Koko Martono – F MIPA - ITB
001
Barisan bilangan real Pengaturan bilangan real dalam indeks terurut • dinamakan barisan dinamakan barisan.. Barisan bilangan real a1 , a2 , a3 , ditulis {an }n =1 , atau disingkat {an}. Secara formal, barisan (tak hingga) ini didefinisikan sebagai fungsi dengan daerah asal himpunan bilangan asli . Ilustrasi Barisan bilangan real yang polanya 1, 4, 7, ◊◊◊ mempunyai rumus eksplisit suku ke-n berbentuk an = 3n - 2, n = 1, 2, . Dalam bentuk rumus rekursif barisan ini ditulis a1 = 1, an = an -1 + 3, n ≥ 2 . Barisan konvergen Barisan {an} dikatakan konvergen ke L jika an dapat dibuat sebarang dekat ke L dengan mengambil n yang besar. Secara formal, barisan {an} konvergen ke L, ditulis lim an = L, atau an Æ L jika nÆ• "e > 0 $ NŒ 'n ≥ N fi | an - L| < e . Barisan yang tidak konvergen dinamakan divergen namakan divergen,, mungkin limitnya •, - •, atau tidak ada (oskilasi). Ilustrasi Barisan {an} dengan an
= 1 - 1n ; {0, 12 , 32 , 34 ,} konvergen ke 1
1
karena lim an = lim (1 - ) = 1 . Perhatikan situasi geometrinya. n nƕ nƕ y
1 + e
1 + e
1
1
1 - e
1 - e an
1
2
= 1 - 1n
3
4
y = a( x) = 1 N
0
1
1 x
N
x
B & D BR
002 1
Contoh Buktikan lim an = lim (1 - ) = 1 dengan definisi limit barisan. n nƕ nƕ Bukti Akan dibuktikan " e
>0$
dik
N Œ ' n≥ N fi |1 -
dicari di
bktkan
1 n
- 1| < e . Karena
|1 - 1n - 1| = 1n < e ¤ n > e 1 , maka ambillah N bilangan asli yang lebih besar 1 1 1 1 dari , maka n ≥ N > mengakibatkan |1 - - 1| = < e . e e n n Untuk barisan konvergen {an}, {bn} dan konstanta k : Sifat limit barisan Untuk barisan (1) lim k = k nÆ• (2) lim k an = k lim an nÆ• nÆ• (3) lim (an ± bn ) = lim an nÆ• nÆ•
(4) lim (an ◊ bn ) = lim an ◊ lim bn nÆ• nÆ• nÆ•
±
lim bn nƕ
a (5) lim n n Æ • bn
=
lim an
nƕ
, lim b lim bn n Æ • n nÆ•
π0
Sifat barisan konvergen Untuk barisan {an }, an = f (n) ; jika lim f ( x) = L , maka lim f ( n) = L . x Æ • nÆ• Prinsip apit Untuk barisan {an },{bn },{cn } , jika an £ bn £ cn dengan an Æ L dan cn Æ L , maka bn Æ L .
Untuk barisan {an }, jika | an | Æ 0 , maka an Æ 0 . Jika barisan {an } konvergen, maka {an } terbatas. ({an } barisan terbatas jika $ M > 0 '| an | £ M " nŒ ) Jika barisan {an } monoton tak turun dan terbatas di atas, maka {an } konvergen. ({an } barisan monoton tak turun jika an £ an +1 " n Œ ) n Contoh penggunaan prinsip apit Buktikan jika | r | < 1 , maka r Æ 0 .
Bukti Karena | r | < 1 , maka diperoleh
1 | rn |
1 | r |
> 1, akibatnya $ p > 0 '| 1r | = 1 + p . Dari sini
1 = | r 1| = (1+ p)n ≥ 1 + pn > pn "n Œ , sehingga 0 £ | r n | < pn . n
1
n Karena lim 0 = 0 = lim (limit pengapitnya 0), maka | r | Æ 0 . Akibatnya nÆ• n Æ • pn n berdasarkan sifat barisan konvergen diperoleh r Æ 0 .
B & D BR
003
Contoh Buktikan barisan {an } dengan an =
2n n!
konvergen ke 0.
Bukti Karena {an } barisan positif, maka {an } terbatas di bawah oleh 0. Karena
an +1 an
=
1 an +1 an
◊
=
2n +1 n! ( n + 1)! 2n
◊
= n 2+ 1 £ 1, maka an +1 £ an "n Œ , akibat-
nya {an } barisan monoton tak naik. Karena {an } monoton tak naik dan terbatas di bawah oleh 0, maka {an } konvergen ke 0. (sifat barisan konvergen) n Cara lain Karena 2 < (n -1)!, n > 6 (buktikan dengan induksi matematika),
maka 0 < an =
2n n!
< ( n n-!1)! = 1n . Karena limit pengapitnya 0, maka an Æ 0 .
Deret bilangan real Dari barisan {an} buatlah barisan {sn} dengan s1 = a1, s1 = a1 + a2 , s3 = a1 + a2 + a3 ,, s n = a1 + a 2 + + a n . • a . Suku Barisan {sn} dinamakan deret bilangan real dan ditulis n =1 n
Â
ke-n dari barisan {sn} dinamakan jumlah parsial deret. Dari definisi ini langsung diperoleh an = sn +1 - sn , n = 1, 2,3, • an dikatakan konvergen (punya jumlah) Deret konvergen Deret n
Â=
1
jika barisan { sn} konvergen dan divergen jika {sn} divergen. Contoh Selidiki kekonvergenan deret Deretnya:
Â
•
1 n =1 n (n + 1)
Â
•
1 . n =1 n (n + 1)
1 = 12 + 16 + 121 + 20 + dengan
1 n (n + 1)
= 1n - n 1+ 1 .
Jumlah parsial deret ini adalah
Â
sn =
n
1 k =1 k (k +1)
(
)
(
)
= Â k =1 1k - k 1+1 = (1 - 21 ) + ( 12 - 13 ) + + 1n - n1+1 =1 - n1+1 . n
(
1
Karena lim sn = lim 1 - 1 n+ nÆ• nÆ• • 1 deretnya 1, ditulis n
) = 1, maka deret ini konvergen dan jumlah
 = n (n + 1) = 1. 1
B & D BR
004
Contoh Selidiki kekonvergenan deret Deretnya:
• 1
 = n. n 1
• 1
1 1 1 1 1 a = + + + + = dengan  n=1 n 2 3 4 n n . (deret harmonik)
Jumlah parsial deret ini dapat ditulis dalam bentuk s1 = a1 = 1 s 2 = a1 + a 2 = 1 +
1 2
= 1 + 1◊ 12
s4 = a1 + a 2 + a 3 + a 4 = 1 +
1 2
+ ( 13 + 14 ) > 1 + 2 ◊ 12 > 1/ 2
s8
= a1 + a 2 + + a8 = 1 + 12 + ( 13 + 14 ) + ( 15 + 16 + 17 + 18 ) > 1 + 3◊ 12 > 1/ 2
Dari sini diperoleh s2n > 1 + n ◊
(
1 2
> 1/ 2
= 1 + 12 n . (buktikan dengan induksi!)
) = •, maka deret ini divergen. • + Contoh Selidiki kekonvergenan deret  = (-1) . • Deretnya:  (-1) + = 1 - 1 + 1 - 1 + dengan a = (-1) + . = 1
Karena lim sn = lim 1 + n 2 nƕ nƕ
n 1
n 1
n 1
n 1
n
n 1
Jumlah parsial deretnya: sn =
{
1, n bilangan ganjil = {1,0,1,0,} . 0, n bilangan genap
Karena {sn} tidak mempunyai limit (oskilasi), maka deret ini divergen. Sifat deret konvergen Jika deret
•
Â=a
n 1 n
konvergen, maka lim an = 0. nƕ
Bukti Misalkan jumlah parsial deret ini adalah sn. Karena deretnya konvergen, maka $ s Œ 'lim sn = s. Akibatnya nÆ• lim an = lim (sn - sn -1) = lim sn - lim sn -1 = s - s = 0. nÆ• nÆ• nÆ• nÆ• Ilustrasi Deret
Â
•
n +1 n =1 2 n - 5
n +1 n Æ• 2 n - 5
divergen karena lim
(kontraposisi sifat deret konvergen)
= 12 π 0 .
B & D BR
005
Catatan Kebalikan sifat deret konvergen tidak benar lagi. • 1 1 Contoh penyangkalnya adalah lim = 0 tetapi deret n divergen. 1 n n = nÆ•
Â
•
 = ar - = a + ar + ar + .
Deret Geometri Bentuk umum:
 = ar n
Jumlah parsial: sn =
n 1
2
n 1
k -1
k 1
= a + ar + ar + + ar 2
n -1
=
a (1- r n) ,r 1- r
π 1.
= a + ar + ar 2 + + ar n -1 n 1 n 2 rsn = ar + ar + + ar - + ar a (1- r n ) n (1 - r ) sn = a (1 - r ) fi sn = , r π 1 1- r sn
Jika | r | < 1 , maka r Æ 0 (halaman 2, prinsip apit), akibatnya • a (1- r n ) a 1 n -1 lim sn = lim s= ar a◊ = = = . n =1 1- r 1- r nÆ• n Æ • 1- r n
Â
Catatan Dari fenomena 1 = 2 - 1 , 1 + 1
1
1
1 2 1 2n
= 2 - 12 , 1 + 12 + 14 = 2 - 14 , ◊◊◊ di-
peroleh Sn +1 = 1 + + + + n = 2 dengan lim S n +1 = 2 , sehingga 2 4 2 nÆ• • 1 • 1 1 1 = 1 + + + = 2. deret geometri konvergen ke 2; 2 4 n=0 n n=0 n
Â
Ilustrasi Ilustrasi
Â
Â
2
• 2 ◊ 2n -1
•
2n n =1 3n -1
= Â n =1
•
n 1
 = (-1) 2
n
n 0
•
Â=a
n 1 n
1 4
•
Â=
Â=
1
= 2 ◊ 1 -1 2 = 2 ◊ 3 = 6. 3
•
•
1 n -1 2
)
Â= • yang konvergen ke S ditulis  a =
dan
x
n
= 1 -1 x
dan
n 0
= 1+1 1 = 32 .
n n
(-1) x
n 1 n
Â
=S
)
1 8
n 0
Sifat linear deret tak hingga • a dan (1) Jika c π 0, maka n =1 n divergen. • (2) Jika an n
= Â n=1 2 (
2 n -1 3
= 1 - + - + = Â n=11 ◊ ( 1 2
Ilustrasi Jika | x | < 1 , maka Catatan Deret
3n-1
•
2
•
Â=
n 1
•
 = ca
bn
n 1
n
2
= 1 +1 x .
= S.
bersama-sama konvergen atau
•
= T , maka  n =1 (an ± bn) = S ± T.
B & D BR
006
Uji jumlah terbatas • Deret an , an ≥ 0 "n Œ konvergen ¤ sn = n
Â=
Â=a
1
n
terbatas k 1 k
di atas.
Uji integral Untuk fungsi f yang kontinu, bernilai positif, dan tak naik pada [1,•) dengan an = f (n) berlaku • • f (x) dx konvergen. a konvergen ¤ integral tak wajar deret n 1 n
Â=
Ú 1
y
y
y = f ( x)
a1
a2
y = f ( x)
a3
a4
a1
a5
a2 a3 a4
a5
an
0
an
n
1 2 3 4 5
x
Uji banding biasa
•
0
Â= • Jika 0 £ a £ b "n ≥ N dan a = Jika 0 £ an £ bn "n ≥ N dan n
n
n 1
x
•
 = a konvergen. • divergen, maka  b divergen. =
bn konvergen, maka
n 1 n
n
1 2 3 4 5
n 1 n
n 1 n
a
Uji banding limit Misalkan an ≥ 0, bn > 0, dan lim n = L . n Æ • bn • • Jika 0 < L < • , maka n =1 an dan n =1bn bersama-sama konvergen
Â
Â
atau divergen. (keduanya konvergen atau keduanya divergen) • • Jika L = 0 dan bn konvergen, maka an konvergen.
Â=
Â=
n 1
Â
•
a an , an > 0 "n Œ dan lim n+1 = L ; n =1 n Æ • an L < , maka jika 1 deret konvergen.
Uji banding Untuk deret
n 1
a jika L >1 atau lim an +1 = • , maka deret divergen. nÆ• n jika L =1 , maka uji kekonvergenan tidak memberikan kesimpulan.
B & D BR
007
Aneka Ragam Variasi Contoh Kekonvergenan Deret Contoh Selidiki kekonvergenan deret
Â
•
2n n =1 n2 - 3n + 3
Cara 1 Dengan uji banding biasa, dari n ≥ 1 "n Œ diperoleh -3n + 3 £ 0. Akibatnya n 2 - 3n + 3 £ n 2, sehingga Karena deret
• 1
Â=n n 1
1
1 ≥ n2 - 3n + 3 n2
divergen, maka deret
dan
•
1
=
2n 2 ≥ = . n n2 - 3n + 1 n2
 = n - 3n + 3 juga divergen. 2n
n 1 2
Cara 2 Dengan uji banding limit, bandingkan an = a
2n
2n n 2 - 3n + 3
2n
lim an◊ = lim 2 ◊ n = 2 <• dan deret bn n Æ • n - 3n + 3 nÆ• • 2n vergen, maka deret juga divergen. 1 2
Karena lim n n Æ • bn
2 n
dengan bn = .
• 1
 = n din 1
 = n - 3n + 3 n
Cara 3 Dengan uji integral, tunjukkan cian prosesnya!). Akibatnya
Â
•
2 xdx 2 1 x - 3 x + 3
Ú
•
2n n =1 n2 - 3n + 3
Contoh Selidiki kekonvergenan deret
divergen (kerjakan rin-
divergen.
Â
•
n . n =1 3n (2 n + 1)
Cara 1 Dengan uji banding biasa, dari n < 2n +1 "n Πdiperoleh sehingga
n 3n (2 n + 1)
<(
1 n . 3
)
Karena
1
ngan rasio r = 3 ), maka deret
Â
() • 1 deret  ( 3 ) = bn =
= 31n . Karena n 1
a
lim n n Æ • bn
=
<1,
1 n konvergen (deret geometri den =1 3
•
 ()
•
n n =1 3n (2n + 1)
konvergen.
Cara 2 Dengan uji banding limit, bandingkan an = 1 n 3
n 2 n +1
1
lim an◊ bn nÆ•
n
konvergen, maka deret
n 3n (2 n + 1)
n n n Æ • 3 (2n + 1)
= lim
Â
•
n n =1 3n (2n + 1)
dengan
◊3n = 12 <• dan
konvergen.
B & D BR
008
Contoh Selidiki kekonvergenan deret (a) (a) Dengan uji integral, karena • dx b -3/2 = lim x dx= lim 1 x x bÆ• 1 bÆ•
Ú
Ú
(konvergen), maka deret
(
•
Â=nn 1
n 1
-2 -x1/2
b
)
=
1
Â
, (b)
lim bƕ
(
-
2 b
•
1 . n = 2 n ln n
)
+2 = 2
•
 = n 1n konvergen. n 1
(b) Dengan uji integral, karena
Ú
•
2
b d (ln x ) dx lim ln x x b Æ • 2 ln x
=
Ú
(divergen), maka deret
= lim (ln(ln x))b2 = lim (ln(ln b) - ln(ln 2) ) =•
Â
bƕ
bƕ
•
1 n = 2 n ln n
divergen.
Hampiran jumlah deret Jumlah deret S =
•
Â=a
dapat dihampiri oleh n • jumlah parsial Sn = k 1 ak dan galatnya adalah En = S- Sn = k n 1 ak . = = + • f( x) dx. Dengan kondisi fungsi f pada uji integral diperoleh En < n 1 n
Â
Â
Ú n
Contoh (a) Jika jumlah deret konvergen
•
 = n 1n dihampiri oleh 100 n 1
suku pertama, tentukan suatu batas untuk galatnya. (b) Tentukan n agar galat dari jumlah deret S dan jumlah parsial Sn paling besar 0,005. (a) Untuk deret ini pilihlah f( x) = 1/ x
3/ 2
yang bernilai positif, monoton tu-
run, dan kontinu pada [1,•). Karena • dx • 1 E 100 = 3/ 2 < 3/ 2
Â
Ú
-2
b
( )
=
lim 1/2 k =101 k 100 x bƕ x maka suatu batas untuk galatnya adalah 0,2.
100
= 102 = 0, 2
(b) Akan dicari n sehingga En = S - Sn < 0,005 . Karena
•
Â=+
E n =
1
k n 1 k 3/2
•
< Ú n
dx x3/2
=
n > 400 , sehingga n > 160000 .
b
( )
lim 1/ 2 bƕ x
maka En = S - Sn < 0,005 dipenuhi bilamana oleh
-2
2 n
n
=
2 n
.
< 0,005 . Dari sini diper-
B & D BR
009
Contoh Tunjukkan deret
• 2n◊ n!
Â=
n 1 nn
2n◊ n! konvergen dan hitunglah lim n . nÆ• n
Gunakan uji banding untuk deret suku positif. Untuk deret ini an = a lim n +1 n Æ • an
Karena
1 lim an +1 an nƕ
=
◊
=
2n +1◊ ( n +1)! nn n n lim lim 2 n +1 2n◊ n! n Æ • n +1 n Æ • (n +1)
◊
• 2n◊ n!
< 1, maka deret  n =1
a lim n+1 n Æ • an
2n◊ n! deret konvergen diperoleh lim n nÆ• n
( )
=
nn
2
=
2 = <1. e 1 n
lim (1+ n )
nƕ
konvergen. Berdasarkan sifat
• (2n )!
Â=
n 1 n! n!
.
Gunakan uji banding untuk deret suku positif. Untuk deret ini an = n + 2)! n! n ! = lim (n (2+1)!( ◊ = lim n +1)! (2n)! nÆ•
(2n +1)(2n + 2) (n +1)2
nƕ
•
> 1, maka deret  n =1 (2n!nn)!!
a Karena lim n+1 n Æ • an
dan
=0
Contoh Selidiki kekonvergenan deret
a 1 lim n+1 = lim an +1◊ an n Æ • an nÆ•
2n◊ n! nn
(2n )! n! n!
dan
= 4 >1.
divergen.
Deret ganti tanda Bentuk umumnya adalah • n 1 (-1) + an = a1 - a 2 + a3 - a4 + , an > 0 "n Œ , n
Â=
1
suku-suku deret ganti tanda berselang-seling positif dan negatif. Ilustrasi • 1 (-1) n +1 n -1
Â=
n 1
2
•
= 1 - + - + = Â n =11◊ ( 1 2
1 4
1 8
1 n -1 2
)
= 1+1 1 = 32
ada-
2
lah deret ganti tanda konvergen. (deret geometri dengan rasio -1/2) • n 1 (-1) + n = 1 - 2 + 3 - 4 + adalah deret ganti tanda divergen. n
Â= • Â = (-1) + = 1 - 1 + 1 - 1 + adalah deret ganti tanda divergen. 1
n 1
n 1
B & D BR
010
Uji kekonvergenan deret ganti tanda Jika barisan {an } semua sukunya • n 1 a positif, monoton turun, dan lim n = 0, maka n 1 (-1) + an konvergen. = nÆ•
Â
Ilustrasi Deret an =
1 n
•
Â=
n 1
(-1) n +1
1 n
= 1 - 12 + 13 - 14 + konvergen karena
> 0 "n Π, {an } monoton turun, dan +a 1 -a 2 +a 3 -a 4
0
s2
s4
= 0.
Taksiran deret ganti tanda Jika deret • n +1 ( 1) an = s memenuhi kondisi n
Â=
1
s
s3
Ilustrasi Deret
1
lim an = lim nÆ• nÆ • n
di atas dan sn = a1 - a2 + + (-1) n +1an , maka | s - sn | £ an +1.
s1 x
•
Â=
n 1
2 n 1 1 (-1) + n-1 konvergen ke s = dan jumlah 8 suku 3
2
= 0,6440625 . Taksiran jumlahnya memenuhi 1 | s - s8 | = 0, 00260416… < a9 = = 0, 00390625 . 256
pertamanya adalah s8
Uji kekonvergenan dengan nilai mutlak • Jika deret n | un | konvergen, maka deret
Â=
•
 = u juga konvergen. • Deret  = u dikatakan kon-
1
n 1 n
Kekonvergenan mutlak dan bersyarat n 1 n • vergen mutlak jika | u | konvergen dan konvergen bersyarat jika n =1 n • • un konvergen tetapi deret | un | divergen. n n
Â
Â=
Â=
1
1
Ilustrasi Deret
Â
•
Â
•
1 n =1 2n -1
Deret
1
(-1) n +1 n-1 n =1 2
= 1 - 12 + 14 - 81 + konvergen mutlak karena
= 1 + 12 + 14 + = 1-1 1 = 2 . (deret nilai mutlaknya konvergen)
•
Â=
n 1
2
11
(-1) n +
1 1 1 = 1 - + - + konvergen bersyarat karena 2 3 4 n
deret ini konvergen tetapi deret
• 1
1 1 = 1 + Â n=1 n 2 + 3 + divergen.
B & D BR
011
• sin 16 (2n -1)p
Â=
Ilustrasi Deret
= 12 + 2 12 + 6 13 - 161 - 5 15 - 121 6 +
n n
n 1
konvergen karena deret nilai mutlaknya Karena
|sin 16 (2n -1)p |
maka deret
n n
£n
1 n
Â=
n n
n 1
Â=
n n
n 1
•
konvergen.
 = n n konvergen (uji integral),
dan deret
• |sin 16 (2n -1)p |
• |sin 16 (2n -1)p | 1
n 1
konvergen.
Uji banding mutlak Untuk deret
Â
•
|a
an , an π 0 dan lim n+1 n =1 n Æ • | an |
|
=L;
jika L < 1, maka deret konvergen. L > , maka jika 1 deret divergen. jika L =1 , maka uji kekonvergenan tidak memberikan kesimpulan. Pengaturan kembali suku deret Suku-suku deret konvergen mutlak dapat diatur kembali tanpa berpengaruh pada kekonvergenan atau jumlah deretnya. Ilustrasi Deret
•
 = (-1)
n n +1 3
konvergen mutlak berdasarkan uji ban-
n!
n 1
ding mutlak karena | an +1|
lim n Æ • | an |
=
1 lim | an +1| | an | nƕ
◊
=
3n +1 n! lim n n Æ • ( n +1)! 3
◊
=
3
lim = 0 < 1. n Æ • n +1
Deret pangkat Bentuk umum deret pangkat yang berpusat di 0 adalah • 2 n an x = a0 + a1x + a2 x + dan yang berpusat di x0 adalah n =0 • 2 n an (x - x0 ) = a0 + a1 (x - x0) + a2 (x - x0) + 0
Â
Â= n
0 Catatan Dalam notasi ini a0 x = a0 walaupun x = 0.
Ilustrasi Deret geometri
•
 = ax n 0
n
= a + ax + ax 2 + ax 3 + adalah suatu
deret pangkat yang konvergen ke s (x) =
a 1- x
untuk | x | <1 (atau -1< x <1)
B & D BR
012
Himpunan kekonvergenan deret pangkat Himpunan ini terdiri dari semua x di mana suatu deret pangkat konvergen dan di luarnya divergen. • n an x selalu berbentuk: Teorema Himpunan kekonvergenan n=0
Â
Titik x = 0 (selang [0,0]), jari-jari kekonvergenannya 0; Selang (- R ,R) (atau (- R ,R], [- R, R), [- R, R]), jari-jari kekonvergenannya R; Seluruh garis real (selang (-•,•)), jari-jari kekonvergenannya •. • n an x konvergen mutlak pada interior Teorema Deret pangkat n=0
Â
(selang buka) dari selang kekonvergenannya. Ilustrasi Untuk deret
•
Â=
n
n 0
n
n ! x , uji banding dengan an = n ! x membe-
0, x = 0 = lim ( +1)| . Karena L > 1, n | =x | | a • , π 0 x n nÆ• nÆ• nÆ• maka deret hanya konvergen di x = 0.
rikan
=Llim
| an +1|
= lim
Ilustrasi Untuk deret | an +1|
L = lim n Æ • | an |
= lim
nƕ
{
(n +1)!x n +1 n! x n
Â
•
x n n = 0 n!
1 an +1 an
◊
, uji banding dengan
= lim
nƕ
x n +1 n! (n +1)! xn
◊
=
x n an n!
=
memberikan
| x|
lim = 0 . Karena L < 1, n Æ • n +1
maka deret konvergen "x Œ dan selang kekonvergenannya (-•,•). Ilustrasi Untuk deret
Â
•
xn n = 0 (n +1)2n
, uji banding dengan an =
xn (n +1)2n
memberikan | an +1|
L = lim n Æ • | an |
= lim
nƕ
1 an +1 an
◊
= lim
nƕ
n +1
x
◊ (n + 2)2n +1
( n +1)2n x n
| x |
=
| |x
+1 n
lim ◊ nÆ• 2 n + 2
= | 2|x.
| x |
Akibatnya deret konvergen jika L = 2 <1 dan divergen jika L = 2 >1 , sehingga deret konvergen jika -2 < x < 2 dan divergen jika x > 2 atau x < -2 . • ( -1)n Di titik batas x = - 2 diperoleh deret yang konvergen. Di titik n=
Â
batas x = 2 diperoleh deret
•
Â=
0 (n +1)
1
+ yang divergen. Jadi selang kekon-
n 0 (n 1)
vergenan deret pangkat ini adalah -2 £ x < 2 .
B & D BR
013
Contoh Tentukan selang kekonvergenan deret pangkat Gunakan uji kekonvergenan mutlak dengan an = | an +1|
L = lim n Æ • | an |
1 an +1 an
= lim
◊
nƕ
= lim
nƕ
(x + 2)n +1 n◊3n (n +1)◊3n +1 ( x + 2)n
◊
Â=
◊
n 1 n 3n
.
, diperoleh
= | x 3+ 2| lim nn+1 = | x 3+ 2| . nƕ
<1 dan divergen jika L = | x +3 2| >1, -5 < x <1 dan divergen jika x >1 atau x < -5 .
Akibatnya deret konvergen jika L = sehingga deret konvergen jika
( x + 2)n n ◊ 3n
• ( x + 2)n
| x + 2| 3
Â
• ( -1) n
Di titik batas x = -5 diperoleh deret n 1 n yang konvergen. Di titik ba= • 1 tas x =1 diperoleh deret yang divergen. Jadi selang kekonvergenan n 1
Â=n
deret pangkat ini adalah -5 £ x <1 .
Operasi pada deret pangkat Turunan dan integral suku demi suku deret pangkat di interior selang kekonvergenannya. (interior adalah selang buka terbesar dari selang kekonvergenannya). • 2 3 n Jika s (x) = n 0 an x = a0 + a1 x + a2 x + a3 x + pada selang I , maka
Â=
Â
s ¢(x) =
Ú
•
d (an x n ) n = 0 dx
•
 = Ú
s (x) dx =
n 0
•
= n =1 nan x n -1 = a1 + 2a2 x + 3a3 x 2 + , x Œ interior I
Â
an x dx = n
an xn +1 n = 0 n +1
•
Ilustrasi Dari deret pangkat 1 (1- x )2
1 1- x
= a0 x + a21 x2 + a32 x3 + , x Πinterior I
= 1 + x + x 2 + x3 + , -1< x <1 diperoleh
= 1 + 2 x+ 3 x2 + 4 x3 + , -1 < x<1
dengan cara menurunkan suku demi suku deret semula. Ilustrasi Dari deret pangkat ln (1 + x) = x-
1 1+ x 1 2 x 2
=1- x + x 2 - x3 + , -1< x <1 diperoleh
+ 13 x3 - 14 x2 + , -1< x<1
dengan cara mengintegralkan suku demi suku deret semula.
B & D BR
014
Teorema Abel (Kekonvergenan deret pangkat di titik ujung selang) • n Jika s (x) = n an x , x Œ(- R, R ), s kontinu di R dan - R, serta deret kon-
Â=
0
vergen untuk x = R dan x = - R, maka di titik ujung selang berlaku • • n n an R = s (R) dan an ( - R ) = s (-R) . n n
Â=
Â=
0
0
Ilustrasi Dari ilustrasi terakhir kita mempunyai deret pangkat
+ 13 x3 - 14 x2 + , -1< x<1. Karena fungsi y = ln (1+ x) kontinu di x = 1 dan deret di ruas kanan konver1 1 1 gen untuk x = 1, maka ln 2 = 1 - 2 + 3 - 4 + . ln (1 + x) = x-
1 2 x 2
1 Contoh Tentukan deret pangkat untuk tan - x dan suatu deret untuk p .
Dari deret pangkat diperoleh
1 1+ x
2
1 1- x
= 1 + x + x 2 + x3 + , -1< x <1 gantilah x dengan - x 2,
= 1 - x2 + x4 - x6 + , -1< x<1. 1 3
Integralkan suku demi suku 1 5
1 7
dari deret ini menghasilkan tan -1 x = x- x3 + x5 - x7 + , -1 < x<1 . -1 Berdasarkan teorema Abel, karena y = tan x kontinu di x
ruas kanan konvergen untuk x = 1, maka
= 1 dan deret di 1 1 1 1 = tan -11 = 1 - + - + , sep 4 3 5 7
(
hingga suatu deret untuk p adalah p = 4 1 1+ x
Contoh Tunjukkan ln 1- x suatu deret untuk ln 2. 1 1+ x 1 1- x
=1- x+ x2 - x3 + fi int
1 1 1 2 3 4 1 2 1 3 1 2 x x x x 2 3 4
ln (1 + x) = x- x2 + x3 - x2 + , -1 < x<1
int
ln
Ambil x =
+ 15 - 71 + ) .
= 2 ( x + 13 x3 + 15 x5 + ) , -1< x <1 dan tentukan
=1+ x + x2 + x3 + fi -ln (1 - x) = +
1 , 3
1 3
1+ x 1- x
+
+
+ , -1< x<1
= 2 ( x + 13 x3 + 15 x5 + ) , -1< x <1
diperoleh ln 2 = ln
1+ 13
1 1 1 1 = 2 ( 3 + 34 + 5 ◊ 35 + ) . 1- 13
B & D BR
015
Operasi aljabar pada deret pangkat Dua deret pangkat yang konvergen dapat dijumlahkan, dikurangkan, dan dikalikan suku demi sukunya seperti pada sukubanyak. Dua deret pangkat yang konvergen juga dapat dibagi seperti pembagian panjang pada sukubanyak. Ilustrasi Tentukan jumlah, selisih, hasilkali, dan hasilbagi deret pangkat
1 1+ x
=1 - x + x 2 - x3 + , -1< x <1 dan 1-1 x =1+ x + x 2 + x3 + , -1< x <1 .
Jumlah: Dari
1 1+ x
+ 1-1 x = (1- x + x 2 - x3+ ) + (1 + x + x 2 + x3 + ) diperoleh
2
1 2 4 2 4 x x x x = 2(1 + + + ) = 1 + + + . , yang menghasilkan 1- x2 1- x 2
Selisih: Dari
-2 x 1- x2
1 1+ x
- 1-1 x = (1- x + x 2 - x3+ ) - (1 + x + x 2 + x3 + ) diperoleh
= -2( x+ x3 + x5 + ) , yang menghasilkan 1-1 x2 = 1+ x 2 + x 4 + .
Hasilkali: Dari
1 1 1+ x 1- x
◊
= (1 - x + x 2 - x3+ x 4- ) ◊ (1 + x + x 2 + x3+ x 4+ )
diperoleh ruas kanan 1+ x + x
+ x3+ x 4 + - x - x 2- x 3- x 4 - x 5- + x 2+ x 3+ x 4 + x 5+ x 6+ , 2 4 yang setelah disederhanakan sama dengan 1 + x + x + . Dalam kasus 1 2 4 x x = 1 + + + . ini juga dihasilkan 1- x 2 2
1
1
Hasilbagi: Dari 1+ x 1- x = (1 - x + x 2 - x3 + x 4 -) (1 + x + x 2 + x 3 + x 4 +) dengan pembagian panjang diperoleh 1- 2 x+ 2 x2 - 2 x3+ 1+ x + x
2
+ x3+ x4 + x5+ x6 + x7 +
1- x + x
- x3+ x4 - x5+ x6 - x7+ 1+ x + x 2 + x3+ x 4 + x5+ x 6 + x7 + 2
- 2 x - 2 x3 - 2 x5 - 2 x7 - - 2 x-2 x2 -2 x3-2 x4 -2 x5- 2 x6 -2 x7 - 2 + 2 4x +2 6x - dst. 2 x Dikerjakan tanpa proses pembagian panjang, kita mempunyai 1- x 1+ x- 2 x 2x 1 1 2 3 2 2 x x x x x x x = = = = + + = + + 1 1 2 (1 ) 1 2 2 2 1+ x 1- x 1+ x 1+ x 1+ x
B & D BR
016
Deret Maclaurin Perhatikan proses menentukan koefisien deret pang• n an x dinyatakan dalam turunan dari fungsi f pada selang kat f( x) =
Â=
n 0
(- R, R) dengan R jari-jari kekonvergenan deret. • n n 2 3 f (x) = an x = a0 + a1 x + a2 x + a3 x + + an x + fi a0 = f (0) n=
Â
0
+ 4a4 x3+ + nan xn -1+ 2 n- 2 f ¢¢( x) = 2 a2 + 2◊3 a3 x + 3◊ 4 a4 x + + (n-1) nan x + f ¢( x) = a1 + 2 a2 x + 3a3 x
fi a1 = f ¢(0) fi a2 = 12 f ¢¢(0)
2
fi a3 = 3!1 f ¢¢¢(0)
n -3
f ¢¢¢( x) = 2◊3 a3 + 2◊3◊ 4 a4 x + + ( n- 2)( n-1) nan x
+
.................................................................................. f
(n)
fi an = n1! f (n) (0)
(x) = n!an + n!(n+1) x +
Akibatnya kita mempunyai f ( x) =
Â
•
f (n)(0) n x , n=0 n!
- R< x< R, yang dike-
nal sebagai deret Maclaurin (di sekitar 0) yang konvergen ke f . • n ( ) = an ( x - c) , - R < x - c < R ( c - R < x < c + R ), Deret Taylor Jika f x n=
Â
0
Â
maka dengan proses yang sama, f ( x) =
•
f (n)(c) (x n = 0 n!
- c)n, c - R < x < c + R .
Deret ini dikenal sebagai deret Taylor di sekitar c yang konvergen ke f . Ilustrasi Tentukan deret Maclaurin dan deret Taylor di sekitar c untuk x fungsi f ( x) = e . (n) (n) x Karena f ( x) = e dengan f (0) = 1, maka deret Maclaurin untuk fungsi ini • x n x adalah e = n . Karena deret pangkatnya konvergen " x Œ , maka = 0 n! • x n 1 1 x e = = 1 + x + x 2 + x3 + , x Œ . 2 6 n =0 !
Â
Â
n
n c x Karena f ( ) ( c) = e , maka deret Taylor dari f ( x) = e di sekitar adalah • ec x (x - c) n, x Œ . e =
Â=
n 0 n!
Deret terakhir dapat juga diperoleh dengan cara • 1 • ec x c x- c c n e = e ◊ e =e (x - c) = (x - c) n, x Œ . n n
Â=
0 n!
Â=
0 n!
B & D BR
017
Ilustrasi Tentukan deret Maclaurin untuk f( x) = sin x dan g (x) = cos x .
(
)
1 2
(
1 2
)
Dari f ¢( x) = cos x= sin x+ p , f ¢¢( x) = - sin x= sin x+ 2◊ p diperoleh
(
1 2
)
n f ( x) = sin x+ n◊ p , sehingga f (0) = sin
(n)
( )
1 n, n p 2
= 0,1, 2,3, . Jadi de-
ret Maclaurin untuk fungsi f( x) = sin x adalah f( )x= sin x= x-
(
1 2
x3 3!
x5 5!
+ -
x7 7!
+ = Â
)
x2 n +1 , n = 0 (2n + 1)!
•
xΠ.
1 2
Analog: g (n) (x) = cos x + np dan g (n) (0) = cos np , n = 0,1, 2,3, . Jadi deret Maclaurin untuk fungsi g (x) = cos x adalah • x2 x4 x6 g (x) = cos x =1 - + - + = n 2!
4!
Â
6!
x2 n , = 0 (2n )!
x Π.
Rumus Taylor dengan suku sisanya Jika fungsi f mempunyai turunan sampai tingkat-(n+1) pada selang buka I yang memuat c, maka " x ŒI , f (x) = f (c) + f ¢(c)(x- c) +
dengan suku sisa Rn ( x) =
f¢¢( c) (x 2!
- c) + + 2
f(n) ( c) (x n!
- c)n + Rn (x) ,
f (n +1)(x ) (x (n +1)!
Pn (x) = f (c) + f ¢(c)(x - c) +
- c) n +1 , x di antara x dan c. Di sini f¢¢( c) (x 2!
- c) + + 2
f(n) ( c) (x n!
- c)n
dikenal sebagai sukubanyak Taylor dan Rn (x) suku sisa Taylor. Teorema Taylor Jika fungsi f mempunyai turunan di semua tingkat pa• f (n)(c) n da selang (c - r, c + r) , maka deret Taylor n = 0 ! (x - c) adalah uraian
Â
fungsi f ¤ lim Rn (x) = 0, dengan Rn ( x) = nÆ•
n
f (n +1) (x ) (x (n +1)!
- c)n +1, x Œ(c- r, c+ r) .
Deret Binomial Untuk x yang memenuhi -1< x <1 dan " p Πberlaku
Ê pˆ x+ Ê pˆ x2 + Ê pˆ x3 + , Ê pˆ = ÁË 3 ˜¯ ÁË n ˜¯ Ë 1 ˜¯ ÁË 2 ˜¯
(1 + x) p = 1 + Á
p ( p - 1)( p - 2) ( p - n + 1) n!
Ilustrasi Dengan rumus deret binomial, (1 +
( - 12 )( - 32 ) 2 1 -1/2 )x = 1 x+ x+ = 1 + 2
2!
• ( -1)n◊1◊3◊5(2n -1)
Â=
n 1
2n◊ n!
x, | |x< 1.
n
B & D BR
018
Hampiran fungsi dengan sukubanyak Taylor Jika fungsi f mempunyai turunan sampai tingkat-(n+1) pada selang buka I yang memuat c, maka " x ŒI , f (x) = Pn (x) + Rn(x) , dengan f¢¢( c) (x 2!
Pn (x) = f (c) + f ¢(c)(x - c) +
f(n) ( c) (x n!
- c) + + 2
- c)n
f (n +1)(x ) (x (n +1)!
- c)n +1, x Œ(c- r, c+ r) . Untuk n = 1 kita mempunyai f (x) ª Pn(x) = f (c) + f ¢(c)(x - c) , dikenal sebagai hampiran dengan garis singgung. Untuk n = 2 hampiran dengan fungsi kuadrat, dan seterusnya. dan Rn ( x) =
Untuk Rn( x) yang terbatas dapat dihitung batas ketelitian hampirannya dan besarnya n agar hampirannya memenuhi batas galat yang diberikan. 6 Contoh Hitunglah hampiran untuk e dengan galat paling sedikit 10 - . x Uraian Maclaurin dari e dan suku sisanya adalah
e
= 1+ x +
x2 2!
x3 3!
+ + +
ec xn +1 , (n +1)!
xn n!
+ Rn(x) , Rn(x) = c di antara 0 dan x. Untuk menghitung e ambillah x = 1, maka diperoleh 1 1 1 ec x e = 1 +1 + + + + + Rn (1) , Rn (1) = , c di antara 0 dan 1. 2! 3! (n +1)! n! x
Andaikan e < 3, maka 0 < c <1 fi 1
3 ec 1 e e 3 Rn (1) . (n +1)! (n +1)! (n +1)! 3 1 3 10-6 10 -6 . Karena , ambil(n +1)! 9! 10!
< < < fi c
1
1
<
=
<
< Rn (1) £ < < < lah (n + 1) = 10, sehingga n = 9. Jadi hampiran untuk e dengan galat paling 1 1 1 -6 sedikit 10 adalah e = 1 +1 + 2! + 3! + + 9! = 2, 728282 . Carilah n sehingga
(n +1)!
Contoh Hitunglah hampiran cos 62∞ dengan sukubanyak Taylor derajat dua beserta suatu batas untuk galat hampirannya. Dari cos x=
1 2
-
1 2
(
3 x
maka diperoleh cos 62
3)
p
1 2
= -
1 4
(
1 2
x-
3 p
dengan batas galat | R2 ( x)| = | R2(
p 3
)
2
+
R2( x) ambillah x = 62 2
( )- ( ) + p
90
p = p3 + 90 ,
1 p R2 ( x) 0,4694654 R2 ( x), 4 90 sin c p 3 1 p 3 ( ) 6 (90) 0,0000071 . 3! 90
p )| = | + 3 90
ª
|<
+
ª
SOAL LATIHAN MA 120 1
– KALKULUS
2A
– 20 10 /20 11
Pokok Bahasan: Deret tak Hingga Soal uji konsep dengan benar – salah, berikan argumentasi atas jawaban Anda. No.
Pernyataan
£ bn "n Œ
Jawab
1.
Jika 0 £ an
2.
Jika barisan {an } konvergen, maka barisan {an / n} konvergen ke 0.
3.
Jika barisan {an } konvergen dengan lim an nƕ
4. 5.
B
S
B
S
B
S
Jika lim (an - an +1) = 0 , maka lim an ada dan nilainya hingga. nƕ nƕ
B
S
Jika deret San divergen, maka barisan jumlah parsial dari deretnya tak terbatas.
B
S
B
S
B
S
B
S
B
S
B
S
dan barisan {bn} konvergen, maka barisan {an} konvergen.
= L , maka
lim a3n + 4
nƕ
= L.
•
n +1 adalah suatu deret yang konvergen. n 2 ( n ln n )2
6.
Â=
7.
( ) + ( ) + + ( ) < 12 .  •= (1 - 1n ) adalah suatu deret yang konvergen. • Jika deret  = a (x - 3) konvergen di x = -1,1, maka deret konvergen di x = 7. • • a Jika f( x) =  = a x dan deret konvergen di x = -1,5, maka Ú f (x) dx = . = n +1 1 1 + 3 3
2
1 3
3
1 3
1000
n
8. 9. 10.
n 1
n
n 0
n
1
n
n 0 n
n
n 0
0
Selidiki kekonvergenan barisan berikut dan tentukan limitnya bila konvergen 11. an =
9n
12. an =
9n2 +1 n
15. an = ( -1)n n + 2
cos (np ) n
16. an = n n
( )
13. an =
ln n n
14. an = 1 + n
17. an =
sin 2 n n
18. an = n sin
2
n / 2
p n
Tentukan jumlah parsial deret berikut dan jumlahnya bila konvergen
 •= (2 ( ) + 3 (- ) ) • 22.  = r (1 - r ) , 0 < r < 2 19.
1 n 4
n 0
20.
n
21.
n 1
n 2
n 0
 •= ln n n+ 1 • 1 24.  = ln (1 - ) n
n +1
 •= ( p e ) • 3 23.  = Ê Ë (n - 1)
1 n 5
2
- n32 ˆ ¯
n 1
2
n 2
Selidiki kekonvergenan deret berikut dengan uji kekonvergenan deret suku positif
 •= n-+2 2 • 1 29.  = (ln2) • 8 33.  = n ! • 4 +n 37.  = n ! 25.
n 1
n
n 1
n
n 1
n
n 1
 •= (4 + 33n) • 1 30.  = n sin n • n! 34.  = n 26.
n 1
7/6
n 1
n 1 100
1
1
1
38. 1◊2 + 2◊3 + 3◊4 +
27.
 •= ne-
3n 2
n 1
 •= n + 2nn + 3 • n+3 35.  = n n 31.
n 1 2
n 1 2
1
39. 3 +
2 32
+ 33 + 44 + 3
3
•
en n =1 1 + e2 n
 • 1 32.  = n n +1 • 2 n! 36.  = n 28.
n 1
n
n 1
40.
1 22
+
2 32
n
+
3 42
+
4 52
+
Tunjukkan deret berikut konvergen dan tentukan hampiran | S 41.
 •= (-1) + 3n2+ 1 n 1
42.
n 1
 •= (-1) + ln (n1+ 1) n 1
43.
n 1
S 9|, S = jumlah
deret.
 •= (-1) + lnnn n 1
n 1
Selidiki apakah deret berikut konvergen mutlak, konvergen bersyarat, atau divergen. •
 • n 48.  = (-1) + 2
 49. Â
1
n +1 ( 1) 5n n =1
44.
4
n 1
n 1
45.
n
•
1
n +1 ( 1) n ( n +1) n =1 • n +1 n ( 1) 2 = n 1
+1
n
 50.  46.
•
n 1
•
 = (-1) n ln1 n • sin n 51.  = (-1) n n
n
n +1 ( 1) 10n +1 n =1 • n +1 1 ( 3) 2 =
47.
n
n 2
n
n 2
n
Tentukan himpunan kekonvergenan setiap deret pangkat berikut. 52.
Â
•
x n n =1 (n - 1) !
53.
•
 = (-1)
n
54.
n2
n 1
x3
56. x+ 2 x2 + 3 x3 +
n +1 x
x5
x7
57. x - 3! + 5! - 7! +
Â
•
(2 x )n (-1) n ! n =0 n
x2
58. 1 - x + 2
55.
3
Â
( x - 2)n (-1) n =1 n
•
x
- x3 +
n
59. 1 - 2 +
x2 22
3
- 2x3 +
Tentukan deret pangkat dari fungsi berikut beserta jari-jari kekonvergenannya. 60. f (x) =
1 (1- x )3
1
61. f (x) = 2 - 3 x
62. f (x) =
x2 1 - x 4
63. f( x) =
x
Ú ln (1+ )t dt 0
Tentukan deret Maclaurin sampai x 5 dan deret Taylor sampai (x a )3 dari fungsi f (x ). 64. f( x) = tan x 68. f (x) =
cos x -1- 12 x 2
65. f ( x) = e x sin x
66. f( x) = (cos x) ln (1+ x)
67. f ( x) = e x + x + sin x
1 1 + x + x2
70. f ( x) = 1+ x2 + x3, a = 1
71. f ( x) = e x , a = 1
69. f (x) =
x4
Soal Aneka Ragam 72.Pada deret (a)
 •= n1
dan (b)
n 1 2
 •= 1+nn n 1
4
, tentukan n agar En = S - Sn < 0,0002.
73.Tentukan sukubanyak Maclaurin derajat 3 untuk (1 + x) -1/ 2 dan batas galat R 3(x) jika | x | £ 0,05. • n! n! 74.Dengan menggunakan deret buktikan lim n n = 0. n =1 n nÆ• n
Â
Kunci Jawaban 1. S 2. B 3. B 4. S 5. S 6. B 7. B 8. S 9. B 10. B 11. 3 12. 0 13. divergen 14. e 15. divergen 16. 1 17. 0 18. p 19. 5
1 6
20.
e2
p (p - e)
21. divergen 22. 1 23. 3 24. -ln 2 25. divergen 26. konvergen
27. konvergen 28. konvergen 29. divergen 30. divergen 31. divergen
32. konvergen 33. konvergen
34. divergen 35. konvergen 36. konvergen 37. konvergen 38. konvergen 39. konvergen 40. divergen 41. | S - S9| £ 0, 065
42. | S - S9| £ 0, 417
43. | S - S9| £ 0, 23
44. k. bersyarat 45. k. mutlak 46. divergen 53. 1 £ x £ 1 54.
47. k. bersyarat 48. k. mutlak 49. k. bersyarat 50. divergen 51. k. mutlak 52. 55. 1 < x £ 3 56. 1 < x < 1 57. 58. 1 < x £ 1 59. 2 < x < 2 60. 1 + 3 x + 6 x 2
62. x
+ x6 + x10 + ;1
67. 1 + 3 x +
x2 2
2
63. 5
x x + 24 + 60
71. e + e(x- 1) +
x2 2
68.
1 24
x3 6
4
+ 12x - ;1 2
4
x x - 720 + 40320
e e (x -1) 2 + ( x -1)3 2 6
64. x +
x3 3
5
+ 215x
69. 1 - x + x
3
- x4
65. x + x
2
+ ;1
2
x + x3 + 30
3
61. 5
1 3 x 9 x2 - + 8 2 4
66. x -
70. 3 + 5 ( x- 1) + 4( x-1)
72. (a) n > 5000, (b) n > 50 73. 1 -
x 3 x2 + 8 2
3
- 516x
2
x2 2
-
- ; 23
x3 6
5
+ 340x
+ ( x-1)3
dan | R3(x)| £ 2,15 ◊10 -6
