Algebra I - Armando Rojo

-v e A ‘a c jal es V por ser el antecedente F. En consecuencia, de acuerdo con la definición de inclusión, se tiene C A.

So ti: Eí teorem a es válido cualquiera que sea A; en particular, A puede ser vacío. ii ) Propiedad. El conjunto vacío es único. En efecto, suponem os que. además de <¡>, existe é' tam bién vacío. Entonces, de acuerdo con i ). es verdadera la proposición C <¡¡


y. por definición de igualdad, resulta Ejem plo 2-9,

D emostrar

A C $ =*■ A =

Como se trata de una igualdad se requieren dos inclusiones. Io )


2o ) A C
A = 0.

© 2 .4 . CONJUNTO DE PARTES P ado un conjunto A, podem os formar un nuevo conjunto constituido por todos los iubconjuntos Je A, el cual recibe el nombre de conjunto de partes de A.

D e finición /

Conjunto de partes de A es el conjunto cuyos elementos son todos subconjuntos de A. P {A ) = { X / X C

a}

Los elementos de este conjunto son a su vez conjuntos, y, en consecuencia, P (A) es un conjunto de conjuntos. De acuerdo con la definición, se tiene X e P (A) « X C A

F! problema de decid ir si un objeto es un elemento de P (A ) se reduce a determinar si dicho objeto es un subconjunto de A. De acuerdo con la propiedad reflexiva de la inclusión, cualquiera que sea A, se tiene A C A, y en consecuencia A e P (A ) por definición de conjunto de partes. Además, por 2.3.5. i) se sabe que

f

\

Determinar el conjunto de partes de A = { 2 , 3 ,4 ¡ Los elementos de P ( A) son todos los subconjuntos de A, es decir

4>

A

Y la notación po r extensión es

Ejem plo 2-11.

,

i ) El conjunto de partes del vacío es el conjunto cuyo único elemento es el vacío.

i i ) La pertenencia relaciona elemento a conjunto, mientras que la inclusión relaciona conjuntos entre sí. Desde este punto de vista, damos los valores de verdad de las siguientes proposiciones relativas al ejemplo 2- 10. V 4>e A

F

4>eP( A)

V

(¡>C P (A)

V

e P ( A)

V

2eP (A )

F

{ 2 } eP (A )

V

A eP (A )

V

Ae A

F

A

^

(2,3)

A

Ejemplo 2-12,

Si A tiene n elementos, entonce» P (A) tiene 2" elementos. Se trata de computar el número de subconjuntos de A. Uno de ellos es el vacío. C onjuntos unitarios hay exactamente n = ( n ) , es decir, tantos como combinaciones de n elementos, de orden \ 1/

1.

Ei número de subconjuníos de dos elementos es el de combinaciones de n ■ti

elementos de orden 2 , es decir i , ¡ , Subconjuntos ternarios hay ( 'l i .· Y así sucesivamente, hasta obtener el único subconjunto de n elementos. El número to tal está dado por la suma 1 + (Ü) + Í T ¡ + . . . + í'n ” ,j + 1 = ('" ) + j'" 1 + ( '" ) + . . . 4 ¡ ” \ = n

:n \

n

.

= s (,·;= 2 ( ¡ j r . r - * = o + i r = 2n ¡= 0 i- 0 En este desarrollo hemos aplicado la fórmula del binom io de Newton, que se justificará en el Capitulo 6.

'2.5. COMPLEMENT -XION DE CONJUNTOS Sean A y B subconjuntos de U, í.5.1. Definición Complemento de A es el conjunto formado por los elem entos de U que no pertenecen a A. El complemento de A se denotará por Ae; suelen usarse tam bién A ’ y A.

En símbolos Ac = I jccU/jc^a}

o b ie n Ac = { x / x î a ) Se tiene .v c Ac «· .v f A El duii'rama »1«; Vcnn correspondiente es

La complementación es una operación unitaria, en el sentido de que a partir de un conjunto se obtiene o tio . Es usual tam bién obtener el complemento de un conjunto A, respecto de o tro B, en cuyo caso ¡a definición es C%A - \ x e ü ¡ x $ A > En particular se tiene i ) El com plem entario del vacio es el universal. x e U => jc £<¡í> =» x € óc 9

O

V

se-i

.o rn o

V C if 9 C C U, resulta # r - f.:

t¡ ) Ei com plem entario del universal es ei vacie. i ,c =· í x f . x e V i.

2.5.2.

A xi\j

\ =

Propiedades de ia complementación

- í) INVOLUCION. (A c)r = A D emostración) x e (A e )c « . t í Ar

~ ( . r e Ac) <*· ~ (x 4 A)

x eA

En esta dem ostración hemos utilizado la definición de com plem ento y la ley involutiva del cálculo proposicional. II) A C B =* Bc C Ac D em ostración) U tilizando sucesivamente las definiciones de complemento, de inclusión y de com plem ento, se tiene Ac

x t

Luego

,

Be C A c

Ejem plo 2-13.

Demostrar A = B =*· Ac = Bc x e V

o x € A ·» x 4 B « s e Bc

En virtud de las definiciones de com plem ento, igualdad y com plem ento. E jem plo 2-14.

i

) Si r es una recta incluida en el plano a, entonces su com plem ento es el par de semiplanos opuestos abiertos, de borde r.

i i ) El com plem entario del conjunto de los números naturales pares es el conjunto de los naturales impares, iü) El complem entario de Q en R es el conjunto de los núm eros irracionales. .<2.6. INTERSECCION DE CONJUNTOS Sean A y B subconjuntos de U. 2.6.1. Definición Intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto form ado po r los elementos que pertenecen a A y a B. El diagrama de Venn correspondiente es

En símbolos se tiene An B=

£ U ,/ x e A

a

x

e Bj

O bien, sobrentendido U . AOB = |.v/xeA

a

jre B j·

La intersección entre conjuntos es una operación binaria, porque a partir de dos conjuntos se obtiene un tercero. La propiedad que caracteriza a los elem entos de la intersección es la de pertenecer simultáneamente a los dos conjimtns y se establece en términos de una m u junción La definición de intersección establece jceAHB « ,? e A

a

*eb

Si la intersección de dos conjuntos es vacía dichos conjuntos se llaman disjuntos. A y B son disjuntos <=> A O B = Ejem plo 2 -/5 .

i )S¡ r y r ’ son dos rectas distintas incluidas en un plano, entonces su intersección puede ser vacía, o bien reducirse a un punto. En el primer caso son paralelas, y en el segundo caso se llaman incidentes, i i ) Sean dos rectas AC y AB, donde A. B y C son tres puntos no alineados pertenecientes al plano a . Quedan definidos los conjuntos S (AB , C ) : semiplano de borde AB que pasa por C S (AC , B ) : semiplano de borde AC que pasa por B Entonces el conjunto S (AB , C) n S (AC , B) es el ángulo convexo BAC

iii) considerem os tres puntos distintos A, B y C pertenecientes a la recta r: A

B

C

r

Las semirrectas S (A , B) (de origen A que pasa por B), S (A , C) y S (C , B) son subconjuntos de r, tales que S ( A , C ) n S ( C , B ) = AC S ( A , C ) n S ( A , B ) = S (A , C) = S (A , B) iv) La intersección entre el conjunto de los números enteros pares y el conjunto de los núm eros impares es vacia, ya que no existe ningún entero que sea simultáneamente par e impar. v ) En Z, la intersección entre el conjunto de los números pares y el conjunto de los números prunos es eí conjunto «J — 2 , 2 ; 2.6.2. Propiedades de la intersección 1) 1DEMPOTENCÍA: A O A = A. En efecto

x e A n A ■» x e A

a x eA xeA

II) ASOCIATIV1DAD: (A n B) n c = A O (B O C). Utilizando la definición de intersección, y la asociatividad de la conjunción, se tiene x e (A n B )D C « jceAUB a ** (x e A a x e B) a x e C x eA a

x

e C ·»

x e A a (.v e B a x e C ) ·»

x e Bn C « x e A n (B O C )

III) CONMUTATIVIDAD: A n B = B n A. La demostración es obvia aplicando la definición de conmutatividad de la conjunción.

intersección y la

IV) ELEMENTO NEUTRO PARA LA INTERSECCION ES EL. UNIVERSAL. La intersección opera sobre elementos de P (U ),es decir, ¡obre subconjuntos üs -U. Interesa determinar si existe un subconjunto de U cuya intersección con cualquier otro no lo altere. Tal elemento de P ( V ) se llama neutro para la intersección,y en nuestro caso es el mismo U. En efecto cualquiera que sea A C U, se verifica A n Ejemplo 2-16.

.

La propiedad IV es un corolario del siguiente teorem a A C B ■» A H B = A

U—U O A = A

Por tratarse de una condición necesaria y suficiente realizamos las demostraciones de las dos implicaciones: i ) A C B => A H B = A Con la información proporcionada por la hipótesis A C B, tenem os que dem ostrar la igualdad A n B = A. Por definición de igualdad hem os de probar dos inclusiones: a) Sea x e U tal que x e A n B. Ahora bien x e A n B =&■ x e A /.

x e B =» x e A

por definición de intersección, y ley ¡óg¡ca p q =» p. En consecuencia A O B C A i 1 1, La relación (1 ) nos dice que la intersección entre dos conjuntos está incluida en cualquiera de ellos. b) Sea ahora x e A =* x e A

\'xeB

=>íeAOB

por la hipótesis y por definición de intersección. Entonces se verifica A C A B (2). De (1) y (2) resulta A n B = A. ii)

A O B = A **ACB Para demostrar que A C B, consideramos x e A => x e A n B => x e A

a xeB =fjeB

pues po r hipótesis A = A ri B; hemos utilizado además la definición de intersección y ia ley lógica p '■ ü =*
*

Demostraremos que si dos conjuntos están incluidos en un terceto, entonces ia intersección de los dos primeros es parte del tercero. Esto se ''ve’" en el dsagrarr¡a

ACX

a'

BC X

AH BC X

Lo dem ostram os así

x t A O B =>.veA

a

jreB=*xeX

λ

x e X => x e X

Hemos aplicado sucesivamente la definición de intersección, la hipótesis y la ley '· >gÍC3 p Λ p => p.

i.je m p lo 2-18.

D em ostrar que el conjunto de partes de la intersección es igual a la intersección de los conjuntos de partes.

’ /* (A Π B) = i* (A) Π P (B) En efecto: teniendo en cuenta que los plemenmc de fe« parte? de un conjunto son .beanj a n te s , consideramos X e P l Α Π 3) «· X C A . n B

XC a

'

X CB»X e?(A )

\

XeP(B)

<=» Xe/>(A)ni>(B) •i definición de conjunto de partes; teniendo en cuenta i ) a) del ejemplo 2-16, la • ansitsvidad de la relación de inclusión, la definición de conjunto de partes y la c.'fsnición de intersección.

2.7. UNION DE CONJUNTOS 1.7.1. Definición L nión de dos conjuntos A y B es el conjunto form ado p or los elem entos que pertenecen a A o a B. S im bólicam ente se indica Ί

f

A U B = i x e U / x eA ^

v

x e B ¡> J

Prescindiendo del universal AUB = | í

/ x e A v x e B j>

La u nión de conjuntos, lo mismo que la intersección, es u na operación binaria definida en el conjunto de partes de U. De acuerdo con la definición, podem os escribir a e A U B => a e A v

a eB

El " o ” utilizado es incluyente, y pertenecen a la unión aquellos elem entos de U ra los cuales es verdadera la disyunción; entonces u n elem ento pertenece ¿ la unión / se lo si pertenece a alguno de los dos conjuntos.

El diagrama correspondiente es

A la unión pertenecen todos los elementos de los conjuntos dados. En el caso disjunto se tiene

U

donde ia parte -sombreada es A u B. Es claro q¡.o todo conjunto está contenido en su unión con cualquier otro. En efecto x e A => x e A

v

x e B =» x e A u B

en virtud de la ley lógica p => p v q, y de la definición de unión. Entonces A C A U B como queríamos. Ejemplo 2-19.

í ) La unión d e un par de rectas r y r ’ contenidas en un plano es el p ar de rectas. i i ) La unión de dos semiplanos opuestos y cerrados es el plano. iii) Sean los puntos A, B y C, como en el ejemplo 2-15. iii). Se tiene S (B , A ) U S ( B , C) = r S | A , B ) U S ( B , C ) = S ( A , B) 2.7.2.

Propiedades d e la unión

I) 1DEMPOTENCIA. Cualquiera que sea A. se verifica AU A = A Pues

-v e A u A

x eA v

x e\ o x €A

por definición de unión, y la ley lógica p v p o p.

!J) ASOCIATIV1DAD. Cualesquiera que sean A, B y C' (AUB)UC = AU(BUC) La demostración es análoga a la propuesta en el caso de la asociatividad de la intersección, utilizando ahora la definición de unión y propiedades de la disyunción. I I I ) CONMU7ATIVIDAD. Para todo par de subconjuntos de li

se verifica

AU B= BU A pues

-v € Á u B ^ x e A v

x e B «· a e B v

x eA

x e B

A

IV) ELEMESTO NEUTRO PARA LA UNION ES EL CONJUNTO VACIO. Es decir, cualquiera que sea A C U, se tiene AU0=0UA=A Tratam os sólo el caso A U Q = A, ya que la conm utatividad nos exim e de la otra situación. S abem ospor 2.7.1. que A C A u 0 (1) Sea ahora .v e A U =*■ x e A v x e

Demostrar A ~ B * A U B = B. Seguimos el mismo esquema empleado en el ejemplo 2-16. i ) Hipótesis) A C B Tesis) A U B = B Demostración) Como cada conjunto está contenido en su unión con cualquier otro, según 2.7.1,, se tiene B ·; A U B

· l)

Consideremos ahora x e A u B => x e A

v ie B

v x e B =»xeB

por definición de unión, por hipótesis y por la ley p v p =» p. Entonces: De ( 1) y (2) resulta A U B = B ■ ii)

AUBCB

Hipótesis) A U B = B Tesis) A C B Demostración) i e A =» x e A U B » x é B

(21

PROPIEDADES DE LA UNION

45

porque si un elemento, pertenece a un conjunto, entonces pertenece a su unión con cualquiera y además por hipótesis, ya que A U B = B, Es decir: A C B. Ejemplo 2-21.

i ) Demostrar X C A

a

X C B =>XC AUB.

En efecto, sea x e X =* x e A v

,v e B => .v e A u B

lo que es cieno por hipótesis y definición de anión. i í ) La implicación anterior no admite recíproca verdadera, ya que puede darse que X C A B, y sin embargo X -- A y X ‘Z B, como puede verse en el diagrama siguiente JL

iii) Demostrar / * ( A ) U ¿ , ( B ) C Í ( A U B ) , f onsideremos XeP(A)uP(B) ^X e P (A )

=*XC A

v

X e P { B ) =>

V X C B = > X C A U B => X e f l A U B )

por definición d e , unión, de conjunto de panes, propiedad i ), y definición de conjunto de paites

2.S.- LEYES DISTRIBUTIVAS La unión e intersección de conjuntos pueden conectarse a través de dos propiedades fundamentales, llamadas leyes distributivas, que se expresan mediante las fórm ulas

(A u B) n C = (A n c) u (B n o ( A n B ) U C =(AUC)n(BU'C) Vamos a verificar, mediante diagramas de Venn. ia primera de estas leyes. Los dibujos corresponden al primero y al segundo miembro de la igualdad.

(AUBl^c

(A n c) u (B n c)

Las dem ostraciones formales son las siguientes: 2.5.1.

Distributividad de la intersección respecto de la unión xe (A ü B )n c « s e A U B <*{xe A

a xeC)

v

a

(xeB

x

e C ■*> (x e A

v

jc e B)

a j c eC ) « x e A O C v

x

e C «*·

* eBn

c ■*=*·

a

« -jc e (A n c ) u ( B n c ) por definiciones de intersección y de unión, y distributividad de la conjunción respecto de la disyunción. 2 .3 .2 .

Distributividad de la unión respecto de la intersección x e (A n

B) u C

x eAo B

« (x e A

a

xeB)

v

x eC o

«(xeA

v

xeC)

a

(xeB

«

í

£ A U C

a

x

e B U

€

v

v

x eC

xeC )<*

*»

« - . r e ( A U C ) n (B U C) S í han utilizado las definiciones de unión, de intersección, y la ley distributiva de la disyunción respecto de la conjunción.

2.9. LEYES DE DE MORGAN Estas leyes, de gran aplicación, perm iten relacionar la compiem entación con la unión e intersección. '.9 .1 . Teorema. El com plem ento de la unión de dos conjuntos es igual a la intersec­ ción de sus complementos.

LEYES DE DE MORGAN

47

Tesis) (A U B)c = Ac O Bc Demostración) x e ( A U B)c o x 4 A U B «~(xeA U B )^~(xeA o x t A a

.v 4 B

v

xeB)

x e A c a x c Bc o

<» x e Ac n b c Por definición d e complemento, de unión, negación de una disyunción, y definición de intersección. 2.9.2. Teorema. El complemento de la intersección de dos conjuntos es igual a la unión de sus complementos. Tesis) (A n B)c = Ac U Bc Demostración) x e (A n B)c » x í A H B «· ~ (x e A n B)

o

~ (x

x i A v x i B o x e

e A .\ x e B) A c v x e Bc o

x e A c U Bc

De acuerdo con las definiciones de complemento, de intersección, negación de una conjunción y definición de unión. Ejem plo 2-22.

Demostrar la equivalencia de las siguientes proposiciones: AC B

;

Bc C A c

;

AUB=B

;

An B = A

De acuerdo con ío establecido en el Capítulo 1, para demostrar la equivalencia de una cadena de n proposiciones, es suficiente probar « implicaciones. En nuestro caso p => q =* r

Io)

2o )

=> s => p

A C B => Bc C Ac En efecto x e B c = > x í B = > x í A = > x e A c por definición de com plem ento, p or hipótesis y definición de complem ento. Bc C A c = » A U B = B SeaxeAUB =*xeA

v

ac e B =>

= » x ¿ A c v x e B => x ^ Bc v x e B =* =>xeB

v

x f B =^xeB

.p o r definiciones de unión y de complemento, por hipótesis, definición de complemento y ley lógica p v p =¡> p. Así AUBCB

(l>

Por atra parte B C AU B

(2)

ya que todo conjunto es parte de su unión con cualquier o tr o . De (1) y (2) resulta A U B = B 3o)

A U B = B =» A n B = A a) Coìto la intersección está incluida en cualquiera de los d os conjuntos, se tiene

An BC A

ID

b) Sea x e A **'x e A U B =* x e B pues - A :J B v por hipótesis Enonces x e A => x e A

Es decir

a x e B =» x e A n B ACÂOB

P o r ( l ) y ( 2) resulta An b = A 4o ) A n B — A = > A C B Esiá demostrado en el ejemplo 2-16 i i )

2.10. DIFERENCIA DE CONJUNTOS 2.10.1, Definición Diferencia entre dos conjuntos A y B es el conjunto form ado por los elementos de A que no pertenecen a B.

El díagarna correspondiente es

Es clara que A — B =£ B — A; es decir, la diferencia de conjuntos no es conmutativa.

Ejemplo 2-23.

i ) Considerando como universal al conjunto d e los puntos del plano, la diferencia entre la recta r y el segmento AB es la unión de las semirrectas abiertas AM y BN

A

B

r

-------------- S------------- ^— ------- i--------------- !-------------M

-

N

n ) La diferencia entre e! conjunto de los núm eros pares y el conjunto de los números primos es el conjunto de los núm eros enteros del tipo x — 2 , k siendo k ^ i 1 .

2.10.2. Propiedad. La diferencia entre dos conjuntos es igual a la intersección del

primero con el com plem ento del segundo. ' Se trata de probar qu e A — B = A ñ Bc. En efecto, aplicando sucesivamente las definiciones d e diferencia, complementación e intersección, se tiene A —B = | i / í e A

a

x é Bj =

/x eA

a

x e Bc j = A n Bc

Ejemplo 2-24.

Demostrar

BC A # fA -B )U B = A (A — B) U B = ( A n Bc) U B = (A U B) H ( Bc U B) = = (A U B )nU = AUB = A

Por 2.10.2, distributiv'idad de la unión respecto de la intersección, por ser BCU B = U, por neutro para la intersección y lo dem ostrado en el ejemplo 2-20. Ejemplo 2'25.

Demostrar h distríbutivtdad de la intersección respecto de la diferencia, es decir A n (B - C) · (A n B) - (A n o En lugar de seguir el m étodo general de probar las dos inclusiones, vamos a trasformar cada m iem bro d e la igualdad utilizando las propiedades demostradas. Así A n ( B - C ) = A O ( B n c c) = A P i B O C 0

'

(1)

por 2.10.2 y asociatividad de la intersección. Considerando el segundo m iem bro y

aplicando 2.10,2, ley de De Morgan, distributividad de la intersección respecto de la unión (A n B) - (A n C) = (A n B) n (A n

c')c =

=· (A n B) O (A c U Cc) =

= (A n

b

= $ u (a

n a c) u (a n b n ce) = o b n ce) = A n b n c c

(2)

De ( 1) y (2) resulta A n (B — C) = (A n B) - (A n

c)

2.11.

DIFERENCIA SIMETRICA

Sean A y B dos subconjuntos de U. 2.11.1. Definición Diferencia simétrica de los conjuntos A y B es la unión de los conjuntos A — B y B - A. La notación es A A B = (A — B) U (B — A)

(1)

y el diagrama correspondiente

Otra identificación de la diferencia simétrica es A A B = (A n Bc) U (B n Ac)

(2 )

que se deduce com o consecuencia inmediata de la definición, teniendo en cuenta que la diferencia entre dos conjuntos es igual a la intersección del prim ero con el com plem ento del segundo, según 2 . 10.2 . Resulta tam bién A A B = (A U B) — (A n B)

(3 )

En efecto A A B = (A — B) U (B — A) = (A n Bc) U (B n Ac) =

= [(A n Bc) UB]n [(A n Bc) u Ac] = = (A U B) n (Bc U B) n (A U Ac) n (Bc U Ac) = = ( A u B ) n u n u n ( A c u B c) — = ( A U B ) n ( A c U B c) = ( A U B ) n ( A n B ) c = ( A üB)-(AnB) De acuerdo con (2), por ley distributiva de la unión respecto de la intersección, por ser BC U B = A U A C = U, por ser U neutro para la intersección, por conmutatividad de la unión, por ley de De Morgan y por 2.10.2. Las expresiones alternativas para la diferencia simétrica son A A B = (A — B) U (B — A) = (A n Bc) U (B n Ac) = = (A ü B ) - ( A n B) = (A UB) O (A í~¡ B)c t

2.11.2. Propiedades de la diferencia simétrica I) CONMUTATIVIDAD A A B = (A — B) U (B — A ) = (B — A) U ( A — B) = B A A II) EXISTENCIA DE NEUTRO. En P (U), el vacío es neutro para la diferencia simétrica. E n efecto A A ^ = ( A - 0) U ( ^ - A ) = A U ^ = A = ^ ñ A III) EXISTENCIA DE INVERSOS. E n una operación entre elem entos de un conjunto (en este caso el conjunto es P (U), los elementos son los subconjuntos de U y la operación es la diferencia simétrica), interesa determ inar si, dado un conjunto, existe otro cuya diferencia simétrica con él es el neutro. Afirmamos que to d a conjunto A C U admite al mismo A como inverso respecto de la diferencia simétrica. En efecto * A A A = ( A — A ) U ( A - A)~(¡)U = <¡¡ IV) ASOCIATIVIDAD. Cualesquiera que sean A, B y C pertenecientes a P (U) se verifica -

(A A B) A C = A A (B A C)

Demostración) . (A A B) A C = [(A A B) n Cc] U [(A A 8)e n C] —

= { [ ( A n B c)u (A c n B )] n c c} u {[(A U B )n (A n B )ef n c } = = ( A n b c o c c) u (A c n b n c c\ f f
'=

= (A n b c n cc)u(Acn b n c°) u (Ac n b c ric) u (a o b n C) = = ( A n B n c ) u ( A n B cn c c) ü ( A ' n B n c c)u(Acn B cnc)

(i)

En este desarrollo se han utilizado las consecuencias de la definición de diferencia simétrica, leyes de De Morgan, distributividad de la intersección respecto de la unión y la corm utatividad. Desarrollamos ahora el segundo miembro aplicando la conmutatividad de la diferencia simétrica y utilizando el resultado anterior

A A(B & C) = (B A C)A A =

= íB n

c n'A) u (B o cc n

ac) u (Bc n c n ac) u (b c n cc n A) =

= Í A O B n C) u (Ac í*ibo cc)u (Ac n bc n C) u (A n bc n ce)

(2)

De (1) y (2) resulta

(A A B) A C = A A (B A C) Ejemplo 2 -2 6 .

i ) La diferencia simétrica entre los intervalos reales |1 , °°) A (—00 ,3] = (3 ,« )U (- « »,1 ) i i ) En cambio

(1 , °°) A (—00,3) = [3 , °°) U

, 1]

Ejemplo 2-27.

Demostrar la ley cancelativa de la diferencia simétrica, es decir

A A B = A A C =>B = C En efecto

AAB = A A C = » A A (A A B ) = A ¿ (A ¿ C ) » =* (A A A) A B = (A A A) A C =>

=» p A B —

^ B= C

Ejemplo 2-28.

Demostrar la distributividad de la intersección respecto de la diferencia simétrica. Tesis) (A A B) O C = (A n C) A (B ri C) Demostración) Desarrollamos los dos m iem bros p o r separado

( A A B ) n c = [ ( A n B e) ü ( A c n B ) ] n c = = (A n

bc n

c) u (Ac n B n c)

(i)

(A n c) A (B n c) = [(A n c) n (b n c)c] u f(A n c )c n (B o c )] = = [(A n C) n (b c u c °)] u [(a c u c c) n (B n c)] = = (A n c n b °) u (a n c n c °) u (Ac n b n c) u (cc n b n c) =

==(AnBc n c ) u 0 u ( A en B n c ) u 0 = = (A n b c o c ) u ( a c n b n c)

(2)

Hemos utilizado las alternativas de la definición de diferencia simétrica, la distributividaá de la intersección respecto de la unión, una iey de De Morgan, la conmutatividad de la intersección, la definición de conjuntos disjuntos y la neutralidad del para la unión.

2.12. PRODUCTO CARTESIANO 2.12.Í Par ordenado

»

Dados dos elementos a y b interesa form ar un conjunto que dependa de dichos elementos y del orden en que se consideran. D efinición

Par ordenado (a , b) es el conjunto cuyos elementos son

j y

/ a , fe 'j>

( j , 6) = a y b son la primera y la segunda com ponentes del par ordenado.

En particular se tiene («,«) =

j{ a )

» {*>*}}

=

{ { a }}

S i a ^ b , entonces ( a , b) ^ (b , a)

'Q ueda como ejercicio la siguiente propiedad; dos pares ordenados son iguales si y sólo si tienen sus componentes respectivamente iguales,

2.12.2. Definición * Producto cartesiano de dos conjuntos A y B es el conjunto cuyos elementos son todos los pares ordenados cuya primera componente pertenece a A y la segunda aB . En símbolos

A X B = ^(a , b ) ¡ a e A

a

¿eB }

E n particular A X A = A 2 = | ( a , 6) / í z e A

a

6 e Aj

Ejem plo 2-29.

i ) P roducto cartesiano de A = ^ 1 , 2 , 3 |

y

B = <£l , 2 /

A X B = {"(1 ,1 ), (1 , 2 ) , ( 2 , 1 ) , ( 2 , 2 ) , ( 3 , 1 ) , ( 3 , 2 ) } i i ) Por ser pares ordenados, los elem entos del pro d ucto cartesiano de dos conjuntos pueden representarse m ediante p u n to s del p lano cuya abscisa y Ordenada SOn, ICSpCÍ aVaHiCntC, la pti¿riCía y la seguíiuá cOmpUíiCuic.

Los vértices de la cuadrícula obtenida son los elem entos del p ro d u c to cartesiano, iii) El producto cartesiano no es conm utativo, pues (3 , l ) e A X B y (3 , 1 ) * B X A ** => A X B = £ B X A Ejem plo 2-30.

Sean los intervalos cerrados de números reales [ a , b ] = ^ x e R I a < ,x <

fe , d] = ^ y e R / c < / < d ^ Entonces [a , é ]X [c , d ] = ^ (x , y ) e R 2 l a < x

es el rectángulo cuyos lados son dichos intervalos.

a

c<

y<.d}

Ejemplo 2-31.

Sean A = ^ x e R / ¡x ¡< i ]

y

B= R

Entonces AXB = { (.v j)eR J / - l < i < ] es la faja abierta de la figura

* j e r )

Ejemplo 2-32. El producto cartesiano es distributivo respecto de la unión ( A U B ) X C = ( A X C ) U ( B X C) En efecto ( x , y ) f ( A U B ) X C « x e A U B A y eC o « (,ve A v .t e B) a y eC o (jee A a v e C ) v í.r e B a v e C ) » ** (x , ,f ) e A X, C v (,t , y ) € B X C *> ·» {a- . f 'HMA X € ) ü IB X C) Hemos aplicado, sucesivamente: definiciones de producto cartesiano, de unión, distributividad de ia conjunción respecto de la unión, definiciones de producto cartesiano y de unión. El producto cartesiano de tres conjuntos se define mediante A X B X C = (A X B) X C Sus elementos son ternas ordenadas. Como caso particular, se tiene A3 = A X A X A = ^ ( x j ' , : ) / J r e A

a

ye A a

zeAj

En este caso, la representación es espacial.

13. OPERACIONES GENERALIZADAS Sea

(

A)t A j,. .. , A„ ^

un conjunto finito de conjuntos; en este caso podemos

formar la unión e intersección de dicha familia, es decir n

A. U A: U . . . u

A„

=

U A, »= l n

A,

; A2 ' ’ . .. <1 A„ =

0 A,

donde los segundos miembros denotan abreviadamente tales operaciones. Si consideramos l„ = | 1 , 2 , . . . , n ) , entonces escribimos H

U A, =

le in

U A,

í= l n

n a, =

i e I«

n a,

¡= 1

¡ n es un intervalo natural inicial (conjunto de los n prim eros números naturales) y se llama un conjunto de índices.

Si el conjunto de índices I se identifica con N, es decir, I= ^ 1,2 ,3

, entonces la familia de conjuntos <^A, , A 2 , . . . , Af¡, . . , \

se llama sucesión de conjuntos y la notación es U a, = ieI

U a, *·= 1 .·*»

n a, = i

c- I

D

a,

I = 1

También puede abreviarse la natación de la familia de conjuntos { Aj , A2 , . . . , A„ ^ 2.13.1. Sea < A,· }

^ Aj j> ¡ e l

^ ^ una familia de conjuntos.

Definición

Unión de la familia ^ Aj j

e ¡ es el conjunto

U a ¡ = f x / 3 ¡'e I

¡el

A

^

xeA,·!

·*

Es decir, u n elem ento pertenece a la unión de la familia si y sólo si pertenece a alguno de los conjuntos de dicha familia. 2.13.2. Definición Intersección de la familia

A¡ j· ,· e ¡ es el conjunto

H a , = ( X !x e A ¡, V*X i€ i j I l 'n elemento pertenece a la intersección si y sólo si pertenece a todos Ies conjuntes de dicha familia. Para Sas uniones eintersecciones generalizadas subsisten ías propiedades de! cas:? binario. En particular las leyes de De Morgan son

u a

¿el

/r W I¡el

Y = /

)^ /

n v *€ I

u a ,c ¡el

Ejemplo 2-33.

Operaciones co n intervalos reales i )

Ü [/ — 1 , 0

= [0,1) ü [1,2) U [2,3) U , . . . =

i=1

= iru

| o } = [o ,« )

donde R 4 d en o ta el conjunto de los núm eros reales positivos. 10

,C \f T ·

n,)

t)

-<-■·')'·'f

= (o .i)■"* (o, 4 )

ñ j o , - jj

i

.y )

" - · = { < > }

n fo,-£!

n .... = ^

2.14. UNIONES DISJUNTAS En Probabilidades se utilizan uniones d e conjuntos disjuntos y en lugar de utilizar las notaciones AUB

para el caso

A O B = 4>

es usual escribir A+ B sím bolo que indica una unión disjunta. Si se tiene u n a unión arbitraria de conjuntos, ésta puede expresarse com o unión disjunta de la siguiente manera A U B = A + AC(1B

Consideremos ahora la unión de tres conjuntos A ¡ , A 2 y A 3 ; la podem os expresar com o unión disjunta mediante 3

U

a,

í= 1

=

a

, + Af n

a

2+

aí

n

aí

n

a

3

Indicando con el sím bolo Z la unión en el caso disjunto, la expresión anterior en el caso de una sucesión de conjuntos puede escribirse así

U a , = Ai +

^ Ai n a § n . . . n A j , n Ay

Se trata de probar esta igualdad. a) El segundo miembro es u na unión disjunta. Sean dos térm inos de la sumatoria con i =£/, por ejemplo: i < j. Se tiene (A f n . . . n A£ i n a,·) n (A f n

. . . n Af n . . .

n A /.t n

a ¡)

=

=

x e

( J A,· => 3 i e N i x e A, ie N t

Si k es e! m enor entero positivo para el cual x € A *. se tiene x i A( U A 2 U ... U A , ya que x no pertenece a ningún A¡ con i < k . Luego

x e(A, U A 2 U . . . U A j . , ) ' => => x e A f n A j n . . . n Aft.i y com o

x e A k =>

=* x e A \ n a $ n . . . d a | . , n Afc y en consecuencia x pertenece al segundo miembro. c) Sea ahora un elem ento del segúrelo miembro. Por ser una unión disjunta, dicho elem ento pertenece a uno y sólo uno de los términos, es decir

a * / X e Af n Al n . . . n Ac k. , n a* => => x e A h para un único k => => x e *

U A, i e N

TRABAJO PRACTICO II 2-34, Se considera un experimento aleatorio consistente en lanzar tres monedas. Si una moneda cae cara, se anota 1, y si cae sello se anota 0. Form ar el conjunto cuyos elementos son los posibles resultados del experim ento. 2-35. Con relación ai ejercicio anterior, determ inar por extensión los siguientes sub-

conjuntos: 51 : se dan más caras que sellos. 52 : sí obtienen al menos dos caras. 5 3 : se obtiene el mismo resultado en las tres monedas. 2-36. Con los conjuntos definidos en 2-30, obtener:

Sf ;S 2 - S 3 '.Sj n s 3 ;( S 2 U S 3) n S , 2-37, Sean ¡os conjuntos

determinar A H B . A U B . A — B , B - A , A A B 2-38. Dados

Obtener A n B . A U B , Bc 2-39. Siendo

obtener A n B , (A U B )1

2-40. Si

A=|xeZ/lxl<4|

y ^

B =|xeZ/.x|6j

determinar

A U B . A D B . A — B, B — A , A A B 2-41. Formar to do s los subconjuntos de

A = { ( 0 , 0 ) , ( 1,0)} 2-42, Siendo A — ( a , b^{

, o b te n e rP (A 2)

2-43, Demostrar

(A n B) c A c (A u B.) 2-44. Demostrar

AC B

A

ACC

AC(BOC)

2’ 45. Demostrar que si dos conjuntos están incluidos en un tercero, entonces su unión

también lo está. 2-46. Demostrar

A C $ => A = $ 2-47. Demostrar

A - B = A - ( A n B ) = (A U B )- B 2-48. Demostrar

(A U B )- C = (A - C )U (B - C ) 2-49. Demostrar

(A O B) —C = (A —C) n (B —C) 2-50, Demostrar

* (A — B'i

C = A — ( B U C)

2-5!, Demostrar

A —(B —C) = (A — B) U (A n C) 2-52. Demostrar

(A - B )- C C A - (B - C ) 2-53. Demostrar

A U (B - C) = (A U B) - (C - A)

2-54. D em ostrar

A = (A n B) U (A n Bc) 2-55. D em ostrar

B C A « · (A - B )U B = A 2-56. D em ostrar

( A - B )U B = A U B 2-57. D em ostrar

A áB = í o A = B 2-58. D em ostrar

AXB = í « A = í

VB = 0

2-59. D em ostrar

ACB

CCD o A XC C BXD

a

2-60. D em ostrar

( A r'B ) X C = (A X C ) n ( B X C ) 2-61. D em ostrar

(A —B) X C = (A X C) —(B X C) 2-62. D em ostrar

i ) A C B =» ( A U C ) C ( B U C ) ü) A C B *» ( A n c ) C ( B n c ) 2-63. D em ostrar

ACB

A C C < > A C (B n C )

a

2-64. D em ostrar

ACC

a

B C C <* ( A U B ) C €

a

A U B = C =»A = C - B

2-65. D em ostrar

AflB=í 2-66. D em ostrar

i ) Uc = 4>

iii) A n Ac = (f>

ii) u

iv) A U A ' = U

= <¡>c

2-67. D em ostrar

Á U B= U

a

A n B = 0 = > B = Ac

2-68. Demostrar

i) A - (A - B ) = A n B ii) A *J (B — A) = A U B 2-69. Demostrar ¡a equivalencia de

AUB= U

y

A'CB

2-70. Demostrar la equivalencia de A C Bc

y

A n B = (f

2-71. Si A tiene n elem entos escribimos C (A) = n (cardinal de A es igual a «). Si A y B

son finitos, entonces el cardinal de la unión es igual a la suma de los cardinales, menos el cardinal d e la intersección, es decir C ( A U B) = C (A) + C (B) — C (A H B) D em ostrar C (A U B U C) = C (A ) + C (B) + C (C) — C (A H B) —

- c (A n c ) - c (B n c) + c (A n

b

n c)

2-72. Sean U =£ 0 y A una familia no vacía de subconjuntos de U, es decir: A CP( U) , Por definición, A es un álgebra de Boole de partes de U, si y sólo si A es

cerrada para la complementación, para la unión, y contiene al vacío. Es decir

i ) h e A =*■Ac e A ii)

A t e A , i e l =*■

iii)

$eA

U

t€ l

A, e A

donde I denota un conjunto de índices a lo sumo numerable. D em ostrar que A contiene a U , y que es cerrado para la intersección. 2-73. Sean: Í2 =#
es un álgebra de Boole.

Capítulo 3

R E L A C IO N E S

3.1. INTRODUCCION Se desarrolla aquí u n tema de fundam ental im portancia en el esquema de la matemática actual: las relaciones binarias. M ediante ellas es posible vincular elementos de dos conjuntos, no necesariamente diferentes, y según sea el tipo de conexión se tienen las distintas clases d e relaciones. En este capítulo se estudiarán con adecuado detalle las relaciones de equivalencia y de orden.

3.2. RELACIONES BINARIAS Sean \ y B dos conjuntos y P (x , y ) una propiedad relativa a los elementos x e A e y e B, en ese orden. Esto sugiere naturalmente la consideración del producto cartesiano AXB, y la determinación de los pares ordenados (a , b) para los cuales P {a , b) es una proposición verdadera. De este modo queda definido un subconjunto R C AXB, llam ado relación. Para fijar ideas consideremos el conjunto A form ado po r las personas a . b , c y d , y el conjunto B cuyos elementos son las posibles notas semanales obtenidas en una asignatura: 1, 2, 3, 4 y 5, correspondientes a insuficiente, aprobado, bueno, distinguido y sobresaliente E s decir A=[ a .i.c .jj

y

B = { l ,2 ,3 , 4 , s ]

Los elementos de A quedan vinculados con los del conjunto B mediante la propiedad P (x , j ) : x obtuvo la n ota .y Supongamos que la situación al cabo de u na semana queda especificada mediante el siguiente diagrama

Esta relación entre A y B está caracterizada por el conjunto de pares ordenados

* = { ( a , 2 ) , ( a , 4 ) , (b , 4 ) , (d , 5 )} como c no tiene ningún correspondiente en B, consideramos que no ha sido clasificado en la semana. Se tiene i x ,y ) e R

P (x , y )

es V

Definición

Relación entre A y B es todo subconjunto del producto cartesiano AXB. En símbolos R es una relación entre A y B -«· /J C AX B

Para indicar que u n par ordenado (a , b) pertenece a la relación suele escribirse a R b , lo que equivale a ( a , b) e R .

*

3.3, REPRESENTACION DE RELACIONES Sea R una relación entre A y B, es decir, R C AXB. En el caso de conjuntos finitos se utilizan los siguientes tipos de representación: i ) Mediante diagramas de Venn, com o en el ejemplo anterior, i i ) Mediante u n gráfico cartesiano. E n este caso se consideran com o abscisas los elementos del prim er conjunto, y com o ordenadas los del segundo.. Mediante paraLlas a los ejes trazadas p o r los puntos de división se form a una cuadrícula cuyos vértices son los elem entos del producto cartesiano AXB; de éstos se señalan los que pertenecen a R.

Considerando el ejemplo propuesto en 3,2, se tiene:

A XB

R

iii) Mediante un m atriz. Sobre una columna se an o tan los elem entos de A, y sobre una fila los de B. En el ángulo superior izquierdo, el significado de la relación. Se asigna a cada elem ento del pro du cto cartesiano AXB un 1 o bien un 0 , según que el par ordenado correspondiente pertenezca o no a la relación. Con el m ia ñ o ejem plo, resulta R

1

a

0

b-

0

c

0

d

0

3

4

5

1

0

1

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

}

3.4. DOMINIO, IMAGEN, RELACION INVERSA C onsiderem os una relación R entre los conjuntos A y B. Si (x . y ) e R diremos que y es una imagen de x a través de R, y que x es un antecedente o preimagen de y por R. D e finición y

Dominio de R es la totalidad de los elem entos de A, que adm iten imagen en B

fe fe

D efinición Y

Imagen de R es el conjunto de los elem entos de B, que admiten un antecedente en A IR = { y e B ¡ ( x , y ) e R ^ D efinición

4

Relación inversa de R es el subconjunto de BX A definido por = {(y ,x )j(x ,y)eR}

Ejemplo i - / .

Con relación al caso estudiado en 3.2» se tiene t

D/t = ( a - b - d '}

' * " { 2 .‘ .5}

La relación inversa es R - 1 = { (2 . a) . (4 , a) , (4

, (5 , d ) }

y corresponde a la propiedad P iy ■ x) : y es la nota obtenida p or x El gráfico cartesiano de esta relación inversa es

1

2

3

4

5

3.5. COMPOSICION DE RELACIONES A partir de las relaciones R C AXB y S C BXC, es posible definir una relación entre A y C, llamada composición entre R y S, mediante S °R

=

{(x,z)¡3yeB

a

(x

,y)eR

a

(y

,z ) e s j

La composición de relaciones admite las siguientes propiedades: i ) Asociatividad. (r*s)°ji=*ro(so/i)

i i ) La relación inversa de la composición es igual a la composición de las relaciones inversas, en orden permutado. ( S°R)~l =R~* o 5 “ 1

Las demostraciones quedan como ejercicios. Ejemplo 3-2.

Consideremos los siguientes conjuntos y relaciones: A = { -1 , 0 , l j

B= { 1 ,3}

C = {3/2, 5/2,0}

R C AXB está definida por: la imagen de x es su cuadrado. S C BX C caracterizada por: el correspondiente de y es su m itad aum entada en 1.

Se tiene: { ( - 1 , 1) , ( 1 , 1) }

S ° R = { (_ 1 ’ 4 )

’ (i’ l) }

COMPOSICION DE RELACIONES

La relación compuesta S ° R C AXC está determinada así:

X2

( x , z ) e S ° R o z = —— + 1

3.6. RELACIONES DEFINIDAS EN UN CONJUNTO Sea R una relación entre A y B, donde B = A, En este caso la relación está definida en A, y se identifica con un subeonjunto de A 2 — AXA, Definición

■

R es una relación definida en A, si y sólo s i R C A i .

Como todo subeonjunto de A 2 es un elem ento de las partes de A 2, podem os decir: R es una relación definida en A si y sólo si i? € P (A 2 ) * Es claro que el conjunto vacío y el mismo A 2 son relaciones definidas en todo

conjunto A, ya que son subconjuntos de A 2. Si A tiene n elementos, entonces A 2 tiene n 2 elementos, y el conjunto de partes de A’ tiene 2(" J) elem entos, es decir, existen 2(ní ’ subconjuntos de A2 , o lo que es lo mism o, relaciones en A. Ejem plo 3-3.

Se trata de form ar todas las relaciones que es posible definir en el conjunto 'I > = { * » · <*2 j

« 1-

ai

a2

RELACIONES

D eterm inam os prim ero el producto cartesiano A1 = { (¿j , a j ) ,(ffi ,fi2) , ( a 2 , a , ) , ( a 2 , a s ) |

C om o A 2 tiene cuatro elem entos, existen 2 4 relaciones en A, y son las siguientes: J?i = 0

_

/?J = { («1 . f l l ) } ,/?3 = { (a, , a 2) J R t = / (j-* . /?« ’I \ f

II

R

(a

2

f

/ (flj , } *6 — ~ l R i

(«i , « l ) ,(ú2 a i) }

-{ f

-< r

9

R

10

R u

(«1 >a l) >(^2 a2) }

- { í<¡\ , a2) , ( a 2 « i) } -{ (ai , a2) , (a2 a2) } - { 6*2 >ff,),(aj *a2) }

K t2 = { (ai - a i ) . ( « i , a2)

.(<*2

,«i)}

= { («i , a ¡ ) . ( a i ,« 2 ) »(«j

»a2) }

Kx4 = { (*i , « i ) . ( a 2 , « i ) , ( a j

, « 2) }

^15

>*2) }

^1 3

= { («1 . “ 2 ) >(02 .f l l ) .(«2

R 16 = A2

Ejem plo 3-4.

G ráfico cartesiano de la relación definida en R , m ediante (x,y)eR o x 3 - y 1

( 1)

La relación es un subconjunto de R 2 , y pertenecen a ella los pares ordenados de núm eros reales que satisfacen a (1). A hora bien x 1 - v 2 ■e>x2 —y 1 — 0 ■O’Cx + y ) . (x —y ) = 0

Sabemos que en R, si el producto de dos factores es cero, alguno de los factores es nulo, es decir x + y = 0 V x —y = 0 * > y = —.x

V y —x

Cada una de estas ecuaciones es la representación analítica de una recta del plano; en este caso, se trata del par de bisectrices del sistema de ejes. Si A = { (.v , v) / y = - x }

y B= [(x ,y )ly =

x}

entonces la relación R = { ( x , y ) / x 2 = y 2 J = A U B, es decir es la unión de ambas bisectrices.

3.7. POSIBLES PROPIEDADES DE LAS RELACIONES DEFINIDAS EN UN CONJUNTO Sea R una relación definida en A, es decir, R C A2 , Dicha relación puede clasificarse de acuerda co n las siguientes propiedades: 3.7.1. Reflexividad R es reflexiva »

V x : x £ A ^ (x , x ) e R

La reflexividad de R se caracteriza porque todo elemento de A forma pareja consigo mism o, y el par así o btenido pertenece a la relación. Llamamos diagonal de A 2 al conjunto D = { (x , x ) / * e A j

es decir, la diagonal

de A 2 es el conjunto de los pares de componentes iguales. La reflexividad se tradu­ ce en el hecho siguiente: la diagonal de A 2 está contenida en la relación, es decir R es reflexiva o D C R

3.7.2. No reflexividad Consiste en la negación de 3.7.1. R es no reflexiva «· 3 v / x e A

a

(x

,x )

4 R

La no reflexividad de R queda especificada por la existencia de al m enos un elemento de A que no esté relacionado consigo mismo. En un diagrama cartesiano ocurre que la diagonal de A 2 no está contenida en la relación, o sea: R es no reflexiva ·«· R

D =£ D

3.7.3. Amflexividad R es arreflexiva

V x: x e A =» (x . x ) i R

Es decir, ningún elem ento de A está relacionado consigo mismo, o lo que es igual, ningún elenento de la diagonal de A 2 pertenece a la relación o equivalentemente R es arreflexiva

R í'i D - 0

Es claro que toda relación arreflexiva es no reflexiva. Ejemplo 3-5.

EnA =| 1,2,3}

consideramos las siguientes relaciones:

i ) R = { ( 1 , 1 ) , ( 2 , 2 ) , ( 3 , 3 ) , ( 2 , 3 )} De acuerdo con la definición dada en 3.7.1., resulta R una relación reflexiva

i i ) En cambio S = { (1 , 1 ) , (2 , 3) , (3 , 2) J es n o reflexiva, pues 2e A

a

{2 , 2 ) 4 R

iii)

{(1,2),(2,1),(3,1)} Es arreflexiva, ya que ningún elementó de A forma pareja consigo mismo en la relación.

3-7.4. Simetría

R ís simétrica **· ^ x

.> t A; (.v , >:\ c R =» í;r , x ) f R

Es decir, si un par pertenece a la relación, el par que resulta de perm utar sus componentes tam bién pertenece, y en consecuencia el diagrama cartesiano es simétrico respecto de la diagonal d e A 2. ' 3.7.5. No simetría Es la negación d e la sim etría. R es no simétrica « 3 x 3 y I (x , y ) e R

h

(y , x ) i R

La no sim etría no im pide que dos pares de com ponentes perm utadas pertenezcan a la relación, pero exige que haya al m enos un par en la relación, y que el que resulta de perm utar sus com ponentes no pertenezca a ella. 3.7.6. Asim etría R es asimétrica o V x y y : (x , y ) e R =» { y , x ) 4 R

En este caso debe ocurrir que si u n par pertenece a la relación, entonces el que se deduce por perm utación no pertenece. Ejemplo 3-6.

En A = | 1 . 2 , 3 J clasificamos desde este p u nto de vista las relaciones: i ) S = { ( 1 , 1 ) . < 2 , 3 ) , < 3 , 2 )} es simétrica, i i ) 7 = { (1 , 2 ) , < 2 , 1 ) , ( 3 , 1 ) } es no simétrica, ya que (3 ,1 ) e T

a

(l , 3 ) ¿ T

üi) 6 = { ( I , 2 ) , < 1 , 3 ) , ( 2 , 3 ) } es una relación asimétrica en A. 3.7.7. Transitividad R es transitiva

V x V y V z: (x , y ) e R

(y , z ) e R =*· (x , 2 ) e R

a

Es decir, si un elem ento está relacionado con o tro (n o necesariam ente distin to ), y éste está relacionado con un tercero, entonces el prim ero está relacionado con el tercero. 3.7.8. No transitividad Por ser la negación de la transitividad, decimos R es no transitiva «*· 3 x 3 y 3 z / ( x ,y ) e R

a

(y , z) e /?

a

a

( y , z ) e R => ( x , z ) 4 R

(x , z ) 4 R

3.7.9. A transitividad R es a transitiva <* V x V y V 2 : (* , y ) e R Ejem plo 3-7.

Considerando el mismo conjunto A de los ejem plos 3-5 y 3-6 se tiene: i ) R y U son transitivas.

i i ) V = {" (1 , 2) , (2 , 3 ) , (1 , 3) , (3 , 1) } es no transitiva, ya que (l,3)eF

iii) W — | (1 , 2) , (2 ,3 )} ( 1 , 2 )e W

a

(3,l)eF

a

(1 ,1 )^

es a transitiva, ya que a

(2 , 3 ) e W => (1 , 3 ) 0 W -

3.7.10. Antisimetría R es antisimétrica « V . r V v : (x , y ) e R

(y , x ) e R => x = y

a

En cite taso, si dos pares de com ponentes permutadas pertenecen a !a «-elación, entonces dichas com ponentes se identifican. De este m odo, la relación R del ejemplo 3-5 es antisimétrica, pero no lo es S puesto que es F ¡a proposición (2 , 3 ) e S

'·. (3 , 1 ) e S = » 2 = 3

E jem plo 3-8.

En R se considera la relación R definida por {x , y ) e R

(1)

x —y e Z

Estamos interesados en la clasificación y representación de R. La definición (1) se traduce en estos términos: dos reales están relacionados, si y sólo si su diferencia es un entero. i ) Reflexividad.

N a e R =* a — a = 0 e Z => (a , a ) e /?

i i ) Simetría. { a , b ) e R => a — b e Z => b —a e Z -*■ (b , a) e R

Por (1), porque si u n núm ero es entero, su opuesto tam bién lo es, y p o r(l). iii) Transitividad. (a, b)e R

a

(b.c)eR

=>

a

—

b eZ

a

b —c e Z

=*■

=> (a — b) + (b — c) e Z =» a — c e Z => ( a , c ) e R

iv) R no es antisim étrica, pues (3 , 2 ) e R a (2 , 3 ) e R =>2 = 3 es F v ) Gráfico de R. A R pertenecen los pares de reales (jc , y ) tales que x —y e Z Ahora bien .r —y e Z =*· x —y = k / k e Z => r - x — k

con

keZ

Para cada entero k se tiene una recta paralela a la primera bisectriz.

La relación consiste en todos los pares (x , y ) e R J pertenecientes a la familia de rectas, es decir: R = k e Z^ ^ ’-v ) e R 2 ‘ y = * “ Ejemplo J-?.

Sea A u r conjunto. Como el vacío es parte de cualquier o tro , la proposición 0 C A 2 es verdaden y . en consecuencia, 0 es una relación en A. Tal relación verifica las propiedades: i ) Aireflexividad. La proposición V t :x t A

(. t . x ) i é

es verdadera, ya que el consecuente de !a implicación es V. i i ) Simetría. Se verifica po r ser V !a proposición y x y y : (x ,y)e<¡> =» (y , x ) e iii) Tiansitividad (jc ,y)e
a

(y , 2) e 0 **>(x ,z)e

es V porque el antecedente es F.

iv) Como la implicación

v

(x, y)e4>

0 > , z)e4> =* x = y

a

es verdadera por tener el antecedente falso, la relación es antisimétrica. Es decir, la relación vacía definida en un conjunto, es arrefiexiva, simétrica, transitiva, y antisimétrica. Si A = 4>, entonces la misma relación es además reflexiva, pues V .v : x e A => (x . x ) e

3.8. RELACIONES DE EQUIVALENCIA Las relaciones binarias definidas en un conjunto, que verifican las propiedades reflexiva, simétrica y transitiva, se llaman de equivalencia y desempeñan un papel im portante en álgebra. 3.8.1. C oncepto de relación de equivalencia Definición

La relación R C A2 es de equivalencia en A si y sólo si es reflexiva, simétrica y transitiva. Por razones de simplificación se utiliza el símbolo y los elem entos de to d o par perteneciente a la relación se llaman equivalentes. La notación a '-/> se iee "a es equivalente a b " . y significa que e! par {a . b) pertene­ ce a la relación. En este sentido, las relaciones de equivalencia satisfacen: i ) REFLEXIVIDAD. T odo elemento de A es equivalnte a sí mismo. V x : x e A => x

x

t i ) SIMETRIA. Si un elem ento es equivalente a otro, entonces éste es equivalente ai’primero. V x V y : ,v ~-y =» y —x iiii TRANSITIVIDAD. Si un elemento es equivalente a otro, v éste a equivalente a un tercero, entonces el primero es equivalente al tercero. V je V y V ; : x *»y

a

y —3 ** x —r

Ejemplo 3-10.

En A =
·

{ (1 . 1 ) . ( 2 . 21 . (3 . 3) .(1 . 2 ) , ( 2 , 1) }

es de equivalencia. Clarificamos las siguientes proposiciones:

1 ~1

V

1 ~2 V

3 ~1 F

2 ~2 3 -3

V

2

2~3F

V

1 ~3 F

~1 V

3-2 F

En virtud de las fres primeras queda asegurada la reflexividad. E n cuanto a la sim etría es suficiente ver que 1 —2 =*> 2 —2 es V Más aun. si el antecedente es falso la implicación es verdadera 1 ~ 3 =» 3 ~1 Para la transitividad, descartando los casos de antecedente falso, es suficiente verificar: 1 ~1

A 1 ~ 2 =* 1 - 2

V

1 —2

A 2 ~1 => 1 - 1

V

2 -1

A 1 ~ 2 = » 2 —2

V

1 -1

1 ~ l =*> 1 ~1

V

El diagram a de Venn es

donde cada arco orientado está asociado a un p ar perteneciente a la relación. En forma caitesiana:

3.8,2. Clases de equivalencia y conjunto cociente Sea ~ una relación de equivalencia en A ^ 0. Un problema de interés es la determinación de to d o s los elem entos de A qúe son equivalentes a uno dado, es decir, que forman pareja con é l La respuesta conduce en cada caso a un subconjunto de A, llamado clase de equivalencia del elemento. D efinición

Clase de equivalencia dei elemento a e A es el conjunto de todos los elementos de A equivalentes a a. Ka = ^ j c e A / j c ~ a j Con relación al ejem plo 3-10: K, = { 1 .2 } = K :

K>- { 3 } Es decir, hay dos clases de equivalencia, que son subconjuntosde A.

Podemos avanzar un poco m ás y preguntam os p o r el co n ju n to cuyos elementos' son las clases de ¡quivalencía: K t y K 3. Para denotarlo, podemos elegir un único elem énto en cada clase de equivalencia, digamos 1 y 3, con lo que queda caracterizado un conjunto de índices I = / 1 , 3 ) , de m odo tal que a cada elem ento de éste le está asociada u n a clase de equivalencia. El conjunto fornado p o r las clases de equivalencia se llama co n ju nto cociente de A por la relación de equivalencia, y la notación es

o bien, mediarte el conjunto de índices

Las clases áe equivalencia constituyen una partición de A, en el sentido siguiente: son n o vacías, disjuntas de a pares, y su unión es A. Este concepto será precisado en los párrafos sigufentes, y es u n hecho com ún a toda relación de equivalencia definida en un conjunto ro vacío. E jem plo 3-1 i

E n el conjm to Z de los enteros introducim os la relación de congruencia módulo n. mediante la sijuiente D e finición

Dos entíros son congruentes módulo n, si y sólo si n es divisor de su diferencia. En símbolos a y b son congruentes módulo n o n \ a — b

Adelantándonos al hecho de que la congruencia es una relación d e equivalencia podem os eseritir a~b

n | a —b

O)

Por definición, el núm ero natural n es divisor del entero x si y sólo si éste es igual al prim ero por un entero, es decir n ! x « -3 k € l j x = n .k

Especificamos ias siguientes propiedades de ia relación de divisor, que utilizaremos: i ) Si un número divide a un entero, divide al producto de éste p o r cualquier

i i ) Si un núm ero divide a otros dos, entonces divide a su suma o diferencia. n \x

/\

n \ y => n \ x ± y

Demostración)

A plicándola definición de divisor a las dos proposiciones de la hipótesis, sum ando y restando en Z aplicando la distributividad del producto respecto de la suma y resta, y la definición de divisor, tenem os n |x =>

x ±y

a =

n \ v => x = n k

a

y - r t k ’ =¡>

n k ± n k’ => x ±y -■ n (k i k’) =»

=» n ! x ± v iii) Si u n núm ero divide a u n entero, entonces divide a su opuesto. Es una consecuencia de la propiedad i ), ya que n I x =* n | (— 1) . x '=* n | —x

Retomamos ahora nuestro propósito de probar que ( l ) es una relación de equivalencia, a) Reflexividad. Como n | 0, se tiene y a : a e Z => n \ a —a => a ~a

b) Sim etría. Sean los enteros a y b tales que a~~b => m ¡ a — b *=> n \ — (a — b) =*■ n \ b — a =» b~~a

por ( 1), propiedad iii), por opuesto dea — b y p o r ( 1) c) Transitividad. Sean los enteros a, b y c, tales que a ~-b

a

b ~ c => n { a — b A n \ b — c =» « | (a — b ) + (b — c) =*

=*■ n \ a — c => a ~ c de acuerdo con (i)* la propiedad i i ), reducción de térm inos, y í !). Vamos a determ inar las ciases de equivalencia de losenteros. S e t a e Z: entonce?· = | x eZ / x

>

Ahora traducim os la propiedad que define al conjunto Ka ; x ~ a ■=> « \ x ~ a =* x — a - n . k =*►x = a + ‘n . k

con k e Z =>

con k e l

Es decir, a K„ pertenecen todos los enteros del tipo a + n . k , donde a y n están dados, y k recorre Z. E n o tras palabras, a K„ pertenecen las sumas de a con todos los

m últiplos de n. En particular: K0 ~ |

............ , — 2 n , — n , 0 , n , 2 n , 3 n , ..............j

K i = { ............ , 1 — 2 ? i , l — n , l , 1 + n , \ 4- 2 n , 1 4- 3 n , K 2 = [ ............ , 2 - 2 n , 2 ~ n , 2 , 2 + n , 2 + 3 n

Kn . (

={

............... \

— l “ 2 n , — 1 — n , — l , — 1 + « , — 1 + 2 n , ............ }

Verificamos que no es posible obtener o tras clases distintas de éstas; si querem os

K„ = |

— 2 n , ~ n , Q , n , 2 n , 3 n ..............j = K0

Análogamente: Kn + 1 = K j = K 2n+1 = K ,.„ = etc. Los subíndices de las clases de equivalencia son los posibles restos de la división de un entero p o r n, es decir: 0 , 1, 2 , 1, ya que de acuerdo con el algoritm o de la división entera el resto es n o negativo y m en o r que el divisor. Por este motivo reciben el nom bre de clases de restos m ódulo n, y suelen denotarse mediante 0 , 1 , 3 , .......... , n - 1 El conjunto cociente es "

= { 0 , 1 , 2 , .......... , ~ i

}=Z„

O bien Zn

Ku / 0 < u < n )

Lo mismo que en el ejemplo 3-10, las n clases de equivalencia son no vacías, disjuntas dos a dos, y su unión es Z. V amos a considerar el caso particular de las clases de restos m ódulo 3, en cuyo caso el conjunto cociente es Z3 = { o , T , 2 } = { K „ , K , , K j ) donde 0 es el conjunto de todos los m últiplos de 3, o lo^que es lo mismo, el conjunto de los enteros que divididos por 3 dan resto nulo; a 1 pertenecen los enteros que divididos p o r 3 dan resto 1, y análogamente 2. La partición de Z es

Z

Realizamos la representación cartesiana de la relación. De acuerdo con (1 ), se trata del subconjunto de Z 2 cuyos elem entos son los pases ordenados de enteros ( x , y ), que satisfacen 3 j x —y =* x —y

3 k con k e Z ==> y =

x

— 3 k con k e Z

Para cada entero k quedan determ inados los puntos de coordenadas enteras de la recta y = x — 3 k, y en consecuencia, la relación consiste en el siguiente conjunto discreto de puntos del plano

k =

0 =>y —x

= —1 =*_}>= x + 3 k -

1=*> j/ = x -- 3

k -

2 =>y —x — 6 , etc.

La ríiación es U

R -

HeZ

3.8.3.

/ (X ) y ) e X 2 / y ~ X ~ 3 k ' ] '

’

J

Partición de un conjunto no vacío

Seai dos conjuntos A * <¡>e l =£ <¡> tales que, cualquiera que sea el elemento u e í, existe in subconjunto Ku C A. D efinirían

£1 conjunto ( K u ¡ u e l ' j

es una partición de A si y sólo si

i ) V u : u e l => Ku * <¡>

i ) u 4 v =» Ku n K„ = $ ii) V a e A , 3 u e I / a e Ku Los elementos Ku de la partición son subconjuntos no vacíos de A, y están asociacos ai conjunto de índices I; además, elem entos distintos del conjunto de índices detenrinan subconjuntos disjuntos de A; finalm ente, la condición iii) significa que la unión le los subconjuntos de A que son elem entos de la participación, es A. Ejemplo 3-¡2.

i )Sea r una recta contenida en el plano a. El plano queda particionado en tres subconjuntos K , , K2, K 3, siendo I = £ 1 , 2 , 3 J> un conjunto de índices.

/

/

-/ 1

.

K:

.

¡i) Las relaciones de equivalencia de los ejemplos 3-10 y 3-11 conducen a las particiones indicadas en éstos.

jjj) Investigamos la partición asociada a la relación de equivalencia del ejemplo 3 -8 . E n este caso, la relación está definida en R m ediante a

o a —b e Z

Sea a e R ; entonces, p o r definición de clase de equivalencia Ka = ^ x e R / x ~a } Ahora bien x

=> x —a e Z => x — a — k con k e Z

Entonces a K , pertenecen todos los reales de! tipo x - a + k

siendo

k e Z

Es decir, todos los elem entos equivalentes a a, se obtienen sumando a a todos los enteros. En consecuencia, si elegimos como conjunto de índices al intervalo semiabierto I = (0 , 1), la partición R es •5" = {

2

3.8.4.

Teorem a fundamental de tas relaciones de equivalencia definidas en un conjunto no v a cío .

Vamos a dem ostrar lo que ya hemos verificado a través de ejemplos anteriores, a saber, que toda relación de equivalencia definida en un A njunto no vacío determ ina una partición de éste en clases de equivalencia. TEOREMA Si ~ es una relación de equivalencia definida en el c o tu rn o A ¥= t¡>, entonces existe un subconjunto I C A, tal que cualquiera que sea u en 1, existe K u C A , de m odo que se verifican las siguientes proposiciones: i )

U

€ 1 =* Ku # 0

ii) a ~a'

a y a ’ pertenecen al mismo K u

iii) Ku n K„ í => K„ = K„ iv) u 4=v => Ku n k „ = ' V) V a e A , 3 u e I / a e K u NOTA I es un conjunto de índices que se form a eligiendo un único elem ento en cada clase de equivalencia. D em ostración) i

) A to d o elem ento del conjunto de índices le corresponde una clase no vacía. Por hipótesis, reflexividad v definición de clase de equivalencia' A ± 4> = » 3 n e A =*■ a ~ a =»■ a e Ka = » K , , i ^ V a e A

A hora bien, como I C A u e l = » u e A => Ku =£$

i i ) Dos elem entos de A son equivalentes si y sólo si pertenecen a la misma clase. a) a ~ a ’ =*· a ’ e K a a a e K a S i« e ÍQ entonces a y a ’ e K u b) a y a ’ e K u *+ a ~u =* a ~ u

a

a j ’ ~ u ·*■

u ~ a ’ = * a ~~a'

iii) Clases no disjuntas son idénticas. Ku n

k

„ ^

k „ — Kt,

En efecto, por hipótesis: Ku

K, ^

f

==>3 x e A I x e K u a => .r ~ w

a

Sfi3

x

~v

Ku

Ky **

x e K „ =>

=> u

<

y e Ku => v ~ a

a

jf ~ v

*

(2)

(l)

*

De ( ! ) y (2), por transitividad y e K u => y r-r =* y e Kt,·

O sea Ku C K„

,

A nálogam ente Kv C Ku , y resulta K„ = K„

.

iv) Elem entos distintos del conjunto de índices determinan clases disjuntas. u ^ v => Ku n K„ = $

Suponemos K u H K ,, => x ~w

=* 3 x e K u a

A x ~ v =► w ~ x

x e K v =*■

a x ~ v =*

=* h ~i> => « e K„. Absurdo porque contradice la definición de I. v ) Todo elemento de A pertenece a una clase, o lo que es lo mismo, las clases de equivalencia "cubren” a A. 1/ A =* a ~U ¿Zr U C- Ka V/i1)\ Si u e Ko»entonces K*, = Ku , y resulta a e K u .

NOTA Las proposiciones i ), iv) y v ) significan que to d a relación de equivalencia, definida en conjunto no yació, determ ina una partición de éste en clases de equivalencia. Precisamente, las clases son los elem entos de la partición. 3,8,5. Partición y relación de equivalencia Sea ^ Ku / u e I J un a partición de A. E ntonces queda inducida en A una relación de equivalencia. Para demostrar esta propiedad definimos prim ero una relación en el conjunto no vacío A, mediante “ dos elem entos de A están relacionados, si y sólo si pertenecen al mismo subconjunto de la partición”. En símbolos ( a , b ) e R * ¡ > a y b pertenecen al mismo Ku

Vamos a probar que 3 u e I / a e K u =*· a y a pertenecen a Ku

Entonces, p o r (1 ) ( a , a) e R ii ) Sim etría. Sean a y b en A, tales que (a , b ) e R - > a y i pertenecen al mismo Ku =*

=> b y a pertenecen al mismo K„ => (b , a) € R

(1)

iii) Transitividad. Sean a , b y c en A, tales que (e,b)eR

*

(b , c) eR => a , b y c pertenecen al mismo Ku

=> a y c pertenecen al mismo Ku => (a , c) e R Ejem plo 3-13,

Se considera e n A = { 1 , 2 , 3 ^ la siguiente partición:

( f 1- 3 ) · í 2 ) } La relación de equivalencia correspondiente es, entonces { íl .1 ),( 3 .3 ),(I,3 ) .(3 .1 ).Í 2 .2 )}

D e acuerdo con 3.8.4 y 3.8.5, los conceptos de partición y de relación de equivalencia son identificables. Es claro que en un conjunto no vacío es posible definir tantas relaciones de equivalencia como particiones. A continuación proponem os todas las relaciones de equivalencia definibles en el conjunto A. a) = { ( 1 , 1 ) , ( 2 , 2 ) , ( 3 , 3 ) } es la igualdad en A, es decir (x,y)eRi -*>x=y

En este caso (x , y ) e R 2 * > x = y

V

x +y = 3

<0 0 ^ 3 = { í! » 1 ) , ( 3 , 3 ) , (1 , 3 ) , ( 3 , 1) , ( 2 , 2 ) }

O sea (x , y ) e R 3 o x = y

v

d) R* = { f I , i ) , Q , 2 ) , ( 3 , 3 ) , ( 2 , 3 ) , (3 , 2 ) }

Siendo i x . y ) e R ¿ t» x - y

v

x +y - 4

O

Rs = { ( 1 , 1 ) , ( 2 , 2 ) . (3,3) , ( 1 , 2 ) , ( 2 , 1 ) . ( 1 , 3 ) , (3,1) , ( 2 , 3 ) , ( 3 , 2 ) } = A2 Es decir ( x , y ) e R s *> ( x , y ) e A2

A quí la partición consiste e n un único subconjunto: el mismo A.

3 3 . RELACIONES D E ORDEN

Es usual en m atem ática y e n la vida cotidiana ordenar los elem entos de un conjunto de acuerdo con algún criterio conveniente. El orden queda especificado a través del térm ino “ preceder” , y decir “jc precede a y " significa ( x , y ) e R Lo esencial de toda relación de orden es la transitividad, y según se cum plan o no otras propiedades se habla de orden am plio o estricto, y en cada caso, de o rden parcial o total. 3.9.1. O rden am plio Sea R C A2. D e fin ició n '< R es una relación de orden amplio en A si y sólo si es reflexiva, antisim étnca y

transitiva. O bviando los cuantificadores universales tenem os: i ) Reflexividad. a e A => (a , a) e R

í i ) Antisimetría. (a , b ) e R

a

(b , a ) e R *=> a = b

iii) Transitívidad. (a , b ) e R

a

( b , c ) e R => (a , c) e R

3.9.2., Orden parcial y total Sea R una relación de orden en A. i ) R es de orden parcial si v sólo si existen pares de elementos incomparables, es decir 3

a , 3 b i (a , b) i R

\

( b , a) € R

ü ) El orden es to tal en caso contrario, es decir *

a + b => (a . b ) e R

v

(b . a) eR

Ejemplo 3-14 i ) En N la relación d e divisor es de orden amplio y parcial. Por definición nía < * 3 m e N /a = n.m

a) Reflexividad. s e N ^ a = a . 1 =>ala b) A ntisim etría. Sean a \ b

a

b \ a =>

n y m en N / b = a . n

A a = b , m =>

=> a . b = a . n . b . m => 1 — n . m => n = m = 1

Luego a = b. c) Transitívidad. Sean Entonces

a \b

a

fe ¡ c =*■

= a.«

t e

= b.m

b . c — a . n . b . m => c — a . {n . m j =» c = a . p => a ! c .

Por otra parte, este orden amplio es parcial, pues existen pares de naturales que no son comparables po r la relación de divisor. Un contraejemplo está dado por 2 y 3, ya que 2|3 y 312 son proposiciones falsas. Es claro que u n par ordenado de núm eros naturales pertenece a la relación si y sólo si la primera com ponente es divisor de la segunda. Esta relación está representada p o r los puntos del primer cuadrante de coordenadas naturales que tienen abscisa natural, y para cada una las ordenadas son todos los m últiplos naturales de aquéllas.

N 6

-{y

{

5 4 3 2

1 N í|

2

3

4

5

6

Si consideramos la relación de divisor en Z, n o se tiene un orden amplio, pues la antisimetría no se cumple. En efecto 3|-3 ii)

a

En A = { l , 2 , 3 }

- 3 ¡ 3 => 3 = - 3

es F

la relación

R = { ( 1 , 1 ) , ( 2 , 2 ) , ( 3 . 3 ) , (1 , 2 ) , ( 1 , 3 ) , (2 , 3 ) }

es un orden amplio

y total. Se trata evidentemente de la relación de m enor o igual.

3.9.3.

Orden estricto.

Sea R C A2 . Definición

R es una relación de orden estricto s» y sólo ú es arreífexíva, asimétrica y transitiva. En símbolos i ) Arreflexividad. Ningún elemento del conjunto está relacionado consigo mismo. a e A = * ( a , a) 4 R

ii)

Asimetría. Si u n elemento está relacionado con o tro , entonces éste no lo está con el primero. (a , b ) e R => {b >a) 4 R

iii) Transitividad. (a , b ) e R

h

(b , c ) e R *=> (a , c ) e R

Lo m iaño que el orden amplio, el orden estricto puede ser parcial o total. Ejemplo 3-15.

i ) La relación de m enor en R es un orden estricto y total. i i ) Por definición, un conjunto está estrictamente incluido e n otro ú y sólo si todo elem ento del primero pertenece al segundo, pero existen elem entos de éste que no pertenecen ai prim ero. La notación y símbolos son los siguientes: A C B o ACB

a

A* 8

E n P (ü ) la inclusión astricta es una relación de orden estricto y parcial, com o puede verificarse sencillamente. iii) En A = { a , b , c J la relación

, es de orden estricto y total.

3.9.4. El signo de preceder Si R es una relación de orden definida en A, y dos elem entos a y b están vinculados por dicha relación, al escribir (a, b ) e R v a R b suele decirse que “a precede a b " , y la notación es a < ib . Con esta no tació n se tiene: i ) Reflexividad. a e A =* a < a ü ) A ntisim etría. a a = ¿

iii) Transitividad. ’

a
a

b < L c ■* a
Iv) Lmealidad a^ b

** a ^ b

v

ó 'C a

Análogamente, para la arreilexividad, asim etría, orden parcial y total, teniendo en cuenta que “ a n o precede a b ” puede escribirse a < t¿ . 3.9.5. Elementos distinguidos de un conjunto ordenado Sea A un conjunto ordenado p o r una relación de orden < . i ) P rim er elemento. El elem ento a e A se llama primer elem ento si y sólo sí precede a todos los demás.

a £ A es el primer elem ento # x e A

=>■ a < ix

¡i) U ltim o elemento. El elemento b € A se llama últim o elem ento si y sólo si todo elem ento de A precede a b. b e A es el último elem ento ·» x e A =>

De estas definiciones no se deduce q u e to d o co njunto ordenado deba tener necesariamente prim ero o últim o elem ento; puede ocurrir que carezca de ambos, que tenga prim ero o bien últim o, o que tenga prim ero y últim o. iii) Elementos tñinimales. El objeto m de A es u n elem ento minim al si y sólo si no existe un elem ento distinto que lo preceda. m e A es minimal

V x e A ; x < ™ = » m = .í

iv) Elem entos maximales. El objeto n es un elem ento maximal si y sólo si no existe en A un elem ento distinto que lo siga. n e A es maximal *> V x e A : m < * = » * = «

Puede ocurrir que e n u n conjunto ordenado no existan elem entos minimales o maximales, y si existen pueden no ser únicos. v ) Cotas inferiores. El elemento s e A es una cota inferior del subconjunto X C A si y sólo si precede a to d o elem ento de X. a € A es cota inferior d e X C A

x e X => a < . x

v i ) Cotas superiores. El elem ento b e A es una cota superior d el subconjunto X C A si y sólo si sigue a to d o elem ento de X. b e A es cota superior d e X C A <=> jc e X =» x <^b

vii) Supremo o cota superior mínima. El elem ento s e A es el supremo del subconjunto X C A si y sólo si es el prim er elem ento del conjunto de las cotas superiores. viii) In fim o o cota in fe rior máxima. El elem ento r e A es el ínfim o del subconjunto X C A si y sólo si es el últim o elem ento del conjunto de las cotas inferiores. Las cotas de u n conjunto, si existen, no son necesariam ente únicas. En cambio, el ínfimo o suprem o, aunque el conjunto no sea acotado, pueden no existir, ya que un conjunto ordenado puede carecer de prim ero o últim o elem ento; pero si existen, son únicos. Precisamos los conceptos anteriores en los ejem plos siguientes. Ejem plo 3-16.

i ) Consideramos el intervalo abierto (— 1 , 1) C R , donde se define la relación de m enor o igual. Esta relación en R es de orden amplio y to tal, pues

a) Reñexividad.

a eR =>s
a

b

=> a = b

a
a

b
=>

c) Transitividad. a
d) Linealidad. b => a < b

v

b
No existen en (— 1 , 1) ni primero ni últim o elemento, ya que los extrem os — 1 y 1 no pertenecen al intervalo abierto. Tampoco existen elem entos minimales ni maximales. Es claro que cotas inferiores de (— 1 , 1) hay infinitas: to d o s los reales menores o iguales que — 1. Análogamente sori cotas superiores todos los números reales m ayores o iguales que 1. E l ínfim o es — 1 y el supremo es 1, y ninguno pertenece al conjunto (— 1 ,1 ). i i ) Con la misma relación de m enor o igual el intervalo semiabierto {— ! , ! ) tiene primer elemento — 1, que es tam bién minimal, cota inferior e ínfimo. Carece de últim o elem ento, de elem entos maximales, de cotas superiores y de supremo. iii) Sea ahora el conjunto A = { 2 , 3 , 6 , 9 , 1 2 , 3 6 }

ordenado por la

relación de divisibilidad. Se h a visto que el orden es amplio y parcial. Como no existe en A ningún elem ento que sea divisor de todos los demás carece de primer elem ento, pero tiene últim o y es 36. Este es elem ento maximal, y tanto 2 como 3, son minimales. No hay cotas inferiores n i ínfim o, pero la cota superior y el supremo son 36. 3.9.6.

Diagramas de Hasse

Sea A un conjunto ordenado. i ) Elementos consecutivos. Los elem entos a y & de A son consecutivos si y sólo si a) a < . b b ) a < . x < .b =* a = x

v

b = x

i i ) Representación de conjuntos ordenados. Es posible representar un conjunto ordenado y finito, m ediante u n diagrama llamado de Hasse, asignando a cada elem ento del conjunto un p u n to del plano o bien del espacio, y uniendo cada par de elementos consecutivos por medio de un vector orientado en el sentido de x a v, si .x· < r.

Así, el diagrama de Hasse correspondiente al conjunto A - { 2 , 3, 6, 9, 12, 3 6 } , ordenado por la relación de divisor, es

Toda poligonal orientada determina un subconjunto totalm ente ordenado por la misma relación, y constituye una cadena. Ejemplo 3-17.

Dado A = <{a , f> , c ^ , en P (A) consideramos la relación de inclusión, definida por X
XCY

De acuerdo con 2.3.4,, este relación es de orden amplio y parcial en P (A). El correspondiente diagrama de Hasse es la siguiente representación espacial ( a ,b , c }= A { «,c}

El conjunto P (A) tiene primer elemento y últim o elem ento: y A , respectivamen­ te. Ambos son el elemento minimal y maximal. A dos elem entos cualesquiera de P (A) les corresponde una cota inferior máxima y una cota superior m ínim a, es decir, un ínfim o y un supremo. A sí, dados ^ a , b j> y

{ a , c } el ínfim o es { c - } y d

supremo es {
3,9.7. Conjuntos bien ordenados Sea < una relación de orden en A . Definición

Un conjunto está bien ordenado por una relación de orden si y sólo si está totalm ente ordenado, y además to d o subconjunto no vacío tiene prim er elemento. Ejemplo 3-18.

i ) El conjunto de Sos números reales, ordenado por la relación de “ m enor o igual*', está totalm ente ordenado, pero no es un conjunto bien ordenado, pues no to d o subconjunto no vacío de R tiene primer elem ento. En efecto, el intervalo abierto (— 1 , 1) es una parte no vacía de R, pero carece de prim er elemento. i i ) El conjunto Z de los enteros está totalm ente ordenado po r la misma relación, pero com o carece de primer elem ento nó está bien ordenado. iii) El conjunto N de los números naturales está bien ordenado p o r la relación de menor o igual, ya que se halla totalm ente ordenado, y toda p arte no vacía de N tiene prim er elemento. iv) El conjunto cuyos elementos son <¡>, { 3 j

· { a ·^j

> [ a , b , c j está

bien ordenado por la relación de inclusión. v ) El conjunto A = { 2 , 3 , 6 , 9 , 1 2 , 3 6 } propuesto en 3.9.6. i i ), ordenado por la relación de divisor, no está bien ordenado, p o r no ser totalm ente ordenado.

TRABAJO PRACTICO III 3-19. S e a n A = { x e N / 1 < x « 5 ]

y B = { 3, 4, 5 }

Se define R C A X B mediante (x , y) e .R o· x + y < 5 i ) D efinir R p o r extensión. i i ) R epresentar A X B y ü .

iii> Determinar R ' 1, 3-20. Se consideran A = { l , 2, 3, 4 , 5 } b = { í , 4,

6, 1 6 }c = { 2 , 3, 8, lo] y las

relaciones R C AX B, S C BX C, definidas por (x

·<* y = x J

( y , z ) e S **>z =

Se pide: i ) D eterm inar R y S por extensión, i i } D efinir ia com posición S<>R C A X C por extensión. iii) D eterm inar Jos dom inios e imágenes de las tres relaciones. 3-21. O btener los gráficos cartesianos de las siguientes relaciones definidas en R:

i ) {x , y ) e R o - y = 3 ii) ( í j ) e S ' » x + ^ = 1

iii) (x , 7 ) e T

x +y < 1

3-22. E n Z se define i? m ediante (a , b ) e R

a2 + a = b 2 + b

Clasificar R. 3-23. En R 2 se define la relación

m ediante (x , y ) ~ ( x ' , y l ·*■ y = y ’ P robar que es de equivalencia, determ inar las clases de equivalencia, un conjunto de índices y el conjunto cociente.

3-24. En A = { 1 , 2 , 4 , 6 , 8 } se define la siguiente relación

. (,r , y ) e R ■» 3 | x + /

i ) Definir a R por extensión,

-

J .

i i ) F orm ar el diagrama de R.

·

; ;

iii) Clasificar/?.

jl

-■’

+'

’5* $

3-25. En N2 se considera la siguiente relación (a , b ) ~ ( a’ , b ’) <*■ a + b ’ — b + a ’

D em ostrar que es de equivalencia, obtener las clases de equivalencia, u n conjunto de índices, el conjunto cociente, y representar las clases. 3-26. El conjunto

a j>,(jb , c} , { d

es una partición de A = { a , b , e , d \ . Obte­

ner la relación de equivalencia asociada. f

1

3-27. fcn A = ^ 1 , ¿ , j , 4 j

. . . . se considera a reiacíon

R = {(.v , v ) € A 2 ¡ x = y

V ,t 4- y = 3 ]>

Definir R por extensión, probar que es de equivalenvia correspondiente partición de A. ,

y determinar la

3-28. Clasificar la relación R definida en 7? m ediante ifl,b ) R ( a ' , b ' )

a b ' —b a ’

3-29. En el conjunto de los números reales se define R = { { * , v ) e R 5 / br — 1! = iv — 11}

D em ostrar que es de equivalencia, y representarla. 3-30. Una relación R definida en un conjunto A es circular si y sólo si (a , b ) e R a (b , c ) e R =* ( c , a) e R

D em ostrar que una relación es reflexiva y circular si y sólo si es de equivalencia. 3-31. En R se define

mediante

x ~ y o x * —x = .y2 —y D em ostrar que es de equivalencia, determ inar las clases, un conjunto de índices, el cociente, y representar la relación. 3-32. Sean R y S dos.relaciones definidas en A. Demostrar: ¿ S i R y 'S s o n reflexivas,entonces R U S y R H S son reflexivas.

J,-,

3-33. En R se define R = { ( x , y ) e R 2 / U I + 2 |vI = 1 /

Obtener el dominio, la knagen y el gráfico cartesiano de R. 3-34. Sea R C A 2 . Demostrar que la relación R U R _l es simétrica. 3-35. Clasificar y representar la relación /? C R 2 definida por (x , y ) e R o x — v e R+

. ' ., f

_ .

4033*4^

3-36. E n A = [ - 1 , 1 ] se considera la relación R

= {(-*■.y) eA 2/xJ = / J

i ) R epresentar/!. i i ) Probar que es de equivalencia. iü) Obtener la partición de A. 3-37, Sea R una relación definida en A.

Demostrar: i ) R ss simétrica =*· R ~1 es simétrica. Ii) jR es transitiva => R " 1 es transitiva. 3-38. Sean R y R ’ dos relaciones transitivas en A. Demostrar que R O ü ’ es transitiva. 3-39. Si R y R’ son dos relaciones antisimétricas en A, entonces R n / ¡ ’ es antisi­

m étrica. 3-40. Sean ‘w ’ una relación de equivalencia

definida en y X C A. Por definición, se llama saturado de X por k relación de equivalencia al conjunto de los elementos de A que son equivalentes a los elem entos de X, La notación es: X*={xeA/;c~y,V.yex}

Demostrar: i )XCX* i i ) (X ü Y)* = X* U Y* 3-41. Clasificar las siguientes relaciones definidas en el conjunto de las rectas del

plano i ) (a , b ) e R * * a i i ) (a , b ) e R o a I b 3-42« Clasificar todas las relaciones del ejemplo 3-3. 3-43, Clasificar la relación R definida en R mediante

ÍX . y i e R ·» \ x ,3-44. E n A = { l , 2 , 3 , 4 , 5 }

- 2

se considera la relación de m enor o igual.

Determinar los elem entos maximales y minimales. _ 3?45. Definir por extensión la relación de divisor en el conjunto del ejercicio 3-44, y o btener los elem entos maximales y minimales. 3-46. Con relación al ejercicio 3-45, determinar una cota superior y una inferior del

subconjunto í 2 , 3 }

./ j . 4 7 . En R, ordenado por la relación de m enor o igual, se considera A =jxeR /x = “

a

neis}

Investigar si A tiene primero o último elem ento, si está bien ordenado, y si admite cotas, ínfim o o supremo.

Capitulo 4

FUNCIONES

4 .1. INTRODUCCION Dada la im portancia del tem a a desarrollar hem os preferido asignarle un capítulo especial, co n abundante ejercitación y ejemplos. P or otra parte, en virtud del carácter elem ental d eí tex to , y la conveniencia de que en primera instancia el concepto sea utilizado con dinamismo y seguridad, se ha prescindido del estudio de las co­ rrespondencias. Se estudian las funciones o aplicaciones especiales, la composición de funciones, y el álgebra de las imágenes y preimágenes.

4.2. RELACIONES FUNCIONALES Sean A y B dos conjuntos no vacíos, que llamaremos dom inio y ccdom inio respectivam ente. Entenderem os por función de A en B toda regla que hace corresponder a cada elem ento del dom inio un único elem ento del codom inio. Más precisam ente, una función es u n conjunto de pares ordenados tales que la primera com ponente pertenece a A y la segunda a B, es decir, un subco njunto de A X B, de m odo que to d o elem ento d e A sea prim era com ponente de un p a r y sólo de uno. Esto nos dice q u e toda función de A en B es úna relación especial entre A y B. L sualm ente, los signos que indican funciones so n / , g, h, etcétera. A sí, para denotar q u e / e s una función de A en B, se escribe: /: A

B

y se lee: “/ es una función o aplicación de A en B” , o bien " f es u n a función con dom inio A y codom inio B” . En particular, si A = { — 1 , 0 , 1 , 2 } , B = { o , l , 2 , 3 , 4 j > y / e s la relación definida p o r (x ,y) e f

y = x2

entonces se tiene / “ { ( ~ 1 » 1) >(0 i 0 ) , (1 , 1) , (2 , 4 ) }

ya que cada segunda componente es el

cuadrado de la primera. El diagrama de V enn correspondiente es

T anto en la definición de / po r extensión com o en el diagrama es fácil advertir que todo elemento del dom inio tiene un correspondiente o imagen en el codominio; y además tal correspondiente es único, en el sentido de que no se tienen dos pares ordenados distintos con la m ia ñ a prim era componente. Resulta entonces que / es una función de A en B. Observamos aq uí las siguientes situaciones: elem entos distintos de A pueden tener la mism a imagen en B, como ocurre con — 1 y 1, cuyas imágenes son 1; además, puede darse qu e elem entos de B no tengan u n antecedente en A, es decir, que pueden existir en B elem entos que no sean correspondientes de ningún elemento de A, com o ocurre con 2 y 3. D efinición % f es una función o aplicación de A en B si y sólo si f e s una relación entre A y B,

tal que to d o elem ento de A tiene un único correspondiente en B. O bien:

»

D efinición y f es una función o aplicación de A en B si y sólo s i / e s un subconjunto de A X B

que satisface las siguientes condiciones de existencia y unicidad: i ) V a e A , 3 b e B / (a , b ) e f ii) ( a , b ) e f

a

{a,c)ef=>b = c

Si (a , b) e f decim os que b es el correspondiente o imagen de a, por f , y suele escribirse b —f (a), es decir, b es el trasform ado de a por la función / . Para denotar la mism a cosa, algunos autores utilizan la notación 3 izquierda: af=b

U na función queda especificada si se dan el dom inio A, el codominio B, y además la re la c ió n /C A X B, que satisface las condiciones i ) y i i ) de Ja definición. Por ser un conjunto, / puede estar dado po r extensión, es decir, com o conjunto de pares ordenados, o bien por comprensión, m ediante una fórm ula o ley de correspon­ dencia que permita asignar a cada objeto del dominio su imagen en el codominio. Ejem plo 4-1.

Determinamos sí las siguientes relaciones son funciones. i ) Setn A ~ , B = ^ i . 2 , 3 > y !a relación

Se cumplen las condiciones de la definición, y re s u lta /u n a función tal que /00=1

f(b ) = 2

fie) = 2

f(d)= 1

El diagrama es

ii)

Con los mismos A y B, la relación { ( a , !),(«, 2),(6,2), (c.l)} no es una función p o r las siguientes razones: no se cumple i ), ya que no todo elem ento del dominio 4 tiene rnag en en el codom inio B, pues tí carece de tranformado. También d q a de verificarse i i ), puesto que un mismo elemento de A tiene dos imágenes en B, com o ocurre corsa El diagrama de la relación es

iii) Si A es el conjunto de las personas y / es la relación en A definida por ( x , .1·) e f < * x es hijo d e /

entonces f e s una función de A en A, ya que toda persona tiene padre y éste es único. En cambio la relación definida en el mismo A m ediante ( x . y ) e f * * x es padre de>’ no es una función de A en A , ya que existen en A personas que no son padres, es decir, elem entos del dom inio qu e carecen de imagen en el codom inio: p o r otra parte, tam poco se verifica la unicidad, pues existen personas que son padres de más de un hijo. Esto significa que si u n a relación es función, ía relación inversa no lo es necesariamente.

4.3. REPRESENTACION CARTESIANA DE FUNCIONES Lo mismo que las relaciones, tas funciones pueden representarse m ediante un sistema de coordenadas cartesianas en el plano o en el espacio, según que el dominio sea unidimensional o b¡dimensional, respectivamente. En el caso de representaciones planas, el dominio es un subconjunto del eje horizontal, y ei codominio. de¡ eje vertical. Ejemplo 4-2.

Representación cartesiana de ía función propuesta en 4.2.

E jem plo 4-3 .

Sean A = j - 2 , - 1 , 0 ,1 , 2 j , B = N y / : A -> N tal que / (x ) = i.x| + l resu lta/ = { ( - 2 , 3 ) , ( - 1 , 2) , ( 0 , 1 ) , (1 , 2 ) , (2 , 3 )} Cada elem ento (a , b ) e f es un punto del plano de coordenadas a y b. La representación cartesiana es tN 4

E jem plo 4-4.

Sea / : Z - * Z tal que la imagen de cada entero es su opuesto aum entado en 1, es decir

No es posible representar completam ente a f , p o r ser Z un conjunto infinito; no obstante, la representación de algunos puntos nos sugiere el com portam iento de la aplicación. En éste, y en los ejemplos anteriores, el hecho de que cada elem ento tfel dominio tenga una única imagen en el codominio se traduce en que a una misma abscisa le corresponde una sola ordenada. Ejemplo 4-5.

S i£ : R -* R es tal q u e g (x) = —x + 1 Su representación es un subconjunto continuo de R2, consistente en una recta del

piaiív-

Es fácil notar que, aunque se m antenga la ley de correspondencia o asignación, al variar el dominio o ei codom inio, la función cambia. En nuestro caso, g ¥ = /aunque se cumple f C g . Es conveniente insistir entonces en el hecho de que la caracterización de una aplicación se da a través del dom inio, codominio y la ley de asignación. En la terminología clásica, erelem ento genérico x del dom inio se llama variable independien­ te, y su im a g e n / = f ( x ) es lo que se conoce com o variable dependiente.

Ejemplo 4-6.

Consideremos A = { 1 , 2 } , B = | 1 , 2 ,3 , 4 } y la función / : A J ->B que asigna a cada elem ento del dominio A2, la suma de sus com ponentes, es decir /< x , y ) = v + >·

a) Podem o; confeccionar una tabla de simple entrada que especifique la imagen de cada p u n to d d dominio (*,y)

f(x,y) = x + y

(1,1) (1,2) (2,1) (2,2)

2 3 3 4

Ei elemento 1 de B carece de antecedente o preimagen en A. b) O tra representación de las imágenes se tiene mediante una cabla de doble entrada /

| l

2

1 2 3 2 i 3 4 c) El diagrana de Venn es

d) La repre*ntación cartesiana es en el espacio, y a que cada elem ento del dominio determ ina u n punto del plano, y su imagen debe tom arse sobre o tro eje.

e) La mism a función puede representarse de la siguiente m anera, desconectando el dominio del codominio

#

Ejemplo 4-7.

S e a /: R R definida por f (x ) = x 2 Como cada número real tiene un cuadrado y sólo uno, se cumplen las condiciones de la definición. El gráfico cartesiano es una línea continua de puntos del plano, llamada parábola. Hemos señalado algunos pares ordenados de / , los que se han unido mediante un trazo continuo. Com o el cuadrado de ningún núm ero rea! es negativo, las imágenes son reales no negativos.

Ejem plo 4-8.

Representación de / : R-»■Z definida de la siguiente manera i— 1 s i x < 0 / ( x ) = <^

0

s ix = 0

[_ 1 si x > 0

z. t 1«

0 -1

R

1

t s la llamada función “ signo de x ' \ v su representación consiste en la unión de dos senn:rrectas abiertas (sin origen), con el conjunto cuyo único elem ento es el origen de coordenadas.

4.4. CLASIFICACION D E FUNCIONES Sea u n a función f : A -* B Si ocurre que elem entos distintos del dom inio tienen imágenes distintas en el codom inio, entonces/ se llama función inyectiva, biunívoca, o uno a uno. Por o tra parte, si todo elem ento del codom inio es imagen de algún elem ento del dom inio, la función se llama sobreyectiva. Cuando se presentan ambas situaciones sim ultáneam ente, la función se llama bivectiva o correspondencia biunívoca. i ) D e fin ició n X f : A - * B es inyectiva ·«* V x ’ W x " e A : x ’ =£x ” => / ( * ' ) = £ / ( * ”)

Equivalentem ente, m ediante la implicación contrarrecíproca, podem os decir f : A -*■ B e s inyectiva - o V x ’ V x ” e A : f ( x ’) = f ( x ” ) »> x ’ = x ”

En la inyectividad no puede darse que elem entos distintos del dom inio den la misma imagen. Las funciones estudiadas en los ejemplos 4-1 i ) y 4-1 iii) no son inyectivas. T am poco lo son las correspondientes a 4-2 y 4-3. En cam bio son inyectivas las funciones de los ejemplos 4-4 y 4-5. En el diagrama de Venn correspondiente a una aplicación inyectiva no puede presentarse ninguna bifurcación de elem entos del dom inio hacia el codom inio. En la representación plana cartesiana n o puede ocurrir q u e una ordenada corresponda a más de una abscisa. ii)

D e finición /

/: A

B es sobreyectiva o V y e B , l x e A / v = / ( * )

En el caso de sobreyectividad, el conjunto de las imágenes se identifica con el codom inio de la función.

Los ejemplos 4-2 y 4-3 corresponden a funciones no sobreyectivas. En cambio lo son en 4-4 y 4-5. Es usual nom brar a las funciones sobreyectivas con las palabras "sobre” o “ suryectiva” , iü ) D e finición X

/ : A -*B es biyectiva o / es inyectiva y / es sobreyectiva. Las funciones propuestas en los ejem plos 4-4 y 4-5 son biyectivas. N egando el antecedente y consecuente de la doble implicación se tiene /: A

B no es biyectiva

/ no es inyectiva o / no es sobreyectiva.

E jem plo 4-9,

R epresentam os y clasificamos la función / : N -*■ N tal que f { x ) = 2 x t

E sta función asigna a cada núm ero natural su duplo. El conjunto de las imágenes es el de los números naturales pares, y está incluido en N, com o codominio. Su representación es u n conjunto de puntos aislados de! primer cuadrante.

Na 4·.3- . 2■

-

N

Vamos a probar la inyectividad de f. Sean x ’ y a· ” en N tales que / ( x ' ) = / (x

'

E sto significa que 2 x ’ = 2 x ” y, en consecuencia, x ' — x ”. De modo que / es inyectiva o 1 -1 (u n o a uno). Además / no es sobreyectiva, pues los elementos del codom inio que son impares carecen de antecedente en N. Resulta que / no es biyectiva.

Ejemplo 4-10.

Consideremos ahora el conjunto P de los números naturales pares, y / : N -*■ P tal que f ( x ) = 2x La ley de asignación es la misma que en 4-8, pero el codom inio se ha “ restringido” a los naturales pares.La inyectividad se m antiene y probam os la sobreyectívidad. Hay q u e determinar si para to d o / e P existe x en N ta l que / ( * ) = y. Esto significa que debe ser, de acuerdo con la definición de / , 2.x = v Resulta

pues la m itad de un número natural p ar es un número natural.

De m odo que V.ve P, 3 * =

tal q u e/ ( * ) = /

= 2 · —· = / .

S iendo/inyectiva y sobreyectiva resulta biyectiva. Ejemplo 4-11 .

Sean A = { 1 , 2 , 3 }

y B = | 1 , 2 j>

Definimos f : P (Á )- + P (B) m e d ia n te /(X ) = X n B Es decir, la imagen de todo subconjunto de A es su intersección con B. El siguiente diagrama nos m uestra que f es sobreyectiva, pero n o inyectiva.

Ejemplo 4-12.

Se lanza una moneda tres veces. Los posibles* resultados de este experim ento aleatorio son todas las tem as formadas por “ caras” y “ sellos” , o bien p o r “unos” y “ ceros” , y son los siguientes: A = { ( 1 , 1 ,1 ) ,( 1 ,1 ,0 ) ,( 1 ,0 3 ) , ( 0 , 1, 1) , ( 1,0 ,0) ,( 0 ,1 ,0 ) ,( 0 ,0 ,1 ) .(0 ,0 ,0 )}

El conjunto A de tales elementos, se llama espacio muestral asociado al. experimento. Definimos ahora la función de A en R , que asigna a cada elem ento la diferencia entre el número de caras y el número de sellos. Damos la siguiente representación de /

Ejemplo 4-13.

Sea/ : R - + R definida p o r / ( x ) = x 2 . i ) / es 1- 1. E n efecto, sean x x y x 2 en R tales que f (* ¡ ) = / ( . r 2) es decir x \ = x \ . P or pasaje de ténninos x\ ~ x \ = 0

factorizando la diferencia de cubos (X| ™X2> [x] + X \ X l + A*j) = I - X l = 0 =*■ Xl ~ x 2 O bien Jfj + JCj x 2 + X j = o La relación que vincula a x i con x 2 está dada por

0

Es decir

Si ,v2 = 0 entonces Ai = 0 y resulta -*i = .v 2 Estos so r los únicos valores reales que satisfacen (1 ) y, en consecuencia, / es inyectiva. ^ ii)

/ es sobreyectiva, pues Vv e R . 3 x = \ f y

tal que

f i x ) = f ( V y ) = í v 7 )3 = y

O curre entonces q u e } es biyectiva. Ejem plo 4-14.

Sea / : R -* R : tal q u e /'{ r) = (t, — t). Si en R : consideramos e je s.r e d e acuerdo con la definición, se tiene

i, V = ~1

que corresponde a un sistema de ecuaciones param étricas de una línea del plano xv. Elim inando el parám etro t resulta y = - x . que es la ecuación de la segunda bisectriz.

t s claramente una función inyectiva. pero no sobreyectiva.

4 .5. 4.5.1.

FUNCIONES ESPECIALES

Función constante

La función / : A -+ B. qu e asigna a todos los elem entos del dom inio el elem ento h e B, se llama constante. Hstá definida p o r/(.v ) = b para todo .v e A

Se tiene

.

f

.

/ = { ( * , ¿) / x e A } A m enos que A sea unitario, la función constante no es inyectiva, y es sobreyectiva sólo si B se reduce a u n único elemento. 4.5.2. Fundón identidad Identidad en A es la aplicación í'A : A -*■ A tal que i A (x ) = x La identidad en A es entonces la función que asigna a cada elem ento de A el mismo elemento, es decir, deja invariantes a los objetos de A. A cada conjunto le corresponde una función identidad, y a veces en lugar de denotarla m ediante iA se utiliza el símbolo 1a , Se tiene ia = { ( * , * ) / * € a }

Es decir, la identidad en A es la diagonal de A2 . Es fácil verificar que, como relación, es reflexiva, simétrica y transitiva, o sea, de equivalencia en A; además es antisimétrica, y e n consecuencia de orden amplio. L a función i A es obviamente biyectiva. 4.5.3, Función proyección Consideremos A X B, y las funciones P!

:AXB A

?2 ' A X B -+

P,

(« ,* ) = «

B definidas por y

?2 ( a , b ) = b

Tales funciones se llaman primera y segunda proyección del producto cartesiano, y asignan a cada par ordenado la primera y segunda com ponente, respectivamente. En un gráfico cartesiano se tiene

4.5.4. Función canónica Sea ~ una relación de equivalencia definida en el conjunto no vacío A. Por el teorem a fundamental de las relaciones de equivalencia queda determ inado el conjunto cociente — . cuyos elementos son las clases de equivalencia. Definición

Aplicación canónica es la función

que asigna a cada elemento de A. su cíase de equivalencia, es decir, tal que 4p<.c( = Kx Dos elementos equivalentes pertenecen a la misma clase y en consecuencia admiten la misma imagen, es decir, la aplicación canónica no es inyectiva, salvo en el caso de ciases unitarias. Por otra parte, como cada clase es no vacía, ocurre que siempre es sobreyecttva, es decir V K ,e ~

, 3.y e A ' ijSí.v) = Ku

Vale la siguiente proposición a~~ b ■*> i f ( a ) = i p( b)

La función canónica en el caso de la congruencia módulo 3 definida en Z es £ : Z -*■ Z 3 tal que = ÍCU. siendo u el resto de la división de x por 3. E jem plo 4-15.

En R 2 consideramos la relación definida p o r (a

. b) ~ ( a \ b ")

a= a’

Es decir, d os pares ordenados de reales están relacionados si y sólo si tienen la misma primera componente. Puede verificarse fácilmente que la relación es de equivalencia. y el propósito consiste en caracterizar Sa aplicación canónica. Las ciases de equivalencia son del tipo { ( * · > ') '* = * } y están representadas por paralelas al eje de ordenadas. Para definir el conjunto cociente necesitamos un conjunto de índices, y al elegir un único elemento en cada clase, lo Tomamos sobre el eje de abscisas, de m odo que

Entonces la función canónica es »p; R 2 -» ~ tp(a,b)-

tal que

K (u>0> si

u = a

4.6. COMPOSICION DE FUNCIONES

Bajo ciertas condiciones es posible definir, a partir de dos funciones / y g. una nueva función, llamada la compuesta de aquéllas. Sears /'■ A -*B

y

g ■ B -*C

donde coinciden el codominio de la primera con el consideram os este caso más usual, es suficiente que parte del dominio de la segunda, es decir: B - B\ Nuestro propósito es asignar a cada elemento de camino natural consiste e n determ inar la imagen continuación obtener la imagen d e / (x ) e B, porg.

dominio de la segunda. Si bien el codominio de la primera sea A un único elem ento de C, y el de cualquier x e A por / , y a

D e finición v t

Composición de las fu n c io n e s /: A — B y e : B -* C es la función g » f : A -*■ C , definida por ig· v / ’i i x i = g [j i.vji para túdt: ,v ¿ A El símbolo "g u / ” denota la función compuesta de f c o n g . o la composición d e / con g. Puede leerse “/ compuesta c o n g " . o "g cerito / ' ' o bien "g *

Ejemplo 4-16.

Sean A = { l , 2 , 3 } , g : B -*C definidas así

B=

, b , c , d},C = ^5 , ó) y las funciones / : A

B y

/= { (1 , a ) , ( 2 , b ) , ( 3 , d ) } g = [ ( a , 5) , (b , 5) , (c , 5 ) , ( d , 6 )}

Resulta áro/={(l,5),(2,5),(3,6)} El diagrama correspondiente es

A

B

C

Debe notarse que no coexisten g o / y / o g, ya que en este caso el codom inio d e £ es C y el dominio de fe s A. A mbas composiciones existen si C C A.

E jem plo 4-17.

Sean ahora las funciones f : R -* R

tal que / ( x ) - 2 x

g : R -+ R

tal que £ ( x ) = * 2

Entonces 1 ) g o f : R - » R está definida por (g °f)(x )= g lf(x )]= g (2x)=

(2x)2 = 4 x 2

i i ) f o g : R -* R está definida por ( / o g) (* ) = / \g (*)] = / ( * 2 ) = 2 x 1 Ambas funciones com puestas, a pesar de tener el m ism o dom inio y codom inio, son distintas, por diferir en la ley de asignación. D efinición x

Dos funciones / ' . A -+ B y g : A -* B son iguales si y sólo si para to d o x de A se verifica f ( x ) ~ g (-*). Con relación al ejem plo se tiene: g o / ^ / a g.

4.6.2. Asoclatívidad de la composición S ean / : A - > B , g : B-*-C y h : C ->D. Entonces se verifica (h o g) o f - h o ( g o / )

Las dos composiciones son funciones de A en D , y se trata de probar la igualdad. Interpretam os la situación en el siguiente diagrama

Con relación al primer miembro se tiene

/ : A-*B ] >=>(/tog)o/:A->D h a g : B -*D

J

Para el segundo miembro es

g o /:A -*c ] > =» h o (g o / ) : A -* D h:C-+ D j

Siendo (h o g ) ° f y h o ( g o f ) dos aplicaciones con el mismo dominio y codominio, para probar la igualdad, de acuerdo co n la definición expuesta en 4.6.1., hay que verificar la igualdad delm ágenes para to d o elem ento de A, dadas por dichas funciones. Sea x e A; aplicando reiteradam ente la definición de composición ( i h o g ) o / ) ( * ) = (A o g ) [ f ( x ) j = h [ g [ f (jc)]}

(I)

( ^ h ° { g ° / ) J ( x ) = h ( ( g o / ) ( x ) ^ = h <¡V{ /(* )]}

( 2)

P or o tra parte

De ( 1) y ( 2 ) se deduce ( ( h o g ) o f j ( x ) = f h o ( g o f ) j ( x ) VjcéA

Y por definición de igualdad de funciones resulta ( h ° g ) ° f = h o ( g 0f )

4.6.3. Composición de funciones inyectivas S i / : A~-*B y g : B - > C son inyectivas,entonces g o / : A - + C esinyectiva. De acuerdo con la definición de inyectividad 4 .4. i ) debem os probar que si a:’y x” son elementos de A que tienen la misma imagen p o r g = f , entonces.v ’ = x ’’ Sea pues

·

íg = f ) ( x ’ ) ~ i g « / ) i x ” I ■

Por definición de composición

Por serg inyectiva resulta / ( * ’) = / < * ” ) ya que estos elementos de B tienen la misma imagen porg. Y por ser /in v e c tiv a : jr’ = jr” Queda probado, asi, que la composición de funciones inyectivas es inyectiva. 4.6.4. Composición de funciones sobreyectivas S i / : A -*B y g ’ B ~»C son sobreyectivas, en to n cesg o / : A -*C es sobreyectiva. Según 4.4. ii ) hay que probar que para todo z e C existe x e A tai que <* = /)(·*) = *. Por serg: B -*C sobreyectiva, V zeC ,3yeB /g(y) = z

Ahora bien, dado y e B, por s e r / : A -*B sobreyectiva, Jxe A! f(x )~ y

De aquí se deduce que g\f(x)]~giy) = -

Entonces. dado cualquier 2 € C, 3 x e A tal que {g o / ) ( x) = z. de acuerdo con la definición de composición. En consecuencia, la composición de funciones sobreyectivas es sobreyectiva. 4.6.5. Composición de funciones biyectivas S i/ : A -*■ B y g : B -> C son biyectivas, entonces la com posicióng ° / : A -*■ C es biyectiva.

Este enunciado es una consecuencia de 4.6.3. y 4.6.4.

Ejemplo 4-18.

En 4.6.3. se ha dem ostrado que la composición de dos aplicaciones inyectivas es inyectiva. La inyectividad de la composición no implica la de cada función, pero s í la de la prim era. Es decir, si / : A - > B y g : B - » C son tales q u e g - o / : A -* C es 1—1, e n to n c e s /e s inyectiva. Sean x ’ y x ’’ en A tales q u e / ( x ’) - /(*"). Hallando la imagen de este elem ento de B p o rg , se tiene

g [/(*’)] = £ [/(*'’)] ya que cada elemento del dominio B tiene imagen única en C. por definición de función. Por definición de composición

(g »/)(·*’) = { gof ) í x ” I y, por ser g o / inyectiva, resulta x' = x". En co n secu en cia,/es inyectiva. De m odo análogo el lector puede demostrar que si la composición de dos aplicaciones es sobreyectiva, entonces la segunda es sobreyectiva.

4.?. FUNCIONES INVERSAS T oda función / : A -* B es una relación; cabe preguntarse si la relación inversa es una función. En general, la respuesta es negativa, como se ve a través del ejemplo 4-2, donde A =
/ = { ( - 1 , 1 ) , ( 0 , 0 ) , ( 1 , 1 ) , ( 2 ,4)} La inversa d e esta relación es el subconjunto de B X A: { ( 1 , - 1 ) , ( 0 , 0 ) , ( 1 , 1 ) , ( 4 , 2)} Se ve claram ente que esta relación no es una función de B en A, pues los elem entos 2 y 3 de! eventual dominio carecen de imágenes en A. y además no se cum ple la condición de unicidad, va que 1 tiene dos correspondientes en A. Sea en cambio el siguiente caso

A = ^ 1 , 2 . 3) , B —| a . b . c / y

una función de A en B. La relación inversa es £= {(0 ,l),(b ,3),(c,2)}

es claram ente u na función de B en A , llamada función inversa d e /. La composición

g ° f —{(1 » 1) >(2 ,2), (3 ,3)} = iA

/ o g = { ( a , a) , (b , b) , (c , c)} = íb D e fin ic ió n '·(

La función / : A -> B adm ite inversa si y sólo si existe g : B -> A tal que g ° f — i a y f ° g = iB E jem plo 4-19.

La fu n ció n / : R -> R definida por / (x) = x + 2 adm ite inversa g : R -* R tal que g (x ) = x — 2, pues ig 3 / ) (*) = g 1/ (·*)] = g (■* + 2 ) = x + 2 - 2 = x = ík (x )

( / ’ 1 ) ( * ) = f \ g (-*)] = / ( * — 2) = JC — 2 i 2 - x = ík {á) según las definiciones de com posición, de f funciones resulta ,

Í°/=ÍR

de £ y de identidad, Por igualdad de

y f°g=ÍR

La representación cartesiana de dos funciones inversas conduce a gráficos simétricos respecto de la prim era bisectriz:

La fu n ció n f es biyectiva, como puede probarse fácilm ente, y este hecho es necesario y suficiente para q u e adm ita inversa. 4.7,2. Propiedad Una fu nció n adm ite inversa si y sólo si es biyectiva. í) Si u n a función adm ite inversa, entonces es biyectiva.

Hipótesis)/ : A -> B es tal que existe g : B ->A siendo g ° ' f ~ i A

y f a g = /B

Tesis) / e s biyectiva. Demostración) a) Vemos p rim ero la inyectividad de f. Sean x ’ y x ” en A tales que / (x ’) = / ( x ” ). La im iten de este elem ento de B por g es ir [ / ( * ’) ] = ¿ r [ / ( * ” )] Por definición d e composición, esto se traduce en ( g ° f) ( x ’) = ( g ° f ) { x ” )

y siendo por hipótesis £ o / = ¡A, se tiene i A <*’) = i A (-*” )

Es decir: x ’ = x " , lo que demuestra q u e / e s 1 - 1, b ) D em ostram os ahora q u e / e s sobreyectiva'. De acuerdo con la definición, debemos probar la verdad de la proposición siguiente V y eB

, 3 x e A / f(x) = y

Sea entonces cualquier elem ento y e B; por definición de identidad en B se tiene } ’ — *b ( y )

> y com o por hipótesis i % = f ° g

se tiene

y = (f ° g ) ( y ) Por definición de composición

y=f\g{y)] Es decir, a expensas d e y e B, hem os determ inado x = g ( y ) e n A, tal que / (x j = y Siendo /in y e c tiv a y sobreyectiva resulta biyectiva.

II) Si una función esbiyectiva, entonces admite inversa. Hipótesis) / : A ->B es biyectiva. Tesis) : B-»-A ta l que £ « / = íA y / ° g = ¡B. Demostración) N ecesitam os proceder en tres etapas. a) Primero se tra ta d e definir una función g : B -»A, de modo que se verifiquen las restantes proposiciones de la tesis. En este sentido, definim os g : B -*A

mediante g ( y ) = jc si f í x ) = y

(0

Tenemos q u e ver que (1 ) satisface la definición de función. En efecto: i ) T odo elem ento y del dominio B tiene u n correspondiente x en A, ya que, por ser / sob reyectiva, todo y e B proviene de algún x e A.

.J K £ ,

ii) El correspondiente x asociado a y es único, p o r ser / inyectiva. En efecto, si x y x ’ fueran antecedentes distintos de y por / se tendría x = é x ’ a f { x ) ~ f ( x ’ ) —y, lo que es absurdo por la inyectividad d e / b) Hay que probar queg o f ~ i A . Cualquiera que sea x en A se tiene, por definición de composición, por (1 ), y por definición de identidad en A (g » f ) (-V) = g \ f ( x ) ] = g (.V) = * = ¡A (*)

Entonces, por definición de funciones iguales g o f = ‘A

c) Finalmente, demostramos que f ° g — ÍB· Como / o j : B -*■ B, para todo y e B, tenemos, p o r definición de composición, por (1) y por identidad en B

( f = g ) ( y ) = f \ g( y) ] = f B es biyectiva, entonces la función g : B - > A a que se refiere el teorema anterior es única y, además, biyectiva. Si existieran dos funciones g y g ‘ que cumplieran las condiciones de 4.7.2. II) se tendría g ’ = g ’ o Í B ~ g ’ o ( f o g ) = ( g’ o f ) !> g = i A O g = g

por ser íB neutro a derecha e igual a / o

por asociatividad de la composición, p o r ser

g ’ * f = i A . y porque i A es neutro a izquierda. En consecuencia.# es única. i’or otra parte, de acuerdo con 4.7.2. í) se tiene esta situación: g ■ B — A es tal que eraste / . A -*B. siendo f o g - i B y g f - íA . En consecuencia,g es biyectiva.

La función g se llama !u inversa é e / y se denote con el s ím b o lo /" 1. Ejemplo 4-20.

Se trata de probar que / :r

i,i)

f(x) ~ —

w

X

I + M

definida por admi t e inversa.

De acuerdo c j r el teorema anterior es suficiente probar que / e s biyectiva. Previamente, uecesitamos precisar algunos conceptos relativos a la función valor absoluto, y su conexión con la función signo.

i ) Función valor absoluto es la aplicación ] | : R ->Ro

( siendo Ro = R + U { o })

definida por

f w =

x si x > 0

< I —x

si x < 0

Su representación cartesiana consiste en el par de bisectrices de! prim ero y segundo cuadrante. La función valor absoluto es sobreyectiva. pero n o invectiva

i i ) Función “ signo de x " es la aplicación sg : R - + Z

f sg (x l =

definida por

1 si -ir > 0

si x = 0 S - 1 si x < 0 0

fcsta función y a fue graneada en el ejemplo 4-S. iii) Cualquiera que sea el núm ero real x, se cumple !x| = x . sg (x) lo que es fácil de verificar teniendo en cuenta las definiciones de valor absoluto y de signo de x. Retom am os nuestro propósito inicial: a) / e s inyectiva.

Sean x ’ y x ” en A, tales que / ( * ’) = / ( * ” ) x-

*

*”

T+FT = T+TrT

con

Jf’ + x ’ l x”! = x ” + x " \ x ’\ y s ^ ( x ’) = jg(.xr” )

x +x .x

+X

sg( x ) = x

. x sg \ x ) por íiij

» x' —x ”

O sea: / e s I — l. b) / es sobreyectiva. Sea y e {— l , l ). Si 3 x e R / / ( x ) = y , entonces debe ser

X

i + W

-

y

con j s ( x ) = s£ 0 0

O perando

x = y +y W

Por(l)

* x = y +yxsg(x)

P oriii)

* x = y -¡-xysg(y)

t

P o r( l)

■

x — x y sg ( y ) = y

Por trasposición

4 x ( l — |yt) = y

Por distributividad y iii)

r x -

Pues l - M > o ya que \y\ < l

Es decir V y e ( — l , l ) , 3 jc =

l-W

(l)

tal que

m - t f i^

r )

“

l-iy!

y -

l ~ W _____ = ______ 1 _______

. , 1

l - M + !.vl

\y\ ■ p q jr

7

Esto prueba que / es sobreyectiva. Por a) y b ) resulta que / es biyectiva y en consecuencia admite inversa. La inveì sa es f ~ l ■ (—1 , 1 )-* R

/ 1 (*) =

tal que

j _

c) Verificamos q u e # ° / = í r En efecto V x e R : ( £ o /) ( * ) = j ? [/(* )] =

’ * frrsrJ - .

j

= * = '»<*>

1+ W !

d ) Además, ' f a g = í ( - i , d Pues x e i<_ ,,,)=!■ ( / o g) ( x) = / [ # (x)y= x

= / ( — * — .) 1 l l- w J

= ___ L z W _____ =JC = I JC I 11 - w I

= í{ - i , i ) ( * )

Ejem plo 4-21.

La fu n c ió n / : A -* B es inyectiva si y sólo si existe g : B -*■ A tal.que g ° / = i a I) Hipótesis) / : A -*■ B es 1 -1 . Tesis) 3 g : B -+A ta íq u e # o / = iA . Demostración) La función / no es necesariamente sobreyectiva, de modo que eventualmente existen elementos del codominio sin preimagen en el dominio. Nos ayudamos con el siguiente diagrama

Definimos una función g ■ B -> A m ediante la siguiente asignación j g ( v' ) ~ S

x

si f í x t =

x'

(Cualquier elemento fijo de A) si no existe x e A tal que f ( x ) = y.

De este modo, todo elemento de B tiene un correspondiente en A, y además es único, por ser / invectiva. .Ahora bien, utilizando las definiciones de composición, de g, y de identidad en A, se tiene, cualquiera que sea x e A ( g ° f ) ( x ) = g [/(-v )] = g ( y ) = x = i A (*)

y por definición de funciones iguales resulta g ° f = Í A

II) Hipótesis) / : A -*■ B es tal que existe g : B -*■ A de m odo que g o f = i A Tesis) f es inyectiva. Demostración) Sean x ’ y x " en A tales que / ( x ' ) = f í.-t” ). Entonces: = Por definición d e composición: (g » / ) ( x ’ ) = ( g ° f ) ( x ” )· Por hipótesis: / A (jc') = i A ( x ” ). Esto implica x ’ — x" , y en consecuencia / es 1—1.

4.8. IMAGENES DE SUBCONJUNTOS DEL DOMINIO 4.8,1. Sean / . X -*· Y y A un subconjunto de X. Las imágenes de iodos ios elementos de A determinan un subconjunto de Y, llamado imagen de A por f.

Definición

Imagen del subconjunto A C X es el conjunto cuyos elem entos son las imágenes de los elem entos de A. En símbolos / ( A ) = { /■ ( * ) /* € A j 0 bien

/ ( A ) = { >' € Y / 3 x € A a f { x ) = y El sím bolo / ( A ) se íee "imagen de A” . De acuerdo con la definición y e f ( A)

3 x e A ! y = /(* )

En particular, si A = X, entonces / (X) se »llama imagen del dominio por / o directamente imagen de f Además. / ( $ ) = <¡>. Se tiene obviamente q u e / e s sobreyectiva si y sólo s i / ( X ) = Y. 4.8,2. Propiedades de la imagen Sean / : X - + Y y A y B subconjuntos del dominio. a) Si u n subconjunto del dom inio es parte de o tro , entonces la misma relación vale para sus imágenes. Es decir, si / : X -»-Y , A C X . B C X y A C B , entonces e s / ( A ) C / ( B). En efecto, sea z ef(A)

*·

3 X e A / f(x) = z

Por definición de imagen

*■ 3 x e B ! f ( x ) —z ·■e /

Por ser A

B

Por dei’intción de imagen

b) La imagen de la unión de dos subconjuntos del dominio, es igual a la unión de sus imágenes. Hipótesis) / : X ~ * Y A C X y B.C X Tesis) / ( A U B )= / (A ) U / (B) Demostración)

’robam os la doble inclusión. i ) Sea ze/(A U B )

4 3 í e A U B / / (x) —z I 3x>(xeA

v

xeB)

f(x)-z

a

4 ( 3 .y ! x e A

" f ( x ) = z)

v

( 3x

/ jc e B a f ( x ) = z )

ze/(A)

v

z e /( B )

z e f ( A)U/(B)

Es decir f ( A U B) C / ( A ) U / ( B )

(1)

2o) Usando propiedades de 3a inclusión y a) A C A U B =* / ( A ) C / ( A U B ) B C A U B => / ( B ) C / ( A U B) =>/(A)U/(B)C/(AUB)

( 2)

De ( 1) y ( 2 ) resulta /(A U B )=/(A )U /(B ) c) La im igen de la intersección de dos subconjuntos del dom inio está incluida en ' ¡r.tersección de sus imágenes. Se trata de ver que si / : X -*· Y, A C X y B C X, entonces /( A H B ) C / ( A ) H / ( B )

En efecto, sea 2 e f ( A n B) ^

Y 3x e A H B / f ( x ) —z

( 3 x e A / / ( ; c ) = z)

a

( 3 x e B / / ( x ) = z)

4 ze/(A)

a

z e /(B )

1Szef(Á)nf(B)

Entonces / ( A n B) C / ( A ) n / (B) El siguiente ejemplo prueba que no es válida la inclusión en el otro sentido. Sean / : Z - * N definida por / (x) = x 3 y los subconjuntos de 2

A = { - 2 , - 3 , 4 } yB={j2,3, 4,5 } Se tiene A H B = | 4 j

y

/(A O B )= {l6 } / ( A ) n / ( B ) = { 4 , 9 , 1 6 } n { 4 , 9 , 16 , 2S} = { 4 , 9 , 16 } Resulta /(A A B ) C /(A)n/(B)

4.9.

IMAGENES INVERSAS DE SUBCONJUNTOS DEL CODOMCS'IO

4.9.1. Concepto Sean / : X -*· Y y A una parte del codominio Y. Un problem a de interés consiste en determ inar los elem entos del dominio cuyas imágenes pertenecen a A. Tales elementos forman un subconjunto d¿ X, llamado imagen inversa o preimagen de A p o r / .

Definición

im agen inversa o pie imagen del subconjunto A C Y, es el co n jun to de los elementosdel dominio cuyas imágenes pertenecen a A. La notación para indicar la preimagen de A por f . es f 1 (A) y no debe entenderse que se indica la función inversa, la cual puede no existir, ya que nada se prefija acerca de f. En sím bolos

Es claro quii x e f ' 1 (A ) o / ( x ) e A

Es decir, un elem ento del dominio pertenece a la pre imagen de A si y sólo si su imagen perteneie a A.

Ejem plo 4-22.

Sea / : R -*R definida p o r f ( x ) = x 2. Determínanos las preímágenes de los siguientes subconjuntos del codom inio

Se tiene

Ahora bien f { x ) e (—« = , — 1] o x 1 < — 1 <& x e
Resulta

i i ) En el segundo caso

x e f 1 ( - 1 , lj 0

jf(x ) e (— 1 ,13

Por definición de preímagen

♦ x 1 e (— 1 »1} * - | < r
Por definición de f Por definición de intervalo Pues . r > -

l , V x

Porque x 2 = ¡x |2 Por ser Ifl < 1 Por definición de intervalo cerrado

Entonces / " ' (— 1 , 1 ] = [— 1 , 1 ) ¡ii) Se tiene x e f 1 ( - 1 , 1)

* / ( x ) e ( - 1 , 1) $ x 1 e ( - 1 , 1) * ** < 1 » Ixf < i t —1< x < 1 í x e ( - 1 , 1)

Luego / - * ( - 1 , 1) = ( - 1 , 1)

¡v) Finalm ente

xé

/ - ’ [4,9] ♦

f( x ) e [4,9]

♦ x 2 e [4,9] ♦ 4
>4

a x 2 <, 9 a

lt| > 2 a |x| < 3 ♦ x e [—3 , — 2] v x e [2 , 3] $ x e [ - 3 , — 2 ] U [ 2 , 3] Entonces / - > [4 , 9] = [— 3

2 ] U [2 , 3 ]

4.9.2. Propiedades d e la p re imagen Sean / : X -* Y y los subconjuntos A C Y , B C Y a) La preimagen de la unión es igual a la unión de las preím ágenes.'

Se trata de probar que / 1 (A U B) (A) U / _1 (B) Utilizamos sucesivamente las definiciones de preimagen, de unión y de preimagen: «

x e / “ 1 ( A U B ) » / ( x ) e A U B «► «· / ( x ) 6 A v / ( x ) e B ·»► « • í f / " l (A) v

x e / ' 1 (B)'«

« x e / ' 1 (A) u / - ' fB\

b) La preirnagen de la intersección es igual a la intersección de las preirnágenes, es decir r 1 (A n B) = / " ' ( A ) n / -1 (B) R azonando análogamente, se tiene x e / " 1 (A n B) o f(x) e A

a

«· x e / ~ l (A)

/ ( x ) ¿ A n B <*· í.

-

f { x ) e B «■ a

x e f ' 1 (B ) »

*»■ x e f ' 1 (A) O / ' 1 (B) c) La imagen inversa del com plem ento de un subconjunto del codom inio com plem ento de su preirnagen

rgüai ¿I

r i ( a c) = \ f ~ i ( a ) | c

En efecto

' x e / -i (Ae) ^ > f ( x ) e A c o / ( x ) é A ■»

* />

■ 4

« ~ [ / ( x ) e A ] o ~ [ x e r 1 (A)i <». O x f / - ‘ (A ) O x e [ / _1 (A )]c Ejem plo 4-23.

El conjunto Q, consiste en los posibles resultados que se obtienen al lanzar una m oneda, es decir 0 = |c,s} Se define f : í2-*-R mediante m

=

1

/(* ) = 0 En un diagrama, ía situación es

SI

Determinar f ' 1 ,x], Vx eR Por definición de preimagen /-'

-|w eíí//(w )< x ^.

Entonces {

r 3

i= <

si x < 0

$

si o < x < i

($ }

·, f f , s } s i

1 « íx

Ejemplo 4-24.

Sea una aplicación / Demostrar VxeR:

A -R

QP U / “’ (— « , x ~ 2~n J = / ~ I ( ~ o e,.'*‘) •l = !

Para cada x e R , el primer miembro denota la unión de una sucesión de conjuntos del dominio A. cuya identificación con la preimagen de (~ °° , x ) debemos probar. OO i )S e a v e U / " l (— ° ° , x - 2 " ) n~ 1 Por definición de unión, 3 m e N tal que w e / -1

, x — 2 ’m j

Por definición de preimagen f ( w ) < x - 2~m

( 1)

Y com o Q<

(2)

2~m

Sumando (l'í y t2) < ,c es decir: / ( w ) e (— 00. , y por definición de preimagen resulta w e / * 1 (— 00, x ) Luego

OO

U

n* 1

f~x

(~"001 “ 2~n] C

/ _1

(—

(3)

ii)

Sea ahora w e f ~ l (— 00, x)

Por definición de preimagen f(w )< x

Es decir: x ~ f ( w ) > 0 Y siendo x —/ ( w ) un núm ero real positivo existe m e N tal que x - f ( w ) > 2~m

Por trasposición de térm inos f(w) < x - 2 'm

O sea

3 m e N //(w )e (-

° ° , x

—

2 ' m]

f

Y por definición de preimagen i m e N / w e / * 1 (— « , x — 2 "m ] Por definición de unión resulta we

U / '■ ( - « , x - 2 ' n] n= i

Es decir r

i < - ° ° , X) c

OO u

r

l {-* = ,* -

2

~n ]

( 4)

n = I

Las inclusiones (3 ) y (4) demuestran la igualdad propuesta.

4.10. RESTRICCION Y EXTENSION DE UNA FUNCION

* Sean f : X Y y A u n subconjunto de X- Definimos ia función g : A -* Y mediante Sa asignación g (je) = J\x) cualquiera que sea x e A, Decimos que g es la restricción de la ap licació n /ai subconjunto A, y la denotemos g ~ f i A. Si g es la restricción d i / al subconjunto A» e n to n c e s /: X - * Y e s una extensión de la función g sobre el conjunto X. Es claro que la restncción de / : X -* Y ai subconjunto A es única; mientras que, dada una fu n c ió n g : A -»-Y, ésta adm ite m ás de una extensión sobre el conjunto X que contiene a A. En efecto, s i # : A - * Y y A C X, entonces podem os definir una extensión d e # al conjunto X, de la siguiente m anera, sea .yo un elem ento cualquiera de Y ; definimos: í g (x )

/:X ->Y

si x e A

mediante / ( * ) = < jKo

si x e X — A

TRABAJO PRACTICO IV

4-25.

D ados A =
definir p o r extensión

la

función / : A -*B , que asigna a cada elem ento de! dom inio su cuadrado dism inuido e n i . R epresentar y clasificar f 4-26.

Siendo A = ^ ~ 2 , — 1 , 1 , 3 1

representar y clasificar la aplicación / : A -* Z.

tal q u e la imagen de cada elem ento de A es el resto de su división p o r 3. 4-27. Por definición, parte entera de un núm ero real x es el m ayor entero que no supera a x. Si e es la parte entera de x se verifica e < x < e +1

Para d en o ta r la parte entera del núm ero real x , se usan las notaciones ent (x )

o

M E studiar, representar y clasificar la función / : R - » Z , definida por / ( x ) = e n t (x ) 4-28. R epresentar y clasificar la función m antisa, que se d eno ta por

m a n t : R -* R y se define m ediante m an t (x) = x — en t (x ) 4-29. R epresentar y clasificar las siguientes funciones: i

) / : R -»-R tal que f { x ) = x — 1

n ) / : R —»- [ 1 , <*>) tal que f ( x ) = x 2 + 1 iii) / : Z -* Q

definida p or f ( x ) =

.4-30. Sean A = { 1 , 2 , 3 } y

X ^ --

B = { 2 , 3}

R epresentar y c la s ific a r/': A X B - * Z definida por f(a,b)=3a~b 4-3 i . D ados A = ^ l , 2 , 3 ^ y

B = |l,2 ,3 ,4 ^

/ : /* ( A ) -*· i* (B )

definir por una tabla y clasificar

tal que / ( X ) = B - X

4-32. Definir aplicaciones no constantes, con los dominios y codominios que se

indican: i ) / : Q -* Z i i ) g : Z ->N (que sea biyectiva) iii) h : R ~ * | o , 4-33. Sean / : Z

N definida por f {x ) = x 2 , y los subconjuntos del dominio

A = { - 1 , - 2 , - 3 , 4 } y B = { 1 , 2 , 3 , 4 }. Verificar las propiedades de la imagen. 4-34. Se considera la f u n c i ó n /: R J -*-R tal que f ( x , y ) = y.

Dar dos subconjuntos A y B del dominio, tales que B C A y / ( A — B)=¿ #/(A )-/(B ) 4-35. Proponer dos conjuntos X e Y, una parte A C X y una función / : X -*■Y tales

que i ) / ( X — A) C Y —/ (A) ii ) Y ~ / ( A ) C / ( X - A ) iii) /{ X — A ) n [Y —/ (A)] = 4> 4-36. Sea / : R -»•R definida por f ( x ) = x 1 + 1. Determinar las preimágenes de los

siguientes subconjuntos del codominio:

4-37. S e a / : X -»■Y. D em ostrar la equivalencia de las siguientes proposiciones:

a) / e s iñyectiva. b )V A ,A C X ^ /-'[/(A )] = A 4-38. Las funciones / : Z - + Q y g : Q - + Z son tales que

• / ( * ) = - 3 - + 1 y í W = e n t ( x) z j Definir g ° /, / « g, y determ inar (£ o f ) (— 2 ) , ( f o g) ( ~ —■ ). 4-39. Las funciones / : A - + B y g : B - * C son tales q u eg =>/ es sobreyectiva. Demostrar que g es sobreyectiva. 4-40. Las funciones / : A ->■ B, g : B - * C y f t : C - * D son tales que g ° f y h o g son biyectivas. D em ostrar que / g y h son biyectivas. 4-41. Las funciones / : A -* B , g : B -»■€ y h : G -» A son tales que h ° g ° f y / « h ° g son sobreyectivas, m ientras que g a f a h e s iñyectiva. Demostrar que f . g y h son

biyectivas.

4-42. Sean / : X -> Y una función, y los subconjuntos A C X y B C Y , D emostrar las

siguientes relaciones: a) A C / ' 1 [/( A ) ]

c) f ( X ) —f (A ) C / ( X - A)

b) f i r 1 (B)] C B

d) f 1 (Y - B) = X - f ~ l (B)

e) / ( A n / - ‘ ( B ) ) = / ( A ) n B 4-43. D ado el subconjunto A C X definimos la aplicación Xa : X -» R mediante í 1 si x e A Xa (-t) = { 10

si x e X — A

XA se llama función característica de! subconjunto A C X. Verificar que para todo elemento x de un conjunto X se cumplen las siguientes relaciones entre las funciones características de los subconjuntos de X: ¡ ) X a h b ( * ) = X a W X b (*) ü) X a u b Í* ) = X a W + Xb M

~ X a (·*) ■X b (■*)

4-44, Se considera la función / : XJ -* X2 definida p o r f ( a , b ) = (b , a) Demostrar que f ° d = d, siendo d : X -» X2 la función diagonal. 4-45. La fu n c ió n /: R -* R 2 está definida por f ( x ) = ( x , —x) . Demostrar:

i ) f
f { k . x ) = k . f ( x ) , d o n d e fc e R

N ota: las condiciones i ) y i i ) confieren a / e l carácter de función lineal. 4~46. Sea / una función arbitraria de un conjunto A en R, Demostrar que para todo núm ero real x se verifica n

r 1 ( - ” , x + 2 - n) = r i

n = i

4-47. Sea A es un álgebra de Boole de subconjuntos de R que satisface:

i 1

P (A) > 0

ii )

P (O) = 1

tói)

p ( l

\i=l

cualquiera que sea A

A,) = I

J

y P es una función de A en

i-í

P (A,·)

La aplicación P, que verifica las condiciones anteriores, se llama función de probabilidad; los elementos del dominio son sucesos, y .a imagen de cada uno de ellos es su probabilidad. Demostrar: a) La probabilidad del vacío es igual a 0.

b ) La probabilidad de la unión de dos sucesos es igual a la sum a de sus probabilidades m enos la probabilidad de su intersección. c) La probabilidad del complemento de un suceso es igual a 1 m enos la probabilidad de dicho suceso. t-48. Sean un álgebra de sucesos de O y X una función de S ien R . D em ostrar que p ara todo x e R X~» (— o o , x ) e A o X " 1 (— ° ° » x ] e A 4-49. En las mismas condiciones del ejercicio anterior dem ostrar

X ' 1 (—■»,.?]£,4

X ” 1 [jr,®°)e.4

4-5(>. Fn el mismo caso, dem ostrar X 'i

(~~aot x ] e A

X “!

{ x . qo) e A

4-51. Sea / : X- +Y. D em ostrar la equivalencia de las siguientes proposiciones cuales­

quiera que sean A C X y B C X i i / ' 1 [ / (A )] = A ii) / ( A n B ) = / ( A ) n / ( B ) iii) A n B - 0 =*· / ( A ) n / ( B ) = 4> iv) B C A =» / ( A - B) = I (A) - / ( B )

Capítulo 5

LEYES DE COMPOSICION

5.1. INTRODUCCION En este capítulo definirnos, desde el punto de vista funcional, el concepto de ley de com posición interna en un conjunto no vacío. Luego de prop o n er algunos ejemplos, se estudian las posibles propiedades que pueden presentarse y la eventual existencia de elem entos distinguidos. Se introduce a q u í el tem a de hom om orfísm o entre conjuntos, y su culm inación en el teorema fundam ental de com patibilidad de una relación de equivalencia con una ley interna. Con vistas a su utilización en la estructura de espacio vectorial, se definen las leyes de com posición extem a.

5.2. LEYES DE COMPOSICION INTERNA L oa ley de com posición interna, definida en u n conjunto no vacío A, consiste en una operación que asigna a cada par ordenado de elem entos d e A u n único elem ento de A. E sto significa que a cada objeto de A X A le corresponde un único elem ento de

A. D e fin ició n

Ley de com posición interna definida en u n co njunto no vacío A, es toda función de A X Á en A. En sím bolos * es una ley interna en A o · , * : A 2 -*■ A Es decir

ae A /\ 6 e A = » a * 6 e A La unicidad de a * b está dada por la definición de función. La imagen a * b, del par ( a ; b ), es el com puesto de a con b.

| l i :yi

s

d i ; c o m p o s i c i o n ints k n a

U3

Son ejemplos de leyes de composición interna, la adición y multiplicación en N Z Q,RyC. Ejem plo 5-1.

Las siguientes tablas de doble entrada definen leyes de composición interna en el conjunto A = j a , b , c}

*

a b c

a L U c

a b c ui. c a € a b

ii)

*

a b c

a b c

a b b r a b c a

E n i ) es b * c — a, p ero en i i ) se tiene b * ,c = c. ¿Cuántas leyes de composición interna es .posible definir en este conjunto A? Es obvio que tantas como funciones existan de A2 en A; com o A2 tiene 9 elementos, se trata de todas las variaciones con repetición de 3 elem entos de orden 9, es decir, 39. Ejem plo 5-2.

E n R 2 se define * m ediante (a , b) * (c ,d ) = (a + c ,b + d )

E sta ley interna es llam ada sum a ordinaria de pares y se efectúa sumando en R. com ponente a com ponente. C om o cada par ordenado de números reales caracteriza un vector del plano aplicado e n el origen de u n sistema cartesiano, resulta que el significado geom étrico de esta ley de composición interna en R 2 consiste en la diagonal del paralelogram o cuyos lados son los vectores dados.

SaSOáíí:·.

¡jem plo 5-3.

Dado A = { 1, 2, 3 } se considera el conjunto T(A) cuyos elementos son todas las •unciones biyectivas de A en A, es decir T (A) =={/} : A

A i f ¡ es biyectivaj

Nos interesa cefinir en T(A) la composición de aplicaciones, que es obviamente una -*y de composición interna.* puesto que la composición de aplicaciones biyectivas de A ¿n A conduce a aplicaciones biyectivas de A en A. El conjunto TIA) tiene 6 elem entos, que caracterizamos a través de lus correspon­ dentes conjuntos imágenes de las aplicaciones fx = { ( 1 , 1 ) , ( 2 , 2 ) 4 3 , 3)} = za

/ 4 = { ( 1 , 2 ) , ( 2 . 3 ) , ( 3 , !)}

= 4 ( 1 , 1) , (2 , 3) , (3 , 2 )}

fs = { ( l , 3 ) , ( 2 , I ) , (3 , 2)1

A «{(1,2), (2, 1),(3,3)}

/ . * { ( 1 , 3 ) , ( 2 . 2 ) , ( 3 , 1 )}

h

Para componer f 2 c o n / 3 determ inam os /3 ° / 2 mediante: ( / 3 » / 2) ( l ) = / 3 [ / 2 ( l ) ] = / 3 ( l ) = 2 i f i “ / 2) (2) = / 3 [/2 (2)] = / 3 (3) = 3 ( f 3 c / 2 ) (3) = 1

Resulta asi / 3 o f 2 = / * . El lector puede com pletar la tabla de la composición de las funciones biyectivas de A en A, com een el caso del ejemplo 5-1.

5.3, PROPIEDADES Y ELEMENTOS DISTINGUIDOS DE LAS LEYES DE COMPOSICION INTERNA Sea * una ley de composición interna en A, es decir, * : A 1 — A 5.3.1. Asociatividad * : A‘ ^ A es asociativa <* (a * b) * c = a * (b * c) cualesquiera que sean a. B y c en A. ' 5.3.2. Conmutatividad * : A 3 -* A es conm utativa ■ e > a * b ~ b * a para todo par de elem entos a y b de A.

5.3.3. Existencia de elemento neutro Cabe preguntarse si existe en el conjunto A un elemento e, que com puesto a izquierda y a derecha con cualquiera otro no lo altere. Si u n elemento tal existe se lo llama neutro o identidad respecto de la ley * de acuerdo con la siguiente definición e e A es neutro respecto de* o

VaeA:a*e~e*a=c¡

5.3.4. Existencia de inversos en una íey con neutro Sea * una ley interna en A, con elemento neutro e. Dado a e A interesa investigar si existe a ’ c A, tal que compuesto a izquierda y a derecha con a dé por resultado e. El neutro es un elemento del conjunto relativo a todos. El inverso, si existe, es relativo a cada elemento. Proponemos la siguiente definición a ’ e A es inverso de a e A respecto de * < ¡ > a * a ’ ~ a ’ * a — e

Los elementos dé A que admiten inversos respecto de * se llaman inversibles. Ejemplo 5-4.

i ) La adición es una ley interna en N, conm utativa y asociativa. i i ) La adición es ley interna en Z, asociativa, conmutativa, con n eu tro 0, y con inverso aditivo para cada entero. iii) En R la multiplicación es ley interna, asociativa, conmutativa, co n neutro 1, y con inverso multiplicativo para cada elem ento no nulo. iv) En el co n jun to T( A) de! ejemplo 5-3, la composición de aplicaciones es ley interna, asociativa (la composición de funciones es asociativa), con n eu tro / , = ¡a , y con inverso para cada elem ento. Estas propiedades son vetificabies sencillamente m ediante la tabla de la composición.

5.3.5. Unicidad del neutro Si existe neutro en A respecto de *, entonces es único. Supongamos que e y e' son neutros respecto de *; entonces. por ser e neutro y por serlo e \ se tiene e ’ = e ’ * e —e » e ’ ~ e

5.3.6. Unicidad del inverso respecto de una ley asociativa Si un elem ento a e A adm ite inverso respecto de la ley asociativa *, entonces dicho inverso es único. Supongamos que a ’ y a ” son inversos de a. Aplicando consecutivam ente la definí-

ción de neutro, el hecho de que a ’ es inverso de a, la asociatividad, el supuesto de que a " es inverso de a, y la definición de n eu tro se tiene a ” = a " * e = a ” * (a * a ') — ( a " * a) * a ’ — e * a ’ = a ’

5.3.7,

Regularidad d e un elemento respecto de una ley interna

La regularidad de un elemento respecto de una ley de composición interna consiste en que es cancelable o simplificable a izquierda y a derecha en los dos m iem bros de u n a igualdad. D e fin ició n f a * b —a * c =*fc = c 1 b * a = c * a => b — c

La regularidad bilateral se llama regularidad a secas; si es preciso distinguir, habrá que especificar si lo es a izquierda o a derecha. La regularidad es relativa a la ley de com posición, y, lo mism o que la inversión, depende de cada elem ento. Así com o existen elem entos que adm iten inverso, y otros que no, aqu í puede ocurrir que un elem ento sea regular o no. Si todos los elem entos de un conjunto son regulares respecto de cierta ley de composición interna, se dice que vale la ley cancelativa o de simplificación. E jem plo 5-5.

i } ii )

En (Z , + ) todos los enteros son regulares. En (N , .} todos los naturales son regulares. -

iii)

En (R . ) todos los reales, salvo el cero, son regulares.

iv)

En (R 1 , + ) todos los elem entos son regulares. En este ejem plo de ley de composición interna valen la asociatividad, conm utatividad, existe neutro (0 , 0 ) y el inverso aditivo u opuesto de todo par (a , b) es (— a , — b).

E jem plo 5-6.

Se define * : Q J ->· Q mediante a * b = a - >r b \ a . b (1 ) Se entiende que 4- y. son la sum a y el p ro d u cto ordinarios de racionales,.de modo que ( 1) caracteriza una ley de composición interna en Q. El problem a consiste en analizar las propiedades de * en Q. f ) Asociatividad. Aplicando reiteradam ente la definición (1) ( a * b ) * c = ( a + b ± a . b ' ) * c = a + b + a . b + c + (a + b + a . b ) . c = = a + b 4■ c + a é + flc 4- é í + abe

(2)

a * { b * c ) = a * ( b + c + b . c ) = : a + b + c + b . c + a . ( b + c + b . c) = = a + b + c + a b + a c + bc + abe

(3)

De (2) y (3 ) resulta (a * b) * c - a * ( b * c ) y la ley es asociativa.

ii ) Conmutatividad. Se verifica aplicando (1) y la conm utatividad de la adición y multiplicación en Q a * b = a + b + a . b = b + a + b . a —b * a

iii) Existencia de neutro. Si existe e, para to d o a e Q debe cumplirse a *e = a

Por(l)

a + e + a . e = a , es d e c ir : e + a . e = 0 .

Luego (1 + a) . e = 0 y cualquiera que sea a ¥= — 1, resulta e — 0. * j| «* —

. ti ,

iJC «««a iiC Iiw

* ·'"» t..·* — - /

u

j. \nj — —■' 4? ii nu i< r^ in;

*— . n v —

ti

Resulta entonces que existe e = 0. Por la conm utatividad, sólo hem os analizado con e a derecha.

iv) Elementos de Q que admiten inverso respecto de *. Si a e Q admite inverso, debe existir a e Q , tal que a * a =e

es decir

n + a ’ + a. a ’ = 0 =*■ a ’ , (1 +¡r) = —a ,

Luego, si a =£ — 1, existe a ' = -r~ r— c 1+ a Es decir, todos los racionales, salvo — 1, adm iten inverso respecto de *. v ) Elementos regulares. Investigamos qué racionales a son regulares a izquierda. Sea entonces a * b = a * c

Por ( l ) a 4- b + n . b — a + c + a . c Cancelando a en (Q , + ) tenemos b + a . b =c + a . c

Por distributividad b (1 + a ) = c ( l +
Si a

—1, entonces

b=c Luego, todos los racionales, salvo —1, son regulares respecto de *. O bien, vale la ley cancelativa de * para to d o racional distinto de —1 .

Ejem plo 5-7.

Se considera el p ar (A , .) siendo el producto ordinario de números reales, y A el subconjunto de núm eros reales del tipo a + b \ ¡ 2 con a y b racionales. Estamos interesados en caracterizar las propiedades de esta ley de composición en A.

i ) El producto es ley interna en A, o equivalentemente, A es cerrado para el producio. En efecto, sean a = sfíii/IeA

r- (J = c + d \ f 2 e h =>

=*■ a , 3 — {a + b \ f 2 ) . { c + d \ f 2 ) = (ac + 2bd) -f (ad + be) \ f l y comcff, b, c, d e Q, resulta a . p e A. i i ) El producto en A es asociativo, p o r ser A un subconjunto d e R, donde se sabe que la multiplicación es ley asociativa. Debe quedar claro que las igualdades que se verifican para todos los elementos de un conjunto se siguen cumplfendo en cualquier subconjunto áe él. Sólo es preciso probar las propie lades relativas a la existencia. iii) Por las razones expuestas en i i ), el producto en A es conm utativo V aiV íeA :a.|¡= p,a iv) Neutrc es e = 1 + 0 . y/2, pues (ú + b s Í 2 ) { l O

0 V I ) —a + b V I

bien, si exists neutro en A debe ser del tipo e = x + y V 2, tal que para todo

a — a + b •\/2 debe cumplirse

(a + 6 V 2 ) . ( x + y \ / l ) = ü + 6 V 2

O)

c o n x e y a determinar. Efectuando operaciones: (ax + 2 by ) +■( bx + ay) \ [ 2 ~ a . + b s / 2 n

í ax + 2 by = a l bx + ay = b

Sia = b = 0 (1) se cumple obviamente. Supongamos entonces que a y b no son simultáneamente nulos y utilicemos el m étodo de Crám er para resolver (2) r ib

- 2 b2 * Q

a >

son «nteros no simultáneamente nulos por lo supuesto.

pues a y fy

Entonces

. A Ax , t\y „ x = ------ = 1 , v - — — = 0 A A

Es decir, existe e = 1 + 0 s f l v ) T odo real no nulo adm ite inversa multiplicativo. Se trata de ver aquí que si a ~a + b 0 + 0... s/2, entonces su recíproco pertenece a A. Si existe será del tipo x + y s/2 tal que (x + v > / l ) . ( a + b y T s ^ ! + 0 V i

II {ax + 2 bv i + ( hx + tí·.· I V ? = 1 + 0 %/ l

* ; ax + 2 by — 1 i bx -r av = 0 * U

11 2 b \ á~a2 ~ 2 b 2^0 C

·

.

Es decir

x=

, A r= j i0 j---- r r »

a !

=* a , A v =

. y= ■

= —¿

— *·

a2 - 2

y resulta vi)

1 !

¡60!

b2

^

E n cuanto a la ley de simplificación, todo elem ento no nulo de A es regular, pues ú a ^ Q y < x $ = c i y , entonces a £3— « 7 = 0 =*· a (¡3 — 7 ) = 0 = > 0 - 7 = 0 =>/ 3 = 7

Ejemplo 5·$.

Sea R ',xm el con ju n to de las matrices reales de n filas y m columnas. Definimos la adición de matrices en R " xm mediante A + B -- [tfy j + [b¡¡ j - C tal que c¿¡ — a,¡ +■ b¡j Vi y/ Es decir, dos m atrices n X m se suman elemento a elem ento. Resulta claro que es­ ta definición caracteriza'una ley de composición interna en R ', *m . que verifica las siguientes propiedades: i ) Asociatividad. Basándonos en la asocíatividad d e la adición en R (A + B) + C = ((ai í J + t % ] ) + tc,v } = = f a j + * / / ] + [ c i j ] ~ í(a¿/ + b u ) + c i j l = = [ a i i + (fe <7 +

= [a i j \ + { b i j + Cíj] =

= [ % ] + ([¿ u I + M ) = A + ( B + C)

ii XConmuíatividad. Con el mismo criterio anterior. A + B = [ai }] + [ b j j ] = [a a + % ] = = [b¡j + a¡¡] = \b ¡¡\ +

[ a¡j]

= B+ A

H em os utilizado, sucesivamente, la definición de adición de m atrices, la conm utatividad de la suma en R , y nuevamente la definición de adición de matrices. iii) Elem ento neutro es la m atriz nula N e R " xm definida por pues cualquiera que sea A en dicho conjunto

= 0, Vi V/,

A+N=N+A=A iv) ínvsrss aditivs de toda íTiStriz A € b u - - ay V (í ; / ) , pues

es Iü rnstriz B 6

d^Onids por

A+B=B+A=N La m atriz B, inversa aditiva de A, se llama opuesta de A, y se denota por — A v ) Toda m atriz n X m e s regular respecto de la adición. En efecto

A + B = A + C , y sum ando —A - A + (A + B) = - A + (A + C) asociando por iv ) y por iii) 5.3.8.

( - a + A) + B = { - A + A) + C N + B = N + C B= C

D istributividad de una ley de composición interna respecto de otra

C onsiderem os el caso d e dos leyes de composición interna y “o” , definidas en un m ism o conjunto A. Interesa caracterizar el com portam iento relativo de dichas leyes internas en el sentido de o b ten er elem entos del tip o (a * ti) ° c, o bien ( a ° b ) * c. D e fin ició n

“ o” es distributiva a derecha respecto de

si y sólo si

(a * b ) ° c = (a ° c) * {b

° c}

p ara toda tem a de elem entos a, b y c en A, La distributividad

a izquierda de “ o” respecto de queda definida p o r a , b , c e A => c o (a * b ) = (c o a) * (c o b)

Se dice que *V’ es distributiva respecto de * derecha. Análogamente se define la distributividad de

siy sólo si loes a izquierda y a respecto de “ o".

E jem plo 5-9,

i ) La adición y multiplicación son leyes de composición interna en R , y la segunda es distributiva respecto de la primera. Pero la adición no lo es respecto de la multiplicación, i i ) En el conjunto N la potenciación no es distributiva respecto de la adición. A quí se define a * b — an y se tiene (a + b )n i^ a n + b n.

Tampoco existe distributividad a izquierda, pues

iii) Pero ia potenciación en N es distributiva a derecha, respecto de ia multiplicación, ya que (a. b ' f = a n, . b n

Sin embargo, no lo es a izquierda, pues n ta,b)

nb

iv) En P (U) la unión e intersección son leyes de composición interna, y cada una es distributiva respecto de la otra. v ) En P (U ) se consideran la diferencia simétrica y la intersección. En el ejemplo 2-28 se ha probado la distributividad de la intersección respecto de aquélla.

5.4. HOMOMORFISMOS ENTRE CONJUNTOS Sean (R , +·) y (R * . ), donde R es el conjunto de los reales, R + el conjunto de los reales positivos y las operaciones indicadas son la suma y el producto usuales. Consideremos ahora’la función / : R -» R + definida por / ( x ) = 2* Se tiene entonces

( 1). /(je + y ) ~ 2x+y = 2*.. 2y =/(*) ./(>-)

Basándonos en la definición (1), el producto de potencias de igual base, y utilizando de nuevo la definición (1), hemos probado que la imagen de la suma en R es igual al producto de las imágenes en R*. Una aplicación/ , que satisface esta propiedad, se dice un homom orfism o de R en R respecto de las correspondientes leyes de com posición interna.

5.4.1.

Homemorfismo entre dos conjuntos respecto de u n a ley interna en cada uno

Sean los conjuntos no vacíos A, A’, y las leyes de composición interna * : A 2 -+ A *’ : A ’ 2 -* A’ Definición

La función / ; A -* A’ es un homomorfismo respecto de * y *’ si y sólo si la imagen de la composición en A es igual a la composición de las imágenes en A’. En símbolo? / : A- »A' es homomorfismo respecto de * y *'

f i a * b ) - ] \ a ) * ] i b)

cualesquiera que sean a y b en A. El concepto de homomorfismo es fundamental en álgebra, y su interpretación es la siguiente: i ) Hemos definido homomorfismo entre dos conjuntos respecto de sendas leyes de composición interna. Las leyes internas y los conjuntos no son necesariamente distintos. Además, el concepto de homomorfismo es aplicable también respecto de relaciones que no son necesariamente operaciones. Se tienen, p o r ejemplo, los homomorfismos de orden. i i ) Un homom orfism o, como objeto, es una función que respecta la propiedad que lo define. iii) El homom orfism o / : A -*■ A’ proporciona un a alternativa para obtener la imagen de la composición en A, a saber:

a)

a eA

a

beA=>a*beA=>·

b)

ae A

a

6 f A = > /(a )e A ’

=*· / (a * b) £ A’ a

«*/»*7(& )eA ’

f ( b ) e A’ =>

El hom om orfism o establece la igualdad de los o b je to s/ (a * b ) y f ( a ) * ' f ( b ) , y las dos posibilidades son: componer en A y hallar la imagen, o bien, hallar cada imagen y com poner éstas en A’. Como sinónimo suele utilizarse el vocablo morfismo. 5.4.2. Homomorfismos especiales Sea / : A -*-A’ un homom orfism o respecto de * y i ) f e s un m onom orfism o si y sólo s i / e s inyectiva. ii ) f e s un epimorfismo si y sólo si / es sobreyectiva. iii) fa s u n isomorfismo si y sólo s i / e s bivectiva. iv) / e s un endom orfism o si y sólo si A ~ A’. v ) / e s un autom orfism o si y sólo si f e s un endom orfism o biyectivo. Ejemplo 5-10.

Sean (R 3 , + ) , (R 2* 2 , + ) y / : R 3 - * R 2 x 2 tal que

Las operaciones consideradas son ía suma de ternas ordenadas de núm eros reales definida por (x , , x 2 , x 3) + ( j i , v 2 , V3> =

x + 7 1 -*2 + y i ’ x 3 + y 3 )

y la adición en R 2 * 2 es la definida en el ejemplo 5-8. Vamos a probar que / caracteriza un homom orfism o. Sea f l ( x l , x i . x s í + t yi , y i , . v 3 ) l = / ( - v i +>'1 ,.v j +>'2 , -t j + i ' j ) =

*2

+ y 2

Jfs+J'sj

|_ * 2

x í

\

[v2 y 3

Además f e s un monomo.d‘isnio;i es decir, invectiva. En efecto, sean ÍX n , X

L

”* (*1 »X 2

,*3

) = (Fi , V2 ,JM3)

l i m p i o 5-1!.

S e a / : R ->R tal que f ( x ) — — 3 x. Resulta / un autom orfism o de R en sí mismo, respecto de la adición, pues i ) f ( a + b) - - 3 . (a + b) - - 3 a - 3 b = f ( a ) + f { b ) i i ) / e s biyectiva, lo qu e se prueba siguiendo el esquema del ejemplo 4-9. El lector podrá com probar fácilmente que / : R -> R definida por f { x ) = x + 1, no es un hom om orfism o respecto de la adición.

S.S. COMPATIBILIDAD DE UNA RELACION DE EQUIVALENCIA CON UNA LEY INTERNA Sean A =?= 4> , ~ una relación de equivalencia definida en A, y * una ley de com posición interna en A. Cabe preguntarse si la composición de pares de elem entos respectivamente equivalentes conduce a resultados equivalentes. S i la respuesta es aírm a tiv a , se dice que la relación de equivalencia es compatible con la ley de composición interna. D e fin ició n ~ es com patible con * «■ a ~ a ’ sean a, b, a y ¿ ’ en A.

a

b ~ b ' =*■ a * b — a ’ * b ’ cualesquiera que

E jem plo 5-12.

Investigamos ia com patibilidad de la congruencia m ódulo n, respecto de la adición en Z. Sean a —a ’ a

b ~ b ‘ =*· n i« —a ’ *

n } b — b ’ =» n | (a —a ) + (b — b ’) -*·

=*· « I (a + 6 ) — (a ’ + 6 ’) => a + i> ~ a ’ + b ’ Hemos utilizado sucesivamente la definición de la congruencia m ódulo n, el hecho de que si un núm ero es divisor de otros dos es divisor de su suma, suma de dos diferencias, y finalm ente la definición de la misma relación de equivalencia. ,

E jem plo 5-13.

De manera sem ejante com probam os la com patibilidad de la congruencia m ódulo n, respecto de ja m ultiplicación en Z. j "a

a

b ~ b ’ =* n | a — a ‘ a n | b — b ’ =*· a = a + n k ’ a

b = b ’ + n k ” =!>·

=> ab = a 'b r + a ’n k ” + n k ’b ’ + n k ’n k ” => ab — a ’b ’ + n ( a ’k ” + k V + k ’n k ”) => ab — a ’b ' + n k => ab — a V - n k =*· n [ ab — a ’b ' =»■ ab ~ a’b ‘

E n el conjunto N 2 de to do s los pares ordenados de números naturales se considera la relación de equivalencia estudiada en el ejercicio 3-25, y la suma ordinaria de pares, definida por ( a , b) + ( c , d ) = (a + c, b + d ) ( 1) Sean (a , b) ~ ( a ', b ’ )

a

(c , d ) ~ ( c ’ , d ’) => a + b ’ —b + a ’

c + d , =zd + c ’ =*

A

=* (a + c) + ( b ’ + d ’) — {b + d ) + ( a’ + c ’) => (a + c , b + d ) ~ ( a ' + c ’ , b ’ + d ’ ) => =»· ( a , b)

( c , d) ~ (a ’ b ’) + ( c ' . d ' )

De este m odo resulta que la relación de equivalencia definida en N 2 es compatible con la adición definida en ( 11. 5.5,1. Teorema fundam ental de com patibilidad El hecho de que una relación de equivalencia sea compatible con u n a ley de composición interna definida en un conjunto es de notable im portancia, porque induce una ley de composición interna en el conjunto cociente, es decir, perm ite operar con ciases de equivalencia. Teorem a Sí ~ es una relación de equivalencia compatible con la ley de com posición interna * en el conjunto no vacío A, entonces existe en el conjunto cociente ~ de composición interna * \ tal que la aplicación canónica
una única ley

es un homomorfis-

Para dem ostrar este enunciado consideramos ias siguientes etapas: A, * ,~

_A

i ) Sean K u y K„ dos elem entos de Com o la aplicación canónica

, es decir, dos clases de equivalencia.

A : A -*■ — es sobreyectiva existen x e A. y e A tales

que ip ( x) = Ku y
A Ahora bien, por definición de aplicación canónica, íp ( x * y ) e —

, es' decir,


De este modo, a partir de d os clases Ku y Ku hem os obtenido u n a clase resultante . Para que esta asignación sea una ley de composición in tern a en — hay que demostrar que K^, depende exclusivamente de K„ y K„, y n o de la elección de sus preimágenes en A. En efecto, sean x ’ e y ’ en A, tales que
a

y*

x ’* y ' ~ & * y

por la hipótesis de !a compatibilidad; y por la definición de aplicación canónica resulta
Definimos ahora —

X — ~*· —·***■ ^

mediante

Ku *’ K„ = p(x) *” (* * y ) * '
=
* ’
c) Existencia de neutro. Si e e A es neutro, entonces ip (e) = Ke es neutro en

A Sea Ku *’ Ke = i f ( x ) * ' >p(e) —
Consideremos en Z la adición y la multiplicación. Sabemos que la congruencia módulo n es compatible con estas leyes internas, de acuerdo con los ejemplos 5-12 y 5-13. Fijemos en particular n — 3; el conjunto cociente es ahora el de las clases de restos módulo 3, es decir, Z 3 = { 0, 1, 2 }

OI

0

0

1 2

I

1 2

0

2

2

1

0

10

©

;"i

| fol

De acuerdo con el teorem a fundam ental de compatibilidad, existen en Z 3 sendas leyes de composición interna, únicas, tales que la aplicación canónica : Z - * Z 3 es un homomorfísmo. Las leyes inducidas se llaman, respectivamente, suma y producto de clases, que simbolizamos con ® y ©. Las tablas de estas leyes internas en el conjunto de las clases son 0

1 2

0

0

0

1

0

1 2

2

0

2

0 1

La construcción de éstas se basa en el teorema fundam ental; po r ejemplo

T * 3 = V í l ) ® ¡p(2) = * 0 + 2 )- *('3 ) - sPÍGí =' Ó : i I = # < 2 K ' V ? í ' ) = *<2 · 2) —tp(4) ~

T

En lapráctica, dadas dos ciases, se suman sus preimágenes en Z (a bien se multiplican, según sea el caso); la suma obtenida se divide por 3, y se propone com o resultado en Z 3 la clase correspondiente al resto de la división. El esquem a que proporciona la validez de este mecanismo consiste en la aplicación del teorem a anterior. Ejem plo 5-16,

Con análogo criterio construim os las tablas de adición y multiplicación de las clases de restos m ódulo 4 , y obtenem os

+

0

0 1 2

0 1 2 3 1 2 3 0 2 3 0 1 3 0 1 2

3

1 2 3

0 0

í 2

3

1 2 3

0 Ó 0 0 0 í 2 3 0 2 0 2 0 3 2 1

Nos decidimos p o r d enotar con los símbolos + y . la suma y el producto de clases, y nos interesa caracterizar las propiedades de estas operaciones en Z 3 y en Z4 . De acuerdo con el teorem a fundam ental, toda propiedad de la suma en Z se trasfiere a la sum a en Z 3 y Z 4 y lo mismo ocurre con el producto. Sabiendo entonces que la adición 'í conmutativa y asociativa en 2, también lo es la suma de ciases, y nada hay que dem ostrar. Además, com o 0 es neutro para la adición en Z. resulta 0 neutro para la suma en Z 3 y Z4 . Por o tra parte, como todo en tero tiene inverso aditivo, la misma situación se presenta con toda clase de Z 3 y de Z4 . La multiplicación en Z es conm utativa, asociativa y co n neutro igual a I; en consecuencia, lo m ism o ocurre para la m ultiplicación en Z 3 y Z 4 , siendo el neutro 1. Avanzando un poco más en la interpretación del teorem a fundam ental, se dice que to d a propiedad de * en A, se trasfiere a *’ en A ; pero el teorema no establece q u e si un a propiedad n o se cum ple en A A entonces no se cumple e n — . Veamos esto a la luz de los dos ejemplos 5-15 y 5-16. Se sabe que, en Z, elem entos no nulos dan p rod u cto no nulo, o lo que es lo mism o: si el p ro d ucto de dos factores es cero, entonces alguno de los dos es cero. E sto se traduce diciendo que en Z no existen divisores de cero. Pero, p or lo anterior, si en Z no existen divisores de cero n o se deduce que no existan en el cociente. E n efecto, basta analizar la tabla de ja m ultiplicación de clases para ver la existencia de divisores de cero en Z 4, ya que 2 . 2 = 0. Es decir, existen elementos no nulos que dan producto nulo. En cam bio es fácil constatar que en Z 3 no existen divisores de cero. Más adelante dem ostrarem os que para la no existencia de divisores de cero es condición necesaria y suficiente que el m ódulo de la congruencia sea prim o.

5.6. LEY DE COMPOSICION EXTERNA Se presenta a m enudo la necesidad de operar con elem entos de dos conjuntos, de m odo que la com posición sea un elem ento de uno de ellos. Esta situación es una de las características de la estructura de espacio vectorial. Sean dos conjuntos A y SZ este últim o llamado de operadores. D efinición

Una ley de com posición externa definida en A, con operadores de Í2, es toda función de Í2 X A e n A.

Usualmente, una ley de composición externa en A con operadores en £2 se denota mediante y suele llamarse pro d ucto de operadores de í2 p o r elem entos de A. En sím bolos se tiene es ley externa en A con operadores en Í2 «■ . : Í2 X A -»A Mediante esta función, la imagen del p ar ( a ; a) se escribe a . a. Ejemplo 5-17.

Si A es el conjunto de los segmentos contenidos en un plano y N es el conjunto de los números naturales, u na ley de com posición externa en A con operadores o escalares en N es el producto de núm eros naturales p o r segmentos del plano. Ejem plo 5-18.

Sean R J y Q. Definimos producto de núm eros racionales por pares ordenados de números reales, m ediante a . (a , b ) = ( a .« , a . b) La igualdad anterior determ ina u n a ley d e composición externa en R 2 con operadores en Q. N otam os aquí que el m ism o signo aparece en la definición anterior con dos significados distintos: en el prim er miembro se trata del producto de racionales p o r pares ordenados de reales, y en el segundo miembro consiste en el p roducto de racionales p o r reales. E n particular, si el co njunto A se identifica con ÍL, la ley externa se vuelve interna. Ejem plo 5-19.

Consideremos ahora Rnxm y R. Vamos a definir una ley de composición externa en R " xm con escalares u operadores reales, m ediante a . A = a . [a¡j ] = [a . ai } ] cualesquiera que sean a e R y A € R nxm Se tiene así el producto de núm eros reales por matrices w X m, m ultiplicando cada elem ento de la m atriz por el número real. Ejem plo 5-20.

*

Si R [X] d en o ta el conjunto de todos los polinomios con coeficientes reales, y el conjunto de operadores es R , entonces el producto usual de números reales por polinom ios es una ley de composición externa en R [X] con escalares en R. Pero si el conjunto de operadores es el de los números complejos, el producto usual de complejos p o r polinom ios de R [X ] no es una ley de composición externa, pues dicho p roducto no es siempre un polinom io real.

y serealiza

TRABAJO PRACTICO V 5-21. En Z se define * por medio de a * b - 2 (a + b). Estudiar las propiedades y la

existencia de elementos distinguidos. •V 5-22. Demostrar que si existe elemento neutro respecto de una ley d e composición interna, entonces es único. 5-23. Form ar la tabla de la composición de aplicaciones biyectivas de A = { l , 2 , 3 }

en sí mismo. 5'24. Demostrar que el inverso del inverso de un elem ento, si existe, se identifica con

dicho elemento. 5-25. Demostrar que si a y b admiten inversos respecto de una ley asociativa, entonces

se verifica (a * b )' — b ’ * a ’ 5-26. Estudiar las propiedades de * : Z 2 -*■ Z tai que a * b = a + t + 4 . 5-27. Determinar si la congruencia m ódulo 2 es compatible con *, en el caso del

ejercicio anterior, 5-28. Analizar las propiedades y elementos distinguidos de * : R 2 -»■ R definida por a * b = 0.

5-J9. Realizar«) misino análisis co» relación a 1: Q* X Q* -*Q *. tal que x i r * x

t

~

.

siendo Q* ~ Q — \ 0 j . 5-30. En R se considera la ley de composición interna * que asigna a cada par ordenado de reales el mínim o de ios dos. Estudiar sus propiedades. 5-31. El conjunto R 1, donde 1 es el intervalo cerrado [ 0 , 1 ] , consiste en todas

funciones de I en R, es decir R1 = { / / / : 1 - R > En R 1 se define la suma de funciones mediante ( / + g) (x) = f ( x ) + g (x) para todo .y e I. Estudiar las propiedades de esta ley interna.

las

5-32. Confeccionar la tabla de la composición de funciones del conjunto Ss, donde

S =
R es una ley interna en R definida p o r / {a , b) = a + t i 1. Verificar que no es asociativa ni conmutativa, ni admite neutro.

5-34. Se sabe que * es una ley de composición interna en A, que satisface V a , V b , V c , V d : (a * b ) * (c * d ) ~ (a * c) * {b * d)

D em ostrar que * es asociativa y conmutativa, si existe neutro.

5-35, En 0 * se define * tal que a * b ~ 3 a b . Verificar que * es asociativa, con neutro, conm utativa, y además todos tos elementos son inversibles. 5-36. En R 1 se define el producto de funciones por medio de ( / ' . g) í.v) - f ( x ) . g
cualquiera que sea r e ! . Demostrar la asocia tivi dad, conm utatividad, existencia de neutro, y la distributividad respecto de la suma de funciones definida en el ejercicio 5-31. t 5-37. * es una ley de composición ex tem a en C con escalares reales, es decir: * : R X C -» C tal que a ~ a . z, Verificar las siguientes propiedades:

i ) a * {b * . ) = ( a . b) * z i i ) (a + b) * z — (a * z) + {b * z} iii) a * (z +■ w ) = (a * z) 4- (a * w) 5-38. Se consideran R + con el producto y R con la suma. Probar que la función / : R * -*■ R , tal q u e / (x) = log 2 x , es u n morfismo biyectivo. 5-39. D em ostrar que la aplicación /■

1 , 0 , 1'} es un m orfism o respecto del

producto en ambos conjuntos, siendo f ( x ) = sg (x). 5-40. En N se definen las leyes de composición interna * y o m ediante x *y= x X o V = X + V

Investigar las distributividad es de * respecto de o.

Capítulo 6

C O O R D IN A B IU D A D . IN D U C C IO N COMPLETA. COMBINATORIA

6.1. INTRODUCCION En esta sección se propone al lector el estudio de la relación de coordinabdidad o equipotenda entre conjuntos, sobre la base de un tratam iento funcional, y se introduce como derivación natural el concepto d e núm ero cardinal de un conjunto. Por esta vía se define el número natural, p ero el estudio d e las operaciones y propiedades se desarrollará sobre la base del sistema axiom ático de Peana, en el capítulo siguiente. En conexión con N , se da ei principio de inducción com pleta con vistas a la dem ostración d e propiedades en las que tod o estudiante de un curso básico úebe ejercitarse. Asimismo, se trata un tem a de vastas aplicaciones en m atem ática dem enta! y en Probabilidades; tal es el caso de la com binatoria simple y con repetición, lo que se reduce, en última instancia, a la n o fácil tarea de saber co n tar los elem entos de un conjunto.

6.2. CONJUNTOS COORDINABLES 0 EQUIPOTENTES 6.2.1. Concepto Sea U un conjunto. E n P (U) definimos la siguiente relación: “ dos elem entos de /MU), es decir, d os subconjuntos de U, son coordinables si y sólo si existe una bivección del prim ero en el segundo". Simbólicamente A ~ B # 3 / : A ^ B / / es biyectiva

(l)

Esta relación satisface i ) Reflexividad. T o d o conjunto es coordinable a s í mismo. Sea A e P (U). Com o existe i

a : A -» A , y es biyectiva,'por (1 ) resulta A ~A .

ii ) Simetría. Si un conjunto es coordinable a otro, entonces éste es coordinable al prim ero. Sea A HB. Entonces 3 / : A - » B / / e s biyectiva. Por 4.7.2, II), sabemos q u e /a d m ite inversa, es decir 3 / " ' : B -> A I f ~ l

es biyectiva,

lo que significa, po r ( 1), que B~A. iii) Transitividad. Si un conjunto es coordinable a otro, y éste es coordinable con un tercero, entonces el prim ero es coordinable con el tercero. Se trata de probar A ~b

y

B ~ C => A ~C

Demostración) A ~B

3 /: A

B

a

B ~C

a

Por hipótesis

g : B -> C / / y g son biyectivas.

Por (1 )

4 3 g o / : A -*C / g o /

es biyectiva.

Porque la composición de funciones bivectivas es biyectiva, según 4.6.5.

$

Por(l)

A ~C

Ahora bien, de acuerdo con el teorem a fundamental de las relaciones de equivalencia, existe una partición de P (U ) en clases de equivalencia, las cuales reciben e¡ nombre de núm eros cardinales de los subconjuntos de U. D efinición

N úm ero cardinal del subconjunto A C U, es la totalidad de los subconjuntos de U que son cooitiinables a A. En sím bolos e ( A) = | X e P (U) / X ~A } Se tiene c ( A) = c (B) ■*> A ~ B E n particular c (0 ) = 0, es decir, denotam os con 0 el número cardinal del conjunto vacío. S i <2 e U, entonces c ( ( a ) ) = 1. Si a y b e U , enton ce s^ ( { a , b } ) — 2.

Es decir, los números cardinales de las partes finitas y no vacías de U son números naturales. Con No denotamos el conjunto N u { o ) . Ejemplo 6-1.

Se trata de probar que N y Z son conjuntos coordinables. De acuerdo con la definición, es suficiente proponer una función biyectíva de N en Z, o lo que es lo mismo, de Z en N, por la simetría de la relación. Para ello definimos / : Z ~*N mediante i2x

si x > 0

/( * )* + 1 si x < 0 La representación cartesiana d e /e s

y ei lector puede com probar que / e? bsyeeíiva, fcn consecuencia, Z y N son coordinables o equipolentes,

6.3. CONJUNTOS FINITOS Y NUMERABLES 6.3.1. Conjunto finito i ) Definición Intervalo natural inicial Irt es el conjunto de los n prim eros núm eros naturales. I„={l , 2 ,...

n)

ii ) D efinición Un conjunto es finito si y sólo si es vacío, o coordinable a un intervalo natural inicial A es finito iii)

A — V 3 n e N / A —I„.

D efinición

Un conjunto es infinito si y sólo si n o es finito. Los núm eros cardinales asociados a los conjuntos finitos son el 0 o los números naturales. Los números cardinales correspondientes a los conjuntos infinitos se llaman trasíinitos. E¡ núm eio cardinal de un conjunto especifica la “ num erosidad” de Sos elementos del conjunto, o lo que es lo mism o, su potencia. En el caso de los conjuntos infinitos existe una jerarquización relativa a sus números cardinales, com o veremos más adelante. 6.3.2. C onjunto numerable y sucesión i ) Definición Un conjunto es numerable si y sólo si es coordinable a N. A es numerable <=» A ~ N

3 / : A -»•N / / e s biyectiva.

Un conjunto infinito no coordinable a N se llama no numerable. Para indicar que un conjunto puede ser finito o coordinable a N, suele decirse que es “ a lo sumo numerable” . ii ) Propiedad. Un conjunto es num erable si y sólo si sus elem entos constituyen la imagen de una sucesión. Si A es num erable es coordinable a N, y esto significa que existe una función biyectiva de N en A, es decir, u n a sucesión de elementos de A cuyo conjunto imagen es exactamente A. La representación de A es entonces

R ecíprocam ente, si es del tip o ( I ) , entonces es coordinable a N m ediante b a sig n ac ió n /(n ) — a „ , y en consecuencia es numerable. Ejemplo 6-2.

i ) El conjunto

numerable, por ser la imagen de

la sucesión / : N -*·A definida por / (n) = ' n \ ' í

ii ) La unión de dos conjuntos disjuntos, uno finito y el otro num erable, es nu­ merable. Sean A finito, y B numerable, tales que A n B =
_

A = ( a , . 03 . B

br .

Se tiene A U B = | í | , í ¡ .......... a n, b t , b 2. . . . )

Definimos / : A U B -*■ N por medio de f i /« =

si x = a¡

<

I « + i si .x = b¡

E-; fácil ver que f es biyectiva y , en consecuencia, AU B —N, con lo que la propiedad queda dem ostrada. Ei m ism o N es num erable, teniendo en cuenta la reflexivjdad de la relación de coordinabilidad. De acuerdo con el ejem plo 6*1, tam bién Z es num erable, es decir, ambos tien en el mismo núm ero cardinal trasfinito, o sea, tienen “ ei mismo núm ero de elem entos” . El núm ero cardinal de N, introducido p o r George Cantor, es C'c aleph cero, lo denotarem os con a. y escribimos c (N) = c (Z) = a

n el ejem plo 4-10 se dem ostró la biyectividad entre N y P, siendo P el conjunto de los núm eros pares positivos, es decir: P ~ N , y por consiguiente tienen el mismo núm ero cardinal. Puede escribirse c (P) = a, y se dice que el co n ju nto de los números naturales pares es equipotente a N , a pesar de ser una parte propia de N. Esta propiedad es característica de to d o co njunto infinito, en el sentido siguiente: “un co njunto es infinito si y sólo si es coordinable a una parte propia del mismo” . A es infinito « 3 X ^ A / X ~ A

i

( \ \

6.4. INDUCCION COMPLETA 6.4.1. Concepto.' El principio de inducción completa proporciona un m étodo de demostración por recurrencia, de vastas aplicaciones en m atemática. No es constructivo, en el sentido de generar propiedades; pero hace posible la dem ostración de éstas cuando son relativas al conjunto de los núm eros naturales. A fin de tener una idea intuitiva de dicho principio, consideremos el siguiente caso: supongamos alineado el conjunto de todos los alum nos de una escuela; se sabe además que. si un alumno habla, entonces habla el siguiente. Interesa determ inar cuál es la condición para asegurar que, en un m om ento dado, estén hablando todos los alumnos. Es obvio que para que se dé esa situación es suficiente ver que el primero está hablando. En este caso se trata de investigar ¡a propiedad que podemos enunciar así: “ todos los alumnos están hab lan d o", y para asegurar su verdad se requieren las siguientes condiciones: i ) El primer alum no habla.

i i ) Si un alum no habla, entonces habla el siguiente. Extendiendo el caso a una propiedad P, relativa al conjunto d e los números naturales, queda asegurada la verdad de P para to do n e N , si se verifican las dos condiciones anteriores, que se traducen m i )P(l)esV. i i ) Si P ( h) es V, entonces P (h + 1) es V. Llegaremos a la dem ostración de este principio, llamado de inducción completa, sobre la base del principio de buena ordenación, que según 3.9.7. adm ite el siguiente enunciado: “to d o subconjunto no vacío de N tiene prim er elem ento" 6.4.2. Teorema d e inducción completa Si S es un subconjunto de N que satisface i ) 1 eS i i ) / ! £ S = s > - / j + l*eN entonces S = N. En otras palabras: '‘todo subconjunto de N que incluya al 1, y al siguiente de h siempre que incluya al h, es igual a N ". Hipótesis) S C N i ) 1e S ii)/¿eS=>/j + IeS Tesis) S = N. Demostración) Es suficiente ver que N C S, y para esto basta probar que el subconjunto S’ de núm eros naturales no pertenecientes a S es vacío; o sea, de acuerdo con la definición de inclusión es falso que haya algún natural que no pertenezca a S.

Suponemos que S’ ¥= $>. Por tratarse de un su b co n ju n to no vacío de N, de acuerdo con el principio de buena ordenación, existe el e lem e n to m ínim o m e S' (1). Por hipótesis, 1 e S, y como los elementos de S n o p ertenecen a S, es m # 1. Por otra parte, siendo m natural y distinto de 1, se tiene m> 1

y, en consecuencia

m —1> 0.

Como m — K m , poi ser m el mínimo de S \ resu lta m - 1 e S . Ahora bien, de acuerdo con 3a hipótesis ü ) m — í e S =*· ( m — Ü + í e S «*■ m ,·

Esta proposición es contradictoria con. ti). Lue§v\ N S C N , resultaS = N.

s. y com o p o r hipótesis

6.4,3. Principio d e inducción completa Sea P ( n) «na función proposicional. donde n e N. Si ocurre que P ( l ) e s verdadera, y, además, de la verdad de P (h) se deduce la verd ad de 1’ (j| -t- ¡ ^ entonces P (n) es verdadera para to d o n. Hipótesis) P ( l ) e s V V Íí : P ( h) =» P (/í + 1) Tesis) V n : í («) es V. Demostración) El subconjunto S de números naturales para ios cuales P (n ) es verdadera, contiene al 1, y al siguiente de h siempre que contenga a h. Luego, por el teorema 6.4.2., S = N. Es decir, P (n ) es V para to d o n c N .

Nota: La demostración de una propiedad relativa a N po r inducción com pleta, se realiza probando la verdad de las dos proposiciones de la hipótesis del teorem a anterior. Ejemplo 6-3.

Demostramos p o r inducción completa: ^^ a) La suma de los n primeros números naturales es

^

Es decir. V n e N se verifica Sn = ! + 2 + . . . + « =

n

{n + n

—4 ··

~

i ) Debemos probar que la propiedad se verifica para « ~ 1. En este caso, suma se reduce al primer término, y se tiene

la

ii ) Demostramos la verdad de la implicación de la hipótesis del principio de inducción completa, es decir, el siguiente teorema Hipótesis)

Sh = l + 2 + . . . + / t = A _ ^ L ± i L

Tesis)

Sh + 1 = 1 + 2 + . . . + h + (h + 1) =

'

Demostración) Teniendo en cuenta la hipótesis inductiva, el prim er m iem bro de la tesis se trasforma en

s„*, = s + : ■*-... + /i + i ' t + í ) - sft +(/j + 11 = ...1.·$ t i l + t h + i > Reduciendo a común denominador, y por distributividad h

(/1 + 1) + 2 ( h + i )

_

(h + 1) ( h + 2)

2 De S

2

Resulta entonces la fórm ula anterior, válida para to do núm ero natural n. acuerdo con ella, la suma de los 10 primeros núm eros naturales es =

IQ

H

- 55

b) Probaremos ahora S„=

1

1 .2 • \ ii)

i

c

+

+

1

1

2 .3

+

.

3 .4

1

1

1 n ( n + 1)

n +1

1

P {h) es V =* P( / t + l ) e s V h h + 1

Hipótesis) Su =

_ c _ /1 + 1 Tesis) bh + l - ”^ ~ £ T Demostración) Procediendo com o en el caso anterior S i,.| * y ^ y

~2 _ j" *

¡¡ (h

1

= sh + ~

+ l ) ( I T 2T “

h [h + 2) + 1 (h + l ) ( / t + 2)

+ 2)

k h + 1 +

h2 + 2 h + 1 (h + l ) ( h + 2 )

(h + l f

~

t i)

h + l

h+2

yh ■+■ í ) i h + 2} _ J ____ (h + 1) (h + 2 )

_ T

6.5. EL SIMBOLO DE SUMATORIA (6.5.1. C oncepto. En m uchas situaciones se presenta la conveniencia de abreviar la notación de una suma cuyos térm inos adm iten cierta ley d e formación. En este sentido es útil la introducción del sím bolo de sumatoria: 2 . Si a¡ es u n núm ero real que depende del índice i, para indicar la sum a a x + a 2 + a 3 s + 34 + a ¡ escribim os S a¡. n

Si el índice es variable desde 1 a rt, la notación 2

i~ 1

íes n térm inos

a¡ significa la suma abreviada de

+ a2 + · · · + a„ , y se lee: "sum atoria de a¡ con i variando desde 1 a

n"

El desarrollo de una sumatoria se obtiene asignando a i, cada un o de los sucesivos valores de su rango de variación, y sum ando los térm inos así obtenidos. Por ejemplo á /2 = l 2 + 22 + 3 2 + 4 2 í=l Ejem plo 6-4.

D esarrollar las siguientes sumatorias:

a) í

i-

í

= ^ + i = i > Í + i = i H + i = j r 1 2 3 4

i

—

b) S

, + J . __L + X 2 3 4

A L . = ^ J _ + _ I ^ l_ + _ 2 ^ _ + . . . + _2»_

1 =1 i + 1

1+1

2 + 1

3

= i + 4 - + 4 -+ ···+ 3 4

+ 1 2"

n+ 1

c) S (/ — 1) = ( 1 —l ) + (2 — l ) + ( 3 - l ) = != 1 = 0+ 1 + 2 = 3 d) 2 í= i

f l= a + a + ... + a = «a ñ '

n + 1

=

A q u í se tiene a¡ — a V i. 100

e) 2

.

1 = ,1 + 1 + . . . + 1 = 1 0 0

■=i

700

*>?,„ - T T T = T + 0

4

5

Ejem plo 6-5.

Expresar com o sum atorias las siguientes sumas indicadas: s ·% · ■ /, O ■,n 2} t O to i tu —— - i ?= i b )! + 3 + 5 + 7 + 9 + 1 1 = 2

1=1

V ■» ;

(2 r - 1) = 2 <2 < + 1) ¡ =o /

4

c) 1 + 8 + 27 + 64 = 2

i3

3 , 4 , 5 , 6 J, d) 2H— r- -)----r- + “T" + ~ = 2 2 3 4 5 ¡= t

1+ ^ —:---i

Propiedades de la sum atoria

6.5.2.

i

) 2

i -1

(a,· + b¡) = 2

a, + 2 b¡

i =l

i=l

En efecto, p or definición de sumatoria, conm utatividad y asociatividad de la suma en R, se tiene 2

i” 1

(a¡ + b¡) = (a , + b ¡ ) + (tz2 + b2) + . . . + ( a n + bn ) =

= Ja, + a 2 + . . . + a „ ) + «

+ b2 + . . .

n

= 2 fl; + 2 6, ¡ »-i ¡= i n ii)

n

2 (aa¡) = »=1 -

a 2 a¡ donde a es constante.

/= i ' P o r definición de sum atoria y distributividad resulta n 2

(aa¡) = a a x + a

a2 + . . .

+aa„ =

= a (a, + a 2 + . . . + an) = a 2

;=i

a¡·

+ ¿>n) ~

E jem plo 6-6.

Reducir 2

i- i

> ¿ + l )2 = 2

i- 1

( ; e ? + 2 * t + l) =

2

1=1

1=1

2.X-,·+ 2

1*1

1=

= 2 x ? + 2 2 x¡ + n i=l ¡=1 Ejem plo 6-7,

Dados n mineros reates x 3, x 2, ■ ■ ■ , x „ . se define e! promedio X ( x rava) mediante _r. + v , + X — — ----- -—

i=l

( 1)

n

Comprobai que 2 (Xf - X)2 = 2 x¡ — n X 2 i =1 i=î Se tiene 2 (x¡ - X )2 = 2 (x- - 2 X x , + X 2) = i- 1 í=I n

^

= 2

x2

H

■>

i=1

‘

i=l

= 2

n _ 2 X.v¡ + 2

n

- 2 i -1

i=l

- 2. — 2 X 2 i,· +·wX* ¡- 1

X 2=

i 2)

H emos aplcado el desarrollo de un binom io, las propiedades i ) y ü ), y el ejemplo 6-4 d). Ahora bier, p o r ( l )

i=i que sustituidc en ( 2 ) conduce a 2 (x í ~ - X ) 2 = 2 x f — 2 X n X + n X 2 = i* 1 I=i = 2

i= 1

x2- n X 2

Esta fóim ila es de aplicación frecuente en Estadística.

Nota:

En términos de sumatorias, las fórmulas demostradas en el ejemplo 6-3 se traducen en

M Í /=i

1

i ( i + 1)

r-

"

n + 1

Ejemplo 6-8.

Demostrar por inducción completa v 1 i)

¿ 3 ---_ i» + lf i ----4

» - i = * 2 .3 = 13 = , ^ J L ^ _ _ i= i 4

l i . f i + i)2 4

y la fórmula es válida para n — 1. »•■^u· ) Hipótesis)\

-

T eas)

v /-3 Z i= l

^+1, 3 _ 2l l i

h 2 (k-----+ i r—

·+

(h +

l? (h + 2 f

-------------- 4

Demostración)

h+1 h t,2 ( h 4- i V* Z /3 = Z I 3 + (/1 + 1)3 = + (/t + !>3 = ¡= 1 >= 1 4

=

^ ( j i + l ) 2 + 4 (/i + l )3 ..

2 /i2 + 4 (A + 1)

4

4

+ i >S J l!J L ÍÍL ± ± . = J(h + zf

Ejemplo 6-9.

Demostrar que la suma de los n primeros números naturales impares, e s « 2. La expresión de un número natural impar es del tipo (2 i — 1) con i e N. Entonces S„ = 2 (2 i — 1) = 1 + 3 + 5 + . . . + (2 n — 1) i=l siendo (2 n — 1) el «-simo número impar.

i

)

i => Sl = 2 ^ ( 2 1 - 1) = 1 = l 2

i i ) Demostramos

S/, = h2 ^ S¿,+1 ~ (h + 1)" En efecto Sh+ j = Sh + (2 h + 1), donde (2 h + I ) e s e l núm ero im par de lugar (h + t). Aplicando la hipótesis y efectuando operaciones Sh + , = A2 + (2 fc + 1) = (A + l )2 Ejem plo 6-10.

D em ostrar g _ ¿

i~ í

i)

n — \ =* Si = ¿

2' = 2” +1 — 2

2 ' = 2 1 = 2 = 4 — 2 = ,:¡

- i

Es decir, P { 1) es V. i i ) Se trata d e probar que Sh = 2*+l - 2 =» S h+1 = 2h+2 — 2 Demostración) = IT* 2i = 2 + 21 + . . . + 2 h + 2 hTl 1= 1 = S* + 2h + 1 — 2h+1 — 2 + 2 h + i =* Sh + i = 2h + l + 2h+ l - 2 La reducción d e los dos primeros términos conduce a Sft+i — 2 . 2 h+l — 2 y p o r producto de potencias de igual base resulta Sft+i como queríamos. Ejem plo 6-1J.

Demostrar que 1 > ”

*>( 1 + \ n

j

V«>3

Debemos probar que P («) es V, cualquiera que sea n, a partir de 3. E n este caso, es posible aplicar él principio de inducción, dem ostrando i ) P (3) es V ü

) p (;o => p<7i + i)

a) Sea ti — 3.

t

(

h

*\

1+

Ttesis ■' - t i·) B / i r ,1 ;. , 1,

"\h+1 n + l y

V

r !

Demostración) 1

"\ h* 1

(.1 + J T T )

'

I

*- h r

“ U + TTtT J

1

l 1+ F T T ,

(1)

Por o tra parte Th T+ Ti

^ ~1Th **■ 1 + 7 h~ ~+ r 1 < 1 + 4 -h =*

\ ~\ h ·" I h + ~hTTJ < LI + t t J 1 · h · ! /' 1 => ( t + - r r r ! ( i+ 7 > < 1+ ~ ) ( 3+ v h + 1 j \. h -r \ y h - v r

“ U

|

" ) (2)

h + Ì y

D e ( l ) y (2)

L._)

- í i* +■ -T1- V!

+ Th -+r — l yI

<1\

.

1

(V 1 + h + 1 j

h y

Por hipótesis i "\ h

t 1+

t

3

<*

Multiplicando las dos últimas desigualdades, después de cancelar, nos queda /*

1

“N í**!

( !+ t í t )

/*

|

\

*'


Por distributividad í

( f +

1

^ h 1 ) <

h

^

t t t

Como h < h + 1 =>--- - - < 1 «» A + - < A+ 1 /? + 1 h + 1

<3> (4)

Por transitividad, d e (3) y (4) resulta

“

,h + l ■

( 1+ t tt J


6 .6 . LA FUNCION FACTORIAL

6.6.1. Definición Función faitorial es la aplicación / : No -* N definida por (/« > ) = i i El símbolo característico de la función factorial es !, en lugar de f y se escribe h ! para indicar f \ h ) . De este modo, lo anterior se traduce en f O! = 1 , < 1! = 1 ( (/¡ + 1)! = (h + 1 ). h'· La expresión hl se lee “ factorial de A” o “ k factorial” . La función factorial, es no inyectiva, pues 0=^ 1 y O! — 1! o,6.2. Propiedad El factorial del número natural n > 2 es igual al producto de los n primeros números naturales.

n\ = 1 . 2 , 3 ..........« = n . (m - ! ) . ( « - 2 ) ............3 . 2 . 1 Lo demostramos po r inducción completa s ) Si n - 2, entonces por definición se tiene 2 ! ==2 . 1! - 2 . í

í i ) Hipótesis) h \ = 1 . 2 . 3 ......... (h - 1) . h Tesis) (h + 1)! = 1 . 2 . 3 ......... h . (h + i y D em ostrador) Aplicando al primer miembro de la tesis la definición de factorial, y la hipótesis inductiva, se nene (ft + 1)! = (h + 1) ■ h ! = ( h + l ) . h . ( h - l ) ..........3 . 2 . 1 con lo que el teorema queda demostrado.

Nota:

■■>

Es claro que la función factorial no e s sobreyectiva, pues existen naturales que no se identifican con el factorial de ninguno; tal es el caso de 7, que carece de preimagen en N0. Por otra parte, para el cálculo, es m uy útil tener en cuenta, de acuerdo con la definición, que el factorial de un número es igual al producto de dicho núm ero por el factorial del anterior. Así, 7! = 7 . 6! = 7 . 6 . 5! Ejemplo 6-12.

Verificar la igualdad (n + 1)!

(n + 1

ni

En efecto 1

1

n + 1

1

n!

(n + 1)!

(n+l)n'.'

(n+1)!

i¡ + 1 (« + 1)!

1

n 4- 1

(n + 1)!

—i

(n + 1)!

(« + l )!

6.7. NUMEROS COMBINATORIOS 6.7.1. D efinición Sean los enteros no negativos n y k, tales que n > k . Llamamos núm ero combina­ torio “ « sobre k " , al símbolo ( n ) definido por v J ni

¡ > i r ( n - k )! Los elementos de u n número combinatorio se llaman numerador y denominador. , - f 7 rl4í3J

_ ~

7!

_ ~

3 !'""4"·'

7 .6 . 5 .4 ! J T 4!

7.6.5 -3'. 2 . !

_

Se presentan los siguientes casos especiases. ( 0 ', _ lo J ~

0! 0! 0!

ni ____ nj______ ' ! ! ( « - '! ) !

f n\

U )

í n ) - »*· vOy 0! n i

_ 1

f n')

\ n j

-

.

n[

n\

+■ (« + 0 ! - (« + 1)« 1 · =n + l V.

n

J

n\

1!

ni

0!

= 1

i - 1 )! n (n

(n ' — 1)! ’ ■

_

6.7.2.

Propiedades de los núm eros combinatorios

Si dos números com binatorios de igual num erador son tales que la suma de sus denom inadores coincide con aquél, se llaman núm eros com binatorios de órdenes complementarios. Por e j e m p l o ^ 1 y f ^ ) ■ i ) Dos núm eros combinatorios de órdenes com plem entarios son iguales

í n 1 —

»! kl

_

ni

(re - k) l

_

(n — k) \ k \

/'

n

\n - k y

i i ) Lasuma d e dos números combinatorios no es, en general, un número combina torio; p^ro si ti^tifn igual num erador v denom inadoras consecutivo« vale ¡a fórmula .'re - i , , fn - 1

u-1,

+ l. *

fn

J= U J

En efecto C n - 1 ') - k - iy

+ f n - H v k J

= ___________ (n ~ 1>!_________ _ . («-!>! ( k - 1)! [(« ~ l ) - ( k ~ l )]! -k ! ( n - ! - *)!

= _____( » - 1)! <* - 1)! (re - k ) l

+ ____ (n - 1)!

_ _______ k ( n - 1)! k ( f c - 1)! (re- k) l k

=

kl

(re ~ 1 )? ( n - k ) ’.

( n - k - 1)!

k\

{n kl

+

(re - k) {n - 1)! k l (re - k) ( n - k - 1)!

k) (n (n - k ) ' .

=

k ( n - i )· + ( n - k ) (re ~_l Jí kl(n -k)l ~ '

_

n kl

(re-

1)! (r e - * ) !

1

)!

_

(n - 1 ?! (M + n - H\ k l ( ñ ~ k) l

ni . /re'-, k l (n - k ) \ l . k )

E je m plo 6-13.

i

) Form am os el “ triángulo" de Pascal

CS)

C!)

( ti G) Q)

(D (D

‘ CD

G) Gj

Los elementos extrem os de cada fila valen 1, y cada número combinatorio restante de acuerdo con la propiedad ii ), es la suma de los dos que figuran sobre él. i i ) Probar V. n

J

{

n - 1J

n ~ 1J

v n - 1J

n - 1/

Es decir ím ^ ·, n J

_ m y + 1 f m - i '| i= \ ■. n - I ./

Aplicando reiteradamente la propiedad ii ) se tiene

=

f m\

í m — 1", , ,"m — 1 ,

■. n j

\ n — 1.

J -t-j

,

n

«,

"m — 1 '·.,, >« - - , . , >« ~ 2 j=i , ,-r! , M '··.. n — l .■ — 1n ,

- m _ | \ ,'m — 2 ’·, ( 9 1 - 3 j f m — 3 , . i+ l , l+ l , 1+ ; 1= , n — I j \ n — L· -- n — 1y , n ..

'm —l \ , —f m — 3 V - · . » - i j n , „ - , m . „ _ i.·

“ l. n - \ ;

. f

>

n

·

y...

n)” l n - \ J

l n-1.

iii) Demostrar

f n ''1

n (a — 1) (n — 2) . . . (n — k + 1)

Vk j

k ’.

Aplicando la definición y la nota que figura en 6 .6 .!, tenemos , ' kj

n (« — i ) ( n — 2) . . . (n — k +- 1 U n —A)! k',(n-k){

ni k\ (n - k)\

Después de simplificar queda

fn \ ■ Vk j

n {n — \ ){n — 2). . A n — k + \ ) k\

6.8. POTENCIA DE UN BINOMIO 6.8.1. Binomio d e N ew íon Una aplicación inm ediata de los números combinatorios se presenta en el desarrollo de la potencia de un binom io, con exponente natural, conocido como fórmula del binomio de N ewton, y está dada por

( d + b f = ( ¡ 5 ) « " t>° + ( ? ) * " ' 1 1)1

2 & 2 + · ■■+ C Q a° 6 "

Utilizando el símbolo de sumatoria, se reduce a

<“ + í *"= L ( I > " ' V y la demostramos por inducción completa. ti

n — 1 =*■ (a + &) ‘ = a +· ¿ ™¿?!

= 1„>■

ii)HiP<¡BSÍS

6" + ( ¡

Tesis)

¡«° 6 '

í ^

v

+a° =

- ‘ i*

k=oVfc/

£ Y A. +fe=1> 0 ·- +kI~*** J

Demostración) Aplicando la definición de potenciación y la hipótesis inductiva, se tiene (a + b) h + 1 = { a + b ) . { a + b f = = {a+b).

2 ( h )ah ~ k ¿fe Je =0 Vk j

Por distributívidad

ía + b f*1=a

2 ( f! ) a h - k b h + b k=0 \ Ks

í

f h, ) a h~ k bk

fe= o \ K J

l\>¡ ó .5.2. ii ; introducimos a y í* en cada sumatoria

=

Í ( f! ) a h ~ k * 1 b k + I ( k=Q\ L· ' fe=ovfcy

6**'

Efectuando operaciones (a + ¿ ) A+I = f * ) a ft+I fr° + ¿

\ US

( í ) « * “* +1 ** +

k=t \ f cs

Teniendo en cuenta que el índice de la sumatoria puede tom ar cualquier nombre, en la segunda cambiamos k p o r/ (a + ft)h+1 = ( J ) a * +I b° + |

+

( ¿ V “ * * 1 bk +

+ Q ) a ° 6h+I

Para reducir ambas sumatorias hacemos / = A' - 1 =* A = / + i , y sustituyendo en la misma sumatoria i a + b f ' 1 = | T f « A"

b ° ^ % ( ¡! ) a h - k ^ 6* + k - i ■■ k /

\ 0.

+ í f , h , ) ü h - ft+1 fe=i ‘x í - 1 / fh \

com o

fh + r¡

o

\hy

V

2>h+1

f hh +■ \. \

fh \

J - y U ^ U

+ i

después de sustituir y aplicar 6.5.2 i ), nos queda

c +m· · ' - ( * ; ' >

· ■ * · ♦ t , [cí > g í ,) ] ■ * " · ■ * '

Teniendo en cuenta por 6.7.2 ¡ i ) que

(¡t)+ G - i ) * 0 D

re” lia

i a + b ) H*' í = ( h + r \a h * 1 b° +

V 0

+? * ^ ! Í j ° ,h \

/

¿ fe-1

*

1 U h - fe" 1 -■

‘1

Es decir (a + b)h "

como se quería. E jem plo 6-J4.

Desarrollar (—x + 2 j ) s .

=

k -0 · k

! ) a h" ' h b h y

+

Aplicamos la fórmula demostrada

(~ .r

+ 2 F)s - (o) ( ~ x f (2y)° + Q ) (- x)4 (2 y ) 1 + Q ) (~*)3 {2 y ? +

f ÍJ )

vy

? +(D

(~x?

(2^)4 + C D (~ x)° (2y)S =

x 5 + 10 x 4 y - 40 x 3 y 1 + 80 x 2 y 3 - 80 * y * + 32 y s

6.S.2. Observaciones Sea

i ) El desarrollo de la potencia «-sima de u n binomio tiene n + 1 términos, según lo indica la variación de k, desde 0 hasta n. i i ) Cada térm ino del desarrollo tiene como coeficiente un núm ero combinatorio de num erador igual al exponente del binom io, y el denom inador es variable desde 0 hasta n. ni) El exponente de a es la diferencia entre el num erador y denom inador, y el de b es igual al denominador. Es decir, la suma de am bos exponentes es igual a n, para todos los términos, iv)El término de lugar h en el desarrollo, es

v ) Los términos equidistantes de los extrem os tienen igual coeficiente, por ser números combinatorios de órdenes complementarios. E jem plo 6-15.

Determ inar la sum a del 49 y 69 términos de! desarrollo de _

5„8

( 2 a ~ a 2)

(.'amo

=*■

T j + T6 ~

~S ,| * I ( 4 f 7 u

- u 13)

Ejemplo 6-16.

á) D emostrar

n

s-n -\

i- 0 V i s

^

Trasformamos la sumatoria en el desarrollo de la potencia de un binom io n /-n \

n r,,'\ n-i

i

n

n

SoOSoCD1 -1 - 0 + 0 =2 b)

Z M ) '( ”)= 0 í=o \iy

Procediendo análogamente i /'ti'

m-í

n

~ I1 ". " 1 2- i - l i ■¡ , n. |' = Z

i ~0

i

■' l■ - 1 J —U

n

n

1) = 0 = 0

-!_/|=0 s.*-·

Ejemplo 6-17.

Determinar el térm ino central del desarrollo de

i -\ in

j x 2· + — ) y-

con x + 0

El número de térm inos es 2 « + ! —« + w + l = n + l + ft El térm ino central esta precedido p o r n términos, y en consecuencia ocupa el lugar (n + 1), Se tiene

T

= r n+i

t

( j - í

v n y y

n +1

= f 2 ”V n. H J

\

x j

n~

n

Es decir -Tt

n ■+■J

= (í l n '\I -t " \ n y

En cuanto al coeficiente •(2 n i l n J

_____ ( n ! )2

(2«)! n ! (2 n - «)!

2 n ( 2 n ~ 1 ) ( 2 n - 2) . . . [ 2 n - ( n - 1 » . n\

(n\ )2 2 n { 2 n - 1 ) ( 2 « — 2) . . . (« + 1) n\

_

Ejemplo 6-18.

O btener el término de grado 14 del desarrollo de' (je3 — 3 x ) 10 El desarrollo adm ite 11 términos y se trata de ubicar aquel en el cual el exponente de x sea 14, Este término ocupa un lugar h, a determinar basándose en la condición anterior /

•T =1.

sn \

, ío—h+i

, kv»)

10 \ 33-3 h

f

- U - I >

ft-t

(~3x)

"■h - I*

h

fc-i <-«

=

ñ 1 v

-

■ ' - » ' ‘G - J * " · “ Debe ser: 32 - 2 /i = 14 => 2 A — 18 =* h — 9 Es decir, el 99 término tiene grado 14. Lo calculamos T 9 = ( g 0) x 3 (—3 x )9 = —39 . 1 0 * “ Ejemplo 6-19

l\ ”

r

Desarrollar | 1 + — J

Llegaremos a una expresión que se utiliza en ¡a determinación del número e, en ios cursos básicos de análisis.

o ^ f - ^ ) i +G ) e y < 3)© ,+ /- „

+

sS I ·

■>n - . i <·H. tn .■!

r » ¥ - L ‘)

+

Después de haber omitido las potencias de I. Operando y utilizando la fórmula del ejemplo 6-13 iii), tenemos fi + — ) ti J

= i + jt. — +

o. ” ( « - ! ) ( « - 2) 3! +

2!

jr

1 n3

+ '' ’

\

,+

n

+ n (n - 1) (ti - 2) . . . [n - (n - 2)] (n — 1)!

1) ( » ~ 2 ) . . . [ « - ( « - 1)1 n!

1

ti

n

1, n

n -i

+

A partir del tercer término dividimos cada factor del num erador por el factor n que figura en cada denominador

(, + X )

it— i , i«_i_L n -- +

„ 1+ 1+

ti

(« --1)! +

1

n - 1

n

« - 2

n

n

n

n - (n - 1 )

Resulta

(i+t ) ':+3 G-t ):Ít r T F O - T J O - D - O - ^ T 1)* _L ii!

i" t - ~ .{ i . . . ("i ~ V n J v n y V.

«

^ 1 v

Ejem plo 6-20.

Determinar x e R de m odo que la suma de los términos 32 y 82 del desarrollo de r

j

2

x3—

i '«

I sea igual a 0,

Debe verificarse T j + T8 = O O sea

í . U l x 1'}1 * - — I + ! i ! {2 .v3 ! - — i = 0 x -■

■

-y .··

Los números com binatorios son iguales y pueden cancelarse —1n _ -.3 X‘ ~

ft

■‘ 2 ' . x i9

—l 2 .—

= 0

-v7 r :t

Multiplicando p o r 2S . x 20 — 1 = 0

1 X1

esulta „20 * -

1 25

Es decir 2° / j x = ±^ / —

en R

Por distributividad y simplificación x= ±

1

VT Racionalizar¡do Y= ±

VT 2

Ambos valores de x satisfacen la condición dada.

6 .9 .

FUNCIONES ENTRE INTERVALOS NATURALES INICIALES

A fin de tratar el tema de la Combinatoria simple y con repetición desde un punto le vista funcional, proponem os algunos conceptos y propiedades relativos a funciones :uyos dom inio y codom inío son conjuntos finitos, no vacíos y p o r consiguiente dentificables, en cuan to a su cardinalidad, con intervalos naturales iniciales l n e l m . 6.9.1. Aplicaciones inyectivas de I„ en Im (n < m ) Sea el con ju nto cuyos elementos son todas las aplicaciones inyectivas de I„ en lm , y que denotam os con I« (Ir, J m ) ={/'■· l n

l m / / e s invectiva]

Se necesita la restricción n < m, ya que en caso contrario habría dos elem entos del lom inio con la misma imagen en el codominio, y ninguna aplicación sería 1-1. El elem ento 1 de I„ puede aplicarse sobre cualquiera de los m elementos del codom inio I m , es decir, existen m posibilidades para el 1 e l „ . Una vez asignada la •magen, para construir una función inyectiva, el 2 e ln adm ite ( m — 1) imágenes posibles en l m. Seleccionadas sendas imágenes para el 1 y el 2, se presentan ( m — 2) posibilidades para la imagen de 3 e I„. Suponiendo hecha la selección de imágenes para 1, — I , el elemento n e l n puede proyectarse sobre cualquiera de los ·.*! — ,n — 1) elem entos restantes del codominio, y en consecuencia el núm ero total de ipikaciones inyectivas de I„ en Im es m . ( m - 1 ). ( m — 2) . . . [ m - (n — 1)]

Es decir, el cardinal de \ n (1„ , l m) es igual al producto de n factores decrecientes en una unidad, a partir de m. D enotando tal núm ero cardinal con el símbolo Vm se tiene Vm ,„ = m . ( m - 1) . ( m - 2) . . . (m - n + 1)

(1)

Multiplicamos y dividimos el segundo miembro de esta expresión por ( m — n ) ( m — n — l ) ............2 .1 = (m — «)!

_

m ■ ( m - 1) . Ow - 2) . . . ( m - n + 1) . ( m - n) l ( m - «)!

v resulta V

m-n

= ___ _______

(2)

( m - n)l

Demostraremos ahora esta fórmula por inducción sobre n. *

i ) Si n — 1, entonces el número de funciones inyectivas de Ij en Im es exactamente m, y se tiene _ _ m . ( m - 1 ) ! _____ m i ___ v m ,i ~ m — ~ (to — 1)! ii ) Probaremos que si la fórmula (2) vale para h, también es válida para h + 1. Hipótesis) .. mi m' h ~

(m-hy.

v ________ m i v m>h+l [m —(fc + 1)]!

Tesis)

Demostración) Supongamos definida una función ínyectiva de l h en Im . Si extendem os e! dom inio a l h+ 5, el elem ento agregado, h + 1, puede hacerse corresponder con cualquiera de los (m — h ) elementos restantes del codominio. Es decir, cada función inyectiva de lh en Im origina (m — h) funciones inyectivas de Ih + l en Jm, y en consecuencia se tiene +1 ~ ^m ,h . (iTl — ti) Usando ¡a hipótesis inductiva llegamos a mi y m, h +l = - 7 ^ r - r r r (m - h)\

,

i.

-(m -fi)=

'

m i (m - h)

■·

mi

------------(m - h) . ( m - h ~ 1)! ~ [ m — ( h + l )J!

Ejemplo 6-21.

¿Cuántos núm eros de tres cifras distintas pueden formarse con 1, 2, 3 , 4 ? Cada núm ero pedido corresponde al conjunto imagen de una aplicación inyectiva (ya que no pueden repetirse) de I 3 en l4 . Es decir, existen tatitos números de tres

cifras distintos elegidas entre 1, 2, 3 y 4 como funciones inyectivas de I3 en I4 , y resulta V
Dos fmciones invectivas de ¡„ en lñ, son equivalentes si y sólo si admiten el mism cconjunto imagen, 1
f-'g

Esta defirición caracteriza una relación de equivalencia en In (I„. I m ). como puede verificarse ccn facilidad. De acuerco con el teorema fundamental de las relaciones de equivalencia existe una partición dd conjunto de las aplicaciones inyectivas de I„ en Im , en clases de equivalencia En el casc del ejemplo 6-21, las funciones

/={íM ),(2,3),(3,4)}

y

g = {
son equivalentes, ya que ambos conjuntos imágenes se identifican. A manera de ejem­ plo nos preponemos exhibir la partición de 1« (I„, Im)c o n la siguiente simplificación: C om o tedas las funciones inyectivas admiten el mismo dominio l 3 es suficiente, para caracterizarlas, dar el conjunto ordenado de sus imágenes. Así 134 corresponde a / 314 corresponde a g S i consideramos como imagen a 213, se trata de la función inyectiva Í( 1 , 2 ) . f 2 . n , ( 3 , 3 ) l V " ' ¿ Con este criterio, ia partición de 1« (13 , !4) es 123 132 213 231 312 321

i 24 142 214 241 412 421

134 i 43 314 341 413 431

234 243 324 342 423 432

En cada clase de equivalencia hay tantas funciones como aplicaciones inyectivas de I3 en 13> es decir, 3 . 2 . 1 = 3! elementos. El nú miro de clases de equivalencia es naturalmente igual al número to tal de

funciones inyectivas de 13 en !4 , dividido por el núm ero de elementos de cada clase, es decir

__4!__ (4-3)! 3!

_

41 3! ( 4 - 3 ) !

f 4 'i K.3J

Si denotam os con C4>3 el número de clases de equivalencia se tiene C4>3= ( J j

= 4

En general, e! núm ero de clases de equivalencia determ inado por la relación i !> en el conjunto de las funciones invectivas de en l„ ,, está dado por c

m·”

-

,

'm . .n '

En efecto, sea Vm „ el número de funciones inyectivas de I„ en I*,, donde está definida la relación de equivalencia (1). E n 'c a d a clase de equivalencia hay tantas funciones como aplicaciones inyectivas de l „ en I„ . lasq u e son, además, sobreyectivas. es decir, biyeetivas. Este núm ero es. precisamente V

"•n

(n-n)í

El número de clases es, entonces

„

171!

Vm, n __

m -n " ‘ n!

"

ím

n\
6.9.3. Funciones estrictam ente crecientes de

' ~n

|

J

en l m ( «<»»>

Definición f : l„ -*-lm es estrictamente creciente si y sólo si x < v ^ f ( x ) < / ( > ’) * La fu n c ió n /d e l párrafo anterior es estrictamente creciente, peo,!? n<» lo es, Volviendo al ejem plo propuesto en 6 A 2 ., si elegimos un uihco elemento en cada clase de equivalencia, se lo puede lom ar como representante de dicha ciase. La eieccioi; natural está dada p o r la función estrictamente creciente que figura en cada clase, y se tiene

123

124

134

234

El número de clases de equivalencia está dado po r el número de funciones estrictamente crecientes de I3 en I4 . Realizando esta identificación de clases de equivalencia con funciones estrictamente crecientes, podem os decir que existen tantas clases como subcoiijuntos de 3 elementos pueden extraerse de I4 .

Ejemplo 6-22.

¿Cuántas comisiones de 3 personas pueden formarse con 4 personas? R otulando a las cuatro personas con 1 , 2 ,3 y 4 , las selecciones 123

132

213

231

312

321

corresponden a la misma comisión (se supone que n o hay distinción de jerarquías), y la «elección natural es 123, Esta corresponde a una función estrictamente creciente de I 3 en I4 , y en consecuencia el núm ero total de comisiones es

i 'femplo 6-23.

. C uántos números d e tres cifras distintas pueden formarse con las cifras 1, 2 y 3"? A !ii luz de lo que hem os visto en el ejem plo 6-21, se tienen tantos núm eros como ■artcones inyectivas de I3 en 13, las cuales son, además, biyectivas. Entonces dicho núm ero es V3l3 = 3 ! = 6 6.9,4. Funciones de In en Im Sean n y m números naturales cualesquiera. Se presenta el problema de determ inar •c! núm ero de funciones de I„ en I m . Es claro que, elegida una de las m posibilidades pata la elección de la imagen de 1e para el 2 tam bién se presentan m, ya que n o hay restricciones de inyectividad. ' ' aun-ero total de tales funciones, que denotam os con V ’m rl> es m . m . , . m - m n . n

D emostramos, p o r inducción sobre n , la fórmula V'm^„ =

·

i ) Si n = 1, entonces se tienen m funciones de I , en lm, es decir = m = m 1, con lo que la fórmula es válida en este caso.

i i ) Supongamos que se verifica para n = h, es decir V’m h = m h . Debemos probar que V¡ri ft+1 = m h + i . áea una función de Ih en l m ; si el dominio es ahora lh + i , entonces ei elemento h + l puede aplicarse sobre cualquiera de los m elementos del codom inio. Pódeme» decir que cada aplicación de l h en Im caracteriza m funciones de lh+1 en l m, y ei

u·. aiero de éstas es

Aplicando la hipótesis y la definición de potenciación, se tiene

Ejemplo 6-24.

¿Cuántos números de tres cifras pueden formarse con 1, 2, 3 y 4? Como no hay restricciones en cuanto a que las cifras deban ser diferentes, los números 134, 143, 112, 222, etc., figuran entre los pedidos. Cada uno de ellos puede considerarse como el conjunto ordenado de las imágenes de una función de 13 en 14. En consecuencia existen tantos números de tres cifras formados con 1, 2, 3 y 4 como funciones de I 3 en I4 , es decir V4>3 = 4 3 = 6 4 . 6.9.S.

Funciones crecientes de I„ en Im

Sean n y m núm eros naturales cualesquiera. D efinición

La función/ : 1„ -►Im es creciente si y sólo sí x < y => / (x) < / (>’) Ejem plo 6-25.

i ) Las imágenes de todas las funciones crecientes de 13 en I4 son 111 112 113 114

122 123 124

133 134

144

222 223 224

233 234

244

333 334

344

444

Hemos seguido una ley de formación a partir de 11, 12,13, 14, 22, etcétera, i i ) Las funciones crecientes de I3 en í 2 tienen las imágenes 111

122

222

112

Llamando Cm n al núm ero de funciones crecientes de l„ en Im, se tiene, para los casos anteriores Q , 3 =20 C’2 i 3 = 4 Observamos que el núm ero de funciones crecientes de I m en I„ se identifica con el número de funciones estrictam ente crecientes de en í„ , ya que

Teorema El número de funciones crecientes de In en Im es igual al de funciones estrictam ente crecientes du I„ en Im+n _ i · Tesis) C m M—Cm+n.| Demostración) Sean A el conjunto de todas las funciones crecientes de l n en I m, y B el conjunto de las funciones estrictamente crecientes de I„ en Im + n _ j . Nuestro propósito es probar que c (A) = c (B), es decir, que A y B son coordinables. Para esto es suficiente ver que existe una aplicación biyectiva de A en B. Para d efin í! tal aplicación hay que asignar a cada función de A una única función en B Sea j e A. La im a g e n de / e s

f i i K/ í-), - . - . f i n ) tal que para todo i = 1 , 2 , . . . , n se verifica 1 < / ( ¡ ) < m

(1).

A expensasde/ , definim os# : In -M m + „ _ j mediante las asignaciones

[ g(i)=/(D ¡ g(2) = / ( 2 ) + 1 (2)<¡ * ( 3 ) = / ( 3 ) + 2

g ( n ) = f ( n ) + ( , n ~ 1)

De este mcdo, los valores extremos que puede tom ar g son, de acuerdo con (1 j m + n - 1. Además, teniendo en cuenta (1) y la definición de g, se verifica f e A =» / ( 1 ) < / ( 2 ) , y como 0 < 1, sumando resulta

/( 1 ) + 0 < / ( 2 ) + 1 . Es decir f{u
Luego árfiKí(2). Procediendo análogamente vale la proposición 1 < / ( 1 ) < / ( 2 ) + 1 < / ( 3 ) + 2 < . . . < / ( « ) + ( « - 1) Es decir 1« £ (l)< g ( 2 )< £ (3 ) < ... < g (n )< m + » - 1

+ « —l

1.a asignación propuesta en (2) permite definirla aplicación F : A -> B tal que F (/') —g Falta probar que F es biyectiva. Para ello estudiamos i ) Inyectividad de F. S e a n / y f en A, tales que F ( f ) — F { / ’ ), es decir, tales que g —g’. Esto significa que los conjuntos f/(l),/(2)+l , { . f ílí , / ’(2)+

,/(«)+(«-

1 ,

1 )}

+ < « -!)>

son iguales, y en con secu en cia/(i) ~ j " ( i ) cualquiera quesea i = 1 ,2 , Resulta entonces f - f ; y por lo tanto, F es inyectiva

. n.

¡ i ) Sobreyectividad de F. S ea,?e B. Entonces £ : I„ -> fm + n —t es estrictamente creciente, y se tiene 1 < # ( ] ) < £ ( 2 ) < £ ( 3 ) < .. , ' < g ( n ) < m + n — l Ahora bien, g i l ) > ? ( 1 ) =* £ ( 2 ) - £ < l ) > 0 =» g ( 2 ) - g { 1 ) > 1. ya que to d o número natural es m ayor o igual que 1. Resulta £ « 1 ) < £ ( 2 ) — i, y procediendo análogamente tenemos

Esta situación permite definir la f u n c i ó n / : I„ - + \ m , creciente, con la asignación

/ ( O = g (0 - (i ~ 1) Entonces, cualquiera que se a g e B. e x is te / e A tal que F ( / ) = g. Las partes i ) y ii ) prueban que F es biyectiva, es decir, A ~B, y en términos de números cardinales vale la fórmula

Ejemplo 6~2§.

*

„De cuántas maneras pueden entrar 4 alumnos en 3 auia¡>. si no se hace distinción de personas*8 Rotulemos a los alumnos con: 1, 2, 3, y 4, y las aulas con: 1, 2 y 3. Es claro que una distribución de las cuatro personas en las tres aulas está asociada a una función de I4 en I 3; por no haber distinción de personas, el hecho de que entren dos personas en el aula 1, una en el aula 2 y otra en el aula 3 está dado por una función cuya imagen es cualquiera de las siguientes: 1123 3121 3211, etc.

2

1

3

V Al no haber distinción, estas distribuciones de cuatro alumnos en tres aulas son la ir,i nía. De ellas elegimos naturalmente la que define a una función creciente de I4 en I, -í.j distribución tiisciaia e», p ot ejem plo, 1113, que significa; tres alumnos ·.·;·.-raroa -¿n el aula 1 y el cuarto en el aula 3, De m odo que existen tantas distribuciones posibles de 4 personas en 3 aulas, sin i: '¡nción de las personas, ccmo funciones crecientes de 14 en I 3, es decir

c;. 3-4

6 ,4

6 .5 . 3 . 4 4 .3 .2. I

= 15

6.9.6. Aplicaciones estrictam ente crecientes por trazos de l m en lm Sean

los núm eros naturales m, m t , m 2 ......... m n , tales que ti

rr¡ — m %+ m 2 + . . . + m n = 2 i-

1

m¿

(1)

Asociada a la descomposición {1), queda especificada la siguiente partición de Im en intervalos naturales cerrados l m = [ 1 , m l j 4- [ m x + 1 , m t + m 2] + [nti + m 2 + 1 , ffc- 1 i + ¡ Z ra¡ + I , m \ (2 )

L‘~l

+ m 2 + m 3] + . .. +

J

donde el signo + denota una unión disjunta, i ) D e fin ició n La f u n c i ó n / : l m l m es estrictam ente creciente p o r trazos, respecto de la ‘ partición (2), si y sólo si es estrictam ente creciente su restricción a cada subco njunto de la partición.

t emplo 6-27.

En correspondencia con la descomposición 9 = 2 + 4 + 3 se tiene la siguiente : mcion estrictam ente creciente por trazos de I9 en I9.

81 '

7?

6' 5 '1 4' 3 71

Se tiene aquí la partición l 9 = [1 , 2f + [3 , 6 ] + [7 , 9 |, es decir I9 = { l . 2 } + { 3 , 4 , 5 , ó} + { 7 , 8 , 9 } Y

la restricción d e / a cada elem ento de la partición es estrictamente creciente.

Ejemplo 6-28.

Determinamos el núm ero de aplicaciones estrictamente crecientes p o r trazos de Ien I 7. respecto de la partición de I 7 asociada a la descomposición 7 = 3 +■ 4. De acuerdo con la definición, la restricción de cada una de las funciones a los subconjuntos I 3 e 14 debe ser estrictam ente creciente. Se sabe que el núm ero §e aplicaciones estrictamente crecientes de I , en I 7 es : 7 ‘3 “ (- 3 3.J Además, es claro que cada función estrictam ente creciente de I 3 eff define unívocamente una función estrictam ente creciente de 4, 5. 6, 7 en I7. Por ejemplo, si g : 13 - * 17 está definida por ¿r(l)=2

#(2)=5

* (3 ) = 7

queda determinada h : ( 4 , 5 , 6 , 7 j - * I 7 estrictam ente creciente y única, a saber ^

s

h

(4) = 1

h

(5) = 3

h

(6) = 4

h

(7) = 6

Hn consecuencia, el número de aplicaciones estrictamente crecientes por trazos de I7 en 17 es el de funciones estrictamente crecie'ntes de I 3 en I 7 , q u e denotamos mediante ’

3! 4!

En el caso del ejemplo 6-27, tal número es

^

^ __ 2’ 3' 4 ’

>

íi ) Propiedad El número de aplicaciones estrictamente crecientes por trazos de l m en l m, respecto de la partición f 2), está dado p o r m'·.

P-.

— "m m ,i !’1m 2l . . . m n .’

Para cada m fijo hacemos inducción sobre el número n de elementos de la partición de l m. a) Si n = 1, entonces la partición tiene como único elem ento Im, y la única función estrictamente creciente de l m en l m lo es estrictamente creciente por ira/o s. es decir _/n. , mi mi P - 1 = — — — ----- m

mi

mtl

y a q u e m = m, '

^

b) Suponemos que la fórmula es válida para n = h, y demostramos su validez para n = h f l. Cada función estrictamente creciente por trazos de en sí mismo determina Cmm h + ¡ funciones estrictamente crecientes p o r trazos de l m en tm , respecto de la partición asociada a la descomposición m —m¡ + m 2 + . . . + mh + ,

Entonces p

_ ¿n t .m ......>nh m

ín -iR i,*»

Aplicando k hipótesis inductiva, se nene

'

m ,n th * %

¿Cuántos números distintos pueden formarse perm utando las cifras dei número 112223333? Cada número que resulte de intercambiar las cifras de 112223333 define una aplicación estrictamente creciente por trazos de I9 en I9 , y recíprocamente. Así, por ejemplo, el número 133221323 determina la aplicación de I9 en l9 , asociada a la partición correspondiente a la descomposición 9 = 2 + 3 + 4:

/(1)=1

/(2) = 6

/ ( 6) = 2

/(3) = 4

/ (7) = 3

/(4) - 5

/ ( 8) = 7

/(5) = 8

/(9) = 9

la manera de determinarla es ía siguiente; a cada elemento del dominio ie asignamos como imagen, respecto de la partición dada, el lugar que ocupa en el número propuesto. Recíprocamente, a toda función estrictamente creciente por trazos respecto de la partición, le corresponde un núm ero que se deduce del dado, intercam biando las cifras. Así. s i / ; 1, —*l 9 es tal que /«1) = 2

/(2 ) = 9

/ ( 6)=1

/(3 ) = 5

/(?)= 3

/(8 ) = 4

/(4 ) = 6

/(5)-7

/(9 ) = 8

y el número resultante es 313322231. Entonces el número total de números pedidos es igual al de funciones estrictam en­ te crecientes por trazos de I9 en I9, respecto de la partición dada, es decir

p2'3·4 - __ ?!----- — «

2! 3! 4!

§ zJ—’Á jJL l J lL · - 9 4 7 5 = P60 1 . 2 . 1 . 2 . 3 . 4!

6.10. COMBINATORIA SIMPLE Y CON REPETICION 6.10.1. Concepto Identificando un conjunto finito y no vacío con un intervalo natural inicial, respecto de la coordinabilidad, la respuesta a Sa determinación det número cardinal de ciertos subconjuntos del mismo puede lograrse a la luz de cierto tipo de funciones entre intervalos naturales iniciales, ya estudiadas en o.9. Los problemas que se presentan dependen del tipo de función que pueda diagnosticarse en relación co n si problema, y son los seis que se tratan a continuación. 6.10.2. Variaciones am pies de m elementos de orden n . ( n < m ) D efinición

Variaciones simples de m elem entos de orden n, o variaciones «-arias de m ■ elementos, son todas las funciones inyectivas de I„ en 1,„.

f uno todas las funciones inyectivas de I„ en l m tienen el mismo dom inio I„, ctsal ju ie r variación simple queda determ inada por las segundas com ponentes de los [- - ·» o: denados correspondientes a la función. Desde este p u n to de vista, toda v ‘ion «-aria de m elementos es un subconjunto ordenado de n elem entos de Im , Es claro que la inyectividad exige que no se repitan elementos en la imagen, es decir, dos variaciones simples son distintas si difieren en algún elem ento, o bien, si constan de los mismos, deben diferir en el orden. Ds. acuerdo con 6 . 9 . 1 su número está dad o p o r la fórmula mi (m — n)l

'5

—n

Perm utaciones de n elem entos

í '' -'.:.-ncián ·.

n

.

Perm utaciones de n elementos son todas las funciones biyectivas de I„ en l „ . '■ m ü toda función biyectiva de 1„ en í„ es inyectiva, se tiene u n caso particular de va rejones simples, donde m — n. Teniendo en cuenta el conjunto imagen, cada perm utación de n elem entos es un con .unto estrictam ente ordenado de I n . Su núm ero, de acuerdo con 6 . 9 . 1 está dado por ¡a fórmula p = v

n.n

- — 2!— („_„)»

_ JlL _ ni 0!

ü decir perm utaciones de ti elementos se debe entender que son simples, en el ieü .ídü de que no hay repetición, p or la inyectividad. 6 .!0 .4 . Combinaciones simples de m elementos de orden D e fin ició n ¡

Combinaciones simples de m elem entos de orden n, o com binaciones «-arias de m elem entos, son todas las aplicaciones estrictamente crecientes de l n en Jm . Una tal aplicación estrictam ente creciente identifica un subconjunto de n elementos de I,.,. de m o d o único. Al mismo concepto puede llegarse en virtud de la relación de equivalencia definida en el conjunto de las funciones inyectivas de 1„ en l m, de acuerdo con 6 .9 .2 . Ei número de combinaciones simples está dado por

6.10.5. Variaciones con repetición de m elementos de orden n D efinición

Variaciones con repetición de m elementos de orden n son todas las funciones de ¡n en !m . En este caso no existen restricciones do n respecto de m . Identificando cada variación con repetición con el correspondiente conjunto ordenado de las imágenes, ocurre que cada una es una n-upla de elementos de . Su número está dado, de acuer­ do con 6.9.4., poi V"m, rt = mn 6.10.6. Combinaciones con repetición de m elem entos de orden n. D efinición

Combinaciones con repetición de m elementos de orden n , son todas las funcio­ nes crecientes de I„ en l m . En este caso, m y n son núm eros naturales cualesquiera. De acuerdo con 6.9.5., su núm ero está dado por la fórmula „

Cm , n = C m ^^n

.

— \ ,n

,'m + « — 1\

= ·

n

1

I

6.10.7. Permutaciones con repetición En muchas situaciones, los elementos de un conjunto están clasificados en tipos: digamos, p o r ejemplo, u n conjunto de 9 libros, entre los cuales hay 2 de álgebra. 3 de geometría y 4 de filosofía. E n cada caso se supone que son del mismo autor, edición, etc., es decir, indistinguibles. Un problema de interés consiste en la determinación de las distintas maneras según las cuales pueden ordenarse dichos libros en un estante. Una ordenación posible es GAFAFGFFG. Es claro que si se permutan entre sí dos libros de filosofía, el ordenam iento es el mismo. Una distribución distinta de los 9 libros en el estante puede lograrse si se permutan libros de distinto tipo. Ahora bien, si rotulamos los libros asignando el 1 a los de álgebra, el 2 a los de geometría y el 3 a los de filosofía, la ordenación propuesta es 213132332 El problema consiste en determ inar cuántos números pueden obtenerse intercam­ biando las cifras del propuesto, lo que se identifica con el número de aplicaciones estrictamente crecientes por trazos de I9 en 19, respecto de la partición asociada a la descomposición t> = 2 + 3 + 4 , Tales aplicaciones se llaman permutaciones con repetición de 9 elem entos, entre los cuales hay 2 del tipo A. 3 del tipo G y 4 d«?l tipo F.

D efinición >:

Perrnuta«iones con repetición de m elementos, entre los cuales hay m¡ del tipo A,· ( i = 1, 2 ,. . . , « ) , siendo m - m ^ + m 2 + . . . + m n (1) son todas las aplica­ ciones estrictamente crecientes por trazos de Im en Im , asociadas a la partición de Im correspondiente a la descomposición (l ) . Según 6.9.6. i i ). su número es m

m\ m } \ f?j2! . . . m „'

Ejemplo 6-3Q

Seis persoias viajan en un vehículo que tiene 10 paradas. cDe cuánt 3 S maneras pueden b ajara en los siguientes casos? i ) Si a o sumo baja una persona po r parada, i i ) Sin estricciones. En ambos casos, considerar la situación con distinción y sin distinción de personas. Obsérvame? que cada distribución de las 6 personas en las 10 paradas define una función de I 6 en 11 o . Así, 122279 indica esta situación: una persona desciende en la primera parada, tres en la segunda, una en la séptima y una en la novena, i ) A lcsum o baja una persona p o r parada. Significa cue personas distintas bajan en paradas distintas, y, si se hace distinción de personas, iístribuciones como 134679 y 371496 son diferentes. Cada distribución de las 6 persanas en las 10 paradas, con distinción de personas, define una función inyectiva de en í , 0 y, en consecuencia, el número total.es el de variaciones simples de 10 elementos de orden 6

Vio,6 = 1 0 . 9 . 8 . 7. 6. 5 Si no se hace distinción de personas, las distribuciones 134679 y 371496 corresponder a la misma situación y se selecciona la que está asociada a una función estrictam entí creciente de l 6 en l , 0 En consecuencia, si no se hace distinción de personas, haj tantas distribuciones como combinaciones simples de 10 eleínentos de orden 6. es d;cir y io, 6 Cío,6 ” 6! i i ) Sin restricciones. En este ctso puede bajarse más de uria persona por parada, y, si se hace distinción de personas, cada distribución define u na función de I6 en 1, 0 : es claro que se trata de las variación« con repetición de 10 elementos de orden 6, y su núm ero es Vio >6 = IQ6

Si hay distinción de personas, 122279 y 721229 corresponden a situaciones diferentes. Pero si no se hace distinción de personas definen la misma distribución, y se elige la que corresponde a una función creciente de Ia en I¡ 0 - El núm ero total, en este caso, es el de combinaciones con repetición de 10 elementos de orden 6, es decir f"

..p

Cío,6 ~ C-10 + 6 -

1 ,6

_p

_

~ Ci 5 , 6 -

51

Ejemplo 6-31,

¿Cuántas diagonales tiene un polígono convexo de n lados? E) número de vértices es n. y , por definición, tres cualesquiera no están alineados. En consecuencia, cada par de vértices determina una recta.

El número total de rectas distintas está dado p o r el número de funciones estrictamente crecientes de I 2 en [„, ya que. por ejemplo, las rectas 13 y 31 son la misma. Entre estas rectas figuran los lados y las diagonales. En consecuencia, el núm ero de diagonales está dado por n (n — V) n2 — 3n Cn 2 - n = ------ , ------- - « = ------ ^------Ejemplo 6-J2.

t De cuántas maneras pueden alinearse H) personas, si o es de e lk s han de ís'sjr juntas? Una posible form ación de las 10 personas es 0 1 <*2 «3

fls . . . üio

Si no se especificaran condiciones,, el número total sería el de funciones biyectivas de I , q en I 10, es decir, P 10 = 10! Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que las tres primeras permanecen

juntas, y en primera instancia pueden considerarse como un solo objeto, con lo que el número total se reduce a 8 , y se tienen P 8 arreglos distintos. Ahora bien, en cada uno de éstos, las tres personas que están jun tas puedeft permutarse entre sí, originando P 3 alineaciones diferentes. Entonces el número total es P8 · P 3 = 8 ! 3! Ejemplo 6-33.

En una urna hay 5 bolillas blancas y 6 bolillas negras numeradas. Se extraen maestras de tam año 7. ¿Cuántas de tales muestras pueden extraerse.’ ¿En cuántas de el¡-¡> figuran exactam ente 3 bolillas blancas?

i > El experim ento consiste en extraer al azar 7 bolillas de la urna, sin reposición. Es decir, se extraen una por una y no se reintegran hasta com pletar las siete. Dos muestras como b i b 2 r¡ 2 n¡ n 4 n s n b b3

n 3 &3 n 6 n4 n5 b2 b x

son la misma, y existen tantas como subconjuntos de 7 elem entos pueden formarse con 11 dados, es decir C u .7 = C U ,4 =

v u, 4 4!

II . 1 0 . 9 . 4 . 3 . , 2. 1

= 330

íi ) Considerem os ahora las 330 muestras aleatorias de tam año 7 que pueden obtenerse. Estamos interesados en saber cuántas de tales muestras contienen exactam ente 3 bolillas blancas. Hay C s ,3 m ineras de elegir 3 bolillas blancas entre las 5 que existen. Por cada una de estas posibilidades se presentan C6 4 maneras de seleccionar 4 bolillas negras entie las 6 q u e hay. En consecuencia, el número total de muestras que tienen, exactam ente 3 boliitais blancas as

Hay tres tipos de medallas: 3 de oro, 2 de plata y 4 de cobre. ¿De cuántas maneras pueden distribuirse entre 9 personas, si a cada persona le corresponde una y sólo una? Cada distribución de las 9 medallas entre las 9 personas define una aplicación estrictamente creciente p o r trazos de I 9 en 19 , respecto de la partición asociada ala descomposición 9 = 3 + 2 + 4. Se trata, entonces, de las permutaciones con repetición de 9 elementos, entre los cuales hay 3 del tipo 0 . 2 del tipo P y 4 del tipo C, y su número es

Ejemplo 6-35.

¿Cuántos térm inos tiene un polinomio com pleto y homogéneo de grado 2 cor 3 variables! Sean éstas .r ,, x z >' ·'".»· Como el polinomio es hom ogéneo, todos los té mimos son de grado 2. Ahora bien, cada función creciente de 1; en 13 determina uno de los tem im os del polinom io, ya que las imágenes .r,.v 3 y x 3.xt corresponden al mismo térm ino, y se considera la que es creciente. El núm ero total es el de combinaciones con repetición de 3 elementos de orden 2. es decir c;

. 2 = c 3 ^ . - 1. , = c 4.2 = -± 21 ^

6

El polinomio puede escribirse P l.Vj. Xj, t_,) = a u

+ «22 x “-> + t í =í

-*-«12 X | *2 +«13 .Vi X i +«23 .*2 x i

TRABAJO PRACTICO VI é-3é. Demostras por inducción completa

1.

2.

5 = —---------

Z

i= 0

£

-L

= 2~ - ^ 2"

2'

3.

si

I — X

¿

+ l ) ( 2 w + l)

i= i

4.

6

f

(»*-!)

5.2 3i=i * » 4 <3" “ 0 2 v

nnt 1 3"

7.

o" - 1

( a — 1)

si

ot> 1

8.

{1 fjc)” > 1 + « j f

si

jc> 0

£ 10.

±

i ^ _L

3 \ ÍO "*1 + 10" + I

11.

2 ,n2 +rt

12.

3 8"-5"

13.

an —bn = a ( a —

14.

2 i . i ! = (n + 1)! - 1 ¡=í

b)

15.

£ f «

í=i

(È

\í=i

O 2 J

6-37, S e a n x j , Xj,

números reales. D emostrar que la suma de sus desvíos respecto del prom edio es 0, es decir 2 (x¡ — x ) = 0 1-1

6'38. Demostrar que

í¿

V i= I

xt

J

f ~£

x j + f xpe,· ' imj

¡=l

6-39. Sabíendo que .v ,P.x2, , . . , x s 0 son tales que

i=Í t

i-l

x 1 = 100

y

{

x = — 20,

calcular

(x¡ - 2 ) 1

'

6~40. Demostrar

i) .. x 1}

2 ni — (n ~ ! ) { « — 1)! ~ n \ + ( « — !)! n ________ 1__________ ]___ (n + 1)! ~ ni (n + 1)!

6-41. Hallar x sabiendo que

f

7

V f

l_ x 2 —x j

7

1

V2 x — ~LJ

6~42. Desarrollar las siguientes potencias

i ) { —2a2 + — V V a “ ) b fi+ > J y f 6-43. i ) Sabiendo que | + g = l , calcular

|í;w n -k

r

ItJ

6-44. Hallar la suma de ios términos 56 y 79 del desarrollo de ( ~ 2 je + x z ) 6-45. Determinar x sabiendo que el térm ino central del desarrollo d e f x + - y - J

'

G)

vale

fi-46. S e a ( j - 2.y 4-

-

J

. D eterm inara sabiendo que T3 + T 6 = 0. j X .0

r

(—47. Hallar el térm ino de grado 5 de! desarrollo de ^ x 2 ----- — i /

iV *

6-48 Hallar los térm inos de grado natural del desarrollo de (je + —r J

6-49, ¿De cuántas maneras se pueden colocar 12 libros en un estante, si tres de ellos deben estar juntos'1’

O „De cuántas maneras se pueden alinear 10 personas, sabiendo que dos de ellas no pueden estar juntas'*

•’>•51. Calcular ia suma de todos los números de 4 cifras no repetidos que pueden formarse con 1 , 2 . 3 y 4. ,,Cuán tas distribuciones circulares pueden formarse con 6 personas?

‘>•53. O cho puntos de! plano son tales que 3 cualesquiera no están alineados, salvo 4 de ellos que sí lo están. ¿Cuántas rectas determinan?

f)-54. „Cuántas comisiones de 6 personas pueden formarse con 8 varones y 9 mujeres, sabiendo que al menos un varón integra cada comisión11 fk55. ¿De cuántas maneras se pueden distribuir 100 botellas de leche entre 10 comercios?

•i-56. ^Cuántos números de tres cifras distintas pueden formarse con 0. 1, 2, 3. 4 y 5 .’ 1-57. ^Cuántos números de tres cifras pueden formarse con 0, 1. 2, 3 . 4 y 5? 6-5S. De un mazo de naipes franceses (52 cartas) se extraen cinco cartas sin reposición. ¿De cuántas maneras pueden obtenerse exactam ente dos ases?

6-59. E ntre 36 cartas hay 4 ases. Se retiran tres cartas sin reposición. ¿Cuántas colecciones de tres cartas contienen exactamente 2 ases?

0-60. ¿En cuántas números de k cifras elegidas al azar entre l, 2, 3. . . . , 9. aparece exactam ente 4 veces el número 1’’ (k > 4) 6 -6 /. Se consideran n personas alineadas al azar. 0En cuántos, de dichos arreglos, hay exactam ente k personas entre dos determinadas?

ñ-ú2. ¿Cuántos polígonos determinan 10 puntos del plano, sabiendo que 3 cualesquie­ ra n o están alineados? o-a i . ¿De cuantas maneras pueden alinearse 5 varones y 5 mujeres de m odo que aparezcan alternados? '>-4-/, ¿Cuántas n-uplas pueden formarse con los números 1, 2 y 3? ¿En cuántas aparece exactamente k veces d 1?

6-65. Determ inar el núm ero de pronósticos posibles que corresponden a una fecha de

los 13 partidos del juego llamado Prode. En cada partido puede apostarse a local em pate o visitante. ¿Cuántos de tales pronósticos tienen k aciertos? 6-66. Demostrar que to do suheonjunto infinito de un conjunto numerable es nume­

rable. 6-67. D em ostrar que la unión de un núm ero fin ito de conjuntos numerables y

disjuntos dos a dos es numerable. 6-68. Doce alumnos cursan una asignatura que se dicta en 4 horarios distintos, ¿De

cuántas maneras pueden distribuirse los 12 alumnos en los 4 horarios? ¿Cuántas distribuciones determinan el mismo número de estudiantes en los 4 horarios? 6-69. Una persona apuesta 10 S en una carrera en la que intervienen 5 caballos.

¿Cuántas apuestas distintas puede hacer si cada vale cuesta 2 S ? 6-70. Para formar un com puesto se dispone de 6 sustancias del tipo A y de 8 del tipo

B. El com puesto requiere 3 del primer tipo y 4 del segundo. ¿De cuántas mane­ ras puede realizarse la experiencia en los siguientes casos? i ) Sin restricciones. ü ) Una sustancia determ inada del tipo A debe ser incluida, iii) Dos sustancias determinadas del tipo B no pueden incluirse.

Capítulo 7

SIST E M A S

A X IO M A T IC O S

7.1. INTRODUCCION E! desarrollo le la m atemática actual es principalmente abstracto y se realiza, en gran parte, por k vía de los sistemas axiomáticos, cuyo concepto se expondrá en el presente capítulo. Este punto de vista representa el avance natural del desarrollo científico, entronca los casos particulares y concretos en situaciones generales de las cuales aquéllos » derivan, y esencialmente permite conocer m ejor lo que antes se sabía de un m odo fragmentario. C om o ejemplo de sistema axiomático se desarrollan el álgebra de Bool< y una introducción al sistema axiomático de Peano que conduce al estudio del número natura!. Finalmente se presentan las estructuras algebraicas de monoide y semigrupo.

7.2. SISTEMAS AXIOMATICOS 7.2.1.

Concepto

Un sistema aiiomático, en matemática, consiste en los siguientes objetos: i stérmíms prim itivos constituidos por elementos, conjuntos o relaciones. cuya mturaleza no queda especificada de antemano. ii ) axioma, que son funciones preposicionales cuam iñcadas, relativas a las variables que representan a los términos primitivos; es decir, son propiedades a las cue deben satisfacer dichos términos primitivos. Los axiomas definen implícitamente a éstos. iii) definiciones de todos los términos no primitivos. iv) teoremas, es decir, propiedades que se deducen de los axiomas. Anexada al sistema axiom ático se admite la lógica bivalente, con cuyas leyes es posible demostiar los teoremas de la teoría. Cuando se sustituyen las variables o términos primitivos por significados concretos, se tiene una interpretación del sistema axiomático; si esta interpretación es tal que los

axiomas se convierten en proposiciones verdaderas, entonces se tiene un m odelo de) sistema axiomático. E n este caso, todo lo demostrado eri abstracto en el sistema es válido para el m odelo, y nada hay que probar en particular. Ejem plo 7-1.

Consideramos el siguiente sistema axiomático. i ) términos primitivos. Un conjunto A, y una relación R definida en A, es decir, R C A X A No se especifica aquí cuál es el conjunto ni se define la relación.

¡i 1axiomas: A. R es reflexívrt en A A» : R es antisimetrica en A A3 : R es transitiva en A Los tres axiomas pueden resumirse en el siguiente: R es una relación de orden amplio en A. i

iii> definición: en A se considera la relación S. tal que { a , b ) e S ■» 0 , a) e R

ív) teoremas. Demostramos la siguiente propiedad relativa a SS es reflexiva en A.

V a : a € A => (a . a ) e R

por A i

(a , a) e R => ( a , a) e S por iii)

Entonces, po r la ley del silogismo hipotético, resulta V a : a e A =» (a , a ) e S y en consecuencia, S es reflexiva en A. Con procedim iento análogo, se demuestra que S es antisimétrica y transitiva en A. Esto significa que la relación 5 . inversa de R, determina un orden amplio en A. Damos las siguientes interpretaciones para este sistema axiomático: a) Si A es ei conjunto de los números reales, y R es la relación de “m enor o igual" se verifican A ¡ . A; »y A j La relación S es, en este caso, la de “m ayor o igual” . Se tiene un modelo dei sistema axiomático. ñ¡ Sí A es el con ju nto de las partes de un conjunto U. y R es ia relación de inclusión, entonces valen los axiomas v se tiene o tro m odelo de! sistema. 7.2.2.

Propiedades de Sos sistemas axiomáticos

No toda colección arbitraria de térm inos primitivos y de propiedades relativas a ’ éstos caracteriza un sistema axiomático. Es necesario que de los axiomas no se derive ninguna contradicción, es decir, debe cumplirse la propiedad de compatibilidad o no contradicción. Sí esto no ocurre, o sea, si en el desarrollo del sistema aparecen dos axiomas o teoremas contradictorios, entonces el sistema es incompatible o inconsisten­

te. La compatibilidad es eventualmente imposible de probar, ya que habría que agotar todos los teoremas de la teoría y com probar su no contradicción. La compatibilidad de un sistema axiom ático puede probarse indirectam ente exhibiendo un m odelo. O tras propiedades son aconsejables en tod o sistema axiom ático, aunque 110 necesarias, Sin entrar en detalles, mencionamos las siguientes: independencia del sistema, en el sentido de que ningún axiom a pueda probarse a expensas de los demás. La no independencia de un axioma no niega la consistencia del sistema. Sea un axioma A, de u n sistema com patible. Diremos que A,· es independiente si y sólo si el sistema que se deduce del dado sustituyendo a A¡ por su negación, es compatible. Si un sistema axiom ático compatible es tal. que de sus axiomas se deduce la verdad o ia falsedad de todo enunciado relativo a la teuiut. entonces se dice que es com pleto o saturado. Por otra parte, si dos modelos cualesquiera de un sistema son isomorfos respecto Je las relaciones y operaciones definidas en los mismos, entonces se dice que dicho sistsma es categórico. Se dem uestra que la categoricidad de un sistema implica la saturación del mismo.

7.3. ALGEBRA DE BOQLE 7 .3.1. C oncepto El sistema axiomático que conduce al álgebra de Boole consiste en i ) términos prim itivos son: un conjunto B # denotan con + y .

y dos funciones que se

ii ) axiomas Bj : + y . son dos leyes de composición interna en B. B2 : + y . son conmutativas. B3 : + y . son asociativas. B4 + y . son distributivas, cada una respecto de la otra. B¡ : Existen n eutros en B, respecto de + y de . que se d enotan con 0 y 1, respectivamente. B6 : T odo elem ento a e B adm ite un com plem entario a ’, tal que a+a’= 1

y

a. c ’ = 0

E je m p lo 7-2

Los siguientes son modelos del álgebra de Boole: a) Si U es un conjunto, entonces el co n ju n to P (U ), de las partes de U, c a í la unión e intersección, constituye un modelo de álgebra de Boole. siendo el conjunto 0 y el

mismo U ios neutros para dichas operaciones. Además, todo subconjunto de U admite un complementario que satisface B6 . b)

Si B —j ” 1 , 2 , 3 , 5 , 6 , 1 0 , 1 5 , 3 o } = ( . r e N ¡ x | 3 o ) , + = V denota el

m ínim o común múltiplo, y . = a significa el máximo común divisor, entonces resulta otro modelo de álgebra de Boole, donde los neutros son, respectivamente, 1 y 30. 7.3.2. Dualidad en el álgebra de Boole Se llama proposición dual correspondiente a una proposición del álgebra de Boole, a la que se deduce de ella intercambiando los signos de las operaciones + y . , y sus elem entos ñtíuuüs 0 > i . Así. los duales de los seis axiomas relativos a la operación + son los seis correspondientes de la segunda operación. El principio de dualidad establece que el dual de un teorema del álgebra de Boole es también un teorema del mismo sistema axiomático. * 7.3.3. Propiedades del álgebra de Boole Sea ( B . + . . ) un álgebra de Boole. Demostramos los siguientes teoremas·· 1) Idempotencia a e B => a . a = a a e B =*■ a . 1 = a

por Bs

=» a . (a + a ' ) —a

por Bfi

=> a . a + a . a ’ =fl

por B<,

=* a . a + 0 = a

por B6

=* a . a = a

por Bj

Por el principio de dualidad se tiene *

1’)

aeB=*a+a=a

11) I’ y B6 tenemos a + 1 = a + (a + a*) = (a + a) + a ’ — = a + a ’= 1

Por dualidad resulta II') a . 0 = 0 III)

Ley involutiva. a e B => ( a ’)’ = a

aplicando sucesivamente Bs , B6. B2, B4 , B , , B6 , B6 , B4 , B6 y B5 resulta

(a') = (a’)’ + 0 = (a') + (a . a’) = = (a’)’ + ( a’, a) = [(a’)’ + a ’] . {{a’)’ + a} = = [«' + (*’)’].[« + (
- ( a + a'), [a + (a‘)'] = a + (a’ , (a’)’] - a 4 -0 = a IV ) Le\ le De Morgan i a + b)' —a . b ‘ CunsideErmos (a + b ) . ( a \ b ’) = ( a ’ . b ’) . ( a + b) =

= [(a ’, b' ) , a \ + [(«’. b ’) . b\ = = {{!>’. a ’) · a ] + [(a ’ · b ’) . b } = [ b ' . ( a’ , a)] + [a ’. (&'. b )] =

-

= ( b ' . 0) + ( a ' . 0) = 0 + 0 = 0 O sea ( a + b ) . ( a ’ . b ’) = 0

(1)

( a + 6 ) + («’ . & ’) = 1

(2)

Análogsmente. se llega a

De ( 11 j (2) resulta

(a 4- b f = a ’. b ’ La »urna dual es IV*’.

7.4.

i a . b ) '~ a + b~

SISTEMA AXIOMATICO DE PEANO

7.4.1. Teoría de Peano El sistema axiomático de Peano es esencialmente ordinal, y define al conjunto de los números naturales algebrizado con las operaciones de adición y multiplicación, salvo isonorfismos. Consiste en

i ) términos prim itivos: un objeto, que se denota con 1 un conjunto N # $ una función, llamada “siguiente” o “sucesor” , que se simboliza con “s” . ii ) axiomas Aj : el objeto 1 es un elemento de N, es decir 1 eN A; : la función ' siguiente ' es una aplicación invectiva de N en N - i i ;. s ■ N -* N —-.i i f·

es

1-1

Este axioma establece a) todo elem ento de N tiene un sucesor y sólo uno. b) el 1 no es sucesor de ningún elemento de N. c) si dos elem entos de N tienen el mismo sucesor, entonces son iguales. Aj : Principio de inducción completa. Si S es un subconjunto de N que contiene al 1, y al siguiente de h siempre que contenga a /?,entonces S = N, Es decir» si S C N es tai que satisface le S h e S =*■ s (h) e S

, entonces S = N

Coincide con 6.4.2., y puede expresarse, de acuerdo con 6.4.3. de la siguiente manera: si P es una propiedad relativa a los elem entos de N que satisface i ) P ( I ) es V ü ) P {h) es V =>F (s (/i)) es V, entonces P («) es V para todo « e N . iii)

definiciones

I) de adición a) a + 1 = s (a) cualquiera que sea a 6 N. b'l a + $ (b ) = s (a + b) cualesquiera que sean a y b en N. ü iife m ultiplicación a ’* a \ - a para sodo J í N . b»
a

neN =»a+n

está unívocamente

determ inado en N, para to d o n e N. En efecto, si S es el subconjunto de N form ado por los elementos n para los cuales existe y es único a + n, se tiene j ) n = i => a + i = s (ff) p0r I a) y por A2 , está unívocam ente determinado, es decir, 1 e S. i i ) Hipótesis) h e S. Tesis) s (h ) e S. D emostración) h e S => a + h está unívocamente determ inado por la definición de S. Por A 2 y por la definición I b), s (a + h ) = a + .? (h ) está unívocamente determ inado, y en consecuencia s (h ) e S. Luego. S = N, y por consiguiente, la adición definida en I) es una ley de composición interna en N. Con criterio análogo puede probarse que II) satisface la definición de ley de composición interna. De acuerdo con lo demostrado, si denotam os 2 = s (1)

3 - s (2 ), etc., para efectuar 3 + 2, procedem os así:

3 + 2 = 3 + s ( l ) = s (3 + I) = s
Si consideramos las sucesiones 1 0 , 1 1 , 1 2 , 1 3 , .......... 1 , 1 / 3 , 1 / 9 , 1/27 vemos que satisfacen los axiomas de Peano, pero si los algebrizamos de acuerdo con su teoría, se tiene 11 + 1 0 = 12 1/3 + 1 = 1/9 siendo estos resultados distintos de los de la aritm ética ordinaria. Se tienen, así, dos modelos del sistema axiom ático, los cuales son isomorfos a N = ^ 1 , 2 , 3 , . . . j . En últim a instancia son dos representaciones distintas de N. 7.4.2. Propiedades Demostramos los siguientes teoremas de la teo ría de Peano. 1. L a fu n ció n sucesor es sobreyectiva. En otras palabras, to do número natural distinto de 1 es el siguiente de otro.

Hay que probar que la imagen de la función sucesor es el conjunto N — Sea S el conjunto de las imágenes de los elementos de N. i ) 2 = x (1) pertenece a S. ii) Si h e S, entonces s (Ii) e S. En efecto: h e S => h e N => i { h ) e S

2. La adición es asociativa en N (a + b) + n = a + (b + n ) .

Demostración) i ) h = J =» (a + b \ + 1 = s (fl + b) = 1)

= a + s ib ) = a + {b

Por i i i ) {a +

b) y I

a)

b) + h = a + ib + h ) ^

(a + b ) + s ( h) = a + [b + s (/»)]

En efecto (a + b) + s (A) = s [(a + 6 ) + h j

=

= s {a + (b + /(}] = a + s (b + h)

=

= a +¡6 + s (/i)] Por I b ) , hipótesis y I b). 3. La adición es conmutativa en N. Lo demostramos en dos situaciones: I) n + ! = 1 -+ n i ) « = 1=>1 + 1 = 14- 1 i i ) h + 1= 1 + h => s (A) + 1 = 1 + s (h ) En efecto 1 + s (/i) = 1 + ( h + i ) = ( l + h ) + 1= = s(h) + 1 Aplicando la definición I a), la asociatividad y I a). II)

a + n - n +a

i ii)

) n = 1= * a + l = l + a

por I)

a + h = h + a =» a + s ( h) = s (h ) + a

Demostración) a + s (fi) = a + (h + 1) = (a + //) + 1 —

= (h + a) + 1 = h + (a + 1) = = /? + (! + a) — (h + 1) + a = i ( h) + a

En virtud Je I a), asociatividad, hipótesis, asociatividad, i ), asociatividad y I a). 4. E l 1 es neutro para la multiplicación, es decir, n . 1 = 1 . n = n. En efecto, i )//= 1 =»!.)=].] = ] ii ) //. i = í . /i => s (h) . 1 = 1 , s (h) Sea s (/ i ). 1 = s (fi) = h + í = = h .1 + S= ! ,h

+ 1=

= i , i Oí ) Se han utilizado íí a), la hipótesis y II b). 5. La muUplicación es distributiva respecto de la adición. Se trata di probar que cualquiera que sea n e N (a + b) , n —a . n + b . n

i ) n - 1 =>( a + 6 ) . l = a + 6 = a . 1 + 6 . 1 poilla) i i ) (a \ - b ) . h = ¿ a . h + b . h => (a + b ) s { h ) = a . s ( h) + b . s ( h ) En efecto (a + b ) . s (h) = (a + b ) . h + (a + b)

=

= ( a . h + b , h) + (a + b) — (a . k + a) + (¿s. h + b) — = a . s ( h) + b . ${h) donde hemos aplicado 11 b), la hipótesis, conmutatividad y asociatividad de la sdición, y II b). 6. La muUplicackón es asociativa. Id . b) , n ~ a ( b . «) I ¡ n ~ i * \u . í » . ¡ ~ a . s - a . i b . i )

de acuerdo con II a), i i ) (a b) , h - a . ( b . h) => (a. b ) . s (h) ~ a . [Z>. s(7i)j Sea (a. b ) . s ( h ) = (a. b ) . h + ( a . b) = =■ a . ( b . h) + a . b —a . ( b . h + b') =

po¡ aplicación de II b), la hipótesis, distributividad y II b).

7.4.3. Otra forma equivalente de la teoría de Peano En el conjunto N no figura como elemento el 0. Peano mismo lo introdujo en otra versión de su sistema axiomático, y muchos autores prefieren incluirlo. En este caso no se modifican los axiomas esencialmente, salvo que el 1 se sustituye p o r el símbolo 0. Sin embargo, hay que cambiar las definiciones de adición y multiplicación, las cuales adoptan las siguientes expresiones: !) Adición a)

a+0= a

b)

a + $ (b) -

a)

a. 0 ~ 0

b)

a . s ( b) ~ a . b + a

$ (a + b)

í l ) M u ltip licac ió n

En este caso se define 1 = s (0). Ejemplo 7-1,

Demostrar a, n = a + a + . . . + a = y

L

¡=1

n

Hacemos inducción sobre n. i X a i =l

i ) « = 1 =*> a . I = a =

h a. h — ¿ a i -1

i í ) Hipótesis) Tesis) Demostración)

a. (h + l ) -

r

í=l

a

1

Por definición fi b í a , (h + l ) ~ a h -f-a Por hipótesis a . ( h + I) =

£ a +a ¡=i

Por propiedad de la sum atoria a.(/i + l ) =

2 1 a i«!

a

De este m odo queda demostrada la expresión habitual de producto de un número nauiral a. p o r n e N, que se da como definición en la escuela secundaria. E jem plo 7-5.

Se define la potenciación en N, mediante a)

a1 —a

b)

«*<*> = a * . «

Demostramos las siguientes propiedades por inducción com pleta, i ¡ D is trib u th iü a d respecto del producto. l a . b )n = a ".b "

i ) n = 1 =» < a. b ) ‘ = a . b = a x . b x por la definición ai it ) ( a . b f = a h . b h =» { a . b f m = as W - ¿ !
(a . b f
Hacemos inducción sobre n i )

n — 1 =* a m . a { = am

por las definiciones a) y b). nj

am . a h = a m * h

En efecto, si aplicamos sucesivamente la definición b), asociatividad del producto, la hipótesis y las definiciones b) de potenciación v adición, resulta am . a*i h) = am (ah . a) = (am . a h ) . a = = c¡m-*-h

a

_

a s{m +h) = ¡¿m + s ( h

)

E jem plo 7-6.

En N s e define la relación de menor, mediante a < b < *3 x e N / b = a + x

D em ostram os las siguientes propiedades: í) T odo núm ero natural es m enor que su sucesor, es decir n < s (n)

(1 )

i ) n = 1 => 5 (1) = 1 + 1 => 1 < s (1) p o r las definiciones a) de adición, y (1). i i ) h < s ( h ) => h + 1 < s (h + 1) En efecto s(/¡ + 1) = s (1 + / i ) = 1 + s ( h ) = = 1 + (h + 1) = (/2 + 1) + 1

Entonces, por (1) h + I < s ( h + 1)

i*I *? ~ ¡’I.« 114 f L4Í IViaWlVIl \j.v

ai rmfifítít.'a

U U < I u i w« v i ü . ^ i v j í «

a
y

b < c =* a < c

En efecto, por (1) a
y

6 < c =»

'

=» 3 x , >· e N / 6 = a + x *\ c = i» + y => => c = (a 4- .v) + y => c = a + (x + v) =* a < c ■IV) Leyes de m onotonía a) b)

=*a+c<6+c a< b

n c < d =>a + c < b + d

Demostramos a) a < b =» 3 - t f N ¡ b = a + x =>

=> 6 + c — (a + x~) + c =» b + c = ( a + c ) + x => b + c < a + c La parte b) queda com o ejercicio.

7.5. ESTRUCTURA DE MONOIDE 7.5.1. C oncepto de estructura algebraica En su forma más simple, una estructura algebraica es un ob jeto matemático consistente en un conjunto no vacío y una relación o ley de composición interna definidas en él. En situaciones más complicadas puede definirse más de una ley de composición interna en el conjunto, y también leyes de composición externas. Según sean las propiedades que deban satisfacer dichas leyes de composición, se tienen los distintos tipos de estructuras algebraicas, que s o n , exactamente, sistemas axiomáticos.

7.5.2. Estructura de monoide No existe un criterio uniforme en cuanto a la definición de monoide. Claude Chevalley, er Fundamental Concepts o f Algebra, lo introduce como un conjunto dotado de ina ley de composición interna, asociativa y con elem ento neutro. Adoptamos h definición que expone Enzo R. Gentile, en Estructuras algebraicas, monografía b° 3 de la O.E.A., en la que se exigen m enos condiciones. Definición

El par M , »}. donde M ^ í , y * es ana función, es un monoide si y sólo si * es una ley de composición interna en M. En este sstema axiomático los términos primitivos son M y * , y ei único axioma establece que * es una función de MJ en M. Son modelos de monoides los conjuntos N, Z, Q, R y C, con la adición ordinaria de números. En cambio, el par (N, - ) no es un monoide, ya que la sustracción no es ley de composicióninterna en N. El par (N *), donde * está definida mediante a * b - máx f a , b \

tiene estructura de monoide.

7.6. ESTRUCTURA DE SEMIGRUPO

Definición El par (A, *), donde A ¥= <¡>y * es una función, es un semigrupo si y sóio si * es ley interna y asociativa en A. En otras palabras, un semigrupo es un monoide asociativo. En parti«ular, si la ley de composición es conm utativa, entonces el semigrupo se iiama conm ita tivo: y si existe elemento neutro, se dice que el semigrupo tiene unidad. El e¡em enteneutro sueie llamarse identidad. Ei par (fl , + j es un semigrupo conmutativo, sin neutre·. En cambie (N„ , +* '>ene elemento neutro 0. El objeto (N , .) es un semigrupo conmutativo, c o i elemento neutro o identidad igual a 1. Ejemplo 7-7,

Sea (M ,* ) un monoide. Se definen los elementos identidad (o neutro) a izquierda o derecha, mediante i ) f t ' M e s identidad a izquierda ·«· V a : a e M => e * a = a i i ) e ; M es identidad a derecha « · V í : a e M => a * e — a Es claro que los elementos de identidad, si existen, lo son respecto de *.

Demostrar que si c ’ y e ” son identidades a izquierda y a derecha del m onoide, entonces e ’ = e ”. e ” = e ’ H=e” = e ' Por ser e ' neutro a izquierda, y e " neutro a derecha. Si un m onoide tiene identidad a izquierda y a derecha, se dice q u e tiene identidad. E! monoide (Z. ■-) tiene sólo identidad a derecha, y es 0. pues V x · x e Z «· x ~ 0 - x Ejemplo 7-8.

Sean A =£ <¡¡. y Aa e! conjunto de todas las funciones de A en A. es decir AA = [ / ■ / / : A -* A } Entonces, si "o" denota la composición de funciones, el par (A a . «) es un semigrupo con elemento neutro o identidad. En efecto A t : f e A A a g e Aa =» / : A -*A

a g : A -» A => g « / : A -*A

Es decir, la composición es ley interna en A a . A2 : asociatividad / , g , h e Aa =» (h o g ) * f = h o ( g a f ) ya que la composición de funciones es asociativa. A 3 : Neutro es fA £ Aa , ya que fA ° f ~ f ° ¡A ~ f Ejemplo 7-9,

cualquiera que sea

/ e Aa .

»

Sea (M. *) un monoide con neutro o identidad e e M Por definición i ) a t eM es inverso a izquierda de a e M, respecto de *, si y sólo sí a,

*a = e

i i ) a2 e M es inverso a derecha de a e M, respecto de *, si y sólo si a * a 2 —e ii

i ) a ’ es inverso de a respecto de *, si y sólo si lo es a izquierda y a derecha, es

decir a’* a = a * a ' = e

í.n este caso, se dice que a e M es un elem ento inversible del monoide Sea el monoide definido por la siguiente tabla:

a b c d

i

b c d

a á b c

a b c d

a c d b

a d c b

De la observación de la tabla surge que el neutro es b. Determinamos los inversos: c k ïïicn iu s a b c d

inversos a izquierda c b d d

a derecha -

b a c

inversos _

b -

d

TRABAJO PRACTICO VII 7-10. Sea un sistema axiomático compatible, con los axiomas A l( Aa , . . . , A„. Par

definición, el axioma A, es independiente si y sólo si el sistema cuyos axiomas son A , , A2, . . , , A,_ 1, — A i , . . , , A„, es compatible. Demostrar la independencia de los tres axiomas del ejemplo 7-1. 7-11. Se considera el siguiente sistema axiomático

i ) términos primitivos: A # 0 y R C A2' i i ) axiomas A i - a ^ b => ( a, b ) e R A 2

'■ ( a ,

b)

e

R =» a

A3 ( a , b ) e R

v

(b , á ) e R

£> (b , c) £ R => {a , c) £ R

a

A 4 : c (A) = 4 D emostrar í. (a.b)eR =*(b,a)0R II.

x¥=a

a

a

(a

, b)eR

=* (a , x ) €

R

* ( x

, b)

£

R

7-12. Sea (B , + , . ) un álgebra de Boole. Demostrar

I. 1’ = 0 A 0 ’ = 1 II. El complementario de a e B, es único. III. a + ( a . b ) — a ·

a

a . (a + b) = a

7-13. D em ostrar que en N n o existe neutro para la adición, es decir

aeN

a

b e t i = * a + bJ=a

7-14. D em ostrar en N a^b

=>a+n¥=b+n

7-15. D em ostrar que la multiplicación es conmutativa en N en las siguientes etapas:

i ) n. 1 = 1 . n ii) s(b). n = b . n + n iii) a. n = n . a

7-16. D em ostar en N

i ) i < b => a . c < h . c i i ) j< . b a c < , d = > a . c < b . d iii) <. 2> = 1 =» a = 1 a 6 = 1 7-/7, Ver¡fie:r si (M , * )es un monoide en los siguientes casos i ) M= N a * b —a ~ b

ii) M = 1 a * b —a - b

iii) M = R 2 *2 A * B = A —2 . B 7-18. Demostrar que en todo semigrupo se verifica

i | (a * b ) * c * d = a * ib * c) * d —a * b * (c · d ) ii

] am * a n = a m+n

siendo am = a * a * . . . * a y m f N

y neN

7-19. Sean (A , *) un semigrupo y tj> ¥= S C A. Por definición
sub-senigrupo de (A , *) si y sólo si (S , *) es un semigrupo. Demostrar que la intersección de toda familia de sub-semigrupos de A. es un sub-s*migrupo de A. 7-20. Sean (A , *) un semigrupo y S una parte no vacía de A. La intersección de todos

los sib-semigrupos que contienen a S se llama sub-semigrupo generado por S, y

dome cada S¡¡ es un sub-semigrupo que contiene a Y Si S= A, entonces se dice que A esta generado por S, Verilear, para (N , + ) y (2 , +)

Capítulo

ESTRU C TU R A

DE

8

G R U P O

8.1. INTRODUCCION *

La estructura de grupo es un sistema axiom ático básico y fundamental de la matemática y puede ser encarada imponiendo condiciones a las estructuras de m onoide o de semigrupo, introducidas en el capítulo anterior. No obstante, como es habitual, la proponem os a q u í independientem ente de aquellos conceptos, los cuales suelen obviarse en los cursos básicos. Después de encarar las propiedades generales y exponer ejemplos, se estudian los subgrupos, grupos finitos, grupos cíclicos, los homomorfismos de grupos y el concepto de grupo cociente.

8.2. EL CONCEPTO DE GRUPO 8.2.1. Definición d e grupo Sean un conjunto no vacío G, y una función *. El par (G , *) es un grupo si y sólo si * es una ley interna en G, asociativa, con neutro, y tal que todo elemento de G admite inverso respecto de * . . fin forma simbólica, se tiene Defmieion

(G , *) es un grupo si y sólo si se verifican los axiomas Gj

* : G - ~*G

G 2 . Asociatividad V a V b V c : a , b , c e G =*■ [a * b) * c = a * (b * c) G 3 . Existencia de elem ento neutro o identidad 3 e e G / Va : a eG = > a * e = e * a = a

I:STRUC'1URA 1)1·: GRUPO G_¡ . E xistencia de inversos

V a e G , 3 a ' e G / a * a ’ = a ' * a —e Si además se verifica G s . Conm utatividad V aV 6:a,6eG =>a*b=b*a entonces el grupo se llama conm utativo o abeliano. Ejemplo 8-1.

En el conjunto Z de los enteros se define * mediante ~

~

¡

\*l

Ei par (Z. *1 es un grupo abeliano. En efecto, se verifican: G¡ . * es ley interna en Z. por (1) G, , * es asociativa, pues ( a * b ) * c —( a + b + 3 ) * c = a + b + 3 + c + 3 = —

a + b + c + 6

(2)

a * ( b * c ) = a * ( b + c + 3) — a + b + c + 3 + 3 = = a + b+ c + 6

(3)

De (2) y (3) resulta (a * b) * c = a * (b * c)

C3

Existe neutro en Z respecto de *

Si e es neutro, entonces a * e = a. Por d ) a + e + 3 = a y resulta e = — 3. Análogamente se prueba que —3 es neutro a izquierda. G4 . T o d o elem ento de G es inversible respecto de * Si a ' e s inverso de a. entonces debe verificarse

a * a ’= e Teniendo en cuenta (1) y que e = — 3 a + a ’ + 3 '= — 3

Luego a ’ = — 6 —a

De m odo análogo se prueba que es inverso a izquierda. Ci, . * es conmutativa, ya que a* b = a + b + 3 = b + a + 3= b *a

ele acuerdo con (1) y con la conmutatividad de la suma ordinaria en Z. E jem plo 8-2.

i ) Las siguientes interpretaciones constituyen modelos de grupos abelianos: (Z , + ) , (Q , + ) , (R , + ) , (C , + ) como la operación es la suma, se llaman grupos aditivos. i i ) En cambio no son modelos las interpretaciones (N, + ) pues no existen neutro en N, ni inverso de cada elemento. (N0 , + ) ya que si bien existe neutro 0, los demás elementos carecen de inverso aditivo.
y

(R —{ o } , .)

E je m p lo , 8-3.

Sean A #= <¡>, y T (A ) el conjunto de todas las funciones bíyectivas de A en A, es decir T (A ) =
es la composición de aplicaciones.

En efecto G , . La composición de aplicaciones es ley interna en T (A), pues /

a

g e T (A) => g a f e T (A)

ya q ue la composición de aplicaciones biyectivas de A en A es una función biyectiva de A en A, según 4.6.5. G 2 · La composición de funciones en T (A) es asociativa h . g , f e T (A ) =* h o (g o / ) = (h o g·) o f

por lo demostrado en 4.6.2. G 3 . La función i A e T (A) es neutro para la composición. La función identidad en A, definida en 4.5.2. mediante ia

(*) = x

para todo

x

e A,

es neutro a izquierda y a derecha, ya que es biyectiva de A en A, es decir, es un elemento de T (A), y satisface / o íA = i A a f —f

cualquiera que sea f e T (A)

■ ¡rWmmmsmr: -asgae. -

.

ESTRUCTURA DE GRUPO

228

como es fácil verificar usando la definición de composición y de funciones iguales. G4 . T odo elemento de T (A) admite inverso respecto de la composición. S i / e T (A ),entonces es una función biyectíva de A en A, y admite in v e r s a /'1, por 4.7.2. II, la cua! es también biyectíva de A en A, es decir, un elem ento de T (A). El grupo (T (A) , *) se llama grupo de las transformaciones de A. 8.2.2. Cuestiones de notación Sea (G , *) sin grupo. . i ) Si la '.ey de composición es aditiva, suele denotarse con el signo + , y si a e G. entonces su inverso aditivo suele llamarse opuesto y se indica a ’ = -a, ü ) Si la ¡ey * es multiplicativa se la indica con el inverso multiplicativo de cada elemento a se escribe a’ ~ a l y se dice que es el recíproco de a. iii) En ocasiones, al referimos al grupo (G , *), cometiendo u n abuso de lenguaje, diremos el grupo G, sobreentendiendo la referencia a la ley de composición interna.

8.3. PROPIEDADES DE LOS GRUPOS 8.3.1. Unicidad del neutro y del inverso De acuerdo con lo demostrado en 5.3.5. y 5.3.6., el elem ento neutro es único y el inverso de cada elemento es único. 8.3.2. Regularidad Los elementos de todo grupo son regulares. Hipótesis) (G , *) es grupo a · b —a * c b* a ~ c *a

Tesis) b — c Demostración) Por hipótesis a* b~a *c

■·

Componiendo a izquierda con a \ inverso de a a ’ * (á * b ) = a ’ * (a * c)

Por asociatividad (a’ * a) * b = {a * a) * c

P or G4 e* b= e* c

Por G 3 b= c

Análogamente se prueba la regularidad a derecha. La regularidad significa que la ley cancelativa es vàlida para todos los elementos del grupo, 8.3.3. Ecuaciones en un grupo Sea (G . *) un grupo. Entonces, cada una de las ecuaciones b * x - a y x * b ~ a admite solución única. Componiendo los dos miembros de la primera ecuación a izquierda con b \ se tiene b' * i b * x ) — b ’ * a

Por Gs ( b ’ * b) * x — b ’ * a

Por G 4 e * x ~ b' * a

Por G 3 x = h'*a

La unicidad de la solución se debe a la unicidad del inverso, y al hecho de que * es una función de G 2 en G. El trabajo es análogo considerando la segunda ecuación. En particular, se presentan estos casos: i ) Si el grupb es aditivo, ia ecuación x * b —a se traduce en *1?- u y ia solución hallada, es .v = «/->· ( - j>), ¿onde

-x e! inverso de b Por definición, la suma de un elemento con ei opuesto de o tro se fiama diferencia entre los mismos, y se escribe

x = a —b Vinculando este resultado con la ecuación propuesta, queda justificada la trasposición de términos de un miembro a o tro de una igualdad. ii ) Supongamos un grupo multiplicativo, y la segunda ecuación, que se convierte en

/»3 com poner a derecha con el inverso multiplicativo de b, resulta la solución x = a . b~l

í , - definición, el producto de u n elem ento del grupo p o r el inverso multiplicativo le i i: »se llama cociente y se expresa

E ntonces, en los grupos multiplicativos numéricos es lícito el pasaje de factores 10 nulos de un miembro al otro, com o divisores.

*3.4. Inverso de la composición

c

Ln todo grupo, el inverso de la composición de dos elem entos es igual a la r -sicián de los inversos en orden perm utado. Se 'rata de p ro b ar que (a * b )' = b ' * a '

A rres de entrar en el detalle de la demostración, proponem os dos resultados útiles i » Cualquiera de las ecuaciones a * x = a

ó x * a = a admite la so lu ció n x = e

Si consideramos la primera, después de com poner a izquierda con a \ se llega a ■: = e, y análogamente en el segundo caso componiendo a derecha con el mism o a ’. íi) Cualquiera de las ecuaciones a * x = e ó x * a = e admite la solución x - a ’, a * x - e; luego de componer a izquierda con a ’, se tiene x = a ’. El mismo •es.'.: :do se obtiene a partir de ia segunda ecuación, después de com poner a derecha '' -1-J . «i) Demostramos ahora la proposición inicial, rlipóíesis) {G , *) es grupo Tesis) (a * b )' —b ’ * a ’ Demostración) Una traducción de la propiedad i i ) es la siguiente: si la composición de dos tíos as el neutro, entonces cada u no es el inverso del otro. Sea entonces (a * b) * ( b ’ * a ’ )

Aplicando sucesivamente G 2, G4 , G 3 y G4 , resulta (a * b) * ( b ’ * a ’ ) = a * (b * b ’ ) * a ’ * e * a = a ’ * a = e f p er i¡ ), se tiene (a*by = b’ * a ’

Y también ( ¿ ’ * a ’ )’ = a * b

8.4. SUBGRUPOS

I i

8.4.1.

S ]

Definición

|

El subconjunto no vacío H, del grupo G, es un subgrupo de (G , *) si y sólo si (H , *) es grupo. Ejemplo 8-4.

'

i ) Todo grupo (G , *) admite como subgrupos al mismo G, y ai conjunto cuyo único elemento es e. Ambos se llaman subgrupos triviales de (G , *). i i ) ( Z . + ) es subgrupo de ( Q , +).

'

iii) El conjunto de los enteros pares, con la adición, es un subgrupo de (Z , +). En cambio no lo es el conjunto de los enteros impares con lamisma ley, ya que la suma de dos enteros impares es par y no se verifica G ! . iv) E! grupo de los cuatro elementos de Klein consiste en el conjunto A=

. b , c , d~ j , con la ley de composición definida por la tabla a b c d a b c d

a b c d

b a d e

c d d c a b b a

Su construcción es simple, observando las diagonales y la sim etría que se presenta respecto de ellas. Es fácil verificar que el grupo es abeliano, y que cada elemento se identifica con su inverso, siendo el neutro a. Un subgrupo de (A , *) es H = < ./ . b j . En cambio, no lo es el subconjunto H' = ( a , b , c j ya que b * c = d 4 H \ 8.4.2. Condición suficiente para la existencia de subgrupo En el ejemplo 8-4 se ha verificado que no toda parte no vacía de un grupo es un subgrupo. Además de ser una parte no vacía, la definición exige que tenga estructura de grupo con la misma ley de composición. Ahora, bien, esto obliga a la investigación de los cuatro axiomas, y resulta conveniente disponer de alguna condición más económica, que permita decidir si se trata de un subgrupo.

j j

|

i 1

Teorema

Si H es u r subconjunto no vacío del grupo (G , *), que verifica aeH a

b e H =*■ a * ft’ e H

entonces ( H , *) es un subgrupo de (G , *). Hipótesis) (C , *) es grupo 0ÉHCG
b e l i =>a *£>’ e H

Tesis) ÍH , * i es subgrupo de (G , *) Oemostraciói) Debemos probar que se cumplen los axiomas de grupo para H, I) La asoíiatividad de * en H se verifica por ser H C G, II) El neutro pertenece a H. En efecto H^ ( ¡ > = > B a e H

Por hipótesis y definición de inverso aeH

/

a e ü = » a » í ’ e H ·» e e H

III) Todo elemento de H admite su inve n o en H. Sea a e H . Por II y por hipótesis e e H a aeH =>e*a’ e H =>s'eH IV) H es ¿errado para la ley *. Sean a zì i a b e H. Por III, por hipótesis y p o r inverso del inverso, se tiene aeH

a

¿eH

=»aeH

a

b ’ e H = > a * ( b ’ Y e H=*

=* a * b e H

Lo demostrado en I, II, III, IV prueba que (H , *) es un subgrupo de (G , *). Esta condición suficiente es obviamente necesaria. Se la utiliza en la práctica de la siguiente manera: de acuerdo con la hipótesis del teorema, para que H sea un subgrupo de (C , *) debenos probar i )H±0 ii)HCG iii)

Si dos elementos cualesquiera pertenecen a H, entonces el primero, compuesto con el inverso del segundo, debe pertenecer a H.

Ejemplo 8-L

En R3 definimos la suma de pares ordenados de números reales (a,b) + ( c , d ) = ( á + c , b + d )

(1)

Comprobamos que (R 2 , + ) tiene estructura de grupo abeliano, ya que se verifican: G t . La suma de pares definida en (1) es ley de composición interna en R 2 . G2 . Asociatividad. [ ( a , b) 4- ( c , d )] + ( e , / ) = (a + c , h + d ) + ( e , / ) = = ((a + c) + e , ( b + d) + / ) = (a + (c +· ( ) , b + ( d + / )) — = ( a . b ) + ( c + e . d + / ) = ( a , b ) + {(c , d ) + ( e , f )

Por (1), asociatividad de la suma en R y (1). G3 . Neutro es el par (0 , 0) , ya que te . b) + ( 0 , 0 ) * i 0 . 0) + (a , b ) - i a . b ) G4

Inverso aditivo u apuesto del par ( a , b), es el par (—a . —b), pues (a , b) + (— a , — b) — (— a , — b) + (a , b) = (0 ,0 )

G s . Conmutativídad. (a . b) + ( c , d ) = (a + c , b +
Por (1), conmutativídad de la suma en R , y (1). (R 2 , +) es el grupo abeliano de los pares ordenados de números reales con la suma ordinaria de pares. Ejemplo 8-6.

Sean el grupo (R 2 , + ), y

Es claro que un elem ento de R 3 pertenece a H si y sólo si la segunda com ponente es el duplo de la primera. Comprobaremos que (H , + ) es un subgrupo de (R J , +). Verificamos las hipótesis de la condición suficiente demostrada i i Hsé 0, ya que ( i . 2i e H, s i ) H C G p o r la definición de H. iii) Sean ( a . h ) e H y (c , d ) e H; debemos probar que ( a . í») + (— c’ , - d) e H. En efecto: (a , b)

6

H

a

( c .

d) e H =» b = 2 a

a

d = 2

=» (a - c , b — d) e H =» ( a , b) + (— c , —d ) £ H

=» b

e

—

d = 2

(a —

c) =*

'

Hemos utilizado la definición de H, la sustracción en R, la definición de H, y la de suma de pares.

jiá lic a m e n íe , H consiste en la recta que pasa por el origen, de ecuación y = 2x

y

E je m p lo 8-7.

En el ejem plo 5-8 está comprobado que el conjunto R * xm de las matrices reales de n alas y m colum nas, con la adición de m atrices, es un grupo abeliano. En particular, si m = n , las m atrices se llaman cuadradas, y se tiene que (R "* " , + ), es el grupo abeliano de las m atrices cuadradas n X n, con la adición. C onsiderem os el conjunto H de las matrices cuadradas, tales que at j = a¡ ¡, llamadas

sim étricas, es decir H = { A e R " x" / « » = * * }

^Esto significa que los elementos que son simétricos respecto de la diagonal a¡ ,·, con í = l , 2 , . . . , n , son iguales. R esulta (H , + ) un subgrupo de ( R n * " , + ) . En efecto i ) La m atriz nula N f H =* H & 0 i i ) H C R n *n por definición de H. iii) Sean A eH

a

B e H => a( í —Uj i

a

b f j - b j i ■**·

=> a¡¡ - b u = ají - bj¡ => A + (— B) e H

Hemos aplicado la definición de H, la sustracción en R y las definiciones de suma de matrices y de matriz opuesta. (H , + ) es el subgrupo de matrices simétricas n X n.

Ejem plo 8-8.

Sean (G , *) un grupo, a un elem ento fijo de G, y H el conjunto de los elementos de G que conm utan con a , es decir H = | .v € G / a * x = x * a j> Resulta H un subgrupo de (G . *), i ) como a * e - = e * a = > e e H => H =?=0 i í ) H C G por definición de H. *

iii)

Sean m y n elementos de H, Debemos probar que m * n ' e H. Por definición de H m eH

a

n e H = *a*m = m*a

=*a*tn = m * a

a

a

a * n = n * a =>

n ' * a ’ — a ’ * n ’ =>

=> (a * m) * ( n ’ * a ’ ) = ( m * a) * ( a’ * n ’ ) =» => a * ( m * n ’ ) * a ’ = m * (a * a ’ ) * n ’ =*■

=» a * (m * n’ ) * a ’ = m * n ’ ** => a * ( m * n ’ ) = { m * t i ’ ) * a =*■

=» m * íi 'e H . Además de la definición de H hemos utilizado inverso de la composición, la asociatividad, G4 , y la composición a derecha con a.

8.5.* OPERACIONES CON SUBGRUPOS 8.5.1. Intersección de subgrupos Sean (G , *) un grupo, y ^G,j> ¡eJ una familia de subgrupos de (G , *), Teorema

La intersección de toda familia no vacia de subgrupos de (G , *) es un subgrupo. Hipótesis) (G , *) es grupo. { c , } es tal que ( G ¡ , *) es subgrupo de G, V i e I Tesis) ^ i í

G, , * j es subgrupo de (G , *)

Demostración) i ) Vi G,·, pues ( G , , * ) es grupo entonces, po r definición de intersección e e C lG j => H G í # ^ leI iel ii) 0

Gj C G por definición de inclusión

iií) Sean

n a y

b e» IG, *> a eG ¡ Í€l

a

b e G j , V i =*

=** a * b ' e G,·. V i => a * h ' e f \ G¡ ¡el

Por las definiciones de intersección y de subgmpos. 8.5.2. U nión de subgmpos La propiedad anterior no se verifica en el caso de la unión. Para ello basta un coatraejetnplo: sean H , y H2 dos subgrupos distintos de (R 5 , +), y no triviales, como lo muestra ia figura

Si x e H ,

a

y e H j , entonces

xeH , UH2

a

jie H j U H 2

y sin embargo x + y $[H, U H j

Es decir, la unión no es cerrada para la suma de pares, y por lo tanto no es m i '-.- iu í . d e (R 2 ,+ ) . Ejemplo 8-9.

Sean ((i' , *) y (G” , **| grupos, En ei producto cartesiano G = G’ X G” se define la ley de composición “ · ” mediante ( a , b) · (c , d ) — (a * c , b * ’ d )

(!)

Entonces (G . · ) es un grupo, llamado producto de los dados. Ver itleamos ios axiomas: G , . · es ley interna en G — G' X G " por (1) (, , , · es asociativa, pues [(a , b ) · (c , cf)] · (e , / ) = ( a * c . b * ' d ) ·

(e ,/) =

= ((a * c) * e , (b * ' d ) * ' f ) = (a * ( c * e) , b * ' ( d * ' / ) ) = = (a , b ) * (c * e , d * ' / ) - (a , b ) · ((c . d) · {e , f ) \ Hemos utilizado sucesivamente: ia definición (1). G ; en G' y G ” , y la definición ( 1). G 3 . Neutro es ( e ’ , e "), es decir, el par ordenado de los neutros de G' y de G". En efecto, p o r (1 ) y G 3 en G ’ y G " (« . b) * ( e’ , e ” ) = ( e ’ , e ” ) · (a , b ) = (a , b) G4 . Inverso de (a . b) es (a 1 . b '*), donde a ' 1 y b~l son los inversos de a y b en G' y G " respectivamente, pues ( a , ¿) · (a * 1 . b ~ l ) = (a~' , b ~l ) · (a , b) = (e‘. e ”)

*

8.6. HOMOMORFISMOS DE GRUPOS

8.6 !. Concepto Retomamos, en el caso particular de ¡as « stíu a u ra s de grupo. !c expuesto en 5 4 ?n relación con los morftsmos. Sean ahora los grupos (G . *) y ( C , *'), Definición

La función / : G -*■ G ' es un homomorfismo si y sólo si 1a imagen de la composición en G es igual a· la composición de las imágenes en G \ En símbolos / : G -*G '

es homomorfismo ·**■ f (a * h ) = f ( a ) *' f ( b )

l n un diagrama

f i a * b ) = f (a) * ' f ( b )

l ¡v.rticular, el morfismo puede ser monomorfismo, epimortlsmo, endomortismo, isotr. ■í,' »rao o autom orfism o, de acuerdo con las definiciones 5.4.2. Ejemr'.o 8-10,

S- ,:s !c*s grupos aditivos (R 2 x í . + ) v ( R . +). Lú ,n e i ó n / : R 2 * 2 - » R definida por

= { a + d ) + i > t ¡ + ({ ) = f \ J ^

d b l J + f {! ; m -Lf>

11: I (tj.

= /(A )+ /ÍB ). Hemos aplicada la definición de suma de matrices, de f a s o c i a , dad de la suma en R y la definición de / .

conmutatividad y

8.6.2. Propiedad Si / : G -*■ G' es un hom om orfism o de grupos, entonces la imagen del neutro del primer grupo es el neutro del segundo grupo. Se traía de probar que f i e ) = e\ donde e’ denota el n eutro de G’. En efecto cualquiera que sea x e G, por G3 , se tiene x * e= x

Fn ion jes f ( x * e) = f ( x )

l».vr definición de homorfismo

J ix) *'f (e) ~ f (x) Por G 3 en el grupo (G ’ , *')

f{x) *'f(e) = f{x)*'e’ Y por ley cancelativa en G’ resulta

f(e) = e’

8.6.3. Propiedad Si / ; G -* G' es un homomorfismo de grupos, entonces la imagen de! inverso de todo elem ento de G es igual al inverso de su imageti. Es decir

Cualquiera que sea .r en G, por G4 x * jf~ ' = e

Entonces

f{x*x~l)=f(e) Por definición de homom orfism o y po r 8.6.2. se tiene

f(x) *'f(x'l)= e’ Por 8.3.4. i i ) resulta

/(* '* ) = [A *)]'1 , En un diagrama

«

.8.7. NUCLEO E IMAGEN DE UN HOMOMORFISMO DE GRUPOS 8.7.1. Núcleo de un hoinom orfbino de grupos Sea / : G -* G' un morfismo de grupos. La determinación de los elementos del primer grupo, cuyas imágenes por / son el neutro del segundo grupo, conduce a un subconjunto de G, llamado núcleo del honromorfismo. Definición

Núcleo del homomorfismo / G -* G' es la totalidad de los elem entos dte G. cuyas imágenes p o r / 'se identifican con el neutro de G \ Es decir N (/)= (.ie G //W

= « '}

Es claro que el núcleo de / e s la preimagen de De acuerdo con !a definición, se tiene x e N ( / ) o /( jc ) = e‘

Esto significa que para verificar que un elem ento pertenece al núcleo es suficiente probar que su imagen es e’. Ejemplo 8-1/.

El núcleo del homomorfismo del ejemplo 8-10 consiste en las matrices 2X2 tales que

En consecuencia, al núcleo de / pertenecen todas las matrices del tipo [a

b]

Lr - a j En este los ¿Semen tos tle ¡a diagonal son opuestos o de suraa cero, a de íra/.a nula, ssenúo por definición la tra/a de una matriz la sum a de los «iem enu» de la diagonal. En general, la notación para la traza de una matriz A e R ” x" es

8.7.2. Propiedad

El núcleo de todo homomorfismo de grupos es u n subgrupo del primero. Hipótesis) (G , *) y (G’ , *’) son grupos. / : G ->G ' es un homomorfismo.

Tesis) (N ( / ) , * ) es subgrup o de (G , *). Demostración) i ) Por 8.6 .2 ./ ( e ) = e ' => e e N ( / )

N ( / ) ,* = 0

i i ) N ( / ) C G por definición de núcleo. iii) Sean a y í> e N (/) = > /( a ) = e ’

~ / ( « ) = * ' /· = > f(a )-e ’

a

/(£>) = e '* >

| / ( » ] * ‘ = e " ‘ =*

a

=

=»

*» f i a * 6 " 1) = e' *» .·? * b ~ l e N i f l Por definición de núcleo, imagen del inverso (8.6.3 .), inverso del neutro, com­ posición en G’, homom orfism o y definición de núcleo. En virtud de la condición suficiente 8.4.2., resulta (N ( / ) , *) un subgrupo de ( G , *). 8.7.3. Propiedad El homomorfismo / G ·* C es invectivo, es decir, un monomorfismo si y sólo si ei núcleo es unitario. Sea N ( f ) el núcleo del homomorfismo f : G -* G' La demostración es inmediata, porque si en el núcleo hubiera otro elemento distinto de e, entonces dos elementos distintos de G tendrían la misma imagen p o r/ , y no seria una función inyectiva.

En efecto, sean x, y e G tales que f ( x ) = / ( y ) . Componiendo con el inverso ú e f ( y ) , en G’ / ( * ) *’ [/<>>)}-* = / ( > ) * ’ P or 8.6.3.. y p o r C4 en ÍG ’ . *') f í x ) * ' f i y ~ > i - e‘

Por definición de homom orfism o f ( x * y ~ l ) = e’

P o r definición de núcleo x * y ~ l e N (/)

Por ser N ( / ) =

resulta x *y~x = e

Com poniendo a derecha con x * y ~1 * y = e * y

O sea x - y

y / e s inyectiva. 8.7.4. Imagen de un hom om orfism o de grupos Sea / : G - * G ' un m orfism o de grupos. D efinición

Imagen de un morfismo de grupos es la totalidad de las imágenes de los elem entos del primer grupo. La imagen de un m orfism o de grupos es la imagen de la función que lo define, es decir I { / ) = ( / < * ) eG’ /xeG j· O bien l(/)

=\yeG'i"3xeG

a

f ( x) = y \

Es claro que si el morfismo es un epimorfismo, es decir, si / es sobreyectíva. entonces 1 ( / ) = G ’. En el siguiente diagrama se tiene una representación de N ( / ) y de l ( f )


(G’ . *’)

En el caso del ejemplo 8-10, / e s un epimorfismo, pero no es monomorfismo.

8.7.5. Propiedad La imagen de todo homom orfism o de grupos es un subgrupo del segundo, Hipótesis) (G , *) y (G’ , *’) son grupos. / : G -*-G’ es un homomorfismo. Tesis) (1 ( / ) , * ' ) es subgrupo de (G1, *) Demostración) i ) C o m o /( e ) —e ' => e 'e 1 { / ' ) => I ( f ) · * · n ) l ( / ) C G · por definición de 1 { / ) ni) Sean v,

a y2 e I(/)

Entonces, por definición de imagen,, 3 t ¡ y x 2 en G, tales que / ( * , ) = Vi

'■ /(-V2 ) = F2

Por inversos en G" / ' Í X i ) = J ,

A

[ / ( X

2) r

'

=

V

’1

Por inverso de la imagen

Por composición en G ’ f { x i ) * ' f i x ¡ >) = } \ * ' y ¡ '

Por homomorfismo r, -I. . ”1 /(X, * x 2 ) = J 1 * Vj

y com o X\ * x ¡ ! € G. p o r definición de imagen, se tiene r , *'>■*' e I ( / ) En consecuencia, según 8.4.2., resulta que (I ( / ) . * ’) es un subgrupo de (G ’ , *’) E jem plo 8-12.

Sea G 3 el conjunto de las tres raíces cúbicas de la unidad, es decir, de las soluciones complejas de la ecuación x3- 1= 0 El factoreo del primer miembro conduce a

U - l ) . ( x 2 + x + 1) = 0

Entonces x - 1 = 0 ó x 2 + .x + 1 = 0

La resolución de estas ecuaciones conduce a las tres raíces cúbicas de 1: -Y! = 1

.

X 2 = ----- ,

. V3

+ /

x3= -

“

1

. x/3

- I —~

que llamamos, respectivamente, Zo.Zi y z 2. En el capítulo i l veremos que las n raíces «-simas de la unidad están dadas por la fórmula 2 k r > , 2kr.¡, — eos —----- -5- 1 s e n -----------= e n n

n

donde k toma los valores enteros 0 .1 , 2 ,. . . , w ~ 1. En el caso particular de las raíces cúbicas, la fórmula anterior adopta la expresión 2kn , . 2k n ii r i zfe = eos — ------- ( - 1 sen — -— = e H 3 3 donde k = 0, S, 2. Por definición de raíz cúbica se verifica zh e G j ·» -^ = 1

Nos proponemos probar que G3 es un grupo multiplicativo abeliano. y además obtener un método para el producto. i ) (G 3 . . ) es grupo conmutativo. i) El producto es ley interna en G 3. En efecto 3 i . zh e G 3 a z, e G j =» = 1 a

3

1,

= 1 =*= i**

=» (Zh . Z¡f = 1 => Zft , 2; e Gj II) El producto es asociativo en C 3. A quí nada hay que demostrar, pues G , C C, y el producto es asociativo en C. IIIí Existe neutro para el producto en G 3. y es zr, ~ « e 0 + .*sen 0 - ! IV)

Todo elemento de G 3 tiene inverso multiplicativo en C¡3 -i h

(z v h)

= 1 =>

■ * ^ ') 3 = l - s " ' e G j V) El producto es conmutativo en G 3, por serlo en C. i i ) Vamos a establecer un método para obtener el produ cto de dos raíces cúbicas de k unidad.

Sean

Zi e G 3 => z , = e

zm e C 3

a

, 2 In 3

a

zm = e

donde 0 < /< 3

a

0
Entonces 2 i h m} n

( 1)

Si dividimos i +■ m por 3, se obtienen ? y r, únicos, tales que !+ m = 3q + r

(2)

0

De (1) y (2 )

2(3q*r)n

-

2rn

z ,. zm = e , 2rw 2rn = (eos 2 <7 *r + / sen 2 <7 » ). e 3 = 1 . e 3 = 2rir I.-rr= e = z r donde 0 < r < 3 La tabla de la composición es, entonces

Ejemplo 8-13,

•

Zo

Zl

Zo 2-1

Zo

Z¡

Z2

Zl

z2

Zo

22

z2

Zo

Zl

Z2

,

Sean ¡os grupos íZ , +') y (G.t . ). y la función / ■

2 -* G 3

definids por 5a asignación

/ (a-)= r r, siendo r el resto de la división d e .t por 3, es decir, el entero no negativo que satisface las condiciones { .x = 3 . q + r 0 < r< 3 Vamos a probar que tal aplicación es un homomorfismo, es decir

f \ r la definición de / í f ( x ’ ) = zr .

0 ) < / ( * " ) = *,·· donde

[ f ( x ’ + x " ) = zr

1' f x ’ = 3 q’ + r ’

A

(2) < x ” = 3 q " + r ” ’ U ’ + x ” = 3¿7 + r

0 < r ’< 3

h, Q < r ” < 3 a

0 < r< 3

Pur ser |G 3 , . ) un grupo, de acuerdo cor ei ejemplo 8-12, tenemos I zT- . : r ·· = v

siendo

r ’ + r ” = 3 ? ’" + /·’" A

0 < /·"’ < 3

(3)

S um ando las dos primeras relaciones de (2) x ’ + x " — 3 ( q' + ¿?” ) + ( r ’ + /■")

(4)

Por (3 ) y (4) x ’ + x ” = 3 ( q ’ +
= 3 ( ? ’ +
(5)

Por la unicidad del cociente y resto, de (5) y de la última igualdad que figura en (2) se tiene a r = r“’

, 1

Es decir zr ·” = r . Se verifica entonces / ( x ’ + x ” ) = z r = zr .» = zr·. z r - = f ( x ’ ) . f ( x " ) y el hom om orfism o está probado. E jem plo 8-14.

Determ inaremos el núcleo y la imagen del homomorfismo del ejemplo anterior. x e Z => 3 q

a

r

únicos ¡ x — 3 q + r

a

0 < r< 3

Por definición de / / ( x ) = zr Por definición de N ( / ) x e N ( / ) «> / (x ) = z0 = 1

r= 0

k

Luego x e N (/)

x = 3 q « -3 Ix

Es decir N ( / ) = { . t 62 / 3 l x ) Por otra parte, obviamente» es I ( / ) = G 3 y el homomorfismo es un epimorfismo. Ejemplo 8-15.

Verificar que los grupos (G 3 , .) y (R , °) son isomorfos, siendo R el conjunto de las rotaciones de! triángulo equilátero, alrededor de! centro, que llevan la figura sobre sí misma. En R se tienen las rotacion es R 0, R x y R 2 . que son la identidad, y las rotaciones de 120° y 240°. En G 3, los elem entos son r 0. z i y - 2 , oon el significado dado en los ejemplos anteriores. La fu n c ió n / : G 3 - * R , tal que f ( Z i ) = R¡ es un isomorfismo respecto del producto e n G 3 y d e la composición en R pues f{zt ,zm) = f ( r ) = R r

8.8. RELACION DE EQUIVALENCIA COMPATIBLE

8.8.1. Concepto Sean (G , *) un grupo, y una relación de equivalencia en G. La definición 5.5. establece que ~ es compatible con * si y sólo si a ~ b '\ c ~ d = * a * c ~ !b *d

8.8.2. Teorema fundamental de compatibilidad Si ~ es una relación de equivalencia compatible con la iey interna del giupo (G , *), Q

entonces existe en el conjunto cociente— una única ley de composición interna que la aplicación canónica / : G

tal

es un homom orfism o, y adem ás^— , * J es

grupo. Este teorema es un corolario de lo dem ostrado en 5.5.1.

Definición Q

El grupo — a que se refiere el teorema se llama grupo cociente de G por la relación de equivalencia compatible con *. Ejemplo 8-16.

Consideremos el grupo aditivo de las clases de restos módulo rt En este caso Z „ = { C , T , . . . ,h~—~í } De acuerdo con e¡ ejemplo 5-12, se sabe que la congruencia módulo n es compatible con la adición in Z: entonces, p o r el teorema fundamental de compatibilidad, se tiene en el conjunto cociente Z 3 una única ley de composición interna inducida, llamada suma de clases, tal que la aplicación c a n ó n ic a /: Z - * Z n es un hom om orfism o, siendo i Z n , ©) el grupo aditivo de las clases de restos módulo n. Para sum ar dos clases en Z„ procedemos así ® V a f i u ) & f { v ) = f ( u + J')

(1 )

Dividiendo u + v y n se obtienen q y r. tales que u+ v~ nq+ r

a

0

< r< n

(2 )

De (2) y (1 ¡

u ^ v ~ f ( n q -t-r) = / ( r ) - r ya que ( u 4- v ) - r — n q =» n\{u + v) — r ·» => u + v ~ r

8.9, SUBGRUPOS DISTINGUIDOS

8.9,1. Concepto Sean (Z , + ) el grupo aditivo de los enteros y el subconjunto H de los múltiplos de 3. es decir H = íie Z / 3 ¡x j Si consideramos la congruencia módulo 3 en Z, entonces la aplicación canónica / : Z -*■ Z 3 es un homomorfismo de (Z , + ) en (Z 3 , + ) cuyo núcleo es, precisamente, H. En este caso, decimos que H es un subgrupo distinguido de G.

D efinición

P! cnhgrupo (H . *) de (G , *) es distinguido si y sólo si existe un grupo (G ’ , *’) y un hom om orfism o/ : G - > G \ cuyo núcleo es H. En símbolos H C G es distinguido « - 3 G ' grupo, y / : G -»■ G’ hom om ofism o / N ( / ) = H Subgrupos distinguidos de todo grupo (G , *) son el mismo G y . En efecto, en el primer caso. la aplicación / : G -*G

definida po r /(.y) = e para todo x e G ,

es un homomorfismo. ya que / ' ( a * b } ~ e ~ e * e - f i a ) ~ /< h )

Además, se verifica que N ( f ) = G , En el segundo caso, basta definir / : G -* G mediante f ( x ) = x, cualquiera que sea x en G, y se tiene un hom om orfism o, pues , f i a * b) = a * b - f { a ) * f { b )

y com o N ( / ) = , resulta
el teorema fundam ental de compatibilidad sabemos que) — ,

'

Jes el grupo cociente

de G por la equivalencia, y que la aplicación canónica G fr : rG -*■ — es un homomorfismo respecto de * y Por lo que antecede es obvio que el subgrupo (N ( / ) . * ) es distinguido, y queda caracterizado en términos de la relación de equivalencia compatible con la ley del grupo G. Existe una estrecha conexión entre las relaciones de equivalencia compatibles con la ley de composición interna de un grupo y los subgrupos distinguidos de éste. El teorema que sigue aclara la situación. 8,9,2Teorema. E l’conjunto £ de todas las relaciones de equivalencia definidas en G, compatibles con ia ley interna de! grupo (G , *). es coordinable al cortiuiUo € de todos los subgrupos distinguidos de fG , * j. Hipótesis) (G , *) es grupo

E = | £ i I £ ¡ es de equivalencia en G . compatible con * ) G = { H, / H, es subgrupo distinguido de G } x

*

Tesis) E es coordinable a G Demostración) Definimos í> : E ->G mediante la asignación $ ( £ ,) = N (/( )

(1)

G ’iido N (/,·) el núcleo del hom om orfism o f ¡ : G->· -— asociado a la equivalencia £ /· ' .'heñios probar que 4>es biyectiva. i ) lnyectividad. Sean £ ,· y £ / e E tales que £* =£ £ ;. C om o £,· y £ ; son subconjuntos distintos de G 2 , existe (x , j ’) e G 2 tal que (x,j>)e£i

a

(x,y)

a

( x ..v ) e £ j

o bien v\éíi

R azonam os sobre el primer caso, es decir, suponiendo x £¡ y

a x £ ,-.y

-,r ia com patibilidad de las relaciones de equivalencia, com poniendo a izquierda con '1 ( v * 1 * x ) Z j { y ~ l *>■)

a

( y " 1 * x ) j £¡ ( y ' 1 * y )

Entonces, por G 4 ( y ' ' * x ) £ ,
e

Por definición de aplicación canónica e imagen del neutro / , ( v' 1 * x ) = f ¡ ( e ) = e ‘ a f j ( y ' y* x ) ^ f j ( e ) = e ' Por definición de núcleo resulta O·"1 * x ) e N ( / i )

a

(jT ‘ * * )< N (/} )

Es decir N (/,)* N U } ) Y de acuerdo con (1) se tiene $ (£ ,·) * $ ( £ ; ) En consecuencia 4>es inyectiva. ii)

Sobreyectividad Sea H e G. es decir, un subgrupo distinguido de (G , *). Entonces, por definición, existe un grupo (G’ , *’) y un hom om orfism o / : G ~*-G’ tal que N ( f ) ~ H = f x e G ! f ( x ) = e ’}

Se trata de probar que existe £ e E, tal que «!>(£) = H

Para esto definimos la siguiente relación de equivalencia en G Xj Z x 2

( x 2)

(1)

£ es compatible con *, pues £x2

y t Z y 2 = * f ( x i ) = f ( x 2)

a

a

/ ( J i ) = / ( > ' 2) =>

= > f ( x ¡ ) * ' f ( y t ) = f ( x 2 ) * ' f ( y 2 ) =* = > /(*

1

* > 'l) = / ( X

2

*>’2 )

por composición en G ’ y p o r ser / un homomorfismo. Por (1 ) resulta ( x. *.Vj) £ (.v2 * y 2 )

Es decir: £ e E, y se verifica $ f £ ) = N (/)« = H Entonces 4» es sobreyectiva. De i ).y si) $ resulta bíyectiva, y en consecuencia E~G Notación

Si £ es una relación de equivalencia compatible con la ley del grupo (G , *), y H el G G subgrupo distinguido asociado, escribimos— = — , y se tiene el cociente de G por el subgrupo distinguido H. Ejem plo 8-17.

Investigamos los subgrupos distinguidos de (Z , +). Si H es un subgrupo distinguido genérico, de acuerdo con la definición, existen un grupo G ’ y un hom om orfism o *

/ : Z -+ G ’ tal que N ( / ) = H

Una posibilidad es H = ÍO > según 8.9.1. f ^ Si H , entonces existe x # 0, tal que x e H , y resulta 0 - . r = - j r e H , es decir, en todo subgrupo no unitario de Z coexisten los elementos rió nulos x y —x, lo que significa que en H hay enteros positivos. Entonces, por el principio de buena ordenación, hay en H un elemento mínim o positivo, que llamamos n.· Consideramos ahora el conjunto A de todos los múltiplos enteros de n, y afirmamos que H = A. En efecto i ) Sea x e H; lo dividimos por n y se verifica x = n. q + r

Entonces

r = x - n . q

a

0 < r<« (1)

Por definición, s i « e N y ? e Z , entonces si q > 0

n . q = n + n + ... + n

9 n , q = ( - « ) + ( - n) + . . . + (— n )

si q < 0

q n.q

0

si q —0

Es decir, en todo caso n . q e H. y^por
=> x e A

Así se tiene H C A. i i ) Sea j e A . Por la definición de A se tiene x — n . m con m e 2 . Ahora bien +

si m > 0

m

« .« 7 = 0

si m = 0

En todo caso, se verifica x = « . m e H, es decir, A C H. Luego H — A. Esto significa que todo subgrupo distinguido de (Z , + ) se identifica con el conjunto { o | , o bien con el conjunto de los múltiplos de un entero positivo.

8,10... SUBGRUPOS NORMALES O INVARIANTES 8.10.1. Definición El subgiupo (H , * )d e (G , *)es normal o invariante, si y sólo si se verifica jc e G

a

y e H =>x * y * x ~ ¡ e H

Ejemplo 8-18.

Todo subgrupo de un grupo conmutativo, es invariante. Sea (H , * i un subgrupo de (G , *), y éste conmutativo. Entonces

V yV xixe G

A yeH

= í * j c '1 * ; =

= e *y = y e H

y p o r definición (H , *) es invariante. 8,10.2. Teorema.Un subgrupo es distinguido si y sólo si es invariante. I) (H , *) es distinguido *» (H , *) es invariante. Sea ~ h relación de equivalencia en G, compatible con *. asociada al subgrupo distinguido H. Entonces H = N ( / ) = !„* e G f f ( x ) = e ’j = \ i x e G ¡ x - e '

(ii

P o r (1)

Por la compatibilidad x e G ^ x

* y ~ x * e = * x * y ~x=>

=* x * y * x~l ~ x * x~l =» x * y * x~l ~ e =» =*x * y * x ' 1 e H

y en consecuencia (H , *) es distinguido. » ) ( H , · ) es invariante =>· (H , *) es distinguido. C om o (H , *) es invariante sabemos que jc e G

a y e H =*■ x * y * x ~ * e H

a ) Definimos en G la relación ~ mediante x t ~ x 2 ■» Xi * x ~2 e H a x \ l * x 2 e H

(2)

* Se verifica: i ) Reilexividad.

x e G =#■ x * x * ! e H a a· t i ) Simetría.

-1 Xi ~ x 2 =».V( * x 2 e H x~ l

= > x2

* x i

*x~2 l

fH

* x j f H a

a x A

' 1

_! x2

* x e H => x ~ x

* x 2 e H =» * X~t

*

x t l * x i e H => x 2 ~ x ¡

Por (2), por ser H invariante, po r G 4 y definición (2).

x2

* X2

e H *

iii) Transitividad X¡ ~ X2 A Xi ~ X3 =>

eH

a

=>x, * x ’ ! e H

a

-1

=> „r j *

x 12 * x 2 e H a x 2 * x 3 1 e H a j - j 1 * x 3 e H => -1 -1 -i * x 2 * x 3 e H a x t * x 3 * x 2 * ^ 3 e H =» X j 1 * x 3 e H =>x x ~ x 3

P o r (2), com posición en H, G 4 y (2) b ) ~ es com patible co n * en G , pues x t ~ jí2 *=*■ Xi ♦ x~2 e H x[

a¡

~ x ’2

(3 )

P o r (2)

‘ £ H -*·.■? i *(.v j * r ’ ' ) * r ' 1 e H

P or (2 ) y por ser H invariante. De Í3) y (4) x¡ * ( x ’ * x ’2 ) * x t * Xi * x , C , -i „ = >x ¡ m \ x l * x 2 j * x 2 e t t =>

(4)

e H =*·

=*■ (x , * x l’ ) * ( x 2 ’ l * X j l ) e H *» ** (*i

* * 2)-* e H

Por G4 , G 2 , e inverso de la composición. Análogamente se prueba que ( x , * x ¡ ) _1 * (x j * * í ) e H Luego xt * x\

~ x 2 * x 'j

c) C om o E es coordinable a C , existe u n subgrupo distinguido G ’, asociado a ~ tal ,ue G’ = N ( /) = { x e G / x ~ e } = H Luego H es distinguido.

8.11. GRUPO COCIENTE ASOCIADO A UN SUBGRUPO $.11.1. Relación de equivalencia y cociases Sea (H , *) un subgrupo de (G , *). Definimos en G la relación ~ mediante. a~b<*a’ *be H

(1)

Es decir, dos elem entos están relacionados si y sólo si la composición del inverso del prim ero con el segundo pertenece a H. La relación (1 ) es de equivalencia pues verifica i

) Reflexividad a e G = > a ‘ * a ~ e e H =*■ a ~ a

i i ) Simetría. = > a ’ * b e H =* ( a ’ * b f € H = > b ’ * a e H = > b ~ a

De acuerdo con (1), por ser H un grupo, por inverso de la composición, inverso del inverso, y por (1). iii) Transí tividad. a -~b a

6 ~e

a ¡)’ * c e H => a ’ * b * b ’ · e e H =*

= > a '» c e H = » a ~ c Por e! teorema fundam ental de las relaciones d e equivalencia, existe una partición de G en clases de equivalencia, siendo Ku = ( x e G / u Ahora bien u ~~x =* u ’ * x = a e H

x —u * a

En consecuencia Ku = ^ x e G ! x = u · a

a

a eH j

Ku recibe el nombre de cocíase a izquierda del subgrupo H en G. Si denotam os con los símbolos « H y H a los conjuntos ■ «H Ha =

* x /A :e H j *u f x e h}

G entonces es fácil verificar que K u = «H, y el conjunto cociente— es el de las coclases a izquierda de H en G.

8.11.2. Compatibilidad y grupo cociente Sea H un subgrupo del grupo conmutativo G. La relación de equivalencia definida en G es compatible con la ley de composición *, pues

a ~b

a

c ~~d =*■ a ’ * b

eH

a

c’* d e U

=*

=> a ’ * b * c' * d e H = > c ’ * a ‘ * b * d e H *=> ^ Ui

* cY * ( b * d) e H =*■ a * c ~~b * d

G De acuerda con el teorema fundamental de compatibilidad, existe e n 77 una única G ley de composición interna tal que la aplicación canónica / : G -*■— es un r q H epim orfism oyf 73-, *’ ) es un grupo conmutativo. (T

El conjunto 7 7 . dotado de la ley de composición inducida, se llama grupo cociente H de G por la relación de equivalencia (1). La m anen de operar con las coclases es la siguiente: (hH ) *' (vH) = / ( u ) * ’ / ( v ) = f ( u * v) = (u * u) H Ejemplo 8-19.

Sean elg-upo abeliano(R 2 , + ) y el subgrupo H = |( x , x ) / x e G eom étrcam en te, H corresponde a la bisectriz del primer cuadrante. La relación de equivalencia(¡) se traduce en ( a , ¿) ~ (t·, d ) (—a , — b) + ( c , d ) € H *> ( c , d ) = ( a , b) + ( x , x)

Se tiene entonces K(a,&) ~ ( a . b) H = ( ( a + x . b + x ) / x e r } Vamos £ determinar la cocíase de (1 , 2) € R 2. A ella pertenecen los pares i x . y ) que satisfa:en f.v . y ) = (1 , 2i + (a . a) con a e R . Resulta el .sistema de ecuaciones paramétricas x = 1+a y —2 + a

y eliminardo el parámetro a se tiene y — 2 = x - 1, es decir, y - x + 1, que corresponde a la recta paralela a la primera bisectriz que pasa p o r el p u n to ( 0 ,1 ) . El conjunto cociente, que representamos a continuación, consiste en el haz de rectas del plano cuya dirección coincide con la de la primera bisectriz. Un conjunto de índices es ■= ( (0 , v) / v e r ) , o sea, el eje de ordenadas.

En el grupo cociente, la ley inducida es la suma de coclases, y se efectúa así ^"(0,y )

^{0,y')

^ (0 ,c + 1'1)

O bien (0 , v) H + (0 , i'*) H = (0 , v + v ') H Es claro que la cocíase neutra es K.(0 0) = H y la opuesta de t>H es (— v) H.

8.12. GRUPOS CICLICOS 8.12.1. G eneradores de un grupo

t Sea S una parte no vacía del grupo G, Definición

Subgrupo generado por el conjunto no vacío S C G es la intersección de todos los subgrupos que contienen a S. Si S es el suhgrupo generado por S, entonces podemos escribir S=

H

a,os

Hí

donde H,· es un subgrupo de G que contiene a S. Es claro que el subgrupo generado por S es el m ínim o subgrupo, en el sentido de inclusión, que contiene a S. Si S = G, entonces se dice que S es un generador de G.

.'■.12.2. G rupo cíclico Sea (G , * ) un grupo. definición

El grupo G es cíclico si y sólo si es generado p o r un elem ento. Es decir ___ G es cíclico ** 3 a e G / G = ^ a D’tsmos que el grupo cíclico G, generado por a , es infinito si y sólo si no existe un .'•’tero positivo ni tal que am = a * a * _ _ * a = e . Si n es el m enor e n tero positivo que verifica a~ = e, entonces ei grupo G consiste en ■ ie le m e n to s distintos

se dice que es cíclico de orden n. Es obvio que el subgrupo de (G . *). siendo G un grupo arbitrario, generado por .· e G. es cíclico, D efinición

El elem ento a e G es de orden infinito si y sólo si el subgrupo generado p o ra es infinito. El elem ento a e G es de orden n (natural) si y sólo si el subgrupo generado por a es de orden n. r.iem plo 8-20. t ) El grupo (Z , + ) es cíclico, pues está generado por el entero 1. y su orden es infinito, pues no existe ningún número natural n que verifique

1 + 1 + g. . . + 1 = 0 i i ) El grupo (Z„ . + ) es cíclico, ya que está generado por 1, y d e orden n pues T + T + ... + j =6. n

8.13. TRASLACIONES DE UN GRUPO Sea a un elem ento del grupo G. D efinición

Trasiación a izquierda del grupo (G , *) por el elemento a e G es la función fa · G -»■ G tal que f a { x ) ~ a * x

Puede demostrarse fácilmente que toda traslación a izquierda del grupo G es biyectiva. Análogamente se define la traslación a derecha. Si T (G ) = { / : G + G / / es biyectiva^ , entonces de acuerdo con el ejemplo 8-3, (T ( G ) , o) es un grupo, llamado de las trasformaciones de G. Toda traslación a izquierda de G es una trasformación de G, es decir aeG

=> /„ e T (G )

Si G es finito, entonces el conjunto T (G) es el de permutaciones de G, E ie m p b 8-21.

Sea G un grupo. Entonces la función g : G -*■ T (G ) tal que g ( a ) = f a para todo a e G ,

es un morfismo inyectivo de G en T (G).

'

i ) g es un m orfismo pues Va Vb Vx e G : (¿ (a * b ) ) ( x ) = / 0„ b ( x ) ~ a * b * x ~ = /a

[fb

(*)1 =

(fa

°

fb

Hx)

y po r definición de funciones iguales resulta g(a* b)= fa° f b

ii ) g es 1 — 1. Sea a e N (g). E ntonces g (a) = f a = iG por definición de núcleo. Como a * a = f a (a)~ iG (a)=a

Se tiene a *a= a *e *

Y cancelando resulta a-e

Es decir: N (g) = | eJ y en consecuencia g es 1 — 1.

8.14. GRUPOS FINITOS 8.14.1.

Indice de un subgrupo

Sea G un grupo. Por definición, G es finito si y sólo si c (G) = n. O rden de un giupo finito es el número cardinal del mismo.

Sea H un subgrupo ,del grupo finito G. El grupo cociente — , de lascoclases a izquierda de F, es finito y su cardinal se llama índice del subgrupo H en G. 8.14.2, Teorema Si H es un subgrupo de orden k del grupo finito G, entonces toda cocíase a izquerda de H tiene k elementos. Hipótesis) (G , *) es grupo finito. ÍH . *) es sibgrupo de (G . *), de orden k. Tesis} c k para todo u e G . Demostración! Debemos probar que H y «H son coordinables, y para ello definimos / : H -*í/H mediante / ( a ) = u * a i ) / e s i a restricción de Ja traslación a izquierda f u : G en onsecuencia es inyectiva.

G al subconjunio H. y

i i ) /essobreyectiva. pues para todo.i- e u H existe x = u ’ * y . tal que /

íX ) = , / '( « ’ * V) - U * U ' * X ~ X

En consecuencia,/es biyectiva y

c (uH) = c (H) = k.

8.14.3. T eonm a de Lagrange. El orden de tod o subgrupo de un grupo finito es divisor del orden del grupo. En efecto, si H es un subgrupo de G y o (H) = k, por 8.14.2. el cardinal de toda cocíase a izquierda de H es k, y como éstas son disjuntas resulta o (G) — m . k = m . o (H) F.s decir o (H) i o (G).

TRABAJO PRACTICO VIII 8-22. Determinar en cada caso si el par (G , *) ss grupo

a)

G = | x ¡ x — 2k + 1

a

k e Z j*

* es el producto ordinario b)

G=

/ x = 3k,

a

fc e z j1

* es la adición en Z c)

G = { a + b s f 2 / aeQ

a

í> £ q }

* es el producto habitual d)

G = ^ x / x = 2k

a kez}

* es el producto 8-23. Verificar que los siguientes conjuntos son grupos cíclicos multiplicativos, y

determinar sus generadores i ) G = { S,-1 ii)

G = <[ 1 , z , z 2 }

siendo z = -

+ i

8-24. En R * se define * mediante a * b —2 a b

Verificar que (R * , *) es grupo abeliano. * 8-25, En el conjunto C de los números complejos se considera · definida por a*b -a + b ~ i Probar que ( C , «} es grupo abeliano & 26. En R1 = { / / / : [ 0 , l j - > R } se define la suma de funciones p o r medio de ( f + g ) ( * ) = / ( * ) + *(·*) Demostrar que (R 1 , + ) es grupo abeliano. 8-27. Demostrar que (R " , + ) es grupo abeliano, siendo R ” el conjunto de todas las

n-uplas de núm eros reales, y la suma definida por

(x, , x2 , . . . ,.xn)+ o , , y2 , ... ..yn)= (xi +^j , X 2 + y 2 , ■ ■ ■ , *n + y n) 8-28. Form ar el conjunto de todas las simetrías y rotaciones del triángulo equilátero

que lo transform an congruentemente, y verificar que dicho conjunto con la composición de funciones es un grupo. Form ar la tabla. 8-29. Determinar todos los subgruposen el caso del ejercicio anterior. x n ) e R'1 / x ¿ — O) . D em ostrar que (H , + ) es un

subgrupo de (R " , +). 8-31. Verificar que (R 2x2 , + ) es un grupo abeliano y que (H , + ) es un subgrupo,

siendo H <1 conjunto d e las matrices reales de dos filas y dos columnas que verifican A = — A*. Tales matrices se llaman antisimétricas y satisfacen a¡ ¡ = —a¡ ¡ V i V /. 8-32. Sean A = R ~ { 0} y la función / : A -* A tal que / (jc) = x 2 , Demostrar que / es

un morfismo del grupo (A , . ) en sí mismo, y determ inar su núcleo y su imagen. 8-33. Investigar si / : A -* A definida por / ( x ) = x 3 es u n morfismo, en el mismo caso

del ejercicio anterior. 8-34. Demostrar que / : R + -*· R tai q u e/ ( x) = log2 x es un isomorfismo de ( R + , . ) en iR.+). & 35. Sean / un hom om orfism o del grupo G en el grupo G \ y H un subgrupo de G \

Demostrar que su p re imagen / -I (H) es un subgrupo d e G. 8-36. Sean (G , *) un grupo con la propiedad siguiente:

V * e G : x * x —x Demostrar que G es unitario. 8-37. Si (G , *) es un grupo que verifica x * x =

e para todo x e G , entonces es

conm utativo. 8-38. Sean (G , *) un grupo y a un elemento fijo de G . Se define f a : G -*· G mediante / (jr) = a~l * x * a

Demostrar que / „ es un automorfismo en G . Tal autom orfism o. definido por a e G , se Uama autom orfism o interno. 8-39. Demostrar que la composición de dos hom om orfism os de grupos es un

homom orfism o. 8-40. Sea A ut (G ) el grupo de los automorfismos del grupo (G , *), con la composición

de funciones. Demostrar que la función F : G -v A u t(G ) definida por F ( a ) — / a es u n morfismo. 8-41. Sea (G , *) un grupo. En G se define la operación o mediante ao h = b * a

Demostrar que (G , °) es un grupo y que am bos se identifican si y sólo si * es conmutativa.

8-42. Con relación a los grupos del ejercicio anterior, demostrar que la función / : (G , * ) (G , o) definida por / ( x ) — x ’

es un isomorfismo. 8-43. En Q 2 se considera * definida por (a , b ) * ( c , d ) = (ac , be + d )

Determinar si Q2 tiene estructura de grupo con *. 8-44. Sean S y T dos subgrupos del grupo aditivo (G , +). Se define

S +T OtriíiGSÍí ¿U"

S

=

+y

¡

xeS

a

j e l j

T es u !'su bgrupo de G.

8-45. Demostrar que en todo grupo el único elemen to idempotente es el neutro. 8-46. Demostrar que el semigrupo (X , *) es un grvipo si y sólo si las ecuaciones x * a — b y a * x - b son resolubles en X. * 8-47. Sean los grupos (C , * ) y (G ’ , *’) y / : G -+ G ’ un homomorfismo.

Demostrar que f e s un epim orfism o si y sólo 1 ( / ) = G ’. 8-48. Sean los grupos (Z , + ) y (G , *) y la función / : Z -*> G tai que f (n ) =■ a " con a e G. D em ostrar que / es un morfismo y que su imagen es el subgrupo cíclico de G ,generado p o r a 8-49. Sean los grupos (R 3 , +} y (R 2 , +). Probar que / : R 3 - * R 2 definida por f ( X i , x 2 , jc3) = (jc i - x ± , x - i ) es un homomorfismo. Determinar su núcleo

y su imagen. 8-50. El subgrupo H de G es normal, si y sólo si «H = Hu. 8-51. Sean los grupos (G 3 , .) y (G4 , .). Demostrar que la función / : G 3 -* G4 definida por / ( 2 ) = z v* es un hom om orfism o, y determinar N ( f ) e I ( / ) . 8-52. Demostrar que el subgrupo H de G es normal si y sólo si la imagen de H es igual a

H para cada autom orfism o interior de G. Tal subgrupo se llama invariante.

Capítulo 9

E STRUC TU R A S D E A N IL L O Y D E C U E R P O . ENTERO S

Y

R A C IO N A LE S

9.1. INTRODUCCION Con el agregado de una ley de composición interna sujeta a ciertas condiciones, se enriquece la estructura de grupo abelíano y la terna asi obtenida constituye otro sistema axiomático. Se definen aquí la estructura de anillo y el caso particular de cuerpo. Lo mismo que en el caso de la estructura de grupo, se estudian sus propiedades básicas y se introduce el concepto de ideal. Después de tratar la factorización en los dominios de integridad principales, se introducen el anillo de los enteros y el cuerpo de los racionales.

9.2. ESTRUCTURA DE ANILLO Sean un conjunto no vacío A, y dos funciones: * y ·. Definición

La tema (A , * , · ) es un anillo si y sólo si 1 . El conjunto con la primera ley es un grupo abeliano. 2. Ei conjunto con k segunda ley es un semigrupo.

3. Li segunda ley es doblemente distributiva respecto de 3a primera. Reformulamos la definición teniendo en cuenta que las dos leyes de composieion se llaman aditiva y multiplicativa, y que se las suele denotar con + y . , respectivamente. Definición

La tema (A , + ,

es un anillo si y sólo si

1. (A , + ) es un grupo abeliano. 2. (A , . ) es un semigrupo. 3. El producto es distributivo a izquierda y derecha respecto de la suma. Estas condiciones se traducen en los siguientes axiomas:

A ] : La adición es ley de composición interna en A. Va V i : 2 e A

a

b e A => a + b e A

A 2 r La adición es asociativa en A. Va V2> Ve e A : (a + b) + c = a + (b + c ) A 3 : Existe n eu tro en A. que denotam os con 0 , respecto de la adición 30eA /V a€A :a+0 = 0+a=a \ 4 : I o d o elem ento de A admite inverso aditivo u opuesto.

Va e A , 3 — a e A / a + (— a ) = ( —«} + a — 0 As : La adición es conmutativa Va Vb e A : a + b — b + a $

Aé : El producto es ley de composición interna en A. Va Vb : a e A

a

b e A => a. b e A

A7 : El p roducto es asociativo en A. Va

Ve £ A : ( a . b ) . c = a . ( b . c)

Ag : El p roducto es doblemente distributivo respecto de la suma.

{

a . (b + c) = a. b + a . c (b+c).a = b .a + c .a

Si, además, ocurre que la segunda ley de composición es conmutativa diremos que el anillo (A , + , . ) es conmutativo. Si existe elemento neutro o identidad respecto del producto, que denotamos con 1, entonces se llamara anillo con identidad o con unidad. Un anillo con identidad cuyos elementos no nulos son inversibles se llama anillo de división. «

ijem piu 9·!, Clasificamos las siguientes temas i ) (N , + ,

no es anillo, pues no existe neutro para la adición.

i i ) ( N 0 , + , .) no es anillo, porque los elementos n o nulos de N0 carecen de inverso aditivo. iii)

(Z , + , . ) es anillo conmutativo y con unidad.

iv) (R 1 , + , .) es el anillo conmutativo y con unidad de las funciones reales definidas en I = [ 0 , 1 ] con la suma y el producto de funciones, llamadas leyes de composición punto a punto, definidas en los ejercicios 5-31 y 5-36.

9.3. PROPIEDADES DE LOS ANILLOS 9.3.1. El producto de cualquier elemento de un anillo por el n eu tro para la primera ley es igual a éste. Hipótesis) (A , + , es anillo. Tesis) a . 0 = 0 . a — 0 Demostración) € ualquiera que sea x e A, por A 3 se verifica x + 0 =x

P,-¿multiplicando por a a . Ot + 0) = a . x

Por la distributividad a. x + a. 0 — a . x

*

En virtud de A 3 a. x + a. 0 = a. x + 0 F jt ley cancelativa en el grupo (A , + )

a,

0 = 0

Análogamente se prueba que 0 .a = 0. Esta propiedad suele enunciarse así: en todo anillo, el p roducto por 0 es 0. 9.3.2. En todo anillo, el producto del opuesto de un elem ento, por o tro , es igual al ¿puesto de su producto. Por distributividad, A* y producto por 0, se tiene (—a) . b + a . b = (— a + a ) . b = 0 . b = Q

Es decir (—a ) . b + a , 6 = 0 Entonces (-a).b--(a.b)

De manera similar se prueba que a . (— b) ~ — (a. b). 9.3.3. En todo anillo, el producto de los opuestos de dos elem entos es igual· al producto de los mismos. Aplicando reiteradamente la propiedad 9.3.2., y p o r opuesto del opuesto, resulta ( _ a y ( _ by = ~ | 0 . ( - ¿)] = - [— ( a . b ) ] = a . b

9.3.4. En todo anillo vale la distributividad del producto respecto de la diferencia. Se trata de probar que (a — b ) . c — a . c — b . c Por definición, se sabe que a — b == a + (—b). Entonces, aplicando A 8 y 9.3.2.

(a — b) . c = [ff + (— b ) \ . c —a. c + (—b ) . c —a . c + [— (b, e)] = a . c ~ b . c

9.4. ANILLO SIN DIVISORES DE CERO 9.4.1. C oncepto Fn el ejemplo 5-15 hemos analizado las leves de composición interna, llamadas suma y producto de clases, inducidas en el conjunto cociente de Z por la relación de congruencia m ódulo n = 3. De acuerdo con 9.2 resulta (Z 3 , + , . ) el anillo conmutativo y con unidad de las clases de restos módulo 3. En los ejemplos 5-15 y 5-16 hem os confeccionado las tablas de la adición y multiplicación en Z s y Z4 , En el primer caso hem os observado que elem entos no nulos dan producto no nulo; pero en el segundo caso ocurre que hay' elementos no nulos cuyo producto es nulo. En (Z} , + , elem entos no nulos dan producto no nulo, y se dice que no existen divisores de cero. En (Z4 . + en cambio, hay divisores de cero. D efinición

El anillo ( A , + , .) no tiene divisores de cero si y sólo si elementos no nulos dan producto no nulo. En símbolos (A , + , . ) carece de divisores de cero * * V x V j u ^ O

a

y

=> x . y

0

Equivalentem ente, por medio de la implicación contrarrecíproca se tiene (A . + , . ) carece de divisores de cero

V x V y : x . y = Q =» x = 0

v ^ = 0

E sto significa que, para dem ostrar que en un anillo no existen divisores de cero, es suficiente probar que si el producto de dos elementos cualesquiera es cero, entonces alguno de los factores ¿s cero. Negando el antecedente y el consecuente del bicondicional que expresa simbólica­ mente la definición, resulta (A , + , . ) tiene divisores de cero o 3 x 3 v

/ x^O

a

y^O

a

x.y = 0

D efinición

El anillo (A , + , . ) tiene divisores de cero si y sólo si existen elem entos no nulos que dan producto nulo. 9.4.2. Propiedad. El anillo (Z„ , + , . ) no tiene divisores de cero si y sólo si n es primo. Por definición, el número natural >i ^ ! es primo si y sólo si los únicos divisores

naturales que admite son 1 y n. Decimos que n > 1 es compuesto si y sólo si n = x . y , siendo l < x < « y l < j ’ < n . I) Si (Z„ , + , no tiene divisores de cero, entonces n es primo. Suponemos que n es compuesto, es decir n= x.y

donde

\
y

1<_y< n

( 1)

S i / : Z ~*'Zn es la aplicación canónica, se tiene / {«) = f

( x , v)

Como / es un morfismo respecto de! producto

f (n) ~ f ( x ) - f i y ) De acuerdo con (1) f(x ) = x

y

f(y)= y -

Además, como n ~ 0, por definición de aplicación canónica e imagen del neutro por un homorfismo, es

f <«) = / (0) = ó Sustituyendo en la Igualdad anterior resulta 0 = 3c . v

a

x=£Q

a

v =£ 0

lo que nos dice que en Z„ hay divisores de cero, contra la hipótesis. 11} Si n es primo, entonces (Z„ , + . no tiene divisores de cero. Sean x y y en Z„ tales que x . J = 0. Se tra ta de probar que ,7 = 0 v y — 0. Por definición de aplicación canónica, la igualdad anterior puede escribirse / ( * ) - / ( v ) = / ( 0) Por ser f u n morfismo f

í x

. v) = / ' í Ü )

Y por definición de función canónica

x . y ·* 0 Por definición de congruencia módulo n n\x.y

Anticipamos el uso de una- propiedad que dem ostrarem os en 9.7.7., a saber: si un número primo es divisor de un producto, entonces es divisor de alguno de los factores. En consecuencia « ¡ jc v

n\y

Es decir \/

v ~Q

y

~Q

En consecuencia x-0

V y =0

9.4.3. Ley cancelativa del producto En el anillo (Z . + .. ! se verifica la ley cancelativa del producto para to d o elemento no nulo *

a.h=a.c

En cambio en ( Z t2 , + ,

?= 0 => b - c

es falsa ¡a proposición 3 . 4 = 3 .8 =>4 = 8

por ser V ei antecedente y F el consecuente. Es decir, en Z 12 no es válida la ley cancelativa del producto para todo elem ento no nulo del anillo. L a ñ o existencia de di­ visores de cero es condición necesaria y suficiente para la validez de ía ley cancelativa dei producto. « Propiedad. Un anillo no tiene divisores de cero si y sólo si vale la ley cancelativa del producto para to d o elem ento no nulo del mismo. 1) Hipótesis) (A , + , . ) carece de divisores de cero. ,X. -

~ A z # 0

Tesis) x —y Demostración) Por hipótesis es x , z = y . z.

Por trasposición en (A , +)

x .r

y .r =

0

Por distiibutívídad í.r —>·). r = 0 C om o no existen divisores de cero y ; ^ 0 resulta x —y = o Es decir

lí) Hipótesis) (A , + , . ) es tal que a . c = b . c x. y - 0

a

c =£ 0 => a = 6

Tesis) x —0 V y = 0 Demostración) Suponemos que y & 0. Debe ser necesariamente x = 0. Por A 3, cualquiera que sea 2 6 A, se verifica z . y = z .y + 0

Como por hipótesis x . y = 0, se tiene z . y —z . y + x . v'

Por distributividad z , y — (z + x ) . v

Por !ey cancelativa, ya que y # 0, resulta z —z + x

Es decir x = 0 Ejem plo 9-2.

En el conjunto R '3 x n, de todas las matrices reales de n filas y n columnas, se define la multiplicación por medio de la siguiente regla: si A y B son dos m atrices n x n, en­ tonces la matriz producto C = A , B es tal que el elem ento genérico c¡j es igual a la suma de productos de los elem entos de la fila i de A, por los correspondientes elemen­ tos de la colum na / de B, es decir

Cu = a n . b u + ai2 . b 2 í + . . . + a in . b n¡ = '- 1 Por ejemplo, si A =

.

2

fe- i

a ik . b

2 0' ' 2 1 -1 * 3 0 1 y b = 0 4 3 , entonces la matriz .- 1 - 2 - 3 . 0 - 1 1 .

producto C = A . B pertenece a R 3*3 , y es tal que c n = ( — 1) . 2 + 2 . 0 + 0 . (— 1) = —

05 II

II

>

n

c 12= ( - l ) . 1 + 2 . 4 + 0 . ( - 2 ) = 7 ■- 1 2 0' 0 1 3 . 0 - 1 1.

2 0 L •1

etcétera. Entonces

1-1 ] 4 3 - 2 —3i

f-2 =5 1 -1

7 7 1 -6 -6 -6

Al desarrollar el trabajo práctico que se propone al térm ino del capítulo, el lector p eerá comprobar que el producto de matrices es asociativo, no conmutativo, con neutro, y distributivo a izquierda y derecha respecto de la suma.

El elem ento neutro es la matriz identidad I e R " Kn, tal que a¡¡ = 1

si i —j

a¡j = 0

si i ¥ - j

Es decir, está formada por unos en la diagonal y por ceros fuera de ésta. De acuerdo con lo expuesto, y teniendo en cuenta el ejemplo 5-8, la terna (R nxn , + , . ) satisface Al

A e R " x"

Aj

(A + B) + C = A + (B + C)

A,

3 N e R nM / V A e R " xn : A + N = N + A = A

a

B e R nxn => A + B e R nxn

a4

V A e R " x" , 3 — A e R ” x" / A + (— A) = ( ~ A) 4- A = N

As

A + B= B+ A

A«

A e R ,x "

'

B e R nxn =» A / B e Rnxr>

AT (A . B ) . C = A . (B . C) li

A . ( B + C) = A . B + A . C

<

A^

<

3 í e R” *n / V A c R” xn : P

II

Ag

( B + C ) . A = B. A + C . A

a

Se trata del anillo no conmutativo, con identidad, de las matrices cuadradas n x n . Podemos verificar la existencia de divisores de cero en el caso particular {R2 x2 , + m ostrando que matrices no nulas pueden dar producto nulo. En efecto r l A= j

— 11 0j*N

y

r — 1 0] B = |^ j 0j

A .B=

Ejem plo 9-3.

^ sin embargo

0 0] LO 0 J

*

- La terna (P (U) , A , n ) es un anillo conmutativo, con identidad y con divisores de cero. En efecto 1. (P (U ) , A) es grupo abeliano, como está justificado en 2.11.2. 2. (P ( U ) , n ) es un semigrupo conmutativo, con identidad. 3. La intersección es distributiva respecto de la diferencia simétrica. A n (B A C) = (B A C) n A = (B n A) A (C H A) La dem ostración figura en el ejemplo 2-28. 4 . Existen divisores de cero, pues si A y B son disjuntos y no vacíos se cumple A# 0

a

B =#$

a

AHB = 0

9.5. DOMINIO DE INTEGRIDAD Todo anillo conm utativo, con unidad y sin divisores de cero, se llama dominio de integridad. Las ternas (Z , + , , (R , + , . ) y (Z 3 , + , .) son dominios de integridad. Si P denota el conjunto de los enteros pares, entonces (P , + , . ) es anillo conmutativo, sin divisores de cero y sin elemento unidad; en consecuencia no es dominio de integridad.

9.6. SUBANILLOS £ IDEALES 9.6.!. Concepto de subanilio Sea (A , + , un anillo. Un subanilio de (A , + , . ) es una parte no vacía de A que lisne estructura de anillo con las mismas leyes de composición. Definición

El subconjunto no vacío S C A es un subanilio de (A , + · , . ) si y sólo si (S +) es subgrupo de (A . +), y además S es cerrado para el producto. Resulta obvio que una parte no vacía S C A es u n subanilio de (A , + , .> si y sólo si para todo par de elementos a e A y b e A se verifica a — b e A y a . b e A. Ejemplo 9-4.

Sea a e Z. Entonces el conjunto de todos los m últiplos enteros áea S ^k .a : kez)

es un subanilio de ( Z , + ,.). En efecto, si.v e S a y e S, entonces x = k , a * y = k ' . a. Luego .v —y — k . a — k ’ . a —( k ~ k ’) . a — k ” . a

f% decií „t — _r e S

Por otra parte jc e S

a

yeS=>x = k.a

a

y = k ’, a = *

=> x . y = ( k . a . k ’) . a => x . y — k ” . a =» x . y € S

9.6.2. Concepto de ideal Sea ( I , + , un subanilio de (A , + ,.).

Definición

El subanillo I de A es un ideal a izquierda de A si y sólo si xe A

a

ael=^x.ael

El subanillo I de A es un ideal a derecha de A si y sólo si a eI

a

x eA =>«.xel

D efinición

El subanillo í de A es un ideal de A si y sólo si es un ideal a izquierda y a derecha de A. En el caso de anillo conmutativo no es preciso distinguir entre ideales a izquierda o a derecha. Las condiciones que se imponen al subconjunto f C A. para que sea un ideal, son las siguientes t

i ) ¡¥=4> ü ) a el

a

b e l => a — b e l

iii) a e l

a

b e l => a b e l

iv) a e 1

a

x e A => a . x e l

ax . ael

Ejemplo 9-5,

El subanillo S de todos los múltiplos del entero a es un ideal de Z. En cambio, Z no es un ideal de R. T odo anillo (A

, + , . ) admite dos ideales: el

mismo A y { 0 } , y son llamados

ideales triviales. Todo otro ideal, si existe, se llama ideal propio no 9.6.3.

trivial.

Ideal generado por un subconjunto de un anillo

Sea S ~ - X i , x 2. ·

un subconjunto no vacío del anillo conm utativo A.

Todo elemento de la forma

se llama combinación lineal de los elem entos de S, con coeficientes en A. Consideremos ahora el conjunto de todas las combinaciones lineales de los elementos de S, que denotam os por

El conjunto S C A satisface las siguientes condiciones: i ) S #