Kumpulan Soal-Soal dan Pembahasan
Matematika Ekonomi
Oleh
Azlan Andaru
101104006
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS NEGERI MAKASSAR
2014
Kasus 1
Diketahui Fungsi permintaan suatu barang P = 15 – Q . Fungsi penawaran suatu barang P = 3 + 0,5 Q. Kepada barang tsb dikenakan pajak tetap sebesar Rp. 3 per unit Tentukan titik keseimbangan (Harga dan jumlah barang) sebelum dan sesudah dibebani pajak ? Berapa beban pajak yang ditanggung masing-masing oleh konsumen, produsen ? Berapa jumlah seluruh pajak yang diterima pemerintah ?
Jawab :
Titik Keseimbangan Sebelum pajak Supply = Demand
15 – Q = 3 + 0,5Q
15 – 3 = Q + 0,5Q
12 = Q
Q = = = 8
P = 15 – Q = 15 – 8 = 7
Jadi keseimbangan sebelum ditetapkannya pajak, terjadi pada tingkat harga Rp. 7,00 dan jumlah permintaan barang 8 unit
Setelah ada pajak Fungsi permintaan tetap P = 15 – Q
Fungsi penawaran berubah P = 3 + 0,5 Q + t
P = 3 + 0,5 Q + 3
P = 6 + 0,5 Q
Titik keseimbangan setelah ada pajak S = D
15 – Q = 6 + 0,5Q
15 – 6 = Q + 0,5Q
9 = Q
Q ' = = = 6
P ' = 15 – Q = 15 – 6 = 9
Jadi keseimbangan setelah ditetapkannya pajak, terjadi pada tingkat harga Rp. 9,00 dan jumlah permintaan barang 6 unit
Beban pajak yang ditanggung konsumen = ( P' – P ) = 9 – 7 = 2
Beban pajak yang ditanggung produsen = t – (P' – P) = 3 – 2 = 1
Jumlah pajak yang diterima pemerintah dari seluruh transaksi = Q' x t = 6 x 3 = 18
Kasus 2
Diketahui fungsi permintaan sebuah barang adalah P = 12 - 4Q dan fungsi penawarannya adalah P = -10 + 8Q Pemerintah mengenakan pajak sebesar Rp.4,00 per unit barang. Temukanlah keseimbangan pasar sebelum dan sesudah pajak!
Jawab :
Keseimbangan pasar sebelum terkena pajak :
Pd = Ps
12 - 4Q = -10 + 8Q
-8Q–4Q = -10 - 12
-12Q = -22
Q = 1,83
Setelah mengetahui Q = 1.83 kita masukkan nilai Q kedalam salah satu fungsi tersebut
P = 12 - 4Q
P = -12 + 4(1,83)
P = -12 + 7,83
P = 4,68
Jadi nilai keseimbangan pasar barang tersebut berada ketika nilai Qe = 1,83 dan Pe= 4,68
Lalu sekarang kita cari nilai keseimbangan pasar setelah terkena pajak.
Fungsi penawaran sebelum terkena pajak: Ps = -10 + 8Q
Fungsi penawaran setelah terkena pajak: Ps' = -10 + 8Q + t
Fungsi permintaan setelah terkena pajak adalah tetap: 12 – 4Q
Keseimbangan pasar setelah terkena pajak
Pd = Ps'
Pd = 12-4Q
Ps' = -10+8Q+4
Ps' = -6 + 8Q
Pd = Ps'
12-4Q = -6+8Q
-8Q-4Q = -10 + 4 – 12
-12Q = -18
Q = 1,5
Masukkan nilai Q ke salah satu fungsi
Pd = 12 – 4(1.5)
Pd = 12 - 6
P = 6
Jadi nilai Qe' = 1,5 dan Pe' = 6.
Dari jawaban diatas bisa kita lihat bahwa setelah terkena pajak jumlah barang menurun dari 1,83 menjadi 1,5 dan harga barang tersebut naik dari 4,68 menjadi 6 per unit barang.
Kasus 3
Keluarga Pak Untung mempunyai penghasilan Rp. 8.000.000,00 sebulan, dengan pola konsumsi yang dinyatakan dengan fungsi C = 1.500.000 + 0,70Y. Berdasarkan data tersebut maka besarnya tabungan keluarga Pak Untung adalah ....
Jawab:
Untuk mengetahui besarnya nilai tabungan (S) maka langkah pertama yang harus kita lakukan adalah merubah fungsi konsumsi kedalam fungsi tabungan kemudian memasukan nilai pendapatan (Y) kedalam fungsi tabungan.
C = 1.500.000 + 0,70Y
maka fungsi tabungannya adalah :
S = -a + (1-b)Y ==> S = -1.500.000 + (1-0,7)Y
S = - 1.500.000 + 0,30Y
untuk mencari besarnya tabungan (S) Pak Untung maka kita masukan nilai Y kedalam fungsi konsumsi:
S = -1.500.000 + 0,30(8.000.000)
S = -1.500.000 + 2.400.000
S = 900.000
Jadi besarnya Tabungan keluarga Pak Untung adalah Rp.900.000,00
Kasus 4
Konsumsi masyarakat suatu negara ditunjukan oleh persamaan C = 30 + 0,8Y. bila tabungan sebesar Rp.20,00 maka besarnya konsumsi adalah ....
Jawab :
Untuk mengetahui besarnya konsumsi, maka langkah yang paling pertama adalah kita harus mencari terlebih dahulu berapakah nilai Pendapatan (Y) dari fungsi tersebut. Untuk mencari nilai Y maka kita bisa menggunakan fungsi tabungan dan nilai tabungannya,
C = 30 + 0,8Y maka fungsi tabungannya adalah S = -a + (1 - b)Y==> S = -30 + (1-0,8)Y ==>
S = -30 + 0,2Y
diketahui nilai S = 20, lalu kita masukan kedalam fungsi tabungan (S) untuk memperoleh nilai Y
S = -30 + 0,2Y
20 = -30 + 0,2Y
0,2Y = 20 + 30
0,2Y = 50
Y = 50 / 0,2
Y = 250
Langkah selanjutnya untuk mencari besarnya konsumsi (C) adalah kita memasukan nilai Y
kedalam fungsi konsumsi.
C = 30 + 0,8Y
C = 30 + 0,8(250)
C = 30 + 200
C = 230
Jadi besarnya konsumsi (C) adalah 230.
Kasus 5
Sebelum bekerja pengeluaran Wahid untuk konsumsi sebesar Rp.500.000,00 sebulan. Setelah bekerja dengan penghasilan sebesar Rp. 2.000.000,00 pengeluarannya sebesar Rp. 1.500.000,00. Fungsi konsumsi Wahid adalah....
Jawab :
Diketahui :
a = 500.000 (Konsumsi pada saat y = 0)
C = C1 - C0 = 1.500.000 - 500.000 = 1.000.000
Y = Y1 - Y0 = 2.000.000 - 0 = 2.000.000
Ditanya : Fungsi Konsumsi ?
Jawab :
Fungsi konsumsi dinyatakan dengan :
C = a + bY atau C =a + mpcY
Pada soal diatas sudah diketahui nilai a, Y, Y, dan C, langkah selanjutnya kita mencari MPC
MPC = C / Y
MPC = 1.000.000 / 2.000.000 = 1/2 MPC = 0,5 setelah MPC kita ketahui, maka fungsi konsumsi
untuk Wahid dapat kita tentukan sebagai berikut :
C = a + mpcY,
sehingga
C = 500.000 + 0,5Y. Jadi jawaban untuk fungsi konsumsinya C=500.000 + 0,5Y
Kasus 6
Diketahui Fungsi permintaan suatu barang , P = 15 – Q, Fungsi penawaran suatu barang P = 3 + 0,5 Q. Barang tsb dikenakan pajak sebesar 30% dari harga jual ( berarti t = 0,3 P ). Tentukan titik keseimbangan (Harga dan jumlah barang) sebelum dan sesudah dibebani pajak proporsional ? Berapa jumlah pajak yang diterima pemerintah ?
Jawab :
Sebelum pajak lihat kasus 1 P = 7; Q = 8
Sesudah pajak fungsi permintaan P = 15 – Q
Fungsi penawaran P = 3 + 0,5 Q + t
P = 3 + 0,5 Q + 0,3P
P – 0,3 P = 3 + 0,5 Q
0,7 P = 3 + 0,5 Q
P = P = 4,28 + Q
Kasus 7.
Diketahui :
Permintaan : P = 12 – Q
Penawaran : P = 2 + 0,25 Q
t = 20%
Ditanyakan : a. berapa P dan Q keseimbangan sebelum dan sesudah pajak…?
b. Berapa pajak yang ditanggung konsumen, produsen dan pemerintah ?
Penyelesaian :
Sebelum pajak
Pd = Ps
12-Q = 2+0,25Q
12-2 = 0,25Q+Q
10 = 1,25Q
Qe = 8
Pe= 12-Q
Pe= 12-8
Pe= 4
maka (Qe,Pe) = (8,4)
Sesudah pajak
Persamaan penawaranya akan berubah, sementara persamaan permintaannya tetap P=12-Q atau Q= 12-P
Penawaran sesudah pajak (t = 20%= 0.20 )
Ps = 2 + 0,25 Q + t
Ps = 2 + 0,25 Q + 0,20 P
P – 0,20P = 2 + 0,25Q
0,8P = 2 + 0,25 Q
P =2,5 + 5/16Q atau Q = 8 – 3,2P
Keseimbangan Pasar :
Pd = Ps P'e = 12-Q
12 - Q = 2.5 + 5/16Q P'e = 12-7,24
12 - 2.5 = 5/16Q + Q P'e = 4,76
1.5 = 21/16Q
Q = (21/16) : 9.5
Q'e = 7,24
Keseimbangan sesudah pajak: Q'e = 7,24 dan P'e = 127,24 = 4,76
Titik sesudah pajak (Q'e,P'e) = (7,24 ; 4,76)
Kurvanya :
Besar pajak yang diterima pemerintah setiap unit barang
T=t x P'e = 0,20 7,24 = 1,45
Besar pajak yang ditanggung oleh konsumen dari setiap unit barang
tk = P'e - Pe
tk = 4,76 – 4
tk = 0,76
Besar pajak yang ditanggung oleh produsen
tp = t – tk
tp = 0,95 – 0,76
tp = 0,19
Kasus 8
Fungsi permintaan barang ditunjukkan oleh persamaan Q = -P + 20 dan penawarannya Q = P. Terhadap barang tersebut dikenakan pajak penjualan sebesar r = 50 %. Ditanyakan :
a. Berapakah harga keseimbangan dan jumlah keseimbangan sebelum pajak ?!
b. Berapakah harga keseimbangan dan jumlah keseimbangan setelah pajak ?!
c. Besar pajak yang ditanggung konsumen, produsen, dan pemerintah ?!
Jawab :
a. Harga Keseimbangan sebelum Pajak
Qd = Qs Q = -P + 20
-P + 20 = P Q = -10 + 20
-2P = -20 Q0 = 10
P0 = 10
Titik Keseimbangan E0 ( 10 , 10 )
b. Harga Keseimbangan Setelah Pajak
Qd = Qs x r P = -Q + 20
Qd = Qs x ( 1 + 50% ) P = -8 + 20
-Q + 20 = Q ( 1, 5 ) P1 = 12
-Q + 20 = 1,5Q
-2,5Q = -20
Q1 = 8
Titik keseimbangan pajak E1 ( 8 , 12)
c. Pajak Konsumen
Tk = ( P1 - P0 ) x Q1
Tk = ( 12– 10 ) x 8
Tk = 16
Pajak Produsen
Tp = ( P0 – P' ) x Q1 Tp = ( P0 – P' ) x Q1
P' = ( Ps ) Q1 Tp = ( 10 – 8 ) x 8
P' = Q Tp = ( 2 ) x 8
P' = 8 Tp = 16
P' = 8
Pajak Pemerintah
Tt = Tk + Tp
Tt = 16 + 16
Tt = 32
Kasus 9
Fungsi permintaan barang ditunjukkan oleh persamaan P = 12 – Q dan penawarannya P = 3 + 0,5Q. Terhadap barang tersebut diberikan subsidi oleh pemerintah sebesar 1,5 per unit. Ditanyakan :
a. Berapakah harga keseimbangan dan jumlah keseimbangan sebelum subsidi ?!
b. Berapakah harga keseimbangan dan jumlah keseimbangan setelah subsidi ?!
c. Besar subsidi yang diberikan pemerintah ?!
Jawab :
a. Harga Keseimbangan sebelum Subsidi
Qd = Qs P = 12 – Q
12 – Q = 3 + 0,5Q P = 12 – 6
-1,5Q = -9 P0 = 6
Q0 = 6
Titik Keseimbangan E0 ( 6 , 6 )
b. Harga Keseimbangan setelah subsidi
Qd = Qs – S P = 12 – Q
Qd = Qs – 1,5 P = 12 – 7
12 – Q = 3 + 0,5Q – 1,5 P1 = 5
12 – Q = 1,5 + 0,5Q
-1,5 Q = -10,5
Q1 = 7
Titik keseimbangan pajak E1 ( 7 , 5 )
c. Subsidi Konsumen
Sk = ( P1 – P0 ) x Q1
Sk = ( 6 – 5 ) x 7
Sk = 7
Subsidi Produsen
Sp = ( P0 – P' ) x Q1 Sp = ( P' – P0 ) x Q1
P' = ( Ps ) Q1 Sp = ( 6,5 – 6 ) x 7
P' = 3 + 0,5Q Sp = ( 0,5 ) x 7
P' = 3 + 0,5 (7) Sp = 3,5
P' = 6,5
Subsidi Pemerintah
St = Sk + Sp
St = 7 + 3,5
St = 10,5
Kasus 10
Fungsi permintaan barang ditunjukkan oleh persamaan P = 16 – Q dan penawarannya P = Q + 5. Terhadap barang tersebut diberikan subsidi oleh pemerintah sebesar s = 5 per unit.
Ditanyakan :
a. Berapakah harga keseimbangan dan jumlah keseimbangan sebelum subsidi ?!
b. Berapakah harga keseimbangan dan jumlah keseimbangan setelah subsidi ?!
c. Besar subsidi yang diberikan pemerintah ?!
Jawab :
a. Harga Keseimbangan sebelum Subsidi
Qd = Qs P = 16 – Q
16 – Q = Q + 5 P = 16 – 5,5
-2Q = -11 P0 = 10,5
Q0 = 5,5
Titik Keseimbangan E0 ( 5,5 , 10,5 )
b. Harga Keseimbangan setelah subsidi
Qd = Qs – S P = 16 – Q
Qd = Qs – 5 P = 16 - 8
16 – Q = Q + 5 – 5 P1 = 8
-2Q = -16
Q1 = 8
Titik keseimbangan pajak E1 ( 8 , 8 )
c. Subsidi Konsumen
Sk = ( P0 – P1 ) x Q1
Sk = ( 10,5 – 8) x 8
Sk = 20
Subsidi Produsen
Sp = ( P0 – P' ) x Q1 Sp = ( P' – P0 ) x Q1
P' = ( Ps ) Q1 Sp = ( 13– 10,5 ) x 8
P' = Q + 5 Sp = ( 3,5 ) x 8
P' = 8 + 5 Sp = 28
P' = 13
Subsidi Pemerintah
St = Sk + Sp
St = 20 + 28
St = 48
Kasus 11
Jika diketahui persamaan permintaan adalah Qd = 16 – P2 dan persamaan penawaran Qs = -8 + 2P2, pada tingkat harga dan jumlah berapakah keseimbangan pasar terjadi?
Jawab :
Formula keseimbangan : Qd = Qs
16 – P2 = -8 + 2P2
2P2 + P2 = 16 + 8
3P2 = 24
P2 = 24 / 3 = 8
Pe = 8 = 2,83
Substitusi Pe = 2,83 ke salah satu persamaan : Qd = 16 – P2
Qd = 16 - (2,83) 2
Qd = 16 - 8,01
Qd = 7,99
Jadi, keseimbangan pasar tercipta pada harga Rp. 2,83 dan jumlah 7,99 unit barang.
Kasus 12
Jika diketahui fungsi penerimaan dinyatakan dalam persamaan R = -Q2+ 10Q dan fungsi biaya dinyatakan dalam persamaan C = – 3Q2 + 5Q +10. Pada tingkat produksi berapa unit terjadi titik pulang pokok?
Jawab :
Diketahui : R = -Q2 + 10Q dan C = – 3Q2 + 5Q +10
Syarat BEP : R = C
Persamaan : -Q2 + 10Q = – 3Q2 + 5Q +10
-Q2 + 10Q + 3Q2 - 5Q -10 = 0
2Q2 + 5Q -10 = 0
Diperoleh a = 2, b = 5 dan c = -10
Dicari dengan rumus abc Q1,2 = - b ± b2 – 4ac
2a
Q1,2 = - 5 ± 52 – 4(2)(-10)
2(2)
Q1,2 = -5 ± 25 + 80
4
Q1,2 = -5 ± 105
4
Q1 = -5 + 10,25 = 1,31
4
Q2 = -5 – 10,25 = -3,81 (tidak terpakai)
4
Substitusi Pe = 1,31 ke salah satu persamaan : R = -Q2 + 10Q
R = -(1,31)2 + 10(1,31)
R = -1,72 + 13,1
R = 11,38 = 11,4
C = – 3(1,31)2 + 5(1,31) +10
C = – 5,15 + 6,55 +10
C = – 3Q2 + 5Q +10
C = 11,4
π = R - C = 11,4 – 11,4 = 0
Jadi pada tingkat produksi 0 terjadi titik pulang pokok
Kasus 13
Jika pada kasus 11 ditambahkan pajak dan subsidi sebesar Rp.2, buatlah persamaan keseimbangan yang baru.
Jawab :
Formula keseimbangan : Qd = Qs
16 – P2 = -8 + 2P2
2P2 + P2 = 16 + 8
3P2 = 24
P2 = 24 / 3 = 8
Pe = 8 = 2,83
Substitusi Pe = 2,83 ke salah satu persamaan : Qd = 16 – P2
Qd = 16 - (2,83) 2
Qd = 16 - 8,01
Qe = 7,99
Persamaan Penawaran setelah pajak : Qs = -8 + 2P2
Qs = -8 + 2(P – 2)2
Qs = -8 + 2(P2 – 4P + 4)
Qs = -8 + 2P2 – 8P + 8
Q s = 2P2 – 8P
Formula keseimbangan : Qd = Qs
16 – P2 = 2P2 – 8P
2P2 + P2 - 8P - 16 = 0
3P2 - 8P - 16 = 0
Kasus 14
Jika diketahui fungsi penerimaan dinyatakan dalam persamaan R = -Q2 + 10Q dan fungsi biaya dinyatakan dalam persamaan C = – 3Q2 + 5Q +10, tentukanlah persamaan keuntungannya!. Berapakah keuntungan/kerugian maksimum/minimum?
Jawab :
Formula :
π = R - C π = -Q2 + 10Q – (– 3Q2 + 5Q +10)
π = -Q2 + 3Q2 + 10Q - 5Q -10
π = 2Q2 + 5Q -10
Diperoleh a = 2, b = 5 dan c = -10
Karena a > 0 maka kerugian minimum
Besarnya keuntungan (π) dapat dicari dengan menggunakan rumus :
k = -(b2 - 4ac)
4a
Atau k = -b2 + 4ac
4a
k = -(5)2 + 4(2)(-10)
4(2)
k = -25 - 80
8
k = -105
8
k = -13,125
Jadi, kerugian minimum (πmin) adalah Rp. (13,125)
Kasus 15
Jika diketahui fungsi penerimaan dinyatakan dalam persamaan R = -3Q2 + 15Q dan fungsi biaya dinyatakan dalam persamaan C = – Q2 + 5Q +10, tentukanlah persamaan keuntungannya!. Berapakah keuntungan/kerugian maksimum/minimum?
Jawab :
Formula :
π = R - C π = -3Q2 + 15Q – (– Q2 + 5Q +10)
π = -3Q2 + Q2 + 15Q - 5Q -10
π = -2Q2 + 10Q -10
Diperoleh a = -2, b = 10 dan c = -10
Karena a < 0 maka keuntungan maksimum
Besarnya keuntungan (π) dapat dicari dengan menggunakan rumus :
k = -(b2 - 4ac)
4a
Atau k = -b2 + 4ac
4a
k = -(10)2 + 4(-2)(-10)
4(-2)
k = -100 + 80
-8
k = -20
-8
k = 2,5
Jadi, keuntungan maksimum (πmax) adalah Rp. 2,5
Kasus 16
Perusahaan keramik menghasilkan 500 buah keramik pada pertama produksi. Dengan adanya penambahan tenaga kerja maka jumlah produk yang dihasilkan juga dapat ditingkatkan. Akibatnya, perusahaan terebut mampu menambah produksinya sebanyak 300 buah setiap bulanya. Jika perkembangan produksinya konstan setiap bulan. Berapa jumlah keramik yang dihasilkan pada bulan ke-12? Berapa buah jumlah keramik yang telah dihasilkan selama 1 tahun pertama produksinya?
Jawab
Jumlah keramik yang dihasilkan pada bulan ke 12
an = a1 + (n-1) b
a12 = 5000 + (12-1)300
= 5000 + (11) 300
= 5000 + 3300
= 8300 buah keramik
Jumlah keramik yang telah dihasilkan selama 1 tahun pertama produksi
D12 = n2 (ai + a12)
= 122 (5000 + 8300)
= 6 (13.000)
= 79.800
Kasus 17
Di Kota A pada tahun 2000 jumlah penduduknya sebanyak 2.000.000 jiwa dan menurut historis perhitungan tingkat pertumbuhan penduduknya sebesar 2% / tahun. Berapa jumlah penduduk di Kota A tahun 2004?
Diketahui : Pi = 2.000.000
r = 2%= 0,02
t = 2004-2000 = 4
Jawab : Pt=Pt(1+r)t-1
P4=2.000.000(1+0,02)3
P4=2.000.000(1,02)3
P4=2.000.000 . 1,06
P4=2.122.416
Kasus 18
Stok barang PT. X pada bulan 1 sama dengan 10, setelah dihitung rata-rata permintaan barang tersebut ialah 7. Berapakah stok barang pada bulan ke-6.
Jawab :
Un=a+n-1b
U6=10+6-17
= 10 + 35
= 45
Kasus 19
Jika Bapak James ingin mendepositokan uangnya di bank sebesar Rp. 5.000.000 dengan tingkat bunga 12% pertahun dimajemukkan, berapakah nilai total deposito Bapak James pada akhir tahun ke-3 ? Dari total tersebut berapakah pendapatan bunganya ?
Jawab :
Diketahui : P = Rp. 5.000.000; i = 12% per tahun; n = 3
Fn = P(1 = i)n
F3 = Rp. 5.000.000 (1+ 0,12)3
= Rp. 5.000.000 (1,12)3
= Rp. 7.024.640
Pendapatan bunga majemuknya adalah Rp. 7.024.640 - Rp. 5.000.000 = Rp.2.024.640
Kasus 20
Lisa ingin mengetahui berapa banyak nilai uang yang harus di investasikan di bank saat ini, jika tingkat bunga di bank pertahun 15% (bukan bunga majemuk) supaya pada akhir tahun ke-5 nilai uangnya menjadi Rp. 20.000.000 ?
Jawab :
Diketahui F5 = Rp. 20.000.000; i = 0,15 per tahun; n = 5
P = Fn/(1+in)
= 20.000.000/[1+(0,15)(5)
= 20.000.000/(1+0,75)
= Rp. 11.428.571,429
Dengan demikian, Rp. 11.428.571,429 harus diinvestasikan agar bisa mencapai Rp. 20.000.000 pada akhir tahun kelima.
Kasus 21
Diketahui apabila harga barang X Rp 500, maka permintaan sebanyak 100 unit. Turunnya harga barang X tersebut menjadi Rp 400, menyebabkan naiknya jumlah barang yang diminta menjadi 150 unit. Berapakan besarnya koefisien elastisitas permintaan barang X tersebut?
Jawab :
Ed=150-100100400-500500=-2,5
Ed = - 2,5 (tanda minus hanya menunjukan arah perubahan yang negatif yaitu sifat hubungan antara harga dan kuantitas berlawanan arah)
Maka Ed = 2,5 > 1 yang berarti ELASTIS
Kurva Ed > 1 disebut elastis
500400100 150500400100 150
500
400
100 150
500
400
100 150
Kasus 22
Naiknya harga barang X dari Rp 200 menjadi Rp 250, menyebabkan bertambahnya jumlah barang yang ditawarkan dari 150 unit menjadi 200 unit. Berapakah besarnya koefisien elastistas harga penawarannya?
Jawab :
Es=200-15012(150+200)250-20012(200+250)=1,27
Jadi Es = 1,27 > 1 yang berarti ELASTIS
250200150 200250200150 200
250
200
150 200
250
200
150 200
Kasus 23
Biaya total yang dikeluarkan oleh sebuah perusahaan ditunjukkan oleh persamaan C = 2Q2 – 24 Q + 102. Pada tingkat produksi berapa unit biaya total ini minimum? Hitunglah besarnya biaya total minimum tersebut. Hitung pula besarnya biaya total rata-rata (AC), biaya variable rata-rata (AVC) dan biaya tetap rata-rata(AFC) pada tingkat produksi tadi.Serta biaya Marginal nya (MC) jika ingin menambah kan satu unit.
Jawab :
Berdasarkan rumus titik ekstrim parabola, C minimum terjadi pada kedudukan
Q = -b/2a = 24/4 = 6 Unit
Besarnya C minimum = 2Q2 – 24 Q + 102 = 2(6)2 – 24(6) + 102 = 30
Atau C minimum dapat juga dicari dengan rumus ordinat titik ekstrim parabola, yaitu
Cmin = b²-4ac/-4a = 24² – 4(2)(102)/-4(2)=-240/-8=30
Selanjutnya, pada Q = 6
Besarnya biaya total rata-rata
AC = C : Q = 30 : 6 = 5
Besarnya biaya variabel rata-rata
AVC = VC : Q
VC = 2Q² - 24Q = 2(6)² – 24(6) = -72
AVC = -72:6=-12
Besar biaya tetap rata-rata
FC = 102
AFC = FC : Q = 102 : 6 = 17
Biaya Marginal
Jika Q = 7, C = 2(7)2 – 24(7) + 102 = 32
MC = ΔC : ΔQ = (32-30):(7-6) = 2
Berarti untuk menaikkan produksi dari 6 unit menjadi 7 unit diperlukan biaya tambahan (biaya marjinal) sebesar 2
Kasus 24
Produk sebanyak 800 unit memerlukan biaya tetap Rp. 250.000 dan biaya variabel per unit Rp. 4000, maka besarnya biaya total ?.
Jawab :
Diketahui TFC = 250.000
TVC = 800 x 4000 = 3.200.000
TC = TFC + TVC = 250.000 + 3.200.000 = 3.450.000
Kasus 25
Ada banyak perusahaan besar dalam suatu industry, masing-masing dengan fungsi Biaya Total (TC) : TC = 36 +8q + q2 Hitung biaya marginal (MC), biaya rata-rata (AC), dan biaya variable rata-rata (AVC) untuk tiap perusahaan ?
Jawab:
MC = dTC/dq = 8 +2q
AC = TC/q = (36/q) +8+q
AVC = TVC/q = 8+q
Kasus 26
Sebuah pabrik Sandal dengan Merk " Idaman" mempunyai biaya tetap (FC) = 1.000.000; biaya untuk
membuat sebuah sandal Rp 500; apabila sandal tersebut dijual dengan harga Rp 1.000, maka:
Fungsi biaya total (C), fungsi penerimaan total ( TR) dan Variable Cost).
Pada saat kapan pabrik sandal mencapai BEP
Untung atau rugikah apabila memproduksi 9.000 unit
Jawab
a. FC = Rp 1.000.000
VC = Rp 500.
Fungsi biaya variabel VC = 500 Q ..........................................................................(1)
Fungsi biaya total C = FC + VC -----> C = 1.000.000 + 500 Q ..........................(2)
Fungsi penerimaan total TR = P.Q -----> TR = 1.000 Q ..........................................(3)
b. Break Even Point terjadi pada saat TR = TC
1.000 Q = Rp 1.000.000 + 500 Q
1.000 Q - 500 Q = 1.000.000
500 Q = 1.000.000
Q = 2.000 unit
Pabrik roti akan mengalami BEP pada saat Q = 2.000 unit
Pada biaya total C = 1.000.000 + 500 ( 2.000)
C = 2.000.000
c. Pada saat memproduksi Q = 9000 unit
TR = P.Q
= 1.000 X 9.000
= 9.000.000
C = 1.000.000 + 500 (Q)
= 1.000.000 + 500 ( 9.000)
= 1.000.000 + 4500.000
= 5.500.000
Bila TR > TC, maka keadaan laba / untung.
laba = TR - TC
= 9.000.00 - 5.500.000
= 3.500.000
Bila hanya memproduksi 1.500 unit maka akan mengalami kerugian sebesar :
Rugi = TR - TC
= 1.000 (1.500) - 1.000.000 + 500 ( 1.500)
= 1.500.000 - 1.750.000
= 250.000
Kasus 27
Suatu perusahaan monopoli menghadapi permintaan terhadap barang yang dihasilkan ditunjukkan oleh persamaan; P = 20 – 1/2Q. Tentukan persamaan penerimaan marjinal (MR) dan gambarkan kurva permintaan dan kurva penerimaan marjinal perusahaan monopoli dari barang yang dihasilkan.
Jawab :
Persamaan kurva penerimaan marjinal
MR = TR/ Q
TR = P.Q
P = 20 – 1/2Q
TR = (20 – 1/2Q)Q
TR = 20 – 1/2Q2
MR = TR/ Q = 20 – Q
Gambar Kurva Permintaan (D) dan Kurva Penerimaan Marjinal (MR)
P, MR
20
MR D
0 20 40 Q
Kasus 28
Sebuah perusahaan monopoli memproduksi barang X memiliki struktur biaya produksi yang ditunjukkan oleh persamaan; TC = 250 + 200Q – 10Q2 + Q3. Persamaan kurva permintaan pasar terhadap produk (barang X) yang dihasilkan oleh perusahaan monopoli tersebut adalah P = 500 – 10Q. Berdasarkan informasi tersebut, tentukan:
Persamaan kurva permintaan individu perusahaan monopoli tersebut.
Harga dan jumlah barang X yang harus dipilih perusahaan monopoli agar tercapai kondisi keseimbangan perusahaan monopoli (perusahaan tersebut diperoleh laba maksimum/rugi minimum).
Laba maksimum/rugi minimum perusahaan monopoli tersebut.
Jawab :
Persamaan kurva permintaan individu perusahaan monopoli sama dengan persamaan kurva permintaan pasar, yaitu: P = 500 – 10Q. Karena di pasar monopoli hanya ada satu perusahaan yang beroperasi.
Harga dan jumlah barang pada kondisi keseimbangan perusahaan monopoli tercapai pada saat MR = MC.
MR = TR/ Q
TR = P x Q = (500 – 10Q)Q = 500Q – 10Q2
MR = TR/ Q = 500 – 20Q
TC = 250 + 200Q – 10Q2 + Q3
MC = TC/ Q = 200 – 20Q + 3Q2
500 – 20Q = 200 – 20Q + 3Q2
3Q2 = 300
Q2 = 100
Q = ± 10
Jumlah barang yang dapat dipilih dari penyelesaian secara sistematis adalah Q = - 10 dan Q = 10. Jumlah barang yang tidak mungkin bernilai negative, maka jumlah barang keseimbangan perusahaan monopoli adalah 10 unit.
Harga keseimbangan perusahaan monopoli dapat ditentukan dengan memasukkan jumlah barang (Q) ke dalam persamaan permintaan perusahaan monopoli, yaitu:
P = 500 – 10Q
= 500 – 10(10)
= 400
Menentukan keuntungan maksimum/kerugian minimum.
π = TR – TC
TR = P x Q
= 400 (10)
= 4.000
TC = 250 + 200Q – 10 Q2 + Q3
= 250 + 200(10) – 10(10)2 + (10)3
= 2.250
π = 4.000 – 2.250
= 1.750
Besarnya π adalah positif. Ini berarti perusahaan monopoli memperoleh keuntungan maksimum pada produksi barang X sebanyak 10 unit dan harga barang X sebesar 400.
Kasus 29
Sebuah perusahaan monopoli memiliki struktur biaya dan penerimaan seperti pada grafik di bawah ini.
P (Rp.)
MC
AC
60 AVC
40
25 D
0 100 200 220 MR Q (unit)
Berdasarkan informasi pada grafik tersebut, tentukan;
Harga dan jumlah barang X yang harus dipilih perusahaan monopoli agar tercapai kondisi keseimbangan perusahaan monopoli (perusahaan tersebut diperoleh laba maksimum/rugi minimum).
Laba maksimum/rugi minimum perusahaan monopoli tersebut.
Jawab :
Harga dan jumlah barang keseimbangan perusahaan monopoli adalah pada saat MR = MC. Jadi harga yang dipilih perusahaan monopoli adalah Rp. 60 dan jumlah barang 200 unit.
Perusahaan monopoli memperoleh laba, karena harga (P) lebih besar daripada biaya rata-rata (AC). Besarnya laba maksimum adalah (P – AC) x Q = (Rp. 60 – Rp. 40) x 200 unit = Rp. 4.000.
Kasus 30
Suatu perusahaan monopoli menghadapi permintaan terhadap barang yang dihasilkan ditunjukkan oleh persamaan; P = 20 – 1/4Q. Tentukan persamaan penerimaan marjinal (MR)
Jawab :
Persamaan kurva penerimaan marjinal
MR = TR/ Q
TR = P.Q
P = 20 – 1/4Q
TR = (20 – 1/4Q)Q
TR = 20 – 1/4Q2
MR = TR/ Q = 20 – ¼ Q
Kasus 31
Fungsi permintaan akan suatu barang ditunjukkan oleh P = 20 – 5Q.
Tentukan persamaan penerimaan marjinal (MR) kemudian hitung penerimaan totalnya.
Jawab :
Penerimaan total:
R = P.Q
= (20 – 5Q). Q
= 20Q – 5Q2
Penerimaan marjinal:
MR = R' = 20 – 10Q
Pada MR = 0,
0 = 20 – 10Q
10Q = 20
Q = 2
P = 20 – 5(2) = 10
Maka penerimaan total:
R = 20(2) – 5(2)2 = 40 - 20 = 20
Kasus 32
Diketahui: R = – 2Q2 + 1000Q
C = Q3 – 59Q2 + 1315Q + 2000
Ditanyakan:
Berapa tingkat produksi yang menghasilkan keuntungan maksimum?
Berapa biaya yang dikeluarkan untuk menghasilkan keuntungan maksimum?
Berapa besarnya penerimaan pada saat perusahaan mencapai keuntungan maksimum?
Jawab :
π = R – C = (– 2Q2 + 1000Q) – (Q3 – 59Q2 + 1315Q + 2000)
π = – Q3 + 57Q2 – 315Q – 2000
π' = – 3Q2 + 114Q – 315
Agar keuntungan maksimum:
Syarat 1. π' = 0
π' = – 3Q2 + 114Q – 315 = 0
Maka didapat Q1 = 3 dan Q2 = 35 (dengan rumus abc maupun dengan pemfaktoran)
Syarat 2. π'' < 0
Q1 = 3, π'' = – 6Q + 114 = – 6.3 + 114 = 96
Q2 = 35, π'' = – 6Q + 114 = – 6.35 + 114 = – 96 v
Karena syarat ke 2 untuk Q = 35 hasilnya < q
Biaya yang menghasilkan keuntungan maksimum:
C = Q3 – 59Q2 + 1315Q + 2000
C = 353 – 59.(352)+ 1315.(35) + 2000
C = 18.625
Besarnya pendapatan:
R = – 2Q2 + 1000Q
R = – 2.(352)+ 1000.(35)
R = 32.550
Kasus 33
Sebuah perusahaan jam beroperasi dalam pasar persaingan sempurna. Biaya produksi dinyatakan sebagai C = 100 + Q2, dimana C adalah biaya. Biaya tetap (FC) Adalah 100. Jika harga jual jam per unit adalah 60: Berapa jumlah jam yang harus diproduksi untuk mencapai laba maksimal? Berapa besar laba maksimal?
Jawab
Dalam pasar persaingan sempurna, produsen adalah penerima harga (price taker). Karena itu fungsi penerimaan total TR = P x Q = 60Q
MR = TRQ=60
Jika C = 100 + Q2 maka biaya marjinal (MC) adalah TCQ atau MC = 2Q
Laba maksimal tercapai pada saat MR = MC
60 = 2Q
Q = 30 unit
Jumlah jam yang harus diproduksi untuk mencapai laba maksimum adalah 30 unit.
Besar laba maksimum (maks):
Jika C = 100 + Q2
AC = 100 + QQ
Pada saat Q = 30 maka AC = 100 + Q2Q = 100 + 30230=3313
Laba maks = Q (P- AC) = 30(60 - 33 1/3) = 800
Kasus 34
Penerimaan marjinal (MR) dan biaya marjinal (MC) dari suatu perusahaan masing-masing ditunjukan dalam persamaan sebagai berikut: MR = -200Q+1200 dan MC = 12Q2 – 800Q + 6000, dan biaya tetapnya diketahui sebesar RP.12.000,00 (semua angka dalam ribuan). Berdasarkan persamaan di atas, maka tentukan:
a. Fungsi keuntungan yang dimiliki perusahaan
b. besarnya kuantitas (Q) yang harus diproduksi agar laba/keuntungan maksimum
c. besarnya keuntun gan maksimum
Jawab:
Diketahui:
MR = -200Q + 1200
MC = 12Q2 – 800q + 6000
FC = 12.000 (semua angka dalam ribuan)
Fungsi keuntungan
π = TR-TC
π = -Q3 – 22020Q2 + 3.542.400Q – 300.000 (fungsi keuntungan)
keuntungan maksimum : π1 = 0
(-3Q2 – 44040Q + 3.542.40 = 0) / 3
-Q2 – 14680Q + 1.180.800 = 0
Diperoleh nilai Q = -14760 (TM) dan Q = 80
Q=80 uji turunan kedua π11 = -63.240 < 0 (maksimum keuntungan) jadi Q yang memberikan keuntungan maksimum Q = 80 unit.
Besarnya keuntungan maksimum:
Π = -Q3 -22020Q2 + 3.542.400Q – 300.000
= -(80)3 -22020(80)2 + 3.542.400(80) – 300.000
= -512.000 – 140.928.000 + 283.392.000 – 300.000
= 141.652.000 (keuntungan maksimum)
Besar biaya total (TC) = Q3 – 420Q2 + 54.000Q + 300.000
= (80)3 – 420(80)2 + 300.000
= 2.444.000
Penerimaan total (TR = -44.880Q2 + 3.596.400Q)
= -44.880(80)2 + 3.596.400(80)
= 144.096.000
Kasus 35
Bila penerimaan total produsen ditunjukkan oleh persamaan TR = 200Q – 5Q2 dan biaya totalnya ditunjukkan oleh persamaan TC = 40 + 20Q, tentukan jumlah output yang harus diproduksi agar produsen memperoleh keuntungan maksimum.
Jawab :
TR = 200Q – 5Q2
TC = 40 + 20Q
π maksimum bila
MR = MC
MR = 200 – 10Q -10 < 0
MC = 20
MR = MC
200 – 10Q = 20
10Q = 180
Q = 18
d2πdQ2<0
Karena turunan kedua kurang dari nol yaitu maka syarat kedua ini terpenuhi. Jadi keuntungan maksimum akan tercapai bila Q = 18.
Kasus 36
Suatu perusahaan monopoli menghadapi permintaan terhadap barang yang dihasilkan ditunjukkan oleh persamaan; P = 20 – 1/2Q. Tentukan persamaan penerimaan marjinal (MR) dan gambarkan kurva permintaan dan kurva penerimaan marjinal perusahaan monopoli dari barang yang dihasilkan
Jawab :
Persamaan kurva penerimaan marjinal
MR = TR/ Q
TR = P.Q
P = 20 – 1/2Q
TR = (20 – 1/2Q)Q
TR = 20 – 1/2Q2
MR = TR/ Q = 20 – Q
Gambar Kurva Permintaan (D) dan Kurva Penerimaan Marjinal (MR)
P, MR
20
MR D
0 20 40 Q
Kasus 37
Biaya marjinal suatu perusahaan ditunjukkan oleh MC = 3Q2 - 6Q + 4. Carilah persamaan biaya totalnya! Jika diketahui biaya tetapnya Rp. 4, tentukanlah besarnya biaya totalnya!
Diketahui : MC = 3Q2 - 6Q + 4 FC = k = 4
Ditanya : pers. C.…? C jika k = 4....?
Jawab :
C = f(Q) MC = C
Biaya total C = MC dQ = f (Q) dQ
adalah integrasi C = MCdQ
dari biaya marginal = (3Q2 - 6Q + 4) dQ
= 3 Q2+1 – 6 Q1+1 + 4 Q0+1
2+1 1+1 0+1
= 3 Q3 – 6 Q2 + 4 Q1
3 2 1
C = Q3 - 3Q2 + 4Q + k
Jika k = 4 C = Q3 - 3Q2 + 4Q + k
C = Q3 - 3Q2 + 4Q + 4
Kasus 38
Carilah persamaan penerimaan total dari suatu perusahaan jika penerimaan marjinalnya MR = 16 – 4Q!
Diketahui : MR = 16 – 4Q
Ditanya : pers. R….?
Jawab :
R = f(Q) MR = R
Penerimaan total R = MR dQ = f (Q) dQ
adalah integral dari R = MR dQ
penerimaan marjinal = (16 – 4Q) dQ
= 16Q – 2Q2
Notes : Dalam persamaan penerimaan total konstanta k = 0, sebab penerimaan tidak akan ada jika tak ada barang yang dihasilkan atau terjual.
Kasus 39
Fungsi penawaran dan permintaan suatu barang di pasar masing-masing dinyatakan dalam persamaan Q = -30 + 5P dan Q = 60 – 4P. Hitunglah surplus konsumen dan produsen!
Diketahui : permintaan : Q = 60 – 4P P = 15 – 0,25Q
Penawaran : Q = -30 + 5P P = 6 + 0,2Q
Ditanya : Cs….? Ps….?
Jawab :
Formula keseimbangan : Qd = Qs
60 – 4P = -30 + 5P
5P + 4P = 60 + 30
9P = 90
P = 10 ………………. (P = Pe)
P = 10 Q = 60 – 4P
Q = 60 – 4(10)
Q = 60 – 40 = 20 ……......... (Q = Qe)
Jadi, Qe = 20 dan Pe = 10
Surplus Konsumen
Qe
Cs = f(Q) dQ – Qe Pe
0
20
Cs = (15 – 0,25Q) dQ – (20)(10)
0
20
Cs = [15Q – 0,125Q2] – 200
0
Cs = ((15.20) – 0,125(20)2) – (15.0) – 0,125(0) 2) - 200
Cs = ((300 – 50) – 0) - 200
= 250 – 200
= 50
Surplus produsen
Q = -30 + 5P
Jika P = 0 Q = - 30
Jika Q = 0 P = 6 ………………(P = P)
Pe
Ps = f(P) dP Ps = 610(-30 + 5P )dP
P
10
Ps = [ -30P + 2,5P2 ]
6
Ps = { -30(10) + 2,5(10)2 } – { -30(6) + 2,5(6)2 }
Ps = ( -300 + 250 ) – ( -180 + 90 )
Ps = -50 + 90
= 40
Jadi, surplus produsen adalah 40
Kasus 40
Produk marjinal sebuah perusahaan dicerminkan oleh MP = 18x – 3x2 . carilah persamaan produk totalnya!
Diketahui : MP = 18x – 3x2
Ditanya : pers. P….?
Jawab :
P = f(x) di mana : P : hasil produksi, x : faktor produksi
MP = P
Produk total P = MPdX = f (x) dX
adalah integral dari P = MPdX
produk marjinal P = (18x – 3x2 ) dX
P = 9x2 – x3
Kasus 41
Hitunglah surplus konsumen untuk fungsi permintaan Q = 40 – 2P.Harga keseimbangan pasar 10
Jawab :
Q = 40 – 2P => P = 20 – 0,5Q
Jika P = 0 maka Q = 40
Jika Q = 0 Maka P = 20
Jika P = 10 maka Qe = 20
Maka besarnya Surplus Konsumen adalah
Qe
SK = f(Q) dQ – QePe
0
20
SK = (20 – 0,5Q) dQ – 20 (10)
0
20
= [ 20Q – 0,25Q2 ] - 200
0
= { 20(20) – 0,25 (20)2 } – 0 – 200
= 400 – 100 – 200 = 100
Kasus 42
Dik. Fungsi permintaan produsen monopoli adalah P = 10-53Q Tentukan penerimaan total maksimum !
Gambarkan kurva TR, AR, MR dalam satu diagram.
Jawab :
TR = P.Q
TR = (10 – 5/3 Q ).Q
TR = 10Q – 5/3 Q2
AR = TRQ = 10-53Q
MR = dTRdQ = 10-103Q
TR maksimum jika TR' = 0 dan TR'' < 0
10 – Q103 = 0
Q = 3
TR'' = d''TR/dQ = -103 < 0 ( maksimum )
Untuk Q = 3, TR = 10 (3) – 5/3 (3)
= 30 – 15
= 15
Jadi total penerimaan maksimum adalah 15 dan jumlah produk yang harus dijual Q = 3 dengan harga jual P = 5.
Kasus 43
Diketahui fungsi permintaan P = 24 – 8Q dan biaya total yang dikeluarkanditunjukkan oleh fungsi TC = 2Q2 + 4Q. Tentukan jumlah output yang harus diproduksi agar keuntungan yang diperoleh maksimum !
Jawab :
π = TR – TC
TR = P.Q
= (24 – 8Q).Q
= 24Q – 8Q2
π = 24Q – 8Q2 – (2Q2 + 4Q)
π = 10Q2 + 20Q
Agar p optimum, maka π1 = 0 dan π11 < 0
π' = -20Q + 20 = 0
20Q = 20
Q = 1
π'' = -20 < 0 (maksimum)
untuk Q = 1, π = -10 (1)2 + 20 (1)
π = 10
Jadi laba maksimum yang diperoleh sebesar 10 pada tingkat produksi 1.
Kasus 44
Fungsi Permintaan PT. Pertamina, Tbk ditunjukkan oleh P = 900 – 1, 5 Q. Bagimana persamaan penerimaan totalnya? Berapa besar penerimaan total jika terjual barang sebanyak 200 unit dan berapa harga jual per unit? Hitunglah penerimaan marjinal dari penjualan sebanyak 200 unit menjadi 250 unit. Tentukan tingkat penjualan yang menghasilkan penerimaan total maksimum, dan besarnya penerimaan total maksimum tersebut.!
Jawab:
P = 900 – 1, 5 Q
R = P x Q
R = 900 Q – 1, 5 Q²
Jika Q = 200, maka R = 900 (200) – 1, 5 (200)² = 120.000
P = P = 900 – 1, 5 (200) = 600
Atau P = R/Q = 120.000/ 200 = 600
Jika Q = 250, maka R = 900 (250) – 1, 5 (250)² = 131.250
MR = R
Q
MR = 131.250 - 120.000 = 225
250 – 200
R = -1,5 Q² + 900 Q
R maksimum pada Q = -b/2a = -900/-3 = 300
Besarnya R maksimum = -1,5 (300)² + 900 (300) = 135.000
R (ribuan)
135
120
0 2 3 6 Q (ratusan)
Kasus 45
Penerimaan Total yang diperoleh PT. Adhipati Sebrang Pamalayu, Tbk saat terjadinya kenaikan harga BBM ditunjukkan persamaan R = -0, 20 Q² + 150 Q, sedangkan biaya total yang dikeluarkan C = 0,20 Q³ - 10 Q² + 10Q +1500. hitunglah profit PT. Adhipati Sebrang Pamalayu, Tbk jika dihasilkan dan terjual barang sebanyak 50 dan 70 unit.
Jawab:
π = R – C
= -0, 20 Q² + 150 Q – (0,40 Q³ - 10 Q² + 10Q +50)
= -0,40 Q³ + 9,8 Q² + 40Q - 50
Q = 50 π = -0,20 (50)³ + 9,8 (50)² + 140(50) - 1500
= -25.000 + 24.000 +7000 – 1500
= 4500 ( keuntungan)
Q = 60 π = -0,20 (60)³ + 9,8 (60)² + 140(60) - 1500
= -43.200 + 35.820 + 8400 – 1500
= -480 ( kerugian)
Kasus 46
Suatu perusahaan memperoleh penerimaan total sebesar Rp. 250.000,- dari penjualan sebesar 10 unit, berapakah penerimaan rata-ratanya ?.
Jawab :
Diketahui TR = 250.000,- dan Q = 10 unit,
AR = ?
AR = TR/Q = 250.000/10 = 25.000
Kasus 47
Anda menghasilkan suatu barang sebanyak 5 unit dan harga per unit Rp. 20.000, maka berapakah jumlah penerimaan total ?
Jawab :
Q = 5 unit, P = Rp. 20.000,00, TR=?
TR = Q x P = 5 x 20.000, = 100.000
Kasus 48
Sebuah perusahaan monopoli menghadapi permintaan: Q = 20 – 2p di mana Q adalah jumlah barang yang diterima (unit). Monopolis memiliki biaya rata – rata konstan 4 per unit. Berapakah biaya marginalnya?
Jawab :
Kurva penerimaan marjinal (MR):
TR = P(Q)Q = (10 – 12Q)Q = 10Q – ½ Q2
MR = TRQ= 10 – Q
Biaya Marjinal :
Jika biaya rata – rata: AC = 4; maka TC = (AC).Q = 4Q
Dengan demikian MC = TCQ= = 4
Kasus 49
Berdasarkan kasus 48, berapa jumlah output yang harus diproduksi dan harga jual per unit untuk mencapai laba maksimum. Hitung besarnya laba maksimum tersebut.
Jawab :
Laba maksimum tercapai bila MR = MC,
10 – Q = 4
Q* = 6
Jumlah output = 6 unit
Jika jumlah output 6, maka:
6 = 20 – 2P
P = 7
Harga jual adalah 7 per unit
Besarnya laba maksimum: Q(P – AC) = 6(7 – 4) = 18
Kasus 50
Berdasarkan kasus 48, berapa selisih harga dan output yang dihasilkan perusahaan dibandingkan dengan harga dan output bila perusahaan beroperasi pada pasar persaingan sempurna serta Gambarkan jawaban dengan menggunakan diagram!
Jawab :
Jika perusahaan beroperasi dalam pasar persaingan sempurna, laba maksimum tercapai bila D = AR = MC, atau
10 – 1/2Q = 4
1/2Q = 6
Q = 12unit, maka
12 = 20 – 2P
2P = 8
P = 4
Jika perusahaan beroperasi dalam pasar persaingan sempurna:
Output yang dihasilkan adalah 12 unit atau 2 kali jumlah yang dihasilkan bila perusahaan beroperasi dalam pasar monopoli.
Harga jual per unit jika perusahan beroperasi dala persaingan sempurna (4/ unit) jauh lebih murah (75% lebih murah) disbanding harga jual per unit jika perusahaan beroperasi dalam pasar monopoli.
Kasus 51
Sebuah perusahaan memproduksi sejenis barang dengan kualitas yang berbeda yaitu A1 dan A2, masing-masing sebanyak q1 dan q2 unit. Fungsi / kurva transpormasi produk untuk masukkan (input) tertentu yang digunakan adalah q2 = 100 - q12
Berapa unit maksimal A1 dan A2, yang dapat diproduksi ?
Berapa unit A1 dan A2 diproduksi agar kuantitas A1 dan A2 sama banyak ?
Jawab :
(a) Bila q2 = 0, q1 = ...... ? Bila q1 = 0, q2 = ...... ?
q2 = 100 - q12 q2 = 100 - q12
0 = 100 - q12 q2 = 100
q12 = 400
q1 = 400 (q1) 1, 2 = 20
(q1) 1 = 20 (bermakna)
(q1) 2 = -20 (tak bermakna)
Jadi, kuantitas A1 dan A2 yang maksimal dapat diproduksi masing-masing 20 unit dan 100 unit.
(b) Bila q1 = q2, maka q1 = ...... ? dan q2 = ...... ?
q2 = 100 - q12
q1 = 100 - q12
q12 + 4q1 – 400 = 0 a = 1, b = 4, c = - 400
(q1) 1, 2 =
=
(q1) 1 = 18,09 (bermakna)
(q1)2 = -22,09 (tidak bermakna)
Jadi, kuantitas A1 dan A2 yang harus diproduksi masing-masing agar A1 dan A2 sama banyak adalah q1 = q2 = 18,09 unit
Kasus 52
Suatu perusahaan menghasilkan dua jenis keramik dengan kualitas yang berbeda melalui proses produksi yang sama, dengan jumlah masing-masing sebanyak q1 dan q2. kurva transpormasi produk untuk sejumlah masukan (input) yang digunakan, dinyatakan oleh persamaan q2 – 9 q12 + 56 = 0. Berapa unit masing-masing keramik harus diproduksi agar jumlah keramik kualitas satu kali jumlah keramik kualitas dua ?
Jawab :
q2 – 9 q12 + 56 = 0
bila q1 = q2, maka q1 = ....... ? dan q2 = .... ?
q2 – 9 q12 + 56 = 0
q2 – 9 (q2)2 + 56 = 0
q2 – q22 + 56 = 0
q2 – q2 + 56 = 0
(q2 – 8) (q2 + 7) = 0
q2 = 8 (bermakna)
q2 = -7 (tak bermakna)
q1 = ..... ?
q1 = q2 = (8) =
jadi, agar kuantitas keramik kualitas satu kali kuantitas keramik kualitas dua, maka masing-masing keramik harus diproduksi sebanyak unit dan 8 unit.
Kasus 53
Dua buah pabrik A dan B memproduksi barang yang sama dan berjarak 50 km.Tentukanlah tempat kedudukan para pembeli yang membeli di pabrik M maupun di pabrik N, mengeluarkan uang yang sama banyaknya untuk barang yang sama pula jika di ketahui :
Harga barang di pabrik M = Rp 1000,00/kg
Harga barang di pabrik N = Rp 1500,00/kg
transport ke M = transport ke N = Rp 2/kg/km
Jawab :
Misalkan tempat kedudukan itu melalui titik S(x,y).
TM =TN = Rp 2/kg/km (transport di pabrik M = di pabrik N )
PM= Rp 1000,00/kg
PN= Rp 1500,00/kg
MS= (25+x)2+y2
NS= (25-x)2+y2
Syarat supaya S mempunyai pengeluaran yang sama untuk membeli barang di pabrik M maupun di pabrik N, harus memenuhi persamaan sebagai berikut:
PM + TM x MS = PN + TN x NS
1000+2 (25+x)2+y2=1500+2(25-x)2+y2
2(25+x)2+y2=500+2(25-x)2+y2
4252+50x+x2+y2=5002+4252-50x+x2+y2+2000(25-x)2+y2
4100x=5002+2000(25-x)2+y2
400x-50022=20002252-50x+x2+y2
4002x2-800.5002x+5004=20002252-50x+x2+y2
4002-20002x2-20002y2+5004=0
-3840000x2-20002y2=-5004
-384.104x2-625.108-4.106y2-625.108=1
x216276+y215625=1
Jadi, x216276+y215625=1 atau x2127,5772+y21252=1
Terlihat bahwa persamaan terakhir berbentuk elips
Kasus 54
Dua buah pabrik A dan B memproduksi barang yang sama dan berjarak 12 km. Jika harga barang di pabrik A sama dengan harga barang di pabrik B, sedang biaya pengangkutan dari pabrik A 2 kali biaya pengangkutan dari pabrik B per kg/km. Tentukanlah tempat kedudukan para pembeli supaya pengeluaran selalu sama besarnya baik membeli barang di pabrik A maupun dari pabrik B untuk jumlah barang yang sama.
Jawab :
Misal titik S (x,y) adalah salah satu titik dari tempat kedudukan para pembeli yang pengeluarannya sama baik membeli di pabrik A maupun membeli dipabrik B.
PA= PA (harga barang di pabrik A= di pantai B)
TA= 2 . TB (biaya pengangkutan dari pabrik A= 2 kali biaya pengangkutan dari pabrik B)
AS = (6-x)2+ y2
BS = (6+x)2+ y2
Syarat supaya S mempunyai pengeluaran yang sama untuk membeli barang di pabrik A maupun dipabrik B, harus memenuhi persamaan sebagai berikut:
PA+ TA x AS= PB + TB x BS
PB + 2.TB(6-x)2+ y2= PB + TB. (6+x)2+ y2
2.TB(6-x)2+ y2= TB. (6+x)2+ y2
2 .(6-x)2+ y2= (6+x)2+ y2
(2)2 . {(6-x )2+ (y)2} = (6+x)2 + (y)2
4 (x2-12x+36+y2)= x2+12x+36+y2
3x2-60x+108+3y2
x2-20x+36+y2
x2-20x+(10)2+y2 = -36 + 102
(x-10)2 + (y-0)2 = 82
Ternyata persamaan terakhir adalah lingkaran dengan pusat P(10,0) dan jari-jari r= 8
Kasus 55
Diketahui pabrik A dan B memproduksi barang yang sama, jaraknya 40 km. Harga barang di pabrik A= Rp 100,00/buah dan harga barang di apbrik B = Rp 200,00/buah. Ongkos pengangkutan dari A maupun dari B sama dengan Rp 5,00/bauh/km. Pabrik A,B dan para pembeli dianggap bertempat tinggal pada satu bidang. Tunjukkan: bahwa pabrik A dan B mempunyai daerah konsumen yang terpisah berdasarkan prinsip ekonomi
Penyelesaian :
Misalkan tempat kedudukan itu melalui titik S(x,y)
TA = TB = Rp 5,00/buah/km ( transport di pabrik A = di pabrik B)
PA= Rp 100,00/buah
PB = Rp 200,00/buah
AS=(20+x)2+y2
BS=(20-x)2+y2
Syarat, supaya P bertempat kedudukan pada garis pemisah daerah pemakai barang pabrik A dan B harus memenuhi persamaan:
PA + TA x AS = PB + TB x BS
100 + 5 (20+x)2+y2 = 200+5 (20-x)2+y2
5 (20+x)2+y2= 100+5 (20-x)2+y2
(20+x)2+y2= 20+(20-x)2+y2
(202+40x+x2+y2) = 202 +40(202-40x+x2+y2+202 -40x+x2+y2
80x - 202 = 40 (202-40x+x2+y2)
40(2x - 10) = 40 (202-40x+x2+y2)
(2x - 10) = (202-40x+x2+y2)
4x2-40x+100=400-40x+x2+y2
3x2-y2=300
Jadi : x2100-y2300=1
Jadi : x2102-y2(103)=1
Ternyata persamaan terakhir adalah hiperbola.
Kasus 56
Suatu perekonomian hipotesa yang sederhana terdiri dari dua industri A dan B yang dinyatakan dalam tabel berikut (data dalam puluhan juta dolar produk):
Produsen
Input
Permintaan akhir
Jumlah output
A
B
A
14
6
10
35
B
7
18
15
48
Tentukanlah vektor output perekonomian jika permintaan akhir berubah menjadi16 untuk A dan 20 untuk B.
Jawab :
Koefisien input aij= bijXj
a11= 1435=0,4 a12= 648=0,125 a21= 735=0,2
a22= 1848=0,375
A= 14356487351848 I – A = 2135424828353048 dalam bentuk sederhana menjadi
I-A= 35784558
I-A-1= -251335133213-1513
I-A-1.C= -251335133213-1513 1015= 2751324513
Jika C1 = 16, dan C2 = 10 maka vektor output menjadi:
X1X2= -251335133213-1513 1620= 3001321213
Kasus 57
diketahui matriks input-output antar 3 sektor seperti berikut ini:
0,70- 0,20 - 0,10- 0,10 0,70 - 0,20- 0,20 0,00 0,85
Jika diketahui bahwa nilai tambah setiap sektor yakni sektor I sebesar 14000, sektor II sebesar 12000 dan sektor III sebesar 16500 ( dalam satuan milyar rupiah ), maka ditanyakan: Hitunglah matriks teknologi dan permintaan akhir setiap sektor ?
Matriks teknologi = I - ( I – A ) :
= 10 00 1 00 0 1 - 0,70- 0,20 - 0,10- 0,10 0,70 - 0,20- 0,20 0,00 0,85
= 0,300,20 0,100,10 0,30 0,200,20 0,00 0,15
Total koefisien input adalah 0,60 0,50 0,45
Koefisien nilai tambah setiap sektor didapatkan dari:
1 - ( jumlah angka koesien matriks teknologi setiap sektor ), sehingga :
Sektor I = 1 - ( 0,30 + 0,10 + 0,20 ) = 0,40 dan jika XI adalah total output sektor I, maka : 0,40 XI = 14000 XI = 14000 / 0,40 = 35000
Sektor II = 1 - ( 0,20 + 0,30 + 0,00 ) = 0,50 dan jika XII adalah total output sektor II, maka : 0,50n XII = 12000 XII = 12000 / 0,50 = 24000
Sektor III = 1 - ( 0,10 + 0,20 + n 0,15 ) = 0,55 dan jika XIII adalah total output sektor III, maka : 0,55 XIII = 16500 XIII = 165000 / 0,55 = 30000
Permintaan akhir setiap sektor, maka dapat dihitung dengan menggunakan rumus: ( I – A ) . X yakni:
0,70- 0,20 - 0,10- 0,10 0,70 - 0,20- 0,20 0,00 0,85 35.00024.00030.000=16.700330018.500
Jadi permintaan akhir sektor I, II, dan III adalah masing-masing sebesar 16700, 3300, dan 18500 milyar rupiah.
Kasus 58
Udin seorang pekerja bangunan, ia dan teman-temannya sedang membangun sebuah rumah tinggal. Pada pengecatan pertama, rumah itu menghabiskan beberapa kaleng cat tembok dan cat kayu yang disajikan pada tabel berikut ini:
Tabel pengecatan ke-1
Jenis Cat
Jenis Warna
Cat Tembok
Cat Kayu
Warna Putih
6
3
Warna Biru
4
3
Pak mandor memperkirakan untuk mengecat rumah itu sampai selesai memerlukan sejumlah cat tembok dan cat kayu yang dituliskannya pada tabel berikut ini: (tiap kalengnya dalam satuan yang sama dengan tabel diatas)
Tabel pak Mandor
JenisCat
Jenis Warna
Cat Tembok
Cat Kayu
Warna Putih
21
8
Warna Biru
11
6
Pak Mandor menyuruh udin ke toko untuk membeli lagi cat tembok dan cat kayu agar pengecatan kedua rumah itu dapat diselesaikan. Berapa kaleng cat tembok dan cat kayu yang harus dibeli udin untuk masing-masing warna tersebut?
Jawab:
Untuk mengetahui kekurangan cat tembok dan cat kayu masing-masing warnanya, dapat dihitung dengan jalan: tabel pak mandor dikurangi dengan tabel pengecatan pertama yaitu dengan mengurangi tiap jenis cat dan warna yang bersesuaian letaknya.
Tabel cat yang harus dibeli udin
Jenis Cat
Jenis Warna
Cat Tembok
Cat Kayu
Warna Putih
21-6=15
8-3=5
Warna Biru
11-4=7
6-3=3
Kasus 59
Untuk kasus perekonomian Negara Amarta, hitunglah total output untuk masing-masing sektor dan nilai tambah, bilamana ditargetkan permintaan akhir terhadap sektor pertanian, industri dan jasa masing-masing adalah 200, 600, dan 400. Susunlah matriks transaksi yang baru.
Jawab:
Berdasarkan perhitungan bahwa ai.j=ai.j---xj
Dapat dihitung matriks teknologi yakni:
A=0,200,120,020,150,280,260,100,170,23
(Sebagai contoh untuk a1.1 = 40 : 200 = 0,20 )
Berdasarkan rumus yang telah dikemukakan:
X = ( I - A )-1 . b
I - A =100010001-0,200,120,020,150,280,260,100,170,23
I - A =0,80-0,12-0,02-0,0150,72-0,26-0,10-0,170,77
Det. I - A =0,80-0,12-0,02-0,0150,72-0,26-0,10-0,170,77={ [ (0,80) (0,72) (0,77) ] + [ ( - 0,12 ) ( - 0,26 ) ( - 0,10 ) ]+ [ - 0,02 ) ( - 0,17 ) ( - 0,15 ) ] } - { [ ( - 0,10 ) ( 0,72 ) ( - 0,02 ) ]+ [ ( - 0,17 ) ( - 0,26 ) ( 0,80 ) ] + [ ( 0,77 ) ( - 0,12 ) ( - 0,15 ) ] } = 0,38923
Det. I - A= 0,38923 (selalu positif)
I - A-1=adj. I - Adet. I - A
Kofaktor I - A=M1.1-M1.2M1.3-M2.1M2.2-M2.3M3.1-M3.2M3.3
M1.1=0,72-0,26-0,170,77
= [ ( 0,72 ) ( 0,77 ) ] - [ ( - 0,17 ) ( - 0,26 ) ] = 0,5102
-M1.2=-0,15-0,26-0,100,77
= - [ ( - 0,15 ) ( 0,77 ) ] - [ ( - 0,10 ) ( - 0,26 ) ] = 0,1415
M1.3=-0,150,72-0,10-0,17
= [ ( - 0,15 ) ( - 0,17 ) ] - [ ( - 0,10 ) ( 0,72 ) ] = 0,0975
-M2.1=-0,12-0,02-0,170,77
=- [ (- 0,12 ) ( 0,77 ) ] – [ ( - 0,17 ) ( - 0,02 ) ] = 0,0958
M2.2=0,80-0,02-0,100,77
= [ ( 0,80 ) ( 0,77 ) ] – [ ( - 0,10 ) ( - 0,02 ) ] = 0,6140
-M2.3=0,80-0,12-0,10-0,17
= - [ ( 0,80 ) ( - 0,17 ) ] – [ ( - 0,10 ) ( - 0,12 ) ] = 0,1480
M3.1=0,72-0,26-0,170,77
= [ ( 0,72 ) ( 0,77 ) ] – [ - 0,17 ) ( - 0,26 ) ] = 0,0456
-M3.2=0,80-0,02-0,15-0,26
= -[ ( 0,80 ) ( - 0,26 ) ] – [ ( - 0,15 ) ( - 0,02 ) ] = 0,2110
M3.3=0,80-0,12-0,150,72
= [ ( 0,80 ) ( 0,72 ) ] – [ ( - 0,15 ) ( - 0,12 ) ] = 0,5580
Kofaktor ( I - A ) =0,51020,14150,09750,09580,61400,14800,04560,21100,5580
Semua elemen matriks ini selalu positif antara 0 sampai 1
Adjoint I-A=M1.1-M1.2M1.3-M2.1M2.2-M2.3M3.1-M3.2M3.3
Adjoint I-A=0,51020,14150,09750,09580,61400,14800,04560,21100,5580
I - A-1=adj. I - AI - A
=10,389230,51020,14150,09750,09580,61400,14800,04560,21100,5580
I - A-1=1,31080,24610,11710,36351,57750,54210,25050,38021,4336 ( Elemen Diagonal > 1 )
X = ( I - A )-1 . b
x1x2x3=1,31080,24610,11710,36351,57750,54210,25050,38021,4336.200600400
x1x2x3=1,3108200+0,2461600+0,11714000,3635200+1,5775600+0,54214000,2505200+0,3802600+1,4336400
x1x2x3=456,661236,04851,66
Jadi total output masing-masing sektor menjadi:
Pertanian = 456,66 ; Industri = 1236,04 ; dan Jasa = 851,66 Sedangkan nilai tambah masing-masing sektor adalah:
Pertanian = ( 1 – 0,20 – 0,15 – 0,10 ) ( 456,66 ) = 251,16
Industri = ( 1 – 0,12 – 0,28 – 0,17 ) ( 1236,04 ) = 531,50
Jasa = ( 1 – 0,02 – 0,26 – 0,23 ) ( 851,66 ) = 417,32
Dari hasil perhitungan yang dilakukan, maka matriks transaksi baru yang dapat ditampilkan adalah:
Sektor
Pertanian
Industri
Jasa
P A
T O
Pertanian
Industri
Jasa
91,34
68,50
45,66
148,32
346,09
210,13
17,00
221,45
195,89
200
600
400
456,66
1236,04
851,66
Nilai Tambah
251,16
531,50
417,32
T O
456,66
1236,04
851,66
Keterangan: PA = Permintaan Akhir T O = Total Output
Hasil perhitungan input-output untuk setiap sektor perhitungannya kurang tepat, hal ini dikarenakan hanya disebabkan oleh faktor pembulatan. jika total output merupakan bilangan utuh, maka input-output ataupun nilai tambah pada perhitungan tabel transaksi akan dipastikan benar. Tabel tersebut ternyata terdapat 4 sel yang kosong, bilamana salah satu sel diketahui maka semua sel akan dapat dihitung dan berarti akan terisi untuk semua sel.
Kasus 60
Suatu perusahaan mempunyai dua lokasi pabrik di Surabaya dan Sidoarjo, yang tiap minggu memproduksi 3 jenis barang A, B dan C yang dibuat dari bahan baku K, L dan M dengan komposisi yang sama dikedua pabrik ini, yakni tiap 1 unit barang A dibuat dari : 1 unit bahan baku K, 3 unit bahan baku L dan 2 unit bahan baku M, tiap 1 unit barang B dibuat dari : 2 unit bahan baku K, 2 unit bahan baku L dan I unit bahan baku M, dan tiap 1 unit C dibuat dari : 1 unit bahan baku K, 2 unit bahan L dan 2 unit bahan baku M. Tiap minggu pabrik di Surabaya memproduksi : 100 unit barang A, 200 unit barang B dan 250 untuk unit barang C, sedangkan disidoarjo diproduksi : 80 unit barang A, 120 unit barang B dan 200, unit barang C. Jika harga baku K, L dan M tiap unit adalah Rp. 500, Rp. 800 dan Rp. 1000 sedangkan harga jual barang A, B dan C dipasaran Surabaya dan Sidoarjo adalah sama yakni : Rp. 3000, Rp. 5.000 dan Rp. 7.000 unit, maka :
Tuliskan berapa matriks dan bentuknya yang ada dalam persoalan ini ?
Hitunglah dengan operasi perkalian matriks jumlah bahan baku yang diperlukan ditiap pabrik Surabaya dan Sidoarjo.
Hitunglah jumlah biaya, jumlah penjualan dan laba yang capai dengan operasi matriks di Surabaya dan Sidoarjo
Jawab :
Matriks-matrik dalam persoalan ini adalah :
Matriks komposisi bahan dan barang A, B, dan C
Q= 121322212
Matriks produk dari barang A, B dan C di Surabaya dan Sidoarjo :
R= 10080200120250200
Matriks S yakni harga bahan baku K, L dan M tiap unit dan Matriks T yakni harga jual barang A, B dan C tiap unit :
S = ( 500 800 1000) dan T = (3000 5000 7000)
b. Jumlah bahan baku yang dipakai di Surabaya dan Sidoarjo :
U = Q x R = 121322212 x 10080200120250200 = 7505201200880900680
c. Perhitungan Laba :
Dihitung dulu jumlah biaya produk di Surabaya dan Sidoarjo :
D = S x U = (500 800 1000) x 7505201200880900680 = (2. 235.000 1. 644.000 )
Dan hasil penjualan barang di Surabaya dan Sidoarjo :
E = T x R = (3000 5000 7000 ) x 10080200120250200 = (3. 050. 000 2.240. 000)
Sehingga laba yang diraih di Surabaya dan Sidoarjo adalah :
L = E – D = (3. 050.000 2. 240. 000) – (2. 235.000 1. 644.000) = (815.000 596.000 )