1. Dinamica Estructural en Sist. de 1 GDL

Comunidad para la Ingeniería Civil Diplomado La Ingeniería Sísmica - Edificios

Dinámica Estructural SDOF

Dinámi mica ca Estru Est ruct ctur ural al de Sis Sistemas temas Elasti Elasticos cos de Un Un Solo Grado de Lib L ibertad ertad (S (SDO DOF) F)

En este grupo de presentaciones se cubren los conceptos fundamentales de la dinámica estructural de estructuras lineales elásticas de un solo grado de libertad (single degree of freedom, SDOF). En otro tópico posterior se cubrirá el análisis de sistemas linales elásticos de múltiples grados de libertad (multiple degree of freedom, MODF). Y en otro tópico también se abordará el comportamiento inelástico de estructuras. La habilidad de la ingeniería sísmica requiere un exhaustivo entendimiento de cada uno de estos tópicos.

Análisis Tiempo Historia Historia Lineal y No Lineal Lineal de Edificios

1



Diná mi mica ca Estru Est ruct ctur ural al • Ecuaciones del movimiento para Estructuras SDOF Frecu encia y Periodo Per iodo de Vibració Vib ració n Estructural Estruct ural • Frecuencia Compo rtamiento nto bajo baj o cargas carga s diná micas • Comportamie

• Magnif Mag nifica icació ció n diná din ámica mic a y reson re sonanc ancia ia • Efecto del amortiguamiento en el comportamiento Espec tro de Respuest Re spuesta a lineal linea l elástico • Espectro


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Diná mi mica ca Estru Est ruct ctur ural al • Ecuaciones del movimiento para Estructuras SDOF Frecu encia y Periodo Per iodo de Vibració Vib ració n Estructural Estruct ural • Frecuencia Compo rtamiento nto bajo baj o cargas carga s diná micas • Comportamie

• Magnif Mag nifica icació ció n diná din ámica mic a y reson re sonanc ancia ia • Efecto del amortiguamiento en el comportamiento Espec tro de Respuest Re spuesta a lineal linea l elástico • Espectro


2



Estructura SDOF Idealizada F(t) Mass

F ( t ) , u ( t )

t

Damping Stiffness

u(t)

t

El pórtico simple es idealizado como un modelo SDOF masa-resorte-amortiguador con una carga aplicada que varía con el tiempo. La función u(t) define la respuesta de desplazamiento del sistema bajo la carga F(t). Las propiedades de la estructura pueden ser definidas completamente por la masa, amortiguamiento, y rigidez como se muestra. La idealización asume que toda la masa de la estructura puede ser agrupada en un solo punto y que toda la deformación en el pórtico ocurre en las columnas con la viga manteniéndose rígida. Representar el amortiguamiento como un amortiguador simple viscoso común permite un análisis dnámico lineal. Otros tipos de modelos de amortiguamiento (por ejemplo, amortigudamiento de fricción) son más realistas pero requieren análisis no lineal.


3



Ecuación de Equilibrio Dinámico f I ( t )

F ( t )

f D ( t )

0 .5 f S ( t )

0 .5 f S ( t )

F ( t ) − f I ( t ) − f D ( t ) − f S ( t ) = 0 f I ( t )

+

fD (t )

+

f S ( t )

=

F ( t )

Aquí las ecuaciones de movimiento son mostradas como un balance de fuerzas. En cualquier punto en el tiempo, las fuerzas inerciales, de amortiguamiento y elásticas resistentes no necesariamente actúan en la misma dirección. Sin embargo, en cada punto en el tiempo, el equilibrio dinámico debe de mantenerse.

Análisis Tiempo Historia Lineal y No Lineal de Edificios

4



Resp Re spuest uesta a Obs Observada ervada del SDOF SDOF Linea Lin eall App li ed For ce, ki ps

40 0 -40

0 .0 0

0 .2 0

0 .4 0

0 .6 0

0 .8 0

1 .0 0

0 .4 0

0 .6 0

0.80

1 .0 0

0.40

0.60

0 .8 0

1.00

0 .4 0

0 .6 0

0 .8 0

1 .0 0

Displacement, Displacement, i n 0.50 0.00 -0.50 0 .0 0

15.00

0 .2 0

Velocity, in/sec

0.00 -15.00 0.00

0 .2 0

Acc elerat ion ,

in/s ec2

400.00 0.00 -400.00 0 .0 0

0 .2 0

Time, sec

En la figura se muestra una serie de historias de respuesta para un sistema SDOF sometido a una carga tipo diente de sierra. Como resultado de la carga, la masa experimentará desplazamiento, velocidad, y aceleración. Cada una de estas cantidades son medidas con respecto a la base fija de la estructura. Notar que aunque la carga es discontinua, la respuesta es relativamente suave. También, las líneas verticales muestran que la velocidad es cero cuando el desplazamiento es máximo y la aceleración es cero cuando la velocidad es máxima.


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Resp Re spuest uesta a Obs Observada ervada del SDOF SDOF Linea Lin eall (Desarrollo (Desa rrollo de d e la Ecuació Ecua ción de Equilibri Equi librio) o) Spring Force, kips

Inertial Force, kips

Damping Force, Kips

30.00

4.00

50.00

15.00

2.00

25.00

0.00

0.00

0.00

-15.00

-2.00

-25.00

-0.60

-50.00

-4.00

-30.00 -0.30

0.00

0.30

0.60

-20.00

Displacement, inches

Slope = k = 50 kip/i n

f S ( t ) = k u( t )

-10.00

0.00

10.00

20.00

Velocity, In/sec

Slope = c = 0.254 kip-sec/in

f D ( t ) = c u& ( t )

-500

-250

0

250

500

Accelerati on, in/sec 2

Slope = m = 0.130 0.130 kip -sec 2/in

&&( t ) f I ( t ) = m u

Estas curvas X-Y son tomadas del mismo análisis que produjo las historias de respuesta del gráfico anterior. Para un sistema lineal, las fuerzas resistentes son proporcionales al movimiento. La pendiente de la curva de la fuerza-inercial vs la aceleración es igual a la masa. Relaciones similares existen para la fuerza de amortiguamiento vs la velocidad (pendiente = amortiguamiento) y la fuerza elástica vs el desplazamiento (la pendiente = rigidez)


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Ecuaci Ecu ació ón de d e Equ Equililii br brio io Din Diná ámi mico co f I ( t )

F ( t )

f D ( t )

0 .5 f S ( t )

0 .5 f S ( t )

f I ( t )

+

fD (t )

+

f S ( t )

&&( t ) mu

+

c u& ( t )

+

k u( t )

= =

F ( t ) F ( t )

Aquí las ecuaciones de movimiento son mostradas en términos del desplazamiento, la velocidad, la aceleración, y las relaciones de la fuerza presentadas en la figura anterior. Dada la función de la fuerza, F(t), el objetivo principal es determinar la historia de respuesta del sistema.


7



Propiedades de la Masa Estructural Mass

e c r o F l a n r e t n I

M 1.0

Accel eration

• Incluye todo el peso muerto de la estructura • Puede incluir alguna carga viva • Tiene unidades fuerza/aceleración

La masa siempre se asume constante a lo largo de la respuesta. El ASCE 7 define esta masa en términos del "peso efectivo" de la estructura. El peso efectivo incluye el 25% de la carga viva del entrepiso en áreas usadas para almacenaje, 10 psf de asignación de particiones, peso operativo de todo el equipo permanente, y 20% de la carga de nieve en losas planas cuando excede de 30 psf.


8



Propiedades del Amortiguamiento Estructural

Damping

e c r o F g n i p m a D

C 1.0

Velocity

• En ausencia de amortiguadores, es llamada amortiguamiento inherente • Generalmente representada por amortiguadores lineales viscosos • Tiene unidades fuerza/velocidad

Excepto para el caso de amortiguamiento añadido, las estructura reales no tienen amortiguadores discretos como se muestra. El amortiguamiento real o inherente surge de la fircción en el material. Para estructuras de concreto agrietadas, el amortiguamiento es elevado debido al frotamiento en conjunto de las superficies áseras en cualquier lado de una grieta. En los análisis, se usa un amortiguador viscoso equivalente principalmente debido a la conveniencia matemática. La fuerza de amortiguamiento es a la velocidad.


9



Propiedades del Amortiguamiento Estructural

Damping

e c r o F g n i p m a D

AREA = ENERGY DISSIPATED

Displacement

La respuesta amortiguamiento vs desplazamiento es elíptica para el amortiguador lineal viscoso

La relación fuerza-desplazamiento para un amortiguador lineal viscoco es una elipse. El área dentro de la elipse es la energía disipada por el amortiguador. A mayor energía disipada por amortiguamiento, menor será el potencial para el daño de las estructuras. Esta es la principal motivación para el uso de sistemas de amortiguamiento añadidos. La energía que es disipada es irrecuperable.


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Propiedades de la Rigidez Estructural

s s e n f f i t S

e c r o F g n i r p S

K 1.0

Displacement

• Incluye todos los miembros estructurales • Puede inlcuir algunos miembros "sismicamente no estructurales" • Requiere un modelamiento matemático cuidadoso • Tiene unidades fuerza/desplazamiento

En este tópico, se asume que la relación fuerza-desplazamiento en el resorte es lineal elástico. Las estructuras reales, especialmente aquellas diseñadas de acuerdo a las disposiciones sísmicas del código actual, no se mantendrán elásticas y, por tanto, la relación fuerza-deformación es no lineal. Sin embargo, el análisis lineal es a menudo (casi exclusivamente) usado en la práctica. Esta contradicción aparente se explicará cuando al discusión progrese. El modelamiento de la estructura por rigidez tiene incertidumbres muy significativas. El ASCE/SEI 7 proporciona akgumas directrices para el modelamiento de la estructura por rigidez.


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Propiedades de la Rigidez Estructural

s s e n f f i t S

e c r o F g n i r p S

AREA = ENERGY DISSIPATED

Displacement

• Es casi siempre no lineal en la respuesta sísmica real • La no linealidad es implícitamente manipulada por los códigos • El modelamiento explícito de los efectos no lineales es posible

Esta es una respuesta idealizada de una estructura inelástica simple. El área dentro de la curva es la energía inelástica histerética disipada por la fluencia del material. A mayor energía histerética en relación a la energía del amortiguamiento, mayor el daño. En este tópico, se asume que el material no fluye. La respeusta inelástica no lineal es explícitamente incluida en otro tópico.


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Vibració n Libre No Amortiguada Ecuación del movimiento:

&&( t ) + k u( t ) = 0 mu

Condiciones iniciales:

u& 0

Asumir: Solución:

u( t )

=

A =

u& 0

=

u& 0

u ( t )

u0

A sin( ω t ) + B cos( ω t )

B

ω ω

= u0

ω =

k m

sin( ω t ) + u 0 cos( ω t )

En esta unidad, se trabajará a travéz de una jerarquía de problemas cada vez más difíciles. El problema más simple a resolver es la vibración libre no amortiguada. Generalmente, este tipo de respuesta se invoca imponiendo un desplazamiento estático y luego liberando la estructura con velocidad inicial cero. La ecuación de movimiento es una ecuación diferencial de segundo orden con coeficientes constantes. El término desplazamiento es tratado como la principal incógnita. La respuesta asumida está en términos de una onda sinusoidal y una onda coseno. Es fácil de ver que la onda coseno sería generada imponiendo un desplazamiento inicial en la estructura y luego liberándola. La onda seno se impondría inicialmente "empujado" la estructura con una velocidad inicial. La solución calculada es una combinación de los dos efectos. La cantidad ω es la frecuencia circular de vibración libre de la estructura (radianes/segundos). A mayor rigidez relativa a la masa, mayor la frecuencia. A mayor masa con respecto a la rigidez, menor la frecuencia.


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Vibració n Libre No Amortiguada u& 0

T = 0.5 sec

1.0

s e 3 h c 2 n i , 1 t n e 0 m e -1 c a l p -2 s i D -3

u0

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

Time, seconds Frecuencia Circular (radians/sec)

ω =

k m

Frecuencia Cíclica (cycles/sec, Hertz)

f

=

ω 2π

Periodo de Vibració n (sec/cycle)

T =

1 f

=

2π ω

En la figura se muestra una historia de respuesta calculada para un sistema con un desplazamiento y velocidad inicial. Notar que la pendiente de curva de respuesta inicial es igual a la velocidad inicial (v = du/dt ). Si este término es cero, la respuesta de vibración libre es una onda coseno simple. Notar también que el movimiento no amortiguado mostrado continuará por siempre sin desinhibirse. En estructuras reales, el amortiguamiento eventualmente reducirá la respuesta de vibración libre a cero. La relación entre la frecuencia circular, la frecuencia cíclica, y el periodo de vibración es enfatizada. El periodo de vibración es probablemente el más fácil de visualizar y es por lo tanto usado en el desarrollo de las disposiciones sísmicas de los códigos. A mayor masa relativa a la rigidez, mayor el periodo de vibración. A mayor rigidez relativa a la masa, menor el periodo de vibración.


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Periodos de Vibración Aproximados (ASCE 7)

T a C t = 0.028, x C t = 0.016, x C t = 0.030, x C t = 0.020, x

= C t h xn

= 0.8, para pó rticos de acero resistentes a momento = 0.9, para pórticos de concreto resistentes a momento = 0.75, para pórticos arriostrados excentricamente = 0.75, para todos los otros sistemas

Nota: !Esto se aplica solamente a estructur as para edifici os¡

T = 0.1 N a

Para pó rticos resistentes a momento menores a 12 pisos en altura, y altura mínima de piso de 10 pies. N = número de pisos.

Una de las primeras labores en cualquier proyecto de diseño sismico es estimar el periodo de vibración de la estructura. Para el diseño preliminar (y a menudo para el diseño final), un periodo empírico de vibración es usado. EL ASCE/SEI 7 proporciona ecuaciones para estimar este periodo. Estas ecuaciones se listan arriba.


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Datos Empíricos para la Determinación del Periodo Aproximado para los Pórtic os de Acero Resistentes a Momento

T a

= 0.028hn0.8

Ta está basado en la curva ajustada de datos obtenidos a partir de respuestas medidas de edificios de California luego de sismos pequeños. Como podrá verse luego, a periodos más pequeños, mayor la fuerza sísmica para la que debe ser diseñada. Por tanto, una relación empírica de límite inferior es usada.

Ya que la fórmula del periodo empírico está basada en la respuesta medida de edificios, no deberá usarse para estimar el periodo para otros tipos de estructuras (puentes, presas, torres).


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Periodos de Vibració n de Estructuras Comunes 20-story moment resisting frame 10-story moment resisting frame 1-story moment resisting frame

T = 1.9 sec T = 1.1 sec T = 0.15 sec

20-story braced frame 10-story braced frame 1-story braced frame

T = 1.3 sec T = 0.8 sec T = 0.1 sec

Gravity dam Suspension bridge

T = 0.2 sec T = 20 sec

En la figura se muestra periodos de vibración típicos para varias estructuras simples. Los ingenieros deberán desarrollar un "sentido" para que un periodo de vibración apropiado de sea para estructuras de edificios simples. Para estructuras de edificios, la fórmula T = 0.1 es el más simple de "verificar realmente". El periodo para un edificio de 10 pisos deberá ser aproximadamente de 1 segundo. Si un análisis de computadora da un periodo de 0.25 segundos o 3.0 segundos para un edificios de 10 pisos, algo está probablemente mal en el análisis.


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Factor de Ajuste en el Periodo Aproximado

T = T a C u SD1 > 0.40g 0.30g 0.20g 0.15g < 0.1g

≤ T computed C u

1.4 1.4 1.5 1.6 1.7

Aplicable SOLO si T computed proviene de un análisis apropiadamente sustanciado

En algunos casos, es apropiado remover el "conservatismo" de las fórmulas del periodo empírico. Esto se hace a travéz del uso del coeficiente Cu. Este conservatismo surge a partir de dos fuentes: 1. El periodo del límite inferior fue utilizado en el desarrollo de la fórmula del periodo. 2. Este periodo en el límite inferior es alrededor de 1/1.4 veces el periodo mejor encajado. La fórmula empírica fue desarrollada sobre la base de datos a partir de edificios de California. Edificios en otras partes del país (por ejemplo, Chicago) donde las fuerzas sísmicas no son tan elevadas probablemente sean más grandes que aquellas para el mismo edificio en California. Es importante notar que el periodo más grande no puede ser usado sin el beneficio de un análisis "apropiadamente sustanciado", el cual probablemente se desarrolle en una computadora


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¿Cual Periodo de Vibración Usar en el Análisis por la Fuerza Lateral Equivalente? Si no se tiene un periodo mas preciso (desde un aná lisis por computadora), se debe usar T = T a. Si se tiene un periodo mas preciso a partir de un aná lisis por computadora (denominado T c ), entonces: Si T c > C uT a

usar T = C uT a

Si T a < T c < T uC a usar T = T c Si T c < T a

usar T = T a

En la presentación se muestra las limitaciones sobre el uso de CuTa . El ASCE/SEI 7 no permite usar un periodo mayor que CuTa con respecto de aquel que se obtiene del análisis por computadora.


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Vibració n Libre Amortiguada Ecuació n de Movimiento: Condiciones Iniciales: Asumir: :

&&( t ) + c u& ( t ) + k u ( t ) mu

u0

=

0

u& 0

u ( t ) = e st

Solución:

u( t )

=

ξ =

e

− ξω t

⎡ u& 0 + ξω u 0 u t ⎢ 0 cos( ω D ) + ω D ⎣

c

2 m ω

=

c cc

ω D

=ω

⎤ ⎦

sin( ω D t ) ⎥

1 − ξ 2

Esta presentación muestra la ecuación de movimiento y la respuesta en vibración libre amortiguada. Notar la similitud con la solución no amortiguada. En particular, notar el término de decaimiento exponencial que sirve como un multiplicador de la respuesta total. El amortiguamiento crítico (cc ) es definido como la cantidad de amortiguamiento que no producirá ninguna oscilación. Ver la siguiente presentación. La frecuencia circular amortiguada es calculada como se muestra. Notar que en muchos casos prácticos (x < 0.10), esta será efectivamente la misma como la frecuencia no amortiguada. La excepción es en sistemas amortiguados muy elevados. Notar que la relación de amortiguamiento está a menudo dada en términos del % crítico.


20



Amortiguamiento en Estructuras ξ =

c

2 m ω

=

c cc

cc es la constante del amort. crítico

ξ se expresa como una relació n (0.0 < ξ < 1.0) en los cálculos Algunas veces ξ se expresa como un % (0 < ξ < 100%). Displacement, in

Time, sec

Respuesta del Sistema Críticamente Amortiguado

o 100% del crít ico

El concepto del amortiguamiento crítico se define aquí. Un buen ejemplo de la respuesta críticamente amortiguada puede encontrarse en las puertas pesadas que están encajadas con amortiguadores para evitar que la puerta se cierre de golpe.


21



Amortiguamiento en Estructuras El amortiguamiento en estructuras no es viscoso. Sin embargo, para valores bajos de amortiguamiento, el amortiguamiento viscoso se permite para las ecuaciones lineales y simplifica vastamente la solución. Spring Force, kips

Inertial Force, kips

Damping Force, Kips

30.00

4.00

50.00

15.00

2.00

25.00

0.00

0.00

0.00

-15.00

-2.00

-25.00

-0.60

-50.00

-4.00

-30.00 -0.30

0.00

0.30

0.60

-20.00

Displacement, inches

-10.00

0.00

10.00

Velocity, In/sec

20.00

-500

-250

0

250

500

Accelerati on, in/sec 2

Una presentación anterior es repetida aquí para enfatizar que el amortiguamiento en estructuras reales NO es viscosa. Es friccional o histerética. El amortiguamiento viscoso es usado simplemente porque linealiza las ecuaciones de movimiento. El uso del amortiguamiento viscoso es aceptable para el modelamiento del amortiguamiento inherente pero deberá ser usado con extremo cuidado cuando represente el amortiguamiento añadido o la pérdida de energía asociada con la fluencia en el sistema estructural principal.


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Vibració n Libre Amortiguada

s e 3 h c 2 n i , 1 t n e 0 m e -1 c a l p -2 s i D-3

0% Damping 10% Damping 20% Damping

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

Time, seconds

En esta presentación se muestra algunas respuestas simples de vibración libre amortiguada. Cuando el amortiguamiento es cero, la vibración sigue por siempre. Cuando el amortiguamiento es el 20% del crítico, muy pocos ciclos son requeridos para que la vibración libre ser efectivamente amortiguada. Para el 10% de amortiguamiento, el pico es aproximadamente 1/2 de la amplitud del pico previo.


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Amortiguamiento en Estructuras Pórticos soldados de acero Pórticos atornillados de acero

ξ = 0.010 ξ = 0.020

Concreto pretensado no agrietado Concreto reforzado no agrietado Concreto reforzado agrietado

ξ = 0.015 ξ = 0.020 ξ = 0.035

Muros de corte contrachapados pegados Muros de corte contrachapados clavados

ξ = 0.100 ξ = 0.150

Estructuras de acero dañadas Estructuras de concreto dañadas

ξ = 0.050 ξ = 0.075

Estructuras con amortiguamiento añadido

ξ = 0.250

Algunos valores reales del amortiguamiento son listados para estructuras comprendiendo diferentes materiales. Los valores para acero y concreto no dañado (valores no agrietados de la tabla) pueden considerarse como valores trabajables de esfuerzo.


24



Amortiguamiento en Estructuras Amortiguamiento Inherente

ξ

es una propiedad estructural (material) independiente de la masa y de la rigidez

ξ Inherent = 0.5 al 7.0% del crítico Amortiguamiento Añ adido C

ξ es una propiedad estructural dependiente de la masa y rigidez y de la constante de amortiguamiento C del dispositivo

ξ Added = 10 al 30% del crítico

La distinción entre el amortiguamiento inherente y el amortiguamiento añadido deberá ser claramente entendido.


25



Medición de Amortiguamiento a partir de Pruebas de Vibración Libre Para todos lo s valores de amortig.

1

u1

ln

0.5 e d u t i l p m A

u2

u3

u 1 u2

2 πξ

=

1 − ξ 2

0

u0 e

-0.5

Para valores del amortig. muy bajos

− ξω t

ξ ≅

-1 0.00

0.50

1.00

1.50

2.00

2.50

3.00

u1

− u2

2 π u 2

Time, Seconds

Uno de los métodos más simples para medir el amortiguamiento es una prueba de vibración libre. La estructura es sometida a un desplazamiento inicial y es repentinamente liberada. El amortiguamiento es determinado a partir de las fórmulas dadas. La segunda fórmula deberá usarse sólo cuando el amortiguamiento esperado sea menor que alrededor del 10% del crítico.


26



Carga Armó nica No Amortiguada Ecuación del Movimiento:

m u&&( t ) + k u ( t )

= p 0 sin( ω t )

ω = frecuencia de la fu nción de la fuerza

T =

2π ω

T = 0.25 sec po=100 kips

150 s p i K , e c r o F

100 50 0 -50 -100 -150 0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

1.25

1.50

1.75

2.00

Time, Seconds

La siguiente serie de presentaciones cubre la respuesta de sistemas SDOF no amortiguados a cargas armónicas simples. Notar que la frecuencia de la carga está dada por el término omega con la barra superior. El periodo de la carga diseña en una forma similar.


27



Carga Armó nica No Amortiguada &&( t ) Ecuació n del Movimiento: m u

+

k u( t )

=

p 0 s in ( ω t )

Se asume que el sistema inicialmente está en reposo: Solució n particular: u ( t )

=

C s i n ( ω t )

Solució n complementaria: u( t ) = A sin(ωt ) + B cos(ω t ) Solución:

u (t ) =

⎛ sin(ω t ) − ω sin(ω t ) ⎞ ⎜ ⎟ k 1 − (ω / ω ) 2 ⎝ ω ⎠

p 0

1

Esta presentación establece la ecuación de movimiento para la carga armónica no amortiguada y da la solución. Se tiene que asumir que el sistema está inicialmente en reposo.


28



Carga Armónica No Amortiguada Se define β =

ω

Frecuencia de la carga

ω

Frecuencia natural de l a estructura

Magnific ador diná mico

u ( t )

=

p0

1

k 1 − β

2

Respuesta transitori a (a la frecuencia de la estructura)

(sin( ω t ) − β sin(ω t ) )

Respuesta en estado Desplazamiento está tico estacionario (a la frecuencia de la carg) a)

Aquí se rompe la respuesta en la respuesta en estado estacionario (a la frecuencia de la carga) y la respuesta transitoria (a la frecuencia natural propia de la estructura). Notar que el término po/k es el desplazamiento "estático". El maginificador dinámico muestra cómo los efectos dinámicos pueden incrementarse (o disminuir) la respuesta. Ese magnificador es una función de la relación de frecuencia β. Notar que el magnificador se vuelve infinito si la relación de frecuencia β es 1.0. Esto define la condición resonante. En otras palabras, la respuesta es igual a la respuesta estática, veces un multiplicador, veces la suma de dos ondas seno, uno en fase con la carga y la otra en fase con la frecuencia natural no amortiguada de la estructura.


29


ω


= 4π rad / s

Carga (klb)

ω

0.25

0.50

0.75

1.00

1.25

1.50

1.75

2.00

0.25

0.50

0.75

1.00

1.25

1.50

1.75

2.00

0.25

0.50

0.75

1.00

1.25

1.50

1.75

2.00

0.25

0.50

0.75

1.00

1.25

1.50

1.75

2.00

10 5 0 -5 -10 0.00

Respuesta total (plg)

. uS = 5.0 plg

10 5 0 -5 -10 0.00

Respuesta transitoria (plg)

β = 0.5

200 100 0 -100 -200 0.00

Respuesta en estado estacionario (plg)

= 2π rad / s

10 5 0 -5 -10 0.00

Time, seconds

Esta es una repsuesta historia del tiempo de una estructura con una frecuencia natural de 4 rad/s (f=2 Hz, T=0.5 s), y una frecuencia de carga de 2 rad/s (f=1 Hz, T=1 s), dando una relación de frecuencia β de 0.5. La amplitud de carga armónica es 100 klb. El desplazamiento estático es 5.0 plg. Notar cómo la respuesta en el estado estacionario está en la frecuencia de carga, está en fase con la carga, y tiene una amplitud más grande que el desplazamiento estático. La respuesta transitoria está en la frecuencia propia de la estructura. En estructura reales, el amortiguamiento causaría que este componente desaparezca luego de unos pocos ciclos de vibración.


30


ω

≈


4 π rad / s

ω

=

4 π rad / s

β = 0.9 9 u S

=

5.0 plg.

15 0 10 0

Carga (klb)

50 0 -5 0 -100 -150 0 .0 0

0 .2 5

0 .5 0

0 .75

1.0 0

1 .2 5

1 .50

1 .7 5

2 .0 0

0.2 5

0 .50

0 .7 5

1 .00

1 .25

1 .50

1 .7 5

2.00

0.25

0.50

0.75

1.00

1.25

1.50

1.75

2.00

0.25

0.50

0.75

1.00

1.25

1.50

1.75

2.00

50 0


25 0 0 -250 -500 0 .0 0

500


250 0 -250 -500 0.00 80


40 0 -40 -80 0.00

Time, seconds

En esta presentación, ϖ ha sido incrementado hasta 4π rad/s, y la estructura está casi en resonancia. La respuesta en estado estacionario está aún en fase con la carga, pero notar la magnificación enorme en la respuesta. La respuesta transitoria está practicamente igual a y opuesta al la respuesta en estado estacionario. Si uno casualmente observa en las curvas de la respuesta en estado transitorio y en estado transitorio, parece que ellas podrían cancelarse. Notar, sin embargo, que las dos respuestas no están exactamente en fase debido a la ligera diferencia en la carga y en las frecuencias naturales. Esto puede verse más claramente en el tiempo 1.75 s en la respuesta. La respuesta del estado estacionario cruza el eje horizontal a la derecha de la vertical de la línea de 1.75 s mientras que la respuesta transitoria cruza exactamente en 1.75 s. En estructuras reales, la amplitud incrementada observada podría ocurrir sólo para algún límite y luego la fluencia ocurriría. Esta fluencia introduciría disipación histerética de energía (amortiguamiento aparente), causando que la respuesta transitoria desaparezca y conduzca a una respuesta en estado estacionario constante y amortiguada.


31



Curva de Respuesta Resonante No Amortiguada 80

2π uS

g 40 l p , o t n e i

m 0 a z a l p s e D-40

Linear envelope -80 0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

1.25

1.50

1.75

2.00

Tiempo, segundos

Esta es una vista alargada de la curva de respuesta total a partir de las presentaciones previas. notar que la respuesta está limitada dentro de una envolvente lineal incrementada con el incremento en el desplazamiento por ciclo siendo 2π veces el desplazamiento estático.


32


≈ 4π rad / s

ω


= 4π rad / s

uS = 5.0 plg .

β = 1.01

15 0 10 0

Carga (klb)

50 0 -5 0 -100 -150 0 .0 0

0 .2 5

0 .5 0

0 .7 5

1 .0 0

1 .2 5

1 .5 0

1 .7 5

2 .0 0

0 .2 5

0 .5 0

0 .7 5

1 .0 0

1 .2 5

1 .5 0

1 .7 5

2 .0 0

0 .2 5

0 .5 0

0 .7 5

1 .0 0

1 .2 5

1 .5 0

1 .7 5

0.25

0 .50

0 .75

1.00

1.2 5

1.5 0

1.75

50 0


25 0 0 -250 -500 0 .0 0

50 0


25 0 0 -250 -500 0 .0 0

2 .0 0

80


40 0 -40 -80 0.0 0

2 .00

Time, seconds

En esta presentación, la frecuencia de la carga ha sido incrementada ligeramente, pero la estructura aún está cercana a la resonancia. Notar, sin embargo, que la respuesta del estado estacionario está 180 grados fuera de fase con la carga y la respuesta transitoria está en fase. El desplazamiento total resultante es efectivamente idéntico a aquel mostrado dos páginas atrás.


33


ω


β = 2 .0

ω = 8π rad / s

= 4π rad / s

. uS = 5.0 plg

15 0

Carga (klb)

10 0 50 0 -50 -100 -150 0.0 0


0.25

0.50

0.75

1.00

1.25

1.50

1.75

2 .00

0 .2 5

0 .5 0

0 .7 5

1 .0 0

1 .2 5

1 .5 0

1 .7 5

2 .0 0

0 .2 5

0 .5 0

0 .7 5

1 .0 0

1 .2 5

1 .50

1 .7 5

2 .0 0

0 .2 5

0 .5 0

0 .7 5

1 .0 0

1 .2 5

6 3 0 -3 -6 0 .0 0 6


3 0 -3 -6 0 .0 0 6


3 0 -3 -6 0 .00

1 .5 0

1 .7 5

2 .0 0

Time, seconds

La frecuencia de la carga está ahora duplicando la frecuencia de la estructura. Aquí el punto importante es que la amplitud de la respuesta en estado estacionario es ahora menor que el desplazamiento estático.


34



Relación de Respuesta: Estado Estacionario al Estático (Signos Retenidos) 12.00

8.00

)

2

1 ( / 1 r o t c a F n o i t a c i f i n g a M

In phase

4.00

Resonance

0.00

-4.00

180 degrees out of ph ase

-8.00

-12.00 0.00

0.50

1.00

1.50

2.00

2.50

3.00

Frequency Ratio

Este gráfico muestra la relación de la respuesta del estado estacionario al desplazamiento estático para la estructura cargada en diferentes frecuencias. A frecuencias de carga bajas, la relaciónes 1.0, indicando una respuesta (como se espera). En frecuencias de carga muy elevadas, la estructura efectivamente no tiene tiempo para responder a la carga de modo que el desplazamiento es pequeño y se aproxima a cero en frecuencias muy elevadas. El fenómeno de resonancia está mostrada muy claramente. El cambio en el signo en la resonancia está asociado con el comportamiento en-fase/fuera-de-fase que ocurre a travéz de la resonancia.


35



Relació n d e Respuesta: Estado Estacio nario al Estáti co (Valores Absolu tos) 12.00

Resonance )

10.00

2

1 ( / 1 r o t c a F n o i t a c i f i n g a M

8.00

6.00

4.00

Slowly loaded

Rapidly loaded

2.00

1.00 0.00 0.00

0.50

1.00

1.50

2.00

2.50

3.00

Frequency Ratio

Este es el mismo como la presentación previa pero los valores absolutos son trazados. Esto muestra claramente el fneómeno de resonancia.


36



Carga Armó nica Amortiguada Ecuación de Movimiento:

&&( t ) + cu& ( t ) + k u ( t ) mu T =

2π ω

=

p0 sin(ω t )

= 0.25 sec

150

po=100 kips

100 s p i 50 K , e c r o F

0 -50

-100 -150 0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

1.25

1.50

1.75

2.00

Time, Seconds

Ahora se introduce el amortiguamiento en el comportamiento. Notar la adición del término apropiado en la ecuación de movimiento.


37



Carga Armónica Amortiguada Ecuació n de movimiento:

&&( t ) + cu& ( t ) + k u ( t ) mu

=

p 0 sin(ω t )

Asumir que el sistema inicialmente está en reposo Solució n particular:

u(t )

= C sin(

t ) + D cos( t )

Solució n complementaria:

u(t )

= e − ξω t [ A sin(ω D t ) + B cos(ω D t ) ]

ξ =

c

2mω

Solució n:

u(t )

= e − ξω t [ A sin(ω D t ) + B cos(ω D t ) ] + C sin(ω t ) + D cos(ω t )

2 ω D = ω 1 − ξ

Esta presentación muestra cómo la solución a la ecuación diferencial es obtenida. La respuesta transitoria (como se indicó por los coeficientes A y B) será amortiguada y es excluida de mayores discusión.


38



Carg Ca rga a Ar Armó mó ni nica ca Amort Amo rtig iguada uada Respuesta Re spuesta transitori a en frecuencia de la estructura (eventualmente amortiguada)

u (t )

=

e

− ξω t

[ A s i n (ω D t ) + B c o s (ω D t ) ] +

C sin(ω t ) + D cos(ω t ) Respuesta Re spuesta en estado estacionario en la frecuencia de carga C =

po

1 − β 2

k (1 − β )

2 2

+ (2ξβ )

2

D =

po k

− 2ξβ (1 − β 2 ) 2 + (2ξβ ) 2

Esta presentación muestra los coeficientes C y D de la respuesta del estado estacionario. Notar que hay un componente en fase con la carga (el término seno) y un componente fuera de fase con la carga (el término coseno). La diferencia de la fase real entre la carga y la respuesta depende de las relaciones del amortiguamiento y de la frecuencia Notar que el término del decaimiento exponencial causa que la respuesta transitoria se amortgue en el tiempo.


39



Carg Ca rga a Armó Arm óni nica ca Amort Amo rtig iguada uada (5% (5 % Amo Amort rtigu iguada ada)) BETA=1 (Resonance) Beta=0.5 Beta=2.0

50 s 40 e h c 30 n I , e 20 d u t i l 10 p m 0 A t n -10 e m e -20 c a l p -30 s i D

-40 -50

0.00

1.00

2.00

3.00

4.00

5.00

Time, Seconds

Este gráfico muestra la respuesta de una estructura en tres diferentes frecuencias de carga. De significativo interés es la respuesta resonante, el cual está ahora limitada. (La respuesta no amortiguada se incrementa indefinidamente).


40



Carg Ca rga a Armó Arm óni nica ca Amort Amo rtig iguada uada (5% (5 % Amo Amorti rtiguada) guada) 50 40

s e h 30 c n I , e 20 d u t 10 i l p m 0 A t n -10 e m e c -20 a l p -30 s i D

1 2ξ

δ Static

-40 -50

0.00

1.00

2.00

3.00

4.00

5.00

Time, Seconds

Para estructuras amortiguadas viscosamente, la amplitud de la resonancia siempre estará limitada como se muestra.


41



Carga Armó nica en Resonancia Efectos del Amor tiguamiento 200 s e h 150 c n I , 100 e d u 50 t i l p m 0 A t n -50 e m e c -100 a l p s -150 i D

-200 0.00

1.00

2.00

3.00

4.00

5.00

Time, Seconds 0% Damping

%5 Damping

Una comparación de las respuestas amortiguadas y no amortiguadas se muestra aquí. La respuesta no amortiguada tiene una envolvente de incremento lineal; la curva amortiguada alcanzará una respuesta de estado estacionario constante luego de pocos ciclos.


42



14.00

Resonance 0.0% Damping

12.00

5.0 % Damping r e i f i l 10.00 p m A e 8.00 s n o p s e R 6.00 c i m a n 4.00 y D

2.00

10.0% Damping 25.0 % Damping

R D

=

1 (1 − β 2 ) 2

Slowly loaded

+ (2ξβ ) 2

Rapidly loaded

0.00 0.00

0.50

1.00

1.50

2.00

2.50

3.00

Frequency Ratio,

Este gráfico muestra la magnificación dinámica para varias relaciones de amortiguamiento. Para el amortiguamiento incrementado, la respuesta resonante decrece significativamente. Notar que para estructuras cargadas lentamente, la amplificación dinámica es 1.0 (efectivamente estática). Para cargas de alta frecuencia, el magnificador es cero. Notar también que el amortiguamiento es casi efectivo en o cerca de la resonancia (0.5 < β < 2.0)


43



Resumen Respecto al Amortiguamiento Viscoso en Sistemas Cargados Armónicamente • Para sistemas cargados en una frecuancia cerca de sus frecuencia naturales, la respuesta dinámica excede la respuesta está tica. Esto es referido como amplificacion dinamica.

• Un sistema no amortiguado, cargado en resonancia, tendrá un incremento no adherido en desplazamiento sobre el tiempo.

Un resumen de algunos puntos previos es proporcionado.


44



Resumen Respecto al Amortiguamiento Viscoso en Sistemas Cargados Armónicamente • El amortiguamiento es un medio efectivo de disipación de energía en el sistema. A diferencia de la energía de deformació n, el cual es recuperable, la energía disipada no es recuperable.

• Un sistema amortiguado, cargado en resonancia, tendrá un desplazamiento limitado sobre el tiempo con el límite siendo (1/2 ξ) veces el desplazamiento está tico.

• El amortiguamiento es más efectivo para sistemas cargados en o cerca de la resonancia.

Continuación del resumen.


45



CONCEPTO de ENERGÍA ALMACENADA y ENERGÍA DISIPADA F

Energía Al macenada

Energía Disipada

F

2 1

1

u

u

CARGA

F

FLUENCIA

Energía Recuperada

2 u

3

DESCARGA

F

Energía Total Disipada

3 u

4

DESCARGADO

Es muy importante que la distinción entre la energía almacenada y la energía disipada esté clara. (Notar que algunos textos usan el término energía "absorbida" en lugar de energía almacenada). En el primer diagrama, el sistema se mantiene elástico y toda la energía de deformación es almacenada. Si la barra se libera, toda la energía sería recuperada. En el segundo diagrama, la deformación aplicada es mayor que la deformación estática y, por tanto, el sistema fluye. La energía mostrada en verde es almacenada, pero la energía mostrada en rojo es disipada. Si la barra es descargada, la energía almacenada es recuperada, pero la energía disipada es perdida. Esto se muestra en los Diagramas 3 y 4.


46



Carga Dinámica General

F(t)

Time, T

La discusión ahora procederá para la carga dinámica general. Por carga general, se entiende que ninguna función matemática simple define la historia de carga total.


47



Carga Dinámica General Técnicas de Solución • Transformada de Fourier • Integració n de Duhamel • Exacto a Trozos • Técnicas de Newmark Todas las técnicas se llevan a cabo numé ricamente.

Hay una variedad de formas para resolver el problema de carga general y todos son llevados a cabo numéricamente en una computadora. Los enfoques de la transformada de Fourier y la integral de Duhamel no son particularmente eficientes (o fáciles de explicar) y, por tanto, no se cubren aquí. Cualquier texto sobre dinámica estructural proporcionará los detalles requeridos. El método exacto a trozos es usado principalmente en el análisis de sistemas lineales. El método de Newmark es útil tanto para sistemas lineales como no lineales. Sólo los principios básicos subyacentes de cada uno de estos enfoques son presentados.


48



Método Exacto a Trozos

F (τ ) = F o + τ Fo

dF dt

dF dt

τ dt

En el método exacto a trozos, la función de la carga se rompe en un número de segmentos lineales rectos. En un sentido, el nombre del método es un nombre equivocado ya que el método no es exacto cuando la carga real es suave (como una onda seno) ya que los segmentos rectos de la carga lineal son sólo una aproximación de la carga real. Cuando la carga real es suave, la exactitud del método depende del nivel de discretización cuando se define la función de la carga. Para cargas sísmicas, la carga es casi siempre representada por un acelerograma registrado, el cual consiste de segmentos de líneas rectas. (Habría un poco uso en intentar interpolar el movimeinto del terreno con curvas suaves). Por tanto, para el problema sísmico, el método exacto a trozos es realmente exacto.


49



Método Exacto a Trozos Condiciones iniciales:

uo,0

= 0 u&o ,0 = 0

Determinar la solució n "exacta" para el primer paso de tiempo:

u1

= u (τ )

u&1

= u& (τ )

u&&1

= u&&(τ )

Establecer nuevas condiciones iniciales:

u o ,1

= u (τ )

u& 0 ,1

= u& (τ ) LOOP

Obtener la solució n exacta para el siguiente paso de tiempo:

u2

= u (τ )

u& 2

= u& (τ )

u&&2

= u&&(τ )

La idea básica del método exacto a trozos es desarrollar una solución para segmento de carga en línea recta conociendo las condiciones iniciales. Dadas las condiciones iniciales y el segmento de carga, la solución al final del paso de carga es determinado y esta es luego usada como la condición inicial para el siguiente paso del análisis. El análisis luego procede paso por paso hasta que todos los segmentos de carga hayan sido procesados.


50



Método Exacto a Trozos Ventajas:

• Exacto si el icnremento de carga es lineal • Muy eficiente computacionalmente Desventajas:

• Generalmente no es aplicable para el comportamiento inelástico

Debe notarse que el método exacto a trozos puede utilizarse para análisis no lineales en ciertas circunstancias. Por ejemplo, el método "rápido de análisis no lineal (fast nonlinear analysis, FNA) desarrollado por Ed Wilson y usado en el Sap2000 utiliza el método exacto a trozos. En el FNA, las no linealidades son "colocadas al lado derecho", dejando sólo términos lineales al lado izquierdo de las ecuaciones de movimiento.


51



Técnicas de Newmark • Propuesto por Natham Newmark • Método general que abarca una familia de diferentes esquemas de integración • Derivado para: – Desarrollo de las ecuaciones de movimiento incrementales – Asumir la respuesta de aceleración sobre un corto paso de tiempo

El método de Newmark es uno de los métodos más populares para resolver el problema de carga dinámica general. Es aplicable tanto a sistemas lineales como no lineales. Es igualmente aplicable tanto a sistemas SDOF como MDOF. El método de Newmark es descrito en más detalles en el tópico de comportamiento inelástico de estructuras.


52



Método de Newmark Ventajas:

• Trabaja para la respuesta inelástica Desventajas:

• Error numé rico potencial

Las ventajas y desventajas del método de Newmark son listadas. La principal ventaja es que el método puede ser aplicado a sistemas inelásticos. El método también puede usarse (sin desacoplamiento) para sistemas de múltiples grados de libertad.


53



Desarrollo de la Fuerza Efectiva Sísmica

0.40 g , 0.20 C C A D 0.00 N U O R-0.20 G

-0.40 0.00

1.00

2.00

3.00

4.00

5.00

6.00

TIME, SECONDS

En un terremoto, ninguna fuerza real es aplicada al edificio. En su lugar, el terreno se mueve hacia atrás y hacia adelante (y hacia arriba y hacia abajo) y este movimiento induce fuerzas inerciales que luego deforman la estructura. Estos son los desplazamientos en la estructura, relativos al movimiento de la base, que imponen deformaciones sobre la estructura. A través de los problemas elásticos, estas deformaciones causan fuerzas elásticas a desarrollarse en los miembros individuales y en los componentes.


54



Movimiento Sísmico del Terreno 1940 El Centro 0.4 ) 0.3 s ' g ( n 0.2 o i t a r e 0.1 l e c c 0 A d n -0.1 u o r G-0.2

40 ) c e s /

-0.3 0

10

20

30

40

50

60

Time (sec) 15

30 20

m c ( y t i 10 c o l e 0 V d n u -10 o r G

-20

) m 10 c ( t n e 5 m e c a 0 l p s i D d -5 n u o r G-10

-30 0

10

20

30

40

50

60

Time (sec)

-15 0

10

20

30

40

50

60

Muchos movimientos del terreno ahora está n disponib les vía el Internet.

Time (sec)

Los movimientos sísmicos del terreno generalmente están impuestos a través del uso de registros de aceleración del terreno o acelerogramas. Algunos programas pueden requerir en su lugar (como el Abaqus) que los registros de desplazamientos del terreno se usan como entrada.


55



Desarrollo de la Fuerza Efectiva Sísmica u&&g

&&t u

u&&r Ground Acceleration Response History 0.40 g , 0.20 C C A D0.00 N U O R -0.20 G

-0.40 0.00

1.00

2.00

3.00

4.00

5.00

6.00

TIME, SECONDS

&&g ( t ) + u&&r ( t )] + c u&r ( t ) + k ur ( t ) = 0 m[u &&r ( t ) + c u&r ( t ) + k ur ( t ) = − mu &&g ( t ) mu

En esta presentación, se asume que el registro de aceleración del terreno es usado como entrada. La aceleración total en el centro de masas es igual a la aceleración del terreno más la aceleración del centro de masas relativo al movimiento de la base. La fuerza inercial desarrollada en el centro de masas es igual a la masa veces la aceleración total. La fuerza de amortiguamiento en el sistema es una función de la velocidad en la parte superior de la estructura relativa al movimiento de la base. De forma similar, la fuerza del resorte es una función del desplazamiento en la parte superior de la estructura relativa al movimiento de la base. La ecuación de equilibrio con el cero en el espectro de la historia de respuesta (responde history spectrum, RHS) representa el estado del sistema en cualquier punto del tiempo. El cero en el RHS refleja el hecho de que no hay carga aplicada. Si la parte de la fuerza inercial total debido a la aceleración del terreno se mueve al lado derecho (la ecuación inferior), todas las fuerzas al lado izquierdo están en términos de la aceleración, velocidad, y el desplazamiento relativos. Esta ecuación es esencialmente la misma como aquella para una carga aplicada (ver presentación 8) pero la "furza sísmica efectiva" es simplemente la negativa de la masa veces la aceleración del terreno. La ecuación es luego resulta para la historia de respuesta del desplazamiento relativo.


56



Forma " Simplificada" de la Ecuació n de Movimiento &&r (t ) + cu& r (t ) + k ur (t ) = −mu&&g (t ) mu Dividida a travez de m:

u&&r (t ) +

c m

u& r (t ) +

k &&g (t ) ur (t ) = −u m

Haciendo sustituciones:

c m

= 2ξω

k m

= ω 2

Forma simplificada:

&&g (t ) u&&r (t ) + 2ξω u&r (t ) + ω 2ur (t ) = −u En preparación para el desarrollo del espectro de respuesta, es conveniente simplificar la ecuación de movimiento dividiendolo a travéz de la masa. Cuando las sustituciones se hacen como se indica, puede verse que la respuesta es únicamente definida por la relación de amortiguamiento, la frecuencia circular no amortiguada de vibración, y el registro de aceleración del terreno.


57



Para un movimiento del terreno dado, la historia de respuesta u r(t) es función de la frecuencia de la estructu ra y de la relación de amortiguami ento Frecuencia estructural

u&&r (t ) + 2ξω u& r (t ) + ω u r ( t ) 2

= −u&&g (t )

Relación de amortig. Historia de aceleración de movimiento del terreno Esto reafirma el punto realizado en la presentación previa. Un espectro de respuesta es creado para un movimiento particular del terreno y para una estructura con un nivel constante de amortiguamiento. El espectro se obtiene resolviendo repetidamente las ecuaciones de equilibrio para estructuras variando las frecuencias de vibración y luego trazando los desplazamientos pico obtenidos para aquella frecuencia versus la frecuencia para el cual el desplazamiento fue obtenido.


58



Respuesta al Movimiento de Terreno

(1940 El Centro) 0.4 ) s ' g (

Excitación aplicada a la estructura con y

0.3

n 0.2 o i t a r 0.1 e l e c c 0 A d n -0.1 u o r G-0.2

RESOLVER

-0.3 0

10

20

30 Time (sec)

El cambio en el movimiento del terreno o de los parámetros estructurales y r equiere el re-cálculo de la respuesta estructural

40

50

60

6 ) n i ( 4 t n e m 2 e c a l p s 0 i D l a -2 r u t c u r -4 t S

Respuesta calculada

desplazamiento pico

-6 0

10

20

30

40

50

60

Las siguientes presentaciones tratarán el desarrollo del espectro de respuesta amortiguado al 5% para el registro del movimiento del terreno El Centro de 1940. El "resolver" indicado en la presentación es una rutina, tal como el método de Newmark, que toma el registro del movimiento del terreno, la relación de amortiguamiento, y la frecuencia del sistema como entradas y reporta como resultado sólo el valor máximo absoluto del desplazamiento relativo que ocurrió sobre la duración del movimiento del terreno. Es importante notar que tomando el valor absoluto, el signo de la respuesta pico se pierde. El momento en el cual la respuesta pico ocurrió también se pierde (debido simplemente a que no es registrado).


59



El Espectro Elástico de Respuesta de Desplazamiento Un espectro elástico de respuesta de desplazamiento es un trazo del desplazamiento relativo pico calculado, ur , para una estructura elástica con un amortiguamiento constante, ξ , una frecuencia fundamental que varía ω (o periodo T = 2π/ ω), que responde a un movimiento del terreno dado.. espectro de respuesta 5% amortiguado para la estructura respondiendo al movimiento de terreno El Centro 1940 16 s e h c 12 n i , T N E 8 M E C A L P 4 S I D

0 0

2

4

6

8

10

PERIOD, Second s

Esta presentación es una reexpresión del punto previo.


60



Cálculo del Espectro de Respuesta para el Movimiento de Terreno El Centro 0.08 s e 0.06 h c 0.04 n I , 0.02 t n e 0.00 m e -0.02 c a l p -0.04 s i D-0.06

Respuesta calculada

-0.08

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Time, Seconds

10.00

espectro elástico de respuesta 8.00

ξ = 0.05 T = 0.10 sec Umax= 0.0543 in.

s e h c n I , t n e m e c a l p s i D

6.00

4.00

2.00

0.00 0.00

0.50

1.00

1.50

2.00

Period, Seconds

Aquí, el primer punto en el espectro de respuesta es calculado. Para esto y todos los pasos subsecuentes, el registro del movimiento del terreno es el mismo y la relación de amortiguamiento se establece como el 5% del crítico. Sólo la frecuencia de vibración, representado por el periodo T , es cambiado. Cuando T = 0.10 s (frecuencia circular = 62.8 rad/s), el desplazamiento relativo pico calculado fue de 0.0543 plg. La historia de respuesta a partir del cual el pico fue obtenido se muestra en la parte superior de la presentación. Este pico ocurrió a alrededor de 5 s en la respuesta , pero este tiempo no está registrado. Notar que el contenido de la frecuencia elevada de la respuesta. El primer punto en el espectro de respuesta de desplazamiento es simplemente el desplazamiento (0.0543 plg) trazado contra el periodo estructural (0.1 s) para el cual el desplazamiento fue obtenido.


61



Cálculo del Espectro de Respuesta para el Movimiento de Terreno El Centro 0.40 s 0.30 e h c 0.20 n I , 0.10 t n e 0.00 m e -0.10 c a l p -0.20 s i D-0.30 -0.40

Respuesta calculada

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Time, Seconds 10.00


ξ = 0.05 T = 0.20 sec Umax = 0.254 in.


6.00

4.00

2.00

0.00 0.00

0.50

1.00

1.50

2.00

Period, Seconds

Aquí el procedimiento completo es repetido, pero el periodo del sistema es cambiado a 0.2 s. La historia de desplazamiento calculada se muestra en la parte superior de la presentación, la cual muestra que el desplazamiento pico fue de 0.254 plg. Este pico ocurrió a alrededor de 2.5 s en la respuesta, pero, como antes, este tiempo no está registrado. Notar que la historia de respuesta es algo más suave que aquel en la presentación previa. El segundo punto del espectro de respuesta es el desplazamiento pico (0.254 plg) trazado contra el periodo del sistema, el cual fue 0.2 s.


62



Cálculo del Espectro de Respuesta para el Movimiento de Terreno El Centro 0.80 s 0.60 e h c 0.40 n I , 0.20 t n e 0.00 m e -0.20 c a l p -0.40 s i D-0.60

Respuesta calculada

-0.80

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Time, Seconds 10.00


ξ = 0.05 T = 0.30 sec Umax = 0.622 in.


6.00

4.00

2.00

0.00 0.00

0.50

1.00

1.50

2.00

Period, Seconds

El tercer punto de l espectro de respuesta es el desplazamiento pico (0.622 plg) trazado contra el periodo del sistema, el cual fue 0.3 s. Nuevamente, la respuesta es algo más suave que antes.


63



Cálculo del Espectro de Respuesta para el Movimiento de Terreno El Centro 1.20 s 0.90 e h c 0.60 n I , 0.30 t n e 0.00 m e -0.30 c a l p -0.60 s i D-0.90

Respuesta calculada

-1.20

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Time, Seconds 10.00


ξ = 0.05 T = 0.40 sec Umax = 0.956 in.


6.00

4.00

2.00

0.00 0.00

0.50

1.00

1.50

2.00

Period, Seconds

El cuarto punto del espectro de respuesta es el desplazamiento pico (0.956 plg) trazado nuevamente contra el periodo del sistema, el cual fue 0.40 s.


64



Cálculo del Espectro de Respuesta para el Movimiento de Terreno El Centro 2.40 s 1.80 e h c 1.20 n I , 0.60 t n e 0.00 m e -0.60 c a l p -1.20 s i -1.80 D -2.40

Respuesta calculada

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Time, Seconds 10.00


ξ = 0.05 T = 0.50 sec Umax = 2.02 in.


6.00

4.00

2.00

0.00 0.00

0.50

1.00

1.50

2.00

Period, Seconds

El siguiente punto del espectro de respuesta es el desplazamiento pico (2.02 plg) trazado contra el periodo del sistema, el cual fue 0.50 s).


65



Cálculo del Espectro de Respuesta para el Movimiento de Terreno El Centro 3.20 s 2.40 e h c 1.60 n I , 0.80 t n e 0.00 m e-0.80 c a l p-1.60 s i D-2.40

Respuesta calculada

-3.20 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Time, Seconds 10.00


ξ = 0.05 T = 0.60 sec Umax= -3.00 in.


6.00

4.00

2.00

0.00 0.00

0.50

1.00

1.50

2.00

Period, Seconds

El siguiente punto del espectro de respuesta es el desplazamiento pico (3.03 plg) trazado contra el periodo del sistema, el cual fue 0.60 s. Notar que sólo el valor absoluto del desplazamiento es registrado. El espectro completo se obtiene repitiendo el proceso para todos los periodos restantes en el rango desde 0.7 hasta 2.0 s. Para este espectro de respuesta, 2/0.1 o 20 puntos individuales son calculados, requiriendo 20 análisis historia de respuesta completos. Un espectro de respuesta real probablemente sería corrido en una resolución del periodo de alrededor de 0.01 s, requiriendo 200 análisis historia de respuesta.


66



Espectro de Respuesta Elástico Amortiguado al 5% Completo de Desplazamientos para el Movimiento de Terreno El Centro 12.00

10.00


8.00

6.00

4.00

2.00

0.00 0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

Period, Seconds

Este es el espectro de respuesta elástico amortiguado al 5% de desplazamiento completo para el movimiento de terreno El Centro. Notar que el espectro fue corrido para periodos hasta 4.0 s. Notar también que el desplazamiento es cerca de cero cuando T es cerca de cero. Esto se espera ya que el desplazamiento relativo de una estructura muy rígida (con T cerca de cero) deberá ser muy pequeño. El desplazamiento entonces generalmente se incrementa con el periodo, aunque esta tendencia no es consistente. Las reducciones en el desplazamiento en ciertos periodos indica que el movimiento del terreno tiene pequeña energía en estos periodos. Como se mostró antes, un sismo diferente tendrá un espectro de respuesta totalmente diferente.


67



Desarrollo del Espectro de Respuesta de Pseudovelocidad 35.00

5% amortig.

30.00 25.00

c e s / n i , y 20.00 t i c o l e v o 15.00 d u e s P

10.00

PSV (T )

5.00

≡ ω D

0.00 0.0

1.0

2.0

3.0

4.0

Period, Seconds

Notar que parece que la pseudovelocidad en periodos bajos (cerca de cero) es también cerca de cero (pero no exactamente cero).


68



Desarrollo del Espectro de Respuesta de Pseudoaceleraciones 400.0

5% amortig.

350.0 2

300.0

c e s / n i , 250.0 n o i t a r 200.0 e l e c c a o 150.0 d u e s P

PSA (T ) ≡ ω D 2

100.0 50.0 0.0 0.0

1.0

2.0

3.0

4.0

Period, Seconds

El espectro de pseudoaceleraciones se obtiene a partir del espectro de desplazamientos multiplicando por el cuadrado de las frecuencias angulares. Notar que la aceleración en un periodo cerca de cero no es cercano a cero (como fue el caso para la velocidad y el desplazamiento). De hecho, la pseudoaceleración representa la aceleración total en el sistema mientras que la pseudovelocidad y el desplazamiento son cantidades relativas.


69



Nota Acerca del Espectro de Respuesta de Pseudoaceleración El espectro de respuesta de pseudoaceleración representa la aceleración total del sistema, no la aceleración relativa. Es cercanamente idéntica al espectro de respuesta de aceleración 400.0

5% amortig.

350.0 2

300.0

c e s / n i , 250.0 n o i t a r e 200.0 l e c c a o 150.0 d u e s P

100.0

aceleración pico del terreno

50.0 0.0 0.0

1.0

2.0

3.0

4.0

Period, Seconds

Para sistemas muy rígidos (con periodos de vibración cerca de cero), la aceleración relativa estará cerca de cero y, por tanto, la pseudoaceleración, la cual es la aceleración total, será igual a la aceleración pico del terreno.


70



PSA es la Aceleración TOTAL

&&g u

&&t u

&&r u 0.40

Historia de Respuesta de la Aceleración del Terreno

g , 0.20 C C A D0.00 N U O R -0.20 G

-0.40 0.00

1.00

2.00

3.00

4.00

5.00

6.00

TIME, SECONDS

&&g ( t ) + u&&r ( t )] + c u&r ( t ) + k ur ( t ) = 0 m[u &&r ( t ) + c u&r ( t ) + k ur ( t ) = − mu &&g ( t ) mu

Esta presentación explica porqué la pseudoaceleración es igual a la aceleración total. El desplazamiento relativo es multiplicado por omega para obtener la pseudovelocidad. La pseudovelocidad luego es multiplicada por omega para obtener la aceleración total.


71



Diferencia Entre la Pseudo-Aceleración y la Aceleración Total (Sistema con 5% de Amortiguamiento) 350.00 300.00 ) 2 s /

g l p (

n ó i c a r e l e c A

250.00 200.00 150.00 100.00 50.00 0.00 0.1

1 Period o (sec) Aceleración Total

10

P s e u d o -Aceleración

Esta presentación muestra la aceleración total y la pseudoaceleración para un sistema amortiguado al 5% sometido al movimiento de terreno El centro. notar la similitud en las dos cantidades. La diferencia en las dos cantidades es sólo aparente en periodos bajos. La diferencia puede ser mucho mayor cuando el amortiguamiento se establece a 10%, 20%, o 30% del crítico, y las diferencias pueden aparecer en un amplio rango de periodos.


72



Diferencia Entre la Pseudovelocidad y la Velocidad Relativa (Sistema con 5% de Amortiguamiento) 40 35 ) s /

g l p

(

d a d i c o l e V

30 25 20 15 10 5 0 0.1

1 Periodo (sec) Velocidad Relativa

10

Pseudo-V e l o c i d a d

Este gráfico muestra la velocidad relativa y la pseudovelocidad para un sistema amortiguado al 5% sometido al movimiento de terreno El Centro. Aquí, las diferencias son mucho más aparentes que para la pseudoaceleración, y las mayores diferencias ocurren el periodos elevados. Las diferencias serán mayores para sistemas con grandes cantidades de amortiguamiento.


73



Espectro de Respuesta de Desplazamiento para Diferentes Valores de Amortiguamiento Amortig.

25.00

0% 5%

g 20.00 l P , o t n 15.00 e i m a z 10.00 a l p s e D 5.00

10% 20%

0.00 0.0

1.0

2.0

3.0

4.0

5.0

Period o, Segundos

A un amortiguamiento más elevado, más bajo el desplazamiento relativo. En un periodo de 2 s, por ejemplo, yendo desde cero al 5% de amortiguamiento reduce la amplitud del desplazamiento por un factor de 2. Mientras que el amortiguamiento más elevado produce mayores disminuciones en el desplazamiento, hay un retorno menguante. El % de reducción en el desplazamiento yendo desde 5 hasta el 10% de amortiguamiento es mucho menos que aquel para 0 hasta el 5% de amortiguamiento.


74



Espectro de Respuesta de Pseudoaceleración para Diferentes Valores de Amortiguamiento Amortig. 4.00 0% 5%

g , 3.00 n

ó i c a r e l e

10% 20%

2.00

c a o d u e 1.00 s P

0.00 Aceleración pico del terreno

0.0

1.0

2.0

3.0

4.0

5.0

Periodo, Se gundo s

El amortiguamiento tiene un efecto similar sobre la pseudoaceleración. notar, sin embargo, que la pseudoaceleración en un periodo de cero (cercano) es el mismo para todos los valores del amortiguamiento. Este valor es siempre igual a la aceleración pico del terreno para el movimiento de terreno en cuestión.


75



El Amortiguamiento es Efectivo Reduciendo la Respuesta para (Casi) Cualquier Periodo de Vibración Dado • Un registro sísmico puede considerarse que es la combinación de un gran número de componentes armónicos. • Cualquier estructura SDOF estará cerca de la resonancia con uno de estos componentes armónicos. • El amortiguamiento es más efectivo en o cerca de la resonancia. • Por tanto, un espectro de respuesta mostrará reducciones debido al amortiguamiento en todos los rangos de periodo (excepto T = 0).

El amortiguamiento generalmente es efectivo en todos los periodos (excepto en T = 0). La razón para esto es que los movimientos del terreno consisten de un gran número de armónicos, cada uno en una frecuencia diferente. Cuando un análisis espectro de respuesta encorrido para un periodo particular, habrá una respuesta cerca de la resonancia en aquel periodo. El amortiguamiento es más efectivo en resonancia y, por tanto, el amortiguamiento será efectivo sobre el rango completo de periodos para el cual el espectro de respuesta es generado.


76



El Amortiguamiento es Efectivo Reduciendo la Respuesta para Cualquier Periodo de Vibración Dado 4.00

d u t i l p m A

2.00 0.00 `

-2.00 -4.00 0. 0

6 .0

1 2. 0

1 8. 0

2 4. 0

3 0. 0

3 6.0

4 2. 0 4 8. 0

5 4. 0

6 0. 0

6 6. 0

7 2. 0

7 8. 0

8 4. 0

9 0. 0

TIempo (sec)

• Ejemplo de una onda artificialmente generada para ensamblar un acelerograma del movimiento del terreno en tiempo real. • Generar la onda otenida combinando cinco señales armónicas diferentes, cada una teniendo amplitudes iguales a 1.0.

Para demostrar el punto hecho en la anterior presentación, un movimiento de terreno "artificial" se realiza a partir de la sume de cinco armónicos simples.


77



La Onda Artificial es la Suma de Cinco Armónicos 1 0.5 0

T = 5.0 s

`

-0.5 -1 0 .0

1 d 0.5 u t 0 i l p -0.5 -1 m A e 0.0

6.0

1 2.0

1 8.0

2 4.0

3 0.0

36 .0

42 .0

4 8.0

54 .0

60 .0

6 6.0

7 2.0

78 .0

8 4.0

9 0.0

T = 4.0 s

`

6.0

12.0

18.0

24.0

30.0

36.0

42.0

48.0

54.0

60.0

66.0

72.0

78.0

84.0

90.0

1 0.5

T = 3.0 s

0 `

-0.5 -1 0. 0

6. 0

12. 0

18. 0

24. 0

30. 0

36. 0

42.0

48. 0

54. 0

60. 0

66. 0

7 2. 0

78. 0

84 .0

90. 0

Tiempo (s)

Cada uno de los armónicos tiene una amplitud de 1.0. Los primeros tres de los armónicos con T = 5, 4, y 3 segundos son mostrados.


78



La Onda Artificial es la Suma de Cinco Armónicos 1 0.5 0

T = 2.0 s

`

-0.5 -1 0. 0

d u t i l p m A

6. 0

12.0

18. 0

24. 0

30. 0

36.0

42.0

48.0

54. 0

60.0

66. 0

72. 0

78.0

84.0

90.0

1 0.5

T = 1.0 s

0 `

-0.5 -1 0.0

6.0

12.0

18.0

24.0

30.0

36.0

42.0

48.0

54.0

60.0

66.0

72.0

78.0

84.0

90.0

Sumatoria 4.00 2.00 0.00 -2.00 -4.00

`

0 .0

6 .0

1 2.0

1 8.0

2 4.0

3 0.0

3 6. 0

4 2.0

4 8.0

5 4. 0

6 0.0

6 6.0

7 2.0

7 8.0

84 .0

9 0.0

Tiempo (s)

Los restantes dos armónicos (en T = 2 y 1 s) y la sumatoria son mostrados.


79



El Amortiguamiento Reduce la Respuesta en Cada Frecuencia Resonante 14.00 0.0% Damping

12.00

5.0 % Damping

r e i f i 10.00 l p m A e s 8.00 n o p s e R 6.00 c i

r e i r u o F

m a n y D

e d d u t i l p m A

10.0% Damping 25.0 % Damping

4.00

2.00

0.00 0.00

0.50

1.00

1.50

2.00

2.50

3.00

Frequency Ratio,

Frecuencia (Hz) curva FFT para la onda combinada

El espectro de amplitud de Fourier del movimiento de terreno artificial es mostrado a la izquierda. este espectro muestra los cinco armónicos discretos que están en el movimiento artificial. Si el espectro de respuesta se corre en intervalos de 0.2 s, habrá una respuesta resonante en cada una de estas frecuencias. El amortiguamiento será muy efectivo en reducir la respuesta en cada una de las frecuencias.


80



     Respuesta Elástico Estructura de Ejemplo K = 500 k/in W = 2,000 k M = 2000/386.4 = 5.18 k-sec 2/in

ω = (K/M)0.5 =9.82 rad/sec T = 2π/ω = 0.64 sec 5% amortiguamiento crítico

12.00

10.00

g l p 8.00 , o t n e i 6.00 m a z a l p 4.00 s e D 2.00

0.00 0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

Period o, Segundos

A T = 0.64 sec, desplazamiento = 3.03 plg

Este es una ejemplo simple del uso de un espectro de respuesta elástico de desplazamiento. Si se asume que el sistema tiene un amortiguamiento de 5% (emparejando el espectro) y el periodo del sistema es conocido, el desplazamiento pico puede fácilmente calcularse. Notar que el signo del desplazamiento (positivo o negativo) y el tiempo en el que el desplazamiento ocurrió no se conoce ya que esta información fue descartada cuando el espectro fue generado.


81



Uso de un Espectro de Respuesta Elástico 400.0

Estructura de Ejemplo

350.0 c e s / 300.0 g

2

K = 500 k/in W = 2,000 k M = 2000/386.4 = 5.18

k-sec2/in

ω = (K/M)0.5 =9.82 rad/sec T = 2π/ω = 0.64 sec 5% de amortiguamiento crítico

l p

,

n250.0 ó i c a200.0 r e l e c150.0 a o d u100.0 e s P

50.0 0.0

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

Period o, Se gundos

A T = 0.64 s, pseudoa celeración = 301 plg/s2 Cortante en la Base = M x PSA = 5.18(301) = 1559 k lbs

Este es un ejemplo simple del uso de un espectro de respuesta elástico de pseudoaceleración. Si se asume que el sistema tendrá un amortiguamiento del 5% (emparejando el espectro) y el periodo del sistema y la masa son conocidos, la cortante en la base pico puede fácilmente calcularse. Notar que el signo de la cortante (positiva o negativa) y el tiempo en que la cortante ocurrió no con conocidos ya que esta información (relacionada a la pseudoaceleración) fue descartada cuando el espectro fue generado.


82



Espectro de Respuesta, Espacio ADRS 1.00 Las líneas diagonales representan valores del periodo, T

0.80 g ,

n ó i c a r e l e c

T = 0.64s

0.60

a o 0.40 d u e s P

0.20

0.00 0.00

2.00

4.00

6.00

8.00

10.00

12.00

Desplazamiento, pulgadas

Otro tipo de espectro trazado es el espectro de respuesta aceleracióndesplazamiento (acceleration-displacement response spectrum, ADRS), el cual es también llamado un espectro de demanda. Aquí, el desplazamient6o es trazado sobre el eje x y la pseudoaceleración es trazada en el eje y. Los periodos de vibración son representados como líneas radiales. Estos tipos de espectro son más comúnmente usados en asociación con "espectros de capacidad" desarrollados a partir de análisis no lineales estáticos pushover. Un espectro de demanda es también útil para evaluar los requerimiento de rigidez y amortiguamiento de sistemas aislados en la base.


83



Trazo del Espectro de Respuesta Cuádruple Logarítmico Línea del desplazamiento incrementado 100

D=10.0

0.1 Línea de desplazamiento constante

c e s 10 /

1.0

g l p

,

d a d i c o l e v u e s P

1.0

0.01

D = 1

0.1

.01

0.001

PSV

ω

0.1 0.1

1

10

100

1000

Frecuencia circular

(radians/sec)

El espectro de respuesta a menudo trazado sobre un papel cuádruple logarítmico. Este tipo de espectro es menudo llamado "espectro tripartito" ya que el desplazamiento, la pseudovelocidad, y la pseudoaceleración están todos mostrados en el mismo trazo. En el trazo, la pseudovelocidad es trazada en el eje vertical. Las líneas de desplazamiento constante y de desplazamiento incrementado son generados como se muestra. El uso de la frecuencia circular en el eje horizontal es raramente usado en la práctica pero es conveniente para ilustrar el desarrollo del trazo.


84



Trazo del Espectro de Respuesta Cuádruple Logarítmico Línea de aceleración constante 100

PSA=1000

10000

100000 Línea de aceleración incrementada

c e s 10 / g l p , d a d i c o l e 1 v u e s P

100

10000

10

100

PSA = PSV ω

1000

0.1 0.1

1

10

100

1000

Frecuencia circular ω

(radians/sec)

Las líneas de pseudoaceleración constante y de pseudoaceleración incrementada logarítmicamente se obtienen de una forma similar.


85



Trazo del Espectro de Respuesta Cuádruple Logarítmico 2

100

c s e n / i N , I O T 1 R A 0 0 0 E 0 L E C A C 1 0 0 0

D I S P L A C 0 E M 1 0 E N T , i n 0 1

c e s 10 / g l p , d a d i c o l e 1 v u e s P

0 1 .

1 0 0 1 0 .

1 0 0 1 0 .

1

0 . 1

1 0 0 0 .

0.1 0.1

1

10

100

1000

Circular Frecuencia radians/sec)

Este es un espectro finalizado para el sismo El Centro al 5% de amortiguamiento con la aceleración máxima = 0.35 g.


86



Trazo del Espectro de Respuesta Cuádruple Logarítmico Trazado vs Periodo n . i , t e n m e a c1 l p 0 . 0 i s D

100.00 c e s / g l p , D 10.00 A D I C O L E V O D 1.00 U E S P

A c c e l e r a i 0 o n . t 0 1 , g

0 1 .

1 . 0 0 1 . 1 0 0 .

0 . 0 1

0 1 0 . 1 0 0 0 .

0 . 0 0 1 0.10 0.01

0.10

1.00

10.00

PERIODO, Segundos

El espectro de respuesta generalmente es trazado versus el periodo estructural o versus la frecuencia cíclica estructural. Este es el mismo espectro como se mostró en la presentación previa, pero está trazado versus el periodo.


87



Desarrollo de un Espectro de Respuesta Elástico 100.00 A c c e l e r a t i o n , g 0 . 0 1

c e s /

g l p

,

D 10.00 A D I

Para un sismo dado, pequeñas variaciones en la frecuencia estructural (periodo) puede producir resultados significativamente diferentes.

1 . 0

0 1 .

C O L E V O D 1.00 U E S P

Problemas con el Espectro Actual:

. i n t , e n m c e 1 0 . 0 l a p i s D

1 0 .

0 . 0 1

0 . 1 0

0 1 0 .

0 . 0 0 1

1 0 0 0 .

0.10 0.01

0.10

1.00

PERIODO, Segundos

10.00

Este es para un solo terremoto; otros terremotos tendrán diferentes características.

El uso de un espectro de un solo terremoto en el diseño estructural no es recomendado por las razones mostradas en esta presentación. El mismo sitio experimentando diferentes terremotos (o diferentes componentes del mismo terremoto) a menudo tendrá espectros distintos.


88



1940 El Centro, 0.35 g, N-S n . , i t e n m c e l a 1 0 p . 0 i s D

100

A c c e l e r a t i o n 0 . , g 1 0

c e s /

g l p

,

10

0 1 .

d a d i c o e V

o d u e s P

Para un sismo dado, pequeñas variaciones en la frecuencia estructural (periodo) puede producir resultados significativamente diferentes.

1 . 0

0% Amortig.

0 . 1 0 1 . 0

5% Amortig 10% Amortig 20% Amortig

1

0 . 0 1

0 1 0 . 1 0 0 0 .

0 . 0 0 1 0.1 0.01

0.1

1

10

Period o, Segundos

Notar que cambios significativos (para cualquier valor dado del amortiguamiento) en el rango de periodo de 1.5 s.


89



Espectros Amortiguados al 5% para Cuatro Terremotos de California Escalados a 0.40 g (PGA) Diferentes Sismos tendrán diferentes espectros c e s /

g l p

El Centro

10.0

,

d a d i c o l e V

o s u e s P

Loma Prieta North Ridge San Fernando 1.0

Average

0.1 0.01

0.10

1.00

10.00

Period o, segundos

Los espectros están escalados a 0.4 g con un amortiguamiento del 5%. Notar las diferencias.


90



Espectro de Respuesta Elástico Suavizado (Espectro de Respuesta Elástico de DISEÑO)

• Espectro Newmark-Hall spectrum • Espectro ASCE/SEI 7

Ya que el espectro real del movimiento de terreno es difícil de trabajar en na oficina de diseño, una variedad de espectros empíricos han sido generados. Uno de estos espectros empíricos fue desarrollado por Natham Newmark. Las siguientes presentaciones describen esto en detalle. El espectro usado por el ASCE/SEI 7 es más simple que el espectro de Newmark, pero la explicación del fondo del espectro del ASCE/SEI 7 es más díficil.


91



Espectro Elástico Newmark-Hall 100

0% Amortig. 5% Amortig 10% Amortig

) g l p (

10

o t n e i

m a z a l p s e D

max u&

Observaciones g

v&& → max v&& v→0

g

1

max u

max u&&

g

v → max v &v& → 0

g

0.1 0.01

0.1

1

10

en cortos T

g

en largos T

100

Periodo (sec)

El espectro de Newmark está basado en las siguientes observaciones:

•

La pseudoaceleración en periodos muy bajos es exactamente igual a la aceleración del terreno pico.

•

El desplazamiento relativo en periodos muy largos es exactamente igual al desplazamiento del terreno pico.

•

En periodos intermedios, el desplazamiento, la pseudovelocidad, y la pseudoaceleración son iguales a los valores del terreno veces algunas constantes empíricas.


92



Estructura Muy Rígida (T < 0.01 sec)

Desplazamiento relativo Aceleración total

Cero Aceleración del terreno

Para edificios con periodos muy bajos (altas frecuencias), el desplazamiento máximo relativo será cero. La aceleración máxima se aproximará a la aceleración del terreno.


93



Estructura Muy Flexible (T

Desplazamiento Relativo Aceleración Total

> 10 sec)

Desplazamiento del Terreno

Cero

Para edificios de periodos muy elevados (baja frecuencia), el desplazamiento máximo relativo será igual al desplazamiento del terreno máximo. La aceleración máxima total se aproximará a cero.


94



1940 El Cent ro, 0.35 g, N-S 100

g e s / g l p

,

10

1 . 0

0 1 .

d a d i c o l e V

o d u e s P

n . i , t e n m e 1 0 . a c l 0 p s i D

A c c e l e r a t i o n , g . 0 1 0

1 0 .

1

0 . 0 1

0% Amortig.

12.7 plg/s 0 . 1 0

0 1 0 .

0.35g

0 . 0 0 1

5% Amortig 10% Amortig 20* Amortig

4.25 plg

Máxima del Terreno

0 1 0 . 0

0.1 0.01

0.1 1 Periodo, Segundos

10

La línea amarilla muestra el desplazamiento del terreno máximo registrado, la velocidad, y la aceleración a partir del sismo El Centro de 1940. Estas líneas claramente forman un límite inferior para el espectro de respuesta elástica. Notar cómo las respuestas del edificio de desplazamientos, velocidades, y aceleraciones son amplificaciones de los valores del terreno. Notar también cómo las amplificaciones disminuyen con el incremento del amortiguamiento.


95



Factores de Amplificación del Espectro de Newmark para la Respuesta Horizontal Elástica

Damping % Critical .05 1 2 3

One Sigma (84.1%) aa av ad 5.10 3.84 3.04 4.38 3.38 2.73 3.66 2.92 2.42 3.24 2.64 2.24

5

2.71 2.30 2.01

7 10 20

2.36 1.99 1.26

2.08 1.84 1.37

1.85 1.69 1.38

aa 3.68 3.21 2.74 2.46 2.12 1.89 1.64 1.17

Median (50%) av ad 2.59 2.01 2.31 1.82 2.03 1.63 1.86 1.52 1.65 1.39 1.51 1.29 1.37 1.20 1.08 1.01

Newmark ha desarrollado una serie de factores de amplificación a ser usados en el desarrollo del espectro de diseño. Estos están basados en el promedio de docenas de espectros registrados sobre sitios de suelo firmes para el oeste de Estados Unidos. Los valores son mostrados para la media y la media más una desviación estándar.


96



Espectro Elástico Newmark-Hall 1) Draw the lines corresponding to max

3

2) Draw line α A from Tb to Tc

4

2

6

5

1

v&& , & v ,v g

g

g

max v&&

g

3) Draw line α V max v&g from Tc to Td 4) Draw line α D from Td to Te

max v

g

5) Draw connecting line from Ta to Tb

T a

T b

T c

T d

T e T f

6) Draw connecting line from Te to Tf

Estos son los pasos para el desarrollo del esectro de Newmark. Notar que los valores reales no están presentados.


97



ASCE /SEI 7 Uso de un Espectro de Aceleraciones de Diseño Suavizado

a S t s a DS e S u , p n s ó e i R c a e r S e D1 d l o e r c t c A e e p d s E

aceleración en "periodos cortos"

2

1

3

1

Sa = 0.6

2

Sa = SDS

aceleración en 3 "periodos largos"

4

Sa =

SDS T+ 0.4 SDS T0

SD1

T TS Sa = L 2D1 T

4

TS

T = 1.0

TL

Period o, T Notar las excepciones en periodos largos

Este trazado muestra las relaciones básicas usadas para el espectro del ASCE/SEI 7. Notar que el eje vertical es la pseudoaceleración. El espectro está derivado a partir de una serie de mapas dando valores espectrales de aceleración para edificios con "periodos cortos" ( T = 0.2 s) o "periodos largos" (T = 1 s). Notar que la parte del espectro a la derecha de TL (Curva 4) fue introducida en el 2003 NEHRP Recommended Provisions y en la ASCE 7-05. Los mapas están basados en suelos muy rígidos. Para propósitos de diseño, el espectro de aceleraciones no es reducido a la aceleración del terreno en periodos bajos (Línea 1 en el trazado). El amortiguamiento se asume que es el 5% del crítico.


98

1. Dinamica Estructural en Sist. de 1 GDL

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