orto-
Capítulo
ESPACIOS VECTORIALES
• INTRODUCCiÓN Como se observó en el capítulo anterior, los conjuntos (¿2 (vectores en el plano) y (¿3 (vectores en el espacio) cuentan con diversas propiedades peculiares. Se puede sumar dos vectores en (¿2 y obtener otro vector en (¿2. En la suma, los vectores en (¿2 obedecen las leyes conmutativa y asociativa. Si x E (¿2, entonces x + O = x y x + (-x) = O. Se puede multiplicar vectores en l?2 por escalares y obtener las leyes distributivas. En [!3 se cumplen las mismas propiedades. Los conjuntos (¿2 y (¿3 junto con las operaciones de suma de vectores y multiplicación por un escalar se denominan espacios vectoriales. Se puede decir, de forma intuitiva, que un espacio vectorial es un conjunto de objetos con dos operaciones que obedecen las reglas que acaban de escribirse. En el presente capítulo habrá un cambio, en apariencia grande, del mundo concreto de la solución de ecuaciones y del manejo sencillo de los vectores que se visualizan, al mundo abstracto de los espacios vectoriales arbitrarios. Existe una ventaja en este cambio. Una vez que, en términos generales, se establecen los hechos sobre los espacios vectoriales se pueden aplicar . estos hechos a todos los espacios de esta naturaleza. De otro modo, tendría que probarse cada hecho una y otra vez para cada nuevo espacio vectorial que nos encontráramos (y existe un sin fin de ellos). Pero como se verá más adelante, muchos de los teoremas abstractos que se demostrarán, en términos reales no son más difíciles que los que ya se han estudiado.
~ DEFINICiÓN
FINIClóN
a
y PROPIEDADES BÁSICAS
Espaciovectorial
real
Un espacio vectorial real Ves un conjunto de objetos, denominados vectores, junto con dos operaciones binarias llamadas suma y multiplicación por un escalar y que satisfacen los diez axiomas enumerados a continuación.
282
CAPÍTULO
4
Espacios vectoriales
Notación. Si x y y están en Vy si a es un número real, entonces la suma se escribe como x + y y el producto escalar de a y x como ox. Antes de presentar la lista de las propiedades que satisfacen los vectores en un espacio vectorial deben mencionarse dos asuntos de importancia. En primer lugar, mientras que puede ser útil pensar en (22 o IP al manejar un espacio vectorial, con frecuencia ocurre que el espacio vectorial parece ser muy diferente a estos cómodos espacios (en breve tocaremos este tema). En segunda instancia, la definición 1 ofrece una definición de un espacio vectorial real. La palabra "real" significa que los escalares que se usan son números reales. Sería igualmente sencillo definir un espacio vectorial complejo utilizando números complejos en lugar de reales. Este libro está dedicado principalmente a espacios vectoriales reales, pero las generalizaciones a otros conjuntos de escalares presentan muy poca dificultad.
Axiomas de un espacio vectorial i. Si x Ü.
E
Vy y
E
iii. Existe un vector O iv. Si x
E
+y
V, entonces x
Para todo x, y y z en V, (x
E
+
E
z = x + (y + z) (ley asociativa de la suma de vectores).
Vtal que para todo x E V, X + O = 0+ x = x (el O se llama vector cero o idéntico aditivo).
V, existe un vector -x en
v. Si x y y están en V, entonces x vi. Si x
V (cerradura bajo la suma).
E
+
y)
+
E
V tal que x + (-x) = O (-x se llama inverso aditivo de x).
y = y
Vy a es un escalar, entonces ox
+x (ley conmutativa E V (cerradura
de la suma de vectores).
bajo la multiplicación
por un escalar).
vii. Si x y y están en V ya es un escalar, entonces a(x + y) = ox + ay (primera ley distributiva). viii. Si x
E
Vya
y {3son escalares, entonces (a + (3) x = ax + {3x (segunda ley distributiva).
ix. Si x
E
Vya
y (3 son escalares, entonces a({3x)
x. Para cada vector x
= (a{3)x (ley asociativa de la multiplicación
E
por escalares).
V, lx = x
Nota. En los problemas 23 y 24 se estudian la propiedad de unicidad sobre el elemento neutro aditivo y el elemento inverso aditivo en un espacio vectoriaI. EJEMPLO
1
El espacio
(2n
Cada vector en 12" es una matriz de n
página 48,
+y
X .
e, una matriz de n
X
X
I. Según la definición de suma de matrices dada en la
1 si x y y son matrices de n
X
1. Haciendo
O~
[!1 -'--
y
4.2
-x ~
Definición y propiedades básicas _
[~f:l,
se observa que los axiomas u) a x) se obtienen de la definición de suma de vecto-
res (matrices) y el teorema l.5.l en lapágina
50.
Nota. Los vectores en P' se pueden escribir indistintamente columna. EJEMPLO
2
283
como vectores renglón o vectores
Espacio vectorial trivial Sea V = {O}. Es decir, V consiste sólo en el número o. Como O + O = 1 . O = O + (O + O) = (O + O) + O = O,.se ve que Ves un espacio vectorial. Con frecuencia se le otorga el nombre de espacio vectorial trivial.
EJEMPLO
3
Conjunto que no es un espacio vectorial Sea V = {I}. Es decir, V consiste únicamente del número l. Éste no es un espacio vectorial ya que viola el axioma i) -el axioma de cerradura-o Para verlo con más claridad, basta con observar que 1 + 1 = 2 rt. V. También viola otros axiomas, sin embargo, con tan sólo demostrar que viola al menos uno de los diez axiomas queda probado que V no es un espacio vectorial. Nota. Verificar los diez axiomas puede ser laborioso. aquellos axiomas que no son obvios.
EJEMPLO
4
En adelante
se verificarán
únicamente
El conjunto de puntos en [22 que se encuentran en una recta que pasa por el origen constituye un espacio vectorial Sea V
= {(x,
y): y
= mx, donde m es un número real fijo y x es un número real arbitrario}.
Es decir, V consiste en todos los puntos que están sobre la recta y = mx que pasa por el origen y tiene pendiente m. Para demostrar que Ves un espacio vectorial, se puede verificar que cumple cada uno de los axiomas. Observe que los vectores en [22 se han escrito como ren= en lugar de columnas, lo que en esencia es lo mismo. i. Suponga que x
=
(x., Yl) y Y = (x2' Y2) están en V. Entonces Yl
x + y = (x., Yl ) + (x2' y 2) = (Xl' mxl) + (X2' mx2) = (Xl + X2' m( Xl + Y Por lo tanto se cumple el axioma i). ii, Suponga que (x, y) E V. Entoncesque -(X, y) tambiénpertenece a Todo vector en Ves un vector en [22, y ~ Lj:omo (O, O) = O está en V (explique\ ejemplo 1. Entonces Ves un espacio vect¿ EJEMPLO
5
El conjunto de puntos en [22 que se encu que no pasa por el origen constituye un e ~ Sea V = {(x, y): y = 2x + 1, X E l?}. Es decir, la recta y = 2x + 1. V no es un espacio vectori
,
=(
y
=
mx
(
4.2
- x ~ [_ ~
l,
Definicióny propiedadesbásicas
283
se observa que los aúorna~ü) a x) se o btienen de la definición de suma de vecto-
res (matrices) y el teorema 1.5.1 en la página 50. No/a. Los vectores en 1)' se pueden escribir indistintamente como vectores renglón o vectores columna. EJEMPLO
2
Espacio vectorial trivial
Sea V = {O}. Es decir, V consiste sólo en el número O. Como O + O = 1 . O = O + (O + O) = (O + O) + O = O, se ve que Ves un espacio vectorial. Con frecuencia se le otorga el nombre de espacio vectorial trivial. EJEMPLO
3
Conjunto que no es un espacio vectorial
Sea V = {l}. Es decir, V consiste únicamente del número 1. Éste no es un espacio vectorial ya que viola el axioma i) -el axioma de cerradura-o Para verlo con más claridad, basta con observar que 1 + 1 = 2 ft V. También viola otros axiomas, sin embargo, con tan sólo demostrar que viola al menos uno de los diez axiomas queda probado que V no es un espacio vectorial. Nota. Verificar los diez axiomas puede ser laborioso. En adelante se verificarán únicamente aquellos axiomas que no son obvios. EJEMPLO
4
El conjunto de puntos en [22 que se encuentran en una recta que pasa P9r el origen constituye un espacio vectorial
Sea V = {(x, y):
y =
mx, donde m es un número real fijo y x es un número real arbitrario}.
Es decir, V consiste en todos los puntos que están sobre la recta y = mx que pasa por el origen y tiene pendiente m. Para demostrar que Ves un espacio vectorial, se puede verificar que se cumple cada uno de los axiomas. Observe que los vectores en [22 se han escrito como renglones e~lugar de columnas, lo que en esencia es lo mismo. i. Suponga que x = (xl' YI) y Y = (x2' Y2) están en V. Entonces YI = mxI' Y2 = mx2, y x + y = (x., YI) + (x,, Y2) = (xl'
m.xl)
= (XI
+ x2'
+ (x,, m(xI
m.x2)
+ X2))
= (XI E
+ x2' m.xl + m.x2)
V
Por lo tanto se cumple el axioma i). ü. Suponga que (X, y) E V. Entonces y = mx y -(x, y) = -(x, mx) = (-x, m(-x)), de manera que -(x, y) también pertenece a Vy (x, mx) + (-x, m(- x)) = (x - x, m(x - x)) = (O, O).
Todo vector en Ves un vector en V, y·Ves un espacio vectorial, como se muestra en el ejemplo éComo (O, O) = O está en V (explique por qué) todas las demás propiedades se deducen del ejemplo 1. Entonces Ves un espacio vectorial. EJEMPLO
5
El conjunto de puntos en [22 que se encuentran sobre una recta que no pasa por el origen constituye un espacio vectorial
Sea V = {(x, y): y = 2x + 1, x E l2}. Es decir, Ves el conjunto de puntos que están sobre la recta y = 2x + 1. V no es un espacio vectorial porque no se cumple la cerradura bajo la
(
284
CAPÍTULO
4
Espacios vectoriales
suma, como sucede en el ejemplo 3. Para ver esto, suponga que (x., YI) y (x2' Y2) están en V. Entonces, e-.
Si el vector del lado derecho estuviera en V, se tendría
+ Y2 = 2(xI +
YI
Pero YI = 2xI + 1 YY2 = YI
x)
+ 1 = 2xI +
2x2
+1
+ 1 de manera que
2x2
+ Y2
=
(2xI
+ 1) +
(2x;
+ 1)
=
2xI
+
2x2
+2
yJ
E
Por lo tanto, se concluye que (XI
+ x2' YI + Y2)
~
V si (XI' YI)
E
V y
(X2'
V
Por ejemplo, (0,1) y (3,7) están en V, pero (0,1) + (3,7) = (3,8) no está en Vporque 8 #- 2·3 + 1. Una forma más sencilla de comprobar que V no es un espacio vectorial es observar que O = (O,O)no se encuentra en V porque 0#-2 . + 1. No es difícil demostrar que el conjunto de puntos en [!2 que está sobre cualquier recta que no pasa por (O,O)no constituye un espacio vectorial.
°
EJEMPLO
El conjunto de puntos en
6
(?3
que se encuentran en un plano
que pasa por el origen constituye un espacio vectorial
Sea V = {(x, y, z): ax + by + cz = O}.Esto es, Ves el conjunto de puntos en ()3 que está en el plano con vector normal (a, b, e) y que pasa por el origen. Al igual que en el ejemplo 4, los vectores se escriben como renglones en lugar de columnas. Suponga que (xI' YI, ZI) Y (x2' Y2' Z2) están en V. Entonces (xI' YI' z.) + (x2' Y2' Z2) = (XI + . x2' YI + Y2' ZI +z) E V porque
Por lo tanto, el axioma i) se cumple. Los otros axiomas se verifican fácilmente. De este modo, el conjunto de puntos que se encuentra en un plano en ()3 que pasa por el origen, constituye un espacio vectorial. EJEMPLO
7
El espacio vectorial~
Sea V p
E
= P", el conjunto de polinomios con coeficientes reales de grado menor o igual a n.' Si P entonces ,
II
donde cada b 11~1 X,,-I
\
a¡ es real.
La suma de p(x) +
q(x)
está definida de lamanera usual: si q(x)
= b,?c" +
+ ... + b I x + bo' entonces
Es obvio que la suma de dos polinomios de grado menor o igual a n es otro polinomio de grado menor o igual a n, por lo que se cumple el axioma i). Las propiedades ü) y v) a x) son claras. Si se define el polinomio 0= Ox" + Oxl/-I + ... + Ox + 0, entonces E Pn y el axioma üi) se cumple. Por último, sea -p(x) = -al/x" - a,,_lxn-1 - ... - alx - a¡y se ve que el axioma iv) se cumple, con lo que P" es un espacio vectorial real.
°
.1--t
Se dice que las funciones constantes (incluyendo
la función f(x) = O) son polinomios
de grado cero.
4.2
Definición y propiedades básicas
285
_l...._L_o_s_e_s_p_a_c_io_s_v_e_c_to_r_ia_l_e_s _C_[O_,_1_l_y_C_[a_,_b_l_ tlÚLCULO
I
Sea V = C[O, 1] = el conjunto de funciones continuas de valores reales definidas en el intervalo [0,.1]. Se define (f
+ g)x
= f(x)
+ g(x) y (af)(x)
=
a[f(x)]
Como la suma de funciones continuas es continua, el axioma i) se cumple y los otros axiomas se verifican fácilmente con O = la función cero y (-f)(x) = -f(x).Del mismo modo, C[a, b], el conjunto de funciones de valores reales definidas y continuas en [a, b], constituye un espacio vectorial.
EJEMPLO
9
El espacio vectorial Mnm Si V = M denota el conjunto de matrices de In X 11 con componentes reales, entonces con la suma de matrices y multiplicación por un escalar usuales, se puede verificar que M,III' es un espacio vectorial cuyo neutro aditivo es la matriz de ceros de dimensiones In X 11. llln
EJEMPLO
10
Un conjunto de matrices invertibles puede no formar un espacio vectorial Sea S3 el conjunto de matrices invertibles de 3 X 3. Se define la "suma" A EB B por A EB B = AB. t Si A YB son invertibles, entonces AB es invertible (por el teorema 1.8.3, página 96) de manera que el axioma i) se cumple. El axioma ü) es sencillamente la ley asociativa para la multiplicación de matrices (teorema 1.6.2, página 63); los axiomas iii) y iv) se satisfacen con O = I3 Y - A = A-l. Sin embargo, AB* BA en general (vea la página 61), entonces el axioma v) no se cumple y por lo tanto S3 no es un espacio vectorial.
EJEMPLO
11
Un conjunto de puntos en un semi plano puede no formar un espacio vectorial Sea V = {(x, y): y 2T O}. V consiste en los puntos en V en el semiplano superior (los primeros dos cuadrantes). Si YI 2 YY2 2 0, entonces YI + Y2 2 O;así, si (XI' YI) E Vy (x2' Y2) E V, entonces (XI + x2' YI + y) E V. Sin embargo, Vno es un espacio vectorial ya que el vector (1,1), por ejemplo, no tiene un inverso en V porque (-1, -1) rt V. Más aún, el axioma vi) falla, ya que si (x, y) a V, entonces a (x, y) a V si el' < O.
°
EJEMPLO
12
El espacio
en
Sea V = en = {( el' e2, •.. , e): e¡ es un número complejo para i = 1,2, ... , 11} Yel conjunto de escalafes es el conjunto de números complejos. No es difícil verificar que Ü', también es un espacio vectorial. Como lo sugieren estos ejemplos, existen diferentes tipos de espacios vectoriales y muchas clases de conjuntos que 110 son espacios vectoriales. Antes de terminar esta sección, se demostrarán algunos resultados sobre los espacios vectoriales .
• t
'"""[C""-AL-CU-LO""'¡
Este símbolo se usa en todo el libro para indicar que el problema o ejemplo utiliza conceptos de cálculo.
• Se usa un signo más en circulado
para evitar confusión con el signo más normal que denota la suma de matrices.
286
CAPÍTULO 4
TEOREMA
a
Espacios vectoriales
Sea V un espacio vectorial. Entonces i. 0'0 íí.
=
O' x
O para todo escalar
=
O para todo x
iü. Si ox = O, entonces iv. (-l)x
ID
=
E
0'.
V.
o' = O o x = O (o ambos).
-x para todo x
E
V.
i. Por el axioma iiiy; O + O = O; Y del axioma vii),
DEMOSTRACIÓN
. 0'0 Sumando obtiene
=
0'(0
+ O) = 0'0 + 0'0
-0'0 en los dos lados de (1) y usando
(1)
la ley asociativa
(axioma
ii), se
0:0 + (-0:0) = [0:0 + 0:0] + (-0:0)
O = 0:0 + [0:0 + (-0:0)] 0= 0:0 + O 0=0:0 ii. Se usa, esencialmente, la misma prueba que en la parte i). Se comienza con O + O = O Y se usa el axioma vii) para ver que Ox = (O + O)x = Ox + Ox o Ox + (-Ox) = Ox + [Ox + (-Ox)] o O = Ox + O = OX. ííí.
Sea ox = O. Si a;f. O, se multiplican ambos lados de la ecuación por lJa para obtener (I/a)(ax)= (l/«) O = O [por la parte i)].Pero (lJa)(ax) = lx = x (por el axioma ix), de manera que x = O.
iv. Primero se usa el hecho de que 1 tiene 0= Ox = [1
+ (-1)
=
O. Después,
usando la parte ii), se ob-
+ (-l)]x = l x + (-l)x = x + (-l)x
(2)
Se suma -x en ambos lados de (2) para obtener -x = O + (-x) = x + (-l)x + (-X{= x + (-x) + (-l)x
.
= O + (-l)x
= (-l)x
De este modo, -x = (-l)x. observe que el orden de la suma en la ecuación anterior se pudo invertir utilizando la ley conmutativa (axioma v).
Observación. La parte iii) del teorema 1 no es tan obvia como parece. Existen situaciones conocidas en las que xy = no implica que x o y sean cero. Como ejemplo, se tiene la multiplicación
°
de matrices de 2 x 2. Si A puede verificar, AB
=
=
(O °1) = (0'-2) O
0, el resultado
YB
O
del producto
O'
en donde ni A
.
III
B son cero y, como se
de estas matrices es la matriz cero. ' .
/
problemas 4,2 AUTOEVALUACIÓN
De las siguientes afirmaciones,
indique si son falsas o verdaderas:
1. El conjunto de vectores (; ) en [!2c~n y
= -
3x es un espacio vectorial real.
4.2
11. El conjunto
Definición y propiedades básicas
de vectores (; ) en [!2 con y = - 3x
+
287
1 es ún espacio vectorial real.
11I.El conjunto de matrices i!:vertibles de 5 x 5 forma un espacio vectorial (con definido como en la suma matrices ordinaria).
"+"
IV. El conjunto de múltiplos constantes de la matriz idéntica de 2 x 2 es un espacio vectorial (con "+" definido como en III). V. El conjunto de matrices idénticas de n x n para n rial (con "+" definido como en III). VI. El conjunto real.
VII. El conjunto real.
l:J
de vectores (
=
2,3,4,
... es un espacio vecto-
en 123 con 2x - y - 12z
=
O es un espacio vectorial
en 123 con 2x - y - 12z .
=
1 es un espacio v~ctorial
z
de vectores
[;J z
VIII. El conjunto de polinomios de grado 3 es un espacio vectorial real (con como la suma de polinomios ordinaria).
"+" definido i.
De los problemas 1 al 22 determine si el conjunto dado es un espacio vectorial. De no ser así proporcione una lista de los axiomas que no se cumplen.
1. El conjunto de matrices diagonales de n
X
n bajo la suma de matrices y niultiplicación
por
=
AB).
un escalar usuales. 2. El conjunto de matrices diagonales de n x n bajo la multiplicación
(es decir, A EB B
3. {(x, y): y:S O; x, y reales} con la suma de vectores y multiplicación
por un escalar usuales.
4. Los vectores en el plano que es/n
el primer cuadrante.
5. El conjunto de vectores en 123 de la forma
(x, x, x).
6. El conjunto de polinomios de grado 4 bajo las operaciones del ejemplo 7.
CIB·ESPOL
7. Elconjunto
de polinomios
de grado 5 bajo las operaciones
8. El conjunto de matrices simétricas de n
X
del ejemplo 7.
n (vea la sección 1.9) bajo la suma y multiplica-
ción por un escalar usuales.
9. El conjunto de matrices de 2 x 2 que tienen la forma ( ~ ~) bajo la suma y multiplicación por un escalar usuales. 10. El conjunto de matrices de la forma multiplicación por un escalar.
(1 a) f3
de matrices de suma y
con las operaciones
1,
r
11. El conjunto que consiste en un solo vector (O, O) bajo las operaciones 122.
usuales en símbolo
12. El conjunto
de polinomios
de grado
:S
n con término constante
cero.
13. El conjunto
de polinomios
de grado
:S
n con término constante ao positivo.
14. El conjunto
de polinomios
de grad,o
:S
n con término constante
a·o negativo.
288
CAPÍTULO
4
Espacios vectoriales
15. El conjunto de funciones continuas de valores reales definidas en [O, 1] conJ(O) = bajo las operaciones del ejemplo 8.
°
,..
16. El conjunto
de puntos en [?3que se encuentran
sobre una recta que pasa por el origen.
17. El conjunto
de puntos en
sobre la recta x
18.
t I CÁLCULO I
°
= y J(1)
[:>3
que se encuentran
[:>2 con la suma definida por (x., y¡) + (x2, Y2) por un escalar ordinaria.
19. El conjunto (O'
-f o'X -
del problema
=
=
t
+ 1, Y
=
2t, z
=
t - 1.
(x. + x2 + 1, Y¡ + Y2 + 1) Yla multiplicación por un escalar definida por o(x, y)
18 con la multiplicación
=
1, O' + ay - 1).
20. El conjunto que consiste en un objeto con la suma definida por objeto la multiplicación por un escalar definida por o' (objeto) = objeto.
+ objeto
=
objeto y
t21. El conjunto de funciones diferenciables definidas en [O, 1] con las operaciones del ejemplo 8.
bJ2,
b
*22. El conjunto de números reales de la forma a + donde a y son números racionales, bajo la suma de números reales usual y la multiplicación por un escalar definida sólo para escalares racionales. 23. Demuestre
que en un espacio vectorial el elemento idéntico aditivo es único.
24. Demuestre
que en un espacio vectorial todo vector tiene un inverso aditivo único.
25. Si x y y son vectores en un espacio vectorial tal que x + z = y.
V, demuestre que existe un vector único
Z E
V
26. Demuestre que el conjunto de números reales positivos forma un espacio vectorial bajo las operaciones x + y = xy y o'X = .x".
t I CÁLcuLO I
27. Considere la ecuación diferencial homogénea y"(x)
de segundo orden
+ a(x)y'(x) + b(x)y(x)
=
°
donde a(x) y b(x) son funciones continuas. Demuestre que el conjunto de soluciones de la ecuación es un espacio vectorial bajo las reglas usuales para la suma de funciones y multiplicación por un escalar.
RESPUESTAS
1. V
•
A LA AUTOEVALUACIÓN
111. {;
11. F
IV. V
V. F
VI. V
VII. F
VIII. F
MATLAB 4.2 ~
1. El archivo vctrsp.m es una demostración
sobre la geometría de algunas propiedades espacios vectoriales de vectores en [?2. A continuación se presenta el código de la función vctrsp. m function % VCTRSP % %
vctrsp(x,y,z,a) funcion que ilustra las propiedades geometricas de conmutatividad y asociatividad de la suma de vectores. Tambien la propiedad de distributiva de la multiplicacion por un escalar de la suma de vectores
I
.¡--t
ijCALCULO
I Este símbolo
se usa para indicar que el problema o ejemplo usa conceptos de cálculo.
de los
4.3 b) x
=
[-5;5], Y = [0;-4], z == [4;4]. Use a
=
2, a
= 1/3
Ya
Subespacios
293·
= -3/2.
e) Su propia elección de x, y, z X/o a. 2.
de n X m, llamadas X, 2*rand(l)-1). Verifique todas las propiedades del espacio vectorial para estas matrices y escalares. Para demostrar A = B, demuestre que A - B = O; para la propiedad iii) decida cómo generar el idéntico aditivo para matrices de n X m. Repita para otros tres juegos de X, Y, Z, a y b (para las mismas n y m).
a) Elija algunos valores para n y m y genere tres matrices aleatorias
y Y Z. Genere dos escalares aleatorios
a
b) (Lápiz y papel) Pruebe las propiedades
y b (por ejemplo, a
=
del espacio vectorial para M,1I11' las matrices de
n Xm.
e) (Lápiz y papel) ¿Cuál es la diferencia entre los incisos a) y b)?
DI
SUBESPACIOS Del ejemplo 4.2.1 de la página 282, se sabe que [?l = {(x, y): x E l2 Y Y E 12} es un espacio vectorial. En el ejemplo 4.2.4 de la página 283, se vio que V = {(x, y): y = mx} también es un espacio vectorial. Adicionalmente, es evidente que Ve [?l. Estó es, [?l tiene un subconjunto que también es un espacio vectorial. De hecho, todos los espacios vectoriales tienen subconjuntos que también son espacios vectoriales. En esta sección se examinarán estos importantes subconjuntos.
DEFINICiÓN
a
Subespacio Sea H un subconjunto no vacío de un espacio vectorial V y suponga que H es en sí un espacio vectorial bajo las operaciones de suma y multiplicación por un escalar definidas en V. Entonces se dice que H es un subespacio de V.
:)
Se puede decir que el subespacio Existen múltiples ejemplos se demostrará un resultado que es en realidad un subespacio de
TEOREMA
a
H hereda las operaciones del espacio vectorial "padre" V. de subespacios en este capítulo; sin embargo, en primer lugar, hace relativamente sencillo determinar si un subconjunto de V V
Subespacio Un subconjunto no vacío H de un espacio vectorial plen las dos reglas de cerradura:
Ves un subespacio
de V si se cum-
Reglas de cerradura para ver si un subconjunto no vacío es.un subespacio
I!!
DEMOSTRACIÓN
i. Si x
E
H Y Y E H, entonces x
ii. Si x
E
H, entonces ax
E
+
y
E
H.
H para todo escalar a.
Es obvio que si H es un espacio vectorial, entonces las dos reglas de cerradura deben cumplirse. De lo contrario, para demostrar que H es un espacio vectorial, debe demostrarse que los axiomas i) a x) en la página 282 se cumplen bajo las operaciones de
í
294
CAPÍTULO
4
Espacios vectoriales
suma de vectores y multiplicación por un escalar definidas en V. Las dos operaciones de cerradura [axiomas i) y iv)] se cumplen por hipótesis. Corno los vectores en H son también vectores en V, las identidades asociativa, conmutativa, distributiva y multiplicativa [axiomas ii), v), vii), viii), ix) y x)] se cumplen. Sea x E H. Entonces Ox E H por hipótesis ii). Pero por el teorema 4.2.1 de la página 286, (parte ii), Ox = O.De este modo, O E H Yse cumple el axioma iii). Por último, por la parte ii), (-l)x E H para todo x E H. Por el teorema 4.2.1 (parte iv), -x =( -l)x E H de manera que se cumple el axioma iv) y la prueba queda completa.
1:
,
!!!
Este teorema demuestra que para probar si H es o no es un subespacio de V, es suficiente verificar que . x + y y ax están en H cuando x y y están en H y a es un escalar. La prueba anterior contiene un hecho que por su importancia merece ser mencionado de forma explícita: Todo subespacio de un espacio vectorial V contiene al O.
(1)
Este hecho con frecuencia facilitará la averiguación de si un subconjunto de Ven particular no es un subespacio de V Es decir, si un subconjunto no contiene al O,entonces no es un subespacio. Note que el vector cero en H, un subespacio de V, es el mismo que el vector cero en V A continuación se mostrarán algunos ejemplos de subespacios. EJEMPLO
1
El subespacio trivial Para cualquier espacio vectorial V, el subconjunto {O}que consiste enel vector cero es únicamente un subespacio ya que O + O = OYaO = Opara todo número real a [parte i) del teorema 4.2.1]. Esto se denomina el subespacio trivial.
EJEMPLO
2
SUBESPAClOS
lB EJEMPLO
PROPIOS
3
Un espacio vectorial
es un subespacio en sí mismo
Para cada espacio vectorial V, Ves un subespacio de sí mismo. Los primeros dos ejemplos muestran que todo espacio vectorial V contiene dos subespa'.cios, {O}y V (que coinciden si V = {O}).Es más interesante encontrar otros subespacios. Los subespacios distintos a {O}y V se denominan subespacios propios. Un subespacio
propio de [;J2
Sea H = {(x, y): y = mx} (vea el ejemplo 4.2.4 de la página 283). Entonces, como ya se dijo, H es un subespacio de 1:J2. En la sección 4.6 (problema 15, página 339) se verá que si H es cualquier subespacio propio de [P, entonces H consiste en el conjunto de puntos que se encuentran sobre una recta que pasa por el origen; es decir, un conjunto de puntos que se encuentra sobre una recta que pasa por el origen es el único tipo de subespacio propio de 1:J2. EJEMPLO
4
Un subespacio
propio de [23
Sea H = {(x, y, z): x = al, y = bt y z = et; a, b, e, t reales}. Entonces H consiste en los vectores en [23 que se encuentran sobre una recta que pasa por el origen. Para ver que H es un subespacio de [23, sea x = (ai, bt., etl) E Hy Y = (at2, bt2, et2) E H. Entonces
4.3
Subespacios
295
y
Así, H es un subespacio de 1:?3. EJEMPLO
5
Otro subespacio
propio
de 1:?3
Sea T( = {(x, y, z): ax + by + cz = O; a, b, e reales}. Entonces, como se vio en el ejemplo 4.2.6 de la página 284, T( es un espacio vectorial; así, T( es un subespacio de 1:?3. En la sección 4.6 se demostrará que los conjuntos de vectores que se encuentran sobre rectas y planos que pasan por el origen son los únicos subespacios propios de 1:?3. Antes de analizar más ejemplos, es importante observar que no todo espacio vectorial tiene subespacios propios.
___
I:?_n_o_t_ie_n_e_s_u_b_e_sp_a_c_i_o_s_p_r_o_p_iO_S __ Sea Hun subespacio de I:?t Si H -:t- {O}, entonces H contiene un número real a diferente de cero. Por el axioma vi), 1 = (11 a) a E H Y f31 = f3 E H para todo número real f3. Así, si H no es el subespacio trivial, entonces H = I:? Es decir, I:? no tiene subespacios propios.
1ImIIIII,-__
A_19_u_n_o_s_s_u_b_e_s_p_ac_i_o_s_p_r_o_p_iO_s_d_ __ e_P_n
Si Pn denota el espacio vectorial de polinomios de grado menor o igual a n (ejemplo 4.2.7, página 284), y si m < n, entonces Pm es un subespacio propio de Pn como se verifica fácilmente.
° :::;
_,--_u_n_su_b_e_s
p_a_ci_o_p_ro_p_I_" o_d_e_M,--mc.;.n__ Sea Mmn (ejemplo 4.2.10, página 285) el espacio vectorial de matrices de m X n con componentes reales y sea H = {A E Mm,,: all = O}. Por la definición de suma de matrices y multiplicación por un escalar, es obvio que los dos axiomas de cerradura se cumplen de manera que H es un subespacio.
EJEMPLO
9
Un subconjunto
que no esun
subespacio
propio
de Mmn
Sea V = M,m (las matrices de n X n) y sea H = {A E M",,: A es invertible}. Entonces H no es un subespacio ya que la matriz cero de n X n no está en H.
1IIIIIIIII__ u_n_s_u_b_e_s_pa_c_i_o_p_r_o_p_io_d_e_C_l_o_, _1_]
PJO, 1] te C[O, 1] (vea el ejemplo 4.2.8 de la página 285) porque todo polinomio es continuo y P" es un espacio vectorial para todo entero n de manera q~ada PJO, 1] es un subespacio de C[O, 1].
• Observe que Ves
un espacio vectorial real; es decir, Ves un espacio vectorial en donde los escalares se toman como los números reales. Éste es el ejemplo 4.2.1, página 282, con n = 1. . • P)O, 1] denota el conjunto de polinomios de grado menor o igual a n, definidos en el intervalo [0, 1]. t
296
CAPÍTULO
4
Espacios vectoriales
1IIIIIIDII __
C_'_[O_,_1_l_e_s_u_n_su_b_e_s_p_a_cl_' o_p_r_o_p_io_d_e_C_[_O_,_1l __
Sea C'[O, 1] el conjunto de funciones con primeras derivadas continuas definidas en [O, 1]. Como toda función diferenciable es continua, se tiene CI[O, 1] e C[O, 1]. Puesto que la suma de dos funciones diferenciables es diferenciable y un múltiplo constante de una función diferenciable es diferenciable, se ve que C'[O, 1] es un subespacio de C[O, 1]. Se trata de un subespacio propio porque no toda función continua es diferenciable.
1EIIrIIIIL....__
o_tr_o_su_b_e_s_p_a_c_io_p_ro_p_i_o_d_e_C_[O_,_1_ __ l Si f
E
C[O, 1], entonces
entonces
f~[f(x)
f~f(x)
+ g(x)]
Asíf + g y afestán de C[O, 1].
f~f(x) dx dx + f~g(x) dx = O + O = ° y f~af(x)
dx existe. Sea H
= = f: f(x)
C[O, 1]:
= {f E
= O}. Si
f
E
f~f(x)
=a
dx
H Yg
E
dx
H,
= O.
en H para todo número real a. Esto muestra que H es un sub espacio propio
Como lo ilustran los últimos tres ejemplos, un espacio vectorial puede tener un número grande y variado de subespacios propios. Antes de terminar esta sección, se demostrará un hecho interesante sobre subespacios.
m
TEOREMA
Il DEMOSTRACiÓN
EJEMPLO
13
Sea H, Y H2 dos subespacios pacio de V.
de un espacio vectorial
V. Entonces H, (\ H2 es un subes-
Observe que H, (\ H2 es no vacío porque contiene al O. Sea x, H, (\ H2 Y x2 E H, (\ H2• Entonces como H, y H2 son subespacios, x, + x2 E H" Y x, + x2 E H2. Esto significa que x, + x2 E H, (\ H2• De manera similar ax, E H, (\ H2. Por lo tanto, se cumplen los dos axiomas de cerradura y H, (\ H2 es un subespacio.
la intersección
de dos subespacios
de
(¿3
es un subespacio
En ~3 sea H, = {(x, y, z): 2x - y -z = O} Y H2 = {(x, y, z): x + 2y + 3z = O}. Entonces H, y H2 consisten en vectores que se encuentran sobre planos que pasan por el origen y son, según el ejemplo 5, subespacios de ~3. H, (\ H2 es la intersección de los dos planos que se calculan como en el ejemplo 9 de la sección 3.5: x + 2y + 3z = O 2x-y-z=O reduciendo renglones, se tiene
[~
2
3
-1
-1
.[ ;
~J . [:
De este modo, todas las soluciones Haciendo z
=
2
3 7 5
I I
2
3
-5
-7
:]
al sistema homogén~
t, se o btienen las ecuaciones paramétricas
z = t. Como se observó en el ejemplo 4, el conjunto pacio de ~3.
~J
~
. [:
O
1
-
5 7
-
5
:J
es~n dadas por (- ~ z, - ~ z, z )-
de la recta L en ~3: x
=-
.!. t, Y = - 7.. t,
5 5 de vectores sobre L constituye un subes-
4.3
Subespacios
297
Observación. No es necesariamente cierto que si H¡ y H2 son subespacios de V, H¡ u H2 es un subespacio de V (puede o no serlo). Por ejemplo, H¡ = {(x, y): y = 2x} y {(x, y): y = 3x} son subespacios de [?2, pero H¡ u H2 no es un subespacio. Para ver esto, observe que (l, 2) E H¡ y (1,3) E H2 de manera que tanto Q, 2) como (1, 3,) están en H¡ u H2 Pero (1, 2) + (1,3) = (2, 5) f/'. H¡ U H2 porque (2, 5) f/'. H¡ Y (2, 5) E H2 Así, H¡ u H2 no es cerrado bajo la suma y por lo tanto no es un subespacio. O
0
0
problemas 4.3 AUTO
EVALUACiÓN
De las siguientes aseveraciones,
de vectores de la rorma
l. Conjunto
11. El conjunto
l;J
evalúe si son falsas o verdaderas.
ro rma
de vectores dela
es un subespacio
IV. El conjunto de matrices triangulares V. El conjunto
de matrices triangulares
es uo su bespaci
X
-FO}
+ 3Y
es un subespacio
Y
3 es un subespacio
de M33
0
0
de 3
0
=n2X
° de V'.
superiores de 3 x 3 es un sub espacio de M33
VI. Sea H un sub espacio de M22 Entonces (~
VII. S~ H
de 1:>'.
[~J
11I. El conjunto de matrices diagonales de 3
.
3 es un subespacio
X
de M33
0
~) debe estar en tt.
K=1[;)X-2 + sz=+oton=llUK Y
de [?3
o
VIII. Si H Y K son los subconjuntos
del problema VII, entonces H n K es un subespacio
de [?3
o
IX. El conjunto
De los problemas subespacio de V
= [?2; H = {(x, y); y 2: O}
3. V
= [?2; = [?2;
H H
=
{(x, y); y
=
{(x, y); x2
7. V = Mllln; H 8. V = ~lIn; H 10. V
= M mn ; H = Mili"; H
= = = =
11. V
=
M nm' H
=
9. V
o
de grado 2 es un subespacio
1 al 26 determine
1. V 5. V
J
de polinomios
=
si el subconjunto
~ l}
{D
E
Mili"; D es diagonal}
{T
E
Mllln; T es triangular
{T: T es triangular ,
dado H del espacio vectorial
E
Mllln: S es simétrica}
{A
E
M nm : a lj.. = O} ~)}
'\
Ves un
{(x,y);x=y}
4. V
= [?3;
H
=
el plano xy
6. V
= l?2;
H
=
{(x,
superior}
inferior}
{S
12. V= M22;H={AEM22:A=C:
0
2. V=[?2;H=
2y}
+ y2
de P3
y):
x2
+ y3 < l}
298
. CAPÍTULO
4
Espacios vectoriales
13. V
=
M22; H
=
{A
E
M22: A
=(~
1~
a) }
14. V= M22;H={AEM22:A=(~
a~l)}
15. V= M22;H={AEM22:~=(~
~)}
16. V
= P4; H = {p
17. V
=r: H = {p
18. V= P4; H=
E
E
= 4}
P4: grado p
p,,: p(O)
= O Y p'CO) = O}
{P
E
P4:p(0)
19. V = P,,; H = {P
E
P,,: p(O) = O}
=
O}
= P,,; H = {p E Pn: p(O) = 1} 21. V = C[O, 1]; H = {f E C[O, l]:f(O) = f(l) = O} 22. V = C[O, 1]; H = {f E C[O, l]:f(O) = 2} 23. V = CI[O, 1]; H = {f E CI[O, l]:f'(O) = O} 20. V
24. V
= C[a, b]; donde a y b son números reales y a < b; H = {f
25. V = C[a, b]; H = {f 26. V
=
C[a, b]; H
=
{f
E
E
27. Sea V= M22; sean HI a) Demuestre
C[a, b]:
C[a, b]:
= {A
s:
s:
E
C[a, b]:
f:
f(x) dx = O}
f(x) dx = 1}
f2(X)dX}
E M22: all
= O} Y H2 = {A EM22: A = (-:
;)}.
que HI y H2 son subespacios.
h) Describa el subconjunto
de H
= HI
n H2 y muestre que es un subespacio.
28. Si V = C[O, 1], sea HI el subespacio del ejemplo 10 Y H2 el subespacio del ejemplo 11. Describa el conjunto HI n H2 y demuestre que es un subespacio. 29. Sea A una matriz de n X m ysea H = {x E Ir': Ax de Ir'. H se llama espacio nulo de la matriz A. 30. En el problema 29 sea H
=
{x
E
=
O}. Demuestre
que H es un subespacio
Ir': AX::l=O}. Demuestre que H no es un subespacio de Ir'.
31. Sea H = {(x, y, z, w): ax + by + cz + dw = O}, donde a, b, e y d son números reales, no todos cero. Demuestre que H es un subespacio propio de 1J4. H se llama un hiperplano en lJ4 que pasa por el origen. 32. Sea H = {(XI' x2' .•. ,xJ alxl + a2x2 + ... + a"x" = O}, donde al' a2, .•• ,a" son números reales no todos cero. Demuestre que H es un subespacio propio de Ir. Al igual que en el problema 31, H se llama un hiperplano en Ir. 33. Sean HI y H2 subespacios de un espacio vectorial V. Sea HI + H2 HI Y v2 E H2}' Demuestre que HI y H2 es un subespacio de V.
= {v: v = VI
34 -. Sean VI y v2 dos vectores en subespacio de [22.
+ bv2; a, b reales} es un
*35. En el problema
[22.
Demuestre
que H
= {v: v = aVI
34 demuestre que si VI y v2 son no colineales, entonces H
+ v2 con
VI E
= [22.
*36. Sean vI' v2' , v" vectores arbitrarios en un espacio vectorial V. Sea H = {v E V: v = al VI + a2 v2 + + an vn' donde al' a2, ••• ,a" son escalares}. Demuestre que H es un subespacio de V. H se llama el subespacio generado por los vectores vI' v2' ... , v"' \
Combinación lineal y espacio generado
4.4
RESPUESTAS
•
A LA AUTO
299
EVALUACiÓN
1. F
11. V
111.V
VII. F
VIII. V
IX. F
IV. V
VI. V
V. F
MAllAB 4.3 1. a) Genere una matriz aleatoria A de 4 simétrica.
X
4 Y sea S
=
triu(A)
+ triu(A)'. Verifique que S es
b) Usando el inciso a), genere dos matrices aleatorias de 4 X 4 reales simétricas, S y T, Y un escalar aleatorio, a. Verifique que aS y S + T también son simétricas. Repita para otros cuatro juegos de S, T Y a. e) ¿Por qué se puede decir que se ha reunido evidencia de que el subconjunto simétricas de 4 X 4 es un sub espacio de M44? d) (Lápiz y papel) Pruebe que el subconjunto espacio de M,1Il.
DI
COMBINACiÓN
de matrices simétricas de n
X
de matrices
n es un sub-
LINEAL Y ESPACIO GENERADO
Se ha visto que todo vector v
=
(a, b, e) en V se puede escribir en la forma v
=
ai
+ bj + ck
En cuyo caso se dice que v es una combinación lineal de los tres vectores i, j Y k. De manera más general, se tiene la siguiente definición.
a
DEFINICIÓN
Combinación
lineal
Sean vI' v2' ... forma
, v". vectores en un espacio vectorial
V. Entonces cualquier vector de la
(1)
donde,
EJEMPLO
1
al'
a2,
Una combinación
En V (-~
J
-----
.••
,
a" son escalares se denomina una combinación lineal de
VI'
v2'
lineal en [!3
es una combinación
lineal de
(-!J -;J y (
ya quc
(-~J= J- (-;J. 2 (-~
...
,
v".
_L.__ 300
CAPÍTULO 4
Espacios vectoriales
u_n_a_c_o_m_b_i_n_a_c_io_' n_l_in_e_a_l_e_n_M....;2::3_
En M23, (-3 -1
2 9
es una combinación
En P todo polinomio Il
E3
DEFINICiÓN
••
~
3 1
lineal de ( - ~
EmIIIL.__ c_o_m_b_in_a_c_i_o_n_e_s_l_in_e_a_l_e_s_e_n_p.:.;.n x2,
1
8) = 3(-1 3 1
3
-2) lo que muestra que. (- 3
2
-6
9
-1
-2). -6
__
se puede escribir como una combinación
lineal de los "monomios"
1, x,
,x".
Conjunto generador Se dice que los vectores vI' v2' ... , vn de un espacio vectorial V generan a V si todo vector en V se puede escribir como una combinación lineal de los mismos. Es decir, para todo v E V, existen escalares al' a2, ..• , an tales que v=av
EJEMPLO
4
1 1
+av 2
2
+'''+av
(2)
n n
Conjunto de vectores que generan 122 y 123
En la sección 3.1 se vio que los vectores
i = ( 1) Y j = ( O) generan [?2. En la sección 3.3 se
:;....•
VioqUoi~lHj~mYk~m
generan D'
,.~~ _L.__ .
Ahora se verá brevemente la generación
.-..:®.....
:(,
~.~
~.
'"
..i<..
O
1
de algunos otros espacios vectoriales .
~
n_+_1_v_e_c_to_re_s_q_u_e_g_e_n_e_ra_n_a_p....;n-,--_ Del ejemplo 3 se deduce que los monomios
1, x, x2,
...
,xn generan a Pn'
Cuatro vectores que generan a M22
~.
Como (:
(~
EJEMPLO
7
~)
~) y ( ~
= a (~
n
c~)
+ b (~
~)
+ e (~
~) + d (~
~). vemos que ( ~
~). ( ~
~).
generan a M22·
Ningún conjunto finito de polinomios generan a P Sea P el espacio vectorial de polinomios. a P Para ver esto, suponga que PI' P2'
•.•
Entonces ningún conjunto finito 'de polinomios genera .F; son polinomios. Sea Pk el polinomio de mayor
4.4
301
Combinación lineal y espacio generado
grado en este conjunto y sea N = grado(pJ. Entonces el polinomio p(x) = XN+I no se puede escribir como una combinación lineal de p l' Pz' ... ,Pm• Por ejemplo si N = 3, entonces Xl "/= ea + elx + ezxz + e3x3 para cualesquiera escalares eO' el' ez y e3• Ahora se analizará
E3I
DEFINICiÓN
otra forma de encontrar
subespacios
de un espacio vectorial
V
Espacio generado por un conjunto de vectores Sea VI' vz' ... , vk' k vectores de un espacio vectorial V. El espacio generado por {VI' vz' , vJ es el conjunto de combinaciones lineales vI' vz' ... , vk. Es decir
...
(3) donde al' az' ...
a
TEOREMA
I!
DEMOSTRACIÓN
\
EJEMPLO
8
, ak son escalares arbitrarios.
Si vI' vz' ... , vk son vectores en un espacio vectorial un sub espacio de V.
V, entonces gen {vI' v2' ...
La prueba es sencilla y se deja como ejercicio (vea el problema
, vk} es
16).
El espacio generado por dos vectores en [23 Sea VI = (2, -1,4) Yv2 = (4, 1,6). Entonces H = genív., vz} = {v: V = ap, -1,4) + a/4, 1, 6)}. ¿Cuál es la apariencia de m Si V = (x, y, z) E H, entonces se tiene x = 2al + 4az' y = -al + az y Z = 4al + 6az. Si se piensa que (x, y, z) está fijo, entonces estas ecuaciones se pueden ver como un sistema de tres ecuaciones con dos incógnitas al' a2• Este sistema sé resuelve en la forma usual:
-y]
-1
U :] 4
R,
-->
-R,
~
6
Rl -->iR,
~
[1 -1
I
O
1
I
O
10
I
[~
4
x
6
z
-y]
(x + 2y)/ 6
[1
R,~R,-2R, R3 --> R3 - 4R,
O
~
O
z+4y
I
-5x/3 + 2y/3 + z
I
O O
[23
10
1
Desde el capítulo 1 se observa que el sistema tiene una solución únicamente z = O; o multiplicando por - 3, si
La ecuación (4) es la ecuación de un plano en
x+2y
x/6 - 2Y/3]
z+4y
=
-y]
6
[1 O I
R,~R, + R, R, --> R, - 10~ . O
5x - 2y - 3z
-1
O
x/6 + y/3
si -5x/3
+ 2y/3 +
(4)
que pasa por el origen.
Este último ejemplo se puede generalizar para probar el siguiente hecho interesante: El espacio generado por dos vectores diferentes de cero en plano que pasa por el origen. En los problemas
22 y 23 se encuentra
[23
que no son paralelos es un
la sugerencia de una demostración.
302
CAPÍTULO 4
Espacios vect6r~les
Figura 4.1 u + v se obtiene de la regla del paralelogramo.
a)
b)
e)
Se puede dar una interpretación geométrica de este resultado. Vea los vectores de la figura 4.1. Se conoce (de la sección 3.1) la interpretación geométrica de los vectores 2u, -u y u + v, por ejemplo. Haciendo uso de éstos, se observa que cualquier otro vector en el plano de u y v se puede obtener como una combinación lineal de u y v. La figura 4.2 muestra cuatro situaciones diferentes en las que un tercer vector w en el plano de u y v se puede escribir como ceu + f3v para valores adecuados de a y f3. Observación. En las definiciones 2 y 3 se uilizaron dos términos diferentes: "genera" y "espacio generado". Se hace hincapié en que un conjunto de vectores vI' v2' ... , VII genera a V si todo vector en V se puede escribir como una combinación lineal de v., v2' •.. , VII; pero
El espacio generado por los n vectores VI' v2' ... , vk es el conjunto de combinaciones lineales de estos vectores. Estos dos conceptos son diferentes -aun cuando los términos se parezcan-o Se cierra esta sección con la mención de un resultado útil. Su demostración no es difícil deja como ejercicio (vea el problema 24). v u
v u
au
< O)
(a
f3v 0
Figura 4.2 En cada caso w = ou + f3v para valores adecuados de a y f3.
a)
O
O
b)
au v
a>1
\ \ \
u
\ \ \
\
\
•... ----~~w
\
,, ,, ,, ,
\ \ \ \ \ \ \
,,
\ \
e)
d)
y
se
4.4
TEOREMA
E3
Sean
VI'
Vz'
...
,
Vn'
Vn+l'
n
+ ) vectores que están en un espacio vectorial
, Vil genera a V, entonces vI' vz' ...
vz' ...
Combinación lineal y espacio generado
,.
gan uno o más vectores a un conjunto
,
VII'
V. Si
VI
vn+1 también genera a V. Es decir, si se agr -
generador
se obtiene otro conjunto
generador.
problemas 4,4 AUTOEVALUACIÓN
1. ¿Cuáles de los siguientes pares de vectores no pueden generar a [¿2?
11. ¿Cuáles de lós siguientes conjuntos 2
de polinomios
2
a) 1, x
generan a Pz?
e) 1 + x, 2 + 2x, x2
b) 3, 2x, - x
d) 1,1 + x, 1 + x2
Indique si los siguientes enunciados son falsos o verdaderos 11I.
G)
IV'l~
está en el espacio generado por
}'h
V.. {1, x, x
elespacio generado
2
,x
3
{e),(!)}.
pO'1l~)n)t
, ... , x IOOOO} genera a P .
VI. {( ~ ~), ( ~ ~), ( ~ : ), ( ~ ~)} genera a M22•
VII. l[-il·[;]{-~ll gen
es un subespacio deV.
VIII. j[ -!Wlnll gen
IX. Si
{C J GJJ
De los problemas dado.
1. En V:
es un subespacio
genera a IY, entonces
1 al16 determine
e).(:)
dc~
{GJ(:J(~:)}
si el conjunto
también genera V.
dado de vectores genera el espacio vectorial
2. EnV:
C)'(~)'G)
..
,
304
CAPÍTULO 4
Espacios vectoriales
3. En~:
(~}(
=~)
:}(
4. En~:
5.
En~mfnm
6.
7.
En~[:Jnm
8.
9. En V3: (1, -1,2), (1, 1,2), (O, 0, 1)
C}G}(~)
En~mHJHJ En~[~WHJm
10. EnV3: (1, -1,2), (-1,1,2), (O, 0,1)
11. En P2: 1 - x, 3 - x2 13. En p'X2 2'
+l'x2,
-1'x+6 ,
-14. En M22:(~
~}(~~}(~° '
15. En M22:(~
:}(~~}(:° '
-1) (0 0) 3 1
-1) (-2 6
17. Demuestre
que dos polinomios
"'18. Sip¡,p2""
5) °
de grado menor o igual a dos, no pueden generar P2.
-P; genera Pm, demuestre que m
2:
n
+L
que si u y v están en gen {VI' v2' ... , vk}, entonces u + v y ceu están en gen {v., v2' ... , vk}, [Sugerencia: Utilizando la definición de espacio generado escriba u + v y exu como combinaciones lineales de vI' v2' ... , vk.]
19. Demuestre
20. Demuestre nomios.
que el conjunto
infinito {l, x, x2, x3,
•..
}
genera P, el espacio vectorial de poli-
21. Sea Hun subespacio de V que contiene a vI' v2' ... , VII' Demuestre que gen {v., v2' ... <;;; H Es decir, gen {v., v2' ... , v,) es el subespacio más pequeño de V que contiene 22. Sean v¡ = (x., YI' z.) y v2 = (x2, Y2, z) en V3, Demuestre es una recta que pasa por el origen.
que si v2
=
, v,) a VI'
cvI' entonces gen {v., v2}
**23. En el problema 22 suponga que v¡ y v2 no son paralelos. Demuestre que H = gen '{VI' v2} e un plano que pasa por el origen. ¿Cuál es la ecuación del plano? [Sugerencia: Si (x, y, z) E H, escriba v = a¡v¡ + a2v2 y encuentre una condición respecto a x, y y Z tal que el sistema de 3 X 2 resultante tenga una solución.] 24. Pruebe el teorema 2. [Sugerencia: Si v E V, escriba v como una combinación v2' .•. , VII' v +¡ con el coeficiente de v +¡ igual a cero.] ll
25. Demuestre
lineal de
VI'
ll
que M22 se puede generar con matrices invertibles.
26. Sean {u., u2' que
••..
,
u} y {v.,
V ' 2
•..
,
v,) dos n-vectores en un espacio vectorial V Suponga
314
CAPÍTULO
4
Espaciosvectoriales
\11G~'(
d)
¿Genera el siguiente conjunto de matrices todo M23? ¿Por qué?
n~;
lB
INDEPENDENCIA
LINEAL
En el estudio del álgebra lineal, una de las ideas centrales es la de dependencia o independencia lineal de los vectores. En esta sección se define el significado de independencia lineal y se muestra su relación con la teoría de sistemas homogéneos de ecuaciones y determinantes. ¿Existe una relación especial entre los vectores puede apreciar que v2
=
VI
= ( ~)
y
V 2
=(
!}
Por supuesto, se
2vl; o si se escribe esta ecuación de otra manera, (1)
En otras palabras, el vector cero se puede escribir como una combinación no trivial de VI y v2 (es decir, donde los coeficientes en la combinación lineal no son ambos cero). ¿Qué tienen de especial los vectores v, =
lH v,
= ( ;)
y
v; = ( ~:
)?la
respuesta a esta pregunta e
más difícil a simple vista. Sin embargo, es sencillo verificar que v3 esto se obtiene
=
3vI + 2v2; rescribiendo (2)
Se ha escrito el vector cero como una combinación lineal de vI' v2 y v3• Parece que los dos vectores en la ecuación (1) y los tres vectores en la ecuación (2) tienen una relación más cercana que un par arbitrario de 2-vectores o una terna arbitraria de 3-vectores. En cada caso, se dice que los vectores son linealmente dependientes. En términos generales, se tiene la importante definición que a continuación se presenta.
DEFINICiÓN
a
Dependencia e independencia lineal
Sean VI' v2' ..• , VII' n vectores en un espacio vectorial V. Entonces se dice que los vectores son linealmen~edependientes si existen n escalares cl' c2' .•• , cll no todos cero tales que (3)
Si los vectores no son linealmente dependientes, se dice que son linealmente independientes.
Para decirlo de otra forma, VI' v2' ... , VII son linealmente independientes si la ecuación clv. + ... + CIlVIl = Ose cumple únicamente para cI = c2 = ... = cll = O. Son linealmente dependientes si el vector cero en V se puede expresar como una combinación lineal de vI' v2' •• . , VII con coeficientes no todos iguales a cero.
+
C2V2
Nota. Se dice que los vectores VI' v2' .•. que el conjunto de vectores {vI' v2' ..•
, VII , VII}
es, se usan las dos frases indistintamente.
son lin~almente independientes (o dependientes), o es linealmerrle independiente (o dependiente). Esto
4.5
¿Cómo se determina si un conjunto de vectores es linealme caso de 2-vectores es sencillo ..
a
TEOREMA
315
Independencia lineal
te dependiente
o independiente?
El
Dependencia e independencia lineal Dos vectores en un espacio vectorial son linealmente ellos es un múltiplo escalar del otro.
dependientes
si y sólo si uno de
Primero suponga que v2 = cV¡para algún escalar c;{oO. Entonces cv¡ - v2 = O:)' v¡ y v2 son !inealmente dependientes. Por otro parte, suponga que v¡ y v2 son !inealmente dependientes. Entonces existen constantes c¡ y c2al menos uno distinto de cero, tales que c¡v¡ + C2V2 = O. Si c¡ ;{oO, entonces dividiendo entre c¡ se obtiene v¡ + (c/c)v2 = O, o sea,
DEMOSTRACiÓN
v =(-~)v C
¡
2
¡
Es decir, v¡ es un múltiplo escalar de v2• Si c¡ = OV¡.
EJEMPLO
1
Dos vectores linealmente dependientes en
Los vectores v, "[ -
EJEMPLO
2
f
1 {~l y
v,
1) C
~
c)
[ =
~:
y [ ~) son linealmente
4 . Entonces
-3 2
=
c, 5
0, entonces c2;{o
=
2c y - 3
y, por lo tanto, v2
=
O
ya quev,
" - 3v,
~3
independientes;
=
°
~4
son linealmen te dependientes
Dos vectores linealmente dependientes en
Los vectores [~)
=
si no lo fueran, se tendría [ ~) =
4c, lo cual es evidentemente
-3 imposible para cual-
[ quier número c. EJEMPLO
3
Determinación de la dependencia o independencia lineal de tres vectores en
Determine
••
Solución
si los vectores [
y
son Iinealmente
dependientes
Su ponga que e, [ - ~) + e, [- ~) + e, [ ~) " O" [ ~). Entonces multiplicando
2
·o o
-H[-~) [!)
tiene [
c¡ + 2c -2c¡ - 2c2 + 3c¡
c3
+ 7c3
incógnitas c¡, c2y c3:
)
[0)
= O . Esto lleva al sistema homogéneo
O
~3
o independientes.
y sumando
se ob-
de tres ecuaciones con tres
316
CAPÍTULO
4
Espacios vectoriales
+ 2e2 - 2e) + 2e2 e)
=
O
+ e3 = O
(4)
3e) + 7e3 = O , De este modo, los vectores serán linealmente dependientes si y sólo si el sistema (4) tiene soluciones no triviales. Se escribe el sistema (4) usando una matriz aumentada y después se rdluce por renglones. La forma escalonada reducida por renglones de 1
2
O
-2 -2 [
3
O
7
O
O
1
O
O
1
Este último sistema de ecuaciones se lee e) = O, e2 = O, e3 = O. Por lo tanto, (4) no tiene soluciones no triviales y los vectores dados son linealmente independientes. EJEMPLO
4
Determinación
Determine
••
Solución
de la dependencia
si los vectores [
lineal de tres vectores en
-iJ [~J J y [~~
J + e, [ ~J + e, [ ~~
La ecuación e, [ - ~
son linealmente
H~
J conduce
e)
4e2
[
-~
11
O
-6
4
12
•
~1
.[:
o independientes
al sistema homogéneo
6e3
=O
[:
3 11 3~ 4
12
(5)
+ 12e3 = O
el sistema (5) en la forma de matriz aumentada
3
dependientes
+ 3e2 + 11e3 = O
-3e)
Escribiendo obtiene
(23
I
I I
3
11
9
27
4
12
01 O
y reduciendo
por renglones,
se
•
~1 O
•
O
(:
O
2 3
II
0J
O
I
O
O
Nos podemos detener aquí ya que la teoría de la sección lA muestra que el sistema (5) tiene un número infinito de soluciones. Por ejemplo, la última matriz aumentada se lee e)
+ 2e3 e2 + 3e3
=O =
O
Si se hace e3 = 1, se tiene e2 = -3 Y e) = -2, de manera que, como puede verificarse,
J - 3 [ ~ J + [ ~~J = [ ~J y los vectores
-2 [ - ~
son lineal mente dependientes
, 4.5
INTERPRETACIÓN
Independencialineal
317
GEOMÉTRICA DE LA DEPENDENCIA LINEAL EN [¿3
En el ejemplo 3 se encontraron tres vectores en 1:13que eran linealmente independientes, En el ejemplo 4 se encontraron tres vectores que eran linealmente dependientes. ¿Qué significado geométrico tiene esto? Suponga que u, v y w son tres vectores linealmente dependientes en 1:13.S ueden tratar los vectores como si tuvieran un punto terminal en el origen. Entonces ex) en constantes cl' c2 y c3' no todas cero, tales que ( f
~
(6)
"*
"*
Suponga que c3 O(un resultado similar se cumple si cI "* Oo c2 O).Entonces se pueden dividir ambos lados de (6) entre c3 y reacomodar los términos para obtener
donde A
=
=», y B w . (u X
=
=
c.f c; Ahora se demostrará que u, v y w son coplanares. Se calcula
v) = (Au
X
Bv)
= . (u X v) = A[u· (u X v)] + B[v' (u X v)]
=A·O+B·O=O porque u y v son ambos ortogonales a u X v (vea la página 255). Sea n = u X v. Si n = 0, entonces por el teorema 3.4.2 parte vii) u y v son paralelos (y colineales). Así u, v y w están en cualquier plano que contiene tanto a u como a v y por consiguiente son coplanares. Si n "* 0, entonces u y v están en el plano que consiste en aquellos vectores que pasan por el origen que son ortogonales a n. Pero w está en el mismo plano porque w . n = w . (u X v) = O.Esto muestra que u, v y w son coplanares. En el problema 66 se pide al lector que demuestre que si u, v Yw son coplanares, son linealmente dependientes. Se concluye que
Tres vectores en 1:13son linealmente dependientes si y sólo si son coplanares. La figura 4.3 ilustra este hecho utilizando los vectores en los ejemplos 3 y 4.
z
z (O, 1,7) (11, -6, 12)
Figura 4.3 Dos conjuntos de tres vectores,
-»::----+-y (2, -2, O)
x
x a) Estos tres vectores son independientes y no coplanares
b) Estos tres vectores son iridependientes y coplanares
318
CAPÍTULO
4
Espacios vectoriales
La teoría de sistemas homogéneos de los vectores.
E3
TEOREMA
Un conjunto
nos habla acerca de la dependencia
de n vectores en V"'" siempr
linealmente
+Cv+···+CV 2 2
1
a ]
= :~'
constantes
=0
> m.
CI' c2'
...
lineal
(, \
CIIno
(7)
lll
ll
Sea v.
n n
si n
dependiente
Sean VI' v2' ... , VII' n vectores en Il" e intentemos encontrar todos cero tales que cvI
o independencia
,v,
[aI2] [a ] = :~' , ... , -. = :'" . Eotonces
la ecuación (7) se convierte en
[ mi
m2
mil
allcl +
al2c2
+
+
a21cI+ a22c2 +
+
a c+a mi
I
m2
alllclI = O a cII = O 2n
c+"'+a 2
n c=O
nlll
Pero el sistema (8) es el sistema (1.4.1) de la página 38 y, según el teorema 1.4.1, tiene un número infinito de soluciones si n > m. De esta forma, existen escalares cl' c2' ••• , CIIno todos cero, que satisfacen (8) y, por lo tanto, los vectores vI' v2' ... , VIIson lineal mente dependientes.
EJEMPLO
Cuatro vectores en
5
Los vectores [ conjunto
[;)3
que son lineal mente dependientes
-n[jl [-::J HJ
son linealmente
dependientes
ya que constituyen
un
de cuatro vectores de 3 elementos.
Existe un corolario importante
COROLARIO
y
Un conjunto
(y obvio) del teorema 2.
de vectores linealmente
independientes
en
[;)11
contiene a lo más n vectores.
Nota. El corolario se puede expresar de otra forma. Si se tienen n vectores de dimensión n linealmente independientes, no se pueden incluir más vectores sin convertir el conjunto en uno linealmente dependiente. Del sistema (8) se puede hacer otra observación importante cuya prueba se deja como ejercicio (refiérase al problema 32 de la presente sección).
TEOREMA
a
all Sea A
ln
a «. ]
= ::[
mi
am2
...
a
mn
4.5
319
Independencia lineal
Entonces las columnas de A consideradas como vectores, son linealmente dependientes si y sólo si el sistema (8), que se puede escribir como Ac = O, tiene soluciones no triviales.
AqUic{J EJEMPLO
6
Soluciones a un sistema homogéneo
escritas como combinaciones
lineales de vectores solución linealmente
independientes
Considere el sistema homogéneo XI
+ 2x2
-
x3 + 2x4
3xI + 7x2 + x3 + 4x4
••
Solución
=O =O
(9)
Haciendo una reducción de renglones:
[1 2
-1 2
3 7
4
~l
•
[:
.[:
-1
1
4
-2
-9
6
4
-2
O
1
~l ~l
·2
2
El último sistema es XI
-
9x3 + 6x4 = O
x2 + 4x3
-
2x4 = O
Se ve que este sistema tiene un número infinito de soluciones, que se escriben como una combinación lineal de los vectores columna:
(10)
Observe que [- ~
J
y. [ - ~
J son soluciones
linealmente independientes
paca (9) porque ningu-
no de los dos es múltiplo del otro (el lector debe verificar que sean soluciones). Como x3 y x4 son números reales arbitrarios, se ve de (10) que el conjunto de soluciones al sistema (9) es un subespacio de [?4 generado por estos dos vectores solución linealmente independientes. Los siguientes dos teoremas se deducen directamente
del teorema 3.
320
4
CAPÍTULO
a
TEOREMA
Espacios vectoriales
Sean VI'v2' ••• , vl/'n vectores en l!' y sea A una matriz de n X n cuyas columnas son vI' v2' ••• , vl/'Entonces, vI' v2' ••• , vI/son linealmente independientes si y sólo si la única solución al sistema homogéneo Ax = Oes la solución trivial x = O.
.
I! DEMOSTRACiÓN
Éste es el teorema 3 para el caso m
a
TEOREMA
I! DEMOSTRACIÓN
=
n.
mente independientes. Del teorema 4 y del teorema de resumen (página 208), las columnas de A son linealmente independientes <=> O es la única solución a Ax = O<=> det A "* O. Aquí, <=> significa "si y sólo si". El teorema 5 nos lleva a extender nuestro teorema de resumen.
TEOREMA
m
Teorema de resumen (punto de vista 5)
Sea A una matriz de n X n. Entonces las ocho afirmaciones siguientes son equivalentes; es decir, cada una implica a las otras siete (de manera que si una es cierta, todas son ciertas). i. A es invertible. ü. La única solución al sistema homogéneo Ax üi. El sistema Ax
= b.tiene
= O es la solución trivial (x = O).
una solución única para cada n-vector b.
iv, A es equivalente por renglones a la matriz identidad de n X n, 11/'
v. A es el producto de matrices elementales. vi. La forma escalonada por renglones de A tiene n pivotes. vii. det A
"* O.
viü. Las columnas (y renglones) de A son linealmente independientes.
I! DEMOSTRACiÓN
La única parte que no se ha demostrado hasta el momento es que los renglones de A son linealmente independientes <=> det A "* O. Las columnas son independientes <=> det A "* O <=> det A' = det A "* O (vea el teorema 2.2.4 de la página 185) <=> las columnas de A' son linealmente independientes. Pero las columnas de A' son los renglones de A. Esto completa la prueba. El siguiente teorema combina las ideas de independencia lineal y conjuntos generadores en I~I/.
TEOREMA
a
Cualquier conjunto de n vectores linealmente independiente en P' genera a l!'. ll
I! DEMOSTRACiÓN
a ] [aI2] [all/] sean[:II]~ ::: ,v, ~ :~ , ... , -. ~ :: ,vecto,,'¡;nealmente [
independientes y sea
v ~ ~' ,un vector en l!'. ])eb~O' demostrar que existen escala", '" '" ... , < tales que xI/
v - elvl + e2v2
+ ... + el/vII
4.5
Independencialineal
321
Es decir
(11)
En (11) se multiplican componentes, n ecuaciones con n incógnitas el' e2,
se igualan y se suman para obtener u ( sistema de ...
, en:
a¡¡c¡
+ a¡2e¡2 +
+ a¡nc"
= x¡
a2¡c¡
+ a22c2 +
+ a2"cn
= x2
Se puede escribir (12) como Ac
=
(12)
v, donde
Pero det A ::j:. O ya que las columnas de A son linealmente independientes. De manera que el sistema (12) tiene una solución única e por el teorema 6 y el teorema queda demostrado.
Observación. Esta demostración 110 sólo muestra que v se puede escribir como una combinación lineal de los vectores independientes vI' v2, ... , v"' sino también que esto se puede lograr de una sola manera (ya que el vector solución e es único). EJEMPLO
7
Tres vectores en 1;>3 generan V3 si su determinante
es diferente
de cero
213 Los vectores (2, -1,4), (1, O, 2) Y (3, -1,5) generan tanto, son independientes.
(23
porque
-1
O -1
=
-1 ::j:. Oy, por lo
425
Todos los ejemplos que se han dado hasta ahora han sido en el espacio PI. Esto no representa una restricción tan grande como parece. En la sección 5.4 (teorema 6) se demostrará que diferentes espacios vectoriales de apariencia muy distinta tienen, en esencia, las mismas propiedades. Por ejemplo, se verá que el espacio P" es fundamentalmente el mismo que l?"+¡. Se dirá que dos espacios vectoriales con esta forma son isomórficos. Este importante resultado tendrá que esperar hasta el capítulo 5. Mientras tanto, se darán algunos ejemplos en espacios diferentes al?". EJEMPLO
8
Tres matrices lineal mente independientes
en M23
(13 O1 -12) , Az =.(.,.-12 31 4)O y ~ = (-11 2O 11) . Determine..
En M23, sean ~
=
son linealmente
dependientes
o independientes.
SI
A¡, A2 Y A3
322
CAPÍTULO
•••
4
Espaciosvectoriales
Solución
Esto nos proporciona un sistema homogéneo de seis ecuaciones con tres incógnitas, el' e2 y e3':~ el cual reulta bastante sencillo verificar que la única solución es el = e2 = e3 = O.De este modo. las tres matrices son linealmente independientes. EJEMPLO
9
Cuatro polinomios linealmente independientes
en P3
En P3 determine si los polinomios 1, x, x2 y x3 son linealmente dependientes o independientes .
. • • Solución
Suponga que el + e2x + e3x2 + e4x3 = O.Esto debe cumplirse para todo número real x. En particular, si x = O,se obtiene el = O.Entonces, haciendo x = 1, -1,2 se obtiene, sucesivamente. C2
+ c3 + c4
=. +
c3
-
=O
c4 = O
=O
2c2 + 4c3 + 8c4
El determinante de este sistema homogéneo es 1
1
-1
1
1 -1 =12*0
2 4
8
De manera que el sistema tiene una solución única el = c2 = c3 = c4 = OYlos cuatro polinomios son linealmente independientes. Esto se puede ver de otra forma. Se sabe que cualquier polinomio de grado 3 tiene a lo más tres raíces reales. Pero si cI + c2x + e3x2 + C4X3 = Opara algunas constantes diferentes de cero Cl' C2' C3, y C4 y para todo número real x, entonces se ha construido un polinomio cúbico para el que todo número real es una raíz, lo cual es imposible. EJEMPLO
10
Tres polinomios linealmente independientes
En P2, determine si los polinomios x - 2x2, x2 -4x o independientes. Ir
•
Solución
Sea eJx - 2X2) + c/x2 -4x)
+ c3(-7x
en P2 y -7x
+ 8x2 son linealmente dependientes
+ 8X2) = O.Reacomodando los términos se obtiene (e, - 4c2 -7c3)x
(-2cI +
Estas ecuaciones se cumplen para todo
x
=O
2
=O
=
O
c2 + 8c3)X
si y sólo si
y -2cI
+ c2 + 8c3
Pero para el teorema 1.4.1 de la página 38, este sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas tiene un número infinito de soluciones. Lo que muestra que los polinomios son linealmente dependientes.
4.5
323
Independencia lineal
Si se resuelve este sistema homogéneo, se obtiene, .sucesivamente
[-~
-4
-7
1
8
~l .(:
.[~
-4
-7
-7 -6
-4
Así, se puede dar un valor arbitrario a e3, tonces cI = 25, c2 = -6y se tiene
~l . (1
-7
:]
6 7
el
--
Ü
O 1
25
7 6
:]
-
7
= 25 e3
y e2
ie
=-
3•
7
7
25(x - 2X2) - 6(X2 - 4x) + 7( =Tx + 8X2)
Si, por ejemplo, . =
e3 =
I <:
7, en-
O
problemas 4.5 AUTOEVALUACIÓN
1.¿Cuáles de los siguientes pares de vectores son linealmente independientes? a)
d)
G}G) C}C~) C~~}(~n b)
C~}(~)
c)
e) (-:}(~)
11. ¿Cuál de los siguientes pares de vectores es un conjunto generador de f.22?
a)
d)
C}(-~) (-~n,(~~)
b) (~}(~)
c)
C~}(~)
e) (-:}(~)
111. ¿Cuál de los siguientes conjuntos de vectores debe ser linealmente dependiente?
CIB-ESPOL b) (;}(;}(;)
Aquí a, b, e, d, e,f, g, h, i.j, k, Y 1 son números reales. Indique si las siguientes afirmaciones son falsas o verdaderas IV. Si vI'
v2' ... , VII son linealmente independientes, entonces son linealmente independientes.
V. Si vI'
v2' ... , vn son linealmente dependientes, entonces son linealmente dependientes.
VI. Si A es una matriz de 3
3 Ydet A linealmente dependientes en [¿3. X
=
vI' v2' ...
VI' v2' ...
, VII' vlI+I
también
, VII' vII+I
también
O,entonces los renglones de A son vectores
._-----------
I , I
-------
324
CAPÍTULO
4
Espacios vectoriales
VII. Los polinomios 3, 2x, - x3 y 3x4 son lineaImente independientes en P4 VIII. Las matrices
en M
• 22
(1 O), (O 1), (O 1) Y(2 3) O O O O 1 O -5~ O
son linealmente in ependientes
De los problemas 1 al 27 determine si el conjunto de vectores dado es linealmente dependiente o independiente.
1.
C}(=~)
3. (-~}(
2.
~~)
4.
9.
11.
13.
15.
[-!]H]
6·lHr:J
5. (-~}(~)
7.
HlH]
s·mmu
(-~);(1~);(-;)
[nmm mr:H-:] [-mJ]H]U]
10.
12.
[-H[-nm
[-m-n m
.[
[-i];[~];[-:];[r]
1] [ O.3] [ 4.O] [ O5]
-2.
14
16.
~'-~'
-~
18. En P2: -x, x2
-
19. En P2: 1 - x, 1 + x, x2
20. En P2: x, x2
X,
21. En ~: x -1, (x - l)(x - 2), (x - l)(x - 2)(x - 3), x 22. En P3: 2x, x3 23. En M22:
-
3, 1
+ x - 4x3, x3 + 18x - 9
(O1 -3) (47-5 1) (42 -1) O 5 ,
,
-~
nHnUH~~]
17. EnP?: 1 - X,x
4
,
-
2x, 3x + 5x2 x3
-
x
4.5
24. Sea M22:
25. Sea M22:
325
Independencia lineal
(1 -1) (-1 O) ( 1 ~}(~~) (-1 O) (2 3) (8 -S) (4 -1) (2 3) ,
O
,
6
3
1
-1
1 2 ' 7 -4 ' 7
6 ' 2
3 ~ -1
4
*26. En C[O, 1]: sen x, cos x *27. En C[O, 1]: x,
¡;,r;
una condición sobre los números a, b, e y d tal que los vectores (: ) y (~)
28. Determine linealmente
dependientes.
*29. Encu~ntre
una condicjó~
sobre los números
ll I3 aa2J ] ' [al'2] ] a22 y [aa23
aij tal que los vectores
[
a31
sean linealrnente dependientes.
30. ¿Paca qué valor/es) de o serán linealmente
31. ¿Para qué valor(es) de a.serán
[Sugerencia:
[inealmente
observe con atención.]
32. Pruebe el teorema 3. [Sugerencia:
dependien tes los vectores
dependientes
lo son
VI'
que si v2'
..•
,
VI'
v2'
•••
,
vk' donde k
a32
a33
[~H-!H:} [-~1·,[-:1,[71?
I~s vectores
..
1
-2
2
observe con atención el sistema (8).]
33. Demuestre que si los vectores VI' v2' ... , v" son lineal mente dependientes n, y si V"+I es cualquier otro vector en 1)", entonces el conjunto VI' v2' ••• mente dependiente. 34. Demuestre
sean
v" (n ::::::2) son lineal mente independientes,
,
en 1)11, con In < v"' V"+I es lineal-
entonces también
< n.
35. Demuestre que si los vectores VI y v2 diferentes de cero en 1)' son ortogoriales 80), entonces el conjunto {VI' v2} es linealmente independiente.
(vea la página
*36. Suponga que VI es ortogonal a v2 y v3 y que v2 es ortogonal a v3. Si vI' v2 y v3 son diferentes de cero, demuestre que el conjunto {VI' v2' v3} es linealmente independiente. 37. Sea A una matriz cuadrada (de n X n) cuyas columnas son los vectores, vI' v2' ... , v"' Demuestre que vI' v2' ... , v" son linealmente independientes si y sólo si la forma escalonada por renglones de A no contiene un renglón de ceros.
44
De los problemas 38 al escriba las soluciones a los sistemas homogéneos de uno o más vectores lineal mente independientes.
38.
XI
+ x2 + x3
=
O
Xl - x2 + 7x3 - x4 2xI + 3x2 - 8x3 + x4 40. XI + x2 + x3 = O Xl - x2 - x3 = O
39.
41.
XI + 2x2 - x3 2xI + SX2 + 4x3
= =
O O
= =
O O
dados en términos
332
4
CAPÍTULO
Espacios vectoriales
Nota. Este problema fue inspirado por una conferencia dada por Gilbert Strang en la U/ versity of New Hampshire,
ID
en junio de 1991.
BASES y DIMENSiÓN Se ha visto que en ~ conveniene escribir vectores como una combinación
i
=(~)
y j
l
=[ ~
se generalizará
a
DEFINICiÓN
En 1)' se escribieron
los vectores eo términos de
lineal de los vectores
[~J,[~J [~J. y
Ahora
esta idea.
Base Un conjunto finito de vectores i. {v!, v2'
•••
íi. {v., V2' ...
,
{VI'
v,J es linealmente
v2'
...
,
v,J es una base para un espacio vectorial Vsi
independiente.
, V,) genera a V.
Ya se han analizado algunos ejemplos de bases. En el teorema 4.5.7, por ejemplo, se vio que cualquier conjunto de n vectores linealmente independientes en 12"genera a 12".De esta for~a,
Todo conjunto
de n vectores linealmente
independiente
en 12"es una base en 12".
En 12"se define 1
O 1>
O eI
=
° ,e
2
O
le
BASE CANÓNICA
EJEMPLO
1
=
O ,e3
=
O
O
O
O
O
1 , ... , en =
°
O
Puesto que los vectores e¡ son las columnas de una matriz identidad (que tiente determinante 1), {el' e2, ... e} es un conjunto linealmente independiente y, por lo tanto, constituye una base en 12". Esta base especial se denomina base canónica en 12". Ahora se encontrarán bases para algunos otros espacios.
Base canónica para Pn Por el ejemplo 4.5.9 de la página 322, los polinomios 1, X, x2 Y x3 son linealmente independientes en P3' para el ejemplo 4.4.3 de la página 300, estos polinomios generan P3. Así, {l, X, x2, x'} es una base para P3• En general, los monomios {L.x, x2, x3, ••• ,x"} constituyen una base para P . Ésta se denomina la base canónica para P n . . 11
EJEMPLO
2
Base canónica para M22 Se vio en el ejemplo 4.4.6 de la página 300, que (~
M22· S1. (el
e3
e2) e4
= el
:), (:
(1° °0) + (0 1) + (O 0) + (0 e2
O
O
e3
1
O
e4
O
~), ( ~
~) = ( :
:)
y (:
: ),
~) generan a
entonces es eviden-
4.6
333
Bases y dimensión
te que el = e2 = e3 = e4 = O. Así, estas cuatro matrices son lineal mente independientes una base para M22, lo que se denomina base canónica para M22•
_,-
__ u_n_a_b_a_s_e_p_a_r_a_u_n_s_u_b_e_s_p_a_c_io_d_e_[?_3 Encuentre
• Solución
una base para el conjunto
En el ejemplo 4.2.6 se observó
de vectores que se encuentra
Si VI' v2'
.•.
(:J
E
rr, entonces y
=
2x
+ 3z.
AS~:los
z
[~J (~J y
independientes , VII es
y si
una base, 'Primero
generan a rt. Como es evidente que estos dos veetores son
(porque uno no es múltiplo del otro), forman una base para rt.
una base para V, entonces cualquier otro vector
V E
V se puede escribir como
+ ... + ellvll. ¿Puede escribirse de otra manera como una combinación lineal de los vectores v? La respuesta es no (vea la observación que sigue a la demostración del teorema V =
elvl
+
en el plano
que rr es un espacio vectorial. Para encontrar
vectores en rt tienen la forma
linealmente
/
__
se observa que si x y z se escogen arbitrariamente
Lo cual muestra que
y forman/
e2v2
4.5.7 de la página 326, para el caso V
TEOREMA
lB
DEMOSTRACIÓN
El
=
[?Il).
Si {v., v2' .•. , v,J es una base para Vy si V E V, entonces existe un conjunto escalares el' e2, ... , ell tales que V = elvl + e2v2 + ... + ellvll.
únieo de
Existe cuando menos un conjunto de dichos escalares porque {VI' v2' ... , v.J genera a V. Suponga entonces que V se puede escribir de dos maneras como una combinación lineal de los vectores de la base. Es decir, suponga que
Entonces, restando se obtiene la ecuación (el - d)v¡
+ (e2 - d)v2 + ... + (en - d,,)vll
=
O
Pero como los Vi son linealmente independientes, esta ecuación se cumple si y sólo si el - di = e2 - d2 = ... = ell - dn = O. Así, el = d., e2 = d2, ... , ell = dll Y el teorema queda demostrado.
Se ha visto que un espacio vectorial tiene múltiples bases. Una pregunta surge de manera natural: ¿contienen todas las bases el mismo número de vectores? En [?31a respuesta es: por supuesto, sí. Para ver esto, se observa que cualesquiera tres vectores linealmente independientes
334
CAPÍTULO
4
Espacios vectoriales
en [!3 forman una base. Pero menos vectores no pueden formar una base ya que, como se vio ~ sección 4.4, el espacio generado por dos vectores !inealmente independientes en [!3 es un plano -y un plano no es todo [!3_. De manera similar, un conjunto de cuatro vectores o más en l!3 no puede ser !inealmente independiente, pues si los tres primeros vectores en el conjunto son !inealmente independientes, entonces forman una base; por lo tanto, todos los demás vectores en el conjunto se pueden expresar como una combinación lineal de los primeros tres. Entonces, todas las bases en l!3contienen tres vectores. El siguiente teorema nos indica que la respuesta a la pregunta anterior es sí para todos los espacios vectoriales.
TEOREMA
E3I
Si {u., 0z' ... ,01lJ Y {v., Vz' ... , vJ son bases en un espacio vectorial V, entonces m = n; es decir, cualesquiera dos bases en un espacio vectorial V tienen el mismo número de vectores.
I! DEMOSTRAClóNt
Sea SI
{u., 0z' ... , um} y S2 = {VI' v2' ... , v,,} dos bases para V. Debe demostrarse que m = n. Esto se prueba mostrando que si m > n, entonces SI es un conjunto linealmente independiente, lo que contradice la hipótesis de que SI es una base. Esto demostrará que m :::;n. La misma prueba demostrará que n :::;m y esto prueba el teorema. ASÍ, basta demostrar que si m> n, entonces SI es dependiente. Como S; constituye una base, todo 0i se puede expresar como una combinación lineal de las vj" Se tiene =
=allv¡
+a¡ZvZ
+
+a¡nv"
Uz =aZ¡v¡
+azzvz
+
+aZnv"
UI
Para demostrar que SI es dependiente, todos cero, tales que
deben encontrarse
(1)
escalares cl' cz' ...
, cm' no (2)
Sustituyendo c¡(allvl
(1) en (2) se obtiene
+ a¡2v2 + ... + a¡lIv) + cZ(a2Iv¡ + a22v2 + + a2"v) + ... + cm(all/¡v¡ + all/2v2 + + alllllv)
=
O
(3)
La ecuación (3) se puede reescribir como Ca¡¡c¡
+ a2¡c2 + ... + all/¡cm)vI +(a¡2c¡ + a22cZ + ... + «s.». + ... + (a¡" cI + a2nc2 + ... + «».». = O
Pero como v!' vz' ... , v" son linealmente
independientes,
a¡¡c¡ + a2¡cZ +
+ am¡cm
=O
a¡Zc¡ + aZZc2 +
+ amZcm
=O
(4)
se debe tener
(5)
El sistema (5) es un sistema homogéneo de n ecuaciones con las m incógnitas c¡, c2' ... , cm y como m > n, el teorema 1.4.1 de la página 38, dice que el sistema tiene un número
•Esta prueba t
se da para espacios vectoriales con bases que contienen un número finito de vectores. También se manejan reales; pero la prueba funciona también en el caso complejo.
105 escalares como si fueran números
4.6
Bases y dimensión
33
infinito de soluciones. De esta forma, existen escalares el' e2, ••• , em, no todos cero, tales que (2) se satisface y, por lo tanto, SI es un conjunto linealmente dependiente. Esta contradicción prueba que m :5 n si se cambian los papeles de SI y S2' se demuestra que n :5 m y la prueba queda completa.
Por este teorema se puede definir uno de los conceptos centrales en el álgebra lineal.
DEFINICiÓN
m
Dimensión Si el espacio vectorial V tiene una base con un número finito de elementos, entonces la dimensión de Ves el número de vectores en todas las bases y V se denomina espacio vectorial de dimensión finita. De otra manera, V se denomina espacio vectorial de dimensión infinita. Si V = {O}, entonces se dice que V tiene dimensión cero.
Notación. La dimensión
V se denota por dim V.
Observación. No se ha demostrado que todo espacio vectorial tiene una base. Esta difícil prueba aparece en la sección 4.12. Pero no se requiere para que la definición 2 tenga sentido, ya que si V tiene una base finita, entonces Ves de dimensión finita. De otra manera, V tiene dimensión infinita. Por lo tanto, con el fin de demostrar que V tiene dimensión infinita, sólo es necesario demostrar que V no tiene una base finita lo que se puede hacer probando que V contiene un número infinito de vectores linealmente independientes (vea el ejemplo 7). EJEMPLO
4
La dimensión de [¿n Como n vectores linealmente
independientes
en Il' constituyen
dimll' EJEMPLO
5
=
n
La dimensión de Pn Para el ejemplo 1 y el problema 4.5.47, página 326, los polinomios una base en P n . Entonces dim P 11 = n + l.
EJEMPLO
6
una base, se observa que
{l, x, x2,
••.
,x"} constituyen
La dimensión de M mn En M mn sea A 1)..la matriz de m X n con un uno en la posición ij y cero en otra parte. Es sencillo demostrar que las matrices Aij para i = 1,2, ... , m y j = 1,2, ... , n forman una base para Así, dim M"", = mn. MI1III.
EJEMPLO:7
P tiene dimensión infinita En el ejemplo 4.4.7 de la página 300, se observó que ningún conjunto finito de polinomios genera a P. Entonces P no tiene una base finita y, por lo tanto, es un espacio vectorial de dimensión infinita. Existe un gran número de teoremas sobre la dimensión
de un espacio vectorial.
336
CAPÍTULO
TEOREMA
la
4
Espacios vectoriales
E:I
Suponga que dim V = n. Si uI' u2' ... independientes en V, entonces m ::s:n.
, um
es un conjunto de m vectores linealmente
Sea vI' v2' •.• , VII una base para V. Si m > n, entonces, igual que en la prueba del teorema 2, se pueden encontrar constantes el' e2, .•• , e no todas cero, tales que la ecuación (2) se satisface. Esto contradice la independencia lineal de los vectores ur ASÍ, m ::s:n.
DEMOSTRACIÓN
m
a
TEOREMA
Sea H un subespacio de un espacio vectorial de dimensión finita V. Entonces H tiene dimensión finita y dimH::s:dim
C!
V
(6)
Sea dim V = n. Cualquier conjunto de vectores linealmente independientes en H es también !inealmente independiente en V. Por el teorema 3, cualquier conjunto linealmente independiente en H puede contener a lo más n vectores. Si H = {O},entonces dim H = O.Si dim H of. {O},sea VI of. Oun vector en Hy HI = gen {VI}. Si HI = H, dim H = 1 Yla prueba queda completa. De lo contrario, elija a V2 E H tal que V2 rt HI Ysea H2 = gen {vI' V2}, y así sucesivamente. Continuamos hasta encontrar vectores linealmente independientes vI' v2, ... , vk tales que H = gen {v., v2' ... , vk}. El proceso tiene que terminar porque se pueden encontrar a lo más n vectores linealmente independientes en H. Entonces H = k::s: n.
DEMOSTRACiÓN
El teorema 4 tiene algunas consecuencias interesantes. Presentaremos dos de ellas. _,-_C_[O_,_1_l
_y_C_1_[O_,_1_l_ti_e_n_e_n_d_i_m_e_n_s_ió_n_in_f_in_it_a __
I CÁLCULO '1
Sea prO, 1] el conjunto de polinomios definido en el intervalo [O,1]. Entonces prO, 1] e qo, 1]. Si la dimensión de C[O, 1] fuera finita, entonces prO, 1] también tendría dimensión finita. Pero según el ejemplo 7, no es así. Por lo tanto C[O, 1] tiene dimensión infinita. De manera similar, como prO, 1] e 0[0,1] (ya que todo polinomio es diferenciable), también se tiene que la dimensión de CI[O,1] es infinita. En términos generales Cualquier espacio vectorial que contiene un subespacio de dimensión infinita es de dimensión infinita.
EJEMPLO
9
Los subespacios de
[)3
Se puede usar el teorema 4 para encontrar todos los subespacios de [?3. Sea H un subespacio de Existen cuatro posibilidades; H = {O},dim H = 1, dim H = 2 y dim H = 3. Si dim H = 3, entonces H contiene una base de tres vectores linealmente independientes vI' v2' v3 en [P. Pero entonces VI' v2' v3 también forman una base para [?3, y así, H = gen {VI' v2' v3} = [)3. Por lo tanto, la única manera de obtener un subespacio propio de [)3 es teniendo dim H = 1 o dim H = 2. Si dim H = 1, entonces H tiene una base que consiste en un vector V = (a, b, e). Sea x en H. Entonces x = tea, b, e) para algún número real t [puesto que (a, b, e) genera a H]. Si x = [)3.
4.6
Bases y dimensión
~
(x, y, z), esto significa que x = at, y = bt, z = ct. Pero ésta es la ecuación de una recta en I:P qU~ pasa por el origen con la dirección del vector (a, b, c). Ahora, suponga que dim H = 2 Y sea v, = (a" b, c.) y v2 = (a2, b2, c2) una base para H. Si x = (x, y, z) E H, entonces existen números reales s y t tales que x = sv, + tV2 o (x, y, z) = s(a" b, c.) + t(a2, b2, c2). Entonces x = sal +
=.
y = sb, + tb; Z
Sea v3 v, =
=
(a, f3, y)
O Y v3
•
=
X v2•
VI
= sCI
(7)
+ tC2
Entonces del teorema 3.4.2 de la página 255, parte iv), se tiene v3•
O. Ahora calculamos
v2 =
ax + f3y + yz = a(sa, + ta2) + f3(sb, + tb2) + y(sc, + tc2) = (aal
+ f3b, + ycl)s + (aa2 + f3b2 + yc2)t + (v 3 . V2)t
= (v 3 . vl)s
Así, si (x, y, z) E H, entonces ax + f3y por el origen con vector normal v3 = v,
+ yz X v2•
=O
= O, lo que muestra que H es un plano que pasa Por lo tanto se ha demostrado que
Los únicos subespacios propios de [;>3 son los conjuntos en una recta o un plano que pasa por el origen.
de vectores que se encuentran
1ImIIIII'-__
E_s_p_a_c_i_o_s_d_e_s_o_IU_c_iÓ_n_y_e_s_p_a_c_.i_o_n_u_lo __
Sea A una matriz de m X n y sea S = {x E l!': Ax = O}.Sean x, E S Yx2 E S; entonces A(x, + x.) = Ax, + AX2 = O + O = O Y A(ax,) = a(Ax,) = aO = O, de manera que S es un sub espacio de l?" y dim S ::::;n. S se denomina espacio de solución del sistema homogéneo Ax = O. También se denomina espacio nulo de la matriz A. EJEMPLO
11
Una base para Encuentre
"
••
Solución
Aquí A =
.
el espacio
de solución
una base (y la dimensión)
(1 2 -1) 2 -1
3
de un sistema
para el espacio de solución S del sistema homogéneo
x + 2y - z 2x - y + 3z
.
. Como A es una matriz de 2
por renglones, se encuentra,
homogéneo
=
O
=
O
X
3, S es.un subespacio de [?3. Reduciendo
sucesivamente,
¡ ~]---
....(~ -~ -;
_~ __ •• (1 2 -1 O 1 -1
0
0] __
• (1 O
° 1 I O] 1 -1
Entonces y ~ z y x ~ ~ z de manera que todas las soluciones son de la forma ( -
I
O
J
As;, ( -: ]
es una base para S y dim S = 1. Observe que S es el conjunto de vectores que se encuentran la recta x = - t, Y = t, Z = t.
en
338
CAPÍTULO
EJEMPLO
4
12
Espacios vectoriales
Una base para el espacio de solución de un sistema homogéneo
Encuentre una base para el espacio de solución S del sistema
+ 3z = O 4x - 2y + 6z = O 2x -
-6x
••
Solución
y
+ 3y
- 9z
=
O
Reduciendo renglones se obtiene
Lo que da una sola ecuación: 2x - y dada po<
mm y
+ 3z = O.S es un plano y, por el ejemplo 3, una base está
ydimS ~ 2
Antes de dar por terminada esta sección, demostraremos un resultado útil para encontrar una base para un espacio vectorial arbitrario. Se ha visto que n vectores linealmente independientes en P' constituyen una base para P'. Este hecho se cumple para todo espacio vectorial de dimensión finita.
TEOREMA
DEMOSTRACIÓN
Ie'----
m
Cualquier conjunto de n vectores !inealmente independientes en un espacio vectorial V de dimensión n constituyen una base para V. Sean VI' V2' ... , V n vectores.Si generan el espacio V, entonces constituyen una base. De lo contrario, existe un vector u E Vtal que u rt gen {VI' v2' ... , v Esto significa que los n + 1 vectores VI' v2' ••• , v u son !inealmente independientes. Para ver esto, observe que si '
l1
}.
l1
'
l1
(8)
Entonces cn+1 = O,porque de lo contrario podríamos escribir u como una combinación lineal de VI' v2' ••. , v dividiendo la ecuación (8) entre cn+1 y poniendo todos los términos, excepto u, en el lado derecho. Pero si cn+1 = O,entonces (8) es l1
CV+CV+"'+CV=O 1 I 2 2
1/
n
Lo que significa que CI = C2 = = Cn = O ya que los Vi son !inealmente independientes. Ahora sea W = gen {VI' v2' , v u}: Como todos los vectores entre las llaves están en V, Wes un subespacio de V. Como VI' v2' ... , v u son linealmente independientes, forman una base para W, y dim W = n + 1. Pero por el teorema 4, dim W:5 n. Esta contradicción muestra que no existe el vector u E Vtal que u rt gen {VI' v2, ... , V). Así, vI' v2' ... , v genera a Vy, por lo tanto, constituye una base para V. '
l1
'
l1
l1
4.6
Bases y dimensión
339
problemas 4,6 AUTOEVALUACIÓN
Indique cuáles de los siguientes enunciados son verdaderos
l. Cualesquiera tres vectores en [)~forman una base para
[)3.
11. Cualesquiera tres vectores linealmente independientes en V3 forman una base para
V3.
111. Una base en un espacio vectorial es única.
IV. Sea H un subespacio propio de [¿'l. Es posible encontrar
cuatro vectores linealmente
independientes en H.
VI.
Sea {VI' V2' ... , v,J una base para el espacio vectorial V. Entonces encontrar un vector V E V tal que u tf- gen {VI' vz, ... , vJ.
VII. {(2 O), (O 3), ( O O), (O O)} O O O O -7 O O 12
es posible
no
es una base para M'2'
-
De los problemas 1 al 13 determine si el conjunto dado es una base para elespacio vectorial a que se refiere. 1. En P2: 1 -
2. EnP2:
X2, X
2
+ 3X2,X + 5. En P3: 1, 1 + x, 1 + X2, 1 + x3 7. En P3: 3, x3 - 4x + 6, x2 3. EnP2:
-2x,x
-3x, 1 + X2,X2
4. En P2: x2 6. En P3: 1
-:
1, x2
+ x,
2
-
2, x2
+ X2,
5
-
3
3
-
+
x3,
1
~}(~2) (-5 ~}(:-~)
8. En M22: (~
O'
O
•. 9. En M22:
10. En M22:(
(~
~
-~
J, (~ ~J, (~ ~J. (~ ~J. donde abcd * O ~}(~
~}(
-~
~}C-~}(~~)
11. H = {(x, y)
E
V2:
x - y = O}; (1, 1), (4, 4)
12. H=
{(x, y)
E
V2:
x
13. H=
{(x, y)
E
[)2:x
+ y = O};(1, -1)
+y=0};(1,-1),(-3,3)
14. Encuentre una base en [)3 para el conjunto de vectores en el plano 2x - y - z
=
15. Encuentre una base en V3 para el conjunto de vectores en el plano 3x - 2y + z 16. Encuentre una base en [)3 para el conjunto de vectores en la recta x/2
=
O.
=
y/3 - z/4
O. =
O.
, 17. Encuentre una base en [)3 para el conjunto de vectores en la recta x = 3t, Y = -2t, z = 4t. 18. Demuestre que los únicos subespacios propios en V2 son rectas que pasan por el origen.
340
CAPÍTULO 4
~
Q N
Espacios vectoriales
~
19. En fll sea H
+ by + cz + dw
{(x, y, z, w): ax
=
~a)
Demuestre
~)
Encuentre
~)
¿Cuánto vale dim H!
=
O}, donde a,b,c,d
*- O.
que H es un sub espacio de fll. una base para H.
20. En 12"un hiperplano que contiene a O es un subespacio perplano en I:?"que contiene a O, demuestre que H donde al' a2,
•..
,
=
{(xl' x2'
xJ alx¡
.••
de dimensión n-l.
Si H es un hi-
+ a2x2 + ... + anx" = O}
a" son números reales fijos, no todos cero.
21. En [?5 encuentre una base para el hiperplano H De los problemas neo dado. 22.
x -2x
25.
27.
+
y 2y
{(xI' x2' x3' x4' xs): 2x¡ - 3x2
+ x3 + 4x4
-
=
Xs
O}
22 al 28 encuentre una base para el espacio de solución del sistema homogé-
= =
x - y - z 2x-y+z=0
=
O O
=
23.
O
2x + 3y - 4z = O x- y+ z=O 2x + 8y - lOz = O
x - 2y 3x + y
26.
28.
= =
24. 2x + y x - 3y
O O
x - 3y + z -2x + 2y - 3z 4x - 8y + 5z
=
O O O
2x - 6y + 4z - x + 3y - 2z -3x + 9y - 6z
=
O
=O =O
= =
29. Encuentre una base para D3' el espacio vectorial de matrices diagonales la dimensión de D3? 30. ¿Cuál es la dimensión D", el espacio de matrices diagonales 31. Sea SIIIIel espacio vectorial de matrices simétricas de n pacio de Mn" y que dim S"" = [n(n -+ 1)]/2.
X
de n
X
de 3
= =
X
O O
3. ¿Cuál es
n?
n. Demuestre
que S"n es un subes-
32. Suponga que vI' v2' ... , v", son vectores linealmente independientes en un espacio vectorial V de dimensión n/y m < n. Demuestre que {vI' v2' ••• , v,J se puede aumentar a una base para V. Esto es, existen vectores v +1' V"'+2' ... , v" tales que {VI' v2' ••• , v,,} es una base [sugerencia: vea la demostración del teorema 5]. lII
33. Sea {v., v2' v2
+ ... +
..•
,
v,,} una base en V. Sean ul = VI' u2 = VI + v2' u3 = VI + v2 + v3'· que {u., u2' .•• , u} es también una base en V.
..
,
u"
=
VI +
v,,, Demuestre
34. Demuestre que si {VI' V2' ... , v,,} genera a V, entonces dim V:5 n. [Sugerencia: utilice el resultado del problema 4.5.56.] 35. Sean H y K dos subespacios H=K.
de V tales que H ~ K y dim H = dim K
36. Sean H y K dos subespacios
de V. Defina H
+K
=
{h
+ k: h
E
< oo. Demuestre que
H yk
E
K}.
+ K es un subesapcio de V. b) Si H n K = {O}, demuestre que dim (H + K) = dim H + dim K.
a) Demuestre
que H
*37. Si H es un subespacio vectorial de dimensión finita V, demuestre que existe un subespacio único K de Vtal que a) H n K = {O} y b) H + K = V. 38. Demuestre que dos vectores VI y v2 en 1:)2 con puntos terminales si y sólo si dim gen {vI' v2} = 1.
en el origen son colineale
Rango, nulidad, espacio de los renglones y espacio de las columnas de una matriz
4.7
343
e) Repita b) para
Av,
ID
RANGO,
NULIDAD,
=
1
O
O
O
O
O
1
O
O
O
AV2
O
=
O
Av3=
1
AV4
=
O
Avs=
O
O
O
O
1
O
O
O
O
O
1
ESPACIO DE LOS RENGLONES Y ESPACIO
DE LAS COLUMNAS DE UNA MATRIZ En la sección 4.5 se introdujo la noción de independencia lineal. Se demostró que si A es una matriz invertible de n X n, entonces las columnas y los renglones de A forman conjuntos de vectores linealmente independientes. Sin embargo, si A no es invertible (de manera que det A = O), o si A no es una matriz cuadrada, entonces estos resultados no dicen nada sobre el número de renglones o columnas linealmente independientes de A. Eso es lo que se estudiará en esta sección. También se mostrará la forma en la cual se puede obtener una base para el espacio generado de un conjunto de vectores mediante la reducción por renglones. Sea A una matriz de m X n y sea (1)
El espacio nulo de una matriz NA = {x E 1/': Ax = O} Entonces, como se vio en el ejemplo 4.6.10 de la página 337, NA es un subespacio
DEFINICIÓN
a
Espacio
nulo
y nulidad
de 1/'.
de una matriz
NA se denomina el espacio nulo de A y veA) = dim NA se denomina contiene sólo al vector cero, entonces veA) = O.
nulidad de A. Si NA
Nota. El espacio nulo de una matriz también se conoce como kernel. ____
Es_p_a_c_io_n_U_I_O_y_n_u_li_d_a_d_d_e_u_n_a_m_a_t_ri_z_d_e_2_x_3 __
Sea A =
( 1 2 -1) 2
-1
generado por [ -;}
EJEMPLO
2
Espacio
Sea A ~
3
. Entonces,
y v( Al
nulo y nulidad
=
1.
dé una matriz
U =~-H
base para NA, y veA)
~
como se vio en el ejemplo 4.6.11 de la página 337, NA está
E~ton~,
2.
de 3 x 3
por el ejemplo 4612
de la página 338,
1(nrm
e' una
344
CAPÍTULO
TEOREMA
4
a
I! DEMOSTRACiÓN
DEFINICiÓN
Espacios vectoriales
Sea A una matriz de n
X
n. Entonces A es inver1jble si y sólo si veA)
m
Imagen de una matriz
Im(A)
E
m
Sea A una matriz de m
X
=
{y
E
la imagen de A, denotada
I)'n: Ax
=
y para alguna x
A(ax¡) Por lo que ay¡ y y¡ de e-.
a
=
E
por Im(A), está dada
I)'n}
(2)
n. Entonces la imagen de A Im(A) es un subespacio
Suponga que y¡ y Y2' están en Im(A). Entonces y¡ = Ax¡ y Y2 = Ax2· Por lo tanto
DEMOSTRACiÓN
DEFINICiÓN
O.
De acuerdo al teorema de resumen [teorema 4.5.6, página 320, partes i) y ii)], A es invertible si y sólo si la única solución al sistema homogéneo Ax = O es la solución trivial x = O. Pero según la ecuación (1), esto significa que A es invertible si y sólo si NA = {O}. Así, A es invertible si y sólo si veA) = dim NA = O.
Sea A una matriz de m X n. Entonces por
TEOREMA
=
aAx¡
= ay¡ y
A(x¡
de 1/".
existen vectores x¡ y x2 en [¿n tales que
+ x)
=
Ax¡
+ AX2
= y¡
+ Y2
+ Y2 están en Im(A). Así, del teorema 4.3.1, Im(A) es un sub espacio
Rango de una matriz Sea A una matriz de m X n. Entonces el rango de A, denotado peA)
=
por peA), está dado por
dim Im(A)
Se darán dos definiciones y un teorema que facilitarán en cierta medida el cálculo del rango.
DEFINICiÓN
1::1
Espacio de los renglones
y espacio de las columnas de una matriz
Si A es una matriz de m X n, sean {r., r2' ... ,r,) columnas de A: Entonces se define
los renglones de A y {c., c2, ... ,cJ
las
RA = espacio de los renglones de A = gen {r., r2' ... ,r",}
(3)
CA = espacio de las columnas de A = gen {c., c2, ... , c}
(4)
y
Nota. RA es un subespacio de 1/' y CA es un subespacio de 1/".
4.7
Rango, nulidad, espacio de los renglones y espacio de las columnas de una matriz
345
Se ha introducido una gran cantidad de notación en tan sólo tres páginas. Antes de dar un ejemplo, se demostrará que dos de estos cuatro espacios son los mismos.
E3I
TEOREMA
Para cualquier matriz A, CA cio de sus columnas.
I! DEMOSTRACIÓN
Para demostrar que CA
=
=
Im(A). Es decir, la imagen de una matriz es igual al espa-
Im(A), se demuestra que Im(A) <;; CA e Im(A) <;; CA'
l. Se quiere probar que Im(A) <;; CA' Suponga que y E Im(A). Entonces existe un vector x tal que y = Ax. Pero como se observó en la sección 1.6 de la página 58, Ax se puede expresar como una combinación lineal de las columnas de A. Por lo tanto, y E CA' de manera que Im(A) <;; CA' ii. Se quiere probar que Im(A) <;; CA' Suponga que y
E CA' Entonces y se puede expresar como una combinación lineal de las columnas de A como en la ecuación (1.6.9) de la página 64. Sea x el vector columna de los coeficientes de esta combinación lineal. Entonces, igual que en la ecuación (1.6.9), y = Ax. Así, y E Im(A), lo que prueba que Im(A) <;; CA'
EJEMPLO
Cálculo de NA, veA), imagen A, peA), RA Y
3
Sea
A=( ~
2 -1)
-1
3
eA
para una matriz de 2 x 3
. A es una matriz de 2 x 3.
i, El espacio nulo de A
= NA = {x
E [¿3: Ax
= O}.Como se vio en el ejemplo 1,
N,~gcnr)j ii. La nulidad de A
= veA) = dim NA = 1.
iii. Se sabe que Im(A) = CA' Las primeras dos columnas de A son vectores linealmente independientes en f22 y, por lo tanto, forman una base para f22. La Im(A) = CA = f22.
iv. peA) = dim Im(A) = dim f22 = 2. v. El espacio de los renglones de A = R A = gen {(1, 2, -1), (2, -1, 3)}. Como estos dos vectores son linealmente independientes, se ve que RA es un subespacio de dimensión dos de [¿3. Del ejemplo 4.6.9 de la página 336, se observa que RA es un plano que pasa por el origen. En el ejemplo 3 iv) se observa que peA)
TEOREMA
a
Si A es una matriz de m
X
= dim RA = 2, lo que no es una coincidencia.
n, entonces
dim RA = dim CA = dim Im(A) = peA)
DI
DEMOSTRACiÓN
Como es usual, se denota por aij la componente ij de A. Debemos demostrar que dim R A = dim CA' Los renglones de A se denotan por TI' T2' ... , Tm' y sea k = dim RA. Sea S = {SI' S2' ... , Sk} una base para RA• Entonces cada renglón de A se puede expresar como una combinación lineal de los vectores en S, y se tiene, para algunas constantes aii'
346
CAPÍTULO
4
Espacios vectoriales
Ahora la componente} lados de (5) y se hace
de
fi
T¡
= a¡¡s¡
+ a¡2s2 +
+ a¡ksk
T2
=
+ a22s2 +
+ a2ksk
es
a2¡s¡
a
v
Entonces
Si = (Sil' Si2' ...
ay
=
a,¡s¡j
(5)
si se igualan las componentes}
de ambos
se obtiene
Sil,)'
+ a¡2s2j +
+ a¡kslfj
a2j = a2¡s¡j + a22s2j +
+ a2kskj
es decir,
(6)
Sea
ex: I
el vector
. Entonces como el lado izquierdo de (6) es la columna}
de A, se
a.
nll
observa que cada columna de A se puede escribir como una combinación lineal de -7 -7 . ifi 1 ->-7 -7 C a2, .•• ,ak, 1 o que sign ea que os vectores al' a2, .•• , ak, generan a A y
a:'
(7) Pero la ecuación (7) se cumple para cualquier matriz A. En particular, Al. Pero CAl = R Y RAI = CA. Como de (7) dim CAl ::5 dim RAI, se tiene A dim RA Combinando
____
dim CA
Solución
Como paca
una base para Im(A) y determine
TI = 2f¡
Y f3
e, ~ Im(A).
(8)
(7) y (8) la prueba queda completa.
c_a_'l_cu_l_o_d_e_l_m_<_A_>_y_p_<_A_>_p_a_ra_u_n_a_m_at_r_iz_d_e_3_x_3
Encuentre
8..
::5
se cumple para
= -3fl'
se ve que peA)
Po; ejemplo, (
JJ
=
__
! =~ ~1·
el rango de A = ( , -6 dim RA
=
3 -9
1. Así, toda columna en CA es una base
es uoa base para Im(A).
El siguiente teorema simplificará los cálculos de la imagen, el rango y la nulidad.
4.7
m
TEOREMA
I!
DEMOSTRACiÓN
347
Rango, nulidad, espacio de los renglones y espacio de las columnas de una matriz
Si A es equivalente por renglones a B, entonces RA = RB' peA) = p(B) YveA) = v(B). Recuerde que según la definición 1.8.3 de la página 104, A es equivalente por renglones a B si A se puede "reducir" a B mediante operaciones elementales con renglones. Suponga que C es la matriz obtenida al realizar operaciones elementales en A. Primero se muestra que RA = Re Como B se obtiene realizando varias operaciones elementales con los renglones de A, el primer resultado, aplicado varias veces, implicará que RA = RB. Caso 1: Intercambio de dos renglones de A. Entonces R A A y C son los mismos (escritos en diferente orden).
=
Re porque los renglones de
Caso 2: Multiplicación del renglón i de A por e =f. O. Si los renglones de A son {r., r2' ... , r¡, ... , r}, entonces los renglones de C son {r., r2' ... , cr., ... , r}. Es obvio que cr¡ = c(r) y r¡=(1/c)(cr). De esta forma, cada renglón de C es un múltiplo de un renglón de A y viceversa, lo que significa que cada renglón de C está en el espacio generado por los renglones de A y viceversa, Se tiene RA <:;; Re y Re <:;; RA'
por 10 tanto Re
=
RA
Caso 3: Multiplicación del renglón i de A por e =f. OYsuma del mismo al renglónj. los renglones de C son {r., r2' ... , r¡, ... , rj + cr¡, ... , r}. En este caso
Ahora
rj=~-:r renglónj de
e
renglón i de
e
De manera que todos los renglones de A se pueden expresar como una combinación lineal de los renglones de C y viceversa. Entonces, como antes, RA <:;; Re y Re <:;; RA'
por lo tanto Re
=
RA
Se ha demostrado que RA = RE' Por lo tanto p(RJ = p(RB). Por último, el conjunto de soluciones de Ax = O no cambia bajo las operaciones elementales. ASÍ, NA = NE, Y entonces veA) = v(B).
El teorema 5 es de suma importancia. Indica, por ejemplo, que el rango y el espacio de los renglones de una matriz son lo mismo que el rango y el espacio de los renglones de la forma escalonada de dicha matriz. No es difícil probar el siguiente teorema (vea el problema 50).
TEOREMA
m
lIIIiIIIZIIIII
El rango de una matriz es igual al número de pivotes en su forma escalonada glones.
por ren-
Cálculo de p(A) y RA para una matriz de 3 x 3
Determine el rango y el espacio de los renglones de A ~ [ ~ - ~ renglones de A es [~
O
- ~ -~]
O
=
La forma escalonada por
B. Como B tiene Pivot:~ P(~ =1dim R A = 2. Una base para
O
R A consiste en los primeros dos renglones de B:
RA
!).
=
gen {(l, -1,3),
(0,1, -1)}
348
CAPÍTULO
4
Espacios vectoriales
El teorema 5 es útil cuando se quiere encontrar conjunto de vectores.
EJEMPLO
6
Determinación de una base para el espacio generado por cuatro vectores en J:?3 Encuentre
••
Solución
una base para el espacio generado por
una base para el espacio generado por
Se expresan los vectores como renglones de una matriz A y después se reduce la matriz a la forma escalonada por renglones. La matriz que se obtiene tendrá el mismo espacio de renglon 2 2 que A. La forma escalonada
[ -21 por renglones de O -2
-!]
O
4 -2 -4 6
O
-3 --
1
2
es O
O
O
o
o
o
, que tiene
dos pivotes.
Entonces una base pa ra gen {v.,
',> '"
'.l es
[-H
O 1
. Por ejemplo,
1
2
O
1
2 Existe un camino relativamente
1IIIIIIII
sencillo para encontrar
C_á_Ic_U_lo_d_e_l_e_s_p_a_ci_o_n_u_lo_d_e_u_n_a_m_a_t_r_iz_d_e_4_x_4
Encuentre
2
-4
2
5
6
el espacio nulo de A =
1
[
O -1 -14 3
&1.
Solución
La forma escalonada
__
6 -12
por renglones reducidos de A es
el espacio nulo de una matriz.
4.7
349
Rango, nulidad, espacio de los renglones y espacio de las columnas de una matriz
Siguiendo el mismo razonamiento
que en la prueba del teorema 5, las soluciones a Ax
las mismas que las soluciones a Ux ~ O. Si x ~ [~;],
x¡ -32x3 x2
+ 14x3
entonces
O son
=
Ux ~ Oda como resultado
+ 31x4 =0 -14x4
=0
o
De manera que si x
E
XI
= 32x3
x2
= -14x3 + 14x4
3lx4
-
NA, entonces
X
~[~12:;i~~;' [-:f]]~
+ x, [-:~]
x,
'----v---' base para NA
&to es, N, ~ gen
I[_:fJ[ -:~])
El procedimiento usado en el ejemplo 7 siempre se puede utilizar para encontrar de una matriz. Se hace aquí una observación geométrica interesante: Todo vector en el espacio de los renglones de una matriz real es ortogonal tor en su espacio nulo.
el espacio nulo
a todo vec-
•
En notación abreviada esto se describe como RA 1. NA. Para ver por qué, considere la ecuación Ax = o. Si A es una matriz de m X n, entonces se tiene 1n
...
a
[OJ°
I
][X]
a~
X
;:
~
~
°
Si ri denota el i-ésimo renglón de A, se ve de la ecuación anterior que ri . x = para i = 1,2, ... ,m. Así, si x E NA, entonces ri 1. x para i = 1,2, ... ,m. Pero si y E RA' entonces y = c,r, + ... + Cnl"" para algunas constantes C" C2' ..• , cm· Entonces y . x = (c.r, + Cl2 + ... + c",r,,,) .x
=
c¡r¡ . x
+ c2r2
•
x
+ ... +
prueba la afirmación.
En el ejemplo 7, R, ~ gen {el, O, - 32,31), (O, 1, 14, - l4)} Y N, ~ gen
I[ 32] [-31]) -l~,
El lector debe verificar que los vectores de la base para RA' en efecto, son ortogonales vectores de la base para NA•
l~
.
a los
350
CAPÍTULO 4
Espacios vectoriales
El siguiente teorema da la relación entre el rango y la nulidad.
TEOREMA
a
Sea A una matriz de m
n. Entonces
X
peA)
+ veA)
=
n
Es decir, el rango de A más la nulidad de A es igual al número de columnas de A.
mi.
DEMOSTRACIÓN
Se supone que k = peA) Y que las primeras k columnas de A son linealmente inde~ndientes. Sea c¡ (i > k) cualquier otra columna de A. Como cl' c2' ... , ck forman una base para eA' se tiene, para algunos escalares al' a2, ... , ak, C¡= alcl
+
+ ... +
a c 2 2
akc
k
=».
ASÍ, sumando -alcl' -a2c2, ••• , sucesivamente a la i-ésima columna de A, se obtiene una nueva matriz B de m X n con p(B) = peA) Y v(B) = veA) con la columna i de B igual a o.r Esto se hace a todas las demás columnas de A (excepto las primeras k) para obtener la matriz
[-.
alk
O
O
a
a
O
O
a
«:
O
O
l2
a
D=
a
21
22
a~"1
2k
m2
r1
Donde p(D) = peA) YveD) = veA). Mediante un posible reacomodo de los renglones de D, se puede suponer que los primeros k renglones son independientes. Después se hace lo mismo con los renglones de (esto es, sumar múltiplos de los primeros k renglones a los últimos m - k) para obtener una nueva matriz: all
a
a
lk
O
O
a
a22
a
2k
O
O
a
a
a
kk
O
O
21
F=
kl
l2
k2
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
donde p(F) = peA) Yv(F) = veA). Ahora es obvio que si i > k, entonces Fe¡ = o,t de manera que Ek = {ek+l' ek+2, ... , e) es un conjunto linealmente independiente de n-k vectores de N F Ahora se demostrará que Ek genera N F Sea x E NF un vector de la forma XI
x2 x=
xk X
• Esto se deduce
n
t considerando A' (las columnas de A son los renglones de A'). , Recuerde que e, es el vectar con un uno en la posición i y cero en las otras posiciones.
\
4.7
351
Rango, nulidad, espacio de los renglones y espacio de las columnas de una matriz
Entonces a¡,x, a2,x¡
+ a'2x2 + + a22x2 +
+ a'kxk + a2kxk
0= Fx = ak,x, + ak2x2 + ... + akkxk O
{]
O El determinante de la matriz del sistema homogéneo de k X k dado es diferente de cero, ya que los renglones de esta matriz son linealmente independientes. De esta forma, la
única solución al sistema es X1= x2 = ... =
x~ = O. Entonces x tiene la forma
Esto significa que Ek genera N F de manera que v(F) la prueba.
= n-k
=n
- p(F) lo que completa
Nota. Se sabe que peA) es igual al número de pivotes n la forma escalonada por renglones de A y es igual al número de columnas de la forma escalonada por renglones de A que contienen pivotes. Entonces, del teorema 7, veA) = número de columnas de la forma escalonada por renglones de A que no contienen pivotes.
_1....._1_lu_s_tr_a_c_ió_n_d_e_q_u_e_p<_A_>_+_V__=_n __
Para A = que peA)
Para A =
Solución
2
+ veA)
[
I! DEMOSTRACiÓN
m
=
3
se calculó (en los ejemplos 1 y 3) que peA)
=
2 YveA)
=
1; esto ilustra
n(=3).
1 -1 3J
2
O 4
-1 -3
calcule veA).
1
En el ejemplo 5 se encontró que peA)
directamente
TEOREMA
-1
n_d_e_q_u_e_p_<_A_>_+_v<_A_>_=_n __
_,-_I_lu_s_t_ra_c_io_'
•••
(1 2 -1)
resolviendo
=
2. Así, veA) = 3 - 2 = l. El lector puede demostrar
el sistema Ax ~ Opara encontrar
Sea A una matriz de n
X
que N, ~ gen {[ -:
n. Entonces A es invertible si y
sólo si peA)
esto
J1
= ri ,
Por el teorema 1, A es invertible si y sólo si veA) = O. Pero por el teorema 7, peA) veA). Así, A es invertible si y sólo si peA) = n -O = n.
=
n -
352
CAPÍTULO 4
Espacios vectoriales
Ahora se demostrará la aplicación del concepto de rango, para determinar si un sistema ecuaciones lineales tiene soluciones o si es inconsistente. De nuevo, se considera el sistema m ecuaciones en n incógnitas: a¡¡x¡ + a¡2x2 +
+ a¡nx/I
= b,
a2¡x¡ + a22x2 +
+ a2 xn
=
/1
~
b; (9)
a mi x I +a
1112
x 2 +···+a
11111
x =b 11
111
lo que se escribe como Ax = b. Se utiliza el símbolo (A, b) para denotar la matriz aumenta de m X (n + 1) obtenida (como en la sección 1.3) agregando el vector b a A.
m
'TEOREMA
El sistema Ax = b tiene cuando menos una solución si y sólo si b y sólo si A y la matriz aumentada (A, b) tienen el mismo rango.
E
eA'
Esto ocurrirá si
Si cl' c2,., .. , c/I son las columnas de A, entonces podemos escribir el sistema (9) com,?
I!. DEMOSTRACIÓN
xC+XC+"'+xc=b 1 I 2 2
11
(lO)
11
El sistema (lO) tendrá solución si y sólo si b se puede escribir como una combinación lineal de las columnas de A. Es decir, para tener una solución debemos tener b E eA' Si b E eA' entonces (A, b) tiene el mismo número de columnas lineal mente independientes de A así que A y (A, b) tienen el mismo rango. Si b r:J. eA' entonces peA, b) = peA) + 1 Y el sistema no tiene soluciones. Esto completa la prueba.
EJEMPLO
10
Uso del teorema 9 para determinar si un sistema tiene soluciones Determine
si el sistema
+ 4x2 + 6x3 4x¡ + 5x2 + 6x3 2x¡ + 7x2 + 12x3 2x¡
=
18
=
24
=
40
tiene soluciones.
••
Solución
Sea A
=
í! ; :J.
l2
12
7
La forma escalonada
por renglones de A es
í~~203J
lo
forma escalonada por renglones de la matriz aumentada (A, b) ~ [~
~ [
EJEMPLO
11
O
2
~
i
:J,
O
O
I
1
que tiene tres pivotes, por lo que peA, b)
Uso del teorema 9 para determinar Determine
+ 2x3
=4
+ x2 - 3x3 4 x¡ - x2 + x3
=-
x¡ - x2 2x¡
=
6
2
=
2.12
:
:
I ~: J es
3 Y el sis~ema7no ~~ne ISOI~~iÓD_
si un sistema tiene soluciones
si el sistema
tiene soluciones.
=
Y peA)
O
4.7
353
Rango, nulidad, espacio de los renglones y espacio de las columnas de una matriz .
1 -1 -32J .
[
Sea A = 2
1
4 -1
Entonces det A
=
Ode manera que peA)
< 3. Como la primera columna
1
.
no es un múltiplo de la segunda, es evidente que las primeras dos columnas independientes; así peA) = 2. Para calcular peA, b) se reduce por renglones:
-1
son linealmente
2 -3
-1
-:6J-~
[~ -~ -~ II -1~J O
3 -7
-10
Se ve que peA, b) = 2 Y existe un número infinito de soluciones para el sistema (si hubiera una solución única se tendría det A 7= O). Los resultados de esta sección permiten mejorar el teorema de resumen, visto por última vez en la sección 4.5 de la página 314.
TEOREMA
m
Teorema de resumen (punto de vista 6) Sea A una matriz de n X n. Entonces las siguientes diez afirmaciones son equivalentes; es decir, cada una implica a las otras nueve (si una se cumple, todas se cumplen). i. A es invertible.
Ax
ii. La única solución al sistema homogéneo iii. El sistema Ax
=
=
O es la solución trivial (x
v. A se puede expresar como el producto vi. La forma escalonada
7=
In' de n
X
n.
de matrices elementales.
por renglones de A tiene n pivotes.
vii. Las columnas (y renglones) de A son linealmente det A
O).
b tiene una solución única para cada n-vector b.
iv. A es equivalente por renglones a la matriz identidad,
viii.
=
independientes.
O.
O.
ix. veA)
=
x. peA)
= n.
Más aún, si una de ellas no se cumple, entonces para cada vector b E lr, el sistema Ax = b no tiene solución o tiene un número infinito de soluciones. Tiene un número infinito de soluciones si y sólo si peA) = peA, b).
problemas 4.7 AUTOEVALUACIÓN
Elija la opción que complete correctamente
l. El rango de la matriz
a) 1
b) 2
los siguientes enunciados.
U ~ -~ n e) 3
es ---
d)4
354
CAPÍTULO
4
Espaciosvectoriales
11. La nulidad de la matriz en el problema 1 es
a) 1
b) 2
_
e) 3
d)4
111. Si una matriz de 5 x 7 tiene nulidad 2, entonces su rango es a)
5
b) 3
_
d)7
e) 2
e) No se puede determinar sin más información,
IV. El cango de la matriz a) 1
[+ ~J '" ---
b) 2
e) 3
V. La nulidad de la matriz en el problema IV es
a)O
e) 2
b) 1
VI. Si A es una matriz de 4
es
X
4 Ydet A
_ d) 3
O, entonces el valor máximo posible para peA)
=
_
a) 1
b) 2
e) 3
VII. En el problema IV dim eA a) 1
=
_
e) 3
b) 2
VIII. En el problema I dim RA a) 1
d)4
=
_
b) 2
e) 3
d)4
Falso-verdadero IX. En cualquier matriz de m
X
n, eA
=
RA'
X. En cualquier matriz de m
X
n, eA
=
Im(A).
RESPUESTAS
A LA AUTO
EVALUACiÓN
1. e)
11. a)
111. a)
IV. a)
VII. a)
VIII. e)
IX. F
X. V
VI. e)
V. b)
De los problemas 1 al 20 encuentre el rango y la nulidad de la matriz dada. 1.
G ~}
4. (-1
2
2.
3 2) -6 -4
5.
-1
7.
[~
1 -1
(
-1
~
U
1
~)
3.
1 O
6.
[:
:l
[~I -~l
:l
-4
-3
6
-1 -2
-1
2
8.
G
-2
9.
U
4 6
~J
~]
-1
2
1
4
O
6
~l
4.7
Rango, nulidad, espacio de los renglones y espacio de las columnas de una matriz
-1 10.
U
2
O -1
6
[i
h
11.
2 1 O
13.
16.
:]
1 4
O
1
O
O
14.
;J
-1
2 -4 2
-2
4
-3
6
-fJ
17.
2
lO O
4 O
1
O
n [
19.
l~
O 2
-1 1
12.
H !] -1
O
-1
O
O
-2
O
1
-1
O
O
2
O
-2
-1
O
-~
O
~J
1
fl
[ -1 1 15. ~
JJ
[~
2
O
1
-2
5
-1
1
O 18.
355
O O
)J
~]
2
~J
20.
[~ :] O O
De los problemas 21 al 27 encuentre una base para la imagen y el espacio nulo de la matriz dada. 21. La matriz del problema 2
22. La matriz del problema 7
23. La matriz del problema 8
24. La matriz del problema 10
25. La matriz del problema 15
26. La matriz del problema 16
27. La matriz del problema 17
De los problemas 28 al 32 encuentre una base para el espacio generado por los conjuntos de vectores dados.
29. (1, -2,3),
(2, -1,4), (3, -3,3), (2,1, O)
30. (1, -2, 1),(-1,
-1,4),(3,
-3,3),(0,
1,0)
31. (1, -1, 1, -1), (2, O, 0,1), (4, -2,2,1),
(7, -3,3,
-1)
De los problemas 33 al 37 utilice el teorema 9 para determinar si el sistema dado tiene alguna solución. 33.
x¡
+ x2
x3
=
7
+ 5x3 6x¡ + x2 + 3x3
=
4
=
20
4x¡ - x2
-
34.
x¡
+ x2
x3
=7
+ 5x3 6x¡ + x2 + 3x3
=4
4x¡ - x2
-
=
18
35.
+ x3 x2 + x3
=
O
=
2
2x¡ - 3x2
=
3
x¡
356
CAPÍTULO
4
Espacios vectoriales
36.
x¡ - 2x2 3x¡ 4x2 5x¡
+ x3 + x4
=
2
+ 2x3
-
2x 4
=-
8
x3
-
x4
=
1
+ 3x3
-
x4
=-
3
-
37.
+ x3 + x4 + 2x3 - 2x 4
x¡ - 2x2 3x¡ 4x2
2
=-
8
x3
-
x4
=
+ 3x3
-
x4
=
-
5x¡
=
O
.ff'
38. Demuestre que el rango de una matriz diagonal es igual al número de componentes diferentes de cero en la diagonal. 39. Sea A una matriz triangular inferior de n
X
n con ceros en la diagonal. Demuestre que
< n.
peA)
40. Demuestre que para cualquier matriz
A, peA) = p(AI).
41. Demuestre que si A es una matriz de m
X
nym
< n, entonces a)
peA)
m y b) veA)
:S
2':
n-m:
42. Sea A una matriz de m X n y sean B y C matrices invertibles de m X m y n X n, respectivamente. Pruebe que peA) = p(BA) = p(AC). Es decir, si se multiplica una matriz por una matriz invertible, el rango no cambia. 43. Sean A y B matrices de m
X
nyn
X
p, respectivamente. Demuestre que p(AB):S
mín
(p(A).
p(B)).
44. Sea A una matriz de 5 X 7 con rango 5. Demuestre que el sistema lineal Ax do menos una solución para cada 5-vector b. *45. Sean A y B matrices de m invertibles C y D tales que 46. Si B
= CAD,
donde C y
D
X n.
Demuestre que si
peA) = p(B),
=
b tiene cuan-
entonces existen matrices
B = CAD.
son invertibles, demuestre que
peA) = p(B).
47. Suponga que cualesquiera k renglones de A son linealmente independientes mientras que cualesquiera k + 1 renglones de A son linealmente dependientes. Demuestre que peA) = k. 48. Si A es una matriz de n que x ;te OY Ax = O.
X
n, demuestre que peA)
< n si y sólo si existe un vector x
49. Sea A una matriz de m X n. Suponga que para todo y Demuestre que peA) = m.
-,
E
pn existe una x
E
1)"
E
1)"
al que Ax
tal
=
y.
50. Pruebe que el rango de una matriz es igual al número de pivotes en su forma escalonada por renglones [sugerencia: Demuestre que si la forma escalonada por renglones tiene k pivote s, entonces dicha forma tiene exactamente k renglones linealmente independientes]. J
MANEJO DE LA CALCULADORA
Existe una forma sencilla para determinar el rango, la imagen y el espacio de los renglones de una matriz en la HP 50g, que consiste en encontrar la forma escalonada por renglones (REF) o la forma escalonada por renglones reducidos (RREF) de la matriz. Por ejemplo, suponga que se introduce la matriz 3
5
9
A=
1 [
1 -1
