DA N DY R A M A D I T YA (34996) FA N N Y A R D H Y P R ATA M A ( 3 5 0 1 8 ) MUHAMMAD ABDULLAH (35099) A W A N G FA I Z A L (35145) RIDWAN WICAKSONO (35189) A D I T YA S A P TA N U G R A H A (35217)
sekilas… •
•
•
•
Deret taylor menjadi konsep dasar pengembangan metode numerik. Beberapa metode aproksimasi pemenggalan dari deret ini. Deret Taylor merupakan terhadap suatu fungsi f(x).
model
dalam
merupakan aproksimasi
Deret Taylor menyediakan sarana untuk memprediksi nilai fungsi pada satu titik dalam bentuk nilai fungsi dan turunan-turunanya pada titik lain.
Maclaurin (Power) Series Deret Maclaurin adalah penaksiran polinom derajad tak hingga
x2 f ( x) f (0) f ' (0) x f ' ' (0) 2! n x f ( n ) (0) n! Deret infinite (tak hingga) menyatakan bahwa akhirnya deret ini sama dengan fungsi sebenarnya, bukan penaksiran lagi!
Deret TAYLOR Dari awal kita selalu memulai perkiraan pada nilai x=0; Sesungguhnya, kita bisa membuat deret polinom yang berasal dari titik manapun, x=x0 ; Jadi, Deret MacLaurin merupakan Deret Taylor yang berpusat pada x0=0;
Misal fungsi f(z) analitik pada | z - z0 | < R0 . Maka untuk setiap titik z pada lingkaran itu, f(z) dapat dinyatakan sebagai :
Jika fungsi f(z) diganti dengan f(x) dan x=a berada pada interval x, maka
Rumusan di atas disebut deret Taylor
Rumusan di tadi dapat dimodifikasi menjadi :
Tn (x) disebut Polinom Taylor orde ke-n dan Rn(x) disebut remainder
Rumus-rumus umum… ( x − x0 ) 2 f ( x) = f ( x0 ) + f ′( x0 )( x − x0 ) + f ′′( x0 ) 2! n ( x − x ) 0 + + f ( n ) ( x0 ) + n! n ∆x ∆ x2 ∆ x n ′ ′ ′ f ( xi + 1 ) = f ( xi ) + f ( xi ) + f ( xi ) + + f ( xi ) + Rn 1! 2! n!
f ' (a) f ' ' (a) f n (a) 2 f ( x) = f (a) + ( x − a) + ( x − a ) + .... + ( x − a ) n + ... 1! 2! n!
∆x = xi +1 − xi
Truncated Taylor Series Kita bisa memutuskan untuk membuat perkiraan dari sebuah fungsi hingga n (derajat) tertentu yang tidak tak terhingga; Kita sebut sebagai Truncated Taylor Series. ( x − x0 ) 2 f ( x ) ≈ f ( x0 ) + f ′( x0 )( x − x0 ) + f ′′( x0 ) 2! n ( x − x ) 0 + + f ( n ) ( x0 ) n!
Ini sama dengan konsep polynomial
CONTOH SOAL… Contoh soal 1 Bentuklah Deret Taylor untuk :
f ( x) = ln(x),
x0 = 1
Cari nilai fungsi dan turunannya untuk fungsi pada x0=1
Contoh soal 1
f ( x) = ln( x) ⇒ f ( x0 ) = ln(1) = 0 1 f ′( x ) = x
1 ⇒ f ′( x0 ) = = 1 1 1 1 f ′′( x) = − 2 ⇒ f ′′( x0 ) = − 2 = −1 x 1 2 2 ′ ′ ′ ′ ′ ′ f ( x ) = 3 ⇒ f ( x0 ) = 3 = 2 x 1 n −1 ( n − 1 )! ( − 1 ) f ( n ) ( x) = xn n −1 ( n − 1 )! ( − 1 ) n −1 ⇒ f ( n ) ( x0 ) = = ( n − 1 )! ( − 1 ) 1n
Contoh soal 1
Menggunakan rumus umum =>
( x − x0 ) 2 f ( x) = f ( x0 ) + f ′( x0 )( x − x0 ) + f ′′( x0 ) 2! n ( x − x ) 0 + + f ( n ) ( x0 ) + n! ( x − 1) 2 2!( x − 1) 3 ⇒ ln( x) = 0 + ( x − 1) − + 2! 3! n n −1 ( x − 1) + + (n − 1)!(−1) + n! 2 3 ( x − 1) ( x − 1) ⇒ ln( x) = ( x − 1) − + 2 3 n ( x − 1 ) + + ( −1) n −1 + n
Contoh soal 2 Cari deret taylor dari f(x) = 1/x pada a=2? Apakah deret tersebut konvergen pada 1/x?
Contoh soal 2
Contoh soal 2
Deret Taylornya…
Contoh soal 2
Deret tersebut berupa deret geometris: a= ½ r=-(x-2)/2 Konvergen saat | x-2 | < 2 Jumlah = a/(1+r)
Contoh soal 3 Cari deret Taylor dari f(x)=ex saat x=0
Contoh soal 3
§
Kita tentukan rumus umum utuk : f(n) (a)
§
Kita dapatkan bahwa f(n) (x) = ex untuk =>
n =0,1,2,3 …maka: f(n) (0) = e0 = 1
Contoh soal 3
Maka deret Taylor untuk f(x) = ex untuk x=0
Contoh soal 4 Cari deret Taylor dari f(x) = sin x untuk x= 0
Contoh soal 4
Contoh soal 4
Contoh soal 5 Cari deret taylor dari x=3
f(x)=x3-10x2+6 saat
Contoh soal 5
Contoh soal 5
Deret taylor ini akan berakhir setelah n=3 . Hal ini akan selalu terjadi ketika kita menemukan deret taylor polinomial. Penyelesaian untuk deret taylor ini :
Contoh soal 6 Cari deret taylor dari f(x)=cos(x) saat x=0
Contoh soal 6
Contoh soal 6
Setelah itu kita masukkan yang telah kita dapatkan ke dalam deret taylor…
Contoh soal 6
Lalu kita keluarkan nilai nol dan kita urutkan kembali, dan didapat :
Setelah renumbering, dapat kita buat perumusan deret taylornya sbb :
