2 ano Pitágoras e Trigonometria

A hipotenusa ao quadrado é igual a soma dos quadrados dos catetos.

a 2  b2  c 2

Essa relação só vale para triângulos retângulos.

Para trocar a lâmpada de um poste de iluminação de uma avenida , foi usada uma escada Magirus de 15m de comprimento. A escada encontrava-se sobre um caminhão de 2m de altura, afastado 12m do poste. Sabendo que a extremidade da escada coincide com a extremidade do poste, podemos concluir que a altura desse poste é:

Basta utilizar o teorema de Pitágoras.

x 12 2 A) 9m

B) 10m

C) 11m

D) 12m

152  122  x 2 225  144  x 2 x 2  225  144 x 2  81 x9 x  81 A altura do poste é 9+2 = 11 m

(Enem)

Na figura acima, que representa o projeto de uma escada com 5 degraus de mesma altura, o comprimento total do corrimão é igual a a) 1,8 m. b) 1,9 m. c) 2,0 m. d) 2,1 m. e) 2,2 m.

x 90 120

x 2  1202  902 x 2  14400  8100 x 2  22500 x  22500 x  150 cm O comprimento do corrimão é 150+30+30 = 210 cm O comprimento do corrimão é 2,1m

Um esportista radical vai fazer uma tirolesa Entre dois edifícios de 13 m e 37 m de altura, distantes de 70 m um do outro. Determine o comprimento mínimo que o cabo de aço utilizado na aventura deve ter: A) 74 B) 76 C) 64 D) 46

x  70  24 x 2  4900  576 x 2  5476 x  5476 x  74 m 2

x 24 70

2

2

Encontre o valor de x:

A) 9 cm

B) 10 cm

C) 12 cm

9  x 3 81  x 2  9 x 2  81  9 x  72 2

2

2

D) 15 cm

(6 6 )  x  72 216  x 2  72 x 2  144 x  144 x  12 2

2

2

Uma árvore foi quebrada pelo vento e a parte do tronco que restou em pé forma um ângulo reto com o solo. Se a altura da árvore antes de se quebrar era 9 m e sabendo – se que a ponta da parte quebrada está a 3 m da base da árvore, qual a altura do tronco da árvore que restou em pé?

9- x

x

3m

(9  x) 2  x 2  32 2 2 81  18x  x  x  9 18x  9  81 18x  72 72 x 18 x4 m

Uma escada de (x + 3) metros de comprimento está apoiada em um muro a 2x metros de altura do solo. O pé da escada está afastado (x+ 1) metros da base do muro.

Logo, podemos afirmar que o comprimento dessa escada é: A) 1 m B) 3 m C) 4 m D) 5 m

2+3=5

2.1=2

2+1 = 3

( x  3) 2  ( x  1) 2  (2 x) 2 2 2 2 x  6x  9  x  2x  1  4x 2 6x  2x  9 1  x  0 4x  8  x2  0  x 2  4 x  8  0 Multiplicando por -1. x2  4x  8  0 As raízes dessa equação são x=2 e x=-6.

– Trigonometria – No triângulo retângulo Professor : Jamerson Fernando

O que significa trigonometria? A palavra trigonometria é derivada de palavras gregas, onde: trigonon = triângulo metron = medida Logo, a trigonometria nos remete ao estudo das medidas dos lados e ângulos de um triângulo.

Para início de conversa:  Como medir a altura do Farol de Mãe Luíza?

 Como saber a largura do Rio Potengi em determinado ponto?

 Como medir o raio da Terra?

Olhar a realidade de forma diferente:  Observe as figuras abaixo e tente encontrar triângulos retângulos em cada uma delas.

Olhar a realidade de forma diferente:

Olhar a realidade de forma diferente:

Elementos de um triângulo retângulo C  Hipotenusa (Lado oposto ao ângulo reto) a b

ß

 cateto oposto ao ângulo ß  cateto adjacente ao ângulo ß

B c A Lembre-se: A soma das medidas dos ângulos internos de qualquer triângulo resulta sempre em 180º.

Aˆ  Bˆ  Cˆ  180º 90º  Bˆ  Cˆ  180º Bˆ  Cˆ  90º  Os ângulos agudos de um triângulo retângulo são complementares.

Contexto histórico De acordo com Carl Boyer, a trigonometria, como outros ramos da matemática, não foi obra de um só homem ou nação. Teoremas sobre razões entre lados de triângulos semelhantes tinham sido conhecido e usados pelos egípcios e babilônios.

Papiro Rhind, Museu de Londres.



Hiparco de Nicéia: Hiparco foi o maior astrônomo da antiguidade, é considerado o pai da trigonometria. Entre as grandes descoberta de Hiparco, destacamos a descoberta da distância entre a terra e a Lua, utilizando apenas um astrolábio e conhecimentos de trigonometria (tabelas das cordas).

Astrolábio

Ontem

Hoje

Astrolábio

Teodolito

Um dos mais antigos instrumentos científicos, que teria surgido no século III a.C. A sua invenção é atribuída ao matemático e astrônomo grego Hiparco.

Instrumento geodésico, que serve para levantar plantas, medir ângulos reduzidos ao horizonte e as distâncias zenitais.

Hoje onde aplicamos a trigonometria? Hoje em dia, aplicamos a trigonometria em outros ramos da ciência, tais como: Engenharia, Física, na Medicina, Astronomia e Biologia. ALTURA DE ÁRVORES

ENGENHARIA MECÂNICA DOS CILINDROS

Trigonometria na Aviação Os atuais aviões são bem equipados e possuem um sistema de segurança rigoroso, entre esses aparelhos destacamos o computador de voo e um altímetro que são capazes de medir respectivamente a distância percorrida e a altura do avião em relação ao nível do mar. Com isso, podemos montar um modelo de um avião levantando vôo, veja.

3Km

Assim até o momento que o piloto estiver subindo antes de estabilizar o avião na horizontal podemos desenhar vários triângulos retângulos semelhantes de modo que suas medidas podem ser obtidos através dos aparelhos aborto do avião, veja:

6 Km 3 Km

Última medida antes de estabilizar vôo, observe:

9 Km 6 Km 3 Km

Agora perceber a relação entre o modelo real e o matemático. Modelo Real

E

C

9 Km

Modelo matemático

A

6 Km E

3 Km O

B

D

C

F

9 Km A

6 Km 3 Km O

B

D

F

Por semelhança de triângulos notamos que:  Altura em relação  ao nível do mar Razão    Distância     Percorrida 

  3 6  9 5 10 15

 Deslocamento    Horizontal  4 8 12  Razão     Distância 5 10 15      Percorrida   Altura em relação  ao nível do mar  Razão   Distância     Horizontal 

  36 9 4 8 12

3 k   0,6 5

k

4  0,8 5

3 k   0,75 4

Em uma linguagem matemática se consideremos um ângulo AOB de medida α, do triângulo AOB, reto em B, com 0° < α < 90° e, a partir dos pontos C, E, G, etc. da semi-reta OG, tracemos as perpendiculares CD, EF, GH, etc, à semi-reta OH.

Assim os triângulos OAB, OCD, OEF e OGH são todos semelhantes. Portanto teremos: AB CD EF GH CATETO OPOSTO     sen   HIPOTENUSA OA OC OE OG OB OD OF OH CATETO ADJACENTE R2      cos   HIPOTENUSA OA OC OE OG

R1 

R3 

AB CD EF GH CATETO OPOSTO     tg    CATETO ADJACENTE OB OD OF OH

Seno, cosseno e tangente no triângulo retângulo • Para um ângulo agudo de um triângulo retângulo definimos seno, cosseno e tangente como segue: O seno do ângulo é a razão entre o cateto oposto ao ângulo e a hipotenusa. CATETO OPOSTO sen   HIPOTENUSA

c sen   a

O cosseno do ângulo é a razão entre o cateto adjacente ao ângulo e a hipotenusa. cos  

CATETO ADJACENTE HIPOTENUSA

cos  

c b

A tangente do ângulo é a razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente ao ângulo. CATETO OPOSTO tg    CATETO ADJACENTE c tg    b

Consequências das definições C

a b

B

b sen B = a

sen C =

c a

cos C =

cos B =

b tg B = c

tg C =

_

c A 1ª CONSEQUÊNCIA - Como B e C são ângulos complementares, podemos observar que o seno de um é igual ao cosseno do outro; Ex1 : Sen 40° = Cos 50° Ex2 : Sen 35° = Cos 55° 2ª CONSEQUÊNCIA - Observamos também que a tangente de um ângulo é igual ao inverso da tangente do outro.

tg B = 1/tg C

Consequências das definições C

a b

3ª CONSEQUÊNCIA (Relação fundamental da trigonometria)

sen²α + cos²α = 1

DEMONSTRAÇÃO: sen B = b/a cos B = c/a Elevando os membros ao quadrado: sen² B = (b/a)²

B

c

A

cos² B = (c/a)² Somando as duas equações: sen² B + cos² B = (b/a)² + (c/a)² Desenvolvendo o 2º menbro: sen² B + cos² B = b²/a² + c²/a² sen² B + cos² B = (b² + c²)/a² sen² B + cos² B = (a²)/a² = 1

Razões Trigonométricas do ângulo de 45º Considere o quadrado ABCD, com lado de medida ℓ. A diagonal AC desse quadrado mede d = ℓ 2. Destaquemos do quadrado o triângulo ABC. Temos: 1 D

C d=ℓ 2

1 2 sen 45º =  sen 45º =  sen 45º = 2 l 2 2 l

1 ℓ

cos 45º =

l l 2

=

2 2

45º

A

ℓ

B

l tg 45º =  tg 45º = 1 l

Observe que os valores das razões trigonométricas não dependem da medida do lado do quadrado.

Razões Trigonométricas do ângulo de 30º Considere agora o triângulo equilátero ABC, com lado de medida ℓ . l 3. A altura AH do triângulo mede h  2 Destaquemos do ABC o AHC.

Temos: A 30º

ℓ

h B

. H

ℓ 2

l C sen 30º = 2  sen 30º = ℓ . 1  sen 30º = 1 2 ℓ 2 l l 3 2  cos 30º = ℓ 3 . 1  cos 30º = 3 cos 30º = ℓ 2 2 l l 2

tg 30º =

l

1 3 ℓ . 2  tg 30º =  tg 30º = 2 ℓ 3 3 3

Ângulos Notáveis Razões Trigonométricas do ângulo de 60º Destaquemos novamente o AHC, temos:

l 3 3 ℓ 3. 1 2  sen 60º =  sen 60º = sen 60º = ℓ 2 2 l

A

ℓ

h B

. H

60º

ℓ 2

l cos 60º = 2  cos 60º = ℓ . 1  cos 60º = 1 2 2 ℓ l C

l tg 60º =

3 2 l 2

1

3. 2  tg 60º = ℓ  tg 60º = 3 2 ℓ

Vamos colocar numa tabela os valores encontrados:

Ângulo

30º

45º

60º

seno

1 2

2 2

cosseno

3 2

2 2

3 2 1 2

tangente

3 3

1

3

Trigonometria Musical (No mesmo ritmo de Bate o sino) “1, 2, 3 3, 2, 1 Tudo sobre 2 Você põe a raiz no 3 e no 2, hei! A tangente é diferente, venha aprender Raiz de 3 sobre 3 1, raiz de 3″

Exercícios de Fixação 1. (ESA) O valor de α, no triângulo abaixo, é: a) 36 b) 32 UTILIZANDO A RELAÇÃO DO SENO TEMOS: c) 30 α 18 sen30  18  d) 34 1 18 e) 38  30º

2



  36 m

2. Qual é o comprimento da escada?

x

UTILIZANDO A RELAÇÃO DO SENO TEMOS:

sen30  1 3  2 x

3 x



x6 m

3. Determine o comprimento do cabo de aço AB no qual foi puxado até o topo do prédio? B CABO DE AÇO x

A UTILIZANDO A RELAÇÃO DO COSSENO TEMOS:

cos 30  3 3  2 x



60 x

3x  6



6 x 3

 x2

3

4. Calcule a altura do balão de gás, considere .

UTILIZANDO A RELAÇÃO DO TANGENTE TEMOS:

h tg 60  50

h 3 50

h  50 3m

5. No triângulo retângulo abaixo, qual é o valor do cosseno de  ?

HIP ² = CAT ² + CAT ²

8cm

10cm

 X 6 3 Cos() = _x_ =  5 10 10

10² = 8² + x² 100 = 64 + x² 36 = x² x=6

6. Uma escada de 12m de comprimento esta apoiada em um prédio fazendo com este um ângulo de 60º. Qual é a altura do prédio? 0º SEN

h C.O

60º

HIP 12m

0

COS

1

TAN

0

30º

C.O 1 h Sen 30º =   HIP 2 12

30º 1 2

3 2 3 3

45º

60º

90º

2 2

3 2

1

2 2

1

 2h=12 

1 2

0 3



h=6m

7. Uma escada de um carro de bombeiros pode estender-se até um comprimento máximo de 30 metros quando é levantada a um ângulo máximo de 70°. Sabe-se que a base da escada está colocada sobre um caminhão, a uma altura de 2 metros do solo. Que altura, em relação ao solo, essa escada pode alcançar? (Use: sen 70° = 0,93, cos 70° = 0,34 e tg 70° = 2,74)

UTILIZANDO A RELAÇÃO DO SENO TEMOS:

x sen70  30 x 0,94  30 y

x  28,2 Logo a altura que a escada poderá alcançar será:

28,2  2  30,2 m

8. Para determinar a altura de um prédio, o topógrafo colocou seu teodolito na praça em frente. Com uma trena, ele mediu a distância do teodolito ao prédio e encontrou 27 m. Mirando o alto do prédio, ele verificou, na escala do teodolito, que o ângulo formado por essa linha visual com a horizontal é de 30º. Se a luneta do teodolito está a 1,7 m do chão, qual é a altura do prédio? (Use 3  1,7 : ): A) 16m B) 17 m C) 18 m D) 19 m

UTILIZANDO A RELAÇÃO DA TANGENTE TEMOS:

x tg30  27

3 x  3 27

x

3x  27 3

x

Como a questão diz que

x  9 3  9.1,7  15,3

3  1,7 :

27 3 3

x9 3

Logo a altura do prédio será:

h  15,3  1,7  17 m

9. (UFRS) A figura a seguir é um corte vertical de uma peça usada em certo tipo de máquina. No corte aparecem dois círculos, com raios de 3cm e 4cm, um suporte vertical e um apoio horizontal.

A partir das medidas indicadas na figura, conclui-se que a altura do suporte é A) 7 cm B) 11 cm C) 12 cm D) 14 cm E) 15 cm

x sen30  24

1 x  2 24

O tamanho do suporte será:

Tamanho = 12 + 3 – 4 = 11

2 x  24

x  12

10. (IFMG 2005) Duas pessoas A e B, numa rua plana, avistam o topo de um prédio sob ângulos de 60° e 30°, respectivamente, com a horizontal, conforme mostra a figura. Se a distância entre os observadores é de 40 m, então, a altura do prédio, em metros, é aproximadamente igual a: a) 34 b) 32 c) 30 d) 28

• SOLUÇÃO: Como esse triângulo possui dois ângulos iguais ele é isóscles.

30

120

40 m

Logo ele possui dois lados iguais

Sendo assim: Utilizando o seno: x sen60  40

3 x  2 40

1,7

x  20 3 m  34 m

11. (EPCAR-2012) Uma coruja está pousada em R, ponto mais alto de um poste, a uma altura h do ponto P, no chão. Ela é vista por um rato no ponto A, no solo, sob um ângulo de 30°, conforme mostra figura abaixo.

O rato se desloca em linha reta até o ponto B, de onde vê a coruja, agora sob um ângulo de 45° com o chão e a uma distância BR de medida 6 2 metros. Com base nessas informações, estando os pontos A, B e P alinhados e desprezando-se a espessura do poste, pode-se afirmar então que a medida do deslocamento AB do rato, em metros, é um número entre a) 3 e 4 b) 4 e 5 c) 5 e 6 d) 6 e 7

6

6 2

x

Como o ângulo é 45° segue-se que H = BP.

Utilizando o teorema de Pitágoras concluímos que H=6

6

Utilizando a tangente de 30: tg 30 

6 x6

1 6  3 x6

x6  6 3 x  6 3 6 x  6( 3  1) x  6(1,7  1)

x  6.0,7 x  4,2

12. (EPCAR-2009)

13. (EPCAR) Um avião voa numa reta horizontal de altura 10 km em relação a um observador P, situado na projeção ortogonal da trajetória. No instante t1, o avião é visto sob um ângulo de 60° e no instante t2, sob um ângulo de 30°. Qual é a distância percorrida pelo avião no intervalo t1 até t2 ?

a

t1

t2

10

a y

x=

14. (UGF – RJ) A medida do ED , indicada na figura é: a) cm b) 6 cm c) 8 cm d) 10 cm e) 10 3 cm

15. Determine o valor de AB , indicado na figura abaixo:

15. Determine o perímetro do triângulo ACD.

16. (F. Ruy Barbosa-BA) A área do triângulo ABC, da figura abaixo, mede, em u.a.: a) 16 b) 32 c) 16 d) 32(3  3) e) 16(1  2) 3

3

A

30º 8

B

45º

C

17. Para medir a largura aproximada do rio, Fernandão usou como referência uma árvore em uma das margens para marcar as medidas mostradas no desenho. Qual é a largura aproximada do rio?

Use: sen 70° = 0,93, cos 70° = 0,34 e tg 70° = 2,74)

5) Pedro mediu a altura de prédio onde mora. Para isso, precisou 19. Pedro mediu a altura de prédio onde mora. Para isso, precisou de um teodolito, aparelho utilizado por agrimensores para medir de um teodolito, aparelho utilizado por agrimensores para medir ângulos. Primeiramente ele mediu o ângulo de elevação do prédio e ângulos. Primeiramente ele mediu o ângulo de elevação do prédio e depois a distância da base do prédio até o lugar onde estava o depois a distância da base do prédio até o lugar onde estava o teodolito. A medida do ângulo é 48º e a distância é 18 m. Como ele teodolito. A medida do ângulo é 48º e a distância é 18 m. Como ele descobriu a altura do prédio? Você também consegue calculá-la? descobriu a altura do prédio? Você também consegue calculá-la? tg 48º = 1,11

20. (UNESP) Um pequeno avião deveria partir de uma cidade A rumo a uma cidade B ao norte, distante 60km de A. Por um problema de orientação, o piloto seguiu erradamente rumo ao oeste, Ao perceber o erro, ele corrigiu a rota, fazendo um giro de 120º à direita em um ponto C, de modo que o seu trajeto, juntamente com o trajeto que deveria ter sido seguido, formaram, aproximadamente, um triângulo retângulo ABC, como mostra a figura. Com base na figura, a distância, em quilômetros, que o avião voou partindo de A até chegar a B é: a) 30 √3 b) 40 √3 c) 60 √3

21. Uma escada de 4,5 m de comprimento está apoiada num muro vertical, como mostra a figura. O ângulo que a escada faz com o chão é de 62º. Sabendo que sen 62º = 0,88, calcule a altura h.

22. Uma torre de transmissão de TV de 60m de altura está implantada num terreno horizontal. Um cabo de tensão vai desde o solo até ao ponto mais alto da torre e faz com o solo um ângulo de 55º. Qual o comprimento do cabo?

23. (UFG-2007) Para dar sustentação a um poste telefônico, utilizou-se um outro poste com 8 m de comprimento, fixado ao solo a 4 m de distância do poste telefônico, inclinado sob um ângulo de 60°, conforme a figura a seguir. Considerando-se que foram utilizados 10 m de cabo para ligar os dois postes, determine a altura do poste telefônico em relação ao solo.

24. (UFRN-2009) Para medir a altura de uma árvore, da qual não podia aproximar-se, um ambientalista colocou, a certa distância dessa árvore, um cavalete de 1 m de altura e observou seu ponto mais alto, segundo um ângulo de 30° . Aproximando-se mais 10 m, observou o mesmo ponto segundo um ângulo de 45° , conforme a figura abaixo.

25. A figura representa o perfil de uma escada cujos degraus têm todos a mesma extensão, além de mesma altura. Sabendo que AB=12m e B𝐶 A mede 30°, responda: a) o valor da altura de cada degrau. b) o valor do comprimento de cada degrau. A

B

C

26. (UNESP-2007) Um ciclista sobe, em linha reta, uma rampa com inclinação de 3 graus a uma velocidade constante de 4 metros por segundo. A altura do topo da rampa em relação ao ponto de partida é 30 m. Use a aproximação sen3°=0,05 e responda. O tempo, em minutos, que o ciclista levou para percorrer completamente a rampa é a) 2,5. b) 7,5. c) 10. d) 15.

27. Na figura, a área do triângulo ABC, em cm2, vale: a) 15 b) 30 c) 6 d) 10 e) 20

28. (EPCAR-2006)

29. Para medir a altura de um prédio, em engenheiro mediu, com um aparelho, o ângulo que o topo do prédio forma com a linha horizontal, como mostra a figura. Sabendo que o aparelho tem 1,5 m de altura e está a 20 m do prédio. A altura do prédio é: (Considere: sen 30º = 0,50; cos 30º = 0,86 e tg 30º = 0,57) A) 15,1 m. B) 13,65 m. C) 12,90 m. D) 11,40 m.

30. Um barco navega na direção AB, próximo a um farol P, conforme a figura a seguir.

No ponto A, o navegador verifica que a reta AP, da embarcação ao farol, forma um ângulo de 30° com a direção AB. Após a embarcação percorrer 1.000 m, no ponto B, o navegador verifica que a reta BP, da embarcação ao farol, forma um ângulo de 60° com a mesma direção AB. Seguindo sempre a direção AB. Determine a menor distância entre a embarcação e o farol. (considere:tg30o  33 e tg30o  3 )

Trigonometria e Raio da Terra 31. A montanha onde se localiza o Cristo Redentor (Corcovado) no Rio de Janeiro, está a 703 m de altura em relação ao nível do mar. Lá de cima, um observador vê o horizonte (no mar) segundo um ângulo de 0,85o em relação ao plano horizontal. Encontre uma medida aproximada para o raio da Terra. (Use: sen 0,85o = 0,0148 , cos 0,85o = 0,9998 e tg 0,85o = 0,0148)

TRIGONOMETRIA E AS MEDIDAS INACESSÍVEIS

32. Um topógrafo utilizou um teodolito para calcular a altura de uma torre que se encontra do outro lado de um rio da seguinte forma: Inicialmente, o teodolito foi colocado em um ponto A. Mirando o ponto V, o mais alto da torre, verificamos que o ângulo dessa linha visual com a horizontal era de 23º. Em seguida, o topógrafo aproximouse da torre e fixou o teodolito no ponto B. Nessa posição, mirando para o ponto V, o mais alto da torre, ele verificou que o ângulo da linha visual com a horizontal passou a ser de 35º. Sabendo que a distância AB (medida com a trena) era de 100 m, qual é a altura da torre?

33. Os segredos da torre inclinada - A torre “pesa” 14453 toneladas e está, desde 1993, com um “sobrepeso” de mil toneladas de chumbo, para evitar a queda. - O campanário de Pisa tem 58,5 metros de altura. Sua base tem 19,6 metros de diâmetro. - São 8 andares, dos quais seis apresentam arcadas de mármore em torno do eixo central. - A construção do campanário começou em 1173; a base tem apenas 3 metros de profundidade. - Ao ser iniciada a construção do terceiro andar, em 1724, o terreno de argila cedeu e a torre apresentou uma primeira inclinação. - A construção terminou em 1301; em 1350, a inclinação era de 1,40 metro. - Em 1995, a inclinação chegou a 5,40 metros; o terreno em torno da torre está prejudicado em até 40 metros de profundidade. - Atualmente trabalhos de contenção do solo projetam que a torre seja devolvida à mesma inclinação de 1817, que era de 3,80 metros.

(O Estado de São Paulo 01/8/2000)

Considerando os dados apresentados na reportagem, construir um esquema referente à situação do ano de 1995, determinar o ângulo de inclinação da torre. Com o auxílio de uma tabela trigonométrica, determine o menor intervalo inteiro em graus que se encontra esse ângulo.

Até a próxima aula!!!!