FUNGSI INVERS DAN KOMPOSISI
Bab 18
1. FUNGSI INVERS F(x) x
y F’(x )
a. Fungsi Linear Contoh : Jika y = f(x) = 2x + 6 , maka invers dari f(x) adalah … A. 2x – 6 1
B. 6 – 2x
C.
(x
(x
D.
2
2)
E.
6
1
x
2
6
Jawab : y = 2x + 6
Cara cerdik :
2x = y + 6
f(x)=ax + b
y
x y
6)
6 2 x
1
f
1
x
1
x
b a
y = 2x + 6
f
6 2
6 2
b. Fungsi Pecahan f (x)
ax
b
cx
d
1
f
dx
(x)
b
cx
a
Contoh : f (x)
4x x
1
f
1
(x)
4x
1
x
4
4
c. Fungsi Eksponen a
f ( x)
a
bx
1
f
( x)
log x b
Contoh : 3
f ( x)
3
5x
f
1
( x)
log x
3
1
log x 5
5
d. Fungsi kuadrat f (x)
ax
2
bx
c
f
1
(x)
1 a
(x
D 4a
)
b 2a
contoh :
Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono
119
f ( x)
x
2
4x
2
1
f
( x)
8
1( x
)
4
4 2
= x 2 2 2. Komposisi Fungsi Jika f : A B dan g : B C maka h : A C disebut fungsi komposisi dari f dan g dan ditulis dengan gof Jadi h ( x ) gof ( x ) g [ f ( x )] Contoh : Jika f ( x ) x 1 dan ( fog )( x ) 3 x 2 4 maka g(x) = … A. g(x)=3x + 4 B. g(x)= 3x + 3 C. g(x) = 3x 2 + 4 D. g ( x ) 3( x 2 1) E. g ( x ) 3( x 2 3) Jawab : ( fog )( x ) f ( g ( x ))
3x
g ( x) 1 g ( x)
3x
3x
2
2
3x
2
:
4
4
2
4
3
3( x
2
1)
Cara cerdik f (x)
diketahui
( fog )( x )
atau :
g ( x)
m aka g ( x )
1
f
o ( fog )( x )
diketahui
f ( x)
ax
b
fo g
px
q
3x
2
= 3x
px
g (x)
q
b
a
4 1
2
3
Contoh : Diketahui f (2 x 3)
2
3( x x
2
1) 5 , f(x) = …
4x
Cara cerdik : f (m x
n)
ax
2
bx
c
f (x)
2
f (m x n )
ax b x c
diinverskan
dim asukkan
Jawab : 2x
x
3 in versn ya
3 2
f ( x)
x
3 2
4
x
3 2
5
1 4
x
2
7
x
2
Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono
53 4
120
Soal Latihan : R , f(x) = 2x + 3 . Maka f 1 ( x )
1. Fungsi f : R A.
1
x
B.
3
2
y
2. Diketahui f ( x )
1 2 2
x
C.
3
,x
B. –1
3. Bila f : x
5
2x
B. 5 log
2)
C. 2x log 5
x
B. 2 x (4 x 2
1
D. 4(2 x 1) 2
log x 2
1
2 log x
A. 2
A.
3x
6 , m aka f
1
2(2 x
1 3 x
2
2x 3
x
B.
8. Invers f ( x ) A. ( x 2)
3
2
C.
3 3
(1
1
E. 2 log 5 x
...
2)
f
2
sama dengan …
x
D. –2
E. –3
1 2
1
1
3
D.
2x
3 2x
E. 1
2
3 maka ( fog ) ( x )
2x
2
D.
… E.
2
2x
3
2x
2
2 adalah
x )5
B. 1 ( x 2) 5 / 3 C. 1 ( x 2) 5 / 3 D. 1 ( x 2) 5 / 3
5/3
9. Jika f(x) = 3x dan g ( x ) A. f(x)
x
3
3 , maka log( gof ( x ))
B. g(x) 2
10. Jika f ( x )
C.
dan g ( x )
3 2x
D. 5 lo g x
= 1
B.
1
A. 2
log x 2
2 log x
C. x
, maka f ( x )
...
E. 3 log x
D. 3 f(x) f ( 2x ) sama dengan …
C. –1
B. 1
E. (1 ( x 2) 5 )1 / 3
D. –2
E. –3
11. Jika f(x) = x 2 +1 dan g(x) = 2x – 1 , maka (f o g )(x) = … A. 2x 2 +1 B. 2x 2 + 2x + 1 C. 4x 2 - 4x + 2 D. 4x 2 +2x + 2 12. Jika f(x) = 4x dan f(g(x))= A.
1 4
(x – 1 )
B.
E. 3 x 2
1)
C. –1
1
3)
E. 2
C. (2 x 1)(4 x 2
, maka f ( x )
6
7. Jika f ( x ) A.
2
B. 1
6. f ( x )
x(x
2
D. 1
2 , maka ( gof )( x )
2) 1
E. 4(2 x 1)
2
5. Jika f ( x )
2
1
adalah …
1
4. Jika f(x) = 2x + 1 dan g(x) = 4 x 2 A. 2(4 x 2
D.
3)
C. 0
maka f
A. 5 log 2x
(x
nilai dari f 1 ( 4) ...
3
2
A. –2
1
...
1 4
1 2
x
E. 4x 2 +2x - 2
1 , maka g(x)= …
(-x+1)
Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono
C.
1 8
(-x – 2 )
D.
1 8
( -x + 2 ) E.
1 8
(-x + 2 )
121
13. Jika f(x) =
1 2x
1
A. –2
dan (f o g )(x) = B. 2
x 3x
C.
2 1
maka g(x) sama dengan … D. –3
2
1
E.
3
14. Jika f(x) = 5 dan f (x) invers dari f(x), maka nilai f (5 5 ) adalah … 3x
1
A. – ½
B.
15. Jika f(x) =
B.
3
1
C. ½
6
3 +3 , maka f
1
A.
1
1
x
1
D. 1
1
E.
3
(x) = …
3
C. ( x
3)
2
1
D. (x
x
3)
2
1
E. (x
3)
2
Cintailah ilmu maka engkau akan dicintainya
Soal – soal fungsi dan fungsi invers ujian nasional 1. Diketahui fungsi f dan g dirumuskan oleh f(x) = 3x2 – 4x + 6 dan g(x) = 2x – 1. Jika nilai ( f o g )(x) = 101, maka nilai x yang memenuhi adalah …. a.
3
2
dan
2
3
b.
3
2
dan 2
3
c.
3
dan 2
11
d.
3
2
dan
2
3
e.
3
dan - 2
11
2. Diketahui ( f o g )(x) = 4 2 x 1. Jika g(x) = 2x – 1, maka f(x) = …. a.
4
x 2
b. 4 2 x 3 . c.
2
4x 1
2
d. 2 2 x e. 3. Jika
1
2
1
2x 1
f (x)
1 2
1 x
1
dan
( fog )( x )
2
x
1,
maka fungsi g adalah g(x) = ….
a. 2x – 1 b. 2x – 3 c. 4x – 5 d. 4x + 3 e. 5x – 4
Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono
122
4. Ditentukan g(f(x)) = f(g(x)). Jika f(x) = 2x + p dan g(x) = 3x + 120, maka nilai p = …. a. 30 b. 60 c. 90 d. 120 e. 150 5. Fungsi f : R
R didefinisikan sebagai
f (x)
2x
1
3x
4
,
x
3
. Invers dari fungsi f adalah
4
f –1(x)= …. a. b. c.
4x
1
3x
2
4x
1
3x
2
4x 2
d. e.
2
,x
3 2
,x
3
1
2
,x
3x
4x
1
3x
2
4x
1
3x
2
3 2
,x
3 2
,x
3
6. Diketahui
f (x
1)
x 2x
1 1
,x
1
dan f–1(x) adalah invers dari f(x). Rumus f –1(2x – 1) =
2
…. x
2
2x
1
a.
2x
b. c.
x
1
x
1
,x
2x
2x
4
1
2 1
4x
e.
3
,x
3
2x
d.
2 1
4x
1
,x
3
,x
3 1
,x
4 2
4
7. Diketahui fungsi f(x) = 6x – 3, g(x) = 5x + 4, dan ( f o g )(a) = 81. Nilai a = …. a. – 2 b. – 1 c. 1 d. 2 e. 3 8. Diketahui fungsi f(x) = 2x + 1 dan ( f o g )( x + 1 ) = –2x2 – 4x – 1. Nilai g(– 2 ) = …. a. – 5 b. – 4 c. – 1
Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono
123
d. 1 e. 5 9. Diketahui
2
f (x)
3x
4x
,x
1
1
. Jika f
–1
(x) adalah invers fungsi f, maka f
–1
(x–2)=
4
…. a.
4
x
4x
5
4
x
4
4x
5
x
2
4x
3
b. c.
x
d.
5 4 3
,x
4 3
3 x
4x
,x
,x
4x
e.
5
,x
4 5
,x 5
4
Kunci jawaban 1. A
2.A
3.D
4.B
5.C
Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono
6.B
7.D
8.B
9.A
124
PEMBAHASAN
1. Diketahui fungsi f dan g dirumuskan oleh f (x) = 3x2 - 4x + 6 dan g (x) = 2x - 1. Jika nilai ( f o g )(x) = 101, maka nilai x yang memenuhi adalah …… 2
a. 3 b. c.
dan -2
3
2
3
dan 2
3
3
dan 2
11
d.
3
2
dan -2
3
3
e.
dan -2
11
Jawab: ( f o g )(x) = 101 f ( g (x ) = 101 f ( 2x - 1) = 101 3 ( 2x – 1 )2 – 4 ( 2x - 1) + 6 = 101 3 ( 4x2 - 4x + 1) - 8x + 4 + 6 – 101 = 0 12x2 – 12x + 3 – 8x – 91 = 0 12 x
2
20 x
88
=0
4 3x
2
3x
x=
5x
22
11 x 11
3
3
0
2 2 3
0
dan x = -2
JAWABAN : A. 3
2 3
dan -2
2. Diketahui ( f o g ) = 4 2 x 1 . Jika g (x) = 2x – 1, maka f(x ) = … a. 4 x 2 b. 4 2 x 3 c. 2 4 x
1
1
d. 2 2 x
1
2 1 2
2x 1
e. 2 1 Jawab : Misal f(x) = 4 ax b ( f o g )(x) = 4 2 x 1 f( 2x – 1 ) = 4 2 x 1
Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono
125
= 42x 1 2ax – a + b = 2x + 1 2a = 2 a=1 -a + b = 1 -1 + b = 1 b=2 Jadi f(x) = 4 a 2 x 1 b = 4 x JAWABAN : A. 4 x 2 4
a 2x 1
b
2
3. Jika f(x) = x 1 dan ( f o g )(x) = 2 x 1 , maka fungsi g adalah g(x) = …. a. 2x – 1 b. 2x – 3 c. 4x – 5 d. 4x + 3 e. 5x – 4 Jawab : ( f o g )(x) = 2 x 1 x
1 g x
2 x
1
2 x
1
2
g x
2
1
g(x) + 1 = 4 ( x + 1 ) g(x) + 1 = 4x + 4 g(x) = 4x + 3 JAWABAN : D. 4x + 3 4. Ditentukan g(f(x)) = f(g(x)). Jika f(x) = 2x + p dan g(x) = 3x + 120, maka nilai p =…. a. 30 b. 60 c. 90 d. 120 e. 150 Jawab : g(f(x)) = f(g(x)) g ( 2x + p ) = f ( 3x + 120) + p 3 ( 2x + p ) + 120 = 2 ( 3x + 120 ) + p 6x + 3p + 120 = 6x + 240 + p p = 120 JAWABAN : D. 120 5. Fungsi f : R f adalah f a. b. c. d.
4x
1
3x 4x
2 1
3x 4x
2 1
2 3x 4x 1 3x
2
1
R didefinisikan sebagai f x
2x
1
3x
4
,x
3 4
.
Invers dari fungsi
…….
x 2
,x
3 ,x
,x ,x
2 3 2 3 2 3
Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono
126
e.
4x
1
3x
2
,x
2
Jawab : 2x
1
3x
4
y y 3x
4
2x
1
4y
1
2x
3 yx
4y
1
x 2
3y
4y
1
x
2
3y 4x
1
f
1
2
3x 4x
JAWABAN : C.
2
1
a. b. c. d. e.
2x x
1 2
1
2x
1
,x
1
2
dan f
1
x adalah invers dari f(x). Rumus
1 2 3
,x
4x 3 x 1 ,x 2x 1 2x 1
3
.....
,x
2x 1 2x 1
2
,x
3x x
6. Diketahui f x 1 f
1
4 1 2 3
,x
4x 3 x 1 ,x 2x 4
4 2
Jawab : x
y
1
2x
1
y 2x
1
2 yx
y
x 2y
1
x
y 2y
f x
1
x
1
x
1 y
1
1 1 1
x
1
2x
JAWABAN : C.
1 x 2x
1 1
,x
1 2
7. Diketahui fungsi f(x) = 6x – 3, g(x) = 5x + 4, dan ( f o g )(a) = 81. Nilai a = … a. -2 b. -1 c. 1 d. 2 e. 3 Jawab : ( f o g )(x) = f(g(x)) Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono
127
= f(5x + 4) = 6(5x + 4) – 3 = 30x + 24 – 3 = 30x + 21 ( f o g )(a) = 81 30x + 21 = 81 30x = 81 – 21 30x = 60 x=2 JAWABAN : D. 2 8. Diketahui fungsi f(x) = 2x + 1 dan ( f o g )( x + 1 ) = …. a. -5 b. -4 c. -1 d. 1 e. 5 Jawab : ( f o g )( x + 1) = 2 x 2 4 x 1 f(g( x + 1 )) = 2 x 2 4 x 1 2(g( x + 1 )) + 1 = 2 x 2 4 x 1 2(g( x + 1 )) = 2 x 2 4 x 2 g( x + 1 ) =
2x
2
4x
2x
2
4x
1 . Nilai g(-2) =
2
2 2
g( x + 1 ) = x 2x 1 2 2 2 2 1 g(-2) = =-4+4–1 = -1 JAWABAN : C. -1 2
9. Diketahui f x f
a. b. c. d. e.
1
x
4
2 x
4x x
5 2
4x 3 x 4x
,x
4x
,x ,x ,x
5
1 4
. Jika f
1
x adalah invers fungsi f, maka
1 4 5 4
3 x
1
,x
....
,x
4x 5 x 4
4x
3x
3 4 3 4 5 4
Jawab :
Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono
128
2
y
3x
4x
1
y 4x
1
4 yx
y
4 yx
3x
2
y
3
2
y
x 4y 2
x
2 2
1
=
3x
y
4y
f
3x
3 2
x
4x
3
JAWABAN : C.
2
x
4x
3
Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono
129