1-II-Teori Dan Aplikasi Persamaan Difusivitas

BAB I: TEORI DAN APLIKASI PERSAMAAN DIFUSIVITAS

(Versi 13 Februari 2005)

Salah satu karakteristik utama yang selalu ingin diketahui dari suatu reservoir adalah tingkat atau kapasitas produksi sebagai fungsi dari waktu. Untuk mengetahui hal tersebut, biasanya digunakan model yang mengaitkan laju alir dan/atau tekanan terhadap waktu. Model yang dimaksud di sini adalah model matematis yang mendeskripsikan aliran dalam batuan reservoir dimana batuan berperan sebagai media alir berpori. Model matematis tersebut disebut dengan persamaan difusivitas. Solusi terhadap persamaan ini, baik solusi analitik maupun solusi numerik (yang umumnya menggunakan pendekatan finite difference) merupakan dasar untuk melakukan evaluasi dan analisis kinerja produksi dan peramalan kinerja reservoir pada waktu yang akan datang.

Pada bab ini dibahas tentang pengembangan persamaan difusivitas khususnya untuk aliran satu fasa fluida incompressible, solusi eksak dan solusi pendekatan terhadap persamaan difusivitas, dan aplikasi solusi persamaan difusivitas tersebut dalam berbagai analisis untuk mengetahui karakteristik reservoir, misalnya analisis data well test (pressure transient test). Materi yang disajikan dalam bab ini merupakan bagian yang paling penting dan hampir menentukan semua metode perhitungan dalam teknik reservoir. Disamping itu, bidang kajian pada bab ini merupakan yang paling khas dan hanya dipelajari dalam bidang ilmu teknik reservoir.

Pokok-pokok bahasan utama yang disajikan dalam bab ini adalah: 1. Pengembangan persamaan difusivitas yang tergantung pada waktu, geometri media alir, dan jumlah fasa berdasarkan 3 (tiga) persamaan dasar, yaitu persamaan Darcy, persamaan kontinuitas, dan persamaan keadaan. 2. Solusi eksak terhadap persamaan difusivitas untuk berbagai kondisi batas luar dan batas dalam. 3. Solusi pendekatan (aproksimasi) terhadap persamaan difusivitas berdasarkan flow period , yaitu boundary condition tertentu, berupa aliran transient, pseudosteady state, dan steady state. 4. Aplikasi solusi persamaan difusivitas dalam menentukan distribusi tekanan di dalam reservoir dan analisis data hasil pressure transient testing (buildup dan drawdown tests) untuk mendapatkan karakteristik batuan reservoir.

Teori dan Aplikasi Persamaan Difusivitas, hal. 1

Persamaan Difusivitas

Persamaan difusivitas digunakan untuk memodelkan kinerja sistem aliran yang bergantung pada waktu. Oleh karena itu, dasar dari persamaan difusivitas adalah persamaan kontinuitas yang menggambarkan perubahan jumlah massa pada suatu titik lokasi terhadap perubahan waktu. Nama difusivitas berasal dari persamaan yang digunakan untuk menggambarkan proses difusi panas (diffusion of heat ). ). Kenyataannya, aliran fluida dalam media permeabel dapat dimodelkan oleh persamaan yang bentuknya sama dengan persamaan difusivitas untuk aliran panas (dan juga aliran listrik). Penggunaan persamaan difusivitas dalam teknik reservoir sangat luas. Model matematis ini telah dipakai sebagai: a. Alat untuk interpretasi data well test b. Model matematik dalam simulasi numerik reservoir c. Alat untuk analisis deliverability d. Model matematik untuk decline curve analysis menggunakan type curves e. dan sebagainya.

Operator Matematika Dalam literatur, persamaan difusivitas dan tiga persamaan pembentuknya, yaitu persamaan kontinuitas, persamaan gerak, dan persamaan keadaan, seringkali dituliskan dalam bentuk bentuk tertentu dengan menggunakan operator matematika tertentu. Hal itu berkenaan dengan besaran variabel yang terkandung dalam persamaan persa maan tersebut ter sebut yaitu apakah berupa skalar atau vektor. Untuk itu, ada baiknya diketahui sejumlah operator matematika yang biasa digunakan dalam menyatakan persamaan-persamaan tersebut. Beberapa bentuk dan definisi operator matematika tersebut yang penting diantaranya: • Pernyataan besaran skalar dan vektor

a

≡

besaran skalar

x atau

⎛ x1 ⎞ ⎜ ⎟ x ≡ besaran vektor = ⎜ x 2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ x 3 ⎠ r

dimana

⎛ x1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ x2⎟ ⎜ . ⎟ ⎜ . ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ . ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ x n ⎠

disebut dengan vektor kolom

• Bentuk-bentuk operator:

(1) Operator ”∇” yang disebut ”nabla” atau ”del” yang digunakan untuk menyatakan gradien medan skalar dan didefinisikan sebagai:


∇ = δ1 =

∂ ∂ x1

∑ i δi δi

dimana

+ δ2

∂ ∂ x2

+ δ3

∂ ∂ x3

∂a ∂ xi adalah unit vektor untuk masing-masing variabel ke-i. Dengan demikian

nabla suatu variabel skalar adalah berupa vektor yang dibentuk dari turunan dari komponen-komponen medan skalar. Sebagai contoh, ”nabla a” atau ”del a” adalah pernyataan untuk ”gradien a” dimana a adalah fungsi skalar dengan komponen variabel x1, x2, dan x3, yaitu:

∇a = δ1

∂a ∂a ∂a + δ2 + δ3 ∂ x1 ∂ x2 ∂ x3

Sehingga jika gradien medan skalar dinyatakan dalam vektor kolom maka ditulis

∇a

=

⎛ ∂a ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ∂ x1 ⎟ ⎜ ∂a ⎟ ⎜∂ ⎟ ⎜ x2 ⎟ ⎜ ∂a ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ∂ x 3 ⎠

dimana ”a” adalah fungsi skalar.

(2) Operator ”∇⋅” yang dibaca ”del dot” dan disebut divergence sehingga seringkali ditulis sebagai ”div”. Operator ini digunakan untuk menyatakan divergence medan vektor yang didefinisikan (dengan menggunakan definisi ”nabla” dan definisi vektor) sebagai: (∇⋅ v ) = ( ∑ i δ i v

=

∑i

∂ )⋅( ∑ j δ j v j ) ∂x i

∂ vi ∂x i

dimana operator ”⋅” disebut dengan ”dot” dan didefinisikan sebagai

x ⋅ y = x1y1 + x 2 y 2 r

r

+ ...

dan dibaca ”x dot y” dimana x dan y masing-masing vektor.

Sebagai contoh divergence dari vektor v adalah v

∇⋅ v = div v = r

r

∂v1 ∂v 2 ∂v 3 + + ∂x ∂y ∂z

(3) Operator ”∇×” yang disebut dengan ”curl” untuk menyatakan curl medan vektor yang didefinisikan sebagai:


(∇× v ) = ( ∑ j δ j v

∂ )×( ∑ k δ k v k ) ∂x j

⎧ ∂ v3 ∂ v2 ⎫ ⎧ ∂ v1 ∂ v 3 ⎫ ⎧ ∂ v 2 ∂ v1 ⎫ − − − ⎬ + δ2 ⎨ ⎬ + δ3 ⎨ ⎬ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ x3⎭ x1 ⎭ ⎩ x1 ∂ x 2 ⎭ ⎩ x2 ⎩ x3

= δ1 ⎨ (4) Operator ”∇2”

yang disebut dengan ”Laplacian” dari medan skalar dan didefinisikan sebagai 2 2 2 ∂ ∂ ∂ + + ∇ = 2 2 ∂ x1 ∂ x 2 ∂ x 32 2

Persamaan Kontinuitas Persamaan kontinuitas memodelkan perubahan jumlah massa terhadap perubahan waktu. Dengan kata lain, pada dasarnya persamaan ini menyatakan hukum kekekalan massa. Untuk menjelaskan hal ini, tinjau suatu elemen, ds, dalam media berpori sebagai berikut:

media berpori ds ≡ elemen

Laju alir massa dalam elemen, ds, adalah:

ρv ⋅ n v

v

ρv v

r

Ketika v tidak berarah normal (tegak lurus terhadap permukaan elemen), maka komponen normal dari v adalah v ⋅ n . Oleh karena laju alir massa yang keluar dari elemen = r

r

r

ρ( v ⋅ n )ds , r

r

maka total laju alir massa diperoleh dengan cara mengintegralkan laju alir massa yang keluar dari elemen tersebut, yaitu:

∫∫ ρ( v ⋅ n)ds r

r

s


Jika Jika diam diambil bil sejum sejumlah volume olume tertent tertentu u = dv, yang yang harga harganya nya kecil, kecil, maka maka laju laju alir massa massa hilan hilang g (loss) dari dv adalah:

=−

∂ (φρ) dv ∂t

Sehingga total laju alir dari elemen (loss) =

∂ (φP) dv ∂t

− ∫∫∫ v

Sekarang, laju alir massa keluar = laju alir massa loss, atau

∫∫ ρ( v ⋅ n )ds = − ∫∫∫ r

r

v

s

∂ (φP) dv ∂t

Berdasarkan teori divergence (disebut juga teorem a Gauss):

∫∫ ρ( v ⋅ n )ds = ∫∫∫ v ⋅ (ρv)dv r

r

r

s

r

v

Sehingga:

∫∫∫ v ⋅ (ρv)dv r

r

=

− ∫∫∫ v

v

∂ (φρ) dv ∂t

atau: v ⋅ (ρv) = r

r

−

∂ (φρ) ∂t

(5)

engan persamaan aan kon konti tinu nuit itas as atau atau huku hukum m keke kekeka kala lan n mas massa sa yang yang berl berlak aku u unt untuk uk yang disebut denga berbagai geometri aliran.

Selanjutnya, untuk mendapatkan persamaan difusivitas, maka dalam derivative di ruas kanan k eadaan massa yang dinyatakan oleh

ρ harus dievaluasi dengan memasukkan unsur tekanan

dan jumlah massa yang dinyatakan oleh

φ harus diubah dalam bentuk keadaan massa pada

suatu waktu (bisa saja dianggap konstan). Unsur tekanan dimasukkan dengan menggunakan r

persamaan persamaan Darcy melalui substitusi substitusi v dan keadaan massa dimasukkan dengan menggunakan persamaan persamaan keadaan melalui melalui substitusi substitusi ρ seperti ditunjukkan pada bagian berikut.

Pengembangan Persamaan Difusivitas Persamaan difusivitas diperoleh dengan menggabungkan persamaan-persamaan yang terkait satu sama lain dalam menyatakan hubu ngan perubahan jumlah dan keadaan massa pada suatu waktu dan pada lokasi tertentu. Persamaan-persamaan tersebut adalah: 1) Persamaan kontinuitas (continuity equation), yaitu hukum kekekalan massa


2) Persamaan gerak (equation of motion, EOM), yaitu hukum Darcy 3) Persamaan keadaan (equation of state, EOS), yang menyatakan hubungan keadaan (state) dari material terhadap perubahan tekanan.

Persamaan difusivitas yang paling banyak aplikasinya dalam teknik reservoir adalah persamaan persamaan dalam bentuk aliran radial yang analog dengan geometri aliran dari reservoir menuju sumur. Oleh karena itu, pada bagian ini akan dijelaskan pengembangan persamaan difusivitas untuk aliran radial. Tinjau ketiga persamaan dasar berikut: 1. Persamaan kontinuitas:

∂ ∂ (r ρ u r ) = − (φ ρ) ∂t r ∂r

1

(6)

Asumsi yang digunakan: - Aliran radial - Tidak ada source dan/atau sinks 2. Persamaan gerak: Gunakan hukum Darcy u r = −

k ∂ p

(7)

μ ∂r

Asumsi yang diguna kan: - Aliran radial - Isotropik - Laminer - Mengabaikan gravitasi 3. Persamaan ke keadaan:

ρ = ρ b exp[c( p − p b )]

(8)

Asumsi yang digunakan: - Isothermal - Slightly compressi ble fluid - Kompresibilitas kecil d an konstan Kemudian substitusi persamaa n gerak ke dalam persamaan kontinuitas menghasilkan:

∂ ⎧ ⎛ k ∂ p ⎞⎫ ∂ ⎟⎟⎬ = − (φ ρ) ⎨r ρ ⎜⎜ − r ∂r ⎩ ⎝ μ ∂r ⎠⎭ ∂t

1

Dengan asumsi k dan μ konstan dan menggunakan product rule untuk ruas kanan:


⎛ r ρ ∂ p ⎞ = φ ∂ρ + ρ ∂φ ⎟ ⎜ r μ ∂r ⎝ ∂r ⎠ ∂t ∂t

1 k ∂

Sekarang gunakan product rule pada ruas kiri dan chain rule pada ruas kanan: k 1 ⎧

∂ ⎛ ∂ p ⎞ ∂ p ∂ρ ⎫ ∂ρ ∂ p ∂φ ∂ p +ρ ⎨ρ ⎜ r ⎟ + r ⎬=φ μ r ⎩ ∂r ⎝ ∂r ⎠ ∂r ∂r ⎭ ∂ p ∂t ∂ p ∂t Susun ulang dengan mengumpulkan suku sejenis:

ρ ∂ ⎛ ∂ p ⎞ ∂ p ∂ρ ∂ p μ ⎛ 1 ∂ρ ∂ p 1 ∂φ ∂ p ⎞ ⎟ = φρ⎜⎜ + ⎜ r ⎟ + r ∂r ⎝ ∂r ⎠ ∂r ∂ p ∂r k ⎝ ρ ∂ p ∂t φ ∂ p ∂t ⎠⎟ 2

ρ ∂ ⎛ ∂ p ⎞ ∂ p ⎛ ∂ρ ⎞ μ ⎛ 1 ∂ρ 1 ∂φ ⎞ ∂ p ⎟ + ⎜ r ⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ = φ ρ⎜⎜ r ∂r ⎝ ∂r ⎠ ∂r ⎝ ∂ p ⎠ k ⎝ ρ ∂ p φ ∂ p ⎠⎟ ∂t

(9)

Sekarang tinjau persamaan keadaan:

ρ = ρ b exp[c( p − p b )]

(8)

atau

∂ρ = cρ b exp[c( p − p b )] ∂ p Dengan asumsi c konstan dan kecil, maka

∂ρ = cρ ∂ p Sekarang tinjau bahwa

∂ρ ρ ∂ p 1

c=

kemudian jika c f

=

∂φ φ ∂ p

1

maka dari definisi kompresibilitas total diperoleh: ct = c + cf =

∂ρ 1 ∂φ + ρ ∂ p φ ∂ p 1

(10)

Sehingga substitusi Persamaan (10) ke dalam Persamaan (9) menghasilkan:

ρ ∂ ⎛ ∂ p ⎞ ∂ p ⎞ 2 μ ∂ p ⎛ ⎜ r ⎟ + cρ⎜ ⎟ = φ ρ c t r ∂r ⎝ ∂r ⎠ k ∂t ⎝ ∂r ⎠ ∂ ⎛ ∂ p ⎞ ⎛ ∂ p ⎞ 2 φ μ c t ∂ p ⎜ r ⎟ + c⎜ ⎟ = r ∂r ⎝ ∂r ⎠ k ∂t ⎝ ∂r ⎠

1


Dengan anggapan c kecil dan konstan serta gradient tekanan kecil sehingga 2 ⎛ ∂ p ⎞ ≈ 0 ⎜ ⎟ ⎝ ∂r ⎠

maka diperoleh persamaan difusivitas:

∂ ⎛ ∂ p ⎞ φ μ c t ∂ p ⎜ r ⎟ = r ∂r ⎝ ∂r ⎠ k ∂t

1

(11)

Persamaan difusivitas di atas adalah untuk aliran radial, satu fasa, fluida incompressible (liquid) dengan asumsi-asumsi yang sudah dijelaskan termasuk asumsi untuk ketiga persamaan dasar yang digunakan. Dengan demikian, persamaan difusivitas di atas diperoleh jika asumsi-asumsi berikut dipenuhi: (1) aliran radial fluida incompressible (2) aliran laminar (yaitu aliran yang mengikuti hukum Darcy) (3) permeabilitas (3) permeabilitas konstan dan isotropik, kompresibilitas batuan konstan (4) mengabaikan efek gravitasi (5) kondisi isothermal (6) viskositas konstan terhadap tekanan (7) porositas (7) porositas konstan (8) kompresibilitas fluida kecil dan konstan-tidak tergantung pada tekanan (9) mengabaikan perkalian gradien compressibility-pressure kuadrat.

Jika menggunakan sa tuan lapangan, maka persamaan difusivitas dapat diturunkan sebagai berikut: Persamaan kontinuitas (satuan lapangan): 0.2339 r

∂ ∂ (r ρ v ) = − (φρ) ∂r ∂t

(12)

Persamaan Darcy (satuan lapangan): v = −0.001127

k ∂ p

μ ∂r

(13)

Definisi kompressibilitas: c f =

∂φ ∂φ → =c φ φ ∂ p ∂ p f

1

dan karena

∂φ ∂φ ∂ p = ∂t ∂ p ∂t

(chain rule)


maka

∂φ ∂ p = φ c f ∂t ∂t

(14)

Dari (12) dan (13): 0.2339 r

k ∂ p ⎞⎤ ∂ ⎡ ⎛ ∂ ⎟⎟⎥ = − φρ r ρ⎜⎜ − 0.001127 ⎢ ∂r ⎣ ⎝ μ ∂r ⎠⎦ ∂t

atau 0.2339 r

k ∂ p ⎞⎤ ∂ ⎡ ⎛ ∂ρ ∂φ ⎜ ⎟ r 0 . 001127 ρ = φ + ρ ⎢ ⎥ ⎜ μ ∂r ⎠⎟⎦ ∂r ⎣ ⎝ ∂t ∂t

Dari (14): 0.2339 r

Persamaan

k ∂ p ⎞⎤ ∂ ⎡ ⎛ ∂ρ ∂ p ⎜ ⎟⎟⎥ = φ + ρ φ c f r 0 . 001127 ρ ⎢ ⎜ ∂r ⎣ ⎝ μ ∂r ⎠⎦ ∂t ∂t

(15)

merupakan

persamaan

diferensian

(15)

parsial

(PDP)

umum

untuk

menggambarkan aliran fluida dalam media berpori (radial flow) dalam satuan lapangan. Berdasarkan asumsinya, maka persamaan tersebut terbatas untuk aliran laminer (agar hukum Darcy berlaku). Solusi persamaan di atas sulit dicari secara analitik karena sifat non-linieritas yaitu koefisien persamaan yang terdiri dari ρ, φ, c f , k dan μ yang tergantung pada p.

Sekarang, jika digunakan asumsi tambahan seperti halnya dilakukan pada penurunan Persamaan (11), yaitu k,

μ

dianggap konstan (tidak tergantung pada p), gradient tekanan

kecil sehingga 2 ⎛ ∂ p ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ∂r ⎠

kecil sekali dan karenanya diabaikan, serta kompressibilitas kompressibilitas konstan dan definisi definisi ct = c + cf berlaku, maka diperoleh:

φ μ c t ∂ p ∂ 2 p 1 ∂ p + = ∂r 2 r ∂r 0.0002637 k ∂t

(16)

dengan

φμ ct 0.0002637 k

=

1

η

dimana η disebut dengan hydraulic di ffusivity ffusivity.


Dengan cara sama, persamaan serupa dapat diturunkan untuk aliran radial gas nyata, yaitu:

∂ ⎛ p ∂ p ⎞ φ ∂ ⎛ p ⎞ ⎜⎜ r ⎟⎟ = ⎜ ⎟ r ∂r ⎝ μz ∂r ⎠ 0.0002637 k ∂t ⎝ z ⎠

1

dimana z adalah faktor deviasi gas. Begitu pula untuk aliran multifasa minyak, gas, dan air, persamaan difusivitas dapat diturunkan sebagai

φct ∂ ⎛ ∂ p ⎞ ∂ p ⎜ r ⎟ = r ∂r ⎝ ∂r ⎠ 0.0002637 λ t ∂t

1

dimana ct adalah kompresibilitas total dari sistem, ct dan

λt

= So c o + S w c w + Sg c g + c f

adalah total mobility dari sistem yang didefinisikan sebagai jumlah mobilitas dari

masing-masing fasa:

λt =

k o

k g

+ k w + μo μ w μg

Dalam persamaan-persamaan di atas, subskrip ”o,” ”w,” ”g,” ”f,” dan ”t” adalah masingmasing untuk minyak, air, gas, formasi, dan total sedangkan k, S, dan

μ

adalah masing-

masing simbol untuk p ermeabilitas, saturasi, dan viskositas.

Metode Solusi Berdasarkan paparan di atas, maka diketahui sifat dan ciri persamaan difusivitas untuk aliran radial sebagai berikut: 1) Bentuk persamaan adalah persamaan diferensial parsial (PDP) 2) PDP tersebut bersifat non-linier (koefisien persamaan, φ,

μ dan ct, yang tergantung pada

dependent variabel, p) 3) PDP tersebut berorde 2 (orde 2 terhadap ruang, orde 1 terhadap waktu) 4) Dependent variabel adalah p (tekanan) 5) Independent variabel adalah r (lokasi dalam geometri radial) da n t (waktu). Oleh karena itu, agar dapat diperoleh solusi dari persamaan difusivitas maka diperlukan 1 (satu) kondisi awal karena PDP berorde 1 terhadap waktu dan 2 (dua) kondisi batas karena PDP berorde 2 terhadap ruang. Berbagai macam kondisi batas yang dikenal adalah: Kondisi batas luar atau outer boundary cond ition (OBC): - Infinite acting - No-flow (bounded) - Constant pressure


Kondisi batas dalam atau inner boundary condition (IBC): - Constant rate - Constant pressure Untuk kondisi awal selalu dianggap bahwa reservoir pada awalnya mempunyai tekanan yang seragam dan konstan di seluruh reservoir, yaitu: p( r , 0 ) = p i

Berdasa Berdasarka rkan n bebe beberap rapa k ombinasi ombinasi dari dua kondisi kondisi batas dalam dalam dan dan luar, luar, sampai sampai saat ini ini telah telah diketahui beberapa solusi dari persamaan difusivitas. Solusi-solusi persamaan yang telah dibuat dan dipub likasikan tersebut diperoleh dengan menggunakan kombinasi kondisi batas dalam dan batas luar sebagai berikut (penjelasan lebih rinci ada pada bagian solusi persamaan): (1) Inner boundary condition: Constant-rate Constant-rate prod uction; Outer boundary condition: Infinite-acting (2) Inner boundary condition: Constant-rate Constant-rate production; Outer boundary condition: Bounded, no-flow (3) Inner boundary condition: Constant-rate Constant-rate production; Outer boundary condition: Bounded, constant pressure (4) Inner boundary condition: Constant-pressure production; Outer boundary condition: Infinite-acting (5) Inner boundary boundary condition: condition: Constant-pr Constant-pressu essure production; Outer boundary condition: Bounded, no-flow (6) Inner boundary boundary condition: condition: Constant-pr Constant-pressure essure production; Outer boundary condition: Bounded, constant pressur e.

Penyelesaian secara analitik umumnya lebih mudah untuk dilakukan jika menggunakan metode transformasi. transformasi. Metode Metode transformasi transformasi yang dapat digunakan digunakan adalah transfor transfor masi Laplace, transformasi Boltzman, atau transformasi Fourier. Penggunaan metode transfomasi tersebut pada dasarnya adalah untuk menguba h persamaan diferensial parsial menjadi persamaan diferensial biasa dengan tujuan untuk mengatasi masalah non-linieritas. Dalam literatur, transformasi Laplace adalah metode yang paling sering digunakan. Aplikasi tr ansformasi Laplace dalam penyelesaian persamaan difusivitas pertama kali dilakukan oleh van Everdingen dan Hurst pada tahun 1949. Skema berikut menggambarkan metodologi aplikasi transformasi Laplace untuk memperoleh solusi persamaan difusivitas.


Real Space

Laplace Space

L

inverse: L-1

Diperoleh Solusi

Selanjutnya, Laplace transform inversion dapat menggunakan cara analitik maupun numerik. Salah satu metode numerik yang paling populer adalah algoritma Stehfest atau GaverStehfest. Namun, metode Laplace transform inversion ini tidak dibahas dalam diktat ini.

Disamping solusi yang menggunakan kondisi batas dalam dan batas luar “umum” seperti tersebut di atas, telah pula dibuat solusi yang menggunakan kondisi batas “khusus” pada dan di sekitar lubang sumur. Kondisi tersebut diantaranya adalah wellbore storage dan efek skin. Efek wellbore storage dimasukkan ke dalam solusi persamaan dengan menggunakan kondisi batas dalam khusus sedangkan faktor fa ktor skin, karena kar ena sifat alaminya, dimasukkan sebagai se bagai fungsi tambahan (additive function) pada kondisi batas dalam. Demikian pula dengan batas luar. Batas luar khusus telah dibuat dan dikembangkan. Salah satu batas luar khusus tersebut yang telah terdokumentasi dalam literatur disebut prescribed flux yang dibuat oleh Doublet dan Blasingame pada tahun 1995 dan prescribed pressure yang dibuat oleh Permadi dan Damargalih pada tahun 2001 (Permadi, A. K. dan Damargalih, Y.: ”Decline Type Curves for Reservoirs with Waterflood or Water Influx Using Prescribed Pressure Models at the Reservoir Outer Boundary,” Jurnal Teknologi Mineral, No.2, Vol.VIII/2001) – lihat Kasus 8 dan Kasus 9 pada solusi analitik eksak yang akan disampaikan pada bagian solusi analitik eksak berikut. Batas luar ini menggambarkan kondisi pada bidang kontak air-minyak jika reservoir berhubungan dengan sebuah aquifer atau reservoir mengalami proses injeksi air (waterflooding). Gambar skematik berikut menunjukkan kasus ini.

Sebenarnya, model analogi seperti halnya sistem aliran aquifer-ke-reservoir dengan sistem aliran reservoir-ke-sumur tersebut dapat terus dikembangkan. Artinya, jika ada reservoir yang dikelilingi oleh aquifer dimana aquifer tersebut juga dikelilingi oleh ”aquifer” lain, maka penyelesaian persamaannya dapat menggunakan analogi yang sama, yaitu menggunakan


model aliran yang ”bertingkat.” Kasus ini dikenal dengan model komposit ( composite model) seperti yang telah dikembangkan oleh Ramey atau oleh Ambastha.

“Finite” Aquifer

Top View:

Legend: Oil-Water flow Water flow

Side View:

r w r a

r e

Solusi analitik terhadap initial boundary value problem untuk aliran satu fasa di dalam media berpori terdokumentasi di dalam literatur dalam dua bentuk pendekatan: 1. Solusi eksak ( exact solution), yaitu dalam bentuk Laplace transform solutions 2. Solusi pendekatan ( approximation solution), misalnya long-time approximation solution.

Solusi Analitik Persamaan Difusivitas

Telah banyak usaha yang dilakukan untuk mendapatkan solusi persamaan difusivitas radial berdasarkan kondisi batas dalam (di lubang sumur) dan kondisi batas luar (di “pinggir” reservoir)

yang

tertentu.

Usaha-usaha

tersebut

terutama

dilakukan

dalam

upaya

pengembangan metode analisis data hasil pressure transient test t est . Untuk mendap atkan solusi analitik persamaan difusivitas, terlebih dahulu persamaan tersebut ditransformasikan k e dalam persamaan dalam bentuk tak berdimensi (dimensionless form) dengan mendefinisikan variabel tak berdimensi (dimensionless variables). Variabel tak berdimensi tersebut didefinisikan berdasarkan keadaan produksi di sumur, yaitu constant rate production case dimana sumur diproduksikan dengan laju produksi yang konstan dan constant pressure case dimana sumur diproduksikan dengan tekanan bawah sumur yang konstan. 1. Variabel tak berdimensi untuk constant rate production case Dimensionless pressure, p D =

kh

α 2 qBμ

( p i − p )


Dimensionless radius, r D

=

r r w

r Dimensionless outer radius, r eD = e r w

Dimensionless time, t D =

α1 kt φμ ct r w 2

Dimensionless wellbore stor storag age coef coeffi fici cien ent, t, CD =

α3 C φh ct r w 2

2. Variabel tak berdimensi untuk constant pressure production case Dimensionless pressure, pD =

pi − p pi − p wf

α2 qBμ Dimensionless rate, q D = kh ( pi − p wf ) Dimensionless cumulative production, Q pD = dimana dan

α3

α1 = 0.006327 jika t

dalam hari atau

tD

B

0

1.119φ c t h r w 2 ( p i − p wf )

∫ q Ddt ' =

α1 = 0.0002637 jika t dalam jam, α 2

Q p = 141.2,

= 0.8936 dalam satuan lapangan.

Dengan menggunakan variabel-variabel tak berdimensi tersebut, persamaan difusivitas kemudian dapat dituliskan dalam bentuk:

∂ ⎛ ∂ p D ⎞ ∂ p D ⎜⎜ r D ⎟⎟ = r D ∂ r D ⎝ ∂ r D ⎠ ∂ t D 1

Kondisi awal dan kondisi batas dituliskan pula dalam bentuk variabel tak berdimensi dengan menggunakan definisi yang sama seperti ditunjukkan berikut ini.

Solusi Analitik Eksak Kasus 1: Infinite Acting Reservoir: Constant Rate Production - Line Source Approximation

Kondisi batas untuk kasus ini adalah:

⎛ ∂ p D ⎞ ⎜⎜ r D ⎟⎟ = −1 , ∂ r ⎝ D ⎠

r D → 0

p D (r D , t D ) = 0 ,

r D → ∞

dan


Solusinya adalah: p D (r D , u ) =

1 u

K 0

(

u r D

)

Kasus 2: Infinite Acting Reservoir: Constant Rate Pr oduction - Cylindrical Source


⎛ ∂ p D ⎞ ⎜⎜ r D ⎟⎟ = −1 , ∂ r D ⎠ ⎝

r D = 1

p D (r D , t D ) = 0 ,

r D → ∞

dan


K 0

u r D

u 3 / 2 K 1

)

( u)

Kasus 3: Closed Outer Boundary: Constant Rate Production


⎛ ∂ p D ⎞ ⎜⎜ r D ⎟⎟ = −1 , ∂ r ⎝ D⎠

r D = 1

dan

⎛ ∂ p D ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ = 0 , ∂ ⎝ r D ⎠

r D = r eD


) + I1 u r eD)K 0 u r D ) u 3 / 2 [I1 ( u r eD )K 1 ( u ) − K 1 ( u r eD )I1 ( u )]

K 1

)

u r eD I 0

u r D

Kasus 4: Constant Pressure Outer Boundary: Constant Rate Production


⎛ ∂ p D ⎞ ⎜⎜ r D ⎟⎟ = −1 , ∂ r D ⎠ ⎝

r D = 1

p D (r D , t D ) = 0 ,

r D = r eD

dan

Solusinya adalah:

)

)

)

) ) ( )]

u r eD K 0 u r D − K 0 u r eD I 0 u r D I p D (r D , u ) = 0 u 3 / 2 K 0 u r eD I1 u + I 0 u r eD K 1 u

[ (

) ( )

(


Kasus 5: Infinite-acting Reservoir: Constant Pressure Production

Untuk kasus constant pressure production definisi dimensionless pressure berbeda dengan definisi dimensionl ess pressure untuk kasus constant rate production. Kondisi batas untuk kasus ini adalah: p D (r D , t D ) = 1 ,

r D = 1

p D (r D , t D ) = 0 ,

r D → ∞

dan


) u K 0 ( u ) u r D

K 0

Kasus 6: Closed Outer Boundary: Constant Pressure Production

K ondisi batas untuk kasus ini adalah: p D (r D , t D ) = 1 ,

r D = 1

dan

⎛ ∂ p D ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ = 0 , r D = r eD ∂ r ⎝ D ⎠ Solusinya adalah: p D (r D , u ) =

)

) + I1 u r eD)K 0 u r D ) u [K 1 ( u r eD )I 0 ( u ) + I1 ( u r eD )K 0 ( u )] u r eD I 0

K 1

u r D

Kasus 7: Constant Pressure Outer Boundary: Constant Pressure Production

Kondisi batas untuk kasus ini ini adalah: lah: p D (r D , t D ) = 1 ,

r D = 1

p D (r D , t D ) = 0 ,

r D = r eD

dan


)

) ) ( )

)

u r eD I 0 u r D − I 0 u r eD K 0 u r D u K 0 u r eD I 0 u − K 0 u I 0 u r eD

K 0

[ (

( ) (

)]

)

Kasus 8: Pr escribed Flux Outer Boundary: Constant Rate Production

Kondi ondisi si bata batass dal dalam am (in (inner boun bounda dar r y condition) untuk kasus ini adalah:

⎛ ∂ p D ⎞ ⎜⎜ r D ⎟⎟ = −1 , r D = 1 ∂ r D ⎠ ⎝


dan kondisi batas luar (outer boundary condition) didefinisikan sebagai:

⎛ ∂ p D ⎞ ⎜⎜ r D ⎟⎟ = q Dext (t D ) , r D = r eD ∂ r D ⎠ ⎝ Doublet dan Blasingame menggunakan salah satu dari definisi berikut untuk formulasi flux model:

(a) Step-function rate: q Dext (t D ) = − q Dext , ∞ U(t D − t Dstart )

(b) Ramp-function rate: q Dext (t D ) = − q Dext , ∞ [1 − exp(− t D / t Dstart )]

Solusinya adalah:

(

) (

)

(

) ( ) ) ( ) ( ) ( )] [ ( 1 K ( u r D )I1 ( u ) + I 0 ( u r D )K 1 ( u ) q Dext (u ) 0 [I1 ( u r eD)K 1 ( u ) − K 1 ( u r eD )I1 ( u )] u r eD

u r eD K 0 u r D + K 1 u r eD I 0 u r D I p D (r D , u ) = 1 3/ 2 u I1 u r eD K 1 u − K 1 u r eD I1 u

+

Kasus 9: Prescribed Pressure Outer Boundary: Constant Rate Production

Kondisi batas dalam (inner boundary condition) untuk kasus ini adalah:

⎛ ∂ p D ⎞ ⎜⎜ r D ⎟⎟ = −1 , r D = 1 ∂ r D ⎠ ⎝ sedangkan kondisi batas luar (outer boundary condition) didefinisikan sebagai: p D (r D , t D ) = p Dext (t D ) ,

r D = r eD

dimana tekanan tak berdimensi dapat dimodelkan oleh sembarang fungsi, misalnya, menggunakan ide Doublet dan Blasingame, fungsi berikut dapat digunak an: (a) Step-function pressure: p Dext (t D ) = − p Dext , ∞ U(t D − t Dstart )

(b) Ramp-function pressure: p Dext (t D ) = − p Dext , ∞ [1 − ex p(− t D / t Dstart )]

Solusinya adalah:

)

)

)

) [ ( ) ( ) ( ) ( )] u r D )K 1 u ) + K 0 u r D )I1 u ) + p Dext (u ) I 0 [I 0 ( u r eD)K 1 ( u ) + K 0 ( u r eD )I1 ( u )]

u r eD K 0 u r D − K 0 u r eD I 0 u r D I p D (r D , u ) = 0 3/ 2 u I 0 u r eD K 1 u + K 0 u r eD I1 u


Catatan: Semua solusi anali tik eksak yang dipaparkan di atas, mengandung fungsi khusus yang disebut modified Bessel function. Sebagai contoh, tinjau line-source solution dalam Kasus 1: P D (r D , u ) =

1 u

K 0 ( u , r D )

Solusi berbentuk berbentuk dimensionless dimensionless dalam Laplace Laplace space tersebut tersebut mempuny mempuny ai variable Laplace Laplace = u. Dalam persamaan tersebut, K 0 adalah modified Bessel function jenis ke-2, orde ke-0. Modified Bessel function ini (dan juga fungsi Bessel) dapat dijelaskan secara ringkas sebagai berikut.

Fungsi Bessel muncul sebagai solusi da dari persamaan diferensial 2 x y

''

+ x y ' + ( x 2 − n 2) y = 0 ;

n

≥0 2

dimana jika n = 0 dan persamaan dibagi dengan x , maka y

''

1

+ y' + y = 0 x

atau jika ditulis dengan cara lain

∂ 2 y + 1 ∂y + y = 0 ∂ x 2 x ∂x Persamaan di atas disebut dengan persamaan diferensial Bessel. Solusi persamaan tersebut adalah

y = c1 J n ( x ) + c 2 Y n ( x ) dimana J n ( x ) = Fungsi Bessel jenis pertama, orde ke-n Y n ( x ) = Fungsi Bessel jenis kedua, orde ke-n. Bentuk fungsi-fungsi tersebut adalah sebagai berikut:

∞ ∞ ( −1) r ( x / 2) n + 2r , dengan fungsi gamma, Γ( n ) = ∫ x n −1 e − x dx J n (x) = ∑ r = 0 r !Γ ( n + r + 1) 0

⎧ J n ( x ) cos nπ − J − n ( x ) , n ≠ 0,1, 2,... ⎪ sin n π ⎪⎪ Y n (x) = ⎨ ⎪ J p ( x ) cos pπ − J − p ( x ) , n = 0,1, 2,... ⎪ lim sin pπ ⎪⎩ p → n Jika x diubah menjadi λx, dimana λ adalah suatu konstanta sehingga


η = λ2 x2 − n2 maka persamaan diferensial Bessel menjadi x2y

''

+ x y ' + (λ 2 x 2 − n 2) y = 0

Solusi persamaan tersebut adalah: y = c1 J n (λx ) + c 2 Y n (λx ) dengan catatan bahwa jika n bukan bilangan bulat (integer) maka solusi persamaan di atas adalah y = A J n (x) + B J − n (x) , n

≠ 0,1, 2,...

Bentuk persamaan diferensial yang lain akan mendefinisikan fungsi Bessel yang lain pula. Dalam hal ini persamaannya adalah: x2y

''

+ x y ' − ( x 2 + n 2) y = 0

Solusi dari persamaan tersebut adalah y = c1 I n ( x ) + c 2 K n ( x ) y = A I n (x) + B I − n (x) , n

≠ 0,1, 2,...

dimana I n ( x ) = Fungsi Modified Bessel jenis pertama, orde ke-n K n ( x ) = Fungsi Modified Bessel jenis kedua, orde ke-n. Bentuk fungsi-fung fungsi-fungsi si tersebut adalah sebagai berikut: berikut: I n (x) = i

− n J (ix ) = e − nπi / 2 J (ix ) , i adalah unit imajiner, bilangan kompleks n n

⎧ π ⎡ I − n (x) − I n (x) ⎤ ⎪ ⎢ ⎥, n ≠ 0,1, 2,... sin nπ ⎪⎪ 2 ⎣ ⎦ K n ( x ) = ⎨ ⎪ π ⎡ I − p ( x ) − I p ( x ) ⎤ ⎪ lim ⎢ ⎥, n = 0,1, 2,... sin pπ ⎪⎩ p → n 2 ⎣ ⎦ Solusi van Everdingen-Hurst van Everdingen dan Hurst telah mempublikasikan solusi terhadap persamaan difusivitas dengan menggunakan transformasi Laplace untuk beberapa kasus atau kombinasi batas dalam dan batas luar seperti dijelaskan di atas. Kasus-kasus tersebut di antaranya sangat penting dalam aplikasi teknik reservoir. Di dalam literatur, seringkali solusi untuk kasus-kasus tersebut disebut dengan solusi van Everdingen-Hurst. Disamping untuk kasus-kasus infiniteacting reservoir yang banyak diaplikasikan dalam pressure transient testing data analysis


(yaitu Kasus 1 dan Kasus 2) yang akan dibahas pada bagian Solusi Analitik Pendekatan, tiga kasus lain yang paling banyak aplikasinya adalah: 1. Kasus 3: Bounded (no-flow) outer boundary: constant rate production 2. Kasus 4: Constant pressure outer boundary: constant rate production 3. Kasus 6: Bounded (no-flow) outer boundary: constant pressure production.

Aplikasi Solusi Kasus Kasus 3 – Bounded Bounded (no-flow) outer outer boundary: boundary: constant rate production

Solusi persamaan difusivitas dalam bentuk Laplace transform untuk kasus ini adalah: p D (r D , u ) =

)

) + I1 u r eD)K 0 u r D ) u 3 / 2 [I1 ( u r eD )K 1 ( u ) − K 1 ( u r eD )I1 ( u )] u r eD I 0

K 1

u r D

Menurut Matthews dan Russel, inversi dari bentuk Laplace transform tersebut dapat dibagi dua yaitu inverse solusi untuk harga t D yang besar dan untuk harga tD yang kecil, yang masing-masing dapat dituliskan sebagai berikut: Untuk harga t D yang besar: 2 4 − 4 4 ln 2 −1 2 ⎡ r D ⎤ r eD 3 r eD r eD r eD − 2 r eD ln r D − Δ p D = 2 ⎢ + t D⎥ − 2 2 −1) 2 r eD − 1 ⎢⎣ 4 ⎥⎦ r eD − 1 4 (r eD

2

Sedangkan untuk harga t D yang kecil (perhatikan ruas-ruas dalam persamaan di atas yang akan berharga nol pada harga t D yang besar): 2 ⎧⎪ 2 ⎡ r 2 ⎤ r eD D p( r , t ) = p i − ln r D − ⎢ + t D⎥ − 2 ⎨ 2πkh ⎪ r 2 − 1 ⎢ 4 1 − r ⎥ ⎦ eD ⎩ eD ⎣

qμ

4 − 4 4 ln 2 3 r eD r eD r eD − 2 r eD − 1 2 −1) 4 (r eD

2

+

∞ e − α n t D J12 (α n r eD)[J1 (α n ) Y 0 (α n r D) − Y1 (α n ) J 0 (α n r D)] ⎫ ⎪ 2

π∑

α n [J12 (α n r eD) − J12 (α n)]

n =1

⎬ ⎪⎭

dimana αn adalah akar-akar dari persamaan karakteristik: J1 (α n r eD) Y1 (α n ) − J1 (α n ) Y1 (α n r eD) = 0 Untuk menghitung tekanan pada r D = 1 atau r = r w, yang artinya di sumur, maka diperoleh: 2 2 ⎫⎪ ⎧⎪ 2 t D ∞ e − α n t D J1 (α n r eD) 3 p( r w , t ) = p i − ⎨ 2 + ln r eD − + 2 ∑ 2 2 ⎬ 2( 2πkh ⎪ r eD 4 [ ( ) )] − n 1 = J J α α α r eD n n n ⎪⎭ ⎩ 1 1

qμ

Persamaan ini biasa disebut sebagai van Everdingen-Hurst constant-terminal-rate solution.


Dengan demikian, persamaan di atas dapat digunakan untuk menghitung tekanan di sumur (pwf ) jika deret infinite dari fungsi eksponensial dan fungsi Bessel dapat ditentukan. Untuk itu, digunakan cara tabulasi yang berupa harga p D pada berbagai harga tD untuk beberapa harga r eD eD. Dalam literatur, tabulasi tersebut dibagi ke dalam dua kelompok masing-masing p D = f(tD) untuk interval harga tD

≤

2 (untuk finite 1000 (untuk infinite acting) dan t D < 0.25 r eD

reservo reservoir) ir) dan dan pD = f(t f(tD) untuk untuk interva intervall harga harga 1.5 < reD < 10. 10. Tabel Tabel beriku berikutt adalah adalah tabula tabulasi si harga pD terhadap tD untuk kelompok pertama. Perlu dicatat di sini bahwa tabel tersebut berlaku pula untuk menghitung water influx dari aquifer dengan menggunakan analogi aliran dari aquifer menuju reservoir sebagai aliran dari reservoir menuju sumur dimana reservo ir sebagai sumur dengan radius r w dan aquifer sebagai reservoir dengan radius r e. Hal ini akan dibahas lebih lanjut pada Bab IX.

Tabel: pD vs. tD – Sistem Infinite Radial, Constant Rate Production tD 0 0.0005 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1

pD 0 0.0250 0.0352 0.0495 0.0603 0.0694 0.0774 0.0845 0.0911 0.0971 0.1028 0.1081 0.1312 0.1503 0.1669 0.1818 0.2077 0.2301 0.2500 0.2680 0.2845 0.2999 0.3144

tD 0.15 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.2 1.4 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0 15.0 20.0 30.0 40.0 50.0

pD 0.3750 0.4241 0.5024 0.5645 0.6167 0.6622 0.7024 0.7387 0.7716 0.8019 0.8672 0.9160 1.0195 1.1665 1.2750 1.3625 1.4362 1.4997 1.5557 1.6057 1.6509 1.8294 1.9601 2.1470 2.2824 2.3884

tD 60.0 70.0 80.0 90.0 100.0 150.0 200.0 250.0 300.0 350.0 400.0 450.0 500.0 550. 0 600.0 650.0 700.0 750.0 800.0 850.0 900.0 950.0 100.0

pD 2.4758 2.5501 2.6147 2.6718 2.7233 2.9212 3.0636 3.1726 3.2630 3.3394 3.4057 3.4641 3.5164 3.5643 3.6076 3.6476 3.6842 3.7184 3.7505 3.7805 3.8088 3.8355 3.8584

Untuk tD < 0.01, p D ≈ 2 t D / π 2 , p ≈ 0.5 (ln t + 0.80907) Untuk 100 < tD < 0.25 r eD D D


Aplikasi Solusi Kasus Kasus 4 – Constant pressure pressure outer outer boundary: boundary: constant rate production

Solusi persamaan difusivitas dalam bentuk Laplace transform untuk kasus ini adalah:

(

) (

)

(

) ( ) ) ( )]

u r eD K 0 u r D − K 0 u r eD I 0 u r D I p D (r D , u ) = 0 u 3 / 2 K 0 u r eD I1 u + I 0 u r eD K 1 u

[ (

) ( )

(

Dengan menggunakan cara yang sama seperti pada K asus 3, M atthews dan Russell yang mengikuti Carslaw dan Jaeger mendapatkan:

⎫ ⎪ {ln r eD −2 ∑ 2 p( r w , t ) = p i − ⎬ 2 (β 2πkh )] n =1 β n [J12 (β n ) − J 0 n r eD ⎪ ⎭ qμ

∞

2

e − βn t D J 0 (β n r eD) 2

dimana βn adalah akar-akar dari persamaan karakteristik: J1 (β n ) Y 0 (β n r eD) − Y1 (β n ) J 0 (β n r eD) = 0 Lagi, Lagi, jika jika deret deret infin infinite ite dari dari fungs fungsii ekspon eksponens ensial ial dan dan fungsi fungsi Besse Bessell dapat dapat diten ditentuk tukaan yang biasanya dilakukan secara implisit dengan menggunakan cara tabulasi yang berupa harga p D pada berbagai harga tD untuk beberapa harga r eD eD, maka p wf dapat dihitung.

Aplikasi Solusi Kasus Kasus 6: Bounded (no-flow) outer boundary: constant pressure production

Untuk kasus ini, maka tekanan di sumur berharga konstan. Sedangkan tekanan pada r D

≠

1

dapat ditentukan dengan menggunakan solusi seperti disajikan di atas. Dalam literatur disajikan cara dengan maenggunakan tabulasi seperti telah dibahas pada dua kasus sebelumnya. Tabulasi tersebut berupa Q pD vs. tD untuk ber bagai harga r eD eD.

Solusi Analitik Pendekatan Mendapatkan dan/atau menggunakan solusi analitik eksak dari persamaan difusivitas, umumnya bersifat kompleks. Karena itu, akan jauh lebih sederhana jika diambil solusi pendekatan (aproksimasi). Solusi pendekatan yang dimaksud di sini pada dasarnya adalah sebagai penyederhanaan terhadap solusi eksak yang dikembangkan menurut periode alir an tertentu di reservoir. Dengan menetapkan periode aliran maka kondisi aliran di reservoir dapat didefinisikan terlebih dahulu untuk kemudian dirumuskan solusi persamaan difusivitas yang berlaku khusus pada periode yang sudah didefinisikan. Periode aliran tersebut yang banyak aplikasinya dalam teknik reservoir, khususnya dalam analisis data well testing adalah: • Periode aliran transient • Periode aliran pseudosteady state • Periode aliran steady state.


1) Periode Transient

Periode aliran ini terjadi pada saat-saat awal produksi ketika efek batas luar reservoir belum terasa di sumur dan dengan demikian reservoir berperilaku seperti halnya tidak ada batas (reservoir bersifat infinite-acting). Karena itu, p = pi pada r → ∞ Jika sumur berproduksi pada laju konstan, maka: q

= −0.001127

kh

μB

(2πr )

∂ p ∂r

pada r = r w

Pada waktu awal, selalu dianggap tekanan sama dengan tekanan awal: p = pi pada t = 0. Solusi eksak terhadap init ial boundary value problem ini telah dapat diperoleh seperti ditunjukkan di atas . Jika dilakukan inversi secara analitik dari solusi Laplace transformnya maka diperoleh:

⎛ − r D 2 ⎞ ⎟ p D = − Ei⎜ ⎜ ⎟ 2 ⎝ 4 t D ⎠ 1

atau dalam variabel lapangan (berdimensi), solusi tersebut adalah: p( r , t ) = p i −

70.6 qμ B ⎡ kh

⎛ φ μ c t r 2 ⎞⎤ ⎟⎥ ⎢− Ei⎜ − ⎜ 0.00105 k t ⎟⎥ ⎢⎣ ⎝ ⎠⎦

(5)

atau sering pula ditulis sebagai p( r , t ) = p i +

70.6 qμ B ⎡ kh

⎛ 948 φ μ c t r 2 ⎞⎤ ⎟⎥ ⎢Ei⎜ − ⎜ ⎟ k t ⎢⎣ ⎝ ⎠⎥⎦

(5x)

dimana Ei(-x) = fungsi exponential integral dari (-x) yang didefinisikan sebagai berikut:

∞ e − u du

Ei( − x ) = − ∫

x

u

x

x2

1!

2( 2 ! )

= ln x − +

−

x3 3(3!)

+

x4 4( 4!)

−

K

Secara kualitatif sifat integral ini dapat dijelaskan oleh gambar berikut. Gambar (a) dan (b) menunjukkan kurva dari kedua komponen dalam integrand yaitu masing-masing kurva e-u (Gambar a) dan 1/u (Gambar b). Hasil perkalian kedua fungsi tersebut ditunjukkan oleh Gambar (c) yaitu kurva e -u/u. Integral dari kurva pada Gambar (c) tersebut yang dievaluasi antara x dan

∞

ditunjukkan oleh Gambar (d), yang berbentuk

sama dengan kurva Gambar (c). Oleh karena itu, untuk harga x yang kecil, maka Ei(x) mempunyai harga yang besar, karena harga f ungsi integral tersebut merupakan harga luas daerah di bawah kurva seperti terlihat pada bagian yang diarsir pada Gambar (c).


Sebaliknya, harga Ei(x) kecil untuk harga x yang besar. Fungsi Ei(x) biasanya diplot dalam skala log-log seperti ditunjukkan secara skematik pada gambar berikutnya. (a)

(c)

(b)

− e u

1

×

=

u

− e u u

u=x

u

u

u (d)

Ei( x ) =

∞ e −u

∫

x u

du

x Selain diplot dengan menggunakan skala log-log, fungsi exponential integral juga sering disajikan dalam bentuk tabulasi. Berikut adalah contoh tabel harga fungsi Ei untuk harga x antara 0.000 dan 0.209 dengan interval 0.001. x 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.10 0.11 0.12 0.13 0.14 0.15 0.16 0.17 0.18 0.19 0.20

0 +∞ 4.038 3.355 2.959 2.681 2.468 2.295 2.151 2.027 1.919 1.823 1.737 1.660 1.589 1.524 1.464 1.409 1. 1.358 1.31 1.310 0 1.265 1.223

1 6.332 3.944 3.307 2.927 2.658 2.449 2.279 2.138 2.015 1.909 1.814 1.729 1.652 1.582 1.518 1.459 1.404 1.353 1.305 1.305 1.261 1.219

2 5.639 3.858 3.261 2.897 2.634 2.431 2.264 2.125 2.004 1.899 1.805 1.721 1.645 1.576 1.512 1.453 1.399 1. 348 1.30 1.301 1 1.256 1.215

3 5.235 3.779 3.218 2.867 2.612 2.413 2.249 2.112 1.993 1.889 1.796 1.713 1.638 1.569 1.506 1.447 1.393 1.343 1.296 1.296 1.252 1.210

4 4.948 3.705 3.705 3.176 3.176 2.838 2.838 2.590 2.590 2.395 2.395 2.235 2.235 2.099 2.099 1.982 1.982 1.879 1.879 1.788 1.788 1.705 1.705 1.631 1.631 1.562 1.562 1.500 1.500 1.442 1.442 1.388 1.388 1.338 1.291 1.291 1.248 1.248 1.206 1.206

5 4.726 3.637 3.137 2.810 2.568 2.377 2.220 2.087 1.971 1.869 1.779 1.697 1.623 1.556 1.494 1.436 1.383 1. 333 1.28 1.287 7 1.243 1.202

6 4.545 3.574 3.098 2.783 2.547 2.360 2.206 2.074 1.960 1.860 1.770 1.689 1.616 1.549 1.488 1.431 1.378 1.329 1.282 1.282 1.239 1.198

7 4.392 3.514 3.062 2.756 2.527 2.344 2.192 2.062 1.950 1.850 1.762 1.682 1.609 1.543 1.482 1.425 1.373 1.324 1.278 1.278 1.325 1.195

8 4.259 3.458 3.026 2.731 2.507 2.327 2.178 2.050 1.939 1.841 1.754 1.674 1.603 1.537 1.476 1.420 1.368 1.319 1.27 1.274 4 1.231 1.191

9 4.142 3.405 3.405 2.992 2.992 2.706 2.706 2.487 2.487 2.311 2.311 2.164 2.164 2.039 2.039 1.929 1.929 1.832 1.832 1.745 1.745 1.667 1.667 1.596 1.596 1.530 1.530 1.470 1.470 1.415 1.415 1.363 1.363 1.314 1.269 1.269 1.227 1.227 1.187 1.187


0.1

1

10

10

Ei(x) 1

0.01 -ln(γx)

Ei(x)

x→0 mak a Ei(x)∼-ln(γx)=-ln(x)-0.5772

0.001 0.001

0.01

0. 1

1

0.1

*)Skala hanya ilustr strasi

Jika diperhatikan, terlihat pada gambar log-log plot di atas, bahwa untuk harga argumen x yang kecil (yaitu x < 0.01) maka Ei(x) dapat didekati oleh harga logaritmik, yaitu: Ei(x) ≈ - ln (γx) = -ln (x) - ln ( γ) = -ln (x) – 0.5772 dimana angka 0.5772 merupakan konstanta Euler. Harga exponential dari konstanta Euler ini adalah:

γ

= e 0.5772 = 1.781

Sehingga berdasarkan definisi: Ei(x) = - Ei(-x) maka: -Ei(-x) ≈ - ln (x) – 0.5772 Sehingga solusi eksaknya dalam real space menjadi: p D =

1 2

⎛ 4 t D ⎞ ⎟ 2 ⎜ γ ⎟ ⎝ e r D ⎠

ln⎜

Atau dalam variabel lapangan dengan mengganti p D, tD, dan r D, persamaan tersebut menjadi (lihat juga Persamaan (5) jika fungsi Ei diganti oleh fungsi ln): p( r , t ) = p i −

70.6 qμ B ⎡ kh

⎤ ⎛ φ μ c t r 2 ⎞ ⎟ − 0.5772 ⎥ ⎢− ln⎜ ⎜ 0.00105 k t ⎟ ⎢⎣ ⎝ ⎥⎦ ⎠

(5a)

Karena ln (x) = 2.303 log (x) 70.6 x 2.303 = 162.6 Teori dan Aplikasi Persamaan Difusivitas, hal. 25

maka jika fungsi ln diganti dengan fungsi log diperoleh: p( r , t ) = p i +

162.6qμ B ⎡

1688 φ μ c t r 2 ⎤

kh

kt

⎢log ⎢⎣

Karena log (1688) = 3.227 p( r , t ) = p i −

⎥ ⎥⎦

≈ 3.23, maka diperoleh:

162.6 qμ B ⎡ ⎛ kt ⎢log⎜ kh ⎢ ⎜ φ μ c r 2

⎣

⎝

t

⎤ ⎞ ⎟ − 3.23⎥ ⎟ ⎥⎦ ⎠

(6)

Perlu dicatat bahwa 0.5772 = ln (1.781) 1.781/0.00105 = 1696.1 9 log (1696.19) = 3.229.

Persamaan (5) dan persamaan lainnya yang diperoleh dengan menggunakan pendekatan logaritmik terhadap Ei-function, yaitu Persamaan (5a) dan (6) dapat digunakan untuk menghitung pressure drop (p i – p) pada tiap titik di reservoir termasuk di lokasi sumur (r = r w). Persamaan (6) merupakan basis untuk analisis data transient well testing karena pada lubang sumur (r = r w) pendekatan logarithmic terhadap Ei-function (yaitu untuk argumen Ei-function yang berharga kecil) berlaku.

Perlu dica dicata tatt di di sin sinii bah bahw wa: (1) Cylindrical source solution tidak dapat diinversikan secara langsung sehingga untuk menghitungnya diperlukan metode integrasi numerik dan pendekatan (aproksimasi), (2) Long time approximation terhadap cylindrical source solution diperoleh dengan menggunakan sifat-sifat modified Bessel function untuk argumen yang kecil yang ternyata ekivalen dengan pendekatan logaritmik persamaan di atas, yaitu line-source solution.

Dalam hal yang kedua, persamaan tersebut adalah: p D (r D , t D ) =

⎞ 1 ⎛ ⎜ ln t D − 0.80907 ⎟ ⎟ 2 ⎜ r 2 ⎝

D

⎠

Dengan demikian, line source solution merupakan pendekatan terhadap cylindrical source solution yang lebih umum sehingga line source solution mempunyai batasan-

batasan dalam penerapannya. Tabel berikut menunjukkan ringkasan solusi untuk constant rate production case, reservoir infinite acting serta batasan-batasan yang dimilikinya.


Tabel — Solusi untuk constant rate, reservoir infinite-acting Berlaku untuk

p D (r D , t D ) solution

Kasus Cylindrical-source solution

L-1

⎡ K 0 ( u r D ) ⎤ ⎢ 3/ 2 ⎥ ⎢⎣ u K 1 ( u )⎥⎦

all t D

⎛ − r D 2 ⎞ ⎟ − Ei⎜ ⎜ ⎟ 2 ⎝ 4 t D ⎠

tD

1

Line-source solution Log-approximation of Line-source solution

1 2

r D

⎛ 4 t D ⎞ ⎟ ⎜ e γ r 2 ⎟ ⎝ D ⎠

2

tD

ln⎜

r D

2

> 10 > 25

Contoh 1: Menghitung M enghitung Tekanan Dengan Solusi Ei-Function Contoh ini diambil dari Craft dan Hawkins hal. 238. Dalam suatu reservoir, minyak mengalir ke sebuah sumur yang berproduksi 200 STB/day. Jika bbl/STB, k = 100 md, h = 15 ft, c t = 15x10-6 psi-1,

μo = 0.72 cp, B o = 1.475

φ = 23.4%, dan p i = 3000 psia, hitung

tekanan pada radius 1000 ft setelah sumur berproduksi selama 10 hari.

Penyelesaian: Dengan menggunakan Persamaan (5), yaitu p( r , t ) = p i −

70.6 qμ B ⎡ kh

⎛ φ μ c t r 2 ⎞⎤ ⎟⎥ ⎢− Ei⎜ − ⎜ 0.00105 k t ⎟⎥ ⎢⎣ ⎝ ⎠⎦

maka pada r = 1000 ft dan t = 10 hari p = 3000 −

70.6( 200)(0.72)(1.475) ⎡ (100)(15)

⎛ (0.234)(0.72)(15) (10) − 6 (1000 ) 2 ⎞⎤ ⎟⎥ ⎢− Ei⎜ − ⎜ ⎢⎣ ⎝ 0.00105(100)(10)(24 jam / hari) ⎠⎟⎥⎦

p = 3000 + 10.0 Ei(-0.10) Ei(-0.10) Dari tabel harga Ei diperoleh Ei(-0.10) = - 1.823, sehingga p = 3000 + 10.0(-1.82) 10.0(-1.82) = 2981.8 psia.

Contoh 2: Menghitung Distribusi Tekanan D engan Solusi Ei-Function Untuk contoh di atas, hitung distribusi tekanan, yaitu tekanan pada setiap titik di reservoir pada t = 10 hari. Kemudian hitung hal yang sama untuk t = 0.1 hari, t = 1.0 hari, dan t = 100 hari. Plot distribusi tekanan tersebut.


Penyelesaian: Dengan menggunakan cara yang sama seperti contoh di atas untuk berbagai harga radius dan waktu seperti yang diminta, maka diperoleh tabel dan plot tekanan terhadap radius seperti ditunjukkan berikut dengan catatan: 1. Kurva pada gambar tersebut berturut-turut dari yang paling atas sampai yang paling bawah adalah untuk t = 0.1 hari, hari, t = 1.0 hari, t = 10 hari, dan t = 100 hari. 2. Perhitungan untuk harga r yang kecil jika t besar menggunakan pendekatan logaritmik sedangkan untuk harga r yang besar jika harga t kecil tidak dapat dilakukan karena keterbatasan harga fungsi Ei dalam tabel untuk argumen-argumen tersebut.

Tabel: Hasil Perhitungan Distribusi Tekanan: r (ft)

t = 0.1 days Ei(-x) p (psia)

1

10.933

10




2890.70 13.235

2867.69 15.538

2844.67 17.841

28 2821.65

6.332

2936.70

8.6 8.630

2913.72 10.933

2890.70 13.235

2867.69

100

1.823

2981.78

4. 4.038

2959.63

6.332

2936.70

8.630

2913.72

300

0.260

2997.40

1. 1.919

2980.82

4.142

2958.59

6.332

2936.70

600

6.2e-3

2999.94

0.774

2992.26

2.783

2972.18

4.948

2950.54

1000

4. 4.2e-6

3000.00

0.219

2997.81

1.823

2981.78

4.038

2959.63

3000

-

-

1.2e-5

3000.00

0.260

2997.40

1.919

2980.81

6000

-

-

-

-

6.2e-3

2999.94

0.774

2992.26

10000

-

-

-

-

4.2e-6

3000.00

0.219

2997.81

Distribusi Tekanan 3000

2950

a i s p , n a2900 n a k e T

t = 0.1 hari t = 1.0 hari

2850

t = 10 hari t = 100 hari

2800 1

10

100 1000 Jarak radial, feet

10000


Persamaan (5x) menjadi lebih berarti dalam aplikasinya, khususnya dalam analisis data well testing, jika kita memasukkan efek skin. Karena sifatnya additive dalam hal pressure drop di sumur, yaitu pada r = r w, maka jika efek skin dimasukkan dalam pressure drop: p i − p wf = −

70.6 qμ B ⎡

⎛ 948 φ μ c t r w 2 ⎞⎤ ⎟⎥ ⎢Ei⎜⎜ − ⎟ k t ⎠⎦⎥ ⎣⎢ ⎝

kh

+ ( Δ p) s

(5x)

dimana ( Δ p) s adalah pressure drop tambahan akibat skin, yaitu perbedaan antara pwf ideal dan pwf real, yang menurut van Everdingen-Hurst dapat dimodelkan dengan persamaan steady state aliran radial: ( Δ p) s =

=

141.2qBμ k s h

⎛ r ⎞ 141.2qBμ ⎛ r d ⎞ ⎟⎟ ln⎜⎜ d ⎟⎟ − ln⎜⎜ r kh r ⎝ w ⎠ ⎝ w ⎠

141.2qBμ ⎛ k

⎞ ⎛ r ⎞ ⎜⎜ − 1⎟⎟ ln⎜⎜ d ⎟⎟ ⎝ k s ⎠ ⎝ r w ⎠

kh

Jika

⎛ k

s = ⎜⎜

⎝ k s

⎞ ⎛ r ⎞ − 1⎟⎟ ln⎜⎜ d ⎟⎟ ⎠ ⎝ r w ⎠

yang dikenal sebagai Hawkins formula untuk menghitung skin faktor, s, maka ( Δ p) s

=

141.2qBμ kh

s

(5y)

pwf (Δ p)s

ideal ideal

k

k s p r

f real real

r d

Oleh karena itu: p i − p wf =

=

−

−

70.6 qμ B ⎡ kh

⎛ 948 φ μ c t r w 2 ⎞⎤ ⎟⎥ ⎢Ei⎜⎜ − ⎟⎥ k t ⎠⎦ ⎣⎢ ⎝

70.6 qμ B ⎡ kh

+

141.2qBμ

⎤ ⎛ 948 φ μ c t r w 2 ⎞ ⎟ − 2s ⎥ ⎢Ei⎜⎜ − ⎟ k t ⎢⎣ ⎝ ⎥⎦ ⎠

kh

s

(5z)

Dalam kasus seperti ini, dimana untuk r = r w argument fungsi Ei cukup kecil setelah waktu produksi yang pendek, maka pendekatan logaritmik dapat dipakai sehingga


⎤ 70.6 qμ B ⎡ ⎛ 1688 φ μ c t r w 2 ⎞ ⎜ ⎟ ln 2 s − p i − p wf = − ⎢ ⎜ ⎥ ⎟ kh k t ⎢⎣ ⎝ ⎥⎦ ⎠

(5w)

2) Periode Pseudosteady State

Aliran pseudosteady-state terjadi ketika semua batas reservoir pada closed reservoir system sudah “terasa” yaitu gangguan akibat aktivitas produksi sudah sampai di batas reservoir. Oleh karenanya, kondisi ini dicapai pada t yang cukup besar. Kondisi pseudosteady state ini terkait dengan keadaan reservoir terbatas (finite-bounded), yaitu mempunyai kondisi tidak ada aliran (no-flow outer boundary condition) dan sumur berproduksi dengan laju alir konstan. Jadi, kasus pseudosteady pseudosteady state terjadi jika: Kondisi batas luar berupa no-flow, yaitu:

∂ p ∂t

= konstan

∂ p ∂r

= 0, pada r = r e

→

no-flow

Untuk kasus ini, solusi eksaknya telah dibuat dan inversi solusi Laplace-nya diperoleh sebagai berikut:

⎛ r D 2 ⎞ r eD 2 ln r D 3 r eD 4 − 4 r eD 4 ln r eD − 2 r eD 2 − 1 ⎜ + tD⎟ − − p D (r D , t D ) = 2 2 2 ⎜ ⎟ 4 r eD − 1 ⎝ 4 r eD 2 −1 ⎠ r eD − 1 2

(

∞ e −β n

+π ∑

n =1

2

tD J 2 1

)

(β n r eD )[J1 (β n )Y 0 (β n r D) − Y1(β n ) J 0 (β n r D)] β n [J12 (β n r eD ) − J12 (β n )]

dimana J0 dan J1 masing-masing adalah fungsi Bessel jenis pertama orde nol dan orde pertama dan Y0 dan Y1 masing-masing adalah fungsi Bessel jenis kedua orde nol dan orde pertama dan

βn

adalah akar dari suatu persamaan karakteristik. Untuk kasus ini

persamaan karakteristik tersebut adalah: Y1 (β n ) J1 (β n r eD ) − J1 (β n ) Y1(β n r eD ) = 0 Karena aliran pseudosteady-state terjadi pada masa produksi yang sudah lama (pada harga t yang besar) maka solusi pendekatan dapat diperoleh dengan membuang suku penjumlahan, yang mendekati nol jika harga t besar, besar, sehingga:

⎛ r D 2 ⎞ r eD 2 ln r D 3 r eD 4 − 4 r eD 4 ln r eD − 2 r eD 2 − 1 ⎜ + tD⎟ − − p D (r D , t D ) = 2 2 2 ⎜ ⎟ 4 r eD − 1 ⎝ 4 r eD 2 −1 ⎠ r eD − 1 2

(

)


Pada lubang sumur, dimana r eD >> 1 , persamaan tersebut menjadi: p D (1, t D ) =

2 tD

3

r eD

4

+ ln r eD − 2

atau dapat pula ditulis sebagai: p D (1, t D ) = 2π t AD + ln r eD −

3 4

jika variabel waktu tak berdimensi berdasarkan drainage area, tAD, didefinisikan sebagai berikut: t AD =

α1 kt φμ ct π r e2

Dalam bentuk variabel lapangan dengan mengganti p D, tD, dan r D, persamaan tersebut ditulis sebagai berikut: p wf = p i − 141.2

qBμ ⎡ 2 t D kh

3⎤

⎢ 2 + ln r eD − ⎥ 4⎥ ⎢⎣ r eD ⎦

atau p wf = p i − 141.2

qBμ ⎡ 0.000527 kt kh

3⎤ r ln e − ⎥ + ⎢ r w 4 ⎥⎦ ⎢⎣ φμ c t r e 2

(6a)

Jika Persamaan (6a) di atas didiferensiasi terhadap waktu (selama periode pseudosteady state), maka

∂ p wf 0.0744qB =− ∂t φ c t hr e 2 Karena volume pori batuan yang terisi liquid dalam cuft, adalah 2

V p = π r e hφ maka

∂ p wf 0.2337 qB =− ∂t c t V p Jadi, selama periode pseudosteady state, laju penurunan tekanan berbanding terbalik dengan volume pori (yang terisi fluida). Hasil ini memberikan cara dan metodologi analisis terhadap data hasil pengujian yang disebut dengan reservoir limit testing untuk menentukan ukuran reservoir.


Selanjutnya, di atas sudah disebutkan bahwa respons tekanan tergantung pada bentuk dan ukuran reservoir. Dengan prinsip tersebut, Matthew, Brons dan Hazebroek, serta Dietz, memperoleh persamaan: p wf = p i −

162.6 q B μ kh

⎡

⎤ 0.2339 q Bt ⎥− 2 A h φct ⎢⎣ 1.781C A r w ⎥⎦ 4A

log ⎢

(7)

dimana A = Luas daerah pengurasan CA = Dietz shape factor

Dietz shape factor adalah suatu konstanta yang dimasukkan ke dalam persamaan solusi pseudosteady state sta te agar persamaan tersebut cocok atau berlaku untuk bentuk luas daerah pengurasan sumur (drainage area) ar ea) yang lain selain sela in lingkaran dengan sumur di tengahnya. Sebagai contoh, CA untuk drainage area dengan lokasi sumur di dalamnya seperti terlihat pada gambar skematik berikut diberikan oleh harga-harga sebagai berikut:

•

31.62

•

30.8828

•

4.5132

Dalam literatur, shape factor tersebut disajikan untuk berbagai drainage area pada berbagai geometri reservoir diantaranya bounded reservoir dan vertically fractured reservoir dan bahkan un tuk water drive reservoir dan karakter produksi yang tidak diketahui. Selanjutnya, pembahasan tentang hal ini disajikan pada bagian di bawah ini.

Aplikasi lain yang sangat bermanfaat dari Persamaan (6a) di atas adalah bahwa persamaan tersebut bisa digunakan untuk memperkirakan tekanan reservoir rat a-rata pada suatu saat setelah sumur berproduksi atau dilakukan test produksi. Untuk itu, variabel tekanan awal, pi, diganti oleh variabel tekanan rata-rata di dalam volume daerah pengurasan sumur (drainage area volume), p . Tekanan rata-rata volumetrik tersebut diperoleh dengan menggunakan konsep material balance yang dapat dijelaskan sebagai


berikut. Penurunan tekanan dari pi ke p pada suatu waktu, (pi - p ), yang diakibatkan oleh pengurangan fluida sebanyak qB rb/D untuk waktu t jam, atau total pengurangan sebesar

⎛ t ⎞ ⎟ ⎝ 24 ⎠

5.615qB⎜

dalam cuft

adalah

p i − p

ΔV

=

ct V

⎛ t ⎞ ⎟ 24 ⎠ ⎝ = 2 c t ( π r e hφ) 5.615qB⎜

0.0744qBt

=

φ c t h r e 2

atau p i = p +

0.0744qBt

φ c t h r e 2

Substitusi ke Persamaan (6a) diperoleh: p wf = p +

0.0744 qBt

φ c t h r e 2

−

0.0744qBt

φ c t h r e 2

− 141.2

qBμ ⎡

r ln e ⎢ kh ⎣ r w

3⎤ − ⎥ 4⎦

atau

p wf = p − 141.2

qBμ ⎡ r e ⎢ln kh ⎣ r w

3⎤ − ⎥ 4⎦

(8)

Jika tekanan reservoir rata-rata, p , tersebut disubstitusi disubstitusi dengan cara yang sama sama ke Persamaan (7) maka: p wf = p −

162.2 q B μ kh

⎡ ⎤ 4A log ⎢ ⎥ 2 ⎢⎣1.781C A r w ⎥⎦

Jika reservoir berbentuk lingkaran dengan radius r e, maka: 162.2 q B μ ⎡ r e p wf = p − ⎢ln 2 kh ⎢⎣ r w 2

⎤ − 1.5⎥ ⎥⎦

(9)

Atau jika jika ditulis ditulis dala dalam bentuk entuk persam persamaan untuk laju alir, Persamaan (9) dapat ditulis sebagai berikut: q

=

0.00708 kh ⎡ Bμ

p − p wf

⎤ ⎢ ln(r / r ) − 0.75 ⎥ ⎣ e w ⎦

Persamaan (8) juga menjadi lebih bera rti dalam aplikasinya, khususnya dalam analisis data well testing, jika efek skin dimasukkan dalam pressure drop, yaitu:


p − p wf = 141.2

qBμ ⎡


3⎤ − ⎥ 4⎦

+ ( Δ p) s

dimana ( Δ p) s adalah pressure drop tambahan akibat skin. Dengan menggunakan formulasi yang sama untuk pressure drop akibat skin seperti dinyatakan di atas, maka

p wf = p − 141.2

qBμ ⎡ r e ⎢ln k h ⎣ r w

⎤ 3 − + s⎥ 4 ⎦

(10)

Demikian pula Persamaan (6a), jika faktor skin dimasukkan, maka persamaan tersebut ditulis sebagai: p wf = p i − 141.2

qBμ ⎡ 0.000527 kt kh

⎢ ⎢⎣ φμ c t r e 2

+ ln

⎤ 3 − + s⎥ r w 4 ⎥⎦ r e

(11)

3) Periode Steady State

Secara teoretis, aliran steady-state flow terjadi pada harga t yang sangat besar (sumur telah diproduksikan dengan sangat lama) pada suatu sist em reservoir dengan kondisi batas luar reservoir berupa tekanan konstan dan laju produksi di lubang sumur konstan (constant production rate). Solusi eksak untuk sistem seperti ini telah ditunjukkan pada bagian sebelumnya. Jika solusi dalam Laplace space tersebut tersebut diinversikan ke real space maka diperoleh persamaan sebagai berikut: 2

r p D (r D , t D ) = ln eD r D

∞ e − β n t D J 0 2 (β r eD )[J 0 (β r D ) Y1 (β ) − Y 0 (β r D) J1(β )] n n n n n

+π ∑

n =1

βn

[J12 (β n ) − J 0 2 (β n r eD)]

dimana βn adalah akar positif dari persamaan karakteristik: J1 (β n ) Y 0 (β n r eD) − J 0 (β n r eD) Y1 (β n ) = 0 Pada sumur, yaitu pada r D = 1, persamaan tersebut menjadi:

∞

2 β − t Dn J 2 (β r ) n e 0 n eD

p D (1, t D ) = ln r eD + 2 ∑ 2 2 2 n =1 βn J1 (β ) − J 0 (β r eD ) n n

[

]

Pada harga t yang besar, harga dari suku ke dua pada ruas kanan yang berupa penjumlahan menjadi kecil sekali sehingga persamaan solusi untuk kondisi steady-state menjadi lebih sederhana yaitu: p D (1, t D ) = ln r eD


yang dalam variabel lapangan dengan mengganti p D, tD, dan r eD eD, persamaan tersebut dapat ditulis sebagai berikut: p wf = pi −

141.2qBμ kh

r ln e r w

(12)

Persamaan di atas dapat juga diperoleh dari Persamaan Darcy radial. Atau jika ditulis dalam bentuk persamaan untuk laju alir, Persamaan (12) dapat ditulis sebagai berikut: q

=

0.00708 k h ( p i − p wf )

μ B ln(r e / r w )

Mengingat kondisi batas luar reservoir berupa tekanan konstan sehingga p e = pi dimana pe adalah tekanan pada batas luar reservoir, maka persamaan tersebut dapat ditulis sebagai: q

=

0.00708 k h ( p e − p wf )

μ B ln(r e / r w )

Periode transient, pseudosteady state, dan steady state tersebut di atas dapat diobservasi melalui plot pwf terhadap waktu seperti ditunjukkan berikut:

Transient

Transient Late Transient

pwf

pwf

Late Transient

Pseudosteady State

Pseudosteady State

t

Log t Dietz Shape Factor

Tin jau solusi aproksimasi untuk kondisi pseudosteady state yang dinyatakan dalam tekanan rata-rata, Persamaan 8: p wf = p − 141.2

qBμ ⎡ r e ⎢ln kh ⎣ r w

3⎤ − ⎥ 4⎦

(8)

Ingat bahwa solusi ini diperoleh dengan menggunakan kondisi batas dalam laju produksi konstan (constant well production rate) dan kondisi batas luar tidak ada aliran (no-flow oute r boundary) dengan sumur berada di tengah-tengah reservoir yang berbentuk lingkaran. Padahal dalam kenyataan, sumur tidak selalu berada di tengah-tengah reservoir dan/atau reservoir tidak selalu dapat diasumsikan berbentuk lingkaran. Agar solusi dapat digunakan untuk lokasi sumur lain selain di tengah-tengah reservoir da n geometri reservoir lain selain bentuk lingkaran, Dietz mengembangkan sebuah konstanta untuk ditambahkan ke dalam


persamaan solusi. Dengan sedikit manipulasi, Persamaan (8) dapat ditulis kembali dalam bentuk: p wf

= p − 141.2 = p − 141.2

= p − 141.2

qBμ ⎡


qBμ ⎡ 1 kh

r e

2

1

⎢ ln 2 − ⎢⎣ 2 r w 2

qBμ ⎡ 1 kh

3⎤ − ⎥ 4⎦

⎤

ln e 3 / 2⎥

⎥⎦

⎤ ⎢ ln ⎥ 2 3/ 2 2 4π r w e ⎢⎣ ⎥⎦ 4π r e 2

Dengan menyelesaikan argument natural log sebagai berikut: 4π r e 2

π r e 2 = = 2 3/ 2 2 4π r w e 56.32 r w 31.62 γ r w 2 4A

dimana dimana A = luas daerah daerah pengurasa pengurasan, n, ft2 dan γ = Konstanta Euler = 1.781. Harga 31.62 di atas disebut dengan Dietz shape factor untuk reservoir berbentuk lingkaran dengan sumur berada di tengah reservoir. Tinjau bahwa Persamaan (7) dapat dengan mudah diubah menjadi p wf = p −

162.2 q B μ kh

⎡ ⎤ 4A log ⎢ ⎥ ⎢⎣1.781C A r w 2 ⎥⎦

seperti telah ditunjukkan di atas. Dietz telah pula mengembangkan shape factor untuk berbagai geometri lainnya. Beberapa shape factor untuk bentuk-bentuk segiempat dan bujur sangkat dengan berbagai posisi sumur

Distribusi Tekanan Menurut Menurut Solusi Solusi Analitik Analitik Pada bagian terdahulu telah diberikan contoh mengenai distribusi tekanan menurut solusi Eifunction, yaitu untuk kasus infinite acting reservoir dengan sumur berproduksi pada laju produksi konstan. Demikian pula halnya jika tekanan dari hasil perhitungan menurut solusi persamaan difusivitas untuk kasus-kasus yang lain diplot terhadap jarak radial dari sumur mula mulaii dar darii r = r w sampai r = r e, maka akan diperoleh distribusi tekanan di reservoir. Berdasarkan masing-masing kondisi batas luar dan batas dalam maka plot untuk infinite dan finite reservoir dengan kondisi produksi di sumur tekanan konstan atau laju alir konstan menghasilkan berbagai distribusi tekanan terhadap jarak yang khas. Berikut adalah gambar sk ematik berbagai plot distribusi tekanan tersebut untuk enam kasus yang paling mungkin ditemui di lapangan. Dari berbagai plot tersebut, perhatikan kasus-kasus mana yang memberikan plot distribusi tekanan yang khas untuk periode aliran transient, pseudosteady


state, dan steady state. Juga perhatikan karakteristik plot yang dihasilkan oleh masing-masing periode aliran tersebut. 1) Kasus Infinite Acting Reservoir dengan OBC = Infinite, IBC = Constant Constant pressure: pi

p

q

r w

Radius

r e

pwf = C

Waktu

2) Kasus Infinite Acting Reservoir dengan OBC = Infinite, IBC = Constant rate: pi q=C p

q

r w

Radius

r e

Waktu

3) Kasus Finite Acting Reservoir dengan OBC = Constant Constant pressure, IBC = Constant pressure: pi

q

p

r w

Radius

r e

pwf = C

Waktu

4) Kasus Finite Acting Reservoir dengan OBC = Constant pressure, IBC = Constant Constant rate. Steady state artinya tekanan di setiap titik di reservoir todak berubah terhadap waktu: pi q=C p

q

r w

Radius

r e

Waktu


5) Kasus Finite Acting Reservoir dengan OBC = No flow, IBC IBC = Constant pressure: pi

p

q

r w

r e

Radius

pwf = C

Waktu

6) Kasus Finite Acting Reservoir dengan OBC = No flow, flow, IBC = Constant rate. Pseudosteady state artinya tekanan di setiap titik di reservoir menurun terhadap waktu dengan laju penurunan konstan: pi q=C

∂ p

p

dt r w

=C

Radius

q

r e

Waktu

Productivity Index Productivity index didefinisikan sebagai perbandingan laju produksi liquid dalam STB/day terhadap pressure drawdown di tengah interval atau zona produksi. Secara matematis productivity index dituliskan sebagai J

=

q p − p wf

STB/day/psi

Productivity index merupakan besaran untuk mengukur potensi sumur atau kemampuan sumur untuk berproduksi. Untuk menghitung productivity index dari data uji produksi, sumur dibiarkan berproduksi sampai waktu yang cukup lama sehingga dapat dianggapp telah mencapai periode pseudosteady state. Productivity index sebaiknya dihitung pada kondisi demikian karena hanya pada keadaan aliran pseudosteady state beda antara p dan pwf akan konstan. Seperti disebutkan di atas periode pseudosteady state dicirikan oleh perubahan tekanan terhadap waktu yang konstan. Sedangkan untuk periode aliran lainnya, hal tersebut tidak berlaku sehingga kemungkinan besar perhitungan productivity index menjadi tidak akurat.


Telah ditunjukkan di atas bahwa untuk periode pseudosteady state: q

=

0.00708kh ⎡ Bμ

p − p wf

⎤ ⎢ ln(r / r ) − 0.75 ⎥ ⎣ e w ⎦

Sehingga: J

=

0.00708kh

μ B[ln(r e / r w ) − 0.75]

In jectivity Index Terminologi ini digunakan untuk sumur injeksi. Su mur injeksi tersebut dapat berupa disposal well atau sumur injeksi dalam proyek perolehan sekunder (secondary recovery) atau pressure maintenance. Injectivity index didefinisikan sebagai perbandingan laju injeksi dalam STB/day terhadap kelebihan tekanan di atas tekanan reservoir yang menyebabkan laju injeksi tersebut. Atau secar a matematis: I=

q p wf − p

STB/day/psi

Prinsip Superposisi

Dari apa yang telah dipaparkan pada bagian solusi analitik di atas dan keadaan nyata di lapangan yang dapat dimodelkan oleh masing-masing solusi analitik tersebut, dapat dikatakan bahwa solusi persamaan difusivitas yang paling banyak aplikasinya adalah solusi Ei-function, yaitu solusi analitik pendekatan untuk periode aliran transient. Namun, seperti ditunjukkan pada contoh di atas, terlihat bahwa solusi tersebut seolah-olah hanya dapat digunakan untuk menghitung distribusi tekanan pada reservoir infinite-acting akibat produksi dari satu sumur dan – yang paling ”membatasi” pemakaiannya – adalah bahwa so lusi tersebut untuk sumur yang berprodu berproduksi ksi dengan dengan laju alir alir konsta konstan dan dimulai dimulai dari t = 0. 0. Prinsip Prinsip superposisi superposisi dapat dapat dipakai untuk mengurangi keterbatasan-keterbatasan tersebut sehingga solusi Ei-function dapat digun akan untuk, misalnya, kasus reservoir yang diproduksi dengan jumlah sumur yang le bih dari satu (superposition in space) dan kasus sumur yang berproduksi dengan laju produksi variabel vari abel (variable-rate wells – superposition in time). Landasan prinsip superposisi se benarnya adalah konsep matematik yaitu berawal dari sifa t khusus integral yang dinyatakan oleh teori integral konvolusi (atau dikenal pula sebagai Faltung atau Duhamel’s principle) yang berkaitan dengan definisi Laplace transform. Secara sepintas, teori integral konvolusi tersebut dapat dijelaskan sebagai berikut.


Teori Integral Konvolusi Secara umum, Laplace transform suatu product dua fungsi bukan product dari masing-masing Laplace transform. Ada sejenis ”product” dari dua fungsi f dan g, yang ditulis sebagai f ∗ g sehingga L[f ∗ g] = L[f ] L[g] = F(s) G(s) dimana F(s) dan G(s) adalah masing-masing Laplace transform dari f(t) dan g(t) dan “L” adalah simbol operasi transfomasi Laplace dengan s sebagai parameter transformasi. Operasi product (dengan simbol ” ∗”) di atas disebut dengan konvolusi yang menyatakan bahwa konvolusi dari f dan g adalah fungsi f ∗ g yang didefinisikan sebagai: t

(f ∗ g )( t ) = ∫ f ( t − τ)g( τ)dτ ,

untuk t

≥0

0

sehingga F(s) G(s) = L

⎡t ⎤ f ( t ) g ( ) d − τ τ τ ∫ ⎥ ⎢ ⎣0 ⎦

Karena bentuk integral seperti itu maka relasi di atas sering disebut dengan integral konvolusi. Dengan demikian, teori konvolusi menyatakan bahwa Laplace transform dari konvolusi dua fungsi adalah product dari Laplace transform masing-masing fungsi. Secara ringkas, sifat-sifat teori konvolusi menghasilkan relasi dan operasi sebagai berikut: 1. L[f ∗ g ] = F G 2. L-1[FG] = f ∗ g

(inversi)

3. f ∗ g = g ∗ f

(sif at komutatif)

Contoh 3: Aplikasi Teori Konvolusi Tentukan L

-1

⎡ 1 ⎤ ⎢ ⎥ 2 ⎣⎢ s (s − 4) ⎦⎥

Penyelesaian: Jika F(s) =

1 s

dan G(s) =

1 (s − 4) 2

, maka dari table Laplace transform diketahui

f(t) = L-1[F(s)] = 1 dan g(t) = L-1[G(s)] = t e 4 t Sehingga


L-1[F(s)G(s)](t) = 1 ∗ t e 4 t t

= ∫ 1 τ e 4τdτ 0

=

1 4t 1 1 e [t − ] + 4 4 16

Selain menjadi dasar prinsip superposisi baik superposition in time maupun superposition in space, teori integral konvolusi juga diaplikasikan untuk mendapatkan solusi constant pressure production dari solusi constant rate production (dikenal sebagai van Everdingen-Hurst identity) dan me ngatasi non-linearitas dari persamaan diferensial parsial akibat adanya product μct dalam persamaan difusivitas untuk aliran gas nyata. Namun hal ini tidak dibahas secara rinci dalam dik tat ini.

Walaupun landasan teori dari prinsip superposisi berawal dari sifat integral yang dinyatakan oleh teori integral konvolusi (atau Faltung atau Duham el’s principle), namun untuk tujuan pembahasan a plikasinya dalam teknik teservoir, prinsip superposisi akan dinyatakan dengan cara berikut: Penambahan solusi pada persamaan diferensial linier menghasilkan solusi baru terhadap persamaan differensial awal. Oleh karenanya, jika pressure drop suatu sumur dapat dimodelkan ole h satu solusi maka pressure drop di sumur lain yang juga dapat dimodelkan oleh oleh solu solusi si yang ang sam samaa (te (ten ntu dengan hasil asil yang ang mun mungk gkin in sam sama ata atau u mun mungk gkin in juga berbeda) dapat ditambahkan pada pressure drop sumur pertama dan hasilnya berupa solusi baru untuk sumur pertama tersebut. Dengan kata lain, pressure drop total, Δ p, pada suatu lokasi di dalam reservoir sama dengan jumlah pressure drop di lokasi tersebut yang diakibatkan oleh pressure drop masing-masing sumur, Δ p j, yang ada dalam reservoir tersebut. Sebagai contoh, anggap tiga buah sumur, yaitu Sumur A, B, dan C mulai berproduksi pada waktu yang sama dari suatu reservoir infinite-acting. Maka pressure drop di Sumur A adalah: (pi – pwf )total di Sumur A = (pi – p)akibat Sumur A + (pi – p)akibat Sumur B + (pi – p)akibat Sumur C Contoh untuk superposition in space yang lain adalah situasi dimana pressure drop akibat produksi satu atau lebih sumur dimonitor di satu sumur observasi seperti ditunjukkan oleh diagram skematik berikut. Pada diagram tersebut Sumur 1 berproduksi sebesar q 1 dan menyebabkan pressure drop sebesar Δ p1 dan Sumur 2 berproduksi sebesar q 2 dan menyebabkan pressure drop sebesar Δ p2. Sedangkan sumur observasi tidak berproduksi.


Dengan menerapkan prinsip superposisi, maka pressure drop yang terukur di sumur observasi adalah:

Δ p t = Δ p1 + Δ p 2 .

•

Sumur observasi

r 1 r 2

• Sumur 1 q1 → Δ p1

2 • Sumur q Δ p 2→

2

Dengan contoh kasus di atas, maka solusi persamaan difusivitas dapat digunakan untuk memodelkan satu jenis well testing yang disebut dengan interference test atau pulse test. Interference test pada dasarnya adalah untuk menentukan parameter reservoir dari respons tekanan di suatu sumur akibat produksi dari satu atau lebih sumur yang lainnya.

Jika kita gunakan solusi Ei-function dan pendekatan logaritmik, maka untuk contoh kasus pertama, pressure drop total diberikan oleh (Catatan: Ei(x) = -Ei(-x), -Ei(x) = Ei(-x)):

Δ p A

= ( p i − p wf ) total di Sumur A =

−

70.6 q A μ B ⎡

–

70.6 q B μB ⎡

kh

kh

⎤ ⎛ φ μ c t r wA 2 ⎞ ⎟ − 0.5772 − 2 s A ⎥ ⎜ 0.00105 k t ⎟ ⎢⎣ ⎝ ⎥⎦ ⎠ ⎢ln⎜

⎛ φμ c t r AB 2 ⎞⎤ ⎟⎥ ⎢Ei⎜⎜ − ⎢⎣ ⎝ 0.00105kt ⎟⎠⎥⎦

–

70.6 q C μB ⎡ kh

⎛ φμ c t r AC 2 ⎞⎤ ⎟⎥ ⎢Ei⎜⎜ − ⎢⎣ ⎝ 0.00105kt ⎟⎠⎥⎦

dimana sA adalah faktor skin di Sumur A. Perlu dicatat bahwa faktor skin hanya dimasukkan pada perhitungan pressure drop karena pressure drop tersebut dihitung di Sumur A. Sedangkan di kedua sumur lain, walaupun mungkin pula terdapat faktor skin, tidak dimasukkan karena tidak mempengaruhi pressure drop di Sumur A, kecual Sumur A tersebut berada di zona damaged Sumur B dan/atau dan/ata u Sumur C. Selanjutnya, untuk contoh kasus kedua pressure drop total di sumur observasi diberikan oleh:

Δ p t

= Δ p1 + Δ p 2


=

70.6 q1 μB ⎡ kh

⎛ φμ c t r 12 ⎞⎤ ⎟⎥ ⎢− Ei⎜⎜ − ⎟ 0 . 00105 kt ⎢⎣ ⎝ ⎠⎥⎦

+

70.6 q 2 μB ⎡ kh

⎛ φμ c t r 2 2 ⎞⎤ ⎟⎥ ⎢− Ei⎜⎜ − ⎟ 0 . 00105 kt ⎢⎣ ⎝ ⎠⎥⎦

Contoh aplikasi superposisi yang lain, yang juga penting, adalah memodelkan pressure drop dalam reservoir terbatas (finite). Walaupun, Ei-function solution diperoleh untuk reservoir infinite, namun dengan prinsip superposition in space hal tersebut dapat dilakukan. Tinjau suatu sumur yang berlokasi pada jarak d dari no-flow boundary yang berupa sebuah patahan seperti ditunjukkan pada gambar berikut. Sumur tersebut berproduksi sebesar q 1 yang menyebabkan pressure drop sebesar Δ p1. Secara matematis, kasus ini identik dengan kasus suatu sumur yang berjarak 2d dari suatu sumur ”bayangan” yaitu suatu sumur yang mempunyai sejarah produksi yang sama dengan sumur ”nyata.” Dengan kata lain, sistem satu sumur yang berada dekat no-flow boundary sama dengan sistem dua sumur nyata-bayangan dan ini disebut dengan method of image. Hal ini dikarenakan garis yang berada pada jarak yang sama antara kedua sumur nyata-bayangan dipandang sebagai no-flow boundary yang artinya sepanjang garis tersebut gradien tekanan adalah nol sehingga tidak ada aliran. Jadi, kasus ini adalah sama dengan dua sumur yang berada pada reservoir infinite. Dengan demikian pressure drop di sumur adalah :

Fault (patahan) Sumur

Sumur Bayangan

• q1

•

→ Δ p1

d

r 1

d

r 2

• Sumur Observasi Δ p

Δ p

= ( p i − p wf )

⎤ 70.6 qμ B ⎡ ⎛ φ μ c t r w 2 ⎞ ⎟ − 0.5772 − 2s ⎥ = − ⎢ln⎜⎜ kh ⎢⎣ ⎝ 0.00105 k t ⎠⎟ ⎥⎦ –

70.6qμB ⎡ kh

⎛ φμ c t (2d ) 2 ⎞⎤ ⎟⎥ ⎢Ei⎜ − ⎜ ⎢⎣ ⎝ 0.00105kt ⎠⎟⎥⎦


Dan pressure drop yang terukur di sumur observasi yang berja rak r 1 dari sumur ”nyata” dan r 2 dari sumur bayangan adalah:

Δ p t

= Δ p1 + Δ p bayangan =

70.6qμB ⎡

⎛ φμ c t r 12 ⎞⎤ ⎟⎥ ⎢− Ei⎜⎜ − ⎢⎣ ⎝ 0.00105kt ⎠⎟⎦⎥

kh

+

70.6qμB ⎡

⎛ φμ c t r 2 2 ⎞⎤ ⎟⎥ ⎢− Ei⎜⎜ − ⎢⎣ ⎝ 0.00105kt ⎠⎟⎦⎥

kh

Contoh aplikasi prinsip superposisi yang mungkin paling penting adalah yang menyangkut dimensi waktu atau yang dikenal dengan dengan sebutan superposition in time. Dalam hal ini solusi persamaan difusivitas difusivita s dengan prinsip superposisi dapat digunakan untuk memodelkan sumur dengan laju produksi bervariasi (variable-rate producing wells) seperti diilustrasikan oleh gambar skematik berikut.

q

q2 q2 - q1

q1

t1

pwf

t

pi

Δ p akibat q1 : Δ p1 Δ p akibat (q2 – q1 ) : Δ p2 t1

t

Pada gambar di atas, suatu sumur berproduksi sebesar q 1 dari t = 0 sampai t = t 1. Pada t = t 2, laju produksi beruba h menjadi q2. Masalah yang harus dipecahkan adalah: pada waktu t > t 2, berapakah tekanan di sumur? Dengan menggunakan prinsip superposisi seperti contohcontoh di atas, kasus ini dapat dipandang sebagai perhitungan tekanan sum ur total dari kontribusi tiap sumur hanya sekarang lokasi sumurnya tetap. Jadi pressure drop total diakibatkan oleh pressure drop di ”Sumur 1” akibat q 1 dengan t = t, yaitu Δ p1, dan pressure drop di ”Sumur 2” akibat q 2 – q1 dengan t = t - t 1, yaitu Δ p2. Superposition in time ini dapat digambarkan secara skematik sebagai berikut.


q

q2 q2 - q1

q1

t1 t q

“Sumur 1”

q1

t1 t q

“Sumur 2”

q2 - q1 t1

t

Oleh karenanya, pressure drop total yang diakibatkan oleh masing-masing pressure drop ”Sumur 1” dan ”Sumur 2” diberikan oleh:

Δ p t = Δ p1 + Δ p 2 =

70.6q1μB ⎡ kh

+

⎤ ⎛ φμ c t r w 2 ⎞ ⎟ − 2s ⎥ ⎢− Ei⎜⎜ ⎢⎣ ⎝ 0.00105kt ⎠⎟ ⎥⎦

⎤ φμ c t r w 2 ⎞⎟ − q1 )μB ⎡ ⎛ ⎜ Ei 2 s − − ⎢ ⎜ ⎥ kh ⎢⎣ ⎝ 0.00105k ( t − t1 ) ⎠⎟ ⎥⎦

70.6(q 2

Atau, karena perhitungan dilakukan r = r w (di sumur), maka argumen fungsi Ei cukup kecil sehingga dapat digunakan pendekatan logaritmik:

Δ p t = − +

70.6q1μB ⎡ kh

−

⎤ ⎛ 1688 φμ c t r w 2 ⎞ ⎜ ⎟ − 2s ⎥ ⎢ln⎜ ⎟ kt ⎠ ⎣⎢ ⎝ ⎦⎥

⎤ 1688 φμ c t r w 2 ⎞ − q1 )μB ⎡ ⎛ ⎟ − 2s ⎥ ⎢ln⎜⎜ kh ⎢⎣ ⎝ k ( t − t1 ) ⎠⎟ ⎥⎦

70.6(q 2


Contoh 4: Superposition in Space and Time Tiga buah sumur telah dibor pada suatu reservoir (k = 25 md, h = 43 ft,

φ = 16%) dengan

lokasi masing-masing ditunjukkan pada gambar. Dua dari tiga sumur tersebut telah memproduksikan minyak ( μ = 0,44 cp, B = 1,32 rb/STB) dengan jadwal produksi seperti ditunjukkan pada tabel. Hitung pressure drop total yang terukur di Sumur 3 pada akhir hari ke-8 jika ct = 18 x 10 -6 psi-1. Laju produksi (STB/day) Sumur 1 Sumur 2 Sumur 3 250 SI SI 250 SI SI 250 SI SI 250 400 SI 250 400 SI 250 400 SI 250 400 SI 250 400 SI

Hari 1 2 3 4 5 6 7 8

2 1 500 500 ft

1000 1000 ft

3

Penyelesaian: Dengan menggunakan menggunakan prinsip prinsip superposisi, persoalan di atas menjadi sederhana. Pressure drop akibat masing-masing Sumur 1 dan Sumur 2 dihitung dengan line-source solution (transient solution atau Ei-function solution), yaitu:

Δ p

= p i − p( r , t ) =

70.6 qμ B ⎡ kh

⎛ φ μ c t r 2 ⎞⎤ ⎟⎥ ⎢− Ei⎜ − ⎜ 0.00105 k t ⎟⎥ ⎢⎣ ⎝ ⎠⎦

Jika Δ p1 = pressure drop akibat Sumur 1 dan Δ p2 = pressure drop akibat Sumur 2, maka

Δ p1

=

⎛ (0.16)(0.44)(18x 10 − 6)(500) 2 ⎞⎤ ⎟⎥ ⎢− Ei⎜ − ⎜ ⎟ 0.00105( 25)(8x 24) ⎢⎣ ⎝ ⎠⎥⎦

70.6 ( 250)(0.44)(1.32) ⎡ ( 25)(43)

= 9.535 [– Ei (– 0.063)] = 9.535(2.249) = 21.44

Δ p1

=

70.6 ( 400)(0.44)(1.32) ⎡ ( 25)(43)

⎛ (0.16)(0.44)(18x 10 − 6)(1000 ) 2 ⎞⎤ ⎟⎥ ⎢− Ei⎜ − ⎜ ⎟ 0.00105( 25)(5x 24) ⎢⎣ ⎝ ⎠⎥⎦

= 15.256[– Ei (– 0.402)] = 15.256(0.702) = 10.71 Jadi,

Δ p1

= 21.44 + 10.71 = 32.15 psi.


Aplikasi Solusi Pada Analisis Data Well Testing

Yang dimaksud dengan well testing di sini adalah apa yang dikenal dalam literatur sebagai pressure transient testing. Pada prinsipnya, well testing tersebut dilakukan dengan cara menciptakan ”gangguan” di sumur yaitu perubahan laju alir sehingga diperoleh respons berupa perubahan tekanan. Respons perubahan tekanan di sumur ini terhadap waktu kemudian dicatat sebagai data hasil test. Jika well testing dilakukan dalam waktu yang singkat maka aliran yang terjadi di reservoir (sekitar sumur) bersifat transient dan oleh karena itu disebut pressure transient testing.

Data Data yang yang diha dihasi silk lkan an dari dari pressur ssuree transient ent test test yang yang beru berupa pa data data teka tekana nan n tadi tadi kemu kemudi dian an dianalisis untuk mengevaluasi formasi di sekitar lubang sumur dalam radius tertentu (radius pengujian) dengan maksud untuk menentuka n kemampuan formasi tersebut dalam memproduksikan fluida. Hal ini dilakukan dengan menghitung atau menentukan parameter rese reserv rvo oir sert sertaa mengenal enalii perub ahan ahan sifat (ano (anom mali l i) baik baik alam alamii maupu aupun n kare karen na seba sebab b lain lain di sekitar lubang sumur. Beberapa parameter reservoir yang dapat diperoleh dari hasil pressure transient testing diantaranya adalah tekanan reservoir, permeabilitas rata-rata reservoir (lebih tepat permeabilitas efektif dalam radius pengujian), transmisibilitas, faktor skin, produktivitas dan damage ratio (yaitu perbandingan produktivitas teoretis terhadap produktivitas nyata), jari-jari (atau volume) pengurasan, batas reservoir , dan anomali yang terjadi di reservoir misalnya perubahan permeabilitas karena adanya barrier atau layering.

Di atas telah disebutkan bahwa data yang dihasilkan dari pressure transient testing adalah perubahan tekanan terhadap waktu. Data tersebut diperoleh melalui cara pengujian yang berup erupaa flow test est (pr (pres essu sure re draw drawdo down wn test test)) dim diman anaa sum sumur ur dibi dibiar arka kan n berp berpro rodu duks ksi, i, sete setela lah h ditutup sementara waktu, untuk kemudian penurunan tekanan di sumur dicatat atau melalui cara pengujian yang berupa pressure buildup test dimana sumur ditutup, setelah berproduksi dalam selang waktu tertentu, untuk kemudian kenaikan tekanan di sumur dicatat. Pada bagian berikut dibahas tentang kedua test tersebut khususnya dalam hal cara analisis data enggunakan solu solusi si persa ersam maan aan dif difu usiv sivitas itas yan yang tel telah ah diba dibah has di muk muka. a. Nam Namun, un, per perlu lu meng disebutkan di sini bahwa pembahasan analisis data dari kedua test tersebut hanyalah sebagai pengantar dan bertujuan semata-mata untuk memberikan ilustrasi aplikasi solusi persamaan difusivitas. Banyak hal yang harus dipelajari untuk memahami secara lebih jauh tentang metodologi analisis data pressure transient testing.


Flow Test Sesuai dengan namanya, flow test dilakukan dengan membuka sumur dan mengalirkan fluida pada laju alir konstan (atau ( atau pada laju produksi yang menurun secara se cara kontinu, atau pada laju alir yang berbeda-beda/multirate) setelah sumur ditutup sementara. Penutupan sumur harus cukup lama dan aliran harus sampai stabil (stabilized flow). Suatu flow test yang ideal, berupa pengujian dengan laju alir konstan pada reservoir infinite-acting, dapat dimodelkan oleh solusi analitik pendekatan persamaan difusivitas yaitu pendekatan logaritmik terhadap solusi Ei-function. Oleh karenanya, analisis a nalisis atau interpretasi data hasil test dapat dilakukan dengan menggunakan Persamaan (6):

⎤ 162.6 qμ B ⎡ ⎛ kt ⎞⎟ ⎜ ⎢ p( r , t ) = p i − log − 3.23⎥ 2 ⎜ ⎟ kh ⎢ ⎥ φ μ c r ⎝

⎣

t

⎠

⎦

sehingga pada r = r w: p wf ( t ) = p i −

p wf ( t ) = p i +

162.6 qμ B ⎡

⎤ ⎛ kt ⎞ ⎟ − 3.23⎥ ⎢log⎜ ⎜ φ μ c r 2 ⎟ ⎢⎣ ⎝ ⎥⎦ t w ⎠

kh

(8)

162.6 qμ B ⎡

⎛ 1688 φ μ c t r w 2 ⎞⎤ ⎟⎥ ⎢log⎜ ⎜ ⎟ kt ⎢⎣ ⎝ ⎠⎥⎦

kh

karena log 1688 = 3.23. Untuk suatu reservoir dengan p i, q, μ, B, k, h, φ, c t, dan r w konstan, maka Persamaan (8) dapat ditulis sebagai: pwf = b + m log(t) dimana b = konstanta dan m = konstanta =

−

162.6qμB

(9)

kh

Dengan demikian, jika data yang digunakan diambil pada waktu-waktu awal yaitu pada periode aliran transient, maka plot pwf vs. t pada kertas semilog akan berbentuk garis lurus dengan kemiringan m. Sudah tentu, hal tersebut dapat terjadi jika asumsi yang digunakan untuk mendapatkan Persamaan (8) dipenuhi. Asumsi tersebut adalah: • Aliran laminer, horizontal, pada reservoir homogen • Harga-harga permeabilitas, porositas, ketebalan formasi, kompresibilitas total, viskositas,

dan faktor volume formasi tidak tergantung pada tekanan • Fluida satu fasa incompressible dalam periode transient (transient drawdown) • Gradient tekanan diabaikan.


Jika ketebalan formasi diketahui, maka dari Persamaan (9), diperoleh: k = −

162.6qμB mh

dimana m adalah slope dari plot data p wf vs. t.

Sekarang, jika drawndown test dilakukan cukup lama sehingga mencapai periode pseudosteady state maka untuk melakukan analisis data drawdown test tersebut dapat digunakan Persamaan (7), yaitu: p wf = p i −

162.6 q B μ kh

⎡ ⎤ 0.2339 q Bt 4A log ⎢ ⎥− A h φct ⎢⎣ 1.781C A r w 2 ⎥⎦

Jika pi, q, μ, B, k, h, A, φ, ct, dan r w konstan, persamaan di atas dapat dituliskan sebagai: pwf ’ = b’ + m ’t dimana b’ = konstanta, dan m’ = konstanta =

−

0.2339qB Ahφ c t

Dengan demikian, jika data yang digunakan diambil melalui test yang dilakukan cukup lama sehingga tercapai periode pseudosteady state, maka plot p wf vs. t pada kertas kartesian akan berbentuk garis lurus l urus dengan kemiringan m’. Pada periode aliran ini, ”gangguan” dari sumur telah mencapai batas reservoir. Oleh karenanya, data yang diperoleh dapat digunakan untuk menghitung volume daerah pengurasan (volume reservoir) dengan: Ahφ =

−

0.2339qB m' c t

.

Selanjutnya, data dari pressure drawdown test juga dapat digunakan untuk mendapatkan informasi mengenai kerusakan formasi. Data yang dipakai adalah yang berasal dari periode transient. Seperti telah dikemukakan di atas, van Everdingen dan Hurst menyatakan bahwa (Δ p)s, yaitu pressure drop tambahan akibat adanya damage di sekita r lubang sumur, dapat dimodelkan dengan persamaan steady state aliran radial. ( Δ p) s =

141.2qBμ kh

s

dimana s adalah faktor skin yang dinyatakan oleh Hawkins sebagai

⎛ k

s = ⎜⎜

⎝ k s

⎞ ⎛ r ⎞ − 1⎟⎟ ln⎜⎜ d ⎟⎟ ⎠ ⎝ r w ⎠


Jika dari data pada periode aliran transient diperoleh plot p wf vs. t pada kertas semilog yang berbentuk erbentuk garis garis lurus lurus dengan kemirin kemiringan gan m: m: m=

−

162.6qμB

(9)

kh

maka (Δ p)s =

− 0.869 m s

(10)

Dari Persamaan (10), terlihat bahwa jika s berharga positif maka terdapat pressure drop tambahan (pressure drop berharg a positif), artinya ada kerusakan di sekitar lubang sumur. Dengan demikian, jika ( Δ p)s ini ditambahkan ke dalam persamaan untuk menghitung p wf ideal (keadaan normal tanpa kerusakan), maka diperoleh: p wf = p i −

162.6 qμ B ⎡

⎤ ⎛ kt ⎞ ⎜ ⎟ ⎢log − 3.23 + 0.869 s⎥ ⎜ φ μ c r 2 ⎟ ⎢⎣ ⎝ ⎥⎦ t w ⎠

kh

Persamaan di atas dapat diu bah bentuk (rearranged) untuk mendapatkan harga skin faktor sebagai berikut:

⎡ ⎤ ⎢ p − p wf ⎥ kt s = 1.151 ⎢ i 3.23⎥ − log + φμ c t r w 2 ⎢ 162.6qBμ ⎥ ⎢⎣ kh ⎥⎦ Jadi, jika pi, q, μ, B, k, h,

φ,

ct, dan r w diketahui, skin factor dapat dihitung jika pwf dan t

diketahui. Keduanya diperoleh dari plot p wf vs. t pada periode aliran transient dan biasanya diambi diambill untuk untuk t = 1 jam, jam, sehin sehingga gga p = p1 jam. Dengan Dengan memasuk memasukkan kan harga harga m absol absolut ut dipe diperol roleh: eh:

⎡ p i − p1 jam ⎤ k s = 1.151 ⎢ − log + 3.23⎥ 2 m ⎢⎣ ⎥⎦ φμ c t r w Buildup Test Pressure buildup testing dimulai dengan memproduksikan sumur dengan laju produksi konstan untuk waktu yang cukup lama sampai terjadi stabilized pressure pada periode pseudosteady state, menutup sumur (biasanya di permukaan) sehingga tekanan t ekanan di sumur naik (builds up), dan kemudian perubahan tekanan tersebut dimonitor dan dicatat terhadap waktu. Dengan demikian, keuntungan pressure buildup test adalah dalam hal kontrol karena menjaga produksi dengan laju produksi konstan sama dengan nol (yaitu menutup sumur) relatif mudah. Sedangkan ”kerugiannya” adalah tidak ada produksi selama testing berlangsung. Bahkan sering terjadi sumur sulit untuk diproduksikan kembali setelah dilakukan penutupan.


Pressure buildup test dapat dimodelkan dengan prinsip superposisi (superposition in time). Pandang proses pengujian buildup seperti ditunjukkan ditu njukkan oleh gambar skematik berikut.

“Sumur 1”

q

q 0

t p

t

q

“Sumur 2” 0

t p

-q

t

Δt

q

Δt

q

Pressure buildup testing

0

t p

t

Suatu sumur dialirkan dengan laju produksi konstan sebesar q. Pada waktu t = t p, sumur kedu keduaa yang yang berl berlok okas asii sama sama den denga gan n sum sumur pertama, ama, dia diali lirk rkan an den denga gan n laju laju pro produ duks ksii kons konsta tan n se besar –q, sementara sumur pertama dibiarkan tetap mengalir dengan laju alir q. Waktu pengaliran sumur kedua dinyatakan sebagai

Δt. Ketika pengaruh kedua sumur dijumlahkan,

se bagai aplikasi dari prinsip superposisi, hasilnya adalah model untuk sebuah sumur yang diproduksikan pada laju produksi q selama tp dan kemudian ditutup selama s elama

Δt. Oleh karena

itu, untuk menganalisis data pressure buildup test, maka digunakan persamaan aproksimasi logaritmik, Persamaan (6), untuk masing-masing sumur: p( r , t ) = p i −

⎤ 162.6 qμ B ⎡ ⎛ kt ⎞⎟ ⎢log⎜ 3.23⎥ − kh ⎢ ⎜ φ μ c t r 2 ⎟ ⎥ ⎝

⎣

⎠

⎦

sehingga, jika pws = tekanan penutupan di sumur, dengan prinsip superposisi diperoleh: p ws ( t ) = p i −

162.6 qμ B ⎡ kh

⎤ ⎛ k ( t + Δt ⎞ ⎟ − 3.23⎥ ⎢log⎜ p ⎜ φ μ c r 2 ⎟ ⎢⎣ ⎝ ⎥⎦ t w ⎠


−

162.6 ( −q)μ B ⎡

⎤ ⎛ k Δt ⎞ ⎜ ⎟ ⎢log + 3.23⎥ ⎜ φμ c r 2 ⎟ ⎢⎣ ⎝ ⎥⎦ t w ⎠

kh

dimana t p = waktu sumur berproduksi sebelum penutupan dan

Δt

= waktu penutupan. Jika

persamaan di atas disusun ulang maka diperoleh: p ws ( t ) = p i −

162.6 qμ B ⎡

⎛ t p + Δt ⎞⎤ ⎟ ⎜ Δt ⎟⎥⎥ ⎝ ⎠⎦

⎢log⎜

kh

⎢⎣

atau p ws ( t ) = p i −

70.6 qμ B ⎡ kh

⎛ t p + Δt ⎞⎤ ⎟⎥ ⎜ ⎟ t Δ ⎢⎣ ⎝ ⎠⎥⎦ ⎢ln⎜

Oleh karenanya, plot antara pws vs. (t p +

Δt)/Δt pada kertas semilog akan berupa garis lurus.

Plot ini disebut dengan Horner plot dengan kemiringan: m

=−

162.6qBμ kh

Sehingga jika m dari Horner plot diketahui, maka: k = −

162.6qBμ mh

Dengan cara yang sama seperti pada analisis data hasil pressure drawdown test, faktor skin dapat diperoleh dengan persamaan yang sama namun untuk t = t p (Δt = 0):

⎡ p wf (Δt = 0) − p ws k t p s = 1.151⎢ − log m ⎢⎣ φμ c t r w 2

⎤ Δt + 3.23⎥ t p + Δt ⎥⎦

dimana m berharga negatif. Tekanan penutupan p ws diambil secara sembarang dari data pada selang Δt dari periode transient. Biasanya, diambil pada Δt = 1 jam dan disebut dengan p 1 jam. Karena t p umumnya lebih besar dari 1 jam, maka pada

Δt

= 1 jam dianggap (t p +

Δt)

= t p,

sehingga:

⎡ p wf (Δt s = 1.151⎢ ⎢⎣

= 0) − p1 jam m

− log

k

φμ c t r w 2

⎤ + 3.23⎥ ⎥⎦

Metode analisis dan interpretasi data well test, untuk masing-masing jenis test di atas dengan menggunakan solusi persamaan aliran dalam media berpori dapat dibedakan satu sam a lain sebagai metode untuk analisis data dari pressure buildup test dan metode untuk analisis data dari pressure drawdown test seperti yang akan dijelaskan berikut ini.


Radius Investigasi Radius investigasi adalah jarak rambat tekanan transient yang diukur secara radial dari lubang sumur. Pandang distribusi tekanan terhadap jarak radial dari sumur yang sedang berproduksi seperti ditunjukkan di atas. Dua hal penting dari kurva distribusi tekanan tersebut adalah: 1. Jika sumur berproduksi pada laju konstan, maka tekanan di sumur menurun sejalan dengan bertambahnya waktu aliran. Demikian pula tekanan di tiap titik di reservoir. 2. Perubahan tekanan merambat sejalan dengan bertambahnya waktu aliran. Namun ada titik lokasi di reservoir dimana perubahan tekanan kecil sekali atau bahkan tetap sebagai tekanan awal. Jarak radius dari sumur ke titik ini merupakan jarak maksimum yang dicapai oleh rambatan tekanan.

Radius investigasi penting diketahui setidaknya untuk m enentukan apakah informasi tentang karakteristik reservoir yang nantinya akan diperoleh dari data test telah mencakup luas atau radius pengujian pengujian yang cukup besar atau tidak. tidak. Untuk menentuka menentukan n radius investigasi, investigasi, tinjau tinjau solusi persamaan difusivitas (line-source solution) yaitu untuk kasus sumur pada reservoir infinite berikut: p − p i

= c1 e − r / 4ηt 2

t

dimana c1 adalah konstanta yang berhubungan dengan sifat-sifat lin e-source. Jarak r maksimum dari tekanan yang merambat berkaitan dengan harga t m yang diperoleh jika dp dt

=0

=

− c1 − r 2 / 4ηt c1 r 2 − r 2 / 4ηt + e e 2 3 t 4ηt

sehingga karena hydraulic diffusivity dalam satuan lapangan

η=

0.000264 k

φμ c t

maka tm =

2

2

φμ c t r i φμ c t r i r i = = 948 k 4η ( 4)(0.000264 ) k

2

atau 1/ 2

⎛ kt ⎞ ⎟⎟ r i = ⎜⎜ 948 φμ c t ⎠ ⎝


Metode Analisis Data Buildup Test 1. Metode Horner untuk infinite acting reservoir. Informasi yang yang dapat diperoleh adalah skin factor s, permeabilitas k, apparent wellbore radius r wa wa, dan flow efficiency FE. 2. Metode MDH (Miller, Dyes, and Hutchinson) untuk finite acting reservoir (atau dise but juga dengan bounded reservoir). 3. Metode MBH (Mathews, Brons, and Hazebroek), disebut juga dengan metode p* u ntuk memperoleh harga tekanan rata-rata reservoir pada daerah pengurasan.

Pressure Buildup Test Ideal

Ideal dalam hal ini artinya adalah ba hwa reservoir system bersifat: • Infinite, homogeneous, isotropic (sifat batuan dan reservoir) • Slightly compressible, single-phase, sifat fisik fluida konstan (sifat fluida) • Tidak ada efek wellbore storage.

Maka solusi Ei–function Ei–function dan pendekatan pendekatan logaritmik berlaku, berlaku, artinya Horner plot yaitu plot pws vs. log (t p + Δt)/Δt dapat digunakan yaitu menurut persamaan yang diperoleh dari prinsip superposisi: p ws ( t ) = p i −

162.6 qμ B ⎡

⎛ t p + Δt ⎞⎤ ⎟⎥ ⎢log⎜⎜ ⎟ ⎣⎢ ⎝ Δt ⎠⎦⎥

kh

Prosedur Horner plot analysis: 1. Plot pws vs. log

⎛ t p + Δt ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ Δt ⎟ ⎝ ⎠

pada kertas semilog yang menghasilkan garis lurus.

2. Tentukan kemiringan garis, m=−

162.6qBμ kh

Untuk keperluan analysis, gunakan harga m absolut. 3. Hitung permeabilitas dengan k = −

162.6qBμ mh

4. Ekstrapolasi Ekstrapolasi pada pada waktu penutu penutupan pan yang lama lama, yaitu pada pada t p

+ Δt Δt

=1

maka diperoleh pi. Dalam hal ini, waktu penutupan yang lama artinya

Δt harganya besar

sekali dibandingkan dengan t p.


pi

pws

p1 jam = p @ Δt=1 jam

100

10 t p

1

+ Δt Δt

5. Hitung skin faktor, s:

⎡ p1 jam − p ⎤ k t p wf s = 1.151⎢ − log + 3.23⎥ 2 m ⎢ ⎥ φμ c t r w (t p + 1) ⎣ ⎦

; m = positif

Jika digunakan asumsi (t p + Δt) = t p untuk Δt = 1 jam

⎡ p1 jam − p wf k s = 1.151⎢ − log m ⎢ φμ c r 2 ⎣

t w

⎤ + 3.23⎥ ⎥⎦

Pressure Buildup Test Nyata

Pressure buildup test yang ter jadi pada kenyatannya tidak seperti pressure buildup ideal. Dalam hal ini, data yang dicatat dicirikan oleh bentuk kurva dari plot p ws vs. log (t p + Δt)/Δt pada kertas semilog s emilog tidak menghasilkan garis lurus seluruhnya namun hanya sebagian seperti ditunjukkan oleh gambar beriku t. Sebagian data yang diplot dan memberikan garis lurus adalah hanya pada bagian tengah yang dikenal dengan middle time region (MTR). Maka, metode Horner harus digunakan pada MTR.

Time region: pws

ETR

MT

LTR

ETR = Early MTR = Middle LR = Late

p1 jam

Δt = 1 jam

t p

+ Δt Δt


Untuk menjelaskan hal tersebut di atas, digunakan konsep radius investigasi. Berdasarkan konsep ini, kurva pressure buildup dapat dibagi menjadi tiga bagian seperti di atas karena secara logika terdapat pergerakan yang bertahap mulai dari lubang sumur sampai ke batas luar reservoir seperti ditunjukkan oleh gambar berikut.

Sumur

Gangguan transient tekanan merambat men jauhi sumur sumur

Batas luar daerah pengurasan/reservoir pengurasan/reservoir

ETR = Early Times Times Region, transient tekanan bergerak di di sekitar sumur MTR = Middle Times Region, Region, transient tekanan sudah menjauhi lubang sumur LTR = Late Times Region, transient tr ansient tekanan telah te lah mencapai batas luar daerah pengurasan/reservoir .

Perkiraan Tekanan Reservoir Dari Buildup Test

Untuk daerah pengurasan sumur yang sederhana, misalnya bentuk-bentuk lingkaran, segiempat, dan segitiga, maka pi dapat ditentukan dengan menggunkan menggunkan teori pressure buildup ideal. Dalam hal ini dengan cara mengidentifikasi atau menentukan MTR terlebihdahulu dan kemudian kemudian diekstrapolas diekstrapolasii ke ke harga harga (t p + Δt)/Δt = 1. p = pi ETR p

MTR LTR

s

Infinite reservoir

t p

+ Δt Δt


p ≠ pi ETR

MTR LTR

pws

t p

Jika batas reservoir telah dicapai

+ Δt Δt

Untuk menggunakan metode di atas, maka harus dipenuhi keadaan dimana tidak ada pressure depletion (volume pengurasan konstan), yang artinya masih dalam keadaan transient. Jika ada pressure depletion maka pi tidak dapat ditentukan dengan cara di atas. Yang bisa dihitung adalah tekanan ra rata-rata di di da dalam da daerah pe pengurasan,

p . Se Seperti te telah di disebutkan

sebelumnya, metode metode untuk menentukan p yang populer populer adalah MBH p* method. Caranya adalah dengan menggunakan ”korelasi” yaitu plot: kh ( p * − p ) 70.6qBμ

vs.

disebut PDMBH

0.000264 k t p

φμ c t A disebut tDA

Untuk berbagai bentuk daerah pengurasan: p* = Tekanan ekstrapolasi MTR A = Luas daerah pengurasan, ft2

Prosedur Metode MBH p*: 1. Ekstrapolasi garis MTR ke ke (t p p + Δt)/Δt = 1, ini disebut p*. 2. Perkirakan bentuk daerah pengurasa sumur. 3. Pilih kurva PDMBH vs tDA untuk daerah pengurasan dari Langkah 2. 4. Hitung tDA dengan t p yang sama dengan Horner plot dan baca PDMBH dari kurva. 5. Hitung tekanan rata-rata: p

=

p * −m PDMBH 2.303

dimana m = kemiringan kurva MTR.


Contoh 5: Analisis Data Pressure Buildup Test Data untuk contoh ini diambil dari Ex. 2.2 W. J . Lee hal. 28. Pressure buildup test pada se buah sumur dilakukan selama 72 jam waktu penutupan setelah sumur tersebut diproduksikan selama 13630 jam. Data hasil test dan data lainnya ditunjukkan sebagai berikut:

Δt (jam) 0 0.15 0.2 0.3 0.4 0.5 1 2 4 6 7 8 12 16 20 24 30 40 50 60 72

(tp + Δt)/ Δt 90900 68200 45400 34100 27300 13600 6860 3410 2270 1950 1710 1140 853 683 569 455 342 274 228 190

Data reservoir dan produksi:

pws (psia)

qo = 250 STB/D

3534 3680 3723 3800 3866 3920 4103 4250 4320 4340 4344 4350 4364 4373 4379 4384 4393 4398 4402 4405 4407

μo

= 0.8 cp

φ

= 0.039

B = 1.136 bbl/STB =17 x 10-6 psi-1

ct

r w = 0.198 ft (berada di tengah daerah pengurasan berbentuk segi empat 2640 x 2640 ft; re adalah radius lingkaran dengan luas yang sama) r e

= 1489 ft

ρo

= 53 lbm/cuft

h

= 69 ft

a. Tentukan permeabilitas dan radius investigasi b. Tentukan tekanan rata-rata di daerah pengurasan ( p ) dengan menggunakan Grafik MBH yang bagian liniernya melewati titik-titik berikut:

⎛ ⎞ ⎜ * ⎟ p − p ⎟ p DMBH = ⎜ ⎜ m ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 2,303 ⎠

t DA =

0.000264 k t

φ μ ct A

4,50

2,9

3,45

1,0

c. Tentukan skin factor.


Penyelesaian: Horner plot yaitu pws vs. (tp +

Δt)/ Δt

dari data tersebut di atas ditunjukkan pada gambar

semilog plot berikut. Horner's Plot 4500 4300 a 4100 i s p , s w

p 3900

3700 3500 1.E+02

1.E+03 1.E+04 Horner's time

1.E+05

Dari plot di atas, ditentukan bagian linier mempunyai hubungan sebagai berikut:

pws (psia

(tp + Δt)/ Δt

4290

10000

4440

100

Catatan: Da Data ya yang tidak berupa ga garis lu lurus di atas adalah ETR k arena “afterflow distortion” atau “wellbore storage effects.” Bentuk “S” pada kurva berakhir pada

Δt

= 6 jam.

Selanjutnya, kalau diperhatikan, dua titik terakhir sudah mulai menyimpang dari garis lurus yang ditentukan. Dengan kata lain, MTR bermula pada

Δt = 6 jam dan berakhir pada Δt = 50

jam. a. Hitung permeabilitas dimana kemiringan kurva Horner m

=

4440 − 4290 2 cycle

= 75 psi / cycle

sehingga k =

162.6qBμ mh

=

(162.6)(250)(1.136)(0.8) (75)(69)

= 7.14 md

Hitung radius investigasi untuk MTR. Pada Δt = 6 jam:


1/ 2

1/ 2

⎛ ⎞ (7.14)(6) ⎟ = ⎜⎜ − 6⎟ 948 ( 0 . 039 )( 0 . 8 )( 17 x 10 ⎠ ⎝

⎛ kt ⎞ ⎟⎟ r i = ⎜⎜ 948 φμ c t ⎠ ⎝

= 292 ft

dana pada Δt = 50 jam: 1/ 2

⎛ kt ⎞ ⎟⎟ = r i ⎜⎜ 948 φμ c t ⎠ ⎝

1/ 2

⎛ ⎞ (7.14)(50) ⎟ = ⎜⎜ 6⎟ − 948 ( 0 . 039 )( 0 . 8 )( 17 x 10 ⎠ ⎝

= 843 ft

Dibandingkan dengan luas reservoir yang dicakup oleh radius ekivalen = 1489 ft, daerah yang “disampel” oleh pressure buildup test ini sudah cukup menggambarkan sebagian besar dari reservoir. b. Menghitung p dengan metode MBH: t DA

=

0.000264 kt p

φμ c t A

=

0.000264(7.14)(13630) = 6.95 2 6 − (0.039)(0.8)(17 x 10 ) (2640 )

Dengan menggunakan persamaan garis dari data grafik MBH yang diberikan, maka untuk tDA = 6.95 diperoleh p DMBH = 6.74, sehingga p = p * − p DMBH

m 2.303

dengan

⎧ t p + Δt ⎫ = 100⎬ + 2m = 4440 + 2 (75) = 4590 psi ⎩ Δt ⎭

p* = p ws @⎨ maka

p = p * − p DMBH

m 2.303

= 4590 − (6.74)

75 2.303

= 4370 psi

c. Untuk menghitung skin factor diperlukan p1 jam yang dapat diperoleh dari gambar dengan cara ekstrapolasi ke

Δt

= 1 jam atau dihitung dengan persamaan garis. Jika

digunakan cara yang pertama maka untuk Δt = 1 jam: t + Δt

Δt

=

13631 + 1 1

≅ 13631

sehingga pws,1 jam = 4295 psi (Catata: perkiraan ini jauh berbeda dengan data nyata dimana pada Δt = 1 jam, p ws = 4103 psia). Dengan menggunakan pw f = 3534 psia = tekanan pada saat penutupan yaitu pada

Δt = 0,

maka skin factor dihitung sebagai berikut: s

⎡ p1 jam − p wf ⎤ k = 1.151⎢ − log + 3.23⎥ 2 m ⎢⎣ ⎥⎦ φμ c t r w Teori dan Aplikasi Persamaan Difusivitas, hal. 60

⎡ 4295 − 3534

= 1.151⎢

75

⎢⎣

− log

7.14 (0.039)(0.8)(17 x 10 − 6 (0.198) 2

⎤ + 3.23⎥ ⎥⎦

= 5.57

Metode Analisis Data Drawdown Test Pressure Drawdown Test Ideal

Drawdown test yang ideal dapat digunakan untuk untuk menentukan skin factor, permeabilitas, dan volume daerah pengurasan. Dalam kasus ini, yang disebut ideal adalah bahwa test dilakukan pada kondisi infinite acting, yaitu kondisi aliran transient. Dengan demikian, maka solusi Ei-function dan pendekatan logaritmik berlaku, yaitu: p wf ( t ) = p i +

⎤ ⎛ 1688 φ μ c t r w 2 ⎞ ⎟ − 0.8695⎥ ⎢log⎜ ⎜ ⎟ kt ⎢⎣ ⎝ ⎥⎦ ⎠

162.6 qμ B ⎡ kh

(**)

Pressure Drawdown Test Nyata

Seperti halnya pada kasus pressure buildup test, maka pada kenyatannya, respons tekanan yang diperoleh mempunyai r egions ETR, MTR, dan LTR. Pada ETR maka Persamaan (**) di atas tidak berlaku. Sedangkan pada MTR, maka plot p wf vs log t akan berupa berupa garis lurus dengan slope: m

=−

162.6qBμ kh

Seperti pada kasus pressure buildup test, maka kemudian k dapat dihitung dari pembacaan harga m pada kurva. Demikian pula skin fa ctor dapat dihitung dengan menggunakan:

⎡ p i − p1 jam s = 1.151 ⎢ m ⎢

− log

⎣

p

f

ETR

k

φμ c t r w 2

⎤ + 3.23⎥ , m positif ⎥⎦

MTR LTR

Log t


Contoh 6: Analisis Data Pressure Drawdown Test Contoh ini diambil dari Problem 7.26 Craft dan Hawkins hal. 269. Pressure drawdown test dilakukan pada suatu sumur baru dengan laju produksi minyak (viskositas = 3.3 cp, faktor volume formasi 1.55 bbl/STB) konstan sebesar 550 STB/day. Tekanan awal reservoir adalah 4150 psia. Jika efek wellbore storage diabaikan, hitung: a. Permeabilitas formasi b. Skin factor c. Volume daerah pengurasan sumur. Data hasil test adalah sebagai berikut: t (jam)

pwf (psi)

1

4025

2

4006

3

3999

4

3996

6

3993

8

3990

10

3989

20

3982

30

3979

40

3979

50

3978

60

3977

70

3976

80

3975

Data lainnya: porositas 34.3%, kompresibilitas total 10 -5 psi-1, ketebalan formasi 93 ft, dan radius sumur 0.5 ft.

Penyelesaian: a. Berdasarkan plot pwf vs. waktu pada kertas semilog berikut dengan kemiringan garis lurus m = -20.0, maka permeabilitas dihitung sebagai: k = −

162.6qμB mh

=

−

162.6(550)(3.3)(1.55) ( −20)(93)

= 246 md

b. Dari plot pwf vs. waktu pada kertas semilog yang sama diperoleh p 1 jam = 4008 psi, dan kemiringan garis lurus m = -20.0, maka faktor skin dihitung sebagai:


⎡ p i − p1 jam ⎤ k s = 1.151 ⎢ − log + 3.23⎥ m ⎢⎣ ⎥⎦ φμ c t r w 2 ⎡ 4150 − 4008

s = 1.151 ⎢

20

⎢⎣

− log

( 246) (0.343)(3.3)(10 − 5)(0.5) 2

⎤ + 3.23⎥ ⎥⎦

= 2.75

pwf vs. t

4030

Data

4020

Slope = -2 0.0

4010

a i s p , 4000 f w

p

3990 3980 3970 1.E+00

1.E+01 Waktu, jam

1.E+02

c. Berdasarkan plot pwf vs. waktu pada kertas kartesian berikut dengan kemiringan garis lurus m = -0.10, maka volume pengurasan dihitung sebagai: Ahφ =

−

0.2339qB m' c t

=

−

0.2339 (550)(1.55) = 1.99 x 10 8 ft3 ( −0.10)(10 − 5) pwf vs. t

4000

Data Slope = -0 .10

a i s p , f

3990

w

p

3980

3970 0

10

20

30

40 50 60 Waktu, jam

70

80

90


1-II-Teori Dan Aplikasi Persamaan Difusivitas

Recommend Documents