´ ALGEBRA I
Maria L´ucia ucia Torres Villela Institu Inst ituto to de Mat Matem´ em´atica atic a Universidade Federal Fluminense Junho de 2007 Revis˜ao ao em Fevereir Fevereiroo de 2008
Sum´ ario Introdu¸c˜ ca˜o
. . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . . . . .. . . . .. . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . .. ..
Parte 1 - Preliminares
3
..... ...... ..... ..... .... ..... .... .... ....
5
Se¸c˜ cao a˜o 1 - No¸c˜ co˜es sobre conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
Se¸c˜ cao a˜o 2 - Fun¸c˜oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
Se¸c˜ cao a˜o 3 - Rela¸c˜ co˜es de Equivalˆencia
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
23
Parte 2 - An´eis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
Se¸c˜ ca˜o 1 - Conceito de anel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
Se¸c˜ ca˜o 2 - Propriedades elementares
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
41
Se¸c˜ cao a˜o 3 - Polinˆomio o mioss co com m coe coefic ficie ien nte tess em um an anel el co com mut utat ativ ivoo
53
Se¸c˜ cao a˜ o 4 - An An´´eis e is or orde dena nado doss e an an´´eis e is be bem m or orde dena nado doss
.........
63
Se¸c˜ cao a˜o 5 - Indu¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71
Se¸c˜ cao a˜o 6 - Divis˜ao euclidiana
........................... ...
77
Parte 3 - Dom´ınios Principais
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
83
Se¸c˜ ca˜o 1 - Divisibilidade
..... ...... ..... ..... .... .... ....
85
Se¸c˜ cao a˜o 2 - Ideais e m´ aximo divisor comum . . . . . . . . . . . . . . . . . .
91
Se¸c˜ cao a˜o 3 - Dom Do m´ınios principais pr incipais e a fatora¸c˜ cao a˜o u ´ nica
. . . .. . . .. .. ..
99
Se¸c˜ cao a˜o 4 - Propriedades do Dom Dom´´ınio Principal Pr incipal Z
. .. .. .. ..
10 7
Se¸c˜ cao a˜o 5 - Congr Congruˆ uˆencias encias m´ odulo n e os an odulo an´´eis ei s Zn
. . .. .. .. .. .
11 7
Se¸c˜ cao a˜o 6 - Hom Homomor omorfism fismos os de an an´´eis eis com comutat utativ ivos os com uni unidade dade
137
Introdu¸ c˜ ao A Matem´atica faz parte do nosso cotidiano e, em particular, recorremos aos n´ umeros para descrever diversas situa¸c˜oes do dia a dia. Contamos com os n´ umeros naturais, repartimos um bolo usando os n´umeros racionais, medimos comprimentos com os n´ umeros reais, contabilizamos preju´ızos com n´ umeros negativos. Comparamos dois n´ umeros inteiros, dois n´ umeros racionais e dois n´ umeros reais. Calculamos ra´ızes de polinˆomios com coeficientes reais com os n´ umeros complexos. Estamos familiarizados com n´ umeros naturais, inteiros, racionais, reais e complexos, que est˜ao relacionados pelas seguintes inclus˜ oes: N
⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C.
Esses conjuntos est˜ ao munidos com opera¸c˜oes de adi¸ca˜o e multiplica¸ca˜o, que tˆem diversas propriedades. O objetivo deste texto ´e introduzir o estudo de estruturas alg´ebricas, abordando os conceitos de anel, dom´ınio, corpos, dom´ınio ordenado, corpo ordenado e dom´ınio principal. O conjunto dos inteiros ´e o primeiro exemplo de dom´ınio principal, ser´ a estudado sob o ponto de vista alg´ ebrico e aritm´etico e faremos um estudo detalhado das suas propriedades no contexto dos dom´ınios principais. Outro exemplo de dom´ınio principal que ser´ a introduzido ´e o anel K[x ] de polinˆomios com coeficientes no corpo K. Estudaremos congruˆencias de inteiros e introduziremos os an´eis Z n dos inteiros m´ odulo n. Mostraremos que Q ´e um corpo ordenado e ´e o corpo de fra¸ c˜oes de Z e faremos a constru¸ca˜o dos n´ umeros racionais a partir dos n´ umeros inteiros no contexto dos dom´ınios ordenados. Mostraremos que, a menos de isomorfismo, Z ´e o u ´nico dom´ınio bem ordenado. N˜ao faremos a constru¸ca˜o axiom´atica dos n´ umeros naturais e dos n´ umeros inteiros, usaremos apenas as suas no¸co˜es intuitivas.
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Parte 1 Preliminares
Consideraremos que a linguagem e as nota¸co˜es da teoria de conjuntos s˜ao bem conhecidas, assim como as no¸co˜es elementares de fun¸co˜es. Relembramos alguns conceitos elementares da teoria de conjuntos e propriedades de fun¸co˜es que faremos uso no texto. Introduziremos os conceitos de rela¸ca˜o de equivalˆencia e de conjunto quociente, que tˆem aplica¸co˜es em diversas a´reas da Matem´ atica, desempenham um papel importante no contexto das estruturas alg´ebricas e apresentaremos muitas aplica¸co˜es interessantes.
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No¸coes ˜ sobre conjuntos PARTE 1 -
SEC ¸ ˜ AO 1
No¸ co ˜es sobre conjuntos Denotamos conjuntos por letras mai´ usculas A , B , C , . . . e elementos de um conjunto por letras min´ usculas a, b, c, . . . . Para dizer que a ´e elemento do conjunto A ou a pertence a A, escrevemos a A .
∈
Para dizer que a n˜ao ´e elemento do conjunto A ou a n˜ao pertence a A , escrevemos a A .
∈
Chamamos de conjunto vazio o conjunto que n˜ ao tem nenhum elemento e denotamos por ou { }.
∅
Descrevemos um conjunto listando os seus elementos entre chaves ou dando a propriedade dos seus elementos. Exemplo 1 O conjunto dos n´ umeros naturais, denotado por N, ´e N = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , . . .}.
Exemplo 2 umeros naturais menores do que 5. A ´e o conjunto dos n´ A = { 0,1,2,3,4} = { x
∈ N ; x < 5}.
Exemplo 3 umeros naturais entre 5 e 11. B ´e o conjunto dos n´ B = { 6,7,8,9,10 } = { x
∈ N ; 5 < x < 11 } = { x ∈ N ; 6 ≤ x ≤ 10 }.
Exemplo 4 umeros reais menores ou iguais a 11. C ´e o conjunto dos n´ C = { x
∈ R ; x ≤ 11} = (−
∞
, 11 ].
Exemplo 5 umeros inteiros m´ ultiplos de 2 entre −3 e 15. D ´e o conjunto dos n´ D = {x
∈ Z ; −3 < x < 15 e 2 divide x}
= {−2,0,2,4,6,8,10,12,14 }
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No¸coes ˜ sobre conjuntos
Defini¸c˜ao 1 Dizemos que A est´ a contido em B ou A ´ e um subconjunto de B se, e somente se, todo elemento de A ´e elemento de B. Nesse caso, escrevemos A B .
⊂
O s´ımbolo ∀ significa para todo.
O s´ımbolo ∃ significa existe .
⊂ B se, e somente se, para todo a ∈ A temos a ∈ B. Tamb´em dizemos que B cont´em A e escrevemos B ⊃ A . Escrevemos A ⊂ B, para dizer que A n˜ ao est´ a contido em B. caso, existe a ∈ A tal que a ∈ B. A ⊂ B se, e somente, existe a ∈ A tal que a ∈ B. Tamb´em dizemos que B n˜ A. ao cont´em A e escrevemos B ⊃ A
Nesse
Exemplo 6 Temos as seguintes rela¸co˜es entre os conjuntos dos exemplos anteriores:
⊂ N, A ⊂ C, B ⊂ N, B ⊂ C, A ⊂ C, D ⊂ C, B ⊂ D. Escreva outras rela¸co˜es usando ⊂ ou ⊂ e os conjuntos dos Exemplos 1 a 5. A
Para demonstrar a afirma¸ c˜ ao A = B devemos provar,
primeiramente, que A ⊂ B e depois que B ⊂ A.
Se os conjuntos A e B tˆem exatamente os mesmos elementos, dizemos que A = B . Exemplo 7 Seja A = { |x| ; x
∈ Z }, onde |x| =
x, −x,
≥
se x 0 se x < 0
Facilmente, verificamos que A = N. Exemplo 8 Seja A o conjunto dos triˆ angulos retˆ angulos is´osceles e seja B o conjunto dos triˆangulos retˆangulos cujos aˆngulos dos catetos com a hipotenusa s˜ ao iguais. Ent˜ao, A = B . Defini¸c˜ao 2 Se A B , mas A = B , ent˜ao A ´e chamado um subconjunto pr´ oprio de B.
⊂
Quando consideramos subconjuntos de um conjunto fixado, chamamos esse conjunto de conjunto universo e denotamos por .
U
Exemplo 9 Se estamos considerando figuras geom´etricas planas, podemos tomar como o conjunto dos pontos do plano.
U
Nos Exemplo 2 e Exemplo 3 podemos considerar
U = N.
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No¸coes ˜ sobre conjuntos PARTE 1 -
SEC ¸ ˜ AO 1
As opera¸co˜es com conjuntos s˜ ao uni˜ao, interse¸ca˜o e complementar e s˜ ao utilizadas para construir outros conjuntos. Defini¸c˜ao 3 O conjunto A uni˜ ao B, denotado por A pelo menos um dos conjuntos A ou B.
∪ B, ´e o conjunto dos elementos de x ∈ A ∪ B
A
⇐⇒
∪ B = { x ; x ∈ A ou x ∈ B }.
x ∈ A ou x ∈ B.
∩
O conjunto A interse¸c˜ ao B, denotado por A B, ´ e o conjunto dos elementos que est˜ ao, simultaneamente, em ambos os conjuntos A e B. A
Defini¸c˜ao 4 Os conjuntos A e B s˜ao disjuntos se, e somente se, A Defini¸c˜ao 5 O complementar est˜ao em A.
x ∈ A ∩ B
∩ B = { x ; x ∈ A e x ∈ B }.
⇐⇒
x ∈ A e x ∈ B.
∩ B = ∅.
C (A) de A ⊂ U ´e o conjunto dos elementos de U que n˜ao U
C
U (A)
= { x
∈ U ; x ∈ A }.
O complementar de A em B, denotado por A\B (ou A − B), ´e o conjunto dos elementos de A que n˜ao est˜ a o em B.
O complementar de A em B tamb´ em ´ e chamado de diferen¸ ca de A e B.
A\B = { x
∈ A ; x ∈ B }.
Exemplo 10 Sejam A = { 1,2,3,4,5,6 }, B = {−2,0,2,4,6 } e C = {−2, −1,0,7}. Ent˜ao,
∪ B = {−2,0,1,2,3,4,5,6 }, A ∩ B = { 2,4,6 }, A
A\B = { 1,3,5 }, B\A = { −2, 0 },
∩ C = ∅, B ∩ C = { −2, 0 } e A
C\B = { −1, 7 }.
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No¸coes ˜ sobre conjuntos
Proposi¸c˜ao 1 Valem as seguintes propriedades para as opera¸co˜es: (1) Comutativa: A
∪ B = B ∪ A
A
∩ B = B ∩ A
(2) Associativa: A
∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C
A
∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C)
(3) Distributiva: A
∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
A
∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
(4) Leis de Morgan:
C
U (A
∪ B) = C
U (A)
∩C
U (B)
C
U (A
∩ B) = C
U (A)
∪C
U (B)
(5) Idempotente: A
∪ A = A
A
∩ A = A
(6) Dupla nega¸ca˜o:
C (C U
U (A))
= A
Demonstra¸c˜ao: Para ilustrar, vamos verificar (3). x
∈ A ∩ (B ∪ C)
x
∈ A ∪ (B ∩ C)
⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒
∈ A e x ∈ B ∪ C x ∈ A e ( x ∈ B ou x ∈ C) (x ∈ A e x ∈ B ) ou ( x ∈ A e x ∈ C ) x ∈ A ∩ B ou x ∈ A ∩ C x ∈ ( A ∩ B) ∪ (A ∩ C) x ∈ A ou x ∈ B ∩ C x ∈ A ou (x ∈ B e x ∈ C ) (x ∈ A ou x ∈ B ) e (x ∈ A ou x ∈ C ) x ∈ A ∪ B e x ∈ A ∪ C x ∈ ( A ∪ B) ∩ (A ∪ C) x
Proposi¸c˜ao 2 Valem as seguintes propriedades para o conjunto vazio e para o conjunto universo : Para qualquer conjunto A temos ∅ ⊂ A
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U (i) A ∪ ∅ = A (ii) A ∪ U = U
∅
∩ ∅ = ∅. A ∩ U = A . A
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No¸coes ˜ sobre conjuntos PARTE 1 -
SEC ¸ ˜ AO 1
Defini¸c˜ao 6 O produto cartesiano dos conjuntos A e B ´e o conjunto A ordenados (a, b), tais que a A e b B .
∈
A
× B de pares
∈
Se A ou B ´ e vazio, ent˜ao
× B = { (a, b) ; a ∈ A e b ∈ B }.
A× B = ∅
Exemplo 11 Sejam A = { 1,2,3} e B = { 4, 5}. Ent˜ao,
× B = {(1, 4), (1, 5), (2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5)} e B × A = {( 4, 1), ( 4, 2), ( 4, 3), (5, 1), (5, 2), (5, 3)}. A
Exemplo 12 Sejam A = { a, b} e B = { b, c}. Ent˜ao,
× B = {(a, b), (a, c), (b, b), (b, c)} e B × A = {(b, a), (b, b), (c, a), (c, b)}. A
Os exemplos acima mostram que em geral A
× B = B × A.
Podemos generalizar a defini¸c˜ao acima a n conjuntos.
Defini¸c˜ao 7 Sejam n 2 um n´ umero natural e A1, A2, . . . , An conjuntos.
≥
O produto cartesiano A1 A2 An ´e o conjunto das n-uplas ordenadas (a1, a2, . . . , an), tais que a1 A 1, a2 A 2, . . . , an A n. A1
× × · · · × ∈ ∈
×A ×···×A 2
n = { (a1, a2, . . . , an)
; a1
∈
∈ A , a ∈ A , . . . , a ∈ A 1
2
2
n
Quando A = A i para i = 1, 2, . . . , n, denotamos An = A
.
n}
× ·· · × A.
n conjuntos
Exemplo 13 Sejam A = { a, b}, B = { c, d} e C = { e}. Ent˜ao, A
× B × C = {(a,c,e), (a,d,e), (b,c,e), (b,d,e)}. ∈
Sejam I um conjunto n˜ ao-vazio e, para cada i I, Ai um conjunto. Dizemos que {Ai, i I } ´e uma fam´ılia de conjuntos indexada por I.
∈
As opera¸c˜oes de uni˜ao e interse¸ca˜o de conjuntos podem ser generalizadas a uma fam´ılia de conjuntos.
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No¸coes ˜ sobre conjuntos
Defini¸c˜ao 8 Seja a fam´ılia de conjuntos {Ai, i I }. Ent˜ao,
∈
definimos a uni˜ ao dessa fam´ılia como o conjunto dos elementos que est˜ ao em algum Ai
Ai = { x ; x
i∈I
∈ A , para algum i ∈ I}. i
e definimos a interse¸c˜ ao dessa fam´ılia como o conjunto dos elementos que est˜ao em todos Ai
Ai = { x ; x
i∈I
∈ A , para todo i ∈ I}. i
Uma subdivis˜ao de um conjunto em subconjuntos disjuntos e n˜ ao-vazios ´e chamada uma parti¸ca˜o. Defini¸c˜ao 9 Seja A um conjunto. Uma fam´ılia de subconjuntos n˜ ao-vazios de A ´e chamada uma parti¸c˜ ao de A se, e somente se,
F
(i) A =
X.
X∈F
∈ F e X = Y , ent˜ao X ∩ Y = ∅.
(ii) Se X, Y
Exemplo 14 Tomando X = {x vemos que Z = X
∈ Z ; x ´e par }, Y = {x ∈ Z ; x ´e ´ımpar }, F = { X, Y } ∪ Y e X ∩ Y = ∅. Logo, F ´e uma parti¸c˜ao de Z.
Exemplo 15 Os conjuntos X1 = { 1,2,4,5,6 }, X 2 = { 3,7,8 } e X3 = { 9,10 } definem uma 3
Lembre que . . . A ∩ B = B ∩ A.
parti¸ca˜o de A = { 1 , 2 , . . . , 1 0 }, pois A =
Xi e X i
i=1
≤ i < j ≤ 3.
i, j tais que 1
Exerc´ıcio 1. Determine os conjuntos descritos a seguir:
∈ N ; 2x > 10 e 3x < 28 }; (b) { x ∈ Z ; 2x = n , para algum n ∈ N }; (a) { x
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∩ X = ∅, para quaisquer j
No¸coes ˜ sobre conjuntos PARTE 1 -
(c) { x ; x, y
2
∈ Z, x
SEC ¸ ˜ AO 1
= 2y + 1 e x + 1 = 4y } .
2. Dˆe uma descri¸ca˜o de cada um dos conjuntos: (a) { 1, 3, 5, 7, . . . , 25 } ; (b) (c)
3. Sejam
8 8 8 8 8 , , , , ,... 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 , , , , 5 4 3 2 1
.
U = {x ∈ Z ;
;
0 < x < 8}, A = {1,3,5,7}, B = {2,3,5,6} e
C = { 3,4,5,6}. Determine:
∪ B. (b) C (A ∩ B). (c) C (A ∪ (B ∩ C)). (d) A ∩ (B ∪ C). (e) (A ∩ B)\(A ∩ C). 4. Consideremos A = {x ∈ Z ; x divide 40} e B = {x ∈ Z ; x divide 60}. (a) A
U U
Determine:
∩ B. (b) A ∪ B. (a) A
(c) A\B. (d) B\A.
∈
∈
5. Consideremos A = {x Z ; 2 divide x }, B = {x Z ; 18 divide x }, C = { x Z ; 12 divide x } e D = { x Z ; 36 divide x }.
∈
∈ (a) Mostre que B ⊂ A , C ⊂ A , D ⊂ A , D ⊂ B e D ⊂ C . (b) Mostre que D = B ∩ C. 6. Mostre que se A ⊂ B e B ⊂ C , ent˜ao A ⊂ C . 7. Mostre que A ∪ B = (A\B) ∪ (B\A) ∪ (A ∩ B) e a uni˜ ao do lado direito ´e disjunta.
8. Sejam A, B conjuntos. Mostre que (A\B)
∪ (B\A) = (A ∪ B)\(A ∩ B).
⊂ B se, e somente se, A ∩ B = A. 10. Mostre que A ⊂ B se, e somente se, A ∪ B = B . 9. Mostre que A
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No¸coes ˜ sobre conjuntos
11. Mostre que A
∪ B = A ∩ B se, e somente se, A = B.
12. Indicamos por |A| o n´umero de elementos de um conjunto finito A. Mostre que se B e C s˜ao conjuntos finitos, ent˜ ao |B Sugest˜ ao: Para cada natural
∪ C| = |B| + |C| − |B ∩ C|.
r com 0 ≤ r ≤ n determine o
n´ umero mr de subconjuntos de A com r elementos. n
Conclua que |P(A)| =
mr
13. Seja A um conjunto com n elementos, isto ´e, |A| = n . Seja P(A) = { B ; B
r=0
e determine a soma.
⊂ A }. Mostre que P(A) tem 2
n
elementos.
14. Sejam A, B, C conjuntos.
∪ B) × C = (A × C) ∪ (B × C). (b) Mostre que (A ∩ B) × C = (A × C) ∩ (B × C). (a) Mostre que (A
15. Demonstre as propriedades (1), (2), (4), (5) e (6) da Proposi¸ c˜ao 1. 16. Demonstre a Proposi¸ca˜o 2.
U
⊂ ∪
17. Mostre que se A e B s˜ ao subconjuntos n˜ ao-vazios de com A B e ao A B ´e um subconjunto n˜ ao-vazio de , tal que A B = A B A , ent˜ e A B = B .
⊂
∪
∪
U
∈
18. Sejam B um conjunto e Ai, i I , uma fam´ılia de conjuntos. (a) Mostre que
× × i∈I
(b) Mostre que
i∈I
Ai
Ai
i∈I
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(Ai
i∈I
=
i∈I
(d) Mostre que B\
(Ai
i∈I
B =
Ai
(c) Mostre que B\
B =
Ai
× B). × B).
(B\Ai).
i∈I
=
(B\Ai).
i∈I
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Fun¸coes ˜ PARTE 1 -
SEC ¸ ˜ AO 2
Fun¸ co ˜es Veremos alguns resultados importantes sobre fun¸co˜es. Defini¸c˜ao 10 (Fun¸c˜ao, dom´ınio e contradom´ınio) Sejam A e B conjuntos n˜ ao-vazios. Uma fun¸cao ˜ f de A para B , denotada por f : A B, associa a cada a A exatamente um elemento b B ; b ´e dito o valor da fun¸ca˜o f em a ou a imagem de a e escrevemos b = f (a).
−
∈
→
∈
Tamb´em costumamos denotar a fun¸c˜ao f por f : A a
− −
B
→→
f(a)
O conjunto A ´e o dom´ınio e o conjunto B ´e o contradom´ınio de f. Defini¸c˜ao 11 (Igualdade de fun¸co˜es) Sejam f : A oes. f e g s˜ao iguais se, e somente se, Beg:A B fun¸c˜ para cada a A temos f(a) = g (a).
− ∈
−
→
→
Portanto, duas fun¸co˜es s˜ao iguais se, e somente se, tˆem mesmos dom´ınios e contradom´ınios e tˆem valor igual em cada elemento do dom´ınio. Exemplo 16 S˜ao exemplos de fun¸co˜es:
− (2) g : Z − (1) f : Z
→→
Z definida por f(x) = 2x , para cada x
{0, 1} definida por
(3) h : Z\{0}
g(x) =
0, 1,
∈ Z.
se x ´e par se x ´e ´ımpar
→
→
Q definida por h (x) =
1 x
∈ Z\{0}. (4) u : R − R definida por u (x) = 4x + 3, para cada x ∈ R. −
, para cada x
Exemplo 17 A associa¸ca˜o entre os conjuntos A = { 0,1,2} e B = { 3,4,5} definida a seguir n˜ao ´e uma fun¸ca˜o: 0
1 2
→ց → →
3 5 4 3
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Fun¸coes ˜
Nesse caso, o elemento x = 0 de A est´a associado aos elementos de B y1 = 3 e y2 = 5 . Defini¸c˜ao 12 (Composi¸c˜ao) Sejam f : A ˜es. A composi¸c˜ ao ou fun¸c˜ ao composta B e g : B C fun¸co de g e f, indicada por g f, ´e a fun¸c˜ao g f : A C definida por
−
−
→
→ ◦
◦
◦
−
→
(g f)(x) = g (f(x)), para cada x
∈ A.
◦
Observamos que a fun¸ca˜o g f tem o mesmo dom´ınio de f, o mesmo contradom´ınio de g e s´o est´ a definida quando o contradom´ınio de f coincide com o dom´ınio de g. Exemplo 18 (1) Sejam f : R R e g : R R definidas, respectivamente, por f(x) = 3x − 5 e g(x) = e (2x+1), para cada x R.
−
−
→
→∈
Nesse caso, podemos determinar ambas as compostas.
◦
Temos que f g : R
−
→
Reg
◦ f : R −
→
ao dadas por R s˜
(f g)(x) = f (g(x)) = 3e (2x+1) − 5, para cada x
◦ ∈Re (g ◦ f)(x) = g (f(x)) = e = e , para cada x ∈ R. (2) Sejam f : Z − N e g : N − {0,1,2} dadas por f(x) = |x| e g(x) = r, (2(3x−5)+1)
→
(6x−9)
→
onde r ´e o resto da divis˜ao de x por 3.
◦
− {0,1,2}. se x ∈ { 0, ±3, ±6 , . . .} se x ∈ { ±1, ± 4, ±7 , . . .} se x ∈ { ±2, ±5, ±8 , . . .}
S´o faz sentido determinar a composta g f : Z Temos (g f)(x) = g (f(x)) =
◦
0, 1, 2,
→
Defini¸c˜ao 13 (Fun¸c˜ao Identidade) Seja A um conjunto n˜ a o-vazio. A fun¸ca˜o IA : A A definida por ao identidade . IA(a) = a , para cada a A , ´e chamada de fun¸c˜
−
→
∈
Proposi¸c˜ao 3 Consideremos as fun¸co˜es f : A identidades IA : A A e IB : B A composi¸ ca ˜o de fun¸co ˜es ´ e associativa.
− (i) h ◦ (g ◦ f) = (h ◦ g) ◦ f; (ii) I ◦ f = f ; (iii) f ◦ I = f .
→
−
→−→ −→ B, g : B
ao, B. Ent˜
B
A
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C, h : C
−
→
˜es D e as fun¸co
Fun¸coes ˜ PARTE 1 -
SEC ¸ ˜ AO 2
´ claro que o dom´ınio de ambas as fun¸ Demonstra¸c˜ao: (i) E co˜es ´e A = Dom (f), assim como o contradom´ınio ´e D, o contradom´ınio de h . Al´em disso, para cada x A , temos:
∈ (h ◦ (g ◦ f))(x) = h ((g ◦ f)(x)) = h (g(f(x))) = (h ◦ g)(f(x)) = ((h ◦ g) ◦ f)(x). Logo, h ◦ (g ◦ f) = (h ◦ g) ◦ f. (ii) A fun¸ca˜o I ◦ f tem dom´ınio A, igual ao dom´ınio de f e contradom´ınio B, o mesmo de f. Para cada x ∈ A, temos (I ◦ f )(x) = I (f(x)) = f(x). Portanto, I ◦ f = f . (iii) A fun¸ca˜o f ◦ I tem dom´ınio A, igual ao dom´ınio de f e contradom´ınio B, o mesmo de f. Para cada x ∈ A, temos (f ◦ I )(x) = f(I (x)) = f(x). Portanto, f ◦ I = f . B
B
B
B
A
A
A
A
Defini¸c˜ao 14 (Imagem) Seja f : A ˜o. B uma fun¸ca
−
→
∈
A imagem de f ´e o conjunto Imagem(f) = { f(a); a A } = f (A). A imagem de f ´e um subconjunto de B, a saber, Se f : A −
∈
Imagem(f) = { b B ; b = f (a) para algum a Exemplo 19 Seja h : Z\{0}
−
→
Q definida por h (x) =
Imagem(h ) =
1 x
ent˜ ao
e uma fun¸ca ˜o, B´
Imagem(f) = f(A) ⊂ B.
∈ Z\{0}. Ent˜ao,
, para cada x
± ± ± ± 1 , 2
1,
∈ A}.
→
1 , 3
1 ,... 4
.
Defini¸c˜ao 15 (Injetora, sobrejetora ou bijetora) Seja f : A ˜o. B uma fun¸ca
−
→
f ´e injetora se, e somente se, ′
para a, a
e injetora se, e somente se, f´
∈ A a = a
′
=
⇒
para a, a′ ∈ A, f(a) = f(a′ )
′
f(a) = f (a ).
implica a = a′ .
f ´e sobrejetora se, e somente se, B = f (A); em outras palavras,
∈
∈
para cada b B , existe a A tal que b = f (a).
e sobrejetora s e, e somente f´ se, a imagem de f ´ e o seu contradom´ ınio.
f ´e bijetora se, e somente se, ´e injetora e sobrejetora.
Exemplo 20 (1) Segue, imediatamente, das defini¸co˜es acima, que IA : A A ´e bijetora. (2) f : Z e injetora e n˜ ao ´e Z definida por f(x) = 2x, para cada x Z, ´ sobrejetora.
−
→
De fato, para x, x′
∈
−
→
∈ Z temos 17
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U F F
Fun¸coes ˜
f(x) = f (x′ )
⇐⇒
mostrando que f ´e injetora.
2x = 2x ′
⇐⇒
x = x ′ ,
Al´em disso, qualquer inteiro ´ımpar n˜ ao est´ a na imagem de f , que se constitui dos inteiros pares. Logo, Imagem(f) = 2 Z = Z = contradom´ınio(f) e f n˜ao ´e sobrejetora.
(3) g : Z
−
→
{0, 1} definida por
g(x) =
0, 1,
se x ´e par se x ´e ´ımpar
claramente, n˜ ao ´e injetora e ´e sobrejetora. (4) h : Z\{0} Q definida por h (x) = x1 , para cada x e n˜ao ´e sobrejetora.
−
∈ Z\{0}, ´e injetora
→
Essa fun¸ca˜ o n˜ ao ´e sobrejetora pois, por exemplo, o n´ umero racional pertence a` imagem de h . Por outro lado, para x, x′
mostrando que h ´e injetora.
∈
−
→
n˜ao
∈ Z\{0},
h (x) = h (x′)
Exemplo 21 A fun¸ca˜o f : Z
2 3
1 x
=
1 x′
⇐⇒ ⇐⇒
x = x ′ ,
Z definida por f(x) = −x + 3 ´e bijetora.
∈
Dado y Z, existe x Z tal que y = f(x), pois y = −x + 3 se, e somente se, x = 3 − y . Logo, dado y, tomamos x = − y + 3 e f(x) = f(3 − y) = −(3 − y) + 3 = y . Portanto, f ´e sobrejetora. Da unicidade de x, obtida acima, temos que f ´e injetora.
Teorema 1 Seja f : A
−
→
˜o. B uma fun¸ca
(i) f ´e injetora se, e somente se, existe uma fun¸ c˜ao g : B g f = I A.
◦
−
→
Nesse caso, dizemos que g ´e uma inversa a` esquerda de f. U F F
18
M.L.T.Villela
A, tal que
Fun¸coes ˜ PARTE 1 -
−
(ii) f ´e sobrejetora se, e somente se, existe uma fun¸ c˜ao h : B f h = I B.
◦
Nesse caso, dizemos que h ´e uma inversa a` direita de f.
→
SEC ¸ ˜ AO 2
A, tal que
Demonstra¸c˜ao: (i) ( =:) Suponhamos que existe g : B ao, a, a′ A , tais que f(a) = f (a′ ). Ent˜
⇐∈
−
→
A, tal que g
◦f = I
. Sejam
A
a = I A(a) = (g f)(a) = g (f(a)) = g (f(a′)) = (g f)(a′) = I A(a′ ) = a ′ .
◦
◦
Logo, f ´e injetora. (= :) Suponhamos que f : A e injetora. Ent˜ a o, para cada B ´ ´ nico a A , tal que b = f (a). b Imagem(f) = f (A) existe um u
∈
−
⇒
→∈
∈
Escolhemos a1 A e definimos g : B
Para cada a g f = I A.
◦
∈
−
→
A por
se b = f (a) se b B \f(A)
g(b) = a,
∈
g(b) = a 1,
◦
A temos (g f )(a) = g(f(a)) = a = IA(a). Logo,
− ◦
◦
(ii) ( =:) Suponhamos que existe h : B ao, A, tal que f h = IB. Ent˜ para cada b B temos b = IB(b) = (f h )(b) = f(h (b)) Imagem(f), mostrando que f ´e sobrejetora.
⇐
→
∈
∈
(= :) Suponhamos que f : A ao, para cada B e´ sobrejetora. Ent˜ b B existe a A, tal que b = f(a). Escolhemos ab A com f(ab) = b. Seja h : B A definida por h (b) = a b. Portanto, para cada b B temos (f h )(b) = f (h (b)) = f (ab) = b = I B(b), mostrando que f h = I B.
∈ ◦
⇒
−
→
−
→
∈
∈
◦
∈
− −
Vamos analisar o que ocorre quando f : A B ´e bijetora. Pelo Teorema 1, f tem uma inversa a` esquerda g : B A e uma inversa a` direita h : B A, tais que g f = I A e f h = I B. Portanto,
−
→
g = g
◦
◦I
B = g
◦
→→
◦ (f ◦ h ) = (g ◦ f) ◦ h = I ◦ h = h . A
´ claro, pelo mesmo Teorema, que g tamb´em ´e bijetora. E Obtivemos parte do seguinte Corol´ ario.
19
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Fun¸coes ˜
Corol´ario 1 Seja f : A ˜o. Ent˜ ao, f ´e bijetora se, e somente se, existe B uma fun¸ca uma fun¸ca˜o g : B A tal que g f = I A e f g = I B.
−
→ −→
◦
◦
Demonstra¸c˜ao: Falta apenas mostrar que a condi¸ca˜o ´e suficiente. Da composi¸ca˜o g f = IA e do item (i) do Teorema 1, segue que f ´e injetora e, da composi¸ca˜o f g = I B e do item (ii) do Teorema 1, segue que f ´e sobrejetora.
◦
◦
Defini¸c˜ao 16 (Fun¸c˜ao inversa) Seja f : A ˜o. Dizemos que f ´e invert´ıvel se, e somente se, f B uma fun¸ca ´e bijetora.
−
f− 1 : B − A, a inversa de
→→ ⇐⇒
f:A−
e definida por B, ´
f− 1 (b) = a
f(a) = b
→
−
◦
◦
Nesse caso, a fun¸ca˜o g : B A tal que g f = IA e f g = IB ´e chamada de inversa de f e a denotamos por f−1.
→
Exerc´ıcio
−
−
1. Sejam f : R\{−3} R e g : R\{−3} R definidas por f(x) = x − 2 2 e g(x) = x x++x3−6 . Mostre que f e g s˜ ao fun¸co˜es iguais.
→
→ ∞∞ −→
2. Sejam f : R [0, + ) e g : [0, + ) se x R, e g(x) = x, se x [ 0, + ).
∈
−
→ √ ∞
∈
R definidas por f(x) = x2,
(a) Mostre que f n˜ao ´e injetora e ´e sobrejetora. (b) Mostre que g ´e injetora e n˜ ao ´e sobrejetora.
◦
◦
(c) Determine as fun¸co˜es f g e g f.
∞ −√ → ∞ ∈ ∞ ∞ −→ ∞
3. Sejam s : [0, + ) s(x) = x 2 e t(x) =
) e t : [0, +
[0, +
x, para x
[ 0, +
)
[0, +
) definidas por
).
(a) Mostre que s ´e bijetora.
(b) Mostre que t ´e bijetora. (c) Determine as fun¸co˜es s t e t s.
◦
∞ ∈ −→∞ ∞
4. Sejam r : (− , 0 ] r(x) = x 2, se x (−
◦
) − [0, + ) definidas por √ , 0 ] e t(x) = x, se x ∈ [ 0, + ) . [0, +
) e t : [0, +
(a) Mostre que r ´e bijetora.
(b) Determine a fun¸ca˜o t r.
◦
(c) Determine r−1. U F F
20
M.L.T.Villela
∞ → ∞∞
Fun¸coes ˜ PARTE 1 -
5. Mostre que a fun¸c˜ao f : R x R, ´e bijetora.
∈
−
→ −→
SEC ¸ ˜ AO 2
R definida por f(x) = 3x + 2, para cada
6. Mostre que a fun¸ca˜o f : Z Z definida por f(x) = 3x + 2, para cada ao ´e sobrejetora. Determine a imagem de f. x Z, ´e injetora e n˜
∈
7. Sejam f, g, h : Z
−
→
Z definidas por f (x) = −x, g (x) = 3x e h (x) = x 2.
(a) Mostre que f ´e bijetora. (b) Mostre que g ´e injetora e n˜ ao ´e sobrejetora. (c) Mostre que h n˜ao ´e injetora nem sobrejetora. (d) Determine f−1. 8. Sejam f : A
◦
g f : A
−
→ −→
B e g : B
−
→
˜es e considere a fun¸ca˜o composta C fun¸co
C. Mostre que:
◦
(a) se f e g s˜ ao injetoras, ent˜ ao g f ´e injetora;
◦
(b) se f e g s˜ ao sobrejetoras, ent˜ ao g f ´e sobrejetora;
◦ (d) se g ◦ f ´e sobrejetora, ent˜ ao g ´e sobrejetora. (c) se g f ´e injetora, ent˜ao f ´e injetora;
9. Seja A um conjunto n˜ ao-vazio com n elementos. Seja f : A fun¸ca˜o. Mostre que : (a) f ´e injetora se, e somente se, f ´e sobrejetora; (b) h´ a n! fun¸co˜es bijetoras f : A
−
→
A uma
− A. 10. Sejam f : A − B uma fun¸ca˜o e S ⊂ A . A imagem de S por f ´e f(S) = { f(a) ; a ∈ S } = { b ∈ B ; b = f (s) para algum s ∈ S }.
→
→
Determine f(S), para cada f e S dados:
− (b) f : R − (a) f : R
R definida por f(x) = x 2, S = [−5, 2).
→→ −→ −→ −→
(c) f : Z\{0}
R definida por f(x) = | x|, S = (−5, 2). Q definida por f(x) = x1 , S = {−2, −1 , 1 , 2 , 3 , . . .}.
(d) f : N {0,1,2} definida por f (x) = r , onde r ´ e o resto da divis˜ ao de x por 3 e S = { a N ; a 6 }. 11. Sejam f : A fun¸c˜ao f ´e
∈
≥ ˜o e T ⊂ B. A imagem inversa de T pela B uma fun¸ca 21
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Fun¸coes ˜
f−1(T ) = { a
∈ A ; f(a) ∈ T }.
Determine f−1(T ), para cada f e T dados.
− (b) f : R − (a) f : R
R definida por f(x) = x 2, T = (−3, 7 ].
→ → −→ −→ −→
R definida por f(x) = | x|, T = (−3, +
(c) f : Z\{0}
Q definida por f(x) = x1 , T = { y
∞
).
∈ Q ; −
3 < 7
y
≤
2 } 3
.
(d) f : N {0,1,2} definida por f (x) = r , onde r ´ e o resto da divis˜ ao de x por 3, T = { 1}. 12. Seja f : A
˜o. Mostre que: B uma fun¸ca −1
⊂ A, ent˜ao f (f(S)) ⊃ S; (b) se T ⊂ B , ent˜ao f(f (T )) ⊂ T ; (c) se {T ; i ∈ I } ´e uma fam´ılia de subconjuntos de B, ent˜ao (a) se S
−1
i
f−1
T i
i∈I
U F F
=
f−1(T i) e f−1
i∈I
T i
i∈I
22
M.L.T.Villela
=
i∈I
f−1(T i) .
Rela¸coes ˜ de equivalˆ encia PARTE 1 -
SEC ¸ ˜ AO 3
Rela¸ c˜ oes de equivalˆ encia Frequentemente, temos rela¸c˜oes entre dois objetos de um conjunto. Ve jamos alguns exemplos: umeros inteiros: menor ou igual, divide, m´ultiplo. - No conjunto dos n´ ao. - Numa fam´ılia de conjuntos: inclus˜ angulos: semelhan¸ca, congruˆencia. - No conjunto dos triˆ - No conjunto das retas no plano: paralelismo, perpendicularismo. - No conjunto dos moradores de um edif´ıcio: residir no mesmo andar, residir
em apartamento de frente, residir na mesma coluna.
Defini¸c˜ao 17 Dados um conjunto A , denotaremos por ∼ uma rela¸ca˜o bin´aria em A . Dados a relacionado com b escrevendo a ∼ b . a, b A indicamos que a est´
∈
Caso contr´ ario, dizemos que a n˜ ao est´ a relacionado com b e escrevemos a ∼ b .
Exemplo 22 Sejam A = { 1,2,3} e a, b A . Definimos a ∼ b
∈
Ent˜ao, 1 ∼ 1 , 1 ∼ 2 , 1 ∼ 3 , 2 ∼ 2 , 2 ∼ 3 e 3 ∼ 3 .
Tamb´em, 2 ∼ 1 , 3 ∼ 2 e 3 ∼ 1 .
Exemplo 23 Sejam A = { 1,2,3} e a, b A . Definimos a ∼ b Ent˜ao, 1 ∼ 2 , 1 ∼ 3 , 2 ∼ 3 .
∈
≤ b.
⇐⇒
a
⇐⇒
a < b.
Tamb´em, 1 ∼ 1 , 2 ∼ 2 , 2 ∼ 1 , 3 ∼ 3 , 3 ∼ 2 e 3 ∼ 1 .
Exemplo 24 Seja A o conjunto das retas do plano. Sejam r, s A . Definimos r ∼ s
∈
⇐⇒
r s .
Nesse caso, duas retas do plano n˜ ao est˜ ao relacionadas se, e somente se, se intersectam em um u´nico ponto.
23
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Rela¸coes ˜ de equivalˆ encia
Exemplo 25 Seja Z o conjunto dos n´ umeros inteiros. Sejam a, b Definimos a ∼ b
⇐⇒
a − b ´e par.
∈ Z.
Temos que 1 ∼ 3 , −2 ∼ 4 e 135 ∼ − 1, enquanto 1 ∼ 2 e −2 ∼ 3 . Observamos que :
⇐⇒ ⇐⇒ a ∼ b
a e b s˜ao pares ou a e b s˜ao ´ımpares
e par e b ´e ´ımpar ou a ´
a ∼ b
a ´e ´ımpar e b ´e par
Exemplo 26 Sejam Π um plano e O um ponto fixado de Π. Para cada ponto P consideramos d(O, P) a distˆancia entre os pontos O e P. Dados P, Q Π definimos P ∼ Q
∈
⇐⇒
∈Π
d(O, P) = d (O, Q).
Ou ´ nico ponto relacionado a O ´e o ponto O.
Dois pontos P e Q , tais que P = O e Q = O , est˜ao relacionados se, e somente se, d(O, P) = d(O, Q) > 0 se, e somente se, P, Q est˜ao situados no mesmo c´ırculo de centro O e raio r = d(O, P) = d(O, Q). Exemplo 27 Sejam Π um plano e r uma reta fixada.
∈
Dados P, Q Π , definimos: P ∼ Q
⇐⇒
∈
existe s, uma reta paralela a r, tal que P, Q s .
Nesse caso, dois pontos distintos do plano est˜ ao relacionados se, e somente se, a u ´ nica reta determinada por eles ´e paralela a r. Fixado um ponto P do plano, sabemos que existe uma u´nica reta s paralela a ao relacionados com P , inclusive r passando por P . Todos os pontos Q s est˜ P.
∈
A seguir definimos trˆes tipos de propriedades que uma rela¸ c˜ao bin´aria pode ter. Defini¸c˜ao 18 (Rela¸c˜ao reflexiva, sim´etrica ou transitiva) Seja ∼ uma rela¸ca˜o bin´aria no conjunto A. Dizemos que ∼ ´e reflexiva se, e somente se, a ∼ a , para todo a U F F
24
M.L.T.Villela
∈ A;
Rela¸c˜ coes ˜ de equival equ ivalˆ ˆ encia enc ia PARTE 1 -
∼ ´e sim´ si m´etri tr ica se, e somente se, para quaisquer a, b
ent˜ao ao b ∼ a ;
∈ A, tais que a ∼ b,
∼ ´e transitiva se, e somente se, para quaisquer a,b,c
ao ao a ∼ c . a ∼ b e b ∼ c , ent˜
SEC ¸ ˜ AO 3
∈ A, tais que
Exemplo 28 A rela¸c˜ cao a˜o bin´aria aria do exemplo 22 ´e reflexiv refl exivaa e transitiva e n˜ ao ´e sim´ si m´etr et rica. ic a. A rela¸c˜ c˜ao ao bin´aria aria de exemplo 23 ´e transitiva e n˜ ao ao ´e refle re flexiva xiva nem ne m sim´etri et rica ca..
Exemplo 22: 1 ∼ 2, mas 2∼ 1.
Exemplo 23: 1 ∼ 1 e 1 ∼ 2, mas 2 ∼ 1.
Exemplo 29 A seguinte rela¸c˜ c˜ao ao bin´ aria aria em um plano Π ´e reflexiva refl exiva e sim´etrica etr ica,, mas n˜ ao ´e transitiva: P, Q
∈ Π, P ∼ Q se, e somente se, d(P, Q) ≤ 1.
Basta exibir trˆ es es pontos P, Q,R, tais que d(P, Q) ≤ 1
e d(Q, R) ≤ 1 com d(P, R) > 1.
Desempenham um papel importante as rela¸c˜ c˜oes oes bin´arias arias que tˆem, em, simultaneamente, multanea mente, as trˆ t rˆes es propr p ropriedad iedades: es: reflexiva, reflexi va, sim´etrica etric a e transitiva. tran sitiva. Defini¸c˜ c˜ao ao 19 (Rel (R ela¸ a¸c˜ c˜ao ao de equi eq uiva valˆ lˆenci en cia) a) Dizemos que uma rela¸c˜ cao a˜o bin´aria aria ∼ em A ´e uma rela¸c˜ cao ˜ de equivalˆ equiva lˆ encia enc ia se, e somente se, para quaisquer a, a, b, c A (i) (reflexiva) a ∼ a ; (ii) (ii ) (sim´ (si m´etrica etr ica)) se a ∼ b , ent˜ao ao b ∼ a ; (iii) (transitiva) se a ∼ b e b ∼ c , ent˜ao ao a ∼ c .
∈
Exemplo 30 Vamos verificar que a rela¸c˜ cao a˜o bin´aria aria ∼ do exemplo exemplo 25 ´e uma rela¸ c˜ cao a˜ o de equiva eq uivalˆ lˆencia en cia em Z. De fato, se a, ao ao a, b, c Z, ent˜
∈
(i) como 0 = a − a ´e par, pa r, ent˜ entao a˜o a ∼ a ; (ii) se a ∼ b , ent˜ao ao a − b ´e par, pa r, logo lo go b − a = −(a − b) ´e par, par , provando provan do que b ∼ a ; (iii (iii)) se a ∼ b e b ∼ c, ent˜ ent˜ ao ao a − b e b − c s˜ao a o ambo amboss pare paress e pa r, logo lo go a ∼ c . a − c = (a − b) + (b − c) ´e par, Exemplo 31 S˜ao ao rela¸c˜ coes o˜es de equivalˆ equivalˆencia encia as rela¸c˜ coes o˜es bin´arias arias dos exemplos 24, 26 e 27. N˜ao sao a˜o rela¸c˜ c˜oes oes de equivalˆencia encia as rela¸c˜ coes o˜es bin´arias arias dos exemplos 22 e 23. Em geral visualizamos um conjunto pelos seus elementos. Uma rela¸c˜ cao a˜o de equivalˆencia encia em um conjunto p ermite visualizar o conjunto por meio dos do s seus subconjuntos sub conjuntos chamados classes de equivalˆ equivalˆencia. encia. Com esse objetivo, ob jetivo, introduzimos o conceito de classe de equivalˆ equivalˆencia. encia. 25
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Rela¸c˜ coes ˜ de equival equ ivalˆ ˆ encia enc ia
Defini¸c˜ c˜ao ao 20 (Classe (Cla sse de equivalˆ equi valˆencia) enc ia) Seja ∼ uma rela¸c˜ cao a˜o de equivalˆ equ ivalˆencia enc ia em A.
∈
Para cada a A , a classe de equivalˆencia encia a de a ´e a = { = { x
∈ A ; x ∼ a }.
Exemplo 32 No exemplo 24, onde A ´e o conjunto conjunto de todas as retas do plano, a classe de equivalˆencia encia de cada reta r A ´e
∈
= { s r = {
∈ A ; s r }.
Exemplo 33 No exemplo 25 a rela¸c˜ cao a˜o de equivalˆencia encia foi definida defi nida no conjunto co njunto dos n´ numeros ´ inteiros, que ´e a uni˜ ao dos subconjuntos dos inteiros pares com os inteiros ao ´ımpares, ımpar es, a saber sab er Z = { 0,
±1, ±2, ±3 , . . . } = { = { 0, ±2, ± 4, . . . } ∪ { ±1, ±3, ±5 . . . }.
pa r ou a ´e ´ımpa ım parr. Logo Lo go,, ∈ Z, temos que: ou a ´e par e pa r { 0, ±2, ± 4, . . . }, se a ´ = { x ∈ Z ; 2 divide x − a } = a = { { ±1, ±3, ±5 . . . }, se a ´e ´ımpar
Para cada a
Exemplo 34 No exemplo exemplo 26 o conjunto conjunto ´e um plano Π, onde fixamos um ponto O para definir a rela¸c˜ cao a˜o de equivalˆ equivalˆencia encia entre os pontos p ontos do plano. Temos:
∈ Π ; d(O, P) = d(O, O) = 0 } = { = { O } e
O = { = { P
∈ Π com P = O.
c´ırculo ırc ulo de centro cent ro O e raio r = d (O, P), para todo P P = c´
Exemplo 35 No exemplo exemplo 27 o conjunto conjunto ´e um plano Π, onde fixamos uma reta r para definir a rela¸c˜ cao a˜o de equivalˆ equivalˆ encia encia entre os pontos do plano. Nesse Nesse caso, para cada P Π, temos:
∈
a reta r. P = reta s passando por P e paralela ` Exemplo 36 Consideremos um edif´ edif´ıcio com 6 andares, 3 apartamentos por andar distrib tr ibu u´ıdos ıd os em 3 colunas, sendo a coluna 01 de frente e com trˆes es quartos, as colunas 02 e 03 de fundos com um e dois quartos, respectivamente. Seja A o conjunto dos apartamentos desse edif´ edif´ıcio. U F F
26
M.L.T.Villela
Rela¸c˜ coes ˜ de equival equ ivalˆ ˆ encia enc ia PARTE 1 -
∈
SEC ¸ ˜ AO 3
Para a, b A , consideremos as seguintes rela¸c˜ coes o˜es bin´arias arias em A: a ∼ 1 b a ∼ 2 b a ∼ 3 b
⇐⇐⇒⇒ ⇐⇒
ao ao no mesmo andar. a e b est˜ ao ao na mesma coluna. a e b est˜ ao ambos de frente ou ambos de fundos. ao a e b s˜
Cada uma das rela¸c˜ coes o˜es bin´arias arias acima ´e uma rela¸c˜ cao a˜o de equivalˆ equ ivalˆencia enc ia em A. Sabendo que cada apartamento ´e identificado por n01, n02 ou n03, onde a situado e os dois ultimos u ´ltimo s d´ıgitos ıgito s correscorr esn = 1, 1, . . . , 6 ´e o andar em que est´ pondem a` sua coluna, temos que: 1
601
1
602
2
∈ A ; x ∼ 601 } = { = { 601, 601, 602, 602, 603 603 }, { x ∈ A ; x ∼ 602 } = { = { 601, 601, 602, 602, 603 603 }, = { 601, { x ∈ A ; x ∼ 601 } = { 601, 501, 501, 401, 401, 301, 301, 201, 201, 101 101 }, { x ∈ A ; x ∼ 602 } = { 602, 502, 502, 402, 402, 302, 302, 202, 202, 102 102 } = { 602, { x ∈ A ; x ∼ 601 } = { = { 601, 601, 501, 501, 401, 401, 301, 301, 201, 201, 101 101 }, { x ∈ A ; x ∼ 602 }
= {x
1
=
1
=
601
2
2
=
602
3
2
=
601
3
3
=
602
3
= { 602, 602, 603, 603, 502, 502, 503, 503, 402, 402, 403, 403, 302, 302, 303, 303, 202, 202, 203, 203, 102, 102, 103 103 }. 1
1
1
2
Observamos que 603 = 602 = 601 , enquanto 601
2
Porr quˆe? e? ∩ 602 = ∅. Po
As seguin seguintes tes proprie propriedade dadess de uma rela¸ rela¸ c˜ao ao de equivalˆ equivalˆencia encia desempenham um papel muito importante. Proposi¸c˜ao 4 Seja ∼ uma rela¸c˜ cao a˜o de equivalˆ equ ivalˆencia enc ia em A. Valem as seguintes propriedades: (i) Se a
ao a ∼ b . ∩ b = ∅, ent˜ao
(ii) a ∼ b se, e somente se, a = b . (iii) A =
a.
a∈A
Demonstra¸c˜ao:
∩ ∅
∈
∈ ∩
(i) Como a b = , ent˜ao ao existe c A tal que c a b. Logo Logo,, c ∼ a e c ∼ b . Pela simetria, a ∼ c e, pela transitividade, obtemos a ∼ b . (ii) (=
⇒
⊂ b.
:) Suponhamos que a ∼ b . Vamos mostrar que a
∈
Seja x Ent˜ ao, ao, x ∼ a. Como omo a ∼ b, pela transitividade, temos a. Ent˜ x ∼ b . Logo, x b .
∈
Lembre Lembre que que . . . Os conjuntos X e Y s˜ao ao iguais se, e somente se, X ⊂ Y e Y ⊂ X.
A outra inclus˜ao ao ´e an´aloga, aloga, usando a simetria. ( = :) Suponhamos a = b . Ent˜ao, ao, a
⇐
∩ b = ∅ e, pelo item (i), a ∼ b. 27
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Rela¸coes ˜ de equivalˆ encia
´ claro, por defini¸ca˜o de classe de equivalˆ (iii) E encia, que a a A .
a∈A
⊂
Por outro lado, pela propriedade reflexiva, a a.
⊂
A
∈
⊂ A.
Logo,
a, mostrando que
a∈A
A propriedade (ii) da proposi¸ca˜o anterior motiva a seguinte defini¸ca˜o. Defini¸c˜ao 21 (Representante) Seja A um conjunto e ∼ uma rela¸ca˜o de equivalˆencia em A. Dizemos que b A ´e representante de uma classe de equivalˆencia a se, e somente se, b ∼ a .
∈
As classes de equivalˆencia de uma rela¸ca˜o de equivalˆencia ∼ em A s˜ ao subconjuntos de A n˜ao-vazios, pois para cada a A temos a a. Mais ainda, pelo item (iii) da proposi¸ca˜o anterior, cobrem A e, pelo item (ii), classes distintas s˜ ao conjuntos disjuntos.
∈
∈
Portanto, as classes de equivalˆencia distintas de uma rela¸ c˜ao de equivalˆ encia de um conjunto A d˜ao uma subdivis˜a o de A em subconjuntos dis juntos e n˜ ao-vazios, isto ´e, definem uma parti¸ca˜o de A. Com a observa¸ca˜o acima obtivemos a primeira parte do seguinte teorema. Teorema 2 Se ∼ ´e uma rela¸c˜ao de equivalˆencia no conjunto A, ent˜ao as classes de equivalˆencia distintas de ∼ definem uma parti¸ca˜o de A. Reciprocamente, dada uma parti¸c˜a o de A, digamos A = Ai, onde Ai = e Ai Aj = , para
∈
∅
i∈I
∩
∅
quaisquer i, j I , i = j , existe uma u ´ nica rela¸ca˜o de equivalˆencia ∼ em A , tal que as classes de equivalˆencia distintas de ∼ s˜ao os subconjuntos Ai, i I .
∈
Demonstra¸c˜ao: Falta apenas demonstrar a rec´ıproca. Digamos que a fam´ılia e uma parti¸c˜ao do conjunto A. {Ai ; i I } ´
∈
Como A =
i∈I
∈ A existe i ∈ I , tal que a ∈ A ,
ao para cada a Ai, ent˜
i
seguindo a unicidade do ´ındice i do fato de Ai e Aj serem disjuntos para i = j .
∈
∈ I,
Para a, b A definimos a ∼ b se, e somente se, para algum i a, b A i. ´ f´acil a verifica¸ca˜o de que ∼ ´e uma rela¸ca˜o de equivalˆencia em A. E
∈
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28
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Rela¸coes ˜ de equivalˆ encia PARTE 1 -
SEC ¸ ˜ AO 3
Com a defini¸ca˜o de ∼ temos a = Ai, onde i ´e o u ´nico ´ındice de I tal que a A i.
∈
Defini¸c˜ao 22 (Conjunto quociente) Seja A um conjunto n˜ ao-vazio e ∼ uma rela¸c˜ao de equivalˆencia em A. O conjunto quociente A/ ∼ ´e definido por A/ ∼ = { a ; a
∈ A}.
Exemplo 37 Consideremos em Z a rela¸c˜ao de equivalˆencia a, b
∈ Z, a ∼ b
⇐⇒
ultiplo de 2. a − b ´e m´
Temos apenas duas classes de equivalˆencia, a saber, P a classe dos n´ umeros pares e I a classe dos n´ umeros ´ımpares. Logo, Z/ ∼ = { P, I } . Exemplo 38 Consideremos a rela¸ c˜ao de equivalˆencia no plano Π do Exemplo 26, dada por P, Q
∈ Π, P ∼ Q
onde O ´e um ponto fixado em Π.
⇐⇒
d(O, P) = d (O, Q),
Vimos que O = {O} e P = c´ırculo de centro O e raio r = d(O, P) }, se P = O .
Para cada n´ umero real r > 0 seja Cr o c´ırculo de centro O e raio r. Ent˜ao, Π/ ∼ = { {O} ; Cr, r > 0 } .
Exerc´ıcios 1. Mostre que s˜ ao rela¸c˜oes de equivalˆencia as rela¸co˜es bin´arias dos Exemplos 24, 26 e 27. 2. Mostre que n˜ a o s˜ao rela¸co˜es de equivalˆencia as rela¸co˜es bin´arias dos Exemplos 22 e 23, indicando quais das propriedades (reflexiva, sim´etrica ou transitiva) n˜ ao tˆem. 3. Seja A = { x
∈ N ; x ≤ 15}. Para x, y ∈ A definimos x ∼ y
⇐⇒
3 divide x − y.
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29
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Rela¸coes ˜ de equivalˆ encia
(a) Mostre que ∼ ´e uma rela¸ca˜o de equivalˆencia em A. (b) Determine as classes de equivalˆencia: 0, 1 e 2. (c) H´a quantas classes de equivalˆencia distintas? 4. Seja A o conjunto dos triˆangulos no plano. Seja ∼ a congruˆencia de triˆangulos. Mostre que a congruˆencia de triˆ angulos ´e uma rela¸ca˜o de equivalˆencia. 5. Seja A o conjunto dos triˆangulos no plano. Seja ∼ a semelhan¸c a de triˆangulos. Mostre que a semelhan¸ca ´e uma rela¸c˜ao de equivalˆencia.
× (Z\{0}) = {(a, b) ; a, b ∈ Z e b = 0}. Para (a, b), (c, d) ∈ A definimos (a, b) ∼ ( c, d) a · d = b · c.
6. Seja A = Z
⇐⇒
(a) Mostre que ∼ ´e uma rela¸ca˜o de equivalˆencia em A. (b) Determine a classe de equivalˆencia de (a, b). 7. Seja A = R2\{(0, 0)}. Para (x, y), (x′, y′ ) A definimos
∈
(x, y) ∼ ( x′ , y′ )
⇐⇒
x = λx′ e y = λy ′ , para algum λ
∈ R\{0}.
(a) Mostre que ∼ ´e uma rela¸ca˜o de equivalˆencia em A. (b) Interprete, geometricamente, a classe de equivalˆencia de (x, y). 8. Sejam V um espa¸co vetorial real e W um subespa¸co de V .
∈
Para u, v V definimos u ∼ v se, e somente se, u − v
∈ W .
(a) Mostre que ∼ ´e uma rela¸ca˜o de equivalˆencia em V . (b) Determine a classe de equivalˆencia de v, para cada v V . (c) Sejam V = R2, (a, b) = (0, 0) e W = {(x, y)
2
∈R
∈
; ax + by = 0 }.
Interprete, geometricamente, a classe de equivalˆenvia de (x0, y0). (d) Sejam V = R3 e (a,b,c) = (0,0,0).
Consideremos o subespa¸co W = {(x,y,z )
3
∈R
; ax+by+cz = 0 }.
Interprete, geometricamente, a classe de equivalˆenvia de (x0, y0, z 0).
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30
M.L.T.Villela
Parte 2 An´ eis
A Matem´atica faz parte do nosso cotidiano e, em particular, recorremos aos n´ umeros para descrever diversas situa¸c˜oes do dia a dia. Contamos com os n´ umeros naturais, repartimos um bolo usando os n´umeros racionais, medimos comprimentos com os n´ umeros reais, contabilizamos preju´ızos com n´ umeros negativos. Comparamos dois n´ umeros inteiros, dois n´ umeros racionais e dois n´ umeros reais. Calculamos ra´ızes de polinˆomios com coeficientes reais com n´ umeros complexos. Estamos familiarizados com n´ umeros naturais, inteiros, racionais, reais e complexos, que est˜ao relacionados pelas seguintes inclus˜ oes: N
⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C.
Esses conjuntos est˜ ao munidos com opera¸c˜oes de adi¸ca˜o e multiplica¸ca˜o, que tˆem diversas propriedades. Nosso objetivo ´e introduzir o estudo de estruturas alg´ ebricas, abordando os conceitos de anel, dom´ınio, dom´ınio ordenado e dom´ınio principal, ideais de um anel comutativo, homomorfismo de an´eis e a fatora¸ c˜ao u ´nica em dom´ınios principais.
Re fe rˆ en ci as
Sobre a aritm´etica dos umeros-Uma inteiros: N´ Introdu¸ c˜ ao a ` Matem´ atica de
C´ esar Polcino Milies e Sˆ onia Pitta Coelho. Editado pela Editora da Universidade de S˜ ao Paulo (Edusp), 2000. Para saber mais sobre an´ eis e o dom´ınio principal dos ´ inteiros: Curso de Algebra, Volume 1 de Abramo Hefez, Cole¸ c˜ ao Matem´ atica Universit´aria, Sociedade Brasileira de Matem´ atica (SBM), 1998. Sobre an´eis, extens˜oes alg´ebricas de corpos e ao a ` grupos: Introdu¸c˜ ´ Algebra de Adilson Gon¸calves, Projeto Euclides, IMPA, 2000.
O conjunto dos inteiros ´e o primeiro exemplo de dom´ınio principal, ser´ a estudado sobre o ponto de vista alg´ebrico e aritm´etico e faremos um estudo detalhado das suas propriedades no contexto dos dom´ınios principais. Introduziremos o conceito de indu¸ca˜o, uma t´ecnica muito utilizada em demonstra¸co˜es. N˜ao faremos a constru¸ca˜o axiom´atica dos n´ umeros naturais, usaremos apenas as no¸co˜es intuitivas. 31
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Mostraremos que Q ´e um corpo ordenado e ´e o corpo de fra¸ c˜oes oes de Z e faremos a constru¸c˜ cao a˜o dos n´ umeros racionais a partir dos n´ umeros umeros umeros inteiros no contexto dos dom´ dom´ınios ordenados. Usaremos a divis˜ao ao euclidiana para escrever os n´ umeros umeros inteiros n˜aoaonegativos em uma base b > 1.
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32
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Conceito de anel PARTE 2 -
SEC ¸ ˜ AO 1
Conceito de anel Vamos introduzir intro duzir a estrutura alg´ebrica ebrica de anel e dar exemplos. Veremos os conceitos de anel comutativo e de anel com unidade, assim como diversos exemplos. Vocˆes es conhec con hecem em v´ arios arios conjun conjuntos, tos, onde est˜ estao a˜o definidas opera¸c˜ coes o˜es de adi¸c˜ cao a˜o e multiplica¸c˜ cao a˜o entre seus elementos e essas opera¸c˜ coes o˜es tˆem em diversas diver sas propriedades. Lembramos algumas a lgumas dessas estruturas alg´ebricas: ebricas: umeros naturais N = { 0 , 1 , 2 , 3 , . . . } . • os n´umeros omios com coeficientes reais, denotados por R[x ]; • os polinˆomios • as matrizes M (R); umeros inteiros Z = { . . . , −3, −2, −1 , 0 , 1 , 2 , 3 , . . . } ; • os n´umeros m umeros racionais racionais Q = | n, m ∈ Z e n = • os n´umeros 0 ; n umeros reais R; • os n´umeros umeros complexos complexos C = { a + bi | a, b ∈ R e i = −1 }; • os n´umeros umeros inteiros, racionais e reais podem ser comparados com uma • os n´umeros rela¸c˜ cao a˜o de ordem ≤. Verem eremos os que que as opera opera¸c˜ c¸oes o˜es de adi¸c˜ cao a˜o e multin×n
2
plica¸c˜ cao, a˜o, a ordem e as propriedades que as relacionam caracterizar˜ ao os n´ umeros umeros inteiros.
Defini¸c˜ c˜ao ao 1 (Oper (Op era¸ a¸c˜ao) Dizemos que um conjunto A est´ a munido com opera¸c˜ coes o˜es de adi¸c˜ao ( + ) e multiplica¸c˜ cao a˜o ( ) se, e somente se, para todo par (a, b) A A sabemos associar um unico u ´nico elemento c A e um unico u ´ nico elemento d A denotados, respectivamente, por:
·
∈ × ∈
∈
Lembre que uma associa¸c˜ c˜ ao ao desse tipo ´e uma fun¸c˜ cao. a ˜o.
·
c = a + b e d = a b.
Nesse caso, dizemos que as opera¸c˜ coes o˜es est˜ ao ao fechadas no conjunto A, isto ´e, e, para quaisquer quaisqu er a, b A, temos a + b A e a b A.
∈
∈
· ∈
A adi¸c˜ cao ˜ao e a multiplica¸c˜ cao a˜o s˜ ao ao descritas por fun¸c˜ coes o˜es
×A − (a, b) −
+: A
→→
A c = a + b
e
·:
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×A − (a, b) −
A
→→
A
·
d = a b 33
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Conceito de anel
Exemplo 1 Todos os conjuntos listados acima s˜ ao conjuntos munidos de opera¸c˜ ao coes o˜es de adi¸c˜ cao a˜o e multiplica¸c˜ cao. a˜o. Defini¸c˜ c˜ao ao 2 (Ane (Anel) l) Um anel A ´e um conjunto conjunto munido munido com opera¸ c˜ coes o˜es de adi¸c˜ cao a˜o ( + ) e de multiplica¸c˜ cao a˜o ( ), tendo as seguintes propriedades:
·
A1 (Associativa) Para quaisquer a, a, b, c
∈ A, temos (a + b) + c = a + (b + c). A2 (Comutativa) Para quaisquer a, b ∈ A, temos a + b = b + a. A3 (Existˆencia encia de elemento neutro neut ro para a adi¸ c˜ao) ao)
∈ A, tal que a + θ = θ + a = a, para todo a ∈ A.
Existe θ
A4 (Exis (E xistˆ tˆencia en cia de sim´etri et rico co)) ′
′
′
∈ A, existe a ∈ A, tal que a + a = a + a = θ. M1 (Associativ (Associativa) a) Para quaisquer a, a, b, c ∈ A, temos (a · b) · c = a · (b · c). AM (Distributiva) Para quaisquer a, a, b, c ∈ A, temos a · (b + c) = a · b + a · c e (a + b) · c = a · c + b · c. Para cada a
Exemplo 2 ao ao ´e um anel. ane l. N n˜ A adi¸c˜ cao a˜o e multiplica¸c˜ c˜ao ao tˆem em as propriedades A1, A2, A3, M1 e AM, mas n˜ao ao vale a propriedade A4. Exemplo 3 ao an´eis, ei s, Z, Q, R e C, respectivamente, inteiros, racionais, reais e complexos s˜ onde o elemento neutro para a adi¸ c˜ cao a˜o ´e o numero u´mero inteiro 0. Exemplo 4 Mn×n(R) = { X = (Xij) ; Xij
∈ R, onde 1 ≤ i, j ≤ n } ´e um anel, com as
opera¸c˜ coes o˜es usuais de adi¸c˜ cao a˜o e multiplica¸c˜ cao a˜o de matrizes, definidas por:
≤ i, j ≤ n; · Y , para 1 ≤ i, j ≤ n,
Z = X + Y , onde Zij = X ij + Y ij ij, para 1 n
·
Z = X Y , onde Zij =
k=1
∈ ∈ M
para X, Y ´ Volte a um texto de Algebra Linear, para recordar as opera¸c˜ coes o ˜es com matrizes e suas propriedades.
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Xik
kj
n×n(R).
De fato, a adi¸c˜ cao a˜o e multiplica¸c˜ cao a˜o tˆem em as a s propriedades pro priedades A1, A2, A3, A4, M1 e ´ AM, conforme j´a foi verificado em um curso b´ asico asico de Algebra Algebr a Linear.
34
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Conceito de anel PARTE 2 -
SEC ¸ ˜ AO 1
Para ilustrar vamos verificar duas dessas propriedades: AM e M1. Sejam X, Y, Z
∈M
n×n(R).
·
(X (Y + Z))ij =
Para quaisquer i, j tais 1
n
·
Xir (Y + Z)rj
r=1 n
=
·
·
·
(Xir Y rj + Xir Zrj)
r=1 n
=
Usamos a defini¸ca ˜o da multiplica¸ ca ˜o e adi¸ca ˜o de matrizes e, sucessivamente, as seguintes propriedades das opera¸co ˜es do anel R : AM, A2, A1. Depois, novamente, usamos a defini¸ca ˜o de multiplica¸ca ˜o e adi¸c˜ ao de matrizes.
Xir (Y rj + Zrj)
r=1 n
=
≤ i, j ≤ n, temos
n
·
Xir Y rj +
r=1
·
Xir Zrj
r=1
· · = (X · Y + X · Z) , mostrando que X · (Y + Z) = X · Y + X · Z e vale AM. X · (Y · Z) (X · (Y · Z)) = = (X Y )ij + ( X Z)ij ij
n
· · · · · · · · · · ir
ij
rj
r=1 n
= =
Y rs Zsj
n
s=1
Xir (Y rs Zsj)
r=1 n
=
n
Xir
r=1 n
Usamos duas vezes a defini¸ca ˜o de multiplica¸ca ˜o de matrizes e ap´ os, sucessivamente, as seguintes propriedades das opera¸co ˜es do anel R: AM, M1, A2, A1. Depois, novamente, usamos duas vezes a defini¸ca ˜o de multiplica¸ ca ˜o de matrizes.
s=1 n
(Xir Y rs) Zsj
r=1 s=1 n n
=
(Xir Y rs)
s=1 n
=
Zsj
r=1
(X Y )is Zsj
s=1
· ·
= ((X Y ) Z)ij ,
· ·
· ·
mostrando que X (Y Z) = (X Y ) Z e vale M1.
≤ i, j ≤ n,
A matriz n por n com todos os elementos nulos, Xij = 0 para 1 denotada por O, ´e o elemento neutro da adi¸ c˜ao.
Lembramos que o sim´etrico de X ´e a matriz Y , tal que Y ij = −Xij, para todo 1 i, j n. Costumamos escrever Y = −X.
≤ ≤
Exemplo 5 Consideremos o intervalo I = (−1, 1) e seja fun¸co˜es de I em R, isto ´e,
F (I) = { f
: I
−
→
F (I) o conjunto de todas as
e uma fun¸ca˜o }. R | f ´
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Vocˆ e tem familiaridade com as fun¸co ˜es de vari´ avel real e valores reais.
35
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Conceito de anel
∈ F
Para quaisquer f, g ˜es usuais de adi¸c˜ao e multiplica¸ca˜o de (I), as opera¸co fun¸co˜es s˜ao definidas por: (f + g)(x) = f (x) + g(x), para todo x
·
·
(f g)(x) = f (x) g(x), para todo x
∈I
e
∈I.
F (I) ´e um anel.
Com essas opera¸co˜es,
De fato, vamos mostrar que valem as seis propriedades das opera¸c˜o es da Defini¸ca˜o 2.
∈ F (I), temos:
Primeiramente, para quaisquer f, g, h Em (1),(2),(4) e (5) usamos a defini¸ca ˜o da adi¸ca ˜o de fun¸co ˜es e em (3) a propriedade (A1) da adi¸c˜ ao de n´ umeros reais.
(1)
((f + g) + h )(x) = (f + g)(x) + h (x) (2)
= (f(x) + g(x)) + h (x)
(3)
= f(x) + (g(x) + h (x))
(4)
= f(x) + (g + h )(x)
(5)
= (f + ( g + h ))(x), para todo x
∈ I,
implicando que (f + g) + h = f + ( g + h ), portanto vale a propriedade A1; substituindo a adi¸c˜ao pela multiplica¸ca˜o, de modo an´ alogo, Em (1),(2),(4) e (5) usamos a defini¸ca ˜o da multiplica¸ca ˜o de fun¸co ˜es e em (3) a propriedade (M1) da multiplica¸ c˜ a o de n´ umeros reais.
· ·
(1)
·
·
((f g) h )(x) = (f g)(x) h (x) (2)
·
·
= (f(x) g(x)) h (x)
(3)
· · = f(x) · (g · h )(x) = (f · (g · h ))(x), para todo x ∈ I, implicando que (f · g) · h = f · (g · h ), portanto vale a propriedade M1; ((f + g) · h )(x) = (f + g)(x) · h (x) = (f(x) + g(x)) · h (x) = f(x) · h (x) + g(x) · h (x) = (f · h )(x) + (g · h )(x) = ((f · h ) + (g · h ))(x), para todo x ∈ I, implicando que (f + g) · h = f · h + g · h , portanto, vale a propriedade AM. Vale que (g + h ) · f = g · f + h · f , porque a multiplica¸c˜a o de fun¸co˜es ´e = f(x) (g(x) h (x))
(4) (5)
Em (1) e (4) usamos a defini¸ca ˜o da multiplica¸ca ˜o de fun¸c˜ oes, em (2) e (5), a defini¸c˜ ao de adi¸ca ˜o de fun¸co ˜es e em (3), a propriedade distributiva (AM) da multiplica¸c˜ ao n´ umeros reais.
(1)
(2) (3) (4) (5)
comutativa (verifique). Para quaisquer f, g
∈ F (I) e x ∈ I, temos:
Lembre que . . .
(f + g)(x) = f(x) + g(x)
a adi¸ca ˜o de n´ umeros reais ´e comutativa.
= g(x) + f(x) = (g + f)(x)
U F F
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Conceito de anel PARTE 2 -
SEC ¸ ˜ AO 1
implicando que f + g = g + f e, assim, vale a propriedade A2. O elemento neutro ´e a fun¸ ca˜o o, tal que o(x) = 0, para cada x que, para toda f (I) e para todo x I,
∈ F
∈
(o + f)(x) = o (x) + f(x) = 0 + f(x) = f (x)
⇐⇒
∈ I.
Note
o + f = f .
O n´ umero real zero ´e elemento neutro aditivo, no anel R .
O elemento neutro aditivo ´e a fun¸ c˜ao constante e igual a zero no intervalo I, valendo a propriedade A3. Vale, finalmente, a propriedade A4, pois o sim´etrico de f ´e a fun¸ca˜o g definida por g(x) = −f(x), para cada x afico do sim´etrico de f ´e obtido I. O gr´ fazendo a simetria com respeito ao eixo x dos pontos do gr´ afico de f .
∈
Exemplo 6 Consideremos 2Z = { 2x | x
∈ Z }, o conjunto dos n´umeros inteiros pares.
Vamos mostrar que 2 Z ´e um anel com a adi¸ca˜o e a multiplica¸ca˜o de n´ umeros inteiros. Primeiramente, observe que para quaisquer a, b que a = 2x, b = 2y e a + b = 2x + 2y = 2 (x + y)
∈ 2Z
·
∈ 2Z, existem x, y ∈ Z, tais ·
· ∈ 2Z.
e a b = 2x 2y = 2 (2x y)
Observe que x + y ∈ Z e 2x· y ∈ Z .
Logo, a adi¸ca˜o e a multiplica¸ca˜ o de n´ umeros inteiros ´e fechada em 2Z. As propriedades A1, A2, M1 e AM valem em 2Z, pois essas propriedades valem em Z e 2Z ´e um subconjunto de Z.
· ∈ 2Z, ent˜ao 2Z tem elemento neutro aditivo. Al´em disso, o sim´etrico de a = 2x ´e a = −2x = 2 (−x) ∈ 2Z. Como 0 = 2 0
′
x∈ Z
Portanto, valem as propriedades A3 e A4 e 2Z ´e um anel.
Observamos que a multiplica¸ca˜o nos an´eis dos Exemplos 3, 5 e 6 ´e comutativa, enquanto no anel do Exemplo 4 ´e n˜ ao-comutativa sempre que a ordem da matriz ´e maior do que 1.
⇐⇒
−x ∈ Z.
O que ´e M1 ×1 (R)?
De fato, ´e claro que a multiplica¸ ca˜o nos inteiros, nos racionais e nos reais ´e comutativa. Sejam x = a + bi, y = c + di
·
·
x y = (a + bi) (c + di)
2
∈ C. Ent˜ao, a, b, c, d ∈ R, i
· · · · (c · a − d · b) + ( d · a + c · b)i (c + di) · (a + bi) y·x ,
= −1 e
= (a c − b d) + ( a d + b c)i = = =
Usamos aqui que a multiplica¸ca ˜o de n´ umeros reais ´e comutativa.
37
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U F F
Conceito de anel
mostrando que a multiplica¸ca˜o de n´ umeros complexos ´e comutativa. Para verificar a comutatividade da multiplica¸ ca˜o em ao f, g (I) e x I, ent˜
∈ F
Lembre que . . .
a multiplica¸c˜ a o de n´ umeros reais ´e comutativa.
∈
·
F (I), consideremos
· = g(x) · f(x) = (g · f)(x) implicando que f · g = g · f. Para n ≥ 2, o produto de matrizes n por n ´e n˜ ao-comutativo, pois X · Y = Y · X para as seguintes matrizes: (f g)(x) = f(x) g(x)
X11 = 1, X12 = 1, X21 = 0 e X22 = 0 ; Y 11 = 1, Y ij = 0, para todo
(i, j) = (1, 1).
Temos que
·
X Y =
·
Y X =
· 1 1
1 0
0 0
0 0
1 0
0 0
·
1 0
=
1 1
0 0
1 1
=
0 0
e
0 0
A multiplica¸ca˜ o em 2Z ´e a multiplica¸ca˜ o de n´ umeros inteiros, logo tamb´em ´e comutativa. Os fatos acima motivam a seguinte defini¸ca˜o. Defini¸c˜ao 3 (Anel comutativo) Dizemos que um anel A ´e comutativo se, e somente se, tem a propriedade: M2 (Comutativa) Para quaisquer a, b
∈ A, a · b = b · a.
Exemplo 7 Nos an´eis Z, Q, R, C,
F (I) e 2Z vale M2. ao vale M2. (R), onde n ≥ 2 n˜
No anel Mn×n
Os an´eis dos Exemplos 3, 4 e 5 tˆem um elemento neutro multiplicativo, a saber:
• o n´umero inteiro 1 satisfaz para todo a ∈ A, temos a · 1 = 1 · a = a , nos casos A = Z, A = Q, Matriz identidade I Iij =
1 , se i = j 0 , se i =j ,
para qualquer i,j com 1 ≤ i,j ≤ n.
U F F
A = R ou A = C;
• A matriz identidade I ∈ M
n×n(R),
com os elementos da diagonal iguais a 1 e os elementos fora da diagonal iguais a 0, tem a propriedade
38
M.L.T.Villela
Conceito de anel PARTE 2 -
para qualquer X
∈M
n×n(R),
·
SEC ¸ ˜ AO 1
·
X I = I X = X .
• a fun¸ca˜o constante e igual a 1 no intervalo I, isto ´e, e(x) = 1, para todo x ∈ I, satisfaz para qualquer f ∈ F (I) e para todo x ∈ I, temos ·
·
·
(f e)(x) = f (x) e(x) = f (x) 1 = f (x), tamb´em
·
·
·
(e f)(x) = e (x) f(x) = 1 f(x) = f (x),
·
·
mostrando que f e = f e = f . Entretanto, o anel 2Z n˜ao tem elemento neutro multiplicativo, motivando a seguinte defini¸ca˜o. Defini¸c˜ao 4 (Anel com unidade) Dizemos que o anel A tem unidade , se e somente se, A tem a propriedade: M3 (Existˆencia de elemento neutro multiplicativo) Existe um elemento e
∈ A, tal que a · e = e · a = a, para todo a ∈ A.
Exemplo 8 Nos an´eis Z, Q, R, C, Mn×n(R) e No anel 2Z n˜ao vale M3.
F (I) vale M3.
Resumindo, h´ a an´eis que tˆem propriedades adicionais e s˜ ao chamados de nomes especiais: quando a multiplica¸ c˜ao ´e comutativa (M2) o anel ´e chamado comutativo; quando o anel tem elemento neutro multiplicativo (M3) ´e chamado de anel com unidade.
Exerc´ıcios 1. Seja n um n´ umero natural com n
·
≥ 2.
∈
Mostre que nZ = { n x | x Z } ´e um anel comutativo com as opera¸co˜es de adi¸ca˜o e multiplica¸ca˜o de n´ umeros inteiros.
√ √ 2. Seja Z[ 2 ] = { a + b 2
| a, b
∈ Z }.
(a) Mostre que a adi¸ca˜o e multiplica¸ca˜ o de n´ umeros reais ´e fechada em Z[ 2 ], verificando que:
√
para qualquer a, b, c, d
∈ Z, x = a + b√ 2 e y = c + d√ 2
39
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U F F
Conceito de anel
x+y ´ e a adi¸ca ˜o e x · y ´e a
multiplica¸ c˜ a o de n´ umeros reais, apenas reescrevemos as parcelas de modo conveniente, usando as propriedades comutativa, associativa e distributiva das opera¸c˜ oes dos n´ umeros reais.
√ ∈ Z[√ 2 ] √ √ x · y = (a · c + 2b · d) + (a · d + b · c) 2 ∈ Z[ 2 ] √ (b) Mostre que Z[ 2 ] ´e um anel. √ (c) Mostre que Z[ 2 ] ´e um anel comutativo com unidade. x + y = (a + c) + ( b + d) 2
3. Seja Z[i ] = { a + bi | a, b
2
∈Zei
= −1 }.
(a) Mostre que a adi¸ca˜o e multiplica¸ca˜ o de n´ umeros complexos ´e fechada em Z[i ], verificando que: para qualquer a, b, c, d
x + y = (a + c) + (b + d)i
e a adi¸ca ˜o de n´ umeros x +y ´ complexos e e a multiplica¸ca ˜o de x· y ´ n´ umeros complexos. Z[i] ´ e conhecido como o anel
dos inteiros de Gauss.
∈ Z, x = a + bi e y = c + di
·
·
·
·
·
x y = (a c − b d) + (a d + b c)i
(b) Mostre que Z[i ] ´e um anel. (c) Mostre que Z[i ] ´e um anel comutativo com unidade. 4. Seja A =
X =
x11 x12 x21 x22
; xij
∈ Z, para todo 1 ≤ i, j ≤ 2
,
o conjunto das matrizes 2 por 2 com coeficientes inteiros. Observe que as opera¸co ˜es de adi¸ca ˜o e multiplica¸ca ˜o s˜ a o as usuais.
Para X, Y, Z
∈ A, definimos a adi¸ca˜o e multiplica¸c˜ao em A por:
Z = X + Y
·
Z = X Y
Costumamos denotar A por M2 ×2 (Z).
⇐⇒ ⇐⇒
≤ i, j ≤ 2 , com 1 ≤ i, j ≤ 2
z ij = x ij + yij, com 1 z ij = x i1 y1j + xi2 y2j
(a) Mostre que A ´e um anel com as opera¸co˜es acima. (b) Mostre que A ´e um anel n˜ao-comutativo com unidade.
F (R) = { f : R − R, f fun¸ca˜o }. Para qualquer f, g ∈ F (R), as opera¸c˜o es usuais de adi¸ca˜o e multi-
5. Seja
→
plica¸ca˜o de fun¸co˜es s˜ao definidas por:
(f + g)(x) = f (x) + g(x), para qualquer x Copie o que foi feito no Exemplo 5, fazendo as modifica¸c˜ oes convenientes. Na verdade, vocˆe pode verificar que F (I) ´ e um anel, para qualquer intervalo I da reta real.
U F F
·
·
(f g)(x) = f (x) g(x), para qualquer x
(a) Mostre que com essas opera¸ c˜oes
∈R
∈R.
F (R) ´e um anel.
F (R) ´e um anel comutativo. (c) Mostre que F (R) ´e um anel com unidade.
(b) Mostre que
40
M.L.T.Villela
e
Propriedades elementares PARTE 2 -
SEC ¸ ˜ AO 2
Propriedades elementares Mostraremos agora algumas propriedades elementares, v´ alidas em um anel, tais como: a unicidade do elemento neutro aditivo, do sim´etrico e, quando existe, do elemento neutro multiplicativo. Proposi¸c˜ao 1 (Unicidade) Seja A um anel. Ent˜ao, (i) o elemento neutro aditivo ´e unico; ´ (ii) o elemento neutro multiplicativo, se existe, ´e unico; ´ (iii) o sim´etrico ´e u´nico. Demonstra¸c˜ao: (i): Sejam θ e θ elementos neutros aditivos do anel A. Ent˜ao, ′
θ = θ ′ + θ = θ ′ ,
onde a primeira igualdade segue do fato de θ′ ser elemento neutro da adi¸ca˜o e a segunda, de θ ser elemento neutro da adi¸ca˜o. Logo, θ = θ ′ e o elemento neutro aditivo ´e u´nico. (ii): Seja A um anel com unidades e e e′ . Ent˜ao, e = e ′ e = e ′ ,
·
onde a primeira igualdade segue do fato de e′ ser unidade e a segunda, de e ser unidade. Logo, e = e ′ e o elemento neutro multiplicativo ´e unico. ´ (iii) Sejam a′
′′
∈ A e a ∈ A sim´etricos de a ∈ A.
Ent˜ao, θ = a + a′′ , θ = a ′ + a e
a′ = a ′ + θ = a ′ + ( a + a′′ ) = (a′ + a) + a′′ = θ + a′′ = a ′′ ,
onde na terceira igualdade usamos a associatividade da adi¸ c˜ao. Logo, o sim´etrico ´e u´nico.
Pela unicidade do elemento neutro aditivo, do sim´ etrico e do elemento neutro multiplicativo (se existe), daqui por diante, denotaremos num anel A :
• o elemento neutro da adi¸ca˜o pelo s´ımbolo 0; 41
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Propriedades elementares
• o sim´etrico de a pelo s´ımbolo −a; • a unidade ou elemento neutro multiplicativo, se existe, pelo s´ımbolo 1 . Al´em disso, escrevemos a − b = a + (− b), A subtra¸ca ˜o ´e a adi¸ ca ˜o com o sim´etrico.
e chamamos de subtra¸cao ˜ . As seguintes propriedades s˜ ao muito u ´teis e importantes. Proposi¸c˜ao 2 (Outras propriedades) Seja A um anel. Ent˜ao, para quaisquer a, b e c A, temos: (i) a 0 = 0 e 0 a = 0 ; (ii) −(a b) = (−a) b = a (−b); (iii) a (b − c) = a b − a c e (b − c) a = b a − c a; (iv) se A ´e um anel com unidade, ent˜ ao (−1) a = −a = a (−1). Demonstra¸c˜ao:
·
Lembre que . . .
Em um anel A a multiplica¸ ca ˜o nem sempr e ´e comutativa.
·
∈
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
(i): Como 0 = 0 + 0 , multiplicamos a` esquerda, ambos os membros dessa igualdade, pelo elemento a, e usamos a distributividade (AM), obtendo
·
·
·
·
a 0 = a (0 + 0) = a 0 + a 0,
·
·
·
que ´e equivalente a a 0 = a 0 + a 0.
·
·
Somando o sim´etrico −(a 0) de a 0 a ambos os membros da igualdade acima e usando em (1) a propriedade associativa da adi¸ca˜o (A1), temos:
·
·
·
· · = a · 0 + ( a · 0 − a · 0) = a · 0 + 0 = a · 0, donde conclu´ımos que 0 = a · 0. (ii) Vamos mostrar que −(a · b) = (−a) · b.
0 = a 0 − a 0 = (a 0 + a 0) − a 0
Multiplicando por a `a direita, tomando o sim´etrico −(0 · a) de 0 · a e fazendo as modifica¸c˜ oes convenientes, mostre que 0 · a = 0.
(1)
Como 0 = a + (− a), multiplicando a` direita ambos os membros dessa igualdade por b, usando (i) e a distributividade AM, obtemos: Fa¸ca as modifica¸co ˜es convenientes para demonstrar que −(a · b) = a · (−b).
U F F
·
·
0 = 0 b = (a + (− a)) b
·
·
= a b + (− a) b
A igualdade acima significa que (−a) b ´e o sim´etrico de a b.
·
42
M.L.T.Villela
·
Propriedades elementares PARTE 2 -
·
SEC ¸ ˜ AO 2
·
Logo, −(a b) = (−a) b. (iii): Vamos demonstrar a primeira igualdade e deixamos a segunda para vocˆe tentar, fazendo as modifica¸co˜es convenientes. (1)
·
· a · b + a · (−c) a · b − a · c.
a (b − c) = a (b + (−c)) (2)
=
(3)
=
(iv) Seja A um anel com unidade 1. Ent˜ ao, 0 = 1 + (−1). Multiplicando a` direita ambos os membros dessa igualdade por a, usando (i) e a distributividade, obtemos:
Em (1) usamos a defini¸ca ˜o de subtra¸ca ˜o, em (2), a distributividade AM e em (3), o item (ii).
O s´ımbolo −1 deve ser lido como ”o sim´etrico da unidade”.
0 = 0 a = (1 + (− 1)) a = 1 a + (− 1) a = a + (− 1) a,
·
·
·
·
·
·
significando que (−1) a ´e o sim´etrico de a . Como denotamos o sim´etrico de etrico, temos −a = (−1) a. a por −a, da unicidade do sim´
·
·
A igualdade − a = a (−1) ´e an´ aloga e vocˆe deve tentar fazer repetindo a id´eia acima, mas fazendo a multiplica¸ c˜ao por a a` esquerda. Vimos na Se¸c˜ao anterior que h´ a an´eis sem unidade. Quando um anel A tem unidade, escrevemos a sua unidade com o s´ımbolo 1, propositadamente, diferente do s´ımbolo 0 do elemento neutro aditivo. Por quˆe? Suponhamos que no anel A temos 1 = 0 . Ent˜ao, para todo a
∈ A, temos a = a · 1 = a · 0 = 0 ,
A igualdade ao lado deve ser lida como ”os elementos neutros aditivo e multiplicativo s˜ ao iguais”.
onde a primeira igualdade ´e conseq¨ uˆencia de 1 ser o elemento neutro multiplicativo e a u ´ltima, do item (i) da Proposi¸ca˜o 2. Logo, A = { 0 }. N˜ao tem a menor gra¸ca estudar esse anel. Portanto, quando tratamos, teoricamente, de an´eis com unidade supomos sempre que os elementos neutros aditivo e multiplicativo s˜ ao diferentes, isto ´e, 1 = 0 .
Defini¸c˜ao 5 (Divisores de zero) Seja A um anel. O elemento n˜ ao-nulo a somente se, existe um elemento n˜ ao-nulo b Exemplo 9 a. No anel f, g : I
−
→
∈ A ´e um divisor de zero se, e ∈ A tal que a · b = 0 ou b · a = 0.
F (I),
onde I = (−1, 1), s˜a o divisores de zero as fun¸ c˜oes R definidas por 43
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Propriedades elementares
f(x) = f · g = 0, pois f(x) · g(x) = 0,
1, 0,
se x se x
para todo x ∈ (−1,1).
∈ (−1, 0) ∈ [0, 1)
e
g(x) =
∈ (−1, 0) ∈ [0, 1)
se x se x
0, 2,
b. No anel M2×2(R) s˜ ao divisores de zero as seguintes matrizes X =
1 0
e
0 0
Y =
0 0
0 1
Os an´eis comutativos com unidade sem divisores de zero s˜ ao chamados de dom´ınios. Defini¸c˜ao 6 (Dom´ınio) Seja A um anel comutativo com unidade. A ´e um dom´ınio se, e somente se, tem a propriedade: M4 se a b = 0 , ent˜ao a = 0 ou b = 0 . Sejam P e Q propriedades e P e Q, respectivamente, suas nega¸co ˜es. Ent˜ ao, P = Q ´e equivalente a Q= P . ∼
·
Observamos que a propriedade M4 ´e equivalente a:
∼
⇒ ⇒
∼
M 4′ se a = 0 e b = 0 , ent˜ao a b = 0 .
∼
·
Exemplo 10 O anel dos n´ umeros inteiros Z ´e um dom´ınio, pois o produto de dois inteiros n˜ao-nulos ´e um inteiro n˜ ao-nulo. Proposi¸c˜ao 3 (Lei do cancelamento) Seja A um dom´ınio. Se a b = a c com a = 0 , ent˜ao b = c .
·
Em (1) usamos a propriedade associativa da adi¸c˜ ao (A1).
·
·
·
·
Demonstra¸c˜ao: Se a b = a c, ent˜ao somando −a b a ambos os membros dessa igualdade, obtemos 0 = a b − a b = a c − a b = a (c − b). Como ´ ltima igualdade, a = 0 , pela propriedade M4, 0 = c − b. Somando b , a essa u (1) temos b = 0 + b = (c − b) + b = c + (− b + b) = c + 0 = c .
·
·
·
·
·
Defini¸c˜ao 7 (Elemento invert´ıvel) Seja A um anel com unidade. Um elemento a A ´e dito invert´ıvel se, e somente se, existe um elemento a′ A, tal que a a′ = a ′ a = 1 .
∈ ·
∈
·
Nesse caso, dizemos que a′ ´e inverso de a e a ´e inverso de a′ .
Volte ao Exerc´ıcio 4 da Se¸ca ˜o anterior. Nesse anel, a unidade, conhecida como matriz identidade, ´e I=
U F F
1
0
0
1
!
Exemplo 11 No anel M2×2(Z) das matrizes 2 por 2 com coeficientes no anel dos inteiros, a matriz X =
2 3
1 2
´e invert´ıvel e X′ =
2 −3 −1
verificamos, facilmente, que X X′ = X ′ X = I .
·
·
44
M.L.T.Villela
2
´e seu inverso, pois
Propriedades elementares PARTE 2 -
SEC ¸ ˜ AO 2
Exemplo 12 Consideremos o anel comutativo com unidade Z[ 2 ] do Exerc´ıcio 2, da Se¸ca˜o anterior. O inverso de 1 + 2 ´e −1 + 2, pois
√
(1 +
√
√
√ 2)(−1 + √ 2) = (−1 + √ 2)(1 + √ 2) = 1.
Exemplo 13 Os elementos invert´ıveis do anel Z s˜ ao 1 e −1. Proposi¸c˜ao 4 (Unicidade do inverso) Sejam A um anel com unidade e a ´e u ´nico.
∈ A. Se a ´e invert´ıvel, ent˜ao seu inverso
Demonstra¸c˜ao: Digamos que b e c sejam inversos de a, isto ´e,
·
·
·
·
a b = b a = 1 e a c = c a = 1 .
Ent˜ao,
·
(1)
· ·
· ·
·
b = b 1 = b (a c) = (b a) c = 1 c = c .
Em (1) usamos que a multiplica¸ ca ˜o ´e asso ciativa (M1).
Da unicidade do inverso no anel A, costumamos denotar o inverso de a por a−1. Exemplo 14 a. Os elementos invert´ıveis no anel Mn×n(R) s˜ao as matrizes X com determinante n˜ ao-nulo, isto ´e, det(X) = 0 .
b. Os elementos invert´ıveis no anel Mn×n(Z) s˜ao as matrizes X com determinante invert´ıvel em Z, isto ´e, det (X) {−1, 1}.
∈
c. Todo n´ umero racional n˜ ao-nulo ´e invert´ıvel. d. Todo n´ umero real n˜ ao-nulo ´e invert´ıvel.
Seja B = Mn×n (A), onde A ´e um anel comutativo com unidade. Ent˜ ao, B ´ e um anel com unidade e, para qualquer X ∈ B, temos X · adj(X) = adj(X) · X = det(X)In , onde adj(X) ´e a adjunta cl´ assica de X. Al´em disso, X ´e invert´ıvel se, e somente se, det(X) ´e invert´ıvel em A.
Defini¸c˜ao 8 (Corpo) Um anel comutativo com unidade ´e chamado de corpo se, e somente se, todo elemento n˜ ao-nulo ´e invert´ıvel. Exemplo 15 ao exemplos de corpos. Q, R e C s˜ Defini¸c˜ao 9 (Subanel) Um subconjunto n˜ ao-vazio B de um anel A ´e um subanel de A se, e somente se, B ´e um anel com as opera¸co˜es de A.
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Propriedades elementares
Exemplo 16 a. Pelo exerc´ıcio 1 da se¸ca˜o anterior, nZ ´e um subanel de Z.
√
b. Pelo exerc´ıcio 2 da se¸ca˜o anterior, Z[ 2 ] ´e um subanel de R. c. Pelo exerc´ıcio 3 da se¸c˜ao anterior, Z[i ] ´e um subanel de C. d. Pelo exerc´ıcio 4 da se¸ca˜o anterior, M 2×2(Z) ´e um subanel de M2×2(R). Proposi¸c˜ao 5 Um subconjunto n˜ ao-vazio B de um anel A ´e um subanel de A se, e somente se, (i) se a, b B, ent˜ao a + b B; (ii) se a, b B, ent˜ao a b B; (iii) 0A B; (iv) se b B, ent˜ao −b B.
∈ ∈
∈ · ∈
∈ ∈
∈
Demonstra¸c˜ao : Suponhamos que B ´e um subanel de A. Ent˜ao, as opera¸co˜es de A est˜ao fechadas em B e logo, (i) e (ii) s˜ao v´ alidas; al´em disso, todo elemento de B tem sim´etrico em B e vale (iv). Por outro lado, tomando b B, por (iv), −b B e, por (i), 0A = b + (− b) B. Logo, 0B = 0 A B.
∈
∈
∈
∈
Reciprocamente, suponhamos v´alidas as propriedades (i) a (iv) em B. Logo, as opera¸co˜es de A est˜ao fechadas em B e valem A3 e A4. As propriedades A1, A2, M1 e AM valem em B porque s˜ a o v´alidas em A e B A. Portanto, B ´e um anel com as opera¸co˜es de A.
⊂
Exemplo 17 e um subanel de R. Z[ 3 ] ´
√
∈ Z. Ent˜ao, com a adi¸ca˜o e multiplica¸ca˜o de n´umeros √ √ √ √ √ (a + b 3) + (c + d 3) = a + c + b 3 + d 3 = (a + c) + (b + d) 3; √ √ √ √ (a + b 3)(c + d 3) = a · c + a · d 3 + b · c 3 + 3b · d √ = (a · c + 3b · d) + (a · d + b · c) 3. Al´em disso, √ a + b 3 = 0, a, b ∈ Z se, e somente se, a = b = 0 e √ √ √ −(a + b 3) = (−a) + (−b) 3 ∈ Z[ 3 ], para quaisquer a, b ∈ Z. De fato, sejam a, b, c, d reais, temos:
Em (1) usamos A1 e A2 e em (2), A1 e AM do anel R. Em (3) usamos AM, M2 e em (4), A2 e A1 do anel R.
(1)
(2)
(3)
(4)
Defini¸c˜ao 10 (Subcorpo) Sejam K e L corpos, com K L. Dizemos que K ´e um subcorpo de L se, e somente se, K ´e um corpo com as opera¸co˜es de L.
⊂
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Propriedades elementares PARTE 2 -
Exemplo 18 (1) Q ´e um subcorpo de R. (2) R ´e um subcorpo de C. (3) Q ´e um subcorpo de Q( 2). (4) Q( 2) ´e um subcorpo de R. (5) Q(i) ´e um subcorpo de C.
SEC ¸ ˜ AO 2
√
√
Veja os exerc´ıcios 12 e 13, item (a)
Agora, para cada dom´ınio D vamos construir um corpo K, chamado corpo de fra¸coes ˜ de D, tal que (i) D
⊂K
(ii) as opera¸co˜es de adi¸ca˜o e multiplica¸ca˜o de D s˜ a o as de K. (iii) se L ´e um corpo contendo D como subanel, ent˜ ao K
⊂ L.
As condi¸co˜es acima significam que todo dom´ınio D ´e subanel de um corpo e o menor corpo com as propriedades (i) e (ii) acima ´e o corpo de fra¸co˜es de D. Para isto, consideramos o conjunto S = D
× D\{0} = {(a, b) ; a, b ∈ D e b = 0}.
Para (a, b), (c, d)
∈ S, definimos
(a, b) ∼ ( c, d)
⇐⇒
·
·
a d = b c.
Proposi¸c˜ao 6 A rela¸ca˜o bin´aria acima ´e uma rela¸ca˜o de equivalˆencia em S. Demonstra¸c˜ao: De fato, para todo (a, b) (a, b) ∼ ( a, b).
∈ S, temos a · b = b · a , logo ·
·
Suponhamos que (a, b) ∼ ( c, d). Ent˜ao, a d = b c e
·
M2
·
·
M2
·
d a = a d = b c = c b. Logo, ( c, d) ∼ ( a, b).
·
(1)
·
Suponhamos que (a, b) ∼ (c, d) e (c, d) ∼ (e, f). Ent˜ ao, a d = b c
·
(2)
·
e c f = d e. Multiplicando a igualdade (1) por f e a igualdade (2) por b, obtemos a d f = b c f = b d e. Pelas propriedades M2 e M1 da multiplica¸ca˜o em D, temos d (a f) = d (b e). Como d = 0, pela lei do cancelamento em D, temos a f = b e. Portanto, (a, b) ∼ ( e, f).
· ·
· ·
· ·
· · · ·
· ·
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Propriedades elementares
Consideremos o conjunto quociente K = S/ ∼ . Ent˜ao, K = D
× D\{0}/ ∼ = { (a, b) ; (a, b) ∈ D × D\{0}}.
Denotamos por ab a classe de equivalˆencia de (a, b), isto ´e,
a b
= (a, b).
Desta maneira, a = b
K =
a b
(a, b) = (c, d) =
; a, b
∈ D e b = 0
c d
⇐⇒
( a, b) ∼ ( c, d)
, onde
a b
=
c se, d
⇐⇒
·
·
a d = b c .
e somente se, a d = b c.
·
·
˜ e a e b = 0 em D, respectivaChamamos o elemento ab de K de fra¸cao mente, de numerador e denominador da fra¸c˜ao.
Podemos dar a K uma estrutura de corpo. Proposi¸c˜ao 7 (Corpo de fra¸co˜es de um dom´ınio D) Seja K = ab ; a, b D e b = 0 com as opera¸co˜es
∈
a + dc = a·d+b·c b b·d
a b
e
c d
·
a·c , b·d
=
onde no numerador e no denominador as opera¸ co˜es s˜ao as do dom´ınio D. Ent˜ao, valem as seguintes propriedades: (i) K ´e um corpo, (ii) D ´e um subanel de K, (iii) se L ´e um corpo contendo D como subanel, ent˜ ao K
⊂ L.
O corpo K ´e chamado corpo de fra¸coes ˜ do dom´ınio D e, pelas propriedades (iii) e (ii), ´e o menor corpo contendo D como subanel. Demonstra¸c˜ao: (i) Primeiramente, precisamos mostrar que a soma e o produto independem do representante da classe, isto ´e, que as opera¸ co˜es est˜ ao bem definidas. De fato, suponhamos que (1)
a b
= (2)
a′ b′
e
c d
=
c′ . d′
Ent˜ao, a b′ = b a′ , c d′ = d c′ e N˜ ao esque¸ca que todo dom´ınio ´e um anel comutativo com unidade. Em (3) usamos AM, M2, M1. Em (4) usamos M2, (1) e (2). Em (5) usamos M2, M1, AM. Em (6) usamos M2 e M1. Em (7) usamos M2, (1) e (2). Em (8) usamos M2.
·
·
·
b′ d′ (a d + b c) = (b′ a) (d′ d) + ( b′ b) (d′ c)
· · ·
·
(4)
=
(5)
=
Logo,
a·d+b·c b·d
a′ ·d′ +b′ ·c′ . b′ ·d′ (6) ′
=
· · · · · · (a · b) · (d · d) + ( b · b) · (c · d) b · d · (a · d + b · c ) . ′
′
′
(a c) (b′ d ) = (a b′ ) (c d′ )
· · ·
(7)
=
(8)
=
U F F
(3)
·
· · · (a · b) · (c · d) (b · d) · (a · c ) ′
′
′
′
48
M.L.T.Villela
′
′
′
′
′
Propriedades elementares
Exerc´ıcios 1. Mostre que num anel A valem as seguintes propriedades: (a) Se a + c = b + c, ent˜ao a = b . (b) Se a + b = a para algum a , ent˜ao b = 0 . (c) −(a + b) = −a − b. (d) Se A tem unidade 1, ent˜ao −1 ´e invert´ıvel. 2. Seja A um dom´ınio. Mostre que valem as seguintes propriedades: (a) a2 = 0 se, e somente se, a = 0 .
·
(b) se a b = 0 e b = 0 , ent˜ao a = 0 . (c) a2 = a se, e somente se, a = 0 ou a = 1 . 3. Mostre que todo corpo ´e um dom´ınio. 4. Sejam A e B an´eis e A
× B = {(a, b) ; a ∈ A, b ∈ B}.
× B ´e um anel com as opera¸c˜oes: (a, b) + ( c, d) = (a + c, b + d) e (a, b) · (c, d) = (a · c, b · d),
(a) Mostre que A
onde na primeira coordenada a adi¸ca˜o e a multiplica¸ca˜o s˜a o do anel A e na segunda coordenada, do anel B. (b) Mostre que se A e B s˜ao an´eis com unidades 1A e 1B, respectivamente, ent˜ ao A B ´e anel com unidade.
× (c) Mostre que A × B tem divisores de zero.
(d) Determine os elementos invert´ıveis de A com unidades 1A e 1B, respectivamente.
× B, se A e B s˜ao an´eis
5. Seja A um anel com unidade. Definimos A ∗ = { a Para cada anel A determine A∗: (a) A = M2×2(Z). (b) A = Z
× Z.
(c) A = Z[i ] = { a + bi
∈ C ; a, b ∈ Z}.
(d) A = Q. 6. Sejam A = Z U F F
× Z e B = Z × {0}. Mostre que:
50
M.L.T.Villela
∈ A ; a ´e invert´ıvel } .
Propriedades elementares PARTE 2 -
SEC ¸ ˜ AO 2
(a) A ´e um anel comutativo com unidade e n˜ ao ´e um dom´ınio. (b) B ´e um subanel de A.
(c) B ´e um dom´ınio e 1B = 1 A. 7. Mostre que se A ´e um dom´ınio e B ´e um subanel de A tal que B tem unidade 1B, ent˜ao 1B = 1 A. 8. Mostre que B ´e um subanel do anel A:
x (a) A = Q e B = ; x Z e n = 0, 1, 2, . . . . 2n (b) A = (R) e B = (R) = { f (R) ; f ´e cont´ınua }.
∈
F C ∈ F (c) A = C (R) e B = { f ∈ C (R) ; f ´e deriv´ avel }. 9. Sejam A um anel, a ∈ A e B = { x ∈ A ; x · a = 0 }. (a) Mostre que B ´e um subanel de A.
∈ Z ´e n˜ao-nulo, determine B. (c) Se A = Z × Z e a = (b, 0) com b = 0, determine B.
(b) Se A = Z e a
(d) Se A = M 2×2(Z) e a =
1 1
0 0
, determine B.
10. Mostre que todo n´ umero racional pode ser representado por uma fra¸ ca˜o com denominador positivo.
√ √ ∈ Q }. Mostre que: √ (a) Q( 3) ´e um subanel de R. √ (b) Q( 3) ´e um corpo. √ √ (c) Z[ 3 ] ´e um subanel de Q( 3). √ √ (d) Q( 3) ´e o corpo de fra¸co˜es de Z[ 3 ]. √ √ 12. Seja Q( 2) = { x + y 2 ; x, y ∈ Q }. Mostre que: √ (a) Q( 2) ´e um subanel de R. √ (b) Q( 2) ´e um corpo. √ √ (c) Z[ 2 ] ´e um subanel de Q( 2). √ √ (d) Q( 2) ´e o corpo de fra¸co˜es de Z[ 2 ]. 11. Seja Q( 3) = { x + y 3 ; x, y
13. Seja Q(i) = { x + yi ; x, y
∈ Q }. Mostre que: 51
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U F F
Propriedades elementares
(a) Q(i) ´e um subanel de C. (b) Q(i) ´e um corpo. (c) Z[i ] ´e um subanel de Q(i). (d) Q(i) ´e o corpo de fra¸co˜es de Z[i ].
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52
M.L.T.Villela
Polinˆ omios com coeficientes em um anel comutativo com unidade PARTE 2 -
SEC ¸ ˜ AO 3
Polinˆ omios com coeficientes em um anel comutativo com unidade Nesta se¸ca˜o definiremos o anel dos polinˆ omios com coeficientes em um anel comutativo com unidade. Veremos que as propriedades das opera¸ c˜oes dos polinˆomios est˜ ao relacionadas diretamente com as propriedades da adi¸ c˜ao e multiplica¸ca˜o do anel, e aprenderemos a efetu´ a-las na pr´atica. Vocˆes est˜ao familiarizados com express˜ o es do tipo ax2 + bx + c e ax + b, sendo a, b e c n´umeros reais fixados e a = 0, sob o ponto de vista geom´etrico. Estas express˜ oes s˜ao polinˆ ao ser omios com coeficientes reais e v˜ estudadas agora sob o ponto de vista alg´ebrico, isto ´e, essas express˜ oes ser˜ ao manipuladas, usando opera¸co˜es de adi¸ca˜o e multiplica¸ca˜o.
Seja A um anel comutativo com unidade 1A. Seja x um s´ımbolo n˜ao pertencente ao anel A, chamado uma indeterminada ou vari´ avel sobre A.
≥ 1, designamos a j-´esima potˆencia de x
Para cada n´ umero natural j por xj e escrevemos x1 = x .
Defini¸c˜ao 11 (Polinˆomio) Um polinˆ ao do tipo omio com coeficientes em A ´e uma express˜
n
f(x) = a 0 + a1x + a2x2 +
n
···+a x = ∈ A, para 0 ≤ j ≤ n. n
O s´ımbolo lˆe-se como somat´ orio ou soma e convencionamos escrever a0 x0 = a0 .
ajxj,
j=0
onde n ´e um n´ umero natural e aj
≤ ≤
Para 0 ao chamados de coeficientes , as j n, os elementos aj s˜ omios de parcelas ajxj de termos e os termos ajxj tais que aj = 0 de monˆ grau j do polinˆ omio f(x). O coeficiente a0 ´e chamado de termo constante .
Convencionamos: (a) Para cada n´ umero natural n, chamar 0(x) = 0 +0x+ +0xn de polinˆ omio identicamente nulo e escrever 0(x) = 0 . (b) Chamar f(x) = a 0 de polinˆ omio constante . (c) Escrever o polinˆ omio f(x) com as j-´esimas potˆencias de x em ordem crescente ou em ordem decrescente, a saber, f(x) = a 0+a1x+a2x2+ +anxn ou f(x) = a nxn + + a2x2 + a1x + a0.
···
···
···
(d) N˜ao escrever o termo ajxj sempre que aj = 0, quando houver algum termo n˜ ao-nulo no polinˆomio. 53
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Polinˆ omios com coeficientes em um anel comutativo com unidade
Exemplo 20 3 a. Dados os n´umeros reais a0 = , a1 = −1, a2 = 3 − x + 2
√ 2x
2
2
√ 2 e a
3
+ x3
∈ R[x ]. √ b. Dados os n´umeros reais a = 2, a = − 5, a = 0, a √ e a = −2 4, temos g(x) = 2 − 5x − πx − 2 4 x ∈ R[x ]. f(x) =
0
1
2 5
3
5
= 1, temos
,
3
= −π , a4 = 0
,
c. Dados os n´ umeros reais a0 = 0, a1 = −1, a2 = 3, a3 = 0 e a4 = −3, temos h (x) = −x + 3x2 − 3x4 R[x ].
∈
umeros reais a0 = 5, a1 = −1 e a2 = 3, temos r(x) = d. Dados os n´ 5 − x + 3x2 R[x ].
∈
e. Dados os n´ umeros reais a0 = 2, a1 = −1, a2 = 3, a3 = 0 e a4 = −3, temos s(x) = 2 − x + 3x2 − 3x4 R[x ].
∈
f. Dados os n´ umeros reais a0 = 2, a1 = −1, a2 = 3, a3 = 0, a4 = −3 e a5 = a 6 = 0 , temos t(x) = 2 − x + 3x2 − 3x4 R[x ].
√
u (x) = x−2 + 3 x + x 5
∈
√
e v(x) = 6 x3 − 4x2 + 5 avel x s˜ ao n˜ a o s˜ ao polinˆ omios porque nem todos os expoentes da vari´ n´umeros naturais. g. As express˜oes
O polinˆomio f(x) = a0 + a 1x + + a nxn A[x ] pode tamb´em ser escrito como f (x) = a 0 + a1x + + anxn + 0xn+1 + 0xn+2 + + 0xn+m, para todo n´ umero natural m 1. Portanto, quando comparamos dois polinˆ omios f(x), g(x) A[x ], ´e poss´ıvel assumir que os termos de ambos tˆem as mesmas potˆencias de x.
···
≥
∈
·· ·
Igualdade de polinˆomios: Os polinˆomios f(x) = a0 + a1x1 + a2x2 + g(x) = b 0 + b1x1 + b2x2 +
n
∈
···
n
· · · + a x ∈ n
A[x ] e
· · · + b x ∈ A[x ] s˜ ao iguais se, e somente se, a = b para todo j , tal que 0 ≤ j ≤ n. Escrevemos f(x) = g (x). j
n
j
Isto ´e, f(x) e g(x) s˜ao iguais apenas quando todos os coeficientes das correspondentes potˆencias de x em f(x) e g(x) s˜ao iguais. Observe que, se f(x) e g(x) n˜ ao existe algum n´ umero ao s˜ ao iguais , ent˜ natural j, com 0 j n e aj = b j. Neste caso, dizemos que f(x) e g(x) s˜ ao diferentes e escrevemos f(x) = g (x).
≤ ≤
No Exemplo 20, os coeficientes dos termos constantes dos polinˆ omios ao diferentes; logo h (x) = −x + 3x 2 − 3x4 e t(x) = 2 − x + 3x2 − 3x4 s˜ h (x) = t(x). Enquanto s(x) = t(x), pois todos os coeficientes das mesmas potˆencias de x em s(x) e t(x) s˜ao iguais.
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54
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Polinˆ omios com coeficientes em um anel comutativo com unidade PARTE 2 -
SEC ¸ ˜ AO 3
Exemplo 21 Os polinˆomios f (x) = x 4 − x5 + 4x2 + 3 − 2x e g(x) = 3 + 4x2 − 2x − x5 + x4 s˜ao iguais, porque os seus coeficientes aj da j-´esima potˆencia xj s˜ao: a0 = 3 , a1 = −2, a2 = 4 , a3 = 0 , a4 = 1 e a5 = −1. Escrevendo os polinˆ omios com as potˆencias de x em ordem crescente, visualizamos imediatamente a igualdade dos polinˆ omios. Temos f(x) = g (x) = 3 − 2x + 4x2 + x4 − x5.
≡
Em todo polinˆomio n˜ao identicamente nulo, f (x) 0, algum coeficiente deve ser diferente de zero, ent˜ a o h´ a um maior n´ umero natural n, tal que an = 0. Definimos o grau de f(x) por grau(f(x)) = n e, nesse caso, an ´e chamado de coeficiente l´ıder de f(x).
O s´ımbolo ≡ lˆ e-se como n˜ao ´e idˆentico.
O s´ımbolo grau(f(x)) lˆe-se como grau de f de x.
Os polinˆomios de grau n com coeficiente l´ıder an = 1 s˜ao chamados de polinˆ omios mˆ onicos . Importante: N˜ao definimos o grau do polinˆ omio identicamente nulo, 0 (x)
≡ 0.
Exemplo 22 O polinˆomio constante w(x) = 5 n˜ao ´e identicamente nulo e grau( w(x)) = 0. Volte ao Exemplo 20 e observe que grau(f(x)) = 3, grau(g(x)) = 5, grau(h (x)) = 4 , grau(r(x)) = 2 , grau(s(x)) = 4 , grau(t(x)) = 4 e que f(x) ´e ou ´ nico polinˆomio mˆonico. Note que:
grau(f(x)) = 0 se, e somente se, f(x) = a = 0 , a
∈ A.
Denotamos o conjunto de todos os polinˆ omios na vari´ avel x com coeficientes no anel comutativo com unidade 1A por A[x ]. A[x ] = { f(x) = a 0 + a1x +
· · · + a
n nx
| n
∈ N, a ∈ A, 0 ≤ j ≤ n }. j
No conjunto A [x ] est˜ao definidas as opera¸co˜es de adi¸ca˜o e multiplica¸ca˜o de polinˆomios. Defini¸c˜ao 12 (Adi¸c˜ao de polinˆomios) Definimos a adi¸cao omios f(x) = ˜ dos polinˆ
n
n
j
ajx
e g(x) =
j=0
A[x ] por
j=0
n
f(x) + g(x) =
cjxj, onde cj = a j + bj, para 0
j=0
bjxj de
≤ j ≤ n.
O resultado da adi¸ca ˜o de dois polinˆ omios ´ e chamado de soma.
55
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Polinˆ omios com coeficientes em um anel comutativo com unidade
Exemplo 23 Sejam f (x) = 4x 3 − 3x2 + 4x + 5 g (x) = 2x 2 − 5x − 2 e h (x) = − 4x3 + 5x2 − 3x + 1 em Z[x ]. Ent˜ao, f(x) + g(x) = ( 4 + 0)x3 + (−3 + 2)x2 + ( 4 + (− 5))x + ( 5 + (− 2)) = 4x3 − x2 − x + 3, f(x) + h (x) = ( 4 − 4)x3 + (−3 + 5)x2 + ( 4 − 3)x + ( 5 + 1) = 0x3 + 2x2 + x + 6 = 2x2 + x + 6. ,
Lembre que a − b = a + (−b), para quaisquer a e b no anel A.
No exemplo anterior, observamos que grau(f(x)) = grau(h (x)) = 3 e grau(f(x) + h (x)) = 2 , enquanto grau(g(x)) = aximo { grau(f(x)), grau(g(x)) }. 2 e grau(f(x) + g(x)) = 3 = m´ Na adi¸ca˜o de polinˆomios vale a seguinte propriedade do grau. Propriedade do grau: (Adi¸c˜ao de polinˆomios) n
Sejam f (x) =
m
j
ajx , com an = 0 , e g(x) =
j=0
bjxj, com bm = 0 .
j=0
≡ 0, ent˜ao grau(f(x) + g(x)) ≤ max { grau(f(x)), grau(g(x)) } = max { n, m } valendo a igualdade sempre que grau(f(x)) = n = m = grau(g(x)). Se f(x) + g(x)
O s´ımbolo max significa o maior ou o m´ aximo dos n´ umeros.
A adi¸ca˜o de polinˆ o mios tem diversas propriedades, que s˜ ao conseq¨ uˆencia das propriedades da adi¸ ca˜ o no anel A, conforme veremos a seguir. Propriedades da adi¸c˜ao: n
Sejam f(x) =
n
ajx
j ,
g(x) =
j=0
n
bjx
j
e h (x) =
j=0
cjxj em A[x ].
j=0
(A1) Associativa: (f(x) + g(x)) + h (x) = f (x) + (g(x) + h (x)) , Lembre que a adi¸ca ˜o no anel A ´e associativa (A1) e comutativa (A2).
pois para quaisquer aj, bj, cj (aj + bj) + cj = a j + ( bj + cj) .
∈
A e 0
≤
j
≤
n, temos que
(A2) Comutativa: f(x) + g(x) = g (x) + f(x) , pois para quaisquer aj, bj
∈ A e 0 ≤ j ≤ n, temos a + b = b + a . j
j
j
j
(A3) Existˆencia de elemento neutro:
n
Lembre que no anel A 0´ e o elemento neutro aditivo.
U F F
Como o polinˆomio identicamente nulo 0 =
ao f(x) = 0 +f(x), 0xj, ent˜
j=0
pois para qualquer aj
∈ A, 0 ≤ j ≤ n, temos a = 0 + a . j
56
M.L.T.Villela
j
Polinˆ omios com coeficientes em um anel comutativo com unidade PARTE 2 -
SEC ¸ ˜ AO 3
(A4) Existˆencia de sim´etrico: n
Dado f (x) =
n
j
omio − f(x) = ajx , o polinˆ
j=0
f(x), sendo
(−aj)xj ´e o sim´etrico de
j=0
n
f(x) + (−f(x)) =
0xj ,
j=0
pois aj + (−aj) = 0 para qualquer aj
Lembre que no anel A e o sim´etrico de a. −a ´
∈ A, 0 ≤ j ≤ n.
Exemplo 24 Consideremos os polinˆ omios f(x) = 4x 3 − 3x2 + 4x + 5, g(x) = 2x 2 − 5x − 2 e h (x) = − 4x3 + 5x2 − 3x + 1 do Exemplo 23. a. No Exemplo 23 determinamos f(x) + g(x) = 4x 3 − x2 − x + 3. Assim, (f(x) + g(x)) + h (x) = ( 4x3 − x2 − x + 3) + (− 4x3 + 5x2 − 3x + 1) = ( 4 − 4)x3+(− 1 + 5)x2 +(− 1 − 3)x +( 3 + 1) = 0x 3 + 4x2 − 4x + 4 = 4x2 − 4x + 4.
b. A adi¸ca˜o de polinˆomios pode ser feita facilmente se escrevemos os polinˆomios numa tabela, onde nas primeiras linhas est˜ a o cada um dos polinˆomios com as potˆencias xj em ordem decrescente, e na ultima ´ linha o resultado da adi¸ca˜o, de maneira similar a` adi¸c˜a o de n´ umeros reais. Calcularemos g(x) + h (x) desse modo. (+)
2x2
−
5x
−
2
−
4x3
+
5x2
−
3x
+
1
−
4x3
+
7x2
−
8x
−
1
Nesse caso, g(x) + h (x) = − 4x3 + 7x2 − 8x − 1. c. Podemos usar este processo para calcular a soma de m polinˆomios, construindo uma tabela com m + 1 linhas e tantas colunas quantas forem necess´ arias. Por exemplo, para calcular f(x) + g (x) + h (x) a tabela ter´ a quatro linhas 4x3 (+)
−
−
3x2
+
4x
+
5
2x2
−
5x
−
2
4x3
+
5x2
−
3x
+
1
0x3
+
4x2
−
4x
+
4
Logo, f(x) + g(x) + h (x) = 4x 2 − 4x + 4. Defini¸c˜ao 13 (Multiplica¸c˜ao de polinˆomios) ˜ dos polinˆ Definimos a multiplica¸cao omios f (x) =
n
j=0
em A[x ] por
m
j
ajx
e g(x) =
bjxj
j=0
57
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Polinˆ omios com coeficientes em um anel comutativo com unidade
O resultado da multiplica¸ca ˜o de dois polinˆ omios ´e chamado de produto.
n+m
·
f(x) g(x) =
cjxj
j=0
sendo
· · b + a · b · b + a · b + a · b
c0 = a 0 b0 c1 = a 0 c2 = a 0
.. .
1
1
0
2
1
1
·
2
·
cj = a 0 bj + a1 bj−1 +
0
·· · + a · b = j
0
·
a λ bµ
λ+µ=j
.. .
·
cn+m = a n bm .
Propriedade do grau: (Multiplica¸c˜ao de polinˆomios) n
Sejam A um dom´ınio e f (x) =
m
ajxj, com a n = 0 , e g (x) =
j=0
com bm = 0 . Ent˜ao,
bjxj,
j=0
·
grau(f(x) g(x)) = n + m
a· b=0
⇐⇒
Lembre que em um dom´ınio a = 0 ou b = 0.
pois o coeficiente l´ıder de f(x) g(x) ´e cn+m = a n bm = 0 .
·
·
A multiplica¸ca˜o de polinˆomios tem as seguintes propriedades. Propriedades da multiplica¸c˜ao: n
Sejam f(x) =
m
j
ajx ,
g(x) =
j=0
de A[x ].
r
j
e h (x) =
bjx
j=0
cjxj
elementos
j=0
· · · · (M2) Comutativa: f(x) · g(x) = g (x) · f(x) , pois para todo j com 0 ≤ j ≤ n + m , vale a identidade
(M1) Associativa: (f(x) g(x)) h (x) = f (x) (g(x) h (x)) . Lembre que no anel A a multiplica¸c˜ ao ´e associativa e comutativa.
aµbλ =
λ+µ=j
bλaµ .
λ+µ=j
Note que, em vista da defini¸c˜ao das opera¸co˜es: j
k
j+k
• Para quaisquer j, k ∈ N, vale a identidade: x · x = x . • Se f(x) = a e g(x) = b + b x + · ·· + b x , ent˜ao (a · b )x f(x) · g(x) = a · g(x) = a · b x = = (a · b ) + (a · b )x + · · · + (a · b )x , 0
1
m
m
m
m
k
k=0
0
U F F
1
58
M.L.T.Villela
k
k
k=0
m
m
k
Polinˆ omios com coeficientes em um anel comutativo com unidade PARTE 2 -
·
·
pois, nesse caso, a0 = a , n = 0 , e cj = a 0 bj = a bj, para todo j Em particular, A[x ] tem a propriedade M3:
SEC ¸ ˜ AO 3
∈ N.
(M3) Existˆ encia de elemento neutro multiplicativo :
·
∈ A[x ] e 1 = 1 . com j ≥ 1, e g(x) = b + b x + · · · + b x , ent˜ao = (ax ) · g(x) = (ax ) · (a · b )x b x = , = (a · b )x + ( a · b )x + · · · + ( a · b )x
1A f(x) = f (x), para qualquer f(x)
•
Se f(x) = axj
A
A[x]
0
1
m
·
f(x) g(x)
j
j
0
j
m
k
k=0 j+1
1
m
m
k
k
k+j
k=0 m
j+m
pois, nesse caso, temos a 0 = 0, . . . , a j−1 = 0 aj = a , n = j , n + m = j + m , c0 = 0, . . . , cj−1 = 0, cj = aj b0 = a b0, cj+1 = aj b1 = a b1, . . ., cj+m = a j bm = a bm.
·
·
·
·
·
·
Combinando as trˆes observa¸ c˜oes anteriores com o fato da adi¸ ca˜ o de polinˆ omios corresponder a adicionar os coeficientes das potˆencias de x de mesmo expoente em ambos os polinˆ omios, obtemos mais uma propriedade, que envolve as duas opera¸co˜es. Propriedade da adi¸c˜ao e multiplica¸c˜ao: n
Sejam f(x) =
n
ajxj, g(x) =
j=0
bjxj e h (x) =
j=0
·
Lembre que
m
no anel A a adi¸ca ˜o e a multiplica¸ ca ˜o tˆem a propriedade distributiva:
cjxj.
j=0
·
·
(AM) Distributiva: (f(x) + g(x)) h (x) = f (x) h (x) + g(x) h (x) .
a(b + c) = ab + ac .
Com as propriedades acima da adi¸ca˜o e multiplica¸c˜ao de polinˆomios em A[x ], obtivemos a seguinte proposi¸ca˜o. Proposi¸c˜ao 8 Seja A um anel comutativo com unidade 1A. Ent˜ ao, A[x ] ´e um anel comutativo com unidade. Mais ainda, se A ´e um dom´ınio, ent˜ao A[x ] ´e um dom´ınio. Demonstra¸c˜ao: S´o falta a u ´ ltima afirma¸ca˜o. Suponhamos que A ´e um dom´ınio e sejam f(x), g(x) A[x ] n˜ao-nulos.
∈
Digamos que grau(f(x)) = m e grau(g(x)) = n. Ent˜ ao, pela propriedade do grau, temos que grau(f(x) g(x)) = m + n e logo, f (x) g(x) = 0 .
·
·
Exemplo 25 S˜ao an´eis de polinˆ omios muito importantes: Z[x ], Q[x ], R[x ] e C[x ]. Agora podemos fazer exemplos da multiplica¸ca˜o de polinˆomios. 59
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U F F
Polinˆ omios com coeficientes em um anel comutativo com unidade
Exemplo 26 Consideremos os polinˆ omios f(x) = 4x 3 − 3x2 + 4x + 5, g(x) = 2x 2 − 5x − 2 e h (x) = − 4x3 − 3x + 1 em Z[x ].
·
a. Vamos calcular f(x) g(x). Usando a propriedade distributiva da multiplica¸ ca˜o de polinˆomios, temos f(x) g(x) = ( 4x3 − 3x2 + 4x + 5) (2x2 − 5x − 2) (1)
·
·
= 4x3 (2x2− 5x− 2)+(−3x2) (2x2− 5x− 2)+ 4x (2x2− 5x− 2)+ 5 (2x2− 5x− 2)
(2)
·
·
·
·
= (8x5−20x4−8x3)+(−6x4+15x3+6x2)+( 8x3−20x2−8x)+( 10x2 −25x−10)
(3)
= 8x5 + (−20 − 6)x4 + (−8 + 15 + 8)x3 + (6 − 20 + 10)x2 + (−8 − 25)x − 10
(4)
= 8x5 − 26x4 + 15x3 − 4x2 − 33x − 10.
Observe que as igualdades acima foram obtidas: (1) distribuindo as parcelas de f(x) na multiplica¸ca˜o por g(x); (2) distribuindo cada multiplica¸ca˜o com respeito a`s parcelas de g(x); (3) usando a defini¸ca˜o da adi¸ca˜o de polinˆomios (4) fazendo a adi¸c˜ao dos coeficientes das potˆencias de x de mesmo expoente.
·
b. Vamos calcular h (x) g(x). Construiremos uma tabela, escrevendo h (x) na primeira linha e g(x) na segunda, com as potˆencias de x em ordem decrescente. Fazemos a multiplica¸ ca˜o usando a propriedade distributiva e calculando a multiplica¸ ca˜o dos termos do polinˆomio g(x) por h (x), em ordem crescente das potˆencias de x e organizando na tabela os resultados parciais em ordem decrescente das potˆencias de x. A u ´ ltima linha da tabela ser´ a a adi¸ca˜o das multiplica¸co˜es parciais.
−
×
( )
4x3
−
3x
+
1
2x2
−
5x
−
2
−
2
8x3
+
0x2
+
6x
−
5x
20x4
+
0x3
+
15x2
−8x5
+
0x4
−
6x3
+
2x2
−8x5
+
20x4
+
2x3
+
17x2
−2 · (−4x3 − 3x + 1) −5x · (−4x3 − 3x + 1) 2x2 · (−4x3 − 3x + 1)
+
·
x
−
2
adi¸ca ˜o das 3 parcelas
Temos grau(h (x) g(x)) = 5 = 3 + 2 = grau(h (x)) + grau(g(x)).
U F F
60
M.L.T.Villela
Polinˆ omios com coeficientes em um anel comutativo com unidade PARTE 2 -
SEC ¸ ˜ AO 3
Exerc´ıcios 1. Sejam f(x) = 2x3 − 5x2 + 1, g(x) = x5 − x4 + x3 − 2x − 3, h (x) = 2x 3 − 2x2 − x + 2, r (x) = −2x3 + 3x2 + 5x − 3 e s(x) = −x2 + x − 3 em Z[x ]. Efetue a opera¸ c˜ao e dˆe o grau dos resultados n˜ ao identicamente nulos: (a) f(x) + g(x) (c) g(x) + (3 − 2x2) h (x) (e) h (x) + r(x) (g) (2x − 1) r(x) − (3x + 2) s(x)
·
·
·
(b) x2 f(x) − g(x) + x h (x) (d) g(x) + h (x) + r(x) + s(x) (f) h (x) s(x) + r(x) s(x) (h) (x2 − 1) (x2 + 1) − ( s(x))2
·
·
·
·
·
Se f(x) ´ e um polinˆomio em A[x], onde A ´ e um anel e e um n´umero natural, n ≥ 1 ´ ent˜ ao (f(x))n = f(x) · f(x) · · · f(x)
n fatores
Convencionamos n˜ ao escrever o sinal da opera¸ca ˜o de multiplica¸c˜ ao de polinˆ omios. Assim, f(x)g(x) = f(x) · g(x).
2. Determine em Z[x ]: (a) (x4 − 3x2 + 5)(2x + 3) + (x2 + 3x)( 4x3 − 6x). (b) 9x2(2x2 + 3) + 4x(3x3 − 2). 3. Considere o anel Q[x ]. Determine: (a) (x2 + 2)(x2 − 2)
(b) (x − 2)3 (c) (x − 1)2(x + 1)2
(d) (x + 3)(x + 1)(x − 4) (e) (x + 2)4 (g)
1 x + 3 3
(f)
3
1 x − 4 2
2
Lembre da f´ ormula do binˆ omio de Newton em Q n
(a + b)n =
“ ”
k=0
n k
4. Determine os n´ umeros reais a, b, c e d para que as identidades de polinˆ omios sejam verdadeiras em R[x ]: (a) (a + 5)x3 + (1 − b)x2 + (2c − 1)x + (d + 2) 0. (b 3ax7 − 2bx5 + 3cx4 + ( d + 3) = x 5 − x4 + 3. (c) ax2 + bx + c = (ax − d)2. (d) (b + d)x4 + (d + a)x3 + (a − c)x2 + (c + b)x = 4x 4 + 2x2.
≡
5. Determine n´ umeros reais a, b, c e d tais que f(x) + 2g(x) − 3h (x) = −3x4 + 5x3 − 3x2 + x + 2,
sabendo que f(x) = ax3 + 2x 2 − x + d , g(x) = x3 + bx 2 − 2x − 4 e ao em R[x ]. h (x) = x 4 + 2x3 + dx2 + cx + c est˜
∈
6. Dado o polinˆ omio g(x) R[x ], determine, em cada item, o polinˆ omio ˜o indicada: f(x) R[x ], tendo a condi¸ca (a) f(x) + g(x) = 0 , g(x) = x 2 − x + 3. (b) 2f (x) + 3g(x) = 4x 5 + x3 + x2 − x + 1, g(x) = 2x 4 − x3 − x2 + 3x + 5. (c) 3f(x)− 2g(x)+ 5x − 3 = 6x 3+ 5x2 − 3x − 2, g (x) = 5ax3− bx2+ 2x + c.
∈
7. Discuta, para a R, o grau do polinˆ omio f(x) R[x ]: (a) f(x) = (a2 − 1)2x3 + (a2 − 3a + 2)x + a + 3
∈
∈
61
Instituto de Matem´ atica
U F F
an−k bk
Polinˆ omios com coeficientes em um anel comutativo com unidade
(b) f(x) = ax 2 + 2ax + 9 (c) f(x) = (a3 − a)x3 + a(a − 1)x2 + a3 − 1 8. Seja A um anel comutativo com unidade 1A. Mostre que: (a) A ´e um subanel de A[x ]. (b) A[x ]∗ = A ∗ , se A ´e um dom´ınio. (c) Se A ´e um corpo, ent˜ao A[x ]∗ = A \{0}.
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62
M.L.T.Villela
An´ eis ordenados e an´eis bem ordenados PARTE 2 -
SEC ¸ ˜ AO 4
An´ eis ordenados e an´ eis bem ordenados Seja A um anel comutativo com unidade 1A. Defini¸c˜ao 14 (Anel ordenado) Um anel A, comutativo com unidade, ´e chamado de anel ordenado se existir uma rela¸ca˜o bin´aria a b (menor ou igual), que tem as seguintes propriedades:
≤
Quando a ≤ b, tamb´em dizemos que b ´e maior ou igual a a e escrevemos b ≥ a.
∈ A, temos a ≤ a. O2 (Antisim´etrica) Para quaisquer a, b ∈ A, se a ≤ b e b ≤ a, ent˜ao a = b . O3 (Transitiva) Para quaisquer a, b, c ∈ A, se a ≤ b e b ≤ c, ent˜ao a ≤ c. O4 (Total) Dados a, b ∈ A, uma das afirma¸co˜es ´e verdadeira: a ≤ b ou b ≤ a. OA (Compat´ıvel com a adi¸ca˜o) Para quaisquer a, b, c ∈ A, se a ≤ b, ent˜ao a + c ≤ b + c. OM (Compat´ıvel com a multiplica¸ca˜o) Para quaisquer a, b, c ∈ A, se a ≤ b e c ≥ 0, ent˜ao a · c ≤ b · c. O1 (Reflexiva) Para qualquer a
Usamos as seguintes nota¸co˜es: a
⇐⇒
a
≤ b com a = b.
b > a (b maior do que a)
⇐⇒
a < b.
Observamos que num anel ordenado A, para cada a seguintes propriedades: a > 0 ou a = 0 ou a < 0.
∈ A vale uma das
Defini¸c˜ao 15 (Positivo ou negativo) Seja A um anel ordenado. Seja a A . Se a > 0 dizemos que a ´e positivo e se a < 0 dizemos que a ´e negativo.
∈
Exemplo 27 (1) Z ´e um dom´ınio ordenado. (2) Q = m ; m, n Z, n = 0 ´e um corpo ordenado, pois definimos: n
∈
a, b
∈ Q, a ≤ b
⇐⇒
b − a
Instituto de Matem´ atica
A ordem em Q ´e induzida pela ordem de Z .
≥ 0, onde 63
U F F
An´ eis ordenados e an´eis bem ordenados
m n
>0
⇐⇒
ao ambos positivos ou ambos negativos. m, n s˜
(3) R ´e um corpo ordenado. Proposi¸c˜ao 9 (Propriedades de anel ordenado) Seja A um anel ordenado e seja a A. Ent˜ao:
∈
≤ 0, ent˜ao −a ≥ 0. (ii) Se a ≥ 0, ent˜ao −a ≤ 0. (iii) a ≥ 0. (i) Se a 2
(iv) 1 > 0.
Demonstra¸c˜ao: OA (i) a 0 = a + (−a) 0 + (− a) = 0 OA (ii) a 0 = a + (− a) 0 + (− a) = 0 OM (iii) a 0 = a a 0 a = a 2 0. a
≤ ≥ ≥
−a
− a
0.
−a
− a
0.
⇒⇒ ≤≥ ⇒⇒ ≤≥ ⇐⇒⇐⇒ ≥≤ ⇒ · ≥ · ⇒ ≥ ⇒ ≥ ≥ ⇒ ⇒· ≤ · ⇒ ≤ ⇒
(i)
≤0=
OM
(iv) 1 = 1 2
0 (−a) = − a2
0 = a (−a)
− a
0 e 1 = 0 = 1 > 0.
(i)
0 = a 2
≥ 0.
Aten¸c˜ao: Observamos que o corpo dos n´ umeros complexos n˜ ao ´e um anel ordenado pois, caso contr´ ario, i = 0 e, pelo item (iii) da proposi¸ca˜o anterior, ao, pelo item (ii), 1 < 0, uma contradi¸ca˜o com o item (iv). −1 = i 2 > 0 ent˜
Proposi¸c˜ao 10 Se D ´e um dom´ınio ordenado, ent˜ a o o corpo de fra¸co˜es de D ´e um corpo ordenado. Demonstra¸c˜ao: Primeiramente, observe que se x = ab ao x pode K, ent˜ ser representado por uma fra¸ ca˜o com denominador positivo. De fato, se a a fazer. Suponhamos que b seja negativo. Ent˜ ao, −b > 0 e b > 0, nada h´ . x = a = −a b −b
∈
A ordem em K ´e induzida pela ordem em D. Definimos a b
≤
c , d
com b > 0 e d > 0, se, e somente se, ad
≤ bc.
( ⋆ )
Agora devemos verificar as seis propriedades da ordem em K. ´ claro que a a, pois ab − ba = 0 . O1 (Reflexiva): E
≤ ≤
b
a b
b
c a O2 (Antisim´etrica): Sejam e dc , com b > 0 e d > 0. Ent˜ ao, d b ad bc e bc ad. Pela propriedade O2 em D, temos ad = bc . Portanto, a = dc . b
≤
≤
≤
c e O3 (Transitiva): Dados ab e dc em K, com b > 0, d > 0 e f > 0, d f ent˜ao ad bc e cf ed. Como f > 0 e b > 0, pela propriedade OM em
≤
U F F
≤
≤
≤
64
M.L.T.Villela
An´ eis ordenados e an´eis bem ordenados PARTE 2 -
SEC ¸ ˜ AO 4
≤ (bc)f e b(cf) ≤ b(ed).
D, temos que (ad)f
Pela propriedade O3 em D, obtemos que adf bed. Como d > 0, pela propriedade OM em D, temos ˜o ( ⋆ ) da ordem em K, temos ab ef . af be. Pela defini¸ca
≤
≤
≤
O4 (Total): Dados ab e dc em K, com b > 0 e d > 0, temos que, pela a propriedade O4 em D, ad bc ou bc ad. Logo, ab dc ou dc . b
≤
≤
≤
≤
c OA (Compat´ıvel com a adi¸ca˜o): Dados ab e ef em K, com b > 0, d ao ad bc , com b > 0, d > 0 e f > 0. Pela propriedade d > 0 e f > 0, ent˜ OM em D, f2 > 0 e (ad)f2 ( bc)f2. Pela propriedade OA em D, obtemos (ad)f2 + bedf (bc)f2 + bedf. Logo,
≤
≤
(af + be)(df)
que ´e equivalente a, a + ef b
=
af+be bf
≤
≤
≤ (cf + de)(bf), com df > 0 e bf > 0, ≤
cf+de df
= dc + ef .
c OM (Compat´ıvel com a multiplica¸ca˜o): Dados ab e ef 0, com b > 0, d ao ad d > 0 e f > 0, ent˜ bc, com b > 0, d > 0, f > 0 e e 0. Pela propriedade OM em D, temos ef 0 e (ad)(ef) (bc)(ef), com b > 0, d > 0. Logo, (ae)(df) (bf)(ce), com df > 0 e bf > 0, que ´e equivalente a ae ce . bf df
≤
≤
≥
≤
≤
≥
≤
Defini¸c˜ao 16 (Valor absoluto) Seja A um anel ordenado. Definimos o valor absoluto de a
| a |=
a, −a,
≥
Vocˆ e deve verificar OM e OA.
∈ A por
≥
se a 0 se a < 0
O valor absoluto tem as seguintes propriedades. Proposi¸c˜ao 11 Sejam A um anel ordenado e a, b
∈ A. Ent˜ao:
≥ 0 e | a |= 0 se, e somente se, a = 0. (ii) − | a | ≤ a ≤| a | . (i) | a |
(iii) | − a |=| a | .
A desigualdade ao lado ´e conhecida como desigualdade triangular.
(iv) | a b |=| a | | b | .
·
·
≤ | a | + | b |. (vi) | | a | − | b | | ≤ | a ± b | ≤ | a | + | b | . (v) | a + b |
Demonstra¸c˜ao: Fa¸ca como exerc´ıcio.
Agora vamos introduzir o conceito de anel bem ordenado. 65
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An´ eis ordenados e an´eis bem ordenados
Defini¸c˜ao 17 (Conjunto limitado inferiormente) Seja S = um subconjunto de um anel ordenado A.
∅
Dizemos que S ´e limitado inferiormente se existir um elemento a tal que para todo s S temos s a.
∈
≥
Dizemos que S tem um menor elemento, se existir s 0 todo s S, temos s s0.
∈
≥
∈ A,
∈ S, tal que, para
Observa¸c˜ao (unicidade do menor elemento): O menor elemento, se existe, ´e u ´ nico. De fato, digamos que s 0 e s 1 s˜ao menores elementos de um subconjunto n˜ao-vazio S de um anel ordenado A, ent˜ao: s1 s0
≥ s , pois s ´e um menor elemento de S e ≥ s , pois s ´e um menor elemento de S, 0
0
1
1
logo, pela propriedade antisim´etrica (O2) da rela¸ c˜ao de ordem, s0 = s 1.
Defini¸c˜ao 18 (Dom´ınio bem ordenado) Um dom´ınio ordenado A ´e chamado bem ordenado se, e somente se, todo subconjunto n˜ ao-vazio de A limitado inferiormente tem menor elemento. Exemplo 28 (1) Z, Q, R s˜ ao dom´ınios ordenados. (2) R n˜ao ´e bem ordenado.
∞ ⊂ ⊂
Consideremos o intervalo S = (0, + ) ao, S ´e limitado inferiorR. Ent˜ mente por 0 e S n˜ao tem menor elemento. (3) Q n˜ao ´e bem ordenado. Consideremos S =
1 n
1>
1 2
; n = 1, 2, 3, . . .
>
1 3
>
1 4
·· · >
>
1 n
Q. Temos
>
1 n+1
>
· · · > 0.
S ´e limitado inferiormente por 0 e S n˜ao tem menor elemento.
Para entender melhor um dom´ınio bem ordenado, vamos ver mais propriedades. Proposi¸c˜ao 12 Seja A um dom´ınio bem ordenado e seja a
∈ A. Se a > 0, ent˜ao a ≥ 1. Suponhamos, por absurdo, que existe um elemento a ∈ A,
Demonstra¸c˜ao: tal que 0 < a < 1. Logo, o conjunto S = { x U F F
∈ A ; 0 < x < 1}
66
M.L.T.Villela
An´ eis ordenados e an´eis bem ordenados PARTE 2 -
SEC ¸ ˜ AO 4
´e n˜ ao-vazio e limitado inferiormente. Portanto, S tem um menor elemento s0 e 0 < s0 < 1. Segue de OM que 0 = 0 s0 < s0 s0 < 1 s0 = s 0, isto ´e, 0 < s02 < s0. Como s0 < 1, pela transitividade da rela¸ca˜o de ordem, temos 0 < s02 < 1 e logo, s02 S com s02 < s0, contradizendo o fato de s0 ser o menor elemento de S.
·
·
·
∈
Corol´ario 1 Sejam A um dom´ınio bem ordenado e a, b
∈ A. Se a > b, ent˜ao a ≥ b + 1.
Demonstra¸c˜ao: Como a > b, de OA segue que a − b > b − b = 0. Da proposi¸ca˜o anterior temos que a − b 1 e, de OA, a b + 1.
≥
≥
∈
Observa¸c˜ao: Seja A um dom´ınio bem ordenado. Seja a A tal que a > 0. Ent˜ao, a ao a > 1 e, do corol´ario anterior, obtemos 1. Se a = 1, ent˜ ao a > 1 + 1 e, do corol´ario anterior, a 1 + 1 + 1. a 1 + 1. Se a = 1 + 1, ent˜ Prosseguindo com esse processo, temos
≥
≥
≥
0 < 1 < 1 + 1 < 1 + 1 + 1 < 1 + 1 + 1 + 1 <
···.
A propriedade acima nos lembra o dom´ınio bem conhecido dos inteiros. O dom´ınio dos inteiros Z tem a propriedade da boa ordena¸ ca˜o, a saber: Axioma (Princ´ıpio da Boa Ordena¸c˜ao): Todo conjunto n˜ ao-vazio de inteiros n˜ao-negativos tem menor elemento. Como conseq¨ uˆencia do Axioma da Boa Ordena¸ca˜o de Z, temos que Z ´e um dom´ınio bem ordenado. Proposi¸c˜ao 13 Todo subconjunto n˜ ao-vazio de inteiros limitado inferiormente tem menor elemento. Demonstra¸c˜ao: Seja S k Z.
∈
⊂ Z, S = ∅ e limitado inferiormente, digamos por
∈ S}. Ent˜ao, T ⊂ Z e T = ∅, pois S = ∅. Como x ≥ k , para todo x ∈ S, ent˜ao x − k ≥ 0 e logo, T ´e um subconConsideremos T = { x − k ; x
junto n˜ ao-vazio de inteiros n˜ ao-negativos. Pelo axioma da boa ordena¸ c˜ao, existe t0 T o menor elemento de T . Afirmamos que s0 = t 0 + k ´e o menor elemento de S.
∈
67
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An´ eis ordenados e an´eis bem ordenados
∈
∈
De fato, t0 T . Logo, existe s0 S tal que t0 = s0 − k . Assim, ao x s0. s0 = t 0 + k S. Precisamos apenas mostrar que se x S, ent˜
∈
∈
≥
∈
Com efeito, suponhamos, por absurdo, que existe y S, tal que y < s0. Ent˜ao, y − k < s0 − k = t 0, com y − k T , contradizendo o fato de t0 ser o menor elemento de T .
∈
Na verdade, mostraremos adiante que Z ´e o u ´nico dom´ınio bem ordenado. Deve ser estudado com mais cuidado. Proposi¸c˜ao 14 (Propriedade Arquimediana de Z) Dados a, b Z com b = 0 , existe n Z tal que n b
∈
∈ · ≥ a. Demonstra¸c˜ao: Como b = 0, ent˜ao | b |> 0 e logo | b |≥ 1. Como | a | ≥ 0, por OM, temos | a | · | b | ≥| a | ·1 =| a | ≥ a. Se b > 0, tome n =| a | , ent˜ao n · b =| a | · | b | ≥ a. Se b < 0, tome n = − | a | , ent˜ao
·
·
·
·
n b = − | a | b =| a | (−b) =| a | | b |
≥ a.
Proposi¸c˜ao 15 (Propriedade Arquimediana de Q) Dados a, b Q com b = 0 , existe n Z tal que n b
∈
Demonstra¸c˜ao: Escrevemos a = r = 0 .
c d
∈
e b =
r s
· ≥ a. com c, d, r, s ∈ Z, d > 0, s > 0 e
· · · · ≥ ·
Consideremos os inteiros r d = 0 e c s . Pela propriedade arquimediana de Z, existe n Z tal que n (r d) c s.
·
∈
Como s d > 0, ent˜ao
·
n b = n
·
r s
= n
·
r·d = n s·d
1 s·d
>0e
1 s·d
· (r · d) · ≥ c · s ·
1 s·d
=
c·s d·s
=
c d
= a .
Exerc´ıcios 1. Demonstre as propriedades do valor absoluto num anel ordenado A. 2. Seja A um anel ordenado. Mostre que:
≤ b + c, ent˜ao a ≤ b. (b) Se a ≤ b e c ≤ d, ent˜ao a + c ≤ b + d. (c) Se a ≤ b e c ≤ 0, ent˜ao a · c ≥ b · c. (a) Se a + c
(d) Se a < b e b < c, ent˜ao a < c. U F F
68
M.L.T.Villela
An´ eis ordenados e an´eis bem ordenados PARTE 2 -
(e) Se a < b e b
SEC ¸ ˜ AO 4
≤ c, ent˜ao a < c.
(f) Se a < b, ent˜ao a + c < b + c, para todo c.
≥ 0 e b ≤ 0, ent˜ao a · b ≤ 0. (h) Se a ≤ 0 e b ≤ 0, ent˜ao a · b ≥ 0. (g) Se a
3. Seja A um dom´ınio ordenado. Mostre que:
·
· (b) Se a · c ≤ b · c e c > 0, ent˜ao a ≤ b. (c) Se a · c ≤ b · c e c < 0, ent˜ao a ≥ b. (a) Se a < b e c > 0, ent˜ao a c < b c.
4. Seja A um dom´ınio ordenado. Mostre que: (a) Se a = 0 , ent˜ao a2 > 0.
(b) 1 > 0 e −1 < 0. 5. Seja A um dom´ınio ordenado.
∈ A, | a | ´e o u´nico elemento x ≥ 0 tal √ (b) Para a ≥ 0, definimos o s´ımbolo a ∈ A como o u´nico x ∈ A, tal que x ≥ 0 e x = a , se tal elemento existe. √ √ √ Mostre que se a ≥ 0 e b ≥ 0 e a e b existem, ent˜ao a · b √ √ √ existe e a · b = a · b. √ (c) Mostre que | a |= a , para todo a ∈ A. 6. Seja A um dom´ınio bem ordenado e sejam a, b ∈ A. Mostre que se a · b = 1 , ent˜ao a = b = 1 ou a = b = −1. 7. Seja A um dom´ınio e suponhamos que existe P ⊂ A tendo as seguintes (a) Mostre que para cada a que x2 = a 2. 2
2
propriedades:
∈
∈ P
∈ P e essas trˆes
(a) Para cada x A, temos x , ou x = 0 , ou −x possibilidades s˜ao mutuamente excludentes. (b) Se x
∈ P e y ∈ P , ent˜ao x + y ∈ P e x · y ∈ P .
Mostre que A ´e um dom´ınio ordenado com a seguinte rela¸ ca˜o de ordem: para a, b
∈ A, a < b
⇐⇒
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b − a
∈ P. 69
U F F
An´ eis ordenados e an´eis bem ordenados
8. Mostre que se A ´e um dom´ınio ordenado, ent˜ ao
P = {x ∈ A ; x > 0} tem as propriedades (a) e (b) do exerc´ıcio anterior. Conclua que a rela¸ca˜o de ordem de um dom´ınio ordenado est´ a perfeitamente determinada pelo conjunto dos elementos positivos. 9. Seja A um anel ordenado. Dizemos que um subconjunto T de A ´e limitado superiormente se, e somente se, existe a A, tal que, para todo t T , temos t a. Dizemos que um subconjunto T de A tem maior elemento se, e somente se, existe t 0 T , tal que, para todo t T , temos t t0.
∈
∈
≤
∈
≤
∈
Seja A um dom´ınio ordenado. Mostre que A ´e bem ordenado se, e somente se, todo subconjunto T de A limitado superiormente tem maior elemento. Sugest˜ao: O conjunto S = {−t ; t
U F F
∈ T } ´e limitado inferiormente.
70
M.L.T.Villela
Indu¸c˜ ao PARTE 2 -
SEC ¸ ˜ AO 5
Indu¸ c˜ ao Uma t´ecnica muito utilizada em demonstra¸ c˜oes ´e o Princ´ıpio de Indu¸cao ˜ Finita . Apresentaremos este conceito e mostraremos que ´e conseq¨ uˆencia do umeros inteiros Z. Axioma da Boa Ordena¸cao ˜ do dom´ınio dos n´ Consideremos, para n Observamos que: 0 = 3 0 < 1 = 2 0
· 3 = 3 · 1 > 2 = 2 6 = 3 · 2 > 4 = 2 9 = 3 · 3 > 8 = 2 12 = 3 · 4 < 16 = 2 15 = 3 · 5 < 32 = 2 1 2 3
4 5
∈ N, a seguinte afirma¸c˜ao P(n): = = = = = =
⇒⇒ ⇒⇒ ⇒⇒
3n < 2n.
P(0) ´e verdadeira P(1) ´e falsa P(2) ´e falsa P(3) ´e falsa P( 4) ´e verdadeira P(5) ´e verdadeira
Na verdade, para todo n 4 ´e v´alida a desigualdade 3n < 2n. Podemos demonstrar essa desigualdade, usando o princ´ıpio da indu¸ c˜ao finita.
≥
O m´etodo de demonstra¸ca˜o por indu¸ca˜o finita consiste de se especificar uma afirma¸ca˜o ou proposi¸c˜ao P (n), dependendo de n´ umeros inteiros n n0, tais que P(n) pode ser verdadeira ou falsa. O princ´ıpio assegura que para a validade de P(n), para todo n n0, basta mostrar que:
≥
(i) P(n0) ´e verdadeira; (ii) para cada n
≥
≥ n , se P(n) ´e verdadeira ent˜ao, P(n + 1) ´e verdadeira. 0
Proposi¸c˜ao 16 (Princ´ıpio de Indu¸c˜ao Finita - 1a forma) Suponhamos que para cada inteiro n n 0 temos uma afirma¸ca˜o P(n), tal que: (i) P(n0) ´e verdadeira; (ii) para cada n n0, se P(n) ´e verdadeira, ent˜ao P(n + 1) ´e verdadeira. Ent˜ao, para todo n n0, a afirma¸ca˜o P(n) ´e verdadeira.
≥
≥
≥
Demonstra¸c˜ao: Seja P (n) uma afirma¸ca˜o, para n (i) e (ii) do enunciado. Consideremos S = { n
≥ n , tendo as propriedades 0
∈ Z ; n ≥ n e P (n) ´e falsa }. 0
Vamos mostrar que S = .
∅
71
Instituto de Matem´ atica
U F F
Indu¸c˜ ao
∅
Suponhamos, por absurdo, que S = . Como S ´e um subconjunto dos inteiros limitado inferiormente, pelo axioma da boa ordena¸ ca˜o, existe s 0 S, o menor elemento de S. Ent˜ao, s0−1 S, s0 n0 e, como P (n0) ´e verdadeira, temos que s0 > n0. Portanto, P(s0 − 1) ´e verdadeira com s 0 − 1 n0 e, pela propriedade (ii), conclu´ımos que P (s0) ´e verdadeira, contradizendo o fato que s0 S.
∈
∈
≥
≥
∈
Na verifica¸ca˜o da propriedade (ii), quando supomos a afirma¸ ca˜o P(n) verdadeira, chamamos de hip´ otese de indu¸ca˜o. Exemplo 29 Vamos mostrar a validade da desigualdade 3n < 2n, para todo n Seja P(n) : 3n < 2n, para n
≥ 4.
≥ 4.
J´a vimos que P( 4) ´e verdadeira.
≥
Seja n 4 e suponhamos P(n) verdadeira. Vamos mostrar que P(n + 1 ) tamb´em ´e verdadeira. Temos Em (1) usamos a hip´ otese de n indu¸ c˜ ao: 2 > 3n e OM. Em (2) usamos que n ≥ 4 e, por OM, 3n ≥ 12.
(1)
2n+1 = 2 2n > 2 (3n) = 3n + 3n
·
·
(2)
OA
≥ 3n + 12 > 3n + 3 = 3(n + 1).
Portanto, P(n + 1) ´e verdadeira. Logo, P(n) ´e verdadeira, para todo n Exemplo 30 A soma dos n primeiros n´ umeros inteiros positivos ´e Seja P(n) a igualdade 1 + 2 + Para n = 1 temos 1 =
1·2 . 2
· · · + n =
n(n+1) , 2
n(n+1) . 2
para n
Logo, P(1) ´e verdadeira.
≥ 1.
≥
Seja n 1 e suponhamos P(n) verdadeira, isto ´e, 1 + 2 + Vamos mostrar que a igualdade vale para n + 1. Temos: Em (1) usamos a hip´ otese de indu¸ c˜ ao.
(1 +
(1) n(n+1) 2
· · · + n) + n + 1 =
+ n + 1 =
· · · + n =
n(n+1)+2(n+1) 2
=
n(n+1) . 2
(n+1)(n+2) . 2
Portanto, P(n + 1) ´e verdadeira. Logo, P(n) ´e verdadeira para todo n Exemplo 31 Seja f(x) = x1 , para x
(n)
∈ R\{0}. Para todo n ≥ 1, temos f ′
De fato, para n = 1 , a derivada de f(x) ´e f (x) = ´e verdadeira. Seja n U F F
(n)
≥ 1 e suponhamos que f
(x) =
(−1)n n! . xn+1
72
M.L.T.Villela
−1 x2
≥ 4.
=
Ent˜ao,
(x) =
(−1)1 ·1! x1+1
≥ 1.
(−1)n n! . xn+1
e a igualdade
Indu¸c˜ ao PARTE 2 -
(1)
f(n+1)(x) =
(2)
=
d (f(n)(x)) dx (−1)n n! d dx xn+1
Em (1) usamos a defini¸ca ˜o de derivada de ordem n + 1, em (2) usamos a hip´otese de indu¸ c˜ a o e em (3), as f´ ormulas de deriva¸c˜ ao.
(3)
= (−1)nn!(−n − 1)x−n−2 =
SEC ¸ ˜ AO 5
(−1)n+1 (n+1)! xn+2
Logo, a igualdade vale para n + 1. Portanto, a igualdade vale para todo n
≥ 1.
Agora apresentamos a segunda formula¸ca˜o do princ´ıpio de indu¸ca˜o. Proposi¸c˜ao 17 (Princ´ıpio de indu¸c˜ao finita - 2a forma) Suponhamos que para cada inteiro n ˜o P(n), tal n0 temos uma afirma¸ca que: (i) P(n0) ´e verdadeira; (ii) Para cada n > n0, se P(k ) ´e verdadeira para n0 k < n, ent˜ao P(n) ´e verdadeira. Ent˜ao, a afirma¸ca˜o P(n) ´e verdadeira para todo inteiro n n0. Demonstra¸c˜ao: Seja P (n) uma afirma¸ca˜o, para n n0, tendo as propriedades (i) e (ii) do enunciado.
≥
≤
≥
≥
∈ Z ; n ≥ n e P (n) ´e falsa}. Vamos mostrar que S = ∅. Suponhamos, por absurdo, que S = ∅. Ent˜ao, S ´e um subconjunto n˜aoSeja S = { n
0
vazio de inteiros limitado inferiormente e, pelo axioma da boa ordena¸ c˜ao, S tem um menor elemento, digamos s0. Como s0 n0 e P(n0) ´e verdadeira, ent˜ao s 0 > n0. Portanto, s0 − 1 n0 e, pela escolha de s0, para todo inteiro k com n0 < k s0 − 1, temos k S, o que significa que P(k ) ´e verdadeira. Pela propriedade (ii), P(s0) ´e verdadeira, contradizendo o fato que s0 S.
≥
≥ ∈
≤
∈
Exemplo 32 Seja xn uma seq¨ uˆencia definida por: x1 = 1 , x2 = 3 e xn = x n−1 + xn−2, para todo n
Vamos mostrar que xn < De fato, x1 = 1 < Seja n
7 4
7 n , 4
e x2 = 3 <
≥ 3 e suponhamos x < k
para todo n 49 16
=
7 k , 4
7 2 . 4
≥ 3.
≥ 1.
para todo k tal que 1
≤ k < n. Ent˜ao, 73
Instituto de Matem´ atica
U F F
Indu¸c˜ ao
(1)
xn = x n−1 + xn−2 < = = Em (1) usamos a hip´otese de indu¸ ca ˜o e em (2), a desigualdade 11 < 49 e OM. 4 16
(2)
< = =
7 n−1 4 7 n−2 4 7 n−2 4
7 n−2 4
· · · 7 n−2 4 7 n−2 4 7 n 4
+
7 + 1 4 11 4
49 16
7 2 4
Pela transitividade da rela¸c˜ao de ordem, temos xn < desigualdade ´e verdadeira para n. Logo, a desigualdade ´e verdadeira para todo n
7 n . 4
Portanto, a
≥ 1.
Exerc´ıcios 1. Para n
≥ 0 seja P(n) : n
2
+ 5 > 6n.
(a) Verifique que P(0) ´e verdadeira e P(1), P(2), P(3), P( 4) e P(5) s˜ ao falsas. (b) Mostre, por indu¸ ca˜o sobre n, que n2 + 5 > 6n, para todo n 2. Mostre, por indu¸ca˜o sobre n: 2
· · · + (2n + 1) = (n + 1) ; ; + 3 + · · · + n = ; + 3 + · · · + n = + 3 + · · · + n =
(a) 1 + 3 + 5 + (b) 12 + 22 3
3
(c) 1 + 2
(d) 14 + 24
2
2
n(n+1)(2n+1) 6
3
3
4
4
n(n+1) 2
2
n(n+1)(2n+1)(3n2 +3n−1) . 30
3. Mostre, por indu¸ca˜o sobre n: (a) 2n
≥ 1 + n, para todo n ≥ 1; (b) 2n − 3n + n + 31 ≥ 0, para todo n ≥ −2; (c) n! ≥ 2 , para todo n ≥ 4; (d) n! ≥ 3 , para todo n ≥ 7; (e) n! ≥ 4 , para todo n ≥ 9; (f) n + 3 < 5n , para todo n ≥ 1; (g) n < 2 , para todo n ≥ 5. 3
2
n n n
2
2
U F F
n
74
M.L.T.Villela
≥ 6.
Indu¸c˜ ao PARTE 2 -
SEC ¸ ˜ AO 5
∈ N com n ≥ 1.
4. Seja A um anel comutativo com unidade 1A. Seja n Definimos an =
Para quaisquer a, b mostre que:
, se n = 1
a
a an−1 , se n > 1
·
∈ A\{0} e m, n ∈ N tais que m ≥ ≥ 1 e n ≥ 1,
(a) am an = a m+n.
·
(b) (am)n = a m·n. (c) an bn = (a b)n.
·
·
(d) Se a = 0, definimos a 0 = 1 A e se a ´e inve nvert´ıve ıvel e n < 0, definimos definimos an = (a−1)−n.
Mostre que se a, b s˜ao ao invert´ıveis ıveis em A, ent˜ ao ao as igualdades dos itens anteriores valem em Z. 5. Seja x R. Mostre Mostre que que xn − 1 = (x − 1 )(xn−1 + xn−2 + para todo n 2.
∈
≥ 6. Sejam a , r ∈ R. Para cada n ≥ 2, definimos a 1
· · · + x + 1),
n = a n−1 +
r.
A sequˆ seq uˆencia enc ia a1 , . . . , an ´ e uma progress˜ ao ao aritm´ ari tm´etica. etic a.
(a) Mostre, Mostre, por indu¸ indu¸ c˜ cao a˜o sobre n, que an = a 1 + ( n − 1)r. (b) Se Sn = a1 + a 2 + n(a1 +an ) . Sn = 2 7. Sejam a1, q
·
· · · + a
n mostre,
∈ R, com q = 0 e q = 1.
por indu¸c˜ c˜ao ao sobr so bree n, que
Para ara cada cada n
an = a n−1 q.
≥ 2, definimos
(a) Mostre, Mostre, por indu¸ indu¸ c˜ cao a˜o sobre n, que an = a 1 qn−1.
·
(b) Se Sn = a1 + a 2 + Sn = anq·q−−1a1 .
·· · · · + a
n mostre,
n m
≥
∈ ∈ N, com n ≥ m ≥ ≥ 1, temos = 1 . n! = n (n − 1) · . . . · 1, 0! = 1 e
8. Para n, m
por indu¸c˜ c˜ao ao sobre n, que
=
n! , (n−m)!m )!m!
A sequˆ seq uˆencia enc ia a1 , . . . , an ´ e uma progress˜ ao ao geom´etrica. etri ca.
≥ 1 ,
onde n
n 0
(a) Mostre a seguinte seguinte igualdade igualdade n m−1
+
n m
=
n+1 m
, para todo n
(b) Mostre, Mostre, por indu¸ indu¸ c˜ cao a˜o sobre n , que todo n 1, n m 0.
≥
n m
1en
≥ m ≥ 1.
Essa igualdade igualda de ´ e conhecida como rela¸c˜ cao a ˜o de Stifel.
´e um numero u´mero natural, para
≥ ≥
75
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Indu¸c˜ ao
(c) Seja A um anel comutativo com unidade. Para quaisquer x, y e para todo n 1, mostre que
≥
Na express˜ ao ao do somat´ orio orio ao lado, convenciona-se escrever yn = x0 yn e xn = y0 xn .
n
=
n n−1
(x + y)n = xn +
i=0
xn−1 y1 +
n n−i i x y i
9. Seja A um dom´ dom´ınio ordenado orde nado e seja c Desigualdade de Bernoulli
U F F
n n−2
xn−2 y2 +
···+
M.L.T.Villela
x1 yn−1 + yn
∈ A, tal que c ≥ −1.
Mostre Mostre que, que, para todo n´ umero umero natural positivo n, (1 + c)n
76
n 1
∈A
≥ 1 + nc.
Divis˜ Divi s˜ ao ao euclidi eucl idiana ana PARTE 2 -
SEC ¸ ˜ AO 6
Divi Divis˜ s˜ ao ao eucl eu clid idia iana na Vamos estudar estud ar propriedade propr iedadess espec´ e spec´ıficas ıficas do dom d om´´ınio bem ordenado orden ado dos inteiros. A divis˜ao ao no dom´ınio ınio dos inteiro inte iross nem sempre sem pre ´e exata, exa ta, ´e poss po ss´´ıvel fazer faz er a divis˜ao ao com “resto pequeno”. Teorema 1 (Divis (D ivis˜˜ao ao eucli e uclidian diana) a) Dados inteiros a, b com b = 0 existem inteiros q e r, unicamente determinados, tais que:
·
a = b q + r, onde 0
≤ r <| b |.
Demonstra¸c˜ao: Consideremos o conjunto = { x S = {
∈ N ; x = a − b · n, para algum n ∈ Z}.
a˜o-vazio pois, pela propriedade arquimediana dos inteiros, existe S ´e nao-vazio
·
≥
· ≥ ⊂
∈
um inteiro n0 tal que n0 (−b) −a, logo x = a − n0 b 0 e x S. Al´em disso, S ´e limitado inferiormente pois, por constru¸ c˜ cao, a˜o, S N. Pelo princ´ pri nc´ıpio ıpio da boa ordena¸c˜ cao, a˜o, S tem menor elemento r.
·
Portanto, r = a − b q, para algum q Vamos mostrar que r <| b | .
∈ Z e, como r ∈ S, temos r ≥ 0.
≥ ≤
Suponhamos, por absurdo, que r | b | . ´ claro que 0 m < r, pois | b | > 0. Portanto, Ent˜ao, ao, r =| | + m . E = | b | +
· = b · q+ | b | + m =
a = b q + r
se b > 0 · · = b · (q − 1) + m, se b < 0 b · q − b + m = Assim, 0 ≤ m = = a − b(q ± 1) ∈ S, com m < r, contradizendo o fato de
=
= b (q + 1) + m, b q + b + m =
r ser o menor elemento de S.
Agora vamos mostrar a unicidade de q e r. Suponhamos que
·
· ≤ r <| b | e 0 ≤ r <| b |. | − r ≤| b | . ≤ r − r <| b | −
a = b q1 + r1 = b q2 + r2, com 0
Ent˜ao, ao, − | b | < − r2
1
1
2
2
2
Portanto, − | b | < r1 − r2 <| b | , que ´e equivalente equi valente a | r 1 − r2 |<| b | .
·
Como b (q1 − q2) = r 2 − r1, ent˜ao ao | b | | q1 − q2 |= | =| r 1 − r2 | <| b | , com Portanto, | q 1 − q2 |= is to ´e, e, q1 = q2. | b | > 0. Logo, 0 | q 1 − q2 | < 1. Portanto, | = 0, isto Da´ı, ı, obte ob temo moss r1 = r 2
≤
77
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Divis˜ ao euclidiana
e0
≤
·
Na divis˜ao euclidiana do inteiro a pelo inteiro b = 0 , onde a = b q + r r <| b | , chamamos a de dividendo, b de divisor , q de quociente e r de
resto.
Exemplo 33 (1) Com a = 32 e b = 5 , temos q = 6 e r = 2 , pois 32 = 6 5 + 2.
·
·
(2) Com a = 27 e b = − 4, temos q = −6 e r = 3 , pois 27 = (−6) (− 4) + 3. O nosso sistema de numera¸ca˜o utiliza a base 10 e os algarismos 0, 1, umeros inteiros. Por exemplo, 2, . . . , 9 para descrever os n´ 2.347.568 = 2 0
6
× 10
+3
5
× 10
+ 4
4
× 10
+7
3
× 10
Em geral, a nan−1 . . . a1a0 = a n10n + an−110n−1 aj 9 e an = 0 .
≤ ≤
2
1
× 10 + 6 × 10 + 8 + · · · + a 10 + a , onde +5
Podemos representar os inteiros em uma base b similar, usamos os algarismos 0, 1, . . . , b − 1.
1
0
≥ 2 e, de maneira
Nos computadores ´e utilizado o sistema de numera¸ c˜ao de base 2, com os algarismos 0, 1. Nesse sistema de numera¸ca˜o temos que 101011 ´e a representa¸ca˜o do n´ umero 25 + 23 + 21 + 1 = 43 . Teorema 2 Dados inteiros a, b com a 0 e b > 1, existem naturais a0, a1, . . . , an, . . ., determinados de modo u´nico, tendo as seguintes condi¸c˜oes:
≥
(i) existe um n´umero natural m tal que an = 0 , para todo n
≤ a < b; + · · · + a b + · · · .
(ii) para todo n, temos que 0 (iii) a = a 0 + a1b + a2b2
≥ m ;
n
n
n
Quando a > 0, escrevemos (a)b = a mam−1 . . . a1a0, onde m ´e o maior ´ındice tal que am = 0 .
Demonstra¸c˜ao: Fixemos b > 1. Consideremos S = { x
∈ N ; x tem as condi¸co˜es do enunciado } .
Vamos mostrar que S = N, que ´e equivalente a mostrar que S′ , seu complementar em N, ´e o conjunto vazio. Suponhamos, por absurdo, que S′ = . Como S′ N, S′ ´e limitado inferiormente. Pelo princ´ıpio da boa ordena¸ ca˜o, S′ tem menor elemento c e c > 0, pois 0 S.
∅
⊂
∈
·
Pela divis˜ao euclidiana de c por b , temos c = b q + r, onde 0 Observamos que 0 < q < c e logo, q q = a 1 + a2b + U F F
′
≤ r < b.
∈ S , isto ´e, q ∈ S. Portanto,
···+a
78
M.L.T.Villela
mb
m−1
,
Divis˜ ao euclidiana PARTE 2 -
SEC ¸ ˜ AO 6
≤ a < b, para j = 1, . . . , m. Tomando a = r , temos c = b · q + r = a + a b + a b + · · · + a b , com 0 ≤ a < b e j = 0, 1, . . . , m. com a1, . . . , am, unicamente determinados e 0 0
j
0
1
2
2
m
m
j
Suponhamos que:
c = a ′ 0 + q′ b com 0
′
≤a
0 <
b e q′ = a ′1 + a′ 2b +
···+a
′
nb
n−1
.
Pela unicidade do quociente e do resto na divis˜ ao euclidiana de c por b , temos que a′ 0 = a 0 e q ′ = q. Como q S, temos a unicidade de a 1, . . . , am. Logo, n = m e a′ j = aj, para j = 1, . . . , m. Portanto, c S, contradizendo o fato de c S′ = N\S. Logo, S′ ´e vazio e S = N.
∈
∈
∈
Exemplo 34 Vamos escrever 26 na base 2, isto ´e, vamos determinar (26)2. Procuramos a maior potˆencia de 2 que n˜ao ultrapassa 26. Temos que 16 = 2 4 < 26 < 32 = 2 5. Fazemos a divis˜ao euclidiana de 26 por 24. Logo, 26 = 1 24 + 10.
·
Procuramos a maior potˆencia de 2 que n˜ao ultrapassa 10. Temos que 23 = 8 < 10 < 16 = 24. Fazemos a divis˜ ao euclidiana de 10 por 23. Logo, 10 = 1 23 + 2. Portanto,
·
26 = 1 24 + 1 23 + 0 22 + 1 21 + 0 = ( 26)2 = 11010
·
·
·
·
Exemplo 35 Qual o n´ umero a, sabendo que (a)3 = 1021 ?
⇒
Temos que a = 1 33 + 0 32 + 2 31 + 1 = 27 + 6 + 1 = 34 .
·
·
·
Exerc´ıcios
∈
≥
1. Sejam a, b Z com a 0 e b > 0. Mostre, por indu¸ca˜o sobre a, que existem inteiros q, r com 0 r < b, tais que a = q b + r.
≤
·
2. Determine q e r na divis˜ao euclidiana: (a) de a = 25 por b = 7 . (b) de a = 25 por b = −7. (c) de a = −25 por b = 7 . (d) de a = −25 por b = −7. 79
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Divis˜ ao euclidiana
(e) de a = 32 por b = 6 . (f) de a = 32 por b = −6. (g) de a = −32 por b = 6 . (h) de a = −32 por b = −6. (i) de a = 9 por b = 11 . (j) de a = 9 por b = −11. (k) de a = −9 por b = 11 . (l) de a = −9 por b = −11. 3. Se o quociente e o resto da divis˜ao euclidiana de a por b s˜ao, respectivamente, q e r, determine o quociente e o resto da divis˜ ao euclidiana de a por −b e de −a por b. 4. Quais os n´umeros inteiros que quando divididos por 4 d˜ao resto igual (a) a` metade do quociente;
(c) ao dobro do quociente;
(b) ao quociente;
(d) ao triplo do quociente.
5. Mostre, usando a divis˜ ao euclidiana, que todo n´ umero inteiro ´e da forma umeros da forma 2n s˜ao chamados pares 2n ou 2n + 1 com n Z. Os n´ e os da forma 2n + 1 s˜ao chamados ´ımpares . Mostre que:
∈
(a) a soma de dois n´ umeros pares ´e par; (b) a soma de dois n´ umeros ´ımpares ´e par; (c) a soma de um n´ umero par com um ´ımpar ´e ´ımpar; (d) o produto de dois n´ umeros ´e par, se um deles ´e par; (e) o produto de dois n´ umeros ´ımpares ´e ´ımpar; (f) o produto de dois inteiros consecutivos ´e par. 6. Seja a
∈ Z. Mostre que:
(a) se 2 divide a2 ent˜ao 2 divide a; (b) se 3 divide a2 ent˜ao 3 divide a. 7. Mostre que se a, b, c s˜ao trˆes inteiros consecutivos, ent˜ a o apenas um deles ´e divis´ıvel por 3. U F F
80
M.L.T.Villela
Divis˜ ao euclidiana PARTE 2 -
SEC ¸ ˜ AO 6
8. Mostre que se a, b, c, d s˜ao quatro inteiros consecutivos, ent˜ ao apenas um deles ´e divis´ıvel por 4. 9. Escreva uma propriedade que generaliza os dois exerc´ıcios anteriores e demonstre esta propriedade. 10. Dado o natural n e a base b, determine (n)b: (a) n = 123 e b = 8 ; (b) n = 123 e b = 5 ; (c) n = 123 e b = 3 ; (d) n = 123 e b = 2 . 11. Dada a base b e (n)b, determine o natural n: (a) b = 2 e (n)2 = 11011; (b) b = 3 e (n)3 = 21201; (c) b = 5 e (n)5 = 1432; (d) b = 4 e (n)4 = 1032.
81
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Divis˜ ao euclidiana
U F F
82
M.L.T.Villela
Parte 3 Dom´ınios principais
Nosso objetivo agora ´e introduzir os conceitos de ideal em an´ eis comutativos com unidade e dom´ınio principal, mostrando que em um dom´ınio principal vale a fatora¸c˜ao u ´nica. Come¸camos com a divisibilidade em an´eis comutativos com unidade e os conceitos de m´ aximo divisor comum e m´ınimo m´ ultiplo comum. Mostraremos a rela¸ca˜o entre ideais e mdc, no contexto dos dom´ınios principais. Faremos um estudo detalhado das propriedades do dom´ınio dos inteiros, discutindo a fatora¸c˜ao u´nica sob o ponto de vista dos dom´ınios principais. Abordaremos propriedades aritm´eticas do dom´ınio dos inteiros, estudaremos congruˆencias de inteiros, crit´erios de divisibilidade, analisaremos alguns tipos de equa¸co˜es diofantinas. Construiremos os an´eis Z n dos inteiros m´odulo n , como anel quociente de uma rela¸ca˜o de equivalˆencia no dom´ınio Z. Finalizaremos com o estudo de homomorfismos e isomorfismos de an´eis comutativos com unidade, mostrando que Z, a menos de isomorfismo, ´e o u ´nico dom´ınio bem ordenado.
Re fe rˆ en ci as
Sobre a aritm´etica dos umeros-Uma inteiros: N´ Introdu¸ c˜ ao a ` Matem´ atica de
C´ esar Polcino Milies e Sˆ onia Pitta Coelho. Editado pela Editora da Universidade de S˜ ao Paulo (Edusp), 2000. Para saber mais sobre an´ eis e o dom´ınio principal dos ´ inteiros: Curso de Algebra, Volume 1 de Abramo Hefez, Cole¸ c˜ ao Matem´ atica Universit´aria, Sociedade Brasileira de Matem´ atica (SBM), 1998. Sobre an´eis, extens˜oes alg´ebricas de corpos e ao a ` grupos: Introdu¸c˜ ´ Algebra de Adilson Gon¸calves, Projeto Euclides, IMPA, 2000.
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Divisibilidade PARTE 3 -
SEC ¸ ˜ AO 1
Divisibilidade Daqui por diante, consideramos apenas an´eis comutativos com unidade. Defini¸c˜ao 1 (M´ultiplo ou divisor) A. Dizemos que b ´e m´ Sejam a, b ultiplo de a se, e somente se, existe c A , tal que b = a c.
∈
∈
·
·
Quando a = 0 e b = a c dizemos que a divide b e escrevemos a | b. Nesse caso, dizemos que a ´e um divisor de b. Exemplo 1 No anel Z
× Z temos que (−2, 6) ´e m´ultiplo de (−1, 2), pois (−2, 6)
=
(−1, 2)(2, 3).
Proposi¸c˜ao 1 (Propriedades da divisibilidade) Seja A um anel comutativo com unidade 1A. Sejam a, b, c, d, b1, . . . , bn A . Valem as seguintes propriedades: (i) Se a = 0 , ent˜ao a | 0 e a | a . (ii) Se a = 0 , b = 0 , a | b e b | c , ent˜ao a | c . (iii) Se a = 0 , a | ( b + c) e a | b , ent˜ao a | c . (iv) se a = 0 , a | b 1, . . . , a | b n, ent˜ao a | ( b1c1 + + bncn), para quaisquer c1, . . . , cn A . (v) se u ´e invert´ıvel em A, ent˜ao u | a , para todo a A . (vi) Seja A um dom´ınio. Se a = 0 , c = 0 , a | b e c | d , ent˜ao a c | b d. Demonstra¸c˜ao:
∈
∈
···
·
(i) 0 = a 0 e a = 0 =
·
∈
·
·
Os elementos invert´ıveis dividem todos os elementos de um anel. Para cada elemento de um anel o interessante ´e determinar, caso existam, os seus divisores n˜ ao-invert´ıveis.
a | 0 ;
⇒ ⇒
a = a 1A e a = 0 =
a | a .
∈
A tais que (ii) Suponhamos que a | b e b | c. Ent˜ao, existem c1, c2 b = a c1 e c = b c2. Logo, c = (a c1) c2 = a (c1 c2), com c1 c2 A . Ent˜ao, a | c .
·
·
· ·
· ·
∈
· ∈ ·
(iii) Se a | ( b + c) e a | b , ent˜ao existem c1, c2 A tais que b + c = a c1 e b = a c2. Logo, c = a c1 − b = a c1 − a c2 = a (c1 − c 2). Portanto, a | c .
·
·
·
·
·
∈
·
(iv) Se a | b 1, . . . , a | b n, ent˜ao existem d1, . . . , dn A tais que bj = a dj para j = 1, . . . , n e, para quaisquer c1, . . . , cn A , temos
∈
n
j=1
n
·
bj cj =
· ·
(1)
(a dj) cj =
j=1
mostrando que a | ( b1 c1 +
·
n
·
·
(2)
a (dj cj) = a
j=1
n
·
·
dj cj ,
j=1
As igualdades (1) e (2) seguem, respectivamente, das propriedades M1 e AM em A.
· · · + b · c ). n
n
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Divisibilidade
∈
(v) Seja u invert´ıvel em A. Ent˜ao, para todo a A temos a = 1 A a = ( u u −1) a = u ( u −1 a), com u −1 a
·
·
·
·
·
· ∈ A.
Logo, u | a .
∈
Em (1) usamos as propriedades M1 e M2 da multiplica¸ ca ˜o do dom´ınio A.
·
(vi) Sejam A um dom´ınio e a, c A n˜ao-nulos. Ent˜ ao, a c = 0 . Suponhamos que a | b e c | d . Ent˜ao, existem c1, c2 A tais que b = a c1 e d = c c2.
∈ · · Logo, b · d = (a · c ) · (c · c ) = (a · c) · (c · c ). Portanto, a · c | b · d. (1)
1
2
1
2
Proposi¸c˜ao 2 Sejam A um dom´ınio, a, b A n˜ao-nulos. Ent˜ ao, a | b e b | a se, e somente se, existe um invert´ıvel u A tal que b = u a.
∈ ∈
Demonstra¸c˜ao:
·
·
( =:) Se b = u a com u invert´ıvel em A, ent˜ao ´e claro que a | b e escrevendo a = u −1 b, vemos que b | a . (= :) Suponhamos que a | b e b | a. Ent˜ao, existem u, v A tais que b = u a e a = v b. Logo,
⇐ · ⇒·
Em (1) usamos M1, em (2), a Lei do cancelamento num dom´ınio e em (3), a defini¸ca ˜o de invert´ıvel.
·
∈
·
·
· ·
1A b = b = u a = u ( v b)
(1)
=
(2)
=
⇒⇒
(3)
=
· ·
( u v) b
·
1A = u v
ao invert´ıveis em A . u, v s˜
´ muito importante saber quem s˜ E ao os elementos invert´ıveis num anel com unidade. Em exerc´ıcios anteriores, vocˆe j´ a determinou A∗ = { a
∈ A ; a ´e invert´ıvel em A}.
Exemplo 2 (a) Se A = Z, ent˜ao Z∗ = { 1, −1}. (b) Se K ´e um corpo, ent˜ao K∗ = K \{0}. Em particular, Q∗ = Q\{0}, R∗ = R\{0} e C∗ = C\{0}. (c) Os invert´ıveis em Z[i ] s˜ ao 1, −1, i, −i. (d) Em R [x ], o anel dos polinˆ omios com coeficientes reais, temos R [x ]∗ = R∗ . Em K[x ], o anel de polinˆ omios com coeficientes no corpo K, temos que ∗ K[x ] = K ∗ = K \{0}. Prove, por indu¸ca ˜o sobre ca ˜o. n 0, a afirma¸
≥
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∈ Z, temos que
(e) Para qualquer n
√ −1 + 2
n
A proposi¸ca˜o anterior motiva a seguinte defini¸ ca˜o.
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√
´e invert´ıvel em Z[ 2 ].
Divisibilidade PARTE 3 -
SEC ¸ ˜ AO 1
Defini¸c˜ao 2 (Associado) Sejam A um anel comutativo com unidade e a, b A. Dizemos que a ´e associado a b se, e somente se, existe um invert´ıvel u em A , tal que b = u a.
∈
·
Vamos ver algumas propriedades interessantes do anel dos inteiros. Corol´ario 1 Se a, b Z s˜ a o n˜ ao-nulos, a | b e b | a , ent˜ao b = a ou b = −a.
∈
Demonstra¸c˜ao: Os invert´ıveis de Z s˜ao 1 e −1, logo b = a ou b = −a.
Proposi¸c˜ao 3 Sejam a, b Z com b = 0 . Se a | b , ent˜ao 1
≤ | a | ≤ | b |. Demonstra¸c˜ao: Como | a | ≥ 0 e a = 0, temos que | a | ≥ 1. Al´em disso, a | b e b ao existe c = 0 , ent˜ = 0 , tal que b = a · c e tamb´em | c | ≥ 1 . Pela propriedade OM, temos | a | · | c | ≥ | a | ·1 =| a | ≥ 1 . Assim, ∈
·
·
| b |=| a c |=| a | | c |
≥ | a | ≥
1.
Defini¸c˜ao 3 (M´aximo Divisor Comum) Sejam a1, . . . , an elementos de um anel A , comutativo com unidade. Dizemos que d A ´e um m´ aximo divisor comum (mdc) de a1, . . . , an se, e somente se, (i) d | a 1, . . . , d | a n, isto ´e, d ´e um divisor comum de a1, . . . , an; (ii) para todo c A , tal que c | a 1, . . . , c | a n, temos que c | d .
∈
∈
Proposi¸c˜ao 4 Seja d A um mdc de a1, . . . , an se, e somente se, d | d ′ e d′ | d .
∈
∈ A.
Ent˜ ao, d′ ´e um mdc de a1, . . . , an
Demonstra¸c˜ao: (= :) Suponhamos que d′ ´e um mdc de a1, . . . , an. Pela propriedade (ii) do mdc, todo divisor de a1, . . . , an divide d′ . Como d ´e um divisor comum de a1, . . . , an, ent˜ao d | d′ . De modo an´ alogo, usando que d ´e um mdc de a1, . . . , an e d′ ´e um divisor comum de a1, . . . , an, obtemos que d′ | d .
⇒
( =:) Suponhamos que d ´e um mdc de a1, . . . , an, d | d ′ e d′ | d .
⇐
Vamos mostrar as propriedades (i) e (ii) da defini¸ca˜o do mdc para d′ .
Como d′ | d e d | a 1, . . . , d | a n, pelo item (ii) da Proposi¸ca˜o 1, temos d′ | a 1, . . . , d′ | a n, mostrando a propriedade (i). 87
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Divisibilidade
Seja c um divisor de a1, . . . , an. Como d ´e um mdc, pela propriedade (ii) do mdc, c | d. Ent˜ao c | d, d | d′ e, novamente, pelo item (ii) da Proposi¸ca˜o 1, conclu´ımos que c | d ′ , mostrando a propriedade (ii). Corol´ario 2 Se A ´e um dom´ınio, ent˜ao dois m´aximos divisores comuns de a1, . . . , an s˜ao associados. Demonstra¸c˜ao: Sejam d e d′ m´aximos divisores comuns de a1, . . . , an. Pela Proposi¸ca˜o anterior, d | d′ e d′ | d. Pela Proposi¸ca˜o 2, existe um invert´ıvel ao associados. u A , tal que d′ = u d, significando que d e d′ s˜
∈
·
Observa¸c˜ao: Em Z se d ´e um mdc, ent˜ ao − d tamb´em ´e um mdc e um deles ´e positivo. Denotaremos o m´ aximo divisor comum positivo por mdc(a1, . . . , an). Para entendermos a origem do nome mdc, note que se c | a1, . . . , c | an, ent˜ao c | mdc (a1, . . . , an). Assim, c
≤ | c | ≤
mdc(a1, . . . , an)
mostrando que no dom´ınio dos inteiros mdc(a1, . . . , an) ´e o maior dos divisores comuns de a1, . . . , an. Exemplo 3 Algumas propriedades interessantes no dom´ınio bem ordenado dos inteiros: (a) Se a = 0 , ent˜ao mdc(0, a) =| a | . (b) mdc(0, 0) n˜ao existe. (c) Se a divide b, ent˜ao mdc(a, b) =| a | .
Defini¸c˜ao 4 (M´ınimo m´ultiplo comum) Um elemento m de um anel A, comutativo com unidade, ´e um m´ınimo m´ ultiplo comum dos elementos a1, . . . , an em A se, e somente se, valem as seguintes propriedades: (i) m ´e m´ ultiplo comum de a1, . . . , an. (ii) Para todo c A que ´e m´ ultiplo comum de a 1, . . . , an, ent˜ao c ´e m´ ultiplo de m .
∈
De modo an´alogo ao mdc, temos o seguinte resultado. Corol´ario 3 Se A ´e um dom´ınio, ent˜ ao dois m´ınimos m´ultiplos comuns de a1, . . . , an s˜ao associados. U F F
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Divisibilidade PARTE 3 -
Observa¸c˜ao: Em Z se m ´e um mmc, ent˜ ao − m tamb´em ´e um mmc e um deles ´e n˜ ao-negativo. Denotaremos o m´ınimo m´ ultiplo comum n˜ ao-negativo por mmc(a1, . . . , an). Observamos que se para algum j = 1, . . . , n temos a j = 0 , ent˜ao mmc(a1, . . . , an) = 0 . Reciprocamente, se mmc(a1, . . . , an) = 0 , como Z ´e um dom´ınio, ent˜ao temos aj = 0 , para algum j = 1, . . . , n. Suponhamos que aj = 0 , para todo j = 1, . . . , n. Nesse caso, m = mmc (a1, . . . , an) > 0 e se c = 0 ´e m´ ultiplo comum de a1, . . . , a n, ent˜ao existe a = 0 tal que c = a m . Como | a | 1, pela propriedade OM, temos | c |=| a | | m | | m |= m , mostrando que no dom´ınio dos inteiros quando mmc(a1, . . . , an) = 0 , ent˜ao o mmc ´e o menor inteiro positivo m´ ultiplo comum de a 1, . . . , an.
·
≥
≥
·
SEC ¸ ˜ AO 1
e m´ ultiplo c = a1 .. . an ´ comum de a1 , . . . , an , logo c´ e m´ ultiplo de m = mmc; portanto, se m = 0, ent˜ ao a1 . . . an = 0.
·
·
·
Em qualquer anel A, temos 0 = 0 a, para todo a A. Temos interesse no mmc quando mmc = 0.
·
∈
Exemplo 4 Algumas propriedades interessantes no dom´ınio bem ordenado dos inteiros: (a) Se a Z, ent˜ao mmc(0, a) = 0 . (b) Se a divide b, ent˜ao mmc(a, b) =| b | .
∈
Aprenderemos depois a determinar o m´ aximo divisor comum e o menor m´ultiplo comum de inteiros n˜ao-nulos, a partir da sua fatora¸ c˜ao u ´ nica. Agora vocˆe deve praticar as propriedades elementares da divisibilidade.
Exerc´ıcios 1. Seja A um anel comutativo com unidade. (a) Mostre que a seguinte rela¸ c˜ao bin´aria ´e uma rela¸ca˜ o de equivalˆencia em A a ´e associado a b
⇐⇒
existe invert´ıvel u A , tal que b = u a.
∈
·
∈
(b) Para cada anel A e elementos a, b A dados, determine a classe de equivalˆencia de a e de b. i. A = Z, a = 0 e b = 0 .
ii. A = Z[i ], a = 0 e b = 0 .
iii. A ´e um corpo, a = 0 e b = 0 . iv. A = R[x ], a = x e b = 2x − 1.
2. Sejam a, b, c elementos de um dom´ınio com a = 0 e c = 0 . Mostre que a | b se, e somente se, a c | b c.
·
·
3. Seja n um natural ´ımpar. Mostre que a soma de n termos consecutivos de uma progress˜ ao aritm´etica de n´ umeros inteiros ´e divis´ıvel por n. 4. Seja n um natural positivo. Mostre que dados n n´umeros naturais consecutivos apenas um deles ´e divis´ıvel por n. 89
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·
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Divisibilidade
5. Sejam m e n inteiros ´ımpares. Mostre que: (a) 8 | ( m 2 − n2)
(b) 8 | ( m 4 + n4 − 2)
6. Mostre que para todo n´ umero natural n, 9 divide 10n + 3 4n+2 + 5. 7. Seja A um anel comutativo com unidade. natural. Mostre que: (a) Para todo n
· Sejam a, b ∈ A e n um
≥ 2, temos
an − bn = (a − b)(an−1 + an−2 b +
·
· ·· + a · b
n−2
+ bn−1).
≥
(b) Para todo n = 2m + 1, com m 1 , temos a2m+1 + b2m+1 = (a + b)(a2m − a2m−1 b +
·
2m−1
···−a·b
+ b2m).
≥
(c) Para todo n = 2m , com m 1 , temos a2m − b2m = (a + b)(a2m−1 − a2m−2 b +
·
2m−2
···+a·b
− b2m−1).
8. Mostre que, para todo n´ umero inteiro positivo n, temos: (a) 9 | ( 10n − 1)
(d) 6 | ( 52n+1 + 1)
(g) 53 | ( 74n − 24n)
(b) 3 | ( 10n − 7n)
(e) 6 | ( 52n − 1)
(h) 19 | ( 32n+1 + 44n+2)
(c) 8 | ( 32n − 1)
(f) 13 | ( 92n − 42n)
(i) 17 | ( 102n+1 + 72n+1)
∈ Z[i ] ´e invert´ıvel se, e somente se, a
9. (a) Mostre que a + bi
2
+ b2 = 1 .
(b) Mostre que 1 + i, 1 − i, 2 − i e 2 + i n˜ao s˜ao invert´ıveis em Z[i ]. (c) Mostre que 1 + i e 1 − i s˜ ao associados em Z[i ]. (d) Mostre que 1 + i e 1 − i dividem 2 em Z[i ]. (e) Mostre que 2 + i e 2 − i n˜ao s˜ao associados em Z[i ] (f) Mostre que 2 + i e 2 − i dividem 5 em Z[i ].
∈
10. Sejam A um dom´ınio e a1, . . . , an A . Mostre que: (a) Se m e m ′ s˜ao m´ınimos m´ultiplos comuns de a1, . . . , an, ent˜ao m e m ′ s˜ao associados. (b) Se m ´e um m´ınimo m´ultiplo comum de a1, . . . , an e m ′ ´e associado de m , ent˜ao m ′ tamb´em ´e um m´ınimo m´ ultiplo comum de a1, . . . , an.
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Ideais e m´ aximo divisor comum PARTE 3 -
SEC ¸ ˜ AO 2
Ideais e m´ aximo divisor comum Veremos agora que o conceito de mdc est´ a relacionado com o conceito de ideais de um anel comutativo com unidade. Depois obteremos a fatora¸ c˜ao u ´ nica em dom´ınios de ideais principais. Defini¸c˜ao 5 (Ideal) Seja A um anel comutativo com unidade. Um subconjunto n˜ ao-vazio I de A ´e chamado de ideal se, e somente se, (i) se a, b I , ent˜ao a + b I ; (ii) se a I e x A , ent˜ao a x I .
∈
∈
∈
∈
· ∈
Observa¸c˜ao: Sejam A um anel comutativo com unidade 1 A e I um ideal de A . (a) Como I = , ent˜ ao existe b I e assim, pela propriedade (ii), ca˜ o de I = pode ser substitu´ıda por 0A = 0A b I. Logo, a condi¸ 0 I .
∈
∅ · ∈
∈
∅
Portanto,
⊂ A ´e um ideal de A
I
⇐⇒
∈
(i) 0 I (ii) a, b I = a + b I (iii) a A, b I = a b I
∈
∈
⇒∈ ⇒ ∈·
∈
(b) Se I ´e um ideal de A, da propriedade (iii) acima segue que para todo b I temos que −b = (−1A) b I . I, (c) Da observa¸ca˜o (b) e da propriedade (ii) acima temos que se a, b ent˜ao a − b = a + (− b) I .
∈
· ∈
∈
∈
Exemplo 5 Em qualquer anel comutativo com unidade, {0} e A s˜ ao ideais de A. Exemplo 6 Seja A um anel comutativo com unidade e fixe a seguinte subconjunto de A
·
∈ A.
Consideremos o
∈ A}.
I(a) = { a x ; x
Ent˜ao, I(a) ´e um ideal de A, chamado de ideal principal gerado por a. De fato, vamos verificar as trˆes propriedades da defini¸ c˜ao de ideal. (i) 0 = a 0 I (a). (ii) Se b, c I (a), ent˜ao existem x, y A tais que b = a x e c = a y, logo
· ∈ ∈
∈
·
·
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Ideais e m´aximo divisor comum
·
·
·
∈ A , temos que b + c ∈ I(a). (iii) Seja b ∈ A e c ∈ I(a). Ent˜ ao, c = a · x para algum x ∈ A e b · c = b · (a · x) = a · (b · x) ∈ I (a), pois b · x ∈ A . b + c = a x + a y = a (x + y). Como x + y
Usamos, na u ´ ltima igualdade, a associatividade e a comutatividade da multiplica¸ ca ˜o do anel A.
Agora podemos construir muitos exemplos. Exemplo 7 No dom´ınio dos inteiros temos:
Verifique que I(2) = I(−2).
· ∈ Z} = inteiros pares = 2Z; I(1) = { 1 · x = x ; x ∈ Z} = Z; I(−1) = {(−1) · x = −x ; x ∈ Z} = Z. I(2) = { 2 x ; x
Exemplo 8 Sejam A um anel comutativo com unidade e a, b A fixados. O conjunto
∈ I(a, b) = { a · x + b · y ; x, y ∈ A }
´e um ideal de A chamado de ideal gerado por a e b. De fato, valem as trˆes propriedades da defini¸ c˜ao de ideal:
·
· ∈
(i) 0 = a 0 + b 0 I (a, b). (ii) Se c, d I (a, b), ent˜ao existem x 1, y1, x2, y2 A tais que c = a x1 + b y1 e d = a x2 + b y2. Logo,
·
∈
∈
·
·
·
· · · · = (a · x + a · x ) + ( b · y + b · y ) = a · (x + x ) + b · ( y + y ), onde x + x , y + y ∈ A . Logo, c + d ∈ I (a, b). (iii) Se c ∈ I (a, b) e d ∈ A , ent˜ao existem x, y ∈ A tais que c = a · x + b · y e c · d = (a · x + b · y) · d = a · (x · d) + b · ( y · d) ∈ I (a, b). c + d = (a x1 + b y1) + (a x2 + b y2) 1
2
1
1
2
1
1
2
1
2
2
2
Exemplo 9 Sejam A um anel comutativo com unidade e a1, . . . , as conjunto
·
I(a1, . . . , as) = { a1 x1 +
∈ A fixados.
O
· · · + a · x ; x , . . . , x ∈ A} s
s
1
s
´e um ideal de A chamado de ideal gerado por a1, . . . , as. De fato, valem as trˆes propriedades da defini¸ c˜ao de ideal:
·
· ··
· ∈
+ as 0 I (a1, . . . , as). (i) 0 = a 1 0 + (ii) Se c, d I (a1, . . . , as), ent˜ao existem x1, . . . , xs, y1, . . . , ys A tais que c = a 1 x1 + + as xs e d = a y1 + + as ys. Logo,
·
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∈
···
·
·
· ··
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·
∈
Ideais e m´ aximo divisor comum PARTE 3 -
· · · · + a · x ) + (a · y + · · · + a · y ) = (a · x + a · y ) + · · · + (a · x + a · y ) = a · (x + y ) + · · · + a · (x + y ), onde x + y , . . . , x + y ∈ A . Logo, c + d ∈ I (a , . . . , a ). (iii) Se c ∈ I (a , . . . , a ) e d ∈ A , ent˜ao existem x , . . . , x ∈ A tais que c = a · x + · · · + a · x e c · d = (a · x + · · · + a · x ) · d = a · (x · d) + ·· · + a · (x · d) ∈ I (a , . . . , a ), pois x · d ∈ A , para todo j = 1, . . . , s. c + d = (a1 x1 +
s
s
1
1
s
s
s
s
(1)
1
1
1
1
s
s
(2)
1
1
1
s
s
s
1
s
1
s
1
1
s
s
1
1
1
s
1
SEC ¸ ˜ AO 2
Em (1) usamos a comutatividade e associatividade da adi¸ca ˜o. Em (2) usamos a distributividade da adi¸ca ˜o e multiplica¸ ca ˜o.
s
s
s
s
1
1
s
s
1
s
j
Defini¸c˜ao 6 (Ideal principal) Seja I ideal de um anel comutativo com unidade. Dizemos que I ´e principal se, e somente se, existe a A tal que I = I (a).
∈
Exemplo 10 Dados 2, 3 Z, consideremos o ideal de Z gerado por 2 e 3 definido no Exemplo 8, a saber,
∈
∈ Z}. Com x = 1 e y = 0 vemos que 2 = 2 · 1 + 3 · 0 ∈ I (2, 3). Analogamente, com x = 0 e y = 1 , temos 3 ∈ I (2, 3). Portanto, 1 = 3 − 2 = 2 · (−1) + 3 · 1 ∈ I (2, 3). Pela propriedade (iii) de um ideal, para todo a ∈ Z, temos a = a · 1 ∈ I(2, 3). Logo, Z ⊂ I (2, 3). Como I(2, 3) ⊂ Z, obtemos que I(2, 3) = Z = I (1) ´e um ideal principal. I(2, 3) = { 2x + 3y ; x, y
Na verdade, todo ideal de Z ´e principal, conforme veremos no pr´ oximo Teorema. No entanto, h´ a an´eis que tˆem ideais que n˜ ao s˜ao principais. Exemplo 11 Seja A = Z[x ] o dom´ınio dos polinˆ omios com coeficientes inteiros. Z[x ] = { a0 + a1x +
· · · + a
n nx
; aj
∈ Z, j = 0, . . . , n, e n ∈ N}.
Seja I = I (2, x), o ideal gerado por 2 e x. Afirmamos que I n˜ao ´e principal.
Com efeito, suponhamos, por absurdo, que I seja principal. Tomamos f(x) Z[x ] um gerador de I. Pela defini¸c˜ao de I(2, x), temos que 2 I e x I. Como I(2, x) = I(f(x)), ent˜ ao existem g(x), h (x) Z[x ] tais que 2 = f(x) g (x) e x = f(x) h (x). Pela propriedade do grau, temos: na primeira igualdade grau(f(x)) = grau(g(x)) = 0 e na segunda, grau(h (x)) = 1 . Portanto, f (x) = 1, g (x) = 2 e h (x) = x. Em qualquer dos casos, I = I (f(x)) = Z[x ], mas isto contradiz o fato de que 1 I = I (2, x).
∈
∈
∈
·
∈
·
±
±
±
2 = 2 1 + x 0 e
· · x = 2 · 0 + x · 1, com 0,1 ∈ Z ⊂ Z[x].
∈
93
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Ideais e m´aximo divisor comum
Teorema 1 Todo ideal I de Z e´ principal. Mais ainda, se I ´e um ideal n˜ ao-nulo de Z, ent˜ao I = I (d), onde d = min {x I ; x > 0}. Demonstra¸c˜ao: Se I = { 0}, ´e claro que ´e principal.
∈
Seja I = {0} um ideal de Z. Consideremos S = {x Afirmamos que S = .
∅
∈
∈I;
x > 0}.
De fato, existe a I tal que a = 0. Como a e −a est˜ao em I, ent˜ao um deles ´e positivo e est´ a em S N. Logo, S = .
⊂
∅
Pelo princ´ıpio da boa ordena¸ ca˜o, S tem menor elemento, digamos min S = d = 0 .
Lembre que . . .
Se B,C s˜ ao conjuntos, ent˜ ao B=C B C e C B.
⇐⇒
⊂
⊂
Afirmamos que I = I (d).
Com efeito, d S I , logo temos que I(d) = { d x ; x Z} I . Falta mostrar que I I (d). Seja a I . Pela divis˜ao euclidiana de a por d, existem q, r Z, tais que a = q d + r, com 0 r < d. Portanto, r = a − q d I . Pela escolha de d, temos que r = 0 , assim a = q d I (d).
∈
⊂
∈ ⊂ ·
∈
·
≤
· ∈
∈ ⊂
· ∈
Defini¸c˜ao 7 (Dom´ınio Principal) Um dom´ınio ´e chamado dom´ınio principal se, e somente se, todo ideal ´e principal. Corol´ario 4 Z ´e um dom´ınio principal. Exemplo 12 Outros exemplos de dom´ınios principais s˜ ao: K[x ], o anel de polinˆomios com coeficientes no corpo K, e Z[i ], o anel dos inteiros de Gauss. Exemplo 13 N˜a o s˜ao dom´ınios principais: Z[x ], o anel de polinˆomios com coeficientes inteiros e K [x, y ], o anel de polinˆomios em duas vari´aveis com coeficientes no corpo K. O nosso objetivo agora ´e mostrar a rela¸ c˜ao entre ideais e o m´ aximo divisor comum em um dom´ınio principal. Vamos, primeiramente, aprender mais algumas propriedades de ideais. Proposi¸c˜ao 5 Sejam a, b elementos n˜ a o-nulos de um anel A comutativo com unidade. Ent˜ao, I(a) = I (b) se, e somente se, a | b e b | a . U F F
94
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Ideais e m´ aximo divisor comum
SEC ¸ ˜ AO 2
PARTE 3 -
∈
Demonstra¸c˜ao: Sejam a, b A n˜ao-nulos. (= :) Suponhamos que I(a) = I (b).
⇒ ⇐
∈ I (a) = I(b) e b ∈ I (b) = I (a), ent˜ao existem u, v ∈ A , tais que a = u · b e b = v · a, mostrando que b | a e a | b . Como a
( =:) Suponhamos que a | b e b | a. Precisamos mostrar a igualdade dos ideais I (a) e I (b). Seja x I (a). Ent˜ao, x = y a, para algum y A . Como b | a, existe u A tal que a = u b, assim x = y ( u b ) = ( y u ) b, mostrando que x I(b) e logo, I(a) I(b). Tomando agora x I(b), usando que a | b e procedendo de maneira an´ aloga, mostramos que x I (a) e conclu´ımos que I(b) I (a).
∈
∈
·
∈
·
∈
· ·
⊂
⊂
· · ∈ ∈
Corol´ario 5 Sejam a, b elementos n˜ ao-nulos de um dom´ınio A. Ent˜ao, I(a) = I(b) se, e somente se, a e b s˜ao associados. Em particular, em Z temos I (a) = I (b) se, e somente se, a = b.
±
Lembre que . . .
ao conjuntos. I(a),I(b) s˜ Logo, I(a) = I(b)
e I(b)
⇐⇒
I(a)
⊂ I(a).
⊂ I(b)
Segue da Proposi¸ca ˜o 2 da Se¸ca ˜o 1.
Proposi¸c˜ao 6 Sejam A um dom´ınio principal e a1, . . . , as A nem todos nulos. Ent˜ ao, A um m´ existe d aximo divisor comum de a1, . . . , as A. Mais ainda, d = x 1 a1 + + xs as, para elementos x1, . . . , xs A .
·
∈
∈
···
·
∈
∈
Demonstra¸c˜ao: Consideremos o ideal de A gerado por a1, . . . , as. Como A ´e um dom´ınio principal, existe d A tal que I(a1, . . . , as) = I(d). Primeiramente, observamos que d = 0, pois aj I(a1, . . . , as) = I(d), para todo ao-nulo, logo I(d) = { 0} e d = 0 . j = 1, . . . , s, e um deles ´e n˜
∈
∈
Vamos mostrar que d ´e um mdc de a1, . . . , as.
∈
∈
·
Como a j I (a1, . . . , as) = I (d), ent˜ao existe λ j A tal que a j = λ j d. Assim, d | aj, para j = 1, . . . , s. Seja agora c A tal que c | a1, . . . , c | a s. Ent˜ao, para cada j = 1, . . . , s existe yj A tal que aj = y j c. Como d I (a1, . . . , as), existem x1, . . . , xs A tais que d = x 1 a1 + + xs as.
∈
∈
Logo, d =
j=1
· ···
·
·
Obtivemos ao lado que existem x1 , . . . , xs A tais
s
·
xj aj =
j=1
s
· ·
xj ( yj c) =
que d =
xj aj .
·
s
· ·
(xj yj) c =
j=1
·
xj yj
j=1
mostrando que c | d . Portanto, d ´e um mdc de a1, . . . , as. Corol´ario 6 Dados a 1, . . . , as
∈
s
j=1
s
∈
∈
· c,
∈ Z nem todos nulos existe mdc(a , . . . , a ). 1
s
95
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Ideais e m´aximo divisor comum
Exerc´ıcios 1. Seja A um anel comutativo com unidade. Sejam I e J ideais de A. (a) Mostre que I
∩ J ´e um ideal de A.
(b) Mostre que I + J ´e um ideal de A, onde
∈ I e y ∈ J}. (c) Mostre que I + J = I se, e somente se, J ⊂ I . (d) Mostre que I · J ´e um ideal de A, onde I · J = { x · y + · · · + x · y ; x ∈ I, y ∈ J, j = 1, . . . , n, e n ≥ 1 }. 2. Sejam 24, 30, 20 ∈ Z. Determine: I + J = { x + y ; x
Na express˜ ao ao lado, n varia, podendo ter os valores 1, 2, 3, . . .
1
1
n
n
j
j
(a) I(24, 30)
(d) I(20, 30)
(g) I(20) + I(24)
∩ I(30) (c) I(24) · I(30)
(e) I(20)
∩ I(30) (f) I(20) · I(30)
(h) I(20)
(b) I(24)
∩ I(24) (i) I(20) · I(24) Z n˜ao-nulos.
∈
3. Vamos generalizar o exerc´ıcio anterior. Sejam a, b Mostre que: (a) I(a, b) = I (d), onde d = mdc (a, b). (b) I(a, b) = I (a) + I(b).
∩ I(b) = I(m ), onde m = mmc(a, b). (d) I(a · b) = I (a) · I(b). 4. Sejam a , . . . , a ∈ Z. Mostre que I(a , . . . , a ) = I (a ) + · ·· + I(a ). (c) I(a)
1
s
1
s
1
s
5. Sejam A um anel comutativo com unidade e I um ideal de A. Mostre que I = A se, e somente se, existe invert´ıvel u u I .
∈ A tal que
∈
6. Seja A um anel comutativo com unidade. Mostre que A ´e um corpo se, e somente se, seus unicos ´ ideais s˜ao {0} e A.
∈
7. Seja A um anel comutativo com unidade e sejam a1, . . . , as A nem todos nulos, tais que I(a1, . . . , as) = I (d). Mostre que d ´e um mdc de a1, . . . , as. U F F
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Ideais e m´ aximo divisor comum PARTE 3 -
SEC ¸ ˜ AO 2
∈
8. Sejam A um anel comutativo com unidade e a1, . . . , as A . (a) Dado J ideal de A, mostre que:
⊂ J se, e somente se, a , . . . , a ∈ J.
I(a1, . . . , as)
1
s
(b) Sejam u 1, . . . , us invert´ıveis de A. Mostre que
·
·
I(a1, . . . , as) = I ( u 1 a1, . . . , us as).
∈
(c) Seja t A . Mostre que
·
I(a1, . . . , as−1, as) = I (a1, . . . , as−1, bs), onde b s = a s − t as−1.
97
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Ideais e m´aximo divisor comum
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Dom´ınios Principais e a fatora¸c˜ ao ´ unica PARTE 3 -
SEC ¸ ˜ AO 3
Dom´ınios Principais e a fatora¸c˜ ao u ´ nica Nosso objetivo ´e demonstrar o Teorema Fundamental da Aritm´etica, nosso velho conhecido, que diz que todo n´ umero inteiro a > 1 se escreve de modo u ´ nico, a menos da ordem dos fatores, como a = p 1n1 p2n2 . . . psns ,
·
· ·
onde p1, . . . , ps s˜a o n´ umeros naturais primos e n1
≥ 1, . . . , n ≥ 1. s
Para atingir nosso objetivo, vamos aprofundar os nossos conhecimentos dos dom´ınios principais introduzindo, em an´eis comutativos com unidade, os conceitos de: elementos irredut´ıveis, elementos primos e fatora¸ c˜ao u ´ nica. Mostraremos que os dom´ınios principais tˆem a propriedade da fatora¸c˜ao u ´ nica, portanto valendo para Z. Em um anel comutativo com unidade, os elementos invert´ıveis s˜ ao divisores de quaisquer elementos do anel. Dado um elemento n˜ ao-nulo e n˜ao-invert´ıvel, o interessante ´e determinar quais s˜ ao os seus divisores n˜aoinvert´ıveis. N˜ao devemos esquecer que, encontrado um divisor a de b ent˜ ao, para todo invert´ıvel u , u a tamb´em ´e um divisor de b , isto ´e, todo associado de um divisor tamb´em ´e divisor.
Para refletir sobre as observa¸co ˜es ao lado, fa¸ca o Exerc´ıcio 1.
·
Defini¸c˜ao 8 (Elementos irredut´ıveis ou redut´ıveis) A, n˜ Seja A um anel comutativo com unidade e seja a a o-nulo e n˜aoinvert´ıvel. O elemento a ´e dito irredut´ıvel se, e somente se, os seus divisores s˜ao invert´ıveis ou seus associados. Caso contr´ ario, a ´e dito redut´ıvel , nesse caso, a tem algum divisor que n˜ ao ´e invert´ıvel e n˜ao ´e associado de a.
∈
Observa¸c˜ao: Seja a = 0 e a A \A∗ . A defini¸ca˜o anterior ´e equivalente a:
a ´e irredut´ıvel
a ´e redut´ıvel
⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒
∈
se b | a , ent˜ao b A ∗ ou b = u a, com u A ∗ se a = b c, ent˜ao b ou c ´e invert´ıvel.
·
∈
·
∈
Esse ou ´e excludente, apenas um dos fatores ´e invert´ıvel.
·
existem b e c n˜ao-invert´ıveis tais que a = b c.
Exemplo 14 Consideremos o dom´ınio Z. Temos Z∗ = {−1, 1}. (a) 3 ´e irredut´ıvel. De fato, os associados de 3 s˜ao −3 e 3. Os divisores de 3 s˜ ao −1, 1, −3 e 3. Portanto, os divisores de 3 s˜ ao invert´ıveis ou associados de 3. Escrevendo 3 = b c, temos b = 1 e c = 3 ou b = −1 e c = −3.
·
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Dom´ınios Principais e a fatora¸c˜ ao ´ unica
(b) −24 ´e redut´ıvel. De fato, −24 = 4 (−6), onde 4 e −6 s˜ao n˜ ao-invert´ıveis em Z.
·
A fatora¸ca ˜o dos elementos de K[x] em produto de irredut´ıveis ser´a estudada ´ em Algebra II, nos corpos Q, R ou C .
Lembre que . . . ∗
K[x] = K = K\{0}. ∗
Exemplo 15 (a) Seja K um corpo e K[x ] o anel de polinˆ omios com coeficientes em K. Todo polinˆ omio de grau 1 ´e irredut´ıvel em K[x ].
∈
·
K e a = 0, e f(x) = g(x) h (x) De fato, se f(x) = ax + b , onde a, b ent˜ao grau (g(x)) + grau (h (x)) = grau (f(x)) = 1 assim, grau (g(x)) = 1 e grau (h (x)) = 0 ou grau (g(x)) = 0 e grau (h (x)) = 1. Portanto, grau (g(x)) ou grau (h (x)) ´e 0. Logo, g(x) = u K\{0} ou h (x) = u K\{0}. Assim, e um invert´ıvel de K[x ]. g(x) ou h (x) ´
∈
∈
(b) Seja Z[x ] o anel de polinˆ omios com coeficientes em Z. Lembre que . . . ∗
Z[x] = Z = {−1, 1}. ∗
H´a polinˆomios de grau 1 ´e redut´ıveis em Z[x ], por exemplo, 2x + 4 = 2 (x + 2), com 2 e x + 2 n˜ao-invert´ıveis em Z[x ].
·
Veremos que em um dom´ınio principal todo elemento n˜ ao-nulo e n˜ aoinvert´ıvel tem um divisor irredut´ıvel. Para isto, precisamos do seguinte resultado. Lema 1 Seja A um dom´ınio principal. Toda cadeia crescente de ideais I1
⊂ I ⊂ ··· ⊂ I ⊂ · · · 2
n
´e estacion´ aria, isto ´e, existe m tal que Im = I m+1 =
Demonstra¸c˜ao: Seja I =
···.
Ij. Primeiramente, vamos mostrar que I ´e um
j 1
≥
ideal de A.
∈
≥
∈
∈
Com efeito, como 0 I j, para todo j 1 , ent˜ao 0 I . Sejam a, b I . Ent˜ao existem j1, j2 Z, tais que a Ij1 e b Ij2 . Temos 1 j1 j2 ou 1 j2 j1, digamos que j1 j 2. Logo, Ij1 Ij2 e a, b Ij2 . Sendo Ij2 um ideal temos a + b Ij2 I . Tomando a A e b I, existe j1 Z tal que b I j1 . Como Ij1 ´e um ideal, a b I j1 I , mostrando que I ´e um ideal de A.
∈
≤ ≤
∈ ⊂
∈
∈
d
⊂ ∈ · ∈ ⊂
∈
∈
∈
∈ ∈
≤ ≤ ∈
Como A ´e um dom´ınio principal, existe d A tal que I = I (d). Logo, I = Ij. Portanto, existe m 1 tal que d I m. Como Im Ij, para
todo j U F F
≤
∈
≥
j 1
≥
≥ m , temos que d ∈ I , para todo j ≥ m . Ent˜ao, j
100
M.L.T.Villela
⊂
Dom´ınios Principais e a fatora¸c˜ ao ´ unica PARTE 3 -
I(d)
⊂ ⊂ I m
I m+1
Portanto, I(d) = I m = I m+1 =
·· · .
⊂ ··· ⊂
I =
SEC ¸ ˜ AO 3
Ij = I (d). Se d
∈ J e J ´e ideal, ent˜ao I(d) ⊂ J.
j 1
≥
Proposi¸c˜ao 7 Todo elemento n˜ ao-nulo e n˜ ao-invert´ıvel de um dom´ınio principal tem pelo menos um divisor irredut´ıvel.
∈
A, a = 0 e a n˜ Demonstra¸c˜ao: Sejam A um dom´ınio principal, a aoinvert´ıvel. Se a ´e irredut´ıvel, nada temos a demonstrar, pois a | a. Suponhamos que a ´e redut´ıvel. Pela defini¸ca˜o 8, a tem um divisor a1, tal que a1 n˜ao ´e invert´ıvel e n˜ao ´e associado de a. Assim, I(a) I(a1) A,
onde a primeira inclus˜ ao ´e conseq¨uˆencia da Proposi¸ca˜o 5. Se a1 ´e irredut´ıvel, terminamos, pois a1 | a. Se a1 n˜ao ´e irredut´ıvel, ent˜ao a1 tem divisor a2 em A, com a2 n˜ao-invert´ıvel e n˜ao-associado de a1. Logo,
Como a1 | a, temos que a I(a1 ), logo I(a) I(a1 ). Al´em disso, I(a) = I(a1 ), pois a1 n˜ ao ´e associado de a. J´ a resolveu o Exerc´ıcio 5 da Se¸ca ˜o 2? Usamos esse resultado na segunda inclus˜ ao, isto ´e: ao ´ e invert´ıvel a1 n˜ I(a1 ) A.
∈
⇐⇒
I(a) I(a1) I(a2) A.
Assim, sucessivamente, at´e que para algum n temos an irredut´ıvel e portanto, an ´e um divisor de a irredut´ıvel ou, caso contr´ ario, ter´ıamos uma seq¨ uˆencia an, com n 1, an+1 divisor de an, an+1 n˜ ao-invert´ıvel e n˜ao-asso ciado de an e obter´ıamos uma cadeia infinita crescente de ideais
≥
I(a) I(a1) I(a2)
que ´e imposs´ıvel pelo Lema anterior.
· · · I(a ) · · · A, n
Defini¸c˜ao 9 (Dom´ınio de fatora¸c˜ao ´unica) Um dom´ınio A ´e dito de fatora¸c˜ ao ´ unica se, e somente se, todo elemento n˜a o-nulo e n˜ao-invert´ıvel se fatora como um produto finito de elementos irredut´ıveis. Mais ainda, se p1, . . . , pm e q1, . . . , qn s˜ao irredut´ıveis em A e
· · ·
· · ·
p1 p2 . . . pm = q 1 q2 . . . qn,
ent˜ao n = m e, ap´os uma reordena¸ca˜o, pj e qj s˜ ao associados, para todo ˜o ´e u´nica, a menos da ordem dos fatores j = 1, . . . , n. Dizemos que a fatora¸ca e de elementos associados. 101
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U F F
⊂
Dom´ınios Principais e a fatora¸c˜ ao ´ unica
Exemplo 16 (a) Todo corpo ´e um dom´ınio de fatora¸ c˜ao u ´ nica, pois todo elemento n˜ ao-nulo ´e invert´ıvel. c˜ao ´unica (vamos demonstrar, como conseq¨ uˆencia (b) Z ´e um dom´ınio de fatora¸ de todo dom´ınio principal ser um dom´ınio de fatora¸ c˜ao u ´nica). (c) K[x ], onde K ´e um corpo. Os dom´ınios de fatora¸c˜ ao u ´ nica dos itens (c) e (d) s˜ao ´ estudados em Algebra II.
(d) Em geral, se A ´e um dom´ınio de fatora¸ ca˜o u ´ nica, ent˜ ao A [x ] ´e um dom´ınio de fatora¸c˜ao ´unica. Portanto, Z[x ], Q[x ], R[x ] e C[x ] s˜ao exemplos de dom´ınios de fatora¸ca˜o u ´nica, al´em de Z[x, y ], Q[x, y ], R[x, y ] e C [x, y ]. Defini¸c˜ao 10 (Elemento primo) Seja A um anel comutativo com unidade. Um elemento a n˜ao-invert´ıvel ´e dito primo se, e somente se,
∈ A, n˜ao-nulo e
·
se a | b c, ent˜ao a | b ou a | c . Exemplo 17 (a) 2 ´e primo em Z. Lembre que . . .
P = Q ou R
⇒ R ⇒ P Q
´e equivalente a ∼ e ∼ = ∼ , onde ∼ ´e a nega¸c˜ ao de e ∼ ( ou ) =∼ e ∼ .
Q Q Q R
Q
R
De fato, suponhamos que b, c Z e 2 n˜ao divide b nem c. Pela divis˜ ao euclidiana, temos b = 2m + 1 e c = 2n + 1, com m, n Z. Logo, b c = (2m + 1) (2n + 1) = 4m n + 2m + 2n + 1 = 2 (2m n + m + n) + 1 e 2 n˜ao divide b c.
∈
·
·
·
∈ ·
·
·
(b) 3 ´e primo em Z. Sejam b, c
∈ Z, tais que 3 | b · c.
Pela divisa˜ao euclidiana, escrevemos b = 3m + r e c = 3n + s, com m, n Z e 0 r, s 2. Assim, b c = 9m n + 3m s + 3n r + rs. Como 3 | b c temos que 3 | r s, com r s { 0,1,2,4}. Portanto, r s = 0 . Como Z ´e um dom´ınio, r = 0 ou s = 0 , significando que 3 | b ou 3 | c .
≤ ≤
· · ∈
·
·
·
·
∈ ·
·
(c) 4 n˜ao ´e primo em Z, pois 4 | 2 6 mas 4 ∤ 2 e 4 ∤ 6.
·
H´a uma rela¸ca˜o entre primos e irredut´ıveis quando o anel ´e especial, conforme veremos nas duas seguintes proposi¸ co˜es. Proposi¸c˜ao 8 Seja A um dom´ınio. Se p ´e primo, ent˜ ao p ´e irredut´ıvel.
λ− 1
p´ Nesse caso, a = e associado de p.
U F F
·
∈
·
Demonstra¸c˜ao: Seja p A um elemento primo. Escreva p = λ a, com λ e a em A. Como p | λ a e p ´e primo, ent˜ ao p | λ ou p | a . Digamos que p | a . Logo, a = λ ′ p e p = λ a = λ (λ′ p) = (λ λ′) p. Pela lei do cancelamento no dom´ınio A, temos que 1A = λ λ ′ . Portanto, λ ´e um invert´ıvel de A, mostrando que p ´e irredut´ıvel.
·
·
·
· · ·
· ·
102
M.L.T.Villela
Dom´ınios Principais e a fatora¸c˜ ao ´ unica PARTE 3 -
SEC ¸ ˜ AO 3
H´a exemplos de dom´ınios com elementos irredut´ıveis que n˜ ao s˜ao primos. Exemplo 18 Seja A = { a + b 5i ; a, b
√
∈ Z}. A ´e um subanel de C. Temos que √ √ 2 · 3 = (1 + 5i)(1 − 5i),
√ √
√
√ · √
√
onde 2 , 3 , 1 + 5i e 1 − 5i s˜ao irredut´ıveis em A , 2 | ( 1 + 5i) (1 − 5i), mas 2 ∤ (1 + 5i) e 2 ∤ (1 − 5i). ´ facil verificar que A∗ = {−1, 1}, pois o inverso de a + b 5i = 0 em C ´e E
√ (a + b 5i)
−1
√
=
1 a+b 5i
√ =
√ √ a−b 5i √ = (a+b 5i)·(a−b 5i)
√
a−b 5i a2 +5b2
.
Para verificar as afirma¸co ˜es acima vocˆe precisa saber quem s˜ ao os elementos invert´ıveis de A, isto ´e, quem ´e A . ∗
√
Logo, (a + b 5i)−1 A se, e somente se, (a2 + 5b2) | a e (a2 + 5b2) | − b.
∈ Se b ao | b |≥ 1 e a = 0 , ent˜
2
+ 5b2
2
≥ 5b
> b2 =| b |2 | b | , contradizendo
≥
a Proposi¸ca˜ o 3 da Se¸ca˜o 1. Portanto, b = 0, a = 0, a2 | a, seguindo que a = 1.
±
Proposi¸c˜ao 9 Seja A um dom´ınio principal. Seja p A um elemento irredut´ıvel. Ent˜ ao, p ´e primo. A um elemento Demonstra¸c˜ao: Seja A um dom´ınio principal e seja p irredut´ıvel. Suponhamos que b, c A , p | b c e p ∤ b. Vamos mostrar que p | c .
∈
∈
∈
·
∈
Seja I = I(b, p). Temos que p I, logo I = {0}. Como A ´e principal, ent˜ao existe d A, d = 0, tal que I = I(d). Temos que d | b e d | p, pois e irredut´ıvel, os divisores de p s˜ao invert´ıveis ou associados b, p I . Como p ´ de p , logo d ´e invert´ıvel em A ou d = u p, para algum invert´ıvel u em A . Se d = u p, ent˜ ao b I = I (d) = I ( u p) e assim b = λ ( u p), contradizendo a hip´otese que p ∤ b. Portanto, d ´e um invert´ıvel de A, pelo Exerc´ıcio 5 da Se¸ca˜o anterior, temos A = I(d) = I(b, p), logo 1A I(b, p). Portanto, existem x, y A , tais que 1A = x b + y p. Multiplicando por c, temos
∈
∈
·
∈
·
∈
·
·
·
·
· · ∈
·
· ·
· ·
· ·
c = 1 A c = (x b + y p) c = x b c + y p c.
´ claro que Como p | b c, ent˜ao p divide a primeira parcela acima a` direita. E p divide a segunda parcela. Portanto, p divide a soma dessas parcelas, isto ´e, p | c .
·
103
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Dom´ınios Principais e a fatora¸c˜ ao ´ unica
Corol´ario 7 No dom´ınio Z um elemento ´e primo se, e somente se, ´e irredut´ıvel. Agora estamos a um passo de obter a fatora¸ca˜o u ´ nica dos inteiros n˜ aonulos e n˜ ao-invert´ıveis, isto ´e, diferentes de 0, 1 e −1, em produto de n´ umeros inteiros primos, a partir da propriedade mais geral dos dom´ınios principais. Para isto, precisamos de algumas propriedades relevantes dos elementos primos em um dom´ınio. Proposi¸c˜ao 10 Sejam p, p1, . . . , pn elementos primos do dom´ınio A . Se p | p 1 . . . pn, ent˜ao p ´e associado de pj, para algum j. Demonstra¸c˜ao: A demonstra¸ca˜o ´e por indu¸ca˜o sobre n. Seja n = 1 e suponhamos que p, p1 s˜ao primos e p | p 1. Ent˜ao, p 1 = λ p, com p n˜ao-invert´ıvel e p1 irredut´ıvel, implica que λ ´e invert´ıvel. Logo p ´e asso ciado de p1.
· ·
·
≥
Sejam n 1, p, p1, . . . , pn, pn+1 elementos primos do dom´ınio A e suponhamos que se p | p1 . . . pn, ent˜ao p ´e associado de pj, para algum j = 1, . . . , n. Digamos que p | p1 . . . p n p n+1 = ( p1 . . . p n) p n+1. Da defini¸ca˜o de elemento primo, temos que p | p1 . . . p n ou p | pn+1. No primeiro caso, por hip´ otese de indu¸ca˜o, p ´e asso ciado de pj, para algum j = 1, . . . , n. No segundo caso, p ´ e associado de pn+1. Logo, p ´e associado de pj, para algum j = 1, . . . , n + 1.
· ·
· · ·
· ·
·
·
·
Teorema 2 (Fatora¸c˜ao ´unica em dom´ınios principais) Todo dom´ınio principal ´e um dom´ınio de fatora¸ c˜ao u ´nica. A um elemento Demonstra¸c˜ao: Seja A um dom´ınio principal e seja a n˜ao-nulo e n˜ ao-invert´ıvel. Pela Proposi¸ca˜o 7, a tem pelo menos um divisor irredut´ıvel, digamos p1 A . Logo, existe a1 A , tal que
∈
∈
∈
·
a = a 1 p1.
Como a 1 = 0 , se a 1 n˜ao ´e invert´ıvel, novamente, pela Proposi¸ ca˜o 7, a 1 tem um divisor irredut´ıvel p2, logo a1 = a 2 p2 e
·
· ·
a = a 2 p2 p1.
Assim, sucessivamente, determinamos uma seq¨ uˆencia de pares (aj, pj) com pj irredut´ıvel e tais que aj = a j+1 pj+1, para j
·
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≥ 1.
104
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( ⋆)
Dom´ınios Principais e a fatora¸c˜ ao ´ unica PARTE 3 -
SEC ¸ ˜ AO 3
Vamos mostrar que esse processo tem que parar ap´ os um n´ umero finito de passos, isto ´e, existe n 1 tal que an ´e invert´ıvel.
≥
De fato, se a1, . . . , an, . . . fossem n˜ ao-invert´ıveis, como aj+1 | aj, por ( ⋆), aj e aj+1 n˜ ao seriam associados. Pela Proposi¸ca˜ o 5 da Se¸ca˜o anterior, ter´ıamos que I(a) I(a1) I(a2)
Nesse caso, I(aj ) I(aj + 1 ).
· ·· I(a ) · · · A, n
seria uma cadeia crescente infinita de ideais, contradizendo o Lema 1. Portanto, para algum n
≥ 1, a
´e invert´ıvel e
n = u
·
Fa¸ca o Exerc´ıcio 1 (e), que mostra que se u ´e invert´ıvel e p ´e irredut´ıvel, ent˜ ao u p ´e irredut´ıvel.
· ·
a = ( upn) pn−1 . . . p1,
·
com upn, pn−1, . . . , p1 irredut´ıveis, logo, pela Proposi¸ca˜ o 9, primos. provar a unicidade, que faremos por indu¸ca˜o sobre n.
Falta
· ·
Suponhamos que n = 1 e p1 = q 1 . . . qm, com p1, q1, . . . , qm irredudut´ıveis, logo primos.
· ·
Como p1 | q 1 . . . qm, pela Proposi¸c˜ao anterior, p1 ´e asso ciado de qj para algum j = 1, . . . , m. Ap´os uma reordena¸c˜a o dos qj ′ s, podemos supor que j = 1, p1 | q1 e p1 = wq1, com w invert´ıvel. Se m > 1, ent˜ao w q1 = q1 . . . qm, cancelando q1, ter´ıamos w = q2 . . . q m, que ´e imposs´ıvel. Portanto, m = 1 e p1 = w q1 ´e associado de q1.
·
· ·
· ·
·
Veja o Exerc´ıcio 1 (b) que mostra que os divisores de um invert´ıvel s˜ ao invert´ıveis.
≥ 2 e suponhamos a unicidade da fatora¸ca˜o v´alida para n − 1 e p · . . . · p = q · . . . · q , com p , . . . , p , q , . . . , q irredut´ıveis (logo primos). Segue que p | q · . . . · q e, novamente, para algum j temos p Seja n
1
n
1
m
n
1
1
n
1
m
m
n
associado de qj. Ap´os uma reordena¸ca˜o dos qi ′ s, podemos supor que j = m e pn ´e associado de qm, isto ´e, pn = w qm, com w invert´ıvel. Ent˜ ao,
·
· ·
· ·
· ·
·
p1 . . . pn−1 ( w qm) = q 1 . . . qm−1 qm
⇐⇒
· · ·
· ·
( w p1) . . . pn−1 = q 1 . . . qm−1.
A equivalˆ encia segue da Lei do Cancelamento.
Pela hip´otese de indu¸ca˜o, n − 1 = m − 1, logo n = m . Ap´os uma reordena¸ca˜o dos q j ′ s, podemos supor que p j ´e asso ciado de q j, para cada j = 1, . . . , n − 1. Como j´a mostramos que pn ´e asso ciado de qn, obtemos o resultado. Corol´ario 8 Z ´e um dom´ınio de fatora¸ ca˜o u ´nica.
105
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Dom´ınios Principais e a fatora¸c˜ ao ´ unica
Na rela¸ca ˜o de associa¸ca ˜o, cada classe de equivalˆ encia de p Z , p irredut´ıvel (primo), tem um elemento positivo e um elemento negativo. Escolhemos um representante positivo em cada classe. Trabalhamos com os naturais primos na fatora¸ca ˜o, que ´ eu ´nica a menos da ordem dos fatores.
Corol´ario 9 (Teorema Fundamental da Aritm´etica) Todo n´ umero inteiro a diferente de 0, 1, −1 pode ser escrito como
∈
1 n a = pα . . . pα n , 1
± · ·
onde p1, . . . , pn s˜a o n´ umeros primos positivos distintos, p1 < α 1 > 0, . . . , α n > 0.
··· < p
n
e
Exerc´ıcios 1. Seja A um anel comutativo com unidade. Mostre que: (a) Se a | 1 , ent˜ao a ´e invert´ıvel. (b) Se a | u , com u invert´ıvel, ent˜ ao a ´e invert´ıvel.
∈
(c) Se a ´e invert´ıvel, ent˜ ao a | b , para todo b A . (d) Se a | b , ent˜ao u a | b , para todo invert´ıvel u A .
·
∈
·
(e) Se p ´e irredut´ıvel, ent˜ao u p ´e irredut´ıvel, para todo invert´ıvel u A .
∈
2. Seja A = Z. (a) Mostre que 2,3,5,7,11,13,17 s˜ao irredut´ıveis em Z. (b) Mostre que 4,6,8,9,10,12 s˜ao redut´ıveis. 3. Mostre que: (a) x2 + 1 ´e irredut´ıvel em R[x ]. (b) x2 + 3x + 2 ´e redut´ıvel em R[x ]. (c) 3x + 1 ´e irredut´ıvel em Z [x ]. (d) 3x + 6 ´e redut´ıvel em Z[x ]. 4. Seja p um natural primo. Mostre que: p j
∈ N ´e tal que 1 ≤ j < p, ent˜ao p divide ; (b) Se a, b ∈ Z, ent˜ao p divide (a + b) − (a + b ); (a) Se j
p
(c) (Pequeno Teorema de Fermat) p divide ap − a, para todo a
∈ Z.
Sugest˜ao: Fa¸ca por indu¸c˜ao sobre a.
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p
p
Propriedades do Dom´ınio Principal Z
PARTE 3 -
SEC ¸ ˜ AO 4
Propriedades do Dom´ınio Principal Z A partir da fatora¸ca˜o u ´ nica de inteiros em produto de potˆencias de primos positivos, podemos determinar o m´ aximo divisor comum e o m´ınimo m´ultiplo comum de dois inteiros n˜ao-nulos. ao-nulos. Sejam p1 < < pn os primos Observa¸c˜ao: Sejam a, b inteiros n˜ positivos distintos que ocorrem na fatora¸ ca˜o de a ou de b. Ent˜ao, podemos escrever
· · ·
1 n a = pα . . . pα n 1
± · ·
1 n . . . pβ e b = pβ n , 1
± · ·
≥ 0, β ≥ 0, para j = 1, . . . , n.
com α j
j
1 n . . . pγ mdc(a, b) = p γ n , onde γj = min {α j, βj}, para cada j = 1, . . . , n; 1
mmc(a, b) = p δ11
· · · . . . · p
δn n
, onde δj = max {α j, βj}, para cada j = 1, . . . , n.
Exemplo 19 75 = 3 5 5 = 3 52 e 70 = 2 5 7.
· ·
·
· ·
Portanto, os naturais primos que ocorrem na fatora¸ c˜a o de 75 ou 70 s˜ ao 2,3,5,7. Escrevendo 75 = 2 0 31 52 70 e 70 = 2 1
· · · ·3 ·5 ·7 , 0
1
1
obtemos
mdc(75, 70) = 2 0 30 51 70 = 5 e
· · · mmc(75, 70) = 2 · 3 · 5 · 7 1
1
2
1
= 1050.
Defini¸c˜ao 11 (Primos entre si) Seja A um dom´ınio principal. Os elementos a, b A, n˜ao ambos iguais a zero, s˜ ao chamados primos entre si se, e somente se, tˆem um m´ aximo divisor comum invert´ıvel. Em particular, os inteiros a, b, n˜ao ambos iguais a zero, s˜ao ditos primos entre si se, e somente se, mdc(a, b) = 1 .
∈
Exemplo 20 Os inteiros 75 = 3 52 e 539 = 7 2 11 s˜ao primos entre si. Observe que como mdc(75, 539) = 1 , ent˜ao mmc(75, 539) = 3 52 72 11 = 75 539.
·
·
· · ·
·
Veja o Exerc´ıcio 1, dessa Se¸ca ˜o.
Teorema 3 (Euclides) H´a uma infinidade de n´ umeros naturais primos. umero finito de Demonstra¸c˜ao: Suponhamos, por absurdo, que haja um n´ 107
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Propriedades do Dom´ınio Principal Z
···
n´umeros naturais primos. Sejam 2 = p 1 < p2 < umeros primos < pn os n´ positivos. Consideremos a = p1 p 2 . . . p n + 1 > 1. Ent˜ ao, a = 0, 1 tem um divisor primo positivo q e q { p1, . . . , pn}. Por propriedade da divisibilidade, q divide a − p1 p2 . . . pn = 1 , contradizendo o fato de que q n˜ ao ´e invert´ıvel.
· · · ∈ · · ·
Para determinar n´ umeros primos positivos, isto ´e, n´ umeros inteiros positivos irredut´ıveis, usamos o antigo m´etodo chamado Crivo de Erat´ ostenes. Precisamos do seguinte resultado. Lema 2 Se n > 1 ´e um inteiro que n˜ ao ´e primo, ent˜ ao n tem um divisor natural primo p tal que p2 n .
≤
Temos que m > 1, pois n n˜ ao ´e primo, e todo divisor primo d de m, tamb´em divide n, logo q d m.
≤ ≤
Demonstra¸c˜ao: Suponhamos que n > 1 n˜ao seja primo (irredut´ıvel). Ent˜ ao, n tem um divisor positivo irredut´ıvel (primo). Pelo Princ´ıpio da Boa Ordena¸ca˜o, h´a o menor divisor primo positivo, digamos q . Portanto, n = q m com q m . Assim, q2 = q q q m = n .
≤
· ≤ ·
·
Para ilustrar com um exemplo, vamos determinar os n´ umeros naturais primos menores ou iguais a 150, isto ´e, os n´umeros inteiros positivos irredut´ıveis menores ou iguais a 150, seguimos o seguinte roteiro: 1. Fa¸ca uma Tabela dos n´ umeros inteiros de 2 at´e 150. 2. 2 ´e primo. Risque na Tabela todos os m´ ultiplos de 2 maiores do que 2 , pois n˜ao s˜ao primos. 3. Todos os n´umeros n˜ ao riscados menores do que 4 = 22, pelo Lema 2, s˜ao primos, isto ´e, 2 e 3.
Seja n > 1. Se p n˜ao divide n, para todo natural primo p, tal que p2 n, ent˜ ao n ´e primo.
≤
4. 3 ´e primo. Risque na Tabela todos os m´ ultiplos de 3 maiores do que 3 , pois n˜ao s˜ao primos. 5. Todos os n´ umeros n˜ ao riscados menores do que 9 = 3 2 s˜ao primos, isto ´e, 2, 3, 5, 7. 6. 5 e 7 s˜ao primos. Risque na Tabela todos os m´ ultiplos de 5 maiores do que 5, assim como todos os m´ultiplos de 7 maiores do que 7. 7. Todos os n´ umeros n˜ ao riscados menores do que 49 = 72 s˜ao primos, isto ´e, 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47 .
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Propriedades do Dom´ınio Principal Z
PARTE 3 -
SEC ¸ ˜ AO 4
8. 11, 13, 17, 19, 23, 29,31, 37, 41, 43, 47 s˜ao os novos primos obtidos. Sucessivamente, risque na tabela todos os m´ ultiplos de 11 maiores do que 11 , todos os m´ ultiplos de 13 maiores do que 13 , . . . , todos os m´ ultiplos de 47 maiores do que 47. 9. Como 150 < 2209 = 47 2, todos os n´ umeros n˜ao riscados na Tabela s˜ ao primos. Os inteiros positivos primos menores que 150 s˜ao 2,3,5,7,11,13,17,19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149. 2 11
21 31
41
51 61 71
81 91
101
111 121 131
141
12 22 32 42 52 62 72 82 92 102 112 122 132 142
4 13 14 23 24 33 34 43 44 53 54 63 64 74 73 84 83 93 94 103 104 113 114 123 124 133 134 143 144 3
5
15 25 35 45 55 65 75 85 95 105 115 125 135 145
6 16 26 36 46 56 66 76 86 96 106 116 126 136 146
7 17
27 37
47
57 67
77 87 97
107
117 127 137
147
8 18 28 38 48 58 68 78 88 98 108 118 128 138 148
Tabela dos primos positivos menores que 150
9 10 19 20 29 30 39 40 49 50 59 60 69 70 80 79 90 89 99 100 109 110 119 120 129 130 139 140 149 150
Vamos agora aprender o Algoritmo de Euclides, que permite determinar o m´ aximo divisor comum de dois inteiros, sem conhecer os seus fatores primos. Lembramos alguns resultados j´ a vistos no seguinte Lema. Lema 3 Sejam a, b, t inteiros. Ent˜ ao,
(i) mdc(a, 0) =| a | , se a = 0 . (ii) mdc(a, b) = mdc (b, a) = mdc (| a | , | b |) = mdc (a − tb, b), se a, b n˜ao s˜ao ambos iguais a zero e t ´e qualquer inteiro. Demonstra¸c˜ao: (i) I(a, 0) = I (| a |). Se a = 0 , ent˜ao | a |= mdc (a, 0).
109
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Propriedades do Dom´ınio Principal Z
(ii) I(a, b) = I(b, a) = I(| a |, | b |) = I(d), com d > 0 se a = 0 ou b = 0. Pela Proposi¸ca˜o 6 na Se¸c˜ao 2, temos d = mdc (a, b) = mdc (b, a) = mdc (| a | , | b |).
Veja Exerc´ıcio 8 item (c) na Se¸ca ˜o 2.
A u ´ ltima igualdade do enunciado segue do fato que, para qualquer t I(a, b) implica Z, I(a, b) = I(a − tb,b). Com efeito, a − tb,b que para quaisquer x, y I(a, b). Logo, Z temos (a − tb ) x + b y I(a − bt, b) I(a, b). Por outro lado, a − bt, b I(a − bt, b) implica que a = (a − bt) + bt I (a − bt,b) e a x + b y I (a − bt,b), para quaisquer x, y Z, mostrando que I(a, b) I (a − bt, b).
∈
∈
⊂
·
∈
∈
⊂
·
· ∈
∈ · ∈
∈
Sejam a, b inteiros n˜ao ambos iguais a zero. Pelo Lema anterior, para determinar o mdc(a, b), podemos supor a 0 , b 0 e a b
≥
≥
Caso (I) - (Um deles ´e zero) a > 0 e b = 0 :
≥
mdc(a, 0) = a . Caso (II) - (Ambos n˜ao-nulos) (II.1) a = b > 0 mdc(a, b) = mdc (a, a) = a . (II.2) a > b > 0 Pela divis˜ao euclidiana de a por b, temos
·
a = b q1 + r2, com 0
≤ r < b e 2
·
mdc(a, b) = mdc (a − b q1, b) = mdc (r2, b) = mdc (b, r2). (1) Se r2 = 0 , ent˜ao mdc(a, b) = mdc (b, 0) = b .
(2) Se r2 = 0 , ent˜ao fazemos a divis˜ ao euclidiana de b por r2, obtendo b = r 2 q2 + r3, com 0
·
≤ r < r e 3
2
·
mdc(a, b) = mdc (b, r2) = mdc (b − r2 q2, r2) = mdc (r3, r2). (1) Se r3 = 0 , ent˜ao mdc(a, b) = mdc (0, r2) = r 2.
(2) Se r3 = 0 , ent˜ao fazemos a divis˜ ao euclidiana de r 2 por r 3, obtendo
·
r2 = r 3 q3 + r4, com 0
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≤ r < r e 4
3
Propriedades do Dom´ınio Principal Z
1
2
5
2
350 240 110
20
10
110
0
20
10
(1)
(2) (3)
Escrevemos, na ordem em que foram feitos, os c´ alculos realizados na divis˜ao euclidiana no dispositivo pr´atico:
· · ·
(1) 350 = 1 240 + 110 (2) 240 = 2 110 + 20 (3) 110 = 5 20 + 10 mdc
Em cada passo faremos a substitui¸ca˜o apenas de um dos restos assinalados acima, usando a equa¸ca˜o mencionada, come¸cando com o mdc. (3)
· 110 − 5 · (240 − 2 · 110) 11 · 110 − 5 · 240 11 · (350 − 1 · 240) − 5 · 240 11 · 350 − 16 · 240
mdc(350, 240) = 10 = 110 − 5 20 (2)
= =
(1)
= =
Logo, m 0 = 11 e n0 = −16. (b) Determine m 0, n0
∈ Z, tais que 1 = mdc(315, 143) = m · 315 + n · 143. 0
2
4
1
13
2
315 143
29
27
2
1
29
2
1
0
27
0
(1) (2) (3) ( 4)
(1) (2) (3) (4)
· 143 = 4 · 29 + 27 29 = 1 · 27 + 2 27 = 13 · 2 + 1
315 = 2 143 + 29
mdc
Em cada passo faremos a substitui¸ca˜o apenas de um dos restos assinalados acima, usando a equa¸ca˜o mencionada, come¸cando com o mdc. U F F
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Propriedades do Dom´ınio Principal Z
(4)
PARTE 3 -
SEC ¸ ˜ AO 4
· 27 − 13 · (29 − 1 · 27) 14 · 27 − 13 · 29 14 · (143 − 4 · 29) − 13 · 29 14 · 143 − 69 · 29 14 · 143 − 69 · (315 − 2 · 143) 152 · 143 − 69 · 315
mdc(315, 143) = 1 = 27 − 13 2 (3)
= =
(2)
= =
(1)
= =
Logo, m 0 = −69 e n0 = 152 . Vamos resolver alguns tipos de equa¸co˜es diofantinas. Consideraremos, primeiramente, a equa¸ c˜ao diofantina
·
·
a x + b y = n ,
onde s˜ ao dados a, b, n
∈ Z.
Quais as condi¸c˜oes para a equa¸ca˜o ter solu¸co˜es inteiras? Quando admite solu¸co˜es inteiras, como determin´ a-las? Proposi¸c˜ao 11 A equa¸ca˜o a x+b y = n admite solu¸ca˜o em Z se, e somente se, d = mdc (a, b) divide n.
·
·
Demonstra¸c˜ao: (= :) Sejam x0, y0 Z tais que a x0 + b y0 = n e seja d = mdc(a, b). Como d | a e d | b , ent˜ao d | ( a x0 + b y0) = n . ( =:) Seja d = mdc(a, b) e suponhamos que d | n. Ent˜ao, existe t Z tal que n = d t. Como existem m 0, n0 Z, tais que d = a m 0 + b n0, obtemos
⇒ ⇐
∈
·
·
·
·
·
∈
·
·
∈
n = d t = (a m 0 + b n0) t = a (m 0 t) + b (n0 t).
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
Logo, x0 = m 0 t e y 0 = n 0 t s˜ ao solu¸co˜es inteiras da equa¸ca˜o.
Teorema 4 Seja x0, y0 uma solu¸ca˜o particular da equa¸c˜ao a x + b y = n e seja d = mdc(a, b). Ent˜ ao, x, y ´e uma solu¸ca˜o da equa¸ca˜o a x + b y = n se, e somente se, x = x 0 + bd t e y = y 0 − da t, para algum t Z.
·
Demonstra¸c˜ao: ( =:) Seja t temos:
⇐
∈ Z.
·
·
Substituindo x = x0 +
b d
·
·
·
∈
a d
· t e y = y − · t na equa¸ca˜o 0
113
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Propriedades do Dom´ınio Principal Z
·
·
b d
a 0 d ab d
· x + · t + b · y − · t a · x + b · y + · · t − · · t a · x + b · y = n,
a x + b y = a
= =
0
0
0
0
0
ab d
mostrando que x, y s˜ao solu¸co˜es.
(= :) Se a ou b ´e zero, digamos a = 0 com b = 0, ent˜ao a equa¸ca˜o ´e a determinado por 0 x + b y = n . Nesse caso, x ´e qualquer inteiro e y est´ Z, pois | b |= mdc (0, b) | n . O outro caso ´e an´ alogo. y = n b
⇒·
∈
·
Suponhamos agora que a = 0 , b = 0 e x, y seja uma solu¸ca˜o. Ent˜ ao,
“Em (”) usamos que ⋆
a b , d d
mdc = 1 e que se c | r s, com mdc(c,r) = 1 , ent˜ ao c | s. Veja os Exerc´ıcios: 1, item (b), e 4, item (a).
·
·
·
·
n = a x + b y = a x0 + b y0 =
·
⇒⇒ ⇒
=
(⋆)
= b d
a d
(1)
a(x − x0) = b( y0 − y) a (x d a d
b − x0) = d ( y0 − y)
| ( y0 − y) e
b d
| ( x − x0).
· s e y − y = · t, para algum s ∈ Z e para algum t ∈ Z. Substituindo na igualdade (1), obtemos a · · s = b · · t. Logo, s = t , x = x + · t e y = y − · t, para algum t ∈ Z. Logo, x − x0 =
0
b d
b d
0
a d
a d
0
Exemplo 23 A equa¸ca˜o 5x + 35y = 7 n˜ao tem solu¸ca˜o em Z, pois mdc(5, 35) = 5 e 5 ∤ 7. Exemplo 24 Consideremos a equa¸ca˜o 350x − 240y = −20. No Exemplo 21 item (a) vimos que 10 = mdc(350, 240) = mdc(350, −240). Como 10 | − 20, a equa¸ca˜o 350x − 240y = 350x +(− 240) y = −20 tem solu¸c˜ao.
·
·
No Exemplo 22 item (a) obtivemos que 10 = 11 350 + (−16) 240. Logo, −20 = (−22) 350 + 32 240 = (−22) 350 + (− 32) (−240).
·
·
·
·
Portanto, x0 = −22 e y0 = −32 s˜ ao solu¸co˜es particulares da equa¸ca˜o dada e 240 sua solu¸ca˜o geral ´e x = −22+ −10 t = −22 −24t e y = −32 − 350 t = −32 −35t, 10 para t Z.
∈
Exerc´ıcios 1. Sejam a, b inteiros n˜ao-nulos. Mostre que:
∈ Z tais
(a) a e b s˜ao primos entre si se, e somente se, existem x, y que a x + b y = 1 . (b) mdc U F F
·
·
a , (a,b)
mdc
b (a,b)
mdc
= 1 .
114
M.L.T.Villela
Propriedades do Dom´ınio Principal Z
·
PARTE 3 -
·
(c) mmc(a, b) mdc(a, b) =| a b | .
·
·
(d) Se a > 0 e b > 0, ent˜ao mmc(a, b) mdc(a, b) = a b.
SEC ¸ ˜ AO 4
Para o item (c), use as nota¸co ˜es da primeira Observa¸ca ˜o dessa Se¸ca ˜o.
2. Mostre que todo n´ umero racional n˜ ao-nulo x se escreve de modo u ´nico como x = ab , onde a, b s˜ao inteiros primos entre si e b > 0. 3. Seja p um primo positivo. Mostre que todo n´ umero racional n˜ ao-nulo x se escreve de uma u ´ nica maneira na forma x = p n
·
a b
, onde a, b, n
∈ Z, b > 0, mdc(a, b) = 1, p ∤ a e p ∤ b.
4. Sejam a, b, c inteiros com mdc(a, b) = 1 . Mostre que:
·
(a) Se a | b c, ent˜ao a | c .
· 5. Sejam a, b, c, m, n com m ≥ 1 e n ≥ 1 . Mostre que: (a) Se mdc(a, c) = 1 , ent˜ao mdc(a · b, c) = mdc (b, c). (b) Se a | c e b | c , ent˜ao a b | c .
(b) Se mdc(a, b) = 1 , ent˜ao mdc(am, bn) = 1 . 6. Para cada par de inteiros a, b dados determine mdc(a, b), mmc(a, b) e inteiros m 0, n0 tais que mdc(a, b) = m 0 a + n0 b:
·
·
(a) 637, 3887
(d) 7325, 8485
(b) 648, −1218
(e) 330, 240
(c) −551, −874
(f) 484, 1521
7. Mostre que: (a) mdc(n, 2n + 1) = 1 , para todo n
∈ Z.
(b) mdc(2n + 1, 3n + 1) = 1 , para todo n
∈ Z.
(c) mdc(n! + 1, (n + 1)! + 1) = 1 , para todo n > 1. 8. Resolva as equa¸co˜es em Z: (a) 7x − 19y = 1
(e) 12x − 18y = 360
(b) 4x − 3y = 2
(f) 144x + 125y = 329
(c) 6x + 4y = 6
(g) 36x − 21y = 31
(d) 6x + 4y = 3
(h) 350x − 91y = 731 115
Instituto de Matem´ atica
U F F
Propriedades do Dom´ınio Principal Z
≥ 1. Mostre que:
9. Seja n
(a) 17 divide 198n − 1, para todo n. (b) 45 divide 133n + 173n, para todo n ´ımpar. 10. Usando o Lema 2, mostre que: (a) 151, 179 e 241 s˜ao primos; (b) 623, 923, 899 e 1001 n˜ao s˜ao primos
U F F
116
M.L.T.Villela
Congruˆencias m´ odulo n e os an´eis Z n
PARTE 3 -
SEC ¸ ˜ AO 5
Congruˆ encias m´ odulo n e os an´ eis Zn O conceito de congruˆencia de inteiros foi introduzido e estudado por Gauss e ´e utilizado para enfatizar o resto da divis˜ ao euclidiana. Defini¸c˜ao 12 (Congruˆencia m´odulo n) 2 um inteiro. Sejam a, b Seja n Z. Dizemos que a ´e congruente a b m´odulo n se, e somente se, n | ( a − b).
≥
∈
≡ b
Quando a ´e congruente a b m´odulo n escrevemos a contr´ ario, escrevemos a b mod n.
≡
mod n. Caso
A express˜ ao a b mod n lˆe-se como a ´e congruente a b m´ odulo n.
≡
Exemplo 25 25 37 mod 6, pois 25 − 37 = −12 e 6 | − 12.
≡ 210 ≡ 70 mod 35, pois 210 − 70 = 140 e 35 | 140 33 mod 12, pois 20 − 33 = −13 e 12 ∤ −13 20 ≡ 13 ≡ 22 mod 5, pois 13 − 22 = −9 e 5 ∤ −9. A seguir veremos uma propriedade muito interessante da congruˆencia m´odulo n. Proposi¸c˜ao 12 A congruˆencia m´ odulo n ´e uma rela¸ca˜o de equivalˆencia em Z. Demonstra¸c˜ao: Vamos mostrar que a congruˆencia m´ odulo n ´e reflexiva, sim´etrica e transitiva. Temos que n | 0 = a − a , logo a a mod n, para todo a Z. Suponhamos que a b mod n. Ent˜ ao n | (a − b), seguindo a mod n. Agora, que n | (b − a ) = −(a − b ), que ´e equivalente a b suponhamos que a b mod n e b c mod n. Por defini¸ca˜o, n | (a − b) e n | ( b − c), seguindo que n divide (a − b) + ( b − c) = a − c, isto ´e, a c mod n.
∈
≡
≡
≡
≡
≡
≡
Veremos agora que o conceito de congruˆencia de inteiros m´ odulo n pode ser utilizado para enfatizar o resto da divis˜ ao euclidiana por n. Proposi¸c˜ao 13 Seja n 2 . Temos a b mod n se, e somente se, a e b tˆem o mesmo resto na divis˜ao euclidiana por n . b mod n. Pela defini¸ Demonstra¸c˜ao: Suponhamos que a ca˜ o de congruˆencia, temos que n | (a − b). Pela divis˜ ao euclidiana, podemos escrever a = q n + r e b = q′ n + r ′ , com 0 r < n e 0 r′ < n. Logo, a − b = (q − q′ ) n + r − r′ . Assim, r − r′ = (a − b) − (q − q′ ) n. Como, por
≥
≡
≡
·
·
·
≤
≤
·
117
Instituto de Matem´ atica
U F F
Congruˆencias m´ odulo n e os an´eis Z n
hip´otese, n | (a − b), e, claramente, n divide −(q − q′ ) n, ent˜ao n divide r − r′ . Al´em disso, −n < − r′ r − r′ r < n. Logo, r − r′ = 0 e r = r ′ .
≤
·
≤
Reciprocamente, suponhamos que a e b tˆem mesmo resto r na divis˜ao r < n. euclidiana por n. Ent˜ ao, a = q n + r e b = q′ n + r , com 0 Ent˜ao, a − b = (q − q′ ) n. Portanto, n | ( a − b) e a b mod n.
·
·
·
≤
≡
Exemplo 26 25 e 37 deixam resto 1 na divis˜ a o por 6, logo 25
≡ 37 mod 6. 210 e 35 deixam resto 0 na divis˜ a o por 35, logo 210 ≡ 35 mod 35. Na divis˜ao por 12 , 20 deixa resto 8 e 33 deixa resto 9 , logo 20 ≡ 33 mod 12. As seguintes propriedades adicionais das congruˆencias s˜ ao muito u ´ teis nas aplica¸co˜es do conceito de congruˆencia. Proposi¸c˜ao 14 (Propriedades das congruˆencias) Sejam a, b, c, d Z e seja n 2 .
∈
≥
≡ b mod n e c ≡ d mod n, ent˜ao a + c ≡ b + d mod n. (ii) Se a ≡ b mod n e c ≡ d mod n, ent˜ao a · c ≡ b · d mod n. (iii) Se a ≡ b mod n, ent˜ao a ≡ b mod n, para todo m ≥ 1 . (i) Se a
m
m
≡ ·
Demonstra¸c˜ao: Faremos, primeiramente, a prova de (i) e (ii). Sejam a b mod n e c d mod n. Ent˜ao, existem λ, λ′ em Z, tais que a − b = λ n e c − d = λ ′ n. Logo,
≡ ·
a + c − ( b + d) = (a − b) + (c − d) = λ n + λ′ n = (λ + λ′ ) n,
·
mostrando que a + c
·
≡ b + d
·
·
mod n. Tamb´em,
·
· · · · · = a · (λ′ · n) + (λ · n) · d = (a · λ′ + λ · d) · n, mostrando que a · c ≡ b · d mod n.
·
a c − b d = a c + ( a d − a d) − b d = a (c − d) + (a − b) d
Em (1) e (3) usamos a defini¸ca ˜o da potˆencia m + 1 e em (2), a hip´ otese de indu¸ca ˜o e a propriedade (ii) da Proposi¸ ca ˜o anterior.
Em (1) usamos a transitividade da congruˆencia m´ odulo n.
U F F
118
A demonstra¸c˜ao da propriedade (iii) ser´ a feita por indu¸ca˜o sobre m . Sejam a, b Z tais que a ao, a1 = a b mod n. Ent˜ b = b1 mod n e a afirma¸ca˜o ´e v´alida para m = 1. Seja m 1 tal que am bm mod n.
∈
≡
m+1 (1)
Ent˜ao, a
= am a
(2)
m
(3)
m+1
· ≡ b ·b = b
≥
mod n.
≡
Exemplo 27 Qual o resto da divis˜ ao de 325 por 15? Temos 33 = 27
≡ 12 ≡ −3
mod 15 =
⇒
33
(1)
≡ −3
M.L.T.Villela
mod 15.
≡
Congruˆencias m´ odulo n e os an´eis Z n
PARTE 3 -
SEC ¸ ˜ AO 5
Portanto, 325 = 3 33·8 = 3 (33)8 33
(2)
8
3
3
2
(3)
2
· · ≡ 3 · (−3) = 3 · (−3) · (−3) · (−3) ≡ 3 · 3 · 3 · 3 · 3 ≡ (−3) · 3 = −3 ≡ 3 mod 15. 2
(4)
2
3
=
(5)
Usamos de (2) a (5), a congruˆencia obtida em (1) e a propriedade (ii) da Proposi¸ca ˜o anterior.
O resto ´e 3.
Exemplo 28 Qual o resto da divis˜ao de 747 por 9? Temos 72 = 49
≡ 4
mod 9, ent˜ao 73 = 7 2 7
Portanto, 747 = 7 3·15+2 = (73)15 72
· ≡ 1
O resto ´e 4.
15
· ≡ 4 · 7 = 28 ≡ 1 · 4 = 4 mod 9.
mod 9.
Crit´erios de Divisibilidade Seja a um n´ umero inteiro positivo. Escrevendo a na base 10, temos a = a mam−1 . . . a1a0 = a m10m + am−110m−1 +
≤ a
onde 0
m, . . . , a0
· · · + a 10 + a , 1
( ⋆)
0
≤ 9 e a = 0. m
Veremos como as potˆencias de 10 se comportam m´ odulo n, para n = 2,3,4,5,9,10 e 11 e obteremos, respectivamente, crit´ erios de divisibilidade por 2, 3, 4, 5, 9, 10 e 11. Exemplo 29 Seja n = 2. Temos que 10 0 mod 2. Da Proposi¸ca˜o 14 item (iii), temos que 10j 0 j = 0 mod 2, para todo j 1 . Pela mesma Proposi¸ca˜o itens (i) e (ii), obtemos:
≡
≡
≥
a = a mam−1 . . . a1a0 = am10m + am−110m−1 +
≡
·
am 0 + am−1
= a0 mod 2.
· · · + a 10 + a · 0 + · · · + a · 0 + a mod 2 1
1
0
0
≡
a0 mod 2 e o resto da divis˜ Logo, a a o de a por 2 ´e o mesmo resto da divis˜ a o de a0 por 2.
Exemplo 30 Seja n = 3. Temos que 10 1 mod 3. Da Proposi¸ca˜o 14 item (iii), temos que 10j 1 j = 1 mod 3, para todo j 1 . Pela mesma Proposi¸ca˜o itens (i) e (ii), obtemos:
≡
≡
≥
a = a mam−1 . . . a1a0 = am10m + am−110m−1 +
≡
· · · + a 10 + a · 1 + a · 1 + · · · + a · 1 + a mod 3 + a + · · · + a + a mod 3.
am
= am
m−1
m−1
1
1
1
0
0
0
119
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U F F
Congruˆencias m´ odulo n e os an´eis Z n
≡
···
Logo, a a m + am−1 + ao de a por 3 + a1 + a0 mod 3 e o resto da divis˜ ´e o mesmo resto da divis˜ ao de am + am−1 + + a1 + a0 por 3.
···
Exemplo 31 2 mod 4, logo 102 22 = 4 0 mod 4. Seja n = 4. Temos que 10 Assim, da Proposi¸ca˜o 14 item (iii), para todo j 3 , temos 10 j = 10 2 10j−2 ˜o itens (i) e (ii), obtemos: 0 10j−2 = 0 mod 4. Pela mesma Proposi¸ca
≡
≡
≥
·
≡
a = a mam−1 . . . a1a0 = am10m + am−110m−1 +
≡
·
am 0 + am−1
= a1a0
≡
·
≡
· · · + a 10 + a · 0 + · · · + a · 10 + a mod 4 1
≡ 2a + a 1
1
0
0
0
mod 4.
≡
Logo, a a 1a0 2a 1 + a0 mod 4 e o resto da divis˜ao de a por 4 ´e o mesmo resto da divis˜ ao de a 1a0 por 4 , equivalentemente, ´e o mesmo resto da divis˜ ao de 2a1 + a0 por 4. Por exemplo, 2379
≡ 79 ≡ 2 · 7 + 9 = 23 ≡ 3
mod 4.
Exemplo 32 Seja n = 5. Temos que 10 0 mod 5. Da Proposi¸ca˜o 14 item (iii), temos que 10j 0 j = 0 mod 5, para todo j 1 . Pela mesma Proposi¸ca˜o itens (i) e (ii), obtemos:
≡
≡
≥
a = a mam−1 . . . a1a0 = am10m + am−110m−1 +
≡
·
am 0 + am−1
= a0 mod 5.
· · · + a 10 + a · 0 + · · · + a · 0 + a mod 5 1
1
0
0
≡
a0 mod 5 e o resto da divis˜ Logo, a a o de a por 5 ´e o mesmo resto da divis˜ a o de a0 por 5.
Exemplo 33 Seja n = 9. Temos que 10 1 mod 9. Da Proposi¸ca˜o 14 item (iii), temos que 10j 1 j = 1 mod 9, para todo j 1 . Pela mesma Proposi¸ca˜o itens (i) e (ii), obtemos:
≡
≡
≥
a = a mam−1 . . . a1a0 = am10m + am−110m−1 +
≡
· · · + a 10 + a · 1 + a · 1 + · · · + a · 1 + a mod 9 + a + · · · + a + a mod 9.
am
= am
≡
m−1
1
m−1
···
1
1
0
0
0
Logo, a a m + am−1 + ao de a por 9 + a1 + a0 mod 9 e o resto da divis˜ ´e o mesmo resto da divis˜ ao de am + am−1 + + a1 + a0 por 9. U F F
···
120
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Congruˆencias m´ odulo n e os an´eis Z n
PARTE 3 -
SEC ¸ ˜ AO 5
Exemplo 34 Seja n = 10 . Temos que 10 0 mod 10. Da Proposi¸ca˜o 14 item (iii), temos que 10j 0 j = 0 mod 10, para todo j 1 . Pela mesma Proposi¸ca˜o itens (i) e (ii), obtemos:
≡
≡
≥
a = a mam−1 . . . a1a0 = am10m + am−110m−1 +
≡
·
am 0 + am−1
= a0 mod 10.
· · · + a 10 + a · 0 + · · · + a · 0 + a mod 10 1
0
1
0
≡
Logo, a a 0 mod 10 e o resto da divis˜ a o de a por 10 ´e o mesmo resto da divis˜ a o de a0 por 10 que ´e a 0.
Exemplo 35 Seja n = 11. Temos que 10 temos que, para todo j 1 ,
≥
10j
≡ (−1)
j
=
≡ −1
mod 11. Da Proposi¸ca˜o 14 item (iii),
1 mod 11,
se j ´e par se j ´e ´ımpar
−1 mod 11,
Pela mesma Proposi¸ca˜o itens (i) e (ii), obtemos: 4
3
2
··· + a 10 + a 10 + a 10 + a 10 + a ≡ · · · + a + a · (−1) + a + a · (−1) + a mod 11 ≡ · · · + a − a + a − a + a − a + a mod 11.
a = a mam−1 . . . a1a0 =
≡ ·· ·
4
3
4
3
6
5
2
2
4
3
1
0
1
2
0
1
0
Logo, a ao + a6 − a5 + a4 − a3 + a2 − a1 + a0 mod 11 e o resto da divis˜ de a por 11 ´e o mesmo resto da divis˜ ao de + a6 − a5 + a4 − a3 + a2 − a1 + a0 por 11.
···
Por exemplo, 235794
≡ ( 4 + 7 + 3) − (9 + 5 + 2) = 14 − 16 = −2 ≡ 9
mod 11.
Como conseq¨ uˆencia dos Exemplos anteriores, obtemos crit´erios de divisibilidade por 2, 3, 4, 5, 9, 10, 11, respectivamente, correspondendo ao caso em que o resto ´e 0. Proposi¸c˜ao 15 (Crit´erios de Divisibilidade) Seja a = a mam−1 . . . a1a0 um n´ umero inteiro positivo, a = a m10m + am−110m−1 +
· · · + a 10 + a , 1
0
121
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U F F
Congruˆencias m´ odulo n e os an´eis Z n
≤ a
≤ 9 e a = 0. Ent˜ao, (i) 2 divide a se, e somente se, a ∈ { 0,2,4,6,8}. onde 0
m, . . . , a0
m
0
(ii) 3 divide a se, e somente se, 3 divide am + am−1 + (iii) 4 divide a se, e somente se, 4 divide a1a0
· · · + a + a . 1
0
se, e somente se, 4 divide 2a1 + a0.
∈
(iv) 5 divide a se, e somente se, a0 { 0, 5}. (v) 9 divide a se, e somente se, 9 divide am + am−1 + (vi) 10 divide a se, e somente se, a0 = 0 .
· · · + a + a . 1
0
···
(vii) 11 divide a se, e somente se, 11 divide ( a0 + a2 + a4 + ) − (a1 + a3 + a5 + ). ´ imediata, pelos seis Exemplos anteriores, observando nos Demonstra¸c˜ao: E itens (i), (iv) e (vi) a condi¸ca˜o a0 { 0 , 1 , 2 , . . . , 9}.
···
∈
Veremos agora duas propriedades muito u´teis das congruˆencias. Proposi¸c˜ao 16 (Outras propriedades da congruˆencia) Sejam a, b, c, m, n Z, com n 2 e m 2 . Ent˜ao, mod m e a
≡ b
≥
≥
≡ b mod mmc(m, n). (ii) Se a · c ≡ b · c mod n e mdc(c, n) = 1 , ent˜ao a ≡ b mod n. (i) a
≡ b
∈
mod n se, e somente se, a
Demonstra¸c˜ao: (i) a
≡ b
mod m , a
≡ b
mod n
(ii) Em (1) usamos a hip´otese mdc(c,n) = 1. Veja o Exerc´ıcio 4 (a) da Se¸ca ˜o 4.
· ≡ b · c
a c
mod n =
⇒⇒ ⇒
(1)
= =
m | ( a − b), n | ( a − b)
⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒
ultiplo de m e de n a − b ´e m´ ultiplo do mmc(m, n) a − b ´e m´ mmc(m, n) | ( a − b) a b mod mmc(m, n).
≡
·
·
·
n | ( a c − b c) = (a − b) c n | ( a − b) a
≡ b
mod n.
Vamos resolver o item (b) do Exerc´ıcio 9 da Se¸ c˜ao anterior, usando congruˆencias e suas propriedades. Exemplo 36 Vamos mostrar que 45 | ( 133n + 173n), para todo n
≥ 1 ´ımpar.
Primeiramente, escrevemos 45 = 32 5 . Usaremos congruˆencia m´ odulo 9, congruˆencia m´ odulo 5 e a Proposi¸c˜ao anterior item (i), com 45 = mmc (9, 5).
·
U F F
122
M.L.T.Villela
Congruˆencias m´ odulo n e os an´eis Z n
PARTE 3 -
SEC ¸ ˜ AO 5
Temos 13
≡ 4
mod 9 =
⇒
133
≡ 4
3
= 64
133n + 173n = (133)n + 17 3n
≡ 1
mod 9 e 17
n
3n
≡ 8 ≡ −1
≡ 1 + (−1) = 1 − 1 = 0 ´ımpar, em virtude de 3n ≡ 1 · 1 = 1 mod 2.
mod 9. Logo,
mod 9, pois 3n ´e
Agora, 13
≡ 3
mod 5 e 17
≡ 2
mod 5 =
⇒ ⇒
= Ent˜ao, 133n + 173n = (133)n + (173)
n
´ımpar.
≡ 2
n
133 173 133
≡ 3 ≡ 2 ≡ 2
3 3
≡ 2 mod 5 e = 8 ≡ 3 ≡ − 2 mod 5 mod 5 e 17 ≡ − 2 mod 5. = 27
3
+ (−2)n = 2 n − 2n = 0 mod 5, pois n ´e
Como 133n + 17 3n 0 mod 9, 133n + 173n ent˜ao 133n + 173n 0 mod 45.
≡ ≡
≡0
mod 5 e 45 = mmc(9, 5),
Teorema 5 (Pequeno Teorema de Fermat) Seja p um natural primo. p
∈ Z, ent˜ao a ≡ a mod p. (ii) Se a ∈ Z e p n˜ao divide a, ent˜ao a ≡ 1 (i) Se a
p−1
mod p.
Demonstra¸c˜ao:
Veja o Exerc´ıcio 4 da Se¸ca ˜o 3.
∈ N. Faremos indu¸ca˜o sobre a. Se a = 0 , ent˜ao 0 = 0 ≡ 0 mod p. Seja a ≥ 0 e suponhamos que a ≡ a
(i) Seja a
p
p
(a + 1)p = a p +
p 1
ap−1 +
p 2
mod p. Ent˜ao
ap−2 +
p p−1
≡
···+
a + 1.
j p − 1 , temos que pj 0 mod p, para Como p | pj , para 1 1 j p − 1 , logo (a + 1 )p ap + 1 mod p . Pela hip´ otese de indu¸ca˜o, a + 1 mod p. Pela transitividade da congruˆ obtemos que ap + 1 encia mod p, temos
≤ ≤
(a + 1)p
≡ a
p
≡
+1
≤ ≤ ≡
≡ a + 1
mod p, isto ´e (a + 1)p
Logo, a propriedade vale para todo a
∈ N.
≡ a + 1
mod p.
p
∈ Z, a < 0. Ent˜ao, −a > 0 e (−a) ≡ −a mod p. Se p ´e um primo ´ımpar, temos −a = (−a) ≡ −a mod p, que ´e equivalente a a ≡ a mod p. Seja agora a
p
p
p
123
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Congruˆencias m´ odulo n e os an´eis Z n
≡
≡ ≡ ≡
Seja p = 2 . Ent˜ao, 1 + 1 = 2 0 mod 2, isto ´e, 1 − 1 mod 2, donde a = a 1 a (−1) = −a mod 2. Portanto, a 2 = (−a)2 − a a mod 2, completando a demonstra¸ca˜o de (i).
· ≡ ·
(ii) Suponhamos que p ∤ a. Ent˜ao, mdc(a, p) = 1 . Como a ap−1 = a p a = a 1 mod p e mdc(a, p) = 1 , pelo item (ii) da Proposi¸ca˜o anterior, temos ap−1 1 mod p.
·
≡
·
≡
Exemplo 37 Qual o resto da divis˜ ao de 20012006 − 1 por 17?
·
Como 2001 = 17 117 + 12 e 17 ´e primo, ent˜ ao 1 = mdc (2001, 17).
·
Al´em disso, 2006 = 16 125 + 6. Logo, 20012006 − 1 = 200116·125+6 − 1
= (200116)125 20016 − 1 1125 20016 − 1 = 20016 − 1 mod 17.
≡
·
6
6
≡ 12 mod 17 = 2001 − 1 ≡ 12 − 1 mod 17. − 1 ≡ (− 5) − 1 = 25 − 1 ≡ 8 − 1 = 64 · 8 − 1 ≡ (− 4) · 8 − 1 = −33 ≡ 1
2001 126
·
⇒
6
mod 17.
3
Logo, 20012006 − 1
≡ 2001
3
6
− 1
≡ 12
6
− 1
≡ 1
mod 17 e o resto ´e 1.
≥
Seja n 2 um inteiro. Pela Proposi¸ca˜o 12 a congruˆencia m´ odulo n ´e uma rela¸ca˜o de equivalˆencia. A classe de equivalˆencia a de um inteiro a na congruˆencia m´ odulo n ´e chamada de classe residual m´ odulo n. Lembre que . . .
∈ Z ; x ≡ a mod n} {x ∈ Z ; n | ( x − a)} {x ∈ Z ; x e a deixam o mesmo resto na divis˜ a o por n}.
a = {x
classes distintas s˜ao disjuntas.
= =
Exemplo 38 Seja n = 2 . Dado a Z, pela divis˜ao euclidiana, existem q e r, unicamente determinados, tais que a = 2 q + r, com 0 r 1 .
∈
·
Logo, a =
≤ ≤
⇐⇒ ⇐⇒ 0
e par a ´
1
a ´e ´ımpar
S´o h´a duas classes distintas m´ odulo 2, a saber 0 e 1. Das propriedades de rela¸ca˜o de equivalˆencia, Z = 0 U F F
∪ 1, onde 0 = 2Z e 1 = 2Z + 1.
124
M.L.T.Villela
Congruˆencias m´ odulo n e os an´eis Z n
PARTE 3 -
SEC ¸ ˜ AO 5
Sejam a, b inteiros. Ent˜ ao, a
≡ b
mod 2
⇐⇒ ⇐⇒ a = b
a e b s˜ ao ambos pares ou a e b s˜ ao ambos ´ımpares.
Exemplo 39 Seja n = 3 . Dado a Z, pela divis˜ao euclidiana, existem q e r, unicamente determinados, tais que a = 3 q + r, com 0 r 2 .
∈
·
Logo,
⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒
· ∈ Z; a = 3 · q + 1, para algum q ∈ Z; a = 3 · q + 2, para algum q ∈ Z. a = 3 q, para algum q
0
a =
≤ ≤
1 2
S´o h´a trˆes classes distintas m´ odulo 3, a saber, 0, 1 e 2. Das propriedades de rela¸ca˜o de equivalˆencia, Z = 0
∪ 1 ∪ 2, onde 0 = 3Z, 1 = 3Z + 1 e 2 = 3Z + 2.
Proposi¸c˜ao 17 Seja n 2. Para cada a Z existe um u ´nico r Z, com 0 r n − 1 , tal que a = r. Logo, h´ a n classes residuais m´odulo n distintas, a saber, 0 , 1 , . . . , n − 1, onde r = n Z + r e Z = 0 1 . . . n − 1.
≥
∈
∈
≤ ≤
∪ ∪ ∪
Demonstra¸c˜ao: Dado a Z, pela divis˜ao euclidiana de a por n, existe um u ´ nico r, com 0 r n − 1, tal que
≤ ≤
∈
a = q n + r, para algum q
·
Portanto, a
≡ r
∈ Z.
mod n e a = r , mostrando a existˆencia.
Sejam r, s inteiros tais que 0 Ent˜ao, −(n − 1) r − s r = s , mostrando a unicidade.
≤
≤ r, s ≤ n − 1 e r = s.
≤ n − 1 e n | r − s.
Logo, r − s = 0, isto ´e,
Defini¸c˜ao 13 (Conjunto das classes residuais m´odulo n) O conjunto quociente de Z pela congruˆencia m´ odulo n ´e representado por Zn e ´e chamado de conjunto das classes residuais m´ odulo n. Zn = { 0 , 1 , . . . , n − 1}. Exemplo 40 Z2 = { 0, 1} Z3 = { 0,1,2} 125
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Exemplo 47 Para cada j
PARTE 3 -
SEC ¸ ˜ AO 5
∈ {0 , 1 , . . . , 9}, temos que mdc(j, 10) = 1 se, e somente se,
∈ {1,3,7,9}. Logo,
j
Z∗10 = { 1,3,7,9},
·
·
com 3 7 = 1 e 9 9 = 1. Defini¸c˜ao 15 (Fun¸c˜ao de Euler) Seja n 2 um inteiro. A fun¸c˜ao de Euler ´e definida por
≥
φ(n) = ♯ { s
∈ Z ; 1 ≤ s < n e mdc(s, n) = 1}.
Exemplo 48 A fun¸ca˜o de Euler tem as seguintes propriedades: (i) φ ( p) = p − 1, se p ´e primo. (ii) φ( pm) = p m − pm−1, se p ´e primo e m 1 .
≥
·
·
(iii) φ(m n) = φ (m ) φ(n), se mdc(m, n) = 1 . Al´em disso, φ(n) ´e o n´umero de elementos invert´ıveis de Zn, isto ´e, φ(n) = ♯ Z∗n. Observa¸c˜ao: Seja n > 3. Suponhamos que n n˜ao ´e primo. Ent˜ ao, existem a, b Z, tais que n = a b, com 1 < a, b < n. Logo,
∈
·
·
·
0 = n = a b = a b, com a = 0 e b = 0 .
Portanto, se n n˜ao ´e primo, ent˜ao Z n n˜ao ´e um dom´ınio. Logo, Zn n˜ao ´e um corpo.
Lembre que . . .
Todo corpo ´e um dom´ınio.
Exemplo 49 Z2 e Z3 s˜ao corpos (Verifique). Z5 ´e um corpo, pois Z5 ´e um anel comutativo e todo elemento n˜ ao-nulo tem inverso, a saber,
·
·
1 1 = 1 , 2 3 = 6 = 1
·
e 4 4 = 16 = 1 .
Corol´ario 11 Seja n 2 . Zn ´e um corpo se, e somente se, n ´e primo.
≥
Demonstra¸c˜ao: ( =:) Suponhamos que n e´ primo. Ent˜ao, mdc(j, n) = 1, para todo j = 1, . . . , n − 1, e, pela Proposi¸ca˜o anterior, j e´ invert´ıvel. Logo, todo elemento n˜ao-nulo de Zn ´e invert´ıvel, mostrando que Zn ´e um corpo.
⇐ ⇒
(= :) Se n n˜ao ´e primo, pela Observa¸ ca˜o anterior, Zn n˜ao ´e um corpo.
= se, e somente se, ∼ Q = ∼ P.
P
⇒Q ⇒
129
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x = x 0 + t
·
n d
·
= x 0 + ( d q + r)
, . . . , x0 + ( d − 1) e x0, x0 + n d
n d
·
·
n d
·
= x 0 + q n + r
n d
· ≡ x + r · 0
n d
n˜ao s˜ao congruentes m´ odulo n.
Exemplo 52 Vamos resolver a congruˆencia 12 x
· ≡ 28
mod n
mod 8.
A equa¸ca˜o tem solu¸ca˜o, pois mdc(12, 8) = 4 e 4 | 28. Al´em disso, h´a 4 solu¸co˜es n˜ ao congruentes m´ odulo 8.
·
·
Usando o Algoritmo de Euclides, temos que 12 3 + 8 (− 4) = 4 . Portanto, 12 (21) + 8 (−28) = 28 , isto ´e x 0 = 21 e y 0 = −28 s˜ao solu¸co ˜es particulares de 12 x + 8 y = 28 .
·
·
·
·
Assim, x = 21 + r 48 = 21 + 2r, com r = 0, 1, 2, 3, s˜ao os representantes das solu¸co˜es n˜ ao congruentes m´ odulo 8, isto ´e, x = 21 , x = 23 , x = 25 e x = 27 .
·
As solu¸co˜es s˜ao as classes m´odulo 8 : x = 21 x = 25 1 mod 8 e x = 27 3 mod 8.
≡
≡
Exemplo 53 Vamos resolver a congruˆencia 245 x
· ≡ 95
≡ 5
mod 8, x = 23
≡ 7
mod 8,
mod 180.
A equa¸ca˜o tem solu¸ca˜o, pois mdc(245, 180) = 5 e 5 | 95. Al´em disso, h´a 5 solu¸co˜es n˜ ao congruentes m´ odulo 180.
·
·
Usando o Algoritmo de Euclides, temos que 245 (−11) + 180 15 = 5 . Como ao 245 ((−11) 19) + 180 (15 19) = 95 , isto ´e x0 = −209 e 95 = 5 19, ent˜ ao solu¸c˜oes particulares de 245 x + 180 y = 95 . y0 = 285 s˜
·
·
·
· · ·
·
Assim, x = −209 + r 180 ao os represen= −209 + 36r, com r = 0, 1, 2, 3, 4, s˜ 5 tantes das solu¸co˜es n˜ ao congruentes m´ odulo 180, isto ´e, x = −209, x = −173, x = −137, x = −101 e x = −65.
·
As solu¸co˜ es s˜ a o as classes m´ odulo 180: x = −209 151 mod 180, x = −173 7 mod 180, x = −137 43 mod 180, x = −101 79 mod 180 e x = −65 115 mod 180.
≡
≡
≡
≡
≡
Exerc´ıcios
≥
1. Mostre que se n 1 , ent˜ao o algarismo das unidades, na representa¸ca˜o na base 10 de 3n, s´o pode ser 1,3,7 ou 9. Ache os algarismos das unidades de 3400, 3 401, 3 402 e 3403. 2. Ache, na base 10, crit´erios de divisibilidade por: (a) 4, 25, 100. U F F
132
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PARTE 3 -
SEC ¸ ˜ AO 5
(b) 8, 125, 1000. (c) Generalize. 3. Sejam m e n inteiros ´ımpares. Mostre que: (a) 8 | ( m 2 − n2)
(b) 8 | ( m 4 + n4 − 2)
4. Mostre que para todo n´ umero natural n, 9 divide 10n + 3 4n+2 + 5.
·
5. Mostre que, para todo n´ umero inteiro positivo n, temos: (a) 9 | ( 10n − 1)
(d) 6 | ( 52n+1 + 1)
(g) 53 | ( 74n − 24n)
(b) 3 | ( 10n − 7n)
(e) 6 | ( 52n − 1)
(h) 19 | ( 32n+1 + 44n+2)
(c) 8 | ( 32n − 1)
(f) 13 | ( 92n − 42n)
(i) 17 | ( 102n+1 + 72n+1)
6. Determine os algarismos x, y, z para que, em cada caso, os n´ umeros abaixo, representados na base 10, tenham a propriedade mencionada: (a) 2x7y ´e divis´ıvel por 11 e por 4. (b) 28x75y ´e divis´ıvel por 3 e por 11 . (c) 45xy ´e divis´ıvel por 4 e por 9 . (d) 13xy45z ´e divis´ıvel por 8 , por 9 e por 11.
∈ Z, com m ≥ 2 e n ≥ 2. (a) Mostre que se a ≡ b mod n e m | n , ent˜ao a ≡ b mod m . (b) Seja d = mdc (c, n). Mostre que a · c ≡ b · c mod n se, e somente se, a ≡ b mod
7. Sejam a, b, c, m, n
n d
Sugest˜ao: Use a Proposi¸c˜ao 16 e o Exerc´ıcio 4 item (a) da Se¸c˜ao 4.
≥ 2, . . . , n ≥ 2. . . . , a ≡ b mod n ,
8. Sejam a, b, n1, . . . , ns inteiros, com n1
≡
Mostre que se a b mod n1, a b mod mmc(n1, . . . , ns).
≡
s
s
ent˜ao
≥ 2, e p, p , . . . , p naturais primos. · . . . · p . Mostre que a ≡ b mod n se, e somente
9. Sejam a, b e n inteiros, com n
1
s
αs 1 (a) Seja n = pα s 1 se, a b mod pαj , para todo j = 1, . . . , s.
≡ (b) Seja α ≥ 1 . Mostre que se a ≡ b
mod pα, ent˜ao a
≡ b
mod p.
10. Determine quais das afirma¸co˜es s˜ao falsas ou verdadeiras:
133
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≡ 24 mod 5 (b) 33 ≡ 57 mod 6 (c) 529 ≡ − 8 mod 3
≡ −72 mod 8 (e) 25 ≡ − 6 mod 4 (f) 15 ≡ − 7 mod 11
(a) 7
(d) −12
11. Determine o resto da divis˜ a o de a por n: (a) n = 7 , a = 128 45;
(c) n = 13 , a = 7 158;
(b) n = 11 , a = 13 378;
(d) n = 3 , a = 85 56.
× ×
12. Da igualdade 1001 = 7 11 13, deduza os seguintes crit´erios de divisibilidade por 7 , por 11 ou por 13 : Dado a = a mam−1 . . . a1a0, escrito na base 10, ent˜ao a ´e divis´ıvel por 7, por 11 ou por 13 se, e somente se, a2a1a0 − a5a4a3 + a8a7a6 − a11a10a9 +
···
´e divis´ıvel por 7, por 11 ou por 13. 13. Mostre que dado um n´ umero qualquer representado na base 10, (a) se subtrairmos do n´ umero a soma dos seus algarismos, o resultado ´e divis´ıvel por 9; (b) se subtrairmos do n´ umero outro qualquer formado por uma permuta¸ca˜o dos seus algarismos, o resultado ´e divis´ıvel por 9. 14. Determine o menor inteiro positivo que deixa restos 5, 4, 3 e 2 quando dividido, respectivamente, por 6, 5, 4 e 3. 15. Determine o menor m´ ultiplo positivo de 7 que tem resto 1 quando dividido por 2, 3, 4, 5 e 6. 16. (a) Fa¸ ca as tabelas da adi¸ca˜o e da multiplica¸ca˜o de Z 6, Z7 e Z8. (b) Determine todos os dividores de zero em Z6, Z7 e Z8. (c) Determine os elementos invert´ıveis de Z6, Z7 e Z8. 17. Determine os inversos de:
U F F
(a) 5 em Z6
(d) 4, 5 e 8 em Z9
(b) 3, 4 e 5 em Z7
(e) 1951 em Z2431
(c) 3, 5 e 7 em Z8
(f) 143 em Z210
134
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PARTE 3 -
SEC ¸ ˜ AO 5
18. Determine Z∗12. 19. (a) Determine o n´ umero entre 0 e 6 tal que 11 ´e congruente m´ odulo 7.
× 18 × 2322 × 13 × 19
(b) Determine o n´ umero entre 0 e 3 tal que a soma 1 + 2 + 22 + ´e congruente m´ odulo 4.
19
· · ·+2
20. Determine a solu¸ca˜ o geral e a menor solu¸ca˜o positiva de cada congruˆencia:
≡ 7 mod 3 (b) x ≡ − 1 mod 6
≡ 0 mod 7 (d) 14x + 7 ≡ 0 mod 21
(a) x
(c) 3x + 2
21. Seja a um inteiro. Mostre que: (a) a2 ´e congruente a 0, 1 ou 4 m´odulo 8; (b) se a ´e um cubo, ent˜ao a2 ´e congruente a 0, 1, 9 ou 28 m´odulo 36; (c) se 2 n˜ao divide a e 3 n˜ao divide a, ent˜ao a2
≡ 1
mod 24.
22. Resolva as congruˆencias:
≡ 5 mod 7 (b) 4x ≡ 2 mod 3 (c) 7x ≡ 21 mod 49 (d) 3x ≡ 1 mod 6
≡ 12 mod 42 (f) 12x ≡ 9 mod 15 (g) 240x ≡ 148 mod 242 (h) 6125x ≡ 77 mod 189
(a) 3x
(e) 18x
≡ 2
23. Determine o menor inteiro y maior do que 1000, tal que y e y 3 mod 13.
≡
24. Determine os inteiros x, tais que x 285 x 476 .
≤ ≤
≡
3 mod 13, x
≡
mod 7
2 mod 7 e
25. Sejam m, n naturais primos entre si. Para quaisquer inteiros a, b mostre que :
∈ Z,
∈ Z solu¸ca˜o do sistema de congruˆencias x ≡ a mod m x ≡ b mod n (b) Se x, y s˜ao solu¸c˜oes do sistema acima, ent˜ ao x ≡ y mod mmc(m, n). (a) Existe x
135
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Congruˆencias m´ odulo n e os an´eis Z n
26. Determine as solu¸co˜es do sistema de congruˆencias:
U F F
≡ 4 mod 5 x ≡ − 2 mod 8
x
136
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Homomorfismos de an´ eis comutativos com unidade PARTE 3 -
SEC ¸ ˜ AO 6
Homomorfismos de an´ eis comutativos com unidade Trataremos aqui apenas de homomorfismos em an´eis comutativos com unidade, em virtude de termos introduzido o conceito de ideais apenas em an´eis comutativos com unidade. Defini¸c˜ao 16 (Homomorfismo) Sejam A , B an´eis comutativos com unidades, respectivamente, 1 A e 1 B. Uma fun¸ca˜o f : A eis se, e somente se, para B ´e um homomorfismo de an´ quaisquer x, y A
− ∈
→
A adi¸c˜ ao e a multiplica¸ca ˜o a ` esquerda da igualdade s˜ao do anel A, enquanto a adi¸c˜ ao e a multiplica¸ca ˜o a ` direita s˜ ao do anel B.
(i) f(x + y) = f (x) + f( y), (ii) f(x y) = f (x) f( y),
·
·
(iii) f(1A) = 1 B.
Exemplo 54 A fun¸ca˜o f : Z Z Z definida por f(x) = (x, x), para todo x homomorfismo de an´eis.
−
→
De fato, sejam x, y
×
∈ Z ´e um
∈ Z. Ent˜ao,
f(x + y) = (x + y, x + y) = (x, x) + ( y, y) = f (x) + f( y) , f(x y) = (x y, x y) = (x, x) ( y, y) = f (x) f( y) e
·
·
f(1) = (1, 1).
·
·
·
Exemplo 55 A fun¸ca˜o g : Z Z Z definida por g (x, y) = x , para todo ( x, y) ´e um homomorfismo de an´eis.
× −
→
∈ Z × Z,
Esse homomorfismo ´ ea proje¸ ca ˜o na primeira coordenada.
Exemplo 56 Seja A um anel comutativo com unidade 1A.
−
A fun¸ca˜o identidade I : A um homomorfismo de an´eis. Exemplo 57 Seja a Z.
∈
→
∈ A, ´e
A definida por I(x) = x, para todo x
A fun¸ca˜o avalia¸c˜a o em a, ϕa : Z[x ] um homomorfismo de an´eis.
−
→
Z, definida por ϕa(f(x)) = f(a) ´e
Proposi¸c˜ao 20 (Propriedades dos homomorfismos) Sejam A e B an´eis comutativos com unidades e f : A de an´eis. Ent˜ao:
−
→
B um homomorfismo
137
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Homomorfismos de an´ eis comutativos com unidade
(i) f (0A) = 0 B.
∈
(ii) f(−a) = −f(a), para qualquer a A . (iii) f(A) ´e um subanel de B.
(iv) Se a ´e invert´ıvel em A, ent˜ao f(a) ´e invert´ıvel em B e f(a)−1 = f (a−1). Demonstra¸c˜ao: (i) Como 0A = 0 A + 0A e f ´e homomorfismo de an´eis, ent˜ ao f(0A) = f (0A + 0A) = f (0A) + f(0A).
Logo, f(0A) = f (0A) + f (0A). Adicionando −f(0A) a ambos os membros da igualdade acima, obtemos Na u ´ ltima igualdade usamos a associatividade da adi¸ c˜ ao do anel B.
0B = f (0A) − f(0A) = (f(0A) + f(0A)) − f(0A) = f (0A).
∈
(ii) Seja a A. Como vale a propriedade do item (i), 0A = a + (−a) e f ´e homomorfismo de an´eis temos que 0B = f (0A) = f (a + (−a)) = f (a) + f(−a),
∈
mostrando que f(−a) = −f(a), para qualquer a A . f(A). Agora, sejam a, a′ A. Ent˜ (iii) Primeiramente, 0B = f(0A) ao, a + a′ A , a a′ A e −a A . Como f ´e homomorfismo de an´eis, temos:
∈
∈
· ∈
∈ f(a) + f(a′ ) = f (a + a′ ) ∈ f (A), f(a) · f(a′ ) = f (a · a′ ) ∈ f (A) e, pela propriedade (ii), −f(a) = f (−a) ∈ f (A),
∈
mostrando que f(A) ´e um subanel de B.
(iv) Temos 1 A = a a−1 e 1 B = f (1A) = f (a a−1) = f (a) f(a−1), mostrando que f(a−1) ´e o inverso de f(a), isto ´e, f(a−1) = f (a)−1.
·
·
Defini¸c˜ao 17 (N´ucleo) Sejam A, B an´eis comutativos com unidades e f : A O n´ e o conjunto definido por ucleo de f ´
·
−
→
B um homomorfismo.
∈
N´ucleo(f) = { a A ; f(a) = 0 B}. Exemplo 58 No Exemplo 54 temos N´ucleo(f) = { x U F F
∈ Z ; f(x) = (x, x) = (0, 0)} = {x ∈ Z ; x = 0} = {0}.
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Homomorfismos de an´ eis comutativos com unidade PARTE 3 -
SEC ¸ ˜ AO 6
Exemplo 59 No Exemplo 55 temos N´ucleo(g) = {(x, y)
∈ Z × Z ; g(x, y) = x = 0} = {(0, y) ; y ∈ Z} = 0 × Z.
Antes de vermos mais propriedades do n´ ucleo de um homomorfismo de an´eis, vamos introduzir um tipo especial de ideal muito importante, a saber, ideal primo. Defini¸c˜ao 18 (Ideal primo) Seja A um anel comutativo com unidade. Um ideal P de A, P = A, ´e um ideal primo se, e somente se, se a, b A e a b P , ent˜ ao a P ou b P .
∈
· ∈
∈
∈
Exemplo 60 Seja A um dom´ınio. O ideal I = {0} ´e um ideal primo, pois se a, b a b = 0 , ent˜ ao a = 0 ou b = 0 .
·
Exemplo 61 Em Z, o ideal I(15) = 15 Z n˜ao ´e um ideal primo, pois 15 com 3 I (15) e 5 I (15).
∈
∈
∈ A e
∈ I(15), 15 = 3 · 5,
Exemplo 62 No dom´ınio dos inteiros todo ideal I = p Z, gerado por um natural primo p, ´e um ideal primo. I = pZ, ent˜ De fato, pZ Z e se a, b Z com a b ao p divide a b e, como p ´e primo, temos que p divide a ou p divide b. Logo, a pZ ou b p Z.
∈
· ∈
∈
∈
Proposi¸c˜ao 21 (Propriedades do N´ucleo) Sejam A, B an´eis comutativos com unidades e f : A Ent˜ao,
−
→
·
B um homomorfismo.
(i) f ´e um homomorfismo injetor se, e somente se, N´ ucleo(f) = { 0A}. (ii) N´ucleo de f ´e um ideal de A. (iii) Se B ´e um dom´ınio, ent˜a o N´ ucleo(f) ´e um ideal primo de A. Demonstra¸c˜ao: (i) Suponhamos, primeiramente, que f seja um homomorfismo injetor. Se x est´ a no N´ ucleo(f), ent˜ao f(x) = 0B = f(0A), pelo item (i) da Proposi¸ca˜o anterior. Como f ´e injetor, temos x = 0 A. Logo, N´ ucleo(f) = { 0A}. Reciprocamente, suponhamos que N´ ucleo(f) = {0A} e sejam a, a′ com f(a) = f (a′). Ent˜ao, 0B = f (a′ ) − f(a) = f (a′ ) + f(−a) = f (a′ − a).
∈ A A segunda igualdade segue do item (ii) da Proposi¸ca ˜o anterior.
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Homomorfismos de an´ eis comutativos com unidade
Logo, a′ − a N´ucleo(f) = {0A}, isto ´e, a′ − a = 0A, ent˜ao a′ = a, mostrando que f ´e injetor.
∈
∈
∈
(ii) Sejam x, y N´ ucleo(f) e a A . Ent˜ao, f(0A) = 0 B,
f(x + y) = f (x) + f( y) = 0 B + 0B = 0 B e
·
·
·
f(a x) = f (a) f(x) = f (a) 0B = 0 B.
Conclu´ımos, respectivamente, que 0A N´ucleo(f), x + y ucleo(f) ´e um ideal de A. a x N´ucleo(f), mostrando que N´
∈
· ∈
∈
N´ucleo(f) e
(iii) Pelo item anterior, N´ ucleo(f) ´e um ideal de A. Falta mostrar que ´e A tais que a a′ um ideal primo. Sejam a, a′ N´ucleo(f). Ent˜ao, 0B = f (a a′ ) = f (a) f(a′ ). Como B ´e um dom´ınio, temos que f(a) = 0 B ou f(a′ ) = 0 B. Logo, a N´ ucleo(f) ou a′ N´ ucleo(f).
·
∈
· ∈
· ∈
∈
Veremos agora uma propriedade interessante dos homomorfismos bijetores de an´eis. Proposi¸c˜ao 22 B um homomorfismo Sejam A , B an´eis comutativos com unidades e f : A A ´ bijetor. Ent˜ ao, a fun¸c˜ao f−1 : B e um homomorfismo bijetor.
−
→
∈
−
→
∈
Demonstra¸c˜ao: Para cada b B, existe um u ´ nico a A tal que f(a) = b, seguindo a existˆencia do fato de f ser sobrejetor e a unicidade do fato de f ser injetor. Assim, a fun¸ca˜o f−1 ´e definida por f−1(b) = a se, e somente se, f(a) = b .
Sejam b, b′ f(a′ ) = b ′ e Em (1) usamos que f ´e um homomorfismo; em (2), a defini¸ca ˜o da composi¸ca ˜o de fun¸co ˜es; em (3), f− 1 f = IA ; e em (4), a defini¸c˜ ao de f− 1 .
−1
ao, f(a) = b, (b) = a e f−1(b′ ) = a′ . Ent˜
∈ B, com f
f−1(b + b′ ) = f−1(f(a) + f(a′ )) (1)
= f−1(f(a + a′ ))
(2)
= (f−1 f)(a + a′ )
◦
(3)
◦
= a + a′
(4)
= f−1(b) + f−1(b′ )
Em (1) usamos que f ´e um homomorfismo; em (2), a defini¸ca ˜o da composi¸ca ˜o de fun¸co ˜es; em (3), f− 1 f = IA ; e em (4), a defini¸c˜ ao de f− 1 .
◦
f−1(b b′ ) = f−1(f(a) f(a′ ))
·
(1)
·
= f−1(f(a a′ ))
(2)
·
= (f−1 f)(a a′ )
(3)
◦
= a a′
(4)
·
·
= f−1(b) f−1(b′ ).
U F F
·
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Como f−1(1B) = 1 A, mostramos que f−1 ´e um homomorfismo.
∈
∈
Para cada a A , tome b = f (a) B . Ent˜ao, a = (f−1 f)(a) = f −1(f(a)) = f −1(b),
◦
Veja na Se¸ca ˜o 2 da Parte 1: − 1 f f = IA = f− 1 sobrejetor, f f− 1 = IB = f− 1 injetor.
◦
mostrando que f−1 ´e sobrejetor. Se f−1(b) = f −1(b′), ent˜ao b = f (f−1(b)) = f (f−1(b′)) = b ′, mostrando que f−1 ´e injetor.
◦
⇒ ⇒
Defini¸c˜ao 19 (Isomorfismo) Sejam A, B an´eis comutativos com unidades. Dizemos que A e B s˜ ao an´eis B. isomorfos se, e somente se, existe um homomorfismo bijetor f : A
−
→
Desempenham um papel importante a n´ıvel elementar, entre os an´eis comutativos com unidade, os dom´ınios.
∈
∈ Z definimos
d+
+ d , se n > 0
Seja D um dom´ınio. Para d D , n
·· · ·· · n parcelas
nd =
0D , se n = 0
(−d) +
+ (−d) , se n < 0
−n parcelas
Existe um u ´nico homomorfismo de an´eis ρ : Z a saber, ρ(n) = n1 D, para qualquer n Z.
∈
−
→
D, tal que ρ(1) = 1 D,
De fato, suponhamos que ρ seja um homomorfismo do anel Z no dom´ınio D, tal que ρ(1) = 1 D. Ent˜ao, ρ(2) = ρ (1 + 1) = ρ (1) + ρ(1) = 1 D + 1D = 21 D. Por indu¸ca˜o, sobre n 1 , mostramos que ρ(n) = n1 D, para todo n 1 . Se n < 0, ent˜ao −n > 0 e, pelo item (ii) da Proposi¸ca ˜o 20,
≥
≥
···
ρ(n) = −ρ(−n) = −(−n1D) = −(1D +
+ 1D) = (−1D) +
−n parcelas
··· + (−1
D)
−n parcelas
= n1 D.
Au ´ltima igualdade segue da defini¸ca ˜o de n1D .
Como ρ tem a propriedade (i) da Proposi¸ c˜ao 20, temos que ρ(n) = n1 D, para todo n Z, mostrando a unicidade. Basta agora apenas verificar (fa¸ ca vocˆe mesmo), que a express˜ ao acima define um homomorfismo.
∈
O n´ucleo de ρ ´e um ideal de Z e N´ucleo(ρ) = Z, pois 1 N´ ucleo(ρ).
Mais ainda, N´ ucleo(ρ) ´e um ideal primo de Z.
∈
De fato, se a, b Z e a b N´ucleo(ρ), ent˜ao 0D = ρ(a b) = ρ(a) ρ(b). Como D ´e um dom´ınio, temos que ρ(a) = 0 D ou ρ (b) = 0 D, isto ´e, a N´ucleo(ρ) ou b N´ ucleo(ρ).
· ∈
∈
· ∈
·
Poder´ıamos ter usado o item (iii) da Proposi¸ca ˜o 21.
∈
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Homomorfismos de an´ eis comutativos com unidade
Os ideais primos de Z s˜ ao {0} ou I( p), o ideal principal gerado por p, onde p ´e um natural primo. O homomorfismo ρ ´e chamado de homomorfismo caracter´ıstico. Quando N´ ucleo(ρ) = { 0} dizemos que D ´e um dom´ınio de caracter´ıstica 0. Nesse caso, n1 D = 1 D + + 1D = 0 D, para qualquer n > 0 e escrevemos
·· · n parcelas
car(D) = 0 . Mais ainda, {n1D ; n
∈ Z} ´e um subanel de D isomorfo a Z.
Quando N´ ucleo(ρ) = I( p), p primo, dizemos que D ´e um dom´ınio de caracter´ıstica p. Nesse caso, p1D = 1D + + 1D = 0D e, al´em disso, os
·· · ·· · p parcelas
elementos 0D, 1D, 1D + 1D, . . . , 1D +
ao distintos. + 1D s˜
p−1 parcelas
Mais ainda, { n1D ; n Z} = { 0D, 1D, 21D, . . . , ( p − 1)1D} ´e um subanel de D que ´e um corpo isomorfo a Z p.
∈
Lembre que . . .
Todo corp o ´ e um dom´ınio.
Exemplo 63 Q, R e C s˜ ao corpos de caracter´ıstica 0, assim como Q( 2).
√
√ √ Os dom´ınios Z[ 2 ] e Z[ 5 ] s˜ ao dom´ınios de caracter´ıstica 0. Exemplo 64 O corpo Zp dos res´ıduos m´ odulo p, onde p ´e primo, ´e de caracter´ıstica p. O anel de polinˆomios Z p[x ] ´e um dom´ınio de caracter´ıstica p.
Lembre que . . .
0D < 1D < 1D + 1D <
· ·· .
Exemplo 65 Se D ´e um dom´ınio ordenado, ent˜ ao car(D) = 0 . Mostraremos agora que “a menos de isomorfismo” Z ´e o u ´nico dom´ınio bem ordenado. Defini¸c˜ao 20 (Homomorfismo de an´eis ordenados) Sejam A, B an´eis ordenados. Dizemos que uma fun¸ c˜ao f : A homomorfismo de an´eis ordenados se, e somente se, (i) f ´e um homomorfismo;
−
→
B ´e um
(ii) se a, a′
∈ A e a ≤ a′, ent˜ao f(a) ≤ f(a′).
Teorema 8 Seja D um dom´ınio bem ordenado. Ent˜ ao, existe um isomorfismo f : Z de an´eis ordenados.
−
→
D
Demonstra¸c˜ao: Seja f o u ´ nico homomorfismo de Z em D tal que f(1) = 1D, ´ claro que f ´e um isto ´e, f ´e o homomorfismo caracter´ıstico e f(n) = n1 D. E homomorfismo de an´eis ordenados, pois se n > n′ , ent˜ao n1 D > n′ 1D. Como ao N´ ucleo(f) = { 0} e, portanto, f ´e injetora. D ´e um dom´ınio ordenado, ent˜ U F F
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Homomorfismos de an´ eis comutativos com unidade PARTE 3 -
∈
Vamos mostrar que f ´e sobrejetora, equivalentemente, que d D ´e da forma d = n1D, para algum n Z. Suponhamos, por absurdo, que exista d D tal que d = n1 D, para todo n Z.
∈
∈
SEC ¸ ˜ AO 6
Aqui vamos usar a hip´ otese de D ser bem ordenado.
∈
Consideremos os subconjuntos de D S = { n1D ; n
∈ Z e n1
D >
d} e T = { n1D ; n
∈ Z e n1
D <
d}.
∅
Mostraremos que S = T = , o que ´e uma contradi¸ca˜o.
∅
Suponhamos que S = . Pelo Princ´ıpio da Boa Ordena¸ ca˜o, S tem menor elemento, digamos m1D, logo m1D > d. Como (m − 1 )1D S, temos que ario (m −1)1D d . Sendo (m −1)1D = d , obtemos (m −1)1D < d. Pelo Corol´ 1 da Proposi¸ca˜o 12 da Se¸c˜ao 4 na Parte 2, m1 D = (m − 1)1D + 1D d , uma contradi¸ca˜o.
≤
∈
≤
∅
Suponhamos que T = . Pelo Exerc´ıcio 9 da Se¸ ca˜ o 4 da Parte 2, T tem maior elemento m1D, logo m1D < d. Como (m + 1)1D T , temos que ario (m +1)1D d . Sendo (m +1)1D = d , obtemos (m +1)1D > d. Pelo Corol´ 1 da Proposi¸ca˜o 12 da Se¸ca˜o 4 da Parte 2 , d + 1D ( m + 1)1D = m1 D + 1D, que ´e equivalente a d m1 D, uma contradi¸ca˜o.
≥
∈
≤
≤
Exerc´ıcios 1. Determine quais das fun¸ co˜es s˜ao homomorfismos de an´eis comutativos com unidade. (a) f : Z
− Z × Z definida por f(x) = (0, x). (b) f : Z × Z − Z definida por f(x, y) = y . (c) f : Z − Z definida por f (x) = x , onde n ∈ N e n ≥ 2 . (d) f : Z − Z definida por f(x) = nx, onde n ∈ N e n ≥ 2 . (e) ϕ : R[x ] − R definida por ϕ (f(x)) = f(a) , onde a ∈ R est´a
→ → → → → n
a
fixo.
a
2. Determine o n´ ucleo dos homomorfismos do Exerc´ıcio anterior e diga quais s˜ao homomorfismos injetores. 3. Sejam A um anel comutativo com unidade, B um dom´ınio e f : A um homomorfismo. (a) Mostre que N´ ucleo(f) ´e um ideal primo de A.
−
→
B
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Homomorfismos de an´ eis comutativos com unidade
(b) Mostre que se A ´e um corpo, ent˜ao f ´e injetor. 4. Considere a seguinte fun¸c˜ao ϕ : R[x ] f(x)
− −
→→
R f(0)
(a) Mostre que ϕ ´e um homomorfismo de an´eis. (b) Mostre que ϕ ´e sobrejetor e N´ ucleo(ϕ) = I (x), onde I (x) ´e o ideal gerado por x. 5. Considere a seguinte fun¸c˜ao ϕ : Z[x ] f(x)
− −
→→
Z f(0)
(a) Mostre que ϕ ´e um homomorfismo de an´eis. (b) Mostre que ϕ ´e sobrejetor e N´ ucleo(ϕ) = I (x), onde I (x) ´e o ideal gerado por x.
−
6. Sejam A, B an´eis comutativos com unidades e f : A morfismo. Mostre que:
→
B um homo-
(a) se I ´e um ideal de A, ent˜ao f(I) ´e um ideal de f(A); (b) se J ´e um ideal de B, ent˜ao f−1(J) ´e um ideal de A, onde f−1(J) = { a
∈ A ; f(a) ∈ J}
´e a imagem inversa de J por f; (c) se J ´e um ideal primo de B, ent˜ao f−1(J) ´e um ideal primo de A; (d) se I ´e um ideal primo de A e N´ucleo(f) primo de f(A).
⊂ I, ent˜ao f (I) ´e um ideal
7. Seja S o conjunto dos an´eis comutativos com unidades. Defina a rela¸ca˜o bin´aria em S : A ∼ B
⇐⇒
existe isomorfismo f : A
−
Mostre que ∼ ´e uma rela¸c˜ao de equivalˆencia em S. U F F
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→
B.