MATEMÁTICA: GUIA PARA LA EVALUACIÓN 1 LÓGICA 1. Si la proposición:
[ ∧∼ ( → )] ∧∼ [ ∧∼ ( → )]
es verdadera, halle los valores de verdad de las proposiciones
,,
y .
Sugerencia: Hacer una tabla de valores de verdad y analizar la fila donde la conjunción es verdadera.
2. De los esquemas moleculares: a) b) c) cuales son tautologías.
[ → ( → )] ↔ [(∧~) → ~] [ ∧ (∼ → )] ∧ ~[( ↔ ~) → ( ∨~ ∨ ~)] [(~∧) → ~] ↔ [ ∧ ~(∨~)] [(∼ ∧ ) → ( ∧ ~)] ∧ ~ ,
Sugerencia: Elaborar una TVV en cada caso.
3. Simplificar la proposición . Solución. Para reducir esta proposición compuesta debemos aplicar leyes lógicas. Así,
[(∼ [(∼ ∧) )] ∧ ~ ≡ ≡ [~(~∧) ∧ ) → ( ∧ ~)]∧ ~∧) ∨ ( ∧ ~)] )] ∧ ~ ≡ [(( ∨∼ )) ∨ ] ∧∼ ≡ ( ∨∼ )) ∧∼
(Ley de la condicional)
(Ley de De Morgan e Identidad ) (Ley de la Identidad)
≡∼ ∧ (∼ ∨ ) ≡∼ ~[~ → ~(~∧~)] ∨ ~(~ ∨ ~)
(Ley conmutativa)
(Ley de absorción)
4. Simplificar la proposición Sugerencia : Aplicar leyes lógicas.
.
5. Determinar si las proposiciones son equivalentes: María aprobó Matemática entonces ingresó a II ciclo’’. ‘’Si María aprobó ‘’No es cierto que María aprobó María aprobó Matemática y no ingresó in gresó a II ciclo’’. Sugerencia : Hacer un esquema para cada proposición, luego su TVV y ver si son equivalentes.
6. Determinar si:
( ∨ )
es una consecuencia lógica de
∼ → ~ ~ → ~ ;
;
.
Sugerencia : Tenga en cuenta que es una inferencia lógica, determina su TVV y analizar si corresponde a una tautología.
7. Determinar si el siguiente razonamiento es válido: “Aprobaré Matemática, si Dios quiere. Aprobaré Matemática si y sólo si estudio y resuelvo los problemas. Sin embargo. No he resuelto los problemas, así que Dios no quiere que apruebe Matemática”. Matemática”. Sugerencia: En esta inferencia lógica, primero simboliza las proposiciones y determine cuáles son las premisas y cuál la conclusión, luego aplique un método de validación.
CONJUNTOS
− = − / ∈ , 2 ≤ < 66 = { ∈ / ú ú } } = { ∈ ℕ/ 5 ≤ 33 1 1 < 32} 32} [( ∪ ∪ ) ] ∩ ∩ ( ) ∪
8. Sean los conjuntos y
,
. Determinar:
a)
b)
.
c)
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Alberto Gutierrez Borda
Departamento de Matemática – Facultad Facultad de Ciencias
Sugerencia: Expresar los conjuntos número de elementos de un conjunto.
,,, ,
por extensión, luego aplicar la definición de complemento, intersección, unión y
9. De un grupo de 80 estudiantes: 25 leían la revista A, pero no leían la revista B; 24 leían la revista B, pero no C; 17 leían C, pero o A; 4 las tres revistas mencionadas. ¿Cuántos preferían otras revistas? Sugerencia : Usar el diagrama de Venn y t rabajar con número de elementos de un conjunto.
10. En una fiesta de recepción donde habían 150 cachimbos*, 20 eran hombres que no les gusta la cumbia, 30 eran mujeres que gustaban de esa música. Si el número de hombres que gusta de la cumbia es la tercera parte de las mujeres que no gustan de esa música. ¿A cuántos cachimbos les gusta la cumbia? Sugerencia: Usar tablas de doble entrada o bien llamado el diagrama de Lewis Carroll (Charles Lutwidge Dodgson). *Cachimbos: Entre nosotros se usa pare referirse al joven estudiante que acaba de ingresar a la universidad.
11. Halle la intersección entre los conjuntos
y
= { ∈ / || < 2} − = ∈ / − ≥ + 4− .
siendo
Sugerencia: Expresar los c onjuntos y con intervalos, luego la definición de
12. Sea el conjunto respecto a IR).
∩
. Halle
= ∈ / > 1 .
(complemento de
Sugerencia: Aplicar el método de intervalos para expresar como unión de intervalos, luego usar l a definición
y
con
=
.
NÚMEROS REALES 13. Una caja sin tapa se fabrican a partir de una hoja rectangular de lata, cortando cuadros de 4 pulgadas de cada esquina y doblando los lados hacia arriba. Si el ancho de la caja es de 3 pulgada menos que el largo y la caja es de 280 pulgadas cúbicas, encuentre las dimensiones de la hoja de lata. ecuación que representa . Sugerencia : Bosqueje la gráfica que modele el problema y obtener la ecuación 14. Escribir como intervalo o como unión de intervalos el conjunto
+ − = ∈ / ≤ 22. < , < 0 → > . Sugerencia 15. Hallar el conjunto solución de la inecuación |2 2| > 0. < < → < ∧ < . Sugerencia 16. Encontrar el conjunto de todas las ∈ que satisfacen la inecuación || 1 || ≤ 0. , ∈ ,, > , halle el conjunto solución de la inecuación + ≥ + . 17. Siendo , Sugerencia | | | | | − +| + +− 18. Si ∈ 〈 0,2〉 simplificar la expresión = +| +|−| −|++| ++|−| −| . 〈0,2〉. Sugerencia : Tenga en cuenta que si
: Tenga en cuenta que
: Puede aplicar el método de intervalos, pero tenga en cuenta el orden entre y ; aquí es la incógnita.
: Para ver el signo de cada barra, sólo utilice el intervalo
Dr. Alberto Gutierrez Borda
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Alberto Gutierrez Borda
Departamento de Matemática – Facultad Facultad de Ciencias
