Simetría de los Cristales
Lic. Carlos Quiñones Monteverde
Concepto de Simetría La simetría es la particular regularidad observada en la disposición de los objetos o partes de éstos en un plano y en el espacio. es pacio. En ningún objeto de la naturaleza la simetría se ha manifestado en tan variadass formas como en los cristales. variada La simetría es la característica esencial de los cristales y sirve de base para su clasificación. El fundamento de la simetría se basa en que cualquier cuerpo geométrico, así como cualquier figura plana, puede ser considerada como un sistema de puntos. Dos cuerpos son simétricos entre sí, si se les puede hacer coincidir una con la otra. Si una figura tien ene e part rte es iguales que pueden coincidir una con la otra, es llamada autosimétrica.
Elementos de simetría Formas geométricas que caracterizan una operación de simetría. Los elementos de simetría son: 1. Plano de simetría 2. Eje de simetría 3. Centro de simetría 4. Eje de roto-reflexión 5. Eje de roto-inversión
1. Plano de simetría Plano imaginario que divide a un cristal en dos mitades, cada una de las cuales es la imagen especular de la otra.
A1
A2
La Figura muestra un plano de simetría en la que el punto A2 es la imagen especular de A1.
Poliedro mostrando un plano de simetría que relaciona la parte superior con la inferior.
2. Eje de simetría Línea imaginaria a través del cristal, alrededor de la cual puede hacerse girar el cristal y repetir éste su aspecto dos o más veces durante una revolución completa. La Figura muestra tres posibles ejes de simetría: A4 A1
A3 A2
Un eje binario que pasa por la arista que une los puntos A1 y A4. Un eje ternario que pasa por el punto A4. Un eje vertical cuaternario perpendicular al plano formado por los puntos A A A y A
Poliedro mostrando un eje de rotación binario que pasa por los centros de las aristas superior e inferior.
3. Centro de simetría Punto imaginario por el cual se puede hace pasar una línea imaginaria desde un punto cualquiera de su superficie encontrándose sobre dicha línea y a una distancia igual, y más allá del centro, otro punto similar al primero.
A1
A2
La Figura muestra el centro de simetría entre los puntos A1 y A2.
Poliedro que muestra únicamente un centro de simetría en su punto medio.
4. Eje de roto-reflexión Es la combinación de un eje de simetría y un plano de simetría.
A1
A’1
A2
La Figura muestra el efecto de este elemento de simetría sobre el punto A1 que es llevado al punto A2.
5. Eje de roto-inversión Es la combinación de un eje de simetría y un centro de simetría.
A1
A’1
A2
La Figura muestra el efecto de este elemento de simetría sobre el punto A1 que es llevado al punto A2.
Operaciones de simetría Movimiento que, realizado sobre un objeto, da lugar a una nueva orientación de éste, indistinguible de la original y superponible con ella. Las operaciones de simetría fundamentales son: 1. Reflexión en el plano 2. Rotación 3. Inversión 4. Roto-reflexión 5. Roto-inversión
1. Reflexión en el plano Operación que se lleva a cabo a través de un plano – plano de reflexión que produce una imagen reflejada coincidente con el objeto original. El elemento de simetría en esta operación es un plano de simetría designado por la letra P o m. Una figura puede tener uno o más planos de simetría, su número se indica por un coeficiente antes de P. Ejemplo: 3P
P a1 a2
b1
a3
b2
b3
El plano de simetría divide una figura en dos partes iguales que no siempre pueden coincidir por superposición directa.
1. Reflexión en el plano Se distinguen dos tipos de coincidencia: Equivalencia congruente: Las figuras coinciden por superposición directa.
Espejo-equivalencia: La coincidencia sólo es posible después de la reflexión de una de las figuras en un espejo. Dos figuras espejo-equivalentes son enantiomorfas.
2. Rotación Giro realizado alrededor de un eje bajo un ángulo 360°/n, que conduce al cristal a una posición indistinguible de la inicial, o posición equivalente. La ejecución consecutiva de esta operación en el mismo sentido, debe llevar al cristal de nuevo a la posición original. El número de veces que se repite la operación para llegar a la posición original se conoce como el orden del eje, n.
Ejemplo:
60º
120º
180º
360º
360º
n
60º
0º
6
2. Rotación El eje de simetría se designa por la letra L, g o simplemente una cifra. El número del orden del eje se ubica arriba o debajo de la letra, normalmente a la derecha de ella. Ejemplo: un eje de simetría con un ángulo elemental de 90º se denota por L4 o g4 o simplemente por 4, y se llama un eje de simetría de cuarto orden o eje cuaternario. Los cristales, debido a su estructura reticular, pueden tener los siguientes ejes: L1, L2, L3, L4 y L6. En las proyecciones estereográficas los ejes son designados por los siguientes símbolos: L2
L3
L4
L6
3. Inversión Operación que se realiza a través de un punto llamado centro de simetría o centro de inversión que produce la imagen invertida y equidistante de un objeto.
En la Figura, los vértices a1, a2 y a3 del triángulo, producen por la reflexión a través del punto C un nuevo triángulo de vértices b1, b2 y b3 que es simétrico con el primero.
En un cristal que tiene centro de simetría, cada cara tiene su parte contraria: una cara paralela e invertida; por consiguiente al centro de simetría también se llama centro de inversión .
4. Roto-reflexión Resultado de realizar dos operaciones, una a continuación de la otra; la rotación alrededor de un eje y enseguida, sobre la posición resultante, una reflexión a través de un plano perpendicular al eje sobre el que se realizó la rotación. El eje de roto-reflexión se denota con la letra L y su orden con dos índices: el inferior para la roto-reflexión, y el superior para la rotación simple. Un eje de roto-reflexión cuyo orden es un número par es al mismo tiempo un eje de simetría simple cuyo orden es la mitad del número. En la proyección estereográfica los ejes de roto-reflexión se representan asi: Cuaternario: L2 4
3
Senario: L 6
n L 2n
5. Roto-inversión Resultado de realizar dos operaciones, una a continuación de la otra; la rotación alrededor de un eje y enseguida, sobre la posición resultante, la reflexión a través de un centro de inversión. El elemento de simetría en esta operación es un eje de roto-inversión designado como Li o Gi. El orden del eje se indica con un superíndice o un subíndice, por ejemplo:
4
Li
Los siguientes ejes de roto-inversión pueden existir en los cristales: 1
monario:
Li
binario:
Li
ternario:
Li
2
3
=C =P = combinación de L3 y C.
cuaternario: L4i = valor independiente senario:
6
Li
= valor independiente
G i4
Ejemplos Ejemplo 1 Demostrar que cuando una figura tiene dos o más planos de simetría (P), las líneas de intersección de estos planos son ejes de simetría (L) y el ángulo elemental de rotación del eje correspondiente es dos veces mayor que el ángulo de intersección de los planos. L Solución a3 Si consideramos dos planos P1 y P2 que formen un ángulo , debemos demostrar que la intersección de los planos es un eje de simetría con ángulo elemental 2. Se puede ir de a1 hacia a3 mediante una rotación 2 alrededor de L.
a1 P1
a2
P2
a1L = a2L = a3L Se puede concluir: 1. La acción de un eje de simetría se puede reemplazar por la acción combinada de dos planos que se cortan según este eje. 2. Cuando una figura tiene un plano de simetría P1 que contiene a un eje de simetría Ln, debe tener un segundo plano P 2 que corte al plano P1 según el eje Ln en un ángulo determinado por el eje de simetría.
Ejemplo 2 Demostrar que cuando una figura tiene dos ejes de simetría: L p con un ángulo de rotación elemental 1 y Lq con un ángulo elemental de rotación 2, la figura debe tener un eje resultante L r (Teorema de Euler). Solución Consideremos los ejes Lp y Lq en una proyección estereográfica. Reemplacemos Lp por dos planos P1 y P2 Reemplacemos Lq por dos planos P3 y P4 La acción combinada de P1 y P3 es equivalente a cero. La línea de intersección de P 2 y P4 deber ser un eje de simetría Lr, resultante de los ejes Lp y Lq.
Lp
P1
P3
1/2
2/2
P2
q L
P4 Lr
