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Gradiente de potencial


r

Para caracterizar campos en la mayoría de los casos prácticos no se parte del potencial conocido previamente por los métodos anteriores. Lo más frecuente es que se conozcan los potenciales de, por ejemplo, superficies conductoras si se requiere calcular, por ejemplo, la capacitancia entre ellas, la distribución de carga y la corriente. Estas magnitudes se pueden determinar a partir del potencial de campo si se conoce un método de solución. La meta aquí sería encontrar un método sencillo sencillo para determinar la intensidad de campo eléctrico a partir del potencial. La relación general entre estas cantidades es:

V A

r

r

= − ∫ E ⋅ d L = −

Qué información adicional se puede obtener obtener de una situación como la planteada?

∆V ≈ − E ∆ L cos θ ∆V ≈ − E cos θ ∆ L

Si se calcula la derivada:

Qué dirección debe tener tener ∆L para que la derivada sea máxima?

∆V = − cos θ E ∆ L max −1 123

W Q

O sea ∆L apunta en dirección opuesta a E Dipl.-Ing. Arnoldo Rojas Coto

ITCR- Teoría Electromagnética Electromagnética 1

r

∆V ≈ − E ⋅ ∆ L


Dipl.-Ing. Arnoldo Rojas Coto



Dos conclusiones importantes de esta análisis: 1.- La magnitu magnitud d de E está está dada por por 2.2.-

∆V ∆ L max

∆V se obti obtien ene e cuan cuand do la dir direcci ección ón de E es ∆ L max

opuesta a la dirección de máximo crecimiento del potencial V Un campo de potencial se indica mediante sus superficies equipotenciales, caracterizadas por el hecho de que en cualquier punto de ese campo, el vector E es normal a la superficie equipotencial que pasa por por ese punto y se dirige hacia las superficies más negativas. A lo largo de una superficie equipotencial se tiene que: r

r

{

{

∆V = 0 = − E ⋅ ∆L ≠0 ITCR- Teoría Electromagnética Electromagnética 1



≠0

La igualdad se verifica solamente para ortogonalidad Dipl.-Ing. Arnoldo Rojas Coto


La operación aplicada a V mediante la cual se obtiene –E se conoce con el nombre de gradiente. La definición de gradiente de un campo escalar T está dada por la expresión:

Por lo tanto es válido: r

E = −

dV dL


r

a N max

Gradiente de T

r

como dV/dL(max) ocurre cuando ∆L

= grad T =

r

está en dirección de a N , se puede anotar : dV dL r

= max

E = −

dV dN

dT dN

r

a N

En donde aN es un vector unitario normal a las superficies equipotenciales y cuyo sentido es aquel en el que se aumentan los valores de T. Así, con esa nueva terminología, la relación entre V y E puede expresarse como:

y por lo tanto :

dV r a N

dN

r

E = − grad V

Este procedimiento que lleva a este resultado no es válido solamente para cantidades eléctricas. Se aplica también con un escalar y en campo vectorial en hidráulica, termodinámica y magnetismo. De hecho se presenta en casi todos los temas en que se aplique el análisis vectorial. Dipl.-Ing. Arnoldo Rojas Coto

ITCR- Teoría Electromagnética 1





Puesto que se ha demostrado que V es función de las coordenadas del sistema en análisis, su diferencial total en coordenadas rectangulares se puede escribir como: ∂V ∂V ∂V

El gradiente de un escalar es un vector y su significado físico está asociado a la máxima tasa de cambio espacial del escalar y proporcionando a la vez la dirección de esa variación máxima. La naturaleza vectorial de este operador se vuelve evidente al utilizar el operador NABLA:

dV =

∂ x

dx +

∂ y

dy +

∂ z

dz

r

r

dV = - E ⋅ d L = − E x dx − E y dy − E z dz y dado que esa expresión es válida para todo valor dx, dy, dz :

∂V ∂V ∂V , E y = − , E z = − , entonces : ∂ x ∂ y ∂ z ∂V ∂V ∂V E = -( a + a + a ) por lo tanto : ∂ x x ∂ y y ∂ z z

E x = −

r

r

r

∂V ∂V ∂V a x + a y + a ∂ ∂ ∂ z z x y ITCR- Teoría Electromagnética 1 grad V =

r

r

∂ ∂ ∂ a x + a y + a ∂ x ∂ y ∂ z z por lo tanto ∇ V se puede expresar como : ∂V ∂V ∂V ∇ V = a x + a y + a ∂ x ∂ y ∂ z z ∇=

Pero también es válido que :

r

r

r

r

r

r

o en otra forma :

∇ V = grad V =

∂V ∂V ∂V a x + a y + a ∂ x ∂ y ∂ z z r

r

r

r




Gradiente de potencial Las fórmulas para el gradiente en los otros sistemas de coordenadas

∂V ∂V ∂V a x + a y + a rectangulares ∂ x ∂ y ∂ z z ∂V 1 ∂V ∂V ∇ V = grad V = ar + aϕ + a cilíndrica s ∂r ∂ z z r ∂ϕ ∂V 1 ∂V 1 ∂V ∇ V = grad V = ar + aθ + aϕ esféricas ∂r r ∂θ rsenθ ∂ϕ ∇ V = grad V =

r

r

r

r

r

r

r

r

Gradiente de potencial Ejemplo 4.3 pag. 100: Calcule para el punto P: a) El potencial V b) La intensidad de campo eléctrico E, su magnitud y su dirección c) La densidad de flujo eléctrico D si se encuentra en el vacío d) La densidad volumétrica de carga ρV Si el campo de potencial es

V = 2 x y − 5 z 2

r




Calcule para el punto P: a) El potencial V

c) La densidad de flujo eléctrico D si se encuentra en el vacío

y el punto P = (-4,3,6)

V ( P ) = 2 x y − 5 z 2

r

= 2 ⋅ (−4) ⋅ 3 − 5 ⋅ 6 = 66 V

b) La intensidad de campo eléctrico E, su magnitud y su dirección r

E = −∇ V = − r

∂ (2 x 2 y − 5 z ) ∂ (2 x 2 y − 5 z ) ∂ (2 x 2 y − 5 z ) a x − a y − a z = ∂ x ∂ y ∂ z r

E = ∇ V = −4 xya x r

r

r

el punto P E ( P ) = 48a x r

r

m

− 32a y + 5a z r

r

V

La magnitud y dirección E ( P ) = 48 r

r

a E (P)

=

48a x

− 32a y + 5a z r

57,9

9

36π

r

(48a x

− 32a y + 5a z ) = (0,4244a x − 0,2829a y + 0,04421a z )nC / m 2 r

r

r

r

r

r

10 −9

ρ V

= ∇ ⋅ D =

ρ V

= −35,36 y pC / m3

36π

(−4 xya x − 2 x 2 a y r

r

+ 5a z ) ⋅ ( r

∂ ∂ ∂ C = a + a + a ) ∂ x x ∂ y y ∂ z z m 2 r

r

r

En P :

m 2

10 −

d) La densidad volumétrica de carga ρV

r

V

− 2 x a + 5a z 2r y

r

D = ε 0 E =

2

P




V = 2 x 2 y − 5 z

y el punto P = (-4,3,6)

+ (−32) + 5 = 57,9 V/m 2

2

ρ V

= −106,1 pC / m3

r

= 0,829a x − 0,553a y + 0,086a z


r

r

r




El dipolo eléctrico

El dipolo eléctrico

Dipolo eléctrico - Definición:

El potencial V en un punto P es:

Dos cargas puntuales de igual magnitud y signo contrario separadas una distancia d << r, con coordenadas rectangulares (0,0,d/2) y (0,0,-d/2) constituyen un dipolo. La distancia al punto P está descrita por medio de las coordenadas esféricas (r,θ,φ).

V =

Q 1 1 Q r 2 − r 1 ( − )= ( ) 4πε 0 r 1 r 2 4πε 0 r 1r 2

Se necesita calcular el potencial V y el campo E. Cuál se debiera calcular primero?

Para el plano z = 0: z

El potencial V en un punto P es: z

r 1

θ

+Q

+Q

V =

r 2

r

El potencial sería cero dado que r 2-r 1 = 0:

y

d

Q

(

1

4πε 0 r 1

−

1 r 2

)=

Q 4πε 0

(

r 2 − r 1 r 1r 2

Plano z = 0 (θ = π /2):

r 1

)

d

y

r 2

V = 0 (Superficie equipotencial) y

-Q

x -Q

x Dipl.-Ing. Arnoldo Rojas Coto


El dipolo eléctrico para un punto lejano

El dipolo eléctrico para un punto lejano

z

z +Q d

Distancia al punto P lejano

r 1 θ

r 2 y

-Q

x

+Q

r 2-r 1=d cosθ

Distancia al punto P lejano

r 1 θ

r

r 2

d

r



y

Determine el campo eléctrico E !!!

Si se utiliza la ecuación de gradiente en coordenadas esféricas para este caso, se puede obtener una expresión para determinar el campo eléctrico de una forma sencilla :

-Q

En el caso de que el punto P esté muy lejano con respecto a la separación dipolar d, las distancias r 1 y r 2 son paralelas, su diferencia será r 2-r 1= d cosθ y las distancias r 1 y r 2 son aproximadamente iguales e iguales a r. El potencial V sería dado por la expresión:

V =

Q 4πε 0

(

r 2 − r 1 r 1r 2

)≈

Qd cos θ 2

x

r 2-r 1=d cosθ

1 ∂V 1 ∂V ∂V a + a + a ) ∂r r r ∂θ θ rsenθ ∂ϕ ϕ 1 ∂ Qd cos θ 1 ∂ Qd cos θ ∂ Qd cos θ E = −( ( )a + ( )a + ( )a ) ∂r 4πε 0 r 2 r r ∂θ 4πε 0 r 2 θ rsenθ ∂ϕ 4πε 0 r 2 ϕ r

E = −∇V = −( r

r

r

E = ITCR- Teoría Electromagnética 1


r

r

r

E = −(−

4πε 0 r

r

r

r

Qd cos θ r Qdsenθ r ar − aθ ) 2πε 0 r 3 4πε 0 r 3

Qd 4πε 0 r 3

(2 cos θ ar + senθ aθ )


r

r

Qd 4πε 0

= K


El dipolo eléctrico: líneas de campo

El dipolo eléctrico: líneas de campo

Para graficar el campo del potencial eléctrico se puede asumir, por ejemplo, que K = 1. Así cos θ = Vr 2 Para graficar recordamos que:

E θ E r

rd θ

=

dr

=

{

senθ 2 cos θ

⇒

dr rd θ

=

2 cos θ senθ

coord .esféricas

dr

= 2 cot θ d θ

r dr

r

dL e

= dr a r + r dθ a θ + rsenθ dϕ a ϕ r

r

r

r

esféricas

dL e

= dr a r + r dθ a θ + rsenθ dϕ a ϕ r

r

r

esféricas

1

∫ r = ∫ 2 cot θ d θ

∫ cot axdx = a ln(sin ax) + C

ln r = 2 ln(sin θ ) + C = ln(sin θ ) e

(ln( r ))

=e

(ln(sin 2 θ ) + C )

=e

(ln( r ))

1 2 3

r

=e

2

+ C

(ln(sin 2 θ ))

1 4 2 4 3 2

sin θ

⋅ eC = {

B

r = B sin θ 2



El dipolo eléctrico. Momento dipolar

El dipolo eléctrico. Momento dipolar Dado que el momento dipolar es el producto de la carga Q y la distancia d entre ellas, si su producto se mantiene constante disminuyendo la distancia y aumentando a la vez la carga en igual proporción, de tal manera que su producto sea constante, entonces ni su momento ni su potencial aumentarán. El caso límite se produce cuando la distancia d→0 y la carga Q →∞. Este dipolo se denomina dipolo puntual. Resumiendo:

Momento dipolar: El campo de potencial de un dipolo se puede simplificar si se introduce el concepto del momento dipolar p. Con d como la distancia vectorial entre las cargas, dirigido de la carga negativa a la positiva, se define p como:

r

p = Qd r

r

en Cm

como d ⋅ ar V =

r

= d cos θ :

El potencial V ∝

p ⋅ ar r

r

4πε 0 r 2

Este resultado se puede generalizar como : V= ITCR- Teoría Electromagnética 1



p ⋅ 2 r

4πε 0 r − r ` r

r − r ` r

1 r

r

r − r ` r

r


1 r 2

y la intensidad de campo eléctrico E ∝

1 r 3

Estos campos disminuyen más rápidamente que los respectivos para una carga puntual. De hecho se puede interpretar a gran distancia que el dipolo se puede ver como una carga puntual sin carga. Arreglos simétricos con un gran número de cargas puntuales producen campos que disminuyen con el inverso de r con exponentes cada vez mayores. A este tipo de arreglos se les llama multipolos. ITCR- Teoría Electromagnética 1


Energía en el campo electrostático


El potencial eléctrico está definido como el trabajo realizado por unidad de carga al transportar una carga Q desde un punto B hasta otro punto A.

Para determinar la energía potencial que tiene un sistema de cargas, se necesita hallar el trabajo que el agente externo realizó para acomodar todas las cargas a las posiciones cercanas a una o más cargas fijas. Para posicionar la carga Q 2 cerca de la carga Q 1 se requiere una cantidad de energía:

Cuando un agente externo lleva una carga Q 2 hasta un distancia cercana a otra carga fija Q 1 y la retiene allí, la primera carga habrá adquirido una cantidad de energía potencial mayor que la que tenía antes de que se realizara ese trabajo.

W = −QV ; W 21

= Q2V 21

Si el agente externo libera la carga, esta se acelerará alejándose de la carga fija aumentando su energía cinética y con ello la capacidad para realizar un trabajo.



Energía en el campo electrostático El trabajo necesario para colocar cada carga adicional a las ya presentes será: Para posicionar la carga Q3 cerca de la carga Q1 y Q2 fijas, se requiere una cantidad de energía:

W 3

= Q3V 31 + Q3V 32

W 21

= Q2V 21

Para posicionar la carga Q 4:

W 4

= Q4V 41 + Q4V 42 + Q4V 43

Energía en el campo electrostático Obsérvese que:

Q2V 21

= Q2

Q1 4πε 0 r 21

= Q1

Q2 4πε 0 r 12

= Q1V 12

Si se reemplaza cada término en la expresión de la energía total por su equivalente, se obtiene:

W E = Q1V 12 + Q1V 13 + Q1V 14 + Q2V 23 + Q2V 24 + Q3V 34 + ... y así sucesivamente....

El trabajo total de posicionamiento = energía potencial del campo:

W E = Q2V 21 + Q3V 31 + Q3V 32 + Q4V 41 + Q4V 42 + Q4V 43 + ...





Si se suman ambas expresiones para calcular la energía W E, se obtiene el doble de la energía que se invirtió en dicho trabajo:

2W E = Q1[V 12 + V 13 + V 14 + ...]

+ Q2 [V 21 + V 23 + V 24 + ...] + Q3 [V 31 + V 32 + V 34 + ...] ] + Q4 [V 41 + ... ITCR- Teoría Electromagnética 1


Energía en el campo electrostático 2W E = Q1 [V 12 + V 13 + V 14 + ...]

Energía en el campo electrostático Asi la energía potencial de ese campo es:

+ Q2 [V 21 + V 23 + V 24 + ...] + Q3 [V 31 + V 32 + V 34 + ...] + Q4 [+ ... ]

  2W E = Q1 V 12 + V 13 + V 14 + ...   V   Las expresiones en los paréntesis cuadrados representan el potencial resultante debido a todas las cargas, excepto la   carga fuera de ese paréntesis: + Q2 V 21 + V 23 + V 24 + ...   V     + Q3 V 31 + V 32 + V 34 + ...   V   144 244 3 1

W E =

1 2

[Q1V 1 + Q2V 2 + Q3V 3 + .....] =

1 m =n

∑ Q V

2 m =1

m

m

Para calcular la energía almacenada en un volumen en donde exista una distribución de carga continua (n→ ), se debe reemplazar cada carga de la expresión anterior por VdV y la suma se convierte en una integral:

W E =

144 244 3 2

1

∫

ρ V Vdv 2 volumen

144 244 3 3



Diferenciación vectorial

Energía en el campo electrostático La primera ecuación de Maxwell para la electrostática es:

ρ V

1.

r

= ∇ ⋅ D

2.

Con ello la integral anterior se convierte en :

W E =

1

∫

1

∫

r

ρ V Vdv = (∇ ⋅ D )Vdv 2 volumen 2 volumen ρ V

3.

{

4.

r

(∇ ⋅ D )V = ???



5.

d du d du d du d du d du d

r

r

d A

r

( A + B) =

du

r

d B

+

du r

r

r

r

r

( A ⋅ B) = A ⋅

d B du

+

d A du

r

r

r

r

r

( A x B) = A x

d B du

r

r

(T A) = T

d A du

+

r

⋅ B

+

d A du

dT r A du

r

x B en donde T es una función escalar

r

r

r

r

r

r

( A ⋅ B x C) = A ⋅ B x

d C du

r

r

r

+ A ⋅

d B du

r

r

x C + r

d A du

r

r

⋅ B x C r

d C d B r d A r r 6. A x ( B x C) = A x ( B x ) + A x( x C ) + x (B x C ) du du du du ITCR- Teoría Electromagnética 1


{

r

r


r

}

r

r

r



Energía en el campo electrostático Así :

La primera ecuación de Maxwell para la electrostática es:

4.

d du

d

r

(T A) = T

du

r

d

r

A + A



  W E =  ∫ (∇ ⋅ (V D )dv − ∫ D ⋅ (∇V )dv  2 volumen  volumen  Teorema divergencia  1

T en forma análoga :

du

r

1

r

∇ ⋅ (V D) = V (∇ ⋅ D) + D ⋅ (∇V )

1

W E =

∫

r

1

1

{

r

r

r

1

r

r

1

2

1

W E = −

W E =

1

∫

∫

r

∫

ε 0 E dv 2 volumen

Dónde se almacena la energía????

se puede escribir : dW E =

w=

dW E dv

1

= ε 0 E

2

2


1 2

1

2

1 r

2π ⋅ 2 =

K r

r

r

∫ (V D) ⋅ d S

y así : Dipl.-Ing. Arnoldo Rojas Coto

Con la densidad de campo eléctrico en coordenadas cilíndricas :

r

W E =

   2  4πε 0 

Determine la energía almacenada en forma de campo eléctrico en un cable coaxial de longitud L

Dr =

2

Si se parte de la expresión :

0

1  Q

Cálculo de energía en un cable coaxial

r

D ⋅ (∇V ) dv = D ⋅ E dv = 2 volumen 2 volumen − E {

d ϕ senθ d θ =

ITCR- Teoría Electromagnética 1 =0

por lo tanto : r

∫∫

r

0

π 2π

r 0

r

r

14243

Energía en el campo electrostático 1

r

por lo tanto :


r

Q

0

S

2 S


Q

2

1  Q   =  2  4πε 0 

2 volumen

1

volumen

∫ (V D) ⋅ d S = 2 ∫ ( 4πε r 4πε r a ) ⋅ rd θ rsenθ d ϕ a

2 S

∫ [∇ ⋅ (V D) − D ⋅ (∇V )]dv r

r

Para coordenada s esféricas, por ejemplo : r

∇ ⋅ (V D) = V (∇ ⋅ D) + D ⋅ (∇V )

W E =

1

≈ ?????

1

∫

r

r

∫ (V D) ⋅ d S − 2 ∫ D ⋅ (∇V )dv

2 S

14243

ρ V Vdv = (∇ ⋅ D )Vdv 2 volumen 2 volumen ρ V

con

r

14 4 244 3

W E = r

r

E =

a ρ S r a ρ S ε 0 r

r

se calcula la intensidad de campo eléctrico E : ar a = radio externo del conductor interno del cable coaxial r

y ρ S la densidad de carga superficial en el conductor interno.

∫

ε 0 E 2 dv 2 volumen

b = radio interno del conductor externo del cable coaxial

2

ε 0 E dv y la densidad de energía sería :

Entonces : W E =

pero........???? Dipl.-Ing. Arnoldo Rojas Coto

1

L

2π

b

0

0

a

2∫ ∫ ∫

ε 0

a 2 ρ S 2 2 2 0

ε r


r dr d ϕ dz =

π L a 2 ρ S 2 ε 0

ln

b a Dipl.-Ing. Arnoldo Rojas Coto

Cálculo de energía en un cable coaxial

Ejemplos potencial eléctrico

Determine la energía almacenada en forma de campo eléctrico en un cable coaxial de longitud L L 2π ( a + t / 2) W E =

Teflón W E = W E =

a b

1 2

∫

volumen 2 a 2 ρ S π L b ln

ε 0

1

a

2

∫∫ ∫ 0 0

con Q = 2π aL ρ S y V =

ρ L 2πε 0

b

ln

a

QV a

+

t

Ejercicios 3 TEM 1

ρ S ρ S b a ln rdrd ϕ dz t ε 0 a

a −t / 2

c i a l e r f i s u p r g a a c l a r d e o e s o t e r n e s p t o r i n l e c t e s o n d u c d e l - + -

2

}

z = a -t/2

ρ V Vdv =

1

+ - + -

+ -

+ -

+

-

z = a + t/2

a ITCR- Teoría Electromagnética 1




Ejemplos potencial eléctrico Problema No. 2

Problema No. 1 Dada una carga lineal ρ L


= 500 pC / m sobre el eje z.

Determine el potencial VAB para A(2m;π /2;0) y B(4m;π ;5m)

= 500 pC / m sobre el eje z. Determine el potencial VAB para r A = 2m, r B = 4m y r C = 10m. Dada una carga lineal ρ L

Determine adicionalmente el potencial VBC y el potencial VAC






Ejemplos potencial eléctrico Problema No. 4 Dada una carga lineal ρ L

Problema No. 3 r

Dado el campo E = -16/r 2 ar en V/m y coordenadas esféricas. r

Calcule el potencial absoluto del punto P1 (2m;π ; π /2) y del punto P2 (4m;0; π ) .

= 400 pC / m sobre el eje x. El punto A(0m;5m;12m)

es atravesado por una superficie con potencial eléctrico nulo. Determine el potencial en el punto B(2m,3m,-4m).

Determine adicionalmente la diferencia de potencial entre esos dos puntos




Ejemplos potencial eléctrico Problema No. 5

Problema No. 4 Dada una carga lineal ρ L



= 400 pC / m sobre el eje x. El punto A(0m;5m;12m)

es atravesado por una superficie con potencial eléctrico nulo. Determine

En el origen del sistema de coordenada s se encuentra la carga puntual Q = 500pC. a) Determine el potencial en el punto A con radio ra al punto B con radio rb

el potencial en el punto B(2m,3m,-4m).

= 5 m desde el origen y el potencial del

= 15m desde el origen.

b) Que diferencia de potencial aparece entre ambos puntos?

z r B

r A

(0,5,12)

y (2,3,-4)






Ejemplos potencial eléctrico Problema No. 6 Calcule el campo del potencial V a una altura de 5 m en el eje z causada por una distribución lineal uniforme de carga total de 40/3 nC en el anillo de radio a = 2m ubicado en el plano z = 0. Compare el resultado con el potencial que tendría ese mismo punto, si la carga total se ubica en el origen del sistema en forma de carga puntual.

Problema No. 7 Calcule el campo del potencial V a una altura de 5 m en el eje z causada por una distribución superficial de carga total de 40/3 nC distribuída uniformemente sobre un disco circular de radio a = 2m ubicado en el plano z = 0. Compare el resultado con el potencial que tendría ese mismo punto, si la carga total se ubica en el origen del sistema en forma de carga puntual.

z

z

(0,0,z)

(0,0,z)

R = a 2 + z 2

r

r

ρL a

R = r 2 + z 2

ρS y

r ‘

d L′ = ad ϕ

x 1 ITCR- Teoría Electromagnética


a

dA = rdrd ϕ

x1 ITCR- Teoría Electromagnética


y

r ‘



Problema No. 8 Calcule el campo del potencial V en el origen, si en uno de los ejes del sistema de coordenadas rectangulares se ubican 6 cargas eléctricas en el eje positivo y 6 cargas en el eje negativo de dicho eje. La separación entre ellas es de 2 m y la polaridad es alternada, iniciando con la carga positiva en el eje positivo a 1 m del origen y la primera carga negativa a 2 m del origen en el eje negativo.

Problema No. 9 Demuestre que el potencial V12 entre dos puntos r 1<
z

L

dQ

ρL

r 1

y r 2

y x x 1 ITCR- Teoría Electromagnética


-L



Ejemplos potencial eléctrico La función de un campo escalar de potencial que se encuentra el el espacio libre es V = 2x + 4y (V). Determine la energía almacenada en 1 m 3 centrado en el origen. Examine otros volúmenes de 1 m3



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