
e"3'
\
t P* c - p
7.
í
i
—2 sen í +cosí
1
e
, ( r \ & 2 eos 2
t
—5sení
sení
2 e ~ 4' + 5 e 3‘
e 1 cos(2í)
3.
2sení + cosí
1
5e-4' + 2e3' 2
1.
x2(0)e
(ax,(0)-p)í
3(0 ) + [ x 2(0 ) (p e (“ '(0)- p)' - p ) ] / [ a x , ( 0 ) - p ]
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x ,(0 ) x , (0) +
x (0)
Respuestas a los problemas impares
25.
im p lica que la enferm edad no p ro d u
Jt = Xlt + N,t. E n to n ce s e' W
u' +"’' ) = ew e r
c irá u n a epidem ia. im p lica que la enferm edad p ro d u cirá
e Jt =
u n a epidem ia.
23.
1 o" "o
1 o'
0
1
0
0
0,
0
0
0,
0
0
eh
t.2 \ 2
= e* 0
1
t
0
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1 = 0
r
0
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Al _
0
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o'
0
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=
29.
t - 311 - t + It 2
1- l l í + f í 2
- 4 < - f í 2
25í ~ \ t 2
1 + 10t + i2t 2/
te2' e2'
0
0
0
0
eM
te3'
,0
0
0
e3',
0 e Ai =
0
0
0
-18/ + f/2
V
"o
0
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( e 2‘
1 0^
1
'1-* f-5/2 9
0
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0
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0
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t
o
0
"o 0
0
*3 = n 2n = "o o r "o 0
e‘ **
t
27. e
N 2 = N iN J = 0
0
1
= —se n 2 í. 2
"o
0
V (.
19. x = 3 e 2‘ —2e~y . 21. x
0
>
c) S i a x ](0) > P, entonces x'2 > 0 lo que
Po r !o tanto
\
1 ■ ^1 1 t-J|<^i
b) S i a x x(0 ) < (i, entonces x' < 0 lo que
749
P r o b le m a s 6 .8 . página 613 1.
r 3 -3
a ) p{X) = X2 + X - 12 = 0; b) p(A) = A2 + A - 1 2 I / 2^ '1 4 = + , 5 V +
—12 ,
c)
0
A~'= —
o"
ro
12,
.0
r- l
-3 2 5
5.
=
rl
-3
3'
3
-8
6
—
-15
2,
-A .3 +
-A 3+4A2- 3 A
'W ''
/— V
*13
b)
II
a)
II
,6
3.
-9
' + V
/0
0
0a
0
0
0
0
0
0
5 4'
24 - 1 2
4 -12
"0 +
1 °,
'l
0)
18 - 9
8 -12
-12
3
4
4 - 9
\0 0
V
0
3
-9
9
- 2 4
0 o" 0 3 + 0 1 0 9 0 K ,3 9J "0 0
4 A2 - 3 A
5 - 9
3>
á) p(X ) = 3A,2 - 3X + 1 = 0 b) p ( A ) = - A3 + 3 A 2 - 3 A + I
—2 '
12
0 0 0
=
c) A 1 no existe.
K
o'
6 -3
, 0 -3
-2"
"o 0 o"
o'
8,
www.FreeLibros.com
c)
'3
-3
f
1
0
0
0
1
A -' = V
3' 9 18,
1 6
7-
9.
a) P(X) = - X 3 + 6X2 +18A. + 9 = 0 h)
p(A) = - A 3 + 6 A 2 + 18A + 9I
b)
p(A)
=
108N
(al
—A ) 4
54
180
189
324
0
0
—c
V168
204
315 y
0
0
0
18
72
54'
V»
0
0
108
162
+
"o
"o
0
0
0^
252
0
0
0
0
0
0
0
0
lo
0
0
0;
114
36
- 18
72
- 18
108
,18
90
54 "o
0
0N
0
0
0
+
541
0
o'
0
9
0 =
1°
0
-27 =19
9,
1°
18
-9
3
0
-11
0^
0
c)
°,
4
0 - d 0j
J lia
9
0
- b
216
150
+
A~]
p(X) = ( a - \ y
63
'
c)
a)
- hedía
-tía 2
cb/a}
0
Va
- c¡ a2
cdla3
0
0
[la
—d í a 2
0
0
0
Ha
11.a) |á ,|<7 y R e A,>y 13.a) ¡X|< 10.5 y —10.5 < Re X < 5.75
6
y = Imz
(x - 6 )2+ / = 1
'(x - 4)2 + y2 = 1
(x - 4)2 + / = 1
(x+10)2+ / = {
/
\
15.
C o m o A es simétrica, los valores propios de A son reales. Entonces, por el teorema de Gershgorin,
a)
F ( X ) = B 0C 0 + B 0C lX + B lC 0X
b ) P (A )Q (A ) = (B0 B ()C 0
+
BfíC ^ A
F(A)
=
B 0C 0
+
+
+
BjA)
B tA C 0
+
+
o>
i i l ? T Y l ~.K
íW í 1
( * - 5 )2+ y = ^
B lC ]X 2
X ( C 0 + C ¡A )
=
B tA C tA
B f xA + B f üA + B f ^ A 2
= P ( A ) Q ( A ) si y sólo si C 0A = A C 0 (en el tercer término) y A C tA = C ^ A 1 en el cuarto término.
MATLAB 6.8 1.
F(A)
19.
'
< r. de manera que 10 — | 0 — a..\ = |a..| < r., lo que es imposible ya que A es un determinante con diagonal estrictamente dominante. Por lo tanto, X. ^ 0 para / = 1, 2, ... ,77 y det A ¥= 0.
A, = R e A, > 4 — (2 + 1 + 1) = | . 17.
«te
(x - 5)2+ y2= 1
, "
1 i i/r is \i i i i i i /iN
= Re z
' 1
x
II
|
Ol>5 N
a p ít u l o
^-I +
C
¿e
750
det A = X ,15, X-, ... 5, X 77 . Si det A = 0,5 en2’ tonces X. = 0 para alguna i. Pero |A, — a \
Para el problema 1, A ~ ] = 1/12(7 + Para el problema 13, A ~ l — - I -
A). A
—
A 2.
3.
Debe observarse que los asteriscos (*) blancos están dentro de la unión de los círculos.
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Respuestas a los problemas impares
E je r c ic io s d e r e p a s o d e l c a p it u lo 6 f página 620 13. La matriz es simétrica, 1. 4,-2;
= gen • >; E _ = gen ■ IWJ ‘
E
—
Vi 0
{(\W
2, E 2
n
—
_L _L O
Q= 3.
—
= gen •
f2
u
0
1 0
0a
0
6
0
0
0 - 3
'2 q ta q
5. Los valores propios son 1, — 1,5, / O E
=
gen
,
= gen
E
15. La matriz es simétrica, ( _j_
Q=
= gen
E
3, 3 + 4 l i , 3 - 4 lv ,
q ta q
0
0
r - \
1 0
0
1
C
AC =
x Í 2i
'2 =
„ E.
0
1
ly
=gen
0 2
0
0
0
4
0
0 0 0
6
0
1 1 1 - 1
0" 1
O
;C ~ ' A C
19.
- 1 0 C =
0 -1
0
15 + ¿Vl5
-1
0 C~ A C =
0
1 0 1
4~2
4V30
E, = gen
Ia
f2 0 0 0A
1
„ , 7 ±i \ í l 5 11. A,,1, „2 = ------- ,
0
0
o A
■gen
-ly
-10 /
1 0 - 1 0 C =
0
f
0
17. La matriz es diagonalizable.
-1
r
, 4
-2
0 A
4ii
"-3
0
0'
o
0
gen
9. C =
0 0
vOy r
s¡2i
=
16
1
; E = gen
vOy
^3 -
0
V 2
= gen
1
2
2 ^ Vil 0 5 3 Vl3
V
V E
0
1
l\ 7. 1,
-
0
Tu
0
-1
2r
0 - 1
0 0
0 0
0
0
3 0
0
0
0
3
4~2 15-/VÍ5 4V30
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21.
8/(3 + 4l)
+ = 1; elipse 8/(3 - V2)
751
752
A p é n d ic e s
23. ______- ___________ _______- ________ :
10/(7Í3+3) 25. 4 x ' 2 -
1: hipérbola
10/(Vl3 —3)
29.
—e' +
2e '
2e‘ —2e ‘
—e +
e
2el - e ~ '
3y ' 2,
'"eos 2 1 — sen 2 1
31. e 27. C =
í'2 i
- T
C~'AC =
A
-2 ,
i 33. |
N
eos 2 1 + sen
2t
>-*
, o
sen 2 1
V
r
VI
;
'-2
—2 sen 2t
p é n d ic e s
Problem as A l.
p á g in a 627
1.
Primero, ¿es cierto paran = 1?2 = 1 (1 + 1); sí lo es. Ahora suponga que es cierto para « = k. Entonces 2 + 4 + 6 + . .. + 2k = k(k + 1). Aho r a se debe demostrar que es cierto para n = k + 1; es decir, se debe demostrar que 2 + 4 + 6 + . .. + 2k + 2(k + 1) = (k + 1)[(& + 1) + 1]. Se sabe que 2 + 4 + 6 + ••• + 2 k + 2(k + 1) = k(k + 1) + 2(k + 1) (hipótesis de inducción) = (k + 2 )(k + 1) = (k + 1)[(¿ + 1) + 1].
3. Primero, ¿es cierto para n
=
1?
„ 1(3-1 + 1) ,, 2 = ---- ---- ; si lo es. Aho r a suponga que es cierto para n
k. Entonces 2 + 5
=
+ 8 + .- + (3*-1 ) = W |± i > .
¿ E s cierto p a ra
2
2
2 + 5 + 8 H---- 1-(3k
—
1) + (3A: + 2)
1
A h o r a suponga que es cierto p a ra
es decir, k
]_ V
2 ,2,
1V < — 2
V ,2 ,
1 1 — < ---- , y a que 2 k 2k k+ l
> k + 1 si k > 1. 1. ¿ E s cierto p a ra n — 1? S í, ya que 1 + 2 = 22 - 1 . A h o r a suponga que es cierto p a ra
n = k; esto es, 1 + 2 + 4 + . . . + 2k = 2*+l — 1. D eb e d em ostrarse que es cierto p a ra
n = k + l , o que 1 + 2 + 4 + . . . + 2*
2k+2 — 1.
Se su m a
2k+l
a am bo s
lad o s de la hipó tesis de in d u cció n y se o b tiene
1+
2
+ 4 + ... + 2k + 2k+l
1 + 2*+l = 2 • 2*+l - 1 = 2k+1 - 1 = 2 k+l -
2 _ (¿ + lX3ft+4) 2 3k 2 + 7 £ + 4
9. ¿ E s cierto p a ra
3k + 2 a am b o s lad o s de la ecu a
ció n en la hipó tesis de in d u cció n y se o b tiene
2 - — 2 p a ra n
A h o ra
n = 1? S í, y a que 1 + ^ = suponga que es cierto
= k\ es decir,
1 + I + I + ...+ J _ = 2 _ J .
2 + 5 + 8 + — 1- (3A: — 1) +
4
2
(3k + 2)
+ (3A: + 2)
,
1
1
2
4
! + _ + _ + . . . +
k
3k 1 + 7 k
2*
2*
Se debe p ro b a r p a ra
k(3k + 1 ) = ---■ 3 k2 +
1 < —. E n to n ce s
k
_ 0 t + l)[3(¿ + l) + l]
Se sum a
n = k;
k
V
+ 2*+l =
D e b e demostrarse que es cierto para n = k + 1; es decir, debe demostrarse que
n = 1? Sí,
6k + 4 +4
1
+
n = k + 1; esto es, 1
2
=
2
-
Su m e —-í— a am b o s lad o s de la hipótesis
2
de in d u cció n p a ra obtener
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Respuestas a los problemas impares
_ 4£ + 1 5 T +
1+-+-+ 2 4 " + 2r + 1 -2 1 + 2 2* 2 t +' 2
- 2
,
2 k +'
11.
Se s u m a [2(A: + 1) — 1\ \ 2 ( k + 1)] = (2k + I )(2A; + 2) a amb o s lados de la hipótesis de inducción. Se obtiene
1 2 k +l
1-2 + 3- 4 H — +
(2k — \ \ 2 k ) +
(2k + 1X2 k + 2)
¿Es cierto para n = 1? Sí, l3 =
= *(* + lX4* - l ) +(2, + 1X2, + 2)
12(1 + 1)2
A ho r a suponga que es cierto para es decir,
n
=
_
k;
4k}
+
3k2 ~ k + ^ k 2 + 6 k + 2
4k3+ 3k2 - k
l3 + 2 3 + 33 + --- + ft3=
k 2 ( k + l)-4
Se tiene que demostrar para esto es, l3 + 23 + 33 + - - _ (k +
+ 6
\lk
3
1 2*+ i
- 2
753
n
=
k +
4 k 3 + I5k2
1;
^ U k 3+ \U + 6
+ 17A: + 6
Algunos de los ejercicios utilizan el hecho de que si un entero m es divisor de un en tero a y es divisor de otro entero b , enton ces a + b es divisible entre m .
+ k 3 + (k + l f
l)2[(fc + 1) + l]2 4
k 4 + 6 k 3 + \3k2 + \2 k + 4
15.
S u m e ( k + l)3 a amb o s lados de la hipóte sis de inducción.
¿Es cierto para n = 1? Sí, ya que l2 + 1 = 2 es par. Suponga que k 2 + k es par. Ahora pruebe para k + 1; es decir, se tie ne que demostrar que ( k + 1)2 + ( k + 1) es par. Pero
I3 + 2 3 +--- + A:3 + (£ + l)3 (k +
= ^
+ 1)2+ (. + l)3
= (¿2 +
k4 + 2k3 + k2 l3 ------------- 1-k + 3k + 4 k4
+
2k3
+
k2
3k
, + 1
4 ~
+
\3k2
+
\2k
+ 4 17.
13.
¿Es cierto para
n = 1?
1 -(1 +1) -(4 -1) para n
= k;
Sí, 1 • 2 =
Suponga que es cierto
es decir,
1 - 2 + 3-4 + — + _ k(k
(2k
•2 + 3 •4 + +
\\2k
_ (k + l\k
1) =
k ) + (2k
k 2 + 2k +
(2k
+ 1)[(£ + l)2 + 5]
= ( k + \ ) { k 2+ 2 k + 6 )
+ 1; esto es,
- lX2/fc) +
= ( k + l ) ( k 2+ 5 + 2 k + l )
=
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k(k2
+
+ 2) + 2 X 4 A: + 3)
k +
1
¿Es cierto para n = 1? Sí, porque 1(12 + 5) = 6 es divisible entre 6. Ahora suponga que es cierto para k , esto es, que k ( k 2 + 5) es divisible entre 6. Ahora se debe probar que ( k + 1) [(A: + l)2 + 5] es divisible entre 6. {k
k
1+
+2)
(2k — \\2 k )
+ 1X4¿ -1)
3 Ah o r a se prueba para n = 1
(k +
Ahora 2 es divisor de k 2 + k por hipótesis de inducción. Es evidente que 2 k es divisi ble entre 2 y que 2 es divisible entre 2. Por lo tanto, 2 es divisor de k 2 + k + 2 k + 2, lo que quiere decir que es par.
| 4 k } + 12A:2 + 12A: + 4
4 k4 + 6k3
l)2 +
=
+ 5) + (k
k(2k
k(k2
2
+ 5)
+ 1)+ (2 k
+ 5) + 3( k 2
+
1)
+ k) + 6
p é n d ic e s
Ahora k ( k 2 + 5) es divisible entre 6 por la hipótesis de inducción; es claro que 3( k 1 + k ) es divisible entre 3 y es par, por el problema 15, entonces es divisible entre 6, y por supuesto 6 es divisible entre 6, de manera que 6 es divisor de la expresión dada.
23.
Del teorema 2.2.1, det A {A 2 = det/íj det A „ así que el resultado se cumple para n = 2. Suponga que se cumple para n = k. Entonces, detA tA 2 . . , ■ ^ l Ak +1 = d q \ A xA 2 •• A K á e t A K+ 1 (usando el resultado para n = 2) (det^! det^,. . .det^) detA k+ ¡ (usando el resultado para n — k ) = det^j detA 2 . det^4,K d e t A ,/C t 1 que es el resultado para n = k + 1.
19. El problema es cierto si n = 1 pues x ' — 1 es divisible entre x — l . Ahora suponga que x k — 1 es divisible entre x — 1. Se tie ne que demostrar que x*+1 - 1 es divisible entre x - 1. Ahora bien.
1; hay exactamente dos subconj untos de un conjunto con un elemento: el con junto m i s m o y el conjunto vacio. Ahora suponga que hay exactamente 2Á subconjuntos de un conjunto con k elementos. Considere un conjunto A con k + 1 ele mentos. Elimine uno y llámelo a k+i. El resto de los elementos forma un conjunto con k elementos. Este conjunto tiene 2 k subconjuntos. Agregue a k+] a cada uno de estos 2A subconjuntos para obtener otros 2 k subconjuntos. E n otras palabras, A tiene 2 k subconjuntos que contienen al elemento a k+[ y 2 k subconjuntos que no lo contienen; esto hace un total de 2 k + 2 k = 2 k+1 subconjuntos.
25. n =
1= =
x kx — x(xk
1=
—x - X — 1
x kx
—1) + (x —1).
El primer término es divisible entre x — 1 por la hipótesis de inducción, y el segun do término en la s u m a es divisible por x - 1; entonces x - 1 es divisor de la ex presión dada. 21.
Si n = 1, ( a b ) ] = a ' b ' = a b , de manera que es cierto. Ahora supóngalo para n = k; es decir, ( a b ) k = a kb k. Debe demostrarse para k + 1; es decir, (a b ) k +1 = a k + lb k + l Ahora bien, (ia V f + 1 = (a b ) k ( a b ) =
a ka b kb
= a kb ka b
(ya que la multiplica ción es conmutativa)
27.
__ *+11*+1
¡ A 2.
N o es cierto para n = 2 . E n este caso, 5, y S 2 son ajenos y, por lo tanto, no se puede decir que h x = h 2.
p á qin¿
1. 9 -
+ 5 i.
7. - 2 7
+ 2 i.
3. 9
li.
5 . 2 9 + 2 i. K
=
9. —2 i
39.
'2
2e
3jcj
41.
11 .
2 \¡2 e ~ .
13.
3 y ¡ 2 e itlKl4)
15.
6 g ( n !6 )i
17.
r —1 + ¿V3 2e'<4n/3)
5n i
12e~x
21 .
23.
e2lt' = 1
25.
27.
3V3 + 3i
29.
- 2V 3 +
31.
-f-fV3i
33.
35.
3 + 4/
37. 4 - 6 i.
\Í2e
43.
2e
3 \ Í 2 e ~ iin^ }
=2e
=
19.
=
3
2e~¡<2,t/3)
^ | k T1 +
A
1
754
45.
=
7e3” '/5
47. 49.
z = —z , por lo tanto z ——z => a + ¿P = -(a + /p) =^> a + z'P = -(a - z'p) => a = 0,
2i
* =
1+
i
esto significa que los únicos números que tienen la propiedad z = —z son aquellos que su parte real es cero, es decir, z es un imaginario puro.
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By manchester91 Respuestas a los problemas impares
51.
La ecuación de una circunferencia centra da en el origen de radio unitario se puede escribir c o m o x 2 + y 2 =1. Sea z = x + i y entonces |z ¡2 = zz = ( x + i y ) ( x + i y ) = x 2 + y 2', por lo tanto un círculo unitario se puede representar por |z \ = 1 .
Aquí, se ha usado el hecho de que para cualquier entero k . z k = z*. Esto se dedu ce fácilmente si se escribe z en la forma polar. Si z = re~'B, entonces z
n __
—r e
—n
55. Suponga que p ( z ) = z " a , z + a n = Ó . Entonces z
n
i
+ — b a , z + an =
+ a
z " + a n - 1. z "
-I--- 1- a . 1z
'
z"
+
a.
son reales) =
+ an
an_
=
+ a n _ ¡z " ~ '
p(z)
=
+
+ ■ ■ •+
0 = 0
=
+ a ,0 =
jz" “ 1 H----h a xz + I"
57.
a Q (ya que
a n _ ]z "‘ ~ '
las
---- 1- a tz
JnQ
n
z
53. Es el conjunto de puntos que incluyen al círculo de radio a centrado en zQ y a todo su interior.
755
-inQ
—r e
— n __
,z = —
n
r e
~inQ
— __
, z = re
/0
y
n
—z .
C o m o (cosG + /senG) 1 = eos 1 • 0 + i sen 1 • 9, la fórmula de DeMoivre se cumple para n = 1. Suponga que se cumple para n = k ; es decir, (eos 0 + i sen 0 )* = eos £ 0 + i s e n k Q . Entonces (cos0 + sen0)i + 1 = (cos0 + /sen 0 )*(eos 0 + /sen0 ) = (cos/r0 + ;sen^:0) X (cos0 + /sen0) = [cos/:0 cos 0 — sen ^0 sen 0 ] + /[sen Á-0 eos 0 + cos/:0 sen 0 ] = cos(/:0 + 0 ) + ;'sen(A' 0 + 0 ) = cos(^+ 1)0 + i s e n ( k + 1)0 ,que es la fórmula de DeMoivre para n = k + 1.
0
P r o b le m a s A 3 , p á g in a 6 4 7
1. 0.33333333 X 10° 3.
(« —\ ) n ( 2 n
(n
7.
0.77272727 X 10'
9.
-0.18833333 X 102
11.
0.23705963 X 109
13.
0.83742 X 10- 20
—1) n
— n)
multiplicaciones y sumas. La
operación 3) requiere Vi1 _ ( n —\ ) n _ n 2 — n ------------- -— multiplicaciones k= i 2 l y sumas. Si se suman estas fracciones se obtienen los resultados deseados. 25.
1 5 . 8a= 0 . 1 ,7
er = 0.0002
ea = 0.005,5
1 9 .8 a
e /=• 0.04
= 0.00333...,5
2 1 . 8a = 1 ,7 23.
(n
-0.35 X 10- 4
5. 0.77777777 X 10°
17.
— 1)
8r ~
0.57143 X 10~3
er «0.1419144 X 10- 4
Existen tres operaciones diferentes: 1) di vidir el renglón i entre a..; 2 ) multiplicar el renglón i por a.., j > i y restarlo del ren glón j ; 3) hacer una sustitución regresiva. n(n + 1) La operacion 1) requiere ^V k , = —---k= 1 ^ multiplicaciones. La operación 2) requiere t
•'
n
•
Existen tres operaciones: 1) dividir el ren glón i entre a..; 2 ) multiplicar el renglón i por a.., j > i y restarlo del renglón j ; 3) guardar los n elementos en la diagonal y multiplicarlos al final. La operación 1) re quiere I * =
—1)
multiplicaciones.
La operación 2) requiere Vi! _ *
n(n —
1)(2« —1) . 7------ multiplicaciones.
4=1
6
La operación 3) requiere caciones. L a suma es n ^
[3n
2 n + 6 )=
+ n{2n
n
- 1 multipli
—1) + 6] = ^(n —1)(2«2 +
—(2«3 + 6
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n(n
A n — 6 )=
— + —n 3 3
756
A p é n d ic e s
multiplicaciones. U n cálculo similar lieva al número de sumas dadas en la tabla A.l.
27. 7 545 microsegundos = 7.545 X 10'3 segundos. 29. m q n multiplicaciones y m q ( n - 1) sumas.
P r o b le m a s A 4 . página 655 toria m á s sencilla. En el problema 6 el pivoteo da respuestas m u c h o m á s exac tas.) Los errores relativos con pivoteo son «ó = 0 0017, 0, y ^ = 0.0025.
1. x, = 1.6, x 2 = -0.800002 (el valor real es -0.8), x 3 = -3.7 3. x, = -0.000001, x 2 = -2.61001, x 3 = 4.3. L a solución exacta es (0, —2.61, 4.3) 5.
a)
b)
con pivoteo: x ( = 5.99, x, = -2, x 3 = 3.99 sin pivoteo: x, = 6, x2 = - 2 y x 3 = 4 (Sí, algunas veces es mejor seguir la trayec
U n a solución redondeada con tres cifras significativas es x l = 1050 y x 2 = -1 000. •1 204 La solución exacta es x. = 15000 —1154. Los errores relativos 13 son 0.1279 « 1 3 % y 0.1334 ~ 13%.
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INDICE
Aditivo(a) identidad, 282 inverso, 282 Adiugada de una matriz, 205 Adjunta de una matriz, 205 Ajuste de polinomios a puntos, 35 de recta por partes, 431 Análisis de insumo-producto, 17, 104 Angulo entre dos planos, 274 dos vectores, 234 Angulos directores, 248 Antisimétrica, matriz, 121, 196 Aproximación por mínimos cuadrados, 411 por una recta. 412 Area generada por dos vectores, 258 por una matriz, 176 Argumento de un número complejo, 633, 634 Arista de una gráfica, 152 Axioma de elección, 448 Balanceo de reacciones químicas, 41 Base, 226, 332, 348 cambio de, 366 canónica, 332 prueba de existencia de, 444 Bivección, 506 C [0.1], 285 C [a , b], 28.5 C '[0 ,1], 295 C"'-1>[0,1], 327 C . 44 C ”. 44, 285 Cadena, 155, 446 2-cadena, 155 3-cadena, 155 n-cadena, 155 redundante, 155 Cadena de Markov, 84 Cambio de base, 366 Característica(o) ecuación, 526
polinomio, 526 valor, 525 vector, 525 Carroll, Lewis, 203 Cauchy, Augustin-Lonis (1789-1857), 203 Cayley, A rthur (1821-1895), 71, 608 Cero espacio vectorial de dimensión, 335 matriz, 45 solución, 37 transformación, 461 vector, 43, 222 Cerradura bajo la multiplicación por un escalar, 282 bajo la suma, 282 Ciclo no dirigido, 331 Ciclos en digráficas, 331, 364 Circunferencia, 578 Circunferencias de Gershgorin, 610 Cofactor(es), 171 expansión por, 172 Columna de una matriz, 45 Compatible bajo la multiplicación, 60 Complejidad computacional, 642 Complejo, plano, 632 Componente ( Vea también: Elemento) de u en la dirección de v, 238, 251 de un vector, 43 de una matriz, 45 Compresión a lo largo del eje ,v o del eje y, 488 Conjugado de un número complejo, 632 Conjunto generado por un conjunto de vectores, 301 por un espacio vectorial, 300, 447 Conjunto potencia, 445 Convergencia (numérica), 642 Coordenadas cartesianas en E 3, sistema de, 246 Corte, 490, 491 Cosenos directores, 248 Cota superior, 446 Cramer, Cabriel (1704-1752), 212, 213 Crecimiento de población, 427, 546, 600 Criptografía, 117
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Cuadrática aproximación, 415 ecuación, 576 forma, 576, 582 Cuaterniones, 42, 48 De Moivre, Abraham (1667-1754), 637 De Morgan, Augustus (1806-1871), 627 Deformaciones anticlinales, 429 Descomposición de un vector, 397 Desigualdad de Cauchy-Schwarz, 241, 441 Desigualdad del triángulo, 225, 253, 403, 441 Desplazamiento, 430 Desviar, 385 Determinante(s), 99, 168 breve historia de los, 203 de una matriz de 2 X 2, 100, 168 interpretación geométrica de, 175, 178, 257 de una matriz de 3 X 3, 169 de una matriz de n X n, 172 de una matriz triangular, 173 de Vandermonde, 197 propiedades de los, 182 Determinantes e inversas, 204 Diagonal de una matriz, 94, 172 principal, 94 Dígitos significativos, 640 Digráfica, 331, 364 Dimensión, 335 Dirección de un vector, 222, 223, 247 Disco de archivos m, 656 Distancia de un punto a una recta, 62 Distribución de calor, 33 Dodgson, Charles (1832-1898) [Lewis Carroll], 203 Dominio indirecto, 157
eA, 597 Ecuación cartesiana de un plano, 267 diferencial matricial, 596 matriz de solución principal, 598 vectorial de una recta, 263
758
índice
Ecuaciones diferenciales, 91, 595 de primer orden, 596 de segundo orden, 91 valor inicial de, 595 estándar de una cónica, 578 paramétricas de una recta, 264 simétricas de una recta, 264 Eigenespacio o espacio propio, 526 Eigenvalor o valor propio, 525 multiplicidad algebraica del, 528 multiplicidad geométrica del, 534 Eigenvector o vector propio, 525 generalizado, 590, 594 Eje x, 244 244 2, 244 Ejes principales, 578 teorema, 578 Elemento ( Vea también'. Componente) de un vector, 43 de una matriz, 45 maximal, 446 Eliminación de Gauss-Jordan, 9, 15 modificación de, 646 Eliminación gaussiana, 15, 136 con pivoteo completo, 651 con pivoteo parcial, 649 Elipse, 579 Elipsoide, 582 Equilibrio, 604 Error absoluto, 641 acumulado, 641 cuadrático medio, 438 de área, 438 de redondeo, 641 máximo, 438 relativo, 642 Escalar, 48 Espacio de las columnas de una matriz, 344 de los renglones de una matriz, 344 de soluciones, 336 nulo de una matriz, 337, 343 propio, 526 Espacio vectorial, 220, 281 axiomas de, 282 base para, 226, 332 complejo, 286 complemento ortogonal de un, 326 de dimensión cero, 335 de dimensión fnita, 335
de dimensión infnita, 335 dimensión de, 335 isométricamente isomorfo, 514 isomorfo, 506 producto interno, 432 real, 282 subespacio de un, 288 trivial, 283 Espacios vectoriales isomorfos, 506 isométricamente, 514 Estabilidad (numérica), 642 Euler, Leonhard (1707-1783), 68, 635 Expansión a lo largo del eje x o del eje y, 488,489 por cofactores, 171 Exponente, 640
y,
Factorización LU de una matriz, 136, 184 Flujo de tráfico, 34 Forma cartesiana de un número complejo, 631 cuadrática indefinida, 585 escalonada por renglones, 13 escalonada reducida por renglones, 13 matricial de un sistema de ecuaciones, 88 polar de un número complejo, 635 Formula de De Moivre, 637 de Euler, 635 Función vectorial, 596 Gauss, Karl Friedrich (1777-1855), 9, 21 (semblanza) Geología petrolera, 429 Gershgorin, S., 611 Gibbs, Josiah Willard (1839-1903), 259 (semblanza) Girar, 385 G rado cero, 284 Gráfica, 54, 153, 544, 553 arista de una, 153 conexa, 544 dirigida, 153 representación matricial de una, 153 número cromático de una, 544 vértice de una, 153 Gram, Jórgen Pederson, (1850-1916), 389 Hamilton, Sir William Rowan, 42, 48, 52 (semblanza), 226, 254, 259, 604
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Hipérbola, 579 Hiperplano, 340 Hipótesis de inducción, 624 Identidad aditiva, 282 matriz, 94 operador, 462 transformación, 462 Igualdad de Parseval, 403 Imagen de un vector, 474 de una matriz, 343 de una transformación lineal, 474 Inclinar, 385 Indice de Gold, 554 de nilpotencia, 83 de una sumatoria, 67 Inducción matemática, 622 historia de la, 627 Inverso (a) aditivo, 282 de una matriz, 88, 95 procedimiento de cálculo de la, 99 y determinantes, 207 de una matriz elemental, 126 transfonmación, 504 Inyección, 504 Isometría, 511,514 Isomorfismo, 506 Jacobi, Cari Gustav (1804-1851), 203 Jordán forma canónica de, 588 matriz de, 586 matriz de bioques de, 586 Jordán, Camille (1838-1922), 586 Jordán, Wilhelm (1844-1899), 9 Kelvin, Lord, 42 Laplace, Piem-Simon (1749-1827), 203 Leibniz, Gottfried Wilhelm (1646-1716), 203 Lema de Zorn, 448 Leontief modelo de insumo-producto de, 18, 34, 103 matriz de, 103 Leontief, Wassily, 18 Ley antisimétrica, 445
Indice
asociativa de la multiplicación de matrices, 63 de la multiplicación por un escalar, 282 de la suma de matrices, 50 de la suma de vectores, 282 conmutativa de la suma de matrices, 50 de la suma de vectores, 282 del producto escalar, 59 de los cosenos, 216, 236 distributiva para el producto escalar, 59 para el producto vectorial, 256 para la multiplicación de matrices, 64 para la multiplicación por un escalar, 50 para la suma de vectores, 282 reflexiva, 444 transitiva, 445 Lineal combinación, 64, 300, 446 dependencia, 314 interpretación geométrica de la, en C 3, 317 función, 464 independencia, 226, 314, 446 operador, 460 transformación (vea Transformación lineal) Longitud de un vector, 222, 388
M mrp7,285 Maclaurin, Colin (1698-1746), 213 Magnitud de un número complejo, 633 de un vector, 222, 246 Manejo de calculadora, 26, 40, 55, 80, 112, 122, 149, 179, 231,242, 253, 263,356,403, 421,442, 538, 563 Mantisa, A-l 9 MATLAB, vea el Índice de problemas, tutoría y aplicaciones de MATLAB en la página xviii Uso de MATLAB, 656 Matrices compatibles bajo la multiplicación, 60 equivalentes por renglones, 103 iguales, 46 incompatibles, 60 multiplicación por un escalar, 48 ortogonalmente semejantes, 573 producto exterior de, 83
producto de, 60 semejantes, 555, 556 ortogonalmente, 574 suma de, 48 y sistemas de ecuaciones lineales, 87 Matriz, 9, 45 adjugada de una, 204 adjunta de una, 204 antisimétrica, 121, 196 aum entada, 9 cero, 45 cofactor de una, 171 columna de una, 45 componente o elemento de una, 45 con diagonal estrictamente dominante, 614 cuadrada, 45 de adyacencia, 544 de banda, 33 de bloques, 83 de bloques de Jordán, 586 de coeficientes, 9 de contacto, 84 de contacto directo, 62 de contacto indirecto, 63 de incidencia, 154 de Jo rd án ,586 de Leontief, 103 de m X n, 9, 45 de permutación, 140 de población, 86 de probabilidad, 77 de rotación, 409 de solución principal, 598 de transformación, 480 de transición, 84, 368, 369 determinante de una, 100, 168 diagonal, 109 diagonal de una, 94, 173 diagonal principal de una, 94 diagonalizable, 557 ortogonalmente, 567 e-4, 597 ecuación característica de una, 536 elemental, 124 inversa de una, 127 espacio de las columnas de una, 345 espacio de los renglones de una, 345 espacio nulo de una, 337, 343 espacio propio de una, 526 forrna escalonada por renglones de una, 13 forma escalonada reducida por renglones de una, 13
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hermitiana, 517, 571 idempotente, 197 identidad, 94 imagen de una, 344 inversa de una, 88, 95, 207 invertible, 95 kernel de una, 343 mal condicionada, 654 menor de una, 171 nilpotente, 83 no singular, 95 norm a de una, 597 notación de corchetes para, 46 nulidad de una, 343 ortogonal, 123, 196, 242, 392, 510 ortogonalmente diagonalizable, 568 polinomio característico de una, 526 rango de una, 344 renglón de una, 45 simétrica, 119 y diagonalización ortogonal, 567 singular, 95 tamaño de una, 45 tecnológica, 104 Transpuesta conjugada de una, 441 516, 571 transpuesta de una, 118 traza de una, 440 triangular, 83, 110, 128, 173 triangular inferior, 110, 128, 173 triangular superior, 83, 110, 113, 128, 173 unitaria, 441, 517, 571 valor propio de una, 524 valor y vector propio de una, 525 vector propio de una, 524 vector y valor característico de una, 525 Maurolicus, Franciscus (1494-1575), 627 M enor de una matriz, 171 de segundo orden, 200 Mínimos cuadrados, aproximación por, 438 Modelo competitivo, 600 presa-depredador, 601, 602 Multiplicación de matriz por bloques, 66, 83 por un escalar de matrices, 49 de vectores, 282 Multiplicidad algebraica, 528 geométrica, 534
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índice
Negativa definida, 585 semidefinida, 585 Nilpotente, matriz, 83 Nivel de datos regionales, 430 de desprendimiento, 430 No singular, matriz, 45 N orm a de la máxima suma por renglones de una matriz, 597 de un vector, 388, 434 de una matriz, 597 Núcleo de una matriz, 343 de una transformación lineal, 475 espacio nulo, 338, 343 Nulidad de una matriz, 343 de una transformación lineal, 476 N úmero cromático, 544 de dígitos significativos, 640 imaginario, 574, 633 Número complejo, 44, 630, 631 argumento de un, 633, 634 conjugado de un, 632 forma cartesiana de un, 631 forma polar de un, 635 imaginario, 574, 633 magnitud de un, 633 módulo de un, 633 parte imaginaria de un, 631 parte real de un, 631 Números directores, 248 Octantes, 246 Operaciones elementales con renglones, 10 heredadas, 288 Operador diferencial, 464' integral, 464 Ordenamiento parcial, 444 total, 445 Origen, 243 Ortogonal(es) bases, en I ? con coeficientes enteros y normas enteras, 398 complemento, 326, 396, 437 funciones, 434 matriz, 123, 196, 242, 392,510 planos, 273
proyección, 396, 437 transformación de proyección, 463 vectores, 75, 236, 250, 388, 434 Ortogonalmente diagonalizable, matriz, 568 semejantes, matrices, 573 Ortonormales, conjunto de vectores, 388, 434 infinito, 436
P, 301 P , 285 / [ 0 , 1], 295 Parte imaginaria de un número complejo, 631 Parte real de un número complejo, 631 Palalelepípedo, 258 Pascal, Blaise (1623-1662), 627 Pendiente de una recta, 1 no definida, 1 Perturbaciones, 116 Pitágoras, teorema generalizado de, 403 Pivote, 13, 650 columna, 650 Pivoteo completo, 651 parcial, 649 Plano, 19, 266 cómo dibujarlo, 267 complejo, 632 ecuación cartesiana de, 266 representación paramétrica de, 274 xy, 267 xz, 267 yz, 267 Planos ángulo entre, 274 coordenados, 245, 267 ortogonales, 273 paralelos, 269 Pliegue de falla inclinada, 431 Polinomio de Legendre normalizado, 440 Positiva definida, 585 semidefinida, 585 Proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt, 389 Producto cruz, 254 magnitud del, 256 de matrices, 60 escalar, 58, 59, 233
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notación de la transpuesta para el, 120
exterior de matrices, 83 interno, 58, 432 espacio con, 432 punto, 58 Propiedad anticonmutativa del producto cruz, 256 Propio subespacio, 294 valor, 525 vector, 525 Proyección de un vector e n C 2, 237 en R 3, 251 ortogonal, 394, 437 Punto flotante aritmética de, 640 número de, 640 inicial, 221 terminal, 221 Puntos dispersos, 425 E, 44, 296 E 2, 44, 281 I? , 44, 244, 281 subespacios, 337 E", 44, 283 Rango de una matriz, 345 de una transformación lineal, 476 Recta, 1 ecuación paramétrica de una, 265 ecuaciones simétricas de una, 265 ecuación vectorial de una, 264 en el espacio, 264 pendiente de una, 1 Rectas paralelas, 3 perpendiculares, 3 Redondeo, 641 error de, 641 Reducción por renglones, 10 notación para la, 10 Reflexiones, 489 elementales, 410 Regla de Cramer, 212 de la mano derecha, 256 Relación simbiótica, 600, 603 Renglón de una matriz, 45 Representación matricial de una transformación lineal, 479
Indice
Representación paramétrica de un plano, 274 Rotación matriz de, 409 transformación de, 462 Schmidt, Erhardt (1876-1959), 389 Secciones cónicas, 578 degeneradas, 580 Segmento(s) de recta dirigido(s), 220, 246 equivalentes, 221, 246 Segundo orden ecuación diferencial de, 91 menor de, 200 SekiKówa (1642-1708), 203 Semejanza transformación de, 555 Series de Fourier, 436 2 (sigma), 67 Sigma, notación con, 67 Signo de sumatoria, 67 Simétrica matriz, 119 Singular, matriz, 91 Sistema de coordenadas rectangulares en E 3, 246 Sistema de ecuaciones consistente, 12 diferenciales de primer orden, 596 equivalente, 3 homogéneo, 36 asociado, 89 espacio de soluciones de un, 337 solución cero a un, 37 solución trivial a un, 37 soluciones no triviales a un, 37 inconsistente, 3, 12, 13 Sistema derecho, 244 homogéneo asociado, 89 izquierdo, 244 Sistema(s) de ecuaciones lineales, 2, 7 consistente, 12 en forma matricial, 88 equivalentes, 3 espacio de soluciones para, 337 homogéneo, 36 inconsistente, 3,12,13 número infinito de soluciones, 3, 11 solución a, 2 solución única, 2, 9 Sobre, transformación, 504 Solución a un sistema de ecuaciones, 2
no trivial, 37 Subespacio, 288 propio, 294 reglas para verificar, 294 trivial, 294 Submatriz, 66 Suma de matrices, 48 de vectores, 282 Superficies cuadráticas, 582 Suprayección, 503 Sustitución hacia adelante, 138 regresiva, 15, 138, 651 Sylvester, James Joseph (1814-1897), 45, 203 Tamaño de una matriz, 45 Tasa relativa de crecimiento, 595 Teorema de aproximación de la norma, 398, 438 Teorema de Cayley-Hamilton, 609 de Pitágoras generalizado, 403 de proyección, 403, 437 de resumen, 4, 106, 128, 209, 320, 353, 506, 535 del círculo de Gershgorin, 611 fundamental del álgebra, 526 Teoría de gráficas, 152, 544, 555 Tema ordenada, 244 Transformación cero, 461 de proyección ortogonal, 463 de reflexión, 458, 461, 489 de rotación, 462 de semejanza, 555 identidad, 461 inversa, 509 matriz de, 480 Transformación lineal, 460 cero, 461 identidad, 461 imagen de una, 475 inversa, 509 núcleo de una, 475 nulidad de una, 476 propiedades de una, 472 rango de una, 476 representación matricial de una, 479 sobre, 504 uno a uno, 504 Transpuesta conjugada de una matriz, 441, 517, 571
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de una matriz, 118 operador, 464 Trayectoria, 155 redundante, 155, 156 Traza de una matriz, 440 Triangular inferior matriz, 110, 128, 173 Triangular superior matriz, 83, 110, 113, 128, 172 Triple producto cruz, 262 escalar, 256 interpretación geométrica del, 258 Trivial espacio vectorial, 283 solución, 37 subespacio, 294 Truncado, 641 U nidad imaginaria, 633 Unitario(a) matriz, 441,517,571 vector, 226, 247 Uno a uno, transformación, 503 Valor inicial, 595 Valor propio, 525 multiplicidad algebraica del, 528 multiplicidad geométrica del, 534 Vandermonde, A. T. (1735-1796), 197 Vector, 42, 43, 220 característico, 525 cero, 43, 222 columna,43, componentes de un, 43, 222, 238, 251 de materias primas, 440, 460 de precios, 58 de producción, 459 definición algebraica de, 222, 246 definición geométrica de, 221, 246 demanda, 58 dirección de un, 222, 223, 247 elementos de un, 222 longitud de un, 222, 388 magnitud de un, 222, 246 multiplicación por un escalar, 282 «-vector, 42, 43 norma de, 388, 434 normal, 256, 266 propio, 525 generalizado, 590, 594 proyección de un, 238, 251 punto inicial de un, 221 punto terminal de un, 221 renglón, 42, 43
By manchester91 762
índice
representación de un, 220, 246 unitario, 226, 247 Vector propio, 525 generalizado, 590, 594 Vectores, 42, 282 ángulo entre dos, 234 combinación lineal de, 64, 300 conjunto generado por, 301 coplanares, 274 en el espacio, 243, 246 en el plano, 220 linealmente dependientes, 314
linealmente independientes, 226, 314 multiplicación por un escalar de, 282 ortogonales, 75, 237, 250, 387, 434 ortonormales, 387, 435 paralelos, 236, 250 perpendiculares, 237, 250 producto cruz de, 254 producto escalar de, 58, 59, 234 producto punto de, 58, 59, 234 producto vectorial de, 254 surna de, 282 triple producto escalar de, 256
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triple producto cruz de, 262 Vectores de la base en B 2, 226 en R 3, 249 Vértice de una gráfica, 153 Vértices adyacentes, 544 Volumen generado por tres vectores, 262 Whitehead, Alfred North, 630 Wronsiki, J. M. H. (1778-1853), 326 Wronskiano, 326 Zorn, Max A. (1906-1993), 448
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La nueva edición de este texto clásico en la m ateria de álgebra lineal ofrece: • Un mayor número de problem as que en ediciones previas, para hacer un total de 2 750, casi todos reorganizados y muchos de ellos son com pletam ente nuevos. • Códigos para Matlab actualizados de acuerdo con la versión m ás reciente de este programa, a sí como también ejercicios para resolver con esta herram ienta y un tutorial donde se explican los comandos. Adem ás, se han ampliado las secciones de Matlab en cada capítulo para incluir los códigos necesario s para la programación. • Secciones específicas para la resolución de problem as con calculadora com pletam ente actualizadas, con ilustraciones paso a paso sobre los procedimientos a seg uir y problem as para resolver con calculadora. • El texto conserva el estilo didáctico y ameno que lo ha caracterizado desde hace casi dos décadas, con un balance adecuado entre la teoría y la técnica. Tanto los ejem plos como los ejercicios hacen referencia a disciplinas como agricultura, adm inistración, economía, estadística, ingenierías, medicina y ciencias so ciales como la demografía. • Muchas ideas im portantes se exponen con apoyo en su interpretación geom étrica, lo cual facilita la com prensión de los conceptos. • Un diseño com pletam ente renovado, que perm ite una localización m ás rápida de los conceptos. En sum a, este texto ofrece nuevos recu rso s que lograrán hacer m ás eficaz el aprendizaje de esta importante disciplina, que se aplica de m anera creciente en distintas área s del quehacer profesional.
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ISBN-13: 978-970-10-6517-4 ISBN-10: 970-10-6517-4
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