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lexis xis Q uis e G ut iér iér r ez mar io alexis xis7 @ hot mail.co il.co
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A N A L I S I S V E C TO R I A L I
1.- VECTOR E s un ente m atem ático que sirve para rep resentar a las m agnitudes de carácter vectorial com o por ejem plo: la velocidad, la aceleración, la fuerza, etc. Los vectores pueden presentarse de dos m aneras:
2
D efinim os los puntos P y Q en función de sus coo rdenad as: P (x 1 ;y 1 ) Q (x 2 ;y 2 )
PQ Q P
PQ (x 2 ;y 2 ) (x 1 ;y 1 )
PQ (x 2 x 1 ; y 2 y 1 )
R estan do:
A partir de la ecuación cartesian a podem os hallar las características delvector: M od ulo: PQ (x 2 x 1 )2 + (y 2 y 1 )2
(I) GRAFICAMENTE: se le representa m ediante un segm en to de recta orien tado, asipor ejem plo:
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y 2 y 1 x x 2 1
D irección ( ): arctg
PROBLEMAS 1 1.- D eterm inar el m odulo, la dirección y el sentido delvector: A (12 ;5)
2.- D eterm inar el m odulo, la d irección y sentido
delvector: 2 A 3 B , sab ien do que:
A (2 ;5); B (3 ;4)
3.- D eterm inar el m odulo, dirección y sentido del
Elementos:
a) Módulo: E s la m edida o longitud delvector. b) Dirección: E s elángulo " " que se form a. c) Sentido: R epresenta la flecha delvector. d) Línea de Acción (L1 ): E s la línea recta donde se encuentra conten ido elvector.
vector: A 3 B sabiendo qu e el m odulo d el vector: A B es 25 unidades y adem ás:
A (p ;1); B (3 ;8)
4.- sab iendo que el m odulo y la d irección del
vector A B son 25 unidades y 53º respectivam ente. H allar el m odulo, la d irección y
el sentido del vector A 4 B , siendo: A
(p ;6)
e) Línea Horizontal (L2 ): E s la línea recta que y B (4 ;q ). sirve para dar la dirección ( ) alvector.
5.- sabiendo que: A (4;8); B (5 ;7) y K” , a partir representar a través de ecuaciones cartesianas C (2 ;3). D eterm inar el valor de “ (II) MATEMATICAMENTE: se le p uede
(en el plano o en el espacio) y/o ecu aciones de la sigu iente exp resión: m atriciales en gen eral. A B C K C 2 A 3B
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2.- CLASIFICACION DE VECTORES
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h) VECTORES COPLANARIOS: Son vectores que se encuentran en un m ism o plano
a) VECTORES PARALELOS: Son los qu e poseen la m ism a dirección.
a
c
b
a
a
P
b
b
PAR ALELO S
i) VECTORES CONCURRENTES: Son aquellos cuyas líneas de acción se cortan (con curren) en un pun to com ún
A N T I-P A R A L E L O S
b) VECTORES OPUESTOS: Son dos vectores opuestos de igual m agnitud, de igual dirección y sen tido opuesto.
a
b
j)
a
2.- OPERACIONES CON VECTORES: Método del Polígono:
b
E l m étodo consiste en graficar a los vectores c) VECTORES COLINEALES: Son vectores dados uno a con tinuación del otro y el vector que están sobre una m ism a línea d e acción resultante se obtiene partien do del origen y se dirige alextrem o delúltim o. L b a
d) VECTORES EQUIVALENTES: D os vectores son equivalen tes si tienen igu aldirección sentido y m odulo
E l orden de dibujar a los vectores A , B y C no interesa, pues la resultante siem pre será la m ism a.
a
b
Polígono
e) VECTORES IGUALES: D os vectores que tien en la m ism a dirección, sen tido, m agnitud o m odulo y pun to de aplicación
a
b
f) VECTOR NULO: E s aquelvector donde todos sus com ponentes son cero (0) ó valen cero (0)
cerrado:
Es cuan do los vectores graficados cierran la figura, los vectores deben orien tarse en form a horaria o antihoraria; por lo tanto su resultante es nula.
Métodos Analíticos: S on aquellos en los cuales
para determ inar la resultante es necesario hacer g) VECTORES UNITARIOS : E s todo vector uso de ecuaciones m atem áticas, las cuales cuya m agnitud es un o, i ; j ; k son u n conjunto contien en funciones trigonom étricas. de vectores unitarios asociados con los ejes coordenados X , Y , Z respectivam ente y orientados A) Método del Triángulo: Se tienen los vectores A , B y C hacia los sem iejes positivo s Su s m ód ulos: A , B y C Z k Sus ángulos:α,β,γ a
X i
U a Y j
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P ara determ inar un m ódulo o un ángulo se puede aplicar; La L ey de S enos:
A sen
B sen
R X
C
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sen
B) Método del Paralelogramo: C uando d os vectores A y B de m ódu los A y B a form an un ángulo " α".
R X
E s decir: D atos: A , B , α
2
Incógnita: R R A B A B
R X
E lm ódulo de la resultante:
R
A B 2 AB cos 2
2
B sen arctg A B cos
· C uan do dos vectores tienen igual m ódulo. la resultante es bisectriz.
CASOS PARTICULARES:
R 2X cos
· C uando a es igual a 0°, los vectores son paralelos y del m ism o sen tido. E ntonces se obtien e la resultan te m áxim a. R MAX A B
· C uando do s vectores tienen m ódulos con un divisor com ún “ n”
· C uando α es igual a 180°, los vectores son paralelos y de sentido contrario. E ntonces se obtien e la resultan te m ínim a. E l sentido del vector resultante, es el m ism o que el del vector del m ayor m ód ulo. R n A2 B 2 2 AB cos
R MIN A B
· C uan do el ángu lo es igu al a 90° los vectores · C uan do se requiere calcular el m ódulo del son perpen diculares vector diferencia D . entonces: R
A2 B2
D A B
A2 B2 2 AB cos
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MÉTODO DE LA DESCOMPOSICIÓN RECTANGULAR:
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3.- hallar la intensidad del vector resultante del siguiente grupo de vectores:
Se em plea cuando se requiere determ inar el m ódulo y la dirección de la resultante de un conjunto de vectores concurren tes y coplanares. 4.- hallar la intensidad del vector resultante del E ste m étodo consiste en: siguiente grupo de vectores: • T rasladar todos los vectores a un plano cartesiano, hacién dolos concurrir en el origen de coordenad as. 5.- hallar la intensidad del vector resultante del • D escom poner todos los vectores que van a siguiente grupo de vectores: sum arse, en sus com ponentes rectan gulares. P ara ello hay que auxiliarse de las funciones trigonom étricas. 6.- hallar la intensidad del vector resultante del siguiente grupo de vectores:
7.- H allar el m ódulo del vector resultante d el siguiente grupo de vectores: • Sum ar algebraicam ente los com ponentes en cada eje separadam ente, considerando positivos los com ponentes que señ alan hacia arriba o derecha, y negativo s los que señ alan hacia abajo o izquierda.
8.- hallar el m ódulo del vector resultante del siguiente grupo de vectores:
• C onociendo Vx y Vy se determ inará el m ódulo de la resultan te y su dirección.
9.- hallar el m ódulo del vector resultante d el siguiente grupo de vectores:
PRACTICA EN CLASE 1.- H allar el m ódulo del vector resultante d el siguiente conjunto de vectores:
10.- hallar el m odulo del vector resultante del siguien te grupo de vectores:
2.- H allar la m agnitud del vector resultan te del siguiente conjunto de vectores:
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PRACTICA DOMICILIARIA 1.- C alcular la m agnitud del vector resultan te delsiguiente sistem a de vectores:
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8.- un bote a m otor se dirige hacia el este con una velocidad de 1 0m /s. Si la corriente m arina tien e una velocidad de 4m /s. en la dirección N 60ºE. ¿C uál será el valor de la velocidad resultante delbote?
9.- Si: A 20;
B 30 , encontrar la resultante.
2.- determ inar la resultante p ara los vectores dad os:
a 20; b 12; c 5; d 7
10.- determ inar el m odulo de la resultan te, si:
A B 8;
C 4
3.- D os vectores de la m ism a m agn itud (4u ) están form ando un ángulo de 60º. D eterm inar el m odulo d e la sum a de am bo s vectores.
4.- determ inar la resultante p ara los vectores dados, siendo:
11.- C alcular elm odulo de la resultante, si a 3; b 4 .
a 10; b 2; c 4; d 3
12.- en la figura D = 20 y C = 40. D eterm inar su resultante.
5.- hallar la resultante de:
6.- E n la figura D = 12 y C = 5 d eterm inar su 13.- Si: A 3;
B 5 , encontrar la resultante.
resultante:
7.- C alcular el m odulo de la resultan te d e los vectores m ostrad os:
14.- determ inar el m odulo de la resultan te, si:
A B 4;
C 8
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PRACTICA EN CLASE > Los vectores x, M y D son coplanares. ( ) > Los E n los sigu ientes ejercicios colocar verdadero o vectores x y D no son coplanares.. ( ) falso (F), segú n corresponda: > Los vectores M y D son co planares........ ( ) > Los vectores A,E, , x, y D son coplanares ( ) 1.- D ados los vectores: > Los vectores A, E y c son concurrentes... ( ) > Los vectores x, M , D son co ncurrentes.... ( ) > Los vectores x y D son paralelos............. ( ) > Los vectores A , b y D son paralelos ( ) > Los vectores A y c so n iguales..................( ) > Los vectores A y D son paralelos ( ) > Los vectores A y D son opuestos............ ( ) > Los vectores b y D son paralelos ( ) > Los vectores A y D son opuestos ( ) 5.- Los vectores m ostrad os son: > Los vectores b y D son iguales ( ) > Paralelos ( ) > C oplan ares ( ) 2.- delsiguiente conjunto de vectores: > Iguales ( ) > O puestos ( ) P R O B L E M A S D E V E C TO R E S
PROBLEMAS > > > > >
Los vectores A , b y D son paralelos Los vectores A y D son paralelos Los vectores b y D son paralelos Los vectores A y D son opuestos Los vectores b y D son iguales
( ( ( ( (
) ) ) ) )
1.- Si el m ódulo d e la resultante m áxim a de dos vectores es 24u y al m ínim a es de 8u, hallar el m odulo de la resultan te cuando los vectores form en 120°. a) 8 2
b) 8 3
c) 8 5
d) 4 3
e) 4 5
3.- sabiendo que los m ódulos de los vectores A,
b, D y E son iguales a 2cm . Y qu e elm odu lo del 2.- H allar el m ódulo de la resultante de los vectores m ostrados en la figu ra A = 4; B = 5. vector c es 1cm . a) 65 b) 3 5
> > > > >
Los vectores A Los vectores b Los vectores A Los vectores A Los vectores b
y D son iguales ( y D son opuestos ( y c son iguales ( y E son opuestos ( y D son opuestos (
) ) ) ) )
4.- Se m uestran dos plan os con vectores.
c) 3 7 d) 3 e) N .A .
3.-
H allar el ángulo " " de m anera qu e la resultante d e los vectores m ostrados sea cero. a) 30° b) 37° c) 45° d) 53° e) 60°
4.- si 3 A 2B 30u y 2 A 3B 25u , hallar el
m odulo de 7 A 4B .
> Los vectores A, E, b y c son coplanares.( > Los vectores A, E y b son coplan ares… ( > Los vectores A, E, b y x son coplanares (
a) 70u b) 50u c) 30u d) 15u ) e) N .A . ) )
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5.- d eterm inar el vector
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X en función de los
1.- exprese el vector A en térm ino s de
vectores A y B .
b) (2 A 3B ) / 5
a) A
c) (3 A 2B ) / 5
c) A
d) A B
e) (3 A 2B ) / 5 sabiendo que e! m odulo de la resultante de los vectores
m ostrados es 103 .(A B = B D = 3 y B C = 1). a) 30° b) 37° c) 45° d) 53° e) 60°
7.- H alle el án gulo " " para que la resultante cié los vectores m ostrad os sea igual a 7, si ad em ás A B = 6 y B C = 10 (M y N son pun tos m edios). a) 60° b) 57° c) 45° d) 37° e) 30°
b) A
d) A
PROBLEMA N-1
B C
2 B C
3
6.- D eterm inar la m edida d el ángulo
2 B C
B C
B y C (la
figu ra es un hexágono regular)
a) ( A B) / 5
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PROBLEMAS UNI
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Sem. CEPRE-UNI
E n el sistem a de vectores sobre el hexágon o de 4 m de lado m ostrado en la figura, determ ine el m ódulo de la resultante. A ) 20 m B ) 16 m C ) 24 m D )8 m E) 32 m
PROBLEMA N* 2
Sem. CEPRE-UNI
D ad o el con junto de vectores qu e se m uestra determ inar el vector R en térm inos del vector E .
Si R A B C D E a) E b) -E c) 2 E d) -2 E e) 0
8.- H allar la resultan te y su m ódulo de los vectores PROBLEMA N a3 Sem. CEPRE-UNI m ostrado s en la figura. (B = H = 4; D = G = 6). a) 2 b) 4 c) 8 d) 12 e) 16
9.- E n la figu ra determ inar elvector sum a C y
en la función de A y B .
La figura m uestra un tetraedro regu lar de 2 m de lado, halle el m ódulo de la resultante de todos los vectores m ostrad os. A )2 m B )4 m C ) cero D )1 m E) 8 m
PROBLEMA N s4
a) (2 A B ) / 3
b) 2(2 A B) / 3
c) 2(2 A B ) / 3
B E G y A G 10u A ) 10 u C ) 80 u E ) cero
B ) 20 u D ) 40 u
d) (2 A B ) / 2
E n el sistem a d e vectores m ostrad os, de term ine la
D , m agnitud de: R A B C D E F G sise sabe que :
Sem. CEPRE-UNI
e) (2 A B ) / 3
10.- H allar el m ódulo de la resultante d e los vectores m ostrados en el hexágono regular de lado 2u. a) 8u b) 12u c) 12u d) 20u e) 4u
PROBLEMA N s6
Sem. CEPRE-UNI 98-1
H allar el m ódulo del vector resultante del sistem a de vectores que se m uestra en la figura. Si: a = 3u y e = 2u. A ) 5u B ) 7u C ) 10u E ) 15u
D ) 13u