Akan diduga rataan pendapatan dari pelayan restoran di kota-kota besar di Jawa. Diambil sampel secara acak sebanyak 75 orang pelayan restoran, didapatkan rataan pendapatannya adalah Rp 130.000,- dengan simpangan baku Rp 20.000,-
Tentukan :
95% selang kepercayaan rataan pendapatan pelayan restoran di kota-kota besar di Jawa.
70% selang kepercayaan rataan pendapatan pelayan restoran di kota-kota besar di Jawa.
Jawab :
N = 100
x = Rp 130.000
95% selang kepercayaan 100%-α=95% α=5% ½ α=2,5% Z0,025 = - 1,96s = Rp 20.000
95% selang kepercayaan 100%-α=95%
α=5%
½ α=2,5%
Z0,025 = - 1,96
( 1- α ) 100% selang kepercayaan untuk μ adalah
= x ± Z12a s/n
= 130.000 ± 1,96 ( 20.000/100 )
= 130.000 ± 1,96 ( 2000 )
=130.000 ± 3920
Jadi 95% selang kepercayaan rataan pendapatan pelayan restoran di kota-kota besar di Jawa adalah 126.080 < μ < 133.920.
70% selang kepercayaan
100%-α=70%
α=30%
½ α=15%
Z0,15 = - 1,03
( 1- α ) 100% selang kepercayaan untuk μ adalah
= x ± Z12a s/n
= 130.000 ± 1,03 ( 20.000/100 )
= 130.000 ± 1,03 ( 2000 )
=130.000 ± 2060
Jadi 70% selang kepercayaan rataan pendapatan pelayan restoran di kota-kota besar di Jawa adalah 127.940< μ < 132.060
4 kantong sedang diambil secara acak dari suatu penyalur beras dimana masing-masing beratnya 5.4 , 5.3 , 4.7 , 4.6 kg. Berapakah 90% selang kepercayaan untuk rataan berat kantong beras di penyalur tersebut? Jika dianggap kantong-kantong beras tersebut sebarannya mendekati normal.
Jawab:
Banyaknya sampel (n) = 4
Rataan sampel (x) = 5
Simpangan Baku (s) = (x-x ) 2n-1 = (5.4-5)2+(5.3-5)2+(4.7-5)2+(4.6-5)24-1 = 0.41
90% selang kepercayaan 100%-α=90% α=10% ½ α=5% t12α , n-1 = t0,05 , 3 = 2. 353
90% selang kepercayaan 100%-α=90%
α=10%
½ α=5%
t12α , n-1 = t0,05 , 3
= 2. 353
( 1- α ) 100% selang kepercayaan untuk μ adalah
= x ± t12a, n-1 s/n
= 5 ± 2.353 (0.41)/4)
= 5 ± 0.482465
Jadi 90% selang kepercayaan untuk rataan berat kantong beras di penyalur tersebut adalah
4.52 < μ < 5.48
6.3 Dari hasil wawancara 16 kepala keluarga di suatu daerah diproleh bahwa pendapatan rata-rata perbulan Rp 50.000 dengan simpangan baku Rp 1000 . Carilah 90% selang kepercayaan pendapatan rata-rata perbulan para kepala keluarga di daerah tersebut!
90% selang kepercayaan 100%-α=90% α=10% ½ α=5% t12α , n-1 = t0,05 , 15 = 1.753 Jawab :
90% selang kepercayaan 100%-α=90%
α=10%
½ α=5%
t12α , n-1 = t0,05 , 15
= 1.753
n = 16
n-1 = 15
`x = 50000
S = 1000
90% selang kepercayaan pendapatan rata-rata perbulan para kepala keluarga di daerah tersebut adalah
= x ± t12a, s/n
= 50000 ± 1.753 ( 1000/ 16 )
= 50000 ± 438.25
Jadi 90% selang kepercayaan pendapatan rata-rata perbulan para kepala keluarga di daerah tersebut adalah
49561.75 < μ < 50438.25
6.5 Suatu propinsi ingin menduga penduduk yang menjadi pegawai negri. Untuk itu diambil sampel sebanyak 700 penduduk secara acak. Ternyata 96 orang diantaranya adlah pegawai negri. Berapakah 80% selang keprcayaan propinsi penduduk propinsi tersebut yang menjadi pegawai negri?
Jawab:
n = 700
p =96/700 = 0.13
80% selang kepercayaan 100%-α=80% α=20% ½ α=10% Z12α = -1.27( 1- α ) 100% selang kepercayaan untuk propinsi adalah
80% selang kepercayaan 100%-α=80%
α=20%
½ α=10%
Z12α = -1.27
P ± Z12aP(1-P)n
= 0.13 ± 1.270.13(1-0.13)700
= 0.13 ± 0.016
Jadi 80% selang kepercayaan untuk propinsi adalah
0,114 < P < 0,146
6.6 Suatu Pabrik yang membuat suku cadang menduga proporsi cacat dari hasil produksinya, diambil sampel sebanyak 400 didapatkan cacat sebanyak 34. Berapa 85% selang kepercayaan proporsi hasil produksi yang cacat?
Jawab:
Banyak sampel (n) = 400 , 35 diantaranya cacat
80% selang kepercayaan 100%-α=85% α=15% ½ α=7.5% Z12α = -1.44 proporsi cacat (p) = 34/400 = 0.085
80% selang kepercayaan 100%-α=85%
α=15%
½ α=7.5%
Z12α = -1.44
( 1- α ) 100% selang kepercayaan untuk propinsi adalah
P ± Z12aP(1-P)n
= 0.085 ± 1.440.085(1-0.085)400
= 0.085 ± 0.02
Jadi 85% selang kepercayaan untuk proporsi cacat adalah
0,065 < P < 0,105
90% selang kepercayaan 100%-α=90% α=10% ½ α=5% Z12α = -1.6456.7 Dari pengamatan 1000 mahasiswa di suatu kota didapatkan 600 diantaranya menggunakan kendaraan bermotor bila pergi kuliah. Carilah 90% selang kepercayaan untuk persentase mahasiswa-mahasiswa yang bila pergi kuliah menggunakan kendaraan bermotor.
90% selang kepercayaan 100%-α=90%
α=10%
½ α=5%
Z12α = -1.645
Jawab:
n = 1000
p = 600/1000 =0.6
( 1- α ) 100% selang kepercayaan untuk persentase mahasiswa-mahasiswa yang bila pergi kuliah menggunakan kendaraan bermotor adalah
P ± Z12aP(1-P)n
= 0.6 ± 1.6450.6(1-0.6)1000
= 0.6 ± 0.0255
Jadi 90% selang kepercayaan untuk persentase mahasiswa-mahasiswa yang bila pergi kuliah menggunakan kendaraan bermotor adalah
0,5745 < P < 0,6255
6.8 Data berikut menunjukkan berat tabung gas LPG yang diambil secara acak di pasaran 44.4 , 45.11 , 43.8 , 46.0 , 44.1 , 45.9 , 45.8 , 46.9 , 43.8 , 45.9 . tentukan 95% selang kepercayaan untuk varians dari Berat tabung gas LPG yang ada di pasaran
Jawab:
No
X
X - X
(X - X)2
1
44.40
-0.77
0.59
2
45.11
-0.06
0.00
3
43.80
-1.37
95% selang kepercayaan 100%-α=95% α=5% ½ α=2.5% Derajat kebebasan (dk) = n -1 = 9 X0.025 , 92 = 19.023 X0.975 , 92 = 2.7 ( tabel hal 134 )1.88
95% selang kepercayaan 100%-α=95%
α=5%
½ α=2.5%
Derajat kebebasan (dk) = n -1 = 9
X0.025 , 92 = 19.023
X0.975 , 92 = 2.7 ( tabel hal 134 )
4
46.00
0.83
0.69
5
44.10
-1.07
1.15
6
45.90
0.73
0.53
7
45.80
0.63
0.40
8
46.90
1.73
2.99
9
43.80
-1.37
1.88
10
45.90
0.73
0.53
451.71
10.64
X= Xn =451.7110 = 45.171S2 = (X - X)2n-1 = 10.649 = 1.2
X= Xn =451.7110 = 45.171
S2 = (X - X)2n-1 = 10.649 = 1.2
( 1- α ) 100% selang kepercayaan untuk σ2 adalah
= (n-1)s2X12α2 < σ2 < (n-1)s2X1-12α2
= 9(1.2)19.023 < σ2 < 9(1.2)2.7
= 0.57 < σ2 < 4
Jadi 95% selang kepercayaan untuk varians dari Berat tabung gas LPG yang ada di pasaran adalah
0.57 < σ2 < 4
6.11 Suatu sampel acak sebesar 500 keluarga konsumen golongan masyarkat A dan 600 keluarga konsumen golongan masyarakat B telah dipilih untuk suatu penelitian . dari golongan A ternyata 200 menyatakan senang terhadap suatu hasil produksi tertentu, sedangkan dari B, 150 keluarga menyatakan senang terhadap barang hasil produksi tersebut. Tentukan 95% selang kepercayaan untuk selisih proporsi sesungguhnya kedua golongan konsumen tersebut!
Jawab:
na = 500 nb = 600
Pa = 200/500 Pb = 150/600
95% selang kepercayaan 100%-α=95% α=5% ½ α=2,5% Z0,025 = - 1,96 = 0.4 = 0.125
95% selang kepercayaan 100%-α=95%
α=5%
½ α=2,5%
Z0,025 = - 1,96
( 1- α ) 100% selang kepercayaan untuk Pa-Pb adalah
(Pa-Pb) ± Z12aPa(1-Pa)na+Pb(1-Pb)nb
(0.4-0.25) ± 1.960.4(1-0.4)500+0.25(1-0.25)600
0.15 ± 1.960.00048+0.00031
0.15 ± 0.0551
Jadi 95% selang kepercayaan untuk selisih proporsi sesungguhnya kedua golongan konsumen tersebut adalah
0.0949 < Pa-Pb< 0.2051
6.12 Suatu pabrik membuat suku cadang mempunyai 2 metode yaitu metode A dan B sampel dari metode A maupun metode B diambil untuk mengetahui apakah metode A memberikan hasil produksi yang lebih baik . ada 90 dari 1200 suku cadang diambil dari metode A secara acak ternyata cacat dan ada 95 dari 1500 yang berasal dari metode B ternyata cacat. Carilah 90% selang kepercayaan untuk selisih yang sesungguhnya proporsi cacat dari ke-2 metode tersebut!
Jawab:
na = 1200 nb = 1500
Pa = 90/1200 Pb = 75/1500
95% selang kepercayaan 100%-α=90% α=10% ½ α=5% Z0,05 = -1.645 = 0.075 = 0.05
95% selang kepercayaan 100%-α=90%
α=10%
½ α=5%
Z0,05 = -1.645
( 1- α ) 100% selang kepercayaan untuk Pa-Pb adalah
(Pa-Pb) ± Z12aPa(1-Pa)na+Pb(1-Pb)nb
(0.075-0.05)± 1.6450.075(1-0.075)1200+0.05(1-0.05)1500
0.025 ± 1.6450.0000578+0.00003
0.025 ± 0.01556
Jadi 90% selang kepercayaan untuk selisih yang sesungguhnya proporsi cacat dari ke-2 metode tersebut adalah
0.00944 < Pa-Pb< 0.04056
Soal latihan
4. suatu sistem peluncuran dengan metode tertentu sedang dipertimbangkan untuk dipakai meluncurkan sebuah roket jarak pendek. Sistm sekarang mempunyai peluang berhasil meluncurkan roket = 0.8. sampel sebanyak 40 kali peluncuran prcobaan dengan metode baru menunjukkan 34 yang berhasil.
Hitung penduga titik peluang peluncuran yang berhasil dengan metode baru!
Tentukan 95% selang kepercayaan untuk peluang tersebut.
Jawab;
Banyak sampel (n) = 40
Berhasil = 34
penduga titik peluang peluncuran yang berhasil dengan metode baru
P = 34/40
=0,85
95% selang kepercayaan 100%-α=95% α=5% ½ α=2,5% Z0,025 = - 1,9695% selang kepercayaan untuk peluang tersebut
95% selang kepercayaan 100%-α=95%
α=5%
½ α=2,5%
Z0,025 = - 1,96
P ± Z12aP(1-P)n
= 0.85 ± 1,960.85(1-0.85)40
= 0.85 ± 1,96 (0.056)
= 0.85 ± 0.1176
= 0.85 ± 0.12
Jadi 95% selang kepercayaan untuk peluang tersebut adalah
0.73 < P < 0,97
8. sebuah pabrik mempunyai 2 buah mesin untuk memproduksi sekrup. Dari mesin A diambil sampel sebanyak 200 sekrup 15 diantaranya rusak , sedang dari mesin B diambil sampel sebanyak 100 sekrup 12 diantaranya rusak. Carilah selang kepercayaan : a. 95% b. 99% c. 99.73%
Jawab:
na = 200 nb = 100
Pa = 15/200 Pb = 12/100
= 0.075 = 0.12
Z0,025 = - 1,96
Z0,005 = - 2.575
Z0,00135 = - 2.995
95% selang kepercayaan
(Pa-Pb) ± Z12aPa(1-Pa)na+Pb(1-Pb)nb
= (0.075-0.12)± 1.960.075(1-0.075)200+0.12(1-0.12)100
= 0.045 ± 1.96(0.037457)
= 0.045 ± 0.0734
99% selang kepercayaan
tinggal diganti nilai Z12apada perhitungan no. a
= 0.045 ± 2.575(0.037457)
= 0.045 ± 0,9645
99.73% selang kepercayaan
tinggal diganti nilai Z12apada perhitungan sebelumnya
= 0.045 ± 2.995(0.037457)
= 0.045 ± 0,11218
